Category: HS

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা
Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা
Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা
UNIT 2
CHAPTER 2
SEMESTER-2
Straight Line সরলরেখা
SEMESTER-2 সরলরেখা
সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. কোনো সরলরেখার প্রবণতা বলতে কী বোঝ?
Ans: কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ করে তার tan-এর মানকে সরলরেখার প্রবণতা (gradient) বা নতিমাত্রা (slope) বলে;
যদি কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে, তবে তার প্রবণতা হবে m = tanθ
2. (i) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণকে এবং
(ii) x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণকে ^x/_a + ^y/_b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় কি না যুক্তিসহ বলো।
(i) Solution: মূলবিন্দুগামী সরলরেখার ক্ষেত্রে c = 0
∴ মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়
y = mx
বা, mx – y = 0
mx – y = 0 সরলরেখাকে ^x/_a + ^y/_b = 1 আকারে প্রকাশ করলে,
^y/₀ হয় যা অসংজ্ঞাত।
তাই মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণকে ^x/_a + ^y/_b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় না।
(ii) Solution: x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
\(\quad y = b\\⇒ 0.x + y = b\\⇒ \frac{x}{\frac{b}{0}}+ \frac{y}{b} = 1 \)
y = b সরলরেখাকে ^x/_a + ^y/_b = 1 আকারে প্রকাশ করলে a = ^b/₀ হয় যা অসংজ্ঞাত।
তাই x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণকে ^x/_a + ^y/_b = 1 আকারে প্রকাশ করা যায় না।
SEMESTER-2
সূচিপত্র
👉 UNIT-1 বীজগণিত
- 1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
- 2. দ্বিপদ উপপাদ্য
- 3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
  - অনুক্রম
  - সমান্তর প্রগতি
  - গুণোত্তর প্রগতি
👉 UNIT-2 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)
- 1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
- 2. সরলরেখা
- 3. বৃত্ত
- 4. অধিবৃত্ত
- 5. উপবৃত্ত
- 6. পরাবৃত্ত
- UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
👉 UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
3. 3x + 4y – 12 = 0 সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল (বর্গএককে) নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের ছেদিতাংশ আকার হল:
3x + 4y – 12 = 0
বা, ^x/₄ + ^y/₃ = 1
প্রদত্ত সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে 4 একক ও 3 একক ছেদ করে।
স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয় ও প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×|4×3| = 6 বর্গএকক।
Ans: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 6 বর্গএকক
4. x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 45° কোণে নত যে সরলরেখাটি y-অক্ষকে (0, 3) বিন্দুতে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখার প্রবনতা (m)
= tan 45°=1
এবং সরলরেখাটি y অক্ষ থেকে 3 একক ছেদ করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
y = 1.x + 3
বা, x – y + 3 = 0
Ans: নির্নেয় সমীকরণ: x – y + 3 = 0
5. 2x – 3y + 5 = 0 সরলরেখার নতিমাত্রা এবং y-অক্ষে ছেদিতাংশ নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের প্রবনতা-ছেদিতাংশ আকার হল:
2x – 3y + 5 = 0
বা, 3y = 2x + 5
বা, y = ²/₃x + ⁵/₃
Ans: সরলরেখার নতিমাত্রা ²/₃
এবং y-অক্ষে ছেদিতাংশ ⁵/₃ একক
6. একটি সরলরেখার x -অক্ষের ও y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে (-4) ও 6 একক হলে সরলরেখাটির সমীকরণ কী হবে?
Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণের ছেদিতাংশ আকার হল:
\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
সরলরেখার x -অক্ষের ও y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে (-4) ও 6 একক
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
\(\quad \frac{x}{-4}+\frac{y}{6}=1\)
বা, 3x – 2y = – 12
বা, 3x – 2y + 12 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 3x – 2y + 12 = 0
7. 3x + 2y = 8 সরলরেখাটির নতিমাত্রা এবং y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ কত?
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের প্রবনতা-ছেদিতাংশ আকার হল:
3x + 2y = 8
বা, 2y = -3x + 8
বা, y = –³/₂x + 4
Ans: সরলরেখাটির নতিমাত্রা –³/₂ এবং
y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ 4 একক

8. (3, -√3) ও (√3 , -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার নতিমাত্রা কত?
Solution: (3, -√3) ও (√3 , -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার নতিমাত্রা
= ^{-1 + √3}/_{√3 – 3}
= ^{-1 + √3}/_{√3(1 – √3)}
= –^{(1 – √3)}/_{√3(1 – √3)}
= –¹/_√3
Ans: সরলরেখার নতিমাত্রা –¹/_√3
9. 3x + 4y + 15 = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব কত?
Solution:
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণের অভিলম্ব আকার হল: \(\quad 3x + 4y + 15 = 0\\⇒\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}.x + \frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}.y + \frac{15}{\sqrt{3^2+4^2}} = 0\\⇒\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + \frac{15}{5}= 0\\⇒\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y + 3= 0\)Ans: সরলরেখাটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক।
10. (-3, -4) ও (2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (-3, -4) ও (2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^{y + 4}/_{-4 – 5} = ^{x + 3}/_{-3 – 2}
বা, ^{y + 4}/_-9 = ^{x + 3}/_-5
বা, ^{y + 4}/₉ = ^{x + 3}/₅
বা, 9x + 27 = 5y + 20
বা, 9x – 5y + 7 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 9x – 5y + 7 = 0
11. যে সরলরেখার নতিমাত্রা 1 এবং x-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ (-3) একক সেটি নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার নতিমাত্রা 1 এবং সরলরেখাটি (-3, 0) বিন্দুগামী।
ধরি প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ y = x + c
∵ সরলরেখাটি (-3, 0) বিন্দুগামী।
  ∴ 0 = -3 + c
বা, c = 3
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ
     y = x + 3
বা, x – y + 3 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x – y + 3 = 0
12. (1, -2) বিন্দুগামী যে সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষে সমান ছেদিতাংশ সৃষ্টি করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষ থেকে a একক ছেদ করে।
∴ সরলরেখার সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)
বা, x + y = a . . . (i)
(i) নং সরলরেখা (1, -2) বিন্দুগামী।
  ∴ 1 – 2 = a
বা, a = – 1
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
  x + y = – 1
বা, x + y + 1 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + y + 1 = 0
13. যে সরলরেখা x এবং y-অক্ষে সমান ছেদিতাংশ সৃষ্টি করে তার প্রবণতা কত হবে?
Solution: ধরি, সরলরেখাটি x এবং y-অক্ষ থেকে a একক ছেদ করে।
∴ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ হবে
\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
বা, x + y = a
বা, y = – x + a
∴ প্রবণতা = – 1
Ans: নির্ণেয় প্রবণতা -1

14. যে সরলরেখার ঋণাত্মক y-অক্ষের ছেদিতাংশ 2 এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে নতি 30° তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: সরলরেখার ঋণাত্মক y-অক্ষের ছেদিতাংশ 2 এবং সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে নতি 30°
∴ সরলরেখার প্রবনতা (m)
= tan30° = ¹/_√3
এখানে c = -2
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
y = ¹/_√3.x – 2
বা,√3y – x + 2√3 = 0
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ √3y – x + 2√3 = 0
15. আমরা যদি সরলরেখার সমীকরণ 3x + 3y + 7 = 0 কে x cos α + y sin α = p আকারে লিখি তাহলে p-এর মান কত হবে?
Solution:
3x + 3y + 7 = 0
\(⇒\frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}}x + \frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}}y=-\frac{7}{\sqrt{3^2 + 3^2}}\\⇒\frac{3}{3\sqrt{2}}x + \frac{3}{3\sqrt{2}}y=-\frac{7}{3\sqrt{2}}\\⇒\frac{-3}{3\sqrt{2}}x + \frac{-3}{3\sqrt{2}}y=\frac{7}{3\sqrt{2}}\)
∴ সমীকরণটিকে x cos α + y sin α = p আকারে লিখলে হয়
\(\quad \frac{-3}{3\sqrt{2}}x + \frac{-3}{3\sqrt{2}}y=\frac{7}{3\sqrt{2}}\)
যেখানে cosα = ^-3/_3√2; sin α = ^-3/_3√2 এবং p = ⁷/_3√2
Ans: p = ⁷/_3√2
16. n-এর মান ঋণাত্মক ধরে lx + my + n = 0 সরলরেখার সমীকরণকে অভিলম্ব আকারে প্রকাশ করো।
Solution:
lx + my + n = 0
\(⇒\frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y+\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}=0\\⇒\frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y=-\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}\)Ans: প্রদত্ত সমীকরণটির অভিলম্ব আকার: \(\ \frac{l}{\sqrt{l^2 + m^2}}x + \frac{m}{\sqrt{l^2 + m^2}}y=-\frac{n}{\sqrt{l^2 + m^2}}\)
17. P(x₁, y₁) ও Q(x₂, y₂) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে দেখাও যে, x₂ = x₁ + r cos θ, y₂ = y₁ + r sin θ , যেখানে r = PQ
Solution: P(x₁, y₁) ও Q(x₂, y₂) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।
\(∴ tanθ = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\\⇒ \frac{sinθ}{cosθ} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}\\⇒ \frac{x_2 – x_1}{cosθ} = \frac{y_2 – y_1}{sinθ} = r\\∴\frac{x_2 – x_1}{cosθ} =r\\⇒x_2-x_1=rcosθ\\⇒ x_2 = x_1 + rcosθ\)এবং \(\quad \frac{y_2 – y_1}{sinθ}= r\\⇒ y_2 – y_1 = rsinθ\\⇒ y_2 = y_1 + rsinθ\ (Proved) \)
18. x cos α + y sin α = p সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: x cos α + y sin α = p সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হল:
\(\quad \frac{x}{psec α}+\frac{y}{pcosec α}=1\)
প্রদত্ত সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে psec α একক ও pcosec α একক ছেদ করে।
∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×psec α×pcosec α
= ^p²/_{2.cos α.sin α}
= ^p²/_{sin 2α}
= p²cosec2α বর্গএকক
Ans: নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল p²cosec2α বর্গএকক

19. P বিন্দু A(x₁, y₁) ও B(x₂, y_₂) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে। যদি ax + by + c = 0 সরলরেখা P বিন্দুগামী হয়, তবে দেখাও যে,
\(\quad \frac{m}{n} = – \frac{ax_1 + by_1 + c_1}{ax_2 + by_2 + c_2}\)
Solution: P বিন্দু A(x₁, y₁) ও B(x₂, y_₂) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{mx₂ + nx₁}/_{m + n}, ^{my₂ + ny₁}/_{m + n})
ax + by + c = 0 সরলরেখা P বিন্দুগামী।
\(∴ a×\frac{mx_2 + nx_1}{m + n} + b×\frac{my_2 + ny_1}{m + n} + c = 0\\⇒ amx_2 + anx_1 + bmy_2 + bny_1 + mc + nc = 0 \\⇒ amx_2 + bmy_2 + mc= -(anx_1 + bny_1 + nc) \\⇒ \frac{m}{n}=-\frac{anx_1 + bny_1 + nc}{amx_2 + bmy_2 + mc}\ (Proved)\)
20. দেখাও যে, (a, b) ও (c, d) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণকে (x – a)(y – d) = (x – c)(y – b) আকারে প্রকাশ করা যায়।
Solution:
(a, b) ও (c, d) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:\(\quad \frac{y – d}{x – c}= \frac{d – b}{c – a} . . . (i)\\\) (c, d) ও (a, b) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ: \(\quad \frac{y – b}{x – a}= \frac{b-d}{a-c}\\⇒\frac{y – b}{x – a}=\frac{d – b}{c – a} . . . (ii)\)
(i) ও (ii) থেকে পাই,\(\quad \frac{y – d}{x – c}= \frac{y – b}{x – a}\\⇒ (x – a)(y – d) = (x – c)(y – b) (Proved)\)
Click here to visit our Facebook
21. একটি বর্গক্ষেত্রের দুটি বাহু যদি 5x – 2y = 13 এবং 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের অংশে হয়, তাহলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ 5x – 2y = 13 এবং 5x – 2y + 16 = 0
স্পষ্টতই সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী দূরত্বই হল বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য।
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব\(\\=\frac{|-13 – 16|}{\sqrt{5^2 + 2^2}} = \frac{|-29|}{\sqrt{29}}= \frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\)একক
∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
= (√29)² = 29 বর্গএকক
Ans: নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 29 বর্গএকক
22. (2k, -2) এবং (1, -k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবণতা (-2) হলে k-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: (2k, -2) এবং (1, -k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবণতা = ^{-k + 2}/ _{1- 2k}
প্রশ্নানুযায়ী,
^{-k + 2}/ _{1- 2k} = -2
বা, -2 + 4k = -k + 2
বা, 5k = 4
বা, k = ⁴/₅
Ans: k = ⁴/₅
23. 7x – 6y = 20 সরলরেখার ওপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো যার কোটি ভুজের দ্বিগুণ।
Solution: ধরি, বিন্দুটি হল (h, 2h)
(h, 2h)বিন্দুটি 7x – 6y = 20 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 7.h – 6.2h = 20
বা, -5h = 20
বা, h = -4
∴ বিন্দুটি হল (-4, -8)
Ans: বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (-4, -8)

24. 3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক হলে m-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব\(\\=\frac{|3.0 – 4.0 + m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = ±\frac{m}{5}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
±^m/₅ = 2
বা, m = ±10
Ans: m = ±10
25. 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at², 2at) একটি বিন্দু; এর থেকে সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at², 2at) অবস্থিত।
∴ 2.at² – 5.2at + 12a = 0
বা, t² – 5t + 6 = 0
বা, t² – 3t – 2t + 6 = 0
বা, t(t – 3) – 2(t – 3) = 0
বা, (t – 2)(t – 3) = 0
∴ t = 2, 3
বিন্দু দুটি হল (a.2², 2a.2) এবং (a.3², 2a.3) বা, (4a, 4a) এবং (9a, 6a)
Ans: দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4a, 4a) এবং (9a, 6a)
26. যে সরলরেখার নতি 150° এবং মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 10 একক তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি,সরলরেখার সমীকরণ
y = mx + c
বা, mx – y + c = 0
এখানে নতি
m = tan150° = tan(180 – 30)°
⇒ m = -tan30° = ^-1/_√3
মূলবিন্দু থেকে mx – y + c = 0 সরলরেখার দূরত্ব =\(\\\frac{|0 – 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}= 10\\⇒|c| = 10\sqrt{\frac{1}{3} + 1} . . . [m = -\frac{1}{√3}]\\⇒|c| = 10.\sqrt{\frac{4}{3}}\\⇒ c = ±\frac{20}{√3}\)∴ সরলরেখার সমীকরণ: \(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y± 20/√3 = 0\\⇒-x – √3y ± 20 = 0\\⇒x + √3y = ± 20\)
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + √3y = ± 20
27. (4. -6) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান
(i) পরস্পর সমান ও একই চিহ্নযুক্ত
(ⅱ) পরস্পর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
(i) Solution: অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান পরস্পর সমান ও একই চিহ্নযুক্ত।
ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
বা, x + y = a
সরলরেখাটি (4. -6) বিন্দুগামী।
∴ 4 – 6 = a
বা, a = -2
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x + y = -2
বা, x + y + 2 = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ x + y + 2 = 0
(ii) Solution: অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশের মান পরস্পর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত।
ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)
বা, x – y = a সরলরেখাটি (4. -6) বিন্দুগামী।
∴ 4 + 6 = a
বা, a = 10
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x – y = 10
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ
x – y = 10
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3
1. (3, -4) এবং (1, 2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো এবং তারপর দেখাও যে, (3, -4), (1, 2) এবং (2, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
Solution: (3, -4) এবং (1, 2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y – 2}{2+4}=\frac{x – 1}{1-3}\\⇒\frac{y – 2}{6}=\frac{x – 1}{-2}\\⇒\frac{y – 2}{3}=\frac{x – 1}{-1}\)
বা, -y + 2 = 3x – 3
বা, 3x + y = 5 . . . (i)
(2, -1) বিন্দুটি (i) নং সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই,
   3.2 – 1 = 5
∴ (2, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
অতএব (3, -4), (1, 2) এবং (2, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
2. একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক হয় (2, -2), (4, 2) এবং (-1, 3); ত্রিভুজটির (-1, 3) বিন্দুগামী মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (2, -2) ও (4, 2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু = (²⁺⁴/₂, ^-2+2/₂) = (3, 0)
∴ (3, 0) ও (-1, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
    ^{y – 3}/_{3 – 0} = ^{x + 1}/_{-1 – 3}
বা, ^{y – 3}/₃ = ^{x + 1}/_-4
বা, 3x + 3 = -4y + 12
বা, 3x + 4y = 9
Ans: মধ্যমার সমীকরণ 3x + 4y = 9
3. মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা (4, -2) এবং (1, 10) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (4, -2) এবং (1, 10) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে যে বিন্দু 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক
= (^{2.1 + 1.4}/_{2 + 1}, ^{2.10 + 1.(-2)}/_{2 + 1})
= (2, 6)
∴ (2, 6) ও মূলবিন্দুগামী(0, 0) সরলরেখার সমীকরণ:
    ^{y – 0}/_{0 – 6} = ^{x – 0}/_{0 – 2}
বা, ^y/₃ = ^x/₁
বা, 3x – y = 0
Ans: নির্ণেয় সমীকরণ 3x – y = 0
4. একটি সরলরেখা (3, 5) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছিন্ন অংশ ওই বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। সরলরেখাটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দু থেকে তার লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ:
\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (a, 0) (0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
(a, 0) (0, b) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (^a/₂, ^b/₂)
প্রশ্নানুযায়ী,
    ^a/₂ = 3
বা, a = 6 এবং
^b/₂ = 5
   বা, b = 10
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
^x/₆+ ^y/₁₀ = 1
বা, 5x + 3y = 30 (Ans)
মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|5.0 + 3.0 – 30|}{\sqrt{5^2+3^2}}\\=\frac{|-30|}{\sqrt{25+9}}=\frac{30}{34}\)একক (Ans)
5. একটি সরলরেখা (1, 2) বিন্দুগামী এবং অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছেদিতাংশ ওই বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে বিভক্ত হয়। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ:
\(\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (a, 0), (0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুটির মধ্যে রেখাটির ছেদিতাংশ যে বিন্দুতে 3 : 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক
= (^{3.0 + 2.a}/₃₊₂, ^{3.b + 2.0}/₃₊₂)
= (^2a/₅, ^3b/₅)
প্রশ্নানুযায়ী,
    ^2a/₅ = 1
বা, a = ⁵/₂ এবং
^3b/₅ = 2
বা, b = ¹⁰/₃
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
     ^2x/₅ + ^3y/₁₀ = 1
বা, 4x + 3y = 10 (Ans)
6. x cos α+ y sin α= 4 সরলরেখাটির অক্ষ দুটি দিয়ে যে রেখাংশ ছেদিত হয়, সেই রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: x cos α + y sin α = 4 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হল:
\(\quad \frac{x}{4sec α}+\frac{y}{4cosec α}=1\)
প্রদত্ত সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষকে যথাক্রমে (4sec α, 0) (0, 4cosec α) বিন্দুতে ছেদ করে।
রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = ^{4sec α + 0}/₂
বা, h = 2secα
বা, cos α = ²/_h এবং
k = ^{0 + 4cosec α}/₂
বা, k = 2sin α
বা, sin α = ²/_k
∵ sin² α + cos² α = 1
বা, (²/_k)² + (²/_h)² = 1
বা, ⁴/_k² + ⁴/_h² = 1
বা, ¹/_k² + ¹/_h² = ¹/₄
বা, ¹/_h² + ¹/_k² = ¹/₄
∴ মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ ¹/_x² + ¹/_y² = ¹/₄ (Ans)
7. একটি গতিশীল সরলরেখার সব অবস্থানে রেখাটির অক্ষ দুটির ছেদিতাংশ দুটির অন্যোন্যকের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক। দেখাও যে, রেখাটি একটি স্থিরবিন্দুগামী।

Solution: ধরি, গতিশীল সরলরেখার সমীকরণ:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) . . . (i)
সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক ও b একক ছেদ করে।
∴ অক্ষ দুটির ছেদিতাংশ দুটির অন্যোন্যকের সমষ্টি:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{k} . . . [k = ধ্রুবক]\\⇒\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=k . . . (ii)\)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
x = y = k
∴ (i) নং সরলরেখাটি সর্বদা (k, k) বিন্দুগামী যা একটি স্থিরবিন্দু।
∴ রেখাটি একটি স্থিরবিন্দুগামী। (Proved)
8. একটি গতিশীল সরলরেখা তার সব অবস্থানে অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 2c² বর্গএকক। গতিশীল রেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, গতিশীল সরলরেখার সমীকরণ:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) . . . (i)
∴ সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক ও b একক ছেদ করে।
∴ অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল
= ¹/₂|a×b|
প্রশ্নানুযায়ী
     ¹/₂|a×b| = 2c²
বা, ¹/₂.a×b = ±2c² . . . (ii)
(i) রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে
h = ^a+0/₂
বা, a = 2h এবং
k = ^0+b/₂
বা, b = 2k
(ii) নং থেকে পাই
    ¹/₂×2h×2k = ±2c²
বা, hk = ±c²
Ans: মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ xy = ± 2c²
9. P(h, k) ও Q(k, h) বিন্দু যথাক্রমে 6x – y = 1 ও 2x – 5y = 5 সরলরেখার ওপর অবস্থিত; PQ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: P(h, k) ও Q(k, h) বিন্দু যথাক্রমে 6x – y = 1 ও 2x – 5y = 5 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
  ∴ 6h – k = 1
বা, 6h – k – 1 = 0 . . . (i)
     2k – 5h = 5
বা, – 5h + 2k – 5 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
\(\quad \frac{h}{5+2}= \frac{k}{5+30}= \frac{1}{12-5}\\⇒ \frac{h}{7}= \frac{k}{35}= \frac{1}{7}\\⇒\frac{h}{1}= \frac{k}{5}= 1\)
∴ h = 1, k = 5
∴ P = (1, 5), Q = (5, 1)
PQ সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y-1}{1-5}= \frac{x-5}{5-1}\\⇒\frac{y-1}{-4}= \frac{x-5}{4}\\⇒\frac{y-1}{1}= \frac{x-5}{1}\)
বা, y – 1 = – x + 5
বা, x + y = 6
Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ: x + y = 6
10. 4x + 3y + k = 0 সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার পরিসীমা 24 একক হলে k এর মান নির্ণয় করো।
Solution: 4x + 3y + k = 0 -এর ছেদিতাংশ আকার:
\(\quad \frac{x}{\frac{-k}{4}}+\frac{y}{\frac{-k}{3}}\)
সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয় থেকে যথাক্রমে ^-k/₄ এবং ^-k/₃ একক ছেদ করে।
∴ AOB সমকোনী ত্রিভুজের,
OA = ^k/₄ এবং OB = ^k/₃

