PROSTUTI

Category: HS

  • Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1 Click Here

    বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

    সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

    1.  নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36
    (b) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (c) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে AC ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (d) P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।
    Ans:     (b) এবং (c)
    [ধরি, তামা থাকার ঘটনা A ও লোহা থাকার ঘটনা B
    ∴ P(A) = 0.28
    তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা = সম্পুর্ন ঘটনা
    অর্থাৎ  AUB = S
    ∴ P(AUB) = P(S) = 1
    কিন্তু P(AUB) = 0.36
    ∴  এটি সত্য নয়।]

    2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
    (a)  P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    (b) P(A/B) > P(B/A)
    (c) P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) − 1
    (d) P(ACUBC) = 1 – P(A∩B)
    Ans:     (a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    [P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    P(A∩B) = 0 হলে,
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    P(A∩B) ≠ 0 হলে,
    P(AUB) < P(A) + P(B)
    ∴ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)]

    3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) P(Ac∩Bc) দ্বারা A অথবা B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1
    (c) P(AcUBc) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (d) একটি সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)
    Ans:     (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1

    4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/Bc) = P(A) হবে।
    (b) যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(AUB) = P(A)) + P(B) হবে।
    (c) একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া যাবে।
    (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

    Ans:     (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।
    [নমুনাদেশে  সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 25 = 32 টি]

    5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 5/8 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে –
    (a) 5 : 13 (b) 5 : 3 (c) 3 : 5 (d) 8 : 13
    Ans:     (c) 3 : 5
    [∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 8-5/5 = 3/5 = 3 : 5
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m

    6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 9/13 (b) 4/13 (c) 4/9 (d) 5/13
    Ans:     (b) 4/13
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 4/9+4 = 4/13
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7.  একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
    (a) 4 : 7 (b) 7 : 4 (c) 4 : 3 (d) 3 : 4
    Ans:     (c) 4 : 3
    [ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে,
    ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 – 4/7 = 3/7
    ∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 7-3/3 = 4/3 = 4 : 3
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m]

    8. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 5/9 (b) 4/9 (c) 4/5 (d) 1/9
    Ans:     (a) 5/9
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 5/5+4 =5/9
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b ]

    9. প্রথম 11টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 6/11 (b) 5/6 (c) 4/11 (d) 5/11
    Ans:     (d) 5/11
    [1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 2, 4, 6, 8, 10 অর্থাৎ 5টি
    ∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে – 5/11]

    10. একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/2 (b) 5/8 (c) 3/4 (d) 3/8
    Ans:     (d) 3/8
    [একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8
    ধরি, A দ্বারা হেড পাওয়ার ঘটনা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 3টি
    ∴ P(A) = 3/8]

    11. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/18 (b) 1/9 (c) 1/12 (d) 5/36
    Ans:     (a) 1/18
    [সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 = 36
    ধরি, 11 পাওয়ার ঘটনা A দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা (5,6),(6,5) বা 2টি
    ∴ P(A) = 2/36 = 1/18]

    12.  দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে P(A) = 1/2  P(AUB) = 2/3 হলে, P(B) -এর মান হবে – (a) 1/4 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 1/5
    Ans:     (b) 1/6
    [A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা।
    ∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 2/3 = 1/2 + P(B)
    ⇒ P(B) = 2/3 – 1/2
    = 1/6]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = 3/5 ও P(A∩B) = 4/9 হলে, P(B) -এর মান হবে –
    (a) 5/9 (b) 8/9 (c) 5/27 (d) 20/27
    Ans:     (d) 20/27
    [A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ⇒ 4/9 = 3/5×P(B)
    ⇒ P(B) = 4/9×5/3 = 20/27]

    14. P(A) = 3/7,  P(B) = 4/7 এবং P(A∩B) = 2/9 হলে, P(A/B) -এর মান হবে –
    (a) 7/18 (b) 14/27 (c) 5/18 (d) 4/9
    Ans:     (a) 7/18
    [P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18]

    UNIT – 6
    সম্ভাবনা
    PROBABILITY

    বেইজ উপপাদ্য Bayes’ Theorem প্রশ্নমালা 1B▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-II)▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-I)▶️ CLICK HERE

    দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    15. A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ; যদি P(A) = 3/5 ও P(B) = 1/6  হয়, তবে P(C) এর মান হবে –
    (a) 23/30 (b) 7/30 (c) 1/10 (d) 9/10
    Ans:     (b) 7/30
    [A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ;
    ∴ AUBUC = S
    ⇒ P(AUBUC) = P(S)
    ⇒ P(AUBUC) = 1
    ⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
    ⇒ P(C) = 1 – P(A) – P(B)
    ⇒ P(C) = 1 – 3/5 – 1/6
    = 30-18-5/30
    = 7/30]

    16.  P(A∩B) = 5/13 হলে, P(AcUBc) এর মান হবে-
    (a) 4/13 (b) 6/13 (c) 7/13 (d) 8/13
    Ans:     (d) 8/13
    [ P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – 5/13
    = 8/13]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    1. B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তে এ ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
    Ans:     E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B (B ≠ 0) হলে B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে A ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলে এবং তা P(A/B) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

    2. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
    (i) P(AUB) = P(A) + P(B) (ii) P(A∩B) = 0
    (iii) P(A) = P(B) (iv) P(AUB) = 1
    (v) P(A∩B) ≠ 0 (vi) P(A/B) = P(A)
    (vii) P(A) = P(B) (viii) P(A∩B) = P(A) P(B)

    Solution:
    (i)
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P (B)
    ⇒ P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা

    (ii)
     P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা।

    (iii)
    P(A) = P(B)
    অর্থাৎ A ও B উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান।
    ∴ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা।

    (iv)
    P(AUB) = 1
    অর্থাৎ A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটবে।
    ∴ এটি একটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

    (v)
    P(A∩B) ≠ 0
    ⇒ A∩B  ≠ ϕ
    ∴ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা নয়।

    (vi)
    P(A/B) = P(A)
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = P(A)
    ⇒P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    (vii)
    P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা নয়।

    (viii)
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A ও B̄ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পূরক ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, P(A বা B)=1- P(A) P(B/A)
    Solution:

    $$\large{P(\overline A)=1-P(A);\\P(\overline B)=1-P(B);\\\therefore P(\overline AU\overline B)=P(\overline A)+P(\overline B)-P(\overline A∩\overline B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-P(\overline{AUB})\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-1+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(A)+P(B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(AUB)+P(A∩B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(AUB)-P(A∩B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A∩B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)P(B/A)\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    4. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা। সেট্ তত্ত্বের প্রচলিত প্রতীকসমূহের প্রয়োগে নিম্নলিখিত ঘটনাসমূহের প্রতীকসমূহ নির্ণয় করো:
    (i) কেবল A ঘটে
    (ii) A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না
    (iii) তিনটি ঘটনাই ঘটে
    (iv) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে
    (v) কমপক্ষে দুটি ঘটনা ঘটে

    (i) Ans: A∩Bc∩Cc
    (ii) Ans: A∩B∩Cc
    (iii) Ans: A∩B∩C
    (iv) Ans: AUBUC
    (v) Ans: (A∩B) U (B∩C) U (C∩A)

    5. মনে করো, কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A1, A2, A3 হলে কোন্ কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
    Ans:
    প্রদত্ত ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হলে,
    A1∩A2 = A2∩A3 = A3∩A1 = ϕ
    ⇒ P(A1∩A2) = P(A2∩A3) = P(A3∩A1) = 0 হবে।
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) হয়।
    ঘটনা তিনটি সম্পূর্ণ হলে,
    A1UA2UA3 =S হবে – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(S) = 1 হয়।

    6. দেখাও যে, A ও B ঘটনা দুটির ঠিক একটা ঘটার সম্ভাবনা হয় P(A) + P(B) – 2P (A∩B)
    Ans:
    ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
    = P(A – B) + P(B – A)
    = P(A) – P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(AB) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রসমূহ দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে কি?
    (i) P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P (C) = 0.1
    (ii) P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 P (C) = 0.2
    (iii)P (AUB) = 0.5, P(B) = 0.6, P (C) = 0.2
    (iv)P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P (BAC) = 0.1
    (v)P(A) = 0.32, P(B) = 0.47, P( BUC) = 0.6
    (vi) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P (C’) = 0.8
    যেখানে (AUBUC) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।

    Ans:
    প্রশ্নানুসারে,
    AUBUC=S (নিশ্চিত ঘটনা)
    ∴ P(AUBUC) = P(S) = 1
    ∵ A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
    P(A) + P(B) + P(C) = 1 – – – – (i)

    (i)
    P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.2 + 0.7 + 0.1 =1
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (ii)
     P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.4 + 0.6 + 0.2 = 1.2
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে না।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (iii)
     P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 0.5 = P(A) + 0.6
    ⇒ P(A) = 0.5 – 0.6 = – 0.1
    ∵ 0 ≤ P(A) ≤ 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হবে না।

    (iv)
    এখানে, P(B∩C) = 0.1≠ 0
    শর্তানুসারে, P(B∩C) = 0 হতে হবে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (v)
     P(BUC) = P(B) + P(C)
    ⇒ 0.68 = 0.47 + P (C)
    ⇒ P(C) = 0.21
    P(S) = P(AUBUC)
    = P(A) + P(B) + P(C)
    = 0.32 + 0.47 + 0.21 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (vi)
    P(B’) = 0.5.
    ⇒ P(B) = 1 – P(B’)
    ⇒ 1 – 0.5 = 0.5
    P(C’) = 0.8
    ⇒ P(C) = 1 – P(C’)
    ⇒ 1 – 0.8 = 0.2
    ∴ P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    8. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P (Z) এবং XUYUZ=S। যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    XUYUZ=S
    P(XUYUS) = P(S)
    ∵ S নিশ্চিত ঘটনা
    ∴ P(XUYUS) = P(S) = 1
    ∵ ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক
    ∴ P(XUYUS) = 1
    ⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
    ⇒ P(X) + 1/2P(X) + 1/3P(X) = 1
    ⇒ P(X) (1 + 1/2 + 1/3) = 1
    ⇒ P(X)×11/6 =1
    ⇒ P(X) = 6/11
    Ans: P(X) -এর মান 6/11

    9. 9. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35, P(A অথবা, B)= 0.85 এবং P(A এবং B)=0.15 তবে P(A) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    P(B) = 0.35,
    P(A অথবা, B)= 0.85
    ⇒ P(AUB) = 0.85,
    P(A এবং B)= 0.15
    ⇒ P(A∩B) = 0.15
    ∵ P(AUB) = 0.85
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.35 – 0.15 = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.20 = 0.85
    ⇒ P(A) = 0.65

    10. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং  P(A) = 2/5, P(B) = 1/3 ; P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A) P(B) – – – [ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা]
    = 2/5 + 1/3 – 2/5×1/3
    = 6+5-2/15
    = 9/15 = 3/5

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11.কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয়। যদি P(A) = 1/4,  P(B) = 2/5 এবং P(AUB) = 1/2  হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাসমূহের মান নির্ণয় করো:
    (i) P(A∩B) (ii) P(A∩Bc)
    (iii) P(AcUBc) যেখানে দিয়ে একটি ঘটনার পূরক ঘটনা প্রকাশিত হয়।

    (i)
    Solution: 
    P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
    = 1/4 + 2/5 – 1/2
    = 5+8-10/20 = 3/20 (Ans)

    (ii)
    Solution:
    P(A∩Bc) = P(A – (A-B))
    = P(A) – P(A∩B)
    = 1/4 – 3/20
    = 5-3/20
    = 2/20 = 1/10 (Ans)

    (iii)
    Solution:
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – 3/20 = 17/20 (Ans)

    12. P(ĀUB̄) = 5/6, P(A) = 1/2 এবং P(B̄) = 2/3 হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    Solution:
    P(ĀUB̄) = 5/6
    ∴ P(A∩B) = 1 – P(ĀUB̄)
    ⇒ P((A∩B) = 1 – 5/6 = 1/6
    আবার P(B̄) = 2/3
    ∴ P(B) = 1 – P(B̄)
    = 1 – 2/3 = 1/3
    ∴ P(A) P(B) = 1/2×1/3
    = 1/6 = P(A∩B)
    Ans: ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক ঘটনাসমূহের সংজ্ঞা দাও। দুটি ঘটনা একই সঙ্গে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে কি? তোমার উত্তর ব্যাখ্যা করতে যথোপযুক্ত উদাহরণ দাও।

    Ans:
    ⏺️যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে তাদের মধ্যে কোনো দুটি ঘটনা কখনও একই সঙ্গে ঘটা সম্ভব নয় তখন সেই ঘটনাসমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা বলা হয়।
    দুটি ঘটনা একইসাথে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে না ।
    ⏺️ ধরি, A, B দুটি ঘটনা এমন যে P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0
    আরও ধরি, A ও B পরস্পর পৃথক এবং স্বাধীন।
    (A∩B) = ϕ
    ∴ P(A∩B) = 0
    ⇒ P(A) P(B) = 0
    ∴ হয় P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 যা অসম্ভব।

    2. কখন দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়? দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B যেখানে P(A) ও P(B) কারও মান শূন্য নয়, স্বাধীন হতে পারে কি?

