PROSTUTI

Category: HS

  • Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

    সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

    1. (i) নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
    (b) A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
    (c) A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
    (d) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
    Ans:  (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
    [► A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যাবে যদি A ও B সমক্রমের হয়।
    এখানে A ম্যাট্রিক্স m×n ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স r×s ক্রমের কিন্তু r ≠ m এবং s ≠ n
    ∴ A ও B সমক্রমের নয়।
    A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় না।
    ►►AB গুণফল সংজ্ঞাত হবে যদি
    A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা]

    2. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
    (a) A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
    (b) ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
    (c) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
    (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

    Ans: (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।।
    [A -এর ক্রম m×n
    ও B -এর ক্রম n×p
    ∴ AB -এর ক্রম m×p]

    3. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
    (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।
    (b) যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
    (c) A ≠ 0, B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
    (d) একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AAT = ATA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

    Ans: (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।

    4. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B =
    (a) B2 (b) I (c) A (d) 0

    Ans: (a) B2
    [B2 = B.B
    = BA.B – – – (∵ BA = B)
    = B(AB)
    = B.A – – – (∵ AB = A)
    = B]

    5. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স At -এর সমান হয় তবে A-কে বলা হবে-
    (a) প্রতিসম (b) একক ম্যাট্রিক্স
    (c) বিপ্রতিসম (d) এদের কোনোটিই নয়

    Ans: (a) প্রতিসম

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    6. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স At হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি –
    (a) At = -A হয় (b) AAt = A হয়
    (c) AtA = A হয় (d) A-1 হয়

    Ans: (a) At = -A হয়

    7. (AB)t =
    (a) BtAt (b) AtBt (c) AtB (d) BtA

    Ans:     (a) BtAt
    [∵ (AB)t = BtAt]

    8. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং । একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হলে, A.I=
    (a) A (b) AT (c) -A (d) A.AT

    Ans:     (a) A
    [∵ AI = A]

    9. যদি A = [ajj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = i + 2j তবে A হবে-

    \(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 4\end{bmatrix}\quad (b)}\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\quad (d)\)এদের কোনোটিই নয়\(\\\mathbf{Ans}\quad(c)\quad\begin{bmatrix}3\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\)

    [∵ ajj = i + 2j
    i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
    a11 = (1 + 2.1) = 3;
    a12 = (1 + 2.2) = 5;
    a21 = (2 + 2.1) = 4;
    a22 = (2 + 2.2) = 6;

    UNIT – 2
    বীজগণিত
    Algebra

    ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ
    প্রশ্নমালা 1 (Part-III)    		▶️ CLICK HERE
    Types of Matrix & Operation Matrices Exercise – 1 (Part-II)▶️ CLICK HERE
    ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ
    Types of Matrix & Operation Matrices প্রশ্নমালা 1 (Part-I)    		▶️ CLICK HERE

    দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    10. যদি A = [ajj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = 1/2(i + 2j)2 তবে A হবে –

    \(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\quad(a)\quad\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}}\)

    [∵ ajj = 1/2(i + 2j)2
    i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
    a11 = 1/2(1 + 2.1)2 = 1/2(3)2 = 9/2 ;
    a12 = 1/2(1 + 2.2)2 = 1/2(5)2 = 25/2 ;
    a21 = 1/2(2 + 2.1)2 = 1/2(4)2 = 8 ;
    a22 = 1/2(2 + 2.2)2 = 1/2(6)2 = 18 ;]

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    11. যদি A = [ajj] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 3i – 2j তবে A হবে –

    \(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad 5\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}-1\quad -1\\\quad4\quad\quad 2\\\quad7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad \begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

    [∵ aij = 3i – 2j
    i = 1, 2, 3 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
    a11 = 3.1 – 2.1 = 1;
    a12 = 3.1 – 2.2 = -1;
    a21 = 3.2 – 2.1 = 4;
    a22 = 3.2 – 2.2 = 2;
    a31 = 3.3 – 2.1 = 7;
    a32 = 3.3 – 2.2 = 5;]

    12. যদি A = [ajj] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = 1/2|3i – 4j| তবে A হবে –

    \(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}}\)

    [∵ ajj = 1/2|3i – 4j|
    i = 1, 2 এবং j = 1, 2, 3 বসিয়ে পাই,
    a11 = 1/2|3.1 – 4.1| = 1/2|-1| = 1/2
    a12 = 1/2|3.1 – 4.2| = 1/2|-5| = 5/2
    a13 = 1/2|3.1 – 4.3| = 1/2|-9| = 9/2
    a21 = 1/2|3.2 – 4.1| = 1/2|2| = 1
    a22 = 1/2|3.2 – 4.2| = 1/2|-2| = 1
    a23 = 1/2|3.2 – 4.3| = 1/2|-6| = 3]

    13. যদি A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে নীচের কোন্ উক্তিটি সঠিক নয়?
    (a) A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    (c) A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
    (d) A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

    Ans: (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    [∵ A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়।]

    14. যদি

    \(\mathbf{A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}}\)

    এবং f(x) = I + x + x2 +…..+ x20 হয়, তবে

    \(\mathbf{f(a) =\\(a)\quad 0\quad\quad (b)\quad\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\(c)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}(d)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\1\quad 1\end{bmatrix}}\\\)\(\mathbf{Ans:}\quad (c)\quad \begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
    [\(A^2=A.A\\=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)

    ∵ f(x) = I + x + x2 +…..+ x20
    = I + A + A2 + A3 +…..+ A20
    = I + A + 0 + 0.A + 0.A2 +….. + 0.A18
    = I + A

    \(\quad=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\\quad=\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)]

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    15. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A2 হবে-
    (a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    (c) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

    Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়
    [ধরি

    \(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\)একটি 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\\A^2 =A.A\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+1\quad -2-2\\-2-2\quad\quad 1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{bmatrix}\)]

    16. যদি

    \(\mathbf{\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\\quad 3\quad y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\quad\quad 5\\3\quad -2\end{bmatrix}}\)

    হয়, তবে x-এর মান হবে –
    (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

    Ans: (c) 2
    [ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
    2x – y = 6;
    এবং y = -2
    ∵ 2x – y = 6
    বা, 2x – (-2) = 6
    বা, 2x = 4
    বা, x = 2]

    17. যদি

    \(\mathbf{\begin{bmatrix}1\quad 4\\ 2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}}\)

    (y<0) হয়, তবে x – y + z এর মান হবে-
    (a) 5 (b) 2 (c) 1 (d) -3

    Ans: (a) 5
    [ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
    x = 1; z = 2
    y2 = 4
    বা, y = ±2
    ∴ y = -2 – – -[y<0]
    x – y + z = 1 – (-2) + 2
    = 1 + 2 + 2
    = 5]

    18. যদি

    \(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad 2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)

    হয়, তবে B ম্যাট্রিক্স হবে-

    \((a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\quad(b)\quad \begin{bmatrix}\quad 0\quad 6\\-3\quad 7\end{bmatrix}\\(c)\quad \begin{bmatrix}2\quad –1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\quad(d)\quad \begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans.}\quad(a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)
    [\((2A-3B)-2(A-2B)=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)]

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    19. যদি

    \(\mathbf{A=\begin{bmatrix} \quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}}\)

     হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) -এর মান হবে [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] –
    (a) A (b) I (c) 0 (d) 5I

    Ans: (c) 0

    [\(A=\begin{bmatrix}\quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix},\quad I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-2I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\\A-3I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix} \)

    ∴ (A – 2I)(A – 3I)

    \(\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix} \)]

    20. যদি

    \(\mathbf{A=\begin{bmatrix}x\quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}}\)

    ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A2 = I হয়, তবে
    (a) 1 + x2 + yz = 0 (b) 1 – x2 + yz = 0
    (c) 1 – x2 – yz = 0 (d) 1 + x2 – yz = 0

    Ans: (c) 1 – x2 – yz = 0

    [\(\quad A^2=I\\⇒A.A=I\\=\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad\quad 0\\\quad 0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴x^2+yz=1\\⇒1-x^2-yz=0\)]

    21. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে –
    (a) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স
    (c) বর্গ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

    Ans: (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স

    [ধরি\(A=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴A^T=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0=A\\∴A^T=0=-0=-A\)]

    22 একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A2 = A, তবে (I + A)3 – 7A-এর মান হবে-
    (a) A (b) I – A   (c) I (d) 3A

    Ans: (c) I
    (I + A)3 – 7A
    [ (I + A)3 – 7A
    = (I + A)(I + A)(I + A) – 7A
    = (I2 + IA + AI +A2)(I + A) – 7A
    = (I + A + A + A)(I + A) – 7A – – – [∵ A2 = A; I2 = A; AI =A]
    = (I + 3A)(I + A) – 7A
    = I + A + 3A + 3A – 7A
    = I + 7A – 7A
    = I ]

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    \(\mathbf{1.\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad এবং \quad C=\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

    (i) A + 2B (ii) 2B – 3C
    (iii) 4C – A (iv) A + 4B – 3C ম্যাট্রিক্সগুলি নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    A + 2B

    \(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad\quad 7\\\quad 4\quad -5\\-1\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

    (ii)
    Solution:
    2B – 3C

    \(2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad\quad 16\\\quad 4\quad -3\\\quad -9\quad -13\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

    (iii)
    Solution:
    4C – A

    \(=4\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 16\quad -8\\\quad 0\quad -4\\\quad 12\quad\quad 20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 14\quad -5\\\quad 0\quad -5\\\quad 13\quad\quad 16\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

    (iv)
    Solution:
    A + 4B – 3C

    \(\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\quad\quad 20\\\quad 8\quad -12\\\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 17\\\quad 8\quad -11\\-1\quad\quad 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad 23\\ 8\quad\quad14\\-10\quad -7\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

    2. (i) যদি

    \(\mathbf{A=\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}}\)

    হয়, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X নির্ণয় করো যখন 3A + 4B = 2X

    Solution:

    ∵\(3A+4B=2X\\∴3\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} =2X\\⇒2X=\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} \\⇒X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

    (ii) যদি

    \(\mathbf{A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad ও \quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

    এবং হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

    Solution:

    \(∵2A+B+X=0\\⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\\quad 6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\\7\quad\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\⇒X=-\begin{bmatrix}1\quad 2\\\quad 7\quad 13\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\\quad -7\quad -13\end{bmatrix}\)

    3. A ও B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন :

    \(\mathbf{(i)\\A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix}}\\\)
    \(\mathbf{Solution:}\\ A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix} – – – (i)\\ A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix} – – – (ii)\\\)

    (i) + (ii) করে পাই

    \(∴2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\ \)

    (i) – (ii) করে পাই

    \(∴2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\\ \)
    \(\mathbf{(ii)\\A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}}\)

    (i) – (ii) করে পাই,

    \(\quad (A-2B)-(A-3B)=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\)

    আবার (i) থেকে পাই,

    \(\quad A-2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}8\quad -4\\0\quad\quad 10\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\ 4\quad 2\end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{(iii)\\2A+B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad এবং\quad A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}}\)

    2×(i) – (ii) করে পাই,

    \(\mathbf{Solution:}\\∴2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒4A+2B-A-2B=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 4\quad\quad 6\\-2\quad -4\quad -6\\\quad 8\quad\quad 4\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒3A=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

    2×(ii) – (i) করে পাই,

    \(\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒2A+4B-2A-B=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\8\quad 2\quad 14\\2\quad 2\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒3B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad9\quad\quad 4\quad\quad 17\\\quad -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad 9\quad\quad 4\quad\quad 17\\ -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
    \(\mathbf{4.(i)}\\A=\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix} \quadএবং \quad C=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

    হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করো যখন 2A + 5B = C;

    \(\mathbf{Solution:}\\∵ 2A + 5B = C\\∴2\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 10\\4\quad 2a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\quad 5b\\10\quad 45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

    ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
    10 + 5b = a – – – – (i)
    2a + 45 = 45
    বা, 2a = 0
    ∴ a = 0
    (i) নং থেকে পাই,
    10 + 5b = 0
    ⇒ 5b = -10
    ∴ b = -2
    Ans: a -এর মান 0
    b-এর মান -2

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    (ii) একটি ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো।

    Solution:
    একটি ম্যাট্রিক্সের মোট পদ সংখ্যাকে যতগুলি ক্রমের আকারে প্রকাশ করা যাবে ততগুলি ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
    18 = 1 × 18 ; 18 = 18 × 1 ;
    18 = 2 × 9 ; 18 = 9 × 2 ;
    18 = 3 × 6 ; 18 = 6 × 3;
    ∴ মোট ক্রমের 6 টি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
    Ans: ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি 1×18, 18×1, 2×9, 9×2, 3×6 ও 6×3;
    কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি হল 1×5, 5×1;
    18 = 1 × 18 ;

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    (iii) যদি

    হয়, তবে x y-এর মান নির্ণয় করো।

    \(\mathbf{2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}}\)

    Solution:

    \(\quad 2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\)
    \(\mathbf{4.(iv)\\\quad \begin{bmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\5\\7\end{bmatrix}}\)

    হয়, তবে x. y ও z-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
    x + y + z = 9 – – – (i)
    z + x = 5 – – – (ii)
    y + z = 7 – – – (ii)
    (i) – (ii) – (iii) করে পাই,
    (x + y + z) – (z + x) – (y + z) = 9 – 5 – 7
    ⇒ x + y + z – z – x – y – z = -3
    ⇒ – z = -3
    ∴ z = 3
    (ii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
    3 + x = 5
    ∴ x = 2
    (iii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
    y + 3 = 7
    ∴ y = 4
    Ans: x -এর মান 2
    y -এর মান 4
    z -এর মান 3

    \(\mathbf{5.(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}}\) হলে প্রমাণ করো যে,
    \(\mathbf{(a)\quad (A+B)=A^I+B^I\\(b)\quad (A-B)^I=A^I-B^I}\)
    \(\mathbf{5.(i)\\Solution}\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad ∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad \quad 4\\-5\quad \quad 7 \end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad∴B^I=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad \quad 5\\-1\quad \quad 0 \end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{(a)}\\A+B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 1\quad -6\\1\quad 9\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I+B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I=A^I+B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)
    \(\mathbf{(b)}\\A-B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\-7\quad -1\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad -1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I-B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I=A^I-B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)
    \(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।
    \(\mathbf{Solution}\\\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)

    A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 1
    ∴ AAT সংজ্ঞাত।

    \(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।
    \(\mathbf{Solution}\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\\)

    A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 3
    ∴ AAT সংজ্ঞাত।

    \(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1+ 2×2+3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\end{bmatrix}\)

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    6. A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের; যদি তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত ও px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m, n ও p-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের
    ∵ AB সংজ্ঞাত;
    ∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
    ⇒ m = 3
    ∴ AB ম্যাট্রিক্স হবে 2 x n ক্রমের।
    প্রদত্ত, AB ম্যাট্রিক্স px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
    ∴ p = 2
    Ans: m -এর মান = 3;
    n -এর মান = 4;
    p -এর মান = 2

    7. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে A + B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত হলে প্রমাণ করো যে, A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে।

    Solution:
    A + B সংজ্ঞাত
    ∴ A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
    ধরি, A ও B m×n ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
    আবার AB সংজ্ঞাত
    ∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
    ⇒ n = m 
    ∴ A ও B m×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স। 
    A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স  (Proved)

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    8. একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না।

    Solution:
    ধরি,

    \(\\A=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

    A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 2
    ∴ AB সংজ্ঞাত।

    \(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 4×3+2×5\quad\quad 4×-1+2×2\\-1×3+3×5\quad -1×-1+3×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}22\quad 0\\12\quad 7\end{bmatrix}\)

    আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = A-এর সারি সংখ্যা = 2
    ∴ BA সংজ্ঞাত।

    \(∴BA=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3×4+-1×-1\quad\quad 3×2+-1×3\\\quad 5×4+2×-1\quad\quad 5×2+2×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 13\quad 3\\18\quad 16\end{bmatrix}\\∴\quad AB≠BA\)

    ∴ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (Proved)

    \(\mathbf{(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}}\)

    হলে AB নির্ণয় করো।

    Solution:

    \(\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)

    A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 1
    ∴ AB সংজ্ঞাত।

    \(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2×3\quad\quad 2×5\quad\quad 2×7\\\quad 3×3\quad\quad 3×5\quad\quad 3×7\\-1×3\quad -1×5\quad -1×7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 6\quad\quad 10\quad\quad 14\\\quad 9\quad\quad 15\quad\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}\)

    হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

    Solution:

    \(A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)

    A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 4
    ∴ AB সংজ্ঞাত।

    \(AB=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1×1+2×2+3× 3+4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)

    B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = Aএর সারি সংখ্যা = 1
    ∴ BA সংজ্ঞাত।

    \(∴BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\quad 1×4\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\quad 2×4\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\quad 3×4\\4×1\quad 4×2\quad 4×3\quad 4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)

    Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

    (iii). মান নির্ণয় করো:

    \(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{Solution:}\\\quad\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} ax+hy+gz\\hx+by+fz\\gx+ fy+cz\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x(ax+hy+gz)+y(hx+by+fz)+z(gx+ fy+cz)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+hxy+gzx+hxy+by^2+fyz+gzx+ fyz+cz^2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx\end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{10.\\A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix},\quad এবং\quad B=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}}\)

    হলে AX = B ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে প্রকাশিত x, y, z-এর একঘাত সমীকরণ তিনটি লেখো।

    \(\mathbf{Solution:}\\∵AX=B\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\)

    Ans: x, y ও z -এর একঘাত সমীকরণ তিনটি হল –
    x + 2y + 3z = 14;
    2x – y + 5z = 15;
    -3x + 2y + 4z = 13 

    11. নীচের সমীকরণগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো:
    (i) a1x + b1y + c1 = 0
    a2x + b2y + c2 = 0

    (ii) a1x + b1y + c1z = k1
    a2x + b2y + c2z = k2
    a3x + b3y + c3z = k3

    (i)
    Solution:
    a1x + b1y + c1 = 0 – – – – – (i)
    a2x + b2y + c2 = 0 – – – – (ii)
    ধরি

    \(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix},\quad 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\\)
    \(∴AX=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}\\∴AX+C\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\⇒AX+C=0 \)

    (ii)
    Solution:
    a1x + b1y + c1z = k1 – – – – – (i)
    a2x + b2y + c2z = k2 – – – – (ii)
    a3x + b3y + c3z = k3 – – – – (iii)
    ধরি

    \(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix} \\\)
    \(∴AX= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(∴AX=K\\⇒\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\ a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)
    \(\mathbf{12.\\A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}}\)

    হলে দেখাও যে, A – AT একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স
    Solution:

    \(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A^T=\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A-A^T\\=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix} \\\therefore (A-A^T)^T\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 1\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=-\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=-(A-A^T)\) A – \(A^{T}\) একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স\(\quad\mathbf{(Proved)}\)
    PREVIOUS
    NEXT
  • S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution CLICK HERE

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    1. bx – ay = n, cy – bz = l এবং az – cx = m সমতলগুলি একটি সরলরেখায় ছেদ করবে যদি- (a) al + bm + cn = 1 (b) al – bm – cn = 0 (c) al + bm + cn = 0 (d) এদের কোনোটিই নয়

    Ans: (c) al + bm + cn = 0
    [al + bm + cn = 0; bx – ay = n এবং cy – bz = l সমতল দুটির ছেদক সরলরেখাগামী সমতলের সমীকরণ –
    (bx – ay – n) + λ(cy – bz – l) = 0
    ⇒ bx + (λc – a)y – λbz – n – λl = 0 – – – (i)
    az – cx = m
    ⇒ – cx + az – m = 0 – – – (ii)
    (i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
    b = -c
    ⇒ c = -b;
    λc – a = 0
    ⇒ λc = a
    ⇒ λ = a/c;
    -λb = a
    ⇒ λb = -a
    ⇒ λ = –a/b;
    – n – λl = – m
    ⇒ n + λl = m
    ⇒ n + a/c×l = m – – – [∵ λ = a/c]
    ⇒ cn + al = cm
    ⇒ cn + al = -bm – – – [∵ c = -b]
    ⇒ cn + al + bm = 0
    ⇒ al + bm + cn = 0]

    2. x-2/3 = y+1/4 = z-2/12 সরলরেখা, x – 2y + z = 20 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল-
    (a) (8, 7, 26) (b) (-8, 7, 26) (c) (8, -7, 26) (d) (8, 7, -26)

    Ans:  (a) (8, 7, 26)
    [x-2/3 = y+1/4 = z-2/12 = t (ধরি)
    ∴ x = 3t + 2 ;
    y = 4t – 1;
    z = 12t + 2
    (3t + 2,  4t – 1, 12t + 2) বিন্দুটি x – 2y + z = 20 সমতলে অবস্থিত।
    ∴ 3t + 2 – 2(4t – 1) + 12t + 2 = 20
    বা, 3t + 2 – 8t + 2 + 12t + 2 = 20
    বা, 7t = 14
    বা, t = 2
    বিন্দুটি হল (3.2 + 2,  4.2 – 1, 12.2 + 2) বা, (8, 7, 26)]

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    3. (2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা xy সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল
    (a) (-13/6, 11/6, 0) (b) (13/6, –11/6, 0) (c) (13/6, 11/6, 0) (d) এদের কোনোটিই নয়

    Ans: (b) (13/6, –11/6, 0)
    [(2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
    x-2/1 = y+3/7 = z-1/-6
    ধরি, x-2/1 = y+3/7 = z-1/-6 =t
    ∴ x = t + 2;
    y = 7t – 3;
    z = -6t + 1
    xy সমতলের সমীকরণ z=0
    (t + 2, 7t – 3, -6t + 1) বিন্দু z = 0 সমতলের উপর অবস্থিত।
    ∴ -6t + 1 = 0
    বা, t = 1/6
    বিন্দুটি হল (1/6 + 2, 7.1/6 – 3, -6.1/6 + 1) বা, (-13/6, 11/6, 0)]

    4. (1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখা 3x + 2y + z = 6 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল- (a) (-3, -2, -1) (b) (3, -2, 1) (c) (-3, 2, 1) (d) (3, 2, 1)

    Ans:  (b) (3, -2, 1)
    [(1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
    x-1/2 = y-1/-3 = z-2/-1
    ধরি, x-1/2 = y-1/-3 = z-2/-1 = t
    ∴ x = 2t + 1;
    y = -3t + 1;
    z = -t + 2
    (2t + 1, -3t + 1, -t + 2) বিন্দু 3x + 2y + z = 6 সমতলের উপর অবস্থিত।
    ∴ 3(2t + 1) + 2(-3t + 1) – t + 2 = 6
    ⇒ 6t + 3 – 6t + 2 – t + 2 = 6
    ⇒ -t = 6-7
    ⇒ t = 1
    বিন্দুটি হল (2.1 + 1, -3.1 + 1, -1 + 2) বা, (3, -2, 1)]

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    5. একটি সমতল অক্ষত্রয়কে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a, a, a) হলে সমতলের সমীকরণ হয় x + y + z = p; তাহলে, p-এর মান হবে-
    (a) 6a (b) -3a (c) 0 (d) 3a

    Ans:  (d) 3a
    [সমতলের সমীকরণ হয়
    x + y + z = p
    ⇒ x/p + y/p + z/p = 1
    ∴ A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (p, 0, 0), (0, p, 0) ও (0, 0, p)
    ∴ p+0+0/3=a
    ⇒ p = 3a]

    6. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য হবে?
    (a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
    (b) যে সমতল (3, 4, -1) বিন্দুগামী এবং r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 7 = 0 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 10 = 0
    (c) x – y + 2z = 5 এবং 3x + y + z = 6 সমতল দুটির ছেদক সরলরেখার সমীকরণ হয় 4x-11/3  = 4y+9/5 = z-0/1
    (d) x+3/2 = y-4/3 = z+5/2 সরলরেখা এবং 4x – 2y – z = 1 সমতল পরস্পর লম্ব।

    Ans: (a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।

    7. (2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2 হলে, সমতলের সমীকরণ হবে-
    (a) 5x – 3y – 2z = 21 (b) 5x + 3y + 2z = -21
    (c) 5x + 3y + 2z = 21 (d) এদের কোনোটিই নয়।

    Ans: (c) 5x + 3y + 2z = 21
    [(2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2;
    ∴ সমতলের সমীকরণ হবে –
    5(x – 2) + 3(y – 3) + 2(z – 1) = 0
    ⇒ 5x – 10 + 3y – 9 + 2z – 2 = 0
    ⇒ 5x + 3y + 2z = 21]

    8. সরলরেখা 3x – 2y + z +3 = 0 = 4x – 3y + 4z +1 যদি 2x – y + mz – 2 = 0-এর সমান্তরাল হয়, তবে m-এর মান হবে-
    (a) -2 (b) 8 (c) 18 (d) 11

    Ans: (a) -2
    [3x – 2y + z +3 = 0
    4x – 3y + 4z +1 = 0

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\3\quad -2\quad\quad 1\\4\quad -3\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad}$$

    = î(-8 + 3) – ĵ(12 – 4) + k̂(-9 + 8)
    = -5î – 8ĵ – k̂
    -5î – 8ĵ – k̂ ভেক্টরটি 2x – y + mz – 2 = 0-এর উপর লম্ব।
    ∴ -5×2 + (-8)×(-1) + (-1)×m = 0
    ⇒ -10 + 8 – m = 0
    ⇒ -2 – m = 0
    ∴ m = -2]

    9. r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান হবে-
    (a) q/î.n̄ (b) î.n̄/q (c) –î.n̄/q (d) q/|n̄|

    Ans:  (a) q/î.n̄
    [ধরি r̄ = xî + yĵ + zk̂ এবং n̄ = n1î + n2ĵ + n3k̂
    ∵ r̄.n̄ = q
    ⇒ (xî + yĵ + zk̂).(n1î + n2ĵ + n3k̂) = q

    $$\large{⇒n_1x+n_2y+n_3z=q\\⇒\frac{n_1x+n_2y+n_3z}{q}=0\\⇒\frac{x}{\frac{q}{n_1}}+\frac{y}{\frac{q}{n_2}}+\frac{z}{\frac{q}{n_3}}=1}$$

    r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান q/n1 = q/în̄]

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    10. r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ – 3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
    (a) 1/√38(2î + 5ĵ – 3k̂) (b) 1/√38(2î – 5ĵ + 3k̂)
    (c) 1/√38(2î + 5ĵ + 3k̂) (d) 1/√38(-2î + 5ĵ – 3k̂)

    Ans: (c) 1/√38(2î + 5ĵ + 3k̂)
    [r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ -3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের অভিলম্ব ভেক্টর î – ĵ + k̂ ও 2î + ĵ -3k̂;
    ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল ভেক্টর n̄ হলে n̄ = (î – ĵ + k̂)×(2î + ĵ -3k̂)

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 1\quad -3\end{vmatrix}\\\quad}$$

    = î(3 – 1) – ĵ(-3 – 2) + k̂(1 + 2)
    = 2î + 5ĵ + 3k̂
    ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-

    $$\large{\quad\frac{2\hat i+5\hat j+3\hat k}{|2\hat i+5\hat j+3\hat k|}\\=\frac{1}{\sqrt{2^2+5^2+3^2}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)\\=\frac{1}{\sqrt{38}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)]}$$

    11. r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r̄.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি-
    (a) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ = q হয় (b) b̄.n̄ ≠ 0, ā.n̄ ≠ q হয় (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয় (d) b̄.n̄ ≠0, ā.n̄ = q হয়

    Ans: (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয়
    [r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি তারা পরস্পর সমান্তরাল হয় অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্ত্তী কোণ 0° হয়।
    sinθ = b̄.n̄/|b̄||n̄|
    ⇒ b̄.n̄/|b̄||n̄| = 0 হবে যদি b̄.n = 0 হয়৷]

    12. r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলকে -2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা-
    (a) 1 : 5 (b) 1 : 10  (c) 3 : 5  (d) 3     : 10

    Ans: (d) 3 : 10 
    [r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলের কার্তেসীয় সমীকরন
    (xî +yĵ + zk̂)(î – 2ĵ + 3k̂) = 17
    বা, x – 2y + 3z = 17
    -2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8)
    ধরি, (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা x – 2y + 3z = 17 সমতলকে n : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
    ∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3n-2/n+1, -5n+4/n+1, 8n+7/n+1)
    বিন্দুটি x – 2y + 3z = 17 সমতলের উপর অবস্থিত।
    ∴ 3n-2/n+1 -2(-5n+4/n+1) + 3(8n+7/n+1) = 17
    বা, 3n – 2 – 2(-5n + 4) + 3(8n + 7) = 17(n + 1)
    বা, 3n – 2 +10n – 8 + 24n + 21 = 17n + 17
    বা, 37n + 11 = 17n + 17
    বা, 20n = 6
    বা, 10n = 3
    বা, n = 3/10
    ∴ n : 1 = 3 : 10]

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    13. x-2/1 = y-3/1 = z-4/-k এবং x-1/k = y-4/2 = z-5/1 সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
    (a) k = 1 বা -1 হয় (b) K =0 বা -3 হয়
    (c) k = 3 বা -3 হয় (d) k = 0 বা -1 হয়

    Ans: (b) K =0 বা -3 হয়
    [x-2/1 = y-3/1 = z-4/-k এবং x-1/k = y-4/2 = z-5/1 সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-x_1\quad y-y_1\quad z-z_1\\a_1\quad\quad\quad b_1\quad\quad\quad c_1\\a_2\quad\quad\quad b_2\quad\quad\quad c_2\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}1-2\quad 4-3\quad 5-4\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}-1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 1\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\}$$

    ⇒ -1(1 +2k) -1(1 + k2) +1(2 – k) = 0
    ⇒ -1 – 2k -1 – k2 + 2 – k = 0
    ⇒ -3k – k2 = 0
    ⇒ k2 + 3k = 0
    ⇒ k(k + 3) = 0
    k = 0; k = -3]

    14. যে সমতলের ওপর x-3/1 = y-6/5 = z-4/4 সরলরেখা এবং (3, 2, 0) বিন্দুটি অবস্থিত তার সমীকরণ হয়-
    (a) x – y + z = 1 (b) x + y + z = 5
    (c) x + 2y – z = 1  (d) 2x – y + z = 5

    Ans:     (a) x – y + z = 1
    [x-3/1 = y-6/5 = z-4/4 সরলরেখাটি (3, 6, 4) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাত 1, 5, 4
    আবার (3, 6, 4) ও (3, 2, 0) এর দিক অনুপাত (3 – 3), (6 – 2), (4 – 0) বা, 0, 4, 4;

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\0\quad\quad 4\quad\quad 4\\1\quad\quad 5\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(16-20)-\hat j(0-4)+\hat k(0-4)}$$

    ⇒ -4î + 4ĵ – 4k̂
    ⇒ -4(î – ĵ + k̂)
    নির্ণেয় সমীকরণ –
    r̄.n̄ = â.n̄
    যেখানে r̄ = xî + yĵ + zk̂
    এবং â = (3î + 2ĵ)
    ∴ (xî + yĵ + zk̂).-4(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).-4(î – ĵ + k̂)
    ⇒ (xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).(î – ĵ + k̂)
    ⇒ x – y + z = 3 – 2 = 1]

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    1. 4x + 3y – 6z – 12 = 0 সমতলের সমীকরণটিকে ছেদিতাংশ আকারে প্রকাশ করো এবং সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা লেখো।

    Solution:
    4x + 3y – 6z – 12 = 0
    ⇒ 4x + 3y – 6z = 12
    ⇒ 4x/12 + 3y/12 – 6z/12 = 1
    ⇒ x/3 + y/4 – z/2 = 1
    Ans: সমতলের ছেদিতাংশ আকারের সমীকরণ x/3 + y/4 – z/2 = 1
    Ans: সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা হল যথাক্রমে 3 একক, 4 একক ও 2 একক।

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    2. 2x – y + 2z = 5 সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর এবং অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:
    সমতলটির সমীকরণ 2x – y + 2z = 5
    Ans: সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর 2î – ĵ + 2k̂

    অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর

    $$\large{=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{|2\hat i-\hat j+2\hat k|}\\=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\\= \frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{4+1+4}}\\=\frac{1}{3}(2\hat i-\hat j+2\hat k)}$$

    Ans: সমতলটির অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর 1/3(2î – ĵ + 2k̂)

    3. প্রদত্ত সমতলগুলির স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ [r̄.n̄ = d] নির্ণয় করো:
    (i) r̄ = (2î – k̂) + λî + μ(î – 2ĵ – k̂)
    (ii) r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
    (iii) r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)

    (i)
    Solution:
    (i) প্রদত্ত তলটি (2î – k̂) বিন্দুগামী এবং î ও (î – 2ĵ – k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
    ∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad\quad \hat j\quad\quad\quad\hat k\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\\1\quad\quad -2\quad\quad -1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0-0)-\hat j(-1-0)+\hat k(-2-0)\\=\hat j-2\hat k}$$

    সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল – 
    r̄.(ĵ – 2k̂) = (2î – k̂).(ĵ – 2k̂)
    ⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 0+0+2
    ⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 2
    Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(ĵ – 2k̂) = 2


    (ii)
    Solution:  
    r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
      = (î + 2ĵ + 3k̂) + s(î – ĵ – 2k̂) + t(-î + 2k̂)
    প্রদত্ত তলটি (î + 2ĵ + 3k̂) বিন্দুগামী এবং (î – ĵ – 2k̂) ও (-î + 2k̂)  ভেক্টরের সমান্তরাল।
    ∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad -2\\-1\quad\quad 0\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(-2-0)-\hat j(-2-2)+\hat k(0-1)\\=-2\hat i-\hat k}$$

    সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল – 
    r̄.(-2î – k̂) = (-2î – k̂).(î + 2ĵ + 3k̂)
    ⇒ r̄.(-2î – k̂) = -2 + 0 – 3
    ⇒ r̄.(-2î – k̂) = -5
    ⇒ r̄.(2î + k̂) = 5
    Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(2î + k̂) = 5

    (iii)
    Solution:  
    r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)
    প্রদত্ত তলটি (î – ĵ) বিন্দুগামী এবং (î + ĵ + k̂) ও (4î – 2ĵ + 3k̂)  ভেক্টরের সমান্তরাল।
    ∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে

    $$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad\quad 1\quad\quad 1\\4\quad\quad -2\quad\quad 3\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(3+2)-\hat j(3-4)+\hat k(-2-4)\\=5\hat i+\hat j -6\hat k}$$

    সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল – 
    r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = (î – ĵ).(5î + ĵ – 6k̂)
    ⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 5 – 1 + 0
    ⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
    Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    4. প্রদত্ত সমতলগুলির কার্তেসিয় আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
    (i) r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
    (ii) r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂

    (i)
    Solution:
    r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
    ∴ n̄ = (-î + ĵ + 2k̂)×(î + 2ĵ + k̂)

    $$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\-1\quad 1\quad2\\1\quad\quad 2\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(1-4)-\hat j(-1-2)+\hat k(-2-1)\\=-3\hat i+3\hat j-3\hat k\\=3(-\hat i+\hat j-\hat k)}$$

    ∴ r̄.n̄ = d
    ⇒ r̄.3(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).3(-î + ĵ – k̂)
    ⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).(-î + ĵ – k̂)
    ⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = – 1 – 1 + 0
    ⇒ -r̄.(î – ĵ + k̂) = – 2
    ⇒ r̄.(î – ĵ + k̂) = 2
    প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
    (xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = 2
    ⇒ x – y + z = 2
    Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ x – y + z = 2

    (ii)
    Solution:
    r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
    ⇒ r̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) +s(î – ĵ – 2k̂) + t(î + ĵ + 2k̂)
    ∴ n̄ = (î – ĵ – 2k̂)×(î + ĵ + 2k̂)

    $$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad-2\\1\quad\quad 1\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(-2+2)-\hat j(2+2)+\hat k(1+1)\\=-4\hat j+2\hat k}$$

    ∴ r̄.n̄ = d
    ⇒ r̄.(-4ĵ + 2k̂) = (î + 2ĵ + 3k̂).(-4ĵ + 2k̂)
    ⇒ 2r̄.(-2ĵ + k̂) = 2(î + 2ĵ + 3k̂).(-2ĵ + k̂)
    ⇒ r̄.(-2ĵ + k̂) = 0 – 4 +3
    ⇒ -r̄.(2ĵ – k̂) = -1
    ⇒ r̄.(2ĵ – k̂) = 1
    প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
    (xî + yĵ + zk̂).(2ĵ – k̂) = 1
    ⇒ 0 + 2y – z = 1
    ⇒ 2y – z = 1
    Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ 2y – z = 1

    5. প্রদত্ত সমতলগুলির নন-প্যারামেট্রিক আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
    (i) r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
    (ii) r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)

    (i)
    Solution:
    r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
    ⇒ r̄ = 3ĵ + λ(î + 2k̂) + μ(-2î – ĵ + k̂)
    ∴ n̄ = (î + 2k̂)×(-2î – ĵ + k̂)

    $$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 0\quad\quad 2\\-2\quad -1\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0+2)-\hat j(1+4)+\hat k(-1+0)\\=2\hat i-5\hat j-\hat k}$$

    ∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
    r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = 3ĵ.(2î – 5ĵ – k̂)
    ⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = -15
    ⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0
    Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0

    (ii)
    Solution:
    r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)
    ∴ n̄ = (î + 2ĵ + 3k̂)×(5î – 2ĵ + 7k̂)

    $$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 2\quad\quad 3\\5\quad -2\quad\quad 7\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(14+6)-\hat j(7-15)+\hat k(-2-10)\\=20\hat i+8\hat j-12\hat k}$$

    ∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
    r̄.(20î + 8ĵ – 12k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(20î + 8ĵ – 12k̂)
    ⇒ 4r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 4(2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
    ⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
    ⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 10 + 4 + 3
    ⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
    Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    6. 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂ বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂
    ∴ AB = 2î – 2ĵ – k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
    = 2î – 2ĵ – k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
    = -î – 6ĵ – 3k̂
    AC = 7î + 6k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
    = 7î + 6k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
    = 4î – 4ĵ + 4k̂
    সমতলটির ওপর A, B ও C বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
    ∴ সমতলটির ওপর AB, AC অবস্থিত
    ∴ সমতলটির অভিলম্ব ভেক্টর হল –

    $$\large{\therefore \vec {AB}×\vec{AC}=\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\-1\quad -6\quad -3\\4\quad -4\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad=\hat i(-24-12)-\hat j(-12+4)+\hat k(4+24)\\\quad=-36\hat i-8\hat j+28\hat k}$$

    A বিন্দুগামী ĀB̄×ĀC̄ ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টরের সমীকরণ হল –
    r̄.(-36î – 8ĵ + 28k̂) = (-36î – 8ĵ + 28k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
    ⇒ -4r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = -4(9î – 2ĵ + 7k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
    ⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 27 – 8 + 14
    ⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
    Ans: নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33

    7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
    (i) (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1)

    Solution:
    (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\4-2\quad -1-3\quad 2-4\\-3-2\quad 5-3\quad 1-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\2\quad -4\quad -2\\-5\quad\quad 2\quad -3\end{vmatrix}=0}$$

    ⇒ (x – 2)(12 + 4) – (y – 3)(-6 – 10) + (z – 4)(4 – 20) = 0
    ⇒ 16(x – 2) + 16(y – 3) – 16(z – 4) = 0
    ⇒ 16[(x – 2) + (y – 3) – (z – 4)] = 0
    ⇒ x – 2 + y – 3 – z + 4 = 0
    ⇒ x + y – z = 1
    Ans: (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ x + y – z = 17.