\(∴ AB=\sqrt{\frac{k^2}{16}+\frac{k^2}{9}}=\sqrt{\frac{9k^2+16k^2}{144}}=\frac{5k}{12}\)
∴△AOB-এর পরিসীমা
     = ^k/₃ + ^k/₄ + ^5k/₁₂
     = ^4k+3k+5k/₁₂ = ^12k/₁₂= k
প্রশ্নানুযায়ী,
    k = 24
Ans: k এর মান 24
11. ax + by + c = 0 সরলরেখা এমনভাবে গতিশীল যে, তার সব অবস্থানে a + b + c = 0 । দেখাও যে, সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: a + b + c = 0
বা, c = – a – b
সরলরেখার সমীকরণ:
     ax + by + c = 0
বা, ax + by – a – b = 0
বা, a(x – 1) + b(y – 1) = 0
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (1, 1) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়।
∴ সরলরেখাটি (1, 1) বিন্দুগামী।
Ans: সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1)
12. দেখাও যে, (a + 2b) x + (a – 3b) y + b – a = 0 সরলরেখাটি সর্বদাই একটি স্থির বিন্দু দিয়েযায় এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: সরলরেখার সমীকরণ:
    (a + 2b) x + (a – 3b) y + b – a = 0
বা, a(x + y – 1) + b(2x – 3y + 1) = 0 . . . (i)
স্পষ্টতই, a ও b-এর সকল বাস্তব মানের জন্য (i) নং সরলরেখা x + y – 1 = 0 এবং 2x – 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী হবে।
   x + y – 1 = 0 . . . (ii) এবং
2x – 3y + 1 = 0 . . . (iii)
(ii) ও (iii) নং থেকে পাই,
\(\quad \frac{x}{1-3}= \frac{y}{-2-1}= \frac{1}{-3-2}\\⇒ \frac{x}{-2}= \frac{y}{-3}= \frac{1}{-5}\\⇒\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{1}{5}\\\ ∴ x = \frac{2}{5},\ y = \frac{3}{5}\)
∴ সরলরেখাটি (²/₅, ³/₅) বিন্দুগামী।
Ans: সরলরেখাটি একটি স্থির বিন্দুগামী এবং ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (²/₅, ³/₅)
13. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p সরলরেখার সমীকরণকে নীচের আকারে লেখা যায়:
\(\quad \frac{x – pcos α}{-sin α}=\frac{y – psin α}{cos α}=r\)
Solution: সরলরেখার সমীকরণ
     x cos α + y sin α = p
বা, x cos α + y sin α = p(sin² α + cos² α)
বা, x cos α – pcos² α + y sin α – psin² α = 0
বা, cos α(x – pcos α) + sin α(y – psin α) = 0
বা, cos α(x – pcos α) = – sin α(y – psin α)
বা,\(\frac{x – pcos α}{-sin α}=\frac{y – psin α}{cos α}=r \) যেখানে\(r = \frac{\sqrt{(x – pcos α)^2+(y – psin α)^2}}{\sqrt{sin^2⁡ α + cos^2 α}}\\=\sqrt{(x – pcos α)^2+(y – psin α)^2}\)
14. 4x + 3y = 5cos α এবং 6x – 8y = 5sin α সরলরেখা দুটির মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব যথাক্রমে p₁ ও p₂ হলে দেখাও যে, p₁² + 4p₂² = 1
Solution: মূলবিন্দু থেকে 4x + 3y = 5cos α সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(\ p_1=\frac{|4.0 + 3.0 – 5cos α|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\=\frac{|-5cos α|}{\sqrt{25}}\\=\frac{5cos α}{5}= cos α\)মূলবিন্দু থেকে 6x – 8y = 5sin α সরলরেখার লম্বদূরত্ব\(p_2=\frac{|6.0 + 8.0 – 5sin α|}{\sqrt{6^2+8^2}}\\=\frac{|5sin α| }{\sqrt{100}}\\=\frac{|5sin α|}{10}= \frac{sin α}{2}\)
L.H.S.
= p₁² + 4p₂²
= cos² α + 4×^{sin² α}/₄
= cos² α + sin² α
= 1 = R.H.S.
∴ p₁² + 4p₂² = 1 (Proved)

15. 3x + y – 5 = 0 এবং x + 5y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং (3, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। এই সরলরেখাটি অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: 3x + y – 5 = 0 এবং x + 5y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\ \frac{x}{3+25} = \frac{y}{-5-9}= \frac{1}{15-1}\\⇒\frac{x}{28} = \frac{y}{-14}= \frac{1}{14}\)
∴ x = 2, y = -1
∴ সরলরেখাটির ছেদবিন্দু (2, -1)
অতএব (2, -1) ও (3, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
\(\ \frac{y – 2}{2+1} = \frac{x – 3}{3-2}\\⇒\frac{y – 2}{3} = \frac{x – 3}{1}\)
বা, 3x – 9 = y – 2
বা, 3x – y = 7 (Ans)
3x – y = 7 সরলরেখাটির ছেদিতাংশ আকার হল:
\(\ \frac{x}{\frac{7}{3}} + \frac{y}{-7}=1\)
সরলরেখাটি x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে ⁷/₃ একক ও 7 একক ছেদ করে।
∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×⁷/₃×7
= ⁴⁹/₆ বর্গএকক(Ans)
16. x + y + 4 = 0 এবং 2x + 3y + 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ ax + y + 6 = 0 হলে a-র মান কত হবে?
Solution: x + y + 4 = 0 এবং 2x + 3y + 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
     x + y + 4 + k(2x + 3y + 10) = 0
বা, (1 + 2k)x + (1 + 3k)y + (4 + 10k) = 0 . . . (i)
ax + y + 6 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখা অভিন্ন।
\(∴ \frac{1 + 2k}{a} = \frac{1 + 3k}{1}= \frac{4 + 10k}{6}\\∴ \frac{1 + 3k}{1}= \frac{4 + 10k}{6}\)
বা, 6 + 18k = 4 + 10k
বা, 8k = -2
বা, k = –¹/₄
আবার
\(\ \frac{1 + 2k}{a} = \frac{1 + 3k}{1}\)
বা, a(1 + 3k) = 1 + 2k
বা, a(1 – 3.14) = 1 – 2.14
বা, a(4 – 3) = 4 – 2
বা, a = 2
Ans: a-র মান 2
17. 3x – 4y + 1 = 0 এবং 5x + y – 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দগামী যে সরলরেখা অক্ষ দুটি থেকে সমান দৈর্ঘ্যের অংশ ছিন্ন করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 3x – 4y + 1 = 0 এবং 5x + y – 1 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
    3x – 4y + 1 + k(5x + y – 1) = 0
বা, (3 + 5k)x + (k – 4)y + (1 – k) = 0
বা, (3 + 5k)x + (k – 4)y = k – 1
বা,\( \frac{x}{\frac{k – 1}{3 + 5k}} + \frac{y}{\frac{k – 1}{ k-4}} = 1 . . . (i)\)
প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা x-অক্ষ ও y-অক্ষ দ্বারা ছিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ^{k – 1}/_{3 + 5k} এবং ^{k – 1}/_k-4
প্রশ্নানুসারে,

\(\left| \frac{k – 1}{3+5k} \right|=\left| \frac{k – 1}{k-4} \right|\\⇒\frac{k – 1}{3+5k} =±\frac{k – 1}{k-4}\)(+) চিহ্ন ধরে,\(\\\ \frac{k – 1}{3+5k} =\frac{k – 1}{k-4}\)
বা, 3k – 3 + 5k² – 5k = k² – k – 4k + 4
বা, 5k² – 2k – 3 = k²– 5k + 4
বা, 4k² + 3k – 7 = 0
বা, 4k² + 7k – 4k – 7 = 0
বা, k(4k + 7) – 1(4k + 7) = 0
বা, (4k + 7)(k – 1) = 0
∴ k = –⁷/₄, 1
k = 1 হলে,
   (3 + 5.1)x + (1 – 4)y = 1 – 1
বা, 8x – 3y = 0
এটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা যা অক্ষ দুটিকে ছিন্ন করে না।
∴ k ≠ 1
k = –⁷/₄ হলে,
    (3 – 5.⁷/₄)x + (-⁷/₄ – 4)y = –⁷/₄ – 1
বা, (12 – 35)x + (-7 – 16)y = -7 – 4
বা, -23x – 23y = -11
বা, 23x + 23y = 11
(-) চিহ্ন ধরে,\(\\\ \frac{k – 1}{3+5k} =-\frac{k – 1}{k-4}\)
বা, k² – k – 4k + 4 = -3k + 3 – 5k² + 5k
বা, k²– 5k + 4 = -5k² + 2k + 3
বা, 6k² – 7k + 1 = 0
বা, 6k² – 6k – k + 1 = 0
বা, 6k(k – 1) – 1(k – 1) = 0
বা, (6k – 1)(k – 1) = 0
∴ k = ¹/₆, 1
∵ k ≠ 1
∴ k = ¹/₆
k = ¹/₆ হলে,
    (3 + 5.¹/₆)x + (¹/₆ – 4)y = ¹/₆ – 1
বা, (18 + 5)x + (1 – 24)y = 1 – 6
বা, 23x – 23y = -5
বা, 23x – 23y + 5 = 0
Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
23x + 23y = 11 অথবা,
23x – 23y + 5 = 0
18. একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির ওপর সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে এবং x + 3y + 4 = 0 ও 2x – y = 13 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x + 3y + 4 = 0 ও 2x – y = 13 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
     x + 3y + 4 + k(2x – y – 13) = 0
বা, (1 + 2k)x + (3 – k)y + (4 – 13k) = 0
বা, (1 + 2k)x + (3 – k)y = 13k – 4
বা,\( \frac{x}{\frac{13k – 4}{1 + 2k}} + \frac{y}{\frac{13k – 4}{3 – k}} = 1 . . . (i)\)
13k – 4 = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে যা অক্ষ দুটিকে ছিন্ন করবে না।
∴ 13k – 4 ≠ 0
প্রদত্ত সরলরেখা দ্বারা x-অক্ষ ও y-অক্ষ দ্বারা ছিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ^{13k – 4}/_{1 + 2k} এবং ^{13k – 4}/_3-k
প্রশ্নানুসারে,
\(\ \frac{13k – 4}{1 + 2k} = – \frac{13k – 4}{3 – k}\\⇒ \frac{1}{1 + 2k} = – \frac{1}{3 – k} . . . [∵ 13k – 4 ≠ 0] \)
⇒ 3 – k = -1 -2k
⇒ k = -4
(i) নং সমীকরণকে k = -4 বসিয়ে পাই,
\( \frac{x}{\frac{13(-4) – 4}{1 + 2(-4)}} + \frac{y}{\frac{13(-4) – 4}{3 – (-4)}} = 1\\⇒\frac{x}{\frac{-56}{-7}} + \frac{y}{\frac{-56}{7}} = 1\\⇒\frac{x}{8} + \frac{y}{-8} = 1\\⇒x-y=8\)
Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ x – y = 8
19. একটি আলোকরশ্মি P(1, 2) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষে অবস্থিত A বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে Q(5, 3) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: A বিন্দুটি x-অক্ষে অবস্থিত।
ধরি, A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, 0)
AQ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে,
tanθ = ^{3 – 0}/_{5 – h} = ³/_{5 – h}
AP সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π -θ) কোণ উৎপন্ন করে।
∴ tan(π – θ) = ^{2 – 0}/_{1 – h}
বা, -tanθ = ²/_{1 – h}
∴ ³/_{5 – h} = – ²/_{1 – h}
বা, -3 + 3h = 10 – 2h
বা, 5h = 13
বা, h = ¹³/₅
Ans: A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (¹³/₅, 0)
20. 3x + 4y = 4 এবং 2x + 5y + 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী যেসব সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 3x + 4y = 4 এবং 2x + 5y + 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{8+20} = \frac{y}{-8-6}= \frac{1}{15-8}\\⇒\frac{x}{28} = \frac{y}{-14}= \frac{1}{7}\\⇒\frac{x}{4} = \frac{y}{-2}=1 \\∴x=4;\quad y= -2\)
ধরি, (4, -2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
     y + 2 = m(x – 4)
বা, mx – y – (4m + 2) = 0 . . . (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) নং সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|m.0 – 0 – (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}\\= \frac{|- (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}\)প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{|- (4m + 2)|}{\sqrt{m^2+1}}=2\)
বা, (4m + 2)² = 4(m² + 1)
বা, 16m² + 16m + 4 = 4m² + 4
বা, 12m² + 16m = 0
বা, 4m(3m + 4) = 0
∴ m = 0, ^-4/₃
m = 0 হলে সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
    y + 2 = 0.(x – 4)
বা, y + 2 = 0
m = ^-4/₃ হলে,
সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
     y + 2 = –⁴/₃(x – 4)
বা, 3y + 6 = -4x + 16
বা, 4x + 3y = 10
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
y + 2 = 0, 4x + 3y = 10
21. 2y – 3x + 16 = 0 এবং 3x + y = 1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং (4, 3), (2, – 7) ও (-9, -20) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ঠ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 2y – 3x + 16 = 0 এবং 3x + y = 1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{-2-16} = \frac{y}{48-3}= \frac{1}{-3-6}\\⇒\frac{x}{-18} = \frac{y}{45}= \frac{1}{-9}\\⇒\frac{x}{2} = \frac{y}{-5}= 1\\∴x=2;\quad y= -5\)
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -5)
(4, 3), (2, – 7) ও (-9, -20) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ঠ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
= (^4+2-9/₃, ^3-7-20/₃)
= (^-3/₃, ^-24/₃)
= (-1, -8)
(2, -5) ও (-1, -8) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y + 8}{-8 + 5} ;= \frac{x + 1}{-1 – 2}\\⇒\frac{y + 8}{-3} = \frac{x + 1}{-3}\)
বা, y + 8 = x + 1
বা, x – y = 7
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x – y = 7
22. x – y + 4 = 0, 2x + 3y – 6 = 0, 8x + 7y – 26 = 0 এই সরলরেখাগুলি সমবিন্দু কি না তা পরীক্ষা করো।
Solution: x – y + 4 = 0, 2x + 3y – 6 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{6-12} = \frac{y}{8+6}= \frac{1}{3+2}\\⇒\frac{x}{-6} = \frac{y}{14}= \frac{1}{5}\\∴x=-\frac{6}{5};\quad y= \frac{14}{5}\)
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{– 6}/₅, ¹⁴/₅)
8x + 7y – 26 = 0 সমীকরণের বামপক্ষে (^{– 6}/₅, ¹⁴/₅) বসিয়ে পাই,
   8.(^{– 6}/₅) + 7.(¹⁴/₅) – 26
= ^{– 48 + 98 – 130}/₅
= ^{98 – 178}/₅
= –⁸⁰/₅ = -16 ≠ 0
(^{– 6}/₅, ¹⁴/₅) বিন্দুটি 8x + 7y – 26 = 0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।
∴ সরলরেখাগুলি সমবিন্দু নয়।
23. a -র মান কত হলে 7x – 11y + 3 = 0, 4x + 3y – 9 = 66 এবং 13x + ay – 48 = 0 সরলরেখা তিনটি একই বিন্দু দিয়ে যাবে।
Solution: 7x – 11y + 3 = 0, 4x + 3y – 9 = 66 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

\(\frac{x}{99-9} = \frac{y}{12+63}= \frac{1}{21+44}\\⇒\frac{x}{90} = \frac{y}{75}= \frac{1}{65}\\⇒\frac{x}{18} = \frac{y}{15}= \frac{1}{13}\\∴x=\frac{18}{13};\quad y= \frac{15}{13}\)
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁸/₁₃, ¹⁵/₁₃)
সরলরেখা তিনটি একই বিন্দু দিয়ে যাবে যদি (¹⁸/₁₃, ¹⁵/₁₃) বিন্দু দ্বারা 13x + ay – 48 = 0 সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ 13.¹⁸/₁₃ + a.¹⁵/₁₃ – 48 = 0
বা, 234 + 15a – 624 = 0
বা, 15a = 390
∴ a = 26
Ans: a -র মান 26
24. a₁x + b₁y + c =0 , a₂x + b₂y + c = 0 এবং a₃x + b₃y + c = 0 (c ≠ 0) সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হলে দেখাও যে (a₁ , b₁), (a₂, b₂) এবং (a₃, b₃) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
Solution: ধরি, a₁x + b₁y + c =0 , a₂x + b₂y + c = 0 এবং a₃x + b₃y + c = 0 (c ≠ 0) সরলরেখা তিনটি (α, β) বিন্দুগামী।
∴ a₁α + b₁β + c = 0 . . . (i)
   a₂α + b₂β + c = 0 . . . (ii)
এবং a₃α + b₃β + c = 0 . . . (iii)
(i), (ii) এবং (iii) থেকে বলা যায়,
aα + bβ + c = 0 এর তিনটি সমাধান (a₁, b₁), (a₂, b₂) এবং (a₃, b₃)
∴ xα + yβ + c = 0 সরলরেখার ওপর (a₁, b₁), (a₂, b₂),এবং (a₃, b₃) বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
অতএব (a₁, b₁), (a₂, b₂) এবং (a₃, b₃) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
25. দেখাও যে (α, β) বিন্দুগামী এবং a₁x + b₁y + c₁ = 0 ও a₂x + b₂y + c₂ = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়,
\(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_1α+ b_1β+ c_1}= \frac{a_2x + b_2y + c_2}{a_2α+ b_2β+ c_2}\)
Solution: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ও a₂x + b₂y + c₂ = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
a₁x + b₁y + c₁ + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 . . . (i)
ছেদবিন্দুগামী সরলরেখাটি (α, β) বিন্দুগামী।
∴ a₁α + b₁β + c₁ + k(a₂α + b₂β + c₂) = 0
\(⇒k=-\frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}\)
(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই,
\(\quad a_1x + b_1y + c_1 -\frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}(a_2x + b_2y + c_2) = 0\\⇒a_1x + b_1y + c_1 = \frac{a_1α+ b_1β+ c_1}{a_2α+ b_2β+ c_2}(a_2x + b_2y + c_2)\\⇒\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_1α+ b_1β+ c_1} = \frac{a_2x + b_2y + c_2}{a_2α+ b_2β+ c_2}\ (Proved)\)
26. প্রমাণ করো যে, xcos θ + ysin θ = p সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের সমীকরণ হয়,   p² (x² + y²) = 4x²y²
Solution:
xcos θ + ysin θ = p
⇒ \(\frac{x}{psec θ}+\frac{y}{pcosec θ}=1\)
সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে (psec θ, 0), (0, pcosec θ) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = ^{psec θ+0}/₂
বা, 2h = psec θ
বা, cos θ = ^p/_2h
এবং k = ^{0+pcosec θ}/₂
বা, 2k = pcosec θ
বা, sin θ = ^p/_2k
∵ sin² θ + cos² θ = 1
বা, ^p²/_4k² + ^p²/_4h² = 1
বা, ^p²(h²+k²)/_4h²k² = 1
বা, p²(h² + k²) = 4h²k²
Ans: সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী ছিন্ন অংশের সমীকরণ হয় p²(x² + y²) = 4x²y²
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. (2, 3) বিন্দুগামী কোনো সরলরেখা দ্বারা অক্ষ দুটির ছেদিতাংশের সমষ্টি 10 একক। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি,সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a ও b একক ছিন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
বা, bx + ay = ab
প্রশ্নানুযায়ী,
    a + b = 10
বা, b = 10 – a . . . (i)
সরলরেখাটি (2, 3) বিন্দুগামী,
∴ 2b + 3a = ab
বা, 2b – ab + 3a = 0
বা, b(2 – a) + 3a = 0
বা, (10 – a)(2 – a) + 3a = 0 . . . [∵ b = 10 – a]
বা, 20 – 10a – 2a + a² + 3a = 0
বা, a² – 9a + 20 = 0
বা, (a – 5)(a – 4) = 0
∴ a = 4, 5
a = 4 হলে
b = 10 – 4 = 6
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবে:
    6x + 4y = 24
বা, 3x + 2y = 12
আবার a = 5 হলে
b = 10 – 5 = 5
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবে:
    5x + 5y = 25
বা, x + y = 5
Ans: নির্ণেয় সমীকরণঃ
3x + 2y = 12 অথবা x + y = 5
2. মূলবিন্দুগামী দুটি সরলরেখা 4x + 3y = 12 সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে। সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 4x + 3y = 12
\(⇒\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
∴ সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখার অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের স্থানাঙ্ক
= (^{1.3 + 2.0}/₁₊₂, ^{1.0 + 2.4}/₁₊₂) এবং (^{2.3 + 1.0}/₁₊₂, ^{2.0 + 1.4}/₁₊₂)
= (1, ⁸/₃) এবং (2, ⁴/₃)
ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx . . . (i)
(i) নং সরলরেখাটি (1, ⁸/₃) বিন্দুগামী হলে,
⁸/₃ = m.1
⇒ m = ⁸/₃
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y = ⁸/₃x
⇒ 8x – 3y = 0
(i) নং সরলরেখাটি (2, ⁴/₃) বিন্দুগামী হলে,
   ⁴/₃ = m.2
⇒ m = ²/₃
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y = ²/₃x
⇒ 2x – 3y = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
8x – 3y = 0 এবং
2x – 3y = 0
3. একটি পরিবর্তনশীল সরলরেখা AB, যা x ও y-অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে, সর্বদাই একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (α, β) দিয়ে যায়। যে বিন্দুতে AB রেখাংশ 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়, সেই বিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(a, 0) ও B(0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
বা, bx + ay = ab . . . (i)
সরলরেখাটি অক্ষ দুটির মধ্যবর্তী অংশ যে বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h = ^{1.a + 2.0}/₁₊₂
বা, h = ^a/₃
বা, a = 3h
আবার
k = ^{1.0 + 2.b}/₁₊₂
বা, k = ^2b/₃
বা, b = ^3k/₂
সরলরেখাটি নির্দিষ্ট বিন্দু (α, β) দিয়ে যায়।
∴ bα + aβ = ab . . . [(i) নং থেকে পাই]
বা, ^3k/₂.α + 3h.β = 3h.^3k/₂ . . . [a, b-এর মান বসিয়ে]
বা, 3αk + 6βh = 9hk
বা, αk + 2βh = 3hk
বা, ^α/_h + ^2β/_k = 3
Ans: বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ:
^α/_x + ^2β/_y = 3
4. (2, 3) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে 12 বর্গএকক ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন করে; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি,সরলরেখাটির সমীকরণ:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)যেখানে a ও b যথাক্রমে x ও y অক্ষের উপর ছেদিতাংশ।
প্রশ্নানুযায়ী,
    ¹/₂ab = 12
বা, ab = 24 . . . (i)
সরলরেখাটি (2, 3) বিন্দুগামী,

\(∴\ \frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)
বা, 2b + 3a = ab
বা, 2b + 3a = 24
⇒ 2ab + 3a² = 24a
বা, 3a² – 24a + 48 = 0
বা, a² – 8a + 16 = 0
⇒ (a – 4)² = 0
বা, (a – 4) = 0
বা, a = 4
(i) নং থেকে পাই,
4.b = 24
বা, b = 6
Ans: নির্ণেয় সমীকরণঃ\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\\⇒ 3x + 2y = 12\)
5. একটি সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 24 বর্গএকক। সমকোণী ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক হলে সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি,সরলরেখাটি x ও y অক্ষ থেকে যথাক্রমে a ও b একক ছিন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
বা, bx + ay = ab
প্রশ্নানুযায়ী,
   ¹/₂|ab| = 24
বা, ab = ±48 . . . (i)
আবার অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 একক
\(∴\sqrt{(a)^2+(b)^2}=10\)
বা, a² + b² = 100
∵ ab = ±48 এবং a² + b² = 100
∴ a = ±8, b = ±6
অথবা
  a = ±6, b = ±8
a = ±8, b = ±6 হলে,
সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:
     ±8x ± 6y = ± 48
বা, ±4x ± 3y = ± 24
অথবা
a = ±6, b = ±8 হলে,
     ±6x ± 8y = ± 48
বা, ±3x ± 4y = ± 24
Ans: সরলরেখাটির সমীকরণ হবেঃ
   ±4x ± 3y = ± 24,
   ±3x ± 4y = ± 24
6. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু দুটি (2a, 0), (0, a) এবং সমান বাহু দুটির একটির সমীকরণ x = 2a। ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ এবং তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, ABC ত্রিভুজের ভূমি BC -এর C(2a, 0) এবং B(0, a) বিন্দুতে অবস্থিত।
সমান বাহু দুটির একটির সমীকরণ x = 2a।
ধরি, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2a, k)
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ AC = AB
\(\sqrt{(2a-2a)^2+(k-0)^2}= \sqrt{(2a-0)^2+(k-a)^2}\)
⇒ k²= 4a² + k² – 2ka + a²
⇒ 5a² = 2ak
⇒ 5a = 2k
⇒ k = ^5a/₂
∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2a, ^5a/₂)
AB বাহুর সমীকরণ:\(\ \frac{y – a}{a-\frac{5a}{2}} = \frac{x – 0}{0 – 2a}\\⇒\frac{y – a}{-\frac{3a}{2}} = \frac{x}{- 2a}\\⇒\frac{2y – 2a}{3} = \frac{x – 0}{2}\)
বা, 3x – 4y + 4a = 0
BC বাহুর সমীকরণ:\(\ \frac{y – 0}{0-a}= \frac{x – 2a}{2a – 0}\\⇒\frac{y}{-a}= \frac{x – 2a}{2a} \\⇒ \frac{y}{-1} = \frac{x – 2a}{2}\)
বা, x + 2y – 2a = 0
ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু হল A(2a, 0), B(0, a), এবং C(2a, ^5a/₂)
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ¹/₂[2a(a – ^5a/₂) + 0 + 2a(0 – a)]
= ¹/₂[2a×(-^3a/₂) + 0 + 2a( – a)]
⇒ ¹/₂[a×(-3a) – 2a²]
= ¹/₂[-3a² + 0 – 2a²]
= – ^5a²/₂ বর্গএকক
Ans: অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
3x – 4y + 4a = 0 এবং
x + 2y – 2a = 0
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ^5a²/₂ বর্গএকক
7. (4, 5) ও (7, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ 5x + 4y = 4 সরলরেখা দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয় তা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, (4, 5) ও (7, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ P বিন্দু দ্বারা m : n অনুপাতে বিভক্ত হয়।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক
=(^{4n + 7m}/_{m + n}, ^{5n – m}/_{m + n})
বিন্দুটি 5x + 4y = 4 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 5.^{4n + 7m}/_{m + n} + 4.^{5n – m}/_{m + n} = 4
বা, 5(4n + 7m) + 4(5n – m) = 4(m + n)
বা, 20n + 35m + 20n – 4m = 4m + 4n
⇒ 40n + 31m – 4n – 4m = 0
বা, 36n + 27m = 0
বা, 27m = – 36n
⇒ 3m = – 4n
⇒ ^m/_n = – ⁴/₃
Ans: 4 : 3 অনুপাতে বহিঃবিভক্ত হয়।

8. A(2, 5) ও B(- 3, – 4) দুটি স্থির বিন্দু। P বিন্দু AB রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। P বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। যদি k-এর মান পরিবর্তনশীল হয়, তবে প্রাপ্তফল থেকে AB সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: P বিন্দু AB রেখাংশকে k : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক
=(^{-3k + 2}/_{k + 1}, ^{-4k + 5}/_{k + 1})
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (p, q) হলে,
     p = ^{-3k + 2}/_{k + 1}
বা, pk + p = -3k + 2
বা, k(p + 3) = 2 – p
⇒ k = ^{2 – p}/_{p + 3} . . . (i)
এবং
     q = ^{-4k + 5}/_{k + 1}
বা, qk + q = -4k + 5
বা, k(q + 4) = 5 – q
⇒ k = ^{5 – q}/_{q + 4} . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
   ^{2 – p}/_{p + 3} = ^{5 – q}/_{q + 4}
বা, 2q + 8 – pq – 4p = 5p – pq + 15 – 3q
বা, 5q – 9p = 7
⇒ 9p – 5q + 7 = 0
Ans: P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{-3k + 2}/_{k + 1}, ^{-4k + 5}/_{k + 1})
AB সরলরেখার সমীকরণ:
9x – 5y + 7 = 0
9. A(- 2, – 5) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার প্রবণতা ³/₄। সরলরেখার ওপর অবস্থিত B বিন্দুর A বিন্দু থেকে দূরত্ব 10 একক হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: A(- 2, – 5) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার প্রবণতা ³/₄
∴ সরলরেখার সমীকরণ:
  y + 5 = ³/₄(x + 2)
বা, 4y + 20 = 3x + 6
বা, 3x – 4y – 14 = 0 . . . (i)
ধরি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(i) নং সরলরেখার ওপর B বিন্দু অবস্থিত।
∴ 3h – 4k – 14 = 0 . . . (ii)
আবার,
\(\sqrt{(h+2)^2+(k+5)^2}= 10\)
(h + 2)² +(k + 5)² = 100
বা, h² + 4h + 4 + k² + 10k + 25 = 100
বা, h² + 4h + k² + 10k = 71 . . . (iii)
(ii) ও (iii) সমাধান করে পাই,
  h = -10, k = -11
অথবা  h = 6, k = 1
Ans: B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-10, -11) অথবা (6, 1)
10. A(1, 2) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে। যদি এই সরলরেখার সঙ্গে x + y = 4 সরলরেখার ছেদবিন্দুর A থেকে দূরত্ব ¹/₃√6 একক হয়, তবে θ-র মান নির্ণয় করো।
Solution: x + y = 4 সরলরেখার উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, 4 – α)
ধরি, A(1, 2) বিন্দুগামী এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্নকারী সরলরেখা x + y = 4 সরলরেখাকে (α, 4 – α) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\sqrt{(α-1)^2+(4-α-2)^2}= \frac{1}{3}√6\\⇒\sqrt{(α-1)^2+(2-α)^2}= \frac{1}{3}√6\)
⇒ α² – 2α + 1 + 4 – 4α + α² = ¹/₉.6
⇒ 2α² – 6α + 5 = ²/₃
বা, 6α² – 18α + 13 = 0
\(∴ α = \frac{18±\sqrt{(18)^2- 4.6.13}}{2.6}\\\ = \frac{18±\sqrt{324- 312}}{12}\\\ = \frac{18±\sqrt{12}}{12}\\\ = \frac{18±2\sqrt{3}}{12}\\\ = \frac{9±\sqrt{3}}{6}\)
α = ^9+√3/₆ হলে,
4 – α
= 4 – ^9+√3/₆ =^15-√3/₆
α = ^9-√3/₆ হলে,
4 – α
= 4 – ^9-√3/₆ =^15+√3/₆
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক B(^9+√3/₆, ^15-√3/₆) অথবা B′(^9-√3/₆, ^15+√3/₆)
AB সরলরেখার প্রবনতা:
AB সরলরেখার প্রবনতা:\(tanθ = \frac{\frac{15-\sqrt{3}}{6} – 2}{\frac{9+\sqrt{3}}{6} – 1}\\\ =\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\ =\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\left(\\\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \right)}\\\ =\frac{4-2\sqrt{3}}{3-1}=2-\sqrt{3}\\∴ tanθ = tan15°\\⇒θ = 15°\)
AB′ সরলরেখার প্রবনতা:\(tanθ = \frac{\frac{15+\sqrt{3}}{6} – 2}{\frac{9-\sqrt{3}}{6} – 1}\\\ =\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\\ =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\left(\\\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \right)}\\\ =\frac{4+2\sqrt{3}}{3-1}=2+\sqrt{3}\\∴ tanθ = tan75°\\⇒θ = 75°\)
Ans: θ-র মান 15°, 75°

11. যেসব সরলরেখা (3, 1) বিন্দুগামী এবং মূলবিন্দু থেকে যাদের লম্বদূরত্ব 1 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, (3, 1) বিন্দুগামী এবং m প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
   y – 1 = m(x – 3)
বা, mx – y + (1 – 3m) = 0
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\ \frac{|m.0-0+1 – 3m|}{m^2 + 1} = 1\\⇒\frac{|1 – 3m|}{m^2 + 1} = 1\)
⇒ (1 – 3m)² = m² + 1
⇒ 1 – 6m + 9m² = m² + 1
বা, 8m² – 6m = 0
বা, 2m(4m – 3) = 0
∴ m = 0, ³/₄
m = 0 হলে সরলরেখার সমীকরণ:
   y – 1 = 0.(x – 3)
বা, y – 1 = 0
m = ³/₄ হলে সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 1 = ³/₄.(x – 3)
বা, 3x – 9 = 4y – 4
বা, 3x – 4y – 5 = 0
Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
  y – 1 = 0 এবং
3x – 4y – 5 = 0
12. দেখাও যে, মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা 5x – 3y – 2 = 0 ও x + y – 10 = 0 সরলরেখা দুটির সঙ্গে সমবিন্দু।Solution: 5x – 3y – 2 = 0 ও x + y – 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    ^x/₃₀₊₂ = ^y/_-2+50= ¹/₅₊₃
বা, ^x/₃₂ = ^y/₄₈= ¹/₈
বা, ^x/₄ = ^y/₆= 1
∴ x = 4, y = 6
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6)
মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
    ^{y – 3}/_{3 – 0} = ^{x – 2}/_{2 – 0}
বা, 3x – 6 = 2y – 6
বা, 3x – 2y = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণের বামপক্ষে (4, 6) বসিয়ে পাই,
3.4 – 2.6 = 12 – 12 = 0
∴ (i) নং সমীকরণ (4, 6) দ্বারা সিদ্ধ হয়।
মূলবিন্দু ও (2, 3) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখা দুটির সঙ্গে সমবিন্দু। (Proved)
13. প্রমাণ করো যে, ax + (b + c)y + d = 0, bx + (c + a)y + d = 0 এবং cx + (a + b)y + d = 0 সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু।
Solution: ax + (b + c)y + d = 0 ও bx + (c + a)y + d = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\frac{x}{(b+c)d-(c+a)d} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{a(c+a)-b(b+c)}\\⇒\frac{x}{bd-ad} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{ac+a^2-b^2-bc}\\⇒ \frac{x}{d(b-a)} = \frac{y}{bd-ad} = \frac{1}{(a+b)(a-b)+c(a-b)}\\⇒ \frac{x}{-d(a-b)} = \frac{y}{-d(a-b)} = \frac{1}{(a-b)(a+b+c)}\\⇒\frac{x}{-d} = \frac{y}{-d} = \frac{1}{(a+b+c)}\\∴ x = \frac{-d}{a+b+c}\ , y = \frac{-d}{a+b+c}\)∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\)
cx + (a + b)y + d = 0 সমীকরণের বামপক্ষে\(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\) বসিয়ে পাই,\(c.\frac{-d}{a+b+c} + (a + b).\frac{-d}{a+b+c} + d \\=\frac{-cd-ad-bd+ad+bd+cd}{a+b+c} =0\)∴ cx + (a + b)y + d = 0 সমীকরণ \(\left( \frac{-d}{a+b+c}\ , \frac{-d}{a+b+c} \right)\) দ্বারা সিদ্ধ হয়।
∴ প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু। (Proved)
14. xcos α + ysin α = p , xcos β + ysin β = q এবং y = xtan θ সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো।
Solution: xcos α + ysin α = p ও xcos β + ysin β = q সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
\(\ \frac{x}{-qsin α + psin β} = \frac{y}{-pcos β + qcos α} = \frac{1}{cos α.sin β – sin α.cos β}\\⇒ \frac{x}{psin β – qsin α} = \frac{y}{qcos α – pcos β} = \frac{1}{sin (β – α)}\\∴ \frac{x}{psin β – qsin α} = \frac{1}{sin (β – α)}\\⇒ x = \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}\)এবং\(\frac{y}{qcos α – pcos β} = \frac{1}{sin (β – α)}\\⇒ y = \frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}\)
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক\(\left( \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)},\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)} \right)\)
সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হবে যদি y = xtan θ সমীকরণটি \(\left( \frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)},\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)} \right)\) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়।\(∴\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}=\frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}.tan θ\\⇒\frac{qcos α – pcos β}{sin (β – α)}=\frac{psin β – qsin α}{sin (β – α)}.\frac{sin θ}{cos θ}\)
⇒ cosθ(qcosα – pcosβ) = sinθ(psinβ – qsinα)
⇒ qcosθcosα – pcosθcosβ = psinθsinβ – qsinθsinα
⇒, q(cosθcosα + qsinθsinα) = p(cosθcosβ + sinθsinβ)
⇒ qcos(θ – α) = pcos(θ – β)
Ans: সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হবে যদি qcos(θ – α) = pcos(θ – β) হয়।
15. ab + bc + ca = 0 হলে দেখাও যে,
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{c},\ \frac{x}{b} + \frac{y}{c} = \frac{1}{a} ও\ \frac{x}{c} + \frac{y}{a} = \frac{1}{b}\) সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু।
Solution:
\(\ ab + bc + ca = 0\\⇒\frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc} + \frac{ca}{abc} = 0\\⇒\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0\\∵\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{c}\\⇒\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = -\frac{1}{a} – \frac{1}{b} . . . (i)\)আবার \(\ \frac{x}{b} + \frac{y}{c} = \frac{1}{a}\\⇒\frac{x}{b} + \frac{y}{c} = -\frac{1}{b} – \frac{1}{c} . . . (ii)\)এবং\(\ \frac{x}{c} + \frac{y}{a} = \frac{1}{b}\\⇒\frac{x}{c} + \frac{y}{a} = -\frac{1}{c} – \frac{1}{a} . . . (iii)\)
(i), (ii) এবং (iii) থেকে বলা যায় যে সরলরেখা তিনটি (-1, -1) বিন্দুগামী।
∴ প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু। (Proved)

16. px + qy + r = 0 সরলরেখার পরিবর্তনশীল সহগ তিনটি p, q, r-এর মধ্যে pa + qb + rc = 0 সম্বন্ধ থাকলে (যেখানে a, b, c স্থির ধ্রূবক), দেখাও যে পরিবর্তনশীল সরলরেখাটি সর্বদা একটি স্থির বিন্দুগামী।
Solution: pa + qb + rc = 0
বা, \(\frac{pa}{c}+\frac{qb}{c}+r=0 . . . (i)\)
স্পষ্টতই (i) নং থেকে বলা যায় যে প্রদত্ত px + qy + r = 0 সরলরেখাটি \(\left( \frac{a}{c},\frac{b}{c} \right)\) বিন্দু দ্বারা সিদ্ধ হয়।
∴ px + qy + r = 0 সরলরেখাটি \(\left( \frac{a}{c},\frac{b}{c} \right)\)বিন্দুগামী।
এটি একটি স্থির বিন্দু।
∴ পরিবর্তনশীল সরলরেখাটি সর্বদা একটি স্থির বিন্দুগামী। ( Proved)
17. প্রমাণ করো যে, \(y = m_1x + c_1 , y = m_2x + c_2\ ও\ x = 0\) দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =\(\frac{1}{2}.\frac{(c_1 -c_2)^2}{|m_1- m_2|} \) বর্গএকক হবে।
Solution: সরলরেখা তিনটির সমীকরণ:
y = m₁x + c₁. . . (i)
y = m₂x + c₂. . . (ii) ও
x = 0 . . . (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
y – y = m₁x + c₁ – m₂x – c₂
বা, (m₂ – m₁)x = c₁ – c₂
বা, x = \(\frac{(c_1 -c_2)}{m_2- m_1}\)
(i) নং থেকে পাই,
\(y = m_1.\frac{(c_1 -c_2)}{m_2- m_1}+c_1\\⇒ y= \frac{m_1c_1 -m_1c_2+m_2c_1-m_1c_1}{m_2- m_1}\\⇒y= \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\)∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}, \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\right)\)
y = m₁x + c₁এবং y = m₂x + c₂ সরলরেখা y অক্ষকে যথাক্রমে (0, c₁) এবং (0, c₂) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ গঠিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি \(A(0, c_1), B(0, c_2)\) এবং C\(\left(\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}, \frac{m_2c_1-m_1c_2}{m_2- m_1}\right)\)
ত্রিভুজেটির ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}.\left| \left[ 0+0+\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}(c_1 -c_2) \right] \right|\\=\frac{1}{2}.\left| \left[\frac{c_1 -c_2}{m_2- m_1}(c_1 -c_2) \right] \right|\\=\frac{1}{2}.\frac{(c_1 -c_2)^2}{|m_2- m_1|}\)বর্গএকক
18. ^x/₂+ ^y/₃ =1 এবং ^x/₃+ ^y/₂ =1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী একটি গতিশীল সরলরেখা x ও y-অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ^x/₂+ ^y/₃ =1 এবং ^x/₃+ ^y/₂ =1 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
   (^x/₂+ ^y/₃ – 1) + k( ^x/₃+ ^y/₂ -1) = 0
বা, 3x + 2kx + 2y + 3ky = 6k + 6
বা, (3 + 2k)x + (2 + 3k)y = 6(k + 1)
\(⇒ \frac{x}{\frac{6(k + 1)}{3+2k}} + \frac{y}{\frac{6(k + 1)}{2 + 3k}} =1\)
∴ A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(\left( \frac{6(k + 1)}{3+2k},0 \right),\left( 0,\frac{6(k + 1)}{2 + 3k} \right)\)
AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু (α, β) হলে,
    α = ^{3(k + 1)}/_{3 + 2k}
বা, 3α + 2kα = 3k + 3
বা, k(2α – 3) = 3(1 – α)
⇒ k = ^{3(1 – α)}/_{2α – 3} . . . (i)
     β = ^{3(k + 1)}/_{2 + 3k}
বা, 2β + 3βk = 3k + 3
বা, k(3β – 3) = 3 – 2β
⇒ k = ^{3 – 2β}/_{3(β – 1)} . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
     ^{3(1 – α)}/_{2α – 3} = ^{3 – 2β}/_{3(β – 1)}
বা, 9β – 9 – 9αβ + 9α = 6α – 4αβ – 9 + 6β
বা, – 5αβ = -3α – 3β
⇒ – 5αβ = -3(α + β)
বা, 5αβ = 3(α + β)
Ans: AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
5xy = 3(x + y)
19. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 9 = 0 এবং 4x – 3y + 16 = 0। এর তৃতীয় বাহু D(5, 2) বিন্দু দিয়ে যায়, যেখানে BD : DC = 4 : 5। তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: AB এবং AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 9 = 0 এবং 4x – 3y + 16 = 0
স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
AB এবং AC বাহুর প্রবণতা যথাক্রমে ^-3/₄ এবং ⁴/₃
ধরি BC বাহুর প্রবণতা m
AB ও BC বাহুর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,
\(tanθ = \left| \frac{m+\frac{3}{4}}{1-m.\frac{3}{4}} \right|\\ = \left| \frac{4m+3}{4-3m} \right| . . . (i)\)
AC ও BC বাহুর মধ্যবর্তী কোণ 90° – θ

\(\quad tan(90° – θ) = \left| \frac{m-\frac{4}{3}}{1+m.\frac{4}{3}} \right|\\⇒ cotθ= \left| \frac{3m-4}{3+4m} \right| . . . (ii)\)(i)×(ii) করে পাই,\(\\ tanθ×cotθ = \left| \frac{4m+3}{4-3m}×\frac{3m-4}{3+4m} \right|\\⇒ 1= \left| \frac{4m+3}{4-3m}×\frac{3m-4}{3+4m} \right|\)
বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = ±(4m + 3)(3m – 4)
(+) চিহ্ন ধরে,
    (4 – 3m)×(3 + 4m) = (4m + 3)(3m – 4)
বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = -(4 – 3m)×(3 + 4m)
বা, 2(4 – 3m)×(3 + 4m) = 0
⇒ (4 – 3m)×(3 + 4m) = 0
∴ (4 – 3m) = 0 হলে
m = ⁴/₃ হয়।
এটি AC -এর প্রবনতা
(3 + 4m) = 0 হলে
m = ^-3/₄ হয়।
এটি AB -এর প্রবনতা
(-) চিহ্ন ধরে,
(4 – 3m)×(3 + 4m) = -(4m + 3)(3m – 4)
বা, (4 – 3m)×(3 + 4m) = (4 – 3m)×(3 + 4m)
এখান থেকে m-এর কোনো মান পাওয়া যাবে না।
∴ m = ∞
∴ BC -এর প্রবনতা ∞
অতএব BC সরলরেখাটি y অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, BC সরলরেখার সমীকরণ x = k
সরলরেখাটি D(5, 2) বিন্দুগামী।
∴ 5 = k
BC সরলরেখার সমীকরণ x = 5
Ans: তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ x = 5
দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)SN DEY SEMESTER-I

এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation

এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সম্বন্ধ ও অপেক্ষক – ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation and Function
December 27, 2025
Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি
Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-I সমান্তর প্রগতি
Sequence and Series
Arithmetic Progression
SEMESTER-I
সমান্তর প্রগতি
Sequence and Series
Arithmetic Progression SEMESTER-I সমান্তর প্রগতি
সমান্তর প্রগতি
1(i). কোনো সমান্তর শ্রেণির 10-তম পদ ‘-15’ এবং 31-তম পদ ‘-57’। শ্রেণিটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t₁₀= a + 9d = -15 . . . (i)
এবং t₃₁= a + 30d = -57 . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + 9d – a – 30d = -15 + 57
⇒ – 21d = 42
⇒ d = -2
(i) নং থেকে পাই,
a + 9(-2) = -15
⇒ a = -15 +18
⇒ a = 3
Ans: শ্রেণিটির প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর -2
1(ii). কোনো সমান্তর শ্রেণির p-তম পদ q এবং q-তম পদ p হলে দেখাও যে, তার (p + q) তম পদ 0।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t_p= a + (p – 1)d = q . . . (i)
এবং t_q= a + (q – 1)d = p . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + (p – 1)d – a – (q – 1)d = q – p
⇒(p – 1 – q + 1)d = q – p
⇒(p – q)d = -(p -q)
∴ d = -1
(i) নং থেকে পাই,
a + (p – 1)(-1) = q
⇒ a – p + 1 = q
⇒ a = q + p – 1
∴ t_{p + q}
= a + (p + q – 1)d
== q + p – 1 – (p + q – 1)
= q + p – 1 – p – q + 1
= 0
সমান্তর শ্রেণির (p + q) তম পদ 0। (Proved)
1(iii). মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির r-তম পদ T_r ;যদি mT_m = nT_n হয়, তবে দেখাও যে, T_{m + n} = 0
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∵ mT_m = nT_n
∴ m[a + (m – 1)d] = n[a + (n – 1)d]
⇒ ma + (m² – m)d = na + (n² – n)d
⇒ ma – na + (m² – m – n²+ n)d = 0
=⇒(m – n)a + [(m + n)(m – n) -1(m – n)]d = 0
⇒ (m – n)a + (m – n)(m + n – 1)d = 0
⇒ a + (m + n – 1)d = 0
∴ T_{m + n}
= a + (m + n – 1)d
= 0
∴ T_{m + n}= 0 (Proved)
2. (i) (7, 11, 15, 19, . . . ) সমান্তর প্রগতির কোন্ পদ 111?
Solution: ধরি, প্রগতিটির n পদ 111
প্রগতিটির প্রথম পদ 7 এবং সাধারণ অন্তর 4
∴ t_n= 7 + (n – 1)4 = 111
⇒ (n – 1)4 = 104
⇒ n – 1 = 26
∴ n = 27
Ans: সমান্তর প্রগতির 27-তম পদ 111
6(ii). (2, 9, 16, 23, . . . ) সমান্তর প্রগতির কোনো পদ 600 হতে পারে কি? তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
Solution: ধরি, যদি সম্ভব হয় তবে প্রগতিটির n পদ 600
প্রগতিটির প্রথম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 7
∴ t_n= 2 + (n – 1)7 = 600
⇒ (n – 1)7 = 598
⇒ 7n – 7 = 598
=⇒ 7n = 605
⇒ n = ⁶⁰⁵/₇ = 86³/₇
প্রগতির পদ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n ≠ 86³/₇
Ans: সমান্তর প্রগতির কোনো পদ 600 হতে পারে না।
3(i). নিম্নলিখিত সমান্তর প্রগতির ‘. . .’ চিহ্নিত স্থানগুলি পূরণ করো:
1 , . . . , . . . , (-50)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির সাধারণ অন্তর d
প্রগতিটির প্রথম পদ 1 এবং চতুর্থ পদ -50
∴ t₄= 1 + 3d = -50
⇒ 3d = -51
⇒ d = -17
Ans: চিহ্নিত স্থানগুলির পদগুলো হলো -16, -33
3(ii). নিম্নলিখিত সমান্তর প্রগতির ‘. . .’ চিহ্নিত স্থানগুলি পূরণ করো: . . . , . . . , 19, . . . , . . . , 31
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t₆– t₃= 31 – 19
⇒ a + 5d – a – 2d = 12
⇒ 3d = 12
∴ d = 4
আবার,
t₃= a + 2d = 19
⇒ a + 2.4 = 19
⇒ a = 11
Ans: চিহ্নিত স্থানগুলির পদগুলো হলো 11, 15, 23, 27
SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 বীজগণিত
- 1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
- 2. দ্বিপদ উপপাদ্য
- 3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
  - অনুক্রম
  - সমান্তর প্রগতি
  - গুণোত্তর প্রগতি
👉 UNIT-2 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)
- 1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
- 2. সরলরেখা
- 3. বৃত্ত
- 4. অধিবৃত্ত
- 5. উপবৃত্ত
- 6. পরাবৃত্ত
- UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
👉 UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
4. a² + 2a + 2, 3a² + 6a + 6 এবং 4a² + 5a + 4 সমান্তর প্রগতিতে আছে, a-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: a² + 2a + 2, 3a² + 6a + 6 এবং 4a² + 5a + 4 সমান্তর প্রগতিতে আছে।
∴ (3a² + 6a + 6) – (a² + 2a + 2) = (4a² + 5a + 4) – (3a² + 6a + 6)
⇒ 3a² + 6a + 6 – a² – 2a – 2 = 4a² + 5a + 4 – 3a² – 6a – 6
⇒ 2a² + 4a + 4 = a² – a – 2
বা, 2a² + 4a + 4 – a² + a + 2 = 0
⇒ a² + 5a + 6 = 0
⇒ a² + 3a + 2a + 6 = 0
বা, a(a+ 3) + 2(a + 3) = 0
⇒ (a+ 3)(a + 2) = 0
∴ a = -2, -3
Ans: a-এর মান -2, -3
5. কোনো সমান্তর প্রগতির n-তম পদ 3n-1। প্রগতিটি নির্ণয় করো।
Solution: সমান্তর প্রগতির n-তম পদ 3n-1
∴ t_n = 3n-1
n-এর স্থলে 1, 2, 3 . . . বসিয়ে পাই,
t₁ = 3.1 – 1 = 2
t₂ = 3.2 – 1 = 5
t₃ = 3.3 – 1 = 8
t₄ = 3.4 – 1 = 11
. . . . . . . .
Ans: প্রগতিটি হল {2, 5, 8, 11,…}
6(i). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো:
2 + 5 + 8 + . . . + 152
Solution: শ্রেণিটির প্রথম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 3
ধরি, n তম পদ 152
∴ t_n = 2 + (n – 1)3 = 152
বা, (n – 1)3 = 150
বা, n – 1 = 50
⇒ n = 51
শ্রেণিটির মধ্যপদটি হল ^{51 + 1}/₂ বা, 26-তম পদ।
∴ t₂₆ = 2 + 25×3 = 77
শ্রেণিটির যোগফল
= ⁵¹/₂(2 + 152)
= ⁵¹/₂×154
== 51× 77 = 3927
Ans: মধ্যপদটি হল 77
        শ্রেণিটির যোগফল 3927
6(ii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₆ + . . . + (-⁵/₆)
Solution: শ্রেণিটির প্রথম পদ ¹/₂ এবং সাধারণ অন্তর = ¹/₃ – ¹/₂ = –¹/₆
ধরি, n তম পদ (-⁵/₆)
∴ t_n = ¹/₂ + (n – 1)(-¹/₆) = (-⁵/₆)
বা, 3 – (n – 1) = -5
বা, -n + 1 = -8
⇒ -n = -9
বা, n = 9
শ্রেণিটির মধ্যপদটি হল ^{9 + 1}/₂ বা, 5-তম পদ।
∴ t₅ = ¹/₂ + 4×(-¹/₆)
       = ¹/₂ – ²/₃
       = ^{3 – 4}/₆ = – ¹/₆
শ্রেণিটির যোগফল
= ⁹/₂(¹/₂ – ⁵/₆ )
= ⁹/₂×^{3 – 5}/₆
== ⁹/₂×(-²/₆)
= ⁹/₂×(-¹/₃)
= –³/₂ = -1¹/₂
Ans: মধ্যপদটি হল – ¹/₆
        শ্রেণিটির যোগফল -1¹/₂
6(iii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: 2 + 2.4 + 2.8 + . . . + 10.4
Solution: শ্রেণিটির প্রথম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 0.4
ধরি, n তম পদ 10.4
∴ t_n = 2 + (n – 1)0.4 = 10.4
বা, (n – 1)0.4 = 8.4
বা, n – 1 = 21
⇒ n = 22
শ্রেণিটির মধ্যপদ দুটি হল ²²/₂, (²²/₂+1) বা, 11-তম এবং 12-তম পদ।
∴ t₁₁ = 2 + 10×0.4 = 6
এবং t₁₂ = 2 + 11×0.4 = 6.4
শ্রেণিটির যোগফল
= ²²/₂(2 + 10.4)
= 11×12.4 = 136.4
Ans: মধ্যপদ দুটি হল 6, 6.4
        শ্রেণিটির যোগফল 136.4
6(iv). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো:
1 + 5 + 9 + . . . + 101
Solution: শ্রেণিটির প্রথম পদ 1 এবং সাধারণ অন্তর 4
ধরি, n তম পদ 101
∴ t_n = 1 + (n – 1)4 = 101
বা, (n – 1)4 = 100
⇒ n – 1 = 25
বা, n = 26
শ্রেণিটির মধ্যপদ দুটি হল ²⁶/₂, (²⁶/₂ + 1) বা, 13 -তম এবং 14-তম পদ।
∴ t₁₃ = 1 + 12.4 = 49
এবং t₁₄ = 1 + 13.4 = 53
শ্রেণিটির যোগফল
= ²⁶/₂(1 + 101)
= 13×102 = 1326
Ans: মধ্যপদ দুটি হল 49, 53
        শ্রেণিটির যোগফল 1326
7. একটি সমান্তর শ্রেণির 12-তম পদ (-13) এবং প্রথম চারটি পদের যোগফল 24 হলে, প্রথম 10 টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
t₁₂ = a + 11d = -13
বা, a = -13 – 11d . . . (i)
এবং
S₄ = ⁴/₂(2a + 3d) = 24
বা, 2(2a + 3d) = 24
বা, 2a + 3d = 12
⇒ 2(-13 – 11d) + 3d = 12 . . . [(i) নং থেকে]
⇒ -26 – 22d + 3d = 12
বা, – 19d = 38
বা, d = -2
(i) নং থেকে পাই,
a = -13 – 11(-2)
    = -13 + 22 = 9
∴ প্রথম 10 টি পদের যোগফল
= ¹⁰/₂{2.9 + 9.(-2)}
== 5.(18 – 18)
= 5.0 = 0
Ans: প্রথম 10 টি পদের যোগফল 0