    Ans: যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা যেখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত,
    P(A∩B) = P(A)P(B) = 0
    ∴ P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 কিন্তু এখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    ∴ দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A1, A2 ও A3 তিনটি ঘটনা। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়,

    $$\mathbf{P(A_1∩A_2∩A_3)\\\quad\quad=P(A_1)P\left(\frac{A_2}{A_1}\right)P\left(\frac{A_3}{A_1∩A_2}\right)}\\$$

    কোন্ শর্তাধীনে P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3) হয় তা উল্লেখ করো।

    Solution:
    তিনটি ঘটনা একসঙ্গে ঘটবে যখন A1∩A2∩A3 ঘটবে।
    ∴ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হল –

    $$\large{\quad\quad P(A_1∩A_2∩A_3)\\=\frac{P(A_1∩A_2∩A_3)}{P(A_1∩A_2)}P(A_1∩A_2)\\=P(A_1∩A_2)P(A_3/(A_1∩A_2))\\=P(A_1)\frac{P(A_1∩A_2)}{P(A_1)} P\left(A_3/(A_1∩A_2)\right)\\=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/(A_1∩A_2))\\}$$

    ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে,
    P(A2/A1) = P(A2) এবং
    P(A3/(A1∩A2)) = P(A3) হবে।
    ∴ P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3)

    4. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে P(AUB) ≤ P(A) + P(B)।

    Solution:
    আমরা জানি,
    0 ≤ (AUB) ≤ 1
    ⇒ -1 ≤ -(AUB) ≤ 0
    ⇒ P(A) + P(B) -1 ≤ P(A) + P(B) – (AUB) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB) ≤ (A∩B) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB)  ≤ P(A) + P(B)

    5. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো:
    (i) P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1
    (ii) P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(E)
    (iii) P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) < P(B)
    Solution:
    (i)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    P(AUB) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B)  – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
    P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) ≤ P(A)
    ⇒ P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1 (Proved)
    (ii)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    A ≤ (AUB)
    ⇒ P(A) ≤ P(AUB) – – – (ii)
    আবার,
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) [∵ P(A∩B) ≥ 1] – – – (iii)
    (i), (ii) ও (iii) থেকে পাওয়া যায় –
    P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) (Proved)

    (iii) প্রদত্ত
    P(A) < P(B)
    ⇒ 1/P(A) > 1/P(B)
    ⇒ P(A∩B)/P(A) > P(A∩B)/P(B)
    ⇒ P(B/A) > P(A/B)
    ⇒ P(A/B) < P(B/A) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    6. A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো : (i) Ac এবং Bc (ii) Ac ও B (iii) A ও Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    ∵ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B)

    (i)
    P(Ac∩Bc) = P[(AUB)c]
    ⇒ P(Ac∩Bc) =1-P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B) + P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B)+  P(A)P(B)
    ⇒P(Ac∩Bc) = [1− P(A)] – P(B)[1 –  P(A)]
    ⇒ P(Ac∩Bc) = [1− P(A)][1- P(B)]
    ⇒P(Ac∩Bc) =  P(Ac)P(Bc)
    ∴ Ac এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (ii)
    P(Ac∩B) = P(B-(A∩B))
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A∩B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A)P(B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)[1-P(A)]
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)P(Ac)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(Ac)P(B)
    ∴ Ac এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (iii)
    P(A∩Bc) = P(A-(A∩B))
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A∩B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)[1-P(B)]
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ∴ A এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    7. Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে

    Solution:  Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(Ac∩Bc) = P(Ac) P(Bc)
    ⇒ P[(AUB)c]= (1-P(A)) (1-P(B))
    ⇒ 1-P(AUB) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- [P(A) + P(B) – P(A∩B)] = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- P(A) – P(B) + P(A∩B) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩B) =  P(A)P(B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    8. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    তিনবার টস করার ঘটনা নমুনাদেশ হল –
    {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
    তিনবার টস করার ঘটনায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8 টি।
    A = {TTT, TTH, THT, THH }
    B = {HHH, HHT, THH, THT} এবং
    A∩B = {THH, THT}
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2
    P(B) = 4/8 = 1/2
    P(C) = 4/8 = 1/2
    P(A∩B) = 2/8 = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2
    = 1/2 = P(A∩B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা দুবার টস্ করা হয়। মনে করো, A, B ও C দ্বারা যথাক্রমে প্রথম টসে হেড্‌, দ্বিতীয় টসে হেড্‌ এবং কেবল একটি হেড্‌ পড়ার ঘটনা সূচিত হয়। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি প্রতি জোড়ায় স্বাধীন।

    Solution:
    দুবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HH, HT, TH, TT}
    A = {HH, HT},
    B= {HH, TH},
    C = {HT, TH} 
    ∴ A∩B = {HH},
    B∩C = {TH} এবং
    C∩A = {HT }
    ∴ P(A) = 2/4 = 1/2 P(B) = 2/4 = 1/2
    P(C) = 2/4 = 1/2 P(A∩B)= 1/4
    P(B∩C)= 1/4 P(C∩A) = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।

    10. প্রমাণ করো যে, দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় “প্রথম পাশায় 4 পড়ার” এবং “দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার” ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    Solution:
    ধরি, প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়।
    দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 =36
    প্রথম পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ প্রথম পাশায় 4 পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = 1/6
    দ্বিতীয় পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = 1/6
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(A∩B) = 1/36
    P(A) P(B) = 1/6×1/6
    = 1/36 =P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল ei(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:
    A = (e1, e2, e3, e4); B = (e3, e4, e5, e6) ও
    C = (e3, e4, e7, e8) A, B ও C
    ঘটনা তিনটির অধীনতা বা স্বাধীনতা পরীক্ষা করো।
    Solution:
    A∩B = (e3, e4), B∩C=(e3, e4)
    C∩A =(e3, e4) এবং A∩B∩C= (e3, e4 )
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2; P(B) = 4/8 = 1/2;
    P(C) = 4/8 = 1/2; P(A∩B) = 2/8 = 1/4;
    P(B∩C) = 2/8 = 1/4;
    P(C∩A) = 2/8 = 1/4;
    P(A∩B∩C)= 2/8 = 1/4;
    P(A)P(B) =1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) =1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।
    P(A)P(B)P(C) = 1/2×1/2 ×1/2= 1/4 ≠ P(A∩B∩C)
    ∴  ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন নয়।

    12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
    (i) P(AcUBc)
    (ii) P(AcUB)
    (iii) P(Ac∩Bc)

    Solution:
    (i)
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – c (Ans)
    (ii) P(AcUB) = P(Ac) + P(B) – P(Ac∩B)
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B – (A∩B))
    = 1 – P(A) + P(B) – [P(B – P(A∩B))]
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – b + c (Ans)
    (iii) P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – a – b + c (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/4 হলে P(Bc), P(A∩Bc), P(AUB), P(B/A), P(Ac∩Bc), P(AUBc) এর মান নির্ণয় করো।
    এক্ষেত্রে, A ও B ঘটনা দুটি
    (i) পরস্পর পৃথক কি না (ii) স্বাধীন কি না
    (iii) সমভাবে সম্ভাব্য কি না (iv) সম্পূর্ণ কি না বলো।

    Solution:
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 − 1/2 = 1/2 (Ans)
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A)-P(A∩B)
    = 1/3 – 1/4
    = 4-3/12 = 1/12 (Ans)
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 1/3 + 1/2 – 1/4
    = 4+6-3/12 = 7/12 (Ans)
    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 1/4/1/3= 3/4 (Ans)
    P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – [1/3 + 1/2 – 1/4]
    = 1 – 7/12 = 5/12 (Ans)
    P(AUBc) = P(A) + P(Bc) – P(A∩Bc)
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A – (A∩B))
    = P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(A∩B)]
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – 1/2 + 1/4 = 3/4 (Ans)
    (i) P(A∩B) = 1/4 ≠ 0
    ∴ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক নয়। (Ans)
    (ii) P(A)P(B) = 1/3×1/2
    = 1/6 ≠ 1/4
    ∴ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়। (Ans)
    (iii) P(A) = 1/3 এবং P(B) = 1/2
    ∴ P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। (Ans)
    (i) P(AUB) = 7/12 ≠ 1
    ∴ ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়। (Ans)

    14. (i) প্রদত্ত P(E) = 1/3 , P(F)= 1/4 এবং P(E∩F)= 1/6 , P(EcUF) মান নির্ণয় করো।

    (i) Solution:
    P(EcUF) = P(Ec)+ P(F) – P(Ec∩F)
    = P(Ec) + P(F)+ P(F∩Ec)
    = 1-P(E)+ P(F) − P(F – P(E∩F))
    = 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E∩F)]
    = 1 – P(E) + P(F) – P(F) + P(E∩F)
    = 1 – P(E) + P(F∩E)
    = 1 – 1/3 + 1/6
    = 6-2+1/6 = 5/6 (Ans)

    (ii)  যদি 2P(A) = P(B) = 5/13 এবং P(A/B) = 2/5 হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    2P(A) = P(B)
    বা, P(A) = 1/2×P(B)
    = 1/2×5/13 – – – [P(B) = 5/13]
    = 5/26
    P(A/B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/5/13 = 2/5
    ⇒ P(A∩B) = 2/5×5/13
    = 2/13
    ∴ P(AUB) = P(A)+ P(B) – P(A∩B)
    = 5/26 + 5/13 – 2/13
    = 5+10-4/26 = 11/26 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(AcUBc)= 0.7; P(A/Bc) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AcUBc) = 0.7
    ⇒ P(A∩B)c = 0.7
    ⇒ 1- P(A∩B) = 0.7
    ⇒ P(A∩B) = 1- 0.7 = 0.3
    P(A/B) = 0.8
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 0.8
    ⇒ 0.3/P(B) = 0.8
    ⇒ P(B) = 0.3/0.8
    = 3/8 = 0.375
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 – 3/8
    = 5/8 = 0.625
    P(B/A) = 0.6
    ⇒ P(A∩B)/P(A) = 0.6
    ⇒ 0.3/P(A) = 0.6
    ⇒ P(A) = 0.3/0.6
    = 1/2 = 0.5
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A) – P(A∩B)
    = 0.5 – 0.3=0.2
    P(A/Bc) = P(A∩Bc)/P(Bc)
    = 0.2/0.625 = 0.32 (Ans)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    (i) Solution:
    P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9
    ∵ P(A + B) = 7/9
    ⇒ P(AUB) = 7/9
    ⇒ P(A)+ P(B) – P(A∩B) =7/9
    ⇒ 3/7 + 4/7  – P(A∩B) = 7/9
    ⇒ P(A∩B) = 3/7 + 4/7 – 7/9
    = 1- 7/9 = 2/9
    ∴ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18 (Ans)

    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 2/9/3/7
    = 2/9×7/3 = 14/27 (Ans)
    আবার
    P(A)P(B) = 3/7 × 4/7
    = 12/49 ≠ P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দটি স্বাধীন নয়।

    (ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2;
    P(E/F) = P(E∩F)/P(F)
    = 0.2/0.3 = 2/3 (Ans)
    P(F/E) = P(E∩F)/P(E)
    = 0.2/0.6 = 1/3 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    17. (i) দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    ধরি, প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 2 : 7
    ∴ P(A) = 7/2+7 = 7/9
    B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 7 : 5
    ∴ P(B) = 5/7+5 = 5/12
    ∵ ঘটনা দুটি স্বাধীন
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B) = 7/9×5/12 = 35/108
    ∴ ঘটনা দুটির অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা-
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
    = 7/9 + 5/12 – 35/108
    = 84+45-35/108
    = 94/108 = 47/54

    (ii) দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইন্টারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/6 এবং 1/7 হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    ধরি, A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S1 এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 1/6 এবং
    P(S2) = 1/7
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 1/6 × 1/7 = 1/42
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 1/6 + 1/7 – 1/42
    = 7+6-1/42
    = 12/42 = 2/7
    Ans: কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 2/7

    18. একজন ঠিকাদারের প্লামবিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা না পাওয়ার সম্ভাবনা 5/9 । যদি কমপক্ষে একটি ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 4/5 হয়, তবে তার পক্ষে উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?।

    Solution:
     ধরি, প্লাম্বিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা A এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    P(A) = 2/3 ; এবং
    P(B)C  = 5/9
    ⇒ P(B) = 1 – P(B)C
     = 1- 5/9 = 4/9
    P(AUB) = 4/5
    আবার, P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ 4/5 = 2/3 + 4/9 – P(A∩B)
    ⇒ P(A∩B) = 2/3 + 4/9 – 4/5
    ⇒ P(A∩B) = 30+20-36/45
    ⇒ P(A∩B) = 14/45
    Ans: উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 14/45

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    19. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ n(A) = 30
    ⇒ P(A) = 30/30+20 = 30/50 = 3/5
    n(B) = 1/2×30 + 1/2×20 = 15+10 = 25,
    ⇒ P(B) = 25/50 = 1/2
    n(A∩B) = 1/2×30 = 15
    ⇒ P(A∩B) =15/50 = 3/10
    ∴ উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচন করা হলে, বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল –
    P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
    = 3/5 + 1/2 – 3/10
    = 6+5-3/10
    = 8/10 = 4/5
    Ans: বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা 4/5

    20. প্রথম 200টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, তোলা টিকিটটি 3-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A এবং 7-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3-এর গুণিতক আছে 66 টি
    ∴ n(A) = 66 ⇒ P(A)= 66/200 = 33/100
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক আছে 28 টি।
    ∴ n(B) = 28 ⇒ P(B) = 28/200 = 7/50
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3 এবং 7-এর গুণিতক অর্থাৎ 21-এর গুণিতক আছে 9টি।
    ∴ n(A∩B) = 9 ⇒ P(A∩B) = 9/200
    ∴ নির্বাচিত সংখ্যাটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 33/100 + 7/50 – 9/200
    = 66+28-9/100
    = 17/40
    Ans: তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা 17/40

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    21. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা B -এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

    Solution:  
    ধরি, A-এর সমাধান করার ঘটনা S1 এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 75/100 = 3/4 এবং
    P(S2) = 70/100 =  7/10
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 3/4 × 7/10 = 21/40
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 3/4 + 7/10 – 21/40
    = 30+28-21/40
    = 37/40
    Ans: A অথবা B-এর সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা হল 37/40 

    22.  চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:  
    ধরি, লক্ষ্যবস্তুতে A-এর আঘাত করার ঘটনা T1 এবং B -এর আঘাত করার ঘটনা T2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(T1) = 3/4 এবং
    P(T2) = 4/5 ,
    দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা হল –
    P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1∩T2 )
    ⇒ P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1)P(T2 ) – – – [T1,T2 ঘটনা দুটি স্বাধীন]
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/4 × 4/5
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/5
    ⇒ P(T1UT2) = 15 + 16 – 12/20
    ⇒ P(T1UT2) = 19/20
    Ans: দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা 19/20

    PREVIOUS
    NEXT
  • অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1-CLICK HERE

    3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, da/cosA + db/cosB = 0
    Solution:

    A B C a b c

    a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ a = 2RsinA
    বা, da = 2RcosA dA
    বা, da/cosA = 2RdA – – – – (i)
    আবার,
    b = 2RsinB
    বা, db = 2RcosBdB
    বা, db/cosB = 2RdB – – – – (ii)
    (i) + (ii) করে পাই,
    da/cosA + db/cosB
    = 2RdA +2RdB
    = 2R(dA + dB)
    = 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
    dA + dB = 0
    = 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
    da/cosA + db/cosB = 0 (Proved)

    (ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

    $$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$
    A B C a b c
    $$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$

    4. দোলকের দৈর্ঘ্য l ও দোলনকাল T যদি T=2л√l/g সূত্র দ্বারা আবদ্ধ হয় এবং g দৈর্ঘ্যের ত্রুটি 1% হলে, দোলনকালের ত্রুটি নির্ণয় করো।
    Solution:

    $$\large{T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}\\⇒\frac{dT}{dl}=\frac{2π}{\sqrt g}.{\frac{1}{2\sqrt l}}\\⇒dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}.Δl\\ \quad ∵\quad\frac{Δl}{l}×100=1\\⇒\quadΔl=0.01l \\∴dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}×0.01l\\⇒dT=2π\sqrt{\frac{l}{g}}×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×0.005\\⇒\frac{dT}{T}=0.005\\∴\left(\frac{dT}{T}×100\right)\%=0.5\%}$$Ans: দোলনকালের ত্রুটি 0.5%

    5. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। যদি ব্যাসার্ধের পরিমাপে সম্ভাব্য ত্রুটির মান 0.05 সেমি হয়, তবে গোলকের আয়তনের পরিমাপে ত্রুটি, আপেক্ষিক ও শতকরা ত্রুটির মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি,গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
    এখানে, r = 20 সেমি এবং Δr = 0.05 সেমি
    গোলকের আয়তন V হলে,
    V = 4/3 πr3
    ∴ dV/dr = 4πr2
    ⇒ dV = 4πr2 × Δr
    ⇒ dV = 4π×(20)2 ×0.05
    ⇒ dV = 4π×400×5/100
    ⇒ dV = 80π
    Ans: আয়তনের পরিমাপে ত্রুটির মান 80π
    ∴ dV/V = 80π/4/3 π(20)3
    ⇒ dV/V = 80×3/4×8000
    ⇒ dV/V = 3/400
    ⇒ dV/V = 0.0075
    Ans: আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান 0.0075
    ∴ dV/V × 100 = 0.0075×100
    = 0.75
    Ans: আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির মান 0.75

    6. দেখাও যে, কোনো ঘনকের আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান তার বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির প্রায় তিনগুণ।

    Solution:
    ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
    ঘনকের আয়তন V হলে,
    V = a3
    ∴ dV/da = 3a2
    ⇒ dV = dV/da .da
    ⇒ dV = 3a2.da
    ⇒ dV = 3a2 × a × da/a
    ⇒ dV = 3a3 × da/a
    ∴ dV/V = 1/V × 3a3 × da/a
    ⇒ dV/V = 1/3a3 × 3a3 × da/a
    ⇒ dV/V = 3 da/a
    ∴ আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি = 3× বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি (Proved)

    7. একটি বেলুনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ব্যাসার্ধ মাপতে গিয়ে যদি 0.01 সেমি ত্রুটি হয়, তবে বেলুনের আয়তন নির্ণয় করতে গিয়ে কত ত্রুটি হবে নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, বেলুনের ব্যাসার্ধ r;
    এখানে, r = 7 সেমি এবং Δr = 0.01 সেমি
    বেলুনের আয়তন V হলে,
    V = 4/3 πr3
    ∴ dV/dr = 4/3 π.3.r2
    ⇒ dV/dr = 4πr2
    ∴ ΔV = dV/dr.Δr
    ⇒ ΔV = 4πr2.Δr
    ⇒ ΔV = 4π72.0.01 – – – – [r = 7]
    ⇒ ΔV = 4×22/7×72×1/100
    ⇒ ΔV = 6.16
    Ans: বেলুনের আয়তন নির্ণয়ে ত্রুটি 6.16 বর্গসেমি ।

    8. একটি ওলটানো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির জলাধারের উচ্চতা 24 ইঞ্চি ও ভূমির ব্যাস 12 ইঞ্চি। জলাধারে প্রতি মিনিটে 100 ঘনইঞ্চি জল ঢালা হয়। যখন জলাধারে জলের উচ্চতা 10 ইঞ্চি তখন জলতলের উচ্চতা কী হারে বৃদ্ধি পায়?

    Solution:
    ধরি, t সময়ে জলাধারে সঞ্চিত জলের আয়তন V;
    জলের উপরিতলের ব্যাসার্ধ r এবং জলের গভীরতা h হলে,
    সঞ্চিত জলের আয়তন
    V = 1/3 πr2h
    এখানে,
    OB = 24 ইঞ্চি ; OA =6 ইঞ্চি, OB= 24 ইঞ্চি;
    t সময়ে CD = r; জলের গভীরতা CB = h
    স্পষ্টতই, △AOB এবং △DCB সদৃশ।

    C DB O A r h
    $$\large{\therefore \frac{OA}{CD}=\frac{OB}{CB}\\⇒\frac{6}{r}=\frac{24}{h}\\⇒\frac{1}{r}=\frac{4}{h}\\⇒r=\frac{h}{4}\\\therefore V=\frac{1}{3}.π.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h\\⇒ V=\frac{1}{3}.π.\frac{h}{16}^3\\⇒ \frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}.π.3.\frac{h}{16}^2.\frac{dh}{dt}\\ ⇒\frac{dV}{dt}=π.\frac{h}{16}^2\frac{dh}{dt}\\ \quad\quad\frac{dV}{dt}= 10;\quad h=10 \\100=\frac{π}{16}10^2\frac{dh}{dt}\\⇒ \frac{dh}{dt}=\frac{16}{π}\\}$$Ans: জলতলের উচ্চতা 16/π ইঞ্চি/মিনিট হারে বৃদ্ধি পায়।

    9. 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি 15 ফুট উচ্চ একটি আলোকস্তম্ভের পাদদেশ থেকে ঘণ্টায় 3 মাইল বেগে সরে আসলে,
    (i) তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কী হারে বৃদ্ধি পাবে?
    (ii) তার ছায়ায় দূরবর্তী প্রান্ত কত বেগে গতিশীল হবে ?

    (i)
    Solution:
    এখানে, আলোকস্তম্ভের উচ্চতা(AB) = 15 ফুট,
    ব্যক্তির উচ্চতা(DE) = 6 ফুট,
    dx/dt = 3 মাইল/ঘন্টা,
    ধরি, BE = x, ছায়ার দৈর্ঘ্য(EC) = y,
    স্পষ্টতই, △ABC এবং △DEC সদৃশ।

    E D 6 15A B C y x
    $$\large{\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\\⇒\frac{15}{6}=\frac{x+y}{y}\\⇒\frac{5}{2}=\frac{x+y}{y}\\⇒5y=2(x+y)\\⇒3y=2x\\ ⇒3\frac{dy}{dt}=2\frac{dx}{dt}\\⇒3\frac{dy}{dt}=2.3\\⇒\frac{dy}{dt}=2}$$

    Ans: ব্যক্তিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ঘন্টায় 2 মাইল বেগে বাড়বে।
    (ii)
    Solution:
    d(x+y) = dy/dt + dx/dt
    = 3 + 2 =5
    Ans: ছায়ার দূরবর্তী প্রান্তের বেগ ঘন্টায় 5 মাইল বেগে গতিশীল হবে।

    10.কোনো জলাধারের তলদেশ 3 ফুট বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। যদি জলাধারে জলের উচ্চতা প্রতি মিনিটে 1 ফুট বৃদ্ধি পায়, তবে তাতে কী হারে জল ঢালা হচ্ছিল?

    Solution:
    ধরি, জলাধারটির বাহুর দৈর্ঘ্য a ফুট এবং উচ্চতা h ফুট
    ∴ জলাধারটির আয়তন V = a2h
    এখানে a = 3 ফুট, dV/dt = a2
    dh/dt = 1 ফুট/মিনিট
    ∵ V = a2h
    ⇒ dV/dt = a2.dh/dt
    ⇒dV/dt = 32×1
    ⇒ dV/dt = 9
    Ans: 9 ঘনফুট/মিনিট হারে জল ঢালা হচ্ছিল।

    11. প্রতি মিনিটে 3 ঘনফুট হারে বালি ফেলে ভূমি সমতলে একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হয়, যার উচ্চতা ভূমির ব্যাসার্ধের অর্ধেক। যখন ভূমির ব্যাসার্ধ 4 ফুট, তখন কী হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে?

    Solution:
    ধরা যাক,লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
    এখানে dV/dt = 3 ঘনফুট/মিনিট
    এবং h = r/2
    বা, r = 2h
    শঙ্কুর আয়তন হলে,
    V = 1/3 πr2h
    বা, V = 1/3 π(2h)2h
    = 4/3 πh3
    ∴ dV/dt = 4/3 π.3.h2
    ⇒ dV/dt = 4πh2 dh/dt
    ⇒ 3 = 4π(r/2)h2 dh/dt
    ⇒ 3 = 4π(4/2)2 dh/dt
    ⇒ 3 = 4π.4 dh/dt
    ⇒ dh/dt = 3/16π
    Ans: প্রতি মিনিটে 3/16π ফুট হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে

    12. 26 ফুট দীর্ঘ একটি মই উল্লম্ব দেওয়ালের গায়ে হেলানো অবস্থায় আছে। দেওয়াল থেকে মইটির নিম্নপ্রান্তের অনুভূমিক দূরত্ব 10 ফুট। যদি মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেন্ডে 10 ইঞ্চি বেগে নামতে থাকে, তবে তার নিম্নপ্রান্ত ভূমির ওপর কত বেগে গতিশীল হবে? মইটির প্রবণতা যে হারে পরিবর্তিত হয় তাও নির্ণয় করো।

    A B C y 26 ফুট x

    Solution:
    ধরি, AB = x এবং BC = y
    মইটির উচ্চতা(AC) = 26 ফুট = 26×12 ইঞ্চি
    t সময়ে মইটি অনুভূমিক মেঝের সঙ্গে θ কোণ করে থাকলে,
    প্রবণতা(m) = tanθ = x/y
    এখানে dx/dt = 10 ইঞ্চি/সেকেন্ড
    চিত্রে BC = 50 ফুট
    ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
    x2 + y2 = (26×12)2
    ⇒ 2x×dx/dt + 2y×dy/dt = 0
    ⇒ x×dx/dt + 2y×dy/dt = 0
    ⇒ y×dy/dt = 2x×dx/dt
    ⇒ dy/dt = – x/y×dx/dt
    y = BC = 10 ফুট = 10×12 ইঞ্চি হলে,
    x2 + y2 = (26×12)2 থেকে পাই,
    x2 + (10×12)2 = (26×12)2
    বা, x2 = (26×12)2 – (10×12)2
    বা, x2 = 122(262 – 102)
    বা, x2 = 122(26 + 10)(26 – 10)
    বা, x2 = 122 × 36 × 16
    বা, x = 12 × 6 × 4
    ∴  dy/dt = – x/y×dx/dt
    ⇒ dy/dt = – 12 × 6 × 4/12 × 10×(-10)
    = 24
    Ans: মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেণ্ডে 24 ইঞ্চি বা 2 ফুট বেগে গতিশীল।
    দ্বিতীয় অংশঃ প্রবণতা পরিবর্তনের হার-
    m = tanθ = x/y

    $$\large{\therefore\frac{dm}{dt}=\frac{y.\frac{dx}{dt}-x.\frac{dy}{dt}}{y^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{10.\frac{-10}{12}-2.24}{(10)^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-\frac{50}{6}-48}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{\frac{-50-288}{6}}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-338}{6.100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-169}{300}}$$Ans: প্রবণতা পরিবর্তনের হার, সেকেন্ডে 169/300 ফুট প্রতি সেকেন্ড

    13. ভূমি সমতলে পর্যবেক্ষক থেকে 50 ফুট দূরে একটি বেলুন সেকেন্ডে 6 ফুট বেগে উল্লম্বভাবে ওপরদিকে ওঠে। যখন ভূমি থেকে বেলুনের উচ্চতা 120 ফুট তখন সেটি কত বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়?

    A B C 50 y x

    Solution:
    ধরি, AB = x ফুট এবং AC = y ফুট
    এখানে dx/dt = 6 ফুট/সেকেন্ড
    চিত্রে BC = 50 ফুট
    ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
    y2 = x2 + 502
    বা, y2 = 1202 + 502 – – – [∵ AB = 200]
    বা, x2 = 14400 + 2500
    বা, x2 = 16900
    বা, x = 130
    বা, (120) 2 + 502=y2
    বা, y = 130
    আবার,
    y2 = x2 + 502
    ⇒ 2y×dy/dt = 2x×dx/dt
    ⇒ y×dy/dt = 2x×dx/dt
    ⇒ dy/dt = x/y×dx/dt
    ⇒ dy/dt = 120/130×6
    ⇒ dy/dt = 72/13
    Ans: বেলুনটি সেকেন্ডে 72/13 ফুট বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়1

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

    14. একটি বাড়ি থেকে 30 ফুট দূরে ভূমিতে একটি বাতি জ্বলছিল; 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি বাতির কাছ থেকে প্রতি সেকেন্ডে 5 ফুট বেগে বাড়ির দিকে হাঁটতে থাকে। বাড়ি থেকে যখন তার দূরত্ব 15 ফুট, তখন কী হারে দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কমতে থাকবে?

    Solution:
    ধরি, DE ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং ব্যক্তিটির উচ্চতা(BC) = 6 ফুট ;
    চিত্রে AE = 30 ফুট, CE=15 ফুট, AC = x ফুট (ধরি,)
    dx/dt = 5 ফুট/সেকেন্ড;
    স্পষ্টতই, △AED এবং △ACB সদৃশ।

    C B 6D E A x y
    $$\large{\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}\\⇒\frac{y}{6}=\frac{30}{x}\\⇒xy= 180\\⇒ x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0\\⇒15.\frac{dy}{dt}+12.\frac{dx}{dt}=0 —(x=15 হলে,y=12)\\⇒ 15.\frac{dy}{dt}+12.5=0\\⇒\frac{dy}{dt}=-\frac{60}{15}=-4}$$Ans: দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সেকেন্ডে 4 ফুট হারে কমতে থাকবে।

    15. একজন বালক একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছিল। ঘুড়িটির উচ্চতা যখন 160 ফুট তখন বালকটি থেকে ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য 200 ফুট (সুতোটি একটি সরলরেখায় আছে ধরে নাও) বালকটি থেকে অনুভূমিক তলের সমান্তরালভাবে ঘুড়িটি ঘণ্টায় 5 মাইল বেগে উড়তে থাকলে বালকটি কী হারে সুতো ছাড়ছিল?

    A B C x y

    Solution:
    ধরি, ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য(AC) = y ফুট এবং BC = x ফুট
    এখানে AB = 160 ফুট;
    dy/dt = 5 মাইল/ঘণ্টা
    ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
    x2 +1602 = y2
    বা, x2 +1602 = 2002
    বা, x2 = 2002 -1602 – – – [∵ AB = 200]
    বা, x2 = (200 + 160)(200 + 160)
    বা, x2 = 360×40
    বা, x = 6×20 = 120
    ∵ x2 +1602 = y2
    ⇒ 2x×dx/dt = 2y×dy/dt
    ⇒ xdx/dt = ydy/dt
    ⇒ dy/dt = x/y×dx/dt
    ⇒ dy/dt = 120/200×5
    ⇒ dy/dt = 120/200×5
    ⇒ dy/dt = 3
    Ans: বালকটি 3মাইল/ঘণ্টা বেগে সুতো ছাড়ছিল।

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

    16. অক্ষটিকে উল্লম্ব অবস্থায় রাখা একটি শঙ্কু আকৃতির পাত্র থেকে প্রতি মিনিটে 8৪৪ ঘনমিটার জল সমহারে পাম্প করে ফেলা হচ্ছে। যদি শঙ্কুর অর্ধ-শীর্ষকোণ 45° হয়, তবে যখন জলের গভীরতা 2 মিটার, তখন জলতল অবনমনের হার বের করো।

    45° A B C r h

    Solution:
    সমকোণী △ABC-এর ∠BAC= 45°
    ধরি শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং উচ্চতা hমিটার
    ∵ ∠BAC= 45°
    ∴ h = r
    শঙ্কুর আয়তন V হলে,
    V = 1/3 πr2h = 1/3 πr3 – – – [∵ h = r]
    ⇒ dV/dr = 1/3×π×3r2
    ⇒ dv = πr2 dr
    ⇒ 88 = π×22×dr
    ⇒ 88 = 22/7×4×dr
    ⇒ dr = 7
    Ans: জলতল অবনমনের হার 7 মিটার

    17. একটি বৃত্তাকার কালির ফোঁটা সেকেন্ডে 2 বর্গসেমি হারে বড়ো হয়; 26/11 সেকেন্ড পরে তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি 26/11 সেকেন্ড পরে বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ব্যাসার্ধ r সেমি,
    ∴ বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ক্ষেত্রফল S = πr2
    প্রশ্নানুসারে,
    πr2 = 2 × 26/11
    বা, 22/7 r2 = 2 × 28/11
    বা, r2 = 4×7×7/11×11
    বা, r = 2×7/11 = 14/11
    এখানে, dS/dt = 2
    ∵ S = πr2
    ⇒ dS/dt = 2πrdr/dt
    ⇒ 2 = 2×22/7×14/11×dr/dt
    ⇒ 1 = 4×dr/dt
    ⇒ dr/dt = 1/4 = 0.25
    Ans: ব্যাসার্ধ সেকেন্ডে 0.25 সেমি বৃদ্ধি পায়।

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    18. স্থির হ্রদে একটি পাথর ফেলা হয় এবং ঢেউগুলি সেকেন্ডে 4 সেমি হারে বৃত্তাকারে গতিশীল হয়। যে সময়ে বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বৃদ্ধি পায়?

    Solution:
    ধরি বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ r সেমি,
    ∴ বৃত্তাকার ঢেউ-এর ক্ষেত্রফল S = πr2
    এখানে, dr/dt = 4
    ∵ S = πr2
    ∴  dS/dt = 2πr.dr/dt
    =2π×10×4
    = 80π
    Ans: 80 বর্গসেমি হারে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়।

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

    19. দুটি রাস্তা AB ও BC পরস্পর B বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার। একজন ব্যক্তি A বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 4 মিটার বেগে B অভিমুখে সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে এবং ওই সময়ে B বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 8 মিটার বেগে অপর এক ব্যক্তি BC রাস্তায় সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে। যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কী হারে পরিবর্তিত হয়?

    Solution:
    এখানে, ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার।
    ধরি, t সেকেন্ড পর তারা D ও E বিন্দুতে পৌছয়।
    প্রথম ব্যক্তি A বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 4t মিটার এবং
    দ্বিতীয় ব্যক্তি B বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 8t মিটার।
    অাসে।
    ∴ BD = 28 – 4t এবং BE = 8t মিটার এবং DE = x (ধরি)

    ∠ ∠60°A B C D E
    $$\large{\quad cos60°=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒\frac{1}{2}=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒(28-4t).8t=(28-4t)^2+(8t)^2-x^2\\⇒x^2=(28-4t)^2+64t^2+32t^2-224t\\⇒x^2=(28-4t)^2+96t^2-224t\\\therefore 2x\frac{dx}{dt}=2(28-4t)(-4)+192t-224\\⇒x\frac{dx}{dt}=-112+16t+96t-112\\⇒x\frac{dx}{dt}=112t-224\\⇒\frac{dx}{dt}=\frac{112t-224}{\sqrt{(28-4t)^2+96t^2-224t}}\\\therefore\left[\frac{dx}{dt}\right]_{t=3}=\frac{112×3-224}{\sqrt{(28-4×3)^2+96×3^2-224×3}}\\\quad\quad=\frac{336-224}{\sqrt{286+864-672}}\\\quad\quad=\frac{112}{\sqrt{448}}\\\quad\quad=\frac{16×\sqrt7×\sqrt7}{8\sqrt{7}}\\ \quad\quad=2\sqrt7}$$Ans: যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√7 হারে পরিবর্তিত হবে।

    20. কোনো গ্যালভানোমিটারে C = ktanθ সমীকরণের সাহায্যে তড়িৎপ্রবাহ C-এর পরিমাণ নির্ণয় করা হয় (k একটি ধ্রুবক) θ = 45°-তে θ-এর পরিমাপে 0.7% ত্রুটির জন্য অনুরূপ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি নির্ণয় করো।

    Solution:
    C = ktanθ
    ∴ dC/dθ = ksec2θ
    এখানে, △θ/θ × 100 = 0.7
    বা, △θ = 0.7θ/100
    ∴ △C = dC/dθ × △θ
    = ksec2θ × 0.7θ/100

    $$\large{=\frac{△C}{C}×100\\=\frac{\frac{ksec^2θ ×0.7θ}{100}}{ktanθ}×100\\= \frac{ksec^2θ ×7θ}{ktanθ×10×100}×100\\= \frac{sec^2θ ×7θ}{tanθ×10}\\= \frac{sec^245° ×7×\frac{π}{4}}{tan45°×10}\\= \frac{(\sqrt{2})^2×7×\frac{22}{7×4}}{1×10}\\= \frac{2×7×22}{7×4×10}\\= \frac{11}{10}=1.1}$$ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি শতকরা 1.1 Ans

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

    21. ভূমি সমতল থেকে ⅔ কিমি উচ্চতায় একটি উড়োজাহাজ ঘণ্টায় 15 কিমি বেগে অনুভূমিক দিকে গতিশীল। ভূমির ওপর অবস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি কী হারে দূরে সরে যায় (প্রদত্ত, 2 মিনিট আগে উড়োজাহাজটি ওই স্থির বিন্দুর ওপর দিয়ে গিয়েছিল)?

    A B C y x

    Solution:
    2 মিনিটে উড়োজাহাজটি যায়
    = 15 × 2/60 কিমি
    = ½ কিমি।
    চিত্রে AC = ⅔ কিমি;
    CB = x কিমি এবং AB = y কিমি হলে
    x2 = y2 + (⅔)2
    ⇒ 2x dx/dt = 2y dy/dt
    ⇒ x dx/dt = y. dy/dt
    ⇒ dx/dt = y/x. dy/dt
    ⇒ dx/dt = y/x × 15 – – – [∵ dy/dt = 15]
    y= ½, x = ⅚  হলে
    dx/dt = ½/⅚ × 15
    ⇒ dx/dt = ⅗ × 15
    = 9
    Ans: স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি প্রতি ঘন্টায় 9 কিমি দূরে সরে যায়।

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights