Category: HS

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1 Click Here
Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 2 Click Here

বহু বিকল্পধর্মীঃ

1. একটি প্রদ্ত্ত ভেক্টর ā-র অভিমুখে একক ভেক্টর হবে –

$$\Large{a)\quad \frac{\vec{a}}{\vec{a}}\quad b)\quad \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}\quad c)\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\quad d)\quad \frac{|\vec{a}|}{\vec{a}}\\\mathbf{Ans:}\quad c)\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$

2. প্রদত্ত
(i) দুটি ভেক্টরের দিক বা অভিমুখ পরস্পর বিপরীত দিকে হলে তাদের সদৃশ ভেক্টর বলে।
(ii) দুটি অসদৃশ ভেক্টরের অভিমুখ পরস্পর বিপরীত দিকে হয়।
(iii) সদৃশ বা অসদৃশ ভেক্টরসমূহকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
তাহলে-
a) (ii) এবং (iii) সত্য b) (i) এবং (ii) সত্য
c) কেবলমাত্র (iii) সত্য d) (i) এবং (iii) সত্য
Ans: a) (ii) এবং (iii) সত্য

3. ā = OĀ এবং b̄ = ĀB হলে, ā + b̄ হবে—-

$$\Large{a)\quad \overrightarrow{BO}\quad b)\quad \overrightarrow{OB}\quad c)\quad \overline{OB}\quad d)\quad \overline{BO}\\\mathbf{Ans: }\quad b)\quad \overrightarrow{OB}\\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\⇒ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{a}\\⇒ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB})}$$

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

4. মনে করো, A ও B বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু C যদি A ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও c̄ হয় তবে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে —
a) ā + ½c̄ b) 2ā – c̄ c) ½ā + c̄ d) 2c̄ – ā
Ans: d) 2c̄ – ā
[ধরি, B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর b̄
∴ c̄ = ^{ā + b̄}/₂
বা, ā + b̄ = 2c̄
বা, b̄ = 2c̄ – ā]

5. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে, P̄Q =
a) ā + b̄ b) b̄ – ā c) ā – b̄ d) ^{ā + b̄}/₂
Ans: b) b̄ – ā
[P̄Q̄ = Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর – P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= b̄ – ā]

6. A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর – B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে—

$$\Large{a)\quad \overrightarrow{BA}\quad b)\quad |\overrightarrow{BA}|\quad c)\quad \overrightarrow{AB}\quad d)\quad |\overrightarrow{AB}|\\\mathbf{Ans:}\quad {a)\quad \overrightarrow{BA}}}$$

7. যদি r̄ = xā + yb̄ + zc̄ হয়, তবে নীচের কোনটি ā অভিমুখে r̄ -এর স্কেলার উপাংশ হবে?
a) |xā| b) y c) |yb̄| d) x
Ans: d) x

8. OP̄ = xî + yĵ + zk̂ হলে হলে নীচের কোনটি y -অক্ষ অভিমুখে OP̄ এর ভেক্টর উপাংশ হবে?
a) xî b) yĵ c) î d) ĵ
Ans: b) yĵ

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

8. যদি ᾱ = 2î + 3ĵ – 6k̂ এবং β̄ = pî – ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়, তবে p এর মান হবে—
a) ¹/₃ b) ²/₃ c) –²/₃ d) –³/₂
Ans: c) –²/₃
[ᾱ ও β̄ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ᾱ = mβ̄ – – – – [m ≠ 0]
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = m(pî – ĵ + 3k̂)
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = mpî – mĵ + 3mk̂
∴ 2 = mp | 3 = -m
বা, 2 = -3.p | বা, m = -3
বা, p = –²/₃]

9. যদি |mā| = 1 হয়, তবে নীচের কোনটি সঠিক?

$$\Large{a)\quad m=\frac{1}{|\vec{a}|}\quad b)\quad m=\pm\frac{1}{|\vec{a}|}\quad c)\quad \frac{1}{\vec{a}}\quad \\}$$d) এদের কোনোটিই নয়$$\large{\mathbf{Ans} \quad \quad b)\quad m=\pm\frac{1}{|\vec{a}|}\\}$$

[|mā| = 1
বা, |m|.|ā| = 1
বা, m = ± ¹/_|ā|]

10. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + k̂ এবং -3î – 4ĵ – 5k̂ হলে QP ভেক্টর হবে—
a) 5î + 4ĵ + 4k̂ b) 5î + 4ĵ + 6k̂
c) 5î – 4ĵ + 4k̂ d) –î – 4ĵ – 4k̂
Ans: b) 5î + 4ĵ + 6k̂
[Q̄P̄ = (P̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (Q̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
= (2î + k̂) – (-3î – 4ĵ – 5k̂)
= 2î + k̂ +3î + 4ĵ + 5k̂)
= 5î + 4ĵ + 6k̂

11. যদি OĀ = î – 2k̂ এবং OB̄ = 3î – 2ĵ হয়, তবে AB̄ ভেক্টরের দিক্ (direction) কোসাইনগুলি হবে —

$$\Large{a)\quad \frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3}\quad b)\quad 2,2,2\\c)\quad \frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}\quad d) \quad -\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3}\\\mathbf{Ans:}\quad \quad c)\quad \frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}}$$

[ĀB̄ = ŌB̄ _ ŌĀ
= ( î – 2k̂) – (3î – 2ĵ)
= î – 2k̂ – 3î + 2ĵ
= -2î + 2ĵ – 2k̂
|ĀB̄| = √(-2)² + (2)² + (-2)²
= √4 + 4 + 2
= √12 = 2√3
দিক্ কোসাইনগুলি হবে ^-2/_2√3 , ²/_2√3 , ²/_2√3 বা, ^-1/_√3 , ¹/_√3 , ¹/_√3]

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ

1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

Ans:
যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
A____________►___________B
একটি দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের মান ও অভিমুখ উভয়ই আছে বলে, দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের দ্বারা ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়। চিত্রে ĀB̄ সরলরেখাংশের দ্বারা একটি ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়েছে যার A বিন্দু প্রারম্ভিক বিন্দু এবং B̄ বিন্দু অন্তিম বিন্দু।

(ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান। [NCERT]

Ans:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।

$$\large{\therefore |\overrightarrow{a}|\\=\sqrt{(2)^2+(-5)^2+(3)^2}\\=\sqrt{4+25+9}\\=\sqrt{38}\\\therefore |\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(5)^2+(3)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{25+9+4}\\=\sqrt{38}}$$ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের মান সমান।

(iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ। [NCERT]

Ans:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।
b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂
= 2(2î – 5ĵ + 3k̂)
= 2ā
∵ b̄ = 2ā
∴ ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের অভিমুখ একই।

UNIT – 4
ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

সমতল Plane প্রশ্নমালা – 5A	▶️ CLICK HERE
ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা Straight Line in Three Dimensional Space প্রশ্নমালা – 4A	▶️ CLICK HERE
দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত Direction Cosines and Direction Ratios প্রশ্নমালা – 3	▶️ CLICK HERE
ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

2. কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর (position Vector)-এর সংজ্ঞা দাও। P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে ā ও b̄ এর মাধ্যমে P̄Q̄ ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans:
কোন একটি তলে O -কে একটি অনির্দিষ্ট বিন্দু ধরলে ŌP̄ ভেক্টরকে O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। প্রারম্ভিক বিন্দু O -কে নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দু বলা হয়।
P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ ;
P̄Q̄ = (Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
= b̄ – ā

3. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans:
ভেক্টরঃ যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
একক ভেক্টরঃ কোন নির্দিষ্ট অভিমুখে একটি ভেক্টরের মান (magnitude) বা মডিউলাস 1 হলে তাকে একক ভেক্টর বলে।
ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর

$$\Large{=\hat{a}=\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\\}$$

4. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং
b̄ = î – 2ĵ – 4k̂
3ā + 2b̄ = 3(2î – 5ĵ + 3k̂) + 2(î – 2ĵ – 4k̂)
= 6î – 15ĵ + 9k̂ + 2î – 4ĵ – 8k̂
= 8î – 19ĵ + k̂

$$\large{\therefore |3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(8)^2+(-19)^2+(1)^2}\\=\sqrt{64+361+1}\\=\sqrt{426}}$$

