14. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য। Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে। Ⓑ কোনো নির্ণায়কের একটি পদের সহ-উৎপাদক হল ওই পদের মাইনর। Ⓒ কোনো নির্ণায়কের সারিসমূহের পদগুলি স্তম্ভ বরাবর এবং স্তম্ভসমূহের পদগুলি সারি বরাবর লিখলে তার মান পরিবর্তিত হয়। Ⓓ কোনো নির্ণায়কের প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ পরস্পর অভেদ হলে, তার মান শূন্য হবে। Ans:Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে।
Analytical/Skill Based Type Fill in the Blanks______________
1. যদি \(\begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\) হয়, তবে x এর মান ____________ \(\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 1\quad Ⓒ\ 2\quad Ⓓ\ 3\\Solution:\ \begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\)
⇒ 12x – 14 = 10 ⇒12x = 24 ⇒ x = 2 Ans:Ⓒ 2
\(2.\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}= —–\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ tan 15°\\Ⓒ\ tan 75°\quad Ⓓ\ 1\\Solution:\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}\)
= cos 15°. cos 75° -sin 75°.sin 15° =cos (75 +15)° = cos 90° = 0 Ans:Ⓐ 0
\(3.\ \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x\quad 4\\6\quad x\end{vmatrix}\) হলে, x =
নির্ণায়কটি বিবেচনা করো: যেখানে [x] দ্বারা x-এর মানের বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বোঝায়, যা x-এর মানের চেয়ে বড়ো নয় এবং -1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1, 1 ≤ z < 2 A স্তম্ভ -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।
2. যদি \(A=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}\) এবং \(B=\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\) হয়, তবে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিবৃতিটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B -এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়
Solution: △ = 1(1 + x2) – z(-z – xy) + (-y)(xz – y) = 1 + x2 + z2 + xyz – xyz + y2 = x2 + y2 + z2 + 1 → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সত্য। Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Assertion-Reasoning ______________
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে? Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ। Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়। Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
1. বিবৃতি-I(A): যদি \(A=\begin{vmatrix}1\quad 2\\6\quad 2\end{vmatrix}\) হয়, তবে |2A| = 4|A|
বিবৃতি-II(R): \(x=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2x=\begin{vmatrix}a\quad\quad b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\)
Solution: বিবৃতি-I: n ক্রমের নির্ণায়কের(A) ক্ষেত্রে det(kA) = knA হয়। ∴ |2A| = 22|A| = 4|A| → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-II:
\(X=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2X=\begin{vmatrix}2a\quad 2b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\) হবে।
বিবৃতি II মিথ্যা। Ans:Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
= 2c(ab + ab) = 4abc → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-II: বিবৃতিটি সত্য এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ। Ans:Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
4. বিবৃতি-I(A): \(△=\begin{vmatrix}\ 1\quad\quad sin θ\quad\ 1\\-sin θ\quad 1\quad sin θ\\-1\quad -sin θ\quad 1\end{vmatrix}\) হলে 2 ≤ △ ≤ 4
বিবৃতি-II(R): 0 ≤ sin2 θ ≤ 1
Solution:△ = 1(1 + sin2 θ) – sin θ (-sin θ + sin θ) + 1(sin2 θ + 1) = 1 + sin2 θ + sin2 θ + 1 = 2 + 2 sin2 θ ∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1 ∴ 0 ≤ sin2 θ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2sin2 θ ≤ 2 ⇒0 + 2 ≤ 2 + 2sin2 θ ≤ 2 + 2 ⇒ 2 ≤ △ ≤ 4 → বিবৃতি I সঠিক বিবৃতি-II: ∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1 ∴ 0 ≤ sin2 θ ≤ 1 → বিবৃতি II সঠিক Ans:Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
True and False ____
1. বিবৃতি-I: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান -3
বিবৃতি-II: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান \(\frac{1}{2},-3\)
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য
2. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 4-এর মাইনর্ 2
বিবৃতি-II: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 3 -এর সহ-উৎপাদক -1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য
Solution:বিবৃতি-I: 4-এর মাইনর্ 2 → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-II: 3 -এর সহ-উৎপাদক -1 → বিবৃতিটি সত্য। Ans:Ⓓবিবৃতি I ও II সত্য।
3. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}0\quad 2\quad 6\\1\quad 5\quad 0\\3\quad 7\quad 11\end{vmatrix}\)-এ 7-এর মাইনর ও সহ-উৎপাদক যথাক্রমে -6 ও -6
বিবৃতি-II: 3-এর মাইনর্ ও 5-এর সহগুণনীয়ক যথাক্রমে -30 এবং -18 Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য
\(16. A = \begin{pmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{pmatrix}\)
হলে সব n ∈ N এর জন্য An = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}cos θ\quad sin nθ\\ i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}sin nθ\quad cos nθ\\i sin θ\quad i cos θ\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}i sin nθ\quad cosθ\\ cos θ\quad i sin nθ\end{bmatrix}\\Ans:Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\)
\(Solution: A=A^2=\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ \quad i sin θcos θ+i sin θcos θ\\i sin θcos θ+i sin θcos θ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ \quad i sin 2θ\\i sin 2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\\∴A^n=\begin{bmatrix}cosnθ \quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cosnθ\end{bmatrix}→ [B]\)
\(17.I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)হলে \((2I + 3E)^3=\)
Solution: 7 – t = t + 5 ⇒ t = 1 x – z = 3 – t ⇒ x – z = 2 . . . (i) -z – x = 5 – t ⇒ x + z = -4 . . . (ii) (i) ও (ii) নং থেকে পাই, x – z + x + z = 2 -4 ⇒ x = -1 ∴ z = -3 আবার 6 + z = x – y ⇒ y = -1 + 3 – 6 = -4
∴ y = 2, x + 3 = 4y – 3 ⇒ x = 4.2 – 6 = 2 [i] x = 2 → [b] [ii] xy – yx = 22 – 22 = 0 → [a], [iii] x + y = 2 + 2 = 4 → [c], [iv] xy = 2×2 = 4 → [d]
5. স্তম্ভ A -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।
স্তম্ভ A
স্তম্ভ B
\( [i]A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad -2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [a] \begin{bmatrix}5\quad -16\\-17\quad 5\end{bmatrix}\)
\( [ii]A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad 3\\0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B =\begin{bmatrix}2\quad 1\\-3\quad 0\\4\quad -5\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\) =(যেখানে A’ হল A এর পরিবর্ত) \(\quad [b] \begin{bmatrix}1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)
\( [iii] A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad 1\\0\quad -1\quad 4\\5\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^T =\) (যেখানে \(A^T\) হল A -এর পরিবর্ত) \( [c] \begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)
\( [iv] A=\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}\) এবং \(B = \begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t=\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [d] \begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad 15\end{bmatrix}\)
(A2 – I3) নির্ণয় করার ধাপগুলি হল, [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [ii] A নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে (যেখানে I3 হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) সঠিক ক্রমটি হবে- [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [ii] A নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে (যেখানে I_3 হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) সঠিক ক্রমটি হবে- Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Ⓑ [i]-[ii]-[iii]-[iv] Ⓒ [iii]-[i]-[ii]-[iv] Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv] Ans: Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Solution: A2 – I3 = A2 – (I3)2= (A + I3)(A – I3) [ii] প্রথমে A + I3 থেকে A নির্ণয় করতে হবে। [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] সবশেষে (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে।
2. মনে করো, f(x) = 2x2 + 3x + 5 এবং
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\); f(A) -এর মান নির্ণয় করার ধাপগুলি হল
সরল করে f(A) নির্ণয় করতে হবে। সঠিক ক্রমটি হবে- Ⓐ [ii]-[i]-[iv]-[iii] Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Ⓒ [i]-[iii]-[iv]-[ii] Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv] Ans: Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv] [ii] প্রথমে f(A) = 2A2 + 3A + 5I নির্ণয় করতে হবে
[i] তারপর \(A^2=\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
[iii] \(3A+5I=\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
[iv] সবশেষে \(2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
Relationship between Statements
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।
1. বিবৃতি-A: একটি ম্যাট্রিক্সের 18টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×18, 18×1, 6×3, 3×6, 2×9, 9×2 বিবৃতি-B: কোনো ম্যাট্রিক্সের পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×5, 5×1, 2.5×2, 2×2.5 Ans:Ⓒবিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Solution: ∵ পদসংখ্যা = শ্রেনি সংখ্যা × স্তম্ভ সংখ্যা বিবৃতি-A: 18 = 1×18, 18 = 18×1, 18 = 2×9, 18 = 9×2, 18 = 3×6, 18 = 6×3, → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-B: শ্রেনি সংখ্যা, স্তম্ভ সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না। বিবৃতিটি → মিথ্যা
2. মনে করো, A= \(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\)এবং B=\(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-A: AB = [30] বিবৃতি-B: BA =\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়। Solution: বিবৃতি-A:
বিবৃতি-A সত্য এবং বিবৃতি-B সত্য। কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
5. মনে করো, \(A=\begin{pmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) বিবৃতি-A: (A – 2I)(A – 3I) =\(\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদে গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে। Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Solution:
(A – 2I) ≠ 0 এবং (A – 3I) ≠ 0 কিন্তু (A – 2I)(A – 3I) = 0 ∴ দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদের গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে।
6. বিবৃতি-A: যদি A= \(\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, সব n ∈ N এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n – 1)}{(a – 1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-B: যদি A=\(\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, তবে সব n ∈ N-এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-A সত্য এবং বিবৃতি-B সত্য। কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
7. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}6\quad -2\quad -3\\-1\quad 1\quad 0\\-1\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB = BA
বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর গুণফল AB সংজ্ঞাত হবে যখন A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা ও B ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা সমান হয়। Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়। Solution:
∴ AB = BA ⇒ বিবৃতি-A সত্য বিবৃতি-B সত্য কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
8. বিবৃতি-A: A ≠ 0 এবং B ≠ 0 হলে AB = 0 হতে পারে। বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B যে-কোনো একটি ম্যাট্রিক্স শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে। Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
9. বিবৃতি-A: A =\(\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C=\(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(B + C) = AB + AC
বিবৃতি-B: ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে। Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Solution:
∴ A(B + C) = AB + AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে। এটিও সত্য ∴ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
10. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C= \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB= AC হবে।
বিবৃতি-B: A, B ও C -এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে। Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Solution:
∴ AB = AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য ম্যাট্রিক্স গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম প্রযোজ্য হয় না। ∴AB = AC হলে B = C হবে তার কোনো নিশ্চয়তা নেই। ⇒ বিবৃতি-B সত্য নয়।
Assertion-Reasoning
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে? Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়। Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Ⓓ বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
হলে x = 2 , y = 4, z = 1 , t = 3 বিবৃতি-II(R): দুটি ম্যাট্রিক্স A=[aij]m×n এবং B=[bij]p×q কে পরস্পর সমান বলা হবে যদি (i) A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, অর্থাৎ m = p ও n = q হয় এবং (ii) (i, j) -এর প্রতি জোড়া মানের জন aij =bij হয়। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ans:Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়। Solution: A 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স কিন্তু B 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। ∴ A + B সংজ্ঞাত নয়। A এর স্তম্ভ সংখ্যা ≠ B এর সারি সংখ্যা ∴ AB সংজ্ঞাত নয়। ⇒ বিবৃতি-I(A) সত্য B এর স্তম্ভ সংখ্যা = A এর সারি সংখ্যা ∴ BA সংজ্ঞাত ।
3. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং B =\(\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 3\\-1\quad 0\quad 1\\3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\) হলে AB ≠ BA
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
4. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((A+B)^2≠A^2+2AB+B^2\)
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে। Ans:Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ≠ A2 + 2AB + B2 কারণ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। অর্থাৎ AB ≠ BA ∴ বিবৃতি-I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়I
5. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(BC) =(AB)C হবে।
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সংযোগ নিয়ম (associative law) সিদ্ধ করে। Ans:Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution:
6. বিবৃতি-I(A): A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে, AB = AC তাহলে B = C হবে।
বিবৃতি-II(R): মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) যদি AB = AC হয়, তবে B = C হবে।
Ans: বিবৃতি । সঠিক নয়এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution: ম্যাট্রিক্সের গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম সিদ্ধ হয় না। ∴ AB = AC হলে B = C হবেই তার কোনো নিশ্চয়তা নেই। বিবৃতি-I মিথ্যা।
বিবৃতি-II(R): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। Solution:
বিবৃতি-I সত্য বিবৃতি-II একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম এবং একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।-সত্য
True and False
1. A এবং B উভয়ই m×n ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। বিবৃতি-I: A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-II: A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-III: A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-IV: A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
Ⓐ বিবৃতি I, II, III সত্য Ⓑ বিবৃতি I, III, IV সত্য Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য Ⓓ সবকটি বিবৃতিই সত্য Ans: Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য Solution: A এবং B উভয়ই প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। ∴ AT = A, BT= B (A+B)T= AT + BT= A + B এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ⇒ বিবৃতি-I সত্য ∴ বিবৃতি II মিথ্যা A এবং B উভয়ই n×n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স। ∴ A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-III সত্য A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। ∴ বিবৃতি IV মিথ্যা
2. মনে করো, A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স এরূপ যে, \(A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad 8
\end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\1\quad 1\quad 6\end{bmatrix}\)
3. মনে করো, \(2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-I: x = 3 , y = 3 বিবৃতি-II: x = – 3, y = – 3 Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
4. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad – 5\\-3\quad 4\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad 0\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-I: (A + B)’ = A’ + B’ বিবৃতি-II: (A – B)’ = A’ – B’
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Solution: বিবৃতি । সত্য . . .[আমরা জানি (A + B)’ = A’ + B’] বিবৃতি II সত্য . . .[আমরা জানি (A – B)’ = A’ – B’]
5. A ম্যাট্রিক্স 2×m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3×n ক্রমের; তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত যা একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। বিবৃতি-I: m = 3, n = 2, p = 4 বিবৃতি-II: m = 3, n = 4, p = 2
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা [Solution: AB সংজ্ঞাত এবং AB-এর ক্রম হবে 2×n ∴ A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর শ্রেণি সংখ্যা ∴ m = 3 আবার দেওয়া আছে AB একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। ∴ p = 2, n = 4]
6. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad -1\quad 5\\-3\quad 2\quad 4\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}14\\15\\13\end{bmatrix}\) এবং AX = B
বিবৃতি-I: x + 2y + 3z = 14 বিবৃতি-II: 2x – y + 5z = 15 বিবৃতি-III: – 3x + 2y + 4z = 13 Ⓐ বিবৃতি I, II সত্য Ⓑ বিবৃতি I, III সত্য Ⓒ বিবৃতি II, III সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Solution: AX = B হলে \(A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3
\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)
8. মনে করো, \(\begin{pmatrix}x + y\quad 2\\z\quad \quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 2\quad x – z\\2x – y\quad 0\end{pmatrix}\) যেখানে x, y, z বাস্তব।
বিবৃতি-1: x = 1, y = z = – 1 বিবৃতি-II: x = y = 1 z = – 1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Solution: [x + y = 2. . . (i) x – z = 2. . . (ii) 2x – y = 1. . . (iii) (i)+(iii) করে পাই, 3x = 3 ⇒ x = 1 ∴y = 2 – 1 = 1 z = 1 – 2 = -1]
9. মনে করো,\(A=\begin{pmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{pmatrix}\)
2. যদি 2A + 5B = C হয়, যেখানে \(A=\begin{pmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{pmatrix}\)এবং \(C=\begin{pmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{pmatrix}\) তবে
∴ 2a + 45 = 45 ⇒ a = 0, 10 + 5b = a ⇒ 5b = 0 – 10 ⇒ b = -2
3. যদি\(\begin{pmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\5\\7\end{pmatrix}\)হয়, তবে
[i] x = Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 2 Ⓓ -2 Ans: Ⓒ 2
[ii] z = Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 1 Ans: Ⓑ 3
[iii] x + y – z = Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ Ans: Ⓒ 3 [Solution: ∴ x + y + z = 9; z + x = 5; y + z = 7 x = 9 – 7 = 2, y = 9 – 5 = 4, z = 7 – 4 = 3, ∴ x + y – z = 2 + 4 – 3 = 3]
∴ y = 8 এবং 3y – x = 16 বা, -x = 16 – 3.8 = -8 বা, x = 8
7. যদি \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{bmatrix}\)ম্যাট্রিক্স AA’ = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে (এখানে A’ হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স)
