Category: HS

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1 CLICK

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়।
[x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার
= ^lim_△x→0 ^Δy/_Δx
= ^dy/_dx = f'(x)]

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

Ans: (c) –¹/₁₆
[y = ¹/_√x+1
= (x + 1)^–¹/₂
^dy/_dx = –¹/₂(x + 1)^–¹/₂-1
= –¹/₂(x + 1)^–³/₂
[^dy/_dx]_{_x=3} = –¹/₂(3 + 1)^–³/₂
= –¹/₂(2²)^–³/₂
= –¹/₂ x ¹/₂^₃
= –¹/₂ x ¹/₈
= –¹/₁₆]

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

Ans: (a) -6
[y = 2x – x²
^dy/_dx = 2 – 2x
[^dy/_dx]_{_x=4} = 2 – 2×4
= 2 – 8 = -6]

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

Ans: (c) cotx
[ধরি, y = f(x) = Log sinx
f'(x) = ¹/_sinx x cosx
= cotx]

6. 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট কোনো একটি বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য পরিমাপে ত্রুটির পরিমান 0.05 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল পরিমাপে আসন্ন ত্রুটির পরিমাপ হবে-
(a) 0.5 বর্গসেমি (b) 0.1 বর্গসেমি
(c) 0.2 বর্গসেমি (d) 1 বর্গসেমি

Ans: (d) 1 বর্গসেমি
[ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a = 0.05
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
= 2 x 10 x 0.05
= 1 বর্গসেমি]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

(i)
Solution:
y = x³ – 3x² + 2x
^dy/_dx= 3x² – 3 × 2x + 2
= 3x² – 6x + 2
∴ dy = (3x² – 6x + 2) dx (Ans)

(ii)
Solution:
y = e^x² + a²
^dy/_dx= e^x² × 2x
= 2xe^x²
∴ dy = 2xe^x² dx (Ans)

(iii)
Solution:
y = sin√x
^dy/_dx= cos√x × ¹/_2√x
= ^cos√x/_2√x
∴ dy = ^cos√x/_2√x dx (Ans)

(iv)
Solution:
y = e^x(sinx + cosx)
^dy/_dx= e^x(sinx + cosx) + e^x(cosx – sinx)
= e^xsinx + e^xcosx + e^xcosx – e^xsinx
= 2e^xcosx
∴ dy = 2e^xcosx dx (Ans)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

(i)
Solution:
d(x² – y²)
= 2x dx – 2y dy (Ans)

(ii)
Solution:
d(xy²)
= x.2ydy + y².dx
= 2xydy + y²dx (Ans)

(iii)
Solution:
d(^x²/_y)
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{2xydx – x².dy}/_y²

(iv)
Solution:
d(x²siny)
= x².cosydy + siny.2xdx
= x²cosydy + 2xsinydx (Ans)

3. y = x²– 2x + 3 অপেক্ষকের বৃদ্ধি (Increment) ও অবকল (differential) নির্ণয় করে, যখন
(i) x -এর মান 2 থেকে 2.02-এ পরিবর্তিত হয়
(ii) x -এর মান 3 থেকে 2.97-এ পরিবর্তিত হয়।

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.02 – 2 = 0.02
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.02) – f(2)
= (2.02)²– 2×2.02 + 3 – (2²– 2×2 + 3)
= 4.0804– 4.04 + 3 – 4+ 4 – 3
= 0.0404 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×2 – 2)×0.02
= 2×0.02 = 0.04 (Ans)

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.97 – 3 = -0.03
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.97) – f(3)
= (2.97)²– 2×2.97 + 3 – (3²– 2×3 + 3)
= 8.8209– 5.94 + 3 – 9+ 6 – 3
= 2.8809– 3
= -0.1191 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×3 – 2)×(-0.03)
= -4×0.03 = -0.12 (Ans)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
y = x²
⇒ ^dy/_dx = 2x
x = 2 হলে y = (2)² = 4
x = 5 হলে y = (5)² = 25
∴ Δx = 5 – 2 = 3
Δy = 25 – 4 = 21
y = 25 যখন, x=5 .. Ax=5-2=3, Ay=25-4=21
∴ গড় পরিবর্তন = ^Δy/_Δx
= ²¹/₃ = 7 (Ans)
[^dy/_dx]_{_x=2} = 2.2 = 4
x=2-তে পরিবর্তনের হার = 4 (Ans)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

5. গোলকাকৃতি খেলনা বেলুনকে যখন ফোলানো হয়, তখন তার আয়তন V (ঘনইঞ্চিতে) এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল S (বর্গইঞ্চিতে) সময় t -এর অপেক্ষক হয়, যেখানে, V = ^π/₆t³ এবং S = πt² । t = 4 -এ আয়তন এবং ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
V = ^π/₆t³
⇒ ^dV/_dt = ^π/₆ × 3t²
= ^π/₂t²
[^dV/_dt]_{_t=4} = ^π/₂ × (4)²
= ^π/₂ × 16
= 8π
Ans: t = 4 -এ আয়তন পরিবর্তনের হার 8π ঘনইঞ্চি/সেকেন্ড ।
আবার
S = πt²
⇒ ^dS/_dt = π × 2t
= 2πt
[^dS/_dt]_{_t=4} = 2π × 4
= 8π
Ans: t = 4 -এ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার 8π বর্গইঞ্চি/সেকেন্ড।

6. (i) একটি বল t সেকেন্ড সময়ে s ফুট দুরত্ব অতিক্রম করে, যেখানে s = 8t – 10t² ; t = 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ নির্ণয় করো।
(ii) t সেকেন্ড সময়ে কোনো কণার বেগ, প্রতি সেকেন্ড v ফুট হলে v= 6t² – 2t³ হয়; t = 4 সেকেন্ড সময়ে কণার ত্বরণ নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
s = 8t – 10t²
⇒ ^ds/_dt = 8 – 10 × 2t
= 8 – 20t
[^ds/_dt]_{_t=2} = 8 – 20 × 2
= 8 – 40
= -32
Ans: 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ হবে -32 ফুট/সেকেন্ড ।
(ii)
Solution:
v = 6t² – 2t³
⇒ ^dv/_dt = 6 × 2t – 2×3t²
= 12t – 6t²
[^dv/_dt]_{_t=4} = 12 × 4 – 6(4)²
= 48 – 96
= -48
Ans: 4 সেকেন্ড সময়ে কণাটির ত্বরণ হবে -48 ফুট/সেকেন্ড² ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

$$\large{s=\frac{t}{\sqrt{t+1}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{1.\sqrt{t+1}-t.\frac{1}{2\sqrt{t+1}}}{(\sqrt{t+1})^2}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{2.(t+1)-t}{2.(t+1)(t+1)^{\frac{1}{2}}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{t+2}{2.(t+1)^{\frac{3}{2}}}}$$ t = 3 -এ s -এর t -এর সাপেক্ষে s এর পরিবর্তনের হার$$\large{\left[\frac{ds}{dt}\right]_{t=3}=\frac{3+2}{2.(3+1)^{\frac{3}{2}}}\\\quad \quad= \frac{5}{2.(2^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{5}{16}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

8. তাপ প্রয়োগের ফলে একটি বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেন্ডে 0.002 সেমি বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 14 সেমি তখন পাতের ক্ষেত্রফল কী হারে বৃদ্ধি পায়?

