PROSTUTI

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2026) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

Category: HS

  • একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

    একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

    একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
    [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
    SEMESTER-2

    একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
    [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
    SEMESTER-2
    UNIT 2 CHAPTER 2
    PART-II

    SEMESTER-2 দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

    একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
    [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

    SEMESTER-2
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1       বীজগণিত

    👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

    👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

    • 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
    • 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
    • 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
    • 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

    একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
    [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

    সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    1. দেখাও যে, (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

    Solution:  (-8, 3) বিন্দু থেকে 4x – 3y + 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{|4.(-8) – 3.3 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|-32 – 9 + 1|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|-40|}{\sqrt{25}}\\=\frac{40}{5}=8\)একক

    (-8, 3) বিন্দু থেকে 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{|12.(-8) – 5.3 + 7|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|-96 – 15 + 7|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|-104|}{\sqrt{169}}\\=\frac{104}{13}=8\)একক

    ∴ (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

    2. প্রমাণ করো যে, (2, 2) বিন্দুটি 4x + 3y – 4 = 0 , 12x – 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী।

    Solution: (2, 2) বিন্দুথেকে 4x + 3y – 4 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{|4.2 + 3.2 – 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 6 – 4|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক

    (2, 2) বিন্দুথেকে 12x – 5y + 12 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{|12.2 – 5.2 + 12|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|24 – 10 + 12|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|26|}{\sqrt{169}}\\=\frac{26}{13}=2\)একক

    একক(2, 2) বিন্দুথেকে 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{|3.2 – 4.2 – 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|6 – 8 – 8|}{\sqrt{9+16}}\\=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক

    (2, 2) বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

    3. m -এর মান কত হলে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার ওপর মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 12 একক হবে?

    Solution: মূলবিন্দু থেকে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \( = \frac{|0 + m.0 – 13|}{\sqrt{1^2 + m^2}}\\= \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}}\)প্রশ্নানুযায়ী,
    \(\quad \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}} = 12\\⇒\frac{-13}{\sqrt{1 + m^2}} = ±12\)

    ⇒ ±12(√1 + m2) = -13
    ⇒ 144(1 + m2) = 169
    বা, 144m2 = 169 – 144
    ⇒ 144m2 = 25
    ⇒ m2 = 25/144
    ⇒m = ±5/12
    Ans: m -এর মান ±5/12

    4. (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব 2√13 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:  (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \( = \frac{|2.(-3) – 3.4 + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}\\= \frac{|-6 – 12 + k|}{\sqrt{4 + 9}}\\= \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\\\quad \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}=2√13\)

    ⇒ |-18 + k| = 2.13
    ⇒ -18 + k = ± 26
    ⇒k = 18 ± 26
    ⇒ k = 44; k = -8
    Ans: k-এর মান -8, 44

    5. 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \( = \frac{|12.3 + k.(-5) – 9|}{\sqrt{12^2 + k^2}}\\= \frac{|36 – 5k – 9|}{\sqrt{144 + k^2}}\\= \frac{|27 – 5k|}{\sqrt{144 + k^2}}\)

    প্রশ্নানুযায়ী,

    \(\quad \frac{|27 – 5k|}{144 + k^2} = 4\\ ⇒ (27 – 5k)^2 = 16(144 + k^2)\)

    ⇒ 729 – 270k + 25k2 = 2304 + 16k2
    ⇒ 9k2 – 270k – 1575 = 0
    বা, k2 – 30k – 175 = 0
    ⇒ k2 – 35k + 5k – 175 = 0
    ⇒ k(k – 35) + 5(k – 35) = 0
    ⇒(k – 35)(k + 5) = 0
    ∴ k = 35; k = -5
    Ans: k-এর মান -5, 35

    6. যদি 5x + 12y – 1 = 0 এবং 10x + 24y + k = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক হয়, তবে k-এর মান কত হবে?

    Solution: 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –5/12 এবং
    10x + 24y + k = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –10/24 = –5/12
    ∴ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
    মূলবিন্দু থেকে 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{5.0 + 12.0 – 1}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{- 1}{\sqrt{25 + 144}}= \frac{-1}{13}\) একক।

    আবার মূলবিন্দু থেকে 10x + 24y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \( = \frac{10.0 + 24.0 + k}{\sqrt{10^2 + 24^2}}\\= \frac{k}{\sqrt{100 + 576}}=\frac{k}{26}\) একক।

    সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
    = k/26 – (-1/13)
    = k/26 + 1/13
    =k + 2/26 একক।
    প্রশ্নানুযায়ী,
    k + 2/26 = 2
    বা, k + 2 = 52
    বা, k = 50
    Ans: k-এর মান 50

    7. 3x + 4y + 9 = 0 এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

    Solution: 3x + 4y + 9 = 0 সরলরেখার এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

    \(=\frac{|9 – 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{2}{5}\)একক।

    Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2/5 একক।

    8. মনে করো, একটি বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ; তাহলে বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

    Solution: বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ;
    স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
    সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব
    = বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

    \(=\frac{|16 – (-13)|}{\sqrt{5^2 + 2^2}}\\= \frac{|16 + 13|}{\sqrt{25+4}}\\=\frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\)একক।

    Ans: বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য √29 একক।

    9. একটি সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b; মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\)

    Solution: সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b;
    ∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
    x/a + y/b = 1
    মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে,

    \(\quad p = \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} – 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p = \frac{|- 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}\\⇒\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}\ (Proved)\)

    10. (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 এবং 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো এবং তারপর প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।

    Solution: (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \(\quad \frac{|8.2 + 6.1 – 17|}{\sqrt{8^2 + 6^2}}\\= \frac{|16 + 6 – 17|}{\sqrt{64+36}}\\= \frac{5}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) একক (Ans)

    (2, 1) বিন্দু থেকে 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \(\quad \frac{|4.2 + 3.1 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 3 + 1|}{\sqrt{16+9}}= \frac{12}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}\) একক (Ans)

    ∴ প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব

    \(=\left| \frac{12}{5}-\frac{1}{2} \right|=\left| \frac{24-5}{10} \right|=\frac{19}{10}\)

    Ans: প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব 19/10 একক

    11. দেখাও যে x cos α + y sin α = a cos 2αএবং x secα + y cosecα = 2a সরলরেখা দুটির ওপর মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

    Solution: মূলবিন্দু থেকে x cos α + y sin α = a cos 2α -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(= \frac{|0.cos α + 0.sin α – a cos 2α|}{\sqrt{cos^2 α + sin^2 α}} = \left| – a cos 2α\ \right| \)

    আবার মূলবিন্দু থেকে x secα + y cosecα = 2a -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(= \frac{|0.sec α + 0.cosec α – 2a|}{\sqrt{sec^2 α + cosec^2 α}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α }+ \frac{1}{sin^2 α}}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{sin^2 α + cos^2 α}{cos^2 α.sin^2 α }}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α.sin^2 α}}}\\=\frac{2|-a|}{\frac{1}{cos α.sin α}}\\=2sin α.cos α|-a|=|-a|sin 2α\)

    ∴ অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি
    = (|- a cos 2α|)2 + (|- a sin 2α)2
    = a2 cos2 2α + a2 sin2 2α
    =a2(cos2 2α + sin2 2α)
    = a2 – যা α নিরপেক্ষ।
    ∴ মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)

    বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি 
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

    1. A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2); B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
    Solution: A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2);
    AC সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y + 2}{-2-6}= \frac{x -2}{2-4}\\⇒ \frac{y + 2}{-8}= \frac{x -2}{-2}\\⇒ \frac{y + 2}{4}=x-2\)

    ⇒ 4x – 8 = y + 2
    ⇒ 4x – y – 10 = 0
    B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(\quad \frac{|4(-1) – 3 – 10|}{\sqrt{4^2 + 1^2}}\\= \frac{|-4 – 3 – 10|}{\sqrt{16+1}}= \frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}\) একক (Ans)

    2. (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর (4, -1) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    Solution: (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y + 4}{-4-1}= \frac{x + 11}{-11-1}\\ ⇒ \frac{y + 4}{-5}= \frac{x + 11}{-12}\)

    ⇒ -12y – 48 = -5x – 55
    ⇒ 5x – 12y + 7 = 0
    (4, -1) বিন্দু থেকে 5x – 12y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{25+144}}= \frac{39}{3}= 3\) একক (Ans)

    3. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ x + y = 2 এবং শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1); ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
    Solution: সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ:
    x + y = 2
    বা, x + y – 2 = 0
    শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1);
    সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব

    \(= \frac{|2 -1 – 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\)

    সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে উচ্চতা = √3/2 a একক
    ∴ √3/2 a = 1/√2
    বা, a = 1/√2.2/√3 = √6/3
    Ans: ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য √6/3 একক

    4. একটি গতিশীল বিন্দু P-এর সব অবস্থানে x + y = 5 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে তার লম্বদূরত্ব দুটির সমষ্টি সর্বদা 10। প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।

    Solution: ধরি গতিশীল বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
    (h, k) বিন্দু থেকে x + y = 5 এর লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}\)

    আবার (h, k) বিন্দু থেকে 3x – 2y + 7 = 0 এর লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}\)

    প্রশ্নানুযায়ী,

    \(\quad\frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}+ \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}=10\\⇒±\frac{h + k – 5}{\sqrt{2}}±\frac{3h – 2k + 7}{\sqrt{13}}=10\\⇒±√13(h + k – 5) ± √2(3h – 2k + 7) = 10√26\\⇒(±√13 ± 3√2)h + (±√13 ± 2√2)k + (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0\)

    ∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ:
    (±√13 ± 3√2)x + (±√13 ± 2√2)y +  (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0
    এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
    ∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।(Proved)

    5. মূলবিন্দু থেকে  x sin θ+ y cos θ= a/2 sin 2θ এবং x cos θ- y sin θ= a cos 2θসরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে P₁ ও P₂ হলে প্রমাণ করো যে, 4P₁² + P₂² = a²

    Solution: মূলবিন্দু থেকে  x sin θ + y cos θ = a/2 sin 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(\quad P_1 = \frac{|0.sin θ + 0.cos θ – \frac{a}{2}sin 2θ|}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_1 = |- \frac{a}{2} sin 2θ|\\ ⇒P_1^2 = \frac{a^2}{4}sin^2 2θ\\ ⇒4P_1^2 = a^2 sin^2 2θ . . . (i)\)

    মূলবিন্দু থেকে  x cos θ – y sin θ = a cos 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(\quad P_2 = \frac{|0.cos θ – 0.sin θ – a cos 2θ}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_2 = |- a cos 2θ|\\ ⇒P_2^2 = a^2 cos^2 2θ . . . (ii)\)

    (i) + (ii) করে পাই,

    \(\quad 4P_1^2+P_2^2\\ = a^2 sin^2 2θ+a^2 cos^2 2θ\\= a^2(sin^2 2θ+ cos^2 2θ)= a^2\\\ ∴ 4P₁² + P₂² = a² \ (Proved)\)

    6. দেখাও যে, (±4, 0) বিন্দু দুটি থেকে 3x cos θ+ 5y sin θ= 15 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

    Solution: (4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(= \frac{|3.4 cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)

    (-4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(= \frac{|3.(-4) cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|-12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|-(12 cos θ + 15)|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)
    ∴ লম্ব দুটির গুণফল \(=\frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}×\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|(12 cos θ)^2 – (15)^2|}{\left( \sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ} \right)^2}\\=±\frac{144cos^2 θ – 225}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225(cos^2 θ + sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225cos^2 θ – 225sin^2θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-225sin^2θ – 81 cos^2 θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-9(9 cos^2 θ + 25sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}= ±9\)∴ লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)

    7. (0, a) বিন্দুগামী যে দুটি সরলরেখার ওপর (2a, 2a) বিন্দু থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য a একক, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, (0, a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y – a = m(x – 0) . . .  [যেখানে m সরলরেখাটির প্রবনতা]
    বা, y – a = mx
    বা, mx – y + a = 0
    (2a, 2a) বিন্দু থেকে mx – y + a = 0 সরলরেখার লম্বের দৈর্ঘ্য

    \(=\frac{|m.2a – 2a + a|}{\sqrt{m^2 + 1^2}} \\= \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}=a\\⇒|2am – a|=a\sqrt{m^2 + 1}\)

    বা, (2am – a)2 = a2(m2 + 1)
    বা, 4a2m2 – 4a2m + a2 = a2m2 + a2
    ⇒ 4m2 – 4m + 1 = m2 + 1
    বা, 3m2 – 4m = 0
    বা, m(3m – 4) = 0
    ∴ m = 0; m = 4/3
    m = 0 হলে,
    0.x – y + a = 0
    বা, y = a
    আবার m = 4/3 হলে,
    4/3.x – y + a = 0
    বা, 4x – 3y + 3a = 0
    Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
    y = a এবং
    4x – 3y + 3a = 0 

    8. 2x + 3y = 5 এবং 2x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: 2x + 3y = 5 . . .  (i) এবং
    2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
    স্পষ্টতই (i) এবং (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
    (i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল হবে।
    ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + k = 0
    (i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

    =\(\frac{|k + 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k + 5|}{\sqrt{13}}\)

    আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

    =\(\frac{|k – 15|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k – 15|}{\sqrt{13}}\)

    শর্তানুযায়ী,
      |k + 5|/√13 =  |k – 1|/√13
    বা, |k + 5| =  |k – 1|
    বা, (k + 5)2 =  (k – 1)2
    ⇒ k2 + 10k + 25 = k2 – 2k + 1
    ⇒ 10k + 2k = 1 – 25
    বা, 12k = – 24
    বা, k = -2
    নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + 2 = 0
    Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    2x + 3y + 2 = 0

    9. x + y – 3 = 0 এবং x + y + 1 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: x + y – 3 = 0 . . .  (i) এবং
    x + y + 1 = 0 . . .  (ii)
    ধরি, (i) এবং (ii) নং সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ  x + y + k = 0 . . .  (iii) 
    (i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

    \(= \frac{|k + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k + 3|}{\sqrt{2}}\)

    আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

    \(= \frac{|k – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k – 1|}{\sqrt{2}}\)

    শর্তানুযায়ী,
     |k + 3|/√2 =  |k – 1|/√2
    বা, |k + 3| =  |k – 1|
    বা, (k + 3)2 =  (k – 1)2
    বা,k2 + 6k + 9 = k2 – 2k + 1
    বা, 6k + 2k = 1 – 9
    বা,8k = – 8
    বা, k = -1
    নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
    x + y – 1 = 0
    বা, x + y = 1
    Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:x + y = 1

