Category: SEMESTER-3

CLASS 12 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION 2026 wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সমাধান।

MATHEMATICS
SEMESTER-III
2026

CLASS 12 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION 2026 wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সমাধান।

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি

প্রতিটি প্রশ্নের বিকল্প উত্তরগুলির মধ্যে থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নিয়ে OMR উত্তরপত্রে উত্তর দাও।

1. একটি গোলাকার বেলুনের আয়তন 10 cm³/sec হারে বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 16 cm তখন উপরিতলের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার হবে
(A) 1.5 cm²/sec (B) 1.8 cm²/sec
(C) 2 cm²/sec (D) 1.25 cm²/sec

Solution: ধরি r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বেলুনের আয়তন V cm³ এবং উপরিতলের ক্ষেত্রফল A cm²
এখানে r = 16 cm এবং ^dv/_dt = 10 cm³/sec
V = ⁴/₃πr³
বা, ^dv/_dt = ⁴/₃π.3r^{2 dr}/_dt
বা, 10 = 4π.(16)².^dr/_dt
⇒ 10 = 4π.256.^dr/_dt
বা, 5 = 2.256π.^dr/_dt
বা, ^dr/_dt = ⁵/_2.256π
আবার, A = 4πr²
বা, ^dA/_dt = 4.π.2r.^dr/_dt
বা, ^dA/_dt = 4.π.2.16 × ⁵/_2.256π = ⁵/₄ = 1.25
Ans: (A) 1.5 cm²/sec

2. x ∈ (0, 1), x-এর সকল মানের জন্য, নীচের কোনটি সঠিক ?
(A) e^x < 1 + x (B) log_e(1 + x) < x
(C) sinx > x (D) log_ex > x

Solution: f(x) = log_e(1 + x) এবং g(x) = x
∴ f(0) = log_e(1 + 0) = log_e1 =0
এবং g(0) = 0
f`(x) = <sup>1</sup>/<sub>1 + x</sub> এবং g`(x) = 1
যেহেতু x > 0, তাই ¹/_{1 + x} < 1।
অর্থাৎ f`(x) < g(x)।
f(0) =g (0) এবং f`(x) < g(x) হলে f(x) < g(x) হবে x > 0 এর জন্য।
অর্থাৎ, log_e(1 + x) < x যখন x ∈ (0, 1)
Ans: (B) log_e(1 + x) < x 

3. f(x) = ^x/_{1 + |x|} অপেক্ষকটি যে বিস্তারে ক্রমবর্ধমান তা হবে
(A) R (B) R – {-1}
(C) (-1, 1) (D) (-∞, 0)

Solution: x = 0 হলে,
f(x) = ⁰/_{1 + 0} = 0
x > 0 হলে,
f(x) = ^x/_{1 + x}
∴ f‘(x)
= ^{1 + x – x}/_{(1 + x)²}
= ¹/_{(1 + x)²} > 0
আবার, x < 0 হলে,
f(x) = ^x/_{1 – x}
∴ f‘(x)
= ^{1 – x + x}/_{(1 – x)²}
= ¹/_{(1 – x)²} > 0 > 0 ∴
x এর সমস্ত বাস্তব মানের (x ≠ -1) জন্য f‘(x) > 0 হয়।
∴ x ∈ R – {-1} বিস্তারে ক্রমবর্ধমান।
Ans: (B) R – {-1}

4. যদি y = x সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে তবে
(A) k = 0 (B) k = ±1
(C) -∞ < k < ∞ (D) 0 ≤ k < ∞

Solution: y = x
∴ ^dy/_dx = 1
ধরি, (u, v) বিন্দুতে, সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে।
(u, v) বিন্দুতে ^dy/_dx = 1
আবার xy = k²
∴ y + x.^dy/_dx = 0
বা, ^dy/_dx = –^y/_x
(u, v) বিন্দুতে ^dy/_dx = –^v/_u
y = x সরলরেখাটি, xy = k² বক্ররেখাটিকে সমকোণে ছেদ করে।
∴ 1 × –^v/_u = -1
বা, u = v
(u, v) বিন্দুটি xy = k² -এর উপর অবস্থিত।
∴ u.v = k²
অতএব k -এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
∴ -∞ < k < ∞
Ans: (C) -∞ < k < ∞

5. যদি lx – my + n = 0 সরলরেখা y² = 4ax অধিবৃত্তকে স্পর্শ করে তবে
(A) am² = nl (B) an² = ml
(C) al² = mn (D) mn = al

Solution: y² = 4ax
∴ 2y.^dy/_dx = 4a
বা, y.^dy/_dx = 2a
বা, ^dy/_dx = ^2a/_y
(h, k) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
(y – k) = [^dy/_dx]_{(h, k)} (x – h)
বা, (y – k) = ^2a/_k×(x – h)
বা, yk – k² = 2ax – 2ah
⇒ 2ax – yk = 2ah – k² . . . [(h, k) বিন্দুটি y² = 4ax অধিবৃত্ত-এর উপর অবস্থিত। ∴ k² = 4ah]
বা, 2ax – yk = 2ah – 4ah
বা, 2ax – yk = -2ah . . . (i)
আবার lx – my + n = 0
বা, lx – my = -n . . . (ii)
i) ও  (ii) তুলনা করে পাই,
^2a/_l = ^-k/_-m = ^-2ah/_-n
∴ ^2a/_l = ^-k/_-m
বা, k = ^2am/_l
এবং ^2a/_l = ^-2ah/_-n
বা, ¹/_l = ^h/_n
বা, h = ⁿ/_l
∵ y² = 4ax, (h, k) বিন্দুগামী।
∴ k² = 4ah
বা, ^4a2m2/_l² = 4a.ⁿ/_l
বা, ^am2/_l = n
⇒ am² = nl
Ans: (A) am² = nl

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

7. S এবং T যথাক্রমে 2 × m এবং 3 × n ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্স এবং তাদের গুণ TS একটি সংজ্ঞাত p × 4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে, m, n ও p-এর মান হবে

(A) m = 3, n = 2, p = 4
(B) m = 4, n = 2, p = 3
(C) m = 3, n = 4, p = 2
(D) m = 4, n = 3, p = 2
Solution: S এবং T যথাক্রমে 2 × m এবং 3 × n ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্স।
TS সংজ্ঞাত।
∴ T -এর স্তম্ভ সংখ্যা = S -এর স্তম্ভ সংখ্যা
বা, n = 2
TS, 3×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
আবার, TS, p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
∴ p = 3, m = 4
Ans: (B) m = 4, n = 2, p = 3

Solution: ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হবে যদি
A = A^T হয়।

∴ a + b – c = 1 . . . (i)
a + b + c = 9 . . . (ii) এবং
a – b + c = 5 . . . (iii)
(ii) – (i) করে পাই,,
a + b + c – a – b + c = 9 – 1
বা, 2c = 8
বা, c = 4
(ii) – (iii) করে পাই,
a + b + c – a + b – c = 9 – 5
বা, 2b = 4
বা, b = 2
(ii) নং থেকে পাই,
a + b + c = 9
বা, a + 2 + 4 = 9
বা, a = 3
Ans: (A) a = 3, b = 2, c = 4

9. যদি A একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A| = 7 তবে |2A^T| -এর মান হবে
(A) 32 (B) 28 (C) 16 (D) 56

Solution: A একটি তৃতীয় ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A| = 7
∴ |A^T| = 7
|2A^T| = 2³.|A^T|
= 8.7 = 56
Ans: (D) 56

HS 2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

10. যদি 3 × 3 ক্রমের A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব থাকে এবং |A| = 5 হয় তবে |adj A| -এর মান হবে
(A) 20 (B) 15 (C) 5 (D) 25

Solution: A 3 × 3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব আছে। |A| = 5
∴ |adj A|
= |detA|^{3 – 1}
= (5)² = 25
Ans: (D) 25

11. সকল অখণ্ড সংখ্যার সেট z -এর ওপর সম্বন্ধ ρ এবং ρ = {(x, y); |x – y| ≤ 5, x, y ∈ z} হয় তবে ρ হবে
(A) স্বসম এবং প্রতিসম
(B) স্বসম এবং সংক্রমণ
(C) সংক্রমণ এবং প্রতিসম
(D) সমতুল্যতা

Solution: ধরি x ∈ Z
স্বসমতা:
(x, x) ∈ ρ
∴ |x – x| = 0  ≤ 5 → সম্বন্ধটি স্বসম
প্রতিসমতা:  
x, y ∈ ρ ⇒ |x – y| ≤ 5
∴ y – x = -(x – y)
∴ |y – x| = |-(x – y)|
= |x – y| ≤ 5 ⇒ y, x ∈ ρ → সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সংক্রমণতা:
x, y, z ∈ ρ
∴ |x – y| ≤ 5 ∧ |y – z| ≤ 5
∴ |x – z| ≤ |x – y| + |y – z| ≤ 5 + 5 ≤ 10 → সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
অতএব সম্বন্ধটি সমতুল্যও নয়।
Ans: (A) স্বসম এবং প্রতিসম

12. বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R → R, g: R → R, হলো এমন দুটি চিত্রণ যে,
 f(x) = |x| – x²,  g(x) = 2x + 3; ∀x ∈ R, তবে (gof)(-3) -এর মান হবে
(A) 9 (B) -9 (C) 6 (D) -6

Solution: f(x) = |x| – x²,  g(x) = 2x + 3;
∴ (gof)(-3)
= g{f(-3)}
= g(|3| – 3²)
=g(3 – 9)
= g(-6) = 2.(-6) + 3 = -12 + 3 = -9
Ans: (B) -9

13. বিবৃতি (Q): বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক: f: R → R, f(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞাত হলে f(x) উপরিচিত্রণ (onto) হবে না।
কারণ (R): একটি অপেক্ষক F: X → Y একৈক চিত্রণ হবে যদি F(a) =  F(b) ⇒ a = b হয়।

বিকল্পসমূহ।
(A) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য এবং (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা
(B) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য কিন্তু (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়
(C) (Q) সত্য কিন্তু (R) মিথ্যা
(D) (Q) মিথ্যা কিন্তু (R) সত্য
Solution: বিবৃতি (Q): f: R → R, f(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞা।
∴ f(x) -এর মান সর্বদা পূর্ণসংখ্যা হবে অর্থাৎ f(x) ∈ Z
কিন্তু x-এর মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে অর্থাৎ x ∈ R।
∴ f(x) উপরিচিত্রণ (onto) হবে না। → বিবৃতিটি সত্য। 
কারণ (R): একটি অপেক্ষক একৈক চিত্রণ হবে
যদি F(a) = F(b) ⇒ a = b → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: (B) (Q) ও (R) উভয়ই সত্য কিন্তু (R), (Q)-এর সঠিক ব্যাখ্যা নয়

14. মনে করি, f: R → R (R বাস্তব সংখ্যার সেট) চিত্রনটি নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: f(x) = 2x – 3. তবে f^-1{0} এর মান হবে
(A) -3 (B) 3/2 (C) 3 (D) ±3

Solution: f: R → R এবং f(x) = 2x – 3
∴ 2x – 3 = 0
বা, x = ³/₂
Ans: (B) ³/₂

15. cot^-1 (-¹/_√3) -এর মুখ্য মান হবে
(A) ^2π/₃ (B) – ^π/₃ (C) ^π/₃ (D) ^π/₆
Solution: cot^-1 (-¹/_√3)
= cot^-1 (-cot ^π/₃)
= cot^-1 {cot (π – ^π/₃)}
=cot^-1 cot ^2π/₃
= ^2π/₃
Ans: (A) ^2π/₃

16. দুটি স্বাধীন ঘটনা হলো  A ও B। তাহলে ঘটনা দুটির মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে
(A) P(A/B) (B) P(B/A)
(C) P(A) + P(B) – P(AB)
(D) P(A) + P(B) – 2P(AB)

Solution: দুটি ঘটনার মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∪ B) – P(AB)
= P(A) + P(B) – P(AB) – P(AB)
=P(A) + P(B) – 2P(AB)
Ans: (D) P(A) + P(B) – 2P(AB)

17. একজন বক্তি প্রতিদিন রাতে TV -তে হয় Discovery অথবা Sports চ্যানেল দেখেন। তার Sports চ্যানেল দেখার সম্ভাবনা ⁴/₅ । যদি তিনি Discovery চ্যানেলটি দেখেন তবে তাঁর ঘুমিয়ে পড়ার সম্ভাবনা ³/₄ এবং sports চ্যানেলের ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₄ । যদি কোনো একদিন ব্যক্তিটি ঘুমিয়ে পড়েন তবে ঐ দিন তার Discovery চ্যানেলটি দেখার সম্ভাবনা হবে
(A) ³/₅ (B) ⁴/₅(C) ⁴/₇(D) ³/₇

Solution: ধরি, TV -তে হয় Discovery চ্যানেল দেখার ঘটনা A এবং Sports চ্যানেল দেখার ঘটনা B.
এখানে P(B) = ⁴/₅
P(A∪B) = 1
⇒ P(A) + P(B) = 1
⇒ P(A) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
 X ঘুমিয়ে পড়ার ঘটনা হলে P(X/A) = ³/₄ এবং P(X/B) = ¹/₄
Bayes উপপাদ্য থেকে পাই,

18. যদি কোনো সম্ভাবনা নিবেশনে সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক X-এর ক্ষেত্রে গড় মান ⁶/₅ এবং x² -এর গড় মান 2 হয় তবে X-এর সমক পার্থক্য হবে
(A) ^√7/₅ (B) ^√14/₅ (C) ⁷/_√5 (D) √⁶/₅

Solution: গড় মান E(X) = ⁶/₅ এবং E(x²) = 2

19. যদি দুটি ঘটনা A এবং B -এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা x এবং A ও B উভয়ই ঘটার সম্ভাবনা y হয় তবে P(A) + P(B) -এর মান হবে
(A) x + y (B) x + 2y
(C) 2x + 2y (D) 2x + y

Solution: A বা B এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B)
A ও B উভয়ই ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∩ B) = y
A বা B এর মধ্যে ঠিক একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা:
  P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B) = x
বা, P(A) + P(B) – 2y = x
বা, P(A) + P(B) = x + 2y
Ans: (B) x + 2y

20. একটি সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক X -এর সম্ভাবনা নিবেশন হলো নিম্নরূপ:

তাহলে P( X ≥ 2) হবে
(A) ¹/₅ (B) ²/₅ (C) ³/₅ (D) ⁴/₅
Solution: সমসম্ভব চলকের ক্ষেত্রে,
∑P_i = 1
∴ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
বা, 15k = 1
বা, k = ¹/₁₅
P( X ≥ 2)
= P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)
= 3k + 4k + 5k
=12k = 12.¹/₁₅
= ⁴/₅
Ans: (D) ⁴/₅

21. sin^-1x + sin^-1y = ^2π/₃ হলে cos^-1x + cos^-1y -এর মান হবে
(A) ^π/₃ (B) ^π/₆ (C) ^2π/₃ (D) ^5π/₃

Solution: sin^-1x + sin^-1y = ^2π/₃
বা, ^π/₂ – cos^-1x – ^π/₂ + cos^-1y = ^2π/₃
বা, – (cos^-1x + cos^-1y) + π = ^2π/₃
বা,(cos^-1x + cos^-1y) = ^2π/₃ – π
বা, – (cos^-1x + cos^-1y) = – ^π/₃
বা, cos^-1x + cos^-1y = ^π/₃
Ans: (A) ^π/₃

(A) 0 (B) 1 (C) ¹/₃ (D) ¹/₂
Solution:

23. যদি A = [a_ij] একটি 2 × 2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয় যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)², তবে A হবে

2026 SEMESTER 3 MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

Solution:

    বামস্তম্ভ           ডানস্তম্ভ

বিকল্পসমূহ:
(A) (i) – (a), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (b)
(B) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (a), (iv) – (d)
(C) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (a)
(D) (i) – (b), (ii) – (d), (iii) – (c), (iv) – (a)
Solution:

Ans: (C) (i) – (b), (ii) – (c), (iii) – (d), (iv) – (a)

26. f(x) = log_x(log_ex) হলে f^‘(e) -এর মান হবে
(A) e (B) ²/_e (C) ¹/_e (D) 0

27. যদি x = sin^-1t এবং y = √(1 – t²) হয় তাহলে t = 1 -এ ^d2y/_dx² – এর মান হবে
(A) 1 (B) 0 (C) ¹/₂ (D) -1

28. যদি ^dx/_dy = l এবং ^d2x/_dy² = m হয় তবে ^d2y/_dx² -এর মান হবে

29. যদি f(x) = {x2 + ax + b, x < 1
                      x,      x ≥ 1 হয় এবং f(x), x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয়  তবে (a - b)-এর মান হবে 
(A) 0  (B) -2  (C) -6 (D) -3 

Solution: lim_x→1- x² + ax + b = 1 + a + b
lim_x→1+ x = 1
f(x) অবকলনযোগ্য।
∴ x = 1 বিন্দুতে f(x) সন্তত
∴ lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ f(x)
⇒ 1 + a + b = 1
⇒ a = -b
Lf‘(x) = 2x + a
∴ Lf‘(1) = 2 + a
Rf‘(x) = 1
∴ Rf‘(1) = 1
f(x) অবকলনযোগ্য।
∵ Lf‘(1) = Rf‘(1)
∴ 2 + a = 1
⇒ a = -1
∴ b = 1
a – b = -1 – 1 = -2
Ans: (B) -2

SEMESTER-3

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(A) x = 1, – 1, – 3 (B) x = – 1, – 3
(C) x = 1, – 3 (D) x = 1, -1
Solution: f(x) অপেক্ষকটি অসন্তত হবে যদি
x³ + 3x² – x – 3 = 0 হয়।
∴ x³ + 3x² – x – 3 = 0
বা, x²(x + 3) – 1(x + 3) = 0
বা,(x + 3)(x² – 1) = 0
বা,(x + 3)(x + 1)(x – 1) = 0
∴ x = -1, 1, -3
Ans: (A) x = 1, – 1, – 3

⇒ -1(1 – 1) – 1(-1 – 1) + 1(1 + 1) = λ
⇒ 2 + 2 = λ
∴ λ = 4
Ans: (D) 4

32. kx + y + z = 1 , x + ky + z = k এবং x + y + kz = k^2 সমীকরণত্রয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যদি
(A) k ≠ 1 (B) k ≠ 1, k ≠ 2
(C) k ≠ 1, k ≠ -2 (D) k ≠ 0 হয়।

Solution: সমীকরণত্রয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকবে যদি △ ≠ 0 হয়।

⇒ (k+2)[1(k² -1) – 1(k – 1) + 1(1 – k)] ≠ 0
⇒ (k+2)[(k + 1)(k – 1)-(k – 1) -(k – 1)] ≠ 0
⇒(k+2)(k – 1)(k + 1 – 1 – 1) ≠ 0
⇒ (k+2)(k – 1)(k – 1) ≠0
∴ k ≠ -2, k ≠ 1
Ans: (C) k ≠ 1, k ≠ -2

(A) 1 (B) ¹/₃ (C) ¹/₃ (D) 2
Solution: f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।

34. যদি x^myⁿ = (x + y)^{m + n} হয় তাহলে ^dy/_dx-এর মান হবে
(A) 0 (B) ^y/_x (C) ^{x + y}/_xy (D) xy

Solution: x^myⁿ = (x + y)^{m + n} উভয়দিকে log নিয়ে পাই,
log(x^myⁿ) = log(x + y)^{m + n}
⇒ logx^m + logyⁿ = (m+n)log(x + y)
⇒ mlogx + nlogy = (m+n)log(x + y)
x -এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

(A) -2 (B) 2 (C) 3 (D) -4

Solution:

চরম বা অবম মানের জন্য,
^dy/_dx = 0 হবে।

37. বিবৃতি-I: f(x) = 3 + |x – 3|-এর স্থানীয় অবম মান 3 ।
বিবৃতি-II: f(x) = sinx-এর অসীম সংখ্যক চরম ও অবম মান আছে।
সঠিক বিকল্প কোনটি?
(A) বিবৃতি-I সত্য, বিবৃতি-II মিথ্যা
(B) বিবৃতি-I মিথ্যা, বিবৃতি-II সত্য
(C) বিবৃতি-Ⅰ, বিবৃতি-II উভয়ই সত্য
(D) বিবৃতি-Ⅰ, বিবৃতি-II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: f(x) = 3 + |x – 3|
∵ |x – 3| ≥ 0
⇒ 3 + |x – 3| ≥ 3
∴ f(x) -এর স্থানীয় অবম মান 3 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: f(x) = sinx
আবার
-1 ≤ sinx ≤ 1 sinx -এর চরম ও অবম মান যথাক্রমে 1 এবং -1 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: (A) বিবৃতি-I সত্য, বিবৃতি-II মিথ্যা

38. P(A) = ¹/₄, P(B) = ¹/₃ এবং P(A – B) = ¹/₆ হলে A ও B ঘটনাদ্বয় পরস্পর
(A) পৃথক (B) স্বাধীন (C) স্বাধীন নয় (D) সম্পূর্ণ

Solution: P(A – B) = ¹/₆
বা, P(A) – P(A∩B) = ¹/₆
বা, ¹/₄ – P(A∩B) = ¹/₆
⇒ – P(A∩B) = ¹/₆ – ¹/₄ = – ¹/₁₂
বা, P(A∩B) = ¹/₁₂
আবার
P(A) × P(B) = ¹/₄ × ¹/₃ = ¹/₁₂
∴ P(A∩B) = P(A).P(B)
A ও B ঘটনাদ্বয় পরস্পর স্বাধীন।
Ans: (B) স্বাধীন

39. একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রাকে n বার উৎক্ষেপণ করা হলো। যদি হেড্ পড়ার সম্ভাবনা p(0 < p < 1) তবে r (r < n) তম হেড্, n তম উৎক্ষেপণে পড়ার সম্ভাবনা হবে
(A) ^n-1C_{r – 1} p^r q^{n – r} (B) ⁿC_r p^r q^{n – r} (C) p^r (D) p^{n – r}

Solution: একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা n বার উৎক্ষেপণ করা হয়েছে।
হেড পড়ার সম্ভাবনা p
∴ টেইল পড়ার সম্ভাবনা q = 1 – p
r-তম হেড n-তম উৎক্ষেপণে পড়তে হলে, প্রথম (n – 1) উৎক্ষেপণে r – 1 বার হেড পড়তে হবে এবং পরবর্তী  n-তম উৎক্ষেপণে অবশ্যই হেড পড়তে হবে।
প্রথম (n – 1) উৎক্ষেপণের মধ্যে r – 1 বার হেড পড়ার সম্ভাবনা
= ^n-1C_{r – 1} p^{r – 1} q^{n – r}
n-তম উৎক্ষেপণে হেড পড়ার সম্ভাবনা = p
∴ মোট সম্ভাবনা
= ^n-1C_{r – 1} p^{r – 1} q^{n – r} × p
= ^n-1C_{r – 1} p^r q^{n – r}
Ans: (A) ^n-1C_{r – 1} p^r q^{n – r}

40. যদি X, Y, Z তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ও পরিপূর্ণ ঘটনা যেখানে P(X) = ²/₃P(Y), P(Z) = ¹/₃P(Y) হয়, তবে P(Z)-এর মান হবে
(A) ¹/₆ (B) ¹/₃ (C) ⁵/₆ (D) ²/₃

Solution: P(X) = ²/₃P(Y) বা,
এবং P(Z) = ¹/₃P(Y)
বা, P(Y) = 3.P(Z)
X, Y, Z তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন ও পরিপূর্ণ
∴ P(X) + P(Y) + P(Z) =1
বা, ²/₃P(Y) + 3P(Z) + P(Z) = 1
বা, ²/₃.3P(Z) + 3P(Z) + P(Z) = 1
⇒ 2P(Z) + 3P(Z) + P(Z) = 1
বা, 6P(Z) = 1
বা, P(Z) = ¹/₆
Ans: (A) ¹/₆