Solution:
ধরি, বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
ক্ষেত্রফল (A) = πr²
এখানে ^dr/_dt = 0.002
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=14} = 2 × ²²/₇ × 14 × 0.002
= 2×22×2×0.002
= 0.176
Ans:পাতের ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে 0.176 বর্গসেমি বৃদ্ধি পায়।

9. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার ¹/_π ; যে সময়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 একক, তখন (i) তার পরিধির দৈর্ঘ্যের (ii) তার ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিধি S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিধি (S) = 2πr একক
এখানে ^dr/_dt = ¹/_π
(i)
S = 2πr
⇒ ^dS/_dt = 2π × ^dr/_dt
[^dS/_dt]_{_r=2} = 2π × ¹/_π
= 2
Ans: বৃত্তের পরিধির পরিবর্তনের হার 2 একক।
(ii)
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=2} = 2π× 2 × ¹/_π
= 4
Ans: বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার 4 বর্গএকক।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তনের হার 4 এবং প্রতি সেকেন্ডে y -এর পরিবর্তন 12 একক হলে প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন নির্ণয় করো।

Solution:
প্রদত্ত ^dy/_{dx =}4 এবং ^dy/_dt = 12
∴ ^dx/_dt = ^dx/_dy × ^dy/_dt
=¹/_^dy/dx × ^dy/_dt
= ¹/₄× 12 = 3
Ans: প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন 4 একক

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

Solution:
গোলকের ব্যাসার্ধ r একক, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক হলে,
S = 4πr²
^dS/_dt = 4π×2r × ^dr/_dt – – – (i)
এবং
V = ⁴/₃ πr³
^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt – – – (ii)
(ii) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,

$$\large{\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{\frac{4}{3}.π.3r^2\frac{dr}{dt}}{4π.2r.\frac{dr}{dt}}\\⇒\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{r}{2}\\⇒2\frac{dV}{dt}=r\frac{dS}{dt}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, f(x) = ^⁴√x
= x^¹/₄
∴ f'(x) = ¹/₄ x^{^-3/₄}
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = x^¹/₄ + ¹/₄ x^{^-3/₄} .△x
x = 625 এবং △x = 2 বসিয়ে পাই,
f(625 + 2) = (625)^¹/₄ + ¹/₄ (625)^{^-3/₄} × 2
⇒ f(627) = (5⁴)^¹/₄ + ¹/₄ (5⁴)^{^-3/₄} × 2
= 5 + ¹/₄ × ¹/₁₂₅ × 2
= 5 + ¹/₂₅₀
= 5 + 0.004
= 5.004

Ans: ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 5.004

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

Solution:
ধরি, f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = sinx + cosx .△x
x = 60° এবং △x = 2° বসিয়ে পাই,
f(60° + 2°) = sin60° + cos60° × 2°
⇒ f(62°) = ^√3/₂ + ¹/₂ × 2× 0.017 – – – [1° = 0.017]
= 0.866 + 0.017
= 0.883
Ans: sin62° -এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 0.883

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

Solution:
ধরি, f(x) = log_ex
∴ f'(x) = ¹/_x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = log_ex + ¹/_x .△x
x = 10 এবং △x = 0.01 বসিয়ে পাই,
f(10 + 0.01) = log_e10 + ¹/₁₀ × (0.01)
⇒ f(10.01) = 2.303 + 0.001 – – – [log_e10 = 2.303]
= 2.304
Ans: log_e10.01 -এর মান 2.304

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

Solution:
ধরি, f(x) = tanx
∴ f'(x) = sec²x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = tanx + sec²x .△x
x = 44° এবং △x = -1° বসিয়ে পাই,
f(45° – 1°) = tan45° + sec²45° × (-1°)
⇒ f(44°) = 1 + (√2)² × (-0.017451) – – – [1° = 0.017451]
= 1 – 2 × 0.017451
= 1 – 0.034912
= 1 – 0.0349
= 0.9651
Ans: tan44° -এর মান 0.9651

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48

(i)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 25 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(25 + 1) = √25 + ¹/_2√25 ×1
⇒ f(26) = 5 + ¹/₁₀
= 5 + 0.1
= 5.1
Ans: √26 -এর আসন্ন মান 5.1

(ii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.25 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.25 – 0.01) = √0.25 + ¹/_2√0.25 × (-0.01)
⇒ f(0.24) = 0.5 – ¹/_2×0.5× 0.01
= 0.5 – ¹/₁× 0.01
= 0.5 – 0.01
= 0.49
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.49

(iii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 36 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(36 + 1) = √36 + ¹/_2√36 ×1
⇒ f(37) = 6 + ¹/₁₂
= 6 + 0.0833
= 6.0833
Ans: √37 -এর আসন্ন মান 6.0833

(iv)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.49 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.49 – 0.01) = √0.49 + ¹/_2√0.49 × (-0.01)
⇒ f(0.48) = 0.7 – ¹/_2×0.7× 0.01
= 0.7 – ¹⁰/₁₄× 0.01
= 0.7 – ¹/₁₄₀
= 0.7 – 0.0071
= 0.6929
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.6929

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

6. (i) f(x) = 3x² + 15x + 5 হলে, f(3.02) -এর আসন্ন মান নির্ণয় করো। [NCERT, CBSE]
(ii) যদি y = x⁴ – 12 হয়, এবং x-এর মান 2 থেকে পরিবর্তিত হয়ে 1.99 হয়, তবে y-এর আসন্ন পরিবর্তন কত? [CBSE ’02]

(i)
Solution:
f(x) = 3x² + 15x + 5
f'(x) = 3.2x + 15
= 6x + 15
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = 3x² + 15x + 5 + (6x + 15).△x
x = 3 এবং △x = 0.02 বসিয়ে পাই,
f(3 + 0.02) = 3(3)² + 15.3 + 5 + (6.3 + 15)×0.02
⇒ f(3.02) = 27 + 45 + 5 + (18 + 15)×0.02
= 77 + 33×0.02
= 77 + 0.66
= 77.66
Ans: f(3.02) -এর আসন্ন মান 77.66

(ii)
Solution:
y = x⁴ – 12
⇒ ^dy/_dx = 4x³
এখানে, △x = 1.99 – 2 = -0.01
∴ △y = ^dy/_dx × △x
= 4x³ × △x
= 4(2)³ × -0.01
= 32 × -0.01
= -0.32
Ans: y-এর আসন্ন পরিবর্তন -0.32

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, ^△a/_a × 100 = 5
বা, △a = ^5a/₁₀₀
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × ^5a/₁₀₀
= ^15a³/₁₀₀
আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি

$$\large{=\frac{△V}{V}×100\\=\frac{\frac{15a^3}{100}}{a^3}×100\\= \frac{15a^3}{100a^3}×100\\=15}$$ ঘনকের আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি 15 Ans

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

8. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a < 0.01
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
∵ △a < 0.01
⇒ 2a x △a < 2a x 0.01
⇒ △A < 2a x 0.01
ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হলে,
2a x 0.01 ≤ 2 হবে
⇒ a x 0.01 ≤ 1
⇒ a x ¹/₁₀₀ ≤ 1
⇒ a ≤ 100
সর্বাধিক 100 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব। (Ans)

9. অবকলনের পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
(i) 7 সেমি ও 7.02 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের এবং
(ii) 4 সেমি ও 4.05 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
∴ A = πr²
⇒ ^dA/_dr = 2πr
এখানে, r = 7
r + △r = 7.02
বা, △r = 7.02 – 7 = 0.02
∴ △A = ^dA/_dr × △r
= 2πr × △r
= 2π × 7 × 0.02
= 2 ×²²/₇ × 7 × ²/₁₀₀
= 0.88
Ans: দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের আসন্ন মান 0.88 সেমি।

(ii)
Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, a = 4
a + △a = 4.05
বা, △a = 4.05 – 4 = 0.05
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × △a
= 3(4)² × 0.05
= 48 × 0.05
= 2.4
Ans: দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান 2.4 সেমি।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হলে, প্রমাণ করো যে, তার পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিসীমা S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিসীমা (S) = 2πr একক
∵ ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হয়।
ধরি, ^dA/_dt = k (ধ্রুবক)
∵ A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr ^dr/_dt
⇒ k = 2πr ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ^k/_2πr
⇒ ^dr/_dt = ^k/_S
⇒ ^dr/_dt = k × ¹/_S – – – [S = 2πr]
⇒ ^dr/_dt ∝ ¹/_S
Ans: বৃত্তের পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

11. একটি কণা y² = 8x অধিবৃত্ত বরাবর গতিশীল। অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুতে কণার ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, (h, k) বিন্দুতে ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান।
∴ ^dh/_dt = ^dk/_dt
প্রদত্ত,y² = 8x
∴ k² = 8h – – – [(h, k) বিন্দু অধিবৃত্তের উপরিস্থিত]
⇒ 2k ^dk/_dt = 8 ^dh/_dt
⇒ 2k = 8 – – – [^dk/_dt = ^dh/_dt]
⇒ k = 4
∴ 8h = (4)²
বা, h = 2
Ans: নির্ণেয় বিন্দুটি হল (2,4)

12. একটি গোলাকৃতি বেলুনের মধ্যে প্রতি সেকেণ্ডে 25 ঘনসেমি হারে বায়ু পূর্ণ করা হয়। যখন তার ব্যাস 20 সেমি, তখন তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পাবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dV/_dt = 25
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 4πr² × ^dr/_dt
r = ²⁰/₂ = 10 সেমি হলে,
⇒ 25 = 4π(10)² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 400π × ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ²⁵/_400π
⇒ ^dr/_dt = ¹/_16π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে ব্যাসার্ধ থেকে ¹/_16π বৃদ্ধি পাবে।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

13. বায়ুপূর্ণ একটি গোলকাকৃতি বেলুন থেকে বায়ু বার করে দিয়ে ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেণ্ডে ¹/₈ সেমি হ্রাস পায়। যখন ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন কী হারে বেলুন থেকে বায়ু বেরোবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dr/_dt = ¹/₈
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² .¹/₈
⇒ ^dV/_dt = ¹/₂πr²
∴ [^dV/_dt]_{_r=10} = ¹/₂π(10)²
= 50π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে বেলুন থেকে 50π ঘনসেমি বায়ু বেরোবে।

14. একটি একক ঘনকের আয়তনের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে γ এবং তার প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে β হলে দেখাও যে, 2γ = 3β

Solution:
ধরি, 1°C-এ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক।
এখানে, ^dA/_dt = β
এবং ^dV/_dt = γ
ক্ষেত্রফল(A) = a²
⇒A³ = a² – – – (i)
আবার,
আয়তন(V) = a³
⇒V² = a⁶ – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A³ = V²
⇒ 3A² ^dA/_dt = 2V ^dV/_dt
⇒ 3A² × β = 2V × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
একক দৈর্ঘের ঘনকের ক্ষেত্রে,
⇒ 3(1²)² × β = 2×1³ × γ
⇒ 3β = 2γ
⇒ 2γ = 3β (Proved)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

15. একটি কণা সরলরেখায় গতিশীল এবং O সরলরেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। t সময়ে O বিন্দু থেকে কণার দূরত্ব a cosnt + b sinnt ( a, b, n ধ্রুবক) হলে প্রমাণ করো যে, কণার ত্বরণ O বিন্দু থেকে তার দূরত্বের সমানুপাতিক।

Solution:
ধরি, O বিন্দু থেকে কণাটির দূরত্ব x একক।
∴ x = a cosnt + b sinnt
⇒ ^dx/_dt = -an sinnt + bn cosnt
∴ কণার ত্বরণ
= ^d²x/_dt²
= -an² cos nt – bn² sin nt
= -n² (acos nt + b sin nt)
= -n² x
∴ ^d²x/_dt² ∝ x (Proved)

16. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য সেকেণ্ডে √3 সেমি হারে এবং তার ক্ষেত্রফল সেকেণ্ডে 12 বর্গসেমি হারে বৃদ্ধি পেলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি,
∴ A = ^√3/₄ × a²
⇒ ^dA/_dt = ^√3/₄ × 2a^da/_dt – – -(i)
প্রদত্ত, ^da/_dt = √3 এবং
^dA/_dt = 12
(i) নং থেকে পাই,
12 = ^√3/₄ × 2a × √3
বা, 6a = 12 × 4
বা, a = 8
Ans: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।

17. স্থিরাবস্থা থেকে একটি ট্রেন পরবর্তী স্টেশনে যাত্রা করল; t ঘণ্টায় শুরু থেকে ট্রেনটির দূরত্ব x কিলোমিটার হলে x নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সূচিত হয় –
x = 90t² – 45t³
6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ ও ত্বরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x = 90t² – 45t³
t = 6 মিনিট
= ⁶/₁₀ ঘণ্টা
= ¹/₁₀ ঘণ্টা
∴ গতিবেগ (v)
= ^dx/_dt
= 180t – 135t²
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে গতিবেগ-
[^dx/_dt ]_{_t=¹/₁₀} = 180×¹/₁₀ – 135×¹/₁₀×¹/₁₀
= 18 – 1.35
= 16.65
ত্বরণ (a)
= ^d²x/_dt²
= 180 – 135×2t
= 180 – 270t
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে ত্বরণ –
[^d²x/_dt²]_{_t=¹/₁₀} = 180 – 270×¹/₁₀
= 180 – 27
= 153
= 180t – 135t²
Ans: 6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ হবে 16.65 কিমি/ঘণ্টা ও
ত্বরণ হবে 153 কিমি/ঘণ্টা²

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

18. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

19. 1 গ্রাম জলের তাপমাত্রা 0°C থেকে 1 °C-এ বৃদ্ধি করতে হলে Q একক তাপ লাগে, যেখানে Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³ ; প্ৰতি ডিগ্রি তাপমাত্রা বৃদ্ধির জন্য তাপবৃদ্ধির হারকে আপেক্ষিক তাপ বলা হলে 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করো।

Solution:
Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³
∴ আপেক্ষিক তাপ
= ^dQ/_dt
= 1 + 10^-5 × 4t + 10^-7 x 9t²
∴ 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ
[^dQ/_dt]_{_t=50}
= 1 + 10^-5 × 4×50 + 10^-7 x 9(50)²
= 1 + 10^-5 × 200 + 10^-7 x 9 x 2500
= 1 + 0.002 + 0.00225
= 1.00425
50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ 1.00425 (Ans)

prostuti_home — দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

1. কোনো অপেক্ষকের ‘অন্তরকল’ শব্দটির ব্যাখ্যা দাও।
একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। ব্যাসার্ধের পরিমাপে বৃহত্তম ত্রুটির মান 0.05 সেমি হলে গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি
প্রদত্ত r = 20 সেমি;
△r = 0.05 সেমি
∵ A = 4πr²
∴ ^dA/_dr = 8πr
⇒ dA = ^dA/_dr×△r
= 8πr × △r
= 8 × π × 20 × 0.05
= 8π বর্গসেমি
Ans: গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি 8π বর্গসেমি।

2. ABC ত্রিভুজের A কোণের পরিমাপ হল 45° ; যদি কোণ পরিমাপে ত্রুটির পরিমাপ 1′ হয়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো। (প্রদত্ত, 1’=0.000291)।

Solution:
ধরা যাক,ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক ।
∴ y = ½ bc.sinA
⇒ ^dy/_dA = ½ bc.cosA
এখানে, A = 45°
△A = 1’= 0.000291
∴ dy = ^dy/_dA×△A
= ½ bc.cosA.△A
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ

$$\large{=\frac{dy}{y}×100\\=\frac{½ bc.cosA △A}{½ bc.sinA △A}×100\\=\frac{½ bc.cos45°.0.000291}{½ bc.sin45°}×100\\=\frac{\frac{1}{\sqrt2}.0.000291}{\frac{1}{\sqrt2}}×100\\=0.000291×100\\=0.0291}$$∴শতকরা ত্রুটি 0.0291

3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)

(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$

September 24, 2023

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2
ভেক্টর বীজগণিত || Class XII || Vector Algebra || S N Dey Complete Solution || Part 2
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 1
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part I
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (প্রতিটি প্রশ্নের মান 4)
1. ā = î + 2ĵ – k̂ এবং b̄ = 3î + ĵ – 5k̂ হলে (ā – b̄) ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
Solution:
ā = î + 2ĵ – k̂ এবং
b̄ = 3î + ĵ – 5k̂
ā – b̄ = î + 2ĵ – k̂ – (3î + ĵ – 5k̂)
= î + 2ĵ – k̂ – 3î – ĵ + 5k̂
= -2î + ĵ + 4k̂
∴|ā – b̄| = √{(-2)² + (1)² + (4)²}
= √(4 + 1 + 16) = √21
ā – b̄ ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর হল
$$\large{\frac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}\\=\frac{-2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}}{\sqrt{21}}\\=\frac{1}{\sqrt{21}}(-2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})}$$
2. মনে করো, ā = 4î + 3ĵ – k̂, b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂, c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂ এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂; দেখাও যে, b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; তাদের মানের (modulus-এর) অনুপাত নির্ণয় করো।
Solution:
b̄ – ā = 5î + 2ĵ + 2k̂ – (4î + 3ĵ – k̂)
= 5î + 2ĵ + 2k̂ – 4î – 3ĵ + k̂
= î – ĵ + 3k̂
d̄ – c̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂ – (2î – 2ĵ – 3k̂)
= 4î – 4ĵ + 3k̂ – 2î + 2ĵ + 3k̂
= 2î – 2ĵ + 6k̂
= 2(î – ĵ + 3k̂)
= 2(b̄ – ā)
∵ d̄ – c̄ = 2(b̄ – ā)
b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। (প্রমানিত)
$$\large{∵2(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\\⇒ \frac{|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|}=\frac{1}{2}\\⇒|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|:|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|=1:2}$$ভেক্টর দুটির মানের অনুপাত 1:2
3. (i) 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ এবং -2î +3ĵ – 4k̂ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।
Solution:
ধরি, ā = 2î – ĵ + k̂;
b̄ = î – 3ĵ – 5k̂ এবং
c̄ = -2î – 3ĵ – 4k̂
$$\large{|\vec{a}|=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+1}\\\quad=\sqrt{6}\\|\vec{b}|=\sqrt{(1)^2+(-3)^2+(-5)^2}\\\quad=\sqrt{1+9+25}\\\quad=\sqrt{35}\\|\vec{c}|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+(-4)^2}\\\quad=\sqrt{4+9+16}\\\quad=\sqrt{29}\\\therefore (|\vec{a}|)^2+(|\vec{c}|)^2\\=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{29})^2\\=6+29\\=35\\=\sqrt{35})^2\\=(|\vec{b}|)^2\\∴ (|\vec{b}|)^2=(|\vec{a}|)^2+(|\vec{c}|)^2}$$
বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (প্রমানিত)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
(ii) A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂; দেখাও যে, বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়।
Solution:
A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂;
∴ ĀB̄ = (2î – ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
= 2î – ĵ + k̂ – 3î + 4ĵ + 4k̂
= -î + 3ĵ + 5k̂
B̄C̄ = (î – 3ĵ – 5k̂) – (2î – ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 5k̂ – 2î + ĵ – k̂
= -î – 2ĵ – 6k̂
C̄Ā = (3î – 4ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
= 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
= 2î – ĵ + k̂
$$\large{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(3)^2+(5)^2}\\\quad=\sqrt{1+9+25}\\\quad=\sqrt{35}\\|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\\quad=\sqrt{1+4+36}\\\quad=\sqrt{41} \\|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+1}\\\quad=\sqrt{6}\\\therefore (|\overrightarrow{AB}|)^2+(|\overrightarrow{CA}|)^2\\=(\sqrt{35})^2+(\sqrt{6})^2\\=35+6\\=41\\=\sqrt{41})^2\\=(|\overrightarrow{BC}|)^2\\∴ (|\overrightarrow{BC}|)^2=(|\overrightarrow{AB}|)^2+(|\overrightarrow{CA}|)^2}$$
বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (প্রমানিত)
4. ā, b̄, c̄ তিনটি প্রদত্ত ভেক্টর হলে, দেখাও যে, 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একরেখীয়।
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄
ĀB̄ = (ā + 2b̄ + 3c̄) – (7ā – c̄)
= ā + 2b̄ + 3c̄ – 7ā + c̄
= -6ā + 2b̄ + 4c̄
= -6ā + 2b̄ + 4c̄
= 2(-3ā + b̄ + 2c̄)
B̄C̄ = (-2ā + 3b̄ + 5c̄) – (ā + 2b̄ + 3c̄)
= -2ā + 3b̄ + 5c̄ – ā – 2b̄ – 3c̄
= -3ā + b̄ + 2c̄
∵ ĀB̄ = 3B̄C̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)
5. ā = î + ĵ – 4k̂, b̄ = 4î – ĵ – 2k̂ হলে,(i) (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর এবং (ii) (2ā – b̄) ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশসমূহ নির্ণয় করো।
(i)
Solution:
ā = î + ĵ – 4k̂ এবং
b̄ = 4î – ĵ – 2k̂
2ā – b̄ = 2(î + ĵ – 4k̂) – (4î – ĵ – 2k̂)
= 2î + 2ĵ – 8k̂ – 4î + ĵ + 2k̂
= -2î + 3ĵ – 6k̂
$$\large{|2\vec{a}-\vec{b}|\\=\sqrt{(-2)^2+(3)^2+(-6)^2}\\=\sqrt{4+9+36}\\=\sqrt{49}\\=7 }$$
∴ 2ā – b̄ ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর হল
$$\large{\frac{2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}\\=\frac{-2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}}{7}\\=\frac{1}{7}(-2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})\quad\mathbf{Ans}}$$
(ii)
Solution:
(2ā – b̄) = -2î + 3ĵ – 6k̂ ভেক্টরের,
x-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 2î এবং স্কেলার উপাংশ – 2
y-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ এবং স্কেলার উপাংশ 3
z-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 6k̂ এবং স্কেলার উপাংশ – 6
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
6. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂ হলে দেখাও যে ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
Solution:
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ + 3k̂) – (-2î + 2ĵ + 2k̂)
= 2î + 3ĵ + 3k̂ + 2î – 2ĵ – 2k̂
= 4î + ĵ + k̂
B̄C̄ = (-î – 2ĵ + 3k̂) – (2î + 3ĵ + 3k̂)
= -î – 2ĵ + 3k̂ – 2î – 3ĵ – 3k̂
= -3î – 5ĵ
C̄Ā = (-2î + 2ĵ + 2k̂) – (-î – 2ĵ + 3k̂)
= -2î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2ĵ – 3k̂
= -î + 4ĵ – k̂
$$\large{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(4)^2+(1)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+1}\\\quad=\sqrt{18}\\|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-3)^2+(-5)^2}\\\quad=\sqrt{9+25}\\\quad=\sqrt{34}\\|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-1)^2+(4)^2+(-1)^2}\\\quad=\sqrt{1+16+1}\\\quad=\sqrt{18}\\\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CA}|≠|\overrightarrow{BC}|}$$
ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমানিত)
7. (i) A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) হলে ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।
Solution:
ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 6ĵ + 3k̂, î + 2ĵ + 7k̂ এবং 3î + 10ĵ – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 7k̂) – (2î + 6ĵ + 3k̂)
= î + 2ĵ + 7k̂ – 2î – 6ĵ – 3k̂
= -î – 4ĵ + 4k̂
B̄C̄ = (3î + 10ĵ – k̂) – (î + 2ĵ + 7k̂)
= 3î + 10ĵ – k̂ – î – 2ĵ – 7k̂
= 2î + 8ĵ – 8k̂
= -2(î – 4ĵ + 4k̂)
= -2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)
(ii) দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর (a) -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂ (b) î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ হলে উভয়ক্ষেত্রে বিন্দু তিনটি সমরেখ।
(a)
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) – (-2î + 3ĵ + 5k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂ + 2î – 3ĵ – 5k̂
= 3î – ĵ – 2k̂
B̄C̄ = (7î – k̂) – (î + 2ĵ + 3k̂)
= 7î – k̂ – î – 2ĵ – 3k̂
= 6î – 2ĵ – 4k̂
= 2(î – ĵ – 2k̂)
= 2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)
(b)
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂;
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ – 4k̂) – (î – 2ĵ + 3k̂)
= 2î + 3ĵ – 4k̂ – î + 2ĵ – 3k̂
= î + 5ĵ – 7k̂
B̄C̄ = (-7î + 4k̂) – (2î + 3ĵ – 4k̂)
= -7î + 4k̂ – 2î – 3ĵ + 4k̂
= -9î – 3ĵ + 8k̂
C̄Ā = (î – 2ĵ + 3k̂) – (-7î + 4k̂)
= î – 2ĵ + 3k̂ + 7î – 4k̂
= 8î – 2ĵ – k̂
ĀB̄ + B̄C̄
= î + 5ĵ – 7k̂ -9î – 3ĵ + 8k̂
= -8î + 2ĵ + k̂
= -(8î – 2ĵ – k̂)
= -C̄Ā
∴ ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
∴ î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)
8. তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂; দেখাও যে বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়।
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂ ;
∴ ĀB̄ = (3î – 2ĵ + k̂) – (î + 3ĵ – 2k̂)
= 3î – 2ĵ + k̂ – î – 3ĵ + 2k̂
= 2î – 5ĵ + 3k̂
B̄C̄ = (-2î + ĵ + 3k̂) – (3î – 2ĵ + k̂)
= -2î + ĵ + 3k̂ – 3î + 2ĵ – k̂
= -5î + 3ĵ + 2k̂
এবং C̄Ā = (î + 3ĵ – 2k̂) – (-2î + ĵ + 3k̂)
= î + 3ĵ – 2k̂ + 2î – ĵ – 3k̂
= 3î + 2ĵ – 5k̂
$$\large{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2)^2+(-5)^2+(3)^2}\\\quad=\sqrt{4+25+9}\\\quad=\sqrt{38}\\|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-5)^2+(3)^2+(2)^2}\\\quad=\sqrt{25+9+4}\\\quad=\sqrt{38}\\|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(3)^2+(2)^2+(5)^2}\\\quad=\sqrt{9+4+25}\\\quad=\sqrt{38}\\\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|}$$
বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। (প্রমাণিত)
9. pî – 5ĵ + 6k̂ এবং 2î – 3ĵ – qk̂ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p ও q -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ pî – 5ĵ + 6k̂ = λ (2î – 3ĵ – qk̂) – – – – [λ ≠ 0]
বা, pî – 5ĵ + 6k̂ = 2λî – 3λĵ – qλk̂
∴ -5 = -3λ বা, λ = ⁵/₃
আবার, p = 2λ বা, p = 2.⁵/₃ = ¹⁰/₃
এবং 6 = -qλ বা, 6 = -q.⁵/₃ বা, q = –¹⁸/₅
Ans: p = ¹⁰/₃
q = –¹⁸/₅
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
10. î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂, 5î + 2ĵ + 5k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে b ও c -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂ এবং 5î + 2ĵ + 5k̂ ;
∴ ĀB̄ = (7î + 2ĵ + 6k̂) – (î + bĵ + ck̂)
= 7î + 2ĵ + 6k̂ – î – bĵ – ck̂
= 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂
এবং B̄C̄ = (5î + 2ĵ + 5k̂) – (7î + 2ĵ + 6k̂)
= 5î + 2ĵ + 5k̂ – 7î – 2ĵ – 6k̂
= -2î – k̂
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ ĀB̄ = λB̄C̄ – – – – [λ ≠ 0]
∴ 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = λ(-2î – k̂)
বা, 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = -2λî – λk̂
∴ 6 = -2λ বা, λ = -3
আবার, 2 – b = 0 বা, b = 2
এবং 6 – c = -λ = 3 বা, c = 3
Ans: b = 2
c = 3
11.A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂ হলে,
(i) ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো;
(ii) যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।
Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
∴ ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ + + 5k̂ – 2î + 3ĵ + 2k̂)}/₂
= ^{(2î + 7k̂)}/₂
= î + ⁷/₂k̂
ANS: ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + ⁷/₂k̂
(ii)
^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, ĀC̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{1(-2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})+2(4\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})}{1+2}\\=\frac{-2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}+8\hat{i}-6\hat{j}+10\hat{k}}{3}\\=\frac{6\hat{i}-3\hat{j}+12\hat{k}}{3}\\=\frac{3(2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}}{3}\\=2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}\quad\mathbf{Ans}}$$D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{2(-2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})+1(4\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})}{1+2}\\=\frac{-4\hat{i}+6\hat{j}+4\hat{k}+4\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}}{1+2}\\=\frac{3\hat{j}+9\hat{k}}{3}\\=\frac{3(\hat{j}+3\hat{k})}{3}\\=\hat{j}+3\hat{k}\quad\mathbf{Ans}}$$
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
12. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ = 2î – 4ĵ + 5k̂ এবং B̄C̄ = î – 2ĵ – 3k̂ হলে সামান্তরিকটির ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
Solution:
ĀC̄ = ĀB̄ + B̄C̄
= 2î – 4ĵ + 5k̂ + î – 2ĵ – 3k̂
= 3î – 6ĵ + 2k̂
∴ |ĀC̄|
$$\large{=\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}\\=\sqrt{9+36+4}\\=\sqrt{49}\\=7}$$
ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর-
$$\large{=\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})\quad \mathbf{Ans}}$$
13. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2ā + b̄ এবং ā – 3b̄ যদি C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে তবে C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো। আরও দেখাও যে, A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।
Solution:
A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄ এবং
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ā – 3b̄
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
$$\large{=\frac{2.(2\vec{a}+\vec{b})-1.(\vec{a}-3\vec{b})}{2-1}\\=\frac{4\vec{a}+2\vec{b}-\vec{a}+3\vec{b}}{1}\\=3\vec{a}+5\vec{b}\quad \mathbf{(Ans)}}$$
CB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
$$\large{=\frac{(3\vec{a}+5\vec{b})+(\vec{a}-3\vec{b})}{1+1}\\=\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{2}\\=\frac{2(2\vec{a}+\vec{b})}{2}\\=2\vec{a}+\vec{b}}$$
A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄
∴ A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু। (Proved)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
14. দেখাও যে, î + ĵ + k̂ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে।
Solution:
î + ĵ + k̂ ভেক্টরটির,
X অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1,
Y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1 এবং
Z অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1
∵ অক্ষ তিনটি বরাবর স্কেলার উপাংশ সমান।
∴ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে। (Proved)
15. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে G, E ও F হলে প্রমাণ করো যে, ĀD̄ + B̄Ē + C̄F̄ = 0

Solution:
ĀD̄ = ĀB̄ + B̄D̄ – – – – (i)
B̄Ē = B̄C̄ + C̄Ē – – – – (ii)
C̄F̄ = C̄Ā + ĀF̄ – – – – (iii)
(i)+ (ii)+ (iii) করে পাই,
ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄
= ĀB̄ + B̄D̄ + B̄C̄ + C̄Ē + C̄Ā + ĀF̄
= ĀB̄ + ^B̄C̄/₂ + B̄C̄ + ^C̄Ā/₂ + C̄Ā + ĀB̄/₂
= ^{2ĀB̄ + B̄C̄ + 2B̄C̄ + C̄Ā +} ^{2C̄Ā + ĀB̄}/₂
= ^{3ĀB̄ + 3B̄C̄ + 3C̄Ā}/₂
= ^{3(ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā)}/₂
= ^3.0/₂ = 0
∴ ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄ = 0 (Proved)
16. ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄ হলে দেখাও যে, A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
Solution:
∵ ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄
বা, -ŌĀ + ŌB̄ = -ŌB̄ + ŌC̄
বা, ŌB̄ – ŌĀ = ŌC̄ – ŌB̄
বা, ĀB̄ = B̄C̄
∵ ĀB̄ = B̄C̄
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ সমান্তরাল।
আবার ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু B;
∴ A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (প্রতিটি প্রশ্নের মান 5)
1. (i) ā = 2î + 4ĵ – 4k̂, b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂, c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂ হলে ā + b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান এবং ঐ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
Solution:
ā = 2î + 4ĵ – 4k̂,
b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂ এবং
c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂
∴ ā + b̄ + 2c̄
= 2î + 4ĵ – 4k̂ -5î + 4ĵ + 2k̂ +6î – 6ĵ – 4k̂
= 3î + 2ĵ – 6k̂
|ā + b̄ + 2c̄|
$$\large{=\sqrt{(3)^2+(2)^2+(-6)^2}\\=\sqrt{9+4+36}\\=\sqrt{49}\\=7}$$
ā + b̄ + 2c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর-
$$\large{=\frac{\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}|}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}+2\hat{j}-6\hat{k})}$$
(ii) ā = î + ĵ + k̂, b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং 2 = î – 2ĵ + k̂ হলে, (2ā – b̄ + 3c̄) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।
Solution:
ā = î + ĵ + k̂,
b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং
c̄ = î – 2ĵ + k̂
∴ 2ā – b̄ + 3c̄
= 2î + 2ĵ + 2k̂ – 2î + ĵ – 3k + 3î – 6ĵ + 3k̂
= 3î – 3ĵ + 2k̂
∴ |2ā – b̄ + 3c̄|
$$\large{=\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(2)^2}\\=\sqrt{9+9+4}\\=\sqrt{22}}$$
2ā – b̄ + 3c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর-
$$\large{=\frac{2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}}{|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}|}\\=\frac{1}{\sqrt{22}}(3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})}$$
2. ভেক্টর পদ্ধতি প্রয়োগ করে প্রমাণ করো যে, (7, 2, -3), (6, 1, 4), (−3, -4, −1) এবং (- 2, -3, -8 ) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু।
Solution:
ধরি প্রদত্ত বিন্দু চারটি হল A(7, 2, -3), B(6, 1, 4), C(−3, -4, −1) এবং D(-2, -3, -8 ) এবং ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
ŌĀ = 7î + 2ĵ – 3k̂
ŌB̄ = 6î + ĵ + 4k̂
ŌC̄ = -3î – 4ĵ −k̂
ŌD̄ = -2î – 3ĵ – 8k̂
∴ ĀB̄ = 6î + ĵ + 4k̂ – (7î + 2ĵ – 3k̂)
= 6î + ĵ + 4k̂ – 7î – 2ĵ + 3k̂
= -î – ĵ + 7k̂
D̄C̄ = −3î – 4ĵ −k̂ – (-2î – 3ĵ – 8k̂)
= −3î – 4ĵ −k̂ +2î + 3ĵ + 8k̂
= -î – ĵ + 7k̂
∴ ĀB̄ = D̄C̄
এবং |ĀB̄| = |D̄C̄|
∴ ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
ABCD একটি সামান্তরিক।
প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু। (প্রমাণিত)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
3. ā = 2î + 4ĵ – 5k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটির সমষ্টির সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো; ভেক্টরের দিক (direction) কোসাইনগুলিও নির্ণয় করো।
Solution:
ā + b̄ = 2î + 4ĵ – 5k̂ + î + 2ĵ + 3k̂
= 3î + 6ĵ – 2k̂
|ā + b̄| =
$$\large{=\sqrt{(-3)^2+(6)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{9+36+4}\\=\sqrt{49}=7}$$
|ā + b̄| -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
$$\large{=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}$$
|3î + 6ĵ – 2k̂| এর দিক অনুপাত
³/₇, ⁶/₇, ^-2/₇ (Ans)
4. ā = 2î – 2ĵ + k̂, b̄ = 2î + 3ĵ + 6k̂ এবং C = -î + 2k̂ হলে ā – b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।
Solution:
ā – b̄ + 2c̄
= 2î – 2ĵ + k̂ – (2î + 3ĵ + 6k̂) + 2(-î + 2k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂ – 2î – 3ĵ – 6k̂ – 2î + 4k̂
= -2î – 5ĵ – k̂
|-2î – 5ĵ – k̂| এর মান
$$\large{=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2+(-1)^2}\\=\sqrt{4+25+1}\\=\sqrt{30}\quad (Ans)}$$
|-2î – 5ĵ – k̂| এর দিক অনুপাত
^-2/_√30, -5/_√30, ^-1/_√30 (Ans:)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
5. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়। x-এর মান নির্ণয় করো যাতে c̄ = (x – 7)ā + 2b̄ এবং d̄ = (2x + 1)ā – b̄ একরেখীয় হয়।
Solution:
c̄ ও d̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয়।
∴ c̄ = md̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m{(2x + 1)ā – b̄}
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m(2x + 1)ā – mb̄
বা, (x – 7)ā – m(2x + 1)ā + mb̄ + 2b̄ = 0
বা, (x – 7 – 2mx – m)ā + (m + 2)b̄ = 0
∵ ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
∵ m + 2 = 0
বা, m = -2
আবার,
x – 7 – 2mx – m = 0
বা, x – 7 – 2.(-2)x + 2 = 0
বা, x – 7 + 4x + 2 = 0
বা, 5x – 5 = 0
বা, 5x = 5
বা, x = 1
Ans: x-এর মান 1
6. 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ অবস্থান ভেক্টর বিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে x -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, A, B এবং C -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ
∴ ĀB̄ = (10î + 3ĵ) – (12î – 5ĵ)
= 10î + 3ĵ – 12î + 5ĵ
= -2î + 8ĵ
B̄C̄ = (xî + 11ĵ) – (10î + 3ĵ)
= xî + 11ĵ – 10î – 3ĵ
= xî – 10î + 8ĵ
= (x – 10)î + 8ĵ
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ,
∴ ĀB̄ = mB̄C̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, -2î + 8ĵ = m{(x – 10)î + 8ĵ}
বা, -2î + 8ĵ = m(x – 10)î + 8mĵ
∴ 8 = 8m
বা, m = 1
আবার,
-2 = m(x – 10)
বা, -2 = 1(x – 10)
বা, -2 = x – 10
বা, x = -2 + 10
বা, x = 8
Ans: x -এর মান 8
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
7. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
যদি p = (x + 4y)ā + (2x + y + 1)b̄ এবং q = (- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄ ভেক্টর দুটির 3p = 2q সম্বন্ধ থাকে তবে x ও y এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
∵ 3p = 2q
∴ 3{(x + 4y)ā + + (2x + y + 1)b̄} = 2{(- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄}
তুলনা করে পাই,
3(x + 4y) = 2(- 2x + y + 2 )
বা, 3x + 12y = -4x + 2y + 4
বা, 3x + 4x + 12y – 2y = 4
বা, 7x + 10y = 4 – – – – (i)
আবার,
3(2x + y + 1) = 2(2x – 3y – 1)
বা, 6x + 3y + 3 = 4x – 6y – 2
বা, 6x – 4x + 3y + 6y = -2 – 3
বা, 2x + 9y = -5 – – – – (ii)
(i)×2 – 7×(ii) করে পাই,
14x – 14x + 20y – 63 = 8 + 35
বা, -43y = 43
বা, y = -1
(i) নং থেকে পাই,
7x + 10×-1 = 4
বা, 7x = 4 + 10
বা, 7x = 14
বা, x = 2
Ans: x = 2
y = -1
৪. দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে প্রমাণ করো যে ভেক্টর দুটির অন্তরের মান √3 হবে।
Solution:
ধরি, ভেক্টর দুটি ā এবং b̄
∴ |ā| = 1; |b̄| = 1; |ā + b̄| = 1
∵ |ā – b̄|² + |ā + b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²}
বা, |ā – b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²} – |ā + b̄|²
বা, |ā – b̄|² = 2{(1)² + (1)²} – (1)²
বা, |ā – b̄|² = 2{1 + 1} – 1
বা, |ā – b̄|² = 2.2 – 1 = 3
∴ |ā – b̄| = √3
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
9. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। C̄D̄ = ā, D̄Ē = b̄ হলে, ĀB̄, B̄C̄, B̄F̄, C̄Ā, ĀD̄ এবং B̄D̄-এর মান ā ও b̄-এর আকারে নির্ণয় করো

Solution:
C̄D̄ = ā এবং D̄Ē = b̄
∴ ĀB̄ = -D̄Ē
= -,b̄ (Ans)
△CDE থেকে পাই,
C̄Ē = C̄D̄ + D̄Ē
= ā + b̄
∵ C̄Ē ∥ B̄F̄
∴ B̄F̄ = ā + b̄ (Ans)
∵ B̄Ē ∥ C̄D̄ এবং B̄Ē = 2.C̄D̄
∴ B̄Ē = 2ā
△BCE থেকে পাই,
B̄C̄ + C̄Ē = B̄Ē
বা, B̄C̄ = B̄Ē – C̄Ē
বা, B̄C̄ = 2ā – (ā + b̄)
বা, B̄C̄ = 2ā – ā – b̄
বা, B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
△ABC থেকে পাই,
ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
বা, -,b̄ + (ā – b̄) + C̄Ā = 0
বা, -,2b̄ + ā + C̄Ā = 0
বা, C̄Ā = 2b̄ – ā (Ans)
△ACD থেকে পাই,
ĀC̄ + C̄D̄ = ĀD̄
বা, ĀD̄ = ĀC̄ + C̄D̄
বা, ĀD̄ = ā – 2b̄ + ā
বা, ĀD̄ = 2ā – 2b̄
বা, ĀD̄ = 2(ā – b̄) (Ans)

△BCD থেকে পাই,
B̄D̄ = B̄C̄ + C̄D̄
বা, B̄D̄ = (ā – b̄) + ā
বা, B̄D̄ = ā – b̄ + ā
বা, B̄D̄ = 2ā – b̄ (Ans)
10. ABCD সামান্তরিকের ĀC̄ ও B̄D̄ হল কর্ণ। প্রমাণ করো যে, ĀC̄ + B̄D̄ = 2B̄C̄ এবং ĀC̄ – B̄D̄ = 2ĀB̄

Solution:
ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ABCD একটি সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
বা, b̄ – c̄ = ā – d̄ – – – (i)
এবং ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, b̄ – ā = c̄ – d̄ – – – (ii)
ĀC̄ + B̄D̄
= c̄ – ā + d̄ – b̄
= c̄ – b̄ + d̄ – ā
= c̄ – b̄ – (ā – d̄)
= c̄ – b̄ – (b̄ – c̄) – – – [(i) নং থেকে পাই]
= c̄ – b̄ – b̄ + c̄
= 2(c̄ – b̄)
= 2B̄C̄ (Proved)
ĀC̄ – B̄D̄
= c̄ – ā – (d̄ – b̄)
= c̄ – ā – d̄ + b̄
= b̄ – ā + c̄ – d̄
= b̄ – ā + b̄ – ā – – – [(ii) নং থেকে পাই]
= 2(b̄ – ā)
= 2ĀB̄ (Proved)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
11. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

Solution:
ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
AB, BC, CD এবং DA এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G এবং H
E -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(ā + b̄)}/₂
F -এর অবস্থান ভেক্টর = ^(b̄ ^{+ c̄)}/₂
G -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
H -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(d̄ + ā)}/₂
$$\large{\overrightarrow{EF}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}}{2}}$$এবং $$\large{\overrightarrow{HG}=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}-\frac{\overrightarrow{d}+\overrightarrow{a}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}}{2}\\\therefore \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\\⇒|\overrightarrow{EF}|=|\overrightarrow{HG}|}$$
ĒF̄ এবং H̄Ḡ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
∴ EFGH একটি সামান্তরিক।
চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়। (Proved)
12. ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + b̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
বা, (b̄ + d̄ )/2 = c̄ + ā
বা, ^{(b̄ + d̄)}/₂ = ^{(c̄ + ā)}/₂
∴ B̄D̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু = ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু
সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (Proved)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
13. ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু P; প্রমাণ করো যে, ĀC̄ এবং D̄P̄ রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমত্রিখণ্ডিত হয়।
Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + b̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, d̄ + b̄ = c̄ + ā
বা, d̄ + b̄ + c̄ = c̄ + c̄ + ā
বা, b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + b̄)}/₂ + d̄)/(2 + 1)
= ^{(b̄ + c̄} ^{+ d̄)}/₃
আবার ধরি, F, ĀC̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(2.c̄ + ā)}/_{2 + 1}
= ^{(2c̄ + ā)}/₃
= ^{(ā + c̄ + c̄)}/₃ – – – [b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄]
= ^{(b̄ + c̄} ^{+ d̄)}/₃
∴ E ও F একই বিন্দু।
∴ AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমখিণ্ডিত হয়। (Proved)

14. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; দেখাও যে, D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়।

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(ā + b̄)}/₂
∴ Q-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴^{(ā + c̄)}/₂ = ^{(b̄ + d̄)}/₂
বা, ā + c̄ = b̄ + d̄
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(ā + b̄)}/₂ + d̄)/(2 + 1)
= ^{(ā + b̄ + d̄)}/₃
= ^{(ā + ā + c̄)}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
= ^{(2.ā + 1.c̄)}/_{2 + 1}
∴ E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
আবার ধরি, F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + d̄)}/₂ + b̄)/(2 + 1)
= ^(c̄ ^{+ d̄ + b̄)}/₃
= ^{(ā + c̄ + c̄)}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄)
= ^(2.c̄ ^{+ ā)}/_{2 + 1}
∴ F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়। (Proved)
15. ABCD সামান্তরিকের D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু P। ĀP̄ -র ওপর Q বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয় যাতে ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄ হয়। দেখাও যে, Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄
Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
∵ ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄
∴ Q বিন্দু ĀP̄ কে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + d̄)}/₂ + ā)/(2 + 1)
= ^{(c̄ + d̄ + ā)}/₃ – – – (i)
ABCD সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
∴ b̄ + d̄ = ā + c̄
(i) থেকে পাই,
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(b̄ + d̄ + d̄)}/₃
= ^{(b̄ + 2.d̄)}/_{2 + 1}
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄ (Proved)
16. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F; যদি ত্রিভুজ সমতলে P যে-কোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ = P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄
Solution:
ধরি, P বিন্দুর সাপেক্ষ A, B এবং C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄ এবং c̄
B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F;
∴ D. E ও F -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ^{(b̄ + c̄)}/₂ , ^{(ā + c̄)}/₂ ও ^{(ā + b̄)}/₂
P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄
= ^{(b̄ + c̄)}/₂ + ^{(ā + c̄)}/₂ + ^{(ā + b̄)}/₂
= ^{(b̄ + c̄ + ā + c̄} ^{+ ā + b̄)}/₂
= ā + b̄ + c̄
= P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ (Proved)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
17. ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং O যে-কোনো বিন্দু (AB-র ওপর অবস্থিত নয়) হলে প্রমাণ করো যে, ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄

Solution:
△OAC থেকে পাই,
ŌĀ + ĀC̄ = ŌC̄
বা, ŌĀ = ŌC̄ – ĀC̄
আবার, △OCB থেকে পাই,
ŌC̄ + C̄B̄ = ŌB̄
বা, ŌB̄ = ŌC̄ + C̄B̄
∴ ŌĀ + ŌB̄
= ŌC̄ – ĀC̄ + ŌC̄ + C̄B̄
= 2ŌC̄ – ĀC̄ + C̄B̄
= 2ŌC̄ – ĀC̄ + ĀC̄ – – – – [ĀC̄ = C̄B̄]
= 2ŌC̄
∴ ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄ (Proved)
ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey
18. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে G একটি বিন্দু। যদি ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, G বিন্দু ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
Solution:
ধরি, মূলবিন্দু সাপেক্ষ A, B, C এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও ḡ
∵ ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄
⇒ ā – ḡ + b̄ – ḡ + c̄ – ḡ = 0
⇒ – 3ḡ = -ā – b̄ – c̄
⇒ 3ḡ = ā + b̄ + c̄
⇒ ḡ = ^{(ā + b̄ + c̄)}/₃
∴ g হল △ABC -এর ভরকেন্দ্র।
19. ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে ছেদ করে। কোনো অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে সামান্তরিকটির শীর্ষবিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄ হলে প্রমাণ করো যে, ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ ।
Solution:
ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।
E বিন্দু ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
∴ অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে,
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ – – – – – (i)
আবার E বিন্দু B̄C̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{b̄ + d̄}/₂ – – – – – (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
ŌĒ + ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ + ^{b̄ + d̄}/₂
বা, 2ŌĒ = ^{ā +b̄ + c̄ + d̄}/₂
∴ ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ (Proved)
20. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, কোনো ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তার সমান্তরাল বাহু দুটির সমান্তরাল এবং তাদের সমষ্টির অর্ধেকের সমান।
Solution:
ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও d̄ এবং তির্যক বাহু AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F;
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{ā + d̄}/₂
F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{b̄ + c̄}/₂
$$\large{\overrightarrow{EF}=\frac{\overrightarrow b+\overrightarrow c}{2}-\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow d}{2} \\=\frac{\overrightarrow b+\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow d}{2}\\=\frac{1}{2}(\overrightarrow b-\overrightarrow a+\overrightarrow c-\overrightarrow d)\\=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {DC})}$$

আবার ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ĒF̄, ĀB̄ ও D̄C̄ -এর সমান্তরাল। (Proved)
E ও F, AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু ;
∴ |ĒF̄| = ½|ĀB̄ + D̄C̄| (Proved)
PREVIOUS
NEXT
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
September 17, 2023

Category: HS

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) f'(x)/f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = 1/√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –1/8 (b) 1/16 (c) –1/16 (d) –1/8

4. y = 2x – x2 অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:(i) y = x3 – 3x2 + 2x(ii)y = ex2 + a2(iii) y = sin√x(iv) y = ex(sinx + cosx)

UNIT – 3কলনবিদ্যাCALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো: (i) d(x2 – y2)(ii) d(xy2)(iii) d(x2/y)(iv) d(x2siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x2 অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = t/√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2dV/dt = rdS/dt

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. 4√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

3. loge10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, loge10 = 2.303

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:(i)√26 (iii)√0.24(ii) √37 (iv) √0.48

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

ভেক্টর বীজগণিত || Class XII || Vector Algebra || S N Dey Complete Solution || Part 2

1. ā = î + 2ĵ – k̂ এবং b̄ = 3î + ĵ – 5k̂ হলে (ā – b̄) ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

3. (i) 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ এবং -2î +3ĵ – 4k̂ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

4. ā, b̄, c̄ তিনটি প্রদত্ত ভেক্টর হলে, দেখাও যে, 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

6. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂ হলে দেখাও যে ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

7. (i) A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) হলে ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। (প্রমাণিত)

9. pî – 5ĵ + 6k̂ এবং 2î – 3ĵ – qk̂ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p ও q -এর মান নির্ণয় করো।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

10. î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂, 5î + 2ĵ + 5k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে b ও c -এর মান নির্ণয় করো।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

14. দেখাও যে, î + ĵ + k̂ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে।

15. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে G, E ও F হলে প্রমাণ করো যে, ĀD̄ + B̄Ē + C̄F̄ = 0

16. ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄ হলে দেখাও যে, A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

দীর্ঘ উত্তরধর্মী (প্রতিটি প্রশ্নের মান 5)

1. (i) ā = 2î + 4ĵ – 4k̂, b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂, c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂ হলে ā + b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান এবং ঐ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

(ii) ā = î + ĵ + k̂, b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং 2 = î – 2ĵ + k̂ হলে, (2ā – b̄ + 3c̄) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

4. ā = 2î – 2ĵ + k̂, b̄ = 2î + 3ĵ + 6k̂ এবং C = -î + 2k̂ হলে ā – b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

5. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়। x-এর মান নির্ণয় করো যাতে c̄ = (x – 7)ā + 2b̄ এবং d̄ = (2x + 1)ā – b̄ একরেখীয় হয়।

6. 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ অবস্থান ভেক্টর বিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে x -এর মান নির্ণয় করো।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

৪. দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে প্রমাণ করো যে ভেক্টর দুটির অন্তরের মান √3 হবে।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

9. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। C̄D̄ = ā, D̄Ē = b̄ হলে, ĀB̄, B̄C̄, B̄F̄, C̄Ā, ĀD̄ এবং B̄D̄-এর মান ā ও b̄-এর আকারে নির্ণয় করো

10. ABCD সামান্তরিকের ĀC̄ ও B̄D̄ হল কর্ণ। প্রমাণ করো যে, ĀC̄ + B̄D̄ = 2B̄C̄ এবং ĀC̄ – B̄D̄ = 2ĀB̄

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

12. ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

13. ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু P; প্রমাণ করো যে, ĀC̄ এবং D̄P̄ রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমত্রিখণ্ডিত হয়।

17. ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং O যে-কোনো বিন্দু (AB-র ওপর অবস্থিত নয়) হলে প্রমাণ করো যে, ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

18. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে G একটি বিন্দু। যদি ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, G বিন্দু ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48