Category: HS

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

SN DEY CLASS XI MATH SOLUTION TRIGONOMETRY

বহু বিকল্পধর্মী

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

1. যদি sinθ = – ½ হয়, তবে θ =
- (A) 30°
- (B) 120°
- (C) 150°
- (D) 210°
- Ans. (D) 210°
  [ সমাধানঃ
  sinθ = – ½
  বা, sinθ = – sin30°
  বা, sinθ = sin(2×90° + 30°)
  ∴ sinθ = sin210°
  ∴ θ = 210° ]
2. sin(α -540°) =
- (A) sinα
- (B) -sinα
- (C) cosα
- (D) -cosα
- Ans. (B) -sinα
  [ sin(α -540°)
  = sin{-(540° – α)}
  = – sin(540° – α)
  = – sin(6×90° – α) = – sinα
3. যদি tan35° = 0.7 হয়, তবে tan(-665°) =
- (A) 0.7
- (B) 0.007
- (C) ¹⁰/₇
- (D) ¹⁰⁰/₇
- Ans. (C) ¹⁰/₇
- [ tan(- 665°)
- = – tan665°
- = – tan(7×90° + 35°)
- = cot35°
- = 1/tan35°
- = 1/0.7 = 10/7
4. নীচের কোনটি cot(-870°) -এর মান?
- (A) √3
- (B) 1/√3
- (C) -1/√3
- (D) -√3
- Ans. (A) √3
- [ cot(-870°)
- = – cot870°
- = – cot(10×90° – 30°)
- = cot30° = √3
5. নীচের কোনটি cos(-1170°) -এর মান?
- (A) 1
- (B) -1
- (C) 0
- (D) -½
- Ans. (C) 0
- [ cos(-1170°)
- = cos1170°
- = cos(12×90° + 90°)
- = cos90° = 0
6. নীচের কোনটি sec(-945°) -এর মান?
- (A) √2
- (B) -√2
- (C) 2
- (D) -2
- Ans. (B) -√2
- [ sec(-945°)
- = sec945°
- = sec(10×90° + 45°)
- = – sec 45° = -√2

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

সমাধানঃ7. নীচের কোনটি

$$\mathbf{\Large{ cos\left(\frac{5π}{2}-\frac{19π}{3}\right)}}$$

-এর মান?

$$\Large{(A)\quad \frac{\sqrt3}{2}\\(B) \quad -\frac{\sqrt3}{2}\\(C)\quad \frac{1}{2}\\(D) \quad -\frac{1}{2}\\Ans.\quad (A)\quad \frac{\sqrt3}{2}\\cos\left(\frac{5π}{2}-\frac{19π}{3}\right)\\=sin\frac{19π}{3}\\=sin\frac{(18+1)π}{3}\\=sin\left(6π+\frac{π}{3}\right)\\=sin\frac{π}{3}\\=\frac{\sqrt3}{2}}$$

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

$$\large{8. \mathbf{\quad sec^{2}θ=\frac{4xy}{(x+y)^2}}}$$সত্য হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি —$$\Large{(A)\quad x+y≠0 \quadহয়\\(B)\quad x=y, x≠0 \quadহয়\\(C)\quad x=y \quadহয়\\(D)\quad x≠0, y≠0 \quadহয়\\Ans.\quad(B)\quad x=y, x≠0}$$সমাধানঃ $$\Large{ sec^{2}θ=\frac{4xy}{(x+y)^2} \\ ⇒ cos^{2}θ=\frac{(x+y)^2}{4xy}\\∵ cos^{2}θ≤1\\∴\frac{(x+y)^2}{4xy}≤1\\⇒(x+y)^2≤4xy\\⇒(x+y)^2-4xy≤0\\⇒(x-y)^2≤0\\∵(x-y)^2≮0\\∴(x-y)^2=0\\⇒(x-y)=0\\⇒x=y}$$

আবার x=0 হলে cos2θ অসংজ্ঞাত হয়।
∴ x≠0

বহু বিকল্পধর্মী	CLICK HERE
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী	CLICK HERE
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী	CLICK HERE
দীর্ঘ উত্তরধর্মী	CLICK HERE

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

যদি tanθ+secθ = ex হয়, তবে cotθ এর মান —

$$\Large{(A)\quad \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\(B)\quad \frac{2}{e^x+e^{-x}}\\(C) \quad \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\(D) \quad \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\Ans.\quad(B)\quad \frac{2}{e^x+e^{-x}}}$$

সমাধানঃ
tanθ + secθ = e^x – – – (i)
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ =1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, e^x(secθ – tanθ) = 1
∴ (secθ – tanθ) = 1/e^x = e^-x – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
(secθ + tanθ) – (secθ – tanθ) = e^x – e^-x
বা, 2tanθ = e^x + e^-x
বা, tanθ = (e^x + e^-x)/2
∴ cotθ = 2/(e^x + e^-x)

PREVIOUS

HOME

NEXT

May 18, 2023

Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)

1 সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
(i) সেট্সমূহের ধারণা, উপসেট্‌, দুটি সেটের সমতা, সার্বিক সেট্ এবং শূন্য সেট্, সসীম ও অসীম সেট্।
S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.3 , অনুচ্ছেদ 1.5 এর 4, 5, 7, 3,1 দেখো।

(ii) দুটি সেটের যোগ, ছেদ ও অন্তর, পূরকতা।
S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.8 এর 1, 2, 4, 5 দেখো।

2. ভেন চিত্র কী? সেট তত্ত্বে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করো।

3 সেটের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ বিবৃত করো।

▶️ বর্গৈকসম সূত্র
A যেকোনো একটি সেট হলে
(i) A ⋃ A = A
(ii) A ⋂ A = A

▶️ বিনিময় সূত্র
A এবং B যেকোনো দুটি সেট হলে
(i) A ⋃ B = B ⋃ A
(ii) A ⋂ B = B ⋂ A
এবং AB = BA

▶️ সেটের সংযোগ সূত্র (Associative Law):
A, B, C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C
(ii) (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)

▶️ সেটের বণ্টন সূত্র (Distributive Law):
A,B,C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
(i) A ⋃ ( B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
(ii) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

▶️ অভেদ সূত্র (Identity Law):
A যে-কোনো সেট এবং U সার্বিক সেট এবং ∅ শুন্য সেট হলে,
(i) A ⋃ ϕ = A
(ii) A ⋂ U = A
(iii) A ⋃ U = U
(iv) A ⋂ ϕ = ϕ

Set Theory

▶️ পূরক সূত্র(Complement Law):
U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ শুন্য সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
(i) A ⋃ A′ = U
(ii) A ⋂ A′ = ϕ
(iii) (A′)′ = A
(iv) U′ = ϕ
(v) ϕ′ = U

ডি মরগানের সূত্র(De Morgan’s Law) :
A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
(i) (A ⋃ B)′ = A′ ⋂ B′
(ii) (A ⋂ B)′ = A′ ⋃ B′

একাধিক সসীম সেটের যোগের পদসংখ্যা নির্ণয়ঃ
A একটি সসীম সেট হলে, A এর পদসংখ্যা n(A) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
A এবং B দুইটি সসীম সেট হলে (A⋃B) ও একটি সসীম সেট হবে।
(i) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
(ii) n(A⋃B)′ = n(S) – n(A⋃B) = n(S) – n(A) – n(B) + n(A⋂B)
(iii) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – (A⋂B) – n(B⋂C) – n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)

4 দেখাও যে, n-সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট্ A-র সূচক সেট্ 2ⁿ -সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে।

সমাধানঃ
ধরি, A একটি সেট যার উপাদান বা পদের সংখ্যা n.
A সেটে যদি কোনো পদ না থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = ⁿC₀
A সেটে যদি 1টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = ⁿC₁
আবার A সেটে যদি 2টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = ⁿC₂
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
A সেটে যদি nটি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = ⁿC_n
∴A সেট্‌ থেকে যে সকল উপসেট্ গঠন করা যায় তার মোট সংখ্যা
= ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n
এখন, (1 + x)ⁿ = ⁿC₀ + ⁿC₁.x+ ⁿC₂.x² + ….. + ⁿC_n.xⁿ
x-এর স্থলে 1 বসিয়ে পাই,
2″ = ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n
∴ নির্ণেয় মোট উপসেটের সংখ্যা = 2. 1

সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

সেট তত্ত্ব Set Theory	প্রশ্নমালা- 1
সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট	CLICK HERE
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট	CLICK HERE
ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ	CLICK HERE
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)	CLICK HERE
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)	CLICK HERE
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)	CLICK HERE
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)	CLICK HERE

Set Theory
Q. NO. 5, 6

5. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {a, b}, C = {a, b, d}, D = {c, d} এবং E = {d} ; যুক্তিসহ নিম্নলিখিত বক্তব্যসমূহের কোন্গুলি সত্য বলো:
(i) B ⊂ A
(ii) D ⊅ E
(iii) D ⊂ B
(iv) {a} ⊂ A

(i) B ⊂ A
সমাধানঃ
a, b ∈ A এবং a, b ∈ B
আবার c ∈ A কিন্তু c ∉ B
∴ B ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

(ii) D ⊅ E
সমাধানঃ
d ∈ E এবং d ∈ D
আবার c ∈ D কিন্তু c ∉ E
∴ E ⊂ D
∴ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।

(iii) D ⊂ B
সমাধানঃ
c ∈ D কিন্তু c ∉ B
∴ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।

(iv) {a} ⊂ A
সমাধানঃ
∵ a ∈ A
∴ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

Set Theory

6. মনে করো, A = {a, b, c. d, e, f, g, h, i}, B = {b, d, f, h}, C = {a, c, e, g, i}, D = { c, d, e} এবং E = {c, e}। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন্ সেট্ X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে?
(i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
(ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
(iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
(iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A

(i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
সমাধানঃ
X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট্ হবে যদি x ∈ B হয় কিন্তু x ∉ X হয়।
এখানে b, d, f, h ∈ B কিন্তু b, d, f, h ∉ C এবং b, d, f, h ∉ E
∴ X = C বা X = E হতে পারে। (Ans)

(ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
সমাধানঃ
এখানে B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
আবার B এবং D, C এর সাবসেট নয়।
X = B বা X = D হতে পারে। (Ans)

(iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
সমাধানঃ
এখানে E সেট D এর সাবসেট। কিন্তু E এর সাবসেট নয়।
X = E হতে পারে। (Ans)

(iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
সমাধানঃ
এখানে E সেট C এর সাবসেট।
কিন্তু B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
সুতরাং কোনো সেটই X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে না। (Ans)

Set Theory
Q. NO. 7

7. A = { a, b, c, d, e }, B = { a, c, e, g } এবং C = { b, c, f, g } হলে দেখাও যে,
(i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
(ii) ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)

(i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
সমাধানঃ
A ∪ B = { a, b, c, d, e } ∪ { a, c, e, g }
= { a, b, c, d, e, g }
( A ∪ B) ∩ C = { a, b, c, d, e, g } ∩ { b, c, f, g }
= { b, c, g }
A ∩ C = { a, b, c, d, e } ∩ { b, c, f, g }
= { b, c }
B ∩ C = { a, c, e, g } ∩ { b, c, f, g }
= { c, g }
( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) = { b, c } ∪ { c, g }
= {b, c, g }
∴( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) (Proved)

Set Theory

(ii) ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)
সমাধানঃ
A ∩ B = { a, b, c, d, e } ∩ { a, c, e, g }
= { a, c, e, }
(A ∩ B) ∪ C = { a, c, e, } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
A ∪ C = { a, b, c, d, e } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
B ∪ C = { a, c, e, g } ∪ { b, c, f, g }
= {a, b, c, e, f, g }
∴ ( A ∪ C) ∩ ( B ∪ C)
= { a, b, c, d, e } ∩ {a, b, c, e, f, g }
= {a, b, c, e, f, g } (Proved)

Set Theory
Q. NO. 8 (i), (ii)

8. (i) মনে করো, সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 3, 4, 5 } এবং A = { 3, 4, 5 } ও B = { 1, 4, 5 } তার দুটি উপসেট্। যাচাই করে দেখাও যে, ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ।
সমাধানঃ
A ∪ B = { 3, 4, 5 } ∪ { 1, 4, 5 }
= { 1, 3, 4, 5 }
(A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 1, 3, 4, 5 }
= {2}
A’ = S – A
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 5 }
= {1, 2}
B’ = S – B
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – {1, 4, 5}
= {2, 3}
A’ ∩ B’ = {1, 2} ∩ {2, 3}
= {2}
( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (Proved)

(ii) S = { 1, 2, 3, … , 12 }-কে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেট্ A, B, C-তে বিভক্ত করা হল যাতে A ∪ B ∪ C = S, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ হয়। এরূপে S-কে কত রকমভাবে বিভক্ত করা যাবে?
সমাধানঃ
S সেটে মোট পদ আছে 12টি।
∴ সেটটিকে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেটে ভাগ করলে প্রতিটি সেটে পদের সংখ্যা হবে 4 টি করে।
আবার, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ সুতরাং, A, B, C সেটের প্রতিটির পদ ভিন্ন ভিন্ন হবে। সুতরাং, এরূপে S-কে যতরকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় তা হল

$$ \Large{=\frac {12!}{4! × 4! × 4!} \\ ⇒ \frac {12!}{(4!)^{3}}}$$

Set Theory
Q. NO. 9 (i), (ii), 10 (i) – (iii)

9. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C ={1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে
(i) A – B
(ii) A – C নির্ণয় করো এবং
তারপর দেখাও যে, A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
সমাধানঃ
A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 3, 4, 5}
= {1}
(ii) A – C = {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {2}
B ∩ C = {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {3, 4, 5}
∴ A – (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} – {3, 4, 5}
= {1, 2}
(A – B) ∪ (A – C) = {1} ∪ {1, 2}
= {1, 2}
∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)

10. সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } এবং A = { 1, 2, 8, 32 } , B = { 4, 8, 32 } তার দুটি উপসেট্‌ হলে দেখাও যে,
(i) (A^C)^C = A
(ii) ( A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
(iii) ( A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

(i) (A^C)^C = A
সমাধানঃ
A^C = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
(A^C)^C = S – A^C
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 16 }
= { 1, 2, 8, 32 }
∴ (A^C)^C = A (প্রমাণিত)

Set Theory

(ii) ( A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
সমাধানঃ
A ∩ B = { 1, 2, 8, 32 }∩{ 4, 8, 32 }
= { 8, 32 }
∴ ( A ∩ B)^C = S – ( A∩B)
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 8, 32 }
= { 1, 2, 4, 16 }
আবার, A^C = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
B^C = S – B
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 16 }
∴ A^C ∪ B^C = { 4, 16 } ∪ { 1, 2, 16 }
= {1, 2, 4, 16}
∴ ( A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C (Proved)

(iii) ( A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
সমাধানঃ
A ∪ B = { 1, 2, 8, 32 } ∪ { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 4, 8, 32 }
(A ∪ B)^C = S – ( A ∪ B)
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 4, 8, 32 }
= { 16 }
A^C = S – A
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
= { 4, 16 }
B^C = S – B
= { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
= { 1, 2, 16 }
∴ A^C ∩ B^C = { 4, 16 } ∩ { 1, 2, 16 }
={ 16 }
∴ ( A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (Proved)

Set Theory
Q. NO. 11

11. (i) P = { a, b, c, d, e, f } এবং Q = { a, c, e, f } হলে প্রমাণ করো যে, ( P – Q) ∪ ( P ∩ Q) = P।
সমাধানঃ
(i) P – Q = { a, b, c, d, e, f } – { a, c, e, f }
= { b, d }
P ∩ Q = { a, b, c, d, e, f } ∩ { a, c, e, f }
= { a, c, e, f }
∴ ( P – Q) ∪ ( P ∩ Q)
= { b, d } ∪ { a, c, e, f }
= { a, b, c, d, e, f } = P (Proved)

(ii) যদি P = { θ : sinθ – cosθ = √2 cosθ } এবং Q = { θ : sinθ + cosθ = √2 sinθ } হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P = Q।
সমাধানঃ
ধরি, x ∈ P যে-কোনো একটি পদ।
∴ sinx – cosx = √2 cosx
বা, sinx = √2 cosx + cosx
বা, sinx = (√2 + 1) cosx
।বা, 1 /(√2 + 1) sinx = cos x
বা, (√2 – 1) /(2 – 1) sinx = cosx
বা, √2 sinx – sinx = cosx
⇒ √2 sinx = cosx + sin x
⇒ x ∈ Q
∵ x একটি যে-কোনো পদ,
∴ P ⊆ Q – – – (i)
আবার ধরা যাক, y ∈ Q যে-কোনো একটি পদ।
∴ siny + cosy = √2 siny
⇒ cosy = √2 siny – siny
⇒ cosy = (√2 – 1) siny
= siny = 1 /(√2 – 1) cosy
⇒ siny = (√2 + 1) /(2 – 1) cosy
⇒ siny = (√2 + 1) cosy
= siny = √2 cosy + cosy
⇒ siny – cosy = √2 cosy
⇒ y ∈ P যেহেতু, y একটি যে-কোনো পদ।
∴ Q ⊆ P – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
P = Q (প্রমাণিত)

Set Theory
Q. NO. 12 – 13

12. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং ( B ∪ C) = { 3, 4, 6} হলে,
(i) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
(ii) ( A – B) ∩ ( A – C) নির্ণয় করো।

সমাধানঃ
(i) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
= A ∩ ( B ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5} ∩ { 3, 4, 6} = {3, 4} (Ans)

(ii) ( A – B) ∩ ( A – C)
= A – ( B ∪ C)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 } = { 1, 2, 5 } (Ans)

13. তিনটি সেট্ P, Q এবং R এমনভাবে গঠন করো, যাতে P ∩ Q ≠ ϕ, Q ∩ R ≠ ϕ, R ∩ P ≠ ϕ কিন্তু P ∩ Q ∩ R = ϕ হয়।
সমাধানঃ
ধরা যাক, P = { p, q },
Q = { q, r },
R = { r, p }
∴ P ∩ Q = { p, q } ∩ { q, r }
= { q } ≠ ϕ
Q ∩ R = { q, r } ∩ { r, p }
= { r } ≠ ϕ
R ∩ P = { r, p } ∩ { p, q }
= { p } ≠ ϕ
∴ P ∩ Q ∩ R = ( P ∩ Q) ∩ R
= { q } ∩ { r, p }
= ϕ (Proved)

Set Theory
Q. NO. 14 – 15

14. মনে করো, A, B এবং C তিনটি সেট্। যদি A ⊂ B এবং B ⊂ C হয়, তবে A ⊂ C হবে কি? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের সত্যতা প্রতিষ্ঠা করো।
সমাধানঃ
ধরা যাক, x ∈ A
এখন, x ∈ A ⇒ x ∈ B [ ∵ A ⊂ B ] – – (i)
আবার, x ∈ B ⇒ x ∈ C [ ∵ B ⊂ C ] – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে,
x ∈ A ⇒ x ∈ C
∴ A ⊂ C
A ⊂ B এবং B ⊂ C হলে, A ⊂ C হবে। (Proved)

15. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {a, b, c, d, e} এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} তার দুটি উপসেট্। ( A ∩ B)’ এবং ( A ∪ B)’ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
A ∩ B = {a, b, d} ∩ {b, d, e}
= {b, d}
∴ ( A ∩ B)’ = S – (A ∩ B)
= {a, b, c, d, e} – {b, d}
= {a, c, e} (Ans)
A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
= {a, b, d, e}
∴ ( A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
= {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
= {c} (Ans)

Set Theory
Q. NO. 16 – 19 (i)

16. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; A^C ∩ B^C নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
A^C ∩ B^C = ( A ∪ B)^C
= S – ( A ∪ B)
⇒ {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4}
= {1, 5, 6} (Ans)

17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট্ ℕ এবং aℕ = { ax : x ∈ ℕ } হলে, 3ℕ ∩ 7ℕ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
∴ 3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
= 21ℕ (Ans)

18. মনে করো, সব অখণ্ড সংখ্যার সেট্ ℤ এবং A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ } ও B = { x : x = 4n, n ∈ of ℤ } : A ∩ B নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
= 6ℕ
B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
= 4ℕ
∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
= kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
⇒ 12ℕ
= { x: x = 12n, n ∈ ℤ} (Ans)

19 যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) ( B – A) ∩ A = ϕ
সমাধানঃ
(B-A) ∩ A
= (B ∩ A^C) ∩ A
= B ∩ ( A^C ∩ A)
⇒ B ∩ ϕ
= ϕ
∴ ( B – A) ∩ A = ϕ (Proved)

Set Theory
Q. NO. 19 (ii), (iii)

(ii) A^C – B^C = B – A
সমাধানঃ
ধরি, ∀x ∈ (A^C – B^C)
⇒ x ∈ A^C এবং x ∉ B^C
⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
বা, x ∈ B এবং x ∉ A
⇒ x ∈ (B – A)
∴ A^C – B^C ⊆ B – A – – – (i)
আবার ধরি,
∀y ∈ (B – A)
⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
বা,y ∈ A^C এবং y ∉ B^C
⇒ y ∈ (A^C – B^C)
∴ B – A ⊆ A^C – B^C – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A^C – B^C = B – A
∴ A^C – B^C = B – A (Proved)

(iii) A-B = A-(A∩B)
সমাধানঃ
যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
A∩B ⊆ B

ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∉A∩B [ ∵ A∩B ⊆ B ]
∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
সুতরাং, x ∈ A-B
⇒ x∈A – (A∩B)
∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)
ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B) যে-কোনো পদ
⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ A^C) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ y ∈ ( A ∩ A^C) অথবা y ∈ ( A – B)
বা, y ∈ ( A ∩ A^C) ∪ ( A – B)
⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
A-B = A-(A∩B) (Proved)

Set Theory
Q. NO. 19 (iv) – (viii), 20 (i)

(iv) A-B = A∩B^C
সমাধানঃ
∀x ∈(A-B)
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∈B^C
∴ x∈A∩B^C
A-B = A∩B^C (Proved)

(v) B-A^C = A∩B
সমাধানঃ
∀x ∈ (B – A^C)
⇒ x∈B এবং x∉A^C
⇒ x∈B এবং x∈ A
বা, x∈B∩A
⇒ x∈A∩B
∴ B-A^C = A∩B (Proved)

(vi) B⊆(A-B)^C
সমাধানঃ
যে-কোনো দুটি সেটে A ও B-এর জন্য
B⊆A^C∪B
⇒ B⊆(A∩B^C)^C. [ডি মর্গানের সূত্র]
⇒ B⊆(A-B^C)
∴ B⊆(A-B)^C (Proved)

(vii) (A∪B)-(A∩B) = (A-B)∪(B-A)
সমাধানঃ
(A∪B)-(A∩B)
= [ (A∪B)-A]∪[(A∪B)-B]
= [(A∪B)∩A^C]∪[(A∪B)∩B^C]
⇒ [(A∩A^C)∪(B∩A^C)]∪[(A∩B^C)∪(B∩B^C)]…. [বণ্টন সূত্র]
= [ϕ∪(B-A)]∪[(A-B)∪ϕ)
= (B-A)∪(A-B)
⇒ (A-B)∪(B-A)
∴ (A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) (Proved)

(viii) (A-B)∪(A∩B) = A
সমাধানঃ
(A-B)∪(A∩B)
= (A∩B^C)∪(A∩B)
= A∩(B^C∪B) ….. [বণ্টন সূত্র]
= A∩S [S হল সার্বিক সেট্‌]
= A
∴ ( A – B) ∪ ( A ∩ B) = A (Proved)

20. মনে করো, A, B এবং C তিনটি প্রদত্ত সেট্‌; উদাহরণের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, নীচের বিবৃতিগুলি সত্য নয়:
(i) B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে,
সমাধানঃ
ধরি, B = {x}
∵ B ∈ A
∴ A = {B} ={{x}}
∴ x ∉ A
x ∈ A হবে, বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

Set Theory
Q. NO. 20 (ii)- (iii), 21 – 22

(ii) B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে
সমাধানঃ
ধরি, B = {b} এবং
A = {a, b},
∵ A ∈ C
∴ C = {A}
অর্থাৎ, C = {{a, b}}
স্পষ্টতই, {b} ∉ C
∴ B ∉ C
সুতরাং, B ∉ C বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

(iii) A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে
সমাধানঃ
ধরি, A = { a } এবং
B = { b, c },
C = { a, c }
স্পষ্টতই, A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু, A ⊂ C
∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

21. সেট্ প্রক্রিয়া প্রয়োগে 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির গসাগু নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির উৎপাদকগুলির সেট A, B এবং C ;
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
B = {1, 3, 5, 15 } এবং
C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির বৃহত্তম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির গসাগু।
A∩B∩C = {1, 3}
A∩B∩C এর বৃহত্তম উপাদানটি হল 3
Ans: 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গসাগু 3.

22. (i) সেট্ তত্ত্বের প্রয়োগে 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গুননীয়কের সেট A, B এবং C ;
A = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180 ……. }
B = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200……. } এবং
C = {30, 60, 90, 120, 150, 180.. }
সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির ক্ষুদ্রতম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির লসাগু।
A∩B∩C = {150, 300….. }
A∩B∩C এর ক্ষুদ্রতম উপাদানটি হল 150
Ans: 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু 150

Set Theory
Q. NO. 23 & 24

23. ভেন্ চিত্রের প্রয়োগে বা অন্য পদ্ধতিতে নীচের প্রশ্নটির সমাধান করো: একটি শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরেজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
যে সমস্ত ছাত্ররা ইংরেজি পাঠ করে তাদের সেটকে E এবং যে সমস্ত ছাত্ররা হিন্দি পাঠ করে তাদের সেটকে H দ্বারা সূচিত করা হল।
প্রশ্নানুসারে, n(E) = 45 এবং n(H) = 30
ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয়ে পাঠ করে 70 জন ছাত্র।
∴ n(EUH) = 70
∵ n(EUH) = n(E) + n(H) – n(E∩H)
⇒ 70 = 45 + 30 – n(E∩H)
⇒ n(E∩H) = 45 + 30 – 70
∴ n(E∩H) = 5
Ans: 5 জন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে।

24. কলকাতার 1003টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63টি পরিবারের রেডিয়ো বা টিভি ছিল না; 794টি পরিবারের রেডিয়ো এবং 187টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল?
সমাধানঃ
ধরি ,কলকাতার পরিবারের সেট S, রেডিয়ো ছিল এমন পরিবারের সেট R এবং টিভি ছিল এমন পরিবারের সেট T ;
এখানে, n(S) = 1003, n(R) = 794, n(T)= 187
রেডিয়ো বা টিভি ছিল এমন পরিবারসমূহের সেট = RUT
∴ রেডিয়ো বা টিভি ছিল না এমন পরিবারসমূহের সেট্ = (RUT)^C
প্রশ্নানুযায়ী,
n(RUT)^C = 63
∴ n(S) – n(RUT) = n(RUT)^C
⇒ 1003 – n(RUT) = 63
⇒ n(R) + n(T) – n(R∩T) = 940
বা, 794 +187 – n( R∩T) = 940
⇒ 981- 940 = n(R∩T)
⇒ 41 = n(R∩T)
Ans: রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল এমন পরিবারের সংখ্যা 41।

Set Theory
Q. NO. 25

25. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যানুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে?
সমাধানঃ
ধরি , A সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট A এবং B সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট B;
প্রশ্নানুযায়ী,
n(A) = 720
n(B) = 450
n(A ∪ B) = 1000
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
⇒ 1000 = 720 + 450 – n(A∩B)
⇒1000 = 1170 – n(A∩B)
⇒ n(A∩B) = 1170 -1000 = 170
Ans: 170 জন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে।

Set Theory
Q. NO. 26

26. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে। শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না তা গণনা করো। সম্ভাব্য সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করা তাও নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, A এবং B পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যক্তিদের সেট যথাক্রমে A এবং B।
প্রদত্ত শর্তানুসারে,
n(A) = 60 এবং
n(B∩A^C) = 25
কোনো না কোনো পত্রিকা পাঠ করে, এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা
n(A∪B) = n(A) + n(B∩A^C)
= 60 + 25 = 85
∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা = 100 – 85 = 15(Ans)

আবার, B ⊆ A∪B
⇒ n(B) ≤ n(A∪B)
⇒ n(B) ≤ 85
∴ সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা 85 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)
আবার, n(A∩B) ≥ 0
⇒ n(A)+ n(B) – n(A∪B) ≥ 0
বা, 60 + n(B) – 85 ≥ 0
বা, n(B) ≥ 25
∴ সম্ভাব্য সর্বনিম্ন শতকরা 25 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)

Set Theory
Q. NO. 27

27. (i) দুটি সেট্ A ও B-এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p ও q-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ (i) A সেটের পদসংখ্যা, n(A) = p এবং
B সেটের পদসংখ্যা, n(B) = q
A সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(A)) = 2^p এবং
B সেটের উপসেটের সংখ্যা =n(P(B)) = 2^q
প্রশ্নানুসারে,
2^p – 2^q = 56
⇒ 2^q (2^{p – q} – 1) = 8×7
⇒2^q (2^{p – q} – 1) = 8×7
⇒2^q (2^{p – q} – 1) = 2³ (2³ – 1)
স্পষ্টতই, উপরের শর্ত সিদ্ধ হবে যদি q = 3 এবং p – q = 3 হয়।
∵ p – q = 3
বা, p – 3 = 3
বা p = 6
Ans: p = 6 এবং q = 327.

(ii) দুটি সসীম সেট্ A এবং B-এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, A∪B-এর সবচেয়ে বেশি এবং সবচেয়ে কম কতগুলি উপাদান সংখ্যা পাওয়া যাবে।
সমাধানঃ A সেটের উপাদান সংখ্যা n(A) = m এবং
B সেটের উপাদান সংখ্যা n(B) = n
আমরা জানি,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = m + n – n(A∩B)
A∩B = ϕ হবে যদি A এবং B বিছিন্ন সেট হয়।
সেক্ষেত্রে n(A∩B) = 0
∴ n(A) + n(B) – n(A∩B)
= m + n – 0
= m + n
∴ n(A∪B) ≤ m + n হবে।
Ans: n(A∪B) এর বৃহত্তম মান = m + n
আবার n(A∩B) ≤ [n(A), n(B) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম]
∴ n(A) + n(B) – n(A∩B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
⇒ n(A∪B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
Ans: n(A ∪ B) এর ক্ষুদ্রতম মান = m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম।