prostuti

PROSTUTI

Category: SEMESTER-3

  • SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

    SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

    SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

    SOLUTION OF INCREASING AND DECREASING FUNCTION SNDEY SEMESTER-3

    INCREASING AND DECREASING FUNCTION

    বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক
    SEMESTER-3

    বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)                                                  প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
    Conventional Type

    1. a ≤ x ≤ b এবং a < x1 < x2 < b বিস্তারে f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হলে, a ≤ x ≤ b বিস্তারে f(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী হবে যখন-
    Ⓐ f(x2) > f(x1) যখন x2 > x1
    Ⓑ f(x2) < f(x1) যখন x2 > x1
    Ⓒ f(x2) > f(x1) যখন x2 < x1 
    Ⓓ f(x2) < f(x1) যখন x2 < x1

    Ans:  Ⓑ f(x2) < f(x1) যখন x2 > x1

    2. f: [0, 2] → R অপেক্ষকটি f(x) = x3 – 3x দ্বারা সংজ্ঞাত হলে, নিম্নোক্ত কোন্ পরিসরে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান?
    Ⓐ (1, 2)               Ⓑ (0, 1)
    Ⓒ (0, 2)              Ⓓ (1/2, 3/2)

    Solution: f(x) = x3 – 3x
    ∴ f’(x) = 3x2 – 3
               = 3(x2 – 1)
               = 3(x + 1)(x – 1)
    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হবে
            যদি f’(x) ≥ 0 হয়
    বা, 3(x + 1)(x – 1) > 0 হয়
    বা, (x + 1)(x – 1) > 0 হয় 
    ⇒ x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
    কিন্তু f: [0, 2] → R
    ∴ অপেক্ষকটি (1, 2) পরিসরে ক্রমবর্ধমান
    Ans: Ⓐ (1, 2)

    3. যদি f(x) = μx – sin x, x > 0, একটি সমক্রমী ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক হয় তবে-
    Ⓐ μ > – 1           Ⓑ μ < 1
    Ⓒ μ > 1               Ⓓ μ < – 1

    Solution: f(x) = μx – sin x, x > 0, অপেক্ষকটি সমক্রমী ক্রমবর্ধমান হবে
     যদি f’(x) ≥ 0 হয়
    বা, μ – cos x ≥ 0 হয়
    বা, μ ≥ cos x হয়।
     আবার cos x ≤ 1
    ∴ μ  ≥ 1
    Ans: Ⓒ μ > 1

    4. সঠিক বিকল্পটি নির্বাচন করো।
    Ⓐ f(x) = 2x – 3/4x + 5   (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
    Ⓑ ϕ(x) = sin x (0 ≤ x ≤ π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী
    Ⓒ f(x) = loge x (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
    Ⓓ f(x) = tan x (0 < x < π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

    \(Solution:\ Ⓐ f(x) = \frac{2x – 3}{4x + 5}\\∴ f’(x) = \frac{2(4x + 5) – 4(2x – 3)}{(4x + 5)^2}\\= \frac{8x + 10 – 8x + 12}{(4x + 5)^2}\\=\frac{22}{(4x + 5)^2}\\∵ x > 0\ ∴ \frac{22}{(4x + 5)^2}>0\)

    ⇒ f’(x) > 0
    ∴ f(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী → বিবৃতিটি ভুল
    Ⓑ ϕ(x) = sin x
    ∴ ϕ’(x) = cos x
        0 ≤ x ≤ π/2 বিস্তারে cos x ≥ 0
    ∴ ϕ(x) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী → বিবৃতিটি সঠিক
    Ans: Ⓑ ϕ(x) = sin x (0 ≤ x ≤ π/2) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী

    5. সঠিক বিকল্পটি নির্বাচন করো।
     Ⓐ x + 2/x + 1  (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহী
     Ⓑ sin x  (π/2 ≤ x ≤ π) অপেক্ষকটি একদিষ্ট আরোহীl
     Ⓒ f(x) = 1/x + 1 + 1/x + 2 + 1/x + 3  (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
      Ⓓ f(x) = ex অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

    Solution: Ⓐ f(x) = x + 2/x + 1
    = x + 1 + 1/x + 1 = 1 + 1/x + 1
    ∴ f’(x) = – 1/(x + 1) 2
    (x + 1) 2 ≥ 0
    ∴ f’(x) = – 1/(x + 1) 2 ≤ 0
    ∴ x + 2/x + 1  (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
    অতএব বিবৃতিটি ভুল
    Ⓑ sin x
    ∴ f’(x) = cos x
    π/2 ≤ x ≤ π বিস্তারে cos x সর্বদা ঋণাত্মক বা শূন্য হয়।
    ∴ f’(x) ≤ 0
    ∴ sin x  (π/2 ≤ x ≤ π) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
    অতএব বিবৃতিটি ভুলl
    Ⓒ f(x) = 1/x + 1 + 1/x + 2 + 1/x + 3
    ∴ f’(x) = – 1/(x + 1) 2 – 1/(x + 2) 2 – 1/(x + 3) 2
    ∴ f’(x) < 0
    f(x) = 1/x + 1 + 1/x + 2 + 1/x + 3  (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী
    অতএব বিবৃতিটি সঠিক।
    Ans: Ⓒ f(x) = 1/x + 1 + 1/x + 2 + 1/x + 3  (x > 0) অপেক্ষকটি একদিষ্ট অবরোহী

    6. মনে করো, f(x) = 2x – 1/3x + 4 একটি অপেক্ষক, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
    Ⓐ অপেক্ষকটি (1/2, ∞) অন্তরালে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓑ অপেক্ষকটি (- ∞, 1/2) অন্তরালে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓒ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র বর্ধিষ্ণু
    Ⓓ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র ক্ষয়িষ্ণু

    \(Solution:\ f(x) = \frac{2x – 1}{3x + 4}\\ ∴ f’(x) = \frac{2(3x + 4) – (2x – 1).3}{(3x + 4)^2}\\= \frac{6x + 8 – 6x + 3}{(3x + 4)^2}\\= \frac{11}{(3x + 4)^2}> 0\)

    ∴ অপেক্ষকটি x-এর যেকোনো মানের জন্য বর্ধিষ্ণু।
    Ans: Ⓒ অপেক্ষকটি R-এর সর্বত্র বর্ধিষ্ণু

    7. মনে করো, f(x) = x(4x2 – 3) একটি অপেক্ষক, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
    Ⓐ অপেক্ষকটি [1/2, ∞) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
    Ⓑ অপেক্ষকটি (- ∞, 1/2] অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
    Ⓒ অপেক্ষকটি [1/2, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
    Ⓓ অপেক্ষকটি (-1/2, 1/2) অন্তরালে ক্রমবর্ধান

    Solution: f(x) = x(4x2 – 3)
    = 4x3 – 3x
    ∴ f’(x) = 12x2 – 3
    = 12(x2 – 1/4)
    ⇒ 12[(x)2 – (1/2)2]
    = 12(x + 1/2)(x – 1/2)

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | -1/2     1/2 -∞ -∞

    ∴ x < – 1/2 এবং x > 1/2 হলে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।
    ∴ x ∈  [1/2, ∞) অন্তরালে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।
    Ans: Ⓒ অপেক্ষকটি [1/2, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান

    ৪. যে অন্তরালে f(x) = 2x2 – log|x|  ( x ≠ 0) অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান, তা হল-
    Ⓐ 0 < x < 1/2
    Ⓑ x < – 1/2
    Ⓒ – 1/2 < x অথবা x > 1/2
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: f(x) = 2x2 – log|x|

    \(∴ f’(x) = 4x – \frac{1}{x}\\=\frac{4x^2 – 1}{x}\\= \frac{4}{x}\left(x^2-\frac{1}{4}\right)\\= \frac{4}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\) f’(x) = 0 হলে,\(\quad \frac{4}{x}\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=0\\⇒\frac{4}{x}\left[(x^2-\left( \frac{1}{2}\right)^2 \right]=0\\⇒ \frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=0\)
    f’(x)-এর চিহ্ন (+)  (-)     (-)   (+) |     |     | -1/2     0     1/2 -∞ -∞

     ∴ [-1/2 , 0) এবং  [1/2 , ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
    ∴ [- 1/2, 0) এবং  [1/2 , ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
    Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    9. f(x) = 3/x + x/3 অপেক্ষক
    Ⓐ (- ∞, – 3] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓑ (- 3, 0) ∩ (0,3) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓒ [-3, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓓ (- 3, 0) ∪ (0,3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    Solution: f(x) = 3/x + x/3
    ∴ f’(x) = – 3/x2 + 1/3
                  =   1/3  – 3/x2
    f’(x) = 0 হলে, 
            1/3  – 3/x2 = 0
    বা, 3/x2 = 1/3
    বা, x2 = 9
    ∴ x = ±3

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)  (-)     (-)   (+) |     |     | -3     0      3 -∞ -∞

    (-∞, -3] U [3, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
    ∴ (-∞, -3] U [3, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
    Ans:Ⓐ (- ∞, – 3] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    10. f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1 অপেক্ষক-
    Ⓐ (- ∞, 2] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓑ (2, 3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓒ (- ∞, 2) ∪ (3, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু 
    Ⓓ (2, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

    Solution: f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1                                            
    ∴ f’(x) = 6x2 – 30x + 36
    = 6(x2 – 5x + 6)
    = 6(x2 – 3x – 2x + 6)
    == 6[x(x – 3) – 2(x – 3)]
    = 6(x – 3)(x – 2)
    f’(x) = 0 হলে,
        6(x – 3)(x – 2) = 0
    ⇒ (x – 3)(x – 2) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | 2      3 -∞ -∞

    (-∞, 2] U [3, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
    ∴ (-∞, 2] U [3, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
    Ans: Ⓐ (- ∞, 2] ∪ [3, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু 

