Category: SEMESTER-3

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক
CHAPTER 2

UNIT 1 CHAPTER 2
অপেক্ষক (Function)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)        প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট), তাহলে ƒ হবে —
Ⓐ বহু-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ একটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

Solution: f(x) = x²
f(-1) = 1;  f(1) = 1
∴ -1 ও 1 উভয়ের প্রতিবিম্ব 1
সুতরাং চিত্রণটি এক-এক চিত্রণ নয়।
আবার অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল R কিন্তু পাল্লা R⁺
অর্থাৎ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴চিত্রণটি উপরিচিত্রণও নয়।
অতএব চিত্রণটি বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ।
Ans: Ⓓ বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

2. মনে করো, g: Q – {3} → Q অপেক্ষক g(x) = ^{2x + 3}/_{x – 3} দ্বারা সংজ্ঞাত (এখানে Q হল সব মূলদ সংখ্যা সমূহের সেট); তাহলে g হবে —
Ⓐ উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ একটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: g: Q – {3} → Q এবং g(x) = ^{2x + 3}/_{x – 3}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Q – {3}
⇒ g(x₁) = g(x₂)
⇒ ^{2x₁ + 3}/_{x1 – 3} = ^{2x₂ + 3}/_{x2 – 3}
⇒2x₁x₂ – 6x₁ + 3x₂ – 9 = 2x₁x₂ + 3x₁ – 6x₂ – 9
⇒ – 6x₁ – 3x₁ = – 6x₂ – 3x₂
⇒ – 9x₁ = 9x₂
⇒x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, g(x) = y যেখানে y ∈ Q
⇒ ^{2x + 3}/_{x – 3} = y
⇒ xy – 3y = 2x + 3
⇒xy – 2x = 3 + 3y
⇒ x = ^{3y + 3}/_{y – 2}
∴ y = 2 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ Q – {3}
অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

3. মনে করো, f: [0, ∞) → [0, 2] চিত্রণটি f(x) = ^2x/_{x + 1} দ্বারা সংজ্ঞাত, তবে f চিত্রণটি হবে —
Ⓐ ইনজেক্টিভ্ কিন্তু সারজেক্টিভ্ নয়
Ⓑ একটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓒ একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণⒹ ইনজেক্টিভ্ বা সারজেক্টিভ্ নয়

Solution: f: [0, ∞) → [0, 2] এবং f(x) = ^2x/_{x + 1}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Q – {3}
⇒ g(x₁) = g(x₂)
⇒ ^2x₁/_{x1 + 1} = ^2x₂/_{x2 + 1}
⇒2x₁x₂ + 2x₁ = 2x₁x₂ + 2x₂
⇒ 2x₁ = 2x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ [0, 2]
⇒ ^2x/_{x + 1} = y
⇒ xy + y = 2x
⇒xy – 2x = -y
⇒ x = ^y/_{2 – y}
∴ y = 2 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ [0, ∞)
অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
∴ চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ ইনজেক্টিভ্ কিন্তু সারজেক্টিভ্ নয়

4. মনে করো, f: N → N চিত্রণ, যা নিম্নরূপে সংজ্ঞাত;
f(x) = {x + 1, যখন x ∈ N অযুগ্ম
               {x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম
তবে ƒ চিত্রণটি হবে —
Ⓐ একটি এক-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓑ একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি বহু-এক উপরিচিত্রণ
Ⓓ বাইজেকটিভ্ চিত্রণ

Solution: f: N → N এবং f(x) = x + 1, যখন x ∈ N অযুগ্ম//x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম
∴ f(1) = 1 + 1 = 2,     f(3) = 3 + 1 = 4,
    f(5) = 5 + 1 = 6,   f(2) = 2 – 1 = 1,
    f(4) = 4 – 1 = 3,     f(6) = 6 – 1 = 5,
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি এক-এক।
আবার উপঅঞ্চলের প্রতিটি পদের প্রাগবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি উপরিচিত্রণ।
Ans: Ⓑ একটি এক-এক উপরিচিত্রণ

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
• 2. নির্ণায়ক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

5. মনে করো, A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 1, 1, 2, 3, – 3} এবং সব x ∈A -র জন্য f: A → B চিত্রণ f(x) = 2x – 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f হল B সেটে A সেটের একটি —
Ⓐ এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓑ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ একটি বহু-এক এবং অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ একটি বহু-এক এবং উপরিচিত্রণ

Solution: A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 1, 1, 2, 3, – 3}
f: A → B এবং f(x) = 2x – 1
∴ f(-1) = 2(-1) – 1 = -3,
f(0) = 2(0) – 1 = -1,
f(1) = 2(1) – 1 = 1,
f(2) = 2(2) – 1 = 3
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব আছে।
তাই চিত্রণটি এক-এক।
আবার 2 এর কোনো প্রাগবিম্ব নেই।
তাই চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ এক-এক এবং অন্তঃচিত্রণ

6. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত। যে বৃহত্তম ক্ষেত্র (domain-এ) f অপেক্ষক এক-এক, তা হল —
Ⓐ – ∞ < x < 0 অথবা 0 < x < ∞
Ⓑ – ∞ < x < 0 অথবা 0 ≤ x < ∞
Ⓒ – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞
Ⓓ – ∞ < x ≤ 0 অথবা 0 < x < ∞

Solution: f: R → R অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত।
∴ f এর ক্ষেত্র এবং উপঅঞ্চল হবে (-∞, +∞)
যে বৃহত্তম ক্ষেত্র (domain-এ) f অপেক্ষক এক-এক, তা হল – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞
Ans: Ⓒ – ∞ < x ≤0 অথবা 0 ≤x < ∞

7. মনে করো, A = {1, 2, 3}; নীচের কোনটি A সেটের ওই একই সেটে সংজ্ঞাত এক-এক অপেক্ষক?
Ⓐ {(1, 2), (2, 3), (3, 3)}
Ⓑ {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}
Ⓒ {(1, 3), (2, 3), (3, 2)}
Ⓓ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

Solution: একটি অপেক্ষককে এক-এক অপেক্ষক বলা হয় যদি সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের পৃথক প্রতিবিম্ব থাকে।
Ⓓ তে 1 -এর প্রতিবিম্ব 3, 2 -এর প্রতিবিম্ব 2 এবং 3 -এর প্রতিবিম্ব 1
তাই অপেক্ষকটি এক-এক।
Ans: Ⓓ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

8. মনে করো f: R → R চিত্রণ f(x) = 3x³ + 4 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে —
Ⓐ f হল R থেকে ওই একই সেটে একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓑ f অপেক্ষকটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ নয় কিন্তু সারজেক্টিভ্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f: R → R এবং f(x) = 3x³ + 4
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ R
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3x₁³ + 4 = 3x₂³ + 4
⇒3x₁³ = 3x₂³
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার অপেক্ষকটির উপঅঞ্চলের যেকোনো পদের জন্য একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
∴ চিত্রনটি উপরিচিত্রণ।
Ans: Ⓐ f হল R থেকে ওই একই সেটে একটি এক-এক উপরিচিত্রণ

9. মনে করো, A = {- 1, 1, 2, – 3}, B = {2, 8, 18, 32} এবং f: A → B চিত্রণ f(x) = 2x² দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে —
Ⓐ f হল A সেটে থেকে B সেটে একটি এক-এক চিত্রণ
Ⓑ f হল B সেটে A সেটের একটি এক-এক উপরিচিত্রণ
Ⓒ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ f হল A সেটে B সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

Solution: f(-1) = 2(-1)² = 2
f(-1) = 2(-1)² = 2,
f(2) = 2(2)² = 8,
f(-3) = 2(-)² = 18
A সেটের দুটি ভিন্ন পদ (-1 এবং 1)-এর প্রতিবিম্ব একই(2)।
∴ এটি বহু-এক চিত্রণ
আবার চিত্রণের পাল্লা {2, 8, 18}
এবং উপঅঞ্চল {2, 8, 18, 32}
উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা ⇒ উপরিচিত্রণ নয়।
∴ এটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
∴ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ans: Ⓒ f হল B সেটে A সেটের একটি বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

10. মনে করো যে, f: R → R চিত্রণ, যা f(x) = cos x দ্বারা সংজ্ঞাত (সব x ∈ R এর জন্য) তবে —
Ⓐ f চিত্রণটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓑ f চিত্রণটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓒ f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: f: R → R এবং f(x) = cos x
ধরি, x = 0, 2π ∉ R
∴ f(0) = cos 0 = 0,
এবং f(2π) = cos 2π = 0
∴ 0, 2π উভয়েরই প্রতিবিম্ব 0
অতএব চিত্রণটি এক-এক নয়।
-1 ≤ cos x ≤ 1
চিত্রণের পাল্লা [-1, 1]
এবং উপঅঞ্চল R
উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা ⇒ উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

11. মনে করো, Modulus Function f: R → R যা f(x) = |x| দ্বারা প্রদত্ত, যেখানে
|x|= {x যখন           x ≥ 0
           { -x যখন        x < 0 তবে সঠিক বিকল্পটি হবে —
Ⓐ f অপেক্ষকটি এক-এক
Ⓑ f অপেক্ষকটি সারজেক্টিভ্
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ এবং সারজেক্টিভ্
Ⓓ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ কিংবা সারজেক্টিভ্ কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = |x| = x
এবং f(-x) = |-x| = x
 x ও -x উভয়ের প্রতিবিম্ব x
∴ চিত্রণটি এক-এক বা ইনজেক্টিভ নয়।
f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা R⁺
 অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি সারজেক্টিভ্ও নয়।
Ans: Ⓓ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ কিংবা সারজেক্টিভ্ কোনোটিই নয়

12. মনে করো, A = R – {2} এবং B = R – {1} তবে f: A → B অপেক্ষক, যা f(x) = ^{x – 3}/_{x – 2} দ্বারা সংজ্ঞাত, একটি —
Ⓐ ইনজেশন্ কিন্তু সারজেকশন্ নয়
Ⓑ ইনজেকশন্ নয় কিন্তু সারজেকশন্
Ⓒ বাইজেকশন্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: ধরি, x₁ ও x₂ ∈ A
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ ^{x₁ – 3}/_{x1 – 2} = ^{x₂ – 3}/_{x2 – 2}
⇒x₁x₂ – 2x₁ – 3x₂ + 6 = x₁x₂ – 3x₁ – 2x₂ + 6
⇒ – 2x₁ + 3x₁ = – 2x₂ + 3x₂
⇒ x₁ = x₂
⇒x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ B
⇒ y = ^{x – 3}/_{x – 2}
⇒ xy – 2y = x – 3
⇒xy – x = 2y – 3
⇒ x = ^{2y – 3}/_{y – 1}
∵  y ∈ B এবং  B = R – {1}
∴ y ≠ 1 এর জন্য সর্বদা একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ।
অতএব চিত্রনটি এক-এক উপরিচিত্রণ অর্থাৎ চিত্রনটি বাইজেকশন্।
Ans: Ⓒ বাইজেকশন্

13. Signum Function f: R → R নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
f(x) = {1         যখন x > 0
               {0         যখন x = 0
               {-1        যখন x < 0
Ⓐ f চিত্রণটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়Ⓑ f চিত্রণটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়Ⓒ f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণⒹ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: 1, 2 ∈ R
f(1) = 1,    f(2) = 1
∴ f(1) = f(2) কিন্তু 1 ≠ 2
চিত্রণটি এক-এক অপেক্ষক নয়।
আবার, 3 ∈ R কিন্তু f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা {-1, 0, 1}
 অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓓ f চিত্রণটি এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

14. মনে করো, A = {x ∈ R: – 1 ≤ x ≤ 1} = B এবং f: A → B চিত্রণ f(x) = x|x| দ্বারা সংজ্ঞাত। f চিত্রণটি — 
Ⓐ বাইজেকটিভ্
Ⓑ f অপেক্ষকটি এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ f অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ্ নয় কিন্তু সারজেক্টিভ্
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = x|x|
      = {-x²         যখন -1 ≤ x ≤ 0
          { x²          যখন 0 <x ≤ 1
 -1 ≤ x ≤ 0 হলে -1 ≤ f(x) ≤ 0 হয়।               
আবার  0 < x ≤ 1 হলে 0 < f(x) ≤ 1 হয়।
x –এর প্রতিটি মানের জন্য f(x) –এর একটি করে ভিন্ন মান পাওয়া যায়।
f অপেক্ষকটি এক-এক।
একইভাবে f(x) –এর প্রতিটি মানের জন্য সর্বদা একটি প্রাগবিম্ব পাওয়া যায়।
f অপেক্ষকটি উপরিচিত্রণ।
∴ f অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ্।
Ans:   Ⓐ বাইজেকটিভ্                                             

15. মনে করো, f: N → N একটি চিত্রণ, যা নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x)= {x +1,    যখন x ∈ N অযুগ্ম
              {x – 1, যখন x ∈ N যুগ্ম            তবে f অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ শুধুমাত্র এক-এক
Ⓒ শুধুমাত্র উপরিচিত্রণ
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়
f(x) =
∴ f(1) = 1 + 1 = 2;      f(3) = 3 + 1 = 4;      f(5) = 5 + 1 = 6;    . . . . . .
   f(2) = 2 – 1 = 1;       f(4) = 4 – 1 = 3;       f(6) = 6 – 1 = 5;     . . . . . .
x অযুগ্ম হলে তার প্রতিবিম্ব সেট যুগ্ম হয় আবার x যুগ্ম হলে তার প্রতিবিম্ব সেট অযুগ্ম হয়।
Ans: Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ

16. যদি, f: [0, α) → [0, α) অপেক্ষকটি f(x) = ^x/_{1 + x} দ্বারা সংজ্ঞাত হয়, তবে ƒ অপেক্ষকটি হবে —
Ⓐ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓑ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓒ উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution: f: [0, α) → [0, α) এবং f(x) = ^x/_{1 + x}
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ [0, α)
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ ^x₁/_{1 + x1} = ^x₂/_{1 + x2}
⇒x₁ + x₁x₂ = x₂ + x₁x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ [0, α)
⇒ ^x/_{1 + x} = y
⇒ x = y + xy
⇒x = ^y/_{1 – y}
∵ y ∈ [0, α) ∴ y = 1 হলে x = ∞ হয়।
⇒ x ∉ [0, α) অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 1 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans: Ⓐ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ________

1. যে ক্ষেত্র (domain)-তে f(x) = 3x² – 2x এবং g(x) = 3(3x – 2) অপেক্ষক দুটি সমান তা হবে ________।
Ⓐ {1, ²/₃}      Ⓑ {1, 3}
Ⓒ {²/₃, 3}    Ⓓ {²/₃, 0}

Solution: f(x) = g(x)
⇒ 3x² – 2x = 3(3x – 2)
⇒ 3x² – 11x + 6 = 0
⇒3x² – 9x – 2x + 6 = 0
⇒ 3x(x – 3x) – 2(x – 3) = 0
⇒ (3x – 2)(x – 3) = 0
∴ x = ²/₃, 3
Ans: Ⓒ {²/₃, 3}

2. যদি A শূন্য সেট না হয়, তবে A-এর ওপর উপাদানস্থির অপেক্ষক হবে ________।
Ⓐ বাইজেকটিভ
Ⓑ সারজেকটিভ কিন্তু ইনজেকটিভ নয়
Ⓒ ইনজেকটিভ কিন্তু সারজেকটিভ নয়
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়। 

Solution: ধরি A = {1, 2}
A-এর ওপর উপাদানস্থির অপেক্ষক f(I) হলে,
  f(1) = 1,  f(2) = 2
∴ অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হবে।
Ans:  Ⓐ বাইজেকটিভ

3. মনে করো, সব x ∈Z এর জন্য f: Z → Z চিত্রণ f(x) = 3x – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f চিত্রণটি হল ________।
Ⓐ একটি উপরিচিত্রণ কিন্তু এক-এক নয়
Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়
Ⓒ বহু-এক অন্তঃচিত্রণ
Ⓓ বহু-এক উপরিচিত্রণ

Solution: f: Z → Z  এবং f(x) = 3x – 2
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ Z
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒ 3x₁ – 2  = 3x₂ – 2
⇒3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক
আবার ধরি, f(x) = y যেখানে y ∈ Z
⇒ 3x – 2 = y
⇒ 3x = y + 2
⇒x = y + 23
∴ y = 2 হলে x = ⁴/₃ হয়।
কিন্ত ⁴/₃ ∉ Z অর্থাৎ উপঅঞ্চলের 2 এর জন্য কোনো প্রাগবিম্ব পাওয়া যায় না।
সুতরাং চিত্রনটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans:  Ⓑ এক-এক কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়

4. যদি A = {x ∈ R: – 1 ≤x ≤1} = B হয়, তবে f(x) = sin πx দ্বারা সংজ্ঞাত B সেটে A সেটের চিত্রণটি ________।
Ⓐ ইনজেকটিভ
Ⓑ সারজেকটিভ
Ⓒ বাইজেকটিভ
Ⓓ কোনোটিই নয়

Solution:  0, 1 ∈ R: – 1 ≤ x ≤ 1
f(0) = sin 0 = 0,
f(1) = sin π = 0
∴ f(0) = f(1) কিন্তু 0  ≠ 1 →চিত্রণটি ইনজেকটিভ নয়।
 f(x) অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল [-1, 1]
আবার -1 ≤ sin πx ≤ 1
∴ f(x) অপেক্ষকটির পাল্লা  [-1, 1]
অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল = পাল্লা
অতএব f(x) অপেক্ষকটি সারজেকটিভ
Ans:  Ⓑ সারজেকটিভ

5. মনে করো, বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক f: R → R যা f(x) = [x] দ্বারা সংজ্ঞাত যেখানে [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা x-এর সমান বা তার চেয়ে ছোটো। তবে f অপেক্ষকটি হবে ________।
Ⓐ এক-এক এবং উপরিচিত্রণ
Ⓑ শুধুমাত্র এক-এক
Ⓒ শুধুমাত্র উপরিচিত্রণ
Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

Solution:  1.1, 1.2 ∈ R
f(1.1) = [1.1] = 1,   f(1.2) = [1.2] = 1
∴ f(1.1) = f(1.2) কিন্তু 1.1  ≠ 1.2 →চিত্রণটি এক-এক নয়।
আবার f: R → R চিত্রণটির উপঅঞ্চল R এবং পাল্লা Z  অর্থাৎ  উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
∴ চিত্রণটি উপরিচিত্রণ নয়।
Ans:  Ⓓ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ কোনোটিই নয়

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

1. বিবৃতি-A: ধ্রুবক অপেক্ষকের পাল্লা সর্বদা একটি একপদী সেট।
বিবৃতি-B: f(x) = k, (k ধ্রুবক) সব x ∈ A এর জন্য হলে  f(x) একটি ধ্রুবক অপেক্ষক।

Solution:  ধ্রুবক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের জন্য একটিমাত্র প্রতিবিম্ব থাকে।
তাই এক্ষেত্রে পাল্লা সর্বদা একপদী সেট হয়। → বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি B ও সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

2. বিবৃতি-A: বাইজেকটিভ অপেক্ষক বহু-এক অপেক্ষক হতেও পারে।
বিবৃতি-B: একটি অপেক্ষক এক-এক ও উপরিচিত্রণ হলে সেটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক।

Solution:  বাইজেকটিভ অপেক্ষক সর্বদা এক এক এবং উপরিচিত্রন হয়, বহু-এক চিত্রন হয় না।
বিবৃতি A মিথ্যা।
আবার বিবৃতি B সত্য।
Ans:  Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Assertion-Reasoning.

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ  বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I: f: R → R যেখানে f(x) = 2x² – 1, একটি এক-এক অপেক্ষক।
বিবৃতি-II: f(x) = f(y) সমাধান করে শুধুমাত্র x = y পাওয়া গেলে, f অপেক্ষকটি এক-এক অপেক্ষক হবে।

Solution:  -1, 1 ∈ R
f(-1) = 2(-1)² – 1 = 2 – 1 = 1
এবং  f(1) = 2(1)² – 1 = 2 – 1 = 1
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু -1  ≠ 1 → অপেক্ষকটি এক-এক নয়।
বিবৃতি-I মিথ্যা।
বিবৃতি-II:f(x) = f(y) সমাধান করে শুধুমাত্র x = y পাওয়া গেলে, f অপেক্ষকটি এক-এক অপেক্ষক হয়। বিবৃতি-II সত্য
Ans: Ⓓবিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

2. বিবৃতি-I(A): f: z → z যেখানে f(x) = x²একটি বহু-এক অপেক্ষক।বিবৃতি-II(R): x ≠ y -এর জন্য f(x) = f(y) হলে f(x) একটি বহু-এক অপেক্ষক।

Solution: বিবৃতি-I: f: z → z এবং f(x) = x²
-1, 1 ∈ Z
f(-1) = (-1)² = 1
এবং f(1) = (1)² = 1
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু  -1 ≠ 1
অপেক্ষকটি বহু-এক অপেক্ষক।→ বিবৃতি-I সত্য।
বিবৃতি-II x ≠ y -এর জন্য f(x) = f(y) হলে f(x) একটি বহু-এক অপেক্ষক।
বিবৃতি-II সত্য এবং বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

True and False

1. বিবৃতি-I: মনে করো, A = (0, 1), B = {2, 6} এবং f: A → B চিত্রন f(x) = 6 – 4x দ্বারা ও g: A → B চিত্রণ g(x) = x² – 5x + 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f = g
বিবৃতি-II:  মনে করো, সব x ∈ R-এর জন্য f: R → R চিত্রণ f(x) = x² + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে f চিত্রণ এক-এক কিংবা উপরিচিত্রণ নয়।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution:  A = (0, 1), B = {2, 6}
f(0) = 6 – 4.0 = 6
f(1) = 6 – 4.1 = 2
g(0) = 0² – 5.0 + 6 = 6
g(1) = 1² – 5.1 + 6 = 2
D_f = D_g এবংx ∈ D_f ও x ∈ D_g এর জন্য f(x) = g(x) হয়।
∴ f = g → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: f: R → R এবং f(x) = x² + 1
f(-1) = (-1)² + 1 = 2
এবং f(1) = (1)² + 1 = 2
∴ f(-1) = f(1) কিন্তু  -1 ≠ 1 অপেক্ষকটি বহু-এক অপেক্ষক।
f চিত্রণ এক-এক নয়।
অপেক্ষকটির উপঅঞ্চল R কিন্তু পাল্লা R⁺
∴ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
f চিত্রণ উপরিচিত্রণ নয়। → বিবৃতি-II সত্য।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

2. বিবৃতি-I: f: N → N চিত্রণ, যা f(x) = 3x দ্বারা সংজ্ঞাত, N সেটে ওই একই সেটের একটি এক-এক চিত্রণ কিন্তু উপরিচিত্রণ নয়।
বিবৃতি-II: f: R → R চিত্রণ, যা f(x) = x³ + 3x দ্বারা সংজ্ঞাত, R সেটে ওই একই সেটের একটি বাইজেকশন।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution:  f: N → N এবং f(x) = 3x
ধরি, x₁ ও x₂ ∈ N
⇒ f(x₁) = f(x₂)
⇒3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ অপেক্ষকটি এক-এক।
আবার f(x) এর উপঅঞ্চল N কিন্তু পাল্লা শুধুমাত্র 3 – এর গুণিতক
∴ উপঅঞ্চল ≠ পাল্লা
f চিত্রণ উপরিচিত্রণ নয়। → বিবৃতি-I সত্য।
f: R → R এবং f(x) = x³ + 3x
f`(x) = 3x² + 3 > 0
চিত্রণটি এক-এক।
x – এর সব মানের জন্য f(x) সন্তত।
চিত্রণটি উপরিচিত্রণ।
∴ চিত্রণটি বাইজেকশন।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

3. বিবৃতি-I: y² = x হলে, y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায়।
বিবৃতি-II: f(x) = ^x2/_x ও Φ(x) = x অপেক্ষক দুটি অভিন্ন।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution:  বিবৃতি-I: y² = x বা, x = ±√y
∴ x -এর একটি মানের জন্য y এর দুটি মান পাওয়া যায়।
অতএব y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায় না। → বিবৃতি I মিথ্যা।
বিবৃতি-II: f(x) = ^x2/_x সংজ্ঞাত হবে যদি x ∈ R – {0} হয় এবং  Φ(x) এর সংজ্ঞার অঞ্চল R
∴ Dom_f ≠ Dom_Φ
অতএব অপেক্ষক দুটি অভিন্ন নয়। → বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans:  Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

4. বিবৃতি-I:। মনে করো, কোনো সমতলে অঙ্কিত সব চতুর্ভুজের সেট A এবং সব ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট R⁺; f: A → R⁺ চিত্রন, যা f(X) = X চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল x দ্বারা সংজ্ঞাত, একটি এক-এক উপরিচিত্রণ।
বিবৃতি II: মনে করো, A = {- 1, 1, – 2, 2}, B = {3, 4, 5, 6} এবং f: A → B অপেক্ষক, f = {(1, 6), (- 1, 4), (2, 3), (- 2, 5)} দ্বারা সংজ্ঞাত। f একটি বাইজেটিভ্ অপেক্ষক।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

Solution: একই ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট চতুর্ভুজ বিভিন্ন আকারবিশিষ্ট হতে পারে। তাই অপেক্ষকটি এক এক নয়। বিবৃতি I মিথ্যা।
বিবৃতি II:

f চিত্রণটি এক-এক এবং উপরিচিত্রণ।
∴ চিত্রণটি বাইজেকশন।
Ans:  Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য

5. বিবৃতি-I: কোনো ধ্রুবক অপেক্ষকের উপ-অঞ্চলে কেবলমাত্র একটি পদ থাকলে অপেক্ষকটি একটি সারজেকটিভ অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-II: মনে করো, সব জটিল সংখ্যার সেট C এবং f: R → R ও g: C→ C অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x² ও g(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত; সেক্ষেত্রে f = g হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I সত্য।
বিবৃতি II: Dom_f = R কিন্তু Dom_g = C
∴ Dom_f ≠ Dom_g
অতএব f = g হবে না। → বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

6. বিবৃতি-I: মনে করো, A = {0, 1, 2, 3} B = {- 3, – 2, – 1, 0, 1} এবং সব x ∈ A র জন্য f: A → B অপেক্ষক f(x) = x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে, f একটি একৈক অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-II: কোনো ধ্রুবক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে কেবলমাত্র একটি পদ থাকলে অপেক্ষকটি একৈক হবে।
Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution:  f(0) = 0 – 3 = -3 ∈ B;
  f(1) = 1 – 3 = -2 ∈ B;
  f(2) = 2 – 3 = -1 ∈ B;
  f(3) = 3 – 3 = 0 ∈ B;
∴ f(x) এর সংজ্ঞার অঞ্চলের প্রতিটি পদের জন্য পৃথক প্রতিবিম্ব পাওয়া যায়।
f একটি একৈক অপেক্ষক হবে। → বিবৃতি I সত্য
আবার বিবৃতি II সত্য
Ans:. Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য

Ⓐ বিবৃতি I সত্য
Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা
Solution: বিবৃতি-I: f এর ক্ষেত্র =  {R} – {2},
g এর ক্ষেত্র =  R
∴ f এর ক্ষেত্র ≠ g এর ক্ষেত্র।
∴ f = g হবে না। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-II: f(x) = x² + 4x -1
∴ f(- 2) = (-2)² + 4(-2) -1
    = 4 -8-1 = -5 < 0
তাই f(- 2) -এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য

8. নীচের বিবৃতিগুলি বিবেচনা করো।
বিবৃতি-I: A একটি প্রদত্ত সেট এবং f: A → A একটি এক-এক অপেক্ষক হলে সেটি একটি উপরিচিত্রণ হবে।
বিবৃতি-II: A একটি প্রদত্ত সেট এবং f: A → A একটি উপরিচিত্রণ অপেক্ষক হলে সেটি একটি এক-এক অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-III: A একটি সসীম সেট হলে যে-কোনো অপেক্ষক f: A → A একটি বাইজেকশন হবে।
বিবৃতি-IV: যদি A একটি সসীম সেট এবং f: A → A একটি উপরিচিত্রণ হয়, তবে চিত্রণটি এক-এক হবে।
Ⓐ বিবৃতি I, IV সত্য
Ⓑ বিবৃতি II, IV সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II, IV সত্য
Ⓓ বিবৃতি IV সত্য

Solution: বিবৃতি-I: এক-এক অপেক্ষক সবসময় উপরিচিত্রণ হয় না।
যদি  পাল্লা এবং উপঅঞ্চল একই সসীম সেট হয় তবে একটি অপেক্ষক একই সঙ্গে এক-এক অপেক্ষক ও উপরিচিত্রণ হয়। → মিথ্যা
বিবৃতি-II: উপরিচিত্রণ হলেও সর্বদা এক-এক হয় না।→ মিথ্যা
বিবৃতি-III: যে-কোনো অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকশন নয়।→ মিথ্যা
বিবৃতি-IV: সসীম সেটে উপরিচিত্রণ হলে এক-এক হবেই। → সত্য
Ans: Ⓓ বিবৃতি IV সত্য

SOLUTION OF RELATIONS AND FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষক

Case Based

1. মনে করো, D হল সব বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট। আরও মনে করো, f: N → D চিত্রণ, যা f(x) = 2x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত এবং g: Z → Z চিত্রণ, যা g(x) = 2x – 3 সংজ্ঞাত।

[i] f অপেক্ষকটি —
Ⓐ ইনজেক্টিভ হবে না
Ⓑ সারজেকটিভ হবে না
Ⓒ ইনজেকটিভ্ কিন্তু সারজেকটিভ নয়
Ⓓ সারজেকটিভ

Solution:  f: N → D;
f(x) = 2x + 3 = 2(x + 1) + 1
2(x + 1) একটি জোড় সংখ্যা যখন x ∈ N
∴ 2(x + 1) + 1 = f(x) একটি বিজোড় সংখ্যা।
f -এর পাল্লা বিজোড় সংখ্যা এবং f -এর উপঅঞ্চল বিজোড় সংখ্যা।
যেহেতু পাল্লা = উপঅঞ্চল
∴ f অপেক্ষকটি সারজেকটিভ
Ans: Ⓓ সারজেকটিভ

[ii] g অপেক্ষকটি —
Ⓐ ইনজেক্টিভ্ নয়
Ⓑ সারজেক্টিভ্ নয়
Ⓒ বাইজেক্টিভ্
Ⓓ সারজেক্টিভ্

Solution: g: Z → Z;
g(x) = 2x – 3 = 2x – 3
         = 2(x – 1) – 1 2(x – 1) একটি জোড় সংখ্যা যখন x ∈ Z
∴ 2(x – 1) – 1 = g(x) একটি বিজোড় সংখ্যা।
g -এর পাল্লা বিজোড় সংখ্যা এবং g -এর উপঅঞ্চল অখণ্ড(Z) সংখ্যা।
যেহেতু পাল্লা ≠ উপঅঞ্চল
∴ g অপেক্ষকটি সারজেকটিভ নয়।
Ans: Ⓑ সারজেক্টিভ্ নয়

2. মনে করো, A = {- 1, – 2, 0, 1, 52, 3}, B = {- 6, – 5, 0, 1, 4, 9} এবং সব x ∈A এর জন্য f: A → B অপেক্ষক f(x) = 2x²– 3x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত।

[i] f অপেক্ষক —
Ⓐ এক-এক
Ⓑ বাইজেক্টিভ্
Ⓒ বহু-এক
Ⓓ কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² – 3x – 5
∴ f(-1) = 2(-1)² – 3(-1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0
f(52) = 2(52)² – 3(52) – 5 = 252 – 152 – 5 = 25 – 15 -102 = 0
A সেটের দুটি পদের (1 ও 52) একই প্রতিবিম্ব (0) B সেটে আছে।
তাই f অপেক্ষক বহু-এক অপেক্ষক।
Ans: Ⓒ বহু-এক

[ii] f(A) =
Ⓐ B         Ⓑ {9, -5, -6, 4}
Ⓒ {0, 9, -5, -6, 4}
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² – 3x – 5
A = {- 1, – 2, 0, 1, 52, 3}
∴ f(-1) = 2(-1)² – 3(-1) – 5 = 2 + 3 – 5 = 0
f(-2) = 2(-2)² – 3(-2) – 5 = 8 + 6 – 5 = 9
f(0) = 2(0)² – 3(0) – 5 = 0 – 0 – 5 = -5
f(1) = 2(1)² – 3(1) – 5 = 2 – 3 – 5 = -6
f(52) = 2(52)² – 3(52) – 5 = 252 – 152 – 5 = 25 – 15 -102 = 0
f(3) = 2(3)² – 3(3) – 5 = 18 – 9 – 5 = 4
∴ f(A) = {- 6, – 5, 0, 4, 9} = {- 6, – 5, 0, 1, 4, 9} Ans: Ⓒ {0, 9, -5, -6, 4}