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

5. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

Solution:
ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং
b̄ = î + 2ĵ + k̂
∴ ā + b̄ = 2î + 3ĵ – 4k̂ + î + 2ĵ + k̂
= 3î + 5ĵ – 3k̂

$$\large{\therefore |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(3)^2+(5)^2+(-3)^2}\\=\sqrt{9+25+9}\\=\sqrt{43}}$$

6. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
2ᾱ – β̄ = 2(2î – 5ĵ + 4k̂) – (î – 4ĵ + 6k̂)
= 4î – 10ĵ + 8k̂ – î + 4ĵ – 6k̂
= 3î – 6ĵ + 2k̂
(2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর

$$\large{=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}}\\=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{9+36+4}}\\=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{49}}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})\quad \mathbf{ANS}}$$

7. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6 ĵ এবং 5 î + 5 ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

Solution:

$$\large{|-\hat{i}+\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(-1)^2+(1)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{1+1}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\\|-4\hat{i}-6\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{16+36}\right)^2=\left(\sqrt{52}\right)^2=52\\|5\hat{i}+5\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(5)^2+(5)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{25+25}\right)^2=\left(\sqrt{50}\right)^2=50\\\therefore |-\hat{i}+\hat{j}|^2+|5\hat{i}+5\hat{j}|^2=|-4\hat{i}-6\hat{j}|^2}$$ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু। (Proved)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

8. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5 î + ĵ, 5î + 5 ĵ এবং 10 î + 7 ĵ; দেখাও যে, A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + ĵ, 5î + 5ĵ এবং 10î + 7ĵ;
যেখানে O হল মূলবিন্দু।
ŌĀ = -5î + ĵ
ŌB̄ = 5î + 5ĵ
ŌC̄ = 10î + 7ĵ
∴ ĀB̄ = ŌB̄ – ŌĀ
= (5î + 5ĵ) – (-5î + ĵ)
= 10î + 4ĵ
B̄C̄ = ŌC̄ – ŌB̄
= (10î + 7ĵ) – (5î + 5ĵ)
= 5î + 2ĵ
∴ ĀB̄ = 2B̄C̄
A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

9. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

Solution:
A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + 7ĵ, -4î + 5ĵ এবং î – 5ĵ:
∴ ĀB̄ = (-4î + 5ĵ) – (-5î + 7ĵ)
= -4î + 5ĵ + 5î – 7ĵ
= î – 2ĵ
∴ B̄C̄ = (î – 5ĵ) – (-4î + 5ĵ)
= î – 5ĵ + 4î – 5ĵ
= 5î – 10ĵ
= 5(î – 2ĵ) = 5ĀB̄
∵ B̄C̄ = 5ĀB̄
∴ B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু ।
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ রেখাংশ একরেখীয়।
A, B ও C বিন্দু তিনটি একরেখীয়। (Proved)

10. ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ হলে, (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর এবং (2ā – b̄) ভেক্টরের অক্ষ দুটি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশ নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে, ā = î + ĵ এবং
b̄ = 4î – ĵ
∴ 2ā – b̄ = 2(î + ĵ) -(4î – ĵ)
= 2î + 2ĵ -4î + ĵ
= -2î + 3ĵ
(2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর

x অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ -2î (ANS)
y অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ (ANS)
x অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ -2 (ANS)
y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 3 (ANS)

$$\large{=\frac{-2\hat{i}+3\hat{j}}{\sqrt{(-2)^2+3^2}}\\=\frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\quad \mathbf{ANS}}$$

11. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ: P̄Q ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

Solution:
P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ:

$$\large{\overrightarrow{PQ}=(2\hat{i}-5\hat{j})-(8\hat{i}+3\hat{j})\\=2\hat{i}-5\hat{j}-8\hat{i}-3\hat{j}\\=-6\hat{i}-8\hat{j}\\\therefore|\overrightarrow{PQ}|\\=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}\\=\sqrt{36+64}\\=\sqrt{100}=10}$$

P̄Q x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে α কোন উৎপন্ন করলে,
cosα = ^-6/₁₀ = – ³/₅
বা, α = cos^-1(- ³/₅)
ANS: P̄Q ভেক্টরের মান 10 ও
দিক cos^-1(- ³/₅)

12. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
(i) ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং
(ii) ĀB রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ ;
∴ ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ – 2î + 5ĵ)}/₂
= ^{(2î + 2ĵ)}/₂
= î + 2ĵ
ANS: ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 2ĵ

(ii)
^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, AC রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{1(-2\hat{i}+5\hat{j})+2(4\hat{i}-3\hat{j})}{1+2}\\=\frac{-2\hat{i}+5\hat{j}+8\hat{i}-6\hat{j}}{3}\\=\frac{6\hat{i}-\hat{j}}{3}\\=2\hat{i}-\frac{1}{3}\hat{j}\quad\mathbf{Ans}}$$∴ D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{2(-2\hat{i}+5\hat{j})+1(4\hat{i}-3\hat{j})}{1+2}\\=\frac{-4\hat{i}+10\hat{j}+4\hat{i}-3\hat{j}}{3}\\=\frac{7}{3}\hat{j}\quad\mathbf{Ans}}$$

ANS: ĀB রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর 2î – ¹/₃ĵ এবং ⁷/₃ĵ

13. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর A(-î – 3ĵ), B(5î + 7ĵ) এবং C(2î + 5ĵ)
∴ মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{-î – 3ĵ + 5î + 7ĵ + 2î + 5ĵ}/₃
= ^{6î + 9ĵ}/₃
= 2î + 3ĵ
ANS: মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2î + 3ĵ

14. (i) pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p এর মান নির্ণয় করো।
(ii) ABC ত্রিভুজে AB ও BC বাহু যথাক্রমে 2î – ĵ + 2k̂ ও î + 3ĵ + 5k̂ ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা নির্ণয় করো।

Solution:
(i) pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ
∴ pî – 5ĵ = m(2î – 3ĵ) – – – [m ≠ 0]
⇒ pî – 5ĵ = 2mî – 3mĵ
∴ -5 = -3m
⇒ m = ⁵/₃
এবং p = 2m
বা, p = 2×⁵/₃ = ¹⁰/₃
ANS: p = ¹⁰/₃
(ii) ভেক্টর যোগের সূত্রের সাহায্যে পাই,
AB̄ + BC̄ + CĀ = 0
∴ CĀ = – (AB̄ + BC̄)
= – (2î – ĵ + 2k̂ + î + 3ĵ + 5k̂)
= – 3î – 2 ĵ – 7k̂
ANS: CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা হল – 3î – 2 ĵ – 7k̂

15. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3 ĵ – k̂ হলে AB ভেক্টরের মান ও তার দিক্‌ (direction) কোসাইনগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ – k̂

$$\large{\therefore\overrightarrow{AB}=(4\hat{i} -3\hat{j}-\hat{k})-(3\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k})\\\quad =\hat{i} -2\hat{j}-8\hat{k}\\\therefore|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-8)^2}\\\quad\quad=\sqrt{69}}$$

ANS:
AB ভেক্টরের মান √69
ও তার দিক্‌ কোসাইনগুলি হল-

$$\Large{\quad \frac{1}{\sqrt{69}},-\frac{2}{\sqrt{69}},-\frac{8}{\sqrt{69}}\\ }$$

September 10, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part I
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
1. দেখাও যে, বাস্তব সংখ্যাসমুহের সেটের ওপর সংজ্ঞাত “অপেক্ষা বড়ো” সম্বন্ধ সংক্রমণ, কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, R হল একটি বাস্তব সংখ্যার সেট এবং R সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R = {(x, y) : x > y, x এবং y ∈ R }
এখন, a ∈ R হলে
(a, a) ∉ R কারণ a, a-এর থেকে বড় নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R হলে
(b, a) ∉ R কারণ a, b এর থেকে বড় হলে b, a থেকে বড় হতে পারে না।
∴ (a, b) ∈ R
⇒ (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
ধরি, a, b, c ∈ R
(a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
⇒ a > b এবং b > c
⇒ a > c
⇒ (a, c) ∈ R
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
2. প্রমাণ করো যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাসমূহের সেট L এর ওপর সংজ্ঞাত “l₁ সরলরেখা l₂ এর ওপর লম্ব, l₁,l₂ ∈ L” সম্বদ্ধ L-এর ওপর প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
L= কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখা সমূহের সেট।
প্রদত্ত সম্বন্ধটি R হলে,
R = {(l₁, l₂) : l₁ ⊥ l₂, এবং l₁, l₂ ∈ L}
(l₁, l₂) ∈ R
⇒ l₁, l₂এর ওপর লম্ব
⇒ l₂, l₁এর ওপর লম্ব
⇒ (l₂, l₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
ধরি, l₁∈ L;
কোনো সরলরেখা তার নিজের উপর লম্ব হতে পারে না।
∴ (l₁,l₁) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার ধরি, l₁, l₂, l₃∈ L
(l₁, l₂) ∈ R এবং (l₂, l₃) ∈ R
⇒ l₁ ⊥ l₂
⇒ l₂ ⊥ l₃
⇒ l₁ ∥ l₃
⇒ ( l₁, l₃) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
3. R = {(x, y) : y, x দিয়ে বিভাজ্য, x, y ∈ N} যে-কোনো সংখ্যা x ∈ N-এর জন্য, x সংখ্যাটি সর্বদা x দিয়ে বিভাজ্য হবে।
Ans:
যেকোনো সংখ্যা সর্বদা সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ N
∴ R একটি স্বসম সম্বন্ধ।
ধরি , x, y, z ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ y = ax, a ∈ N এবং z = by, b ∈ N
⇒ z = b(ax) = (ab)x, ab ∈ N
⇒ z, x দ্বারা বিভাজ্য
⇒(x, z) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ (x, z) ∈ R, ∀x, y, z ∈ N
∴ R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 6, 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ, (3, 6) ∈ R কিন্তু 3, 6 দিয়ে বিভাজ্য নয়।
∴ (3, 6) ∈ R
⇒ (6, 3) ∉ R
∴ R প্রতিসম নয়।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।
4. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + y = 12 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
প্রমাণ করো যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
R = {(x, y) : x + y = 12, x, y ∈ N}
ধরা যাক, x, y ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে,
(x, y) ∈ R
⇒ x + y = 12
⇒ y + x = 12 [∵ x + y = y + x, ∀x, y ∈ N]
⇒ (y, x) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R ∀x, y ∈ N
∴ R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 7 ∈ N কিন্তু
7 + 7 = 14 ≠ 12 ⇒ (7, 7) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(5, 7) ∈ R এবং (7, 5) ∈ R কিন্তু (5, 5) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
5. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংঘাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
দেখাও যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
(x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R, x, y ∈ N
⇒ x + 2y = 10 এবং y + 2x = 10
⇒ x + 2y = y + 2x
⇒ x = y
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R,
⇒ x = y, x, y ∈ N
∴ N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
6. মনে করো, সব সেটসমূহের সেট S এবং S-এর ওপর R সম্বন্ধের সংজ্ঞা হয় X ⊆ Y, সব X, Y ∈ S -এর জন্য। দেখাও যে, S-এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম এবং সংক্রমণ, কিন্তু প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, x ∈ R x ⊆ x যেহেতু প্রতিটি সেট তার নিজের সাবসেট।
∀x ∈ S, (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
আবার, x, y ∈ S এবং x ⊆ y
x ⊆ y হলে y ⊆ x সম্ভব নয়।
(x, y) ∈ R
⇒ (y, x) ∉R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ S
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ x ⊆ y এবং y ⊆ z
⇒ x ⊆ z
⇒ (x, z) ∈
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
7. অখণ্ড সংখ্যাসমূহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y) এর মান জোড় }
প্রমাণ করো যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y ) = 2k,
∀x ∈ Z, x − x = 0 = 0.2
⇒ (x, x) ∈ R, x ∈ Z
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
ধরি, (x, y) ∈ R
⇒ x – y = 2k যেখানে k ∈ Z
⇒ y – x = 2.(-k) যেখানে, – k ∈ Z
∴ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = 2k, k ∈ Z
⇒ (y – z) = 2m, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = 2k + 2m = 2(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
8. (i) সব অখন্ড সংখ্যাসমুহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
দেখাও যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
∀x ∈ Z
x – x = 0 যা n দিয়ে বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R, x, y ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – x) = n(-k), k ∈ Z
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – z) = nm, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = nk + nm = n(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
(ii) মনে করো, সব বহুভুজসমূহের সেট A; A-তে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয়, R = {(P₁, P₂ ) : P₁ ও P₂ -এর সমসংখ্যক বাহু আছে}। দেখাও যে, R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। 3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসমূহের সেট নির্ণয় করো।
Ans: A বহুভুজের সেট।
R = {(P₁, P₂ ) : P₁ ও P₂ -এর সমসংখ্যক বাহু আছে, P₁, P₂ ∈ R}
P₁ ∈ R এর জন্য P₁ এর বাহুসংখ্যা P₁ এর সমান হয়।
∴ (P₁, P₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
∀P₁, P₂ ∈ A
P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₂ এর বাহুসংখ্যা
(P₁, P₂ ) ∈ R
⇒ (P₂, P₁ ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
∀P₁, P₂, P₃∈ A এর জন্য
(P₁, P₂ ) ∈ R এবং (P₂, P₃ ) ∈ R
⇒ P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₂ এর বাহুসংখ্যা এবং P₂ এর বাহুসংখ্যা = P₃ এর বাহুসংখ্যা
⇒ P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₃ এর বাহুসংখ্যা
⇒ (P₁, P₃ ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের বাহুসংখ্যা 3
সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসংখ্যা 3 যা যেকোনো ত্রিভুজের পদসংখ্যা।
A সেটটি হল সমস্ত ত্রিভুজসমূহের সেট।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
9. মনে করো, কোনো সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু। P ও Q এর মধ্যে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়। দেখাও যে, সংজ্ঞাত S সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: কোনও সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু।
OP = OQ
∴ ওই সমতলে সব বিন্দু P এর জন্য OP = OP হবে
⇒ (P,P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
আবার ওই একই সমতলে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়।
∴ OP = OQ
⇒ OQ = OP
∴(P,Q) ∈ S এবং (Q, P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ওই সমতলে তিনটি বিন্দু P,Q, R এমনভাবে নেওয়া হল যেন (P,Q) ∈ S এবং (Q,R) ∈ S হয়
∴ OP = OQ এবং OQ = OR
⇒ OP = OR
⇒ (P,R) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
10. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x= ±y}
দেখাও যে, R-র ওপর S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x = ±y}
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x এর জন্য x = +x
(x, x) ∈ S, ∀x ∈ R
∴ S একটি স্বসম সম্বন্ধ ৷
আবার ধরা যাক, (x, y) ∈ S এবং x = ±y
∵ x = ±y
⇒ y = ±x
⇒ (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ধরা যাক, x, y, z ∈ R, (x, y) ∈ S এবং (y, z) ∈ S
∵ x = ±y এবং y = ±z
⇒ x = ±z
⇒ (x, z) ∈ S
∴ S একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
11. একটি প্রদত্ত সেট A-এর ওপর ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও ।
Ans:
ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
I_A= {(x, x) : x ∈ A} সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে বৃহত্তম সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর সার্বিক সম্বন্ধ হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
A×A = {(x, y) : x, y ∈ A} সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
12. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x² + y² = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
R-এর ওপর S সম্বন্ধটির (i) স্বসমতা (ii) প্রতিসাম্য এবং (iii) সংক্রমিতা পরীক্ষা করো।
সমাধান:
(i) স্বসমতা
S = {(x, y) : x² + y² = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
S= {(x, y) : x2 + y2 = 1, x, y ∈ R }
∴ 1² +1² = 2 # 1
(1, 1) ∉ S
∴ S স্বসম নয়৷
(ii) প্রতিসাম্য
ধরি, (x, y) ∉ S
⇒ x² + y² = 1
⇒ y² + x² = 1
⇒ (x, y) ∈ S এবং (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(iii) সংক্রমিতা
$$\large{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2\\=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\\⇒\left(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)∈S}$$ এবং $$\large{\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2\\=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\\⇒\left(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)∈S}$$ কিন্তু $$\large{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2\\=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}≠1\\⇒\left(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)∉S}$$ ∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
13. মনে করো, A = {a, b, c} একটি প্রদত্ত সেট A-র ওপর একটি সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করো যাতে A -র ওপর সম্বন্ধটি:
(i) স্বসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₁ = {(a, a),(b, b),(c, c),(b, a)}(a, a),(b, b),(c, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, a), (a, a) ∈ R₁
⇒ (b, a) ∈ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
(b, a) ∈ R₁ কিন্তু (a, b) ∉ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ নয়।

(ii) স্বসম এবং প্রতিসম হয় কিন্তু সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₂ = {(a, a), (b, b), (c. c), (b, c), (c. b), (a, b), (b. a)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, c) ∈ R₂
⇒ (c, b) ∈ R₂
এবং (a, b) ∈ R₂
⇒ (b, a) ∈ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি প্রতিসম
(a, b), (b, c) ∈ R₂ কিন্তু (a, c) ∉ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(iii) প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু স্বসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R_₃
R₃ = {(b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}
(b, c) ∈ R₃
⇒ (c, b) ∈ R₃
∴ R₃সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(b, c), (c, b) ∈ R₃
⇒ (b, b) ∈ R₃
∴ R₃ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R₃
∴ R₃ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।

(iv) স্বসম কিন্তু প্রতিসম কিম্বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R_₄
R_₄ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(a, b) ∈ R_₄ কিন্তু (b, a) ∉ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R_₄ কিন্তু (a, c) ∉ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
(v) প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₅
R₅ = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}
(a, b) ∈ R₅ ⇒ (b, a) ∈ R₅
(b, c) ∈ R₅ ⇒ (c, b) ∈ R₅
∴ R₅ সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(a, a) ∉ R₅
∴ R₅ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b), (b, a) ∈ R₅ (a, a) ∉ R₅
∴ R_₄ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(vi) সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₆
R₆ = {(a, b), (b, b)}
(a, b), (b, b) ∈ R₆ ⇒ (b, b) ∈ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R₆ এবং (c, c) ∉ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R₆ কিন্তু (b, a) ∉ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।

(vii) স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₇
R₇ = {(a, b), (b, c ), (c, a )}
(a, a) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R₇ কিন্তু (b, a) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R₇ কিন্তু (a, c) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(viii) একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₈
R₈ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, a)}
এখানে ∀a, b, c ∈ A,
(a, a), (b, b), (c, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R₈ সম্বন্ধটি স্বসম।
∀a, b, c ∈ A
(a, b) ∈ R₈ ⇒ (b, a) ∈ R₈ ,
(b. c) ∈ R₈ ⇒ (c. b) ∈ R₈
(c, a) ∈ R₈ ⇒ (a, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R₈ সম্বন্ধ প্রতিসম।
আবার, ∀a, b, c ∈ A,
(a, b) ∈ R₈, (b, c) ∈ R₈ ⇒ (a, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
A সেটের ওপর সম্বন্ধ R₈ সংক্রমণ ।
∴ A সেটের ওপর সংজ্ঞায়িত সম্বন্ধ R₈ একটি সমতুলাতা সম্বন্ধ।
আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।
14. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ N নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয় :
R={(x,y): x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ টি স্বসম ,সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়।
সমাধান:
R={(x,y) : x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
যেকোন সংখ্যা সেই সংখ্যার গুণিতক হয়।
⇒(x,x) ∈ R, ∀x ∈ N,
∴ R সম্বন্ধ টি স্বসম ৷
ধরি (x,y) ∈ R এবং (y,x) ∈ R
যেখানে x = yk এবং y = xl, এবং k, l ∈ N
এখন y = xl
⇒ y= (yk)l
⇒ y= y(kl)
⇒ 1 = kl
⇒ k = l = 1
∴ x = y
∴ (x,y) ∈ R (y,x) ∈ R
⇒ x=y
∴ R সম্বন্ধটি বিপ্ৰতিসম
আবার ধরি, x,y,z ∈ N এবং (x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
∴ x = yk এবং y = zl, k, I ∈ N
∴ x = yk
⇒ x = (zl)k
⇒ x = z(lk)
⇒ x = zm, যেখানে m = lk ∈ N
∴ (x,z) ∈ R
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
⇒ (x,z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ ৷
আবার (10,5) ∈ R কিন্তু (5,10) ∉ R, ∵ x, y -এর গুণিতক।
∴ R প্রতিসম নয়।
15. মনে করো একটি সেট A এর ওপর R ও S দুটি সম্বন্ধ। যদি
(i) R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হয় তবে প্রমান করো যে RUS এবং R∩S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হবে।
(ii) R স্বসম এবং S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ হয় তবে প্রমান করো যে RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হবে।
(iii) R ও S উভয় A এর ওপর সংক্রমণ হয় তবে প্রমান করো যে R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ কিন্তু RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
(i) সমাধান:
ধরি, (x,y) ∈ RUS যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R অথবা (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R অথবা S এবং (y, x) ∈ R অথবা S
⇒ (y,x) ∈ RUS
∴ RUS A এর ওপর প্রতিসম । (প্রমানিত)

ধরি, (x,y) ∈ R∩S যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
⇒ (y, x) ∈ R এবং ( y,x) ∈ S
⇒ (y,x) ∈ R∩S
∴ R∩S A এর ওপর প্রতিসম। (প্রমানিত)

(ii) সমাধান:
(ii) A সেটের ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ,
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A এর জন্য,
⇒ (x,x) ∈ RUS, ∀x ∈ A এর জন্য, যেখানে S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ ।
RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম। (প্রমানিত)

(iii) সমাধান:
(iii) ধরি, (x,y),(y,z) ∈ R∩S এবং x,y,z ∈ A
R ও S উভয়েই A এর ওপর সংক্রমণ
∴ (x,y), (y,z) ∈ R এবং (x,y), (y,z) ∈ S
⇒ (x,z) ∈ R এবং (x,z) ∈ S,
⇒ (x,z) ∈ R∩S
R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ।
আবার ধরি, x,y,z ∈ A যেখানে
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ S কিন্তু (x,z) ∉ R এবং (x,z) ∉ S
∴ (x,y), (y,z) ∈ RUS কিন্তু (x,z) ∉ RUS
∴ RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
16. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয়ঃ
(x, y) ∈ R ⇒ x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা, সব x, y ∈ N এর জন্য দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম।
সমাধান:
R = {(x, y) : x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা এবং x, y ∈ N}
∀x ∈ N, (x, x) ∈ R
⇒ x – x + √3 = √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
∴ N এর ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ ।
August 27, 2023

Category: HS

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

বহু বিকল্পধর্মীঃ

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

(ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান। [NCERT]

(iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ। [NCERT]

UNIT – 4ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

3. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

4. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

5. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

6. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

7. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6 ĵ এবং 5 î + 5 ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

8. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5 î + ĵ, 5î + 5 ĵ এবং 10 î + 7 ĵ; দেখাও যে, A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

9. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

11. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ: P̄Q ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

13. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

UNIT – 4
ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।