    10. 2 একক দূরবর্তী দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ হয় 12x – 5y + 4 = 0 । সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সমান্তরাল হবে।
    ধরি, নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 12x – 5y + k = 0
    দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 2 একক
    ∴ নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখা এবং প্রদত্ত 12x – 5y + 4 = 0 সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 1 একক

    \(∴ \frac{|4 – k|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{\sqrt{144+25}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{13}=1\)

    বা, 4 – k = ±13
    বা, k = 4 ± 13
    ∴  k = 4 + 13 = 17;
      k = 4 – 13 = -9
    k = 17 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    12x – 5y + 17 = 0;
    k = -9 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    12x – 5y – 9 = 0
    বা, 12x – 5y = 9
    Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
    12x – 5y + 17 = 0 এবং
    12x – 5y = 9

    11. (2, -2) বিন্দু এবং 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার মাঝখান দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + 1 = 0 . . . (i)
    (2, -2) বিন্দু থেকে 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার লম্ব দূরত্ব

    \(= \frac{|3.2 – 4.(-2) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{15}{5}\)

    = 3 একক
    স্পষ্টতই, নির্ণেয় সরলরেখা 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল হবে।
    ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + k = 0  . . . (ii)
    (i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব

    \(= \frac{|1 – k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|1 – k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|1 – k|}{5}\)

    প্রশ্নানুসারে,
    |1 – k|/5 = 1/2.3
    বা, 1 – k = ±15/2
    বা, 2 – 2k = ±15
    বা,2k = 2 ± 15
    বা,k = 1/2(2 ± 15)
    ∴ k = 17/2; –13/2
    এখন, k = 17/2 হলে সরলরেখাটি হয়:
    3x – 4y + 17/2 = 0
    বা, 6x – 8y + 17 = 0
    এটি (2, -2) বিন্দু থেকে 3/2 একক দূরবর্তী নয়।
    ∴ k ≠ 17/2
    k = –13/2 হলে সরলরেখাটি হয়:
    3x – 4y – 13/2 = 0
    বা, 6x – 8y – 13 = 0
    বা, 6x – 8y = 13
    Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 6x – 8y = 13

    12. 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল এবং (1, -2) বিন্দু থেকে 7.5 একক দূরবর্তী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ: 3x + 4y + k = 0
    (1, -2) বিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \(= \frac{|3.1 + 4.(-2) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3 – 8 + k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|k – 5|}{5}\)

    প্রশ্নানুযায়ী,
    |k – 5|/5 = 7.5
    বা, k – 5 = ±37.5
    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    k – 5 = 37.5
    বা, k = 42.5
    ∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    3x + 4y + 42.5 = 0
    বা, 6x + 8y + 85 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    k – 5 = -37.5
    বা, k = -32.5
    ∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    3x + 4y – 32.5 = 0
    বা, 6x + 8y – 65 = 0
    বা, 6x + 8y = 65
    Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
    6x + 8y + 85 = 0 এবং
    6x + 8y = 65

    13. x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক লম্বদূরত্ববিশিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক  (h, k)
    (h, k) বিন্দু  x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
    ∴ h + k = 4
    বা,  h + k – 4 = 0  . . . (i)
    (h, k) থেকে 4x + 3y = 10 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|4h + 3k – 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\ = \frac{|4h + 3k – 10|}{5}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\quad \frac{|4h + 3k – 10|}{5}=1 \\⇒ 4h + 3k – 10 = ±5\)

    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    4h + 3k – 10 = 5
    বা, 4h + 3k – 15 = 0 . . . (ii)
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    4h + 3k – 10 = -5
    বা, 4h + 3k – 5 = 0 . . . (iii)
    (i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
    4h + 4k – 16 – (4h + 3k – 15) = 0
    ⇒ 4h + 4k – 16 – 4h – 3k + 15 = 0
    বা, k – 1 = 0
    বা, k = 1
    (i) নং থেকে পাই,
    h + 1 – 4 = 0
    বা, h = 3
    বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, 1)
    (i)×3 – (iii)×1 করে পাই,
    3h + 3k – 12 – (4h + 3k – 5) = 0
    বা, 3h + 3k – 12 – 4h – 3k + 5 = 0
    বা,-h – 7 = 0
    বা, h = -7
    (i) নং থেকে পাই,
    -7 + k – 4 = 0
    বা, k = 11
    অপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (-7, 11)
    Ans: বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (3,1) ও (-7, 11)

    14. একটি গতিশীল বিন্দুর 3x – 4y – 2 = 0 এবং 5x – 12y = 4 সরলরেখা দুটির ওপর লম্বদূরত্ব দুটি সর্বদা সমান হলে গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, k)
    (h, k) থেকে 3x – 4y – 2 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{9 + 16}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{5}\)আবার (h, k) থেকে 5x – 12y – 4 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(= \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{25 + 144}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\\\quad \frac{|3h – 4k – 2|}{5} = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)

    বা, 13(3h – 4k – 2) = ±5(5h – 12k – 4)
    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    13(3h – 4k – 2) = 5(5h – 12k – 4)
    বা, 39h – 52k – 26 = 25h – 60k – 20
    বা, 14h + 8k – 6 = 0
    বা,7h + 4k – 3 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    13(3h – 4k – 2) = -5(5h – 12k – 4)
    বা, 39h – 52k – 26 = -25h + 60k + 20
    বা,64h – 112k – 46 = 0
    বা, 32h – 56k – 23 = 0
    Ans: গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
    7x + 4y = 3 অথবা 32x – 56y = 23

    15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t2 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, x – ty + at2 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    (a, 0) এবং (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা = 0 – k/a – h = – k/a – h
    x – ty + at2 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = 1/t
    ∴ –k/a – h×1/t = -1
    বা, k/a – h×1/t = 1
    বা, t = k/a – h
    (h, k) বিন্দুটি x – ty + at2 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ h – tk + at2 = 0
    বা, h – (k/a – h).k + a(k/a – h)2 = 0 . . .  [∵ t = k/a – h]
    বা, (a – h)2.h – k(a – h).k + ak2 = 0
    বা,(a – h)2.h – ak2 + hk2 + ak2 = 0
    বা, (a – h)2.h + hk2 = 0
    বা, h[(a – h)2 + k2] = 0
    ∵ (a – h)2 + k2 ≠ 0
    ∴ h = 0
    Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ x = 0

    আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

    বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ত্রিভুজটির A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় করো।  

    Solution: ABC ত্রিভুজের,
    AB: 3x + 4y + 3 = 0 . . .  (i)
    BC: 2x + y + 1 = 0 . . .  (ii) ও
    CA: 2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
    AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{4-9} = \frac{y}{6-3} = \frac{1}{9-8}\\⇒\frac{x}{-5} = \frac{y}{3} = 1\)

    ∴ x=-5; y=3
    BC বাহুর প্রবনতা -2
    A বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা 1/2
    ∴ A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ:
    y – 3 = 1/2(x + 5)
    বা, x – 2y + 11 = 0

    2. কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ x + 4y = 7 এবং 2x – 5y = 1; তার ভূমির সমীকরণ x + y = 2 হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ:
    x + 4y = 7
    বা, x = 7 – 4y . . .  (i) এবং
    2x – 5y = 1 . . .  (ii)
    ভূমির সমীকরণ: x + y = 2
    (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
    (ii) নং সমীকরণে x = 7 – 4y বসিয়ে পাই,
    2(7 – 4y) – 5y = 1
    বা, 14 – 8y – 5y = 1
    বা,-13y = -13
    বা, y = 1
    (i) নং সমীকরণে y = 1 বসিয়ে পাই,
    x = 7 – 4.1 = 3
    ∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু (3, 1)
    ভূমির সমীকরণ x + y = 2 . . .  (iii)
    (3, 1) বিন্দু থেকে ভূমির লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|3 + 1 – 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{√2}=√2\ \) একক

    x + y = 2 সরলরেখার প্রবনতা -1
    ∴ ভূমির লম্ব সরলরেখার প্রবনতা 1
    (3, 1) বিন্দুগামী এবং 1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 1 = 1(x – 3)
    বা, x – y – 2 = 0
    বা, x – y = 2
    Ans: ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য √‌2 একক
    এবং  ত্রিভুজটির উচ্চতার সমীকরণ: x – y = 2

    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

    3. প্রমাণ করো যে \(\left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) ও \(\left( -\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\)বিন্দু দুটি থেকে \(\frac{x}{a} cos θ + \frac{y}{b } sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল \(b^2\) হবে।
    Solution: \( \left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}} \)\( \left(-\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| -\frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\)

    ∴ সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল

    \(=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}×\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\\=\frac{\left| \left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right)\left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right) \right|}{\left( \sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}} \right)^2}\\=\frac{\left| \frac{a^2 – b^2}{a^2}cos^2 θ – 1 \right|}{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}\\=\frac{\left| \frac{a^2cos^2 θ – b^2cos^2 θ-a^2}{a^2} \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{a^2.b^2}}\\=\frac{\left| -a^2\left(1-cos^2θ \right) – b^2cos^2 θ \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{b^2}}\\=b^2\frac{\left| -\left(a^2sin^2θ+b^2cos^2 θ \right) \right|}{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}=b^2\quad (Proved)\)

    4. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC বাহুর সমীকরণ 5y = 12x – 3; যদি ত্রিভুr জটির ভরকেন্দ্র (2, -1) হয়, তবে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    Solution:

    A B         C G(2,-1) 5y=12x-3 D

    ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD মধ্যমা।
    ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র G(2, -1) AD মধ্যমাকে 2ঃ1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
    ∴  GD = 1/3AD
    ⇒ AD = 3GD = 3.2 = 6
    BC বাহুর সমীকরণ:
    5y = 12x – 3
    বা, 12x – 5y – 3 = 0
    ∵ AD ⊥ BC

    \(GD = \frac{|12.2 – 5.(-1) – 3|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\\quad = \frac{|24 + 5 – 3|}{144 + 25} = \frac{26}{13} = 2\)

    ধরি, ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
    ∴ √3/2.a = 6
    বা, a = 12/√3 = 4√3
    Ans: ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 একক

    5. 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার সাপেক্ষে (-3, -1) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A(-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    (-3, -1) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (h-3/2, k-1/2)
    এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m1) = k+1/h+3
    3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = –2/3
    প্রদত্ত সরলরেখা এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
    ∴ m1×m2 = -1
    বা, k+1/h+3×(-2/3) = -1
    বা, 2(k +1) = 3(h + 3)
    বা,2k – 3h – 7 = 0 . . .  (i)
    আবার (h-3/2, k-1/2) বিন্দুটি 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ 3.k-1/2 + 2.h-3/2 + 22 = 0
    বা, 3k – 3 + 2h – 6 + 44 = 0
    বা, 3k + 2h + 35 = 0 . . .  (ii)
    (i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{k}{-105+14} = \frac{h}{-21-70} = \frac{1}{4+9}\\⇒\frac{k}{-91} = \frac{h}{-91} = \frac{1}{13}\\⇒ \frac{k}{-7} = \frac{h}{-7} = 1\)

    ∴ k = -7; h = -7
    ∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)
    Ans: (-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)

    6. x + 3y – 7 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    (3, 8) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (3+h/2, 8+k/2) এবং
    (3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m1) = k-8/h-3
    x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = –1/3
    প্রদত্ত সরলরেখা এবং (3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
    ∴ m1×m2 = -1
    বা, k-8/h-3×(-1/3) = -1
    বা, k-8 = 3h – 9
    বা,k – 3h + 1 = 0 . . .  (i)
    আবার  (3+h/2, 8+k/2) বিন্দুটি x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ 3+h/2 + 3.8+k/2 – 7 = 0
    বা, 3 + h + 24 + 3k  – 14 = 0
    বা, h + 3k  + 13 = 0
    বা,h = -3k  – 13 . . .  (ii)
    (i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:
    (i) নং-এ h = -3k  – 13 বসিয়ে পাই,
    k – 3(-3k  – 13) + 1 = 0
    বা, k + 9k  + 39 + 1 = 0
    বা, 10k = -40
    বা,k = -4
    (ii) নং-এ k = -4 বসিয়ে পাই,
    h = -3(-4)  – 13 = 12 – 13 = -1
    ∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)
    Ans: A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)

    7. মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y – 5 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: 3x + 4y – 5 = 0   . . . (i)
    (i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ 4x – 3y + k = 0 . . .  (ii)
    (ii) নং সরলরেখা (0, 0) বিন্দুগামী।
    ∴ 0 – 0 + k = 0
    বা k = 0
    লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
    4x – 3y = 0
    বা, x = 3y/4  . . .  (iii)
    (i) নং সমীকরণে x = 3y/4 বসিয়ে পাই,
    3.3y/4 + 4y – 5 = 0
    বা, 9y + 16y = 20
    বা, 25y = 20
    বা,y = 4/5
    (iii) নং থেকে পাই, x = 3/4.4/5 = 3/5
    Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3/5, 4/5)

    8. (2, 3) বিন্দু থেকে x + y – 11 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: x + y – 11 = 0   . . . (i)
    (i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – y + k = 0 . . .  (ii)
    (ii) নং সরলরেখা (2, 3) বিন্দুগামী।
    ∴ 2 – 3 + k = 0
    বা k = 1
    লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – y + 1 = 0 . . .  (iii)
    (i) + (iii) করে পাই,
    x + y – 11 + x – y + 1 = 0
    বা, 2x = 10
    বা, x = 5
    (i) নং থেকে পাই,
    5 + y – 11 = 0
    বা, y = 6
    Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 6)

    9. 5x + y + 6 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে (4, -13) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

    Solution: 5x + y + 6 = 0  . . . (i)
    (i) নং সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y + k = 0 . . . (ii)
    (ii) নং সরলরেখা (4, -13) বিন্দুগামী।
    ∴ 4 – 5(-13) + k = 0
    বা, k = -69
    লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y – 69 = 0 . . . (iii)
    (i) ও (iii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-69+30} = \frac{y}{6+345} = \frac{1}{-25-1}\\⇒\frac{x}{-39} = \frac{y}{351} = \frac{1}{-26}\\⇒ \frac{x}{3} = \frac{y}{-27} = \frac{1}{2}\\∴ x = \frac{3}{2};\ y = -\frac{27}{2}\)

    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3/2, –27/2)
    ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    ∴ 4+h/2 = 3/2
    বা, 4+h = 3
    বা, h = -1
    এবং k-13/2 = –27/2
    বা, k-13 = -27
    বা, k = -14
    Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -14)

    10. দেখাও যে 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

    Solution: 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:

    \(\quad \frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{12^2 + 5^2}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{3^2 + 4^2}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{169}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{25}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {13} = ±\frac{3x – 4y + 3} {5}\)

    ⇒ 60x + 25y + 60 = ± (39x – 52y + 39)
    (+) চিহ্ন ধরে, 
    60x + 25y + 60 = 39x – 52y + 39
    ⇒ 21x + 77y + 21 = 0
    ⇒ 3x + 11y + 7 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে,
    60x + 25y + 60 = -(39x – 52y + 39)
    ⇒ 60x +  39x + 25y – 52y + 60 + 39 = 0
    ⇒ 99x – 27y + 99 = 0
    বা 11x – 3y + 11 = 0
    ∴ 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখা 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক।
    অতএব 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

    11. 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অবস্থিত এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো যার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব, (2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্বের সমান।

    Solution: 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y + k = 0 . . .  (i)
    মূলবিন্দু থেকে (i) নং সরলরেখার লম্বদূরত্ব

    \(= \frac{|0+0+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|k|}{√13}\\\)(2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্ব\(= \frac{|3.2-2.(-1)+5|}{\sqrt{3^2+2^2}} ⇒ \frac{|13|}{√13}=√13\\\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|k|}{√13}=√13\\⇒|k| = 13 \\⇒k = ±13\)

    Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y ±13 = 0

    12. দেখাও যে, 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

    Solution: ধরি, (h, k) বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

    \(⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{13^2 + 9^2}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{250}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5\sqrt{10}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {1} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5}\)

    ⇒ 5(h + 3k – 6) = ±(13h – 9k – 10)
    (+) চিহ্ন ধরে,
      5(h + 3k – 6) = (13h – 9k – 10)
    বা, 5h – 13h + 15k + 9k – 30 + 10 = 0
    বা, – 8h + 24k – 20 = 0
    বা,2h – 6k + 5 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে,
      5(h + 3k – 6) = -(13h – 9k – 10)
    বা, 5h + 13h + 15k – 9k – 30 – 10 = 0
    বা, 18h + 6k – 40 = 0
    বা,9h + 3k – 20 = 0
    বা, 9h + 3k = 20
    সুতরাং (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখাটিকে সিদ্ধ করে।
    অতএব  (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান। (Proved)

    13. (-2, 6) বিন্দু থেকে 2x + 3y = 1 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। প্রদত্ত সরলরেখাটির সাপেক্ষে (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: 2x + 3y = 1 . . .  (i) সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y + k = 0
    সরলরেখাটি (-2, 6) বিন্দুগামী।
    ∴ 3×(-2) – 2×6 + k = 0
    বা, k = 18
    ∴ লম্ব সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 2y + 18 = 0 . . .  (ii)
    (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{54-2} = \frac{y}{-3-36} = \frac{1}{-4-9}\\⇒\frac{x}{52} = \frac{y}{-39} = \frac{1}{-13}\\⇒ \frac{x}{-4} = \frac{y}{3} = 1\)

    ∴ x = -4; y = 3
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
    Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
    ধরি, (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    ∴ h-2/2 = -4,
    বা, h-2 = -8
    বা, h = -6,
    আবার k+6/2 = 3
    বা, k+6 = 6
    বা,k = 0
    ∴ প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)
    Ans:  (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)

    14. কোনো বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 5x + 12y – 10 = 0 এবং 5x + 12y + 29 = 0 এবং অন্য একটি বাহু (3, 5) বিন্দুগামী। অন্য বাহু দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে
    5x + 12y – 10 = 0 এবং
    5x + 12y + 29 = 0
      স্পষ্টতই বাহু দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
    ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্রের,
    AB বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y – 10 = 0 . . .  (i) এবং
    CD বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y + 29 = 0 . . .  (ii)
    BC বাহু AB বাহুর উপর লম্ব।
    আরও ধরি, BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + k = 0 . . .  (iii)
    BC বাহু (3, 5) বিন্দুগামী।
    ∴ 12.3 – 5.5 + k = 0
    বা, 36 – 25 + k = 0
    বা, k = -11
    ∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y – 11 = 0  . . .  (iv)
    CD বাহু BC বাহুর সমান্তরাল।
    ∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + p = 0
    ABCD একটি বর্গাক্ষেত্র।
    ∴ AB ও CD বাহুর দূরত্ব = BC ও DA বাহুর দূরত্ব

    \(⇒\frac{|29 – (-10)|} {\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|p – (-11)|} {\sqrt{12^2 + 5^2}}\\⇒\frac{|29 +10|} {\sqrt{25 + 144}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{144 + 25}}\\⇒\frac{39} {\sqrt{169}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{169}}\)

    ⇒ |p + 11| = 39
    ⇒ p + 11= ±39
    ∴ p = 39-11, -39-11
    = 28, -50
    ∴ BC বাহুর সমীকরণ:
    12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0
    Ans: অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
    12x – 5y – 11 = 0 এবং
    12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0

    15. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p, x sin α- y cos α= -p, x cos α+ y sin α= – p এবং x sin α- y cos α= p সরলরেখা চারটি একটি বর্গাকার চিত্র উৎপন্ন করে।

    Solution: সরলরেখা চারটি হলো:
    x cos α + y sin α = p . . . .  (i)
    x sin α – y cos α = -p . . . .  (ii)
    x cos α + y sin α = – p . . . .  (iii) এবং
    x sin α – y cos α = p . . . .  (iv)
    স্পষ্টতই (i) ও (iii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
    আবার (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
    ∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি সামান্তরিক।
    (i) নং থেকে পাই,
    x cos α + y sin α = p
    বা, y sin α = -x cos α + p
    বা, y = -cot α x + p cosec α
    ∴ (i) নং সরলরেখার প্রবনতা (m1) = -cot α
    (ii) নং থেকে পাই,
      x sin α – y cos α = -p
    বা, y cos α = x sin α + p
    বা, y = tan α x + p sec α
    ∴ (ii) নং সরলরেখার প্রবনতা (m2) = tan α
    ∴ m1×m2 = -cot α×tan α = -1
    অতএব (i) নং ও (ii) নং সরলরেখা পরস্পর লম্ব সরলরেখা।
    সুতরাং সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র।
     (i) ও (iii) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব

    \(= \frac{\left| -p – p \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\\\)(ii) ও (iv) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব \(= \frac{\left| -p – (-p) \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\)

    ∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রটির বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব সমান।
    ∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি বর্গক্ষেত্র। 

    সরলরেখা PART-1
  • দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

    UNIT 2
    CHAPTER 2
    SEMESTER-2
    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
    (Determination of the Angle between Two Straight Lines)
    SEMESTER-2
    PART-II

    SEMESTER-2 দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

    সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
    (Determination of the Angle between Two Straight Lines]

    সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি

    1. মূলবিন্দু থেকে একটি সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)। দেখাও যে, সরলরেখাটির সমীকরণ হয়, hx + ky = h2 + k2 (h2 + k2 ≠ 0)

    Solution:  (0, 0) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবণতা(m1) = k/h
    ধরি, লম্ব সরলরেখাটির প্রবণতা(m2) = m
    ∵ m1×m2 = -1
    ∴ k/h×m = -1
    বা, m = –h/k
    ∴ (h, k) বিন্দুগামী এবং –h/k প্রবণতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y – k = –h/k(x – h)
    বা, ky – k2 = -hx + h2
    বা, hx + ky = h2 + k2 (Proved)

    SEMESTER-2
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1       বীজগণিত

    👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

    👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

    • 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
    • 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
    • 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
    • 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

    2. 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং মূলবিন্দু থেকে নিকটতম বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: মূলবিন্দু থেকে 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত লম্ব পাদবিন্দু হবে মূলবিন্দু থেকে নিকটতম বিন্দু।
    ধরি, লম্ব পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
    (h, k) বিন্দুটি 3x – 4y = 25 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
    ∴ 3h – 4k = 25 . . . (i)
    3x – 4y = 25 সরলরেখার প্রবণতা(m1) = 3/4
    আাবার (0, 0) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবণতা(m2) = k/h
    ∴ m1×m2 = -1
    বা, 3/4×k/h = -1
    বা, k = –4h/3
    (i) নং থেকে পাই,
    3h – 4×(-4h/3) = 25
    বা, 9h + 16h = 25×3
    বা, 25h = 25×3
    বা, h = 3
    ∴ k = –4×3/3 = -4
    বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, -4)
    Ans: নিকটতম বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, -4)

    3. প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:

    3. (i) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    2x + 3y – 6 = 0; 3x – 2y + 11 = 0

    Solution: 2x + 3y – 6 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –2/3
    এবং 3x – 2y + 11 = 0  সরলরেখার প্রবণতা = 3/2
    সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \left| \frac{\frac{3}{2} + \frac{2}{3}}{1-\frac{3}{2}.\frac{2}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{9+4}{6}}{1-1} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{13}{6}}{0} \right|\\⇒tanθ = ∞ = tan90°\)

    ∴ θ = 90°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 90°

    3. (ii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    2x – y = 9; x – 3y + 8 = 0

    Solution: 2x – y = 9 সরলরেখার প্রবণতা = 2
    এবং x – 3y + 8 = 0  সরলরেখার প্রবণতা = 1/3
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \left| \frac{2 – \frac{1}{3}}{1+2×\frac{1}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{6-1}{3}}{\frac{3+2}{3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} \right|\\⇒tanθ = 1 = tan45°\)

    ∴ θ = 45°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 45°

    3. (iii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    x – √3y = 3; √3x – y + 1 = 0

    Solution: x – √3y = 3 সরলরেখার প্রবণতা = 1/√3
    এবং √3x – y + 1 = 0  সরলরেখার প্রবণতা = √3
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \left| \frac{√3 – \frac{1}{√3}}{1+√3×\frac{1}{√3}} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{\frac{3-1}{√3}}{1+1} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2}{2√3} \right|\\⇒tanθ = \frac{1}{√3} = tan30°\)

    ∴ θ = 30°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 30°

    3. (iv) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    y – (2 + √3)x = 6; y = (2 – √3)x + 9

    Solution: y – (2 + √3)x = 6 সরলরেখার প্রবণতা = 2 + √3
    এবং y = (2 – √3)x + 9 সরলরেখার প্রবণতা = 2 – √3
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \left| \frac{2 + √3 -(2 – √3)}{1+(2 + √3)(2 – √3)} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2 + √3 -2 + √3}{1+4 – 3} \right|\\⇒tanθ = \left| \frac{2√3}{2} \right|\\⇒tanθ = √3 = tan60°\)

    ∴ θ = 60°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 60°

    3. (v) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    ax + by + c = 0; bx – ay + c1= 0

    Solution: ax + by + c = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –a/b
    এবং bx – ay + c1 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = b/a
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{1+\frac{b}{a}×\frac{-a}{b}}\\⇒ tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{1-1}\\⇒tanθ = \frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{b}}{0}\)

    ⇒ tanθ = ∞ = tan90°
    ∴ θ = 90°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 90°

    3. (vi) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    y = 3x + 5 ; 3y = x + 7
    Solution: y = 3x + 5 সরলরেখার প্রবণতা = 3 এবং 3y = x + 7 সরলরেখার প্রবণতা = 1/3
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \left| \frac{3 -\frac{1}{3}}{1+3.\frac{1}{3}} \right|\\⇒ tanθ = \left| \frac{\frac{9-1}{3}}{2} \right|\\⇒ tanθ = \left| \frac{\frac{8}{3}}{2} \right|\\⇒ tanθ =\frac{4}{3}\\∴ θ = tan^{1}\frac{4}{3}\)

    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ tan-1 4/3

    3. (vii) প্রতিজোড়া সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় করো:
    px – qy + r = 0 ; (p + q)y + (q – p)x + r = 0
    Solution: px – qy + r = 0 সরলরেখার প্রবণতা = p/q
    এবং (p + q)y + (q – p)x + r = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –(q-p)/p+q = p-q/p+q
    ধরি, সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ θ হলে,

    \(\quad tanθ = \frac{\frac{p}{q}-\frac{p-q}{p+q}}{1+\frac{p}{q}.\frac{p-q}{p+q}}\\⇒tanθ = \frac{p(p+q)-q(p-q)}{q(p+q)+p(p-q)}\\⇒tanθ = \frac{p^2+pq-pq+q^2}{pq+q^2+p^2-pq}\\⇒tanθ = \frac{p^2+q^2}{q^2+p^2}\)

    ⇒ tanθ = 1
    ⇒ tanθ = tan45°
    ∴ θ = 45°
    Ans: সরলরেখার অন্তর্গত কোণ 45°

    4. 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার
    (ⅰ) সমান্তরাল
    (ii) ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবণতা নির্ণয় করো।

    Solution: 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = –3/4
    (i) দুটি সরলরেখার প্রবণতা যথাক্রমে m1 এবং  m2 হলে সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে,
    m1 = m2 হয়।
    ∴ 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবণতা –3/4 (Ans)
    (ii) দুটি সরলরেখার প্রবণতা যথাক্রমে m1 এবং  m2 হলে লম্ব সরলরেখার ক্ষেত্রে,
    m1×m2 = -1 হয়।
    ∴ 3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবণতা 4/3 (Ans)

    5. (3, 4) ও (2, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (a, -2) ও (4, -a) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল; a-এর মান নির্ণয় করো। Solution: (3, 4) ও (2, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m1) = -1-4/2-3 = 5
    আবার, (a, -2) ও (4, -a) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m2) = -a+2/4-a
    ∵ সরলরেখাদ্বয় সমান্তরাল
    ∴ m1 = m2
    ⇒ 5 = -a+2/4-a
    বা, -a + 2 = 20 – 5a
    বা, 4a = 18
    বা, a = 9/2
    Ans: a-এর মান 9/2

    6. (-2, 5) ও (-4, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (k, 0) ও (2, 3k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব; k-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: (-2, 5) ও (-4, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m1) = 3-5/-4+2 = 1
    আবার (k, 0) ও (2, 3k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা(m2) = 3k-0/2-k = 3k/2-k
     ∵ সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
    ∴ m1×m2 = -1
    বা, 1×3k/2-k = -1
    বা, 3k = -2 + k
    বা, k = -1
    Ans: k-এর মান -1

    7. (2, 3) এবং (3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব এবং (2, 1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution: (2, 3) এবং (3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা = -1-3/3-2 = -4
    ∴ লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = 1/4
    (2, 1) বিন্দুগামী এবং 1/4 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 1 = 1/4(x – 2)
    বা, 4y – 4 = x – 2
    বা, x – 4y + 2 = 0
    Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ x – 4y + 2 = 0

    8. (-3, 4) বিন্দুগামী ও 2x – 3y = 5 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: 2x – 3y = 5 সরলরেখার প্রবনতা 2/3
    প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা 2/3
    সমান্তরাল সরলরেখাটি (-3, 4) বিন্দুগামী।
    ∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 4 = 2/3(x + 3)
    বা, 3y – 12 = 2x + 6
    বা, 2x – 3y + 18 = 0
    Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x – 3y + 18 = 0

    9. (2, -3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 2x + 3y + 5 = 0 এর সঙ্গে লম্ব হবে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution: 2x + 3y + 5 = 0 এর সঙ্গে লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y + k = 0
    সরলরেখাটি (2, -3) বিন্দুগামী।
    ∴ 3.2 – 2.(-3) + k = 0
    বা, k = -12
    ∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
    3x – 2y – 12 = 0
    বা, 3x – 2y = 12
    Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y = 12

    10. (3, -4) বিন্দুগামী এবং (4, 7) ও (-5, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: (4, 7) ও (-5, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
    = 1-7/-5-4 = -6/-9 = 2/3
    ∴ সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা 2/3
    (3, -4) বিন্দুগামী এবং 2/3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y + 4 = 2/3(x – 3)
    বা, 2x – 3y = 18
    Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 2x – 3y = 18

    11. 2x – 3y + 5 = 0 ও px + 2y = 6 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, p-এর মান কত হবে?
    Solution: 2x – 3y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = 2/3 ও
    px + 2y = 6 সরলরেখার প্রবনতা = –p/2
    সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
    ∴ 2/3 = –p/2
    বা, p = –4/3
    Ans: p = –4/3

    12. 5x – 9y – 12 = 0 ও mx + 10y = 2 সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে, m-এর মান কত?
    Solution: 5x – 9y – 12 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = 5/9 ও
    mx + 10y = 2 সরলরেখার প্রবনতা = –m/10
    সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
    ∴ 5/9×(-m/10) = -1
    বা, m = 18
    Ans: m = 18

    13. (1, -2), (3, 2) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা এবং x + 2y – 7 = 0 সরলরেখার অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ কত?

    Solution: (1, -2), (3, 2) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m1) = 2+2/3-1 =2
    x + 2y – 7 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = –1/2
    ∴ m1×m2 = 2×-1/2 = -1
    ∴ অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ 90°
    Ans: অন্তর্বর্তী কোণের পরিমাপ 90°

    14. মূলবিন্দু এবং y – x + 7 = 0 ও y + 2x – 2 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution: y – x + 7 = 0 ও y + 2x – 2 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\frac{x}{2-14} = \frac{y}{7+2}= \frac{1}{2+1}\\⇒\frac{x}{-12} = \frac{y}{9}= \frac{1}{3}\\⇒\frac{x}{-4} = \frac{y}{3}=1\)

    ∴ x = -4, y = 3
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
    ∴ (0, 0) এবং (-4, 3) সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y – 3}{3 – 0}= \frac{x + 4}{-4 – 0}\\⇒\frac{y – 3}{3}= \frac{x + 4}{-4}\)

    ⇒ 3x +12 = -4y + 12
    ⇒ 3x + 4y = 0
    Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y = 0

    Click here to visit our Facebook

    বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

    1. x + 2y + 3 = 0 ও 3x + 4y + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং y = – 5/8x সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    olution: x + 2y + 3 = 0 ও 3x + 4y + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{14-12} = \frac{y}{9-7}= \frac{1}{4-6}\\⇒\frac{x}{2} = \frac{y}{2}= \frac{1}{-2}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{-1}=1\)

    ∴ x = -1, y = -1
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -1)
    y = – 5/8x সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার প্রবনতা – 5/8
    (-1, -1) বিন্দুগামী এবং  –5/8 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y + 1 = – 5/8(x + 1)
    বা, 8y + 8 = -5x – 5
    বা, 5x + 8y + 13 = 0
    Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 5x + 8y + 13 = 0

    2. মনে করো A(2, 2), B(6, -1) ও C(7, 3) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা। (1, -1) বিন্দুগামী এবং AD সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: BC বাহুর মধ্যবিন্দু D(6+7/2, -1+3/2) = (13/2, 1)
    AD মধ্যমার সমীকরণ:

    \(\frac{y – 1}{1-2}= \frac{x – \frac{13}{2}}{\frac{13}{2}-2}\\⇒\frac{y – 1}{-1}= \frac{2x – 13}{13-4}\\⇒\frac{y – 1}{-1}= \frac{2x – 13}{9}\)

    ⇒ 9y – 9 = -2x + 13
    বা, 2x + 9y = 23
    2x + 9y = 23 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x + 9y = k
    2x + 9y = k সরলরেখাটি (1, -1) বিন্দুগামী।
    ∴ 2.1 + 9.(-1) = k
    বা, k = -7
    সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    2x + 9y = -7
    বা, 2x + 9y + 7 = 0
    Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 2x + 9y + 7 = 0

    3. 2x – y + 5 = 0 ও 5x + 3y – 4 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী যে সরলরেখাটি x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: 2x – y + 5 = 0 ও 5x + 3y – 4 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{4-15} = \frac{y}{25+8}= \frac{1}{6+5}\\⇒\frac{x}{-11} = \frac{y}{33}= \frac{1}{11}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{3}=1\)

     ∴ x = -1, y = 3
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 3)
    x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার প্রবণতা = 1/3
    ∴ x – 3y + 21 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবণতা = -3
    (-1, 3) বিন্দুগামী ও -3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
      y – 3 = -3(x + 1)
    বা, 3x + y = 0
    Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 3x + y = 0

    4. x – y + 1 = 0 সরলরেখাটির ওপর লম্ব সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তার মান নির্ণয় করো।

    Solution: x – y + 1 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1
    ∴ প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে লম্ব যে-কোনো সরলরেখার প্রবণতা -1
    ধরি, নির্নেয় লম্ব সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।
    ∴ tanθ = -1 = -tan45°
    বা, tanθ = tan(180° – 45)° = tan135°
    বা, θ = 135°
    Ans: উৎপন্ন কোণের মান 135°

    5. (2, -5) বিন্দুগামী ও x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব রেখাটি প্রদত্ত সরলরেখাকে কোথায় ছেদ করে তা নির্ণয় করো।
    Solution: x – y = 1 সরলরেখার প্রবনতা = 1
    ∴ প্রদত্ত সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = -1
    (2, -5) বিন্দুগামী ও -1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
      y + 5 = -1(x – 2)
    বা, x + y + 3 = 0
    x – y = 1 ও x + y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-3+1} = \frac{y}{-1-3}= \frac{1}{1+1}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{-4}= \frac{1}{2}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{-2}=1\)

    ∴ x = -1, y = -2
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -2)
    Ans: নির্নেয় ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -2)

    6. দেখাও যে (a cos3θ, a sin3θ) বিন্দুগামী এবং x secθ+ y cosecθ= a সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ হয় x cosθ- y sinθ= a cos2θ

    Solution: x secθ + y cosecθ = a সরলরেখার প্রবনতা = –secθ/cosecθ = –sinθ/cosθ
    ∴ প্রদত্ত সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = cosθ/sinθ 
    (a cos3θ, a sin3θ) বিন্দুগামী ও cosθ/sinθ প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
      y – a sin3θ = cosθ/sinθ(x – a cos3θ)
    বা, xcosθ – acos4θ = ysinθ – asin4θ
    বা, xcosθ – ysinθ = acos4θ – asin4θ
    বা, xcosθ – ysinθ = a(cos4θ – sin4θ)
    বা, xcosθ – ysinθ = a(cos2θ + sin2θ)(cos2θ – sin2θ)
    বা, xcosθ – ysinθ = a(cos2θ – sin2θ) = acos2θ
    ∴ xcosθ – ysinθ = acos2θ(Proved)

    7. (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করো। মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার লম্বদূরত্ব কত?

    Solution: (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু (2-6/2, -4+0/2) বা, (-2, -2)
    আবার (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের প্রবনতা
    = 0+4/-6-2 = –1/2
    ∴ নির্নেয় লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের প্রবনতা = 2
    ∴ (2, -4) এবং (-6, 0) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
    y + 2 = 2(x + 2)
    বা, y = 2x + 2
    মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব

    \(=\frac{\left|2.0 – 1.0 + 2 \right|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\=\frac{\left|2 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{2 }{\sqrt{5}}\ \)একক

    Ans: লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ y = 2x + 2 এবং
    মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব 2/√5 একক

    8. (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করো। এই সমদ্বিখণ্ডকের মূলবিন্দু থেকে দূরত্বও নির্ণয় করো।

    Solution: (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু (-2+8/2, 7-1/2) বা, (3, 3)
    এবং (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের প্রবনতা = -1-7/8+2 = – 4/5
    ∴ নির্নেয় লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের প্রবনতা = 5/4
    ∴ (-2, 7) এবং (8, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ:
    y – 3 = 5/4(x – 3)
    বা, 5x – 4y = 3
    মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব

    \(=\frac{\left| 5.0 – 4.0 – 3 \right|}{\sqrt{5^2+4^2}}\\=\frac{\left|- 3 \right|}{\sqrt{41}}=\frac{3}{\sqrt{41}}\ \)একক

    Ans: লম্ব-সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 5x – 4y = 3 এবং
    মূলবিন্দু থেকে সমদ্বিখণ্ডকের দূরত্ব 3/√41 একক

    \(9.\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \)সরলরেখা 7x + 9y = 3 ও 2y – x + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুগামী এবং 5x – 6y + 15 = 0 সরলরেখার সঙ্গে 90° কোণ করে। a ও b-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: 7x + 9y = 3 ও 2y – x + 7 = 0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{63+6} = \frac{y}{3-49}= \frac{1}{114+9}\\⇒\frac{x}{69} = \frac{y}{-46}= \frac{1}{23}\\⇒\frac{x}{3} = \frac{y}{-2}=1\)

    ∴ x = 3, y = -2
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, -2)

    \(\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \)সরলরেখা (3, -2) বিন্দুগামী। \(\\∴ \frac{3}{a}-\frac{2}{b}=1\\⇒3b-2a=ab\ \)আবার \(\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\ \) সরলরেখার প্রবনতা \(-\frac{b}{a}\)

    এবং 5x – 6y + 15 = 0 সরলরেখার প্রবনতা 5/6
    প্রশ্নানুযায়ী,
    –b/a×5/6 = -1
    বা, b = 6a/5
    3b – 2a = ab সমীকরণে b = 6a/5 বসিয়ে পাই,
    3.6a/5 – 2a = a.6a/5
    বা, 18a – 10a  = 6a2
    বা, 8a = 6a2
    বা, 6a = 8 . . . (∵ a ≠ 0)
    বা, a = 4/3
    ∴ b = 6/5.4/3 = 8/5
    Ans: a = 4/3 এবং b = 8/5

    10. 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখাটি P(2, 8) এবং Q(h, k) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে। h, k-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: (2, 8) এবং (h, k) বিন্দু দুটির মধ্যবিন্দু (2+h/2, 8+k/2)
    (2+h/2, 8+k/2) বিন্দুটি 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ 8.2+h/2 – 18.8+k/2 + 31 = 0
    বা, 8 + 4h – 72 – 9k + 31 = 0
    বা, 4h – 9k – 33 = 0 . . . (i)
    8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখার প্রবনতা 4/9
    (2, 8) এবং (h, k) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা = k – 8/h – 2
    ∵ 8x – 18y + 31 = 0 সরলরেখা এবং PQ  সরলরেখা পরস্পর লম্ব,
    ∴ 4/9 × k – 8/h – 2 = -1
    বা, -9h + 18 = 4k – 32
    বা, 9h + 4k – 50 = 0 . . . (ii)
    (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{h}{450+132} = \frac{k}{-297+200}= \frac{1}{16+81}\\⇒\frac{h}{582} = \frac{k}{-97}= \frac{1}{97}\\⇒\frac{h}{6} = \frac{k}{-1}=1\)

    ∴ h = 6, k = -1
    Ans: h, k-এর মান যথাক্রমে 6 এবং -1

    11. 3x – 4y + 8 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল দিকে পরিমিত (2, 5) বিন্দুটির 3x + y + 4 = 0 সরলরেখা থেকে দূরত্ব নির্ণয় করো।

    Solution:

    3x-4y+8=0 3x+y+4=0 (2,5)

    3x – 4y + 8 = 0 . . . (i) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + k = 0
    সরলরেখাটি (2, 5) বিন্দুগামী।
    ∴ 3.2 – 4.5 + k = 0
    বা, k = 14
    ∴ সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + 14 = 0 . . . (ii)
    আবার 3x + y + 4 = 0 . . . (iii)
    (ii) ও (iii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-16-14} = \frac{y}{42-12}= \frac{1}{3+12}\\⇒\frac{x}{-30} = \frac{y}{30}= \frac{1}{15}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{2}= 1\)

    ∴ x = -2, y = 2
    (ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2, 2)
    নির্ণেয় দূরত্ব
    = (2, 5) ও (-2, 2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 

    \(= \sqrt{(2 + 2)2 + (5 – 2)2} = \sqrt{4^2 + 3^2}\\=√25 = 5\) একক

    Ans: নির্ণেয় দূরত্ব 5 একক

    12. x – y = 1 সরলরেখার ওপর (2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    Solution:প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ x – y = 1 . . . (i)
    (2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y + 1}{-1+5} = \frac{x – 6}{6-2}\\⇒\frac{y + 1}{4} = \frac{x – 6}{4}\)

    ⇒ y + 1 = x – 6
    বা, x – y = 7 . . . (ii)
    ∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
    সুতরাং (2, -5) ও (6, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের (i) নং সরলরেখার ওপর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
    = বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

    \(= \sqrt{(6 – 2)^2 + (-1 + 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2}\\=√32 = 4√2 \)একক

    Ans: লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 4√2 একক

    13. ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ও 3x + 4y + 3 = 0 হলে, A থেকে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ABC ত্রিভুজের,
    AB বাহু: 3x + 4y + 3 = 0 . . .  (i)
    BC বাহু: 2x + y + 1 = 0 . . .  (ii)
    CA বাহু: 2x + 3y + 1 = 0 . . .  (iii)
    AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{4-9} = \frac{y}{6-3}= \frac{1}{9-8}\\⇒\frac{x}{-5} = \frac{y}{3}= 1\)