8. একটি সমান্তর শ্রেণির 5-তম ও 11-তম পদ দুটি যথাক্রমে 41 ও 20। তার প্রথম পদ কত? এই শ্রেণির প্রথম 11টি পদের যোগফল কত হবে?
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
t₅ = a + 4d = 41 . . . (i)
এবং
t₁₁ = a + 10d = 20 . . . (ii)
(ii) – (i) করে পাই,
    a + 10d – a – 4d = 20 – 41
বা, 6d = -21
বা, d = – ²¹/₆
⇒ d = –⁷/₂
(i) নং থেকে পাই,
     a + 4×(-⁷/₂) = 41
বা, a – 14 = 41
বা, a = 55
∴ প্রথম 11টি পদের যোগফল
S₁₁ = ¹¹/₂.{2.55 + 10(-⁷/₂)}
    = ¹¹/₂×2(55 – ³⁵/₂)
== 11×^{110 – 35}/₂
    = 11×⁷⁵/₂
    = ⁸²⁵/₂ = 412 ¹/₂
Ans: সমান্তর শ্রেণির প্রথম পদ 55
       প্রথম 11টি পদের যোগফল 412 ¹/₂
9. একটি সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি n²; সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।
Solution: সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি n²
∴ S_n= n²
∴ t_n = S_n– S_{n – 1}= n² – (n – 1)²
⇒ n² – n² + 2n + 1
= 2n + 1
∴ সাধারণ অন্তর
= d = t_n– t_{n – 1}⇒ 2n + 1 – [2(n – 1) + 1]
= 2n + 1 – 2n + 2 – 1
= 2
Ans: সাধারণ অন্তর 2
10. দেখাও যে, {4 + 12 + 20 + 28 + . . . } শ্রেণিটির n সংখ্যক পদের যোগফল একটি যুগ্ম সংখ্যার বর্গ।
Solution: {4 + 12 + 20 + 28 + . . . } শ্রেণিটির,
প্রথম পদ 4 এবং সাধারণ অন্তর 8
∴ শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের যোগফল
= ⁿ/₂{2.4 + (n – 1)8}
= ⁿ/₂×2{4 + (n – 1)4}
⇒ n(4 + 4n – 4)
= n.4n = (2n)²
∴ শ্রেণিটির n সংখ্যক পদের যোগফল একটি যুগ্ম সংখ্যার বর্গ। (Proved)
11. দেখাও যে, 8 + 16 + 24 + . . . শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের যোগফলের সঙ্গে 1 যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
Solution: সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম পদ 8 এবং সাধারণ অন্তর 8
∴ শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের যোগফল
= ⁿ/₂{2.8 + (n – 1)8}
= ⁿ/₂×2{8 + 4n – 4}
⇒ n(4n + 4)
= 4n² + 4n
∴ শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের যোগফলের সঙ্গে 1 যোগ করলে হয়
4n² + 4n + 1
= (2n + 1)²
∴ শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের সঙ্গে 1 যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। (Proved)
12. 1 + 3 + 4 + 8 + 7 + 13 + 10 + 18 + . . . শ্রেণিটির 23 টি পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: 1 + 3 + 4 + 8 + 7 + 13 + 10 + 18 + . . . শ্রেণিটির 23 টি পদ পর্যন্ত
= (1 + 4 + 7 + 10 + . . . শ্রেণিটির 12 টি পদ পর্যন্ত) + (3 + 8 + 13 + 18 + . . . শ্রেণিটির 11 টি পদ পর্যন্ত)
= ¹²/₂(2.1 + 11.3) + ¹¹/₂(2.3 + 10.5)
⇒ ¹²/₂×35 + ¹¹/₂×56
= 210 + 308
= 518
Ans: নির্ণেয় যোগফল 518
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি                                                   প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. কোনো সমান্তর প্রগতির তৃতীয় পদ ¹/₅ এবং পঞ্চম পদ ¹/₃ ; দেখাও যে, ওই প্রগতির 15 টি পদের যোগফল ৪।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t₃ = a + 2d = ¹/₅ . . . (i)
এবং
   t₅ = a + 4d = ¹/₃ . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + 2d – a – 4d = ¹/₅ – ¹/₃
বা, -2d = – ²/₁₅
বা, d = ¹/₁₅
(i) নং থেকে পাই,
a + 2×¹/₁₅ = ¹/₅
বা, a = ¹/₅ – ²/₁₅
বা, a = ¹/₁₅
∴ 15 টি পদের যোগফল
= ¹⁵/₂(2×¹/₁₅ + 14×¹/₁₅)
= ¹⁵/₂×¹⁶/₁₅ = 8
প্রগতিটির 15 টি পদের যোগফল 8। (Proved)
2. কোনো শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 3p² + 5p দেখাও যে, শ্রেণিটির পদগুলি একটি সমান্তর শ্রেণি গঠন করে।
Solution: সমান্তর শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 3p² + 5p
∴ S_p = 3p² + 5p
∴ t_p = S_p – S_{p – 1}
= 3p² + 5p – [(3(p – 1)² + 5(p – 1)]
= 3p² + 5p – 3p² + 6p – 3 – 5p + 5
⇒ 6p + 2
∴ সাধারণ অন্তর
= d = t_n – t_{n – 1}
= 6n + 2 – [6(n – 1) + 2]
⇒ 6n + 2 – 6n + 6 – 2
= 6
সাধারণ অন্তর একটি ধ্রুবক সংখ্যা
∴ পদগুলি একটি সমান্তর শ্রেণি গঠন করে।
3. কোনো সমান্তর শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 4p² + 3p হলে, ওই সমান্তর শ্রেণির দ্বাদশ পদটি নির্ণয় করো।
Solution: সমান্তর শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 4p² + 3p
∴ S_p = 4p² + 3p
∴ t_p = S_p – S_{p – 1}
= 4p² + 3p – [(4(p – 1)² + 3(p – 1)]
= 4p² + 3p – 4p² + 8p – 4 – 3p + 3
⇒ 8p – 1
∴ t₁₂ = 8.12 – 1
= 96 – 1 = 95
Ans: দ্বাদশ পদটি 95
4. 51 + 53 + 55 + . . . + tn = 5151 হলে t_n এর মান নির্ণয় করো।
Solution: সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ 51 এবং সাধারণ অন্তর 2
∴ n-তম পদ পর্যন্ত যোগফল
S_n = ⁿ/₂[2.51 + (n – 1).2 = 5151
বা, n(51 + n – 1) = 5151
বা, n² + 50n – 5151 = 0
⇒ n² + 101n – 51n – 5151 = 0
বা, n(n + 101) – 51(n + 101) = 0
বা, (n + 101)(n – 51) = 0
∴ n = -101, 51
n ≠ -101
∴ n = 51
∴ t₅₁ = 51 + 50.2
= 101
Ans: t_n = t₅₁ এর মান 101
5. একটি সমান্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n² + 3n হলে, তার কোন্ পদের মান 162 হবে?

Solution: n সংখ্যক পদের সমষ্টি n² + 3n
∴ t_n = S_n– S_{n – 1}
  = n² + 3n – [(n – 1)² + 3(n – 1)]
  = n² + 3n – n² + 2n – 1 – 3n + 3
  ⇒ 2n + 2
ধরি, প্রগতিটির r-তম পদের মান 162
∴ t_r = 2r + 2 = 162
বা, 2r = 160
বা, r = 80
Ans: প্রগতিটির 80-তম পদের মান 162
6. 27 + 24 + 21 + . . . শ্রেণিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 132 হবে? এর দুটি উত্তরের কারণ ব্যাখ্যা করো।
Solution: ধরি, শ্রেণিটির n টি পদের সমষ্টি 132 হবে।
এখানে a = 27; d = -3; S_n = 132
∴ S_n= ⁿ/₂{2.27 + (n – 1)(-3)} = 132
বা, n(54 – 3n + 3) = 132×2
বা, n(57 – 3n) = 132×2
⇒ 3n(19 – n) = 132×2
বা, n(19 – n) = 44×2
বা, n² – 19n + 88 = 0
⇒ n² – 11n – 8n + 88 = 0
বা, n(n – 11) – 8(n – 11) = 0
বা, (n – 11)(n – 8) = 0
∴ n = 8, 11
Ans: শ্রেণিটির 8টি পদের সমষ্টি 132।
দুটি উত্তরের ব্যাখ্যাঃ
শ্রেণিটির নবম পদ থেকে একাদশ পদ পর্যন্ত পদগুলির সমষ্টিও শূন্য হবে।
তাই 11 টি পদের সমষ্টিও 132 হবে।
7. সসীম সংখ্যক পদবিশিষ্ট একটি সমান্তর প্রগতির প্রথম ও শেষ পদ যথাক্রমে (-2) ও 124 এবং প্রগতিটির পদসমূহের সমষ্টি 6161; প্রগতিটির পদসংখ্যা ও তার সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির সাধারণ অন্তর d এবং পদ সংখ্যা n
এখানে, a = -2; l = 124; S_n = 6161
∵ S_n= ⁿ/₂(a + l)
∴ 6161 = ⁿ/₂(-2 + 124)
বা, 6161 = ⁿ/₂.122
বা, 61n = 6161
⇒ n = 101
আবার,
t₁₀₁ = -2 + 100d = 124
বা, 100d = 126
বা, d = 1.26
Ans: প্রগতিটির পদসংখ্যা 101
       সাধারণ অন্তর 1.26
8. কোনো সমান্তর প্রগতির n-তম পদ p এবং ওই প্রগতির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি q। প্রমাণ করো যে, ওই প্রগতির প্রথম পদ ^{2q – pn}/_n
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ a + (n – 1)d = p . . . (i)
এবং
    ⁿ/₂{2a + (n – 1)d} = q
বা, ⁿ/₂{a + a + (n – 1)d} = q
বা, ⁿ/₂(a + p) = q . [(i) নং থেকে]
⇒ a + p = ^2q/_n
বা, a = ^2q/_n – p
বা, a = ^{2q – pn}/_n
∴ প্রগতিটির প্রথম পদ ^{2q – pn}/_n (Proved)
9. 2 + 3 + 5 + 9 + 8 + 15 + 11 + 21 + . . . শ্রেণিটির (2n + 1) -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution: 2 + 3 + 5 + 9 + 8 + 15 + 11 + 21 + . . . শ্রেণিটির (2n + 1) -সংখ্যক পদ পর্যন্ত
= (2 + 5 + 8 + 11 + . . . শ্রেণিটির (n + 1) -সংখ্যক পদ পর্যন্ত) + (3 + 9 + 15 + 21 + . . . শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত
= ^{n + 1}/₂{2.2 + (n + 1 – 1)3} + ⁿ/₂{2.3 + (n – 1)6}
⇒ ^{n + 1}/₂(4 + 3n) + ⁿ/₂(6n)
⇒ ¹/₂(n + 1)(4 + 3n) + 3n²
= ¹/₂(4n + 3n² + 4 + 3n + 6n²)
= ¹/₂(9n² + 7n + 4) Ans.
10(ⅰ). 91 এবং 259-এর মধ্যে কতগুলি যুগ্ম সংখ্যা আছে? ওই যুগ্ম সংখ্যাগুলির যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: 91 এবং 259-এর মধ্যে যুগ্ম সংখ্যা আছে 92, 94, 96, . . . 258
এখানে প্রথম পদ 92 এবং সাধারণ অন্তর 2
ধরি, 258 হল n তম পদ।
∴ t_n = 92 + (n – 1)2 = 258
⇒ 92 + 2n – 2 = 258
⇒ 2n = 258 – 90
⇒⇒ n = 168
⇒ n = 84
∴ সংখ্যাগুলির যোগফল
= ⁸⁴/₂(92 + 258)
= 42×350
⇒ 14700
Ans: 84 টি যুগ্ম সংখ্যা আছে।
     যুগ্ম সংখ্যাগুলির যোগফল 14700
10(ii). 100 এবং 400-এর মধ্যে 11-এর গুণিতক সংখ্যাগুলির যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: 100 এবং 400-এর মধ্যে 11-এর গুণিতক সংখ্যাগুলি হল 110, 121, 132, . . . 396
এখানে প্রথম পদ 121 এবং সাধারণ অন্তর 11
ধরি, 396 হল n তম পদ।
∴ t_n = 110 + (n – 1)11 = 396
⇒ 110 + 11n – 11 = 396
⇒11n = 396 – 99
⇒⇒11n = 297
⇒n = 27
∴ সংখ্যাগুলির যোগফল
= ²⁷/₂(110 + 396)
= ²⁷/₂×506
⇒ 27×253
= 6831
Ans: 100 এবং 400-এর মধ্যে 11-এর গুণিতক সংখ্যাগুলির যোগফল 6831
10(iii). 100 ও 10000-এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলি n³ রূপে প্রকাশ করা যায়, তাদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution: 5³ = 125; 21³ = 9261; 225³ = 10648;
100 ও 10000-এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলি n³ রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলি হল 5³, 6³7³, . . . , 21³
∴ 100 ও 10000-এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলি n³ রূপে প্রকাশ করা যায়, তাদের সমষ্টি
= (1³+ 2³+ 3³+ . . . + 21³) – (1³+ 2³+ 3³+ 4³)
= [²¹/₂(21 + 1)]² – [⁴/₂(4 + 1)]²
⇒ [²¹/₂×22]² – [⁴/₂×5]²
= (21×11)² – (2.5)²
= 53361 – 100
⇒ 53261
Ans: নির্নেয় সমষ্টি 53261
11. কোনো সমান্তর শ্রেণির n-তম পদ 7n – 5; তার প্রথম 20টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: সমান্তর শ্রেণির n-তম পদ 7n – 5;
∵ t_n= 7n – 5
∴ t₁= 7.1 – 5 = 2
∴ t₂₀= 7.20 – 5 = 135
প্রথম 20টি পদের যোগফল
= ²⁰/₂.(2 + 135)
= 10.137 = 1370
Ans: প্রথম 20টি পদের যোগফল 1370
12. (2n + 1) সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সমান্তর প্রগতির মধ্যপদটি m হলে দেখাও যে, তার (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি হয় (2n + 1)m
Solution: (2n + 1) সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সমান্তর প্রগতির মধ্যপদটি হবে ^{2n + 1 + 1}/₂= (n + 1) তম পদ।
ধরি, প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t_{n + 1}= a + (n + 1 – 1)d = m
বা, a + nd = m . . . (i)
(2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি
∴ S_{2n + 1}
= ^{2n + 1}/₂[2a + (2n + 1 – 1)d]
= ^{2n + 1}/₂(2a + 2nd)
⇒ (2n + 1)(a + nd)
= (2n + 1)m . . . [(i) নং থেকে]
∴ (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি হয় (2n + 1)m (Proved)

13(i). সমান্তর শ্রেণিভুক্ত তিনটি অখণ্ড সংখ্যার যোগফল 15 এবং তাদের গুণফল 80; সংখ্যা তিনটি নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, তিনটি সমান্তর শ্রেণিভুক্ত তিনটি অখণ্ড সংখ্যা হল a – b, a, a + b
  ∴ a – b + a + a + b = 15
বা, 3a = 15
বা, a = 5
আবার,
    (a – b)a(a + b) = 80
বা, (5 – b).5.(5 + b) = 80
বা, 25 – b² = 16
⇒ – b² = 16 – 25 = -9
বা, b² = 9
বা, b = ± 3
b = 3 হলে,
সংখ্যা তিনটি (5 – 3), 5, (5 + 3) = 2, 5, 8
b = -3 হলে,
সংখ্যা চারটি {5 – (-3)}, 5, {5 + (-1)} = 8, 5, 2
Ans: সংখ্যা তিনটি 2, 5, 8 বা, 8, 5, 2
13(ii). সমান্তর শ্রেণিভুক্ত চারটি অখণ্ড সংখ্যার যোগফল 20 এবং তাদে বর্গের যোগফল 120; সংখ্যা চারটি নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণিভুক্ত চারটি অখণ্ড সংখ্যা হল a – 3b, a – b, a + b, a + 3b
∴ a – 3b + a – b + a + b + a + 3b = 20
বা, 4a = 20
বা, a = 5
আবার,
(a – 3b)² + (a – b)² + (a + b)² + (a + 3b)² = 120
বা, (a – 3b)² + (a + 3b)²+ (a – b)² + (a + b)² = 120
বা, 2{a² + (3b)²} + 2{a² + b²} = 120
⇒ a² + 9b² + a² + b² = 60
বা, 2(a² + 5b²) = 60
বা, a² + 5b² = 30
⇒ 5² + 5b² = 30
বা, 5b² = 5
বা, b = ±1
b = 1 হলে,
সংখ্যা চারটি (5 – 3.1), (5 – 1), (5 + 1), (5 + 3.1) = 2, 4, 6, 8
b = -1 হলে,সংখ্যা চারটি {5 – 3.(-1)}, (5 + 1), (5 – 1), {5 + 3.(-1)} = 8, 6, 4, 2
Ans: সংখ্যা চারটি 2, 4, 6, 8 বা, 8, 6, 4, 2
14. 21-কে এমন তিনটি অংশে বিভক্ত করো, যাতে অংশগুলি সমান্তর প্রগতিতে থাকে এবং প্রথম ও দ্বিতীয় অংশের গুণফল 21 হয়।
Solution: ধরি, অংশ তিনটি হল a – b, a, a + b
∴ a – b + a + a + b = 21
বা, 3a = 21
বা, a = 7
আবার,
(a – b)a = 21
বা, (7 – b).7 = 21
বা, 7 – b = 3
⇒ – b = -4
বা, b = 4
Ans: অংশ তিনটি হল (7 – 4), 7, (7 + 4) = 3, 7, 11
15. কোনো সমান্তর শ্রেণির একাদশ এবং চতুর্দশ পদ দুটির অনুপাত 7: 9; তার দশম এবং তৃতীয় পদের অনুপাত নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t₁₁ = a + 10d এবং
    t₁₄ = a + 13d
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{a + 10d}{a + 13d} = \frac{7}{9}\\⇒ 7a + 91d = 9a + 90d\\⇒ d = 2a\\∴ \frac{a + 9d}{a + 2d}\\ = \frac{a + 9.2a}{a + 2.2a}\\= \frac{19a}{5a} = \frac{19}{5}\)
Ans: দশম এবং তৃতীয় পদের অনুপাত 19 : 5
16. -19 এবং 23-এর মধ্যে পাঁচটি সমান্তরীয় মধ্যক বসাও।
Solution: -19 এবং 23-এর মধ্যে পাঁচটি সমান্তরীয় মধ্যক বসালে মোট পদসংখ্যা হয় 7টি।
ধরি, সাধারণ অন্তর d
∴ t₇= -19 + 6d = 23
বা, 6d = 23 + 19
বা, 6d = 42
⇒ d = 7
Ans: -19 এবং 23-এর মধ্যে পাঁচটি সমান্তরীয় মধ্যক হলো -12, -5, 2, 9, 16
17. 4 ও 31-এর মধ্যে n -সংখ্যক সমান্তরীয় মধ্যক আছে। যদি দ্বিতীয় মধ্যক : শেষ মধ্যক = 5 : 14 হয়, তবে n-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: 4 ও 31-এর মধ্যে n -সংখ্যক সমান্তরীয় মধ্যক থাকলে 31 হবে শ্রেণীটির n + 2 তম পদ।
এখানে প্রথম পদ 4 এবং শেষ পদ 31
ধরি সাধারণ অন্তর d
∴ t_{n + 2}= 4 + (n + 2 – 1)d = 31
বা, (n + 1)d = 27 . . . (i)
প্রশ্নানুযায়ী,
  ^{4 + 2d}/_{31 – d} = ⁵/₁₄
বা, 56 + 28d = 155 – 5d
বা, 33d = 155 – 56
⇒ 33d = 99
বা, d = 3
(i) নং থেকে পাই,
    (n + 1)3 = 27
বা, n + 1 = 9
বা, n = 8
Ans: n-এর মান 8
18(i). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, (a + 2b – c)(2b + c – a)(c + a – b) = 4abc
Solution: a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
∴ a + c = 2b
L.H.S.
= (a + 2b – c)(2b + c – a)(c + a – b)
= (a + a + c – c)(a + c + c – a)(2b – b)
== 2a.2c.b
= 4abc = R.H.S.
∴ (a + 2b – c)(2b + c – a)(c + a – b) = 4abc (Proved)
18(ii). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, a²(b + c), b²(c + a), c²(a + b) [ab + bc + ca ≠ 0] সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
Solution: a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
∴ a + c = 2b
   a²(b + c) + c²(a + b)
= a²b + a²c + ac² + bc²
= a²b + bc² + a²c + ac²
== b(a² + c²) + ac(a + c)
= b{(a + c)² – 2ac} + ac.2b
= b(a + c)² – 2abc + 2abc
== b(a + c)²
= b(a + c)(a + c)
== b.2b(a + c)
= b²(c + a) . . . [∵ 2b = a + c]
∴ a²(b + c), b²(c + a), c²(a + b) সমান্তর শ্রেণিতে আছে। (Proved)

18(iii). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, \(\frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}\) সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
Solution: a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
∴ b – a = c – b
\(⇒\frac{b – a}{abc} = \frac{c – b}{abc}\\⇒ \frac{b}{abc} – \frac{a}{abc} = \frac{c}{abc} – \frac{b}{abc}\\⇒ \frac{1}{ca} – \frac{1}{bc} = \frac{1}{ab} – \frac{1}{ca}\\∴ \frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}\) সমান্তর শ্রেণিতে আছে।
19. কোনো সমান্তর প্রগতির p-তম, q-তম ও r-তম পদগুলি যথাক্রমে P, Q, R হলে দেখাও যে, p(Q – R) + q(R – P) + r(P – Q) = 0
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t_p = a + (p – 1)d = P
   t_q = a + (q – 1)d = Q
   t_r = a + (r – 1)d = R
L.H.S.
= p(Q – R) + q(R – P) + r(P – Q)
= p[{a + (q – 1)d} – {a + (r – 1)d}] + q[{a + (r – 1)d} – {a + (p – 1)d}] + r[{a + (p – 1)d} – {a + (q – 1)d}]}
== p[a + (q – 1)d – a – (r – 1)d] + q[a + (r – 1)d – a – (p – 1)d] + r[a + (p – 1)d – a – (q – 1)d}]
= p[(q – 1)d – (r – 1)d] + q[(r – 1)d – (p – 1)d] + r[(p – 1)d – (q – 1)d}]
= p(q – 1 – r + 1)d + q(r – 1 – p + 1)d + r(p – 1 – q + 1)d
== p(q – r)d + q(r – p)d + r(p – q)d
= d(pq – rp + qr – pq + rp – qr)
= d×0 = 0 = R.H.S.
p(Q – R) + q(R – P) + r(P – Q) = 0 (Proved)
\(20.(i) \frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}\) সমান্তর প্রগতিভুক্ত হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\)\) সমান্তর প্রগতিতে আছে [ a + b +c ≠ 0]
\(Solution:\ \frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}\)সমান্তর প্রগতিভুক্ত \(\\⇒ \frac{b + c}{a}+1, \frac{c + a}{b}+1, \frac{a + b}{c}+1\)সমান্তর প্রগতিভুক্ত \(\\⇒ \frac{b + c + a}{a}, \frac{c + a + b}{b}, \frac{a + b + c}{c}\)সমান্তর প্রগতিভুক্ত \(\\⇒ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}1\)সমান্তর প্রগতিভুক্ত (Proved)
20(ii). মনে করো, a (a ≠ 0) একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যা এবং \(\frac{a – x }{px}=\frac{a – y}{qy}=\frac{a – z}{rz}\) যদি p, q, r সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হয় তবে দেখাও যে \(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\)
\(Solution:\ \frac{a – x }{px}=\frac{a – y}{qy}=\frac{a – z}{rz}\\⇒\frac{\frac{a}{x} – 1 }{p}=\frac{\frac{a}{y} – 1}{q}=\frac{\frac{a}{z}-1}{r}=k\ (let)\\∴ \frac{\frac{a}{x} – 1}{p}⇒ \frac{a}{x}-1 = pk\\∴ \frac{\frac{a}{y} – 1}{q}= k ⇒ \frac{a}{y}-1= qk\\∴ \frac{\frac{a}{z}-1}{r} = k ⇒ \frac{a}{z}-1 = rk\)
p, q, r সমান্তর শ্রেণিভুক্ত
  ∴ p + r = 2q
বা, pk + rk = 2qk
\(⇒ \frac{a}{x}-1 + \frac{a}{z}-1 = 2\left( \frac{a}{y}-1 \right)\\⇒ \frac{a}{x} + \frac{a}{z}-2 = \frac{2a}{y}-2\\⇒ \frac{a}{x} + \frac{a}{z} = \frac{2a}{y}\\⇒ \frac{a}{x} + \frac{a}{z} = 2.\frac{a}{y}\\∴\ \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}\) সমান্তর শ্রেণিভুক্ত (Proved)
20(iii). যদি a + c = 2b এবং ab + cd + ad = 3bc হয় তবে প্রমাণ করো a, b, c, d সমান্তর শ্রেণিভুক্ত ( b ≠ 0)
Solution:
a + c = 2b
∴ a, c, b সমান্তর শ্রেণিভুক্ত।
∵ ab + cd + ad = 3bc
বা, (2b – c)b + cd + (2b – c)d = 3bc . . . [∵ a = (2b – c)]
বা, cb² – bc + cd + 2bd – cd = 3bc
⇒ 2b² – bc + 2bd = 3bc
বা, 2b² + 2bd = 4bc
বা, 2(b + d) = 4bc
⇒ b + d = 2c
বা, b – c = c – d
∴ b, c, d সমান্তর শ্রেণিভুক্ত।
অতএব a, b, c, d সমান্তর শ্রেণিভুক্ত (Proved)
21. 20 + 28 + 36 + . . . সমান্তর প্রগতির প্রথম থেকে কমপক্ষে কতগুলি পদের সমষ্টি 1000-এর চেয়ে বেশি?
Solution:
সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ 20 এবং সাধারণ অন্তর 8
ধরি, কমপক্ষে nটি পদের সমষ্টি 1000-এর চেয়ে বেশি।
S_n = ⁿ/₂{2.20 + (n – 1)8} > 1000
বা, n(20 + 4n – 4) > 1000
বা, 4n(4 + n) > 1000
⇒ n² + 4n > 250
বা, n² + 4n + 4 > 250 + 4
বা, (n + 2)² > 254
⇒ n + 2 > 15.9
বা, n > 13.9
Ans: কমপক্ষে 14টি পদের সমষ্টি 1000-এর চেয়ে বেশি।
22(i). একটি শ্রেণির n-তম পদ 1/₂n(n + 1); শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution:
n-তম পদ 1/₂n(n + 1);
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ
t_r= 1/₂r(r + 1)
     = 1/₂r² + 1/₂r
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}r^2+\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}r\\=\frac{1}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{2}\frac{n(n+1)}{2}\\=\frac{n(n+1)}{12}(2n + 1 + 3)\\=\frac{n(n+1)}{12}2(n + 2)\\=\frac{n(n+1)(n + 2)}{6}\ (Ans)\)
22(ii). কোনো একটি সমান্তর প্রগতির n-তম পদ an + b । শ্রেণিটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution:
n-তম পদ an + b
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ
t_r= ar + b
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=a\sum_{r=1}^{n}r+\sum_{r=1}^{n}b\\=a\frac{n(n+1)}{2}+bn\)
= ⁿ/₂(an + a + 2b)
=ⁿ/₂{(n + 1)a + 2b} (Ans)
23. 1² – 2² + 3² – 4² + 5² – 6² + . . . শ্রেণিটির 2n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত শ্রেণি
= 1² – 2² + 3² – 4² + 5² – 6² + . . . শ্রেণিটির 2n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত
= [1² + 3² + 5² + . . . শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত] – [2² + 4² + 6² + . . . শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত]
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ
t_r= (2r – 1)² – (2r)²
= 4r² – 4r + 1 – 4r²
   = – 4r + 1
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=-4\sum_{r=1}^{n}r+\sum_{r=1}^{n}1\\=-4\frac{n(n+1)}{2}+n\)
= – 2(n² + n) + n
== -2n² – 2n + n
= -2n² – n
= -n(2n + 1) (Ans)

24. একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি সমান্তর প্রগতিতে আছে এবং তার লম্বের দৈর্ঘ্য 9 সেমি; অখণ্ড পূর্ণসংখ্যায় তার অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি 9, (9 + d), (9 + 2d)
স্পষ্টতই 9 + 2d সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।
∴ (9 + 2d)² = 9² + (9 + d)²
বা, 81 + 36d + 4d² = 81 + 81 + 18d + d²
বা, 3d² + 18d – 81 = 0
⇒ d² + 6d – 27 = 0
⇒ d² + 9d – 3d – 27 = 0
বা, d(d + 9) – 3(d + 9) = 0
বা, (d + 9)(d – 3) = 0
∴ d = -9, 3
d = -9 হলে একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হয় 0 সেমি, যা সম্ভব নয়।
∴ d ≠ -9
∴ d = 3
সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি 9, (9 + 3), (9 + 2.3)
বা, 9, 12, 15
Ans: অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।
25. কোনো সমান্তর প্রগতির x -তম পদ ¹/_y এবং y-তম পদ ¹/_x হলে দেখাও যে, তার xy-তম পদ 1 এবং প্রথম xy-সংখ্যক পদের সমষ্টি ¹/₂(xy + 1)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
t_x = a + (x – 1)d = ¹/_y . . . (i)
এবং
t_y = a + (y – 1)d = ¹/_x . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + (x – 1)d – a + (y – 1)d = ¹/_y – ¹/_x
বা, (x – 1 – y + 1)d = ¹/_y – ¹/_x
⇒ (x – y)d = ^{x – y}/_xy
বা, d = ¹/_xy
(i) নং থেকে পাই,
     a + (x – 1)¹/_xy = ¹/_y
বা, a + ¹/_y – ¹/_xy = ¹/_y
বা, a = ¹/_xy
∴ xy-তম পদ
t_xy = a + (xy – 1)d
    = ¹/_xy + (xy – 1)¹/_xy
    = ¹/_xy + 1 – ¹/_xy
    == 1 (Proved)
∴ xy-সংখ্যক পদের সমষ্টি
S_xy = ^xy/₂{2a + (xy – 1)d}
= ^xy/₂{2.¹/_xy + (xy – 1)¹/_xy}
   = ^xy/₂(2.¹/_xy + 1 – ¹/_xy)
   == ^xy/₂(¹/_xy + 1)
   = ^xy/₂.^{1 + xy}/_xy
   = ¹/₂(xy + 1) (Proved)
26. n-সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি x এবং শেষ তিনটি পদের সমষ্টি y হলে দেখাও যে, তার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি ⁿ/₆(x + y)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
a + (a + d) + (a + 2d) = x
বা, 3a + 3d = x
এবং
{a + (n – 3)d} + {a + (n – 2)d} + {a + (n – 1)d} = y
বা, 3a + 3(n – 2)d = y
∴ x + y = 3a + 3d + 3a + 3(n – 2)d
বা, x + y = 6a + (3 + 3n – 6)d
বা, x + y = 6a + (3n – 3)d
⇒ x + y = 3{2a + (n – 1)d}
∴ n-সংখ্যক পদের সমষ্টি
S_n = ⁿ/₂{2a + (n – 1)d}
   = ⁿ/₆.3{2a + (n – 1)d}
   = ⁿ/₆(x+ y) (Proved)
27. কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম (2n + 1)-সংখ্যক পদের সমষ্টি S এবং এই পদগুলির বিজোড় স্থানীয় পদগুলির সমষ্টি S’ হলে, প্রমাণ করো যে, (n + 1)S = (2n + 1)S’
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
S = ^{(2n + 1)}/₂{2a + (2n + 1 – 1)d}
বা, S = ^{(2n + 1)}/₂(2a + 2nd) . . . (i)
(2n + 1)-সংখ্যক পদের মধ্যে বিজোড় স্থানীয় পদ আছে ^{2n + 1 + 1}/₂ = (n + 1) টি
বিজোড় স্থানীয় পদগুলিও সমান্তর প্রগতিতে থাকবে যার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর 2d
S’ = ^{(n + 1)}/₂{2a + (n + 1 – 1)2d}
বা, S’ = ^{(n + 1)}/₂(2a + 2nd) . . . (ii)
(ii) ÷ (i) করে পাই,
\(\frac{S}{S’} = \frac{\frac{(2n + 1)}{2}(2a + 2nd)}{\frac{(n + 1)}{2}(2a + 2nd)}\\⇒\frac{S}{S’} = \frac{(2n + 1)}{(n + 1)}\\⇒ (n + 1)S = (2n + 1)S’\ (Proved)\)
28. কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম p-সংখ্যক পদের সমষ্টি ^p²/_n এবং প্রথম q-সংখ্যক পদের সমষ্টি ^q²/_n হলে (p ≠ q), দেখাও যে, প্রগতিটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি n হবে।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর b
প্রশ্নানুযায়ী,
S_p = ^p/₂{2a + (p – 1)d} = ^p²/_n
বা, n{2a + (p – 1)d} = 2p
বা, 2an + (p – 1)nd = 2p . . . (i)
আবার,
S_q = ^q/₂{2a + (q – 1)d} = ^q²/_n
বা, n{2a + (q – 1)d} = 2q
বা, 2an + (q – 1)nd = 2q . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
  2an + (p – 1)nd – 2an – (q – 1)nd = 2p – 2q
বা, (p – 1 – q + 1)nd = 2(p – q)
বা, (p – q)nd = 2(p – q)
⇒ d = 2n
(i) নং থেকে পাই,
2an + (p – 1)n.2n = 2p
বা, 2an + 2(p – 1) = 2p
বা, an + p – 1 = p
⇒ an = 1
বা, a = ¹/_n
∴ প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি
S_n = ⁿ/₂{2a + (n – 1)d}
= ⁿ/₂{2.1n + (n – 1).2n}
= ⁿ/₂.2n{1 + n – 1}= n (Proved)
29. \(\frac{1}{b-a}\) এবং \(\frac{1}{b-c}\) এর সমান্তরীয় মধ্যক \(\frac{1}{2(b-x)}\) হলে প্রমাণ করো যে, \((x – b)^2 = (x – c)(x – a) \)
Solution: ¹/_b-a এবং ¹/_b-c এর সমান্তরীয় মধ্যক ¹/_2(b-x)
\(∴ \frac{1}{2(b-x)} – \frac{1}{b-a} = \frac{1}{b-c} – \frac{1}{2(b-x)}\\⇒ \frac{b – a – 2b + 2x}{2(b-x)(b – a)} = \frac{2b – 2x – b + c}{2(b-x)(b – c)}\\⇒\frac{2x – (a + b)}{(b – a)}- \frac{(b + c)}{2x(b – c)}\)
বা, 2x(b – c) – (a + b)(b – c) = (b – a)(b + c) – 2x(b – a)
বা, 2x(b – c) + 2x(b – a) = (b – a)(b + c) + (a + b)(b – c)
⇒ 2x(b – c + b – a) = b² + bc – ab – ac + ab – ac + b² – bc
⇒ 2x{2b – (c + a)} = 2b² – 2ac
বা, x{2b – (c + a)}= b² – ac
বা, 2bx – cx – ax = b² – ac
⇒ x² + 2bx – cx – ax = x²+ b² – ac . . . [উভয়দিকে x² যোগ করে]
⇒ x² – cx – ax + ac = x²– 2bx + b²
বা, x(x – c) – a(x – c) = (x– b)²
বা, (x – c)(x – a) = (x– b)²
∴ (x– b)² = (x – c)(x – a) (Proved)
30. এক ব্যক্তি তার বন্ধুকে এই শর্তে 1000 টাকা ধার দিল যে, তাকে মোট 78 টাকা সুদ দিতে হবে এবং প্রত্যেক কিস্তির পরিমাণ 2 টাকা করে বাড়িয়ে মাসিক কিস্তিতে সম্পূর্ণ টাকা পরিশোধ করতে হবে। যদি প্রথম কিস্তির পরিমাণ 64 টাকা হয় এবং টাকা ধার করার এক মাস পরে প্রথম কিস্তির টাকা পরিশোধ করতে হয়, তবে কত মাসে তার ঋণ পরিশোধ হবে?
Solution: মোট ধার শোধ করতে হবে (1000 + 78) = 1078 টাকা
মাসিক কিস্তির টাকা একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে যার প্রথম পদ 64 এবং সাধারণ অন্তর 2
ধরি, n মাসে ঋণ পরিশোধ হবে।
এখানে S_n = 1078
∴ ⁿ/₂ {2×64 + (n – 1)2} = 1078
⇒ ⁿ/₂ ×2(64 + n – 1} = 1078
⇒ n(63 + n) = 1078
বা, n² + 63n – 1078 = 0
⇒ n² + 77n – 14n – 1078 = 0
বা, n(n + 77) – 14(n + 77) = 0
বা, (n + 77)(n – 14) = 0
∴ n = -77, 14
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n ≠ -77
∴ n = 14
Ans: 14 মাসে তার ঋণ পরিশোধ হবে।
31. এক ব্যক্তি কতকগুলি মাসিক কিস্তির সাহায্যে 9750 টাকার ঋণ শোধ করে; প্রত্যেক কিস্তির পরিমাণ আগের কিস্তির চেয়ে 50 টাকা কম। প্রথম কিস্তির পরিমাণ 1000 টাকা। কত সময়ে সম্পূর্ণ টাকা শোধ হবে?
Solution: প্রত্যেক কিস্তির পরিমাণ একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে যার প্রথম পদ 1000 এবং সাধারণ অন্তর -50
ধরি, n মাসে সম্পূর্ণ টাকা শোধ হবে।
এখানে S_n = 9750
∴ ⁿ/₂ {2×1000 + (n – 1)(-50)} = 9750
বা, ⁿ/₂×2(1000 – 25n + 25) = 9750
বা, n(1025 – 25n) = 9750
⇒ 25n(41 – n) = 9750
⇒ n(41 – n) = 390
বা, n² – 41n + 390 = 0
বা, n² – 26n – 15n + 390 = 0
⇒ n(n – 26) – 15(n – 26) = 0
বা, (n – 26)(n – 15) = 0
∴ n = 15, 26
Ans: 15 মাসে সম্পূর্ণ টাকা শোধ হবে।

32. যদি আজ 1 টাকা, পরের দিন 2 টাকা, তার পরের দিন 3 টাকা এভাবে সঞ্চয় করা হয়, তবে 365 দিনে মোট কত সঞ্চিত হবে?
Solution: প্রতিদিন সঞ্চয় করা টাকা একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে যার প্রথম পদ 1 এবং সাধারণ অন্তর 1
365 দিনের সঞ্চয়
S₃₆₅= ³⁶⁵/₂(2×1 + 364×1) টাকা
= ³⁶⁵/₂(1 + 182) টাকা
== 365×183 টাকা
= 66795 টাকা
Ans: 365 দিনে মোট 66795 টাকা সঞ্চিত হবে।
33. যদি একটি নলকূপ বসাতে প্রথম মিটারে 2.50 টাকা এবং পরবর্তী প্রতি মিটারে অতিরিক্ত 50 পয়সা খরচ হয়, তবে 500 মিটার গভীর নলকূপ বসানোর জন্য শেষ মিটারে কত খরচ হয় এবং নলকূপটি বসাতে মোট কত খরচ হয় তা নির্ণয় করো।
Solution: প্রতি মিটারে নলকূপ বসানোর অতিরিক্ত খরচ একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে যার প্রথম পদ 25 এবং সাধারণ অন্তর 4
500 মিটারের শেষ মিটারে খরচ হয়
t₅₀₀= (2.50 + 499×0.50) টাকা
= (2.50 + 249.50) টাকা
= 252 টাকা
নলকূপটি বসাতে মোট খরচ হয়
S₅₀₀= ⁵⁰⁰/₂(2×2.50 + 499×0.50) টাকা
= 250(5 + 249.50) টাকা
== 250×254.50 টাকা
= 63625 টাকা
Ans: শেষ মিটারে 252 টাকা খরচ হয়।
          নলকূপটি বসাতে মোট 63625 টাকা খরচ হয়।
34. কোনো অফিস সহকারীর মাসিক বেতনের বাৎসরিক বৃদ্ধি একটি সমান্তর শ্রেণিতে আছে। যদি 11-তম বছরে তার মাসিক বেতন 20000 টাকা এবং 29-তম বছরে মাসিক বেতন 38000 টাকা হয়, তবে তার প্রাথমিক মাসিক বেতন এবং মাসিক বেতনের বাৎসরিক বৃদ্ধি নির্ণয় করো। 32 বছর চাকরির শেষে যদি সে অবসর গ্রহণ করে, তবে অবসর গ্রহণের সময় তার মাসিক বেতন কত ছিল?
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴ t₁₁ = a + 10b = 20000 . . . . (i)
এবং t₂₉ = a + 28b = 38000. . . . (ii)
(ii) – (i) করে পাই,
      28b – 10b = 38000 – 20000
বা, 18b = 18000
বা, b = 1000
(i) নং থেকে পাই,
      a + 10×1000 = 20000
বা, a = 20000 – 10000 = 10000
∴ t₃₂ = a + 31b
           = 10000 +31×1000
           = 41000
Ans: অফিস সহকারীর প্রাথমিক মাসিক বেতন 10000 টাকা,
       মাসিক বেতনের বাৎসরিক বৃদ্ধি 1000 টাকা,
      অবসর গ্রহণের সময় তার মাসিক বেতন কত ছিল 41000 টাকা।
35. একটি বহুভুজের অন্তঃকোণগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে। ক্ষুদ্রতম কোণটি 120° এবং সাধারণ অন্তর 5°। বহুভুজের বাহুসংখ্যা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, বহুভুজের বাহুসংখ্যা n, বহুভুজের ক্ষুদ্রতম কোণটি 120° এবং সাধারণ অন্তর 5°
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= ⁿ/₂[2×120 + (n – 1)5]°
আবার n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি
= (n – 2)180°
   ⁿ/₂[2×120 + (n – 1)5] = (n – 2)180
বা, n(240 + 5n – 5) = (n – 2)360
বা, n(235 + 5n) = 360n – 720
⇒ 235n + 5n² – 360n + 720 = 0
বা, 5n² – 125n + 720 = 0
বা, n² – 25n + 144 = 0
⇒ n² – 16n – 9n + 144 = 0
বা, n(n – 16) – 9(n – 16) = 0
বা, (n – 16)(n – 9) = 0
∴ n = 16, 9
n = 16 হলে একটি কোণ হবে
  = (120 + 15×5)°
  = (120 + 75)° = 195°
কিন্তু বহুভুজের কোনো অন্তঃকোণ 180° থেকে বড়ো হতে পারে না।
∴ n ≠ 16
Ans: বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9
36. কোনো সমান্তর শ্রেণির প্রথম 21 টি পদের সমষ্টি 28 এবং প্রথম 28 টি পদের সমষ্টি 21; দেখাও যে, শ্রেণিটির একটি পদ শূন্য এবং ওই শূন্য পদের পূর্ববর্তী পদগুলির সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∵ S₂₁ = ²¹/₂(2a + 20d) = 28
বা, 21(a + 10d) = 28
বা, 3a + 30d = 4 . . . . (i)
এবং S₂₈ = ²⁸/₂(2a + 27d) = 21
বা, 14(2a + 27d) = 21
বা, 4a + 54d = 3 . . . . (ii)
4×(i) – 3×(ii) করে পাই,
   12a + 120d – 12a – 162d = 16 – 9
বা, – 42d = 7
বা, d = -16
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
    3a + 30×(-16) = 4
বা, 3a = 4 + 5
বা, a = 3
যদি সম্ভব হয় তবে ধরি শ্রেণিটির n-তম পদ শূন্য।
∴ t_n = 3 + (n – 1)(-16) = 0
বা, 18 – (n – 1) = 0
বা, n = 19
প্রথম 19টি পদের সমষ্টি
= ¹⁹/₂(3 + 0) = ⁵⁷/₂
প্রথম 18টি পদের সমষ্টি
= ⁵⁷/₂ – 0
= ⁵⁷/₂ = 28¹/₂
Ans: শ্রেণিটির 19-তম পদ শূন্য।
শূন্য পদের পূর্ববর্তী পদগুলির সমষ্টি 28¹/₂
37. 2, 5, 8, . . . সমান্তর প্রগতির 2n -সংখ্যক পদের সমষ্টি যদি 57, 59, 61, . . . সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টির সমান হয়, তবে n-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: 2, 5, 8, . . . সমান্তর প্রগতির 2n -সংখ্যক পদের সমষ্টি
= ²ⁿ/₂[2.2 + (2n – 1)3]
= n(1 + 6n)
57, 59, 61, . . . সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি
= ⁿ/₂[2.57 + (n – 1)2]
= n(56 + n)
প্রশ্নানুযায়ী,
     n(1 + 6n) = n(56 + n)
বা, 1 + 6n = 56 + n
বা, 5n = 55
∴ n = 11
Ans: n-এর মান 11
38. মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n; যদি S_2n = 5S_n হয়, তবে S_3n: S_2n অনুপাতের মান নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
   ∵ S_2n = 5S_n
বা, ²ⁿ/₂[2a + (2n – 1)d] = 5×ⁿ/₂[2a + (n – 1)d]
বা, 2[2a + (2n – 1)d] = 5×[2a + (n – 1)d]
⇒ 4a + 2(2n – 1)d = 10a + 5(n – 1)d]
⇒ 4a – 10a = (5n – 5)d – (4n – 2)d
বা, – 6a = (5n – 5 – 4n + 2)d বা, – 6a = (n – 3)d
বা, 6a = (3 – n)d
∴ S_3n: S_2n
= ³ⁿ/₂[2a + (3n – 1)d] : ²ⁿ/₂[2a + (2n – 1)d]
= 3[2a + (3n – 1)d] : 2[2a + (2n – 1)d]
⇒ 6a + (9n – 3)d : 4a + (4n – 2)d]
= 3[6a + (9n – 3)d] : 12a + (12n – 6)d]
⇒ 3[(3 – n)d + (9n – 3)d] : 2(3 – n)d + (12n – 6)d] . . . . [6a = (3 – n)d]
= 3[3 – n + 9n – 3] : 6 – 2n + 12n – 6]
= 3×8n : 10n = 12 : 5
Ans: S_3n: S_2n = 12 : 5
39. কোনো সমান্তর শ্রেণির m-সংখ্যক পদের যোগফল n এবং n-সংখ্যক পদের যোগফল m; দেখাও যে, তার (m + n) -সংখ্যক পদের যোগফল হবে – (m + n)।
Solution: ধরি, প্রগতিটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∵ S_m = ^m/₂ [2a + (m – 1)d] = n
বা, 2am + (m – 1)md = 2n . . . (i)
এবং S_n = ⁿ/₂ [2a + (n – 1)d] = m
বা, 2an + (n – 1)nd = 2m . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
    2am + (m – 1)md – 2an – (n – 1)nd = 2n – 2m
বা, 2a(m – n) + (m2 – m – n2 + n)d = -2(m – n)
বা, 2a(m – n) + [(m + n)(m – n) – 1(m – n)]d = -2(m – n)
⇒ 2a(m – n) + (m – n)(m + n – 1)d = -2(m – n)
বা, (m – n)[2a + (m + n – 1)d] = -2(m – n)
বা, 2a + (m + n – 1)d = -2
∴ S_{m + n}
= ^{m + n}/₂[2a + (m + n – 1)d]
= ^{m + n}/₂ ×(-2)
== -(m + n)
∴ S_{m + n} = -(m + n) (Proved)
40. কোনো সমান্তর প্রগতির p-তম পদ a ও q-তম পদ b হলে দেখাও যে, ওই প্রপতির প্রথম (p + q) সংখ্যক পদের যোগফল হবে
40. কোনো সমান্তর প্রগতির p-তম পদ a ও q-তম পদ b হলে দেখাও যে, ওই প্রপতির প্রথম (p + q) সংখ্যক পদের যোগফল হবে \(\ =\frac{(p + q)}{2}\left( a+b+\frac{a – b}{p – q} \right)\)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে x এবং d
∴ t_p = x + (p – 1)d = a . . . (i)
এবং t_q = x + (q – 1)d = b . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
x + (p – 1)d – x – (q – 1)d = a – b
বা, (p – 1 – q + 1)d = a – b
বা, (p – q)d = a – b
⇒ d = ^{a – b}/_{p – q}
∴ S_{p + q}= ^{p + q}/₂[2x + (p + q – 1)d]
= ^{p + q}/₂[{x + (p – 1)d} + {x + (q – 1)d} + d]
= ^{p + q}/₂(a + b + d)
== ^{p + q}/₂ (a + b + ^{a – b}/_{p – q})(Proved)

41. তিনটি সমান্তর শ্রেণির n সংখ্যক পদের যোগফল S₁, S₂, S₃; যদি তাদের প্রত্যেকটির প্রথম পদ 1 এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে 1, 2, 3 হয়, তবে প্রমাণ করো যে S₁ + S₃ = 2S₂
Solution: তিনটি সমান্তর শ্রেণির প্রত্যেকটির প্রথম পদ 1 এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে 1, 2, 3
∴ S₁= ⁿ/₂{2.1 + (n – 1)1} = ⁿ/₂(1 + n);
S₂= ⁿ/₂{2.1 + (n – 1)2} = ⁿ/₂×2n এবং
S₃= ⁿ/₂{2.1 + (n – 1)3} = ⁿ/₂(3n – 1)
∴ S₁ + S₃
= ⁿ/₂(1 + n) + ⁿ/₂(3n – 1)
= ⁿ/₂(1 + n + 3n – 1)
== ⁿ/₂(4n)
= 2× ⁿ/₂ ×2n = 2S₂
∴ S₁ + S₃ = 2S₂[Proved]
42. কোনো সমান্তর শ্রেণির n. 2n, 3n সংখ্যক পদের যোগফল যথাক্রমে S₁ , S₂, S₃ ; দেখাও যে, S₃ = 3(S₂ – S₁)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে a এবং d
∴ S₁= ⁿ/₂{2a + (n – 1)d};
S₂= ⁿ/₂{2a + (2n – 1)d}
এবং S₃= ³ⁿ/₂{2a + (3n – 1)d}
∴ 3(S₂ – S₁)
= 3[²ⁿ/₂{2a + (2n – 1)d} – ⁿ/₂{2a + (n – 1)d}]
= 3×ⁿ/₂ [4a + 2(2n – 1)d – 2a – (n – 1)d]
== ³ⁿ/₂[2a + (4n – 2 – n + 1)d]
= ³ⁿ/₂[2a + (3n – 1)d] = S₃
∴ S₃ = 3(S₂ – S₁) [Proved]
43. দুটি সমান্তর শ্রেণির n সংখ্যক পদের যোগফলের অনুপাত (4n – 13) : (3n + 10) হলে, তাদের নবম পদ দুটির অনুপাত নির্ণ করো।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতি দুটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে a₁, a₂ এবং d₁, d₂
প্রশ্নানুযায়ী,
(S₁)_n: (S₂)_n = (4n – 13) : (5n – 9)
\(⇒\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n – 1) d_1 ])}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n – 1) d_2 ] )}=\frac{(4n – 13)}{(3n + 10)}\\⇒\frac{2a_1 + (n – 1) d_1}{[2a_2 + (n – 1) d_2 ]} = \frac{(4n – 13)}{(3n + 10)} … (i)\)
(i) নং সমীকরণে n = 17 বসিয়ে পাই,
\(\frac{(2a_1 + (17 – 1) d_1)}{(2a_2 + (17 – 1) d_2 )}= \frac{4.17 – 13}{3.17 + 10}\\⇒\frac{2a_1 + 16d_1}{2a_2 + 16d_2}= \frac{68 – 13}{51 + 10}\\⇒ \frac{a_1 + 8d_1}{a_2 + 8d_2}=\frac{55}{61}\\⇒ \frac{a_1 +(9-1) d_1}{a_2 +(9-1) d_2}= \frac{55}{61}\\∴ a_1 +(9-1) d_1 : a_2 +(9-1) d_2 = 55 : 61\)
Ans: তাদের নবম পদ দুটির অনুপাত 55:61
44. দুটি সমান্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির অনুপাত (3n + 5) : (5n – 9) হলে দেখাও যে, তাদের চতুর্থ পদ দুটি পরস্পর সমান।
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতি দুটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর যথাক্রমে a₁, a₂ এবং d₁, d₂
প্রশ্নানুযায়ী,
(S₁)_n: (S₂)_n = (3n + 5) : (5n – 9)
\(⇒\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n – 1) d_1 ])}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n – 1) d_2 ] )}=\frac{(3n + 5)}{(5n – 9)}\\⇒\frac{2a_1 + (n – 1) d_1}{[2a_2 + (n – 1) d_2 ]} = \frac{(3n + 5)}{(5n – 9)} … (i)\)
(i) নং সমীকরণে n = 7 বসিয়ে পাই,
\(\frac{(2a_1 + (7 – 1) d_1)}{(2a_2 + (7 – 1) d_2 )}= \frac{3.7 + 5}{5.7 – 9}\\⇒\frac{2a_1 + 6d_1}{2a_2 + 6d_2}= \frac{21 + 5}{35 – 9}\\⇒ \frac{a_1 + 3d_1}{a_2 + 3d_2}=\frac{26}{26}\\⇒ \frac{a_1 +(4-1) d_1}{a_2 +(4-1) d_2}= 1\\∴ a_1 +(4-1) d_1= a_2 +(4-1) d_2\)
সমান্তর প্রগতি দুটির চতুর্থ পদ পরস্পর সমান। [Proved]
45. 4 এবং 34 এর মধ্যে এমন কতকগুলি সমান্তরীয় মধ্যক বসাও যেন, গঠিত সমান্তর শ্রেণিটির পদগুলির যোগফল 133 হয়।
Solution: ধরি, 4 এবং 34 এর মধ্যে (n – 2) সংখ্যক সমান্তরীয় মধ্যক বসানো হল যার সাধারণ অন্তর d।
এখানে প্রথম পদ 4, শেষ পদ 34 এবং পদসংখ্যা n
∴ 4 + (n – 1)d = 34
বা, (n – 1)d = 30. . . . (i)
সমান্তর শ্রেণিটির পদগুলির যোগফল =
ⁿ/₂[2.4 + (n – 1)d] = 133
বা, n2[8 + 30] = 133. . . . [(n – 1)d = 30]
বা, n2×38 = 133
⇒ 19n = 133
বা, n = 7
(i) নং থেকে পাই,
(7 – 1)d = 30
বা, d = 5
Ans: সমান্তরীয় মধ্যকগুলি হল 9, 14, 19, 24, 30
46. যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে,
\(a\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right),b\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right),c\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) সমান্তর প্রণতিতে আছে।
Solution: a, b, c সমান্তর প্রগতিতে আছে।
∴ b – a = c – b
⇒ 2b = a + c

\(a\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+c\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\\=\frac{ca + ab}{bc}+\frac{bc + ca}{ab}\\= \frac{ca^2 + a^2b + bc^2 + c2^a}{abc}\\= \frac{b(a2 + c2) + ac(a + c)}{abc}\\= \frac{b[(a + c)^2 – 2ac] + ac.2b}{abc}\\= \frac{b[(2b)2 – 2ac] + 2abc}{abc}\\=\frac{4b^3 – 2abc + 2abc}{abc}\\= \frac{4b^3}{abc}\\= \frac{4b^2}{ac}\\= \frac{2b.2b}{ac}\\= 2b.\frac{a + c}{ac} . . . [∵ 2b = a + c]\\= 2b\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right)\\∴ a\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right), b\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right) ,c\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) সমান্তর প্রণতিতে আছে। [Proved]
47. তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা a, b, c সমান্তর প্রগতিতে থাকলে প্রমাণ করো যে.
\(\frac{1}{√b + √c} , \frac{1}{√c + √a} , \frac{1}{√a + √b} \) সমান্তর প্রগতিতে আছে।
Solution: a, b, c সমান্তর প্রগতিতে আছে।
∴ b – a = c – b
⇒ a – b = b – c
\(\frac{1}{√b + √c} + \frac{1}{√a + √b}\\= \frac{√b – √c}{(√b + √c)(√b – √c)} + \frac{√a – √b}{(√a + √b)(√a – √b)}\\=\frac{√b – √c}{(b – c)}+ \frac{√a – √b}{(a – b)}\\= \frac{√b – √c}{(a-b)}+ \frac{√a – √b}{(a – b)} . . . [∵ a – b = b – c]\\= \frac{√b – √c + √a – √b}{(a – b)}\\=\frac{√a – √c}{(a – \frac{a + c}{2})} . . . [∵ b = \frac{a + c}{2}]\\= \frac{2(√a – √c)}{2a – a – c }\\= 2.\frac{(√a – √c)}{a – c}\\= 2.\frac{(√a – √c)}{(√a)^2 – (√c)^2} \\= 2.\frac{(√a – √c)}{(√a + √c)(√a – √c)}\\= 2.\frac{1}{(√a + √c)}\\∴ \frac{1}{√c + √a} – \frac{1}{√b + √c} = \frac{1}{√a + √b} – \frac{1}{√c + √a}\\∴ \frac{1}{√b + √c} , \frac{1}{√c + √a} , \frac{1}{√a + √b}\) সমান্তর প্রগতিতে আছে। [Proved]
48(ii). a₁, a₂, a₃, . . . . a_2kসমান্তর প্রগতিভুক্ত হলে, দেখাও যে, a₁² – a₂² + a₃² – a₄² + . . . + a²_{2k – 1}– a²_2k= ^k/_{2k – 1}(a₁² – a²_2k)
Solution: a₁, a₂, a₃, . . . . a_n রাশিগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে।
ধরি, সমান্তর প্রগতিটির সাধারণ অন্তর d.
∴ a₂ – a₁= a₃ – a₂= a₄ – a₃= . . . = a_n – a_{n – 1}= d
L.H.S. = a₁² – a₂² + a₃² – a₄² + . . . + a²_{2k – 1}– a²_2k
= (a₁ + a₂)(a₁ – a₂) + (a₃ + a₄)(a₃ – a₂) + . . . + (a_{2k – 1}+ a_2k)( a_{2k – 1}– a_2k)
== -[(a₁ + a₂)(a₂ – a₁) + (a₃ + a₄)(a₄ – a₃) + . . . + (a_{2k – 1}+ a_2k)( a_2k– a_{2k – 1})]
= -[(a₁ + a₂)d + (a₃ + a₄)d + . . . + (a_{2k – 1}+ a_2k)d]
= -[a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + . . . + a_{2k – 1}+ a_2k]
== -d[^2k/₂( a₁+ a_2k)]
= -dk( a₁+ a_2k)]
\(= -dk.\frac{(a_1 + a_{2k})(a_1 – a_{2k})}{(a_1 – a_{2k})}\\= -dk.\frac{(a_1^2 – a_{2k}^2)}{(a_1 – a_{2k})}\\= -dk.\frac{(a_1^2 – a_{2k}^2)}{(a_1 – [a_1 + (2k -1)d])} . . . [∵ a_{2K} = a_1 + (2k – 1)d]\\= -dk.\frac{(a_1^2 – a_{2k}^2)}{a_1 – a_1 – (2k -1)d}\\= -dk.\frac{(a_1^2 – a_{2k}^2)}{-(2k -1)d}\\= \frac{k(a_1^2 – a_{2k}^2)}{2k -1}\\=\frac{k}{2k-1}(a_1^2 – a_{2k}^2) = R.H.S. [Proved]\)
49. (b – c)², (c – a)², (a – b)² সমান্তর প্রগতিতে থাকলে দেখাও যে
\(\frac{1}{(b-c)} , \frac{1}{(c -a )} , \frac{1}{(a-b)}\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।
Solution: (b – c)², (c – a)², (a – b)² সমান্তর প্রগতিতে আছে।
∴ (c – a)² – (b – c)² = (a – b)² – (c – a)²
বা, (c – a + b – c)(c – a – b + c) = (a – b + c – a)(a – b – c + a)
বা, -(a – b)(2c – a – b) = -(b – c)(2a – b – c)
⇒ (a – b)(2c – a – b) = (b – c)(2a – b – c)
\(⇒\frac{(a – b)(2c – a – b)}{(a – b)(b -c)(c – a )}=\frac{(b -c)(2a -b – c)}{(a – b)(b -c)(c – a )} \\⇒\frac{(2c – a – b)}{(b -c)(c – a )}=\frac{(2a -b – c)}{(a – b)(c – a )}\\⇒\frac{(c – a) – (b-c)}{(b -c)(c – a )}=\frac{(a -b) – (c-a)}{(a – b)(c – a )}\\⇒\frac{1}{(b -c)}-\frac{1}{(c – a )}=\frac{1}{(c – a )}-\frac{1}{(a -b)}\\⇒\frac{1}{(b -c)}+\frac{1}{(a -b)}=\frac{2}{(c – a )}\\∴ \frac{1}{(b -c)},\frac{1}{(c-a )},\frac{1}{(a -b)}\) সমান্তর প্রগতিতে আছে। (Proved)
51.(i) নীচের শ্রেণিটির সমষ্টি নির্ণয় করো:
3. 1² + 4. 2² + 5. 3² + . . . . + (n + 2). n²
Solution: প্রদত্ত শ্রেণি = 3. 1² + 4. 2² + 5. 3² + . . . . + (n + 2). n²
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ
t_r= (r + 2).r²
= r³ + 2r²
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=\sum_{r=1}^{n}r^3+2r^2\\=\sum_{r=1}^{n}r^3+2\sum_{r=1}^{n}r^2\\= \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2+2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\= \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 + \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)\\=\frac{n(n+1)}{12}[3n(n + 1) + 4(2n + 1)]\\=\\=\frac{n(n+1)}{12}(3n^2 + 3n + 8n + 4)\\=\frac{n(n+1)}{12})(3n2 + 11n + 4) (Ans)\)
51.(ii) নীচের শ্রেণিটির সমষ্টি নির্ণয় করো:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত;
Solution: প্রদত্ত শ্রেণি = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত;
= (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত;
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ
t_r= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . . r সংখ্যক পদ পর্যন্ত;
\(=\frac{ r(r + 1)}{2}\\=\frac{= r^2}{2}+\frac{= r^2}{2}\)∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি\(=\sum_{r=1}^{n}\frac{r^2}{2}+\frac{r}{2}\\=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}r^2+\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}r\\= \frac{1}{2}.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – \frac{1}{2}.\frac{n(n+1)}{2}\\= \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} – \frac{n(n+1)}{4}\\= \frac{n(n+1)}{12}(2n+ 1+3) \\= \frac{n(n+1)}{12}.2(n+2)\\= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} (Ans)\)
51.(iii) নীচের শ্রেণিটির সমষ্টি নির্ণয় করো:
1 + 5 + 12 + 22 + 35 + . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত।
Solution: প্রদত্ত শ্রেণি = 1 + 5 + 12 + 22 + 35 + . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত।
= (1) + (1 + 4) + (1 + 4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + (1 + 4 + 7 + 10 + 13) + . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত।
∴ শ্রেণিটির r-তম পদ t_r= 1 + 4 + 7 + 10 + 13) + . . . . r -সংখ্যক পদ পর্যন্ত।
= ^r/₂{2.1 + (r – 1)3}
= ^r/₂(3r – 1)
\(= \frac{3r^2}{2} – \frac{r}{2}\\ \) ∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি\(\sum_{r=1}^{n}\frac{3r^2}{2} – \frac{r}{2}\\=\frac{3}{2}\sum_{r=1}^{n}r^2 – \frac{1}{2}\sum_{r=1}^{n}r\\= \frac{3}{2}.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – \frac{1}{2}.\frac{n(n+1)}{2}\\= \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} – \frac{n(n+1)}{4}\\= \frac{n(n+1)}{4}(2n+ 1-1) \\= \frac{n(n+1)}{4}.2\\= \frac{n(n+1)}{2} (Ans) \)
52. একটি শ্রেণির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি n² + an + b দেখাও যে, b = 0 এবং শ্রেণিটি সমান্তর প্রগতিতে আছে।
Solution: S_n= n² + an + b
∴ S₀= 0² + 0.n + b = b
n = 0 হলে S₀= 0 হয়।
∴ b = 0 (Proved)
S_n= n² + an
∴ t_n= S_n– S_{n – 1}
= n² + an – {(n – 1)² + a(n – 1)}
= n² + an – n²+ 2n – 1 – an + a
== 2n + a – 1
∴ d = t_n– t_{n – 1}
= 2n + a – 1 – {2(n – 1) + a – 1}
= 2n + a – 1 – 2n + 2 – a + 1
== 2
∵ d, n নিরপেক্ষ, তাই শ্রেণিটির পরপর যেকোনো দুটি পদের অন্তর সর্বদা ধ্রুবক হবে।
অতএব শ্রেণিটি সমান্তর প্রগতিতে আছে। (Proved)
53. n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে, (n + 1)² + (n + 2)² + . . . . + 4n = ⁿ/₆(2n + 1)(7n + 1)
Solution: (n + 1)² + (n + 2)² + . . . . + 4n²
= (n + 1)² + (n + 2)² + . . . . + (n + n)²
= (n² + 2.n.1 + 1²) + (n² + 2.n.2 + 2²) + (n² + 2.n.3 + 3²) + . . . . + (n² + 2.n.n + n²)
== (n² + n² + n² + . . . . n-তম পদ পর্যন্ত) + 2n(1 + 2 + 3 + . . . . + n) + (1² + 2² + 3² + . . . . + n²)

\(= n.n^2 + 2n.\frac{n(n + 1)}{2} + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\\= \frac{n}{6}[6n^2 + 6n(n + 1) + (n + 1)(2n + 1)\\= \frac{n}{6}(6n^2 + 6n^2 + 6n + 2n^2 + n + 2n + 1)\\= \frac{n}{6}(14n^2 + 9n + 1)\\ = \frac{n}{6}(14n^2 + 7n + 2n + 1)\\= \frac{n}{6}[(7n(2n + 1) + 1(2n + 1)]\\=\frac{n}{6}(2n + 1)(7n + 1) (Proved))\)
54(i). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + . . .
Solution: (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + . . .
∴ t_r = 1 + 2+ 3 + 4 +. . . . + r সংখ্যক পদ পর্যন্ত
⇒  t_r = ^{r(r + 1)}/₂ =^r²/₂ + ^r/₂
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=\sum_{r = 1}^{n}\frac{r^2}{2}+\frac{r}{2}\\=\frac{1}{2}\sum_{r = 1}^{n}r^2+\frac{1}{2}\sum_{r = 1}^{n}r\\=\frac{1}{2}.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{2}.\frac{n(n+1)}{2}\\=\frac{n(n+1)}{12}.(2n+1+3)\\=\frac{n(n+1)}{12}(2n+4)\\=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\ (Ans)\)
54(ii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1²) + (1 ² + 2 ²) + (1² + 2² + 3²) + . . . .
Solution: (1²) + (1 ² + 2 ²) + (1² + 2² + 3²) + . . . .
(1²) + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + . . . .
∴ t_r = 1² + 2² + 3² + . . . . r সংখ্যক পদ পর্যন্ত
\(= \frac{r(r + 1)(2r + 1)}{6}\\= \frac{r(2r^2 + r + 2r + 1)}{6}\\= \frac{r(2r^2 + 3r + 1)}{6}\\= \frac{2r^3 + 3r^2 + r}{6}\\= \frac{r^3}{3} + \frac{r^2}{2} +\frac{r}{6}\)
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি \(=\sum_{r = 1}^{n}\frac{r^3}{3}+\frac{r^2}{2}+\frac{r}{6}\\=\frac{1}{3}\sum_{r = 1}^{n}r^3+\frac{1}{2}\sum_{r = 1}^{n}r^2+\frac{1}{6}\sum_{r = 1}^{n}1\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2+\frac{1}{2}.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{6}.\frac{n(n+1)}{2}\\=\frac{1}{12}\left[n^2(n+1)^2 + n(n+1)(2n+1)+ n(n+1) \right]\\= \frac{n(n+1)}{12}[n(n + 1) + (2n + 1) + 1]\\= \frac{n(n+1)}{12}[n^2 + n + 2n + 1 + 1]\\= \frac{n(n+1)}{12}(n^2 + 3n + 2)\\= \frac{n(n+1)}{12}(n^2 + 2n + n + 2)\\= \frac{n(n+1)}{12}[]n(n + 2) + 1(n + 2)]\\= \frac{n(n+1)}{12}(n + 2)(n + 1)\\= \frac{n(n+1)^2(n + 2)}{12}\ (Ans)\)
54(iii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(3³ – 2³) + (5³ – 4³) + (7³ – 6³) + . . . .
Solution: (3³ – 2³) + (5³ – 4³) + (7³ – 6³) + . . . .
tr = (3³ – 2³) + (5³ – 4³) + (7³ – 6³) + . . . . r সংখ্যক পদ পর্যন্ত
= (2r + 1)³ – (2r)³
⇒ 8r³ + 12r² + 6r + 1 – 8r³
= 12r² + 6r + 1
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=\sum_{r = 1}^{n}12r^2+6r+1\\=12\sum_{r = 1}^{n}r^2+6\sum_{r = 1}^{n}r+\sum_{r = 1}^{n}1\\=12.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+6.\frac{n(n+1)}{2}+n\)
= 2n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1) + n
= n(n + 1)(4n + 2 + 3) + n
== n(n + 1)(4n + 5) + n
= n[(n + 1)(4n + 5) + 1]
= n(4n²+ 5n + 4n + 5 + 1)
== n(4n² + 9n + 6)
54(iv). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + . . . .
Solution: (1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + . . . . শ্রেনিটির বন্ধনী তুলে দিলে নতুন শ্রেনিটির পদ সংখ্যা হয়
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . + n
= n(n + 1)/2
∴ নতুন শ্রেনিটি হল
\(= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . + \frac{n(n + 1)}{2}\\\)শ্রেনিটির সমষ্টি\(= \frac{\frac{n(n + 1)}{2}\left( \frac{n(n + 1)}{2}+1 \right)}{2}\\=\frac{\frac{n(n + 1)}{2}\left( \frac{n^2+n +2}{2} \right)}{2}\\=\frac{n(n + 1)(n^2+n +2)}{8}(Ans)\)
54(v). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
¹/_{1 . 4} + ¹/_{4 . 7} + ¹/_{7 . 10} + . . . .
Solution:
\(\frac{1}{1 . 4}+\frac{1}{4 . 7}+\frac{1}{7 . 10} . . . . .\\∴t_{r} = \frac{1}{(3r-2)}.\frac{1}{(3r+1)}\\=\frac{1}{3}\frac{3}{(3r-2)(3r+1)}\\=\frac{1}{3}\frac{(3r+1)-(3r-2)}{(3r-2)(3r+1)}\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{(3r-2)}-\frac{1}{(3r+1)} \right]\)∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি\(=\frac{1}{1 . 4}+\frac{1}{4 . 7}+\frac{1}{7 . 10} . . . . .+\frac{1}{(3n-2)}.\frac{1}{(3n+1)}\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1} \right]\\=\frac{1}{3}\left[ 1-\frac{1}{3n+1} \right]\\=\frac{1}{3}.\frac{3n+1-1}{3n+1}\\=\frac{n}{3n+1}(Ans)\)
54(vi). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
¹/_{2 . 5} + ¹/_{5 . 8} + ¹/_{8 . 11} . . . . .
Solution:
\(\frac{1}{2 . 5}+\frac{1}{5 . 8}+\frac{1}{8 . 11} . . . . .\\∴t_{r} = \frac{1}{(3r-1)}.\frac{1}{(3r+2)}\\=\frac{1}{3}.\frac{3}{(3r-1)(3r+2)}\\=\frac{1}{3}.\frac{(3r+2)-(3r-1)}{(3r-1)(3r+2)}\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{(3r-1)}-\frac{1}{(3r+2)} \right]\)∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি \(=\frac{1}{2 . 5}+\frac{1}{5 . 8}+\frac{1}{8 . 11} . . . . .+\frac{1}{(3n-1)}.\frac{1}{(3n+2)}\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2} \right]\\=\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2} \right]\\=\frac{1}{3}.\frac{3n+2-2}{2(3n+2)}\\=\frac{n}{2(3n+2)}(Ans)\)
54(vii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + (n – 3).4 + . . . .
Solution: n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + (n – 3).4 + . . . .
∴ t_r = [n – ( r – 1).r]
⇒  t_r = (n – r + 1).r
⇒  t_r = (n + 1).r – r²
∴ n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি
\(=\sum_{r = 1}^{n}[(n + 1).r – r^2]\\=(n + 1)\sum_{r = 1}^{n}r-\sum_{r = 1}^{n}r^2\\=(n + 1)\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\=\frac{n(n+1)}{6}.(3n+3-2n-1)\\=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}(Ans)\)
55. কোনো সমান্তর শ্রেণির প্রথম P -সংখ্যক পদের সমষ্টি ও প্রথম Q -সংখ্যক পদের সমষ্টি সমান হলে দেখাও যে, তার প্রথম (P + Q) সংখ্যক পদের সমষ্টি শূন্য হবে।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণির প্রথম পদ a এবং সাধারন অন্তর d
প্রশ্নানুযায়ী,
^P/₂[2a + (P – 1)d] = ^Q/₂[2a + (Q – 1)d]
⇒ P[2a + (P – 1)d] = Q[2a + (Q – 1)d]
⇒ 2aP – 2aQ + P(P – 1)d – Q(Q – 1)d = 0
⇒⇒ 2a(P – Q) + (P² – P – Q² + Q)d = 0
⇒ 2a(P – Q) + [(P + Q)(P – Q) – (P – Q)]d = 0
বা, 2a(P – Q) + (P – Q)(P + Q – 1)d = 0
বা, (P – Q)[2a + (P + Q – 1)d] = 0
⇒ 2a + (P + Q – 1)d = 0
প্রথম (P + Q) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= ^{P + Q}/₂[2a + (P + Q – 1)d
= ^{P + Q}/₂ × 0 = 0
∴ প্রথম (P + Q) সংখ্যক পদের সমষ্টি শূন্য হবে। (Proved)
56. (1) + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8 + 9) + . . . . শ্রেণিটির r -তম বন্ধনীর পদগুলির যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: শ্রেণিটির বন্ধনীগুলির পদসংখ্যা হল 1, 3, 5, . . . .
∴ শ্রেণিটির r -তম বন্ধনীর পদসংখ্যা
= 1 + (r – 1)2
= 2r – 1
শ্রেণিটির r -তম বন্ধনীর প্রথম পদ হবে
= 1, 2, 5, 10 . . . . শ্রেণিটির r -তম পদ
= (0 + 1), (1 + 1), (4 + 1), (9 + 1) . . . . শ্রেণিটির r -তম পদ
⇒ [(1 – 1)² + 1], [(2 – 1)² + 1], [(3 – 1)² + 1], [(4 – 1)² + 1] . . . . শ্রেণিটির r -তম পদ
∴ শ্রেণিটির প্রথম পদ
= [(r – 1)² + 1]
= r² – 2r + 2
শ্রেণিটির r -তম বন্ধনীর শেষ পদ হবে
= 1, 4, 9, 16 . . . . শ্রেণিটির r -তম পদ
= 1², 2², 3², 4² . . . . শ্রেণিটির r -তম পদ
∴ শ্রেণিটির শেষ পদ r²
∴ শ্রেণিটির r -তম বন্ধনীর পদগুলির যোগফল
= ^{2r – 1}/₂( r² – 2r + 2 + r² )
= ^{2r – 1}/₂×2( r² – r + 1 )
⇒ (2r – 1)( r² – r + 1 )
= 2r³ – 2r² + 2r – r² + r – 1
⇒ r³ + r³ – 3r² + 3r – 1
= r³ + (r – 1)³ (Ans)
57. একটি সমান্তর প্রগতির প্রথম ও শেষ পদ যথাক্রমে a ও I; তার পদসমূহের সমষ্টি S হলে দেখাও যে, তার সাধারণ অন্তর হয় \(\frac{l^2-a^2}{2s-(l+a)}\)
ধরি, সমান্তর প্রগতির সাধারন অন্তর d
প্রশ্নানুসারে,
S = ⁿ\₂(a + l)
বা, n = ^2s/_{a + l}
আবার\(S=\frac{n}2\left[ 2a+(n-1)d \right]\\⇒2S=n[2a+(n-1)d]\\⇒2S=\frac{2S}{a+l}\left\lceil 2a+\left( \frac{2S}{a+l}-1 \right)d \right\rceil\\⇒1=\frac{1}{a+l}\left\lceil 2a+\left( \frac{2S}{a+l}-1 \right)d \right\rceil\\⇒a+l=2a+\frac{2S-(a+l)}{a+l}d\\⇒\frac{2S-(a+l)}{a+l}d=l-a\\⇒d=\frac{(l-a)(l+a)}{2S-(a+l)}\\⇒d=\frac{l^2-a^2}{2S-(a+l)}(Proved)\)
58. কোনো সমান্তর প্রগতির প্রথম, দ্বিতীয় এবং শেষ পদ যথাক্রমে a, b এবং c হলে দেখাও যে, প্রগতির পদসমূহের সমষ্টি হয় \(\frac{(a + c)(b + c – 2a)}{2(b – a)}\)
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতির সাধারন অন্তর d এবং পদ সংখ্যা n
সমান্তর প্রগতির প্রথম, দ্বিতীয় এবং শেষ পদ যথাক্রমে a, b এবং c
∴ d = b – a
এবং c = a + (n – 1)d
বা, (n – 1)d = c – a
⇒ (n – 1)(b – a) = c – a . . . . [∵ d = b – a]

\(⇒(n – 1) = \frac{c – a}{b – a}\\⇒n=\frac{c – a}{b – a}+1\\⇒ n =\frac{c – a + b – a}{b – a}\\⇒ n =\frac{b + c – 2a}{b – a}\)∴ প্রগতির পদসমূহের সমষ্টি \(= \frac{n}{2}(a + c)\\ =\frac{(b + c – 2a)(a + c)}{2(b – a)} (Proved)\)
59(i). কোনো সমান্তর প্রগতির পরপর n -সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n হলে দেখাও যে,
S_{n + 3} – 3S_{n + 2} + 3S_{n + 1} – S_n = 0
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির সাধারন অন্তর d
L.H.S.
= S_{n + 3} – 3S_{n + 2} + 3S_{n + 1} – S_n
=S_{n + 3} – S_{n + 2} – 2S_{n + 2} + 2S_{n + 1} + S_{n + 1} – S_n
⇒ [S_{n + 3} – S_{n + 2}] – 2[S_{n + 2} – S_{n + 1}] + [S_{n + 1} – S_n]
= d -2d +3 . . . [d = S_{n + 3} – S_{n + 2} = S_{n + 2} – S_{n + 1} = . . .]
= 0 = R.H.S.
S_{n + 3} – 3S_{n + 2} + 3S_{n + 1} – S_n = 0 [Proved]
59(ii). কোনো সমান্তর প্রগতির পরপর n -সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n হলে দেখাও যে,
S_{n + 4} – 4S_{n + 3} + 6S_{n + 2} – 4S_{n + 1} + S_n = 0
Solution: ধরি, সমান্তর প্রগতিটির সাধারন অন্তর d
L.H.S.
= S_{n + 4} – 4S_{n + 3} + 6S_{n + 2} – 4S_{n + 1} + S_n
= S_{n + 4} – S_{n + 3} – 3S_{n + 3} + 3S_{n + 2} + 3S_{n + 2} – 3S_{n + 1} – S_{n + 1} + S_n
== [S_{n + 4} – S_{n + 3}] – 3[S_{n + 3} – S_{n + 2}] + 3[S_{n + 2} – S_{n + 1}] – [S_{n + 1} – S_n]
= d -3d +3d -d . . . [d = S_{n + 4} – S_{n + 3} = S_{n + 3} – S_{n + 2} = . . .]
= 0 = R.H.S.
S_{n + 4} – 4S_{n + 3} + 6S_{n + 2} – 4S_{n + 1} + S_n =0 [Proved]
60. কোনো সমান্তর শ্রেণির n -তম পদ = a_n এবং p ও q দুটি ধনাত্মক সংখ্যা (p < q) যদি a_{p + 1} + a_{p + 2} + a_{p + 3} + . . . . + a_q = 0 হয় তবে সমান্তর শ্রেণির প্রথম (p + q) -সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণির প্রথম পদ = a₁ এবং সাধারন অন্তর = d
a_{p + 1} + a_{p + 2} + a_{p + 3} + . . . . + a_q শ্রেণিটিতে পদ আছে [q – (p + 1) + 1] টি বা (q – p) টি
∵ a_{p + 1} + a_{p + 2} + a_{p + 3} + . . . . + a_q = 0
⇒ [a₁ + (p + 1 – 1)d] + [a₁ + (p + 2 – 1)d] + [a₁ + (p + 3 – 1)d] + . . . + [a₁ + (q – 1)d] = 0
⇒ (q – p)a₁ + [(q – p)p + {(1 + 2 + 3 . . . . (q – p – 1)}]d = 0
বা, (q – p)a₁ + (q – p)pd + (q – p – 1)(q – p – 1 + 1)2d = 0
বা, (q – p)a₁ + (q – p)pd + (q – p – 1)(q – p)2d = 0
⇒ (q – p)[a₁ + pd + (q – p – 1)d2] = 0
⇒ a₁ + pd + (q – p – 1)d2 = 0
বা, 2a1_{+ 2pd +}(q – p – 1)d2 = 0
= 2a₁ + 2pd + (q – p – 1)d = 0
= 2a₁ + (2p + q – p – 1)d = 0
⇒ 2a₁ + (p + q – 1)d = 0
⇒(p + q)2[2a₁ + {(p + q) – 1}d]
= (p + q)2×0
⇒ S_{p + q} = 0
∴ প্রথম (p + q) -সংখ্যক পদের সমষ্টি 0 (Proved)
61. 3 অঙ্কবিশিষ্ট যে সকল সংখ্যাকে 3 দ্বারা ভাগ করলে 2 ভাগশেষ থাকে, সেই সকল সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: 3 অঙ্কবিশিষ্ট যে সকল সংখ্যাকে 3 দ্বারা ভাগ করলে 2 ভাগশেষ থাকে, সেগুলি হল
101. 104, 107, . . . . 998
সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম পদ(a) = 101; সাধারন অন্তর(d) = 3
ধরি, n-তম পদ 998
∴ 101 + (n – 1)3 = 998
বা, (n – 1)3 = 897
বা, n – 1 = 299
∴ n = 300
সংখ্যাগুলির যোগফল
= 300/2(101 + 998)
= 150×1099 = 164850
Ans: সংখ্যাগুলির যোগফল 164850
62. 3px ² – 10px + 5q = 0 (p > 0, ^q/_p < 1 ²/₃) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটির মধ্যে অযুগ্ম সংখ্যক সমান্তরীয় মধ্যক (A.M.) বসানো হল, যাদের সমষ্টি সমান্তরীয় মধ্যকের সংখ্যা অপেক্ষা 10 অধিক। সমান্তরীয় মধ্যকের সংখ্যা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, 3px ² – 10px + 5q = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি α ও β
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = –^-10p/_3p = ¹⁰/₃
বীজ দুটির মধ্যে (2n – 1) সংখ্যক অযুগ্ম সমান্তরীয় মধ্যক বসালে সমান্তর শ্রেণিটিতে পদ থাকবে [(2n – 1) + 2] বা, (2n + 1) টি
∴ সমান্তরীয় মধ্যকগুলির সমষ্টি
= ^{2n + 1}/₂(α + β) – (α + β)
= (α + β)[^{2n + 1}/₂ – 1]
== ¹⁰/₃× ^{2n – 1}/₂
= ⁵/₃× (2n – 1)
প্রশ্নানুযায়ী,
⁵/₃× (2n – 1) = (2n – 1) + 10
বা, 5(2n – 1) = 3(2n + 9)
বা, 10n – 5 = 6n + 27
⇒ 4n = 32
⇒ n = 8
∴ (2n – 1) = 2.8 – 1 = 15
Ans: সমান্তরীয় মধ্যকের সংখ্যা 15 টি
63. মনে করো, সমান্তর শ্রেণির n -তম পদ a_n এবং a₃ + a₅ + a₈ + a₁₄ + a₁₇ + a₁₉ = 198 সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম 21 টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, সমান্তর শ্রেণির প্রথম পদ(a) = সাধারন অন্তর(d)
∵ a₃ + a₅ + a₈ + a₁₄ + a₁₇ + a₁₉ = 198
∴ a + 2d + a + 4d + a + 7d + a + 13d + a + 16d + a + 18d = 198
বা, 6a + 60d = 198
বা, a + 10d = 33
সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম 21 টি পদের যোগফল
= ²¹/₂(2a +20d)
= 21(a +10d)
== 21×33 = 693
Ans: সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম 21 টি পদের যোগফল 693
64. (1 + 3) + (5 + 7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23) + . . . . শ্রেণিটির n -তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত শ্রেণিটির বন্ধনীগুলো তুলে দিলে পদ সংখ্যা হয়
= 2 + 4 + 6 + . . . . n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত
= ⁿ\₂[2.2 + (n – 1)2]
== n[2 + (n – 1)]
= n(n + 1)
বন্ধনীগুলো তুলে দিলে শ্রেণিটি হয়
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + . . . . n(n + 1)-সংখ্যক পদ পর্যন্ত
এখানে, প্রথম পদ(a) = 1; সাধারন অন্তর(d) = 2
∴ শ্রেণিটির n(n + 1) -তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি
= ^{n(n + 1)}/₂[2.1 + (n(n + 1) – 1)2]
= ^{n(n + 1)}/₂×2[1 + (n² + n – 1)]
== n(n + 1)(1 + n² + n – 1)
== n(n + 1)(n² + n)
= n(n + 1)n(n + 1)
= n²(n + 1)²
Ans: শ্রেণিটির n -তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি = n²(n + 1)²
65. যদি n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি S₁ , তাদের বর্গের সমষ্টি S₂ এবং ঘনের সমষ্টি S₃ হয় তবে দেখাও যে, 9S₂² = S₃(1 + 8S₁)
Solution: n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি
= S₁ =^{n(n + 1)}/₂
n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি
= S₂ = ^{n(n + 1)(2n + 1)}/₆
এবং n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি
= S₃ = [^{n(n + 1)}/₂]²
L.H.S. = 9S₂²
= 9[^{n(n + 1)(2n + 1)}/₆]²
⇒ 9× ^{n²(n + 1)²(2n + 1)²}/₃₆
= ^{n²(n + 1)²(2n + 1)²}/₄
⇒ [^{n(n + 1)}/₂]²×(4n² + 4n + 1)
= S₃×[4n(n + 1) + 1]
= S₃×[1 + 4n(n + 1)]
⇒ S₃[1+ 4×2×¹/₂n(n + 1) + 1]
⇒ S₃[1+ 8×¹/₂n(n + 1)]
= S₃[1+ 8S₁] = R.H.S.
∴ 9S₂² = SS₃(1 + 8S₁) (Proved)
66. যদি a₁ = 2 এবং a_n – a_{n – 1} = 2n (n ≥ 2) হয়, তবে a₁ + a₂ + a₃ + . . . . + a₂₀ এর মান নির্ণয় করো।
Solution: a₁ = 2 এবং a_n – a_{n – 1} = 2n (n ≥ 2)
a = 2 হলে,
∴ a₂ – a₁ = 2.2
⇒ a₂ = 4 + a₁ = 4 + 2 = 6
a = 3 হলে,
∴ a₃ – a₂ = 2.3
⇒ a₃ = 6 + a₂ = 6 + 6 = 12
a = 4 হলে,
∴ a₄ – a₃ = 2.4
a₄ = 24 + a₃ = 8 + 12 = 20
∴ a₁+ a₂ + a₃+ a₄ + . . . . + a₂₀
= 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . + a₂₀
= (1 + 1²) + (2 + 2²) + (3 + 3²) + (4 + 4²) + . . . . + (20 + 20²)
⇒ (1 + 2 + 3 + . . . . + 20) + (1² + 2²+ 3²+ 4²+ . . . . 20²)
⇒ ^{20(20 + 1)}/₂ + ^{20(20 + 1)(2.20 + 1)}/₆
⇒ ^20×21/₂ + ^20×21×41/₆
= 10×21 + 10×7×41
= 210 + 2870 = 3080
Ans:নির্ণেয় মান 3080
67. ক্যাশ ব্যালেন্স পরীক্ষা করার জন্য জয়া ব্যাংক লিমিটেডের হিসাব পরীক্ষক 4500 টাকা গুনতে একজন সহকারী নিয়োগ করলেন। সহকারী প্রথম দশ মিনিটের প্রতি মিনিটে 150 টাকা করে গুনলেন। দশ মিনিট শেষে প্রতি মিনিটে আগের মিনিটের চেয়ে 2 টাকা করে কম গুনতে লাগলেন। 4500 টাকা গুনতে ওই সহকারীর কত সময় লাগবে?
Solution: প্রথম দশ মিনিটের প্রতি মিনিটে 150 টাকা করে গুনলে প্রথম দশ মিনিটে গুনবে
= 10×150 = 1500 টাকা
10 মিনিট শেষে প্রতি মিনিটে আগের মিনিটের চেয়ে 2 টাকা করে কম গুনতে লাগলেন।
∴ 11 মিনিট থেকে গোনা টাকা সমান্তর শ্রেণি গঠন করে,
যার প্রথম পদ(a) = 148 এবং সাধারন অন্তর(d) = -2
10 মিনিট পর টাকা গোনা বাকি থাকে
= (4500 – 1500) টাকা = 3000 টাকা
ধরি, বাকি 3000 টাকা গুনতে সময় লাগে n মিনিট
∴ ⁿ\₂[2×148 + (n – 1)(-2)] = 3000
বা, ⁿ\₂×2[148 – n + 1] = 3000⇒
বা, n(149 – n) = 3000
⇒ – n² + 149n – 3000 = 0
বা, n² – 149n + 3000 = 0
বা, n² – 125n – 24n + 3000 = 0
⇒ n(n – 125) – 24(n – 125) = 0
⇒ (n – 125)(n – 24) = 0
∴ n = 24, 125
মোট সময় লাগবে = (10 + 24) = 34 মিনিট
Ans: 4500 টাকা গুনতে 34 মিনিট সময় লাগবে।

68. একটি বহুভুজের 25 টি বাহু আছে এবং ক্ষুদ্রতম বাহু থেকে শুরু করে তার বাহুগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে। যদি বহুভুজটির পরিসীমা 1100 সেমি ও বৃহত্তম বাহুটি ক্ষুদ্রতম বাহুর 10 গুণ হয়, তবে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য ও সমান্তর প্রগতির সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, বহুভুজের বাহুগুলি a, a + d, a + 2d, . . . . a + 24d
প্রশ্নানুযায়ী,
a + a + d + a + 2d + . . . . + a + 24d = 1100
বা, ²⁵/₂(2a + 24d) = 1100
বা, ²⁵/₂×2(a + 12d) = 1100
⇒ 25(a + 12d) = 1100
বা, a + 12d = 44
বা, a = 44 – 12d . . . . . . . (i)
আবার
a + 24d = 10a
বা, -9a = -24d
বা, 3a = 8d
⇒ 3(44 – 12d) = 8d , . . . . [∵ a = 44 – 12d]
বা, -36d – 8d = -3×44
বা, -44d = -3×44
∴ d = 3
(i) নং থেকে পাই,
a = 44 – 3×12 = 8
Ans: ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও
সমান্তর প্রগতির সাধারণ অন্তর 3 সেমি
69. A একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যাত্রা শুরু করল এবং প্রথম দিনে 1 মাইল, দ্বিতীয় দিনে 2 মাইল, তৃতীয় দিনে 3 মাইল, এভাবে চলতে লাগল। 5 দিন পরে B ওই একই স্থান থেকে একই দিকে যাত্রা শুরু করল এবং প্রত্যহ 12 মাইল করে চলল। B, A-কে অতিক্রম করা পর্যন্ত A কত পথ গিয়েছিল? যদি তারা আরও চলতে থাকে, তবে কতদিন পরে A, B-কে অতিক্রম করবে?
Solution: ধরি A যাত্রা শুরু করার n দিন পরে A ও B পরস্পর মিলিত হল।
∴ A , n দিনে যায়
= 1 + 2 + 3 + . . . . . . + n
= ^{n(n + 1)}/₂ মাইল
B একই স্থান থেকে একই দিকে 5 দিন পরে যাত্রা শুরু করে।
∴ B, (n – 5) দিনে যায় = 12(n – 5) মাইল
∴ ^{n(n + 1)}/₂ = 12(n – 5)
বা, n² + n – 24n + 120 = 0
বা, n² – 23n + 120 = 0
⇒ n² – 15n – 8n + 120 = 0
বা, n(n – 15) – 8(n – 15) = 0
বা, (n – 15)(n – 8) = 0
∴ n = 15, 8
B, A-কে অতিক্রম করে 8-তম দিনে।
আবার A, B-কে অতিক্রম করে 15-তম দিনে।
Ans: B, A-কে অতিক্রম করা পর্যন্ত পথ গিয়েছিল
= 12(8 – 5) = 36 মাইল
যদি তারা আরও চলতে থাকে, তবে 15 দিন পরে A, B-কে অতিক্রম করবে।
70. এক ব্যক্তি 12000 টাকার ঋণ 30টি বাৎসরিক কিস্তিতে এমনভাবে শোধ করবে বলে স্থির করল, যেন কিস্তিগুলি একটি সমান্তর শ্রেণি গঠন করে। 20টি কিস্তি দেবার পর ওই ব্যক্তি মারা গেল এবং দেখা গেল যে, এখনও ঋণের অর্ধেক শোধ হয়নি। প্রথম কিস্তির পরিমাণ নির্ণয় করো।
Solution: মোট ঋণের পরিমাণ = 12000 টাকা
বাৎসরিক কিস্তির সংখ্যা (n) = 30
ধরি, প্রথম কিস্তির পরিমাণ(a) = a টাকা
কিস্তিগুলি যে সমান্তর শ্রেণি গঠন করে তার সাধারন অন্তর(d) = d টাকা
30টি বাৎসরিক কিস্তিতে ঋণ শোধ করলে,
= ³⁰/₂(2a + 29d) = 12000
বা, 15(2a + 29d) = 12000
বা, 2a + 29d = 800 . . . . . . . (i)
∴ 20টি কিস্তিতে ঋণ শোধ হয়
= ²⁰/₂(2a + 19d)= ¹²⁰⁰⁰/₂
বা, 10(2a + 19d)= 6000
বা, 2a + 19d= 600 . . . . . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
2a + 29d – 2a – 19d= 800 – 600
বা, 10d = 200
বা, d = 20
∴ 2a + 29×20 = 800
বা, 2a = 800 – 580
বা, 2a = 220
∴ a = 110
Ans: প্রথম কিস্তির পরিমাণ 110 টাকা
71. এক ব্যক্তি 240000 টাকা তাঁর চার পুত্রের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন, যাতে ভাগ চারটি সমান্তর শ্রেণিতে থাকে। প্রথম ও তৃতীয় পুত্রের অংশ দুটির গুণফল এবং দ্বিতীয় ও চতুর্থ পুত্রের অংশ দুটির গুণফলের অনুপাত হল 7; 15; পুত্র চারজনের অংশগুলির পরিমাণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, পুত্র চারজনের অংশগুলি হল (a – 3d), (a – d), (a + d) এবং (a + 3d)
প্রশ্নানুযায়ী,
(a – 3d) + (a – d) + (a + d) + (a + 3d) = 240000
বা, a – 3d + a – d + a + d + a + 3d = 240000
বা, 4a = 240000
∴ a = 60000
আবার (a – 3d)×(a + d) : (a – d)×(a + 3d) = 7 : 15
বা, (a² + ad – 3ad – 3d²) : (a² + 3ad – ad – 3d²) = 7 : 15
বা, (a² – 2ad – 3d²) : (a² + 2ad – 3d²) = 7 : 15
⇒ 15a² – 30ad – 45d² = 7a² + 14ad – 21d²
বা, 8a² – 44ad – 24d² = 0
বা, 2a² – 11ad – 6d² = 0
⇒ 2a² – 12ad + ad – 6d² = 0
বা, 2a(a – 6d) + d(a – 6d) = 0
বা, (a – 6d)(2a + d) = 0
∴ a – 6d= 0 ; 2a + d = 0
বা, 6d = a ; বা, d = -2a
a = 60000 হলে,
6d = 60000 ; d = -2×60000
বা, d = 10000 ; d = -120000
d = -120000 টাকা হলে তৃতীয় ও চতুর্থ পুত্রের প্রাপ্ত টাকা ঋণাত্মক হয়।
∴ d ≠ -120000
∴ d = 10000
পুত্র চারজনের অংশগুলি হল
(60000 – 3×10000), (60000 – 10000), (60000 + 10000) এবং (60000 + 3×10000)
= 30000, 50000, 70000 এবং 90000
Ans: পুত্র চারজনের অংশগুলির পরিমাণ = 30000 টাকা, 50000 টাকা, 70000 টাকা এবং 90000 টাকা
72. একজন ব্যক্তির কাছে দুটি পদ উপস্থাপন করা হয়। একটির ক্ষেত্রে, প্রারম্ভিক বেতন 1200 টাকা এবং বাৎসরিক বৃদ্ধি 80 টাকা, অপরটির ক্ষেত্রে, বেতন 850 টাকায় শুরু হয় এবং বছরে 120 টাকা করে বৃদ্ধি পায়। প্রথম 16 বছরে মোট আয় যে পদে বেশি হবে, ওই ব্যক্তি সেই পদটি গ্রহণ করবে বলে মনস্থ করে। সে কোন্ পদটি গ্রহণ করবে? তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
Solution: প্রথম ক্ষেত্রে,
বেতন বৃদ্ধির পর মাসিক বেতন একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে,
যার প্রথম পদ(a) = 1200 এবং সাধারণ অন্তর(d) = 8016
∴ প্রথম 16 বছরে মোট আয় হবে
= ¹⁶/₂[2×1200 + (16 – 1)80] টাকা
= 8[2400 + 15×80] টাকা
== 8[2400 + 1200] টাকা
= 8×3600 টাকা
= 28800 টাকা
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,
বেতন বৃদ্ধির পর মাসিক বেতন একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে,
যার প্রথম পদ(a) = 850 এবং সাধারণ অন্তর(d) = 12016 বছরে
∴ প্রথম 16 বছরে মোট আয় হবে
= ¹⁶/₂[2×850 + (16 – 1)120] টাকা
= 8[1700 + 15×120] টাকা
== 8[1700 + 1800] টাকা
= 8×3500 টাকা
= 28000 টাকা
∴ প্রথম পদটিতে দ্বিতীয় পদটির থেকে 16 বছরে আয় বেশি হবে।
Ans: ব্যক্তিটি প্রথম পদটি গ্রহণ করবে।
Click here to visit our Facebook
73. এক ব্যক্তির মাসিক বেতন 8000 টাকায় শুরু হয় এবং বছরে 200 টাকা হিসাবে বৃদ্ধি পেয়ে সর্বাধিক মাসিক 11200 টাকায় পৌঁছোয়। যদি তাঁর চাকরিকাল (i) 15 বছর (ii) 22 বছর হয়, তবে উভয়ক্ষেত্রে তাঁর মোট উপার্জিত অর্থের পরিমাণ নির্ণয় করো।
Solution: মাসিক বেতন 8000 টাকায় শুরু হয় এবং বছরে 200 টাকা হিসাবে বৃদ্ধি পেয়ে থাকলে বেতন বৃদ্ধির পর তার মাসিক বেতন একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে,
যার প্রথম পদ(a) 8000 এবং সাধারণ অন্তর(d) 200
ধরি, সর্বাধিক মাসিক 11200 টাকায় পৌঁছোয় n বছরে।
∴ t_n = 8000 + (n – 1).200 = 11200
বা, (n – 1).200 = 11200 – 8000
বা, (n – 1).200 = 3200
⇒ n – 1 = 16
বা, n = 17
(i) চাকরিকাল 15 বছর হলে,
t₁₅ = 8000 + (15 – 1).200
= 8000 + 14.200
= 8000 + 2800 = 10800
15 বছরে তাঁর উপার্জিত অর্থের পরিমাণ হবে
= 8000×12 + 8200×12 + . . . . . + 10800×12
= 12(8000 + 8200 + . . . . . + 10800)
== 12[¹⁵/₂(2.8000 + (15 -1)×200]
= 12[¹⁵/₂×2(8000 + 14×100]
= 12×15×(8000 + 1400]
== 180×9400 = 1692000
(i) চাকরিকাল 22 বছর হলে, 17 বছরে তাঁর উপার্জিত অর্থের পরিমাণ হবে
= 8000×12 + 8200×12 + . . . . . + 11200×12
= 12(8000 + 8200 + . . . . . + 11200)
== 12[¹⁷/₂(2.8000 + (17 -1)×200]
= 12[¹⁷/₂×2(8000 + 16×100]
== 12×17×(8000 + 1600]
= 204×9600
= 1958400
17 বছরে তাঁর মাসিক বেতন সর্বাধিক হয়।
∴ পরবর্তী (22 – 17) বা 5 বছরে মাসিক 11200 টাকা করে তাঁর উপার্জন হয়
= 11200×5×12 টাকা
= 11200×60 টাকা = 672000 টাকা
∴ 17 বছরে তাঁর উপার্জিত অর্থের পরিমাণ হবে
= 1958400 + 672000) টাকা
= 2630400 টাকা
Ans: 17 বছরে তাঁর উপার্জিত অর্থের পরিমাণ 1958400 টাকা
        22 বছরে তাঁর উপার্জিত অর্থের পরিমাণ 2630400 টাকা
সরলরেখা
October 27, 2025

Category: HS

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

4. x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 45° কোণে নত যে সরলরেখাটি y-অক্ষকে (0, 3) বিন্দুতে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

6. একটি সরলরেখার x -অক্ষের ও y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে (-4) ও 6 একক হলে সরলরেখাটির সমীকরণ কী হবে?

8. (3, -√3) ও (√3 , -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার নতিমাত্রা কত?

11. যে সরলরেখার নতিমাত্রা 1 এবং x-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশ (-3) একক সেটি নির্ণয় করো।

13. যে সরলরেখা x এবং y-অক্ষে সমান ছেদিতাংশ সৃষ্টি করে তার প্রবণতা কত হবে?

15. আমরা যদি সরলরেখার সমীকরণ 3x + 3y + 7 = 0 কে x cos α + y sin α = p আকারে লিখি তাহলে p-এর মান কত হবে?

18. x cos α + y sin α = p সরলরেখা অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

22. (2k, -2) এবং (1, -k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবণতা (-2) হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

24. 3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক হলে m-এর মান নির্ণয় করো। Solution:

25. 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at2, 2at) একটি বিন্দু; এর থেকে সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

26. যে সরলরেখার নতি 150° এবং মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 10 একক তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

9. P(h, k) ও Q(k, h) বিন্দু যথাক্রমে 6x – y = 1 ও 2x – 5y = 5 সরলরেখার ওপর অবস্থিত; PQ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

10. 4x + 3y + k = 0 সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার পরিসীমা 24 একক হলে k এর মান নির্ণয় করো।

14. 4x + 3y = 5cos α এবং 6x – 8y = 5sin α সরলরেখা দুটির মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব যথাক্রমে p1 ও p2 হলে দেখাও যে, p12 + 4p22 = 1

16. x + y + 4 = 0 এবং 2x + 3y + 10 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ ax + y + 6 = 0 হলে a-র মান কত হবে?

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

11. যেসব সরলরেখা (3, 1) বিন্দুগামী এবং মূলবিন্দু থেকে যাদের লম্বদূরত্ব 1 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

13. প্রমাণ করো যে, ax + (b + c)y + d = 0, bx + (c + a)y + d = 0 এবং cx + (a + b)y + d = 0 সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু।

14. xcos α + ysin α = p , xcos β + ysin β = q এবং y = xtan θ সরলরেখা তিনটি একবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো।

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-I সমান্তর প্রগতি

সমান্তর প্রগতি

1(i). কোনো সমান্তর শ্রেণির 10-তম পদ ‘-15’ এবং 31-তম পদ ‘-57’। শ্রেণিটির প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।

1(ii). কোনো সমান্তর শ্রেণির p-তম পদ q এবং q-তম পদ p হলে দেখাও যে, তার (p + q) তম পদ 0।

1(iii). মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির r-তম পদ Tr ;যদি mTm = nTn হয়, তবে দেখাও যে, Tm + n = 0

2. (i) (7, 11, 15, 19, . . . ) সমান্তর প্রগতির কোন্ পদ 111?

6(ii). (2, 9, 16, 23, . . . ) সমান্তর প্রগতির কোনো পদ 600 হতে পারে কি? তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।

3(i). নিম্নলিখিত সমান্তর প্রগতির ‘. . .’ চিহ্নিত স্থানগুলি পূরণ করো: 1 , . . . , . . . , (-50)

3(ii). নিম্নলিখিত সমান্তর প্রগতির ‘. . .’ চিহ্নিত স্থানগুলি পূরণ করো: . . . , . . . , 19, . . . , . . . , 31

4. a2 + 2a + 2, 3a2 + 6a + 6 এবং 4a2 + 5a + 4 সমান্তর প্রগতিতে আছে, a-এর মান নির্ণয় করো।

5. কোনো সমান্তর প্রগতির n-তম পদ 3n-1। প্রগতিটি নির্ণয় করো।

6(i). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: 2 + 5 + 8 + . . . + 152

6(ii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: 1/2 + 1/3 + 1/6 + . . . + (-5/6)

6(iii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: 2 + 2.4 + 2.8 + . . . + 10.4

6(iv). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: 1 + 5 + 9 + . . . + 101

7. একটি সমান্তর শ্রেণির 12-তম পদ (-13) এবং প্রথম চারটি পদের যোগফল 24 হলে, প্রথম 10 টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।

8. একটি সমান্তর শ্রেণির 5-তম ও 11-তম পদ দুটি যথাক্রমে 41 ও 20। তার প্রথম পদ কত? এই শ্রেণির প্রথম 11টি পদের যোগফল কত হবে?

9. একটি সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি n2; সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।

10. দেখাও যে, {4 + 12 + 20 + 28 + . . . } শ্রেণিটির n সংখ্যক পদের যোগফল একটি যুগ্ম সংখ্যার বর্গ।

11. দেখাও যে, 8 + 16 + 24 + . . . শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদের যোগফলের সঙ্গে 1 যোগ করলে তা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

12. 1 + 3 + 4 + 8 + 7 + 13 + 10 + 18 + . . . শ্রেণিটির 23 টি পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করো।

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. কোনো সমান্তর প্রগতির তৃতীয় পদ 1/5 এবং পঞ্চম পদ 1/3 ; দেখাও যে, ওই প্রগতির 15 টি পদের যোগফল ৪।

2. কোনো শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 3p2 + 5p দেখাও যে, শ্রেণিটির পদগুলি একটি সমান্তর শ্রেণি গঠন করে।

3. কোনো সমান্তর শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 4p2 + 3p হলে, ওই সমান্তর শ্রেণির দ্বাদশ পদটি নির্ণয় করো।

4. 51 + 53 + 55 + . . . + tn = 5151 হলে tn এর মান নির্ণয় করো।

6. 27 + 24 + 21 + . . . শ্রেণিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 132 হবে? এর দুটি উত্তরের কারণ ব্যাখ্যা করো।

8. কোনো সমান্তর প্রগতির n-তম পদ p এবং ওই প্রগতির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি q। প্রমাণ করো যে, ওই প্রগতির প্রথম পদ 2q – pn/n

9. 2 + 3 + 5 + 9 + 8 + 15 + 11 + 21 + . . . শ্রেণিটির (2n + 1) -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।

10(ⅰ). 91 এবং 259-এর মধ্যে কতগুলি যুগ্ম সংখ্যা আছে? ওই যুগ্ম সংখ্যাগুলির যোগফল নির্ণয় করো।

10(ii). 100 এবং 400-এর মধ্যে 11-এর গুণিতক সংখ্যাগুলির যোগফল নির্ণয় করো।

10(iii). 100 ও 10000-এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলি n3 রূপে প্রকাশ করা যায়, তাদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

11. কোনো সমান্তর শ্রেণির n-তম পদ 7n – 5; তার প্রথম 20টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।

12. (2n + 1) সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সমান্তর প্রগতির মধ্যপদটি m হলে দেখাও যে, তার (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি হয় (2n + 1)m

13(i). সমান্তর শ্রেণিভুক্ত তিনটি অখণ্ড সংখ্যার যোগফল 15 এবং তাদের গুণফল 80; সংখ্যা তিনটি নির্ণয় করো।

13(ii). সমান্তর শ্রেণিভুক্ত চারটি অখণ্ড সংখ্যার যোগফল 20 এবং তাদে বর্গের যোগফল 120; সংখ্যা চারটি নির্ণয় করো।

15. কোনো সমান্তর শ্রেণির একাদশ এবং চতুর্দশ পদ দুটির অনুপাত 7: 9; তার দশম এবং তৃতীয় পদের অনুপাত নির্ণয় করো।

16. -19 এবং 23-এর মধ্যে পাঁচটি সমান্তরীয় মধ্যক বসাও।

17. 4 ও 31-এর মধ্যে n -সংখ্যক সমান্তরীয় মধ্যক আছে। যদি দ্বিতীয় মধ্যক : শেষ মধ্যক = 5 : 14 হয়, তবে n-এর মান নির্ণয় করো।

18(i). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, (a + 2b – c)(2b + c – a)(c + a – b) = 4abc

18(ii). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) [ab + bc + ca ≠ 0] সমান্তর শ্রেণিতে আছে।

19. কোনো সমান্তর প্রগতির p-তম, q-তম ও r-তম পদগুলি যথাক্রমে P, Q, R হলে দেখাও যে, p(Q – R) + q(R – P) + r(P – Q) = 0

20(iii). যদি a + c = 2b এবং ab + cd + ad = 3bc হয় তবে প্রমাণ করো a, b, c, d সমান্তর শ্রেণিভুক্ত ( b ≠ 0)

21. 20 + 28 + 36 + . . . সমান্তর প্রগতির প্রথম থেকে কমপক্ষে কতগুলি পদের সমষ্টি 1000-এর চেয়ে বেশি?

22(i). একটি শ্রেণির n-তম পদ 1/2n(n + 1); শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।

22(ii). কোনো একটি সমান্তর প্রগতির n-তম পদ an + b । শ্রেণিটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

23. 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + . . . শ্রেণিটির 2n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করো।

25. কোনো সমান্তর প্রগতির x -তম পদ 1/y এবং y-তম পদ 1/x হলে দেখাও যে, তার xy-তম পদ 1 এবং প্রথম xy-সংখ্যক পদের সমষ্টি 1/2(xy + 1)

32. যদি আজ 1 টাকা, পরের দিন 2 টাকা, তার পরের দিন 3 টাকা এভাবে সঞ্চয় করা হয়, তবে 365 দিনে মোট কত সঞ্চিত হবে?

38. মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn; যদি S2n = 5Sn হয়, তবে S3n : S2n অনুপাতের মান নির্ণয় করো।

39. কোনো সমান্তর শ্রেণির m-সংখ্যক পদের যোগফল n এবং n-সংখ্যক পদের যোগফল m; দেখাও যে, তার (m + n) -সংখ্যক পদের যোগফল হবে – (m + n)।

42. কোনো সমান্তর শ্রেণির n. 2n, 3n সংখ্যক পদের যোগফল যথাক্রমে S1 , S2 , S3 ; দেখাও যে, S3 = 3(S2 – S1)

43. দুটি সমান্তর শ্রেণির n সংখ্যক পদের যোগফলের অনুপাত (4n – 13) : (3n + 10) হলে, তাদের নবম পদ দুটির অনুপাত নির্ণ করো।

44. দুটি সমান্তর প্রগতির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির অনুপাত (3n + 5) : (5n – 9) হলে দেখাও যে, তাদের চতুর্থ পদ দুটি পরস্পর সমান।

45. 4 এবং 34 এর মধ্যে এমন কতকগুলি সমান্তরীয় মধ্যক বসাও যেন, গঠিত সমান্তর শ্রেণিটির পদগুলির যোগফল 133 হয়।

46. যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে,

24. 3x + 4y + m = 0 সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 2 একক হলে m-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

25. 2x – 5y + 12a = 0 সরলরেখার ওপর (at², 2at) একটি বিন্দু; এর থেকে সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

14. 4x + 3y = 5cos α এবং 6x – 8y = 5sin α সরলরেখা দুটির মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব যথাক্রমে p₁ ও p₂ হলে দেখাও যে, p₁² + 4p₂² = 1

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

Sequence and Series
Arithmetic Progression
SEMESTER-I
সমান্তর প্রগতি

1(iii). মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির r-তম পদ T_r ;যদি mT_m = nT_n হয়, তবে দেখাও যে, T_{m + n} = 0

3(i). নিম্নলিখিত সমান্তর প্রগতির ‘. . .’ চিহ্নিত স্থানগুলি পূরণ করো:
1 , . . . , . . . , (-50)

4. a² + 2a + 2, 3a² + 6a + 6 এবং 4a² + 5a + 4 সমান্তর প্রগতিতে আছে, a-এর মান নির্ণয় করো।

6(i). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো:
2 + 5 + 8 + . . . + 152

6(ii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো: ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₆ + . . . + (-⁵/₆)

6(iv). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির মধ্যপদ (বা পদ দুটি) এবং যোগফল নির্ণয় করো:
1 + 5 + 9 + . . . + 101

9. একটি সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি n²; সাধারণ অন্তর নির্ণয় করো।

1. কোনো সমান্তর প্রগতির তৃতীয় পদ ¹/₅ এবং পঞ্চম পদ ¹/₃ ; দেখাও যে, ওই প্রগতির 15 টি পদের যোগফল ৪।

2. কোনো শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 3p² + 5p দেখাও যে, শ্রেণিটির পদগুলি একটি সমান্তর শ্রেণি গঠন করে।

3. কোনো সমান্তর শ্রেণির p-সংখ্যক পদের যোগফল 4p² + 3p হলে, ওই সমান্তর শ্রেণির দ্বাদশ পদটি নির্ণয় করো।

4. 51 + 53 + 55 + . . . + tn = 5151 হলে t_n এর মান নির্ণয় করো।

8. কোনো সমান্তর প্রগতির n-তম পদ p এবং ওই প্রগতির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি q। প্রমাণ করো যে, ওই প্রগতির প্রথম পদ ^{2q – pn}/_n

10(iii). 100 ও 10000-এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলি n³ রূপে প্রকাশ করা যায়, তাদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

18(ii). যদি a, b, c সমান্তর শ্রেণিতে থাকে, তবে দেখাও যে, a²(b + c), b²(c + a), c²(a + b) [ab + bc + ca ≠ 0] সমান্তর শ্রেণিতে আছে।

22(i). একটি শ্রেণির n-তম পদ 1/₂n(n + 1); শ্রেণিটির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো।

23. 1² – 2² + 3² – 4² + 5² – 6² + . . . শ্রেণিটির 2n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করো।

25. কোনো সমান্তর প্রগতির x -তম পদ ¹/_y এবং y-তম পদ ¹/_x হলে দেখাও যে, তার xy-তম পদ 1 এবং প্রথম xy-সংখ্যক পদের সমষ্টি ¹/₂(xy + 1)

38. মনে করো, কোনো সমান্তর প্রগতির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n; যদি S_2n = 5S_n হয়, তবে S_3n: S_2n অনুপাতের মান নির্ণয় করো।

42. কোনো সমান্তর শ্রেণির n. 2n, 3n সংখ্যক পদের যোগফল যথাক্রমে S₁ , S₂, S₃ ; দেখাও যে, S₃ = 3(S₂ – S₁)

48(ii). a₁, a₂, a₃, . . . . a_2kসমান্তর প্রগতিভুক্ত হলে, দেখাও যে, a₁² – a₂² + a₃² – a₄² + . . . + a²_{2k – 1}– a²_2k= ^k/_{2k – 1}(a₁² – a²_2k)

49. (b – c)², (c – a)², (a – b)² সমান্তর প্রগতিতে থাকলে দেখাও যে

51.(ii) নীচের শ্রেণিটির সমষ্টি নির্ণয় করো:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত;

51.(iii) নীচের শ্রেণিটির সমষ্টি নির্ণয় করো:
1 + 5 + 12 + 22 + 35 + . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত।

52. একটি শ্রেণির n-সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি n² + an + b দেখাও যে, b = 0 এবং শ্রেণিটি সমান্তর প্রগতিতে আছে।

53. n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে, (n + 1)² + (n + 2)² + . . . . + 4n = ⁿ/₆(2n + 1)(7n + 1)

54(i). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + . . .

54(ii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1²) + (1 ² + 2 ²) + (1² + 2² + 3²) + . . . .

54(iii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(3³ – 2³) + (5³ – 4³) + (7³ – 6³) + . . . .

54(iv). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
(1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + . . . .

54(v). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
¹/_{1 . 4} + ¹/_{4 . 7} + ¹/_{7 . 10} + . . . .
Solution:

54(vi). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
¹/_{2 . 5} + ¹/_{5 . 8} + ¹/_{8 . 11} . . . . .
Solution:

54(vii). নিম্নলিখিত শ্রেণিটির n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করো :
n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + (n – 3).4 + . . . .

59(i). কোনো সমান্তর প্রগতির পরপর n -সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n হলে দেখাও যে,
S_{n + 3} – 3S_{n + 2} + 3S_{n + 1} – S_n = 0

59(ii). কোনো সমান্তর প্রগতির পরপর n -সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n হলে দেখাও যে,
S_{n + 4} – 4S_{n + 3} + 6S_{n + 2} – 4S_{n + 1} + S_n = 0

63. মনে করো, সমান্তর শ্রেণির n -তম পদ a_n এবং a₃ + a₅ + a₈ + a₁₄ + a₁₇ + a₁₉ = 198 সমান্তর শ্রেণিটির প্রথম 21 টি পদের যোগফল নির্ণয় করো।

65. যদি n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি S₁ , তাদের বর্গের সমষ্টি S₂ এবং ঘনের সমষ্টি S₃ হয় তবে দেখাও যে, 9S₂² = S₃(1 + 8S₁)

66. যদি a₁ = 2 এবং a_n – a_{n – 1} = 2n (n ≥ 2) হয়, তবে a₁ + a₂ + a₃ + . . . . + a₂₀ এর মান নির্ণয় করো।