Category: SEMESTER-3

SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)                                    প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. মনে করো, সব বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R →R অপেক্ষকটি f(x) = 2x² দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে f^-1(32) —
 Ⓐ {4, -4}       Ⓑ {1, -1}
Ⓒ {2, -2}       Ⓓ {3, -3}

Solution: f(x) = 2x²
⇒ 2x² = 32
⇒ x = ±4
Ans:  Ⓐ {4, -4}

2. একটি অপেক্ষক f: A → B-এর বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয় করা যাবে, যদি f^-1 -এর অস্তিত্ব থাকে, তবে f যে ধরনের অপেক্ষক হবে তা হল —
Ⓐ ইনজেকটিভ    Ⓑ সারজেকটিভ
Ⓒ বাইজেকটিভ্   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
Ans:  Ⓒ বাইজেকটিভ্

3. মনে করো, A = {a, b, c, d} এবং f: A → A অপেক্ষক নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(a) = d, f(b) = a, f(c) = b এবং f(d) = c তাহলে, নীচের কোনটি সমান f^-1(b) হবে?
Ⓐ {a}   Ⓑ {b}
Ⓒ {c}   Ⓓ {d}
Solution: f(c) = b
∴ f^-1(b) = c
Ans:  Ⓒ {c}

4. মনে করো, সব পূর্ণসংখ্যার সেট Z এবং f: Z →Z অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে, নীচের কোনটি f^-1(-4) -এর সমান হবে?
Ⓐ {2}          Ⓑ {-2}
Ⓒ {2, -2}   Ⓓ Φ
Solution: f(x) = x²
∴  f^-1(-4) ⇒ f(x) = -4
⇒ x² = -4
⇒ x = ±2i ∉ Z
Ans:  Ⓓ Φ

5. যদি f: A → B চিত্রণের বিপরীত f^-1: B → A -র অস্তিত্ব থাকে, তবে যে ধরনের চিত্রণ হবে তা হল –
Ⓐএক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓑএক-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓒবহু-এক উপরিচিত্রণ
Ⓓ বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
Ans:  Ⓐ এক-এক উপরিচিত্রণ

6. f: R → R অপেক্ষক f(x) = 9x² + 6x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত হলে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?

Ⓒ f অপেক্ষবটি বাইজেকটিভ্ নয় এবং f^-1 অস্তিত্ব নেই।

Solution: f(x) = y ∈ R
⇒ 9x² + 6x – 5 = y
⇒ 9x² + 6x – (5 + y) = 0

Ans:  Ⓒf অপেক্ষবটি বাইজেকটিভ্ নয় এবং f^-1 অস্তিত্ব নেই।

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks __________

1. মনে করো, f: N →Z অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত। তাহলে f^-1(16) = __________।
Ⓐ 4     Ⓑ -4
Ⓒ ±4  Ⓓ 256
Solution: f(x) = x²
∴ f^-1(16) ⇒ f(x) = 16
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
Ans:  Ⓐ4

2. মনে করো, f: A →B তবে f^-1(B) = __________।
Ⓐ {x: x ∈ A এবং f^-1(x) ∈ B}
Ⓑ {x: x ∈ B এবং f(x) ∈ A}
Ⓒ {x: x ∈ A এবং f(x) ∈ B}
Ⓓ ΦAns:  Ⓒ{x: x ∈A এবং f(x) ∈B}

3. f: A → B অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব থাকবে যদি অপেক্ষকটি __________ হয়।
Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক
Ⓑ অন্তঃচিত্রণ
Ⓒ উপরিচিত্রণ
Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক
Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
Ans:  Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক

SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

4. মনে করো, f: A → B এবং y ∈ B তবে f^-1(y) সেটটি একাধিক পদবিশিষ্ট হবে যদি ƒ অপেক্ষকটি __________ হয়।
Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক
Ⓑ অন্তঃচিত্রণ
Ⓒ উপরিচিত্রণ
Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক
Solution:

Ans: Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক

5. মনে করো, f: A →B এবং f^-1: B →A এর অস্তিত্ব আছে, তবে f^-1০f = __________।
Ⓐ I_A     Ⓑ I_B
Ⓒ f_A    Ⓓ f_B
Solution: f: A → B এবং f^-1: B → A এর অস্তিত্ব থাকলে f^-1০f = I_A কিন্তু f০f^-1 = I_B হয়।
Ans:  Ⓐ I_A

Click here to visit our Facebook

Column Matching _________

1. মনে করো A = {-2, -1, 0, 1, 2} এবং f: A →A চিত্রণ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(-2) = 1, f(-1) = -2, f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 1
স্তম্ভ A-এর সাথে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
Solution: [i] f(1) = -1
∴ f^-1(-1) = 1 → [b]
[ii] 2 এর কোনো প্রাগবিম্ব নেই।
∴ f^-1(2) = Φ → [d]
[iii] f(-2) = 1, f(0) = 1, f(2) = 1,
 ∴ f^-1(1) = -2, 0, 2 → [a]
[iv] f(-1) = -2 ∴ f^-1(-2) = -1,
আবার f(1) = -1, ∴ f^-1(-1) = 1 → [b]
Ans:  Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]

2.  f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত।
বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution:  [i] f(x) = x²
∴ x² = 25
⇒ x = ±5 → [a],
[ii] f(x) = x²
∴ x² = 5 ⇒ x = ±√5 → [c],
[iii] f(x) = x²
∴ x² = -5
⇒ x = ±√5i ∉ R → [d],
[iv] f(x) = x²
∴ x² = 0
⇒ x = 0 → [b]
Ans:  Ⓑ[i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]

3. মনে করো, সব জটিল সংখ্যার সেট C এবং f: C → C অপেক্ষক f(x) = 3x² + 16 দ্বারা সংজ্ঞাত। বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
 Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
 Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution: [i] f(x) = 3x² + 16
∴ 3x² + 16 = 1
⇒ 3x² = -15
⇒x² = -5
⇒ x = ±√5i → [c],
[ii] f(x) = 3x² + 16
∴ 3x² + 16 = -11
⇒ 3x² = -27
⇒x² = -9
⇒ x = ±3i → [a],
[iii] f(x) = 3x² + 16
∴ 3x² + 16 = 28
⇒ 3x² = 12
⇒x² = 4
⇒ x = ±2 → [d],
[iv] f(x) = 3x² + 16
∴ 3x² + 16 = 16
⇒ 3x² = 0
⇒ x = 0 → [b]
Ans:  Ⓐ[i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]

4. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x² – 14x + 10 দ্বারা সংজ্ঞাত। স্তম্ভ A-এর সাথে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
 Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
Solution: [i] f(x) = 3x² – 14x + 10
∴ 3x² – 14x + 10 = 2
⇒ 3x² – 14x + 8 = 0
⇒3x² – 12x – 2x + 8 = 0
⇒ 3x(x – 4) – 2(x – 4) = 0
⇒ (3x – 2)(x – 4) = 0
∴ x = ²/₃, 4 → [c],
[ii] f(x) = 3x² – 14x + 10
∴ 3x² – 14x + 10 = 4
⇒ 3x² – 14x + 6 = 0

[iii] f(x) = 3x² – 14x + 10
∴ 3x² – 14x + 10 = -8
⇒ 3x² – 14x + 18 = 0

[iv] f(x) = 3x² – 14x + 10
∴ 3x² – 14x + 10 = -6
⇒ 3x² – 14x + 16 = 0
⇒ 3x² – 8x – 6x + 8 = 0
⇒x(3x – 8) – 2(3x – 8) = 0
⇒ (3x – 8)(x – 2) = 0
∴ x = ⁸/₃, 2 → [b]
Ans:  Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

5. মনে করো, f: R → R চিত্রণ f(x) = x² – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
 Ⓒ [i] — [d], [ii] — [c], [iii] — [a], [iv] — [b]
Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

Solution:
[i] f(x) = x² – 2
∴ x² – 2 = -1
⇒ x² = 1
⇒ x = ±1 এবং
     x² – 2 = 7
⇒ x² = 9
⇒ x = ±3 → [d],
[ii] f(x) = x² – 2
∴ 2 ≤x² – 2 ≤34
⇒ 4 ≤x² ≤36
⇒x² ≥ 4 এবং x² ≤36
⇒ x ≥ 2, x ≤-2  এবং -6 ≤x ≤6
∴ -6 ≤x ≤-2 অথবা 2 ≤x ≤6 যখন x ∈R → [c],
[iii] f(x) = x² – 2
∴ -5 ≤ x² – 2 ≤ 14
⇒ -3 ≤ x² ≤ 16
⇒x² ≥ -3 এবং x² ≤ 16
⇒ x ≥ ±√3i ∉ R, এবং -4 ≤ x ≤ 4
∴ {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 4} → [a],
[iv] f(x) = x² – 2
∴ f^-1 {-∞ < x ≤ 2}
= { x ∈ R: -∞ < x² – 2 ≤ 2}
={ x ∈ R: x² ≤ 4}
= {x ∈ R: -2 ≤ x ≤ 2} → [b]
Ans:  Ⓒ [i] — [d], [ii] — [c], [iii] — [a], [iv] — [b]

Rearrangement of Sentences/Events __________

1. f: R → R  একটি অপেক্ষক f(x) = x³ + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত, f^-1(2) নির্ণয়ের ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল –
[i] f^-1(x) –এ x = 2 বসাতে হবে।
[ii] f(x) = y সমীকরণ থেকে x-কে y-এর আকারে প্রকাশ করে f^-1(y) নির্ণয় করতে হবে।
[iii] f^-1(y) তে y-এর স্থানে x বসিয়ে f^-1(x) পেতে হবে।
[iv] f(x)-কে এক-এক দেখাতে হবে।
[v] f(x) -কে উপরিচিত্রণ দেখাতে হবে।
f^-1(2) নির্ণয়ের সঠিক ক্রম হবে –
Ⓐ [iv] – [v] – [i] – [ii] – [iii]
Ⓑ  [iv] – [v] – [ii] – [i] – [iii]
Ⓒ  [iv] – [v] – [ii] – [iii] – [i]
Ⓓ [v] – [iv] – [ii] – [i] – [iii]

Solution:
[iv] f(x)-কে এক-এক দেখাতে হবে।
[v] f(x) -কে উপরিচিত্রণ দেখাতে হবে।
[ii] f(x) = y সমীকরণ থেকে x-কে y-এর আকারে প্রকাশ করে f^-1(y) নির্ণয় করতে হবে।
[iii] f^-1(y) তে y-এর স্থানে x বসিয়ে f^-1(x) পেতে হবে।
[i] f^-1(x) –এ x = 2 বসাতে হবে।
Ans:  Ⓒ  [iv] – [v] – [ii] – [iii] – [i]

2. f: A → B অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল।
[i] B সেটের যে-কোনো পদ y হলে A সেটে একটি পদ x থাকবে যাতে f(x) = y হয়।
[ii] y -এর জায়গায় x বসালে f^-1: B → A পাওয়া যাবে।
[iii] অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ কি না দেখতে হবে।
[iv] x-এর জায়গায় f^-1(y) বসালে বিপরীত অপেক্ষকটি y -এরআকারে পাওয়া যাবে।
[v] f(x) = y সমীকরণ সমাধান করে x-কে y -এর আকারে প্রকাশ করতে হবে।
সঠিক ক্রম হবে –
Ⓐ [iii] – [i] – [v] – [iv] – [ii]
Ⓑ  [i] – [iv] – [iii] – [ii] – [v]
Ⓒ  [iv] – [v] – [iii] – [i] – [ii]
Ⓓ [iii] – [iv] – [ii] – [v] – [i]

Solution:
[iii] অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ কি না দেখতে হবে।
[i] B সেটের যে-কোনো পদ y হলে A সেটে একটি পদ x থাকবে যাতে f(x) = y হয়।
[v] f(x) = y সমীকরণ সমাধান করে x-কে y -এর আকারে প্রকাশ করতে হবে।
[iv] x-এর জায়গায় f^-1(y) বসালে বিপরীত অপেক্ষকটি y -এরআকারে পাওয়া যাবে।
[ii] y -এর জায়গায় x বসালে f^-1: B → A পাওয়া যাবে।
Ans:  Ⓐ[iii] – [i] – [v] – [iv] – [ii]

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  • ম্যাট্রিক্স PART 1
  • ম্যাট্রিক্স PART 2
• 2. নির্ণায়ক
  • মাইনর ও সহ-উৎপাদক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Relationship between Statements __________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
  Ⓐবিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
  Ⓑবিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
  Ⓒবিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
  Ⓓবিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {p, q, r} এবং f: A → B, g: A → B দুটি অপেক্ষক।
বিবৃতি-A: f = {(a, p), (b, q), (c, r)} এবং g = {(a, r), (b, q), (c, p)} হতে পারে।
বিবৃতি-B: f^-1 = {(p, a), (q, b), (r, c)} এবং g^-1 = {(p, c), (q, b), (r, a)}

Solution: বিবৃতি-A: f: A → B –এর ক্ষেত্রে A–এর প্রতিটি পদের জন্য B- তে একটি প্রতিবিম্ব আছে।
আবার g: A → B –এর ক্ষেত্রে A–এর প্রতিটি পদের জন্য B- তে একটি প্রতিবিম্ব আছে।
∴ বিবৃতিটি সঠিক।
বিবৃতি-B: f এর ক্রমিক জোড়গুলোর উপাদান বিনিময় করলে f^-1 = {(p, a), (q, b), (r, c)} পাওয়া যায়।
আবার g এর ক্রমিক জোড়গুলোর উপাদান বিনিময় করলে g^-1 = {(r, a), (q, b), (p, c)} পাওয়া যায়।
∴ বিবৃতিটি সঠিক, কিন্তু বিবৃতি দুটি পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
Ans:  Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

2. মনে করো, A = R – {3} , B = R – {1} এবং f: A → B অপেক্ষকটি f(x) =  ^{x – 2}/_{x – 3} দ্বারা সংজ্ঞাত।
বিবৃতি-A: f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = = ^{3x – 2}/_{x – 1}
বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ।

Solution:
বিবৃতি-A: ধরি, f(x₁) = f(x₂) যেখানে x₁, x₂ ∈ A
∴ ^{x₁ – 2}/_{x1 – 3} = ^{x₂ – 2}/_{x2 – 3}
⇒ x₁x₂ – 3x₁ – 2x₂ + 6 = x₁x₂ – 2x₁ – 3x₂ + 6
⇒ x₁ = x₂
∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
আবার ধরি, f(x) = y
⇒ ^{x – 2}/_{x – 3} = y
⇒ x – 2 = xy – 3y
⇒x(1 – y) = 2 – 3y
⇒ x = ^{2 – 3y}/_{1 – y} = ^{3y – 2}/_{y – 1}
স্পষ্টতই, ^{3y – 2}/_{y – 1} ∈ R – {3} = A
সুতরাং, যে-কোনো y ∈ B -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
∴ f একটি উপরিচিত্রণ অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
∴ f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = ^{3x – 2}/_{x – 1} →বিবৃতিটি সঠিক।
বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক।
Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ।

3. মনে করো, f: Q → Q এবং g: Q → Q অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x এবং g(x) = x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।
বিবৃতি-A: f^-1 এবং g^-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
বিবৃতি-B: (g০f) ^-1 = g^-1০f^-1

Solution: f: Q → Q এবং g: Q → Q এবং f(x) = 3x, g(x) = x + 3
বিবৃতি-A: f(x) ও g(x) উভয়ই এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ।
∴ f^-1 এবং g^-1 -এর অস্তিত্ব আছে। → বিবৃতিটি সঠিক।
বিবৃতি-B: g[f(x)] = g(3x) = 3x + 3
∴ g০f = 3x + 3
ধরি, g০f= y
∴ y = 3x + 3
⇒ x = 3y + 3  .  . . [y ⇔ x]
⇒3y = x – 3
⇒ y = ^{x – 3}/₃
 ∴ (g০f)^-1 = ^{x – 3}/₃  
f(x) = 3x  ⇒ f^-1(x)= ^x/₃  এবং
g(x) = x + 3 ⇒ g^-1(x)= x – 3
∴ g^-1০f^-1 = g^-1০f^-1(x)
= g^-1[f^-1(x)]
=g^-1[^x/₃]
= ^x/_{3  – 3} = ^{x – 9}/₃  ≠ (g০f)^-1 → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

4. মনে করো, x ∈ R-এর জন্য f: R → R চিত্রণ f(x) = x³ – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত।
বিবৃতি-A: f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
বিবৃতি-B: f অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ।

Solution: বিবৃতি-A:ধরি, f(x₁) = f(x₂) যেখানে x₁, x₂ ∈ R
 ∴ x₁³ – 6  = x₂³ – 6
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
 আবার ধরি, f(x) = y
⇒  x³ – 6 = y
⇒  x³ = y + 6

সুতরাং, যে-কোনো y ∈ R -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
 ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
∴ f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক।
Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning __________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারন) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি  নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
   Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
   Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
   Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
   Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): মনে করো, সব x ∈ Q –এর জন্য f: Q → Q অপেক্ষক f(x) = 4x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত; f অপেক্ষকটির বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = ^{x + 5}/₄
বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব থাকবে যদি অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হয়।

Solution: বিবৃতি-A: ধরি, f(x₁) = f(x₂) যেখানে x₁, x₂ ∈ Q
 ∴ 4x₁ – 5 = 4x₂ – 5
⇒ 4x₁ = 4x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
 আবার ধরি, f(x) = y
⇒  4x – 5 = y
⇒4x = y + 5
 ⇒ x = ^{y + 5}/₄  ∈ Q
 সুতরাং, যে-কোনো y ∈ Q -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
 ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
∴ f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = ^{x + 5}/₄ → বিবৃতিটি সঠিক।
বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

2. মনে করো, f: A → B একটি অপেক্ষক। f(a₁) = f(a₂) = f(a₃) = b যেখানে a₁, a₂, a₃  ∈ A, b ∈ B এবং a₁ ≠ a₂ ≠ a₃
বিবৃতি-I(A): f^-1: B → A -এর অস্তিত্ব আছে।
বিবৃতি-II(R): f^-1(b) -এর অস্তিত্ব আছে যেখানে f^-1(b) = { a₁, a₂, a₃}

Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
বিবৃতি-A: এখানে, f(a₁) = f(a₂) = f(a₃) = b অর্থাৎ A সেটের তিনটি ভিন্ন পদের প্রতিবিম্ব একই (b)।
∴ চিত্রণটি একটি বহু এক চিত্রণ।
∴ f^-1: B → A -এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
বিবৃতি-B: f^-1(b) হলো b-এর প্রাক-প্রতিবিম্বের সেট।
∴ f^-1(b) = { a₁, a₂, a₃} → বিবৃতিটি সঠিক।
Ans: Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

True and False _________________

1. মনে করো, A = {x: ∈ R: -1 ≤ x ≤ 1} এবং A সেটে দুটি অপেক্ষক f ও g যথাক্রমে f(x) = x² ও g(x) = x⁵ দ্বারা সংজ্ঞাত।
বিবৃতি-I: f^-1 এর অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = ±√x

Ⓐ বিবৃতি । সত্য, বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি। মিথ্যা, বিবৃতি ।I সত্য
Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
f(x) = x²
∴ f(1) = 1² = 1 এবং f(-1) = (-1)² = 1
∴ f(1) = f(-1) কিন্তু 1 ≠ -1  ⇒ অপেক্ষকটি এক এক নয়।
f^-1 এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
বিবৃতি-II: g(x) = x⁵
g(x) অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ।
∴ g^-1 এর অস্তিত্ব আছে।
ধরি, g^-1(x) = y
⇒ y = x⁵

বিবৃতিটি সঠিক নয়।
Ans:  Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

2. মনে করো, A = R – {-½}, B = R – {-½} এবং f: A → B অপেক্ষক f(x) = ^{x + 2}/_{2x + 1} দ্বারা সংজ্ঞাত।
বিবৃতি-I: f^-1 এর অস্তিত্ব আছে।
বিবৃতি-I: f^-1(x) = ^{x – 2}/_{1 – 2x}
Ⓐ বিবৃতি । সত্য, বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি। মিথ্যা, বিবৃতি ।I সত্য
Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: ধরি, f(x₁) = f(x₂) যেখানে x₁, x₂ ∈ A
 ∴ ∴ ^{x₁ + 2}/_{2x1 + 1} = ^{x₂ + 2}/_{2x2 + 1}
⇒ 2x₁x₂ + x₁ + 4x₂ + 2 = 2x₁x₂ + 4x₁ + x₂ + 2
⇒-3x₁ = -3x₂
⇒ x₁ = x₂  ∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
 আবার ধরি, f(x) = y
⇒ ^{x + 2}/_{2x + 1} = y
⇒ 2xy + y = x + 2
⇒x(2y – 1) = 2 – y
⇒ x = ^{2 – y}/_{2y – 1}   = ^{y – 2}/_{1 – 2y}
 স্পষ্টতই, ^{y – 2}/_{1 – 2y} ∈ R – {-½} = A
 সুতরাং, যে-কোনো y ∈ B -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
 ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
∴ f^-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f^-1(x) = ^{x – 2}/_{1 – 2x} 
বিবৃতি-A এবং বিবৃতি-B সঠিক।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য

Diagram/Chort Based _________________

1. বিকল্পের চিত্রণগুলির মধ্যে কোনটির বিপরীত আছে?

Solution: যদি f: A → B একটি অপেক্ষক হয়, তবে f^-1 অপেক্ষকটির অস্তিত্ব থাকবে, যখন f এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
উপরের চিত্রগুলির মধ্যে Ⓓ এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ। চিত্র Ⓓ সঠিক
Ans:  Ⓓ

SOLUTION OF INVERSE FUNCTION
বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

2. যদি f: A → B এবং g: B → C হয়, তবে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি f^-1০g^-1 অপেক্ষকটিকে উপস্থাপিত করে?

Solution: f: A → B এবং g: B → C দুটি অপেক্ষক হয়, তবে f^-1০g^-1 অপেক্ষকটির অস্তিত্ব থাকবে, যখন f এবং g উভয়ই এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
চিত্র Ⓐ -এর ক্ষেত্রে f উপরিচিত্রণ নয়।
চিত্র Ⓑ-এর ক্ষেত্রে f এবং g এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ উভয়ই বাইজেকটিভ। চিত্র Ⓑ সঠিক
Ans: Ⓑ

Case Based _________________

1. মনে করো, f: A → B অপেক্ষকটি f(x) = sin x দ্বারা সংজ্ঞাত।
[i] বিকল্পগুলির মধ্যে কোন্ ক্ষেত্রে অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে?
Ⓐ A = {x: –^π/₂ ≤ x ≤ ^π/₂} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
Ⓑ A = {x: -π ≤ x ≤ π} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
Ⓒ A = {x: 0 ≤ x ≤ 2 π} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
Ⓓ A = {x: –^π/₂ ≤ x ≤ ^π/₂} এবং B = {x: -2 ≤ x ≤ 2}

Solution:  অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ হয়।
A = {x: –^π/₂ ≤ x ≤ ^π/₂} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1} হলে সংজ্ঞার অঞ্চলের x –এর প্রতিটি মানের জন্য f(x) –এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।
সুতরাং অপেক্ষকটি এক এক হবে।
আবার -1 ≤ sin x ≤ 1,
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [-1, 1]
 ∴ উপঅঞ্চল = পাল্লা
অতএব অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে যদি A = {x: –^π/₂ ≤ x ≤ ^π/₂} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1} হয়।
Ans:  Ⓐ A = {x: –^π/₂ ≤ x ≤ ^π/₂} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}

[ii] প্রশ্ন (i)-এর সঠিক বিকল্পটির ক্ষেত্রে f^-1(-1) হবে –
Ⓐ -π        Ⓑ –^π/₂
Ⓒ ^π/₂      Ⓓ 0
Solution: ধরি, f^-1(-1) = y
∴ f(y) = -1
⇒ sin y = -1
⇒sin y = sin (-^π/₂)
⇒ y = –^π/₂
∴ f^-1(-1) = – ^π/₂
Ans:  Ⓑ –^π/₂

2. মনে করো, A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 4, 7, 10}, C = {5, 11, 17, 23} এবং f: A → B, g: B → C অপেক্ষকদ্বয় f(x) = 3x + 1 এবং g(x) = 2x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।

[i] (g০f)^-1(11) =
Ⓐ ¹/₇₆ Ⓑ  ¹/₇₁ Ⓒ 4 Ⓓ 1
Solution: f(x) = 3x + 1 এবং g(x) = 2x + 3
∴ (g০f)(x) = g(3x + 1)
= 2(3x + 1) + 3 = 6x + 5
ধরি, (g০f)^-1(11) = y
∴ (g০f)(y) = 11
⇒ 6y + 5 = 11
⇒ y = 1
Ans:  Ⓓ 1

[ii] (f^-1০g^-1)(17)=
Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3
Solution: ধরি, g^-1(17)= y
∴ g(y) = 17
⇒ 2y + 3 = 17
⇒ y = 7
∴ g^-1(17) = 7
(f^-1০g^-1)(17) = f^-1{g^-1(17)} = f^-1(7)
ধরি, f^-1(7) = z
∴ f(z) = 7
⇒ 3z + 1 = 7
⇒ z = 2
∴ (f^-1০g^-1)(17) = 2
Ans:  Ⓒ 2