2. যদি sinθ = -⅗ হয় এবং θ তৃতীয় পাদে থাকে, তবে tanθ ও secθ-র মান নির্ণয় করো।
$$ \Large{sinθ = -\frac{3}{5}\\\therefore cosθ=±\sqrt{1-sin^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{25}}\\\quad=±\frac{4}{5}\\\therefore secθ=±\frac{5}{4}}$$∵ sinθ = -⅗ এবং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।$$\Large{∴ secθ = -\frac{5}{4}\quad(Ans)\\∴tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}\\=\frac{3}{4} \quad(Ans)}$$
3. (i) tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$ \Large{Ans:\\tanθ = \frac{15}{8}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{225}{64}}\\\quad=±\sqrt{\frac{289}{64}}\\\quad=±\frac{17}{8}\\\therefore cosθ=-\frac{8}{17}}$$tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$ \Large{sinθ =\frac{sinθ}{cosθ}.cosθ\\=\frac{sinθ}{cosθ}.\frac{1}{secθ}\\\\=\frac{tanθ}{secθ}\\=\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{17}{8}}\\=-\frac{15}{17}\\\therefore\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}\\=\frac{-sinθ-cosθ}{-tanθ+secθ}\\=\frac{-\frac{-15}{17}-\frac{-8}{17}}{-\frac{15}{8}+\frac{-17}{8}}\\=\frac{\frac{15}{17}+\frac{8}{17}}{-\frac{15}{8}-\frac{17}{8}}\\=\frac{\frac{15+8}{17}}{\frac{-15-17}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{\frac{-32}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{-4}\\=-\frac{23}{68}}$$
(ii) θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত হলে এবং secθ = 5/3 হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$\Large{Ans.\\∵secθ = \frac{5}{3}\\\therefore tanθ=±\sqrt{sec^{2}θ-1}\\\quad=±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{25}{9}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{9}}\\\quad=±\frac{4}{3}}$$θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত।$$\Large{\\\therefore tanθ=-\frac{4}{3}\\cotθ=-\frac{3}{4}\\cosθ = \frac{3}{5}\\cosecθ=\frac{1}{sinθ}\\=\frac{cosθ}{sinθ}.\frac{1}{cosθ}\\=cotθ.\frac{1}{cosθ}\\=\frac{-3}{4}.\frac{1}{\frac{3}{5}}\\=\frac{-5}{4}\\∴\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}\\=\frac{6.\frac{-4}{3}+5.\frac{3}{5}}{5.\frac{-3}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-8+3}{\frac{-15}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-15-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-20}{4}}\\=\frac{-5}{-5}=1}$$
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI CLICK HERE
4. n- সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করোঃ sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+…= 0 আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+sinθ… = sinθ
5. n-এর মান অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে, (i) cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ
সমাধানঃ ধরি, n যুগ্ম সংখ্যা অর্থাৎ n=2p – – -[যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos(2pπ+θ) =cosθ =(-1)2p cosθ =(-1)n cosθ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos{(2p+1)π+θ} =cos(2p+π+θ) =- cosθ =(-1)2p+1 cosθ =(-1)n cosθ ∴cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ (Proved)
$$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1}}$$সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{2pπ}{2}+(-1)^{2p}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1}$$n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{(2p+1)π}{2}+(-1)^{2p+1}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{2}-\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1\\\therefore tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1\quad(Proved)}$$
(iii) sin{nπ+(-1)n. π/6}=½
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{2pπ+(-1)2p. π/6} = sin{2pπ+ π/6} = sin{p.2π+ π/6} = sinπ/6 = ½ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{(2p+1)π+(-1)(2p+1). π/6} = sin{2pπ+(π- π/6)} = sin{π- π/6} = sinπ/6 = ½ ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}=½ (Proved)
(iv) tan(nπ+α)=tanα
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ tan(nπ+α) = tan(2pπ+α) = tanα আবার,n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] tan(nπ+α) = tan{(2p+1)π+α} = tan{(2pπ+(π+α)} = tan(π+α) = tanα ∴ tan(nπ+α)=tanα(Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে, (i) sinBcos(C+A)+cosBsin(C+A)=0
সমাধানঃ ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C ∴ A+B+C=π LHS = sinB.cos(C+A)+cosB.sin(C+A) = sinB.cos(π-B)+cosB.sin(π-B) = sinB.(-cosB)+cosB.sinB = – sinB.cosB+cosB.sinB = 0 = RHS (Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে,
$$\Large{(ii) \quad\mathbf{tan\frac{A-B}{2}=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)\\Ans:}}$$ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C $$\Large{∴ A+B+C=π\\⇒A=π-B-C\\LHS=tan\frac{A-B}{2}\\=tan\frac{π-B-C-B}{2}\\=tan\frac{π-C-2B}{2}\\=tan\left[π-\left(\frac{C}{2}+B\right)\right]\\=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)=RHS\quad(Proved)}\\$$
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (LA) S N Dey Class-XI
সেট তত্ত্ব SET THEORY দীর্ঘ উত্তরধর্মী(LA)
সেট তত্ত্ব SET THEORY ∴ ∵
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
1. কোনো সসীম সেট A-এর ক্ষেত্রে, A সেটের পদসংখ্যা n(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি ভেন চিত্রের প্রয়োগে (অথবা অন্য পদ্ধতিতে) যে-কোনো দুটি সেট A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
প্রমানঃ মনে করি, A, B এবং A ∩ B সেট তিনটির পদসংখ্যা যথাক্রমে p, q ও r অর্থাৎ n(A) = p; n(B) = q এবং n(A∩B) = r
ভেন চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায় যে, n(A-B) = n(A) – n(A∩B) = p – r ; n(B-A) = n(B) – n(A∩B) = q – r ; আবার ভেন চিত্র থেকে দেখা যায় (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটি পরস্পর বিচ্ছেদ সেট এবং (A∪B) সেটটির পদসংখ্যা (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটির পদসংখ্যার সমষ্টির সমান। ∴ n(A ∪ B) = n(A-B) + n(A ∩ B) + n(B) = p – r + r + q – r = p + q – r ∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (Proved)
2. A = { x: 0 < x ≤ 2 } এবং B = { x : 1 < x < 3 } হলে, (i) A ∩ B
সমাধানঃ A ∩ B = { x: 0 < x ≤ 2 } ∩ { x : 1 < x < 3 } = { x: 1 < x ≤ 2 } (Ans)
(ii) A ∪ B
সমাধানঃ A ∪ B = { x: 0 < x ≤ 2 } ∪ { x : 1 < x < 3 } = { x: 0 < x < 3 } (Ans) (iii) A – B সমাধানঃ A – B = { x: 0 < x ≤ 2 } – { x : 1 < x < 3 } = {x: 0 < x ≤ 1 } (Ans)
(iv) (A ∪ B) – (A ∩ B)
সমাধানঃ (A ∪ B) – (A ∩ B) = { x: 0 < x < 3 } – { x: 1 < x ≤ 2 } = {0 < x ≤ 1, 2 < x < 3} (Ans)
3. A = { 2 ≤ x < 5 } এবং B = { x: 3 < x < 7 } হল সার্বিক সেট্, S = { x : 0 < x ≤ 10 } -এর দুটি উপসেট্; প্রমাণ করো যে, (A ∪ B)C = AC ∩ BC ।
সমাধানঃ A ∪ B = {x: 2 ≤ x < 7} ∴ (A ∪ B)C = S – (A ∪ B) = { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 2 ≤ x < 7} = {0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10 } AC = S – A = { x : 0 < x ≤ 10 } – {2 ≤ x < 5} = {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10} BC = S – B = { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 3 < x < 7} = {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10} ∴ AC ∩ BC = {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10} ∩ {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10} = {x : 0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10} ∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC(Proved)
4. P = { p, q, r, s, t, u } এবং Q ∩ R = { q, r, v, w } হলে, (i) ( P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R)
সমাধানঃ (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) = P ∪ (Q ∩ R) = {p, q, r, s, t, u } ∪ {q, r, v, w } = {p, q, r, s, t, u, v, w} (Ans)
(ii) ( P – Q) ∪ ( P – R) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ (P – Q) ∪ (P – R) = P – (Q ∩ R) = { p, q, r, s, t, u } – { q, r, v, w } = {p, s, t, u} (Ans)
5. যদি S সার্বিক সেটের A, B, C তিনটি উপসেট হয়,যেখানে S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 6}, B ∩ C = { 1, 2, 6 } তবে ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) এবং ( BC ∪ CC) নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C) = { 1, 3, 5, 6} ∩ { 1, 2, 6 } = { 1, 2, 3, 5, 6} (Ans)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।
6. যদি U = { a, b, c, d, e, f } সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C যদি U এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = { a, c, d } এবং B ∪ C = { a, d, c, f } তবে ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) এবং ( B’ ∩ C’) নির্ণয় করো।
সমাধানঃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ ( B ∪ C) = { a, c, d } ∩ { a, d, c, f } = {a, c, d} (Ans) B’ ∩ C’ = (B ∪ C)’ = U – ( B ∪ C) = { a, b, c, d, e, f } – { a, d, c, f } = {b, e} (Ans)
7. প্রদত্ত, X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}, X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5, }, X ∩ Y = { 2, 3} এবং X ∩ Z = { 2, 4} ; X, Y এবং Z নির্ণয় করো ।
সমাধানঃ ∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4} ∴ 5 ∉ X ∪ Y ⇒ 5 ∉ X এবং 5 ∉ Y আবার ∵ X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5} ∴ 1 ∉ X ∪ Z ⇒ 1 ∉ X এবং 1 ∉ Z এবং 5 ∈ Z ∵ X ∩ Y = { 2, 3} ∴ 2, 3 ∈ X এবং Y ∵ X ∩ Z = { 2, 4} ∴ 2, 4 ∈ X এবং Z ∴ X = {2, 3, 4}, ∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4} ∴ 1 ∈ Y ∴ Y = {1, 2, 3} ∴ Z = {2, 4, 5} Ans: X = {2, 3, 4}; Y = {1, 2, 3}; Z = {2, 4, 5}
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (i) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∪C সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Proved)
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 6 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সাধারন অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
7 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 8 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে। এবং 9 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সমগ্র অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (iii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪C) সেটকে প্রকাশ করে। এবং 5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∩(A∪C) সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)
সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (iv) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 9 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে। এবং 10 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (v) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∪B এবং 2 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)C সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা AC এবং 4 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল BC সেটকে প্রকাশ করে।
5 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল AC ∩ BC সেটকে প্রকাশ করে। ∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)
(vi) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)C সেটকে প্রকাশ করে।
8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা AC এবং 9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল BC সেটকে প্রকাশ করে।
9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল AC ∩ BC সেটকে প্রকাশ করে। ∴ (A ∩ B)C = AC ∪ BC (Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (vii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে। এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)(Proved)
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (viii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে। এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A-B)∩(A-C) সেটকে প্রকাশ করে। ∴ A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)(Proved)
S N DEY CLASS XI সেটতত্ত্ব তত্ত্বের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো ।
8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ (ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C
1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A-C এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল B-C সেটকে প্রকাশ করে।
3 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C)∩(B-C) সেটকে প্রকাশ করে।
4 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B)-C সেটকে প্রকাশ করে। ∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C(Proved)
Q NO – 8
9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে : (i) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ ϕ
9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে : (ii) A ⊂ B, B ∩ C ≠ ϕ, C ∩ A = ϕ, C ⊄ B
10.যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
সমাধানঃ ধরি, x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A অথবা x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A অথবা (x ∈ B এবং x ∈ C) ⇒ (x ∈ A অথবা x ∈ B) এবং (x ∈ A অথবা x ∈ C) ⇒ {x ∈ (A ∪ B) এবং x ∈ (A ∪ C)} ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∴ x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∴ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – – – (i) আবার ধরি, y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ (A ∪ B) এবং y ∈ (A ∩ C) ⇒ (y ∈ A অথবা y ∈ B) এবং (y ∈ A অথবা y ∈ C) ⇒ y ∈ A অথবা (y ∈ B এবং y ∈ C) ⇒ y ∈ A অথবা y ∈ (B ∩ C) ⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C) ∴ y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C) ∴ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)
(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
সমাধানঃ ধরি, x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A এবং x ∈ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A এবং (x ∈ B অথবা x ∈ C) ⇒ (x ∈ A এবং x ∈ B) অথবা (x ∈ A এবং x ∈ C) ⇒ {x ∈ (A ∩ B) অথবা x ∈ (A ∩ C)} ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∴ x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (i) আবার ধরি, y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ y ∈ (A ∩ B) অথবা y ∈ (A ∩ C) ⇒ (y ∈ A এবং y ∈ B) অথবা (y ∈ A এবং y ∈ C) ⇒ y ∈ A এবং (y ∈ B অথবা y ∈ C) ⇒ y ∈ A এবং y ∈ (B ∪ C) ⇒ y ∈ A ∩ (B ∪ C) ∴ y ∈ A ∩ (B ∪ C)) ⇒ y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)
(iii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
সমাধানঃ A ∩ (B ∩ C) ⇒ {x: x ∈ A এবং x ∈ (B ∩ C)} ⇒ {x: x ∈ A এবং (x ∈ B এবং x ∈ C)} ⇒ {x: (x ∈ A এবং x ∈ B) এবং x ∈ C} ⇒ {x: x ∈ (A ∩ B) এবং x ∈ C} = (A ∩ B) ∩ C (Proved)
(iv) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
সমাধানঃ A ∪ (B ∪ C) ⇒ {x: x ∈ A বা, x ∈ (B ∪ C)} ⇒ {x: x ∈ A বা, (x ∈ B বা, x ∈ C)} ⇒ {x: (x ∈ A বা, x ∈ B) বা, x ∈ C} ⇒ {x: x ∈ (A ∪ B) বা, x ∈ C} = (A ∪ B) ∪ C (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) দেখতে এখানে CLICK করো।
(v) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
সমাধানঃ যে- কোনো উপাদান a ∈ A হলে a ∉ A হয়। ধরি, x ∈ (A ∪ B)C ⇒ x ∉ (A ∪ B) ⇒ x ∉ A এবং x ∉ B ⇒ x ∈ AC এবং x ∈ BC ⇒ x ∈ AC ∩ BC ∴ (A ∪ B)C ⊆ AC ∩ BC – – – (i) আবার ধরি, y ∈ AC ∩ BC ⇒ y ∈ AC এবং y ∈ BC ⇒ y ∉ A এবং y ∉ B ⇒ y ∉ (A ∪ B) ⇒ y ∈ (A ∪ B)C ∴ AC ∩ BC ⊆ (A ∪ B)C – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, (A ∪ B)C = AC ∩ BC(Proved)
(vi) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
সমাধানঃ ধরি, x ∈ (A ∩ B)C ⇒ x ∉ (A ∩ B) ⇒ x ∉ A বা x ∉ B ⇒ x ∈ AC বা x ∈ BC ⇒ x ∈ AC ∪ BC ∴ (A ∩ B)C ⊆ AC ∪ BC – – – (i) আবার ধরি, y ∈ AC ∪ BC ⇒ y ∈ AC বা y ∈ BC ⇒ y ∉ A বা y ∉ B ⇒ y ∉ (A ∩ B) ⇒ y ∈ (A ∩ B)C ∴ AC ∪ BC ⊆ (A ∩ B)C – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, (A ∩ B)C = AC ∪ BC(Proved)
(vii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
সমাধানঃ ধরি, x ∈ A – (B ∪ C) ⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B এবং x ∉ C) ⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) এবং (x ∈ A এবং x ∉ C) ⇒ x ∈ (A – B) এবং x ∈ (A – C) ⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C) – – – (i) আবার ধরি, y ∈ (A – B) ∩ (A – C) ⇒ y ∈ (A – B) এবং (A – C) ⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) এবং (y ∈ A এবং y ∉ C) ⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B এবং y ∉ C) ⇒ y ∈ A এবং y ∉ B ∪ C ⇒ y ∈ A – (B ∪ C) – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) (Proved)
(viii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
সমাধানঃ ধরি, x ∈ A – (B ∩ C) ⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B বা, x ∉ C) ⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) বা, (x ∈ A এবং x ∉ C) ⇒ x ∈ (A – B) বা, x ∈ (A – C) ⇒ x ∈ (A – B) ∪ (A – C) – – – (i) আবার ধরি, y ∈ (A – B) ∪ (A – C) ⇒ y ∈ (A – B) বা, (A – C) ⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) বা, (y ∈ A এবং y ∉ C) ⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B বা, y ∉ C) ⇒ y ∈ A এবং y ∉ (B ∩ C) ⇒ y ∈ A – (B ∩ C) – – – (ii) ∴ (i) ও (ii) থেকে পাই, A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)
(ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C
সমাধানঃ ধরি, A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4}; C = {1, 3, 5}; LHS = (A – C) ∩ (B – C) = ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∩ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5}) = {2} ∩ {2, 4} = {2} RHS = (A ∩ B) – C = ({1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5} = {2, 3} – {1, 3, 5} = {2, 4} = LHS ∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C (Proved)
(x) (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C)
সমাধানঃ ধরি, A = {1, 2, 3}; B = {2, 3, 4}; C = {1, 3, 5}; LHS = (A ∪ B) – C = ({1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 5} = {2, 4} RHS = (A – C) ∪ (B – C) = ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∪ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5}) = {2} ∪ {2, 4} = {2, 4} = LHS ∴ (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C) (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) দেখতে এখানে CLICK করো।
11. সেট বীজগণিতের সূত্রাবলী প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: (i) A ∩ ( B – A) = ϕ
সমাধানঃ A ∩ ( B – A) = A ∩ ( B ∩ AC) = A ∩ ( AC ∩ B) = ( A ∩ AC) ∩ B = ϕ ∩ B = ϕ (Proved)
(ii) A ∪ ( B – A) = A ∪ B
সমাধানঃ A ∪ ( B – A) = A ∪ ( B ∩ AC) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ AC ) = ( A ∪ B) ∩ S = ( A ∪ B) (Proved)
(iii) (A ∩ B) – C = ( A – C) ∩ ( B – C)
সমাধানঃ (A ∩ B) – C = (A ∩ B) ∩ CC = (A ∩ B) ∩ (CC ∩ CC) = [(A ∩ B) ∩ CC] ∩ CC)] = [A ∩ (B ∩ CC)] ∩ CC)] = (B ∩ CC) ∩ (A ∩ CC) = (B – C) ∩ (A – C) = (A – C) ∩ (B – C) (Proved)
(iv) (A ∪ B) – C = ( A – C) ∪ ( B – C)
সমাধানঃ (A ∪ B) – C = (A ∪ B) – CC = (A ∪ CC) ∪ (B ∪ CC) = ( A – C) ∪ ( B – C) (Proved)
12. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics -এ পড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন ছাত্র দ্বিতীয় ও তৃতীয় এবং 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য কতগুলো আসন আছে? (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে) সমাধানঃ ধরি, Computer Science- এর ছাত্রদের সেট C; Information Technology- এর ছাত্রদের সেট I ও Electronics এর ছাত্রদের সেট যথাক্রমে E. এখানে, n(C) = 80; n(I) = 75; n(E) = 72; n(C ∩ I) = 60; n(I ∩ E) = 50; n(E ∩ C) = 40; n(C ∩ I ∩ E) = 30; ∴ n(C ∪ I ∪ E) = n(C) + n(I) + n(E) – n(C ∩ I) – n(I ∩ E) – n(E ∩ C) + n(C ∩ B ∩ E) = 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30 = 227 – 150 + 30 = 107 Ans: কলেজে ছাত্রদের জন্য 107 টি আসন আছে ।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
13. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত ; 20 জন লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ও ধার করা পুস্তকব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো। সমাধানঃ ধরি, সমগ্র ছাত্রের সেট S; লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহারকারী ছাত্রের সেট A; নিজস্ব পুস্তক অছে এমন ছাত্রের সেট B; ধার করে পুস্তক ব্যবহার করে এমন ছাত্রের সেট C; এখানে, n(S) = 100; n(A) = 50; n(B) = 40; n(C) = 30; n(A ∩ B) = 20; n(B ∩ C) = 15; n(A ∩ C) = 10; ∴ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n( B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C) বা, 100 = 50 + 40 + 30 – 20 – 15 – 10 + n(A ∩ B ∩ C) বা, 100 = 120 – 45 + n(A ∩ B ∩ C) বা, 100 = 75 + n(A ∩ B ∩ C) বা, n(A ∩ B ∩ C) = 25 Ans: তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা 25 জন।
14. কোনো কোম্পানি 300 জন ব্যবহারকারীর কোন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে তার তথ্যানুসন্ধান করে। দেখা গেল যে, 226 জন A সামগ্রী, 51 জন B সামগ্রী, 54 জন C সামগ্রী, 21 জন A ও B উভয় সামগ্রী, 54 জনA ও C উভয় সামগ্রী, 39 জন B ও C উভয় সামগ্রী এবং 9 জন তিন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে। প্রমাণ করো যে, তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয় (ধরে নাও যে, প্রত্যেক ব্যবহারকারী অন্তত এক ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে)। সমাধানঃ ধরি, A সামগ্রীর সেট = A; B সামগ্রীর সেট = B; C সামগ্রীর সেট = C হলে, এখানে, n(A) = 226; n(B) = 51; n(C) = 54; n(A ∩ B) = 21; n(A ∩ C) = 54; n(B ∩ C) = 39; n(A ∩ B ∩ C) = 9 ∴ ( A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C) = 226 + 51 + 54 – 21 – 39 – 54 + 9 = 331 – 114 + 9 = 340 – 114 = 226 কিন্তু প্রশ্নানুযায়ী, মোট ব্যবহারকারীর সংখ্যা 300 ∴ তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয়। (Proved)
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
15. শ্রমিকদের দ্বারা উৎপাদিত 100 টি সামগ্রী পরীক্ষা করে সেন, সরকার ও লাহিড়ী কোম্পানির ম্যানেজার তাঁর বসের কাছে নিম্নলিখিত রিপোর্ট দাখিল করেন: পরিমাপে ত্রুটি 50 টি সামগ্রীতে, রঙে ত্রুটি 30 টিতে, উৎকর্ষে ত্রুটি 23 টিতে, উৎকর্ষে ও রঙে ত্রুটি 10 টিতে, পরিমাপ ও রঙে ত্রুটি 8 টিতে, পরিমাপ ও উৎকর্ষে ত্রুটি 20 টিতে এবং 5 টি সবগুলিতেই ত্রুটিপূর্ণ । দাখিল করা রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল। সেট তত্ত্বের প্রয়োগে দন্ড দেওয়ার কারণ ব্যাখ্যা করো। সমাধানঃ ধরি, পরিমাপে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট A, রঙে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট B ও উৎকর্ষে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট C এখানে, n(A) = 50; n(B) = 30; n(C) = 23; n(B ∩ C) = 10; n(A ∩ B) = 8; n(A ∩ C) = 20; n(A ∩ B ∩ C) = 5; ∴ মোট সামগ্রী = n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 50 + 30 + 23 – 8 – 10 – 20 + 5 = 103 – 38 +5 = 70 শর্তানুযায়ী মোট সামগ্রী সংখ্যা 100; ∴ দাখিল করা রিপোর্টের সাথে মোট সামগ্রীর পরিমাণ অভিন্ন নয়। তাই ভুল রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল।
16. কোন শহরে তিনটি দৈনিক সংবাদপত্র X, Y, Z প্রকাশিত হয়।ঐ শহরের 65% লোক X পত্রিকা ,54% Y পত্রিকা, 45% Z পত্রিকা পড়ে; 38% লোক X ও Y; 32% Y ও Z; 28% X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক এই তিন পত্রিকার কোনটাই পড়ে না। যদি শহরের মোট লোকসংখ্যা 1000000 জন হয়, তবে শহরের কত জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে তা নির্ণয় করো। সমাধানঃ ধরি মোট পাঠকের সংখ্যা 100 জন। আরও ধরি P, Q এবং R হল X, Y, Z সংবাদপত্র পাঠকের সেট। ∴ n(P) = 65% ; n(Q) = 54% ; n(R) = 45%; n(P∩Q) = 38%; n(Q∩R) = 32%; n(R∩P) = 28%; n(PC∩QC∩RC) = 12%; ∴ তিনটি সংবাদপত্র পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা = n(P∩Q∩R) এখন,n(PC∩QC∩RC) = n(P∪Q∪R)C বা, 12 = n(S) – n(P∪Q∪R) বা, 12 = 100 – n(P∪Q∪R) বা, n(P∪Q∪R) = 88 বা, n(P) + n(Q) + n(R) – n(P∩Q) – n(Q∩R) – n(R∩P) + n(P∩Q∩R) = 88 বা, 65 + 54 + 45 – 38 – 32 – 28 + n(P∩Q∩R) = 88 বা, 164 – 98 + n(P∩Q∩R) = 88 বা, 66 + n(P∩Q∩R) = 88 বা, n(P∩Q∩R) = 88 – 66 বা, n(P∩Q∩R) = 22 100 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22 জন ∴ 100,0000 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22×10000 জন = 220000 জন Ans: শহরের 220000 জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
17. কোনো কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্রসংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রতিটি গেম খেলে। কতজন ছাত্র- (i) কোনো গেম খেলে না (ii) কেবল একটি গেম খেলে এবং (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে? সমাধানঃ ধরি , কলেজের সমস্ত ছাত্রের সেট = S, ফুটবল খেলা ছাত্রের সেট F, ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C ও ভলিবল খেলা ছাত্রের সেট V এখানে, n(S) = 1000; n(F) = 540; n(C) = 465; n(V) = 370; n(F ∩ C) = 325; n(F ∩ V) = 260; n(C ∩ V) = 235; n(F ∩ C ∩ V) = 125; ∴ n( F ∪ C ∪ V) = n(F) + n(C) + n(V) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V) = 540 + 465 + 370 – 325 – 260 – 235 + 125 = 1375 – 820 + 125 = 1500 – 820 = 680 (i) কোনো গেম খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = n(FC ∩ CC ∩ VC) = n( F ∪ C ∪ V)C = n(S) – n( F ∪ C ∪ V) = 1000 – 680 = 320 (ii) শুধু ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, = n(F ∩ CC ∩ VC) = n(F) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V) = 540 – 325 – 260 + 125 = 80 শুধু ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, = n(C ∩ FC ∩ VC) = n(C) – n(C ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V) = 465 – 325 – 235 + 125 = 590 – 560 = 30 শুধু ভলিবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, = n(V ∩ FC ∩ CC) = n(V) – n(V ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V) = 370 – 235 – 260 + 125 = 495 – 495 = 0 ∴কেবল একটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, = n(F ∩ CC ∩ VC) + n(C ∩ FC ∩ VC) + n(V ∩ FC ∩ CC) = 80 +30 + 0 = 110 (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা, = n(F ∩ V) +n(C ∩ V) +n(F ∩ V) – 3 x n(F ∩ C ∩ V) = 325 + 235 + 260 -3 x 125 = 820 – 375 = 445 Ans: (i) কোনো গেম খেলে 320 জন; (ii) কেবল একটি গেম খেলে 110 জন; এবং (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে 445 জন।
18. একটি দলে কয়েক্জন ছাত্র অছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো। সমাধানঃ ধরি, বাংলায় কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট B, হিন্দিতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট H এবং ইংরেজীতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট E; এখানে, n( B) = 65 ; n( H) = 54 ; n( E) = 37 ; n( B ∩ H) =31; n( H ∩ E) = 17 ; n( B ∩ E) = 18 n( B ∪ H ∪ E) = n( B) + n( H) + n( E) – n( B ∩ H) – n( H ∩ E) – n( E ∩ B) + n( B ∩ H ∩ E) = 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n( B ∩ H ∩ E) = 90 + n( B ∩ H ∩ E) এখন, n ( B ∪ H ∪ E) -এর মান ক্ষুদ্রতম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0 হয়। ∴ n( A ∪ H ∪ E) -এর ক্ষুদ্রতম মান = 90 + 0 = 90 n( B ∪ H ∪ E) -এর মান বৃহত্তম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0-এর মান বৃহত্তম হয়। এখন, n( A ∪ H ∪ E) -এর বৃহত্তম মান = { n( B ∩ H) , n( H ∩ E) , n( E ∩ B) } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = {31, 17, 18 } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = 17 Ans: দলের বৃহত্তম ছাত্রসংখ্যা = 90 + 17 = 107 ও ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা = 90
দশম শ্রেণীর ভৌতবিজ্ঞান এবং জীবনবিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
19. সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, 231 ও 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।
সমাধানঃ ধরা যাক, 231 ও 260 সংখ্যা দুটির গুনণীয়কের সেট যথাক্রমে A ও B। ∴ A = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 }, B = { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 } ∴ A ∩ B = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 } ∩ { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 } = {1} ∴ 231, 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক। (Proved)
Q NO 20
20. মনে করো, A1, A2, ….., A30 এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে পাঁচটি করে এবং B1, B2 …..Bn এই n-সংখ্যক সেটের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে। ধরো, A1 ∪ A2 ∪….. ∪ A30 = B1 ∪ B2 ∪ ….. ∪ Bn = S; মনে করো, S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে। n-এর মান নির্ণয় করো। সমাধানঃ S = A1 ∪ A2 ∪….. ∪ A30 ; A1, A2, ….., A30 এই সেটের প্রত্যেকটিতে 5 টি করে পদ আছে। ∴ 30 টিতে মোট পদ আছে = 30 × 5 = 150 টি। আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 10 টি A সেটের মধ্যে আছে। ∴ S সেটের পদসংখ্যা = 150 ÷ 10 = 15 S = B1 ∪ B2 ∪ ….. ∪ Bn B1, B2 …..Bn এই সেটের প্রত্যেকটিতে 3 টি করে পদ আছে। ∴ n টিতে মোট পদ আছে = n × 3 টি = 3n টি। আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 9 টি B সেটের মধ্যে আছে। ∴ S সেটের পদসংখ্যা = 3n ÷ 9 = n ÷ 3 প্রশ্নানুযায়ী, n ÷ 3 = 15 ⇒ n = 45 Ans: n-এর মান 45
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI দীর্ঘ উত্তরধর্মী
21. একটি সভার 100 জন লোকের মধ্যে 29 জন ভারতীয় মহিলা এবং 23 জন ভারতীয় পুরুষ। এই ভারতীয়দের মধ্যে 4 জন ডাক্তার এবং 24 জন হয় পুরুষ নয়তো ডাক্তার। সভায় কোনো বিদেশী ডাক্তার নেই। সভায় কতজন বিদেশী ছিলেন? সভায় মহিলা ডাক্তারের সংখ্যাই বা কত? সমাধানঃ ধরি,ভারতীয় মহিলার সেট = F, ভারতীয় পুরুষের সেট = M, এবং ভারতীয় ডাক্তারের সেট = D। ∴ মোট ভারতীয়ের সংখ্যা = n (F) + n (M) = 29 + 23 = 52 মোট বিদেশীর সংখ্যা = 100 – 52 = 48 এখানে, n (D) = 4, n ( M ∪ D) = 24 আবার, n ( M ∩ D) = n ( M) + n ( D) – n ( M ∪ D) = 23 + 4 – 24 = 3 Ans: সভায় বিদেশী ছিলেন 48 জন এবং মহিলা ডাক্তারের সংখ্যা = 4 – 3 = 1 জন
22. যদি দুটি সেট A এবং B-এর 99 টি সাধারণ পদ থাকে তবে দেখাও যে, A×B এবং B×A-এর সাধারণ পদ সংখ্যা 992 টি। সমাধান: (AxB) ∩ (B×A) = n((A∩B)×(B∩A)) = n(A∩B) × n(B∩A) = 99 × 99 = 992(Proved)