    ∴ x = -5, y = 3
    A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-5, 3)
    BC -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – 2y + k = 0 . . . (iv)
    (iv) নং সমীকরণ (-5, 3) বিন্দুগামী।
    ∴ -5 – 2.3 + k = 0
    বা, k = 11
    BC -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – 2y + 11 = 0
    Ans: নির্নেয় সমীকরণ x – 2y + 11 = 0

    14. A(- 2, 7), B(7, 15), C(- 1, – 5) এবং D(h, k) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলিকে সূচিত করে এবং BC তার একটি কর্ণ। (h, k) নির্ণয় করো এবং সামান্তরিকের কর্ণ দুটির অন্তর্গত কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

    Solution: ABCD সামান্তরিকের AD কর্ণের মধ্যবিন্দু = (-2 + h/2, 7 + k/2)
    BC কর্ণের মধ্যবিন্দু = (7 – 1/2, 15 – 5/2) = (3, 5)
    সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ -2 + h/2 = 3  এবং 7 + k/2 = 5
    ⇒ h = 8 এবং k = 3
    ∴ (h, k) = (8, 3) (Ans)
    AD কর্ণের প্রবনতা(m1) = 3 – 7/8 + 2 = – 2/5
    BC কর্ণের প্রবনতা(m2) = 15 + 5/7 + 1 = 5/2
    ∴ m1×m2 = – 2/5×5/2 = -1
    ∴ সামান্তরিকের কর্ণ দুটির অন্তর্গত কোণের পরিমাপ 90° (Ans)

    15. দেখাও যে (1, 4), (3, -2) এবং (-3, 16) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বিন্দুগুলি যে সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ লেখো। দেখাও যে এই সরলরেখাটি 2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব।

    Solution: (1, 4) ও (3, -2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y + 2}{-2 – 4}= \frac{x – 3}{3 – 1}\\⇒\frac{y + 2}{-6}= \frac{x – 3}{2}\\⇒ \frac{y + 2}{-3}= x – 3\)

    বা, y + 2  = -3x + 9
    বা, 3x + y = 7 . . . (i)
    (i) নং সমীকরণের বামপক্ষে (-3, 16) বসিয়ে পাই,
    3.(-3) + 16 = 7
    (-3, 16) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
    ∴ (1, 4), (3, -2) এবং (-3, 16) স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত। (Proved)
    বিন্দুগুলি যে সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ 3x + y = 7 (Ans)
    3x + y = 7 সরলরেখার প্রবনতা(m1)= -3
    2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = 1/3
    ∴ m1×m2 = -3×1/3 = -1
    ∴ 3x + y = 7 সরলরেখাটি 2x – 6y + 13 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব। (Proved)

    16. একটি সরলরেখা AB, y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে এবং B বিন্দুতে AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা x-অক্ষকে C বিন্দুতে ছেদ করে। AB সরলরেখার সমীকরণ\(\ \frac{x}{3} – \frac{y}{4} = -1 \ \)হলে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution:

    Y A B XO    C

    AB সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = -1\\⇒\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} =-1\\⇒4x-3y-12=0\)

    AB সরলরেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(-3, 0) ও B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
    AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখা হল
    3x + 4y + k = 0   . . . (i)
    (i) নং সরলরেখাটি B(0, 4) বিন্দুগামী।
    ∴ 3.0 + 4.4 + k = 0
    বা, k = -16 
    (i) নং সমীকরণে k = -16 বসিয়ে পাই,

    \(\quad 3x + 4y -16=0\\⇒\frac{3x}{16} + \frac{4y}{16} = 1\\⇒\frac{x}{\frac{16}{3}} + \frac{y}{4} = 1\)B বিন্দুতে AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(\ \frac{x}{\frac{16}{3}} + \frac{y}{4} = 1\)

    সরলরেখাটি x অক্ষকে (16/3, 0) বিন্দুতে ছেদ করে।
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (16/3, 0)
    Ans: C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (16/3, 0)

    17. একটি সরলরেখার প্রবণতা 7; এই সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখা দুটির প্রবণতা নির্ণয় করো।
    Solution: ধরি, নির্নেয় সরলরেখার প্রবণতা m
    প্রদত্ত সরলরেখার প্রবণতা 7
    প্রশ্নানুযায়ী,
    |m – 7/1 + 7m| = tan45° = 1
    বা, m – 7/1 + 7m = ± 1
    বা, m – 7 = ±(1 + 7m)
    (+) চিহ্ন ধরে,
    m – 7 = 1 + 7m
    ⇒ 6m = – 8
    ⇒ m = – 4/3
    (-) চিহ্ন ধরে,
    m – 7 = -(1 + 7m)
    বা, m – 7 = -1 – 7m
    ⇒ 8m = 6
    ⇒ m = 3/4
    Ans: সরলরেখা দুটির প্রবণতা –4/3 এবং 3/4

    18. 4x – 3y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব যেসব সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 3 একক তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution: 4x – 3y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব কোনো সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y + k = 0
    মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \(= \frac{\left| 0 + 0 + k \right|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|k|}{5}\)

    প্রশ্নানুযায়ী,
    |k|/5 = 3
    বা, k = ± 15
    ∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
    3x + 4y ± 15 = 0
    বা, 3x + 4y = ± 15
    Ans: লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x + 4y = ± 15

    19. মূলবিন্দুগামী যে রেখা (4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো। দেখাও যে সরলরেখাটির সাপেক্ষে (0, 4) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব (4, 0)।

    Solution: ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটির সমীকরণ y = mx . .  [যেখানে m সরলরেখার প্রবনতা]
    (4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
    = 4-0/0-4 = – 1
    ∵ মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটি (4, 0) এবং (0, 4) বিন্দুদুটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব।
    ∴ m×-1 = -1
    বা, m = 1
    অতএব মূলবিন্দুগামী সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y =1.x
    বা, x – y = 0
    নির্নেয় সমীকরণ x – y = 0 (Ans)
    x – y = 0 সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y = k
    এটি (0, 4) বিন্দুগামী।
    ∴ 0 + 4 = k
    বা, k = 4
    ∴ লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y = 4
    x – y = 0 এবং x + y = 4 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 2)
    প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
    h+0/2 = 2
    বা, h = 4
    এবং k+4/2 = 2
    বা, k = 0
    ∴ প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 0) (Proved)

    20. y = mx; y = mx + 1; y = nx এবং y = nx + 1 সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
    Solution:

    y=mx+1 y=mx A  y=nx+1  D B  y=nx  C

    প্রদত্তসরলরেখা চারটির সমীকরণ:
    y = mx . . . .  (i)
    y = nx . . . .  (ii)
    y = mx + 1 . . . .  (iii) এবং
    y = nx + 1 . . . .  (iv)
    স্পষ্টতই (i) ও (iii) এবং (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা।
    ধরি, ABCD সামান্তরিকের,
    AB বাহু: y = mx
    BC বাহু: y = nx
    CD বাহু: y = mx + 1
    DA বাহু: y = nx + 1
    (i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু(B):
    mx = nx
    বা, x(m – n) = 0
    বা, x = 0
    (i) নং থেকে পাই, y = m.0 = 0
    ∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
    (ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু(C):
    nx = mx + 1
    বা, x(n – m) = 1
    বা, x = 1/n-m
    (ii) নং থেকে পাই,
    y = n.1/n-m = n/n-m
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1/n-m, n/n-m)
    (i) ও (iv)-এর ছেদবিন্দু(A):
    mx = nx + 1
    বা, x(m – n) = 1
    বা, x = 1/m-n
    (i) নং থেকে পাই,
    y = m.1/m-n = m/m-n
    ∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1/m-n, m/m-n)
    ∴△ABC-এর ক্ষেত্রফল

    \(=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n} \left( 0 – \frac{n}{n-m} \right) + 0\left( \frac{n}{n-m} – \frac{m}{m-n} \right) + \frac{1}{n-m}\left( \frac{m}{m-n} – 0 \right) \right| \\=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n} \left( – \frac{n}{n-m} \right) + 0 + \frac{1}{n-m}.\frac{m}{m-n} \right|\\=\frac{1}{2}\left| \frac{1}{m-n}.\frac{n}{m-n} – \frac{1}{m-n}.\frac{m}{m-n} \right|\\=\frac{1}{2}\left|\frac{n}{(m-n)^2} – \frac{m}{(m-n)^2} \right| \\= \frac{1}{2}\left|\frac{-(m-n)}{(m-n)^2}\right|\\=\frac{1}{2|m-n|} \)

    ∴ সামান্তরিক ABCD-এর ক্ষেত্রফল
    = 2×△ABC-এর ক্ষেত্রফল
    = 2×1/2|m-n| = 1/|m-n| বর্গএকক
    Ans: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 1/|m-n| বর্গএকক

    21. মূলবিন্দুগামী দুটি সরলরেখা 2x + 3y = 6 সরলরেখার সঙ্গে একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: 2x + 3y = 6 সরলরেখার প্রবনতা = –2/3 ধরি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx . .  [যেখানে m সরলরেখার প্রবনতা]
    মূলবিন্দুগামী সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
    ∴ মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটি প্রদত্ত সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে।

    \(\quad tan45° = \left| \frac{m + \frac{2}{3}}{1-m.\frac{2}{3}} \right|\\⇒ 1 = \left| \frac{3m + 2}{3 – 2m} \right| \\⇒\frac{3m + 2}{3 – 2m} = ± 1\\⇒(3m + 2)= ±(3 – 2m) \)

    (+) চিহ্ন ধরে,
    3m + 2 = 3 – 2m
    ⇒ 5m = 1
    ⇒ m = 1/5
    (-) চিহ্ন ধরে,
    3m + 2 = -(3 – 2m)
    বা, 3m + 2 = -3 + 2m
    ⇒ m = -5
    m = 1/5 হলে, সরলরেখার সমীকরণ হয়:
         y -0 = 1/5(x – 0)
    বা, y = 1/5x
    বা, x – 5y = 0
     m = -5 হলে সরলরেখার সমীকরণ হয়
         y -0 = -5(x – 0)
    বা, y = -5x
    বা, 5x + y = 0
    Ans: মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
    x – 5y = 0 এবং 5x + y = 0

    22. x – 2y + 5 = 0 সরলরেখায় চলমান একটি রশ্মি 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখার উপর প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মির পথের সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: আপতিত রশ্মির সমীকরণ x – 2y + 5 = 0 . . .  (i)
    ∴ আপতিত রশ্মির প্রবনতা = 1/2
    প্রতিফলকের সমীকরণ 3x – 2y + 7 = 0 . . .  (ii)
    ∴ প্রতিফলকের প্রবনতা = 3/2
    ধরি, প্রতিফলিত রশ্মির প্রবনতা m
    আপতিত রশ্মি ও প্রতিফলকের মধ্যবর্ত্তী কোণ = প্রতিফলিত রশ্মি ও প্রতিফলকের মধ্যবর্ত্তী কোণ

    \(⇒ \left| \frac{\frac{1}{2} – \frac{3}{2}}{1 + \frac{1}{2}.\frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{m – \frac{3}{2}}{1 + m.\frac{3}{2}} \right| \\⇒ \frac{1}{\frac{7}{4}}=\frac{2m-3}{2+3m}\\⇒\frac{2m-3}{2+3m} = ±\frac{4}{7}\)

    (+) চিহ্ন ধরে,
    7(2m – 3) = 4(2 + 3m)
    ⇒ 14m – 21 = 8 + 12m
    ⇒ 2m = 29
    ⇒ m = 29/2
    (-) চিহ্ন ধরে,
    7(2m – 3) = – 4(2 + 3m)
    ⇒ 14m – 21 = -8 – 12m
    ⇒ 26m = 13
    ⇒ m = 1/2
    m ≠ 1/2
    ∴ m = 29/2
    x – 2y + 5 = 0 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখার ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-14+10} = \frac{y}{15-7}= \frac{1}{-2+6}\\⇒\frac{x}{-4} = \frac{y}{8}= \frac{1}{4}\\⇒\frac{x}{-1} = \frac{y}{2}= 1\\∴ x = -1, \ y = 2\)

    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 2)
    (-1, 2) বিন্দুগামী এবং 29/2 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y – 2 = 29/2(x + 1)
    বা, 29x – 2y + 33 = 0
    Ans: প্রতিফলিত রশ্মির পথের সমীকরণ:
    29x – 2y + 33 = 0

    23. একটি আলোকরশ্মি (1, 2) বিন্দু থেকে এসে x অক্ষের ওপর অবস্থিত A বিন্দুতে প্রতিফলিত হওয়ার পর (5, 3) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Y P(1,2) Q(5,2) X O     A

    Solution: ধরি, x-অক্ষে অবস্থিত A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, 0) এবং আলোকরশ্মিটি P(1, 2) বিন্দু থেকে এসে প্রতিফলিত হওয়ার পর Q(5, 3) বিন্দুগামী হয়।
    AQ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করলে,
    tanθ = 3 – 0/5 – h  = 3/5 – h
    AP সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (π – θ) কোণ উৎপন্ন করে।
     ∴ tan(π – θ) = 2 – 0/1 – h
    বা, -tanθ = 2/1 – h
     ∴ –3/5 – h = 2/1 – h
    বা, -3 + 3h = 10 – 2h
    বা, 5h = 13
    বা, h = 13/5
    Ans: A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (13/5, 0)

    24. (8, 3) বিন্দুগামী একটি আলোকরশ্মি x অক্ষের ওপর অবস্থিত (14, 0) বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ নির্ণয় করো

    Solution:
    ধরি, প্রতিফলিত রশ্মির প্রবনতা m
    আপতিত রশ্মির প্রবনতা = 0 – 3/14 – 8 = –3/6 = –1/2
    x-অক্ষের প্রবনতা 0
    x-অক্ষের সঙ্গে আপতিত রশ্মির কোণ = x-অক্ষের সঙ্গে প্রতিফলিত রশ্মির কোণ

    \(⇒\left| \frac{0+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}.0} \right|=\left| \frac{m-0}{1+m.0} \right|\\⇒\frac{1}{2}=±m\\⇒m=±\frac{1}{2}\\∴ m = \frac{1}{2} . . . . [∵ m ≠ \frac{1}{2}]\)

    (14, 0) বিন্দুগামী এবং 1/2 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 0 = 1/2(x – 14)
    বা, x – 2y = 14
    Ans: প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ x – 2y = 14

    25. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ হয়, 7x – y + 3 = 0 ও x + y – 3 = 0 এবং তার তৃতীয় বাহুটি (1, -10) বিন্দুগামী। তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB ও AC বাহু দুটি সমান।
    AB ও AC বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 7x – y + 3 = 0 ও x + y – 3 = 0
    এখানে AB ও AC বাহুর প্রবনতা যথাক্রমে 7 ও -1
    আরও ধরি তৃতীয় বাহুটির প্রবনতা m
    ∵ AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ⇒ tan∠ABC = tan∠ACB

    \(⇒ \left| \frac{m – 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 – m} \right| \\⇒ \frac{m – 7}{1 + 7m} = ±\frac{m + 1}{1 – m}\) (+) চিহ্ন ধরে, \(\\\quad \frac{m – 7}{1 + 7m} = \frac{m + 1}{1 – m}\)

    ⇒ m – m2 – 7 + 7m = m + 1 + 7m2 + 7m
    ⇒ – m2 – 7 = 1 + 7m2
    ⇒ – 8m2 = 8
    ⇒ m2 = -1
    বা, m = ±√-1
    এটি একটি অবাস্তব সংখ্যা।
    ∴ m ≠ ±√-1

    (-) চিহ্ন ধরে, \(\\\quad \frac{m – 7}{1 + 7m} = -\frac{m + 1}{1 – m}\)

    ⇒ (m – 7)(1 – m) = -(1 + 7m)(m + 1)
    ⇒ m – m2 – 7 + 7m = -m – 1 – 7m2 – 7m
    ⇒ 6m2 + 16m – 6 = 0
    ⇒ 3m2 + 8m – 3 = 0
    ⇒ 3m2 + 9m – m – 3 = 0
    ⇒ 3m(m + 3) – 1(m + 3) = 0
    ⇒ (m + 3)(3m – 1) = 0
    ∴ m = -3, 1/3
    (1, -10) বিন্দুগামী ও -3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y + 10 = -3(x – 1)
    বা, 3x + y + 7 = 0
    আবার, (1, -10) বিন্দুগামী ও 1/3 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y + 10 = 1/3(x – 1)
    বা, x – 3y = 31
    Ans: তৃতীয় বাহুটির সমীকরণ:
    3x + y + 7 = 0 অথবা x – 3y = 31

    বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 4 

    1. (7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বিন্দুতে 3 : 5 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় সেই বিন্দুগামী এবং ওই রেখাংশের ওপর লম্বভাবে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার দূরত্ব কত?

    Solution: (7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বিন্দুতে 3 : 5 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক
    = (7.5+(-1).3/5+3, 9.5+(-7).3/5+3)
    = (35-3/8, 45-21/8) = (4, 3)
    (7, 9) ও (-1, -7) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
    = -7-9/-1-7 = 2
    ∴ নির্নেয় লম্ব সরলরেখার প্রবনতা = –1/2
    নির্নেয় সরলরেখাটি (4, 3) বিন্দুগামী
    ∴ লম্ব সরলরেখাটির সমীকরণ:
    y – 3 = –1/2(x – 4)
    বা, 2y – 6 = -x + 4
    বা, x + 2y – 10 = 0
    মূলবিন্দু থেকে x + 2y – 10 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

    \(= \frac{|0 + 2.0 – 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\\= \frac{10}{\sqrt{5}}= 2√5\) একক

    Ans: নির্নেয় লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + 2y – 10 = 0;
    মূলবিন্দু থেকে নির্ণেয় সরলরেখার দূরত্ব 2√5 একক

    2. P, Q, R বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-7, 5), (3, 8), (-5, 13) হলে এবং RN রেখা PQ-এর ওপর লম্ব এবং RT রেখা PQ-এর সমান্তরাল হলে RN এবং RT-এর সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: P, Q, R বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-7, 5), (3, 8), (-5, 13)
    ∴ PQ সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 8/8 – 5  = x – 3/3 + 7
    বা, y – 8/3  = x – 3/10
    বা, 3x – 10y + 71 = 0
    PQ-এর ওপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
    10x + 3y + k = 0
    সরলরেখাটি R(-5, 13) বিন্দুগামী,
    ∴ 10×(-5) + 3×13 + k = 0
    বা, k = 11
    ∴ RN সরলরেখার সমীকরণ:
    10x + 3y + 11 = 0
    আবার PQ-এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ 3x – 10y + p = 0 
    সরলরেখাটি R(-5, 13) বিন্দুগামী,
    ∴ 3×(-5) – 10×13 + p = 0
    বা, -15 – 130 + p = 0
    বা, p = 145
    ∴ RT সরলরেখার সমীকরণ 3x – 10y + 145 = 0
    Ans: RN সরলরেখার সমীকরণ 10x + 3y + 11 = 0;
    RT সরলরেখার সমীকরণ 3x – 10y + 145 = 0

    3. A(4, 6) , B(- 1, 3) এবং C(2, – 2) তিনটি প্রদত্ত বিন্দু। নিম্নলিখিতগুলি নির্ণয় করো:
    (i) A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণ।
    (iI) A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং ওই বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব।

    (i) Solution: . A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 6), (- 1, 3) এবং (2, – 2)
    ∴ BC সরলরেখার সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y + 2}{-2 – 3}= \frac{x – 2}{2 + 1}\\⇒ \frac{y + 2}{-5} = \frac{x – 2}{3}\\⇒ 5x + 3y – 4 = 0\)

    BC-এর ওপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
    3x – 5y + k = 0
    সরলরেখাটি (4, 6) বিন্দুগামী,
    ∴ 3×4 – 5×6 + k = 0
    বা, k = 18
    ∴ A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণঃ
    3x – 5y + 18 = 0
    Ans: A থেকে BC-র ওপর লম্বের সমীকরণ 3x – 5y + 18 = 0

    (ii) Solution: ধরি, A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
    ∴ AP = BP = CP
    AP = BP
    বা, (AP)2 = (BP)2
    বা, (h – 4)2 + (k – 6)2 = (h + 1)2 + (k – 3)2
    বা, h2 – 8h + 16 + k2 – 12k + 36 = h2 + 2h + 1 + k2 – 6k + 9
    বা, – 10h – 6k + 42 = 0
    বা, 5h + 3k – 21 = 0 . . .  (i)

    আবার, BP = CP
    বা, (BP)2 = (CP)2
    বা, (h + 1)2 + (k – 3)2 = (h – 2)2 + (k + 2)2
    বা, h2 + 2h + 1 + k2 – 6k + 9 = h2 – 4h + 4 + k2 + 4k + 4
    বা, 6h – 10k + 2 = 0 
    বা, 3h – 5k + 1 = 0 . . .  (ii)
    (i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{h}{3-105} = \frac{k}{-63-5}= \frac{1}{-25-9}\\⇒\frac{h}{-102} = \frac{k}{-68}= \frac{1}{-34}\\⇒\frac{h}{3} = \frac{k}{2}= 1\)

    ∴ h = 3, k = 2
    ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2)

    (3, 2) বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব

    \(=\sqrt{(3+1)^2+(2-3)^2}= \sqrt{17}\)একক

    Ans: A, B, C থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2) এবং ওই বিন্দু থেকে A, B, C-এর দূরত্ব √17 একক।

    4. (2, 1) বিন্দুগামী ও 2x + 4y = 7 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। x -অক্ষ, y-অক্ষ, প্রদত্ত ও নির্ণেয় সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
    Solution:

    Y B D X O     C A

    2x + 4y = 7 সরলরেখার সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ 2x + 4y = k
    সরলরেখাটি (2, 1) বিন্দুগামী।
    ∴ 2×2 + 4×1 = k
    বা, k = 8
    নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ:
    2x + 4y = 8
    ⇒ x + 2y = 4
    2x + 4y = 7 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হলো:

    \(⇒ \frac{x}{\frac{7}{2}} + \frac{y}{\frac{7}{4}} = 1 . . .(i)\)

    (i) নং সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A(7/2, 0) ও B(0, 7/4) বিন্দুতে ছেদ করে।
    ∴ AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
    = 1/2×7/2×7/4
    = 49/16 বর্গএকক
    x + 2y = 4 সরলরেখার ছেদিতাংশ আকার হলো:

    \(⇒ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 . . . (ii)\)

    (ii) নং সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে C(4, 0) ও D(0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
    ∴ COD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
    = 1/2×4×2 = 4 বর্গএকক
    সমান্তরাল সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
    = △AOB -এর ক্ষেত্রফল – △COD -এর ক্ষেত্রফল
    = 4 – 49/16 = 64-49/16 = 15/16 বর্গএকক
    Ans: সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    x + 2y = 4
    সরলরেখার দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 15/16 বর্গএকক

    5. (2, 7), (-6, 1) এবং (4, -5) বিন্দু তিনটির সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের লম্ববিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
    Solution:

    E A B      D   C

    ধরি,ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B এবং C-এর স্থানাঙ্ক (2, 7), (-6, 1) এবং (4, -5)
    আরও ধরি, A বিন্দু থেকে BC বাহুর ওপর AD লম্ব এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর ওপর BE লম্ব যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    সুতরাং ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু হবে O(h, k)।
    AC-এর প্রবণতা = -5-7/4-2 = -12/2 = 6
    BC-এর প্রবণতা = -5-1/4+6 = -6/10 = -3/5
    BO-এর প্রবণতা =k-1/h+6
    OD বা AD -এর প্রবণতা = k-7/h-2
    ∴ AD ⊥ BC
    অর্থাৎ k-7/h-2×-3/5 = -1
    বা, -3k + 21 = -5h + 10
    বা, 5h – 3k + 11 = 0 . . .  (i)
    এবং BO ⊥ AC
    অর্থাৎ k-1/h+6×6 = -1
    বা, 6k – 6 = h + 6
    বা, h – 6k + 12 = 0
    বা, h = 6k – 12 . . .  (ii)
    (i) নং সমীকরণে h = 6k – 12 বসিয়ে পাই,
    5(6k – 12) – 3k + 11 = 0
    বা, 27k = 49
    বা, k = 49/27
    ∴ h = 6×49/27 – 12 = 98/9 – 12 = 98-108/9 = –10/9
    O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-10/9, 49/27)
    Ans: লম্ববিন্দুর স্থানাঙ্ক  (-10/9, 49/27)

    6. একটি ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2, 3) ও (5, -1); যদি ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু মূলবিন্দুতে হয়, তবে ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, ABC ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু A(- 2, 3), B(5, – 1) ও লম্ববিন্দু O(0, 0) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু C -এর স্থানাঙ্ক (h, k)
    AO -এর প্রবণতা = 3-0/-2-0 = –3/2
    BO -এর প্রবণতা = 0+1/0-5 = –1/5
    AC -এর প্রবণতা = k-3/h+2
    BC -এর প্রবণতা = k+1/h-5
    লম্ববিন্দু মূলবিন্দু।
    ∴ AO ⊥ BC এবং BO ⊥ AC
    অর্থাৎ –3/2×k+1/h-5 = -1
    বা, -3k – 3 = -2h + 10
    বা, 2h – 3k – 13 = 0 . . .  (i)
    এবং –1/5×k-3/h+2 = -1
    বা, -k + 3 = -5h – 10
    বা, 5h – k + 13 = 0
    বা, k = 5h + 13 . . .  (ii)
    (i) নং সমীকরণে k = 5h + 13 বসিয়ে পাই,
    2h – 3(5h + 13) – 13 = 0
    বা, -13h – 52 = 0
    বা, h = – 4
    ∴ k = 5×(-4) + 13 = -7
    C -এর স্থানাঙ্ক (-4, -7)
    Ans: ত্রিভুজটির তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, -7)

    7. একটি সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহুর সমীকরণ 4x + 5y = 0 এবং 7x + 2y = 0 যদি সামান্তরিকটির একটি কর্ণের সমীকরণ 11x + 7y = 9 হয়, তবে অন্য কর্ণটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution:

    x-y+5=0 D  7x+2y=0  C A  7x+2y=0  B

    ধরি, ABCD সামান্তরিকের,
    AB: 7x + 2y = 0 . . . (i)
    BC: 4x + 5y = 0 . . . (ii)
    (i) ও (ii) -এর ছেদবিন্দুর(B) স্থানাঙ্ক (0, 0)
    স্পষ্টতই, 11x + 7y = 9 সরলরেখাটি B(0, 0) বিন্দুগামী নয়।
    ∴ AC কর্ণের সমীকরণঃ
    11x + 7y = 9 . . . (iii)
    (i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
    (iii) নং-এ x = –2y/7 বসিয়ে পাই,
    11×(-2y/7) + 7y = 9
    বা, -22y + 49y = 63
    বা, 27y = 63
    বা, y = 7/3
    ∴ x = –2/7×7/3 = –2/3
    (i) ও (iii) -এর ছেদবিন্দুর(A) স্থানাঙ্ক (-2/3, 7/3)
    (ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
    (iii) নং-এ x = –5y/4 বসিয়ে পাই,
    11×(-5y/4) + 7y = 9
    বা, -55y + 28y = 36
    বা, -27y = 36
    বা, y = –4/3
    ∴ x = –5/4×-4/3 = 5/3
    (ii) ও (iii) -এর ছেদবিন্দু(C) স্থানাঙ্ক = (5/3, –4/3)

    ∴ AC-এর মধ্যবিন্দু \(\left( \frac{-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{2}, \frac{\frac{7}{3}-\frac{4}{3}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)\)

    অপর কর্ণ(BD), AC-এর মধ্যবিন্দুগামী।
    ∴ (0, 0) ও (1/2, 1/2) বিন্দুগামী সরলরেখা(BD)-এর সমীকরণ:

    \(\quad \frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-0}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-0}\\⇒\frac{\frac{2y-1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2x-1}{2}}{\frac{1}{2}}\)

    ⇒ 2y – 1 = 2x – 1
    ⇒ y = x
    ⇒ x – y = 0
    Ans: অন্য কর্ণটির সমীকরণ x – y = 0

    8. 3x + 2y – 6 = 0 -এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা x – 2y = 0 এবং y – 2x = 0 সরলরেখা দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল 21 হলে, ওই সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    3x + 2y – 6 = 0 এর সাথে সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
    3x + 2y + k = 0 . . . (i)
    অন্য সরলরেখা দুটি হল:
    x – 2y = 0 . . . (ii)
    y – 2x = 0 . . . (iii)
    (i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু:
    (i) নং-এ x = 2y বসিয়ে পাই,
    3.2y + 2y + k = 0
    বা,y = –k/8
    ∴ x = –k/4
    (i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু (-k/4, –k/8)
    (i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
    (i) নং-এ y = 2x বসিয়ে পাই,
    3x + 2.2x + k = 0
    বা, x = –k/7
    ∴ y = –2k/7
    (i) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু (-k/7, –2k/7)
    (ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু:
    (ii) নং-এ y = 2x বসিয়ে পাই,
    x – 2.2x = 0
    বা, x = 0
    ∴ y = 0
    (ii) ও (iii)-এর ছেদবিন্দু (0, 0)
    ∴ (0, 0), (-k/4, –k/8) এবং (-k/7, –2k/7) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
    = 1/2[0 + (-k/4)(-2k/7 – 0) + (-k/7)(0 –(-k/8))]
    = 1/2[ 2k2/28 – k2/56]
    = 1/2×3k2/56
    প্রশ্নানুযায়ী,
    1/2×3k2/56 = 21
    বা, 3k2 = 21×2×56
    বা, k2 = 7×2×56
    বা, k2 = 7×2×2×4×7
    বা, k = ± 28
    Ans: সরলরেখার সমীকরণঃ
    3x + 2y ± 28 = 0

    9. 3x + 4y – 24 = 0 সরলরেখাটি y-অক্ষকে A বিন্দুতে এবং x-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে; (0, -1) বিন্দুগামী ও x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখাকে, AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডক C বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ∠ACB = 1 সমকোণ।
    Solution:

    3x+4y-24=0 A B C(0,-1) Y X O
    \(\quad 3x + 4y – 24 = 0\\⇒\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1\)

    সরলরেখাটি y-অক্ষকে A(0, 6) বিন্দুতে এবং x-অক্ষকে B(8, 0) বিন্দুতে ছেদ করে।
    AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু (8+0/2, 0+6/2) বা, (4, 3)
    AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 4x – 3y + k = 0
    এটি (4, 3) বিন্দুগামী।
    ∴ 4.4 – 3.3 + k = 0
    বা, k = -7
    ∴ AB রেখাংশের লম্বসমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ 4x – 3y – 7 = 0 . . . (i)
    (0, – 1) বিন্দুগামী ও x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
    y = -1 . . . (ii)
    (i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু(C):
    (ii) নং-এ y = -1 বসিয়ে পাই,
    4x – 3.(-1) – 7 = 0
    বা, 4x = 4
    বা, x = 1
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, – 1)
    AC -এর প্রবণতা = 6+1/0-1 = -7এবং
    BC -এর প্রবণতা = 0+1/8-1 = 1/7
    ∴ AC -এর প্রবণতা×BC -এর প্রবণতা = -7×1/7 = -1
    ∴ ∠ACB = 90° (প্রমাণিত)

    10. দেখাও যে, x -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণে নত সরলরেখার সমান্তরাল দিকে পরিমিত (x0, y0) বিন্দু থেকে ax + by + c = 0 সরলরেখার দূরত্ব হয়, \(-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin θ}\)

    Solution: (x0, y0) বিন্দুগামী এবং x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে θ কোণে নত যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ

    \(\quad y – y_0 = tan θ(x – x_0) . . . (i)\\⇒\frac{x-x_0}{cos θ}=\frac{y-y_0}{sin θ}= r (let)\\∴ x= x_0 + rcos θ ;\quad y= y_0 + rsin θ\)

    ∴ ( x0 + rcos θ , y0 + rsin θ) বিন্দুটি (i) নং সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
    আরও ধরি, (i) নং সরলরেখা এবং ax + by + c = 0 এর ছেদবিন্দু (x0 + rcos θ , y0 + rsin θ)
    ∴ a(x0 + rcos θ) + b(y0 + rsin θ) + c = 0
    বা, arcos θ + brsin θ = – ax0 – by0 – c
    বা, r(acos θ + bsin θ) = – (ax0 + by0 + c)
    বা, r = –ax0 + by0 + c/acos θ + bsin θ
    (x0, y0) এবং (x0 + rcos θ , y0 + rsin θ) এর মধ্যে দূরত্ব

    \( =\sqrt{(x_0+ rcos θ-x_0)^2+(y_0+ rsin θ-y_0)^2}\\=\sqrt{r^2cos^2θ+ r^2sin^2θ}\\=\sqrt{r^2(cos^2θ+ r^2sin^2θ)}\\=\sqrt{r^2}=r\\=-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin}\) Ans: নির্নেয় দূরত্ব = \(-\frac{ax_0 + by_0 + c}{acos θ + bsin}\)

    11. দেখাও যে, (a + b)x + (a – b)y – 2ab = 0, (a – b)x + (a + b)y – 2ab = 0 এবং x + y = 0 রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু এবং তার শীর্ষকোণ 2tan-1|a/b|

    Solution: সরলরেখা তিনটির সমীকরণ:
    (a + b)x + (a – b)y – 2ab = 0 . . . (i)
    (a – b)x + (a + b)y – 2ab = 0 . . . (ii) এবং
    x + y = 0 . . . (iii)
    তিনটি সরলরেখার প্রবনতা যথাক্রমে m1= –(a + b)/(a – b), m2= –(a – b)/(a + b) এবং m3= -1
    (ii) ও (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী কোণ θ1 হলে,

    \(\quad tanθ_1 = \left| \frac{\frac{-(a – b)}{a+b}+1}{1+\frac{(a – b)}{a+b}} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{\frac{-a + b+a+b}{a+b}}{\frac{a + b + a – b}{a+b}} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{2b}{2a} \right|\\⇒tanθ_1 = \left| \frac{b}{a} \right|\\⇒θ_1 = tan^{-1}\left| \frac{b}{a} \right|\)

    (i) ও (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী কোণ θ2 হলে,

    \(\quad tanθ_2 = \left| \frac{\frac{-(a+ b)}{a-b}+1}{1+\frac{(a + b)}{a-b}} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| \frac{\frac{-a – b+a-b}{a-b}}{\frac{a – b + a + b}{a-b}} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| \frac{-2b}{2a} \right|\\⇒tanθ_2 = \left| -\frac{b}{a} \right|\\⇒tanθ_2 = \left|\frac{b}{a} \right|\\⇒θ_2 = tan^{-1}\left| \frac{b}{a} \right|\)

    ∴ θ1 = θ2 = tan-1|b/a|
    ∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোন দুটি হল tan-1|b/a|
    ∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণটি হল
    = π – 2tan-1|b/a|
    = 2(π/2 – tan-1|b/a|)
    = 2cot-1|b/a|
    = 2tan-1|a/b|
    ∴ ত্রিভুজটির শীর্ষকোণ 2tan-1|a/b| (Proved)

    12. (3, 2) বিন্দুগামী এবং x = 2y + 4 সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: (3, 2) বিন্দুগামী এবং m প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 2 = m(x – 3) . . . (i)
    x = 2y + 4 সরলরেখার প্রবনতা 1/2

    \(∴ tan45° = \left| \frac{m-\frac{1}{2}}{1+m.\frac{1}{2}} \right|\\⇒1 =\left| \frac{2m-1}{2+m} \right|\\⇒\frac{2m-1}{2+m}=±1\\⇒(2m-1)=±(2+m)\)

    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    2m – 1 = (2 + m)
    বা, m = 3
    ∴ সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 2 = 3(x – 3)
    বা, 3x – y = 7 
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    2m – 1 = -(2 + m)
    বা, 3m = -1
    বা, m = – 1/3
    ∴ সরলরেখার সমীকরণ:
    y – 2 = –1/3(x – 3)
    বা, 3y – 6 = – x + 3
    বা, x + 3y = 9
    Ans: সরলরেখার সমীকরণ:
    3x – y = 7 এবং x + 3y = 9

    13. মূলবিন্দুগামী এবং x + y + √3(y – x) = a সরলরেখার সঙ্গে 75° কোণ উৎপন্ন করে এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি নির্নেয় সরলরেখার প্রবনতা m
    ∴ m প্রবনতাবিশিষ্ট এবং  মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
    y = mx . . . (i)
    প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
    x + y + √3(y – x) = a
    বা, (√3 + 1)y – (√3 – 1)x = a . . . (ii)
    (ii) নং সরলরেখার প্রবনতা
    = √3 – 1/√3 + 1
    = (√3 – 1)2/(√3 + 1)(√3-1)
    = 3+1-2√3/3 – 2
    = 2 – √3 = tan 15°
    প্রদত্ত সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে 15° কোণ উৎপন্ন করে।
    আবার (i) নং সরলরেখা (ii) নং সরলরেখার সঙ্গে 75° কোণ উৎপন্ন করে।
    ∴ (i) নং সরলরেখা x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে (15° ± 75°) বা 90° বা -60°কোণ উৎপন্ন করে।
    প্রবনতা m = tan90° = ∞ হলে,
    (i) নং সরলরেখার সমীকরণ হয়
    y = ∞x
    বা, x = 0
    আবার প্রবনতা m = tan(-60°) = -tan60° = -√3 হলে,
    (i) নং সরলরেখার সমীকরণ হয়
    y = -√3x
    বা, √3x + y = 0
    Ans: নির্নেয় সমীকরণঃ
    x = 0 এবং √3x + y = 0

    14. (-2, 5) বিন্দুগামী দুটি সরলরেখার মধ্যে একটি x – y + 5 = 0 সরলরেখার সঙ্গে tan-13/4এবং প্রদত্ত রেখাটি অন্যটির সঙ্গে tan-12/3কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: (-2, 5) বিন্দুগামী এবং m প্রবণতা বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = m(x + 2)
    x – y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1

    \(∴ tan^{-1}\frac{3}{4} = tan^{-1}\frac{\left| 1 – m \right|}{1 + m}\\⇒\frac{3}{4} = \frac{\left| 1 – m \right|}{1 + m}\\⇒3(1+m)=±4(1-m)\)

    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    3 + 3m = 4 -4m
    বা, m = 1/7
    ∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = 1/7(x + 2)
    বা, x – 7y + 37 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    3 + 3m = -(4 – 4m)
    বা, 3 + 3m = -4 + 4m
    বা, m = 7
    ∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = 7(x + 2)
    বা, 7x – y + 19 = 0
    আবার (-2, 5) বিন্দুগামী এবং n প্রবণতা বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = n(x + 2)
    x – y + 5 = 0 সরলরেখার প্রবণতা 1

    \(∴ tan^{-1}\frac{2}{3} = tan^{-1}\frac{\left| 1 – n \right|}{1 + n}\\⇒\frac{2}{3} = \frac{\left| 1 – n \right|}{1 + n}\\⇒2(1+n)=±3(1-n)\)

    (+) চিহ্ন ধরে পাই,
    2(1 + n) = 3(1 – n)
    বা, 2 + 2n = 3 – 3n
    বা, n = 1/5
    ∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = 1/5(x + 2)
    বা, x – 5y + 27 = 0
    (-) চিহ্ন ধরে পাই,
    2(1 + n) = -3(1 – n)
    বা, 2 + 2n = -3 + 3n
    বা, n = 5
    ∴ সরলরেখার সমীকরণঃ
    y – 5 = 5(x + 2)
    বা, 5x – y + 15 = 0
    Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
    7x – y + 19 = 0 অথবা x – 7y + 37 = 0 এবং
    x – 5y + 27 = 0 অথবা 5x – y + 15 = 0

    15. একটি আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুর সমীকরণ 4x + 7y + 5 = 0 এবং দুটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 1) ও (1, 1); এর অন্য তিন বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution:

    A  4x+7y+5=0   B D        C

    ধরি,ABCD আয়তক্ষেত্রের,
    AB বাহুর সমীকরণ: 4x + 7y + 5 = 0
    AB বাহুর প্রবনতা –4/7
    4x + 7y + 5 = 0 সমীকরণটি (-3, 1) দ্বারা সিদ্ধ হয়।
    ∴ AB বাহুটি (-3, 1) বিন্দুগামী।
    ∴ B শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 1)
    BC বাহুটি AB-এর উপর লম্ব এবং (-3, 1) বিন্দুগামী।
    BC বাহুর প্রবনতা m হলে,
    m×-4/7 = – 1
    বা, m = 7/4
    ∴ BC বাহুর সমীকরণ:
    y – 1 = 7/4(x + 3)
    বা, 7x – 4y + 25 = 0
    CD বাহু AB বাহুর সমান্তরাল।
    ∴ CD বাহুর প্রবনতা –4/7 এবং এটি (1, 1) বিন্দুগামী।
    ∴ CD বাহুর সমীকরণ:
    y – 1 = –4/7(x – 1)
    বা, 4x + 7y – 11 = 0
    DA বাহু BC বাহুর সমান্তরাল।
    ∴ DA বাহুর প্রবনতা 7/4 এবং এটি (1, 1) বিন্দুগামী।
    ∴ CD বাহুর সমীকরণ:
    y – 1 = 7/4(x – 1)
    বা, 7x – 4y – 3 = 0
    Ans: অন্য তিন বাহুর সমীকরণ হলো:
    7x – 4y + 25 = 0;
    4x + 7y – 11 = 0 এবং
    7x – 4y – 3 = 0

    16. 3x – 2y – 1 = 0 সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত দিকে (5, 3) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব নির্ণয় করো।

    Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণঃ
    3x – 2y – 1 = 0 . . . (i)
    ধরি, (i) নং সরলরেখার সঙ্গে 45° কোণে নত দিকে প্রদত্ত বিন্দু A(5, 3) থেকে (i) নং সরলরেখার দূরত্ব AB
    এখন, A(5, 3) থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব দূরত্ব (AC)

    \(=\frac{\left| 3.5 – 2.3 – 1 \right|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{13}}\)

    আবার ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ∠B = 45°
    ∴ sin45° = AC/AB
    বা, AB×1/√2 = 8/√13
    বা, AB = 8√2/√13 = 8√26/√13
    Solution: নির্ণেয় দূরত্ব 8√26/√13 একক

    17. একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3) এবং তার বিপরীত বাহুর সমীকরণ x + y = 2 ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, (2, 3) বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা m
    ∴ (2, 3) বিন্দুগামী বাহুর সমীকরণ y – 3 = m(x – 2)
    x + y = 2 বাহুর প্রবনতা -1
    সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°
    ∴ tan60° = |m+1|/1-m
    বা, √3 = |m+1|/1-m
    বা, √3(1 – m) = |m +1|
    বা, √3(1 – m ) = ±(m +1)
    (+) চিহ্ন ধরে,
    √3(1 – m) = (m +1)
    বা, m(√3 + 1) = (√3 – 1)
    বা, m = √3 – 1/√3 + 1
    বা, m = (√3 – 1)2/(√3 + 1)(√3 – 1)
    বা, m = 4 – 2√3/3 – 1
    বা, m = 2 – √3
    (-) চিহ্ন ধরে,
    √3(1 – m) = -(m +1)
    বা, m(√3 – 1) = (√3 + 1)
    বা, m = √3 + 1/√3 – 1
    বা, m = (√3 + 1)2/(√3 – 1)(√3 + 1)
    বা, m = 4 + 2√3/3 – 1
    বা, m = 2 + √3
    ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
    y – 3 = (2 – √3)(x – 2)
    বা, y – 3 = (2 – √3)x – 4 + 2√3
    বা, (2 – √3)x – y = -3 + 4 – 2√3
    বা, (2 – √3)x – y = 1 – 2√3
    এবং
    y – 3 = (2 + √3)(x – 2)
    বা, y – 3 = (2 + √3)x – 4 – 2√3
    বা, (2 + √3)x – y = -3 + 4 + 2√3
    বা, (2 + √3)x – y = 1 + 2√3
    Ans: ত্রিভুজটির অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
    (2 – √3)x – y = 1 – 2√3 এবং
    (2 + √3)x – y = 1 + 2√3

    18. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের সমীকরণ x + y + 1 = 0 এবং তার বিপরীত শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3); ত্রিভুজটির অন্য দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের সমীকরণ x + y + 1 = 0 এবং তার বিপরীত শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3);
    ∴ (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
    ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
    ∴ সরলরেখা দুটি অতিভুজের সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে।
    x + y + 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা -1
    ধরি, (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার প্রবনতা m
    ∴ tan45° = |m+1|/1-m
    বা, 1 = |m+1|/1-m
    বা, 1 – m = |m +1|
    বা, 1 – m = ±(m +1)
    (+) চিহ্ন ধরে,
    1 – m = (m +1)
    বা, -2m = 0
    বা, m = 0
    (-) চিহ্ন ধরে,
    1 – m = -(m +1)
    বা, m = ∞
    m = 0 হলে,
    (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়
    y – 3 = 0(x – 2)
    বা, y = 3
    m = ∞ হলে,
    (2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
    y – 3 = ∞(x – 2)
    বা, x = 2
    Ans: ত্রিভুজটির অন্য দুই বাহুর সমীকরণ:
    y = 3 এবং x = 2

    19. কোনো আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণের প্রান্ত দুটির স্থানাঙ্ক (6, 1) ও (12, 9) এবং অন্য কর্ণটি x-অক্ষের সমান্তরাল। অন্য কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
    Solution:

    D C(12,9) B A(6,1) Y X O

    ধরি, ABCD আয়তক্ষেত্রের AC কর্ণের প্রান্ত দুটির স্থানাঙ্ক (6, 1) ও (12, 9)
    ∴ AC-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (6+12/2, 1+9/2) = (9, 5)
    আবার অন্য কর্ণ BD x-অক্ষের সমান্তরাল।
    BD কর্ণটি (9, 5) বিন্দুগামী।
    অতএব BD কর্ণটির সমীকরণ হবে y = 5
    ধরি, BD কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (h, 5) এবং (k, 5)
    ∴ h+k/2 = 9
    বা, h = 18 – k
    ABCD আয়তক্ষেত্রের,
    BD = AC

    \(∴\sqrt{(h-k)^2}=\sqrt{(12-6)^2+(9-1)^2}\\⇒\sqrt{(18 – k-k)^2} = \sqrt{36+64}\)

    ⇒ (18 – 2k)2 = 100
    ⇒ 4(9 – k)2 = 100
    ⇒ (k – 9)2 = 25
    ⇒ (k – 9) = 5
    ⇒ k  = 9 + 5 = 14
    ∴ h = 18 – 14 = 4
    Ans: অন্য কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (14, 5), (4, 5)

    20. দেখাও যে, y = 0, y = 2, y – √3x = 0, y + √3x = 6√3 সরলরেখা চারটি একটি বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়াম গঠন করে। ট্র্যাপিজিয়ামটির শীর্ষগুলির স্থানাঙ্ক এবং তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে।

    Solution: ধরি, ABCD চতুর্ভুজের,
    AB বাহুর সমীকরণ y = 0 . . .  (i)
    BC বাহুর সমীকরণ y + √3x = 8√3 . . .  (ii)
    CD বাহুর সমীকরণ y = 2 . . .  (iii) ও 
    DA বাহুর সমীকরণ y – √3x = 0 . . .  (iv)
    এখানে AB এবং CD বাহু সমান্তরাল।
    ∴ ABCD একটি ট্র্যাপিজিয়াম।
    অতএব সরলরেখা চারটি একটি ট্র্যাপিজিয়াম গঠন করে।
    (i) ও (ii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    (ii) নং-এ y = 0 বসিয়ে পাই,
    0 + √3x = 8√3
    বা, x = 8
    ∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8, 0)
    (ii) ও (iii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু: 
    (ii) নং-এ y = 2 বসিয়ে পাই,
    2 + √3x = 8√3
    বা, x = 8 – 2/√3 
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8 – 2/√3, 2)
    (iii) ও (iv) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    (iv) নং-এ y = 2 বসিয়ে পাই,
    2 – √3x = 0
    বা, x = 2/√3 
    ∴ D বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( 2/√3, 2)
    (iv) ও (i) থেকে সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    (iv) নং-এ y = 0 বসিয়ে পাই,
    0 – √3x = 0
    বা, x = 0
    ∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
    DA বাহুর প্রবনতা
    = (0-2)/(0-2/√3) = -2/–2/√3 = √3
    ∴ tanθ1 = √3 = tan60°
    বা, θ1 = 60°
    আবার BC বাহুর প্রবনতা
    = (2-0)/(8-2/√3-8) = 2/–2/√3 = -√3
    ∴ tanθ2 = -√3 = tan120°
    বা, θ2 = 120°
    ∵ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি
    = 60° + 120° = 180°
    ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়াম। (Proved)
    ট্র্যাপিজিয়ামটির শীর্ষগুলির স্থানাঙ্ক হল (0, 0), (8, 0), ( 8 – 2/√3, 2) এবং ( 2/√3, 2) (Ans)
    ABCD বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়ামের,
    AB = 8 একক এবং
    CD = (8 – 2/√3 – 2/√3) = (8 – 4/√3) একক
    ∴ ABCD বৃত্তস্থ ট্র্যাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
    = 1/2(8 – 4/√3 + 8)×2
    =(16 – 4/√3)
    = 4(4 – 1/√3)
    = 4/3(12 – √3) বর্গএকক (Ans)

    21. প্রমাণ করো যে, \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1,\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=1,\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=2\) এবং \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=2\)সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর সমকোণে ছেদ করে।

    Solution: ধরি, AB, BC, CD ও DA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে

    \(\quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1,\\\quad \frac{x}{b} + \frac{y}{a}=1,\\\quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b}=2,\\ \quad\frac{x}{b} + \frac{y}{a}=2\)

    স্পষ্টত AB ও CD এবং  BC ও DA পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা।
    ∴ ABCD একটি সামান্তরিক।
    ∴ AB ও CD-এর মধ্যে লম্ব দূরত্ব

    \(\quad = \frac{\left| 2-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\)

    BC ও DA-এর মধ্যে লম্ব দূরত্ব

    \(\quad = \frac{\left| 2-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\)

    ∴ ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান।
    ∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। 
    আবার রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
    ∴ প্রদত্ত সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর সমকোণে ছেদ করে। (Proved)

    22. ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও DA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে x + 2y = 3, x = 1, x – 3y = 4 ও 5x + y + 12 = 0; AC এবং BD কর্ণ দুটির মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।
    Solution:

    5x+y+12=0 x=1 A  x+2y=3   B D  x-3y=4   C

    ABCD চতুর্ভুজের,
    AB বাহুর সমীকরণ: x + 2y = 3 . . .  (i)
    BC বাহুর সমীকরণ: x = 1 . . .  (ii)
    CD বাহুর সমীকরণ: x – 3y = 4 . . .  (iii) ও 
    DA বাহুর সমীকরণ: 5x + y + 12 = 0 . . .  (iv)
    (i) ও (ii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    (i) নং-এ x = 1 বসিয়ে পাই,
    1 + 2y = 3
    বা, y = 1
    ∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1)
    (ii) ও (iii) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
    (iii) নং-এ x = 1 বসিয়ে পাই,
    1 – 3y = 4
    বা, y = -1
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, -1)
    (iii) ও (iv) সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-36+4} = \frac{y}{-20-12}= \frac{1}{1+15}\\⇒ \frac{x}{-32} = \frac{y}{-32}= \frac{1}{16}\\⇒\frac{x}{-2} = \frac{y}{-2}= 1\)

    ∴ x = -2, y = -2
    D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2, -2)
    (iv) ও (i) থেকে সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:

    \(\quad \frac{x}{-3-24} = \frac{y}{12+15}= \frac{1}{10-1}\\⇒ \frac{x}{-27} = \frac{y}{27}= \frac{1}{9}\\⇒\frac{x}{-3} = \frac{y}{3}= 1\)

    ∴ x = -3, y = 3
    A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3, 3)
    AC কর্ণের প্রবনতা(m1) = 3+1/-3-1 =‌ -1 এবং
    BD কর্ণের প্রবনতা (m2) = -2-1/-2-1 =‌ 1
    m1×m2 = -1×1 = -1
    ∴ AC এবং BD কর্ণ দুটির মধ্যবর্তী কোণ 90° (Ans)

    23. একটি সরলরেখা L, 5x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব। দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং L সরলরেখা দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 5 বর্গএকক; L, সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, 5x – y = 1 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
    x + 5y = k

    \(⇒\frac{x}{k} + \frac{y}{\frac{k}{5}} = 1\)

    ∴ লম্ব সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে যথাক্রমে k এবং k/5 একক ছেদ করে।
    প্রশ্নানুযায়ী,
    1/2. |k×k/5| = 5
    বা, |k2| = 50
    বা, k2 = 50
    ∴ k = ±5√2
    Ans: সরলরেখার সমীকরণ: x + 5y = ±5√2

    24. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহু দুটির লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটির সমীকরণ যথাক্রমে, x – y + 5 = 0 এবং x + 2y = 0; A বিন্দুটি যদি (1, -2) হয়, তবে BC বাহুর সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution:

    x-y+5=0 x+2y=0C B A(1,2)

    AB এবং AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটির সমীকরণ যথাক্রমে
    x – y + 5 = 0 . . .  (i)এবং
    x + 2y = 0 . . .  (ii)
    ধরি, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k) ও (p, q)
    এখানে A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, -2)
    ∴ AB-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h + 1/2, k – 2/2)
    ∴ AB-এর প্রবনতা = k + 2/h – 1
    AB-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের প্রবনতা 1
    ∴ k + 2/h – 1×1 = -1
    বা, k + 2 = – h + 1
    বা, h + k + 1 = 0 . . .  (iii)
    আবার (h + 1/2, k – 2/2) বিন্দুটি (i) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। 
    ∴ h + 1/2 – k – 2/2 + 5 = 0
    বা, h + 1 – k + 2 + 10 = 0
    বা, h – k + 13 = 0 . . .  (iv)
    (iii) + (iv) করে পাই,
    h + k + 1 + h – k + 13 = 0
    বা, 2h = -14
    বা, h = -7
    (iii) থেকে পাই,
    -7 + k + 1 = 0
    বা, k = 6
    ∴ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, 6)
    পুনরায় AC-এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (p + 1/2, q – 2/2)
    ∴ AC-এর প্রবনতা = q + 2/p – 1
    AC-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের প্রবনতা –1/2
    ∴ q + 2/p – 1×(-1/2) = -1
    বা, q + 2 = 2(p – 1)
    বা, 2p – q – 4 = 0 . . .  (v)
    আবার (p + 1/2, q – 2/2) বিন্দুটি (ii) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। 
    ∴ p + 1/2 + 2×q – 2/2 = 0
    বা, p + 1 + 2q – 4 = 0
    বা, p + 2q – 3 = 0 . . .  (vi)
    (v)×2 + (vi) করে পাই,
    2(2p – q – 4) + p + 2q – 3 = 0
    বা, 4p – 2q – 8 + p + 2q – 3 = 0
    বা, 5p – 11 = 0
    বা, p = 11/5
    (v) থেকে পাই,
    2×11/5 – q – 4 = 0
    বা, q = 22/5 – 4
    বা, q = 2/5
    ∴ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (11/5, 2/5)
    BC বাহুর সমীকরণ:

    \(\frac{y – \frac{2}{5}}{\frac{2}{5} – 6} = \frac{x – \frac{11}{5}}{\frac{11}{5} + 7}\\⇒\frac{5y – 2}{2 – 30} = \frac{5x – 11}{11 + 35}\\⇒\frac{5y – 2}{-28} = \frac{5x – 11}{46}\\⇒\frac{5y – 2}{-14} = \frac{5x – 11}{23}\)

    বা, 115y – 46 = -70x + 154
    বা, 70x + 115y = 200
    বা, 14x + 23y = 40
    Ans: BC বাহুর সমীকরণ: 14x + 23y = 40

    25. একটি আলোকরশ্মি (4, 5) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষের ওপর A বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে (10, 5) বিন্দুগামী হয়। A বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution:

    C(10,5) B(4,5) Y O X A

    ধরি, আলোকরশ্মি B(4, 5) বিন্দু থেকে এসে x-অক্ষের ওপর A(h, 0) বিন্দুতে প্রতিফলিত হয়ে C(10, 5) বিন্দুগামী হয় এবং প্রতিফলিত রশ্মি(AC) x-অক্ষের সঙ্গে θ কোণ উৎপন্ন করে।
    ∴ আপতিত রশ্মি(BA) x-অক্ষের সঙ্গে (π – θ) কোণ উৎপন্ন করে।
    আপতিত রশ্মি BA-এর প্রবনতা
    tan(π – θ) = 5 – 0/4 – h
    বা, -tanθ = 5/4 – h
    বা, tanθ = 5/h-4  . . .  (i)
    প্রতিফলিত রশ্মি BC-এর প্রবনতা
    tanθ = 5 – 0/10 – h = 5/10 – h . . .  (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই, 
    5/h-4 = 5/10 – h
    বা, h – 4 = 10 – h
    বা, h = 7
    ∴ প্রতিফলিত রশ্মি BC-এর সমীকরণ: 
         y – 5/5 – 0 = x – 10/10 – 7
    বা, y – 5/5 = x – 10/3
    বা, 5x – 50 = 3y – 15
    বা, 5x – 3y = 35
    Ans: A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,0) এবং
    প্রতিফলিত রশ্মির সমীকরণ: 5x – 3y = 35

    সরলরেখা PART-3
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights