বেজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem):: একটি ঘটনা X ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A1, A2, A3,…………… An ঘটে। এখন যদি শর্তমুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(A1), P(A2), P(A3), …………. P(An) এবং শর্তযুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(X/A1), P(X/A2),…………….. P (X/An) জানা থাকে, তবে সেক্ষেত্রে X ঘটনা ঘটেছে এরূপ শর্তে Ai ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনার মান অর্থাৎ P(Ai/X) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত হয়:
প্রমাণ: ∵ A1, A2, A3,…………… An ঘটনাগুলি সম্পূর্ণ ∴ A1UA2UA3,……………UAn = S – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা] এখন X একটি যে-কোনো ঘটনা হলে X = S∩X = [A1UA2……………UAn]∩X = (A1∩X)U(A2∩X)……………U(An∩X) এখানে A1∩X, A2∩X……………U(An∩X) ঘটনাগুলি পৃথক কারণ A1, A2,…………… An ঘটনাগুলি পৃথক। ∴ সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য অনুসারে – P(X) = P(A1∩X) + P(A2∩X) + …………… + P(An∩X) = P(A1)P(X/A1) + P(A2)P(X/A2) + …………… +P(An)P(X/An) – – – – (i) আবার সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য অনুসারে – P(Ai∩X) = P(X)P(Ai/X)
2. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I : 1 টি সাদা ও 2 টি কালো; বাক্স II : 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III : 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, বাক্স-I, বাক্স-II এবং বাক্স-III নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A1, A2, এবং A3 ∴ P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ; ∴ P(W/A1) = 1/1+2 = 1/3 P(W/A2) = 2/2+1 = 2/3 P(W/A3) = 2/2+2 = 2/4 = 1/2 উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A3/W) W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A1, A2 ও A3 এর কোনো একটি ঘটে। ∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
3. কোনো বোলটু কারখানায় M1, M2, M3 মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। M3 মেশিনের সাহায্যে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, M1, M2 ও M3 মেশিনে বোলটু উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A1, A2 ও A3 ∴ P(A1) = 25/100 = 1/4 P(A2) = 35/100 = 7/20 P(A3) = 40/100 = 2/5 আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোলটুটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ; ∴ P(X/A1) = 5% = 5/100 P(X/A2) = 4% = 4/100 P(X/A3) = 2% = 2/100 নির্বাচিত বোল্টটি M3 মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A3/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A1, A2 ও A3 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
4. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত হানার সম্ভাবনা কত? যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা কত?
5. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা ও 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A1, A2, এবং A3 প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। ∴ P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ; ∴ P(R/A1) = 2/2+3 = 2/5 P(R/A2) = 3/3+2 = 3/5 P(R/A3) = 4/4+1 = 4/5 উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A1/W) W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A1, A2 ও A3 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
6. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2 ∴ P(E1) = P(E2) = 1/2 আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R ∴ P(R/E1) = 3/2+3 = 3/5 P(R/E2) = 5/4+5 = 5/9 তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E2/W) R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E1 ও E2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
7. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানীর দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় যন্ত্রটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A1 ও A2 ∴ P(E1) = 60% = 60/100 = 3/5 P(E2) = 80% = 40/100 = 2/5 আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X ∴ P(X/E1) = 80% = 8/10 P(X/E2) = 90% = 9/10 ∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E2/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E1 ও E2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
8. একটি থলি A-এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে; অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2 ∴ P(E1) = P(E2) = 1/2 আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W ∴ P(W/E1) = 1/1+6 = 1/7 P(W/E2) = 4/4+3 = 4/7 তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E1/W) W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E1 ও E2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
9. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M1, M2 ও M3 প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M2 মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, M1, M2 ও M3 মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A1, A2 ও A3 ∴ P(A1) = 2000/2000+2500+4000 = 2000/8500 = 4/17 P(A2) = 2500/2000+2500+4000 = 2500/8500 = 5/17 P(A3) = 4000/2000+2500+4000 = 4000/8500 = 8/17 আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ; ∴ P(X/A1) = 3% = 3/100 P(X/A2) = 4% = 4/100 P(X/A3) = 2.5% = 25/1000 নির্বাচিত বোল্টটি M2 মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A2/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A1, A2 ও A3 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
10. একটি বাক্সে 2টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3টি রৌপ্য মুদ্ৰা আছে অন্য একটি বাক্সে 3টি স্বর্ণ ও 3 রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো
দশম শ্রেণীর ভৌতবিজ্ঞান এবং জীবনবিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Solution: ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2 ∴ P(E1) = P(E2) = 1/2 আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ হওয়ার ঘটনা G ∴ P(G/E1) = 2/2+3 = 2/5 P(G/E2) = 3/3+3 = 3/6 = 1/2 নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E2/G) G ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E1 ও E2 এর কোনো একটি ঘটে। Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
11. দুটি থলি I ও II আছে। I থলিতে 3 টি সাদা ও 4 টি কালো বল এবং II থলিতে 5 টি সাদা ও 6 টি কালো বল আছে। থলি দুটির একটি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় বলটি সাদা। I থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, I ও II থলি নির্বাচনের ঘটনা A1 ও A2 ∴ P(A1) = P(A2) = 1/2 আরও ধরি, থলি থেকে তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W ∴ P(W/A1) = 3/3+4 = 3/7 P(W/A2) = 5/5+6 = 5/11 তোলা বলটি সাদা হলে, তা থলি । থেকে তোলার সম্ভাবনা P(A1/W) W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A1 ও A2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
12. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে—এই ঘটনার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A1, A2, এবং A3 ∴ P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3 আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ; ∴ P(R/A1) = 3/3+2 = 3/5 P(R/A2) = 4/4+5 = 4/9 P(R/A3) = 2/2+4 = 2/6 = 1/3 উত্তোলিত বলটি লাল হলে, দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A2/R) R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A1, A2 ও A3 এর কোনো একটি ঘটে। ∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
13. কোনো বিমা কোম্পানী 2000টি স্কুটার এবং 3000টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02 বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, বিমা কোম্পানিটি দ্বারা বিমা করা যানটি স্কুটার ও মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A1 ও A2 এবং একটি যানের দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা X ∴ P(A1) = 2000/2000+3000 = 2000/5000 = 2/5 P(A2) = 3000/2000+3000 = 3000/5000 = 3/5 আবার, P(X/A1) = 0.01; P(X/A2) = 0.02 ∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা P(A2/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A1 ও A2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়
14. A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে। ছক্কায় সত্যই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A1 এবং 5 না পড়ার ঘটনা A2 ∴ P(A1) = 1/6; P(A2) = 5/6 আরও ধরি, ছক্কা পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা A P(A/A1) = 8/10 = 4/5 P(A/A2) = 2/10 = 1/5 প্রশ্নানুযায়ী. নির্ণেয় সম্ভাবনা = P(A1/A) A ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A1 ও A2 এর কোনো একটি ঘটে। বেজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
15. কোনো Corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4 ; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A1 ও A2 এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X ∴ P(A1) = 0.6; P(A2) = 0.4 P(X/A1) = 0.7; P(X/A2) = 0.3 ∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A2/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A1 ও A2 এর কোনো একটি ঘটে। Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
16. একটি বাক্সে 3টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড্ পাবার সম্ভাবনা 2/3এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা 1/2; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: বাক্সটিতে 2টি ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা এবং 1টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা আছে। ধরি, E1 ও E2 হল ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা ও ঝোঁকশূন্য মুদ্রা নেওয়ার ঘটনা ∴ P(E1) = 2/3 P(E2) = 1/3 আরও ধরি, তিনবার হেড পাওয়ার ঘটনা X ∴ P(X/E1) = 2/3×2/3×2/3 = 8/27 ∴ P(X/E2) = 1/2×1/2×1/2 = 1/8 তিনবারই হেড পাওয়া গেলে, মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা P(E2/X) X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E1 ও E2 এর কোনো একটি ঘটে। ∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
23. দুজন বালকের প্রত্যেকের নিকট 52টি তাসের একটি করে প্যাকেট আছে। তারা প্রত্যেকেই খুশিমতো একটি করে তাস তুলল। (i) দুটি তাসই রুইতনের রাজা (ii) দুটি রুইতন (iii) দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: (i) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতনের রাজা হওয়ার সম্ভাবনা 1/52 উভয়েই রুইতনের রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা = 1/52×1/52 = 1/2704(Ans) (ii) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = 13/52 = 1/4 উভয়েই রুইতইন তুলবে তার সম্ভাবনা = 1/4×1/4 = 1/16(Ans) (iii) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13 উভয়েই রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা = 1/13×1/13 = 1/169(Ans)
24. (a) 1, 2, 3, 4 সংখ্যাগুলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন (i) সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হয় (ii) পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হয়।
Solution: 1, 2, 3, 4 থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচন করা যায় 4C2 =6 উপায়ে। দুটি সংখ্যার সমষ্টি অযুগ্ম হলে, সংখ্যা দুটির একটি যুগ্ম এবং অপরটি অযুগ্ম হতে হবে। 1, 2, 3, 4 সংখ্যা চারটির মধ্যে যুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি এবং অযুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি। একত্রে নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় 2C1×2C1 = 2×2 = 4 উপায়ে। (i) একত্রে দুটি সংখ্যা নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = 4/6 = 2/3(Ans) (ii) সংখ্যা দুটি পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচন করা যায় 4C1×4C1 = 4×4 =16 উপায়ে। পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় A ={(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) (3,4), (4,3)} অর্থাৎ 8 উপায়ে। পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = 8/16 = 1/2(Ans)
(b) 1 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্য থেকে পরপর দুটি সংখ্যা তোলা হয়। প্রথমে তোলা সংখ্যাটি যুগ্ম এবং দ্বিতীয়বারে তোলা সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ায় সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি (i) পুনঃস্থাপন করা হয় (ii) পুনঃস্থাপন করা হয় না
Solution: 1 থেকে 21-এর মধ্যে 10টি যুগ্ম সংখ্যা এবং 11টি অযুগ্ম সংখ্যা আছে। ধরা যাক, প্রথম সংখ্যাটি যুগ্ম হওয়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ার ঘটনা B P(A) = 10/21 (i) দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা হলে, P(B/A) = 11/21 ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A) = 10/21×11/21 = 110/441(Ans) (ii) দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা না হলে, P(B/A) =11/20 ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A) = 10/21×11/20 = 11/420(Ans)
25. 10টি বৈদ্যুতিক উপাংশ সম্বলিত একটি প্যাকেটের মধ্যে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বলে জানা আছে। যদি 4 টি উপাংশ উদ্দেশ্যহীনভাবে নিয়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে তাদের মধ্যে একটির বেশি ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: 3টি ত্রুটিপূর্ণ এবং (10 – 3) = 7টি ত্রুটিপূর্ণ নয়। একটিও ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C4×3C0 উপায়ে। 1টি ত্রুটিপূর্ণ এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C3×3C1 উপায়ে 1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ এটি উপাংশ নির্বাচন করা যায় = 7C4×3C0 + 7C3×3C1 উপায়ে। = 35 + 105 = 140 উপায়ে। আবার 10টির মধ্যে 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 10C4 = 210 উপায়ে। 1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা = 140/210 = 2/3(Ans)
26. 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 70 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 5 এবং 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 80 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 8 : 6। দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, প্রথম ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা B। ∴ P(A) = 5/9+5 = 5/14 P(B) = 6/8+6 = 6/14 = 3/7 A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন, ∴ P(A∩B) = P(A) P(B) দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা = P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) = 5/14 + 3/7 – 5/14×3/7 = 35+42-15/98 = 62/98 = 31/49(Ans)
27. A 4 বারের মধ্যে 3 বার এবং B 6 বারের মধ্যে 5 বার সত্য কথা বলে। একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, A-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E1 এবং B-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E2 P(E1) = 3/4 P(E2) = 5/6 আবার E1, E2 ঘটনা দুটি স্বাধীন। ∴ E1, E2c স্বাধীন এবং E1c, E2 স্বাধীন। পরস্পর বিরোধিতা করার ঘটনা P[(E1∩E2c) U (E1c∩E2)] = P(E1∩E2c) + P(E1c∩E2) – P[(E1∩E2c) ∩(E1c∩E2)] = P(E1)P(E2c) +P(E1c)P(E2) – – – [ E1∩E2c এবং E1c∩E2 বিচ্ছেদ সেট] = P(E1)[1-P(E2)] + [1-P(E1)]P(E2) = 3/4×[1 – 5/6] + [1 – 3/4]×5/6 = 3/4×1/6 + 1/4×5/6 = 1/24(3+5) = 8/24 = 1/3(Ans)
28. A ও B এই দুজন পরীক্ষার্থী Joint Entrance- এর মাধ্যমে ভর্তি হতে ইচ্ছুক। A-র নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 এবং A ও B-এর একই সঙ্গে নির্বাচিত হওয়ার সর্বাধিক সম্ভাবনার মান 0.3 হলে, B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনার মান 0.9 হতে পারে কি?
Solution: ধরি, A ও B-এর নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2 P(E1) =0.5 E1 ও E2 স্বাধীন ঘটনা, ∴ P(E1∩E2)= P(E1) P(E2) এখন, P(E1∩E2) ≤ 0.3 ⇒ P(E1) P(E2) ≤ 0.3 ⇒ 0.5×P(E2) ≤ 0.3 ⇒ P(E2) ≤ 0.6 B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.9 হতে পারে না। (Ans)
29. দুজন খেলোয়াড় A ও B এর মধ্যে দাবা খেলায় 20টি গেমের মধ্যে 12টি গেম A, 4টি গেম B জিতল ও 4টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হল। তিনটি গেমের টুর্নামেন্টে (i) B-এর সব গেম জেতার (ii) B-এর কমপক্ষে একটি গেম জেতার এবং (iii) 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, A-এর জেতার ঘটনা E1, B-এর জেতার ঘটনা E2 এবং অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার ঘটনা E3 P(E1) = 12/20 = 3/5 P(E2) = 4/20 = 1/5 P(E3) = 4/20 = 1/5 (i) B-এর সব গেম জেতার সম্ভাবনা =1/5x1/5x1/5= 1/25(Ans) (ii) 1টি গেমে B-এর না জেতার সম্ভাবনা P(E2c) = 1 – P(E2) = 1 – 1/5 = 4/5 3টি গেমের কোনোটিতে B জিতবে না তার সম্ভাবনা = 4/5x4/5x4/5 = 64/125 3টি গেমের কমপক্ষে একটি গেম B-এর জেতার সম্ভাবনা = 1 – 64/125 = 61/125(Ans) (iii) একটি গেম অমীমাংসিত না হওয়ার সম্ভাবনা = P(E3c) = 1 – P(E3) = 1 – 1/5 = 4/5 2টি গেম যত রকমভাবে অমীমাংসিতভাবে শেষ হতে পারে তা হল – (i) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত নয় = 1/5×1/5×4/5 = 4/125 (ii) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত নয় এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত = 1/5×4/5×1/5 = 4/125 (iii) প্রথম গেম অমীমাংসিত নয়, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত = 4/5×1/5×1/5 = 4/125 ∴ 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা = 4/125 + 4/125 +4/125 = 12/125(Ans)
30. ছাত্রদের সঙ্গে শ্রেণিতে মিলিত হয়ে একজন শিক্ষকের হঠাৎ পরীক্ষা নেওয়ার সম্ভাবনা 1/5 যদি একজন ছাত্র দুদিন অনুপস্থিত থাকে তবে তার অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, E হল পরীক্ষা নেওয়ার ঘটনা। পরীক্ষা না নেওয়ার ঘটনা Ec E ও Ec ঘটনা দুটি স্বাধীন। P(E) = 1/5 Ec = 1- P(E) = 1 – 1/5 = 4/5 ওই ছাত্রের অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হবে যদি EEc, EcE অথবা EE ঘটনা তিনটির মধ্যে যে-কোনো একটি ঘটে। ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = P(EEc) + P(EcE) + P(EE) = P(E)P(Ec) + P(Ec)P(E) + P(E)P(E) = 1/5×4/5 + 4/5×1/5 + 1/5×1/5 = 1/25(4+4+1)= 9/25(Ans)
31. মনে করো, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে যথেচ্ছভাবে নেওয়া একটি সংখ্যা 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B দিয়ে সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়।
Solution: 96টি প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে 2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 48টি, 3 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 32টি। 2 এবং 3 দিয়ে বিভাজ্য অর্থাৎ 6 দিয়ে বিভাজ্য 16টি সংখ্যা আছে। P(A) = 48/96 = 1/2 P(B) = 32/96 = 1/3 P(A∩B) = 16/96 = 1/6 ∴ P(A)P(B) =1/2×1/3 = 1/6 = P(A∩B) A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়। (Proved)
32. (i) একটি থলিতে 8টি লাল বল ও 5টি সাদা বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে প্রতি বারে 3টি করে পরপর দু-বার বল তোলা হয়। প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।(ii) একটি থলিতে 5টি সাদা, 7টি লাল এবং 3টি কালো বল আছে। পুনরায় প্রতিস্থাপন না করে থলি থেকে একটি একটি করে তিনটি বল তোলা হয়। একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরা যাক প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার ঘটনা W এবং দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার ঘটনা R দ্বারা সূচিত হয়। ∴ P(W) = 5C3/13C3 = 5/143 পুনঃস্থাপন না করলে, প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার পর দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা = P(R/W) = 8C3/13-3C3 = 7/15 প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা, P(W)×P(R/W) = 5/143 × 7/15 = 7/729(Ans)
(ii) ধরা যাক, প্রথমবারে, দ্বিতীয়বার ও তৃতীয়বারে লাল বল না আসার ঘটনা যথাক্রমে R1, R2 ও R3। থলিটিতে 7টি লাল বল আছে এবং সাদা ও কালো বল আছে (5+3) বা 8টি। P(R1) = 8/8+7 = 8/15 P(R2/R1) = 7/7+7 = 7/14 = 1/2 P(R3/(R1∩R2) = 6/6+7 = 6/13 তিনবারের কোনো বারেই লাল বল না আসার সম্ভাবনা P(R1∩R2∩R3) = P(R1)P(R2/R1)×P(R3/(R1∩R2) = 8/15×1/2×6/13 = 8/65(Ans)
দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5
1. সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। Ans: পরস্পর বিচ্ছিন্ন n-সংখ্যক ঘটনা A1, A2, A3………… An -এর যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান, প্রত্যেকটি ঘটনা বিচ্ছিন্নভাবে ঘটার সম্ভাবনা সমূহের সমষ্টির সমান। P(A1UA2UA3………… UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An) ধরি একটি যদৃচ্ছ পরীক্ষা E -এর নমুনাদেশ S; এই নমুনাদেশের মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য N সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে এবং A1, A2, A3………… An হল E পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট n সংখ্যক পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা। আরও মনে করি m1, m2, m3………. mn সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু যথাক্রমে A1, A2, A3…………, An ঘটনার অন্তর্গত। সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই, P(A1) = m1/N, P(A2) = m2/N, P(A3) = m3/N……… P(An) = mn/N ∵ A1, A2, A3…………, An ঘটনাগুলি পরস্পর বিচ্ছিন্ন। ∴ এই ঘটনাগুলির নমুনা বিন্দু m1, m2, m3………. mn -এর যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু নেই। ∴ A1, A2, A3…………, An -এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটবে। এই ঘটনায় A1UA2UA3………… UAn নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = m1 + m2 + m3………. + mn সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই, P(A1UA2UA3………… UAn) = (m1 + m2 + m3………. + mn)/N = m1/N + m2/N + m3/N………. + mn/N = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An)
2. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার সমষ্টি উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। Ans: E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হলে, P(AUB)= P(A)P(B)
3. সম্ভাবনা তত্ত্বে যৌগিক ঘটনা বলতে কী বোঝায়? সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। Ans: কোনো সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনাকে যখন আরও একাধিক সরল ঘটনায় বিশ্লিষ্ট করা যায় তখন সেই ধরনের ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলে। যেমন – কোন একটি ছক্কা চাললে ছক্কার উপরিভাগের যে যুগ্ম সংখ্যাগুলি নির্দেশ করবে তাদের একত্র করলে {2, 4, 6} সেটটি পাওয়া যায়। এখানে 2, 4, 6 প্রতিটি ঘটনাই সরল ঘটনা।
4. প্রমাণ করো: (i) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) : যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে। (ii) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C); যে-কোনো তিনটি ঘটনা A, B, C-এর ক্ষেত্রে।
5. সম্ভাবনার গুণন উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে উপপাদ্যের ফলের কীরকম পরিবর্তন হয়?
E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত দুটি ঘটনা A ও B হলে A ও B ঘটনাদ্বয়ের যুগপৎ ঘটার সম্ভাবনাই হলো সম্ভাবনা তত্ত্বের গুননের উপপাদ্য। অর্থাৎ P(A∩B)=P(A/B)P(B) প্রমান: ধরি, E সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট নমুনাদেশ S এবং দুটি ঘটনা হল A ও B; আরও ধরি, n(S)=n, n(A) =m1, n(B) =m2 এবং n(A∩B)= m ∴ P(A) = m1/n, P(B) = m2/n P(A∩B) = m/n, B ঘটনাটি ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনাকে P(A/B) দ্বারা সূচিত করা হয়। এখন নমুনাদেশের m2 সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m সংখ্যক নমুনা বিন্দু A ঘটনার অনুকূলে হলে, P(A/B) = m/m2 = m/n/m2/n = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0 ⇒ P(A∩B) = P(A/B)P(B) অনুরূপে, P(B/A) = = m/m1 = m/n/m1/n = P(A∩B)/P(A), P(A) ≠ 0 ⇒ P(A∩B)= P(B/A)P(A)
ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে: P(A/B) = P(A) এবং P(B/A) = P(B)হয়। ∴ স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে, P(A∩B) = P(A)P(B/A) = P(A)P(B) এবং P(A∩B) = P(A/B)P(B) = P(A)P(B)
6. (i) যদি A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (AUB) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন। (ii) P(A), P(B) ও P(AB) -এর মাধ্যমে P(Ā + B) এবং P(A + B̄) -এর মান নির্ণয় করো, এখানে Ā হল A ঘটনার পূরক ঘটনা।
(i) Solution: A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা । ∴ P(A∩B) = P(A).P(B) P(A∩C) = P(A).P(C) P(B∩C) = P(B).P(C) এবং P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C) P[(AUB)∩C)] = P[(A∩C)U(B∩C)] = P(A∩C) + P(B∩C) – P[(A∩C)∩(B∩C)] = P(A∩C) + P(B∩C) – P(A∩B∩C) = P(A).P(C) + P(B).(C) – P(A).P(B).P(C) = [P(A) + P(B) – P(A).P(B)]P(C) = P(AUB).P(C) ∴ AUB এবং C ঘটনা দুটি স্বাধীন । (Proved)
10. X তিনটি বিষয় – গনিত, পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে পরীক্ষা দেয়। এই বিষয় তিনটিতে তার A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.2, 0.3 এবং 0.5; তাহলে তার (i) সব বিষয়গুলিতে A গ্রেড পাওয়ার (ii) কোনো বিষয়েই A গ্রেড না পাওয়ার (iii) দুটি বিষয়ে A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, M,P এবং C দ্বারা যথাক্রমে ” গণিতে A grade পাওয়া “, “পদার্থবিদ্যায় A grade পাওয়া” এবং “রসায়নে A grade পাওয়া” ঘটনা তিনটি সূচিত করে। P(M) = 0.2, P(Mc) = 1 – P(M) = 1 – 0.2 = 0.8 P(P) = 0.3, P(Pc) = 1 – P(P) = 1 – 0.3 = 0.7 P(C) = 0.5, P(Cc) = 1 – P(M) = 1 – 0.5 = 0.5 (i) X-এর সব বিষয়গুলিতে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা = P(M)×P (P)×P(C) = 0.2 × 0.3 × 0.5 = 0.03 (Ans) (ii) X-এর কোনো বিষয়েই A grade না পাওয়ার সম্ভাবনা = P(Mc)×P (Pc)×P(Cc) = 0.8 × 0.7 × 0.5 = 0.28 (Ans) (iii) X-এর দুটি বিষয়ে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা = {P(Mc)×P(P)×P(C)} + {P(M)×P(Pc)×P(C)} + {P(M)×P(P)×P(Cc)} = 0.8 × 0.3 × 0.5 + 0.2 × 0.7 × 0.5 + 0.2 × 0.3 × 0.5 = 0.12 + 0.07 + 0.3 = 0.22 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
11. 1,2,3,… 100 চিহ্নিত 100টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4টি টিকিট তোলা হয় 2টি টিকিটের চিহ্নিত অঙ্ক 1 থেকে 40 এবং অপর 2 টির 41 থেকে 100 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: 40 টি টিকিটের মধ্যে 2টি টিকিটকে 40C2 উপায়ে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ৷ একইভাবে, 60 টি টিকিটের মধ্যে 2 টি টিকিটকে 60C2 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় । ∴ নির্ণেয় ঘটনার অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 40C2×60C2 আবার, 100 টি টিকিটের মধ্যে 4 টি টিকিটকে 100C4 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় । ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 40C2×60C2/100C4(Ans)
12. মনে করো, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12, P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় করো।
13. A, B, C ঘটনা তিনটি এমন যে, P(A)=0.3, P(B) = 0.4, P(C)=0.8, P(A∩B)=0.08, P(A∩C) = 0.28 এবং P(A∩B∩C)=0.09। যদি P(AUBUC) ≥ 0.75 হয়, তবে দেখাও যে, 0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48।
14. A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। যদি B, C এবং D ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 7 : 2, 7: 5 এবং 13 : 5 হয়, তবে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ নির্ণয় করো।
Solution: কোনো ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = b/a+b হয়। B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = 2/7+2 = 2/9 C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(C) = 5/7+5 = 5/12 এবং D ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(D) = 5/13+5 = 5/18 A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। ∴ P(A)+ P(B) + P(C) + P(D) =1 বা, P(A) = 1 – P(B) – P(C) – P(D) বা, P(A) = 1 – 2/9 – 5/12 – 5/18 বা, P(A) = 36-8-15-10/36 বা, P(A) = 3/36 = 1/12 ∴ A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = 1/12-1 = 1/11(Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
15. (i) গণিতের একটি প্রদত্ত প্রশ্ন তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/3, 2/5 এবং 3/4 ৷ প্ৰদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়। P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3 P(B) = 2/5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 2/5 = 3/5 P(C) = 3/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 3/4 = 1/4 প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)} = 1 – 2/3×3/5×1/4 = 1 – 1/10 = 9/10(Ans)
(ii) গণিতের একটি অঙ্ক তিনজন ছাত্রকে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়; অঙ্কটি তাদের পক্ষে স্বাধীনভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/2, 1/3 এবং 1/4 হলে তাদের মধ্যে কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়। P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/2 = 1/2 P(B) = 1/3; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/3 = 2/3 P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 1/4 = 3/4 কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)} = 1/2×2/3×3/4 + 1/2×1/3×3/4 + 1/2×2/3×1/4 = 1/4 + 1/8 + 1/12 = 6+3+2/24 = 11/24(Ans)
(iii) একজন নির্বাচকের কাছে 300টি সহজ সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন ও 200টি জটিল সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন আছে এবং 500 টি সহজ MCQ এবং 400টি জটিল MCQ আছে। যদি একজন প্রশ্ন কর্তাকে সমসম্ভবভাবে প্রশ্ন তৈরী করতে দেওয়া হয়, তবে প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: সত্য বা মিথ্যা সহজ প্রশ্ন সংখ্যা = 300 টি সহজ MCQ সংখ্যা = 500 টি সত্য বা মিথ্যা জটিল প্রশ্ন সংখ্যা = 200 টি জটিল MCQ সংখ্যা = 400 টি প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা = 500/300+500+200+400 = 500/1400 = 5/14(Ans)
16. একজন প্রার্থী তিনটি চাকরির ইনটারভিউ-এর জন্য নির্বাচিত হন। প্রথম চাকরির জন্য 3 জন, দ্বিতীয়টির জন্য 4 জন এবং তৃতীয়টির জন্য 2 জন প্রার্থী আছেন। ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চাকরি পাওয়ার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়। P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3 P(B) = 1/4; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/4 = 3/4 P(C) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/2 = 1/2 ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)} = 1 – 2/3×3/4×1/2 = 1 – 1/4 = 3/4(Ans)
17. (i) একটি থলিতে 2টি লাল ও 3টি সাদা এবং অপর একটি থলিতে 1টি লাল ও 2টি সাদা বল আছে। যদি উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হয়, তবে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: উদ্দেশ্যহীনভাবে থলি নির্বাচন করলে থলি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 1/2 বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2 (2C0x3C1/5C1 + 1C0x2C1/3C1) = 1/2 (1×3/5 + 1×2/3) = 1/2 (3/5 + 2/3) = 1/2 (9+10/15) = 1/2 × 19/15 = 19/30(Ans)
(ii) 4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। বাক্স 4টিতে যথাক্রমে 2টি, 3টি, 1টি, 0টি খারাপ ডিম আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে 1 টি ডিম তোলা হয়। তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা যায় 4C1 = 4 উপায়ে। 4টি বাক্স থেকে একটি খারাপ ডিম নির্বাচন করা যায় যথাক্রমে 2C1= 2, 3C1 = 3, 1C1 = 1 উপায়ে। 4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। ∴ তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা = 1/4(2/12 + 3/12 + 1/12) = 1/4×12(2 + 3 + 1) = 1/4×12 x6 = 1/8(Ans)
18. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 এই দশটি অঙ্ক থেকে প্রতিবারে একটি করে অঙ্ক দুবার তোলা হয়। নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হওয়া সম্ভাবনা নির্ণয় করো, দেওয়া আছে যে, দ্বিতীয় অঙ্কটি তোলার আগে প্রথমে তোলা অঙ্কটি পুনঃস্থাপন করা হয়।
Solution: নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হলে অবশ্যই দুটি অঙ্কের একটি শূন্য হতে হবে। প্রথমবারে শূন্য উঠলে সম্ভাবনা = 1/10x10C1/10 = 1/10x10/10 = 1/10 প্রথমবারে শূন্য না উঠলে সম্ভাবনা = 9C1/10x1/10 = 9/10x1/10 = 9/100 মোট সম্ভাবনা = 1/10 + 9/100 = 10+9/100 = 19/100(Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
19. 1, 2, 3, 9 অঙ্কগুলি থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি অঙ্ক নেওয়া হয়। যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, তবে একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হলে একটি অঙ্ক অযুগ্ম এবং অপর অঙ্কটি যুগ্ম হতে হবে। 1 থেকে 9 এর মধ্যে টি যুগ্ম এবং টি অযুগ্ম অঙ্ক আছে। নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = ( অযুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)×(যুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা) = 5C1x4C1 = 5×4 = 20 যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, এবং একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা = (যত উপায়ে একটি অঙ্ক 6 নির্বাচিত করা যায়)×(যত উপায়ে অপর অঙ্ক অযুগ্ম নির্বাচিত করা যায়) = 1C1x5C1 , = 1×5 = 5 ∴ একটি অঙ্ক ‘6’ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/20 =1/4(Ans)
20. কোনো বছরে তিনটি কারখানা A, B এবং C -তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে 25-এর মধ্যে 5, 36-এর মধ্যে 6 এবং 64-এর মধ্যে 8। (i) অন্ততপক্ষে একটি কারখানায়, (ii) সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
21. একজন পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার সম্ভাবনা 70% এবং রসায়নে পাস করার সম্ভাবনা 40%। দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, A এবং B দ্বারা যথাক্রমে “পদার্থবিদ্যায় পাশ করা ” এবং “রসায়নে পাশ করা ” ঘটনা দুটি সূচিত হয়। P(A) = 70/100 = 7/10; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 7/10 = 3/10 P(B) = 40/100 = 4/10; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 4/10 = 6/10 দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা = P(A)×P(Bc) + P(Ac)×P(B) = 7/10×6/10 + 3/10×4/10 = 42/100 + 12/100 = 42+12/100 = 54/100 = 27/50(Ans)
22. (i) একটি বাক্সে 7টি সাদা ও 5টি কালো বল আছে। যদি বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা হয়, তবে তিনটি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা কত? ওই একই ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের তোলা বল পুনঃস্থাপন করা হয়।
Solution: প্রথম অংশ বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা যায় 12C3 = 12×11×10/3×2 = 220 উপায়ে। আবার 3টি বলই এক রঙের না হলে হয় 2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো নয় 2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা হবে। 2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো ওঠানো যায় 7C2x5C1 = 21×5 =105 উপায়ে। 2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা ওঠানো যায় 5C2x7C1 = 10×7 =70 উপায়ে। ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা = 105/220 + 70/220 = 175/220 = 35/44 দ্বিতীয় অংশ যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের বল পুনঃস্থাপন করা হয় তখন বাক্স থেকে 1টি বল তোলা যায় 12C1 = 12 উপায়ে। একটি করে সাদা বল তোলা যায় = 7C1 = 7 উপায়ে। একটি করে কালো বল তোলা যায় = 5C1 = 5 উপায়ে। ∴ 3টি বলই এক রঙের (সাদা বা কালো) হওয়ার সম্ভাবনা = 7/12×7/12×7/12 + 5/12×5/12×5/12 = 343/1728 + 125/1728 = 343+125/1728 = 468/1728 ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 – 468/1728 = 1728-468/1728 = 1260/1728 = 35/48(Ans)
(ii) একটি পাত্রে 4টি লাল ও 7টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্রটি থেকে যথেচ্ছভাবে 2টি বল তোলা হয়। তোলা বল দুটির (a) 2টি বল লাল (b) 2টি বল কালো (c) 1টি লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: পাত্র থেকে লাল বল তোলার সম্ভাবনা P(A) = 4/11 পাত্র থেকে কালো বল তোলার সম্ভাবনা P(B) )= 7/11 পাত্র থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি বল তুললে তোলা বল 2টির মধ্যে- (a) 2টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = P(A)×P(A) = 4/11×4/11 = 16/121(Ans) (b) 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = P(B)×P(B) = 7/11×7/11 = 49/121(Ans) (c) 1টি বল লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = P(A)×P(B) + P(B)×P(A) = 4/11×7/11 + 7/11×4/11 = 28/121 + 28/121 = 56/121(Ans)
23. 50, 60 ও 70 বছর বয়স্ক তিনজন ব্যক্তি আছেন। 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা 0.8, 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.5 এবং 70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.2। ব্যক্তি তিনজনের মধ্যে কমপক্ষে দুজনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে “50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা “, “60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” এবং “70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” নির্দেশ করে। P(A) = 0.8; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2 P(B) = 0.5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.5 = 0.5 P(C) = 0.2; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1- 0.2 = 0.8 কমপক্ষে 2 জনের আরও10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)} = 0.8×0.5×0.2 + 0.8×0.5×0.8 + 0.8×0.5×0.2 + 0.2×0.5×0.2 = 0.08 + 0.32 + 0.08 + 0.02 = 0.5 (Ans)
24. A, B এবং C-এর পক্ষে কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে ⅓, ⅕ ও 1/4 । যদি তারা একসঙ্গে চেষ্টা করে, তবে ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে A দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা, B দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা এবং C দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্দেশ করে। P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1- P(A) = 1 – 1/3 = 2/3 P(B) = 1/5; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 1/5 = 4/5 P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1- P(C) = 1 – 1/4 = 3/4 ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)} = 1/3×4/5×3/4 + 2/3×1/5×3/4 + 2/3×4/5×1/4 = 12/60 + 6/60 + 8/60 = 26/60 = 13/30(Ans)
25. তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার অনুকূলে সুযোগ যথাক্রমে 5 : 2, 4 : 3 এবং 3 : 4 । তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার ঘটনা A, B এবং C হলে, P(A) = 5/5+2 = 5/7; ∴ P(Ac) = 1- P(A) =1 – 5/7 = 2/7 P(B) = 4/4+3 = 4/7; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 4/7 = 3/7 P(C) = 3/3+4 = 3/7; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) =1- 3/7 = 4/7 – – – [A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = a : b হলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = a/a+b হয়।] তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)} = 5/7×4/7×3/7 + 2/7×4/7×3/7 + 5/7×3/7×3/7 + 5/7×4/7×4/7 = 60/343 + 24/343 + 45/343 +80/343 = 1/343(60+ 24 + 45 + 80) = 209/343(Ans)
26. কোনো কোম্পানির পরিচালকমণ্ডলীর পদের জন্য দু-দল প্রার্থী প্রতিযোগিতা করে। প্রথম ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। যদি প্রথম দল জয়লাভ করে, তবে নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু করার সম্ভাবনা 0.8 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3। নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার ঘটনা A এবং প্রথম দলের জয়লাভ করার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়। ∴ P(B) = 0.6 ∴ দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার ঘটনা Bc দ্বারা সূচিত হয়। P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.6 = 0.4 প্রশ্নানুযায়ী, P(A/B)= 0.8 এবং P(A/Bc)= 0.3 P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc) = P(B)×P(A/B) + P(Bc)×P(A/Bc) – – – [∵ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)] = (0.6×0.8) + (0.4×0.3) = 0.48 + 0.12 = 0.6 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
27. একজন ব্যক্তি রিপোর্ট করেন যে, পরীক্ষার সময় কোনো জীবাণুর A ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.62 এবং B ওষুধের সঙ্গে ওই সম্ভাবনা 0.53। A ও B উভয় ওষুধের সঙ্গে জীবাণুর বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.18 এবং কারও সঙ্গে বিক্রিয়া না করার সম্ভাবনা 0.13। পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন করা উচিত কি?
Solution: ধরি, কোনো জীবাণুর A এবং B ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার ঘটনা যথাক্রমে X এবং Y দ্বারা সূচিত হয়। ∴ P(X) = 0.62 P (Y) = 0.53 P(X∩Y) = 0.18 P(Xc∩Yc) = 0.13 বা, P(XUY)c = 0.13 বা, P(XUY) = 1 – P(XUY)c = 1 – 0.13 = 0.87 আবার, P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y) = 0.62 + 0.53 – 0.18 = 0.97 কিন্তু রিপোর্ট অনুযায়ী P(XUY) = 0.87 পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে প্রশ্ন করা উচিত। (Ans)
28. (i) এলোপাথাড়িভাবে বিন্যাসিত 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি তাস তুলে ফেলে দেওয়া হল। অবশিষ্ট 50টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ফেলে দেওয়া তাস দুটি হতে পারে i) 2টিই টেক্কা ii) 1টি টেক্কা iii) একটিও টেক্কা নয়। ধরি, A, B এবং C দ্বারা যথাক্রমে ফেলে দেওয়া 2টি তাসই টেক্কা, 1টি তাস টেক্কা এবং একটিও টেক্কা নয় ঘটনা তিনটি নির্দেশ করা হয়। ∴ নমুনা দেশের অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 52C2×50C1 নির্ণেয় সম্ভাবনা = A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1/(52C2×50C1)(4C2×2 + 4C1×48C1×3 + 48C2×4) = 1/1326×50(6×2 + 4×48×3 + 1128×4) = 1/1326×50(12 + 576 + 4512) = 1/166300×5100 = 1/13(Ans)
(ii) এক জোড়া ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে ছোড়া হয়। পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন প্রথম পাশায় 5 পড়ে।
Solution: প্রথম পাশায় 5 পড়লে, পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হবে যখন দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়বে। দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়ার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3 ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা 1/3(Ans)
29. (a) কোনো বস্তুর তিনটে লটে যথাক্রমে 4% 5% ও 10% ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে। প্রত্যেক লট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি করে বস্তু নেওয়া হয়। তোলা তিনটি বস্তুর মধ্যে (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, তিনটে লটে ত্রুটিপূর্ণ বস্তু থাকার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বারা সূচিত করা হয়। P(A) = 4/100; P(Ac) = 1 – 4/100 = 96/100, P(B) = 5/100; P(Bc) = 1 – 5/100 = 95/100, P(C) = 10/100 = 1/10; P(Cc) = 1 – 1/10 = 9/10 (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = P(A∩Bc∩Cc) + P(Ac∩B∩Cc) + P(Ac∩Bc∩C) = P(A)×P(Bc)×P(Cc) + P(Ac)×P(B)×P(Cc) + P(Ac)×P(Bc)×P(C) = 4/100×95/100×9/10 + 96/100×5/100×9/10 + 96/100×95/100×1/10 = 3420/100000 + 4320/100000 + 9120/100000 = 342/10000 + 432/10000 + 912/10000 = 1/10000×(342 + 432 + 912) = 1/10000×1686 = 0.1686 (Ans) (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = 1 – P(Ac)×P(Bc)×P(Cc) = 1 – 96/100×95/100×9/10 = 1 – 82080/100000 = 1 – 0.8208 = 0.1792 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
(b) একটি শত্রুবিমান-বিধ্বংসী বন্দুক থেকে পলায়মান শত্রুবিমানের দিকে সর্বাধিক 4টি গুলি নিক্ষেপ করা যায়। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.4, 0.3, 0.2 ও 0.1 হলে, বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি,প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D দ্বারা সূচিত করা হয়। P(A) = 0.4; P(Ac) = 1 – 0.4 = 0.6, P(B) = 0.3; P(Bc) = 1 – 0.3 = 0.7, P(C) = 0.2 P(Cc) = 1 – 0.2 = 0.8 ও P(D) = 0.1; P(Dc) = 1 – 0.1 = 0.9 ∴ প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত না করার সম্ভাবনা = P(Ac∩Bc∩Cc∩Dc) = P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)×P(Dc) = 0.6×0.7×0.8×0.9 = 0.3024 ∴ বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা = 1 – 0.3024 = 0.6976 (Ans)
30. A ও B এই দুই অংশের সমন্বয়ে কোনো কোম্পানির একটি বস্তু উৎপাদিত হয়। A অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে 100টির মধ্যে প্রায়শই 9টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। আবার, B অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে প্রায়শই 100টির মধ্যে 5টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করো।
Solution: A অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর, ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = 9/100 ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 9/100 = 91/100 B অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর, ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(B) = 5/100 ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Bc) = 1- P(B) = 5/100 = 95/100 সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা = P(Ac) P(Bc) = 91/100×95/100 = 0.8645 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
31. শিশুদের তিনটি দলে যথাক্রমে 3 জন বালিকা ও 1 জন বালক, 2 জন বালিকা ও 2 জন বালক এবং 1 জন বালিকা ও 3 জন বালক আছে। প্রত্যেক দল থেকে যথেচ্ছভাবে 1 জন শিশু নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নিম্নলিখিত তিনটি উপায়ে হতে পারে – (i) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালিকা। সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে = 1/4×2/4×1/4 = 2/64 (ii) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালিকা, তৃতীয় দল হতে বালক। সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে = 1/4×2/4×3/41/4= 6/64 (iii) প্রথম দল হতে বালিকা, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালক। সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে = 3/4×2/4×3/4 = 18/64 নির্ণেয় সম্ভাবনা = 2/64 + 6/64 + 18/64 = 2/64(1 + 3+ 9) = 2/64×26 = 13/32(Ans)
32. (i) একটি ছ-তলবিশিষ্ট পাশার এমন ঝোঁক আছে যে, অযুগ্ম সংখ্যা যতবার পড়ে যুগ্ম সংখ্যা তার দ্বিগুণ সংখ্যক বার পড়ে। পাশাটি দু- বার ছোড়া হয়। দু-বারে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা কত?
(i)Solution: একটি ঝোঁকশূন্য পাশায়, অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = 1/3 যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = 2×1/3 = 2/3 দুবারই অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা = P(A) ×P(A) = 1/3×1/3 = 1/9 এবং দুবারই যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা = P(B)×P(B) = 2/3×2/3 = 4/9 প্রাপ্ত ফলের সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা = 1/9 + 4/9 = 1+4/9 = 5/9(Ans)
(ii) একটি ঝোঁকশূন্য পাশার তিনটে তল হলদে, দুটি তল লাল এবং একটি নীল।পাশাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, পাশার তিনবার নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার ঘটনা A, B এবং C দ্বারা সূচিত করা হয়। P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3 P(C) = 1/6 প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল তল পড়ার সম্ভাবনা = P(A)P(B)P(C) = 1/2×1/3×1/6 = 1/36(Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
33. (i) A ও B-এর মধ্যে ঝোঁকশূন্য পাশা নিয়ে খেলা হয়। যে প্রথম ‘ছয়’ ফেলতে পারে সেই জিতে যায়। যদি A খেলা আরম্ভ করে তবে দেখাও যে, তার খেলায় জেতার সম্ভাবনা হয় 6/11
(ii) A, B ও C পর্যায়ক্রমে একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণ করে। যে প্রথমে ‘হেড্’ ফেলে সেই জিতে যায়। প্রত্যেকের জয়লাভ করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
Solution: ধরি, A, B ও C এর হেড্ ফেলার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বরা সুচিত করা হয়। P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – 1/2 = 1/2 P(B) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – 1/2 = 1/2; P(C) = 1/2; ∴ P(Cc) = 1 – 1/2 = 1/2 যে প্রথমে ‘হেড্’ ফেলে সেই জিতে যায়। A প্রথমে ‘হেড্’ ফেললে, A -এর জেতার সম্ভাবনা = P(A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩A) +…… = 1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + ……. = 1/2(1 + 1/8 + 1/64 +…..) = 1/2×1/(1-1/8) = 1/2×8/8-1 = 1/2×8/7 = 4/7 B প্রথম ‘হেড্’ ফেললে, B -এর জেতার সম্ভাবনা = P(Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) +…… = 1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 +……. = 1/4(1 + 1/8 + 1/64 +…..) = 1/4×1/(1-1/8) = 1/4×8/8-1 = 1/4×8/7 = 2/7 C প্রথম ‘হেড্’ ফেললে, C -এর জেতার সম্ভাবনা = P(Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C)+…… = 1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + ……. = 1/8(1 + 1/8 + 1/64 +…..) = 1/8×1/(1-1/8) = 1/8×8/8-1 = 1/8×8/7 = 1/7(Ans)
34. একটি থলিতে 5টি লাল ও 4টি হলদে রঙের বল আছে। থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয় এবং অপর একটি থলিতে রাখা হয় যার মধ্যে 3টি লাল ও 6টি হলদে বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় উত্তোলিত বলটি হলদে রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/9 এবং হলদে হওয়ার সম্ভাবনা = 4/9 প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে রাখা হয়। দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা – (i) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হলে সম্ভাবনা = 5/9×6/10 = 15/45 (ii) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হলে সম্ভাবনা = 4/9×7/10= 14/45 ∴ দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার মোট সম্ভাবনা = 15/45 + 14/45 = 1/45(15+14) = 29/45(Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
35. (i) 2টি একই ধরনের থলির প্রত্যেকটিতে 5টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হয়। তারপর প্রথম থলি থেকে একটি বল তোলা হয়; তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হলে, সেটি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2 সেটি লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2 দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি সাদা হলে, প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×5/11 = 5/22 দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি লাল হলে, প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×6/11 = 6/22 ∴ প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা = 5/22 + 6/22 = 11/22 = 1/2(Ans)
(ii) একটি পাত্র A-র মধ্যে 3টি সাদা ও 5টি লাল মারবেল আছে। অন্য একটি পাত্র B-এর মধ্যে 5টি সাদা এবং 3টি লাল মারবেল আছে। A পাত্র থেকে B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয় এবং তারপর B পাত্র থেকে 1টি মারবেল তোলা হয়। উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution: A পাত্র থেকে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হলে দুটি মারবেলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 3C2/8C2 অথবা দুটি মারবেলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C2/8C2 অথবা একটি মারবেল লাল এবং একটি মারবেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C1×3C1/8C2 B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয়। স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল হলে, B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3C2/8C2×3/10 = 3/28×3/10 = 9/280 স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল সাদা হলে, B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 5C2/8C2×5/10 = 10/28×1/2 = 5/28 স্থানান্তরিত মারবেলের একটি সাদা এবং একটি লাল হলে, B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 5C1×3C1/8C2 = 5×3/28×4/10 = 6/28 ∴ B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা = 9/280 + 5/28 + 6/28 = 1/280 (9 + 50 + 60) = 119/280 = 17/40(Ans)
36. তিনটি থলির প্রত্যেকটিতে 5টি লাল ও 5টি কালো বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে প্রথম থলি থেকে একটি বল দ্বিতীয় থলিতে এবং তারপর দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তৃতীয় থলিতে স্থানান্তর করা হয়। এখন, তৃতীয় থলি থেকে একটি বল তোলা হয়। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: প্রথম থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তুললে লাল বল অথবা কালো বল উঠতে পারে। প্রথম থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2 এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2 প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে স্থানান্তরিত করা হয়। ∴ প্রথম থলি থেকে লাল বল উঠলে, দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11 এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11 কিন্তু প্রথম থলি থেকে কালো বল উঠলে, দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভবনা = 1/2×5/11 এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11 আবার, প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকেও লাল বল উঠলে, তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×6/11 = 36/242 প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে, তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×5/11 = 30/242 প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠলে, তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×6/11 = 30/242 প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×5/11 = 25/242 ∴ তৃতীয় থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা = 36/242 + 30/242 + 30/242 + 25/242 = 1/242(36 + 30 + 30 + 25) = 121/242 = 1/2(Ans)
