Category: MP MATHEMATICS SOLUTION

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

2026
MATHEMATICS
Time-3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks: 90

Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness, overwriting and bad handwriting.

[ 1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে -এর আসন্ন মান 22/7 ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।।
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 8 নং পৃষ্ঠায়।]

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

(i) কোন মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার হবে
(a) 5% (b) 10%
(c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ধরি, মূলধন(P) = x টাকা
∴ সুদাসল= 2x টাকা
সুদ(I) = x টাকা
সময়(t) = 10 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_x.10 = 10]

(ii) ax² + bx + c = 0 (a>0) এর বীজ দুটি সমান কিন্তু বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত হবে
(a) b = c, c = 0 (b) b = 0, c > 0
(c) b = 0, c < 0 (d) b > 0, c = 0
Ans: (c) b = 0, c < 0
[b = 0 হলে,
ax² + c = 0
বা, x² = -c/a
বা, x = √-^c/_a
∵ a > 0
∴ c < 0 হবে।
বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত b = 0, c < 0]

(iii) 6, 7, x, y, 16 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে:
(a) x + y = 21 (b) x + y = 16
(c) x – y = 21 (d) x – y = 19
Ans: (b) x + y = 16
[^{6 + 7 + x + y + 16}/₅ = 9
বা, 29 + x + y = 5×9
বা, x + y = 45 – 29 = 16]

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

(iv) একটি বৃত্তের 121 সেমি দৈঘোর চাপ কেন্দ্রে 77° কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে
(a) 110 সেমি (b) 100 সেমি
(c) 90 সেমি (d) 70 সেমি
Ans: (c) 90 সেমি
এখানে, s = 121 সেমি; θ = 77°

$[θ = 77°\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =\left(\frac{77×22}{180×7}\right)^c\\\quad =\left(\frac{11×11}{90}\right)^c$ আমরা জানি $\quad s= rθ\\\therefore 121=r×\frac{11×11}{90}\\⇒r=\frac{121×90}{11×11}=90]$

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a ও d এর সম্পর্ক হবে
(a) √2a = d (b) √3a = d
(c) a = √3d (d) a = √2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠DCE = 96° হলে ∠BOD এর মান কত?
(a) 42° (b) 84°
(c) 442° (d) 168°
Ans: (d) 168°

[∠DCE = 96°
∴ ∠BCD = 180° – 96° = 84°
BAD বৃত্তচাপের উপর ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BOD = 2.∠BCD
= 2.84° = 168°]

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক বছরে আসল ও সুদ-আসলের অনুপাত 8 : 9 হলে বার্ষিক সুদের হার ____________
Ans: 12.5 %
[ধরি, আসল 8x টাকা হলে সুদ-আসলে হবে 9x টাকা
সুদ(I) = (9x – 8x) = x টাকা
সময়(t) = 1 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_8x.1 = 12.5]

(ii) (√3 – 5) এর অনুবন্ধী করনী ____________
Ans: – √3 – 5

(iii) কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের দুই প্রান্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর ____________
Ans: সমান্তরাল

(iv) যদি x = asec θ ও y = b cot θ হলে$\frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}=$ ____________

Ans: 1
[x = asec θ
⇒ ^x/_a = sec θ
ও y = b cot θ
⇒ ^y/_b = cot θ
⇒ ^b/_y = tan θ

$∴ \frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\left( \frac{x}{a} \right)^2-\left( \frac{b}{y}\right)^2\\=sec^2 θ-tan^2 θ=1]$

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে, তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ____________
Ans: 27πr² বর্গ একক
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
= 3πr²
= 3π(3r)² = 27πr²]

(vi) 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যা যথাক্রমে 1. 2. 3. 4, f এবং এদের যৌগিক গড় 4 হলে f এর মান ____________
Ans: 10

$[∴\bar{x}= \frac{f_ix_i}{f_i}\\⇒4=\frac{1.1+2.2+3.3+4.4+5.f}{1+2+3+4+f}\\⇒4=\frac{1+4+9+16+5f}{10+f}$

⇒ 40 + 4f = 30 + 5f
⇒ f = 10]

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) sin² θ = (sin θ)², 0° < θ < 90°
Ans: সত্য

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের মধ্যে অন্তলিখিত বৃহত্তম ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি।
Ans: মিথ্যা
[গোলকের ব্যাসার্ধ 4 সেমি
∴ ঘনকের কর্ণ= গোলকের ব্যাস
⇒ √3.a = 4.2 = 8 . . .[a = ঘনকের বাহু]
⇒ a = ⁸/_√3]

(iii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ স্থূলকোণ।
Ans:   মিথ্যা

(iv) x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5 হলে উহাদের মধ্যমা 3 হবে।
Ans:   মিথ্যা
[x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5
∴ ^{x – 3 + x – 1 + 7 + x + 2x – 1 + 3x – 5}/₆ = 7.5
⇒ 8x – 3 = 45
⇒ 8x = 48
বা, x = 6
রাশিগুলি হল 3, 5, 7, 6, 11, 13
রাশিগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
3, 5, 6, 7, 11, 13
∴ মধ্যমা = ^{তৃতীয় পদ + চতুর্থ পদ}/₂
                  = ^{7 + 6}/₂ = 6.5]

(ν) χ ∞ ¹/_y হলে (xy)¹⁰ ধ্রুবক।
Ans:   সত্য
[   x ∞ ¹/_y
⇒ x = k.¹/_y
⇒ xy = k . . .[k = ধ্রুবক]
∴ (xy)¹⁰ = k¹⁰ = ধ্রুবক]

(vi) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।
Ans:   মিথ্যা
[রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4
রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত 80 : 100 = 4 : 5
∴ রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত ≠ রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত]

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(i) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটা ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল, A এর লভ্যাংশ কত?
Solution: A এবং B এর মূলধনের অনুপাত
= 15000 : 45000 = 1 : 3
∴ A এর লভ্যাংশ : B এর লভ্যাংশ = 1 : 3
⇒ ^{A এর লভ্যাংশ}/₃₀₃₀ = ¹/₃
⇒ A এর লভ্যাংশ = 1010
Ans: A এর লভ্যাংশ = 1010 টাকা।

(ii) △ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP=4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB এর মান নির্ণয় কর.।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

$\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}$

⇒ x² = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

প্রদত্ত CD=6সেমি.
∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB=∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
⇒ 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

Solution: tan θ + cot θ = 2
⇒ tan θ + ¹/_{tan θ} = 2
⇒ tan² θ + 1 = 2tan θ
বা, tan² θ – 2tan θ + 1= 0
বা, (tan θ – 1)² = 0
⇒ tan θ – 1 = 0
⇒ tan θ = 1
∴ cot θ = 1
প্রদত্ত রাশি
= tan⁷ θ + cot⁷ θ
= 1⁷ + 1⁷ = 1 + 1 = 2
Ans: tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান 2

(v) x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি হলে, sec θ = ^x/_y হতে পারে কি? উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
Ans: sec θ = ^x/_y হতে পারে।
sec θ = ^x/_y = ^{অতিভুজ}/ _ভূমি
অতিভুজ ≥ ভূমি হয়
অর্থাৎ x ≥ y হবে. . . [যেহেতু x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি]

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

Solution: ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
শর্তানুযায়ী,
2πr₁ : 2πr₂ = 3 : 4
বা, r₁ : r₂ = 3 : 4
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত

$\quad πr_{1}^2h_{1}:πr_{2}^2h_{2}\\=\frac{πr_{1}^2h_{1}}{πr_{2}^2h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}$Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32

(vii) যদি $x_1, x_2, …… x_n$ রাশিগুলির যৌগিক গড় x হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে,$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2$

$Solution:\\\quad \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2=n\bar{x}^2 \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}.n\bar{x}+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x} \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\ (Proved)$

(viii) সুদের হার 5.5% থেকে 6%-এ বৃদ্ধি পেলে কিছু টাকার বার্ষিক সুদ 49.50 টাকা বৃদ্ধি পায়। আসল নির্ণয় কর।
Solution:
সুদের হার 5.5% থেকে বেড়ে 6% হওয়ায়
সুদের বৃদ্ধি হয় (6 – 5.5)% = 0.5%
∴ 0.5 টাকা আয় বেশি হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় বেশি হয় ¹⁰⁰/_0.5 টাকায়
49.50 টাকা আয় বেশি হয় 200×49.50 টাকায়
= 9900 টাকায়
Ans: নির্ণেয় আসল 9900 টাকা

(ix) x² – 4x = K(x – 1) – 5 সমীকরণটির বীজ দুটির সমষ্টি 7 হলে K-এর মান নির্ণয় কর।
Solution: x² – 4x = K(x – 1) – 5
বা, x² – (4 + K)x + K + 5= 0
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ^{(4 + K)}/₁ = 4 + K
প্রশ্নানুযায়ী,
4 + K = 7
বা, K = 3
Ans: K-এর মান 3

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

Solution: (a + b) : √ab = 2 : 1
⇒ ^{(a + b)²}/_ab = ⁴/₁
⇒ (a + b)² = 4ab
বা,(a + b)² – 4ab = 0
বা,(a – b)² = 0
⇒ a – b = 0
⇒ a = b
∴ a : b = a : a = 1 : 1
Ans: a : b = 1 : 1

(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে আয়তন শতকরা কত বাড়বে।

Solution: গোলকের ব্যাসার্ধ r একক হলে আয়তন হবে = ⁴/₃πr³ ঘন একক
গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে ব্যাসার্ধ হবে
= r×¹⁵⁰/₁₀₀ = ^3r/₂ একক
নতুন গোলকের আয়তন হবে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ ঘন একক
আয়তন বৃদ্ধি পারে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ – ⁴/₃πr³
= ⁴/₃πr³(²⁷/₈ – 1)
⇒ ⁴/₃πr³×¹⁹/₈

$=\frac{\frac{4}{3}πr^3×\frac{19}{8}}{\frac{4}{3}πr^3}×100\%$

= ¹⁹/₈×100%
= ^19×25/₂% = ⁴⁷⁵/₂ = 237.5%
Ans: আয়তন 237.5% বাড়বে।

(xii) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ। যদি AD = AB, ∠DAC = 60° এবং ∠BDC = 50° হয় তাহলে ∠ACD এর মান নির্ণয় কর।

Solution: ∠DAC = 60°
∠BDC = 50°
∴ ∠BAC = 50° – – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
∴ ∠DAB = ∠DAC + ∠BAC
= 60° + 50° = 110°
ABD ত্রিভুজের AD = AB
∴ ∠ABD = ∠ADB
= ^{180° – 110°}/₂
= 35°
∠ACD = ∠ABD- – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
= 35°
Ans: ∠ACD এর মান 35°

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% ও দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তাহলে 25,000 টাকার দু বছরের সুদ নির্ণয় কর।
Solution: বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% হলে প্রথম বছরে সুদ হয়
= ^{25,000 × 4 × 1}/₁₀₀ = 1000 টাকা
∴ প্রথম বছরের শেষে সুদাসল
= (25,000 + 1,000) = 26,000 টাকা
আবার বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার দ্বিতীয় বছর 5% হলে দ্বিতীয় বছরে সুদ হয়
= ^{26,000 × 5 × 1}/₁₀₀ = 1300 টাকা
∴ দু বছরের মোট সুদ = (1000 + 1300) = 2300 টাকা
Ans: দু বছরের সুদ 2300 টাকা

(ii) তিনবন্ধু 4,800 টাকা, 6,600 টাকা ও 9,600 টাকা নিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করল। প্রথম জন দেখাশোনার জন্য লাভের ¹/₈ অংশ বেতন হিসাবে পেল এবং বাকি লাভ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল। এক বছর পর প্রথমজন 780 টাকা পেলে বাকি দুজন কত টাকা করে পাবে।

Solution: তিনবন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 4,800 : 6,600 : 9,600
= 48 : 66 : 96 = 8 : 11 : 16
ধরি মোট লাভ হয় x টাকা লাভের ¹/₈ অংশ
= x.¹/₈ = ^x/₈ টাকা
∴ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল
= (x – ^x/₈) = ^7x/₈ টাকা
^7x/₈ টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ⁸/₃₅ = ^x/₅ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹¹/₃₅ = ^11x/₄₀ টাকা এবং তৃতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹⁶/₃₅ = ^2x/₅ টাকা
∴ প্রথম বন্ধু মোট পায়
= (^x/₈ + ^x/₅) = ^{5x + 8x}/₄₀ = ^13x/₄₀ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
^13x/₄₀ = 780
বা, x = 780 × ⁴⁰/₁₃
বা, x = 60 × 40 = 2400
∴ দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ¹¹/₄₀ = 660 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ²/₅ = 960 টাকা
Ans: বাকি দুজন পাবে 660 টাকা এবং 960 টাকা।

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

.Solution:
b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – (bc – ac) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – {b(c – a) + a(b – c)}x + a(b – c) = 0
⇒b(c – a)x² – b(c – a)x – a(b – c)x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x(x – 1) – a(b – c)(x – 1) = 0
⇒(x – 1){b(c – a)x – a(b – c)} = 0
হয় (x – 1) = 0
(x – 1) = 0 হলে x = 1
নতুবা {b(c – a)x – a(b – c)} = 0
{b(c – a)x – a(b – c)} = 0 হলে,
b(c – a)x = a(b – c)
বা, x = ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 বা x= ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

(ii) দুই অংকের একটি সংখ্যার দশকের অঙ্ক এককের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 15 কম। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
Solution: ধরি এককের অঙ্ক x
∴ দশকের অঙ্ক (x – 3)
অতএব সংখ্যাটি হল
= x.1 + (x – 3).10 = 11x – 30
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল
= x(x – 3) = x² – 3x
প্রশ্নানুযায়ী,
x² – 3x = 11x – 30 – 15
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 9x – 5x + 45 = 0
⇒x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
⇒(x – 9)(x – 5) = 0
হয় (x – 9) = 0
(x – 9) = 0 হলে x = 9
∴ সংখ্যাটি হল = 11.9 – 30 = 69
নতুবা (x – 5) = 0
x – 5 = 0 হলে x = 5
∴ সংখ্যাটি হল = 11.5 – 30 = 25
Ans: সংখ্যাটি হল 25 অথবা 69

Click here to visit our Facebook

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(ⅰ) (x³ +y³) ∞ (x³ – y³) হলে, দেখাও যে (x² + y²) ∞ xy.

Solution: (x³ + y³) ∞ (x³ – y³)
⇒ (x³ + y³) = k(x³ – y³). . . [k = Constant]

$⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}= k\\⇒\frac{x^3 + y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\left( \frac{x}{y} \right)^3 = \frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}= \sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}= m$

⇒ x = my

$∴ \frac{x^2+y^2}{xy}\\= \frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\= \frac{y^2(m^2+1)}{my^2}\\=\frac{m^2+1}{m}=Constant\\∴ (x^2+y^2) ∞ xy\quad (Proved)$

(ii) x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1 হলে 3x² – 5xy + 3y² এর মান নির্ণয় কর।

Solution: x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1

$∴ x(2 – √3) = 1\\⇒ x=\frac{1}{2 – √3}\\⇒ x=\frac{(2 + √3)}{(2 – √3)(2 + √3)}\\⇒x=\frac{2 + √3}{4-3}\\⇒x=(2 + √3)\\\quad y(2 + √3) = 1\\⇒ y=\frac{1}{2 + √3}\\⇒ y=\frac{(2 – √3)}{(2 + √3)(2 – √3)}\\⇒y=\frac{2 – √3}{4-3}\\⇒y=(2 – √3)$

∴ x + y = (2 + √3) + (2 – √3) = 4
xy = (2 + √3)(2 – √3) = 4 – 3 = 1
∴ 3x² – 5xy + 3y²
= 3(x² + 2xy + y²) – 11xy
= 3(x + y)² – 11xy
=3(4)² – 11
= 3.16 – 11
= 48 – 11 = 37
Ans: 3x² – 5xy + 3y² এর মান 37

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

$(i)\ \frac{a + b – c}{a + b} = \frac{b + c – a}{b + c} = \frac{c + a – b}{c +a}$ এবং a + b + c = 0 হলে প্রমাণ করো যে, a = b = c

$Solution:\\\quad \frac{a + b – c}{a + b}= \frac{b + c – a}{b + c}= \frac{c + a – b}{c + a}\\⇒1 – \frac{c}{a + b}= 1 – \frac{a}{b + c}= 1 – \frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}=\frac{a}{b + c}=\frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}+1=\frac{a}{b + c}+1=\frac{b}{c + a}+1\\⇒\frac{c + a + b}{a + b}= \frac{a + b + c}{b + c}= \frac{b + c + a}{c + a}\\⇒\frac{1}{a + b}=\frac{1}{b + c}=\frac{1}{c + a}. . . [∵ a + b + c ≠ 0]$

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
⇒ a = c . . . (i)
b + c = c + a
⇒ b = a . . . (ii)
(ii) ও (ii) থেকে পাই,
∴ a = b = c (Proved)

$(ii)\ x = \frac{8ab}{a+b}$ হলে, $\frac{x + 4a}{x – 4a} +\frac{ x + 4b}{x – 4b}$ এর মান নির্ণয় কর।

$Solution:\\\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}$আবার$\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}$

$∴\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\\=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\\=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\\=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\\=\frac{2b-2a}{b-a}\\=\frac{2(b-a)}{b-a}=2$

$Ans: \frac{x + 4a}{x – 4a}+\frac{x + 4b}{x – 4b}$ এর মান 2

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) প্রমাণ কর কোন বৃত্তের একটি বৃত্ত চাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ চাপের দ্বারা গঠিত যে কোন বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
Ans:

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOB = 2∠ACBঅঙ্কনঃ C, O যুক্ত করে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।
প্রমাণঃ △AOC-এর OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OAC = ∠OCA
আবার, △AOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠AOD = ∠OAC + ∠OCA
              = 2∠OCA . . (i) . . [∠OAC = ∠OCA]
আবার△BOC-এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OBC = ∠OCB
     △BOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠BOD = ∠OBC + ∠OCB
              = 2∠OCB . . (ii) . . [∠OBC = ∠OCB]
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
      ∠AOD + ∠BOD = 2∠OCA + 2∠OCB
বা, ∠AOB = 2(∠OCA + ∠OCB)
বা, ∠AOB = 2∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB (প্রমাণিত)

(ii) প্রমাণ কর যে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরল রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
Ans:

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B = 90^o; AB = BC BD : CD = AB : AC

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{AB^2+BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{BC^2+BC^2}}…[ ∵AB=BC]\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2}.BC}\\\quad =\frac{1}{\sqrt{2}}\\∴ CD=\sqrt{2}BD\\⇒CD^2=2BD^2\quad (Proved)$

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

স্বীকারঃ ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ OA² + OC² = OB² + OD²
অঙ্কন: O বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা AB ও DC বাহুন্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
এবং PQ || BC (অঙ্কনানুসারে)
∴ PQ ⊥ AB এবং PQ ⊥ DC
∴ ΔΑΡΟ, ΔΒΡΟ, ΔCQO এবং ΔDQO প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ।
ΔΑΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OA² = OP² + PA²
ΔBΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OB² = OP² + PB²
ΔCQO-এর ক্ষেত্রে,
OC² = OQ² + QC²
এবং ΔDQO-এর ক্ষেত্রে,
OD² = OQ² + QD²
APQD ও BPQC এরা প্রত্যেকে আয়তক্ষেত্র।
∴ PA = QD এবং PB = QC
OA² + OC²
= OP² + PA² + OQ² + QC²
= OP² + QD² + OQ² + PB²
. . .[∵ PA = QD; PB = QC]
= OQ² + QD² + OP² + PB²
= OB² + OD²[প্রমাণিত]

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) △ABC এর ভূমি BC = 6 সেমি, ∠ABC = 60° ও AB = 8 সেমি। ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

(ii) 6 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন কর।

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

Solution: ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4
∴ ত্রিভুজের একটি কোণ 2x^c হলে অপর কোণ দুটি হবে 3x^c এবং 4x^c
∴ 2x + 3x + 4x = π
বা, 9x = π
বা, x = ^π/₉
∴ বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4×^π/₉^c = ^4π/₉^c
Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান ^4π/₉^c

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

$Solution: tan θ = \frac{4}{3}\\∴sec θ = \sqrt{1 + tan^2 θ}\\=\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}\\ =\sqrt{\frac{9 + 16}{9}} = \frac{5}{3}\\∴ cos θ = \frac{3}{5}\\ sin θ = \sqrt{1 – cos^2 θ}\\\quad = \sqrt{1 – \left( \frac{3}{5} \right)^2}= \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \frac{4}{5}$

∴ sin θ + cos θ
= ⁴/₅ + ³/₅ = ⁷/₅
Ans: sin θ + cos θ এর মান ⁷/₅

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।

Solution: A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
∴ A + B = 90°
⇒ A = 90° – B
L.H.S
= (sin A + cos A)²
= sin² A + cos² A + 2.sin A . cos A
=sin² A + cos² A + 2sin A . cos(90° – B)
= 1 + 2sin A sin B = R.H.S (Proved)

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একটি বাড়ীর ছাদ থেকে একটি ল্যাম্পপোষ্টের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও θ°। বাড়ী ও ল্যাম্পপোষ্টের উচ্চতার অনুপাত 3:2 হলে θ র মান নির্ণয় কর।
Solution:

চিত্রে, AB বাড়ী এবং CD ল্যাম্পপোষ্ট।
এখানে ∠EBD = ∠BDF = 30°. এবং
∠EBC = ∠BCA = θ
আবার ^AB/_CD = ³/₂
∴ CD = ²/₃ AB
BFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BF/_FD = tan 30° = ¹/_√3
⇒ FD = √3BF
BAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan θ = ^AB/_AC
⇒ tan θ = ^AB/_FD . . [∵ FD = AC]
⇒ tan θ = ^AB/_√3BF
⇒tan θ = ^AB/_{√3(AB – AF)}
⇒ tan θ = ^AB/_{√3(AB – CD)}
⇒ tan θ.√3(AB – ²/₃ AB) = AB
⇒ tan θ.√3AB(1 – ²/₃) = AB
⇒ tan θ.√3.¹/₃ = 1
⇒ tan θ.¹/_√3 = 1
⇒ tan θ = √3 = tan 60°
∴ θ = 60°
Ans: θ র মান 60°

(ii) একটি টিলার পাদদেশ থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° টিলার দিকে 30° ঢাল বেয়ে 100 মিটার যাওয়ার পর উন্নতি কোণ হয় 60°, টিলাটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
Solution:

ধরি, CF = h মিটার
এখানে BC হল টিলা
AE = 100 মিটার
∠CAD = 45°
∠EAD = 30°
∠CFE = 60°
ADE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^ED/_AE = sin 30°
⇒ ^ED/₁₀₀ = ¹/₂
⇒ ED = 50
আবার
   ^AD/_AE = cos 30°
⇒ ^AD/₁₀₀ = ^√3/₂
⇒ AD = 50√3
CFE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^CF/_EF = tan 60°
⇒ ^h/_EF = √3
⇒ EF = ^h/_√3
∴ AB = AD + DB
          = 50√3 + ^h/_√3
          = ^{150 + h}/_√3
BC = BF + CF
        = 50 + h . . [∵ BF = ED] . . (i)
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^BC/_AB = tan 45° = 1
⇒ BC = AB
⇒ 50 + h = ^{150 + h}/_√3
⇒50√3 + √3h = 150 + h
⇒ √3h – h = 150 – 50√3
⇒ h(√3 – 1) = 50√3(√3 – 1)
∴ h = 50√3
(i) নং থেকে পাই,
BC = 50 + 50√3
        = 50(1 + √3)
Ans: টিলাটির উচ্চতা 50(1 + √3) মিটার

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি নিরেট আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2 এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 468 বর্গসেমি, আয়তঘনকের আয়তন নির্ণয় কর।

Solution: আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2
আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য 4x সেমি হলে প্রস্থ ও উচ্চতা হবে যথাক্রমে 3x সেমি এবং 2x সেমি
∴ আয়তঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(4x.3x + 3x.2x + 2x.4x) বর্গসেমি
=2(12x² + 6x² + 8x²)
= 52x² বর্গসেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
52x² = 468
বা, x² = 9
বা, x = ±3
∴ x = 3 . . [x > 0]
∴ আয়তঘনকের আয়তন
= 4x.3x.2x
= 24.x³
=24.3³
=24.27
= 648 ঘন সেমি
Ans: আয়তঘনকের আয়তন 648 ঘন সেমি

(ii) 20 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ ও বহিব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4 সেমি ও 5 সেমি। ঐ চোঙটিকে গলিয়ে চোঙের এক তৃতীয়াংশ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরী করা হল, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস নির্ণয় কর।

Solution: ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ(r) = 4 সেমি,
বহিব্যাসার্ধ(R) = 5 সেমি
এবং উচ্চতা(h) = 20 সেমি
∴ ফাঁপা চোঙের আয়তন
= π(R² – r²)h
= π(5² – 4²).20
=π(25 – 16).20
= 180π ঘন সেমি
ধরি নির্ণেয় শঙ্কুর ব্যাসার্ধ x সেমি
এখানে শঙ্কুর উচ্চতা = ¹/₃.20 সেমি
∴ শঙ্কুর আয়তন = ¹/₃.π.r².¹/₃.20
∴ ¹/₃.π.r².¹/₃.20 = 180π
বা, r² = 9.3.3
বা, r = ±9
∵ r > 0
∴ r =9
⇒2r = 18
Ans: শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 18 সেমি

(iii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্র জলপূর্ণ আছে। ঐ জল 3 সেমি ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা হল কতগুলি বোতল জলপূর্ণ হবে?

Solution: 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্রে জল আছে
= ²/₃π9³
= 2π.3.81 ঘন সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ ³/₂ সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= π(³/₂)².4
= π.⁹/₄.4 = 9π ঘন সেমি
অর্ধগোলাকার পাত্রের জল দিয়ে চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা যাবে
= ^2π.3.81/_9π বা 54 টি।
Ans: 54 টি বোতল জলপূর্ণ হবে।

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(i) নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় কর:

শ্রেণী পরিসংখ্যা	5-14	15-24	25-34	35-44	45-54	55-64
ছাত্রসংখ্যা	3	6	18	20	10	3

Solution: প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:
ধরি, কল্পিত গড় 39.5

বয়স (বছর)	শ্রেণী সীমানা	রোগীর সংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	f_id_i
5-14	4.5-14.5	3	9.5	-30	-90
15-24	14.5-24.5	6	19.5	-20	-120
25-34	24.5-34.5	18	29.5	-10	-180
35-44	34.5-44.5	20	39.5=a	0	0
45-54	44.5-54.5	10	49.5	10	100
55-64	54.5-64.5	3	59.5	20	60
মোট		Σf_i=60			Σf_id_i=-230

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় $\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\\ =39.5+\frac{-230}{60}\\\ =39.5-\frac{23}{6}\\\ =39.5-3.83\\\ =35.67$Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 35.67

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

শ্রেণী	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	14	10	12	4

Solution: প্রদত্ত তথ্যের বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল –

শ্রেণি	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক)
100 বা 100-এর বেশি	8+14+10+12+4=48
120 বা 120-এর বেশি	48-8=40
140 বা 140-এর বেশি	40-14=26
160 বা 160-এর বেশি	26-10=16
180 বা 180-এর বেশি	16-12=4

ছক কাগজের x -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক এবং y -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক ধরে (100, 48), (120, 40), (140, 26), (160, 16), (180, 4) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং একটি বক্ররেখা বা ওজাইভ (বৃহত্তর সূচক) পেলাম।

Madhyamik -26 Mathematics Solution

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করোঃ-

প্রাপ্ত নম্বর	10 এর কম	20 এর কম	30 এর কম	40 এর কম	50 এর কম	60 এর কম
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	15	29	42	60	70

Solution: প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	8
10 – 20	15 – 8 = 7
20 – 30	29 – 15 = 14
30 – 40	42 – 29 = 13
40 – 50	60 – 42 = 18
50 – 60	70 – 60 = 10

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 18
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 40 – 50
এখানে, l = 40; f₀ = 13;
f₁ = 18; f₂ = 10
h = 50 – 40 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

$= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=40+\frac{18-13}{2×18-13-10}×10\\=40+\frac{5}{13}×10\\=40+\frac{50}{13}$

= 40 + 3.846 (প্রায়)
= 43.35 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 43.35

MP 2026 English Solution

February 22, 2026

Madhyamik -25 Mathematics Solution

মাধ্যমিক ২৫ গণিত সমাধান

Madhyamik -25 Mathematics Solution

2025
MATHEMATICS
Time – 3 Hours 15 Minutes

First 15 minutes for reading the question paper only)
Full Marks – 90 – For Regular Candidates
100 – For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and had handwriting

[ 1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জনা প্রয়োজনবোধে গননা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গগনার প্রয়োজনে π-এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 7 নং পৃষ্ঠায়]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 8 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে]

2024 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল –

বাংলা (Bengali) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

ইতিহাস (History) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান — Complete Solution of MP Math

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) উর্দ্ধক্রমে সাজানো 27, 31, 46, 52, x, y+2, 71, 79, 85, 90 রাশি তথ্যের মধ্যমা 64 হলে x + y – এর মান –
(a) 125. (b) 126 (c) 127 (d) 128
Ans: (b) 126
[মোট পদ সংখ্যা টি
∴ মধ্যমা 5-তম এবং 6-তম পদের গড়
= ^{x + y + 2}/₂
∴ ^{x + y + 2}/₂ = 64
⇒ x + y + 2 = 128
⇒ x + y = 126]

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ সমান এবং এদের আয়তনও সমান। চোঙটির উচ্চতা অপেক্ষা অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা শতকরা কত বেশী?
(a) 25% (b) 50% (c) 100% (d) 200%
Ans: (b) 50%
[লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ = r
ধরি চোঙটির উচ্চতা h
অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা = ব্যাসার্ধ = r
∴ πr²h = ²/₃πr³
⇒ r = ³/₂h
∴ অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা বেশী
= r – h
= ³/₂h – h =
= ^h/₂ = ^h/₂× 100%
= h× 50%]

(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য secθ, 1 এবং tanθ, (θ ≠ 90°) হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোনের মান –
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90°
Ans: (d) 90°
[∵ sec²θ = 1 + tan²θ
∴ ত্রিভুজটির সমকোণী ত্রিভুজ]

(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB একটি ব্যাস। AC জ্যা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে ∠OCB -এর মান হবে –
(a) 20° (b) 30° (c) 40° (d) 50°

Ans: (b) 30°
[∠COA = 60°
∴ ∠OCA =∠OAC – – – – [∵ OA = OC]
= ^{180° – 60°}/₂ = 60°
∠OCB
= ∠ACB – ∠ACO
= 90° – 60° = 30°]

(v) a : 2 = b : 5 হলে a, b – এর কত % এর সমান হবে –
(a) 20 (b) 30 (c) 40 (d) 50
Ans: (c) 40
[a : 2 = b : 5
⇒ a = ^2b/₅
⇒ a= ^2b/₅× 100% = b×40%]

(vi) বার্ষিক X% সরল সুদের হারে Y টাকার Z মাসের সুদ হবে-
(a) ^XYZ/₁₂₀₀ (b) ^XYZ/₁₀₀ (c) ^XYZ/₂₀₀ (d) ^XYZ/₁₂₀
Ans: (a) ^XYZ/₁₂₀₀
[I = ^prt/₁₀₀
⇒ I = ^YXZ/_12×100 = ^XYZ/₁₂₀₀]

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) (p + q) সংখ্যক সংখ্যার গড় x, এর মধ্যে p সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে, অবশিষ্ট q সংখ্যক সংখ্যার গড় হবে ___________।
Ans: ^{px + qx – p y}/_q
[(p + q) সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি =(p + q)× x
p সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = p ×y
q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = (p + q)x – p y
q সংখ্যক সংখ্যার গড় = ^{px + qx – p y}/_q]

(ii) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন ___________।
Ans: ¹/₃πr³

(iii) যদি sin²θ + 2xcos²θ = 1 হয়, তবে x-এর মান হবে ___________।
Ans: ¹/₂
[sin²θ + 2xcos²θ = 1
⇒ 2xcos²θ = 1 – sin²θ
⇒ 2xcos²θ = cos²θ
∴ 2x = 1
∴ x = ¹/₂]

(iv) একই তলে অবস্থিত দুটি বৃত্তের 3 টি সাধারণ স্পর্শক হলে বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ___________ করবে।
Ans: বহিঃস্পর্শ

(v) যদি x(4 – √3) = y(4 + √3) = 1 হয়, তাহলে x² + y² -এর মান হবে ___________।
Ans: ³⁸/₁₆₉
[x(4 – √3) = y(4 + √3) = 1
∴ x = ¹/_{4 – √3}
⇒ x = ^{4 + √3}/_{(4 – √3)(4 + √3)}
⇒ x= ^{4 + √3}/_{16 – 3} = ^{4 + √3}/₁₃
আবার y = ¹/_{4 + √3}
⇒ y = ^{4 – √3}/_{(4 + √3)(4 – √3)}
⇒ x= ^{4 – √3}/_{16 – 3} = ^{4 – √3}/₁₃
∴ x² + y²
= (^{4 + √3}/₁₃)² + (^{4 – √3}/₁₃)²
= ¹/₁₆₉[(4 + √3)² + (4 – √3)² ]
⇒ ¹/₁₆₉[2{(4)² + (√3)² }]
= ¹/₁₆₉[2(16 + 3) ]
= ³⁸/₁₆₉]

(vi) একটি বাবসায় পিন্টু আমনের 1¹/₂ গুণ টাকা দিয়েছিল এবং ডেভিড, আমনের 2¹/₂ গুণ টাকা দিয়েছিল। আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত হবে ___________।
Ans: 2 : 3 : 5
[ধরি আমন দেয় x টাকা
∴ পিন্টু দেয় = x.1¹/₂ = ^3x/₂ টাকা
ডেভিড দেয় = x.2¹/₂ = ^5x/₂ টাকা
∴ আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= x : ^3x/₂ : ^5x/₂
= 1 : ³/₂ : ⁵/₂ = 2 : 3 : 5]

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) সংখ্যাগুরু মান = 2×মধ্যমা – 3×যৌগিক গড়।
Ans: মিথ্যা

(ii) শঙ্কুর আয়তন x, ভূমির ক্ষেত্রফল y এবং উচ্চতা z হলে ^x/_yz এর মান 3 হবে।
Ans: মিথ্যা
[ধরি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r
এবং উচ্চতা z
∴ x = ¹/₃πr²z
y = πr²
∴ ^x/_yz
= ^1/₃πr2z/_πr².z = ¹/₃]

(iii) 0° < θ < 90° হলে sinθ < sin²θ হবে।
Ans: মিথ্যা
[ 0° < θ < 90°
⇒ sin0° < sinθ < sin90°
⇒ 0 < sinθ < 1
∴ sinθ < 1
⇒ sinθ .sinθ < 1.sinθ – – – – – [sinθ > 0]
⇒ sin²θ < sinθ

(iv) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADB = x° এবং ∠ABD = y° হলে, ∠BCD এর মান হবে (x + y)°
Ans: সত্য

[∠ADB = x° এবং ∠ABD = y°
∴ ∠DAB = 180° – x° – y°
আবার ∠DCB + ∠DAB = 180°
বা ∠DCB = 180° – ∠DAB
বা ∠DCB = 180° – 180° + x° + y°
∴ ∠DCB = x° + y°]

(v) 6x² + x + k = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি ²⁵/₃₆ হলে, k-এর মান হবে 12
Ans: মিথ্যা
[6x² + x + k = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,
α + β = –¹/₆
αβ = ^k/₆
∴ α² + β² = (α + β)² – 2αβ
বা α² + β² = (-¹/₆ )² – 2.^k/₆
বা α² + β² = ¹/₃₆ -.^k/₃
প্রশ্নানুযায়ী,
¹/₃₆ -.^k/₃ = ²⁵/₃₆
⇒ 1 – 12k = 25
⇒ – 12k = 24
∴ k= -2]

(vi) একটি যৌথ ব্যবসায় দুই বন্ধুর মধ্যে একজন xyz টাকা y মাসের জন্য এবং অপরজন y²z টাকা x মাসের জন্য নিয়োজিত করে। চুক্তির শেষে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে x : y
Ans: মিথ্যা
[ প্রথম ও দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= xyz.y : y²z.x = xy²z : xy²z = 1 : 1
∴ তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে 1 : 1]

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10= 20

(i) প্রথম (2n + 1) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা হলো ^{(n + 103)}/₃, n -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
2n + 1 একটি অযুগ্ম সংখ্যা
∴ প্রথম (2n + 1) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা হলো
= ^{2n + 1 +1}/₂ =n + 1
প্রশ্নানুযায়ী
n + 1= ^{(n + 103)}/₃
বা 3n + 3= n + 103
বা 2n = 100
বা n = 50
Ans: n -এর মান 50

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কতো?
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
∴ r₁ : r₂ = 2 : 3 এবং
h₁ : h₂ = 5 : 3
তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$$\large{=2πr_{1}h_{1}:2πr_{2}h_{2}\\=\frac{2πr_{1}h_{1}}{2πr_{2}h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{2}{3}\right)×\left(\frac{5}{3}\right)\\=\frac{10}{9}\\=10:9}$$

(iii) একটি আয়তঘনের ধারগুলির সংখ্যা x. তলগুলির সংখ্যা y হলে, ‘a’ এর সর্বনিম্ন মান কতো হলে (x + y + a) একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
Solution:
আয়তঘনের ধারগুলির সংখ্যা x= 12 এবং তলগুলির সংখ্যা y =6
∴ x + y =12+6=18
18 এর সঙ্গে 7 যোগ করলে 25 বা (5)² হয় যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
Ans: ‘a’ এর সর্বনিম্ন মান 7

(iv) cos⁴θ – sin⁴θ = ²/₃ হলে, 1 – 2sin²θ এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
cos⁴θ – sin⁴θ = ²/₃
বা (cos²θ)² – (sin^²θ)² = ²/₃
বা (cos²θ + sin^²θ)(cos²θ – sin^²θ) = ²/₃
⇒ 1.(cos²θ – sin^²θ) = ²/₃
⇒ 1 – sin²θ – sin^²θ = ²/₃
বা 1 -2sin^²θ = ²/₃
Ans: 1 – 2sin²θ এর মান ²/₃

(v) sin(θ + 30°) = cos15° হলে, cos 2θ এর মান কতো।
Solution:
sin(θ + 30°) = cos15°
বা sin(θ + 30°) = sin(90° – 15°) = sin75°
বা θ + 30° = 75°
∴ θ = 75° – 30° = 45 °
cos 2θ = cos 2.45 ° = cos90° = 0
Ans: cos 2θ এর মান 0

(vi) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি। OC এর দৈর্ঘ্য নির্নয় করো।
Solution:
এখানে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.
ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু।
∴ AO² + OC² = BO² + OD²
∴ 5² + OC² = 6² + 8²
বা, OC² = 36 + 64 – 25
বা, OC² = 100 – 25 = 75
∴ OC = √75 = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.

(vii) O-কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PS ও PT দুটি স্পর্শক টানা হল। QS বৃত্তের একটি জ্যা যেটি PT এর সমান্তরাল। ∠SPT = 80° হলে ∠QST এর মান কতো?
Ans:

∠QST = ∠PTS – – – – [∵ PS ∥ PT এবং ST ভেদক]
আবার SP = TP
∴ ∠PTS = ∠PST
△ PTS এর ক্ষেত্রে,
∠PTS + ∠PST + ∠SPT = 180°
বা ∠PTS + ∠PTS + 80° = 180° – – – – [∵ ∠SPT = 80°]
বা 2∠PTS = 100°
∴ ∠PTS = 50°
∴ ∠QST = 50°
Ans: ∠QST এর মান 50°

(viii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 27 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কতো হবে নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত 27ঃ16
∴ তাদের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য-এর অনুপাতও সমান হবে।
ধরি দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
∴ 9 : x = 27: 16
বা 1 : x = 3: 16
বা x = ¹⁶/₃ = 5¹/₃
Ans: দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 5¹/₃ সেমি

(ix) x ∝ √y এবং y = a² যদি x = 2a হয় তাহলে ^x2/ _y এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
x ∝ √y
বা x =k√y – – – – – [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
y = a² হয় যখন x = 2a
∴ 2a = k√a²
বা 2a = ka
বা k = 2
∴ x =2√y
বা x² =4y
বা ^x2/ _y =4
Ans: ^x2/ _y এর মান 4

(x) ^x/₂ = ^y/₃= ^z/₄ হলে ^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)} এর মান কতো?
Solution:
ধরি ^x/₂ = ^y/₃= ^z/₄ = k
∴ x = 2k;
y = 3k;
x = 4k
^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)}
= ^{(3.2k + 4.3k + 8,4k)}/_{(2k + 3.3k)}
= ^{(6k + 12k + 32k)}/_{(2k + 9k)}
⇒ ^50k/_11k
⇒ ⁵⁰/₁₁
Ans: ^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)} এর মান ⁵⁰/₁₁

(xi) কোনো ব্যবসায় A ও B এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2, লাভের 5% দান করার পর B এর লাভ 798 টাকা হলে, মোট লাভ কতো?
Solution:
ধরি মোট লাভ x টাকা
লাভের 5% দান করার পর লভ্যাংশ থাকে
= x – x.⁵/₁₀₀
= x – ^x/₂₀ = ^19x/₂₀ টাকা
A ও B এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2 হলে,
B এর লাভ = ^19x/₂₀ . ²/₅ = ^19x/₅₀
প্রশ্নানুযায়ী,
^19x/₅₀ = 798
বা x = 798 . ⁵⁰/₁₉
বা x = 42.50 = 2100
Ans: মোট লাভ 2100 টাকা

(xii) বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5%, হলে এক ব্যক্তির প্রাপা বার্ষিক সুদ 250 টাকা কম হয়। মূলধন কতো?
Solution:
বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5%, হলে,
1 টাকা সুদ কমে 100 টাকায়
250 টাকা সুদ কমে 100×250 বা 25000 টাকায়
Ans: মূলধন 25000 টাকা

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) কোনো যৌথ ব্যবসায়ে সমর ও মহিমের প্রত্যেকের মূলধন 20,000 টাকা। 6 মাস পরে সমর আরও 5,000 টাকা দিল কিন্তু মহিম 5,000 টাকা তুলে নিল। যদি বৎসরান্তে 32,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তবে তাদের প্রত্যেকের লভ্যাংশ নির্ণয় করো

Solution:
1 মাস হিসাবে সমর ও মহিমের মূলধনের অনুপাত
= [20000×6 + (20000 + 5000)×6] : [20000×6 + (20000 – 5000)×6]
= [120000 + 25000×6] : [120000 + 15000×6]
⇒ [120000 + 150000] : [120000 + 90000]
⇒ 270000 : 210000
= 27 : 21 = 9 : 7
∴ বৎসরান্তে 32,000 টাকা লাভ হলে,
সমরের লভ্যাংশ = 32,000×⁹/₉₊₇
= 32,000×⁹/₁₆
= 2000×9 = 18000 টাকা
মহিমের লভ্যাংশ = 32,000×⁷/₁₆
= 2000×7 = 14000 টাকা
Ans: সমরের লভ্যাংশ 18000 টাকা
মহিমের লভ্যাংশ 14000 টাকা

(ii) 21,866 টাকাকে এমন দুটি অংশে ভাগ করো, যাতে প্রথম অংশের 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি, দ্বিতীয় অংশের 5 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধির সমান হয়, যেখানে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%।

Solution:
ধরি প্রথম অংশ x টাকা
∴ দ্বিতীয় অংশ (21,866 – x) টাকা
প্রথম অংশ x টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

$\Large{=x×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{3}\\=x×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{3}\\=x×\left ( \frac{20+1}{20} \right )^{3}\\=x×\left ( \frac{21}{20} \right )^{3}}$

দ্বিতীয় অংশ (21,866 – x) টাকার 5 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

$\Large{=(21,866 – x)×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( \frac{20+1}{20} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{5}}$

প্রশ্নানুযায়ী,

$\Large{ x×\left ( \frac{21}{20} \right )^{3}=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{5}\\⇒ x=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{2}\\⇒x=(21,866 – x)× \frac{441}{400} }$

⇒ 400x = (21,866 – x)×441
⇒ 400x + 441x = 21,866×441
বা, 841x = 21,866×441
বা x = 26×441 =11466
∴ 21,866 – 11466 = 10400
Ans: অংশ দুটি হল 11466 টাকা ও 10400 টাকা ।

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) 16 কে এরূপ দুই অংশে বিভক্ত করো যেন বৃহত্তর অংশের বর্গের দ্বিগুণ ক্ষুদ্রতর অংশের বর্গের চেয়ে 164 বেশী
Solution:
ধরি বৃহত্তর অংশ x
∴ অপর অংশ (16 – x)
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – (16 – x)² = 164
বা 2x² – 256 + 32x – x² – 164 = 0
বা x² + 32x – 420 = 0
⇒ x² + 42x – 10x – 420 = 0
⇒ x(x + 42) – 10(x + 42) = 0
বা (x + 42)(x – 10) = 0
হয় x + 42 = 0 নতুবা x – 10 = 0
x + 42 = 0 হলে, x = – 42
∴ 16 – x = 16 + 42 = 58 > 16 যা সম্ভব নয়।
x – 10 = 0 হলে x = 10
∴ 16 – x = 16 – 10 = 6
Ans: অংশ দুটি হল 10 ও 6

(ii) সমাধান করো :

$$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=2\frac{1}{2}\quad (x ≠ 3, -3)$$সমাধানঃ $$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=2\frac{1}{2}\\⇒a+\frac{1}{a}=2\frac{1}{2} – – – – \left[\frac{x+3}{x-3}=a\right]\\⇒\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{5}{2}$$

বা, 2a² + 2 = 5a
বা, 2a² – 5a + 2 = 0
⇒ 2a² – 4a – a + 2 = 0
⇒ 2a(a – 2) -1( a – 2) = 0
বা, (a – 2)(2 a – 1) = 0
হয় a – 2 = 0 নতুবা 2 a – 1 – 0
বা a – 2 বা, a = ¹/₂
বা, ^{x + 3}/_{x – 3} = 2 বা ^{x + 3}/_{x – 3} = ¹/₂
⇒ 2x – 6 = x + 3 বা 2x + 6 = x – 3
বা, x = 9 বা x = – 9
নির্ণেয় সমাধান x= 9 বা -9

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) যদি (x³ – ¹/_y³) ∝ (x³ + ¹/_y³) হয়, তবে দেখাও যে, x ∝ ¹/_y

Solution:
(x³ – ¹/_y³) ∝ (x³ + ¹/_y³)
বা (x³ – ¹/_y³) = k(x³ + ¹/_y³) – – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা x³ – kx³ = ^k/_y³ + ¹/_y³
⇒ x³(1 – k) = ¹/_y³ (k + 1)
বা x³ = ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ¹/_y³
বা x³ = ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ¹/_y³ – – –
– – [k একটি ধ্রুবক
∴ ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ও একটি ধ্রুবক
ধরি, ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} = m³
∴ x³ = ^m³. ¹/_y³
বা, x³ ∝ ¹/_y³
বা, x ∝ ¹/_y [প্রমানিত]

(ii) যদি$\Large{\quad x=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$হয়, তবে $\Large{\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}+\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}}$ এর মান নির্ণয় করো

$\Large{Solution: \\\quad x=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{4.5.3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{20}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x}{\sqrt{20}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$আবার

$\Large{\quad x=\frac{2\sqrt{4.5.3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{5}\sqrt{12}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$

$\Large{\therefore \frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}+\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒2 } $

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

(i) যদি (b + c – a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2 হয়, তবে প্রমাণ করো যে (¹/_x + ¹/_y)(¹/_y + ¹/_z)(¹/_z + ¹/_x ) = abc
Solution:
(b + c – a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2
∴ (b + c – a)x = 2
⇒ ^{b + c – a}/₂ = ¹/_x
(c + a – b)y = 2
⇒ ^{c + a – b}/₂ = ¹/_y
(a + b – c)z = 2
⇒ ^{a + b – c}/₂= ¹/_z
L.H.S.
(¹/_x + ¹/_y)(¹/_y + ¹/_z)(¹/_z + ¹/_x )
= (^{b + c – a}/₂ + ^{c + a – b}/₂)(^{c + a – b}/₂ + ^{a + b – c}/₂)(^{a + b – c}/₂ + ^{b + c – a}/₂)
= (^{b + c – a+c+a-b}/₂)(^{c + a – b+a+b-c}/₂)(^{a + b – c+b+c-a}/₂)
⇒ ^2c/₂ × ^2a/₂ × ^2b/₂
⇒ abc = R.H.S. (Proved)

(ii) $\Large{\quad\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}}$হলে, তবে $\Large{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$ এর মান নির্ণয় করো

$\Large{Solution: \\\quad \quad\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}\\⇒\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{a+2}{a-2}\right)^2\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{(a+2)^2-(a-2)^2}{(a+2)^2+(a-2)^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4ab}{2(a^2+2^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2ab}{a^2+4}\quad Ans }$

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক – প্রমাণ করো।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রামাণ্য বিষয়: (i) ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ
(ii) ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
অঙ্কন: A, O এবং C, O যোগ করা হল।
প্রমাণ: ABC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠AOC = 2∠ADC
∴ ∠ADC = ¹/₂∠AOC – – – – (i)
আবার ADC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
∴ ∠ABC = ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠ADC + ∠ABC = ¹/₂∠AOC + ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC
= ¹/₂(∠AOC + প্রবৃদ্ধ∠AOC)
= ¹/₂×4 সমকোণ
= 2 সমকোণ
অনুরূপে B. O এবং D, O যোগ করে প্রমাণ করা যায় ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]
∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ[প্রমাণিত]

(ii) পিথাগোরাসের উপপাদ্য বিবৃত করো এবং প্রমাণ করো।
Ans:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
স্বীকার: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ।
প্রামাণ্য বিষয় : BC² = AB² + AC²
অঙ্কন: সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
△ABD ও △CBA সদৃশ।
∴ ^AB/_BC = ^BD/_AB
বা, AB² = BC.BD – – – – (i)
আবার, △CAD ও △CBA সদৃশ।
∴ ^AC/_BC = ^DC/_AC
বা, AC² = BC.DC – – – – (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
AB² + AC² = BC.BD + BC.DC
⇒ AB² + AC² = BC(BD + DC)
⇒ AB² + AC² = BC.BC = BC²
∴ AB² + AC² = BC² [প্রমাণিত]

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস, বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু P থেকে PN, AB এর উপর একটা লম্ব টানা হল। জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে PB² = AB.BN
Ans:

প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB অর্ধবৃত্তস্থ কোন।
∴ ∠APB = 90°
△APB এবং △PBN এর মধ্যে,
∠APB = ∠PNB – – – [প্রতিটি 1 সমকোণ]
∠ABP = ∠NBP – – – [একই কোণ]
অবশিষ্ট ∠BAP =অবশিষ্ট ∠BPN
∴ △APB ও △PBN সদৃশকোনী ত্রিভুজ।
সদৃশকোনী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতি হয়।
∴ ^AB/_PB = ^PB/_BN
⇒ PB² = AB.BN (Proved)

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ‘O’ এবং OD⊥BC হলে প্রমাণ করো ∠BOD = ∠BAC.
Ans:

অঙ্কন: OB ও OC যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △BOD এবং △COD এর মধ্যে,
OB = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্দ্ধ]
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD ⊥ BC]
OD সাধারণ বাহু।
∴ △BOD ≅ △COD
∠BOD = ∠COD – – – [∴ অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOD = ¹/₂ ∠BOC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC
∠BOD = ¹/₂ ∠BOC – – – [পূর্বে প্রমাণিত]
বা, ∠BOD = ¹/₂×2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [প্রমাণিত]

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 2√3 এর মান নির্ণয় করো।
Ans:

(ii) 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো। ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।
Ans:
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

12 যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) যদি $\Large{sinx=msiny}$ এবং ,$\Large{tanx=ntany}$ তবে দেখাও যে $\Large{cos^2x=\frac{m^2-1}{n^2-1}}$

Ans:
sinx = msiny
বা, sin²x = m²sin²y
বা, sin²y = ^sin²x/_m²
আবার
tanx = ntany
বা, tan²x = n²tan²y

$⇒tan^2x=\frac{n^2sin^2y}{cos^2y}\\⇒tan^2x=\frac{n^2sin^2y}{1-sin^2y}\\⇒tan^2x=\frac{n^2\frac{sin^2x}{m^2}}{1-\frac{sin^2x}{m^2}}\\⇒\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{n^2sin^2x}{m^2}×\frac{m^2}{m^2-sin^2x}\\⇒\frac{1}{cos^2x}=\frac{n^2}{m^2-sin^2x}\\⇒n^2cos^2x = m^2-sin^2x \\⇒n^2cos^2x = m^2- 1 + cos^2x\\⇒n^2cos^2x-cos^2x = m^2-1\\⇒cos^2x(n^2-1) = m^2- 1\\⇒cos^2x=\frac{m^2-1}{n^2-1}\quad (Proved)$

(ii) tanθ = ⁵/₇ হলে ^{5sinθ + 7cosθ}/_{7sinθ + 5cosθ} এর মান নির্ণয় করো।
Ans:
tanθ = ⁵/₇
বা,^sinθ/_cosθ = ⁵/₇
বা, ^sinθ/₅ = ^cosθ/₇ = k (ধরি)
∴ sinθ = 5k ;
cosθ = 7k
প্রদত্ত রাশি
= ^{5sinθ + 7cosθ}/_{7sinθ + 5cosθ}
= ^{5×5k + 7×7k}/_{7×5k + 5×7k}
⇒ ^{25k + 49k}/_{35k + 35k}
= ^74k/_70k
= ³⁷/₃₅ = 1 ²/₃₅
উত্তরঃ নির্ণেয় মান 1 ²/₃₅

(iii) একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপের অনুপাত 5 : 2। চাপ দুটি কেন্দ্রে যে কোন ধারণ করে আছে তার দ্বিতীয় কোণটির মান 30° হলে প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান কতো?
Ans:
দ্বিতীয় কোণটির মান(θ₁) = 30° = 30×^π/₁₈₀ = ^π/₆
ধরি প্রথম কোণটির মান = θ₂
আমরা জানি, s = rθ
∴ S₁ = rθ₁ – – – – (i)
এবং S₂ = rθ₂ – – – – (ii)
(i) ÷ (ii) করে পাই,
∴ ^S₁/_S₂ = ^rθ₁/ _rθ₂
বা, ⁵/₂ = ^θ₁/ _θ₂
বা, 2×θ₁ = 5×θ₂
⇒ 2×θ₁ = 5×^π/₆
∴ θ₁ = ^5π/₁₂
উত্তর: প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান ^5π/₁₂

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে হাবু একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিণ দিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে একই সরলরেখায় উড়ে থাকে তবে তার গতিবেগ কতো।
Ans:

ধরি মাঠের মাঝখানে A বিন্দুতে দাঁড়িয়ে হাবু পাখিটি উত্তর দিকে B বিন্দু থেকে দক্ষিণ দিকে C বিন্দুতে উড়ে যেতে দেখল।
চিত্রানুযায়ী,
AB = 50√3 মিটার
∠YAB = 30^o এবং ∠XAC = 60^o
∴ ∠ABD = 30^o এবং ∠ACD = 60^o
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_DB= tan30^o
বা, ^50√3/_DB = ¹/_√3
বা, DB = 50×3 = 150
∴ DB = 150
আবার ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_DC = tan60^o
বা, ^50√3/_DC = √3
বা, DC×√3 =50√3
∴ DC =50
∴ BC = BD + DC
= 150 + 50 = 200
পাখিটি 2 মিনিটে যায় 200 মিটার
পাখিটি 1 মিনিটে যায় ²⁰⁰/₂ মিটার
পাখিটি 60 মিনিটে যায় 100×60 = 6000 মিটার
6000 মিটার = 6 কিলোমিটার
উত্তরঃ পাখিটির গতিবেগ ঘণ্টায় 6 কিমি।

(ii) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার, একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভেদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভেটির উচ্চতা কতো?
Ans:

ধরি, ছোট স্তম্ভ CD = x মিটার এবং
বড় স্তম্ভ AB = 3x মিটার।
AB ও CD স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোজক রেখাংশ AC -এর মধ্যবিন্দু E থেকে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং (90^o – θ)
এখানে AC = 150 মিটার
∴ AE = CE = ¹⁵⁰/₂ = 75 মিটার
∠AEB = θ
∠CED = 90^o – θ
ΔBAE -এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AE = tanθ
⇒ ^3x/₇₅ = tanθ
⇒ 3x = 75×tanθ – – – (i)
আবার ΔDCE -এর ক্ষেত্রে,
^CD/_CE = tan(90^o – θ)
⇒ ^x/₇₅ = cotθ
⇒ x = 75×cotθ – – – (ii)
(i)×(ii) করে পাই
3x.x = 75×tanθ×75×cotθ
⇒ 3x² = 75×75×tanθ.cotθ
⇒ x² = 75×25×1 – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ x² = 3×25×25
∴ x = 25√3
Ans: ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা 25√3 মিটার।

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল 154√2 বর্গসেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে উহার শীর্ষকোণ নির্ণয় করো।
Ans:

প্রদত্ত, শঙ্কুর ব্যাসার্দ্ধ 7 সেমি
ধরি শঙ্কুর তীর্যক উচ্চতা l সেমি এবং অর্ধশীর্ষকোণ α
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 154√2বা, π×7×l = 154√2
বা, ²²/₇×7×l = 154√2
বা, l = 7√2
আবার,
sinα = ^r/_l
বা, sinα = ⁷/_7√2
⇒ sinα = ¹/_√2
⇒ sinα = sin45°
∴ α = 45°
বা, 2α = 90°
উত্তর: শঙ্কুর শীর্ষকোণ 90°

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h
= π×r²×2r ঘন ডেসিমি
= 2πr³ ঘন ডেসিমি
উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = π×r²×6r ঘন ডেসিমি
= 6π×r³ ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
6π×r³ – 2π×r³ = 539
বা, 4×²²/₇×r³ = 539
বা, r³ = 539×⁷/₂₂×¹/₄
বা, r³ = 49×⁷/₂×¹/₄
বা, r³ = (⁷/₂)³
বা, r = ⁷/₂
Ans: চোঙটির উচ্চতা = 2×⁷/₂ = 7 ডেসিমি

(iii) 12 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট সীসার গোলক গলিয়ে তিনটি ছোট ছোট নিরেট সীসার গোলক তৈরি করা হল। যদি ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4: 5 হয়, তবে ছোট গোলকগুলির প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Ans:
ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4 : 5
ধরি, ছোট গোলকগুলির ব্যাস যথাক্রমে 3x সেমি, 4x সেমি এবং 5x সেমি।
বড় গোলকটির ব্যাসার্দ্ধ (r) = ¹²/₂ = 6 সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = ⁴/₃πr₁³ + ⁴/₃πr₂³ + ⁴/₃πr₃³
বা, ⁴/₃πr³ = ⁴/₃π(r₁³ + r₂³ + r₃³)
বা, r³ = r₁³ + r₂³ + r₃³
⇒ 6³ = (^3x/₂)³ + (^4x/₂)³ + (^5x/₂)³
⇒ 216 = ^27x³/₈ + ^64x³/₈ + ^125x³/₈
বা, 216 = ^216x³/₈
বা, 1 = ^x³/₈
⇒ x³ = 8
∴ x = 2
উত্তর: গোলকগুলির ব্যাসার্দ্ধ ^3×2/₂ = 3 সেমি, ^4×2/₂ = 4 সেমি এবং ^5×2/₂ = 5 সেমি।

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি কর্মসূচীতে উপস্থিত 100 জনের বয়স নীচের ছকে দেওয়া হল। ঐ 100 জন লোকের গড় বয়স নির্ণয় করো (যে কোনো পদ্ধতি অবলম্বন করে) বয়স (বছরে)

শ্রেণী-সীমা	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	8	12	20	22	18	20

Ans:
ধরি, কল্পিত গড়(a) = 45
∴ d_i= x_i – 45
এবং u_i= ^{x_i – 45}/₁₀
∴ পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i= x_i – 155	u_i= ^{x_i – 155}/₂₀	u_if_i
10 – 20	8	15	-30	-3	-24
20 – 30	12	25	-20	-2	-24
30 – 40	20	35	-10	-1	-20
40 – 50	22	45	0	0	0
50 -60	18	55	10	1	18
60 – 70	20	65	20	2	40
মোট	Σf_i=100				Σu_if_i=-10

এখানে Σf_i=100
Σx_if_i=-10
h = 10
∴ গড়=

$\Large{=a+\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}×h\\=45+\frac{-10}{100}×10}$

= 45 – 1
= 44
Ans: নির্ণেয় গড় 44

(ii) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে x ও y এর মান নির্ণয় করো যখন x + y = 100.

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

Ans:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0-10	10	10
10-20	x	10+x
20-30	25	10+x+25=35+x
30-40	30	35+x+30=65+x
40-50	y	65+x+y
50-60	10	65+x+y+10=75+x+y
মোট

এখানে, N = 100
∴ ^N/₂ = ¹⁰⁰/₂ = 50
প্রশ্নানুযায়ী
75 + x + y = 100
বা, x + y = 25 – – – – (i)
∵ মধ্যমা 32
∴ মধ্যমা শ্রেনিটি হল 30-40।
∴ মধ্যমা =

$\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}$

এখানে l = 30; N = 100;
C = 35 + x; fm = 30;
h = 30 – 40 = 10

$\Large{ = 30 + \left(\frac{50 – (35+x)}{30}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{15-x}{3}}$

প্রশ্নানুযায়ী,
30 + ^15-x/₃ = 32
বা, ^15-x/₃ = 32 – 30 = 2
বা, 15 – x = 6
বা, x = 9
(i) নং সমীকরণে x = 9 বসিয়ে পাই,
9 + y = 25
∴ y = 16
Ans: x -এর মান 9
y-এর মান 16

(iii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) তৈরী করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন কর।

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	1	6	15	20	15	6	1

Ans:

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
10 এর কম	1
20 এর কম	1+6=7
30 এর কম	7+15=22
40 এর কম	22+20=42
50 এর কম	42+15=57
60 এর কম	57+6=63
70 এর কম	63+1=64

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (10, 1), (20, 7), (30, 22), (40, 42), (50,57), (60, 63), (70,64) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

MP 2025 English Solution

February 18, 2025

Category: MP MATHEMATICS SOLUTION

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan7 θ + cot7 θ এর মান নির্ণয় কর।

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x2 + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD2 = 2BD2 Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA2 + OC2 = OD2 + OB2Ans:

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

(ii) যদি tan θ = 4/3 হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে (sin A + cos B)2 = 1 + 2sin A sin B .অঙ্কটি ভুল আছে।cos B এর জায়গায় cos A হবে।

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

Madhyamik -25 Mathematics Solution

Madhyamik -25 Mathematics Solution

মাধ্যমিক ২৫ গণিত সমাধান

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10= 20

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12 যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।