    11. f(x) = x3 – 12x2 + 36x + 17 অপেক্ষক-
    Ⓐ (-∞, 2] ∩ [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓑ (2, 7] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓒ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓓ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    Solution: f(x) = x3 – 12x2 + 36x + 17                                             
    ∴ f’(x) = 3x2 – 24x + 36
    = 3(x2 – 8x + 12)
    = 3(x2 – 6x – 2x + 12)
    ⇒ 3[x(x – 6) – 2(x – 6)]
    = 3(x – 6)(x – 2)
    f’(x) = 0 হলে,
          3(x – 6)(x – 2) = 0
    ⇒ (x – 6)(x – 2) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | 2      6 -∞ -∞

       (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
    ∴ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
    Ans:     Ⓓ (-∞, 2] U [6, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    12. f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 15 অপেক্ষক-
    Ⓐ (1, 4] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓑ [1, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓒ (1, 3) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓓ (-∞, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    Solution: f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 15                                         
    ∴ f’(x) = 3x2 – 12x + 9
    = 3(x2 – 4x + 3)
    = 3(x2 – 3x – x + 3)
    = 3[x(x – 3) – 1(x – 3)]
    ⇒ 3(x – 3)(x – 1)
    f’(x) = 0 হলে,
          3(x – 3)(x – 1) = 0
    ⇒ (x – 3)(x – 1) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | 1      3 -∞ -∞

        [1, 3]  বিস্তারে f’(x) ≤ 0
    ∴ [1, 3] বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু
    Ans: Ⓑ [1, 3] বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

    13. f(x) = 4x3 + 6x2 – 24x + 1 অপেক্ষক-
    Ⓐ [-2, 1] বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান
    Ⓑ (-2, 1) বিস্তারে ক্রমবর্ধমান
    Ⓒ (2, 1) বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান
    Ⓓ (2, 1) বিস্তারে ক্রমবর্ধমান

    Solution: f(x) = 4x3 + 6x2 – 24x + 1                                    
    ∴ f’(x) = 12x2 + 12x – 24 = 12(x2 + x – 2)
    = 12(x2 + 2x – x – 2)
    = 12[x(x + 2) – 1(x + 2)]
    = 12(x + 2)(x – 1)
    f’(x) = 0 হলে,
         12(x + 2)(x – 1) = 0
    ⇒ (x + 2)(x – 1) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | -2      1 -∞ -∞

    [-2, 1]  বিস্তারে f’(x) ≤ 0
    ∴ [-2, 1] বিস্তারে অপেক্ষকটি ক্রমহ্রাসমান
    Ans: Ⓐ [-2, 1] বিস্তারে ক্রমহ্রাসমান

    14. f(x) = (x – 1)3 (x – 2)2 অপেক্ষক
    Ⓐ (- ∞, 8/5] ∪ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓑ [8/5, 2) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓒ (- ∞, 1) ∪ (8/5, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু
    Ⓓ (1, 2) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু

    Solution: f(x) = (x – 1)3 (x – 2)2
    ∴ f’(x) = 3(x – 1)2(x – 2)2 + (x – 1)3.2(x – 2)
    = (x – 1)2(x – 2)[3(x – 2) + 2(x – 1)]
    = (x – 1)2(x – 2)(5x – 8)
    ⇒ 5(x – 1)2(x – 2)(x – 8/5)
    f’(x) = 0 হলে,
          5(x – 1)2(x – 2)(x – 8/5) = 0
    ⇒ (x – 1)2(x – 2)(x – 8/5) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)  (+)     (-)   (+) |     |     | 1     8/5     2 -∞ -∞

    (- ∞, 8/5] এবং (2, ∞) বিস্তারে f’(x) ≥ 0
    ∴ (- ∞, 8/5] ∪ (2, ∞) বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু
    Ans: Ⓐ (- ∞, 8/5] ∪ (2, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু

    15. f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 7 অপেক্ষকটি
    Ⓐ (-∞, -2) অন্তরালে যথার্থ বর্ধিষ্ণু এবং (-2, ∞) অন্তরালে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓑ (-∞, 3) অন্তরালে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু এবং (3,∞) অন্তরালে যথার্থ বর্ধিষ্ণু
    Ⓒ (-∞, -2) U (3, ∞)-তে যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓓ (-2, 3) -এ যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু

    Solution:: f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 7                                    
    ∴ f’(x) = 6x2 – 6x – 36
    = 6(x2 – x – 6)
    = 6(x2 – 3x + 2x – 6)
    ⇒ 6[x(x – 3) + 2(x – 3)]
    = 6(x – 3)(x + 2)
    f’(x) = 0 হলে,
         6(x – 3)(x + 2) = 0
    ⇒ (x – 3)(x + 2) = 0

    f’(x)-এর চিহ্ন (+)     (-)      (+) |      | -2      3 -∞ -∞

    (- 2, 3) -এ f’ (x) < 0
    ∴ (- 2, 3) -এ  অপেক্ষকটি যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু
    Ans: Ⓓ (-2, 3) -এ যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু

    16. যদি x > 0 হয়, তবে নীচের বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
    Ⓐ x < log(x2 + 1)
    Ⓑ log(1 + x) ≤ x
    Ⓒ x < sin x
    Ⓓ x2 > (1 + x) [log(1 + x)]2

    Solution: Ⓐ ধরি, f(x) = x – log(x2 + 1)
    f(0) = 0 – log(02 + 1) = 0
    ∴ f’(x) = 1 – 1/x2 + 1.2x
    = x2 + 1 – 2x/x2 + 1
    = (x – 1)2/x2 + 1 > 0, ∀x > 0
    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
        x > 0
    ∴ f(x) > f(0)
    ⇒ x – log(x2 + 1) > 0
    ⇒ x > log(x2 + 1) → বিবৃতিটি ভুল

    Ⓑ ধরি, g(x) = x – log(1 + x)
    g(0) = 0 – log(1 + 0) = 0
    ∴ g’(x) = 1 – 1/1 + x
    = 1 + x – 1/1 + x
    = x/1 + x > 0, ∀x > 0
    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
        x > 0
    ∴ g(x) > g(0)
    ⇒ x – log(1 + x) > 0
    ⇒ log(1 + x) < x → বিবৃতিটি ভুল

    Ⓒ ধরি, h(x) = x – sin x
    h(0) = 0 – sin 0 = 0 – 0 = 0
    ∴ h’(x) = 1 – cos x
         = 2sin2 x/2 > 0, ∀x > 0
    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
        x > 0
    ∴ h(x) > h(0)
    ⇒ x – sin x > 0
    ⇒ x > sin x → বিবৃতিটি ভুল

    \(Ⓓ\ x^2 > (1 + x) [log(1 + x)]^2\\⇒  x > \sqrt{1 + x}.log(1 + x)\\Let,\ φ(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x}} – log(1 + x)\\φ(0) = \frac{0}{\sqrt{1 + 0}}-log(1 + 0) = 0 – 0 = 0\\∴ φ’(x) = \frac{1.\sqrt{1 + x} – x.\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}}{1+x}-\frac{1}{1+x}\\= \frac{2(1 + x) – x}{2(1 + x)\sqrt{1 + x}} – \frac{1}{1+x}\\=\frac{2 + x}{2(1 + x)\sqrt{1 + x}} – \frac{1}{1+x}\\= \frac{2 + x – 2\sqrt{1 + x}}{2(1 + x)\sqrt{1 + x}}> 0, ∀x > 0\)

    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান
       x > 0
    ∴ φ (x) > φ (0)
    ⇒ x/√(1 + x) – log(1 + x) > 0
    ⇒ x/√(1 + x) > log(1 + x)
    বা, x > √(1 + x).log(1 + x)
    ⇒ x2 > (1 + x) [log(1 + x)]2→ বিবৃতিটি সঠিক
    Ans: Ⓓ x2 > (1 + x) [log(1 + x)]2

    17. যদি \( 1+xlog(x+\sqrt{x^2+1}>\sqrt{1+x^2}\) হয়, তবে-

    Ⓐ x > 0       Ⓑ x < 0
    Ⓒ x ≥ 0       Ⓓ x ≤ 0

    Solution: ধরি,\( \ f(x)=1+xlog(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{1+x^2}\)

    ∴ f(0) = 1 + 0 – 1 = 0

    \(∴ f’(x) = 0 + 1. log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+x.\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1})+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\=log(x + \sqrt{x^2+1}) >0\, ∀_x 0\)

    ∵ x > 0      ∴ f’(x) > 0
    ∴ x > 0 এর জন্য
    f(x) >f(0)   

    \(⇒ 1+xlog(x + \sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}0\\⇒ 1+xlog(x + \sqrt{x^2+1})>\sqrt{x^2+1}\\Ans:\ Ⓐ\ x > 0\)

    18. x > 0 হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
    Ⓐ x > log(1 + x) ≥ x/1 + x
    Ⓑ x – x2/2 < log(1 + x) < x – x2/2(x + 1)

    \(Ⓒ\ log(x + \sqrt{1 + x^2} x\\Ⓓ\ log(x + \sqrt{1 + x^2} tan^{-1} x\)

    Solution: Ⓐ ধরি, f(x) = x – log(1 + x)
    ∴ f’(x) = 1 – 1/1 + x =  x/1 + x
    ∵ x > 0
    ∴ f’(x) > 0
      f(0) = 0 – log1 = 0
    তাই x > 0 এর জন্য f(x) > f(0)
    বা, x – log(1 + x) > 0
    বা, x > log(1 + x)
    আবার ধরি, g(x) = log(1 + x) – x/(1 + x)

    \(∴g’(x) = \frac{1}{1+x} – \frac{1(1+x)-x.(0+1)}{(1+x)^2}\\=\frac{1}{1+x} – \frac{1}{(1+x)^2}\\=\frac{x}{(1+x)^2}\)

    ∵ x > 0      ∴ g’(x) > 0
    g(0) = log(1 + 0) – 0/(1 + 0) = 0
    তাই x > 0 এর জন্য,
         g(x) > 0
    বা, log(1 + x) – x/(1 + x) > 0
    বা, log(1 + x) > x/(1 + x)
    কিন্তু log(1 + x) ≥ x/(1 + x)→ মিথ্যা

    Ⓑ f(x) = x – x2/2 – log(1 + x)
    ∴ f(0) = 0 – 0 – log1 = 0 > 0
    ∴ f’(x) = 1 – 2x/2 – 1/1 + x
       = 1 + x – x – x2 – 1/1 + x
        = –x2/1 + x