    7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
    (ii) (3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0)

    Solution:
    (3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\1-3\quad 1-3\quad 1-0\\0-3\quad -1-3\quad 0-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\-2\quad -2\quad\quad 1\\-3\quad\quad -4\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$

    ⇒ (x – 3)(0 + 4) – (y – 3)(0 + 3) + (z – 0)(8 – 6) = 0
    ⇒ 4(x – 3) – 3(y – 3) + 2z = 0
    ⇒ 4x – 12 – 3y + 9 + 2z = 0
    ⇒ 4x – 3y + 2z = 3
    Ans: ((3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ 4x – 3y + 2z = 3

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
    (i) (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1)

    Solution:
    (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\4-3\quad 5-9\quad 1-4\\-4-3\quad 4-9\quad 4-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\1\quad -4\quad -3\\-7\quad -5\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒(x-3)(0-15)-(y-9)(0-21)+(z-4)(-5-28)=0\\⇒-15(x-3)+21(y-9)(0-21)-33(z-4)=0—(i)}$$

    (i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (0, -1, -1) বসিয়ে পাই,
      -15(0 – 3) + 21(-1 – 9) – 33(-1 – 4)
    = -15×(-3) + 21×(-10) – 33×(-5)
    = 45 – 210 + 165
    = -165 + 165
    = 0
    (0, -1, -1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
    ∴ (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত।  (Proved)

    8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
    (ii) (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1)

    Solution:
    (-1, -5, -3), (1, 1, -1) ও (0, 4, 3)  বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\1+1\quad 1+5\quad -1+3\\0+1\quad 4+5\quad 3+3\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\2\quad\quad\quad 6\quad\quad\quad 2\\1\quad\quad\quad 9\quad\quad\quad 6\end{vmatrix}=0\\⇒(x+1)(36-18)-(y+5)(12-2)+(z+3)(18-6)=0\\⇒18(x+1)-10(y+5)+12(z+3)=0 – – – (i)}$$

    (i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে  (-2, -2, 1) বসিয়ে পাই,
     18(-2 + 1) -10(-2 + 5) + 12(1 + 3)
    = 18×(-1) – 10×3 + 12×4
    = -18 – 30 + 48
    = -48 +48
    = 0
    (-2, -2, 1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
    ∴ (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত।  (Proved)

    9. (2, 3, -1) বিন্দুগামী যে সমতল তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, সমতলটি তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে a একক দূরত্বে ছেদ করে।
    ∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
    x/a + y/a + z/a = 1
    ⇒ x+y+z/a = 1
    ⇒ x + y + z = a – – – (i)
    (i) নং সমতলটি (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
    ∴ 2 + 3 – 1 = a
    ∴ a = 4
    Ans: সমতলটির সমীকরণ x + y + z = 4

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    10. x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটি পরস্পর পরস্পরের ওপর লম্ব হলে K-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ হল 1, K, 5 ও 3, -2, K;
    সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
    ∴ সমতল দুটির অভিলম্ব দুটিও লম্ব হবে।
    ∴ 1×3 + K×(-2) + 5×K =0
    ⇒ 3 – 2K + 5K = 0
    ⇒ 3K= -3
    ⇒ K= -1
    Ans: K-এর মান -1

    11. কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি △LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3) হয়, তবে সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক, b একক ও c একক ছেদ করে।
    ∴ L, M ও N বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে যথাক্রমে (a, 0, 0), (0, b, 0), ও (0, 0, с)
    ∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
    x/a + y/b + z/c = 1
    △LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3)
    ∴ a+0+0/3 = 1 ⇒ a = 3
    0+b+0/3 = -2 ⇒ b = -6
    ∴ 0+0+c/3 = 3 ⇒ c = 9
    ∴ সমতলটির সমীকরণ
    = x/3 + y/-6 + z/9 = 1
    = x/3 – y/6 + z/9 = 1
    Ans: নির্ণেয় সমতলটির সমীকরণ x/3 – y/6 + z/9 = 1

    12. (2, 1, -1) বিন্দুগামী যে সমতল x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
    Solution:
    ধরি, (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c.
    নির্নেয় সমতলটি x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব।
    ∴ a – b + c = 0;
    3a + 4b – 2c =0
    (ii) ও (iii) থেকে পাই,
    a/2-4 = b/3+2 = c/4+3 = k – – – (k≠0)
    ⇒ a/-2 = b/5 = c/7 = k
    ⇒ a = -2k; b = 5k; c = 7k
    (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ হল –
    a(x – 2) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0
    ⇒ -2k(x – 2) + 5k(y – 1) + 7k(z + 1) = 0
    ⇒ -2(x – 2) + 5(y – 1) + 7(z + 1) = 0
    ⇒ -2x + 4 + 5y – 5 + 7z + 7 = 0
    ⇒ -2x + 5y + 7z + 6 = 0
    ⇒ 2x – 5y – 7z = 6
    Ans: (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ 2x – 5y – 7z = 6

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    13. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5z + 4 = 0

    Ans:     3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 3, 4, -5
    (1, 2, 3) বিন্দুগামী  3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
    3(x – 1) + 4(y – 2) + (-5)(z – 3) = 0
    ⇒ 3x – 3 + 4y – 8 – 5z + 15 = 0
    ⇒ 3x + 4y – 5z + 4 = 0
    নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 3x + 4y – 5z + 4 = 0 (Proved)

    14. প্রমাণ করো যে, (2, -3, 5) বিন্দুগামী যে সমতল yz সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হবে x = 2 ।

    Ans:
    yz সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
    (2, -3, 5) বিন্দুগামী  yz সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
    1(x – 2) + 0(y + 3) + 0(z – 5) = 0
    ⇒ x – 2 = 0
    ⇒ x = 2
    নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ: x = 2  (Proved)

    15. 2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে সমতলের x, y ও z-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের সমষ্টি 19 একক,  তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে কোনো সমতলের সমীকরণ –
    2x + 4y + 5z = k
    ⇒ 2x/k + 4y/k + 5z/k = 1245
    ⇒ x/k/2 + y/k/4 + z/k/5 = 1
    সমতলটি  x, y ও z-অক্ষ থেকে যথাক্রমে k/2, k/4 ও k/5 একক ছিন্ন করে।
    প্রশ্নানুযায়ী,
      k/2 + k/4 + k/5 = 19
    ⇒ 10k+5k+4k/20 = 19
    ⇒ 19k/20 = 19
    ⇒ k = 20
    Ans: নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 2x + 4y + 5z = 20

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. P(3, 2, 1) বিন্দু থেকে 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব কত? অতঃপর উক্ত সমতলের সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল Q(α, β, γ)
    ∵ পাদবিন্দুটি 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অবস্থিত।
    ∴ 2α – β + γ + 1 = 0 – – – (i)
    P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2, 1)
    ∴ PQ-এর দিক্ অনুপাত α – 3, β – 2, γ – 1
    আবার, 2x – y + z + 1 = 0 সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাত 2, -1, 1 PQ সরলরেখাংশ সমতলটির ওপর লম্ব।

    $$\large{\therefore\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2(α-3)-(β-2)+(γ-1)}{2×2-(-1)+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2α-6-β+2+γ-1}{4+1+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{2α-β+γ-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{-1-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=-1\\\therefore\frac{α-3}{2}=-1\quad ⇒α=1\\\quad\frac{β-2}{-1}=-1\quad ⇒β=3\\\quad\frac{γ-1}{1}=-1\quad ⇒γ=0}$$

    Ans: পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 0)
    ∴  পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব

    $$\large{=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2+(1-0)^2}\\=\sqrt{4+1+1}\\=\sqrt{6}}$$

    Ans: অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব √6 একক।

    ধরি, সমতলটির সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব R (x1, y1, z1)
    ∴ PR-এর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (3+x1/2, 2+y1/2, 1+z1/2
    ∴ 3+x1/2 = 1 ⇒ 3 + x1 = 2 ⇒ x1 = -1;
    2+y1/2 = 3 ⇒ 2 + y1 = 6 ⇒ y1 = 4;
    1+z1/2 = 0 ⇒ 1 + z1 = 0 ⇒ z1 = -1
    Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 4, -1)

    2. প্রমাণ করো যে, (1, 2, 1), (-2, 2, -1) ও (1, 1, 0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র (-1/2, 2, 0)

    Solution:
    ধরি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হল A(1, 2, 1), B(-2, 2, -1) ও C(1, 1, 0)

    $$\large{\therefore AB=\sqrt{(-2-1)^2+(2-2)^2+(-1-1)^2}\\\quad=\sqrt{9+0+4}\\\quad=\sqrt{13}\\BC=\sqrt{(1+2)^2+(1-2)^2+(0+1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{9+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{11}\\CA=\sqrt{(-1-1)^2+(2-1)^2+(0-1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{0+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{2}\\\therefore BC^2+CA^2\\\quad\quad=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2\\\quad\quad=11+2\\\quad\quad=13\\\quad\quad=(\sqrt{13})^2\\\quad\quad=AB^2}$$

    ∴ ∆ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ হল AB।
    আবার সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
    ∴ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র
    = AB-এর মধ্যবিন্দু
    = (1-2/2, 2+2/2, 1-1/2)
    = (-1/2, 2, 0)
    Ans:  ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র (-1/2, 2, 0)

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    3. (3, 1, 1) এবং (1, -2, 3) বিন্দুগামী যে সমতলগুলি x, y ও z-অক্ষের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
    x-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
    ∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং x -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$

    ∴ (x – 3)(0 – 0) – (y – 1)(0 + 2) + (z – 1)(0 – 3) = 0
    ⇒ 0 – 2(y – 1) – 3(z – 1) = 0
    ⇒ -2y + 2 – 3z + 3 = 0
    ⇒ -2y – 3z + 5 = 0
    ⇒ 2y + 3z = 5
    Ans: x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 2y + 3z = 5

    y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
    y-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
    ∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং y -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\}$$

    ∴ (x – 3)(0 + 2) – (y – 1)(0 + 0) + (z – 1)(2 – 0) = 0
    ⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
    ⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
    ⇒ 2x – 6 + 2z – 2 = 0
    ⇒ 2x + 2z – 8 = 0
    ⇒ x + z – 4 = 0
    ⇒ x + z = 4
    Ans: y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ x + z = 4

    z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
    z-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
    ∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং z -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –

    $$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0}$$

    ∴ (x – 3)(3 – 0) – (y – 1)(2 – 0) + (z – 1)(0 – 0) = 0
    ⇒ 3(x – 3) – 2(y – 1) + 0 = 0
    ⇒ 3x – 9 – 2y + 2 = 0
    ⇒ 3x – 2y – 7 = 0
    ⇒ 3x – 2y = 7
    Ans: z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 3x – 2y = 7

    4. মূলবিন্দু থেকে যে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1), তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    (0, 0, 0) বিন্দু থেকে সমতলটির ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1)
    ∴ সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 0), (-1 – 0) অর্থাৎ 2, 3, -1
    ∴ ধরি, সমতলটির সমীকরণ 2x + 3y – z = d – – – (i)
    (i) নং সমীকরণ (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
    ∴ 2×2 + 3×3 – (-1) = d
    ⇒ 4 + 9 + 1 = d
    ⇒ d =14
    Ans: সমতলটির সমীকরণ হল 2x + 3y – z = 14

    5. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5c = 3 সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5c = -4

    Solution:
    3x + 4y – 5c = 0 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল 3x + 4y – 5z = d – – – (i)
    (i) নং সমীকরণ (1, 2, 3) বিন্দুগামী।
    ∴ 3×1 + 4×2 – 5×3 = d
    ⇒ 3 + 8 – 15 = d
    ⇒ d = -4
    সমতলটির সমীকরণ হল 3x +4y – 5z = -4 (Proved)

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    6. (1, 1, 2) এবং (2, 4, 3) বিন্দুগামী যে সমতল x – 3y + 7z = 6 সমতলের ওপর লম্ব, তার কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো এবং কার্তেসিয় সমীকরণটিকে ভেক্টর সমীকরণে রূপান্তরিত করো।

    Solution:
    (1, 1, 2) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
    a(x – 1) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
    সমতলটি (2, 4, 3) বিন্দুগামী।
    ∴ a(2 – 1) + b(4 – 1) + c(3 – 2) = 0
    ⇒ a + 3b + c = 0 – – – (ii)
    (i) নং সমতলটি x – 3y + 7z = 6 সমতলের উপর লম্ব।
    ∴ a×1 + b×(-3) + c×7 = 0
    ⇒ a – 3b + 7c = 0 – – – (iii)
    (ii) ও (iii) থেকে পাই,
    a/21+3 = b/1-7 = c/-3-3 = k – – – (k≠0)
    ⇒ a/24 = b/-6 = c/-6 = k
    ⇒ a/4 = b/-1 = c/-1 = k
    ⇒ a = 4k; b = -k; c = -k
    সমতলটির সমীকরণ হল –
    ∴ 4k(x – 1) + (-k)(y – 1) + (-k)(z – 2) = 0
    ⇒ 4(x – 1) – (y – 2) – (z – 3) = 0
    ⇒ 4x – 4 – y + 2 – z + 3 = 0
    ⇒ 4x – y – z + 1 = 0
    Ans: সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ 4x – y – z + 1 = 0
    সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ হল –
    (xî + yĵ + 4k̂).(4î – ĵ – k̂) = 1
    ⇒ r̄..(4î – ĵ – k̂) = 1
    Ans: সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(4î – ĵ – k̂) = 1

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    7. প্রমাণ করো (1, 2, 3) ও (3, 2, -1) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 6y + z + 7 = 0

    Solution:
    (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
    a(x – 1) + b(y – 2) + c(z – 3) = 0 – – – (i)
    সমতলটি (3, 2, -1) বিন্দুগামী।
    ∴ a(3 – 1) + b(2 – 2) + c(-1 – 3) = 0
    ⇒ 2a – 4c = 0
    ⇒ 2a + 0b – 4c = 0 – – – (ii)

    (i) নং সমতলটি 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের উপর লম্ব।
    ∴ a×3 + b×2 + c×6 = 0
    ⇒ 3a + 2b + 6c = 0 – – – (iii)
    (ii) ও (iii) থেকে পাই,
    a/0+8 = b/-12-12 = c/4-0 = k – – – (k≠0)
    ⇒ a/8 = b/-24 = c/4 = k
    ⇒ a/2 = b/-6 = c/1 = k
    ⇒ a = 2k; b = -6k; c = k
    সমতলটির সমীকরণ হল –
    ∴ 2k(x – 1) + (-6)k(y – 2) + k(z – 3) = 0
    ⇒ 2(x – 1) – 6(y – 2) + (z – 3) = 0
    ⇒ 2x – 2 – 6y + 12 + z – 3 = 0
    ⇒ 2x – 6y + z + 7 = 0 (Proved)

    8. প্রমাণ করো (-1, 3, 2) বিন্দুগামী যে সমতলটি x + 2y + 2z = 5 ও 3x + 3y + 2z + 8 = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 4y + 3z + 8 = 0

    Solution:
    (−1, 3, 2) বিন্দুগামী একটি সমতলের সমীকরণ হল –
    a(x + 1) + b(y – 3) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
    (i) নং সমতলটি x + 2y + 2z = 5 এবং 3x + 3y + 2z + 8 = 0সমতল দুটির সাথে লম্ব।
    ∴ a + 2b + 2c = 0 – – – (ii)
    3a + 3b + 2c = 0 – – – (iii)
    (ii) ও (iii) থেকে পাই,
    a/4-6 = b/6-2 = c/3-6 = k – – – (k≠0)
    ⇒ a/-2 = b/4 = c/-3 = k
    ⇒ a = -2k; b = 4k; c = -3k
    সমতলটির সমীকরণ হল –
    ∴ -2k(x + 1) + 4k(y – 3) + (-3k)(z – 2) = 0
    ⇒ -2(x + 1) + 4(y – 3) – 3(z – 2) = 0
    ⇒ -2x – 2 + 4y – 12 – 3z + 6 = 0
    ⇒ -2x + 4y – 3z – 8 = 0
    ⇒ 2x – 4y + 3z + 8 = 0 (Proved)

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    9. দেখাও যে, ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব।

    Solution:
    ax + by + r = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, b, 0
    xy-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
    এখন a×0 + b×0 + 0×1 = 0
    ∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

    by + cz + p = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, b, c
    yz-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
    এখন 0×1 + b×0 + c×0 = 0
    ∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

    cz + ax + q = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, 0, c
    zx-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
    এখন a×0 + 1×0 + c×0 = 0
    ∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
    ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব। (Proved)

    Utube_comptech_prostuti
    Utube_comptech_prostuti2022

    10. মূলবিন্দুগামী কোনো সমতল (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে, প্রমাণ করো যে, 2/x + 2/y + 2/z = 1

    Solution:
    সমতলটি মূলবিন্দুগামী।
    ∴ কোনো সমতল (0, 0, 0), (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে,

    $$\large{\therefore\begin{vmatrix}2-x-0\quad\quad 2-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-y-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-0\quad\quad 2-z-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}2-x\quad 2\quad\quad 2\\2\quad\quad 2-y\quad 2\\2\quad\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}-x\quad y\quad 0\\0\quad -y\quad z\\2\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\\ \quad\quad\quad — [R_1^!=R_1-R_2;R_2^!=R_2-R_3]}$$

    ⇒ -x(-2y + yz – 2z) -y(0 – 2z) = 0
    ⇒ 2xy -xyz + 2zx +2yz = 0
    ⇒ 2xy + 2zx +2yz = xyz
    ⇒ 2xy/xyz + 2zx/xyz + 2yz/xyz = 1
    ⇒ 2/z + 2/y + 2/x = 1
    ⇒ 2/x + 2/y + 2/z = 1 (Proved)

    11. মনে করো, একটি ভেক্টর n̄ অক্ষগুলির সঙ্গে সমান কোণ (θ ≤ 90°) উৎপন্ন করে এবং ভেক্টরটির মান 2√3 । (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলটির ভেক্টর এবং কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, n̄ ভেক্টরটি অক্ষগুলির সাথে θ (θ ≤ 90°) কোণ উৎপন্ন করে।
    ∴ n̄ = 2√3(îcosθ + ĵcosθ + k̂cosθ)
    আবার, cos2θ + cos2θ + cos2θ =1
    ⇒ 3cos2θ = 1
    ⇒ cos2θ = 1/3
    ⇒ cosθ = 1/√3 – – – [∵ θ ≤ 90°]
    ∴ n̄ = 2√3(î/√3 + ĵ/√3 + k̂/√3)
    ⇒ n̄ = 2î + 2ĵ + 2k̂
    ∴ (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n̄ ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ
    n̄.{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
    ⇒ (2î + 2ĵ + 2k̂).{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
    ⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2î + 2ĵ + 2k̂).(î – ĵ + 2k̂)} = 0
    ⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2 – 2 + 4) = 0
    ⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – 4 = 0
    ⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) = 4
    ⇒ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 – – – (i)
    ∴ সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 (Ans)
    (i) নং সমীকরণে r̄ = xî + yĵ + zk̂ বসিয়ে পাই,
    (xî + yĵ + zk̂).(î + ĵ + k̂) = 2
    ⇒ x + y + z = 2
    ∴ সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ x + y + z = 2 (Ans)

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    12. মনে করো, P(α, β, γ) বিন্দুগামী কোনো সমতল তিনটি অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে এবং O মূলবিন্দু থেকে সমতলটির ওপর OP লম্ব। প্রমাণ করো যে, LMN ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = r5/2αβγ  যেখানে |ŌP̄| = r 

    Solution:
    OP-এর দিক অনুপাতসমূহ (α – 0), (β – 0), (γ – 0) অর্থাৎ α, β, γ
    এবং |ŌP̄| = r
    ⇒ √(α2 + β2 + γ2) = r
    ⇒ α2 + β2 + γ2 = r2 – – – (i)
    OP সমতলটির ওপর লম্ব।r2/αβγ
     (α, β, γ) বিন্দুগামী এবং OP-এর ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ –
    α(x – α) +β(y – β) + γ(z – γ) = 0
    ⇒ αx – α2 + βy – β2 + γz – γ2 = 0
    ⇒ αx + βy + γz = α2 + β2 + γ2
    ⇒ αx + βy + γz = r2 – – – [(i) থেকে পাই]
    ⇒ x/r2/α + y/r2/β + z/r2/γ = 1
    ∴ L, M ও N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (r2/α, 0, 0), (0, r2/β, 0) ও (0, 0, r2/γ)
    ∴ OL-এর দিক অনুপাতসমূহ r2/α, 0, 0
    OM-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, r2/β, 0
    এবং ON-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, r2/γ

    O PL M N


    OLMN চতুস্তলকটির আয়তন

    $${\large=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}\frac{r^2}{α}\quad 0\quad 0\\0\quad \frac{r^2}{β}\quad 0\\0\quad 0\quad \frac{r^2}{γ}\end{vmatrix}\\=\frac{r^2}{α}(\frac{r^2}{β}×\frac{r^2}{γ})\\=\frac{r^6}{6αβγ}}$$

    আবার, OLMN-এর আয়তন
    = 1/3×ŌP̄×△LMN
    = 1/3×r×△LMN
    ∴ 1/3×r×△LMN = r6/6αβγ
    ⇒ △LMN = r5/2αβγ (Proved)

    13. একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু থেকে 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে ও অক্ষগুলিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, L, M ও N বিন্দুগামী xy, yz ও zx সমতল তিনটির সমান্তরাল সমতলগুলির ছেদবিন্দুর গতিপথ হবে

    $$\large{\mathbf{9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}}\\}$$

    Solution:
    ধরি, L, M ও N বিন্দুগামী সমতল তিনটির ছেদবিন্ii
    ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
    ∴  L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
    ∴ L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
    x/α + y/β + z/γ = 1 – – – (i)
    মূলবিন্দু থেকে (i) সমতলের দূরত্ব 3p একক

    $$\large{\therefore \frac{|\frac{0}{α}+\frac{0}{β}+\frac{0}{γ}-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒3p\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}=1\\⇒9p^2\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=1\\⇒9\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=\frac{1}{p^2}\\⇒9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$

    S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

    14. (f, g, h) বিন্দুগামী একটি চলমান সমতল অক্ষ তিনটিকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M ও N বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত x, y ও z অক্ষের সমান্তরাল সমতলগুলি P বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ হবে f/x+g/y+h/z= 1

    Solution:
    ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
    ∴  L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
    L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ =
    x/α + y/β + z/γ = 1 – – – (i)
    (i) নং সমীকরণ (f, g, h) বিন্দুগামী।
    ∴ f/α + g/β + h/γ = 1
    ∴  P(α, β, γ) বিন্দুর সঞ্চারপথ –
    f/x + g/y + h/z = 1 (Proved)

    15. x/a + y/b + z/c = 1 সমতলের ওপর P একটি চলমান বিন্দু।OP সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অঙ্কিত সমতল অক্ষ তিনটিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M, N বিন্দু থেকে xy, yz ও zx সমতলের সমান্তরাল সমতলগুলি Q বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তবে, দেখাও যে Q বিন্দুর সঞ্চারপথ হয়:

    $$\large{\quad x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\}$$

    Solution:
    ধরি, Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
    ∴  L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
    L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ:
    x/α + y/β + z/γ = 1 – – – (i)
    আরও ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x1, y1, z1)
    ∴ OP-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x1 – 0), (y1 – 0), (z1 – 0) অর্থাৎ x1, y1, z1
    (i) নং সমতল ও OP সরলরেখা পরস্পর লম্ব।

    $$\large{\quad\frac{x_1}{\frac{1}{α}}=\frac{y_1}{\frac{1}{β}}=\frac{z_1}{\frac{1}{γ}}=k\\\therefore x_1=\frac{k}{α};\quad y_1=\frac{k}{β};\quad z_1=\frac{k}{γ}\\}$$

    P (x1, y1, z1) বিন্দুটি x/a + y/b + z/c = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।

    $$\large{\therefore \frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}+\frac{z_1}{c}=1\\⇒\frac{\frac{k}{α}}{a}+\frac{\frac{k}{β}}{b}+\frac{\frac{k}{γ}}{c}=1\\⇒\frac{k}{aα}+\frac{k}{bβ}+\frac{k}{cγ}=1\\⇒\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{k}—(ii)}$$

    p বিন্দুটি x/α + y/β + z/γ = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।

    $$\large{\therefore \frac{x_1}{α}+\frac{y_1}{β}+\frac{z_1}{γ}=1\\⇒\therefore \frac{\frac{k}{α}}{α}+\frac{\frac{k}{β}}{β}+\frac{\frac{k}{γ}}{γ}=1\\⇒\frac{k}{α^2}+\frac{k}{β^2}+\frac{k}{γ^2}=1\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{k}—(iii)}$$

    (ii) ও (iii) থেকে পাই,

    $$\large{\quad\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}}$$

    Q (α, β, γ) এর সঞ্চারপথ –

    $$\large{\quad \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\⇒ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights