Category: HS

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

দ্বাদশ শ্রেণীর S. N. DEY এর সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য নিচে দেওয়া BUTTON-এ ক্লিক করো।

Unit 1	সম্বন্ধ ও চিত্রণ RELATIONS AND FUNCTIONS	▶️ CLICK HERE
Unit-2:	বীজগণিত Algebra	▶️ CLICK HERE
Unit-3:	কলনবিদ্যা Calculus	▶️ CLICK HERE
Unit-4:	ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি Vector & Three dimensional geometry	▶️ CLICK HERE
Unit-5:	রৈখিক প্রোগ্রামবিধি Linear Programming	▶️ CLICK HERE
Unit-6:	সম্ভাবনা Probability	▶️ CLICK HERE

Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ

1. A = (1, 2, 3, 4) এবং A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ I_A হলে-
A. (1, 2) ∈ I_A
B. (2, 2) ∈ I_A
C. (2, 1 ) ∈ I_A
D. (3, 4) ∈ I_A
Ans: B. (2, 2) ∈ I_A
[একক সম্বন্ধ I_A হলে I_A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}]

2. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর –
A. স্বসম এবং প্রতিসম হয়
B. প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়।
C. স্বসম এবং সংক্রমন হয়
D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়
Ans: D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
A. A = {1, 2, 3} এবং R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1,2)) হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
B. A = {a, b, c, d) এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(a, c), (b, d), (b, c) (c, a) (d, b)} তাহলে, A -র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
C. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
Ans: D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
[A. X (3, 3) ∉ R
B. X (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
A. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একক সম্বন্ধ সর্বদাই A -এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
B. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A -এর ওপর একটি একক সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
D. X = {a, b, c} এবং Y= {c, a, b} হয়, তবে XxY = YxX হবে।
Ans: C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
[(1, 2) এবং (2, 1 ) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ]

5. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় –
A. 2⁴
B. 2⁸
C. 2¹²
D. 2¹⁶
Ans: D. 2¹⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 4 টি
∴ AxA তে মোট পদসংখ্যা হবে = 4×4 = 16 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2¹⁶]

6. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e} সেটে মোট সম্বন্ধসমুহের সংখ্যা –
A. 2⁶
B. 2⁸
C. 2⁴
D. 2¹⁵
Ans: A. 2⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 3 এবং B সেটের পদসংখ্যা 2
∴ AxB তে মোট পদসংখ্যা হবে = 3×2 = 6 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2⁶]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. মনে করো, A = { 8, 9, 10, 11 } এবং B = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য, R-এর ক্ষেত্র হবে –
A. {2, 3, 4, 5}
B. {8,‌ 9, 10}
C. {8, 9, 10, 11}
D. {8, 10}
Ans: B. {8,‌ 9, 10}
[xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
∴ R = {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
R-এর ক্ষেত্র হবে {8,‌ 9, 10}]

8. R = {(x, y) : x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R -এর পাল্লা হবে –
A. {-2, -1, 0, 1, 2}
B. {-2, -1, 0}
C. {5, 4, 3, 2, 1}
D. {4, 3, 2, 1}
Ans: C. {5, 4, 3, 2, 1}
[x = -2 (|x| = |-2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-2 – 3| = |-5| = 5
x = -1 (|x| = |-1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-1 – 3| = |-4| = 4
x = 0 (|x| = |0| = 0 < 3) হলে
y = |x – 3| = |0 – 3| = |-3| = 3
x = 1 (|x| = |1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |1 – 3| = |-2| = 2
x = 2 (|x| = |2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |2 – 3| = |-1| = 1
R-এর পাল্লা হবে {5,‌ 4, 3, 2, 1}]

9. যদি C থেকে R-এর ওপর ϕ সম্বন্ধটি হয় xϕy ⇔ |x| = y.তবে নীচের কোনটি সঠিক?
A. (2+3i)ϕ13
B. 3ϕ(-3)
C. (1+i)ϕ2
D. iϕ1
Ans: D. iϕ1
[xϕy ⇔ |x| = y
|(2+3i)| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
|3| = √3² = √9 = 3
|(1+i)| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
|i| = √1²) = 1]

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

UNIT – 1
সম্বন্ধ ও চিত্রণ
RELATIONS AND FUNCTIONS

সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসम হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে তার সংখ্যা হল –
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ans: A. 1
[A = {1, 2, 3}; R = {(1, 2), (1, 3)}
সম্বন্ধটি স্বসম হলে (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R হবে।
সম্বন্ধটি প্রতিসम হলে (1, 2), (1, 3) ∈ R ⇒ (2, 1), (3, 1) ∈ R হবে।
∴ R = {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}]

11. {1, 2, 3, 4} এর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1,3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের সঠিক উক্তি নির্বাচন করো:
A. R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসम কিন্তু সংক্রমন নয়;
B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
C. R সম্বন্ধ প্রতিসम ও সংক্রমন কিন্তু স্বসম নয়;
D. R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
[A. -X (1, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমন
C. -X (2, 2), (1, 1), (4, 4), (3, 3) ∈ R সম্বন্ধটি স্বসম
D. -X (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R সম্বন্ধটি প্রতিসम নয়]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

1.মনে করো A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6) এবং R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :
xRy ⇒ (x + y) এর মান জোড়, দেখাও যে, A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
Ans: A সেটের প্রতিটি পদ বিজোড় কিন্তু B সেটের পদ্গুলি জোড়। যেহেতু, একটি বিজোড় ও একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হয়। তাই x ∈ A ও ইয় ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হবে৷
∴ xRy ⇒ (x + y) –এর মান জোড়, এই সম্মন্ধটি একটি শূন্য সম্মন্ধ হবে ৷
∴ A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।

2. কখন কোনো সেট A – এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ স্বসম নয়? মনে করো, A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}; A -র ওপর R কি স্বসম?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R স্বসম হয় না যখন A সেটের কমপক্ষে একটি পদ a -এর জন্য (a, a) ∉ R হয়।
A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)};
এখানে, (b, b) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয় ।

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

3. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ প্রতিসম নয়? মনে করো, X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ কি প্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R প্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R হয়
X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)};
এখানে, (1,2) ∈ R কিন্তু ( 2,1) ∉ R
∴ R সম্বন্ধেটি প্রতিসম নয়।

4. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ বিপ্রতিসম নয়? মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর এটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:A-র ওপর R সম্বন্ধ কি বিপ্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R বিপ্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R কিন্তু a ≠ b হয়।
A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর সংজ্ঞাত সম্বন্ধ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:
এখানে, (3,4) ∈ R এবং (4,3) ∈ R কিন্তু 3 ≠ 4
∴ সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম নয়।

Class XII Relation

5. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ নয়? মনে করো, A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয় R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}; A র ওপর R সম্বন্ধ কি সংক্রমণ?
Ans: কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R ওই সেটের ওপর সংক্রমণ হয় না যখন a, b, c ∈ A এমন হয় যে (a, b) ∈ R এবং (b, c ) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R হয়।
A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}
এখানে (2, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R কিন্তু ( 2, 2) ∉ R
∴ A র ওপর R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

6. কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R একই সঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হতে পারে কি?
Ans: a,b ∈ A হলে, (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R হলে সম্বন্ধটি প্রতিসম হবে।
আবার (a,b) ∈ R এবং (b,a) ∈ R
⇒ a = b হলে সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম হবে।
∴ কোন সেট A এর উপর একটি সম্বন্ধ R যদি,
(a, b) ∈ R
⇒ a = b আকারে সংজ্ঞাত হয় তবে A -এর ওপর R সম্বন্ধ একইসঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হবে ।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Class XII Relation

7. নীচে সংজ্ঞাত প্রত্যেকটি সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা নির্ণয় করো:
(i) R₁ = {(a. ¹/_a) : 0 < a <5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা}
Ans:
∵ 0 < a < 5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা
R₁-এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং
R₁-এর পাল্লা {1, ½, ⅓, ¼}

(ii) R₂ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4}
Ans:
x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4
∴ R₂= {(-1, -4), (1, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 1), (4, 1)}
R₂-এর ক্ষেত্র {-4, -2, -1, 1, 2, 4} এবং
R₂-এর পাল্লা {-4, -2, -1, 1, 2, 4}

(iii) R₃ = {(x, y) : x ∈ N, y ∈ N এবং 2x + y = 41 )
Ans:
∵ 2x + y = 41
বা, y = 41 – 2x
∴ R₃ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35),. . . . . (19, 3),(20, 1)}
∴ R₃ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3. . . . . 19, 20} এবং
R₃ -এর পাল্লা {39, 37, 35,. . . . . 3, 1}

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

(iv) R₄ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং x² + y² = 25}
Ans:
R₄ = {(x, y)! x ও y অখণ্ড সংখ্যা x² + y² = 25}
∵ x² + y² = 25
বা, y² = 25 – x²
বা, y = √(25 – x²)
∵ x ও y অখণ্ড সংখ্যা।
∴ x এর মান -5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 হলে,
y এর মান হবে যথাক্রমে 0, 3, 4, 5, 4, 3, 0
∴ R₄ = {(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)}
∴ R₄ -এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} এবং
R₄ -এর পাল্লা = {0, 3, 4, 5)

(v) R₅ = (( x – 5, 2x – 7 ) : x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা }
Ans:
x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ x = {1, 3, 5, 7, 9}
∴ R₅ = {(-4, -5),(-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)}
∴ R₅ -এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4} এবং
∴R₅ -এর পাল্লা {-5, -1, 3, 7, 11}
(vi) R₆ = {(x, x² – 31 ) : x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা}
Ans:
x হল 12 এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
∴ x = {2, 3, 5, 7, 11}
R6={(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18),(11, 90)}
∴ R₆ -এর ক্ষেত্র ={2, 3, 5, 7, 11} এবং
∴ R₆ -এর পাল্লা = {-27, -22, -6, 18, 90}

Class XII Relation

(vii) R₇ = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| <3 এবং y = |x-3|}
Ans:
x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x|< 3
∴ x = {-2, -1, 0, 1, 2}
y = |-2 – 3| = 5, |-1 – 3| = 4, |0 – 3| = 3, |1 – 3| = 2, |2 – 3| = 1
R₇ = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)}
∴ R₇-এর ক্ষেত্র = { -2, -1, 0, 1, 2} এবং
R₇-এর পাল্লা = {5, 4, 3, 2, 1}
(viii) S = {(x, y) : x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈N এবং x + 3y = 12}
∵ x+3y=12
বা, 3y = 12 – x
বা, y = ^{(12 – x)}/ ₃
x = 3, হলে y = 3
x = 6, হলে y = 2
x = 9, হলে y = 1
S = {(3, 3), (6, 2), (9, 1)}
∴ S এর ক্ষেত্র {3,6,9} এবং
S এর পাল্লা {3,2,1}

Class XII Relation

8. একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
সমতুল্যতা সম্বন্ধঃ শূন্য নয় এমন কোন সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি –
(i) R সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হয় অর্থাৎ ∀x ∈ A এর জন্য (x, x) ∈ R হয়;
(ii) R সম্বন্ধ A এর ওপর প্রতিসম হয় অর্থাৎ ∀x, y ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R হয় এবং
(iii) R সম্বন্ধ A ওপর সংক্রমণ হয় অর্থাৎ ∀x, y, z ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R হয়।

⛔ কোন সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেট △ এর ওপর R সম্বন্ধ সর্বদা স্বসম কারণ যে কোনো ত্রিভুজ সর্বদা তার নিজের সঙ্গে সদৃশ হবে।
অর্থাৎ △₁ ∈ △ এর জন্য (△₁, △₁) ∈ R
△₁, △₂∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R
⇒ △₁, এবং △₂ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₂, এবং △₁ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₂, △₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
△₁, △₂, △₃∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R এবং (△₂, △₃) ∈ R
⇒ △₁, ও △₂ এবং △₂, ও △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₁, এবং △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₁, △₃) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

9. A = {a, b, c} সেটের ওপর একটি সমৃদ্ধ R এমনভাবে সংজ্ঞাত করো, যাতে সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়।
Ans:
R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
(a, a), (b, b), (c, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ টি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ নয়।

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

10. মনে করো, A= (1, 2, 3) এবং A -এর উপর R = (1, 1), (2, 3), (3, 3)} একটি সম্বন্ধ। R-এর সঙ্গে (i) সবচেয়ে কম (ii) সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড়সমূহ যোগ করো যাতে পরিবর্ধিত সম্বন্ধ দুটির প্রতিটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
Ans:
(i) R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি সেটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়।
(2,2) ∉ R
∴ (2,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি স্বসম সম্বন্ধ হবে।
আবার, (2, 3) ∈ R কিন্তু ( 3, 2) ∉ R
∴ (3,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি প্রতিসম হবে।
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}
(2,3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R
⇒ (2,2) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন সম্মন্ধ ।
সবচেয়ে কম সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে R সম্বন্ধটিকে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2,2) এবং (3, 2) যোগ করতে হবে।

(ii) A সেটের ওপর সংজ্ঞাত সবচেয়ে বড় সমতুল্যতা সম্বন্ধ হল A×A
A×A = {(1,1), (2, 2), ( 3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}
সুতরাং, সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে সম্বন্ধটিতে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2, 2), (1, 2), (1, 3), ( 2, 1) (3,1), (3, 2) পদ্গুলি যোগ করতে হবে।

11. মনে করো, T₁, T₂, T₃ তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10 ; T₁, T₂, এবং T₃ ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ans:
সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
এখানে 3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটির বাহুগুলি পরস্পর সমানুপাতিক।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধযুক্ত।

August 8, 2023

যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA) S N DEY CHAPTER-3
সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA)
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA)
S N DEY CHAPTER-3
অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
1 মান নির্ণয় করোঃ
(i) cot660° + tan (-1050°) = cot660° – tan (1050°)
প্রদত্ত রাশিঃ
cot660° + tan (-1050°) = cot660° – tan (1050°)
= cot (7×90° + 30°) – tan(11 x 90° + 60°)
= – tan30° + cot60°
= -1/√3 + 1/√3
= 0
Ans: নির্ণেয় মান 0
(ii) sin²120° + cos²150° + tan²120° + cos 180° – tan135°
প্রদত্ত রাশিঃ
sin²120° + cos²150° + tan²120° + cos 180° – tan135°
= sin²(2×90° – 60°) + cos²(2×90°- 30°) + tan²(2×90° – 60°) + cos(2×90° + 0°) – tan(90° + 45°)
= sin²60° + cos²30° + tan²60° – cos0° – cot45°
= (√3/2)² + (√3/2)² (√3)2 – 1 +1
= ¾ + ¾ + 3
= ⁹/₂
Ans: নির্ণেয় মান ⁹/₂
(iii) sin420°cos390° – cos(-300°) sin(-330°)
প্রদত্ত রাশিঃ
sin420°cos390° – cos(-300°) sin(-330°)
= sin(4× 90° + 60°) cos (4x 90° + 30°) + cos300° sin330°
= sin60° cos30° + cos (4× 90° – 60°) sin (4×90° – 30°)
= sin60°cos30° – cos60° sin30°
= ^√3/₂ × ^√3/₂ – ½ × ½
= ¾ – ¼
= ²/₄
= ½
Ans: নির্ণেয় মান ½
$$\Large{\mathbf{(iv)\quad cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\frac{3π}{8}+cos^{2}\frac{5π}{8}+cos^{2}\frac{7π}{8}}}$$
$$\Large{\quad cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\frac{(4-1)π}{8}+cos^{2}\frac{(4+1)π}{8}+cos^{2}\frac{(8-1)π}{8}\\=cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\left(\frac{π}{2}-\frac{π}{8}\right)+cos^{2}\left(\frac{π}{2}+\frac{π}{8}\right)+cos^{2}\left(π-\frac{π}{8}\right)\\=cos^{2}\frac{π}{8}+ sin^{2}\frac{π}{8}+cos^{2}\frac{π}{8}+cos^{2}\frac{π}{8}\\=2(cos^{2}\frac{π}{8}+ sin^{2}\frac{π}{8})\\=2.1=2\\Ans:\quad 2}$$
(v) cos24° + cos55° + cos 125° + cos 204° + cos 300°

প্রদত্ত রাশিঃ
cos24° + cos55° + cos 125° + cos 204° + cos 300°
= cos24° + cos55° + cos (2.90° – 55°) + cos (2.90° + 24°) + cos (3.90° + 30°)
= cos24° + cos55° – cos55° – cos24° + sin30°
= sin30°
= ½
Ans: নির্ণেয় মান ½
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3
CLICK HERE
2. যদি θ + ϕ = 60° হয়, তবে দেখাও যে,
sin(120° – θ) = cos(30° – ϕ)
ANS:
∴ θ + ϕ = 60°
θ = 60° – ϕ
L.H.S.
= sin(120° – 60° + ϕ)
= sin(60° + ϕ)
= sin{90 – (30° – ϕ)}
= cos(30° – ϕ) = RHS (Proved)
3. প্রমাণ করো:
(i) sin45°cos65° + sin135°cos115° = 0

L.H.S.
= sin45°cos65° + sin135°cos115°
= sin45°cos65° + sin(2×90° – 45°)cos(2×90° – 65°)
= sin45°cos65° – sin45°cos65°
= 0 (R.H.S.) (Proved)
3. প্রমাণ করো:
$$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\frac{π}{12}tan\frac{5π}{12}tan\frac{7π}{12}tan\frac{11π}{12}=1}}$$
$$\Large{LHS\\= tan\frac{π}{12}tan\frac{5π}{12}tan\frac{7π}{12}tan\frac{11π}{12}\\=tan\frac{π}{12}×tan\frac{6π-π}{12}×tan\frac{6π+π}{12}×tan\frac{12π-π}{12}\\=tan\frac{π}{12}×tan\left(\frac{π}{2}-\frac{π}{12}\right)×tan\left(\frac{π}{2}+\frac{π}{12}\right)×tan\left(π-\frac{π}{12}\right)\\=tan\frac{π}{12}×cot\frac{π}{12}×(-cot\frac{π}{2})×(-tan\frac{π}{12})\\=1=RHS(Proved)}$$
3. প্রমাণ করো:
(iii) sec(270° – θ)sec(90° – θ) – tan(270° – θ)tan(90° + θ) = -1

LHS
= sec(270° – θ)sec(90° – θ) – tan(270° – θ)tan(90° + θ)
= sec(3×90° – θ)sec(90° – θ) – tan(3×90° – θ)tan(90° + θ)
= (-secθ)secθ – tanθ(-tanθ)
= – sec²θ + tan²θ
= – (sec²θ – tan²θ)
= – 1 = RHS (Proved)
3. প্রমাণ করো:
(iv) cos306° + cos234° + cos162° + cos18° = 0

LHS
= cos(3×90° + 36°) + cos(3×90° – 36°) + cos(2×90° – 18°) + cos18°
= sin36° – sin36° – cos18° + cos18°
= 0 = RHS (Proved)
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
4. tanθ = ⁵/₁₂ এবং sine ঋণাত্মক হলে cosθ-র মান নির্ণয় করো।
ANS:
$$\Large{tanθ = \frac{5}{12}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{25}{144}}\\\quad=±\sqrt{\frac{169}{144}}\\\quad=±\frac{13}{12}\\\therefore cosθ=±\frac{12}{13}}$$∵ tanθ = 5/12 এবং sine ঋণাত্মক, সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$\Large{∴ cosθ = -\frac{12}{13} \quad(ANS)}$$
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (MCQ) S N DEY CHAPTER-3 CLICK HERE
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3 CLICK HERE
July 5, 2023