    আবার ধরি, g(x) = log(1 + x) – x + x2/2(x + 1)
    ∴ g(0) = log(1 + 0) – 0 + 0/2(0 + 1)
        = log1 = 0

    \(∴ g’(x) =\frac{1}{1+x}–1+\frac{1}{2}.\frac{2x.(x + 1)-x^2 (1 + 0)}{(x + 1)^2}\\=\frac{1}{1+x}–1+\frac{1}{2}.\frac{2x^2+2x-x^2}{(x + 1)^2}\\=\frac{1}{1+x}–1+\frac{x^2+2x}{2(x + 1)^2}\\=\frac{2(x + 1)-2(x + 1)^2+ x^2+ 2x}{(x + 1)^2}\\=\frac{2x+2-2x^2-4x-2+x^2+2x}{2(x + 1)^2}\\=-\frac{x^2}{(x + 1)^2}\)

    ∵ x > 0
    ∴ f’(x) < 0
    x > 0 এর জন্য,
          f(x) < 0
    বা, log(1 + x) – x + x2/2(x + 1)< 0
    বা, log(1 + x) < x – x2/2(x + 1)
    Ans:  Ⓑ x – x2/2 < log(1 + x) < x – x2/2(x + 1)

    19. যদি x-এর মান বাস্তব হয়, তবে a প্যারামিটারের যেসব মানের জন্য y = ax3 + 3x2 + (2a + 1)x + 1000 যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু সেই মানগুলি হবে- 
    Ⓐ a ≤ – 3/2       Ⓑ a < – 3/2
    Ⓒ a > 3/2           Ⓓ a ≥ 3/2

    Solution: y = ax3 + 3x2 + (2a + 1)x + 1000
    ∴ y’ = 3ax2 + 6x + 2a + 1
    অপেক্ষকটি যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি,
          y’ < 0
    বা, 3ax2 + 6x + 2a + 1 < 0 হয়।
    অর্থাৎ 3a < 0
           বা, a < 0 . . .  (i)
    এবং নিরূপক < 0
    বা, (6)2 – 4.3a.(2a + 1) < 0
    বা, 36 – 24a2 – 12a < 0
    ⇒ 3 – 2a2 – a < 0
    বা, 2a2 + a – 3 > 0
    বা, 2a2 + 3a – 2a – 3 > 0
    ⇒ a(2a + 3) – 1(2a – 3) > 0
    বা, (2a + 3)(a – 1) > 0
    বা, (a + 3/2)(a – 1) > 0
     ∴ a < – 3/2 এবং a > 1 . . .  (ii)
    (i) ও (ii) থেকে বলা যায় অপেক্ষকটি যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি a < – 3/2 হয়।
    Ans: Ⓑ a < – 3/2

    20. 2sin θ + cos θ/3sin θ + 4cos θ অপেক্ষক ক্রমবর্ধমান হবে, θ -এর যে মানের জন্য তা হল-
    Ⓐ θ ∈ Z        Ⓑ θ ∈ W
    Ⓒ θ ∈ R        Ⓓ θ ∈ N

    Solution: ধরি, f(θ) = 2sin θ + cos θ/3sin θ + 4cos θ 
    ∴ f’(θ) = (2cos θ – sin θ)(3sin θ + 4cos θ) – (3cos θ – 4sin θ)(2sin θ + cos θ)/(3sin θ + 4cos θ)2
    = 6sin θcos θ + 8cos2 θ – 3sin2 θ – 4sin θcos θ – 6sin θcos θ – 3cos2 θ + 8sin2 θ + 4sin θcos θ /(3sin θ + 4cos θ)2
    = 5cos2 θ + 5sin2 θ/(3sin θ + 4cos θ)2
    =5(cos2 θ + sin2 θ)/(3sin θ + 4cos θ)2
    = 5/(3sin θ + 4cos θ)2 > 0
    θ এর যেকোনো মানের জন্য f’(θ) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
    ∴ θ ∈ R
    Ans:  Ⓒ θ ∈ R

    SEMESTER-3
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

    👉 UNIT-2       বীজগণিত

    👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

    👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

    👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

    Analytical/Skill Based Type
    Fill in the Blanks

    1. f(x) = x + 1/x (x ≠ 0) অপেক্ষক সব _________ তে ক্ষয়িষ্ণু।
    Ⓐ x ∈ [- 1, 0) ∪ (0, 1]
    Ⓑ x ∈ (- 1, 0) ∪ (0, 1)
    Ⓒ x ∈ [- 1, 0] ∪ [0, 1]
    Ⓓ x ∈ (- 1, 1)

    Solution: f(x) = x + 1/x
    ∴ f’(x) = 1 – 1/x2
    = x2 – 1/x2
    = (x + 1)(x – 1)/x2
    f(x) ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি
           (x + 1)(x – 1)/x2 ≤ 0 হয়
    বা, (x + 1)(x – 1) ≤ 0 হয়
    ∴ x ∈ [-1, 1] – {0}
    Ans: Ⓐ x ∈ [- 1, 0) ∪ (0, 1]

    2. f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 18 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু হবে যখন x ∈ _________।
    Ⓐ R        Ⓑ R+
    Ⓒ R–       Ⓓ N

    Solution: f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 18
    ∴ f’(x) = 3x2 – 12x + 12
    = 3(x2 – 4x + 4)
    = 3(x – 2)2
    f(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি 3(x – 2)2  ≥ 0 হয়।
     x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য 3(x – 2)2  ≥ 0
    অর্থাৎ f’(x) ≥ 0 হবে।
    ∴ অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু হবে যখন x ∈ R
    Ans: Ⓐ R

    3. f(x) = (x – 1)ex + 1 > 0 হবে যখন x ∈ _________ I
    Ⓐ R          Ⓑ R+
    Ⓒ R–        Ⓓ N

    Solution: f(x) = (x – 1)ex + 1
    ∴ f(0) = (0 – 1)e0 + 1 = – e0 + 1 = -1 + 1 = 0
    ∴ f’(x) = 1. ex + (x – 1)ex
         = (1 + x – 1)ex
          = xex > 0 যখন x > 0
    এখন x > 0 হলে,
          f((x) > f(0)
    ⇒ (x – 1)ex + 1 > 0
    Ans: Ⓑ R+

    4. 5 + 24x + 3x2 – x3 অপেক্ষক ক্রমবর্ধমান _________ বিস্তারে।
     Ⓐ – 2 < x < 4          Ⓑ – 2 < x ≤ 4
    Ⓒ – 2 ≤ x < 4          Ⓓ – 2 ≤ x ≤ 4

    Solution: f(x) = 5 + 24x + 3x2 – x3
    ∴ f’(x) = 24 + 6x – 3x2
    = -3(x2 – 2x – 8)
    = -3(x2 – 4x + 2x – 8)
    == -3[x(x – 4) + 2(x – 4)]
    = -3(x – 4)(x + 2)
    অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হবে যদি,
          f’(x) > 0 হয়
    বা,  -3(x – 4)(x – 2) > 0 হয়
    বা, (x – 4)(x – 2) < 0 হয়।
    ∴ x ∈ (-2, 4)
    Ans:  Ⓓ – 2 ≤ x ≤ 4

    5. f(x) = x – |x – a| অপেক্ষক বর্ধিয়ু, যেখানে a যে-কোনো বাস্তব সংখ্যা তবে x ∈ _________
    Ⓐ R               Ⓑ N
    Ⓒ W             Ⓓ Z

    Solution:
f(x) = x - |x - a|
     = {x - [-(x - a)] যখন x < a
       {x - (x - a) যখন x ≥ a
     = {x + x - a যখন x < a
       {x - x + a যখন x ≥ a
     = {2x - a যখন x < a
       {a যখন x ≥ a
∴ f’(x) = {2 যখন x < a
          {0 যখন x ≥ a      

    f(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি f’(x) > 0 হয়।
    ∴ f’(x) > 0 ∀x ∈ R
    Ans: Ⓐ R

    Column Matching

    1. বামদিকের স্তম্ভটির সঙ্গে ডানদিকের স্তম্ভটি মেলাও।

                           স্তম্ভ A                 স্তম্ভ B
    [i] x2 – 6x + 7 ক্ষয়িষ্ণু হবে[a] (-∞, -1] ∪ [2, ∞) বিস্তারে
    [ii] 2x3 – 3x2 – 12x + 4 বর্ধিষ্ণু হবে[b] [1, 3] বিস্তারে
    [iii] 4 – 9x + 6x2 – x3 বর্ধিষ্ণু হবে[c] (-∞, 3]
    [iv] sin x – cos x (0 < x < 2π) বর্ধিষ্ণু হবে[d] (0, 3π/4] ∪ [7π/4, 2π)

    Solution: [i] f(x) = x2 – 6x + 7
    ∴ f’(x) = 2x – 6
             f(x) ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি
         f’(x) ≤ 0 হয়
    ⇒ 2x – 6 ≤ 0 হয়
    ⇒ x ≤ 3 হয়।
    ∴ x2 – 6x + 7 ক্ষয়িষ্ণু হবে (-∞, 3] বিস্তারে। → [c]

    [ii] g(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 4
    ∴ g’(x) = 6x2 – 6x – 12
    = 6[x2 – x – 2]
    =  6[x2 – 2x + x – 2]
    =6[x(x – 2) + 1(x – 2)]
    = 6(x – 2)(x + 1)
     g(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি
        g’(x) ≥ 0 হয়
    ⇒ 6(x – 2)(x + 1) ≥ 0 হয়
    ⇒ (x – 2)(x + 1) ≥ 0 হয়।
    ∴ x ≤ -1 এবং x ≥ 2
    বা, x ∈ (-∞, -1] ∪ [2, ∞) হলে (x – 2)(x + 1) ≥ 0
    ∴ 2x3 – 3x2 – 12x + 4 বর্ধিষ্ণু হবে (-∞, -1] ∪ [2, ∞) বিস্তারে। → [a]

    [iii] h(x) = 4 – 9x + 6x2 – x3
    ∴ h’(x) = -9 + 12x – 3x2
    = -3[x2 – 4x + 3]
    = -3[x2 – 3x – x + 3]
    =-3[x(x – 3) – 1(x – 3)]
    = -3(x – 3)(x – 1)
      h(x) বর্ধিষ্ণু হবে যদি
         h’(x) ≥ 0 হয়
    ⇒ -3(x – 3)(x – 1) ≥ 0 হয়
    ⇒ (x – 3)(x – 1) ≤ 0 হয়।
    ∴ x ∈ [1, 3] হলে -3(x – 3)(x – 1) ≥ 0
    ∴ 4 – 9x + 6x2 – x3 বর্ধিষ্ণু হবে [1, 3] বিস্তারে → [b]

    [iv] p(x) = sin x – cos x
    ∴ p’(x) = cos x + sin x
    = √2[1/√2cos x + 1/√2sin x]
    = √2[sin π/4.cos x + cos π/4.sin x]
    =√2[sin (x + π/4)
    p(x) বর্ধিষ্ণু হবে
         যদি p’(x) ≥ 0 হয়
    ⇒ √2sin (x + π/4) ≥ 0 হয়।
    sin (x + π/4) ≥ 0 হবে
         যখন 0 ≤ x + π/4 ≤ π হয়
    ⇒ –π/4 ≤ x ≤ 3π/4 হয়
    ∴ x ∈ (0, 3π/4]. . . [∵ 0 < x < 2π]
    আবার sin (x + π/4) ≥ 0 হবে
         যখন 2π ≤ x + π/4 ≤ 3π হয়
    ⇒ 7π/4 ≤ x ≤ 11π/4 হয়
    ∴ x ∈ [7π/4, 2π) . . . [0 < x < 2π]
    ∴ (0, 3π/4 ] ∪ [7π/4, 2π) বিস্তারে sin x – cos x [∵ 0 < x < 2π] বর্ধিষ্ণু হবে। → [d]
    Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]

    2. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

                  স্তম্ভ A                           স্তম্ভ B
    [i] f(x) = cos 2x[a] (0, π/4) অন্তরালে বর্ধিষ্ণু
    [ii] ϕ(x) = x2 – x + 1[b] x = 3π/4 বিন্দুতে বর্ধিষ্ণু
    [iii] g(x) = |x||[c] (-1, 1) -এ বর্ধিষ্ণু বা ক্ষয়িষ্ণু কোনোটিই নয়
    [iv] h(x) = sin x[d] (0, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান

    Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]
    Ⓑ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]
    Ⓒ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
    Ⓓ[i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]

    Solution: [i] f(x) = cos 2x
    ∴ f’(x) = – 2sin 2x
    ∴ f’(3π/4) = – 2sin 2.3π/4
    = – 2sin 3π/2
    = -2.(-1) = 2 > 0
    f(x) অপেক্ষকটি 3π/4 বিন্দুতে বর্ধিষ্ণু → [b]
    [ii] ϕ(x) = x2 – x + 1
    ∴ ϕ’(x) = 2x – 1
    ϕ’(x) < 0 হলে,
           2x – 1 < 0
    বা, x < 1/2
    ∴ -1 < x < 1/2 হলে ϕ’(x) < 0 হয় অর্থাৎ অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু হয়।
    আবার ϕ’(x) > 0 হলে,
          2x – 1 > 0
    বা, x > 1/2
    ∴ 1/2 < x < 1 হলে ϕ’(x) > 0 হয় অর্থাৎ অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু হয়।
    ∴  (-1, 1) -এ বর্ধিষ্ণু বা ক্ষয়িষ্ণু কোনোটিই নয়।  → [c]

    [iii] g(x) = |x| = x  যখন x  ∈ (0, ∞)
    ∴ g’(x) = 1
    ⇒ g’(x) > 0
    g(x) অপেক্ষকটি  (0, ∞) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান → [d]
    [iv] h(x) = sin x
    ∴ h’(x) = cos x ∴
    (0, π/4) অন্তরালে,
          cos x > 0
    ⇒ h(x) অপেক্ষকটি (0, π/4) অন্তরালে বর্ধিষ্ণু → [a]
    Ans: Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]

    INCREASING AND DECREASING FUNCTION

    আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

    Rearrangement of Sentences/Events

    1. 0 < x < π/2 হলে, sin x < x < tan x প্রমাণ করার ধাপগুলি হল-
    [i] g(x) > g(0) ⇒ tan x – x > 0 ⇒ tan x > x ∀x0 < x < π/2
    [ii] f(x) > f(0) ⇒ x – sin x > 0 ⇒ x > sin x ∀x0 < x < π/2
    [iii] f'(x) = 1 – cos x এবং g'(x) = sec2 x – 1
    [iv] sin x < x < tan x
    [v] f(x) = x – sin x এবং g(x) = tan x – x
    [vi] f'(x), g’(x) > 0 ∀x0 < x < π/2

    ধাপগুলির সঠিক ক্রম-
      Ⓐ [v]-[iii]-[vi]-[ii]-[i]-[iv]
      Ⓑ [v]-[vi]-[iii]-[ii]-[i]-[iv]
      Ⓒ [v]-[iii]-[ii]-[vi]-[i]-[iv]
      Ⓓ [v]-[vi]-[ii]-[iii]-[i]-[iv]

    Solution: [v] প্রথমে ফাংশন দুটি ধরতে হবে।
          ধরি, f(x) = x – sin x এবং g(x) = tan x – x
    [iii] এরপর ফাংশন দুটির অন্তরকল নির্ণয় করতে হবে।
          f'(x) = 1 – cos x এবং g'(x) = sec2 x – 1
    [vi] চিহ্ন যাচাই করতে হবে।
          0 < x < π/2 বিস্তারে,
        0 < cos x < 1
    ∴ 1 – cos x > 0
    ⇒ f'(x) > 0
    এবং sec2 x > 1
    ∴ sec2 x – 1 > 0
    ⇒ g'(x) > 0
    ∴  f(x) এবং g(x) ক্রমবর্ধমান
    [ii] x > sin x প্রমান করতে হবে।
        f(x) ক্রমবর্ধমান
    ∴ f(x) > f(0)
    ⇒ x – sin x > 0
    ⇒ x > sin x
    [i] tan x > x প্রমান করতে হবে।
        g(x) ক্রমবর্ধমান
    ∴ g(x) > g(0)
    ⇒ tan x – x > 0
    ⇒ tan x > x
    [iv] sin x < x < tan xপ্রমান করতে হবে।
    ∵ x > sin x এবং tan x > x
    ∴ sin x < x < tan x
    Ans:  Ⓐ [v]-[iii]-[vi]-[ii]-[i]-[iv]

    Assertion-Reasoning

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
     Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি I। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি।-এর সঠিক কারণ।
     Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
     Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি ।। সঠিক নয়।
     Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    1. বিবৃতি-I(A): f(x) = (x + 2)e-x অপেক্ষকটি [-1, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু।
        বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষক f(x), S সেটে ক্ষয়িষ্ণু হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি সব x ∈ S এর জন্য f'(x) ≥ 0 হয়।

    Solution: বিবৃতি-I(A): f(x) = (x + 2)e-x
    ∴ f’(x) = 1. e-x + (x + 2) e-x(-1)
       = e-x(1 – x – 2)
       = -(1 + x)e-x
    [-1, ∞) বিস্তারে অর্থাৎ x ≥ -1 এর জন্য (1 + x) ≥ 0 এবং e-x > 0 হবে
    ∴ -(1 + x)e-x ≤ 0 হবে  
    ∴ f’(x)  ≤ 0
    অতএব f(x) = (x + 2)e-x অপেক্ষকটি [-1, ∞) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু। → বিবৃতিটি সঠিক
    বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষক f(x), S সেটে ক্ষয়িষ্ণু হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি সব x ∈ S এর জন্য f'(x) ≥ 0 হয়।
    ∴ বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

    2. বিবৃতি-I(A): x = 4 বিন্দুতে 4x2 – 6x – 11 অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু
        বিবৃতি-II(R): যদি f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে x = a বিন্দুতে অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু হবে যখন f'(a) > 0

    Solution: বিবৃতি-I(A): f(x) = 4x2 – 6x – 11
    ∴ f’(x) = 8x – 6
    ∴ f’(4) = 8.4 – 6 = 26
    ∴ f’(4) > 0
    অতএব x = 4 বিন্দুতে 4x2 – 6x – 11 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু → বিবৃতিটি সঠিক
    বিবৃতি-II(R): যদি f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে x = a বিন্দুতে অপেক্ষকটি যথার্থ বর্ধিষ্ণু হবে যখন f'(a) > 0 → বিবৃতিটি সঠিক
    Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।

    True and False

    1. যদি 0 < x < π/2  হয়, তবে- 
       বিবৃতি-I: sin x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
       বিবৃতি-II: cos x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
       বিবৃতি-III: tan x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক
    Ⓐ বিবৃতি I, II সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য
    Ⓓ বিবৃতি । সত্য

    Solution: বিবৃতি-I: f(x) = sin x
    ∴ f’(x) = cos x
       0 < x < π/2  বিস্তারে cos x ধনাত্মক
    ∴ sin x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি সত্য
    বিবৃতি-II: g(x) = cos x
    ∴ g’(x) = – sin x
       0 < x < π/2  বিস্তারে sin x ধনাত্মক
    ∴ g’(x) = – sin x < 0
    ∴ cos x একটি ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি মিথ্যা
    বিবৃতি-III: h(x) = tan x
    ∴ h’(x) = sec2 x
       0 < x <π/2   বিস্তারে sec2 x ধনাত্মক
    ∴ tan x একটি বর্ধিষ্ণু অপেক্ষক → বিবৃতিটি সত্য
    Ans: Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য

    2. বিবৃতি-I:  (-∞, ∞) বিস্তারে f(x) = x3 অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু।
         বিবৃতি-II: (-∞, ০) বিস্তারে f(x) = x4 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু। তবে-
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I:  f(x) = x3
    ∴ f’(x) = 3x2
    x এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য f’(x) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
    ∴ অপেক্ষকটি (-∞, ∞) বিস্তারে বর্ধিষ্ণু।
    (-∞, ∞) বিস্তারে f(x) = x3 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু। → বিবৃতিটি মিথ্যা
    বিবৃতি-II: :  f(x) = x4
    ∴ f’(x) = 4x3 
    (-∞, ০) বিস্তারে x এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য f’(x) সর্বদা ঋণাত্মক হবে।
    ∴ অপেক্ষকটি (-∞, 0) বিস্তারে ক্ষয়িষ্ণু।
    (-∞, ০) বিস্তারে f(x) = x4 অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু। → বিবৃতিটি মিথ্যা
    Ans:  Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    3. বিবৃতি-I: x = – 2 বিন্দুতে x2/x2 + 16 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু
        বিবৃতি-II: x = 4 বিন্দুতে 4x2 – 6x – 11 অপেক্ষকটি ক্ষয়িষ্ণু
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য          Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য          Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: f(x) = x2/x2 + 16
    ∴ f’(x) = 2x(x2 + 16) – x2.2x/x2 + 16
    = 2x3 + 32x – 2x3/(x2 + 16)2
        = 32x/(x2 + 16)2
    ∴ f’(-2) = 32.(-2)/(4 + 16)2
          = – 64/400 < 0
    ∵ f’(-2) < 0
    অতএব x = – 2 বিন্দুতে x2/x2 + 16 অপেক্ষক ক্ষয়িষ্ণু → বিবৃতিটি মিথ্যা
    বিবৃতি-II: g(x) = 4x2 – 6x – 11
    ∴ g’(x) = 8x – 6
    ∴ g’(4) = 8.4 – 6 = 26 
    ∴ g’(4) > 0
    অতএব x = 4 বিন্দুতে 4x2 – 6x – 11 অপেক্ষক বর্ধিষ্ণু → বিবৃতিটি মিথ্যা
    Ans:Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Diagram/Chart Based

    1. y = f(x) O c b a Y Y’ x’ x

    f(x) অপেক্ষকটি বিকল্পগুলির মধ্যে কোন্ বিস্তারে বর্ধিষ্ণু?
    Ⓐ [0, c]        Ⓑ [a, b]
    Ⓒ [a, c]        Ⓓ [0, a]

    Solution: লেখচিত্রটি x = a থেকে x = b এর মধ্যে ক্রমাগত ওপরের দিকে উঠছে এবং x = b বিন্দুতে সর্বোচ্চ চূড়ায় পৌঁছাচ্ছে।
    ∴ [a, b] বিস্তারে অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু।
    Ans: Ⓑ [a, b]

    2. O 6 3 -3 -5 Y Y’ x’ x

     ওপরের চিত্র অনুযায়ী নীচের কোন্ বিকল্পটি সঠিক?
      Ⓐ f অপেক্ষকটি (0, 6) অন্তরালে ক্রমবর্ধমান
      Ⓑ f অপেক্ষকটি (-5, 0) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
      Ⓒ f অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান
      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  x = -5 থেকে x = -3 পর্যন্ত গ্রাফটি ওপরের দিকে উঠছে (ক্রমবর্ধমান)।
    x = -3 থেকে x = 3 পর্যন্ত গ্রাফটি ক্রমাগত নিচের দিকে নামছে (ক্রমহ্রাসমান)
    আবার x = 3 থেকে x = 6 পর্যন্ত গ্রাফটি পুনরায় ওপরের দিকে উঠছে (ক্রমবর্ধমান)।
    ∴ অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান।
    Ans: Ⓒ f অপেক্ষকটি (-3, 3) অন্তরালে ক্রমহ্রাসমান

    DIFFERENTIABILITY →
    ← IFFERENTIABILITY
  • SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

    SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

    SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

    SOLUTION OF CONTINUITY S N DEY SEMESTER-3 সন্ততা

    CONTINUITY

    SOLUTION OF CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY S N DEY
    সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
    SEMESTER-3
    সন্ততা (CONTINUITY)

    বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
    Conventional Type

    1. f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি —
    Ⓐ limx→0 f(x)  এর অস্তিত্ব থাকে 
    Ⓑ f(0)-এর একটি নির্দিষ্ট মান থাকে
    Ⓒ limx→0 f(x) = f(0) হয়
    Ⓓ limx→0+ f(x) = limx→0- f(x) হয়

    Solution: f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি limx→0+ f(x) = limx→0- f(x) = f(0) হয়
    অর্থাৎ limx→0 f(x) = f(0) হয়
    Ans:  Ⓒ  limx→0 f(x) = f(0) হয়

     2. f(x) = |x| অপেক্ষকটি —
    Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত 
    Ⓑ x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
    Ⓒ শুধুমাত্র x = 0 বিন্দুতে সন্তত
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: f(x) = |x|
                                   = {-x      যখন x<0
                                        {0        যখন x =0
                                        {x         যখন x >0
    ∴ limx→0- f(x) = limx→0- -x = 0
        limx→0+f(x) = limx→0+ x = 0
    ∴ limx→0- f(x) = limx→0+ f(x) = f(0)
    অতএব x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য অপেক্ষকটি সন্তত।
    Ans:  Ⓐ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত

    3. f(x) = [x] বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষকটি হবে —
    Ⓐ x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত 
    Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
    Ⓒ x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যার জন্য সন্তত 
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: f(x) = [x] অপেক্ষকটি বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক।
    যেকোনো বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক x -এর সকল অখণ্ড সংখ্যা বাদে বাকি সব বাস্তব মানের জন্য সর্বদা সন্তত  হয়।
    ∴ অপেক্ষকটি x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত
    Ans:  Ⓑ x -এর সকল ভগ্নাংশ মানের জন্য সন্তত

    4. f(x) = xk অপেক্ষকটি x = k বিন্দুতে সন্তত হবে, যখন-
    Ⓐ k ≠ 0      Ⓑ k < 0
    Ⓒ k ≤ 0      Ⓓ k ≥ 0

    Solution: f(x) = xk
    Ⓐ k ≠ 0 হলে ধরি k = -1
    ∴ f(-1) = x-1 = 1/x
    অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
    Ⓑ k < 0 হলে ধরি k = -1
    ∴ f(-1) = x-1 = 1/x
    অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
    Ⓒ k ≤ 0 হলে ধরি k = -1
    ∴ f(-1) = x-1 = 1/x 
    অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
      Ⓓ k ≥ 0 হলে ধরি k = 0, 1, 2 . . . 
    ∴ f(x) = 0, x, x2 . . .  একটি বহুপদী  অপেক্ষক হয় যা x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত
    Ans:  Ⓓ k ≥ 0

    5. f(x) = x + 2/2x2 – x – 1 অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুগুলি হবে —
    Ⓐ 1/2, -1      Ⓑ –1/2, -1
    Ⓒ 1, –1/2      Ⓓ1/2, 1

    Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
        2x2 – x – 1 = 0 হয়
    ⇒ 2x2 – 2x + x – 1 = 0
    ⇒2x(x – 1) + 1(x – 1) = 0
    ⇒ (x – 1)(2x + 1) = 0
    ∴ x = 1, –1/2
    Ans:  Ⓒ 1, –1/2

    6. f(x) = 1/sin x – cos x অপেক্ষকটি অসন্তত হবে, যখন —
    Ⓐ x = nπ + π/4
    Ⓑ x = nπ + (-1)n π/4
    Ⓒ x = nπ – π/4
    Ⓓ x = nπ + 3π/4 [n ∈ Z]

    Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
        sin x – cos x = 0 হয়
    ⇒ sin x – cos x = 0
    ⇒sin x = cos x
    ⇒ tan x = 1
    ⇒ tan x = tan π/4 = tan (nπ + π/4)
    ∴ x = nπ + π/4
    Ans:  Ⓐ x = nπ + π/4

    7. যদি f(x) = {kx + 5     যখন x ≤ 2
                                  {x – 1        যখন x > 2
             অপেক্ষক x = 2 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
    Ⓐ 0        Ⓑ -1
    Ⓒ -2      Ⓓ -3

    Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
         limx→2-f(x) = limx→2+ f(x) = f(2)
    ⇒ limx→2- (kx + 5) = limx→2+ (x – 1) = k.2 + 5
    ⇒ 2k + 5 = 2 – 1 = 2k + 5
    ∴ 2k + 5 = 1
    ⇒ 2k = -4
    ⇒ k = -2
    Ans:  Ⓒ -2

    8. মনে করো, f(x) = {2x+1      যখন x< 2
                                                  {k              যখন x = 2
                                                  {3x-1       যখন x > 2
           k -এর যে মানের জন্য x = 2 বিন্দুতে f(x) সন্তত তা হল —
    Ⓐ 0        Ⓑ 2 
    Ⓒ 4        Ⓓ 5

    Solution: f(x)অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সন্তত হবে যখন
          limx→2-f(x) =  limx→2+f(x) = f(2)
    ⇒limx→2- (2x + 1) =  limx→2- (3x – 1) = k
    ⇒ 2.2 + 1 = 3.2 – 1 = k
    ⇒ 5 = 5 = k
    ∴ k = 5
    Ans:  Ⓓ 5

    9. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
    f(x) = {x3 – 3     যখন x ≤ 2
                    {x2 + 1     যখন x > 2     f(x) সন্তত —
    Ⓐ x = 1 বিন্দুতে
    Ⓑ x = 2 বিন্দুতে
    Ⓒ x = 3 বিন্দুতে
    Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

    Solution: Ⓐ x = 1 বিন্দুতেঃ
    x < 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x3 – 3
    এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
     বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
    ∴ x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
    Ⓑ x = 2 বিন্দুতেঃ
        limx→2- f(x)
    = limx→2- (x3 – 3) = 8 – 3 = 5
        limx→2+ f(x)
    = limx→2+ (x2 + 1) = 4 + 1 = 5
    আবার f(2) = 23 – 3 = 8 – 3 = 5
      ∴ limx→2- f(x) = limx→2+ f(x) = f(2) = 5
    ∴ x = 2 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
    Ⓒ x = 3 বিন্দুতেঃ
    x > 2 অঞ্চলের জন্য f(x) = x2 + 1 ও একটি বহুপদী অপেক্ষক।
    বহুপদী অপেক্ষক সর্বদা সন্তত হয়।
    ∴ x = 3 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
     Ans:  Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

    10. f(x)=  f(x) অসন্তত x = {1 – cos x/x2      যখন x ≠ 0
                                                                      {1                        যখন x=2
    Ⓐ 0 -তে       Ⓑ 1 -এ
    Ⓒ -2 -তে       Ⓓ 4 –এ

    Solution: limx→0 f(x)
    = limx→0 1 – cos x/x2
    = limx→0 1 – cos 2.x/2/x2
    =limx→0 2sin2 x/2/x2
    = 1/2[limx→0 sin x/2/x/2]2
    = 1/2 
    আবার f(0) = 1
    ∴ limx→0 f(x) ≠ f(0)
    x = 0 –তে f(x) অসন্তত
     Ans:  Ⓐ 0 -তে

    11. যদি f(x) = {sin 5x/x2 + 2x    যখন x ≠ 0
                                   {k + 1/2                 যখন x = 0
             x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে k -এর মান —
    Ⓐ 3/2        Ⓑ -2
    Ⓒ 1             Ⓓ 2

    Solution: f(0) = k + 1/2
        limx→0 f(x)
    = limx→0 sin 5x/x2 + 2x
    = limx→0 sin 5x/x(x + 2)
    =limx→0 sin 5x/5x × 5 × limx→0 1/(x + 2)
    = 1×5×1/0 + 2  = 5/2
               f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হয়।
    ∴ limx→0 f(x) = f(0)
    ⇒ 5/2 =  k + 1/2
    ⇒ k = 5/2  – 1/2 = 2
    Ans:  Ⓓ 2

    12. f(x) = 2x2 + 7/x3 + 3x2 – x – 3  অপেক্ষকের অসন্তত বিন্দুসমূহ হল —
    Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3
    Ⓑ x = 1 এবং x = – 1
    Ⓒ x = – 1 এবং x = 3
    Ⓓ x = 1 x = – 1 এবং x = 3

    Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
         x3 + 3x2 – x – 3 = 0 হয়
    ⇒ x2(x + 3) – 1(x + 3) = 0
    ⇒(x2 – 1)(x + 3) = 0
    ⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 3) = 0
    ∴ x = 1, -1, -3
    Ans:  Ⓐ x = 1, x = – 1 এবং x = – 3

    SEMESTER-3
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

    👉 UNIT-2       বীজগণিত

    👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

    👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

    👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

    Analytical/Skill Based Type
    Fill in the Blanks ___________________

    1. f(x) = 2x – |x| অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে সন্তত।
    Ⓐ 0     Ⓑ -1     Ⓒ -2
    Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

    Solution: f(x) = 2x – |x|
    2x অপেক্ষকটি রৈখিক অপেক্ষক এবং |x| অপেক্ষকটি মডিউলাস অপেক্ষক।
    রৈখিক অপেক্ষক এবং মডিউলাস অপেক্ষক x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
    ∴ 2x – |x| অপেক্ষকটি x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত।
     Ans:  Ⓓ সবগুলি বিকল্প সঠিক

    2. নীচের অপেক্ষকটি x = ________ বিন্দুতে অসন্তত
    φ(x) = {|x|/x     যখন x ≠ 0
                    {0             যখন x = 0
    Ⓐ 0     Ⓑ 2
    Ⓒ 4     Ⓓ 5

    Solution: limx→0- φ(×)
    = limx→0- -x/x
    = limx→0- (-1) = -1
        limx→0+ φ(×)
    = limx→0+ x/x
    = limx→0+ (1) = 1
    ∴ limx→0- f(×) ≠ limx→0- f(×)
    ∴ x = 0 বিন্দুতে φ(x) –এর অস্তিত্ব নেই।
    Ans:  Ⓐ 0

    3. f(4) এর মান ________ হলে f (x) = x2 – 16/x – 4 অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে
    Ⓐ 1    Ⓑ 27
    Ⓒ 8    Ⓓ 49

    Solution: limx→4 f(×)
    = limx→4 x2 – 16/x – 4
    = limx→4 (x + 4)(x – 4)/x – 4
    =limx→4 (x + 4)
    = 4 + 4 = 8
      ∴ অপেক্ষকটি x = 4 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি
    limx→4 f(×) = f(4) = 8 হয়।
    Ans:  Ⓒ 8

    4. কোনো অপেক্ষক f(x) এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হল।
    f(x) =     {x + 1          যখন x ≤1
                   { 3 – ax2     যখন x >1
         a -এর মান ________ হলে f(x) সন্তত হবে।
    Ⓐ 0     Ⓑ 1
    Ⓒ 2     Ⓓ 4

    Solution: limx→1- f(×)
    = limx→1- (x + 1)
    = 1 + 1 = 2
        limx→1+ f(×)
    = limx→1+ (3 – ax2)
    = 3 – a.(1)2 = 3 – a
     আবার f(1) = 1 + 1 =2
    f(x) সন্তত হবে যদি
    limx→1- f(×) = limx→1+ f(×) = f(1) হয়।
    ∴ 2 = 3 – a
    বা, a = 1
    Ans:  Ⓑ 1

    5. f(x) = {kx + 1    যখন x ≤ π
                        {cosx      যখন x > π
          x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ ।
    Ⓐ 0          Ⓑ –2/π
    Ⓒ 2π/3    Ⓓ 3/3π

    Solution: limx→π- f(×)
    = limx→π- (kx + 1)
    = kπ + 1
         limx→π+f(×)
    = limx→π+ cos x
    = cos π = – 1
    আবার f(π) = kπ + 1
    x = π বিন্দুতে f(x) সন্তত হবে যদি
    limx→π- f(×) = limx→π+ f(×) = f(π) হয়।
    ∴ kπ  + 1 = -1
    বা, kπ = -2
    বা, k = –2/π
    Ans:  Ⓑ –2/π

    6. f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষক ________ বিন্দুতে সন্তত।
    Ⓐ শুধু x = 0
    Ⓑ শুধু x = 1
    Ⓒ সব x ∈ R
    Ⓓ শুধু x = – 1

    Solution: যেকোনো বাস্তব মানের জন্য sin x ও cos x অপেক্ষক দুটি সর্বদা সন্তত হয়।
    আবার দুটি সন্তত অপেক্ষকের যোগফলও সন্তত হয়।
    যেকোনো সন্তত অপেক্ষকের মডিউলাস অপেক্ষক সকল বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
    ∴ f(x) = |sin x + cos x| অপেক্ষকটি সব x ∈ R এর জন্য সন্তত।
    Ans:  Ⓒ সব x ∈ R

    7. মনে করো, f(x) ={x3 + x2 – 16x + 20/(x – 2)2   যখন x ≠ 2
                                                 {k                                                 যখন x=2
                  x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত হলে k -এর মান ________ হবে।
    Ⓐ 7       Ⓑ 3
    Ⓒ 17       Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

    Solution: limx→2 f(×)
    = limx→2 x3+ x2 – 16x + 20/(x – 2)2
    = limx→2 x3 – 2x2 + 3x2 – 6x – 10x + 20/(x – 2)2
    =limx→2 x2(x – 2) + 3x(x – 2) – 10(x – 2)/(x – 2)2
    = limx→2  (x – 2)(x2 + 3x – 10)/(x – 2)2
    = limx→2  (x2 + 3x – 10)/(x – 2)
    =limx→2  (x2 + 5x – 2x- 10)/(x – 2)
    = limx→2  x(x + 5) – 2(x + 5)/(x – 2)
    = limx→2  (x + 5)(x – 2)/(x – 2)
    =limx→2 (x + 5)
    = 2 + 5  = 7
      x -এর সমস্ত মানে f(x) সন্তত
    ∴ limx→2 f(×) = f(2)
    ⇒ 7 = k
    Ans:  Ⓐ 7

    Column Matching

    1. একটি অপেক্ষক f(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
     f(x) =     {1 – sin3 x/3cos2 x       যখন x <π/2
                   {               a                       যখন x = π/2
                   {b(1 – sin x)/(π – 2x)2   যখন x >π/2
    x = π/2 বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে, স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

    স্তম্ভ Aস্তম্ভ B
    [i] ab =[a] 41/2 
    [ii] a + b =[b] 2
    [iii] b – a[c] 8
    [iv] b/a =[d] 31/2

    Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
    Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [d]
    Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
    Ⓓ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]

    Solution: limx→π/2– f(×)
    = limx→π/2– 1 – sin3 x/3cos2 x
    = limx→π/2– (1 – sin x)(1 + sin x + sin2 x)/3(1 – sin2 x)
    =limx→π/2– (1 – sin x)(1 + sin x + sin2 x)/3(1 + sin x)(1 – sin x)
    = limx→π/2– (1 + sin x + sin2 x)/3(1 + sin x)
    = limx→π/2– (1 + sin x + sin2 x)/3(1 + sin x)
    =(1 + sin π/2 + sin2 π/2)/3(1 + sin π/2)
    = (1 + 1 + 1)/3(1 + 1) = 1/2

    limx→π/2+ f(×)
    = limx→π/2+ b(1 – sin x)/(π – 2x)2
    = b limx→π/2+ (1 – sin x)/(π – 2x)2
    =b limx→π/2+ (0 – cos x)/2(π – 2x).(-2)
    = b/4 limx→π/2+ cos x/(π – 2x)
    = b/4 limx→π/2+ -sin x/(0 – 2)
    =b/4 × -sin π/2/– 2
    = b/4 × -1/– 2 = b/8
    ∵ x = π/2 বিন্দুতে f(x) সন্তত
     ∴ limx→π/2– f(×) = limx→π/2– f(×) = f(π/2)
    ⇒ 1/2 = b/8 = a
    ∴ a = 1/2; b = 4

    [i] ab = 1/2×4 = 2 → [b]
    [ii] a + b = 1/2 +4 = 41/2 → [a]
    [iii]     b – a = 4 – 1/2 = 31/2 → [d]
    [iv] b/a = 4/1/2 = 8 → [c]
    Ans:  Ⓒ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]

    2. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
       f(x) =     {ax + 1  যখন x ≤ 3
                      {bx + 3 যখন x > 3
    Aস্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

             স্তম্ভ A         স্তম্ভ B
    [i] limx→3+ f(x)[a] 2/3
    [ii] limx→3- f(x)[b] 3b + 1
    [iii] f(3)[c] 3a + 1
    [iv] a – b[d] 3b + 3

    Ⓐ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
    Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]
    Ⓒ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
    Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [c]

    Solution: [i] limx→3+ f(×)
    = limx→3+(bx + 3)
    = 3b + 3 → [d]
    [ii] limx→3- f(×)
    = limx→3-(ax + 1)
    = 3a + 1 → [c]
    [iii] f(3) = 3a + 1 → [c]
    [iv]  limx→0+f(×) = limx→0+ f(×) = f(3)
    ⇒ 3b + 3 = 3a + 1 = 3a + 1
    ∴ 3b + 3 = 3a + 1
    ⇒ 3a – 3b = 3 -1
    ⇒3(a – b) = 2
    ⇒ a – b = 2/3  → [a]
    Ans:  Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [c], [iv] – [a]

    Relationship between Statements ____________
    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন্ বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
    Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
    Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
    Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
    Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

    1. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নীচে দেওয়া আছে:
     f(x) ={3 + 2x    যখন –3/2 ≤ x < 0
                   {3 – 2x     যখন 0≤ x <3/2
                   {-3 -2x    যখন x ≥3/2
      বিবৃতি-A: x = 3/2 বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
      বিবৃতি-B: x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়

    Solution: বিবৃতি-A: limx→3/2– f(×)
    = limx→3/2– (3 – 2x)
    = 3 – 2.3/2 = 0
        limx→3/2+f(×)
    = limx→3/2+ (3 + 2x)
    = 3 + 2.3/2 = 6
    ∴ limx→3/2– f(×) ≠ limx→3/2+ f(×)
    অতএব x = 3/2 বিন্দুতে f(x) সন্তত নয়
    ∴ বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-B: limx→0- f(×)
    = limx→0- (3 + 2x)
    = 3 + 2.0 = 3
        limx→0+ f(×)
    = limx→0+ (3 – 2x)
    = 3 – 2.3/2 = 3
    ∴ limx→0- f(×) = limx→0+ f(×)
    অতএব x = 3/2 বিন্দুতে f(x) সন্তত
    ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    2. বিবৃতি-A: f(x) = {x2/2  যখন 0 ≤ x <1
                                              {2x2 – 3x + 3/2 যখন 1 ≤ x ≤ 2
                             0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত।
         বিবৃতি-B:      f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় limx→a+ f(x) = limx→a- f(x) = f(a) হয়।

    Solution: বিবৃতি-A: limx→0+ f(×)
    = limx→0+ x2/2 = 0
    আবার f(0) = 0
    ∴ limx→0+ f(×) = f(0)
    ∴ x = 0 –এর ডানদিকে f(×) সন্তত।
      0 < x < 1 বিস্তারে f(×) = x2/2 একটি বহুপদী অপেক্ষক।
    ∴ 0 < x < 1 বিস্তারে f(×)সন্তত।
         limx→1- f(×)
    = limx→1- x2/2 = 1/2
          limx→1+ f(×)
    = limx→1+(2x2 – 3x + 3/2)
    = 2 – 3 + 3/2 = – 1 + 3/2 = 1/2
    এবং f(1) = 2.12 – 3.1 + 3/2 = – 1 + 3/2 = 1/2
    ∴ limx→1- f(×) = limx→1+ f(×) = f(0)
    ∴ x = 1 বিন্দুতে f(×) সন্তত।
       1 < x < 2 বিস্তারে f(×) = 2x2 – 3x + 3/2 একটি বহুপদী অপেক্ষক।
    ∴ 1 < x < 2 বিস্তারে f(×)সন্তত।

      limx→2- f(×)
    =limx→2- (2x2 – 3x + 3/2)
    = 2.22 – 3.2 + 3/2
    = 8 – 6 + 3/2 = 7/2     
    আবার f(2) = 2.22 – 3.2 + 3/2 = 7/2
    ∴ limx→2- f(×) = f(2)
    অতএব x = 2 –এর বামদিকে f(×) সন্তত।
    ∴  0 ≤ x ≤ 2 বিস্তারে f(x) সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হয়, যদি হয় f(x) =  f(x) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

    3. বিবৃতি-A: f(x) = 2x2/π limt→0 t/sin t, t = 0 বিন্দুতে সন্তত
         বিবৃতি-B: g(x) = limt→0[2x/π tan-1 (2/t2)], t = 0 বিন্দুতে সন্তত নয়

    Solution: বিবৃতি-A: f(x) = 2x2/π limt→0 t/sin t
    = 2x2/π (limt→0 1/sin t/t)
    = 2x2/π × 1/1 = 2x2/π
    এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
    ∴ f(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-B: g(x) = limt→0[2x/π tan-1 (2/t2)]
    = 2x/π[limt→0tan-1 (2/t2)]
    = 2x/π[tan-1 (2/0)]
    =2x/π[tan-1 ∞)]
    = 2x/π[tan-1 tan(π/2)]
    = 2x/π × π/2 = x
    এটি একটি বহুপদী অপেক্ষক।
    ∴ g(x) অপেক্ষকটি t = 0 বিন্দুতে সন্তত → বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    4. মনে করো, f(x) = x2 – 1/x3 – 1
         বিবৃতি-A: f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অনির্ণেয়
         বিবৃতি-B: f(1) -এর মান 3/2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।

    Solution: বিবৃতি-A: f(1) = x2 – 1/x3 – 1 = 1 – 1/1 – 1 = 0/0 → অনির্ণেয়
    ∴ বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-B: limx→1 f(×)
    = limx→1 x2 – 1/x3 – 1
    = limx→1 (x + 1)(x – 1)/(x – 1)(x2 + x + 1)
    =limx→1 (x + 1)/(x2 + x + 1)   . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
    = (1 + 1)/(1 + 1 + 1) = 2/3 ≠ 3/2
    ∴ limx→1 f(×) ≠ f(1)
    ∴ অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    5. বিবৃতি-A: f(x) = x + x + 2/|x + 2| অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।
    বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ (jump) -2 |

    Solution: বিবৃতি-A: f(x) = x + x + 2/|x + 2|
    = {x + x + 2/-|x + 2| যখন x + 2<0
         {x + x + 2/|x + 2| যখন x + 2 ≥ 0
    = {x – 1 যখন x <-2
         {x + 1 যখন x ≥ 2
         limx→-2-f(×)
    = limx→-2-(x – 1) = – 2 – 1 = -3
    এবং  limx→-2+f(×)
    = limx→-2+(x + 1) = – 2 + 1 = -1
      ∴ limx→-2-f(×) ≠ limx→-2+f(x)
    ∴ অপেক্ষকটি x = – 2 বিন্দুতে অসন্তত।  → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-B: x = – 2 বিন্দুতে অপেক্ষকের লাফ
    = limx→-2+f(×) – limx→-2-f(×)
    = – 1 – (-3) = 2 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    Assertion-Reasoning ____________

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?।
    Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।
    Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ নয়।
    Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
    Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    1. বিবৃতি-I(A): f(x) = 1/x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)] অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হলে, f(0) -এর মান 1
       বিবৃতি-II(R): limx→0 log(1 + ax)/x = a

    Solution: বিবৃতি-I(A): limx→0 f(x)
    = limx→0 1/x [log(1 + 3x) – log(1 + 2x)]
    = limx→0 log(1 + 3x)/x –  limx→0 log(1 + 2x)/x
    =limx→0 log(1 + 3x)/3x×3 –  limx→0 log(1 + 2x)/2x×2
    = 1×3 – 1×2 = 1
    ∴ f(0) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II(R): limx→0 log(1 + ax)/x
    = limx→0 log(1 + ax)/ax×a
    = 1×a = a → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ। 

    2. বিবৃতি-I(A): f(x) = {sin 3x/2x যখন x≠0
    {2/3 যখন x=0
    f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত
    বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে,
    যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়।

    Solution: বিবৃতি-I(A): limx→0 f(x)
    = limx→0 sin 3x/2x
    = (limx→0 sin 3x/3x)×3/2 = 1×3/2 = 3/2
    আবার  f(0) = 2/3
    ∴ limx→0 f(x) ≠ f(0)
    ∴ f(x) অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অসন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II(R): f(x) অপেক্ষককে x = a বিন্দুতে সন্তত বলা হবে, যদি f(a + 0) = f(a – 0) = f(a) হয়। → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

    3. বিবৃতি-I(A): f(x) = {1 – cos⁡2x/2x2 যখন x≠0
    {k যখন x=0
    x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত হলে k –এর মান 1 হবে।
    বিবৃতি-II(R): f(x) = {1 – cos⁡2x/x2 যখন x≠0
    {k যখন x=0
    k = 141/3 হলে f অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত হবে।

      Solution: বিবৃতি-I(A): limx→0 f(×)
    =limx→0 1 – cos ⁡2x/2x2
    = limx→0 2 sin2 ⁡x/2x2
    =limx→0 sin2 ⁡x/x2
    =(limx→0 sin⁡x/x )2 = (1)2 = 1
     আবার f(0) = k
    ∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
    ∴ limx→0 f(×) = f(0)
    বা, 1 = k হয়। → বিবৃতিটি সত্য।

    বিবৃতি-II(R): limx→0 f(×)
    =limx→0 1 – cos ⁡5x/x2
    = limx→0 2 sin2 5⁡x/2/x2 
    = 2. (limx→0 sin 5⁡x/2/5x/2)2×25/4
    = 2.(1)2.25/4
    = 25/2   = 121/2
    আবার f(0) = k
    ∵ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত
    ∴  limx→0f(×) = f(0)
    বা, 121/2 = k হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

    4. বিবৃতি-I(A):  1/sin⁡x +cos⁡x অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ nπ – π/4, যেখানে n যে-কোনো পূর্ণসংখ্যা
    বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে p(x)/q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে।

    Solution: বিবৃতি-I(A): 1/sin⁡x +cos⁡x অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি sin x + cos x = 0 হয়।
    ∴ sin x + cos x = 0
    ⇒ sin x = – cos x
    ⇒ tan x = -1 = – tan π/4  = tan (-π/4)
    ∴ x = nπ – π/4 → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II(R): p(x) ও q(x) দুটি সন্তত অপেক্ষক হলে p(x)/q(x) অপেক্ষকটি {x: q(x) ≠ 0} সেটটির সকল বিন্দুতে অসন্তত হবে। → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

    আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

    True and False _______________________

    1. বিবৃতি-I: f(x) = {x sin 1/x       যখন x ≠ 0
                                            {0                     যখন x = 0      অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
         বিবৃতি-II: f(x) ={x2 sin 1/x     যখন x ≠ 0
                                            {0                     যখন x = 0       অপেক্ষকটি সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত।
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: x ≠ 0 হলে,
      |f(x)| = |x sin 1/x| = |x||sin 1/x| ≤ 1 . . . [∵ |x sin 1/x ≤ 1|
    x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
    ∴  limx→0 f(×) = 0
    আবার f(0) = 0
    ∴  limx→0 f(×) = f(0)
    ∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II: : x ≠ 0 হলে,
      |f(x)| = |x2 sin 1/x| = |x2||sin 1/x| ≤ |x2| . . . [∵ |x sin 1/x ≤ 1|
    x → 0 হলে f(x) → 0 হয়।
    ∴  limx→0 f(×) = 0
    আবার f(0) = 0
    ∴  limx→0 f(×) = f(0)
    ∴ অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

    2. বিবৃতি-I: x/x2 – 2x – 3 অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1
         বিবৃতি-II:  3x2 – 4/x3 + x2 – x – 1   অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
    Ⓒ বিবৃতি II সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x2 – 2x – 3 = 0 হয়।
     ∴ x2 – 2x – 3 = 0
    ⇒ x2 – 3x + x – 3 = 0
    ⇒x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
    ⇒ (x – 3)(x + 1) = 0
    ∴ x = 3, – 1
     ∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ 3,-1 → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II: অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি x2 – 2x – 3 = 0 হয়।
     ∴ x3 + x2 – x – 1 = 0
    ⇒ x2(x + 1) – 1(x + 1) = 0
    ⇒(x2 – 1)(x + 1) = 0
    ⇒ (x + 1)(x – 1)(x + 1)  = 0
     ∴ x = -1, 1, -1
    ⇒ x = ± 1
    ∴ অপেক্ষকটির অসন্তত বিন্দুসমূহ ± 1 → বিবৃতিটি সত্য।
    Ans:  Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

    3. বিবৃতি-I: f(x) =  x3 – 1/x – 1  অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে f(x) = 3
        বিবৃতি-II: g(x) =  x – 1/x3 – 1 , x ≠ 1 অপেক্ষকটি R-এর সকল বিন্দুতে সন্তত।
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: limx→1 f(×)
    = limx→1 x3 – 1/x – 1
    =limx→1 (x – 1)(x2 + x + 1)/x – 1
    = limx→1 (x2 + x + 1)  . . . [∵ x → 1 ∴ x – 1 ≠ 0]
    = 1 + 1 + 1 = 3
    অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হলে,
     limx→1f(×)= f(1) = 3 হবে।
    ∴ f(x) = 3 → বিবৃতিটি সত্য।
    বিবৃতি-II: g(x) = x – 1/x3 – 1
      g(x) অপেক্ষকটি অসংজ্ঞাত হবে যদি x3 – 1 = 0 হয়।
     ∴ x3 – 1 = 0
    বা, (x – 1)(x2 + x + 1) = 0
    বা, x = 1
    ∴ অপেক্ষকটি R – {1} বিন্দুতে সন্তত। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓐ বিবৃতি । সত্য

    4. মনে করো, f(x) ={3ax + b       যখন x>1
                                                 {11                   যখন x=1
                                                 {5ax -2b      যখন x<1

        বিবৃতি-I: a ও b-এর যে-কোনো মানেই অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
        বিবৃতি-II: a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত
    ∴ limx→1- f(×) = limx→1+ f(×) = f(1)
    ⇒  limx→1-(5ax – 2b) =  limx→1+(3ax + b) = 11
    ⇒ 5a – 2b = 3a + b = 11
            ∴ 5a – 2b = 11 . . . (i) 
    এবং   3a + b = 11 . . . (ii)
        (i) + (ii) ×2 করে পাই,
         5a – 2b + 6a + 2b = 11 + 22
    বা, 11a  = 33
    বা, a  = 3
        (ii) নং থেকে পাই,
    b = 11 – 3.3 = 2
     ∴ a ও b-এর মান যথাক্রমে 3 ও 2 হলে অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত হবে।
     অতএব বিবৃতি-I মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি-II সত্য।
    Ans:  Ⓑ বিবৃতি II সত্য

    5. মনে করো, f(x) = {1 – cos αx/x sin x      যখন x≠0
                                                  {1/2      যখন x=0 অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।

        বিবৃতি-I: α -এর মান 1 হবে।
        বিবৃতি-II:     α -এর মান -1 হবে।
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য
    Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
       ∴   limx→0f(×) = f(0)
    ⇒   limx→0 1 – cos αx/x sin x = 1/2
    ⇒  limx→0 +α sin αx/sin x + x cos x= 1/2
    ⇒limx→0 α2 cos αx/cos x + cos x – x sin x = 1/2
    ⇒ α2 . 1/1 + 1 – 0 = 1/2
    ⇒α2/2 = 1/2
    ⇒ α2 = 1
    ∴ α = ± 1
      অতএব বিবৃতি-I এবং বিবৃতি-II উভয়ই সত্য।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

    6. মনে করো, g(x) = x – [x] একটি অপেক্ষক যেখানে [x] হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা যা x-এর চেয়ে ছোটো বা x-
        এর সমান।  
        বিবৃতি-I:     সকল x ∈ R বিন্দুতে g(x) সন্তত
        বিবৃতি-II: R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত

        বিবৃতি-III: x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত
       Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য       Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য       Ⓒ বিবৃতি II সত্য       Ⓓ বিবৃতি I, III সত্য

    Solution:  সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
    ∴ g(x) = x – [x] সকল x ∈ R বিন্দুতে সন্তত নয়। → বিবৃতি-I মিথ্যা
    সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত এবং [x] পূর্ণসংখ্যা বাদে সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য [x] অসন্তত।
    ∴ R-Z সেটের সকল বিন্দুতে g(x) সন্তত → বিবৃতি-II সত্য
    সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য x সন্তত কিন্তু [x] সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য অসন্তত।
    ∴ x-এর সকল পূর্ণসংখ্যা মানে g(x) সন্তত নয়। → বিবৃতি-III মিথ্যা
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি II সত্য

    Case Based _______________________

    1. মনে করো, f(x) = \(\left\{ \begin{array}{cl}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\ যখন x<0\\ c\quad যখন x=0\\\frac{(x + bx^2 )^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\ যখন x>0 \end{array} \right.\)

    অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
    [i] a-এর মান হবে-
    Ⓐ 3/2         Ⓑ 1
    Ⓒ 1/2         Ⓓ –3/2

    Solution:

    \(\quad lim_{x→0-} f(×)\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x + sinx}{x}\\=lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{x}+lim_{x→0-}\frac{sinx}{x}\\=(a+1)lim_{x→0-}\frac{sin(a + 1)x}{(a+1)x}+1\\=(a+1).1+1\\=a+2\)
    \(\quad lim_{x→0+} f(×)\\=lim_{x→0+}\frac{(x + bx^2)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{bx^{\frac{3}{2}}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x + bx^2}-\sqrt{x}}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx\sqrt{x}}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)}{bx}\\=lim_{x→0+}\frac{(\sqrt{1 + bx}-1)(\sqrt{1 + bx}+1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{(1 + bx-1)}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{bx}{bx(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=lim_{x→0+}\frac{1}{(\sqrt{1 + bx}+1)}\\=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)

    অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সন্তত।
    ∴ limx→0- f(×) = limx→0+ f(×) = f(0)
    ⇒ a + 2 = 1/2 = c
    ∴ a + 2 = 1/2
    বা, a = 1/2  – 2
    বা, a = –3/2
          c = 1/2
    এবং b ≠ 0
    Ans:  Ⓓ –3/2

    [ii] b-এর মান নীচের কোন্ সেটটির অন্তর্গত?
    Ⓐ R         Ⓑ R+ 
    Ⓒ R – {0}         ⒹR–

    Ans:  Ⓒ R – {0}

    [iii] c-এর মান হবে- 
    Ⓐ 1/2         Ⓑ –1/2
    Ⓒ 3/2         Ⓓ –3/2

    Ans:  Ⓐ 1/2

    12. f(x) অপেক্ষকের সংজ্ঞা নিম্নরূপ:
       f(x) = {1/2 - x    যখন  x < 3
              {1          যখন  x = 3
              {x - 1/2    যখন  x > 3

    [i] f(3 – 0) =
    Ⓐ 5/2         Ⓑ –5/2
    Ⓒ 1             Ⓓ -1

    Solution: f(3 – 0)
    = limx→3- f(×)
    = limx→3- 1/2 – x
    =1/2 -3 = – 5/2
    Ans:  Ⓑ –5/2

    [ii] f(3 + 0) =
    Ⓐ –5/2         Ⓑ 1
    Ⓒ -1             Ⓓ 5/2

    Solution: f(3 + 0)
    = limx→3+ f(×)
    = limx→3+ x- 1/2
    =3 – 1/2
    = 5/2
    Ans:  Ⓓ 5/2

    [iii] f(3) =
    Ⓐ 1             Ⓑ –5/2
    Ⓒ 5/2         Ⓓ -1

    Solution: f(3) = 1
    Ans:  Ⓐ 1

    DIFFERENTIABILITY →
    ← মাইনর ও সহ- উৎপাদক
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights