Category: HS

Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
S N Dey Matrix Solution Part-1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{1.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে A² – 4A + 3I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ A² – 4A + 3I
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+0+0\quad 0+0-1\quad 2+0+1\\2+0+0\quad 0+0+1\quad 1+0-1\\0-1+0\quad 0+0+1\quad 0+1+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-8+3\quad -1-0+0\quad 3-4+0\\2-4+0\quad\quad 1-0+3\quad 0+4+0\\-1+0+0\quad -1+4+0\quad 2-4+3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad\quad 4\quad\quad 4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{1.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে A² – 5A – 14I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
∴ A² – 5A – 14I
\(=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-14\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 9+20\quad -15-10\\-12-8\quad\quad 20+4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 15\quad -25\\-20\quad\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}14\quad 0\\0\quad 14\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
\(\mathbf{2.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (i) A(BC) = (AB)C (ii) A(B + C) = AB + AC
(i)
Solution:
\(\quad BC\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0-6\quad\quad 0-1+0\quad\quad 0-2+2\\3+0-3\quad -6+2+0\quad\quad 0+4+1\\4+0+0\quad -8-2+0\quad 0-4+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(BC)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12+0+36\quad -2+0-90\quad 0+0-36\\\quad 6+0+40\quad\quad 1-24-100\quad 0+30-40\\-24+0+8\quad -4+4-20\quad 0-5-8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad\quad -123\quad -10\\-16\quad -20\quad -13\end{bmatrix}\\=\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\)
R.H.S.
(AB)C
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36+0-12\quad -72-20+0\quad 0-40+4\\58+0-12\quad -116-7-0\quad 0-14+4\\ 5+0-21\quad -10+10+0\quad\quad 0-20+7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad -123\quad -10\\ -16\quad -20\quad\quad -13\end{bmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii)
Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B + C\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(B + C)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+63\quad -6+0-18\quad -4+0-9\\-1+18+70\quad\quad 3+18-20\quad 2+6-10\\4-3+14\quad -12-3-4\quad -8-1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\\\\\quad AC\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+27\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\-1+0+30\quad\quad 2+6+0\quad 0+12-10\\4+0+6\quad -8-1-0\quad 0-2-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\)
R.H.S.
AB + AC
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}=L.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{3.}\\\)প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)
x-এর কোনো মান থাকলে তা নির্ণয় করো যাতে AB = BA সম্পর্ক সিদ্ধ হয়।

Solution:14 4.8
\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\\quad ∴AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad x+0+0\quad x+0+0\\0-x+0\quad 0-4+0\quad 0-5+0\\0+0-x\quad 0+0-6\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∴BA\\=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad 0-x+0\quad 0+0-x\\x+0+0\quad 0-4+0\quad 0+0-5\\x+0+0\quad 0-6+0\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∵BA=AB\\∴\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)
AB = BA
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
∴ x = -x
⇒ x +x = 0
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x-এর মান 0
4. A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে কি? উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তর সমর্থন করো।

Solution:
AB = AC হলে সর্বদা B = C নাও হতে পারে।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad∴AB\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}18-15\quad 12-15\\6-5\quad 4-5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad ∴AC\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-3\quad –6+3\\2-1\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ AB = AC কিন্তু B ≠ C (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{5.}\\\) \(A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে (A + I₃)(A – I₃)-এর মান নির্ণয় করো যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-I_3\\=(A+I_3)-2I_3\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A+I_3)(A-I_3)\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-3-8\quad\quad 3-3-12\quad\quad 4+9-4\\\quad 1-1-6\quad -3-1-9\quad -4+3-3\\\quad 2+3-1\quad -6+3-3\quad -8-9-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12\quad -12\quad\quad 9\\\quad -6\quad -13\quad -4\\\quad 3\quad -6\quad -18\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
6. (i)
মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\)
f(A) নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=2A^2+3A+5\\=2A×A+3A+5I\\=2\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}4+3\quad 2+4\\6+12\quad 3+16\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\quad 3\\9\quad 12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18\quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\quad 12\\36\quad 38\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}25\quad 15\\45\quad 55\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
6. (ii)
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\)
এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে দেখাও যে, f(A) = 0

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=A^2-2A-3\\=A×A-2A-3I\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+4\quad 2+2\\2+2\quad 4+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 4\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5-2-3\quad 4-4-0\\4-4-0\quad 5-2-3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ f(A) = 0 (Proved)
\(\mathbf{7.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
এবং A² + 2I₃ = 3A হলে x-এর মান নির্নয় করো; এখানে I₃ হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\∴A^2+2I_3\\=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2x+0\quad x+2x+0\quad -2+4x-4\\ 2+4+0\quad 2x+4+0\quad -4+8+8\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad\quad 0+0+4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+1\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\)
∵ A² + 2I₃ = 3A
\(∴\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad\quad 12\\0\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\\⇒\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + 3 = 3
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x = 0
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t, যেখানে A^t হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix},\quad B^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\AB=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2-1\quad -4+1\\3-4\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\\-1\quad-2\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\\B^tA^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2-1\quad\quad 3-4\\-4+1\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^I =B^IA^I যেখানে A^I হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 0\\\quad 1\quad\quad 4\\\quad 3\quad -1\end{bmatrix}.\quad B^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad -5\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-4-3+12\quad -2+0-15\\0-12-4\quad\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\∴AB^I=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\\quad -17\quad\quad 5\end{bmatrix}\\B^IA^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-4-3-12\quad 0-12-4\\\quad -2+0-15\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\-17\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
(AB)^I =B^IA^I (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(iii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^T =B^TA^T যেখানে A^T হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix},\quad B^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -2-2+10\quad\quad 1+8-5\\-3+0-20\quad\quad 2-3-8\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad\quad 6\quad 4\\-23\quad -9\quad 15\end{bmatrix}\\∴(AB)^T=\begin{bmatrix}28\quad -23\\ 6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\∴B^TA^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -3+0-20\\-2-2+10\quad 2-3-8\\\quad 1+8-5\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\)
(AB)^T =B^TA^T (Proved)
\(\mathbf{8.(iv)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\end{bmatrix},\quad B^t==\begin{bmatrix} -2\\\quad -1\\\quad -4\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad\quad 4\\-4\quad -2\quad -8\\-6\quad -3\quad -12\end{bmatrix}\\(AB)^t=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\\∴B^tA^t=\begin{bmatrix}-2\\-1\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{9.\\}\)\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স AA^I = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে a, b, c-এর মান নির্ণয় করো।( এখানে A^I হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\\∴A^I=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\∴AA^I=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}\\∴AA^I=I\\⇒\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2a + 2 + 2b = 0
⇒ a + b + 1 = 0 – – – – (i)
2a + 2c + 2 = 0
⇒ a + c + 1 = 0 – – – – (ii)
4 + c + b = 0
⇒ b + c + 4 = 0 – – – – (iii)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
a + b + 1 + a + c + 1 + b + c + 4 = 0
⇒ 2a + 2b + 2c + 6 = 0
⇒ a + b + c = -3 – – – – (iv)
(iv) – (i) করে পাই
a + b + c -a – b – 1 = -3
∴ c = -2
(iv) – (ii) করে পাই
a + b + c -a – c – 1 = -3
∴ b = -2
(iv) – (iii) করে পাই
a + b + c -b – c – 4 = -3
∴ a = 1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ a = 1; b = -2; c = -2
\(\mathbf{10.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে (A^IB)A একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^IB=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+0+0\quad\quad 2+0+0\quad 0+0+0\\-2+2+0\quad -4+3+0\quad 0-1+0\\\quad 2-2+0\quad\quad 4-3-1\quad 0+1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A^IB)A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0+0\quad -2+2+0\quad 2-2+0\\0+0+0\quad\quad 0-1+0\quad 0+1-1\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad 0+0-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{11\\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=∴A+A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+4\quad\quad 2+3\quad -1+1\\3+2\quad\quad 5+5\quad\quad 7-2\\1-1\quad -2+7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}\\A-A^I=\)
এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
আবার
\(A-A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-4\quad\quad 2-3\quad -1-1\\3-2\quad\quad 5-5\quad\quad 7+2\\1+1\quad -2-7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\)
এটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\(∴\frac{1}{2}(A+A^I)+\frac{1}{2}(A-A^I)\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8+0\quad 5-1\quad 0-2\\5+1\quad 10+0\quad 5+9\\0+2\quad 5-9\quad 2+0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad\quad 4\quad -2\\6\quad\quad 10\quad\quad 14\\2\quad -4\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad\quad 5\quad\quad \frac{9}{2}\\1\quad\quad \frac{9}{2}\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{12. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.1\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 4\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.2\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2m\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2+2m\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2(m+1)\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{12. (ii)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.1\quad -4.1\\\quad 1\quad\quad 1-2.1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-4\quad -12+4\\3-1\quad -4+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -8\\2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.2\quad -4.2\\2\quad\quad 1-2.2\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+6m-4m\quad -4-8m+4m\\\quad 3m+1-2m\quad\quad -4m-1+2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+2m\quad -4-4m\\m+1\quad -1-2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2(m+1)\quad -4(m+1)\\m+1\quad\quad 1-2(m+1)\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
\(\mathbf{13.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos1θ\quad isin1θ\\isin1θ\quad cos1θ\end{bmatrix}\)
P(1) সত্য
∴ P(2) :
A²= A×A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ\quad icosθsinθ+isinθcosθ\\isinθcosθ+isinθcosθ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ\quad isin2θ\\isin2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\\\quad ∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad i sinθ\\i sinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ+i^2sinmθsinθ\quad icosmθsinθ+isinmθcosθ\\isinmθcosθ+icosmθsinθ\quad i^2sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ-sinmθsinθ\quad i(cosmθsinθ+sinmθcosθ)\\i(sinmθcosθ+cosmθsinθ)\quad -sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(mθ+θ)\quad isin(mθ+θ)\\isin(mθ+θ)\quad cos(mθ+θ)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(m+1)θ\quad isin(m+1)θ\\isin(m+1)θ\quad cos(m+1)θ\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
Matrix S N Dey Solution Part-3
14.যদি
\(A=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n) : A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^1\quad \frac{b(a^1-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+0\quad ab+b\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad b(a+1)\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a+1)(a-1)}{a-1}\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a^2-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad a^{m+1}\quad a^mb+\frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0+0\quad\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^{m+1}\quad \frac{a^{m+1}b-a^mb+ba^m-b}{a-1}\\0\quad\quad 1\quad\quad\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad a^{m+1}\quad \frac{b(a^{m+1}-1)}{a-1}\\0\quad 1\quad\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
15.যদি
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\), n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n): A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix},\quad n∈N\\∴P(1): \\A^1=A\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\\\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{16.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)
এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে দেখাও যে,
\(I+A=(I-A)\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.\\}\)\(I+A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\∴I-A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\\)
\(\mathbf{R.H.S.\\}\)\(\quad (I-A) \begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad -\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\\\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad\quad \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad x\\-x\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad -\frac{2x}{1+x^2}\\\frac{2x}{1+x^2}\quad\quad \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\quad x=tan\frac{α}{2} (Let)\\=\begin{bmatrix}\frac{1-x^2+2x^2}{1+x^2}\quad \frac{-2x+x-x^3}{1+x^2}\\\frac{-x+x^3+2x}{1+x^2}\quad \frac{2x^2+1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x-x^3}{1+x^2}\\\frac{x+x^3}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x(1+x^2)}{1+x^2}\\\frac{x(1+x^2)}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -x\\x\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=L.H.S. \quad (Proved)\)
\(\mathbf{17}\\\)\(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে, (2I + 3E)³ = 8I + 36E

Solution:
\(\quad (2I+3E)\\=2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 3\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\\quad ∴(2I+3E)^2\\=(2I+3E)(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4+0\quad 6+6\\0+0\quad 0+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\\\mathbf{L.H.S}\\\quad ∴(2I+3E)^3\\=(2I+3E)^2(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8+0\quad 12+24\\0+0\quad 0+8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}\\\mathbf{R.H.S.}\\\quad 8I +36I\\=8\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+36\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 0\\0\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 36\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
PREVIOUS
NEXT
January 18, 2024
Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
(i) হয় তবে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।
\(2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\quad 2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x\quad\quad 10\\14\quad 2y-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 10+4\\14+1\quad 2y-6+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x +3 = 7
⇒ 2x = 4
∴ x = 22
y – 4 = 14
⇒ 2y = 18
∴ y = 9
Ans: x = 2; y = 9
(ii) x, y ও z -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y = 2 – – – – (i)
x – z = 2 – – – – (ii)
2x – y = 1 – – – – (iii)
(i) + (ii) করে পাই
x + y + 2x – y = 2 + 1
⇒ 3x = 3
∴ x = 1
(i) নং থেকে পাই
1 + y = 2
∴ y = 1
(ii) নং থেকে পাই
1 – z = 2
⇒ -z = -1
∴ z = -1
Ans: x = 1; y = 1; z = –1
Matrix S N Dey Solution Part-2
(iii) x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যাতে নীচে দেওয়া ম্যাট্রিক্স দুটি সমান হয়
\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x – z = 3 – t
⇒ x – z + t = 3 – – – – (i)
-z – x = 5 – t
⇒ -x – z + t = 5 – – – – (ii)
7- t = t + 5
⇒ -t – t = 5 – 7
⇒ -2t = -2
∴ t = 1
6 + z = x – y
⇒ x – y – z = 6 – – – – (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
x – z + t – (-x – z + t) = 3 – 5
⇒ x – z + t + x + z – t = 3 – 5
⇒ 2x = -2
∴ x = -1
(i) থেকে পাই,
x – z + t = 3
⇒ -1 – z + 1 = 3
⇒ – z = 3
∴ z = -3
(iii) থেকে পাই,
x – y – z = 6
⇒ -1 – y -(-3) + 1 = 5
⇒ – y + 3 = 4
⇒ -y = 1
∴ y = -1
Ans: x = -1; y = -1; z = -3; t = 1;
(iv) a, b, c ও d -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:}\\\)\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
b + c = 9 – d
⇒ b + c + d = 9 – – – – (i)
c + a = 8 – d
⇒ a + c + d = 8 – – – – (ii)
7 – d = a + b
⇒ a + b + d = 7 – – – – (iii)
6 – c = a + b
⇒ a + b + c = 6 – – – – (iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
b + c + d + a + c + d + a + b + d + a + b + c = 9 + 8 + 7 + 6
⇒ 3(a + b + c + d) = 30
⇒ a + b + c + d = 10 – – – – (v)
(v) – (i) করে পাই,
a = 1
(v) – (ii) করে পাই,
b = 2
(v) – (iii) করে পাই,
c = 3
(v) – (iv) করে পাই,
d = 4
Ans: a = 1; b = 2; c = 3; d = 4;
(v). x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যখন
\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}3x\quad 3y\\3z\quad 3t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad x+4\quad 6+x+y\\-1+z+t\quad 2t+3\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
3x = x + 4
∴ x = 2
আবার
3y = 6 + x + y
⇒ 2y = 6 + x
⇒ 2y = 6 + 2 – – – – [x = 2]
∴ y = 4
3t = 2t + 3
∴ t = 3
3z = -1 + z + t
⇒ 2z = -1 + t
⇒ 2z = -1 + 3 – – – – [t = 2]
∴ z = 1
Ans: x = 4; y = 4; z = 1; t = 3
2. নীচে দেওয়া A ও B ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে A + B, AB এবং BA সংজ্ঞাত কিনা বলো এবং সংজ্ঞাত ক্ষেত্রে তাদের মান নির্ণয় করো।
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A ও B সমক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A + B, AB এবং BA প্রতিটিই সংজ্ঞাত।
\(\mathbf{(i)\\}\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\)
\(\quad A+B\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 2\\0\quad 2\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad AB\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 0+2\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 2+0\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{(ii)}\\\)\(A\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\)
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B এর ক্রম ভিন্ন;
∴ A + B সংজ্ঞাত নয়।

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা(2) ≠ B-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ AB ম্যাট্রিক্সও সংজ্ঞাত নয়।
আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা(3) = A-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ BA ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞাত।
\(\quad BA\\=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6+40+35\quad 9+48+40\\4+5+7\quad\quad 6+6+8\\2+15+21\quad 3+18+24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}81\quad 97\\16\quad 20\\38\quad 45\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
3. কখন দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হয়?
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA; ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে এটি কি সাধারণভাবে সত্য? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা প্রতিষ্ঠা করো।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয়।
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয় = 3
∴ AB সংজ্ঞাত
\(\quad AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-2-3\quad -2+2+0\quad -3+0+3\\6-3-3\quad -2+3+0\quad -3+0+3\\6-2-4\quad -2+2+0\quad -3+0+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\\quad BA=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad 6-2-3\quad 12-6-6\quad\quad 18-6-12\\-1+1+0\quad -2+3+0\quad -3+3-0\\-1+0+1\quad -2+0+2\quad -3+0+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\∴ AB = BA\)
ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে AB = BA সর্বদা সত্য নয়।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
এখানে AB ≠ BA
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{4. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8-6+1\quad 12+0-5\\6+21-1\quad 9+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 7\\26\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 8+9\quad\quad 4-21\quad -2+3\\-12+0\quad -6+0\quad\quad 3+0\\-4+15\quad -2-35\quad\quad 1+5\end{bmatrix}\\=\\=\begin{bmatrix}\quad 17\quad -17\quad 1\\-12\quad -6\quad 3\\\quad 11\quad -37\quad 6\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{5. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে AB – 2B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB – 2B\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2+0\quad 4+4+0\quad 0+4+2\\1+1+0\quad 4-2+0\quad 0-2+2\\2-3+0\quad 8+6+0\quad 0+6-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\\quad 2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad\quad 0\quad\quad 6\\\quad 4\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 14\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{6. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB ≠ BA

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
∴ AB ≠ BA (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{7. \\}\)\(P=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে P² = P

Solution:
P² = P × P
\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+2-4\quad -4-6+8\quad -8-8+12\\-2-3+4\quad\quad 2+9-8\quad\quad 4+12-12\\\quad 2+2-3\quad -2-6+6\quad -4-8+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=P\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{8.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA = 0, O একটি 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 6+9-15\quad\quad 10+15-25\\\quad 1+4-5\quad -3-12+15\quad -5-20+25\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\\\quad 2+3-5\quad -3-12+15\quad -5-15+20\\-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ AB = BA = 0 (Proved)
\(\mathbf{9. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1+2+3\quad -1+2+3\quad 1-2-3\\-2-6-12\quad -2-6-12\quad 2+6+12\\-3-4-9\quad -3-4-9\quad 3+4+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad\quad 4\quad -4\\-20\quad -20\quad\quad 20\\-16\quad -16\quad\quad 16\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-2+3\quad -1+3-2\quad\quad 1-4+3\\\quad 2+4-6\quad -2-6+4\quad -2+8-6\\-3-6+9\quad -3+9-6\quad\quad 3-12+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)
∴ AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0 (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
9. (ii)
α – β = (2n+1)π/2, n ∈ Z হলে প্রমান করো যে,
\(\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2αcos^2β+cosαsinαcosβsinβ\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosαcosβcos(α-β)\quad cosαsinβcos(α-β)\\sinαcosβcos(α-β)\quad sinαsinβcos(α-β)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad [∵cos(α-β)=cos(2n+1)\frac{π}{2}=0]\\=0\quad\mathbf{(Proved)} \)
\(\mathbf{10.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2-4A-5I=0\) যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
A² – 4A – 5I
\(=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+8\quad 4+12\\2+6\quad 8+9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9-4-5\quad 16-16-0\\8-8-0\quad 17-12-5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}=0\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{11. (ii)\\}\) \(A =\begin{pmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2+3A+5I =\begin{pmatrix}\quad3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)
Solution:
A² + 3A + 5I
\(=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-6\quad 2+0\\-3+0\quad -6+0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 6\\-9\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3+5\quad 6+0\\-9+0\quad 0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 8\quad 6\\-9\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii) যদি
\(A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A²= 8A + KI হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-0\quad 0+0\\-1-7\quad 0+49\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}\\∵A^2=8A+KI\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+K\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad 8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}K\quad 0\\0\quad K\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad K+8\quad 0\\-8\quad 56+K\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
K + 8 = 1
বা, K = -7
Ans: K = -7
\(\mathbf{12.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}\quad1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (A + B)² ≠ A² + 2AB + B²
\((A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.}\\\)\((A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0-20\quad\quad 0-5\\0+4\quad -20+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-20\quad -5\\\quad 4\quad -19\end{pmatrix}\\A^2=A×A\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-2\quad 2-4\\-1+2\quad -2+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1-6\quad 3+2\\1+6\quad -3-2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-7\quad 5\\7\quad -5\end{pmatrix}\\B^2=B×B\\=\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-9\quad -3+3\\3-3\quad -9+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-8\quad 0\\0\quad -8\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{R.H.S.}\\\)\(A^2+2AB+B^2\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-7\quad\quad 5\\\quad 7\quad -5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-14\quad 10\\\quad 14\quad -10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-23\quad 8\\15\quad -16\end{pmatrix}\)
(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² (Proved)
\(\mathbf{13. (i)\\}\) \(\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}2x+y\\ 3x+4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + y = 1 – – – – (i)
3x + 4y = -1 – – – – (ii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
8x + 4y – 3x – 4y= 1 + 4
⇒ 5x = 5
∴ x = 1
(i) নং x = 1-এ বসিয়ে পাই-
2 + y = 1
∴ x = -1
Ans: x = 1 ; y = -1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{(ii)\\}\) \(A=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A² = KA – 2I₂ হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-8\quad -6+4\\12-8\quad -8+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}\\∵A^2=KA-2I_2\\∴\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k\quad -2k\\4k\quad -2k\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k+0\\4k+0\quad -2k-2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
4 = 4k
∴ k = 1
Ans: k = 1 ;
\(\mathbf{14.\\}\)\(A =\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) হলে প্রমাণ করো যে,\((A-2I)(A-3I)=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
\(\quad (A-2I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 2\quad\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\\\quad (A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 1\quad\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\∴(A-2I)(A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{15.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\) হলে (\(i =\sqrt{-1}\))
AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i-i\quad -1-i^2\\-i^2-1\quad i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad0\quad -1+1\\1-1\quad\quad 0\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i+i\quad\quad i^2-1\\-1+i^2\quad -i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad\quad -1-1\\-1-1\quad\quad -2i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad -2\\-2\quad -2i\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
16. \(X=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, X² = 0 যেখানে 0 হল 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(X^2=X×X\\=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)×(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\\(-1)1+3×(-1)+4×1\quad\quad (-1)(-3)+3×3+4(-3)\quad\quad (-1)(-4)+3×4+4(-4)\\\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 4+12-16\\\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\∴X^2=0\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{17.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\)
হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন 3A – 2X = B

Solution:
3A – 2X = B
⇒ 2X = 3A – B
\(∴2x=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}3\quad -9\quad\quad 12\quad 6\\0\quad\quad 15\quad -6\quad 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{18.}\) \(A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, AB = I₂ যেখানে I₂ হল 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=I_2\quad \mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{19.}\\A=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\)
এবং (A + B)² = A² + B² হলে a ও b -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(A+B\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad -1+1\\2+b\quad -1-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad \quad0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\∴(A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{bmatrix}1+a\quad\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+a\quad \quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)(a+1)+0×(b+2)\quad (a+1)×0+0×-2\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad (b+2)×0-2×-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}\\\quad A^2\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2\quad -1+1\\2-2\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B^2\\=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
(A + B)² = A² + B²
\(∴ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\\⇒ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+b-1\quad a-1\\ab-b\quad\quad b\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
a – 1 = 0 এবং b = 4
∴ a = 1
Ans: a = 1 ; b = 2;
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{20.\\A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}}\)
হলে AA^T নির্ণয় করো।Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = A^T ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 2
∴AA^T সংজ্ঞাত
\(\quad AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1×1+1×1\quad 1×2+1×2\quad 1×3+1×3\\2×1+2×1\quad 2×2+2×2\quad 2×3+2×3\\3×1+3×1\quad 3×2+3×2\quad 3×3+3×3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1+1\quad 2+2\quad 3+3\\2+2\quad 4+4\quad 6+6\\3+3\quad 6+6\quad 9+9\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{21.\\A=\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}}\)
এবং A + B = BC হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
∵ A + B = BC
\(∴\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad -2+4\\2+0\quad 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+4y\quad -6+8\\0+y\quad 0+2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad 2\\2\quad\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4y-3\quad 2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
y = 2
এবং x + 3 = 4y – 3
⇒ x = 4y – 6
⇒ x = 4.2 – 6
⇒ x = 8 – 6 = 2
Ans: x = 2,
y = 2
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
22. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি কি শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে? উদাহরণের সাহায্যে বোঝাও।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স নাও হতে পারে।
উদাহরণঃ
ধরি,
\(A=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\∴AB=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1×0+0×0\quad 1×0+0×1\\0×0+0×0\quad 0×0+0×1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
23. (i) দেখাও যে,
\(A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স A² – 4A + 3I = 0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\mathbf{Solution:}\\A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\∴A^2\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2×2+-1×-1\quad\quad 2×-1+-1×2\\-1×2+2×-1\quad\quad -1×-1+2×2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}\\∴A^2-4A+3I\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\quad 8\quad -4\\-4\quad\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5-8+3\quad -4+4+0\\-4+4+0\quad\quad 5-8+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=0\quad \mathbf{Proved}\)
23. (ii)
\((ii)A=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)
হলে 3A² – 2B + I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad A^2\\=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2×2-1×3\quad\quad 2×-1-1×2\\3×2+2×3\quad\quad 3×-1+2×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴3A^2-2B+I\\=3\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -12\\36\quad\quad 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 0\quad 8\\-2\quad 14\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3-0+1\quad -12-8+0\\36+2+0\quad\quad 3-14+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad -20\\38\quad\quad -10\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
24.
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
হলে x-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}1+2x+15\quad 3+5x+3\quad 2+x+2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}(2x+16)×1+(5x+6)×2+(x+4)×x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x +16 +10x + 12 + x^2 + 4x = 0\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+16x+28=0\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x² + 16x + 28 = 0
⇒ x² + 14x + 2x + 28 = 0
⇒ x(x + 14) +2(x +14) = 0
⇒ (x + 14)(x +2) = 0
হয় (x + 14) = 0 নতুবা (x +2) = 0
∴ x = -14 বা x = -2
Ans: x = -2 , -14
PREVIOUS
NEXT
December 31, 2023

error: Content is protected !!