Category: SEMESTER-3

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

S N DEY MATHEMATICS SOLUTION
CLASS XII
SEMESTER – III
UNIT 4 CHAPTER 1
BAYES’ THEOREM S N DEY
বেইজের উপপাদ্য

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type __________________

1. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I: 1 টি সাদা ও 2 টি কালো, বাক্স II: 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III: 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₃ Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ³/₄ Ⓓ ⁴/₅

Solution: ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, এবং C ∴ P(A) = P(B) = P(C) = ¹/₃
আরও ধরি, উত্তোলিত বলটি সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A) = ¹/_{1 + 2} = ¹/₃P(W/B) = ²/_{2 + 1} = ²/₃P(R/C) = ²/_{2 + 2} = ¹/₂যদি তোলা বলটি সাদা হয়, তবে তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল P(C/W)

\(=\frac{P(C)P(W/C)}{P(A)P(W/A) + P(B)P(W/B) + P(C)P(W/C)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}\)

= ¹/₂×⁶/_{2 + 4 + 3}
= ¹/₂×⁶/₉ = ¹/₃
Ans: Ⓐ ¹/₃

2. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C -এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁵/₁₃Ⓑ ⁶/₁₃
Ⓒ ⁴/₁₃Ⓓ ²/₁₃

Solution: ধরি, E₁, E₂ ও E₃ যথাক্রমে A, B ও C -এর লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার ঘটনা
∴ P(E₁) = ⁴/₅;∴ P(E^c₁) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
P(E₂) = ³/₄;∴ P(E^c₂) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
P(E₃) = ²/₃;∴ P(E^c₃) = 1 – ²/₃ = ¹/₃

দুটি গুলি আঘাত করার ঘটনা F হলে –
P(F) = P[(E^c₁∩ E₂∩ E₃) ∪ (E₁∩ E^c₂∩ E₃) ∪ (E₁∩ E₂∩ E^c₃)]
= P(E^c₁∩ E₂∩ E₃) + P(E₁∩ E^c₂∩ E₃) + P(E₁∩ E₂∩ E^c₃)
=P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12)
=¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 26 = ¹³/₃₀

নির্ণেয় সম্ভাবনা\(=\frac{P(E_1 ∩ E_2 ∩ E_3^c)}{P(F)}\\=\frac{\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}}{\frac{13}{30}}\)

= ¹/₅×³⁰/₁₃
= ⁶/₁₃Ans: Ⓑ ⁶/₁₃

3. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²/₅ Ⓑ ¹/₃ Ⓒ ²/₉ Ⓓ ⁴/₉

Solution: ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান।
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅;
P(W/A₂) = ³/₃₊₂ = ³/₅;
P(W/A₃) = ⁴/₄₊₁ = ⁴/₅
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₁/W)

\(=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1) + P(A_2)P(W/A_2) + P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\)

= ²/_{2 + 3 + 4} = ²/₉
Ans: Ⓒ ²/₉

4. একটি থলি A -এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B -এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভবনা হল-
Ⓐ ²⁵/₅₂ Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ⁴/₉ Ⓓ ²⁵/₅₁

Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R
∴ P(R/E₁) = ³/₂₊₃ = ³/₅
এবং P(R/E₂) = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/R)

\(=\frac{P(E_2)P(R/E_2)}{P(E_1)P(R/E_1) + P(E_2)P(R/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5}+\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{27+25}{45}+\frac{5}{9}}\)

= ⁵/₉×⁴⁵/₅₂
= ²⁵/₂₆

Ans: Ⓐ ²⁵/₅₂

5. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানির দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় বস্তুটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₇Ⓑ ²/₅
Ⓒ ³/₅Ⓓ ²/₇

Solution: ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂
∴ P(E₁) = 60% = 0.60
এবং P(E₂) = 40% = 0.40
আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = 80% = 0.80
এবং P(X/E₂) = 90% = 0.90
∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E₂/X)

\(=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(W/E_1) + P(E_2)P(W/E_2)}\)

= ^0.40×0.90/_{0.60×0.80 + 0.40×0.90}
=^0.36/_{0.48 + 0.36}
= ³⁶/₈₄= ³/₇
Ans: Ⓐ ³/₇

6. একটি থলি A এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে, অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂Ⓑ ¹/₅
Ⓒ ⁴/₅Ⓓ ¹/₇

Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/E₁) = ¹/₁₊₆ = ¹/₇
এবং P(W/E₂) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇
তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₁/W)

\(=\frac{P(E_1)P(W/E_1)}{P(E_1)P(W/E_1) + P(E_2)P(W/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4}{7}}\\=\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}+\frac{4}{7}}\)

= ¹/_{1 + 4}= ¹/₅
Ans: Ⓑ ¹/₅

7. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M₁, M₂ ও M₃ প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₃ Ⓑ ⁵/₁₃
Ⓒ ⁸/₁₃ Ⓓ ²/₁₃

Solution: ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁴/₁₇;
P(A₂) = ²⁵⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁵⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁵/₁₇;
P(A₃) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ⁴⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁸/₁₇
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 3% = ³/₁₀₀;
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀,
P(X/A₃) = 2.5% = ²⁵/₁₀₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₂/X)

\(=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(X/A_2) + P(A_2)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{5}{17}×\frac{4}{100}}{\frac{4}{17}×\frac{3}{100}+\frac{5}{17}×\frac{4}{100}+\frac{8}{17}×\frac{25}{1000}}\)

= ^5×4/_{4×3 + 5×4 + 4×5}
= ²⁰/₅₂ = ⁵/₁₃
Ans: Ⓑ ⁵/₁₃

৪. একটি বাক্সে 2 টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3 টি রৌপ্য মুদ্রা আছে অন্য একটি বাক্সে 3 টি স্বর্ণ ও 3 টি রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল- Ⓐ ¹/₂Ⓑ ⁴/₉Ⓒ ¹/₉Ⓓ ⁵/₉

Solution: ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ হওয়ার ঘটনা G ∴ P(G/E₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅P(G/E₂) = ³/₃₊₃ = ³/₆ = ¹/₂
নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/G)

\(=\frac{P(E_2)P(G/E_2)}{P(E_1)P(G/E_1) + P(E_2)P(G/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}+\frac{1}{2}}\)

= ¹/₂×¹⁰/_{4 + 5} = ⁵/₉
Ans: Ⓓ ⁵/₉

9. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2 টি লাল ও 4 টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে – এই ঘটনার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁰/₃₁Ⓑ ²¹/₃₁
Ⓒ ¹/₃₁Ⓓ ¹/₃

Solution: ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ;
∴ P(R/A₁) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₂) = ⁴/₄₊₅ = ⁴/₉
P(R/A₃) = ²/₂₊₄ = ²/₆ = ¹/₃যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে – এই ঘটনার সম্ভাবনা হল P(A₂/R)

\(=\frac{P(A_2)P(R/A_2)}{P(A_1)P(R/A_1) + P(A_2)P(R/A_2) + P(A_2)P(R/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{9}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{4}{9}}{\frac{3}{5}+\frac{4}{9}+\frac{1}{3}}\)

= ⁴/₉×⁴⁵/_{27 + 20 + 15}
= ⁴/₉×⁴⁵/₆₂ = ¹⁰/₃₁
Ans: Ⓐ ¹⁰/₃₁

10. কোনো বিমা কোম্পানি 2000 টি স্কুটার এবং 3000 টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02; বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₂₅₀Ⓑ ³/₅
Ⓒ ³/₄Ⓓ ¹/₄

Solution: বিমা করা একটি যানটি স্কুটার এবং মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
∴ P(A) = ²⁰⁰⁰/_{2000 + 3000} = ²/₅;
এবং P(B) = ³⁰⁰⁰/_{2000 + 3000} = ³/₅নির্বাচিত যানটির দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = 0.01 এবং P(W/B) = 0.02
∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা (B/W)

\(=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B)}\\=\frac{0.02×\frac{3}{5}}{0.02×\frac{2}{5}+0.02×\frac{3}{5}}\)

= ^0.02×0.6/_{0.01×0.4 + 0.02×0.6}
= ^0.012/_{0.004 + 0.012} = ¹²/₁₆ = ³/₄
Ans: Ⓒ ³/₄

11. কোনো corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂Ⓑ ³/₂₅
Ⓒ ³/₁₀Ⓓ ²/₉

Solution: প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X
∴ P(A₁) = 0.6; P(A₂) = 0.4
এবং P(X/A₁) = 0.7; P(X/A₂) = 0.3
∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)

\(=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(X/A_2)}\)

= ^0.4×0.3/_{0.6×0.7 +0.4×0.3}
= ¹²/_{42 + 12} = ¹²/₅₄ = ²/₉
Ans: Ⓓ ²/₉

12. একটি বাক্সে 3 টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড পাবার সম্ভাবনা ²/₃ এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₂; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²⁷/₁₅₅Ⓑ ¹/₃
Ⓒ ¹/₂₄Ⓓ ¹/₂

Solution: প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মুদ্রা নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = P(B) = P(C) = ¹/₃তিনবার টস্ করলে প্রতিবারেই হেড্ পড়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = (²/₃)³ = ⁸/₂₇,
P(W/B) = (²/₃)³ = ⁸/₂₇
এবং P(W/C) = (¹/₂)³ = ¹/₈∴ মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা (C/W)

\(=\frac{P(W/C)P(C)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\\=\frac{\frac{1}{8}×\frac{1}{3}}{\frac{8}{27}×\frac{1}{3}+\frac{8}{27}×\frac{1}{3}+\frac{1}{8}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{1}{8}}\)

= ¹/₈×^8×27/_{(64 + 64 + 27)}
= ²⁷/₁₁₅
Ans: Ⓐ ²⁷/₁₅₅

13. এক পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের 25% রাশিবিজ্ঞানে, 30% গণিতে এবং 45% রাশিবিজ্ঞান বা গণিতের মধ্যে কোনো একটি বিষয়ে অকৃতকার্য হয়। একজন পরীক্ষার্থীকে উদ্দেশ্যহীনভাবে বেছে নেওয়া হয়। যদি ওই পরীক্ষার্থী গণিতে অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে তার রাশিবিজ্ঞানে কৃতকার্য হওয়ার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ¹/₃Ⓑ ²/₃
Ⓒ ¹/₂Ⓓ ¹/₄

Solution: রাশিবিজ্ঞান এবং গণিতে অকৃতকার্য হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B
∴ P(A) = 0.25,              P(B) = 0.30,                P(A ∪ B) = 0.45
     P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= 0.25 + 0.30 – 0.45 = 0.10
     P(A^C/B)
= ^{P(A^C ∩ B)}/_P(B)
=^{P(B) – P(A ∩ B)}/_P(B)
= ^{0.30 – 0.10}/_0.30
= ^0.20/_0.30 = ²/₃
Ans: Ⓑ ²/₃

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
- সন্ততা
- অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
- সম্ভাবনা
- Bayes’ উপপাদ্য
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks _________________

1. Bayes’-এর উপপাদ্যের ক্ষেত্রে P(A_i/X) = _____________

\(Ⓐ\ \frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓑ\ \frac{P(A_i)P(A_i/X)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓒ\ \frac{P(X)P(A_i/X)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓓ\ \frac{P(X)P(A_i/X)}{P(X)P(A₁/X) + P(X)P(A_2/X) + . . . + P(X)P(A_n/X)}\\Ans:\quad Ⓐ\ \frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\)

2. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে, যদি 6 টি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ এর মধ্যে একটি ঘটে। যদি P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = P(A₄) = P(A₅) = P(A₆) = ¹/₆ এবং P(X/A₁) = ¹/₅, P(X/A₂) = ¹/₁₀, P(X/A₃) = ¹/₁₀, P(X/A₄) = ¹/₁₀, P(X/A₅) = ³/₁₀, P(X/A₆) = ¹/₅ হয়, তবে P(X) =_____________
Ⓐ ¹/₂Ⓑ 1
Ⓒ ¹/₆Ⓓ ¹/₃

Solution: P(X) = P(X/A₁)P(A₁) + P(X/A₂)P(A₂) + . . . + P(X/A₆)P(A₆)
= ¹/₅×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ³/₁₀×¹/₆ + ¹/₅×¹/₆
=¹/₆(¹/₅ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ³/₁₀ + ¹/₅)
= ¹/₆×^2+1+1+1+3+2/₁₀
= ¹/₆×¹⁰/₁₀ = ¹/₆
Ans: Ⓒ ¹/₆

3. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃, . . . , A_n এর মধ্যে একটি ঘটে তবে, X = _____________
Ⓐ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . ∪ A_n
Ⓑ A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ . . . ∩ A_nⒸ (X ∪ A₁) ∩ (X ∪ A₂) ∩ (X ∪ A₃) ∩ . . . ∩ (X ∪ A_n )
Ⓓ (X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ (X ∩ A₃) ∪ . . . ∪ (X ∩ A_n)

Ans: Ⓓ (X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ (X ∩ A₃) ∪ . . . ∪ (X ∩ A_n)

4. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে, যদি n টি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃ এর মধ্যে একটি ঘটে। যদি P(X ∩ A₁) = P(X ∩ A₂) = P(X ∩ A₃) = ¹/₁₀ হয়, তবে P(X) = _____________
Ⓐ ³/₁₀Ⓑ ¹/₁₀₀₀
Ⓒ P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃)Ⓓ 1

Solution: P(X ∩ A₁) = P(X ∩ A₂) = P(X ∩ A₃) = ¹/₁₀
n সংখ্যক ঘটনা পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ
∴ P(X) = P[(X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ P(X ∩ A₃)]
= P(X ∩ A₁) + P(X ∩ A₂) + P(X ∩ A₃)
= ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ = ³/₁₀
Ans: Ⓐ ³/₁₀

5. মনে করো একটি বিদ্যালয়ে V থেকে X পর্যন্ত ছাত্রছাত্রী পড়ানো হয়। ওই বিদ্যালয়ের V, VI, VII, VIII, IX এবং X-এর ছাত্রীর শতকরা হার যথাক্রমে 40%, 45%, 30%, 50%, 40% এবং 60%। আবার সমগ্র বিদ্যালয়ের V, VI, VII, VIII, IX এবং X-এর ছাত্রছাত্রীর শতকরা হার যথাক্রমে 25%, 15%, 15%, 20%, 15% এবং 10%। ওই বিদ্যালয় থেকে যদৃচ্ছভাবে একজন শিক্ষার্থী নির্বাচন করে দেখা গেল সে একজন ছাত্রী, তবে ওই ছাত্রী অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা _____________
Ⓐ ²⁰/₁₀₀Ⓑ ⁴⁰/₂₁₃
Ⓒ ¹/₁₀Ⓓ 1

Solution: বিদ্যালয়ের V থেকে X পর্যন্ত ছাত্রী হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C, D, E ও F হলে,
P(A) = 0.40,P(B) = 0.45,
P(C) = 0.30,P(D) = 0.50,
P(E) = 0.40 এবং P(F) = 0.60
আবার নির্বাচিত শিক্ষার্থী W হলে,
P(W/A) = 0.25,P(W/B) = 0.15,
P(W/C) = 0.15,P(W/D) = 0.20,
P(W/E) = 0.15,P(W/F) = 0.10
একজন ছাত্রী অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(D/W)\\=\frac{P(W/D)P(D)}{W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + . . . + P(W/F)P(F)}\)

= ^0.20×0.50/_{0.25×0.40 + 0.15×0.45 + 0.15×0.30 + 0.20×0.50 +0.15×0.40+0.10×0.60}
=^0.1000/_{0.1000+0.0675+0.0450+0.1000+0.0600+0.0600}
= ¹⁰⁰⁰/₄₃₂₅ = ⁴⁰/₁₇₃
Ans: Ⓑ ⁴⁰/₂₁₃

Column Matching _________________

1. মনে করো দুটি বক্স রয়েছে যার একটি বক্স-I এবং অপরটি বক্স-II। বক্স-I-এ 2 টি লাল ও 3 টি সাদা এবং বক্স-II-এ 3 টি লাল ও 5 টি সাদা বল রয়েছে। যদৃচ্ছভাবে একটি বক্স নির্বাচন করার পর তার থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বল তোলা হল। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] তোলা বলটি বক্স-Ⅰ-এর লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা	[a] ⁶/₃₁
[ii] তোলা বলটি বক্স-II-এর সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা	[b] ¹/₅
[iii] যদি বলটি লাল হয় তবে বলটি বক্স-I থেকে তোলার সম্ভাবনা	[c] ⁵/₄₉
[iv] যদি বলটি সাদা হয় তবে বলটি বক্স-II থেকে তোলার সম্ভাবনা	[d] ⁵/₁₆

   Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
   Ⓑ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[b]
   Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
   Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[b]

Solution: প্রথম এবং দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে P(A) = P(B) = ¹/₂
[i] তোলা বলটি বক্স-Ⅰ-এর লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A ∩ R)
= P(R/A)P(A) = ²/₅×¹/₂= ¹/₅→[b]
[ii] তোলা বলটি বক্স-II-এর সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা
= P(B ∩ W)
= P(W/B)P(B) = ⁵/₈×¹/₂= ⁵/₁₆→[d]

[iii] যদি বলটি লাল হয় তবে বলটি বক্স-I থেকে তোলার সম্ভাবনা

\(= P(A/R)\\=\frac{P(R/A)P(A)}{P(R/A)P(A)+P(R/B)P(B)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{8}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+\frac{3}{8}}\)

= ²/₅×⁴⁰/_{16 + 15} = ¹⁶/₃₁ → [a]
[iv] যদি বলটি সাদা হয় তবে বলটি বক্স-II থেকে তোলার সম্ভাবনা

\(= P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B)}\\=\frac{\frac{5}{8}×\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{5}{8}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{5}+\frac{5}{8}}\)

= ⁵/₈×⁴⁰/_{24 + 25} = ²⁵/₄₉ → [c]
Ans: Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]

2. কোনো বোলটু কারখানায় M₁, M₂, M₃ মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] M₁মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[a] ¹⁶/₆₉
[ii] M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[b] ⁵³/₆₉
[iii] M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[c] ²⁵/₆₉
[iv] M₄ অথবা M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[d] ²⁸/₆₉

Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[b]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [ii]-[a], [iv]-[b]

Solution: M₁, M₂, M₃ মেশিনে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে,
P(A) = 0.25, P(B) = 0.35 ও P(C) = 0.40
উৎপাদিত বোলটু ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = 0.05, P(W/B) = 0.04 ও P(W/C) = 0.02
[i] M₁ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.05×0.25/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.125/_0.345 = ¹²⁵/₃₄₅ = ²⁵/₆₉ → [c]
[ii] M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.04×0.35/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.140/_0.345 = ¹⁴⁰/₃₄₅ = ²⁸/₆₉ → [d]

[iii] M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(C/W)\\=\frac{P(W/C)P(C)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.02×0.40/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.080/_0.345 = ⁸⁰/₃₄₅ = 16/₆₉ → [a]
[iv] M₁ অথবা M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা
= M₁ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা + M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা
= ²⁵/₆₉ + ²⁸/₆₉ = ⁵³/₆₉ → [b]
Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [ii]-[a], [iv]-[b]

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Relationship between Statements ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: 52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি তাস তোলা হল তাসটি লাল রঙের সাহেব হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂₆
বিবৃতি-B: 52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি তাস তোলা হল। দেখা গেল তাসটি সাহেব তবে তাসটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂

Solution: বিবৃতি-A: তাসটি সাহেব এবং তাসটি লাল রঙের নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
P(A) = ⁴/₅₂; P(B) = ²⁶/₅₂;
তাসটি লাল রঙের সাহেব হওয়ার সম্ভাবনা = P(A ∩ B) = ²/₅₂= ¹/₂₆ → বিবৃতিটি সত্যবিবৃতি-B: P(B/A) =P(A ∩ B)/P(A) = ^2/52/_4/52= ¹/₂→ বিবৃতিটি সত্য কিন্তু পরস্পর নির্ভরশীল নয়
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

2. বিবৃতি-A: Bayes’ উপপাদ্যে A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা।
বিবৃতি-B: Bayes’ উপপাদ্যে X/A₁ , X/A₂ , X/A₃ , . . . ,X/A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা।

Solution: বিবৃতি-A: Bayes’ উপপাদ্যে A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: Bayes’ উপপাদ্যে X/A₁ , X/A₂ , X/A₃ , . . . ,X/A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Assertion-Reasoning ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি 1 (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ,ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
  Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
   Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
   Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
   Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি A, B, C এবং D পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা চারটির একটি ঘটে। যদি P(A) = 0.3, P(B) = 0.2, P(C) = 0.6, P(D) = 0.4, P(X/A) = 0.1, P(X/B) = 0.2, P(X/C) = ¹/₆₀, P(X/D) = 0.05 হয় তবে P(B/X) = 0.4
বিবৃতি-II(R): মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনার একটি ঘটে তবে,

\(\quad P(A_i/X)=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+. . .+P(A_n)P(X/A_n)}\)

Solution: বিবৃতি-I:

\(\quad P(B/X)\\=\frac{P(B)P(X/B)}{P(A)P(X/A)+P(B)P(X/B)+P(C)P(X/C)+P(D)P(X/D)}\\=\frac{0.2×0.2}{0.3×0.1+0.2×0.2+0.6×\frac{1}{60}+0.4×0.5}\)

= ^0.04/_{0.03 + 0.04 + 0.01 + 0.02}
= ^0.04/_0.01 = 0.4 → বিবৃতিটি সঠিক
বিবৃতি-II: বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

2. মনে করো, A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে।
বিবৃতি-I(A): ছক্কায় সত্যিই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা ⁴/₅
বিবৃতি-II(R): ছক্কায় 5 পড়ার এবং না পড়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁এবং A₂ আবার A বলেছে 5 পড়েছে তার ঘটনা X দ্বারা প্রকাশিত হলে

\(\quad P(A_1/X)=\frac{P(A_1)P(X/A_1)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(W/A_2)}\)

Solution: ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A এবং 5 না পড়ার ঘটনা B
∴ P(A) = ¹/₆; P(B) = ⁵/₆
বিবৃতি-I:
আরও ধরি, ছক্কায় 5 পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা Y
P(Y/A) = ⁸/₁₀ = ⁴/₅: P(Y/B) = ²/₁₀ = ¹/₅
নির্ণেয় সম্ভাবনা =

\(= P(A/Y)\\=\frac{P(Y/A)P(A)}{P(Y/A)P(A) + P(Y/B)P(B)}\\=\frac{\frac{4}{5}×\frac{1}{6}}{\frac{4}{5}×\frac{1}{6}+\frac{1}{5}×\frac{5}{6}}\)

= ⁴/_{4 + 5}
= ⁴/₉ ≠ ⁴/₅ → বিবৃতিটি সঠিক নয়
বিবৃতি-II: ছক্কায় 5 পড়ার এবং না পড়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁এবং A₂ আবার A বলেছে 5 পড়েছে তার ঘটনা X দ্বারা প্রকাশিত হলে P(A₁/X) = → বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

True and False _______________

1. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয়।
বিবৃতি-I: বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ⁸/₁₄
বিবৃতি-II: থলি A নির্বাচন করা হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂×³/₅
বিবৃতি-III: তোলা বলটি লাল হলে বলটি থলি A থেকে তোলার সম্ভাবনা ²⁷/₅₂Ⓐ বিবৃতি I, III সত্য
   Ⓑবিবৃতি II, III সত্য
   Ⓒবিবৃতি I, II সত্য
   Ⓓবিবৃতি III সত্য

Solution: প্রথম ও দ্বিতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে, P(A) = P(B) = ¹/₂
বিবৃতি-I: নির্বাচিত বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R হলে,
P(R/A) = ³/₅, P(R/B) = ⁵/₉∴ P(R) = P[(R ∩ A) ∪ (R ∩ B)]
= P(R ∩ A) + P(R ∩ B)
=P(^R/_A)P(A) + P(^R/_B)P(B)
= ³/₅×¹/₂ + ⁵/₉×¹/₂
= ¹/₂(³/₅ + ⁵/₉)
=¹/₂×^{27 + 25}/₄₅
= ¹/₂×⁵²/₄₅
= ²⁶/₄₅→ বিবৃতিটি মিথ্যাবিবৃতি-II: থলি A নির্বাচন করা হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
P(R/A) = ³/₅≠ ¹/₂×³/₅ → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-III: তোলা বলটি লাল হলে বলটি থলি A থেকে তোলার সম্ভাবনা
P(A/R) = ^P(R/A)P(A)/_P(R)
= ^3/5×1/2/_26/45
= ³/₁₀×⁴⁵/₂₆ = ²⁷/₅₂ → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓓ বিবৃতি III সত্য

2. বিবৃতি-I: Bayes’ উপপাদ্যে A₁, A₂, A₃ , . . . , A_n-এর ক্ষেত্রে
P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . A_n) =1
এবং P(A_i ∩ A_j) = 0 i , j =1, 2, . . . , n এবং i ≠ j
বিবৃতি-II: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
Ⓐ বিবৃতি । সত্য Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: Bayes’ উপপাদ্যে A₁, A₂, A₃ , . . . , A_n-এর ক্ষেত্রে P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . A_n) =1 এবং P(A_i ∩ A_j) = 0, i , j =1, 2, . . . , n এবং i ≠ j → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য

Diagram/Chart Based _______________

ওপরের চিত্রের মধ্য থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বিন্দু নির্বাচন করা হল। দেখা গেল নির্বাচিত বিন্দুটি লাল, তবে বিন্দুটি চিত্রের নীল অংশ থেকে নির্বাচন করার সম্ভাবনা হল- Ⓐ ¹/₅Ⓑ ⁶/₂₅
Ⓒ ¹/₄Ⓓ 0

Solution: নীল, সবুজ, লাল ও হলুদ লালঅংশ নির্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D হলে, ∴ P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = ¹/₄
নির্বাচিত বিন্দুটি লাল হওয়ার ঘটনা W হল,
P(^W/_A) = ³/₁₅ = ¹/₅, P(^W/_B) = ⁴/₁₀ = ²/₅,
P(^W/_C) = ¹/₁₀
এবং P(^W/_D) = ²/₁₅
লাল বিন্দুটি চিত্রের নীল অংশ থেকে নির্বাচন করার সম্ভাবনা

\(\quad P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)+P(W/C)P(C)+P(W/D)P(D)}\)

=^1/5×1/4/_{(1/5×1/4) + (2/5×1/4) + (1/10×1/4) + (2/15×1/4)}
=^1/5/_{1/5 + 2/5 + 1/10 + 2/15}
= ¹/₅×³⁰/_{6 + 12 + 3 + 4}
= ¹/₅×³⁰/₂₅ = ⁶/₂₅Ans: Ⓑ ⁶/₂₅

বাক্স দুটির কোনো একটি থেকে অর্ক একটি বল তুলল। অর্কর তোলা বলটি কালো হলে বলটি বাক্স 2 থেকে তোলা হয়েছে তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁵/₂₉Ⓑ ³/₅
Ⓒ ³/₁₀Ⓓ 0

Solution: বক্স 1 ও বক্স 2 নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে X ও Y হলে,
P(X) = ²/₅ এবং P(Y) = ³/₅
নির্বাচিত বলটি কালো হওয়ার ঘটনা B হলে,
P(B/X) = ⁷/₁₀, P(B/Y) = ⁵/₁₀∴ অর্কর তোলা বলটি কালো হলে বলটি বাক্স 2 থেকে তোলা হয়েছে তার সম্ভাবনা P(Y/B)

\(=\frac{P(B/Y)P(Y)}{P(B/X)P(X)+P(B/Y)P(Y)}\\=\frac{\frac{5}{10}×\frac{3}{5}}{\frac{7}{10}×\frac{2}{5}+\frac{5}{10}×\frac{3}{5}}\\=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{14}{50}+\frac{15}{50}}\)

= ³/₁₀×⁵⁰/₂₉ = ¹⁵/₂₉Ans: Ⓐ ¹⁵/₂₉

Case Based _______________

1. কোনো বিমা কোম্পানি 2000 জন স্কুটার চালক, 4000 জন মোটরগাড়ি এবং 6000 জন ট্রাক চালকের বিমা করে। স্কুটার চালক, মোটরগাড়ি চালক এবং ট্রাক চালকের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₁₀₀, ³/₁₀₀ এবং ³/₂₀

[i] ওই বিমা কোম্পানিতে বিমা করা আছে এমন একজন ব্যক্তিকে নির্বাচন করলে তিনি মোটরগাড়ি চালক এবং দুর্ঘটনাগ্রস্থ হবে তার সম্ভাবনা হল-    Ⓐ ¹/₁₀₀Ⓑ ³/₁₀₀Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: বিমা করা ব্যক্তিটি স্কুটার চালক, মোটরগাড়ি চালক এবং ট্রাক চালক হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = ²⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ²/₁₂ = ¹/₆;
  P(B) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ⁴/₁₂ = ¹/₃;
   P(C) = ⁶⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ⁶/₁₂ = ¹/₂;
ব্যক্তিটির দুর্ঘটনা ঘটানোর ঘটনা W হল,
     P(^W/_A) = ¹/₁₀₀,          P(^W/_B) = ³/₁₀₀         এবং P(^W/_C) = ³/₂₀মোটরগাড়ি চালক এবং দুর্ঘটনাগ্রস্থ হবে এমন ব্যক্তির সম্ভাবনা
= P(B ∩ W)
=P(^W/_B)P(B)
= ³/₁₀₀×¹/₃ = ¹/₁₀₀Ans: Ⓐ ¹/₁₀₀

[ii] ওই বিমা কোম্পানির কোনো একজন বিমাকারী দুর্ঘটনাগ্রস্থ হয়ে বিমার টাকার জন্য কোম্পানিতে যোগাযোগ করল। ওই ব্যক্তি একজন মোটরগাড়ি চালক হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₁₀₀Ⓑ ³/₁₀₀
Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: দুর্ঘটনাগ্রস্থ এবং মোটরগাড়ি চালক হবে এমন ব্যক্তির সম্ভাবনা

\(\quad P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)}\)

2. দুটি থলি I ও II আছে। । থলিতে 3টি সাদা ও 4টি কালো বল এবং II থলিতে 5টি সাদা ও 6টি কালো বল আছে। সুমন থলি দুটির একটি থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বল তোলে।

[i] সুমন থলি I থেকে একটি সাদা বল তুলেছে তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₁₄Ⓑ ³³/₆₈
Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: প্রথম ও দ্বিতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
P(A) = P(B) = ¹/₂
নির্বাচিত বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = ³/₇, P(W/B) = ⁵/₁₁
∴ P(A ∩ W) = P(^W/_A)P(A) = ³/₇×¹/₂ = ³/₁₄
Ans: Ⓐ ³/₁₄

\(\quad P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)}\)

=^3/7×1/2/_{(3/7×1/2) + (5/11×1/2)}
= ^3/7/_{3/7 + 5/11}
= ³/₇×⁷⁷/₆₈ = ³³/₆₈
Ans: Ⓑ ³³/₆₈

3. একটি অফিসে তিনজন কর্মী A, B ও C এক বিশেষ ধরনের ফর্ম প্রস্তুত-প্রক্রিয়াকরণ করেন। A 50% ফর্ম, B 20% ফর্ম এবং C বাকি 30% ফর্ম প্রস্তুত করেন। A -এর ত্রুটির হার 0.06, B-এর ত্রুটির হার 0.04 এবং C-এর ত্রুটির হার 0.03

[i] B ফর্ম প্রক্রিয়াকরণ করেছে এবং তাতে ত্রুটি রয়েছে এরূপ হওয়ার সম্ভাবনা-
Ⓐ 0.009         Ⓑ 0.003
Ⓒ 0.008         Ⓓ 0.002

Solution: ধরি, A, B ও C-এর দ্বারা ফর্ম প্রক্রিয়াকরণের ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = 0.5;   P(B) = 0.2 এবং P(C) = 0.3;
ফর্মে ত্রুটি থাকার ঘটনা W হল,
P(^W/_A) = 0.06,    P(^W/_B) = 0.04    এবং P(^W/_C) = 0.03
    P(B ∩ W)
= P(^W/_B)P(B)
= 0.04×0.2 = 0.008
Ans: Ⓒ 0.008

[ii] ফর্ম প্রক্রিয়াকরণে সামগ্রিকভাবে ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা-
Ⓐ 0.03 Ⓑ 0.047
Ⓒ 0.2 Ⓓ 0.037

Solution: P(W) = P(^W/_A)P(A) + P(^W/_B)P(B) + P(^W/_C)P(C)
= 0.06×0.5 + 0.04×0.2 + 0.03×0.3
= 0.030 + 0.008 + 0.009 = 0.047
Ans: Ⓑ 0.047

[iii] কোম্পানিটির ম্যানেজার মান পরীক্ষা করতে চান। পরিদর্শনের সময় তিনি যদৃচ্ছভাবে প্রস্তুত হয়ে থাকা ফর্মগুলি থেকে একটি বেছে নেন। যদি ওই বাছাইকৃত ফর্মটি ত্রুটিপূর্ণ হয়ে থাকে, তবে সেই ফর্মটি A -এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত না হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁷/₄₇ Ⓑ ³⁰/₄₇
Ⓒ ⁸/₄₇ Ⓓ ³⁹/₄₇

Solution: ফর্মটি A -এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত হওয়ার সম্ভাবনা
= P(^A/_W)
= ^P(W/A)P(A)/_P(W)
=^0.06×0.5/_0.047
= ^0.030/_0.047 = ³⁰/₄₇∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1 – ³⁰/₄₇= ¹⁷/₄₇
Ans: Ⓐ ¹⁷/₄₇

[iv] যদি ফর্ম প্রক্রিয়াকরণের সময় ভুল করার ঘটনা E দ্বারা সূচিত হয় এবং E₁, E₂ ও E₃ দ্বারা যথাক্রমে ওই ত্রুটিপূর্ণ ফর্মটির A, B ও C-এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত হওয়ার ঘটনা নির্দেশিত হয়, তবে -এর মান –
Ⓐ 0.1 Ⓑ 0.2 Ⓒ 1.1 Ⓓ 1

Solution:

\(\quad \sum_{i=1}^{3}P\left(\frac{E_i}{E}\right)\\=P\left(\frac{E_1}{E}\right)+P\left(\frac{E_i}{E}\right)+P\left(\frac{E_i}{E}\right)\\=P\left(\frac{A}{W}\right)+P\left(\frac{B}{W}\right)+P\left(\frac{C}{W}\right)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W)}+\frac{P(W/B)P(B)}{P(W)}+\frac{P(W/C)P(C)}{P(W)}\)

= ^0.06×0.5/_0.047 + ^0.04×0.2/_0.047 + ^0.03×0.3/_0.047
=³⁰/₄₇ + ⁸/₄₇ + ⁹/₄₇
= ⁴⁷/₄₇ = 1
Ans: Ⓓ 1

সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন →

← সম্ভাবনা (PROBABILITY)

November 13, 2022

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা
SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা
SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা
SOLUTION OF CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY S N DEY
সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
SEMESTER-3
সন্ততা (CONTINUITY)
বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type
1. f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি —
Ⓐ lim_x→0 f(x) এর অস্তিত্ব থাকে
Ⓑ f(0)-এর একটি নির্দিষ্ট মান থাকে
Ⓒ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়
Ⓓ lim_x→0+ f(x) = lim_x→0- f(x) হয়
Solution: f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি lim_x→0+ f(x) = lim_x→0- f(x) = f(0) হয়
অর্থাৎ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়
Ans: Ⓒ lim_x→0 f(x) = f(0) হয়
2. f(x) = |x| অপেক্ষকটি —
Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ⓑ x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓒ শুধুমাত্র x = 0 বিন্দুতে সন্তত
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) = |x|
                              = {-x     যখন x<0
                                  {0        যখন x =0
                                  {x         যখন x >0
∴ lim_x→0- f(x) = lim_x→0- -x = 0
    lim_x→0+f(x) = lim_x→0+ x = 0
∴ lim_x→0- f(x) = lim_x→0+ f(x) = f(0)
অতএব x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য অপেক্ষকটি সন্তত।
Ans: Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
3. f(x) = [x] বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
Ⓒ x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যার জন্য সন্তত
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) = [x] অপেক্ষকটি বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক।
যেকোনো বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যা বাদে বাকি সব বাস্তব মানের জন্য সর্বদা সন্তত হয়।
∴ অপেক্ষকটি x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
Ans: Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
4. f(x) = x^k অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-
Ⓐ k ≠ 0      Ⓑ k < 0
Ⓒ k ≤ 0      Ⓓ k ≥ 0
Solution: f(x) = x^k
Ⓐ k ≠ 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓑ k < 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓒ k ≤ 0 হলে ধরি k = -1
∴ f(-1) = x^-1 = ¹/_x
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
Ⓓ k ≥ 0 হলে ধরি k = 0, 1, 2 . . .
∴ f(x) = 0, x, x² . . . একটি বহুপদী অপেক্ষক হয় যা x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
Ans: Ⓓ k ≥ 0
5. f(x) = ^{x + 2}/_2x² _{– x – 1} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —
Ⓐ ¹/₂, -1      Ⓑ –¹/₂, -1
Ⓒ 1, –¹/₂      Ⓓ¹/₂, 1
Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
    2x² – x – 1 = 0 হয়
⇒ 2x² – 2x + x – 1 = 0
⇒2x(x – 1) + 1(x – 1) = 0
⇒ (x – 1)(2x + 1) = 0
∴ x = 1, –¹/₂
Ans: Ⓒ 1, –¹/₂
6. f(x) = ¹/_{sin x – cos x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —
Ⓐ x = nπ + ^π/₄
Ⓑ x = nπ + (-1)ⁿ ^π/₄
Ⓒ x = nπ – ^π/₄
Ⓓ x = nπ + ^3π/₄ [n ∈ Z]
Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
    sin x – cos x = 0 হয়
⇒ sin x – cos x = 0
⇒sin x = cos x
⇒ tan x = 1
⇒ tan x = tan ^π/₄ = tan (nπ + ^π/₄)
∴ x = nπ + ^π/₄
Ans: Ⓐ x = nπ + ^π/₄
7. যদি f(x) = {kx + 5     যখন x ≤ 2
                              {x – 1        যখন x > 2
        অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ 0        Ⓑ -1
Ⓒ -2      Ⓓ -3
Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
   lim_x→2-f(x) = lim_x→2+ f(x) = f(2)
⇒ lim_x→2- (kx + 5) = lim_x→2+ (x – 1) = k.2 + 5
⇒ 2k + 5 = 2 – 1 = 2k + 5
∴ 2k + 5 = 1
⇒ 2k = -4
⇒ k = -2
Ans: Ⓒ -2
8. মনে করো, f(x) = {2x+1      যখন x< 2
                                              {k              যখন x = 2
                                              {3x-1       যখন x > 2
       k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —
Ⓐ 0        Ⓑ 2
Ⓒ 4        Ⓓ 5
Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
      lim_x→2-f(x) = lim_x→2+f(x) = f(2)
⇒lim_x→2- (2x + 1) = lim_x→2- (3x – 1) = k
⇒ 2.2 + 1 = 3.2 – 1 = k
⇒ 5 = 5 = k
∴ k = 5
Ans: Ⓓ 5
9. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
f(x) = {x³ – 3     যখন x ≤ 2
                {x² + 1     যখন x > 2     f(x) সন্তত —
Ⓐ x = 1 বিন্দুতে
Ⓑ x = 2 বিন্দুতে
Ⓒ x = 3 বিন্দুতে
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক
Solution: Ⓐ x = 1 বিন্দুতেঃ
x < 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x³ – 3
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
∴ x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ⓑ x = 2 বিন্দুতেঃ
    lim_x→2- f(x)
= lim_x→2- (x³ – 3) = 8 – 3 = 5
    lim_x→2+f(x)
= lim_x→2+ (x² + 1) = 4 + 1 = 5
আবার f(2) = 2³ – 3 = 8 – 3 = 5
∴ lim_x→2- f(x) = lim_x→2+ f(x) = f(2) = 5
∴ x = 2 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ⓒ x = 3 বিন্দুতেঃ
x > 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x² + 1 ও একটি বহুপদী অপেক্ষক।
বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
∴ x = 3 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ans: Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক
10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {^{1 – cos x}/_{x_^²}      যখন x ≠ 0
                                                              {1 যখন x=2
Ⓐ 0 -তে       Ⓑ 1 -এ
Ⓒ -2 -তে       Ⓓ 4 –এ
Solution: lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{1 – cos x}/_{x_^²}
= lim_x→0 ^{1 – cos 2.^x/₂}/_{x_^²}
=lim_x→0 ^2sin² ^{^x/₂}/_{x_^²}
= ¹/₂[lim_x→0 ^sin ^{^x/₂}/_x/₂]^²
= ¹/₂
আবার f(0) = 1
∴ lim_x→0 f(x) ≠ f(0)
x = 0 –তে f(x) অসন্তত
Ans: Ⓐ 0 -তে
11. যদি f(x) = {^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x}    যখন x ≠ 0
                               {k + ¹/₂                 যখন x = 0
        x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ ³/₂        Ⓑ -2
Ⓒ 1             Ⓓ 2
Solution: f(0) = k + ¹/₂
lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x}
= lim_x→0 ^{sin 5x}/_x(x _{+ 2)}
=lim_x→0 ^{sin 5x}/_5x × 5 × lim_x→0 ¹/_(x _{+ 2)}
= 1×5×¹/_{0 + 2} = ⁵/₂
           f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়।
∴ lim_x→0 f(x) = f(0)
⇒ ⁵/₂ = k + ¹/₂
⇒ k = ⁵/₂– ¹/₂= 2
Ans: Ⓓ 2
12. f(x) = ^2x² ^{+ 7}/_{x^³ + 3x^²} _{– x – 3} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —
Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
Ⓑ x = 1 এবং x = – 1
Ⓒ x = – 1 এবং x = 3
Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3
Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
     x³ + 3x² – x – 3 = 0 হয়
⇒ x²(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒(x² – 1)(x + 3) = 0
⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 3) = 0
∴ x = 1, -1, -3
Ans: Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
SEMESTER-3
সূচিপত্র
👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক
- 1. সম্বন্ধ
- 2. অপেক্ষক
- 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
👉 UNIT-2 বীজগণিত
- 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  - ম্যাট্রিক্স PART 1
  - ম্যাট্রিক্স PART 2
- 2. নির্ণায়ক
  - মাইনর ও সহ-উৎপাদক
- 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান
👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা
- 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
  - সন্ততা
  - অন্তরকলনযোগ্যতা
- 2. অবকলন বা অন্তরকলন
- 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
- 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
- 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
- 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
- . চরম ও অবম মান
👉 UNIT-4 সম্ভাবনা
- 1. সম্ভাবনা
  - সম্ভাবনা
  - Bayes’ উপপাদ্য
- 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
- 3. দ্বিপদ বিভাজন
👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান
- Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান
Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ___________________
1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ 0     Ⓑ -1     Ⓒ -2
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক
Solution: f(x) = 2x – |x|
2x অপেক্ষকটি রৈখিক অপেক্ষক এবং |x| অপেক্ষকটি মডিউলাস অপেক্ষক।
রৈখিক অপেক্ষক এবং মডিউলাস অপেক্ষক x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
∴ 2x – |x| অপেক্ষকটি x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত।
Ans: Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক
2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত
φ(x) = {^|x|/_x     যখন x ≠ 0
                {0             যখন x = 0
Ⓐ 0     Ⓑ 2
Ⓒ 4     Ⓓ 5
Solution: lim_x→0- φ(×)
= lim_x→0- ^-x/_x
= lim_x→0- (-1) = -1
    lim_x→0+φ(×)
= lim_x→0+ ^x/_x
= lim_x→0+ (1) = 1
∴ lim_x→0- f(×) ≠ lim_x→0- f(×)
∴ x = 0 বিন্দুতে φ(x) –এর অস্তিত্ব নেই।
Ans: Ⓐ 0
3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = ^{x² – 16}/_{x – 4} অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে
Ⓐ 1    Ⓑ 27
Ⓒ 8    Ⓓ 49
Solution: lim_x→4 f(×)
= lim_x→4 ^{x² – 16}/_{x – 4}
= lim_x→4 ^{(x + 4)(x – 4)}/_{x – 4}
=lim_x→4 (x + 4)
= 4 + 4 = 8
∴ অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি
lim_x→4 f(×) = f(4) = 8 হয়।
Ans: Ⓒ 8
4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।
f(x) = {x + 1          যখন x ≤1
               { 3 – ax²     যখন x >1
     a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।
Ⓐ 0     Ⓑ 1
Ⓒ 2     Ⓓ 4
Solution: lim_x→1- f(×)
= lim_x→1- (x + 1)
= 1 + 1 = 2
    lim_x→1+ f(×)
= lim_x→1+ (3 – ax²)
= 3 – a.(1)² = 3 – a
আবার f(1) = 1 + 1 =2
f(x) সন্তত হবে যদি
lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(1) হয়।
∴ 2 = 3 – a
বা, a = 1
Ans: Ⓑ 1
5. f(x) = {kx + 1    যখন x ≤ π
                    {cosx      যখন x > π
      x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।
Ⓐ 0          Ⓑ –²/_π
Ⓒ ^2π/₃    Ⓓ ³/_3π
Solution: lim_x→π- f(×)
= lim_x→π- (kx + 1)
= kπ + 1
     lim_x→π+f(×)
= lim_x→π+ cos x
= cos π = – 1
আবার f(π) = kπ + 1
x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হবে যদি
lim_x→π- f(×) = lim_x→π+ f(×) = f(π) হয়।
∴ kπ + 1 = -1
বা, kπ = -2
বা, k = –²/_π
Ans: Ⓑ –²/_π
6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ শুধু x = 0
Ⓑ শুধু x = 1
Ⓒ সব x ∈ R
Ⓓ শুধু x = – 1
Solution: যেকোনো বাস্তব মানের জন্য sin x ও cos x অপেক্ষক দুটি সর্বদা সন্তত হয়।
আবার দুটি সন্তত অপেক্ষকের যোগফলও সন্তত হয়।
যেকোনো সন্তত অপেক্ষকের মডিউলাস অপেক্ষক সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
∴ f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষকটি সব x ∈ R এর জন্য সন্তত।
Ans: Ⓒ সব x ∈ R
7. মনে করো, f(x) ={^{x³ + x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²}   যখন x ≠ 2
                                             {k                                              যখন x=2
            x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।
Ⓐ 7       Ⓑ 3
Ⓒ 17       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Solution: lim_x→2 f(×)
= lim_x→2 ^{x³+ x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^{x³ – 2x^²} ^{+ 3x² – 6x – 10x + 20}/_{(x – 2)²}
=lim_x→2 ^{x²(x – 2)} ^{+ 3x(x – 2) – 10(x – 2)}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^{(x – 2)(x²} ^{+ 3x – 10)}/_{(x – 2)²}
= lim_x→2 ^(x² ^{+ 3x – 10)}/_{(x – 2)}
=lim_x→2 ^(x² ^{+ 5x – 2x- 10)}/_{(x – 2)}
= lim_x→2 ^x(x ^{+ 5) – 2(x + 5)}/_{(x – 2)}
= lim_x→2 ^(x ^{+ 5)(x – 2)}/_{(x – 2)}
=lim_x→2 (x + 5)
= 2 + 5 = 7
x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত
∴ lim_x→2 f(×) = f(2)
⇒ 7 = k
Ans: Ⓐ 7
Column Matching
1. একটি অপেক্ষক f(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x) = {^{1 – sin³ x}/_3cos²_x       যখন x <^π/₂
               {               a                       যখন x = ^π/₂
               {^{b(1 – sin x)}/₍_π_{– 2x)^²}   যখন x >^π/₂
x = ^π/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে, স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।
স্তম্ভ A স্তম্ভ B
[i] ab = [a] 4¹/₂
[ii] a + b = [b] 2
[iii] b – a [c] 8
[iv] ^b/_a = [d] 3¹/₂
Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [d]
Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Solution: lim_{x→^π/₂–} f(×)
= lim_{x→^π/₂–} ^{1 – sin³ x}/_{3cos² x}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 – sin x)(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 – sin² x)}
=lim_{x→^π/₂–} ^{(1 – sin x)(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)(1 – sin x)}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)}
= lim_{x→^π/₂–} ^{(1 + sin x + sin² x)}/_{3(1 + sin x)}
=^{(1 + sin π/2 + sin² π/2)}/_{3(1 + sin ^π/2)}
= ^{(1 + 1 + 1)}/_{3(1 + 1)} = ¹/₂
lim_x→^π/₂+ f(×)
= lim_x→^π/₂+ ^{b(1 – sin x)}/_{(π – 2x)²}
= b lim_x→^π/₂+ ^{(1 – sin x)}/_{(π – 2x)²}
=b lim_x→^π/₂+ ^{(0 – cos x)}/_{2(π – 2x).(-2)}
= ^b/₄ lim_x→^π/₂+ ^{cos x}/_{(π – 2x)}
= ^b/₄ lim_x→^π/₂+ ^{-sin x}/_{(0 – 2)}
=^b/₄ × ^{-sin π/2}/_{– 2}
= ^b/₄ × ^-1/_{– 2} = ^b/₈
∵ x = ^π/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_{x→^π/₂–} f(×) = lim_{x→^π/₂–} f(×) = f(^π/₂)
⇒ ¹/₂ = ^b/₈ = a
∴ a = ¹/₂; b = 4
[i] ab = ¹/₂×4 = 2 → [b]
[ii] a + b = ¹/₂ +4 = 4¹/₂ → [a]
[iii] b – a = 4 – ¹/₂ = 3¹/₂ → [d]
[iv] ^b/_a = 4/_1/2 = 8 → [c]
Ans: Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
   f(x) = {ax + 1  যখন x ≤ 3
                  {bx + 3 যখন x > 3
Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।
         স্তম্ভ A          স্তম্ভ B
[i] lim_x→3+ f(x) [a] ²/₃
[ii] lim_x→3- f(x) [b] 3b + 1
[iii] f(3) [c] 3a + 1
[iv] a – b [d] 3b + 3
Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [c]
Solution: [i] lim_x→3+ f(×)
= lim_x→3+(bx + 3)
= 3b + 3 → [d]
[ii] lim_x→3- f(×)
= lim_x→3-(ax + 1)
= 3a + 1 → [c]
[iii] f(3) = 3a + 1 → [c]
[iv] lim_x→0+f(×) = lim_x→0+ f(×) = f(3)
⇒ 3b + 3 = 3a + 1 = 3a + 1
∴ 3b + 3 = 3a + 1
⇒ 3a – 3b = 3 -1
⇒3(a – b) = 2
⇒ a – b = ²/₃→ [a]
Ans: Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]
Relationship between Statements ____________
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন্ বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়
1. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া আছে:
f(x) ={3 + 2x    যখন –³/₂ ≤ x < 0
               {3 – 2x     যখন 0≤ x <³/₂
               {-3 -2x    যখন x ≥³/₂
বিবৃতি-A: x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
  বিবৃতি-B: x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
Solution: বিবৃতি-A: lim_{x→³/₂–} f(×)
= lim_{x→³/₂–} (3 – 2x)
= 3 – 2.³/₂ = 0
    lim_x→³/₂+f(×)
= lim_x→³/₂+ (3 + 2x)
= 3 + 2.³/₂ = 6
∴ lim_{x→³/₂–} f(×) ≠ lim_x→³/₂+ f(×)
অতএব x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
∴ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: lim_x→0- f(×)
= lim_x→0- (3 + 2x)
= 3 + 2.0 = 3
    lim_x→0+ f(×)
= lim_x→0+(3 – 2x)
= 3 – 2.³/₂ = 3
∴ lim_x→0- f(×) = lim_x→0+ f(×)
অতএব x = ³/₂ বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
2. বিবৃতি-A: f(x) = {^x²/₂  যখন 0 ≤ x <1
                                          {2x² – 3x + ³/₂ যখন 1 ≤ x ≤ 2
                         0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত।
     বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় lim_x→a+ f(x) = lim_x→a- f(x) = f(a) হয়।
Solution: বিবৃতি-A: lim_x→0+ f(×)
= lim_x→0+ ^x²/₂ = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0+ f(×) = f(0)
∴ x = 0 –এর ডানদিকে f(×) সন্তত।
  0 < x < 1 বিস্তারে f(×) = ^x²/₂ একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ 0 < x < 1 বিস্তারে f(×)সন্তত।
   lim_x→1- f(×)
= lim_x→1- ^x²/₂ = ¹/₂
      lim_x→1+f(×)
= lim_x→1+(2x² – 3x + ³/₂)
= 2 – 3 + ³/₂ = – 1 + ³/₂ = ¹/₂
এবং f(1) = 2.1² – 3.1 + ³/₂ = – 1 + ³/₂ = ¹/₂
∴ lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(0)
∴ x = 1 বিন্দুতে f(×) সন্তত।
   1 < x < 2 বিস্তারে f(×) = 2x² – 3x + ³/₂ একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ 1 < x < 2 বিস্তারে f(×)সন্তত।
lim_x→2- f(×)
=lim_x→2- (2x² – 3x + ³/₂)
= 2.2² – 3.2 + ³/₂
= 8 – 6 + ³/₂ = ⁷/₂
আবার f(2) = 2.2² – 3.2 + ³/₂ = ⁷/₂
∴ lim_x→2- f(×) = f(2)
অতএব x = 2 –এর বামদিকে f(×) সন্তত।
∴ 0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় f(x) = f(x) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
3. বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}, t = 0 বিন্দুতে সন্তত
    বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়
Solution: বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}
= ^2x²/_π (lim_t→0 ¹/_{sin t/t})
= ^2x²/_π × ¹/₁ = ^2x²/_π
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ f(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)]
= ^2x/_π[lim_t→0tan^-1 (²/_t^²)]
= ^2x/_π[tan^-1 (²/₀)]
=^2x/_π[tan^-1 ∞)]
= ^2x/_π[tan^-1 tan(^π/₂)]
= ^2x/_π × ^π/₂ = x
এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
∴ g(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
4. মনে করো, f(x) = ^{x² – 1}/_{x³ – 1}
     বিবৃতি-A: f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অনির্ণেয়
     বিবৃতি-B: f(1) -এর মান ³/₂ হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
Solution: বিবৃতি-A: f(1) = ^{x² – 1}/_{x³ – 1} = ^{1 – 1}/_{1 – 1} = ⁰/₀ → অনির্ণেয়
∴ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: lim_x→1 f(×)
= lim_x→1 ^{x² – 1}/_{x³ – 1}
= lim_x→1 ^{(x + 1)(x – 1)}/_{(x – 1)(x² + x + 1)}
=lim_x→1 ^{(x + 1)}/_{(x² + x + 1)} . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
= ^{(1 + 1)}/_{(1 + 1 + 1)} = ²/₃ ≠ ³/₂
∴ lim_x→1 f(×) ≠ f(1)
∴ অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
5. বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |
Solution: বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|}
= {x + ^{x + 2}/_{-|x + 2|} যখন x + 2<0
     {x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} যখন x + 2 ≥ 0
= {x – 1 যখন x <-2
     {x + 1 যখন x ≥ 2
     lim_x→-2-f(×)
= lim_x→-2-(x – 1) = – 2 – 1 = -3
এবং  lim_x→-2+f(×)
= lim_x→-2+(x + 1) = – 2 + 1 = -1
∴ lim_x→-2-f(×) ≠ lim_x→-2+f(x)
∴ অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ
= lim_x→-2+f(×) – lim_x→-2-f(×)
= – 1 – (-3) = 2 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Assertion-Reasoning ____________
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?।
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
1. বিবৃতি-I(A): f(x) = ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x = a
Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)]
= lim_x→0 ^{log(1 + 3x)}/_x – lim_x→0 ^{log(1 + 2x)}/_x
=lim_x→0 ^{log(1 + 3x)}/_3x×3 – lim_x→0 ^{log(1 + 2x)}/_2x×2
= 1×3 – 1×2 = 1
∴ f(0) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x
= lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_ax×a
= 1×a = a → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
2. বিবৃতি-I(A): f(x) = {^{sin 3x}/_2x যখন x≠0
{²/₃ যখন x=0
f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে,
যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়।
Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(x)
= lim_x→0 ^{sin 3x}/_2x
= (lim_x→0 ^{sin 3x}/_3x)×³/₂ = 1×³/₂ = ³/₂
আবার f(0) = ²/₃
∴ lim_x→0 f(x) ≠ f(0)
∴ f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে, যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
3. বিবৃতি-I(A): f(x) = {^{1 – cos⁡2x}/_2x² যখন x≠0
{k যখন x=0
x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k –এর মান 1 হবে।
বিবৃতি-II(R): f(x) = {^{1 – cos⁡2x}/_x² যখন x≠0
{k যখন x=0
k = 14¹/₃ হলে f অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে।
  Solution: বিবৃতি-I(A): lim_x→0 f(×)
=lim_x→0 ^{1 – cos ⁡2x}/_2x²
= lim_x→0 ^{2 sin² ⁡x}/_2x²
=lim_x→0 ^{sin^²} ^⁡x/_x^²
=(lim_x→0 ^sin⁡x/_x )^² = (1)^² = 1
আবার f(0) = k
∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
বা, 1 = k হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 f(×)
=lim_x→0 ^{1 – cos ⁡5x}/_x²
= lim_x→0 ^{2 sin² ^5⁡x/₂}/_x²
= 2. (lim_x→0 ^{sin ^5⁡x/₂}/_5x/₂)^²×²⁵/₄
= 2.(1)².²⁵/₄
= ²⁵/₂   = 12¹/₂
আবার f(0) = k
∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→0f(×) = f(0)
বা, 12¹/₂ = k হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
4. বিবৃতি-I(A): ¹/_{sin⁡x +cos⁡x} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ nπ – ^π/₄, যেখানে n যে-কোনো পূর্ণসংখ্যা
বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে ^p(x)/_q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে।
Solution: বিবৃতি-I(A): ¹/_{sin⁡x +cos⁡x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি sin x + cos x = 0 হয়।
∴ sin x + cos x = 0
⇒ sin x = – cos x
⇒ tan x = -1 = – tan ^π/₄ = tan (-^π/₄)
∴ x = nπ – ^π/₄ → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে ^p(x)/_q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।
True and False _______________________
1. বিবৃতি-I: f(x) = {x sin ¹/_x       যখন x ≠ 0
                                        {0                     যখন x = 0      অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
     বিবৃতি-II: f(x) ={x² sin ¹/_x     যখন x ≠ 0
                                        {0                     যখন x = 0       অপেক্ষকটি সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: x ≠ 0 হলে,
  |f(x)| = |x sin ¹/_x| = |x||sin ¹/_x| ≤ 1 . . . [∵ |x sin ¹/_x ≤ 1|
x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
∴ lim_x→0 f(×) = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: : x ≠ 0 হলে,
  |f(x)| = |x² sin ¹/_x| = |x²||sin ¹/_x| ≤ |x²| . . . [∵ |x sin ¹/_x ≤ 1|
x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
∴ lim_x→0 f(×) = 0
আবার f(0) = 0
∴ lim_x→0 f(×) = f(0)
∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
2. বিবৃতি-I: ^x/_{x² – 2x – 3} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1
     বিবৃতি-II: ^{3x² – 4}/_{x³ + x² – x – 1} অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x² – 2x – 3 = 0 হয়।
∴ x² – 2x – 3 = 0
⇒ x² – 3x + x – 3 = 0
⇒x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
∴ x = 3, – 1
∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x² – 2x – 3 = 0 হয়।
∴ x³ + x² – x – 1 = 0
⇒ x²(x + 1) – 1(x + 1) = 0
⇒(x² – 1)(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 1) = 0
∴ x = -1, 1, -1
⇒ x = ± 1
∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
3. বিবৃতি-I: f(x) = ^{x³ – 1}/_{x – 1} অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে f(x) = 3
    বিবৃতি-II: g(x) = ^{x – 1}/_{x³ – 1}, x ≠ 1 অপেক্ষকটি R-এর সকল বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: lim_x→1 f(×)
= lim_x→1 ^{x³ – 1}/_{x – 1}
=lim_x→1 ^{(x – 1)(x² + x + 1)}/_{x – 1}
= lim_x→1 (x² + x + 1) . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
= 1 + 1 + 1 = 3
অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে,
lim_x→1f(×)= f(1) = 3 হবে।
∴ f(x) = 3 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: g(x) = ^{x – 1}/_{x³ – 1}
  g(x) অপেক্ষকটি অসংজ্ঞাত হবে যদি x³ – 1 = 0 হয়।
∴ x³ – 1 = 0
বা, (x – 1)(x² + x + 1) = 0
বা, x = 1
∴ অপেক্ষকটি R – {1} বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য
4. মনে করো, f(x) ={3ax + b       যখন x>1
                                             {11                   যখন x=1
                                             {5ax -2b      যখন x<1
    বিবৃতি-I: a ও b-এর যে-কোনো মানেই অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
    বিবৃতি-II: a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Solution: অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত
∴ lim_x→1- f(×) = lim_x→1+ f(×) = f(1)
⇒ lim_x→1-(5ax – 2b) = lim_x→1+(3ax + b) = 11
⇒ 5a – 2b = 3a + b = 11
        ∴ 5a – 2b = 11 . . . (i)
এবং   3a + b = 11 . . . (ii)
    (i) + (ii) ×2 করে পাই,
     5a – 2b + 6a + 2b = 11 + 22
বা, 11a = 33
বা, a = 3
    (ii) নং থেকে পাই,
b = 11 – 3.3 = 2
∴ a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
অতএব বিবৃতি-I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি-II সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য
5. মনে করো, f(x) = {^{1 – cos αx}/_{x sin x}      যখন x≠0
                                              {¹/₂      যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
    বিবৃতি-I: α -এর মান 1 হবে।
    বিবৃতি-II: α -এর মান -1 হবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
   ∴   lim_x→0f(×) = f(0)
⇒   lim_x→0 ^{1 – cos αx}/_{x sin x} = ¹/₂
⇒ lim_x→0 ^{+α sin αx}/_{sin x + x cos x}= ¹/₂
⇒lim_x→0 ^{α² cos αx}/_{cos x + cos x – x sin x} = ¹/₂
⇒ ^{α² . 1}/_{1 + 1 – 0} = ¹/₂
⇒^α²/₂ = ¹/₂
⇒ α² = 1
∴ α = ± 1
  অতএব বিবৃতি-I এবং বিবৃতি-II উভয়ই সত্য।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
6. মনে করো, g(x) = x – [x] একটি অপেক্ষক যেখানে [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা x-এর চেয়ে ছোটো বা x-
    এর সমান।
    বিবৃতি-I: সকল x ∈ R বিন্দুতে g(x) সন্তত
    বিবৃতি-II: R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত
    বিবৃতি-III: x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত
   Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য       Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য       Ⓒ বিবৃতি II সত্য       Ⓓ বিবৃতি I, III সত্য

Solution: সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
∴ g(x) = x – [x] সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতি-I মিথ্যা
সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত এবং [x] পূর্ণসংখ্যা বাদে সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য [x] অসন্তত।
∴ R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত → বিবৃতি-II সত্য
সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
∴ x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত নয়। → বিবৃতি-III মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Case Based _______________________
1. মনে করো, f(x) = \(\left\{ \begin{array}{cl}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\ যখন x<0\\ c\quad যখন x=0\\\frac{(x + bx^2 )^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\ যখন x>0 \end{array} \right.\)
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
[i] a-এর মান হবে-
Ⓐ ³/₂         Ⓑ 1
Ⓒ ¹/₂         Ⓓ –³/₂

Solution:
\(\quad lim_{x→0-} f(×)\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{x}+lim_{x→0-}\frac{sinx}{x}\\=(a+1)lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{(a+1)x}+1\\=(a+1).1+1\\=a+2\)
\(\quad lim_{x→0+} f(×)\\=lim_{x→0+}\frac{(x + bx^2)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x + bx^2}-\sqrt{x}}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)(\sqrt{1 + bx}+1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{(1 + bx-1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{bx}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{1}{(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)
অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
∴ lim_x→0- f(×) = lim_x→0+ f(×) = f(0)
⇒ a + 2 = ¹/₂ = c
∴ a + 2 = ¹/₂
বা, a = ¹/₂– 2
বা, a = –³/₂
      c = ¹/₂
এবং b ≠ 0
Ans: Ⓓ –³/₂
[ii] b-এর মান নীচের কোন্ সেটটির অন্তর্গত?
Ⓐ R         Ⓑ R⁺
Ⓒ R – {0}         ⒹR^–

Ans: Ⓒ R – {0}
[iii] c-এর মান হবে-
Ⓐ ¹/₂         Ⓑ –¹/₂
Ⓒ ³/₂         Ⓓ –³/₂

Ans: Ⓐ ¹/₂
```
12. f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
   f(x) = {¹/₂ - x    যখন  x < 3
          {1          যখন  x = 3
          {x - ¹/₂    যখন  x > 3 
```
[i] f(3 – 0) =
Ⓐ ⁵/₂         Ⓑ –⁵/₂
Ⓒ 1             Ⓓ -1
Solution: f(3 – 0)
= lim_x→3- f(×)
= lim_x→3- ¹/₂ – x
=¹/₂ -3 = – ⁵/₂
Ans: Ⓑ –⁵/₂
[ii] f(3 + 0) =
Ⓐ –⁵/₂         Ⓑ 1
Ⓒ -1             Ⓓ ⁵/₂
Solution: f(3 + 0)
= lim_x→3+ f(×)
= lim_x→3+ x- ¹/₂
=3 – ¹/₂
= ⁵/₂
Ans: Ⓓ ⁵/₂
[iii] f(3) =
Ⓐ 1             Ⓑ –⁵/₂
Ⓒ ⁵/₂         Ⓓ -1

Solution: f(3) = 1
Ans: Ⓐ 1
সম্ভাবনা →
← মাইনর ও সহ- উৎপাদক
October 22, 2022

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] ab =	[a] 4¹/₂
[ii] a + b =	[b] 2
[iii] b – a	[c] 8
[iv] ^b/_a =	[d] 3¹/₂

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] lim_x→3+ f(x)	[a] ²/₃
[ii] lim_x→3- f(x)	[b] 3b + 1
[iii] f(3)	[c] 3a + 1
[iv] a – b	[d] 3b + 3

Category: SEMESTER-3

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

4. f(x) = xk অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-Ⓐ k ≠ 0 Ⓑ k < 0Ⓒ k ≤ 0 Ⓓ k ≥ 0

5. f(x) = x + 2/2x2 – x – 1 অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —Ⓐ 1/2, -1 Ⓑ –1/2, -1Ⓒ 1, –1/2 Ⓓ1/2, 1

6. f(x) = 1/sin x – cos x অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —Ⓐ x = nπ + π/4Ⓑ x = nπ + (-1)n π/4Ⓒ x = nπ – π/4Ⓓ x = nπ + 3π/4 [n ∈ Z]

7. যদি f(x) = {kx + 5 যখন x ≤ 2 {x – 1 যখন x > 2 অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —Ⓐ 0 Ⓑ -1Ⓒ -2 Ⓓ -3

8. মনে করো, f(x) = {2x+1 যখন x< 2 {k যখন x = 2 {3x-1 যখন x > 2 k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —Ⓐ 0 Ⓑ 2 Ⓒ 4 Ⓓ 5

10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {1 – cos x/x2 যখন x ≠ 0 {1 যখন x=2Ⓐ 0 -তে Ⓑ 1 -এⒸ -2 -তে Ⓓ 4 –এ

11. যদি f(x) = {sin 5x/x2 + 2x যখন x ≠ 0 {k + 1/2 যখন x = 0 x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —Ⓐ 3/2 Ⓑ -2Ⓒ 1 Ⓓ 2

12. f(x) = 2x2 + 7/x3 + 3x2 – x – 3 অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3Ⓑ x = 1 এবং x = – 1Ⓒ x = – 1 এবং x = 3Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।Ⓐ 0 Ⓑ -1 Ⓒ -2Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত φ(x) = {|x|/x যখন x ≠ 0 {0 যখন x = 0Ⓐ 0 Ⓑ 2Ⓒ 4 Ⓓ 5

3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = x2 – 16/x – 4 অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবেⒶ 1 Ⓑ 27Ⓒ 8 Ⓓ 49

4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।f(x) = {x + 1 যখন x ≤1 { 3 – ax2 যখন x >1 a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।Ⓐ 0 Ⓑ 1Ⓒ 2 Ⓓ 4

5. f(x) = {kx + 1 যখন x ≤ π {cosx যখন x > π x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।Ⓐ 0 Ⓑ –2/πⒸ 2π/3 Ⓓ 3/3π

6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।Ⓐ শুধু x = 0Ⓑ শুধু x = 1Ⓒ সব x ∈ RⒹ শুধু x = – 1

7. মনে করো, f(x) ={x3 + x2 – 16x + 20/(x – 2)2 যখন x ≠ 2 {k যখন x=2 x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।Ⓐ 7 Ⓑ 3Ⓒ 17 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত: f(x) = {ax + 1 যখন x ≤ 3 {bx + 3 যখন x > 3Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

3. বিবৃতি-A: f(x) = 2x2/π limt→0 t/sin t, t = 0 বিন্দুতে সন্তত বিবৃতি-B: g(x) = limt→0[2x/π tan-1 (2/t2)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

5. বিবৃতি-A: f(x) = x + x + 2/|x + 2| অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

Assertion-Reasoning ____________

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = 1/x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1 বিবৃতি-II(R): limx→0 log(1 + ax)/x = a

4. মনে করো, f(x) ={3ax + b যখন x>1 {11 যখন x=1 {5ax -2b যখন x<1

5. মনে করো, f(x) = {1 – cos αx/x sin x যখন x≠0 {1/2 যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।[i] a-এর মান হবে-Ⓐ 3/2 Ⓑ 1Ⓒ 1/2 Ⓓ –3/2Solution:

4. f(x) = x^k অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-
Ⓐ k ≠ 0 Ⓑ k < 0
Ⓒ k ≤ 0 Ⓓ k ≥ 0

5. f(x) = ^{x + 2}/_2x² _{– x – 1} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —
Ⓐ ¹/₂, -1 Ⓑ –¹/₂, -1
Ⓒ 1, –¹/₂ Ⓓ¹/₂, 1

6. f(x) = ¹/_{sin x – cos x} অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —
Ⓐ x = nπ + ^π/₄
Ⓑ x = nπ + (-1)ⁿ ^π/₄
Ⓒ x = nπ – ^π/₄
Ⓓ x = nπ + ^3π/₄ [n ∈ Z]

7. যদি f(x) = {kx + 5 যখন x ≤ 2
{x – 1 যখন x > 2
অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ 0 Ⓑ -1
Ⓒ -2 Ⓓ -3

8. মনে করো, f(x) = {2x+1 যখন x< 2
{k যখন x = 2
{3x-1 যখন x > 2
k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —
Ⓐ 0 Ⓑ 2
Ⓒ 4 Ⓓ 5

10. f(x)= f(x) অসন্তত x = {^{1 – cos x}/_{x_^²} যখন x ≠ 0
{1 যখন x=2
Ⓐ 0 -তে Ⓑ 1 -এ
Ⓒ -2 -তে Ⓓ 4 –এ

11. যদি f(x) = {^{sin 5x}/_{x_^²} _{+ 2x} যখন x ≠ 0
{k + ¹/₂ যখন x = 0
x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
Ⓐ ³/₂ Ⓑ -2
Ⓒ 1 Ⓓ 2

12. f(x) = ^2x² ^{+ 7}/_{x^³ + 3x^²} _{– x – 3} অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —
Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
Ⓑ x = 1 এবং x = – 1
Ⓒ x = – 1 এবং x = 3
Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ 0 Ⓑ -1 Ⓒ -2
Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত
φ(x) = {^|x|/_x যখন x ≠ 0
{0 যখন x = 0
Ⓐ 0 Ⓑ 2
Ⓒ 4 Ⓓ 5

3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = ^{x² – 16}/_{x – 4} অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে
Ⓐ 1 Ⓑ 27
Ⓒ 8 Ⓓ 49

4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।
f(x) = {x + 1 যখন x ≤1
{ 3 – ax² যখন x >1
a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 4

5. f(x) = {kx + 1 যখন x ≤ π
{cosx যখন x > π
x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।
Ⓐ 0 Ⓑ –²/_π
Ⓒ ^2π/₃ Ⓓ ³/_3π

6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।
Ⓐ শুধু x = 0
Ⓑ শুধু x = 1
Ⓒ সব x ∈ R
Ⓓ শুধু x = – 1

7. মনে করো, f(x) ={^{x³ + x² – 16x + 20}/_{(x – 2)²} যখন x ≠ 2
{k যখন x=2
x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।
Ⓐ 7 Ⓑ 3
Ⓒ 17 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
f(x) = {ax + 1 যখন x ≤ 3
{bx + 3 যখন x > 3
Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

3. বিবৃতি-A: f(x) = ^2x²/_π lim_t→0 ^t/_{sin t}, t = 0 বিন্দুতে সন্তত
বিবৃতি-B: g(x) = lim_t→0[^2x/_π tan^-1 (²/_t^²)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

5. বিবৃতি-A: f(x) = x + ^{x + 2}/_{|x + 2|} অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।
বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

1. বিবৃতি-I(A): f(x) = ¹/_x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1
বিবৃতি-II(R): lim_x→0 ^{log(1 + ax)}/_x = a

4. মনে করো, f(x) ={3ax + b যখন x>1
{11 যখন x=1
{5ax -2b যখন x<1

5. মনে করো, f(x) = {^{1 – cos αx}/_{x sin x} যখন x≠0
{¹/₂ যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
[i] a-এর মান হবে-
Ⓐ ³/₂ Ⓑ 1
Ⓒ ¹/₂ Ⓓ –³/₂

Solution: