Category: SEMESTER-2

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle
SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle
SEMESTER-2
CIRCLE (বৃত্ত)
Complete solution of Circle
CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle
SEMESTER-2
CIRCLE (বৃত্ত)
Complete solution of Circle
সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. x² + y² – x – 4y + 7 = 0 দ্বারা একটি বৃত্তের সমীকরণ সূচিত হয় কি না পরীক্ষা করো।
Solution: x² + y² – x – 4y + 7 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -1 বা, g = –¹/₂;
2f = -4 বা, f = -2;
c = 7
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (¹/₂, 2) এবং
ব্যাসার্ধ = \(\sqrt{\left(-\frac{1}{2} \right)^2+ (-2)^2 – 7}=\sqrt{\frac{1}{4}-3}=\sqrt{\frac{-11}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{-11}\)
ইহা অসম্ভব।
∴ x² + y² – x – 4y + 7 = 0 দ্বারা একটি বৃত্তের সমীকরণ সূচিত হয় না।(Ans)
2. একটি বৃত্তের কেন্দ্র (3, -1) বিন্দুতে এবং তা (6, -5) বিন্দুগামী; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তের কেন্দ্র (3, -1)
ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 1)² = r² . . . (i)
বৃত্তটি (6, -5) বিন্দুগামী।
∴ (6 – 3)² + (-5 + 1)² = r²
বা, 9 + 16 = r²
বা, r² = 25
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 1)² = 25
বা, x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 = 25
বা, x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0
3. নীচের প্রত্যেকটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো:
(i) 4x² + 4y² = 25
Solution: বৃত্তটির সমীকরণ:
4x² + 4y² = 25
⇒ x² + y² = ²⁵/₄ = (⁵/₂)²
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ ⁵/₂ একক (Ans)
(ii) x² + y² – 3x + 2y – 19 = 0
Solution: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 3x + 2y – 19 = 0
⇒ x² – 2.x.3/2 + (³/₂)² + y² + 2.y.1 + 1² – ⁹/₄ – 1 – 19 = 0
⇒ (x – ³/₂)² + (y + 1)² = ⁹/₄ + 1 + 19
বা, (x – ³/₂)² + (y + 1)² = ^{9 + 4 + 76}/₄
⇒ (x – ³/₂)² + (y + 1)² = ⁸⁹/₄ = (^√89/₂)²
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (³/₂, -1) এবং ব্যাসার্ধ ¹/₂√89 একক (Ans)
(iii) 3(x² + y²) = 5x + 6y – 4
Solution: বৃত্তটির সমীকরণ:
3(x² + y²) = 5x + 6y – 4
⇒ x² + y² – ⁵/₃x – 2y + ⁴/₃ = 0
⇒ x² – 2.x.5/6 + (⁵/₆)² + y² – 2.y.1 + 1² – ²⁵/₃₆ – 1 + ⁴/₃ = 0
বা, (x – ⁵/₆)² + (y – 1)² = ²⁵/₃₆ + 1 – ⁴/₃
⇒ (x – ⁵/₆)² + (y – 1)² = ^{25 + 36 – 48}/₃₆
⇒ (x – ⁵/₆)² + (y – 1)² = ¹³/₃₆ = (^√13/₆)²
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (⁵/₆, 1) এবং ব্যাসার্ধ ^√13/₆ একক (Ans)
(iv) (x – a)² + (y + b)(y – b) = 0
Solution: বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – a)² + (y + b)(y – b) = 0
⇒ (x – a)² + y² – b² = 0
⇒ (x – a)² + (y – 0)² = b²
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a, 0) এবং ব্যাসার্ধ b একক (Ans)
4. কী শর্তে ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 দ্বারা বৃত্ত সূচিত হয় উল্লেখ করো এবং এই শর্তে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো
Solution: ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 দ্বারা একটি বৃত্ত সূচিত হবে,
যখন a = b (≠ 0) এবং h = 0
উপরোক্ত শর্তে বৃত্তটির সমীকরণ হবে:
ax² + 2.0.xy + ay² + 2gx + 2fy + c = 0
⇒ x² + y² + 2.^g/_a.x + 2.^f/_a.y + ^c/_a = 0
⇒ x² + 2.x.^g/_a + (^g/_a)² + y² + 2.y.^f/_a + (^f/_a)² – ^g²/_a² – ^f²/_a² + ^c/_a = 0
বা, (x + ^g/_a)² + (y^2 + ^f/_a)² – ^g²/_a² – ^f²/_a² + ^c/_a = 0
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-^g/_a, –^f/_a)
Ans: a = b(≠ 0) এবং h = 0 শর্তে ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 দ্বারা বৃত্ত সূচিত হয়। সেক্ষেত্রে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (-^g/_a, –^f/_a).
5. মূলবিন্দুগামী এবং (a, 0) ও (0,b) বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, মূলবিন্দুগামী অর্থাৎ (0, 0), (a, 0) এবং (0, b) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (i)
∴ 0² + 0² + 2g.0 + 2f.0 + c = 0
বা, c = 0
এবং a² + 0² + 2g.a + 2f.0 + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, a² + 2ag = 0
বা, g = –^a/₂
আবার 0² + b² + 2g.0 + 2f.b + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, b² + 2fb = 0
বা,f = –^b/₂
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ =\(\sqrt{g^2 + f^2 -c}\\=\sqrt{\left( -\frac{a}{2} \right)^2 +\left( -\frac{b}{2} \right)^2+0}\\=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}}\\=\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}}\\=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\)
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1/2√(a^2 + b^2)একক
6. (i) (2a, 0) ও (0, -2a) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (2a, 0) ও (0, -2a) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ:
(x – 0)(x – 2a) + (y + 2a)(y – 0) = 0
⇒ x² – 2ax + y² + 2ay = 0
⇒ x² + y² – 2ax + 2ay = 0
Ans: বৃত্তের ব্যাসের সমীকরণ: x² + y² – 2ax + 2ay = 0
6. (ii) (3, 7) ও (9, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: (3, 7) ও (9, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ:
(x – 3)(x – 9) + (y – 7)(y – 1) = 0
⇒ x² – 9x – 3x + 27 + y² – y – 7y + 7 = 0
⇒ x² + y² – 12x – 8y + 34 = 0
Ans: বৃত্তের ব্যাসের সমীকরণ: x² + y² – 12x – 8y + 34 = 0
7. বক্তব্যগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক? উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
(a) (0, 0) বিন্দুটি x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তের পরিধির (i) ওপরে (ii) ভিতরে (iii) বাইরে অবস্থিত।
Solution: (0, 0) বিন্দুটি x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তের সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই,
0² + 0² + 2.0 – 2.0 – 2 = -2 < 0
∴ (0, 0) বিন্দুটি x^2 + y^2 + 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তের পরিধির ভিতরে অবস্থিত।
Ans: (ii) বক্তব্যটি সত্য
(b) (2, -1) বিন্দুটি x² + y² – 4x + 6y + 8 = 0 বৃত্তের (i) ভিতরে (ii) ওপরে (iii) বাইরে অবস্থিত।
Solution: (2, -1) বিন্দুটি x² + y² – 4x + 6y + 8 = 0 বৃত্তের সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই,
2² + (-1)² – 4.2 + 6.(-1) + 8
= 4 + 1 – 8 – 6 + 8
= 13 – 14 = -1 < 0
∴ (2, -1) বিন্দুটি x² + y² – 4x + 6y + 8 = 0 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
Ans: (i) বক্তব্যটি সত্য
8. (i) x² + y² – 3x + 2y – 19 = 0 বৃত্ত সাপেক্ষে (-3, -2) বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করো।
Solution: (-3, -2) বিন্দুটি x² + y² – 3x + 2y – 19 = 0 বৃত্তের সমীকরণের বামপক্ষে বসিয়ে পাই, (-3)² + (-2)² – 3(-3) + 2(-2) – 19
= 9 + 4 + 9 – 4 – 19
= 22 – 23 = -1 < 0
Ans: (-3, -2) বিন্দুটি x² + y² – 3x + 2y – 19 = 0 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
8. (ii) (λ, 1 + λ) বিন্দুটি x² + y² = 1 বৃত্তের ভেতরে থাকলে λ-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: (λ, 1 + λ) বিন্দুটি x² + y² = 1 বৃত্তের ভেতরে অবস্থিত।
∴ λ² + (1 + λ)² < 1
⇒ λ² + 1 + 2λ + λ² – 1 < 0
⇒ 2λ² + 2λ < 0
⇒ 2λ(λ + 1)< 0
⇒ λ(λ + 1)< 0
∴ λ < 0
এবং λ + 1 > 0 বা, λ > -1
∴ – 1 < λ < 0
Ans: λ-এর মান: – 1 < λ < 0
9. x² + y² – 4x + 6y + 9 = 0 বৃত্তের (1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x + 6y + 9 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -4 বা, g = -2;
2f = 6 বা, f = 3;
c = 9
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3)
বৃত্তের (1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ:
\(\quad \frac{y + 2}{-2 + 3}= \frac{x – 1}{1 – 2}\\⇒\frac{y + 2}{1} = \frac{x – 1}{-1}\)
⇒ x – 1 = – y – 2
⇒ x + y + 1 = 0
Ans: বৃত্তের (1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ: x + y + 1 = 0
10. (i) 3x – 4y + 7 = 0 সরলরেখা x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0 বৃত্তের P বিন্দুতে একটি স্পর্শক; P বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = 4 বা, g = 2;
2f = 2 বা, f = 1;
c = 4
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-2, -1)
3x – 4y + 7 = 0 সরলরেখা বৃত্তের P বিন্দুতে একটি স্পর্শক;
∴ P বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্ব 3x – 4y + 7 = 0 স্পর্শকের উপর লম্ব হবে।
ধরি, P বিন্দুতে লম্বের সমীকরণ 4x + 3y + k = 0 . . . (i)
বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদাই বৃত্তের কেন্দ্রগামী হয়।
∴ (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
4.(-2) + 3.(-1) + k = 0
বা, – 8 – 3 + k = 0
বা, k = 11
বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ 4x + 3y + 11 = 0(Ans)
10. (ii) x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদাই কোন্ বিন্দুটির মধ্য দিয়ে যায়?
Solution: x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -4 বা, g = -2;
2f = 6 বা, f = 3;
c = –12
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3)
বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদাই বৃত্তের কেন্দ্রগামী হয়।
∴ প্রদত্ত বৃত্তের যে-কোনো বিন্দুতে অভিলম্ব সর্বদাই (2, -3) বিন্দুটির মধ্য দিয়ে যায়।(Ans)
11. x² + y² + 4x – 7y – k = 0 বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 একক, k-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 4x – 7y – k = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = 4 বা, g = 2;
2f = -7বা, f = –⁷/₂;
c = -k
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-2, ⁷/₂) এবং
ব্যাসার্ধ =\(\sqrt{(-2)^2 + \left( \frac{7}{2} \right)^2 + k}=\sqrt{4 + \frac{49}{4} + k}=\sqrt{ \frac{65+4k}{4}}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\\\quad 2.\sqrt{ \frac{65+4k}{4}}=9\)
⇒ 65 + 4k = 81
⇒ 4k = 81 – 65 = 16
∴ k = 4
Ans: k-এর মান 4
12. 2x² + 2y² + ax + by + c = 0 বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (3, -4) হলে, a ও b-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
2x² + 2y² + ax + by + c = 0
বা, x² + y² + ^a/₂x + ^b/₂y + ^c/₂ = 0
বা, x² + 2.x.^a²/₄ + (^a/₄)² + y² + 2.y.^b/₄ + (^b/₄)² – ^a²/₁₆ – ^b²/₁₆ + ^c/₂ = 0
বা, (x + ^a/₄)² + (y + ^b/₄)² – ^a²/₁₆ – ^b²/₁₆ + ^c/₂ = 0
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-^a/₄, –^b/₄)
প্রশ্নানুযায়ী,
–^a/₄ = 3 ⇒ a = -12
এবং –^b/₄ = -4 ⇒ b = 16
Ans: a ও b-এর মান হলো: a = – 12 , b = 16
13. (i) একটি বৃত্ত মূলবিন্দু থেকে +3 একক দূরে উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটি মূলবিন্দু থেকে +3 একক দূরে উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y – 3)² = 3²
বা, x² – 6x + 9 + y² – 6y + 9 = 9
বা, x² + y² – 6x – 6y + 9 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 6x – 6y + 9 = 0
13. (ii) (x – 4)² + (y – 3)² = 9 বৃত্তটি কোন্ অক্ষকে স্পর্শ করে?
Solution: (x – 4)² + (y – 3)² = 9 = 3²
বৃত্তের কেন্দ্র (4, 3) এবং ব্যাসার্ধ = 3 একক
Ans: বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে।
14. x² + y² + 4x – 8y – 5 = 0 বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 4x – 8y – 5 = 0
⇒ x² + 2.x.2 + 2² + y² – 2.4.y + 4² – 4 – 16 – 5 = 0
⇒ (x + 2)² + (y – 4)² = 25 = 5²
∴ x + 2 = 5cos θ
বা, x = -2 + 5cos θ
এবং y – 4 = 5sin θ
বা, y = 4 + 5sin θ
Ans: বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো:
x = -2 + 5cos θ এবং y = 4 + 5sin θ
15. একটি বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ x = ¹/₂ (- 3 + 4cos θ) y = ¹/₂ (1 + 4sin θ); বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x = ¹/₂ (- 3 + 4cos θ)
⇒ – 3 + 4cos θ = 2x
⇒ 4cos θ = 2x + 3
বা, cos θ = ^{2x + 3}/₄
y = ¹/₂(1 + 4sin θ)
⇒ 1 + 4sin θ = 2y
⇒ 4sin θ = 2y – 1
বা, sin θ = ^{2y – 1}/₄
∵ sin² θ + cos² θ = 1
⇒ (^{2y – 1}/₄)² + (^{2x + 3}/₄)² = 1
⇒ ^{(2y – 1)²}/₁₆ + ^{(2x + 3)²}/₁₆ = 1
বা, (2y – 1)² + (2x + 3)² = 16
⇒ 4y² – 4y + 1 + 4x² + 12x + 9 = 16
⇒ 4y² + 4x² – 4y + 12x – 6 = 0
বা, 2(2x² + 2y² – 2y + 6x – 3) = 0
⇒2x² + 2y² + 6x – 2y – 3 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: 2x² + 2y² + 6x – 2y – 3 = 0
16. (i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 2x – 4y – 8 = 0 হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: অন্তর্বৃত্তের সমীকরণঃ
x² + y² + 2x – 4y – 8 = 0
বা, x² + 2.x.1 + 1² + y² – 2.y.2 + 2² – 1 – 4 – 8 = 0
বা, (x + 1)² + (y – 2)² = 13 = (√13)²
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (-1, 2)
এবং ব্যাসার্ধ = √13 একক।
সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রই(G) হলো অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
চিত্রে GD হলো অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং AD হলো সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা।
ধরি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = h একক ।
এখানে GD =√13
∴ ¹/₃AD = GD
বা, ¹/₃.h = √13
বা, h = 3√13
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = ^√3/₂×a . . . [বাহুর দৈর্ঘ্য = a]
∴ ^√3/₂×a = 3√13
বা, a = ^2×3√13/_√3
বা, a = 2×√3×√13
সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ^√3/₄×a²
= ^√3/₄×(2√3×√13)²
⇒ ^√3/₄×4×3×13
= 39√3
Ans: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 39√3বর্গএকক
16. (ii) যে সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি x² + y² – 4x – 6y – 23 = 0 বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x – 6y – 23 = 0
বা, x² – 2.x.2 + 2² + y² – 2.3.y + 3² – 4 – 9 – 23 = 0
বা, (x – 2)² + (y – 3)² = 36 = (6)²
∴ বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ^3√3/₄.r² . . [যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= ^3√3/₄.(6)²
= = ^3√3/₄.36 = 27√3
Ans: বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 27√3বর্গএকক
Click here to visit our Facebook
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3
1. একটি বৃত্তের কেন্দ্র (2, -4) বিন্দুতে এবং তা x² + y² – 2x + 2y – 38 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: যে বৃত্তেরকেন্দ্র (2, -4) ধরি তার সমীকরণ (x – 2)² + (y + 4)² = r² . . . (i)
x² + y² – 2x + 2y – 38 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (1, -1)
(i) নং বৃত্ত (1, -1) বিন্দুগামী।
∴ (1 – 2)² + (-1 + 4)² = r²
বা, 1 + 9 = r²
বা, r² = 10
(i) নং থেকে পাই,
(x – 2)² + (y + 4)² = 10
বা, x² – 4x + 4 + y² + 8y + 16 = 10
বা, x² + y² – 4x + 8y + 10 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 8y + 10 = 0
2. (2, -2) বিন্দুগামী এবং x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
Solution: x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3)
ধরি, প্রদত্ত বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ (x – 2)² + (y + 3)² = r² . . . (i)
(i) নং বৃত্ত (2, -2) বিন্দুগামী।
∴ (2 – 2)² + (-2 + 3)² = r²
বা, 0 + 1 = r²
বা, r² = 1
(i) নং থেকে পাই,
(x – 2)² + (y + 3)² = 1
বা, x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 1
বা, x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 1 একক
3. x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় এবং x² + y² – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-2, 3)
ধরি, x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ:
(x + 2)² + (y – 3)² = r² . . . (i)
x² + y² – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (4, 5)
(i) নং বৃত্ত (4, 5) বিন্দুগামী।
∴ (4 + 2)² + (5 – 3)² = r²
বা, 36 + 4 = r²
বা, r² = 40
(i) নং থেকে পাই,
(x + 2)² + (y – 3)² = 40
বা, x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 40
বা, x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0
4. x² + y² + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী যে সরলরেখাটি x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-1, -1)
x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y + k = 0 . . . (i)
(i) নং সরলরেখা (-1, -1) বিন্দুগামী।
∴ -1 – 1 + k = 0
বা, k = 2
(i) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
x + y + 2 = 0
Ans: লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y + 2 = 0
5.(i) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (0, 0), (1, 2), (2, 0)
Solution: ধরি (0, 0), (1, 2) এবং (2, 0) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (i)
∴ 0² + 0² + 2g.0 + 2f.0 + c = 0
বা, c = 0
এবং 1² + 2² + 2g.1 + 2f.2 + c = 0
বা, 1 + 4 + 2g + 4f + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, 2g + 4f + 5 = 0 . . . (ii)
আবার 2² + 0² + 2g.2 + 2f.0 + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, 4 + 4g = 0
বা, g = -1
(ii) নং থেকে পাই,
2(-1) + 4f + 5 = 0
বা, 4f + 3 = 0
বা, f = –³/₄
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-1)x + 2.(-³/₄)y + 0 = 0
বা, x² + y² – 2x – ³/₂y = 0
বা, 2x² + 2y² – 4x – 3y = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ: 2x² + 2y² – 4x – 3y = 0
5. (ii) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (2, -1), (2, 3), (4, -1)
Solution: ধরি (2, -1), (2, 3) এবং (4, -1) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (i)
∴ 2² + (-1)² + 2g.2 + 2f.(-1) + c = 0
বা, 4 + 1 + 4g – 2f + c = 0
বা, 4g – 2f + 5 + c = 0 . . . (ii)
এবং 2² + 3² + 2g.2 + 2f.3 + c = 0
বা, 4 + 9 + 4g + 6f + c = 0
বা, 4g + 6f + 13 + c = 0 . . . (iii)
আবার 4² + (-1)² + 2g.4 + 2f.(-1) + c = 0
বা, 16 + 1 + 8g – 2f + c = 0
বা, 8g – 2f + 17 + c = 0 . . . (iv)
(ii) – (iii) করে পাই,
4g – 2f + 5 + c – (4g + 6f + 13 + c) = 0
বা, 4g – 2f + 5 + c – 4g – 6f – 13 – c = 0
বা, -8f – 8 = 0
⇒ f = -1
(iii) – (iv) করে পাই,
4g + 6f + 13 + c – (8g – 2f + 17 + c) = 0
বা, 4g + 6f + 13 + c – 8g + 2f – 17 – c = 0
বা, -4g + 8f – 4 = 0
⇒ -4g + 8.(-1) – 4 = 0 . . . [∵ f = -1]
বা, -4g – 12 = 0
বা, g = -3
(ii) নং থেকে পাই,
4(-3) – 2(-1) + 5 + c = 0
বা, -12 + 2 + 5 + c = 0
বা, c = 5
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-3)x + 2.(-1)y + 5 = 0
বা, x² + y² – 6x – 2y + 4 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ x² + y² – 6x – 2y + 4 = 0
6. দেখাও যে (2, 0), (5, -3), (2, -6) এবং (-1, -3) বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ ও কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: ধরি (2, 0), (5, -3) এবং (2, -6) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণঃ
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (i)
∴ 2² + 0² + 2g.2 + 2f.0 + c = 0
বা, 4 + 4g + c = 0 . . . (ii)
এবং 5² + (-3)² + 2g.5 + 2f.(-3) + c = 0
বা, 34 + 10g – 6f + c = 0 . . . (iii)
আবার 2² + (-6)² + 2g.2 + 2f.(-6) + c = 0
বা, 40 + 4g – 12f + c = 0 . . . (iv)
(ii) – (iv) করে পাই,
4 + 4g + c – (40 + 4g – 12f + c) = 0
বা, 4 + 4g + c – 40 – 4g + 12f – c = 0
বা, 4 – 40 + 12f = 0
⇒ 12f = 36
বা, f = 3
(ii) – (iii) করে পাই,
4 + 4g + c – (34 + 10g – 6f + c) = 0
বা, 4 + 4g + c – 34 – 10g + 6f – c = 0
বা, – 30 – 6g + 6f = 0
⇒ – 30 – 6g + 6.3 = 0 . . . [∵ f = 3]
⇒ – 12 – 6g = 0
বা, – 6g = 12
বা, g = -2
(ii) নং থেকে পাই,
4 + 4(-2) + c = 0
বা, -4 + c = 0
বা, c = 4
∴ বৃত্তেরকেন্দ্র (2, -3)
বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-2)x + 2.3y + 4 = 0
বা, x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 . . . (v)
(v) নং সমীকরণের ডানপক্ষে (-1, -3) বসিয়ে পাই,
(-1)² + (-3)² – 4.(-1) + 6.(-3) + 4
= 1 + 9 + 4 – 18 + 4
= 18 – 18 = 0
∴ (-1, -3) দ্বারা নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
(-1, -3) বিন্দুটি নির্ণেয় বৃত্তটির উপর অবস্থিত।
অতএব (2, 0), (5, -3), (2, -6) এবং (-1, -3) বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত।(Proved)
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0
ও কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (2, -3)
7. প্রমাণ করো যে x² + y² – 10x + 9 = 0, x² + y² – 6x + 2y + 1 = 0 এবং x² + y² – 18x – 4y + 21 = 0 বৃত্ত তিনটির কেন্দ্র একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত; সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 10x + 9 = 0 . . . (i)
x² + y² – 6x + 2y + 1 = 0 . . . (ii) এবং
x² + y² – 18x – 4y + 21 = 0 . . . (iii)
প্রদত্ত বৃত্ত তিনটিকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
(i) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -10 বা, g = -5;
2f = 0 বা, f = 0
; c = 9
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (5, 0)
(ii) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -6 বা, g = -3;
2f = 2 বা, f = 1;
c = 1
∴ (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (3, -1)
(iii) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -18 বা, g = -9;
2f = -4 বা, f = -2;
c = 21
∴ (iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (9, 2)
(5, 0) এবং (3, -1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y+1}{-1-0}= \frac{x-3}{3-5} ⇒ \frac{y-1}{-1}= \frac{x-3}{-2}\)
⇒ x – 3 = 2y + 2
⇒ x – 2y = 5 . . . (iv)
(iv) নং সমীকরণের ডানপক্ষে (9, 2) বসিয়ে পাই,
9 – 2.2 = 9 – 4 = 5
(9, 2) দ্বারা (5, 0) এবং (3, -1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ (9, 2), (5, 0) এবং (3, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অতএব বৃত্ত তিনটির একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত। (Proved)
সরলরেখাটির সমীকরণ: x – 2y = 5 (Ans)
8. দেখাও যে, নীচে প্রদত্ত বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একরেখীয় এবং এদের ব্যাসার্ধগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে: x² + y² = 1 , x² + y² + 6x – 2y – 6 = 0, x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0
Solution: x² + y² = 1
⇒ x² + y² = 1²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 1 একক
x² + y² + 6x – 2y – 6 = 0
⇒ x² + 2.3.x + 3² + y² – 2.y.1 + 1² – 9 – 1 – 6 = 0
⇒ (x + 3)² + (y – 1)² = 16 = 4²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-3, 1) এবং ব্যাসার্ধ 4 একক
x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0
⇒ x² – 2.6.x + 6² + y² + 2.y.2 + 2² – 36 – 4 – 9 = 0
⇒ (x – 6)² + (y + 2)² = 49 = 7²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (6, -2) এবং ব্যাসার্ধ 7 একক
(0, 0) এবং (-3, 1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y – 0}{0-1}= \frac{x – 0}{0+3}\\ ⇒ \frac{y}{-1}= \frac{x}{3}\)
⇒ x + 3y = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণের ডানপক্ষে (6, -2) বসিয়ে পাই,
6 + 3.(-2) = 6 – 6 = 0
(6, -2) দ্বারা (0, 0) এবং (-3, 1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ (0, 0), (-3, 1) এবং (6, -2) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অতএব বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একরেখীয় (Proved)
বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ 1 একক, 4 একক এবং 7 একক।
1 + 7 = 8 = 2.4
ব্যাসার্ধগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে (Proved)
9. মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের ধনাত্মক অক্ষ দুটিতে ছেদিতাংশ যথাক্রমে 3 ও 4; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তের ধনাত্মক অক্ষ দুটিতে ছেদিতাংশ যথাক্রমে 3 ও 4;
অর্থাৎ বৃত্তটি ধনাত্মক অক্ষ দুটিকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী ।
∴ বৃত্তটি (3, 0), (0, 4) ও (0, 0) বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্ত হবে।
পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হল (3, 0) ও (0, 4)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)(x – 0) + (y – 0)(y – 4) = 0
বা, x² – 3x + y² – 4y = 0
বা, x² + y² – 3x – 4y = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (^{3 + 0}/₂, ^{0 + 4}/₂) = (³/₂, 2)
বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ:
\(\quad \frac{y-2}{2-0}=\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-0}\\⇒\frac{y-2}{2}=\frac{2x-3}{3}\)
⇒ 4x – 6 = 3y – 6
⇒ 4x – 3y = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 3x – 4y = 0
এবং মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ 4x – 3y = 0
10. 2x + 3y = 6 সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার পরিলিখিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির ব্যাস কত?
Solution: সরলরেখাটির সমীকরণঃ
2x + 3y = 6
⇒ ^x/₃ + ^y/₂ = 1
সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটিকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস হয়।
∴ পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হল (3, 0) ও (0, 2)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)(x – 0) + (y – 0)(y – 2) = 0
বা, x² – 3x + y² – 2y = 0
বা, x² + y² – 3x – 2y = 0
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস
=\(\sqrt{\left(3-0 \right)^2+\left(0-2 \right)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)
Ans: পরিলিখিত বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 3x – 2y = 0
এবং পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস √13 একক
11. যে বৃত্তের কোনো ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (4, -2) এবং (-1, 3), তার সমীকরণ নির্ণয় করো। ওই বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তের কোনো ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (4,-2) এবং (-1, 3)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 4)(x + 1) + (y + 2)(y – 3) = 0
বা, x² + x – 4x – 4 + y² – 3y + 2y – 6 = 0
বা, x² + y² – 3x – y – 10 = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (^4-1/₂, ^-2+3/₂) = (³/₂, ¹/₂)
বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ:
\(\quad \frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-0}=\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-0}\\⇒\frac{\frac{2y-1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{3}{2}}\\⇒\frac{2y-1}{1}=\frac{2x-3}{3}\\⇒ 2x – 3 = 6y – 3\)
⇒ 2x – 6y = 0
⇒ x – 3y = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 3x – y – 10 = 0
এবং মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ: x – 3y = 0
12. (i) একটি বৃত্ত (-2, 5) ও (4, 3) বিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র 2x – 3y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র 2x – 3y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ 2α – 3β = 4
বা, 2α – 3β – 4 = 0 . . . (i)
বৃত্তটি (-2, 5) এবং (4, 3) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-2, 5) এবং (4, 3) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α+2)^2 + (β-5)^2} = \sqrt{(α-4)^2 + (β-3)^2}\)
⇒(α + 2)² + (β – 5)² = (α – 4)² + (β – 3)²
⇒ α² + 4α + 4 + β² – 10β + 25 = α² – 8α + 16 + β² – 6β + 9
⇒ 12α – 4β + 4 = 0
বা, 4(3α – β + 1) = 0
⇒ 3α – β + 1 = 0
⇒ β = 3α + 1 . . . (ii)
(i) নং সমীকরণে β = 3α + 1 বসিয়ে পাই,
2α – 3(3α + 1) – 4 = 0
বা, 2α – 9α – 3 – 4 = 0
বা, -7α = 7
⇒ α = -1
(ii) নং থেকে পাই,
β = 3.(-1) + 1 = -2
বৃত্তটির কেন্দ্র (-1, -2)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ=\(\sqrt{(4+1)^2 + (3+2)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{2}\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x + 1)² + (y + 2)² = (5√2)²
বা, x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 50
বা, x² + y² + 2x + 4y – 45 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2x + 4y – 45 = 0
12. (ii) (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দুগামী এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো, যার কেন্দ্র x – y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র x – y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ α – β = 4
বা, α – β – 4 = 0 . . . (i)
বৃত্তটি (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α-3)^2 + (β-4)^2} = \sqrt{(α+1)^2 + (β-2)^2}\)
⇒(α – 3)² + (β – 4)² = (α + 1)² + (β – 2)²
⇒ α² – 6α + 9 + β² – 8β + 16 = α² + 2α + 1 + β² – 4β + 4
⇒ – 8α – 4β + 20 = 0
বা, -4(2α + β – 5) = 0
⇒ 2α + β – 5 = 0 . . . (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
α – β – 4 + 2α + β – 5 = 0
বা, 3α – 9 = 0
বা, α = 3
(ii) নং থেকে পাই,
2.3 + β – 5 = 0
বা, 1 + β = 0
বা, β = -1
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, -1)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ=\(\sqrt{(3-3)^2 + (-1-4)^2}=\sqrt{0+25}=5\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 1)² = (5)²
বা, x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 = 25
বা, x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0
13. একটি বৃত্তের কেন্দ্র 5x – 2y + 1 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি x-অক্ষকে -5 ও 3 ভুজবিশিষ্ট দুটি বিন্দুতে ছেদ করে; বৃত্তটির সমীকরণ এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র 5x – 2y + 1 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ 5α – 2β + 1 = 0 . . . (i)
বৃত্তটি x-অক্ষকে -5 ও 3 ভুজবিশিষ্ট দুটি বিন্দুতে ছেদ করে;
অর্থাৎ বৃত্তটি (-5, 0) ও (3, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-5, 0) ও (3, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α+5)^2 + (β-0)^2} = \sqrt{(α-3)^2 + (β-0)^2}\)
⇒ (α + 5)² + (β – 0)² = (α – 3)² + (β – 0)²
⇒ α² + 10α + 25 + β² = α² – 6α + 9 + β²
বা, 16α = -16
⇒ α = -1
(i) নং থেকে পাই,
5.(-1) – 2β + 1 = 0
বা, -2β = 4
বা, β = -2
বৃত্তটির কেন্দ্র (-1, -2)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ=\(\sqrt{(-1+5)^2 + (-2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ: (x + 1)² + (y + 2)² = (√20)²
বা, x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 20
বা, x² + y² + 2x + 4y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2x + 4y – 15 = 0
এবং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2√5একক
14. কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ হয় 2x – y + 4 = 0 এবং বৃত্তটি (4, 6) ও (1, 9) বিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ 2x – y + 4 = 0
∴ 2α – β + 4 = 0 . . . (i)
বৃত্তটি (4, 6) ও (1, 9) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (4, 6) ও (1, 9) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α-4)^2 + (β-6)^2} = \sqrt{(α-1)^2 + (β-9)^2}\)
⇒ (α – 4)² + (β – 6)² = (α – 1)² + (β – 9)²
⇒ α² – 8α + 16 + β² – 12β + 36 = α² – 2α + 1 + β² – 18β + 81
বা, – 8α + 16 – 12β + 36 = – 2α + 1 – 18β + 81
বা, – 6α + 6β – 30 = 0
⇒ – 6(α – β + 5) = 0
⇒ α – β + 5 = 0 . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
2α – β + 4 – (α – β + 5) = 0
বা, 2α – β + 4 – α + β – 5 = 0
বা, α – 1 = 0
∴ α = 1
(ii) নং থেকে পাই,
1 – β + 5 = 0
বা, β = 6
বৃত্তটির কেন্দ্র (1, 6)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = \(\sqrt{(1-4)^2 + (6-6)^2}=\sqrt{9+0}=3\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ: (x – 1)² + (y – 6)² = (3)²
বা, x² – 2x + 1 + y² – 12y + 36 = 9
বা, x² + y² – 2x – 12y + 28 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 2x – 12y + 28 = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (1, 6)
এবংবৃত্তটির ব্যাসার্ধ 3 একক
বিভিন্ন সরকারি স্কলারশিপগুলি সম্বন্ধে বিস্তারিত জানতে এখানে ক্লিক করো ।
15. 5 একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট যে বৃত্ত (-6, 5) ও (-3, -4) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 একক৷
বৃত্তটির সমীকরণ: (x – α)² + (y – β)² = (5)² . . . (i)
(i) নং বৃত্ত (-6, 5) ও (-3, -4) বিন্দুগামী।
∴ (-6 – α)² + (5 – β)² = (5)²
বা, 36 + 12α + α² + 25 – 10β + β² = 25
বা, α² + β² + 12α – 10β + 36 = 0 . . . (ii)
আবার (-3 – α)² + (-4 – β)² = (5)²
বা, 9 + 6α + α² + 16 + 8β + β² = 25
বা, α² + β² + 6α + 8β = 0 . . . (iii)
(ii) – (iii) করে পাই,
α² + β² + 12α – 10β + 36 – (α² + β² + 6α + 8β) = 0
বা, α² + β² + 12α – 10β + 36 – α² – β² – 6α – 8β = 0
বা, 6α – 18β + 36 = 0
⇒ 6(α – 3β + 6) = 0
বা, α – 3β + 6 = 0
বা, α = 3β – 6 . . . (iv)
(iii) নং সমীকরণে α = 3β – 6 বসিয়ে পাই,
(3β – 6)² + β² + 6(3β – 6) + 8β = 0
বা, 9β² – 36β + 36 + β² + 18β – 36 + 8β = 0
বা, 10β² – 10β = 0
⇒ 10β(β – 1) = 0
বা, β(β – 1) = 0
∴ β = 0, 1
β = 0 হলে, α = 3.0 – 6 = -6
β = 1 হলে, α = 3.1 – 6 = -3
বৃত্তটির কেন্দ্র (-6, 0) এবং (-3, 1)
বৃত্তটির সমীকরণ: (x + 6)² + (y – 0)² = (5)²
বা, x² + 12x + 36 + y² = 25
বা, x² + y² + 12x + 11 = 0
এবং (x + 3)² + (y – 1)² = (5)²
বা, x² + 6x + 9 + y² – 2y + 1 = 25
বা, x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 12x + 11 = 0 এবং
x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0
16. (-2, 2) বিন্দুগামী বৃত্তে দুটি ব্যাসের সমীকরণ যথাক্রমে 3x + y = 5 এবং x + y + 1 = 0 বৃত্তটির সমীকরণ ও তার ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তে দুটি ব্যাসের সমীকরণ যথাক্রমে
3x + y = 5
বা, 3x + y – 5 = 0 . . . (i)এবং
x + y + 1 = 0 . . . (ii)
ব্যাস দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
(i) – (ii) করে পাই,
3x + y – 5 – (x + y + 1) = 0
বা, 3x + y – 5 – x – y – 1 = 0
বা, 2x – 6 = 0
⇒ x = 3
(ii) নং থেকে পাই,
3 + y + 1 = 0
বা, y= -4
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, -4)
বৃত্তটি (-2, 2) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(3+2)^2 + (-4-2)^2}=\sqrt{25+36}= √61\)
বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 4)² = (√61)²
বা, x² – 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 61
বা, x² + y² – 6x + 8y – 36 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x + 8y – 36 = 0 এবং
ব্যাসার্ধ √61 একক
17. একটি বৃত্ত (-3, 4) ও (1,0) বিন্দুগামী এবং তার কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটির কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত।
ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, 0)
বৃত্তটি (-3, 4) ও (1, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-3, 4) ও (1, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α+3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(α-1)^2 + (0-0)^2}\)
⇒ (α + 3)² + (-4)² = (α – 1)²
⇒ α² + 6α + 9 + 16 = α² – 2α + 1
বা, 8α = -24
⇒ α = -3
বৃত্তটির কেন্দ্র (-3, 0)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ =\(\sqrt{(-3+3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0+16}=4\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x + 3)² + (y – 0)² = (4)²
বা, x² + 6x + 9 + y² = 16
বা, x² + y² + 6x – 7 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² + 6x – 7 = 0
18. যে বৃত্ত (2, 0) ও (4, 0) বিন্দুগামী এবং যার কেন্দ্র y = 2 সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটির কেন্দ্র y = 2 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, 2)
বৃত্তটি (2, 0) ও (4, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (2, 0) ও (4, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।
\(∴ \sqrt{(α-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(α-4)^2 + (2-0)^2}\)
⇒ (α – 2)² + (2)² = (α – 4)² + (2)²
⇒ α² – 4α + 4 + 4 = α² – 8α + 16 + 4
বা, 4α = 12
⇒ α = 3
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, 2)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(= \sqrt{(3-2)^2 + (2-0)^2}=\sqrt{1+4}= √5\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y – 2)² = (√5)²
বা, x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4= 5
বা, x² + y² – 6x – 4y + 8 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x – 4y + 8 = 0
19. যে বৃত্ত y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং (α, β) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটি y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে।
∴ বৃত্তটির কেন্দ্র x-অক্ষের উপর।
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (r, 0)
বৃত্তটি (α, β) বিন্দুগামী।
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(α-r)^2 + (β-0)^2} = \sqrt{(α-r)^2 + β^2}\\∴ \sqrt{(α-r)^2 + β^2} = r\\⇒\left( \sqrt{(α-r)^2 + β^2} \right)^2= r^2\\⇒α^2-2αr+r^2 + β^2= r^2\\⇒α^2-2αr+ β^2= 0\\⇒2αr =α^2+ β^2\\⇒r =\frac{α^2+ β^2}{2α}\)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – r)² + (y – 0)² = r²
বা, x² – 2rx + r² + y² = r²
বা, x² – 2rx + y² = 0
⇒ x² – 2.^{α²+ β²}/_2α.x + y² = 0
⇒ x² – ^{α²+ β²}/_α.x + y² = 0
বা, x² + y² = ^{α²+ β²}/_α.x
বা, α(x² + y²) = (α²+ β²)x
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
α(x² + y²) = (α²+ β²)x
20. একটি বৃত্ত x-অক্ষকে (3.0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং এর ব্যাসার্ধ x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো এবং y-অক্ষ, এই বৃত্তটিকে যে জ্যা-তে ছেদ করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -2 বা, g = -1;
2f = -2 বা, f = -1;
c = -2
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (1, 1)
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ\(=\sqrt{(1)^2 + (1)^2-(2) } = \sqrt{1+1+2}= 2\) একক
নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2.2 = 4 একক
বৃত্ত x-অক্ষকে (3, 0) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
স্পষ্টতই বৃত্তের কেন্দ্রের ভুজ হবে 3
ধরি বৃত্তের কেন্দ্র (3, k)
(i) নং বৃত্ত বৃত্ত (3, 0) বিন্দুগামী।
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ\(=\sqrt{(3-3)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{k^2}= k\)
∴ k = 4
বৃত্তের কেন্দ্র (3, 4)
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
(x – 3)² + (y – 4)² = (4)²
বা, x² – 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 16
বা, x² + y² – 6x – 8y + 9 = 0

ধরি বৃত্তটি y-অক্ষকে A(0, a) এবং B(0, b) বিন্দুতে ছেদ করে।
AB = b – a
∴ AC = ^{b – a}/₂ একক
OA = 4 একক
OC = 3 একক
OCA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² + OC² = OA²
বা, (^{b – a}/₂)² + (3)² = 4²
বা, ^{(b – a)²}/₄ = 16 – 9 = 7
⇒ (b – a)² = 4×7
বা, b – a = 2√7
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 6x – 8y + 9 = 0
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 2√7 একক।
21. যে বৃত্তটি y-অক্ষকে (0, 5) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র 2x + y = 13 সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটি y-অক্ষকে (0, 5) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র (h, 5)
(h, 5) বিন্দু 2x + y = 13 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ 2h + 5 = 13
বা, h = 4
বৃত্তের কেন্দ্র (4, 5)
অতএব বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 একক।
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
(x – 4)² + (y – 5)² = 4²
বা, x² – 8x + 16 + y² – 10y + 25 = 16
বা, x² + y² – 8x – 10y + 25 = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 8x – 10y + 25 = 0
22. একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো, যা (4, 2) বিন্দুগামী এবং যা উভয় স্থানাঙ্ক অক্ষকে স্পর্শ করে। এরকম কতগুলি বৃত্ত সম্ভব?
Solution: (4, 2) বিন্দুগামী এবং যা উভয় স্থানাঙ্ক অক্ষকে স্পর্শ করে এমন দুটি বৃত্ত হবে।
যেহেতু বৃত্তটি উভয় স্থানাঙ্ক অক্ষকে স্পর্শ করে তাই একটি বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ হবে যথাক্রমে (4, 4) ও 4 একক এবং অপর বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ হবে যথাক্রমে (2, 2) ও 2 একক।
প্রথম বৃত্তের সমীকরণ: (x – 4)² + (y – 4)² = 4² = 16
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ: (x – 2)² + (y – 2)² = 2² = 4
Ans: দুটি বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
বৃত্ত দুটির সমীকরণ:
(x – 4)² + (y – 4)² = 16 এবং
(x – 2)² + (y – 2)² = 4
23. (2, 4) বিন্দু দিয়ে যায় এবং x ও y-অক্ষকে স্পর্শ করে এরকম দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2 এবং 10 একক হলে তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্ত দুটির অন্য ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্ত দুটি x ও y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 একক
∴ প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র (2, 2)
প্রথম বৃত্তের সমীকরণ: (x – 2)² + (y – 2)² = 2² = 4 . . . (i)
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 একক
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র (10, 10)
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ: (x – 10)² + (y – 10)² = 10² = 100 . . . (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
(x – 2)² + (y – 2)² – 4 – [(x – 10)² + (y – 10)² – 100] = 0
বা, x² – 4x + 4 + y² – 4y + 4 – 4 – x² + 20x – 100 – y² + 20y – 100 + 100 = 0
বা, 16x + 16y – 96 = 0
⇒ 16(x + y – 6) = 0
বা, x = 6 – y
(i) নং সমীকরণে x = 6 – y বসিয়ে পাই,
(6 – y- 2)² + (y – 2)² = 4
বা, (4 – y)² + (y – 2)² = 4
বা, 16 – 8y + y² + y² – 4y + 4 = 4
⇒ 2y² – 12y + 16 = 0
বা, y² – 6y + 8 = 0
⇒ y² – 4y – 2y + 8 = 0
বা, y(y – 4) – 2(y – 4) = 0
বা, (y – 4)(y – 2) = 0
∴ y = 4, 2
y = 4 হলে x = 6 – 4 = 2
আবার y = 2 হলে x = 6 – 2 = 4
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 4) এবং (4, 2)
Ans: বৃত্ত দুটির সমীকরণ:
(x – 2)² + (y – 2)² = 4 এবং
(x – 10)² + (y – 10)² = 100
বৃত্ত দুটির অন্য ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 2)
24. দেখাও যে, (-1, -2) বিন্দুটি x² + y² – x – y – 8 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত। (-1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের অন্য প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – x – y – 8 = 0 এর বামপক্ষে (-1, -2) বসিয়ে পাওয়া যায়,
(-1)² + (-2)² – (-1) – (-2) – 8
= 1 + 4 +1 + 2 – 8 = 0
(-1, -2) বিন্দু দ্বারা বৃত্তের সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
(-1, -2) বিন্দুটি x² + y² – x – y – 8 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত।
x² + y² – x – y – 8 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -1 বা, g = –¹/₂;
2f = -1 বা, f = –¹/₂;
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (¹/₂, ¹/₂)
ধরি, ব্যাসের অন্য প্রান্তের স্থানাঙ্ক (h, k)
\(∴ \frac{h – 1}{2} = \frac{1}{2}\ ⇒h – 1 = 1\ ⇒h=2\\\quad \frac{k – 2}{2} = \frac{1}{2}\ ⇒k – 2 = 1\ ⇒k=3\)
∴ ব্যাসের অন্য প্রান্তের স্থানাঙ্ক (2, 3) (Ans)
25. দেখাও যে, p-এর সব মানের জন্য x² + y² – x(3p + 4) – y(p – 2) + 10p = 0 বৃত্ত (3, 1) বিন্দু দিয়ে যায়। যদি p পরিবর্তনশীল হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রের সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – x(3p + 4) – y(p – 2) + 10p = 0 এর বামপক্ষে (3, 1) বসিয়ে পাওয়া যায়,
3² + 1² – 3(3p + 4) – 1(p – 2) + 10p
= 9 + 1 – 9p – 12 – p + 2 +10p
= 0
(3, 1) বিন্দু দ্বারা বৃত্তের সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ p-এর সব মানের জন্য বৃত্তটি (3, 1) বিন্দু দিয়ে যায়। (Proved)
x² + y² – x(3p + 4) – y(p – 2) + 10p = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (^{3p + 4}/₂, ^{p – 2}/₂)
বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (h, k) হলে,
h = ^{3p + 4}/₂
বা, 3p + 4 = 2h
বা, p = ^{2h – 4}/₃ . . . (i)
আবার k = ^{p – 2}/₂
বা, p – 2 = 2k
বা, p = 2k + 2 . . . (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^{2h – 4}/₃ = 2k + 2
বা, 2h – 4 = 6k + 6
বা, 2h – 6k = 10
⇒ h – 3k = 5
∴ p পরিবর্তনশীল হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রের সঞ্চারপথ x – 3y = 5(Ans)
26. x² + y² – 6x – 2y + 6 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত ও অক্ষ দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, x² + y² – 6x – 2y + 6 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত ও অক্ষ দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (h, h)
∴ h² + h² – 6h – 2h + 6 = 0
বা, 2h² – 8h + 6 = 0
বা, h² – 4h + 3 = 0
⇒ h² – 3h – h + 3 = 0
বা, h(h – 3) – 1(h – 3) = 0
বা, (h – 3)(h – 1) = 0
∴ h = 3, h = 1
Ans: অক্ষ দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (1, 1) ও (3, 3)
27. x² + y² – 4x + 6y – 36 = 0 এবং x² + y² – 5x + 8y – 43 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ও তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x + 6y – 36 = 0 এবং x² + y² – 5x + 8y – 43 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 6y – 36 – (x² + y² – 5x + 8y – 43) = 0
বা, x² + y² – 4x + 6y – 36 – x² – y² + 5x – 8y + 43 = 0
বা, x – 2y + 7 = 0
x² + y² – 4x + 6y – 36 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -4 বা, g = -2;
2f = 6 বা, f = 3;
c = -36
∴ বৃত্তটির কেন্দ্র (2, -3) এবং
ব্যাসার্ধ\(=\sqrt{(2)^2 + (-3)^2-(-36) } = \sqrt{4+9+36}= \sqrt{49}=7\)

চিত্রে AB জ্যা-এর সমীকরণ x – 2y + 7 = 0
O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -3)
OC ⊥ AB
\(∴ OC=\frac{|2 – 2(-3) + 7|}{\sqrt{(1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|15|}{\sqrt{5}}= 3√5\)
OCA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² + OC² = OA²
বা, AC² + (3√5)² = 7²
বা, AC² + 45 = 49
⇒ AC² = 49 – 45 = 4
বা, AC = 2
∴ AB = 2×AC = 2×2 = 4
Ans: বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ x – 2y + 7 = 0
এবং জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 4 একক
28. x² + y² – 4x – 10y – 7 = 0 এবং 2x² + 2y² – 5x + 3y + 2 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় করো। দেখাও যে, ওই জ্যা-টি বৃত্ত দুটির কেন্দ্রবিন্দু দুটির সংযোজক রেখার ওপর লম্ব।
Solution: x² + y² – 4x – 10y – 7 = 0 . . . (i)
এবং 2x² + 2y² – 5x + 3y + 2 = 0
⇒ x² + y² – ⁵/₂x + ³/₂y + 1 = 0 . . . (ii)
(i) নং বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -4 বা, g = -2;
2f = -10 বা, f = -5;
c = -7
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (2, 5)
(ii) নং বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = –⁵/₂ বা, g = –⁵/₄;
2f = ³/₂ বা, f = ³/₄;
c = 1
∴ (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (⁵/₄, –³/₄)
(i) এবং (ii) নং বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
x² + y² – 4x – 10y – 7 – (x² + y² – ⁵/₂x + ³/₂y + 1) = 0
বা, x² + y² – 4x – 10y – 7 – x² – y² + ⁵/₂x – ³/₂y – 1 = 0
বা, – 4x – 10y – 7 + ⁵/₂x – ³/₂y – 1 = 0
⇒ – 8x – 20y – 14 + 5x – 3y – 2 = 0
বা, – 3x – 23y – 16 = 0
বা, 3x + 23y + 16 = 0 . . . (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
23y + 16 = -3x
বা, y = –³/₂₃x – ¹⁶/₂₃
সাধারণ জ্যা-এর প্রবনতা(m₁) = –³/₂₃
বৃত্ত দুটির কেন্দ্রবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার প্রবনতা
\((m_2) = \frac{-\frac{3}{4} – 5}{\frac{5}{4} – 2} = \frac{\frac{-3-20}{4}}{\frac{5-8}{4}} = \frac{-23}{-3} = \frac{23}{3}\\ ∴ m_1×m_2 = \frac{-3}{23}×\frac{23}{3}= -1\)
∴ বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-টি বৃত্ত দুটির কেন্দ্রবিন্দু দুটির সংযোজক রেখার ওপর লম্ব। (Proved)
বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ 3x + 23y + 16 = 0 (Ans)
29. মূলবিন্দুগামী এবং x² + y² – 4x – 8y + 16 = 0 এবং x² + y² + 6x – 4y – 3 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x – 8y + 16 = 0 এবং x² + y² + 6x – 4y – 3 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 4x – 8y + 16 + k(x² + y² + 6x – 4y – 3) = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী।
∴ 0² + 0² – 4.0 – 8.0 + 16 + k(0² + 0² + 6.0 – 4.0 – 3) = 0
বা, 16 – 3k = 0
বা, k = ¹⁶/₃
(i) নং সমীকরণে k = ¹⁶/₃ বসিয়ে পাই,
x² + y² – 4x – 8y + 16 + ¹⁶/₃(x² + y² + 6x – 4y – 3) = 0
বা, 3(x² + y²) – 12x – 24y + 48 + 16(x² + y²) + 96x – 64y – 48 = 0
বা, 19(x² + y²) + 84x – 88y = 0
Ans: প্রদত্ত বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
19(x² + y²) + 84x – 88y = 0
30. একটি বিন্দু xy-সমতলে এমনভাবে গতিশীল যে মূলবিন্দু এবং (2, -3) বিন্দু থেকে তার দূরত্ব দুটির বর্গের সমষ্টি সর্বদাই 19; দেখাও যে , গতিশীল বিন্দুটির সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত এবং সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুর দূরত্ব
\(\quad =\sqrt{(h – 0)^2 + (k + 0)^2 } = \sqrt{h^2 + k^2}\)
এবং (h, k) বিন্দু থেকে (2, -3) বিন্দুর দূরত্ব
\(\quad =\sqrt{(h – 2)^2 + (k + 3)^2 } \\= \sqrt{h^2-4h+4+k^2+6k+9}\\=\sqrt{h^2+k^2-4h+6k+13}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \left( \sqrt{h^2+k^2} \right)^2+\left( \sqrt{h^2+k^2-4h+6k+13} \right)^2=19\)
বা, h² + k² + h² + k² – 4h + 6k + 13 = 19
বা, 2h² + 2k² – 4h + 6k – 6 = 0
∴ h² + k² – 2h + 3k – 3 = 0
Ans: গতিশীল বিন্দুটির সঞ্চারপথ: x² + y² – 2x + 3y – 3 = 0
∴ গতিশীল বিন্দুটির সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
31. A(3, 0) ও B(- 3, 0) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং P একটি গতিশীল বিন্দু। যদি P বিন্দুর সব অবস্থানে AP = 2 BP হয়, তবে দেখাও যে P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
\(AP = \sqrt{(h – 3)^2 + (k – 0)^2}\\BP = \sqrt{(h + 3)^2 + (k – 0)^2}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
AP = 2 BP
\(⇒\sqrt{(h – 3)^2 + (k – 0)^2} = 2\sqrt{(h + 3)^2 + (k – 0)^2}\\⇒\left( \sqrt{(h – 3)^2 + (k – 0)^2} \right)^2 = \left( 2\sqrt{(h + 3)^2 + (k – 0)^2} \right)^2\)
⇒ h² – 6h + 9 + k² = 4(h² + 6h + 9 + k²)
⇒ -3h² – 3k² – 30h – 27 = 0
বা, -3(h² + k² + 10h + 9) = 0
বা, h² + k² + 10h + 9 = 0 P বিন্দুর সঞ্চারপথ x² + y² + 10x + 9 = 0
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে।
∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত। (Proved)
x² + y² + 10x + 9 = 0
বৃত্তের কেন্দ্র (-5, 0)
এখানে c = 9
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ\(\sqrt{=(-5)^2 + (0)^2 – 9} = \sqrt{25 – 9} = √16 = 4\) একক
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 একক
32. α একটি পরিবর্তনশীল চল হলে দেখাও যে, x cos α + y sin α = a এবং x sin α – y cos α = a সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
Solution: x cos α + y sin α = a . . . (i) এবং
x sin α – y cos α = a . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\(\quad \frac{x}{-asin α – acos α} = \frac{y}{-asin α + acos α} = \frac{1}{-cos^2 α – sin^2 α}\\⇒\frac{x}{-a(sin α + cos α)} = \frac{y}{-a(sin α – cos α)} = \frac{1}{-(cos^2 α + sin^2 α)}\\⇒ \frac{x}{a(sin α + cos α)} = \frac{y}{a(sin α – cos α)}= 1\)
∴ x = a(sin α + cos α);
y = a(sin α – cos α)
∴ x² + y²
= a²(sin α + cos α)² + a²(sin α – cos α)²
= a²[(sin α + cos α)² + (sin α – cos α)²]
বা, a²[2(sin² α + cos² α)]
= a²[2.1] = 2a²
x² + y² = 2a² একটি বৃত্তের সমীকরণ।
∴ সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত। (Proved)
33. θ-র সব মানের জন্য (sin θ ≠ 0), প্রমাণ করো যে y = x tan θ, xsin³ θ + y cos³ θ = a sin θ cos θ ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: y = x tan θ এবং x sin³ θ + y cos³ θ = a sin θ cos θ-এর ছেদবিন্দু:
x sin³ θ + x tan θ cos³ θ = a sin θ cos θθ . . . [∵ y = x tan θ]
⇒ x sin³ θ + x ^{sin θ}/_{cos θ}. cos³ θ = a sin θ cos θ
⇒ x sin³ θ + x sin θ cos² θ = a sin θ cos θ
বা, x sin θ(sin² θ + cos² θ) = a sin θ cos θ
⇒ x sin θ = a sin θ cos θ
⇒ x = a cos θ
আবার y = x tan θ = a cos θ.^{sin θ}/_{cos θ} = a sin θ
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a sin θ, a cos θ)
∴ x² + y² = (a cos θ)² + (a sin θ)²
= a² cos² θ + a² sin² θ
= a²(cos² θ + asin² θ) = a²
x² + y² = a² এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।
∴ সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত। (Proved)
বৃত্তটির সমীকরণ x² + y² = a² (Ans)
34. দেখাও যে x = ¹/₂ (3 + 5cos θ) ও y = ¹/₂ (- 4 + 5sin θ) দ্বারা মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্ত সূচিত হয়। বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: x = ¹/₂ (3 + 5cos θ)
বা, 3 + 5cos θ = 2x
বা, cos θ = ^{2x – 3}/₅,
আবার y = ¹/₂ (- 4 + 5sin θ)
বা, – 4 + 5sin θ = 2y
বা, sin θ = ^{2y + 4}/₅
∵ sin² θ + cos² θ = 1
\(∵ sin^2 θ + cos^2 θ = 1\\⇒ \left( \frac{2y + 4}{5} \right)^2 + \left( \frac{2x – 3}{5} \right)^2 = 1\\⇒ \frac{(2y + 4)^2}{25} + \frac{(2x – 3)^2}{25} = 1\)
⇒ 4y² + 16y + 16 + 4x² – 12x + 9 = 25
⇒⇒ ⇒ 4x² + 4y² – 12x + 16y = 0
⇒ x² + y² – 3x + 4y = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণ একটি মূলবিন্দুগামী বৃত্তকে সূচিত করে। (Proved)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে (i) নং বৃত্তকে তুলনা করে পাই,
2g = -3
বা, g = –³/₂;
2f = 4
বা, f = 2;
c = 0
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (³/₂, -2)
এবং ব্যাসার্ধ \(= \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + (-2)^2 – 0}= \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9+16}{4} + 4}=\frac{5}{2}\) একক
Ans: বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (³/₂, – 2) এবং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ⁵/₂ একক
35. প্রমাণ করো যে x² + y² = a² বৃত্তের উপরিস্থিত (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দু দুটির দূরত্বের বর্গের মান 2(a² – x₁x₂ – y₁y₂)
Solution: (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দু দুটি x² + y² = a² বৃত্তের উপর অবস্থিত।
∴ x₁² + y₁² = a²
এবং x₂² + y₂² = a²
(x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দু দুটির দূরত্বের বর্গের মান
\(= \left( \sqrt{(x_1 – x _2)^2 + (y1 – y_2)^2} \right)^2\\= (x_1 – x _2)^2 + (y_1 – y_2)^2\\= x_1^2 – 2x_1.x _2 + x _2^2 + y_1^2 – 2y_1. y_2 + y_2^2\\= (x_1^2 + y_1^2) + (x _2^2 + y_2^2) – 2(x_1.x _2 + y_1. y_2)\\= a^2 + a^2 – 2(x_1.x _2 + y_1. y_2)\\= 2(a^2 – x_1.x _2 – y_1. y_2)\)
∴ বিন্দু দুটির দূরত্বের বর্গের মান 2(a² – x₁.x₂ – y₁y₂) (Proved)
36. একটি বৃত্তের দুটি ব্যাসের সমীকরণ x – 2y + 1 = 0 এবং x + y – 2 = 0 ; বৃত্তটি 3x + 4y + 8 = 0 সরলরেখা থেকে যে জ্যা খণ্ডিত করে তার দৈর্ঘ্য 6 একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

বৃত্তের দুটি ব্যাসের সমীকরণ:
x – 2y + 1 = 0 . . . (i) এবং
x + y – 2 = 0 . . . (ii)
(i) ও (iii) এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ
(i) – (iii) করে পাই,
x – 2y + 1 – x -y +2 = 0
বা, -3y + 3 = 0
বা, y = 1
∴ x = 2.1 – 1 = 1
দুটি ব্যাসের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 1)
∴ বৃত্তের কেন্দ্র O(1, 1)
চিত্রে জ্যা AB = 6 একক এবং OC ⊥ AB
AC = ¹/₂ × AB = ¹/₂ × 6 = 3
AB জ্যা-এর সমীকরণ 3x + 4y + 8 = 0
∴ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব
\(OC=\frac{|3.1 + 4.1 + 8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3 + 4 + 8|}{\sqrt{9+16}}= \frac{15}{5}=3\) একক
OCA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OA² = AC² + OC²
= 3² + 3²
= 18
∴ OA = 3√2
বৃত্তটির সমীকরণ :
(x – 1)² + (y – 1)² = (3√2)²
বা, x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 18
বা, x² + y² – 2x – 2y – 16 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 2x – 2y – 16 = 0
37. x – 3y = 4, 3x + y = 22 , x – 3y = 14 এবং 3x + y = 62 সরলরেখা চারটি দ্বারা সীমাবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x – 3y = 4 . . . (i)
3x + y = 22 . . . (ii)
x – 3y = 14 . . . (iii) এবং
3x + y = 62 . . . (iv)
স্পষ্টতই (i) ও (iii) এবং (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
ধরি ABCD আয়তক্ষেত্রের
AB: x – 3y = 4
BC: 3x + y = 22
CD: x – 3y = 14 এবং
DA: 3x + y = 62
AB ও BC-এর ছেদবিন্দু(B):
(i) ও (ii) নং সমীকরণে থেকে পাই,
3(4 + 3y) + y = 22 . . . [∵ x = 4 + 3y]
বা, 9y + y = 22 – 12
বা, y = 1
(i) নং থেকে পাই,
x = 4 + 3y = 4 + 3.1 = 7
∴ x = 7; y = 1
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 1)
CD ও DA-এর ছেদবিন্দু(B):
(iii) ও (iv) নং সমীকরণে থেকে পাই,
3(14 + 3y) + y = 62 . . . [∵ x = 14 + 3y]
বা, 9y + y = 62 – 42
বা, y = 2
(i) নং থেকে পাই,
x = 14 + 3y = 14 + 3.2 = 20
∴ x = 20; y = 2
D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (20, 2)
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস হয়।
পরিবৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হলো (7, 1) এবং (20, 2)
পরিবৃত্তের সমীকরণ (x – 7)(x – 20) + (y – 1)(y – 2) = 0
বা, x² – 27x + 140 + y² – 3y + 2 = 0
বা, x² + y² – 27x – 3y + 142 = 0
Ans: আয়তক্ষেত্রের পরিবৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 27x – 3y + 142 = 0
38. কোনো সমতলের ওপর অবস্থিত দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি গতিশীল বিন্দুর দূরত্ব দুটির অনুপাত ধ্রুবক হলে দেখাও যে, গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
Solution: ধরি, দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু হলো (a, b) এবং (c, d)
আরও ধরি গতিশীল বিন্দু(h, k)-র দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্ব দুটির অনুপাত p (≠ 0)
\(∴ \frac{\sqrt{(h – a)^2 + (k – b)^2}}{\sqrt{(h – c)^2 + (k – d)^2}}= p\\⇒\sqrt{(h – a)^2 + (k – b)^2}=p\sqrt{(h – c)^2 + (k – d)^2}\\⇒ (h – a)^2 + (k – b)^2=p^2((h – c)^2 + (k – d)^2)\)
⇒ h² – 2ha + a² + k² – 2kb + b² = p²(h² – 2hc + c² + k² – 2kd + d²)
⇒ (1 – p²)h² + (1 – p²)k² – 2(a – p²c)h – 2(b – p²d)k + a² + b² – p²(c² – p²d² = 0
\(⇒h^2 + k^2 – \frac{2(a – p^2c)}{(1 – p^2)}h – \frac{2(b – p^2d)}{1 – p^2}k + \frac{a^2 + b^2 – p^2c^2 – p^2d^2}{1 – p^2} = 0\)
∴ গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথ
\(⇒ x^2 + y^2 – \frac{2(a – p^2c)}{(1 – p^2)}x – \frac{2(b – p^2d)}{1 – p^2}y + \frac{a^2 + b^2 – p^2c^2 – p^2d^2}{1 – p^2} = 0\) এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ সূচিত করে।
39. প্রমাণ করো যে, x² + y² = a² বৃত্ত দ্বারা x cos α+ y sin α= p সরলরেখা থেকে ছেদিত জ্যা-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ হয় x² + y² – 2p(x cos α+ y sin α) = a² – 2p²
Solution: x² + y² = a² . . . (i)
x cos α + y sin α = p . . . (ii)
(i) এবং (ii)-এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ :
x² + y² – a² + k(x cos α + y sin α – p) = 0
বা, x² + y² – a² + kx cos α + ky sin α – kp = 0 . . . (iii)
(iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (-^{k cos α}/₂, –^{k sin α}/₂)
∵ (ii) নং সরলরেখা (i) নং বৃত্ত থেকে যে জ্যা ছিন্ন করবে সেটি নির্নেয় বৃত্তের ব্যাস হবে,
তাই (iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (ii) নং সরলরেখার ওপর অবস্থিত হবে।
∴ –^{k cos α}/₂.cos α – ^{k sin α}/₂.sin α = p
বা, –^k/₂( cos² α + sin² α) = p
বা, k = -2p
k-এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x² + y² – a² – 2p.x cos α – 2p.y sin α + 2p.p = 0
বা , x² + y² – 2p(x cos α + y sin α) = a² – 2p²
∴ বৃত্তের সমীকরণ হয়: x² + y² – 2p(x cos α + y sin α) = a² – 2p² (Proved)
40. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ যথাক্রমে 3y – 4x – 1 = 0, y – x – 3 = 0 এবং x + y – 5 = 0 হলে ত্রিভজটির পরিকেন্দ্র ও পরিব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে
AB: 3y – 4x – 1 = 0 . . . (i),
BC: x + y – 5 = 0 . . . (ii), এবং
CA: y – x – 3 = 0 . . . (iii)
AB ও BC-এর ছেদবিন্দু(B):
(i) ও (ii) থেকে পাই,
\(\quad \frac{x}{-15+1}=\frac{y}{-1-20}=\frac{1}{-4-3}\\⇒\frac{x}{-14}=\frac{y}{-21}=\frac{1}{-7}\\⇒\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=1\)
∴ x = 2; y = 3
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 3)
BC ও CA-এর ছেদবিন্দু(C):
(ii) ও (ii) থেকে পাই,
\(\quad \frac{x}{-3+5}=\frac{y}{5+3}=\frac{1}{1+1}\\⇒\frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{1}{2}\\⇒\frac{x}{1}=\frac{y}{4}=1\)
∴ x = 1; y = 4
C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 4)
AB ও CA-এর ছেদবিন্দু(A):
(i) ও (iii) থেকে পাই,
\(\quad \frac{x}{-9+1}=\frac{y}{1-12}=\frac{1}{-4+3}\\⇒\frac{x}{-8}=\frac{y}{-11}=\frac{1}{-1}\\⇒\frac{x}{8}=\frac{y}{11}=1\)
∴ x = 8; y = 11
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (8, 11)
\(AB=\sqrt{(8-2)^2+(11-3)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\BC=\sqrt{(1-2)^2+(4-3)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\CA=\sqrt{(1-8)^2+(4-11)^2}=\sqrt{49+49}==\sqrt{98}\)
এখন BC² + CA²
= (√2)² + (√98)²
= 2 + 98 = 100 = AB²
∴ ABC হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ AB।
ত্রিভজটির পরিকেন্দ্র AB বাহুর মধ্যবিন্দু এবং ব্যাসার্ধ অতিভূজের অর্ধেক।
∴ ত্রিভজটির পরিকেন্দ্র (⁸⁺²/₂, ¹¹⁺³/₂) = (5, 7)
এবং পরিব্যাসার্ধ ¹⁰/₂ = 5 একক
Ans: ত্রিভজটির পরিকেন্দ্র (5, 7) এবং পরিব্যাসার্ধ 5 একক
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. যেসব বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে এবং (-2, 1) ও (-4, 3) বিন্দু দিয়ে যায়, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তের কেন্দ্র (α, β) হলে y-অক্ষকে স্পর্শ করে এমন যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ হয়
(x – α)² + (y – β)² = α²
বা, x² – 2αx + α² + y² – 2βy + β² = α²
বা, x² + y² – 2αx – 2βy + β² = 0 . . . (i)
বৃত্তটি (-2, 1) ও (-4, 3) বিন্দুগামী।
∴ (-2)² + 1² – 2α(-2) – 2β.1 + β² = 0
বা, β² + 4α – 2β + 5 = 0 . . . (ii) এবং
(-4)² + 3² – 2α(-4) – 2β.3 + β² = 0
বা, β² + 8α – 6β + 25 = 0 . . . (iii)
(ii)×2 – (iii) করে পাই,
2β² + 8α – 4β + 10 – β² – 8α + 6β – 25 = 0
বা, β² + 2β – 15 = 0
বা, β² + 5β – 3β – 15 = 0
⇒ β(β + 5) – 3(β + 5) = 0
বা, (β + 5) (β – 3) = 0
∴ β = -5, 3
β = -5 হলে,
(ii) নং থেকে পাই,
α = ¹/₄(2β – β² – 5)
β = -5 হলে,
α = ¹/₄[2.-5 – (-5)² – 5] = 1/4(-10 – 25 – 5) = -10
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 2(-10)x – 2(-5)y + (-10)² = 0
বা, x² + y² + 20x + 10y + 100 = 0
আবার β = 3 হলে, α = ¹/₄[2.3 – (3)² – 5] = ¹/₄(6 – 9 – 5) = -2
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 2(-2)x – 2(3)y + 3² = 0
বা, x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 20x + 10y + 25 = 0 এবং
x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0
2. যদি 3x – 2y = 8 এবং 2x – y = 5 সরলরেখা দুটি একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস বরাবর থাকে এবং বৃত্তটি x -অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে এর সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 3x – 2y = 8 এবং 2x – y = 5 সরলরেখা দুটি একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস।
∴ সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুই হল বৃত্তের কেন্দ্র।
3x – 2y = 8 এবং 2x – y = 5 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দু:
3x – 2(2x – 5) = 8 . . . [∵ 2x – y = 5 ⇒ y = 2x – 5]
বা, 3x – 4x + 10 = 8
বা, x = 2
∴ y = 2.2 – 5 = -1
∴ যে বৃত্ত x -অক্ষকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ:
(x – 2)² + (y + 1)²= (-1)²
বা, x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 1
বা, x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0
Ans: x² + y² – 4x + 2y + 4 = 0
3. একটি বৃত্ত x = 0 , y = 0 এবং x + y = 1 সরলরেখা তিনটিকে স্পর্শ করে। যদি বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম পাদে অবস্থিত হয়, তবে দেখাও যে এরকম দুটি বৃত্ত সম্ভব এবং তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো। এগুলির মধ্যে যে বৃত্তটি ওই তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের মধ্যে অন্তর্লিখিত তা নির্দেশ করো।
Solution: বৃত্তটি x = 0(y অক্ষ) , y = 0(x অক্ষ) অর্থাৎ উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং কেন্দ্র প্রথম পাদে অবস্থিত,
তাই বৃত্তের কেন্দ্র (α, α) হলে ব্যাসাার্দ্ধ হবে α একক।
∴ বৃত্তের সমীকরণ হবে (x – α)² + (y – α)² = α²
বৃত্তটির স্পর্শক x + y = 1
তাই বৃত্তের কেন্দ্র(α, α) থেকে স্পর্শকের লম্বদূরত্ব বৃত্তের ব্যাসাার্দ্ধের সমান হবে।
\(∴ \frac{|α + α – 1|}{1^2 + 1^2} = α\\⇒ \frac{|2α – 1|}{\sqrt{2}} = α\\⇒ 2α – 1 = ±√2α\\⇒ 2α ± √2α = 1\\⇒α(2 ± √2) = 1\\⇒α =\frac{1}{2 ± √2}\\∴ α = \frac{1}{2 + √2} = \frac{2 – √2}{(2 + √2)(2 – √2)} = \frac{1}{2}(2 – √2)\)এবং
\(\quad ∴ α = \frac{1}{2 – √2} = \frac{2 + √2}{(2 – √2)(2 + √2)} = \frac{1}{2}(2 + √2)\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(\left( \frac{1}{2}(2 + √2),\frac{1}{2}(2 + √2) \right)\) এবং \(\left( \frac{1}{2}(2 – √2),\frac{1}{2}(2 – √2) \right)\)
∴ প্রথম পাদে অবস্থিত দুটি বৃত্ত সম্ভব (Proved)
Ans: বৃত্ত দুটির সমীকরণ:
\(\quad(x – a)^2 + (y – a)^2 = a^2 \) যেখানে \(a= \frac{1}{2}(2 + √2)\)
\(\quad(x – a)^2 + (y – a)^2 = a^2 \) যেখানে \(a= \frac{1}{2}(2 – √2)\)
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার শীর্ষবিন্দুগুলি হল (0, 0), (0, 1) এবং (1, 0)
ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য √2 ≈ 1.414 একক।
প্রথম বৃত্তের ব্যাসাার্দ্ধ ¹/₂(2 + √2) ≈ 1.707 একক যা ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য থেকে বড়।
সুতরাং বৃত্তটি ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত।
আবার দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসাার্দ্ধ ¹/₂(2 – √2) ≈ 0.293 একক যা ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য থেকে ছোট।
সুতরাং বৃত্তটি ত্রিভুজের মধ্যে অন্তর্লিখিত।
ত্রিভুজের মধ্যে অন্তর্লিখিত বৃত্তটি হলো:
(x – a)² + (y – a)² = a² যেখানে a = ¹/₂ (2 – √2) (Ans)
4. যেসব বৃত্ত y-অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে +4 একক দূরত্বে স্পর্শ করে এবং x-অক্ষ থেকে 6 একক দৈর্ঘ্যের জ্যা ছিন্ন করে তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো। দেখাও যে, প্রদত্ত শর্তে দুটি বৃত্ত থাকতে পারে।
Solution: বৃত্তটি y-অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে +4 একক দূরত্বে স্পর্শ করে।
ধরি, বৃত্তের সমীকরণটি (x – α)² + (y – 4)² = α²
বা, x² – 2xα + α² + y² – 8y + 16 = α²
বা, x² + y² – 2xα – 8y + 16 = 0
আবার x-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের দৈর্ঘ্য
\(=2\sqrt{α^2 – 16}= 6\\⇒\sqrt{α^2 – 16} = 3\)
⇒ α² – 16 = 9
⇒ α² = 25
∴ α = ±5
∴ α = 5, -5
এখানে α-এর দুটি মান পাওয়া যায়।
তাই প্রদত্ত শর্তে দুটি বৃত্ত থাকতে পারে। (Proved)
বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 2x.5 – 8y + 16 = 0
বা, x² + y² – 10x – 8y + 16 = 0 এবং
x² + y² – 2x(-5) – 8y + 16 = 0
বা, x² + y² + 10x – 8y + 16 = 0
Ans: বৃত্ত দুটির সমীকরণ:
x² + y² + 10x – 8y + 16 = 0 এবং
x² + y² – 10x – 8y + 16 = 0
5. কোনো বৃত্ত (-2, 1) এই বিন্দুগামী এবং তা 3x – 2y = 6 সরলরেখাকে (4, 3) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তটি (-2, 1) বিন্দুগামী
∴ (-2)² + 1² + 2g(-2) + 2f.1 + c = 0
বা, -4g + 2f + c + 5 = 0 . . . (i)
বৃত্তটি 3x – 2y = 6 সরলরেখাকে (4, 3) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
বৃত্তটি (4, 3) বিন্দুগামী।
∴ (4)² + 3² + 2g.4 + 2f.3 + c = 0
বা, 8g + 6f + c + 25 = 0 . . . (ii)
(ii) – (i) করে পাই,
8g + 6f + c + 25 – (-4g + 2f + c + 5) = 0
বা, 8g + 6f + c + 25 + 4g – 2f – c – 5 = 0
বা, 12g + 4f + 20 = 0 . . . (iii)
3x – 2y = 6 সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y + k = 0
এটি (4, 3) বিন্দুগামী।
∴ 2.4 + 3.3 + k = 0
বা, k = -17
3x – 2y = 6 স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগামী লম্ব সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y – 17 = 0 . . . (iv)
(iv) নং সরলরেখা বৃত্তের কেন্দ্র (-g, -f) বিন্দুগামী।
∴ 2(-g) + 3(-f) – 17 = 0
বা, -2g – 3f – 17 = 0 . . . (v)
(iii) + 6×(v) করে পাই,
12g + 4f + 20 + 6(-2g – 3f – 17) = 0
বা, 12g + 4f + 20 – 12g – 18f – 102 = 0
বা, -14f = 82
∴ f = –⁴¹/₇
(v) নং থেকে পাই,
-2g – 3(-⁴¹/₇) – 17 = 0
বা, -14g + 123 – 119 = 0
বা, -14g = – 4
∴ g = ²/₇
(i) নং থেকে পাই,
-4. ²/₇ + 2(- ⁴¹/₇) + c + 5 = 0
বা, – 8 – 82 + 7c + 35 = 0
বা, 7c – 55= 0
∴ c = ⁵⁵/₇
নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.²/₇x + 2(-⁴¹/₇)y + ⁵⁵/₇ = 0
বা, 7(x² + y²) + 4x – 82y + 55 = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ: 7(x² + y²) + 4x – 82y + 55 = 0
6. যে বৃত্ত মূলবিন্দু থেকে +5 একক দূরে x -অক্ষকে স্পর্শ করে এবং y-অক্ষ থেকে 24 একক দীর্ঘ জ্যা ছিন্ন করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তটি x-অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে +5 একক দূরত্বে স্পর্শ করে।
ধরি, বৃত্তের সমীকরণটি (x – 5)² + (y – α)² = α²
বা, x² – 10x + 25 + y² – 2αy + α² = α²
বা, x² + y² – 10x – 2αy + 25 = 0
আবার y-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের দৈর্ঘ্য
\(=2\sqrt{α^2 – 25}= 24\\⇒\sqrt{α^2 – 25} = 12\)
⇒ α² – 25 = 144
⇒ α² = 169
∴ α = ±13
∴ α = 13, -13
∴বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 10x – 2.13y + 25 = 0
বা, x² + y² – 10x – 26y + 25 = 0
এবং x² + y² – 10x – 2(-13)y + 25 = 0
বা, x² + y² + 10x + 26y + 25 = 0
Ans: বৃত্ত দুটির সমীকরণ:
x² + y² + 10x + 26y + 25 = 0 এবং
x² + y² + 10x – 26y + 25 = 0
7. দেখাও যে x² + y² – 4x + 6y + 8 = 0 এবং x² + y² – 10x – 6y + 14 = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। এদের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x + 6y + 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(2)^2+(-3)^2-8}=\sqrt{5}\) একক
x² + y² – 10x – 6y + 14 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (5, 3) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(5)^2+(-3)^2-14}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) একক
বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{(5-2)^2 + (3+3)^2}=\sqrt{9+36} = 3\sqrt{5}\) একক
∵ বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের সমষ্টি = √5 + 2√5 = 3√5 = বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব
∴ বৃত্ত দুটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে। (Proved)
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত = √5 : 2√5 = 1 : 2
∴ স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
= (^{1×5 + 2×2}/_{1 + 2}, ^{1×3 + 2×(-3)}/_{1 + 2}) = (^{5 + 4}/₃, ^{3 – 6}/₃) = (3, -1)
Ans: স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, -1)
8. প্রমাণ করো যে, x² + y² + 4x – 10y – 20 = 0 এবং x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 4x – 10y – 20 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-2, 5) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(5)^2+20}=\sqrt{49}=7\) একক
x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (2, 2) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(2)^2+(2)^2-4}=\sqrt{4}=2\) একক
বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{(2 + 2)^2 + (2 – 5)^2}=\sqrt{16 + 9} = 5\) একক
∵ বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অন্তর = 7 – 2 = 5 = বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব
∴ বৃত্ত দুটি পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে। (Proved)
বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ:
x² + y² + 4x – 10y – 20 – (x² + y² – 4x – 4y + 4) = 0
বা, x² + y² + 4x – 10y – 20 – x² + y² + 4x + 4y – 4 = 0
বা, 8x – 6y – 24 = 0
⇒ 4x – 3y = 12
Ans: স্পর্শকের সমীকরণ: 4x – 3y = 12
9. যদি \(x^2 + y^2 + 2ax + c^2 = 0\ ও\ x^2 + y^2 + 2by + c^2 = 0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পর স্পর্শ করে, তবে দেখাও যে \(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}\)
Solution: x² + y² + 2ax + c² = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-a, 0) এবং
ব্যাসার্ধ\((r_1) =\sqrt{(-a)^2-c^2}=\sqrt{a^2-c^2}\)একক
x² + y² + 2by + c² = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (0, -b) এবং
ব্যাসার্ধ \((r_2)=\sqrt{(-b)^2-c^2}=\sqrt{b^2-c^2}\)একক
বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের দূরত্ব \((p)=\sqrt{(-a + 0)^2+(0 + b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}\)একক
যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর স্পর্শ করে তাই
\(\quad p = r_1 ± r_2\\⇒\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 – c^2} ± \sqrt{b^2 – c^2}\\⇒ \left(\sqrt{a^2 + b^2} \right)^2 = \left( a^2 – c^2 ± b^2 – c^2 \right)^2\\⇒ a^2 + b^2 = a^2 – c^2 + b^2 – c^2 ± 2\sqrt{a^2.b^2 – a^2.c^2 – b^2.c^2 + c^4}\\⇒ 2c^2 = ± 2\sqrt{a^2.b^2 – a^2.c^2 – b^2.c^2 + c^4}\\⇒ (c^2)^2 = (± \sqrt{a^2.b^2 – a^2.c^2 – b^2.c^2 + c^4})^2\\⇒ c^4 = a^2.b^2 – a^2.c^2 – b^2.c^2 + c^4\\⇒ a^2.c^2 + b^2.c^2 = a^2.b^2\\⇒ c^2(a^2 + b^2) = a^2.b^2\\⇒ \frac{a^2 + b^2}{a^2.b^2} = \frac{1}{c^2}\\⇒ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}\ (Proved)\)
10. প্রমাণ করো যে, x²+ y² – 2x – 4y – 12 = 0 এবং 3x²+ 3y² – 2x + 4y – 140 = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পর স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 2x – 4y – 12 = 0 . . . (i) এবং
3x² + 3y² – 2x + 4y – 140 = 0
বা, x² + y² – ²/₃x + ⁴/₃y – ¹⁴⁰/₃ = 0 . . . (ii)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (iii)
(i) ও (iii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
2g = -2 ⇒ g = -1;
2f = -4 ⇒ f = -2;
c = -12
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (1, 2) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(1)^2+(2)^2-(-12)}=\sqrt{1+4+12)}=\sqrt{17}\)
(ii) ও (iii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
2g = –²/₃ ⇒ g = –¹/₃;
2f = ⁴/₃ ⇒ f = –²/₃;
c = –¹⁴⁰/₃
∴ (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (¹/₃, –²/₃)
এবং ব্যাসার্ধ
\(=\sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{-2}{3} \right)^2-\frac{-140}{3}}\\ = \sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{140}{3}}\\= \sqrt{\frac{1+4+420}{9}}\\ =\sqrt{ \frac{425}{9}}=\frac{5\sqrt{17}}{3}\)
বৃত্তদুটোর ব্যাসার্ধের অন্তর = ^5√17/₃ – √17 = ^2√17/₃
(i) ও (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব
\(= \sqrt{\left( 1 – \frac{1}{3} \right)^2 + \left(2+ \frac{2}{3} \right)^2}\\= \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{64}{9}}= \sqrt{\frac{68}{9}}= \frac{2√17}{3}\)
∵ বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রের দূরত্ব = বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তর
∴ বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তস্পর্শ করে। (Proved)
বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অনুপাত
= ^5√17/₃ : √17 = ⁵/₃ : 1 =5 : 3
যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তস্পর্শ করে, তাই যে বিন্দুতে বৃত্তদ্বয় অন্তস্পর্শ করে সেই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয় সংযোজক সরলরেখাকে 5 : 3 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করবে।
∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক\(= \left( \frac{5.1 – 3.\frac{1}{3}}{5-3}, \frac{5.2 – 3.(\frac{-2}{3})}{5-3} \right) = \left( \frac{5 – 1}{2}, \frac{10 + 2}{2} \right) = (2, 6)\)
Ans: স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,6)
11. দেখাও যে x²+ y² + 6(x – y) + 9 = 0 বৃত্ত স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটিকে স্পর্শ করে। এই বৃত্ত এবং x – y + 4 = 0 সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² + 6(x – y) + 9 = 0 . . . (i)
(i) নং বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = 6 ⇒ g = 3;
2f = -6 ⇒ f = -3;
c = 9
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (3, -3) এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(3)^2+(-3)^2-9}=\sqrt{9}=3\)
এখানে বৃত্তের কেন্দ্র উভয় অক্ষ থেকেই সমদূরবর্তী (3 একক) এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধও 3 একক।
∴ বৃত্তটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটিকে স্পর্শ করে। (Proved)
(i) নং বৃত্ত ও x – y + 4 = 0 সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ হবে-
x² + y² + 6(x – y) + 9 + k(x – y + 4) = 0 বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী।
∴ 0 + 0 + 6(0 – 0) + 9 + k(0 – 0 + 4) = 0
বা, 4k + 9 = 0
বা, k = –⁹/₄
নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 6(x – y) + 9 – ⁹/₄(x – y + 4) = 0
বা, 4(x² + y²) + 24(x – y) + 36 – 9(x – y + 4) = 0
বা, 4(x² + y²) + 24(x – y) + 36 – 9(x – y) – 36 = 0
⇒ 4(x² + y²) + 15(x – y) = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ:4(x² + y²) + 15(x – y) = 0
12. x²+ y² – 2x – 4y + 1 = 0 এবং x²+ y² – 2x – 6y + 1 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হল, যার কেন্দ্র 4y – 7x – 19 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 এবং x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামমী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 2x – 4y + 1 + k(x² + y² – 2x – 6y + 1) = 0
বা, (1 + k)x² + (1 + k)y² – 2(1 + k)x – 2(2 + 3k)y + (1 + k) = 0
বা, x² + y² – 2x – 2.^{2 + 3k}/_{1 + k}.y + 1 = 0
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -2 ⇒ g = -1;
2f = -2.^{2 + 3k}/_{1 + k} ⇒ f = – ^{2 + 3k}/_{1 + k};
c = 1
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (1, ^{2 + 3k}/_{1 + k}) বৃত্তের কেন্দ্র 4y – 7x – 19 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ 4.^{2 + 3k}/_{1 + k} – 7.1 – 19 = 0
বা, 4.(2 + 3k) – 7.(1 + k) – 19(1 + k) = 0
বা, 8 + 12k – 7 – 7k – 19 – 19k = 0
বা, -18 – 14k = 0
⇒ -2(9 + 7k) = 0
বা, 9 + 7k = 0
বা, k = –⁹/₇
\(\quad \frac{2 + 3k}{1 + k}\\ = \frac{2 + 3.\frac{-9}{7}}{1 + \frac{-9}{7}}= \frac{14 – 27}{7 – 9}\\ = \frac{-13}{-2}=\frac{13}{2}\)
বৃত্তের কেন্দ্র (1, ¹³/₂)এবং
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(1)^2+\left( \frac{13}{2} \right)^2-1}=\sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2}=\frac{13}{2}\) একক
Ans: বৃত্তের কেন্দ্র (1, ¹³/₂) এবং ব্যাসার্ধ ¹³/₂ একক
13. x – y + 1 = 0 সরলরেখা x²+ y² + 2x – 4y – 11 = 0 বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x – y + 1 = 0
বা, x = y – 1
x² + y² + 2x – 4y – 11 = 0 সমীকরণে x = y – 1 বসিয়ে পাই,
(y – 1)² + y² + 2(y – 1) – 4y – 11 = 0
বা, y² – 2y + 1 + y² + 2y – 2 – 4y – 11 = 0
বা, 2y² – 4y – 12 = 0
⇒ 2(y² – 2y – 6) = 0
⇒ y² – 2y – 6 = 0
বা, y² – 2y – 6 = 0
বা, y² – 2y + 1 – 7 = 0
⇒, (y – 1)² = 7
বা, y – 1 = ±√7
বা, y = 1 ± √7
∴ x = 1 ± √7 – 1 = ±√7
A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (√7, 1 + √7) এবং (-√7, 1 – √7)
AB রেখাংশকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ:
(x – √7)(x + √7) + (y – 1 – √7)(y – 1 + √7) = 0
⇒ (x)² – (√7)² + (y – 1)² – (√7)² = 0
⇒ x² – 7 + y² – 2y + 1 – 7 = 0
বা, x² + y² – 2y – 13 = 0
Ans: নির্ণেয়বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 2y – 13 = 0
14. x²+ y² – 4x – 2y – 31 = 0 এবং 2x² + 2y² – 6x + 8y – 35 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x² + y² – 4x – 2y – 31 = 0 . . . (i) এবং
2x² + 2y² – 6x + 8y – 35 = 0
বা, x² + y² – 3x + 4y – ³⁵/₂ = 0 . . . (ii)
বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যায়ের সমীকরণ:
x² + y² – 4x – 2y – 31 – (x² + y² – 3x + 4y – ³⁵/₂) = 0
বা, x² + y² – 4x – 2y – 31 – x² – y² + 3x – 4y + ³⁵/₂ = 0
বা, – x – 6y – 31 + ³⁵/₂ = 0
⇒ 2x + 12y + 62 – 35 = 0
⇒ 2x + 12y + 27 = 0
(i) ও (ii) নং বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ হবে-
x² + y² – 4x – 2y – 31 + k(x² + y² – 3x + 4y – ³⁵/₂) = 0
বা, (1 + k)x² + (1 + k)y² – (4 + 3k)x – (2 – 4k)y – (31 + ^35k/₂) = 0
বা, x² + y² – ^{4 + 3k}/_{1 + k}.x – ^{2 – 4k}/_{1 + k}.y – ^{31 + 35k/2}/_{1 + k} = 0 . . . (iii)
∴ বৃত্তের কেন্দ্র \(\left( \frac{4 + 3k}{2(1 + k)},\ \frac{2 – 4k}{2(1 + k)} \right)\)
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র 2x + 12y + 27 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(∴ 2.\frac{4 + 3k}{2(1 + k)} + 12.\frac{2 – 4k}{2(1 + k)}) + 27 = 0\\⇒(4 + 3k) + 6.(2 – 4k) + 27(1 + k) = 0\)
⇒ 4 + 3k + 12 – 24k + 27 + 27k = 0
⇒ 6k + 43 = 0
বা, k = –⁴³/₆
(iii) নং সমীকরণে k = -43/6 বসিয়ে পাই,
\(\quad x^2 + y^2 – \frac{4 – 3.\frac{43}{6}}{1 – \frac{43}{6}}.x – \frac{2+4.\frac{43}{6}}{1 – \frac{43}{6}}.y – \frac{31-35.\frac{43}{12}}{1 – \frac{43}{6}}=0\\⇒x^2 + y^2 – \frac{24 – \frac{129}{6}}{\frac{6-43}{6}}.x – \frac{12 + \frac{172}{6}}{\frac{6-43}{6}}.y – \frac{372 – \frac{1505}{12}}{\frac{6-43}{6}})= 0\\⇒x^2 + y^2 – \frac{- \frac{105}{6}}{-\frac{37}{6}}.x – \frac{- \frac{184}{6}}{-\frac{37}{6}}.y – \frac{- \frac{1133}{12}}{-\frac{37}{6}}= 0\\⇒x^2 + y^2 – \frac{105}{37}x – \frac{-184}{37}y – \frac{1133}{74} = 0\\⇒x^2 + y^2 – \frac{105}{37}x + \frac{184}{37}y – \frac{1133}{74} = 0\)
⇒ 74(x² + y²) – 210x + 368y – 1133 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: 74(x² + y²) – 210x + 368y – 1133 = 0
15. x² + y² = 16 বৃত্তের ওপর (0, 4) একটি বিন্দু। ওই বিন্দুর মধ্যে দিয়ে অঙ্কিত জ্যা-সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution:

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² = 16 = (4)²
বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 4 একক।
ধরি, বৃত্তের ওপর A(0, 4) বিন্দুর মধ্যে দিয়ে অঙ্কিত জ্যা AB-এর মধ্যবিন্দু(C)-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
\(\quad AC = \sqrt{(h – 0)^2 + (k – 4)^2}\\⇒AC^2 =h^2 + k^2 – 8k + 16\) এবং \(\quad OC = \sqrt{(h – 0)^2 + (k – 0)^2}\\⇒OC^2 =h^2 + k^2\)
∵ OC ⊥ AB
OCA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² + OC² = OA²
বা, h² + k² – 8k + 16 + h² + k² = 16
বা, 2h² + 2k² – 8k = 0
⇒ h² + k² – 4k = 0
বা, h² + k² = 4k
Ans:জ্যা-সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ: x² + y² = 4y
16. 3c ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দু O দিয়ে যায়; যদি তা স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটিকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে, তবে OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, (0, 0) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 2gx + 2fy = 0 . . . (i)
এবং A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (a , 0)ও (0, b)
A ও B বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।
∴ a² + 0² + 2g.a + 2f.0 = 0
বা, g = –^a/₂
এবং 0² + b² + 2g.0 + 2f.b = 0
বা, f = –^b/₂
\(\quad \sqrt{g^2 + f^2} = \frac{3c}{2}\\⇒g^2 + f^2 = \frac{9c^2}{4}\\⇒\left(-\frac{a}{2} \right)^2 + \left(-\frac{b}{2} \right)^2 = \frac{9c^2}{4}\\⇒\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{9c^2}{4}\\⇒\frac{a^2+b^2}{4}=\frac{9c^2}{4}\\⇒a^2+b^2=9c^2 . . . (i)\)
OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (h, k) হলে,
h = ^a/₃ ⇒ a = 3h
এবং k = ^b/₃ ⇒ b = 3k
(i) নং থেকে পাই,
(3h)² + (3k)² = 9c²
⇒ 9h² + 9k² = 9c²
⇒ h² + k² = c²
Ans: OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথের সমীকরণ x² + y² = c²
17. x = 0, y = 0 এবং lx + my = 1 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। যদি l, m এমনভাবে পরিবর্তিত হয় যে, সর্বদা l² + m² = 4l²m² হয়, তাহলে বৃত্তটির কেন্দ্রের সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, পরিবৃত্তের সমীকরণ: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . . (i)
ত্রিভুজের অতিভুজ
\(\quad lx + my = 1\\⇒\frac{x}{\frac{1}{l}} + \frac{y}{\frac{1}{m}} = 1 . . . (ii)\)
(ii) নং সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে (¹/_l , 0)ও (0, ¹/_m) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ পরিবৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (¹/_l , 0)ও (0, ¹/_m)
ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ:
(x – ¹/_l)(x – 0) + (y – 0)(y – ¹/_m) = 0
বা, x² – ^x/_l + y² – ^y/_m = 0
বা, x² + y² – ^x/_l – ^y/_m = 0
⇒ lm(x² + y²) – (mx + ly) = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (h, k) হলে,
2h = ¹/_l
বা, h = ¹/_2l
2k = ¹/_m
বা, k = ¹/_2m
\(∵ l^2 + m^2 = 4l^2m^2\\⇒\frac{l^2 + m^2}{4l^2m^2}=1\\⇒\frac{1}{4m^2}+\frac{1}{4l^2}=1\\⇒\left( \frac{1}{2m} \right)^2+\left( \frac{1}{2l} \right)^2\\⇒k^2+h^2=1\)
Ans: ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ: lm(x² + y²) – (mx + ly) = 0
বৃত্তটির কেন্দ্রের সঞ্চারপথের সমীকরণ: x² + y² =1
18. x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত।
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-g, -f) এবং
ব্যসার্ধ \(=\sqrt{g^2 + f^2 -c} \) একক
∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
= ³/₂×বৃত্তের ব্যসার্ধ
= ³/₂√(g² + f² – c)
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a একক হলে,
\(\quad\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{3}{2}\sqrt{g^2 + f^2 – c}\\⇒ a = \sqrt{3}\sqrt{g^2 + f^2 – c}\)
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{\sqrt{3}}{4}.a^2\\= \frac{\sqrt{3}}{4}.\left( √3\sqrt{g^2 + f^2 – c} \right)^2 \\= \frac{3√3}{4}(g^2 + f^2 – c)\)বর্গএকক
Ans:বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ^3√3/₄(g² + f² – c) বর্গএকক
19. x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0 বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution: বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত।
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3) এবং
ব্যসার্ধ \(=\sqrt{2^2 + 3^2 + 3} =\sqrt{16} = 4 \) একক
∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
= ³/₂×বৃত্তের ব্যসার্ধ
= ³/₂×4 = 6 একক
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a একক হলে,
^√3/₂ × a = 6
⇒ a = 4√3
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ^√3/₄ × a²
= ³/₄ ×(4√3)²
== ³/₄×16×3 = 12√3 বর্গএকক
Ans:প্রদত্ত বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12√3 বর্গএকক
20. স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-র মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা ওই জ্যা-টির ওপর লম্ব।

Solution: ধরি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = r² এবং AB জ্যা-এর প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক A(a, b) ও B(c, d)
AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু C-এর স্থানাঙ্ক (^{a + c}/₂, ^{b + d}/₂)
জ্যা-র মধ্যবিন্দু(C) ও কেন্দ্রের(O) সংযোজক সরলরেখার(OC) প্রবনতা(m₁)
\(\quad = \frac{\frac{b + d}{2} – 0}{\frac{a + c}{2} – 0} = \frac{b + d}{a + c}\)
জ্যা AB-র প্রবনতা(m₂) = ^{d – b}/_{c – a}
A ও B বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।
∴ a² + b² = r² . . . (i) এবং
c² + d² = r² . . . (ii)
(i) এবং (ii) নং থেকে পাই,
a² + b² = c² + d²
বা, b² – d² = c² – a² . . . (iii)
∴ m₁×m₂
= ^{b + d}/_{a + c} × ^{d – b}/_{c – a}
= ^{d² – b²}/_{c² – a²}
== ^{-(b² – d²)}/_{c² – a²}
= ^{-(c² – a²)}/_{c² – a²} . . . [(iii) নং থেকে]
= -1
∴ OC ⊥ AB
কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-র মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা ওই জ্যা-টির ওপর লম্ব। (Proved)
21. (13, 6) বিন্দুগামী যে বৃত্ত x² + y² = 25 এবং x² + y² – 25x + 150 = 0 বৃত্ত দুটিকে বহিঃস্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:

x² + y² = 25 = (5)² . . . (i)
(i) নং বৃত্তের কেন্দ্র A(0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 5 একক।
x² + y² – 25x + 150 = 0 . . . (ii)
(ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র B (²⁵/₂, 0)
এবং ব্যাসার্ধ
\(= \sqrt{\left( \frac{25}{2} \right)^2+(0)^2-150}\\=\sqrt{\frac{625}{4}-150}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\)একক
ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ (x + g)² + (y + f)² = (r)² . . . (iii)
(iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র C(-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ = r
যেহেতু (i) নং ও (iii) নং বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করে,
সুতরাং AC = 5 + r
\(∴\sqrt{(0 + g)^2 + (0 + f)^2}= 5 + r\\⇒\sqrt{g^2 + f^2}-5= r . . . (iv)\)
আবার (ii) নং ও (iii) নং বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করে,
সুতরাং BC = ⁵/₂ + r
\(∴\sqrt{\left( \frac{25}{2} + g \right)^2 + (0 + f)^2}= \frac{5}{2} + r\\⇒\sqrt{\left( \frac{25}{2} + g \right)^2 + f^2}-\frac{5}{2} = r . . . (v)\)
(iii) নং বৃত্ত (13, 6) বিন্দুগামী।
(13 + g)² + (6 + f)² = r²
বা, (13 + g)² + (6 + f)² = [√(g² + f²) – 5]² . . . [(iv) নং থেকে পাই]
বা, 169 + 26g + g² + 36 + 12f + f² = g² + f² + 25 – 10√(g² + f²)
বা, 26g + 12f + 180 = – 10√(g²+ f²) . . . (vi)
(iv) ও (v) থেকে r এর মান তুলনা করে পাই,
\(\sqrt{g^2+ f^2}-5=\sqrt{\left( \frac{25}{2}+g \right)^2+ f^2}\\⇒\sqrt{g^2+ f^2}-\frac{5}{2}=\sqrt{\left( \frac{25}{2}+g \right)^2+ f^2}\\⇒g^2 + f^2 + \frac{25}{4}-5\sqrt{g^2+ f^2}=\frac{625}{4} + 25g + g^2 + f^2\\⇒\frac{25}{4}-5\sqrt{g^2+ f^2}=\frac{625}{4} + 25g\\⇒\frac{5}{4}-\sqrt{g^2+ f^2}=\frac{125}{4} + 5g\\⇒-\sqrt{g^2+ f^2}=\frac{125}{4}-\frac{5}{4} + 5g\\⇒-\sqrt{g^2+ f^2}=30 + 5g\\⇒\sqrt{g^2+ f^2}=-30 – 5g . . . (vii)\)
(vi) নং সমীকরণে √(g² + f²) এর মান বসিয়ে পাই,
26g + 12f + 180 = – 10(-30 – 5g)
বা, 26g + 12f + 180 = 300 + 50g
বা, -24g + 12f – 120 = 0
⇒ -2g + f – 10 = 0
বা, f = 2g + 10 . . . (viii)
(vii) নং সমীকরণে f-এর মান বসিয়ে পাই,
√(g² + f²) = -30 – 5g
বা, (g² + f²) = [-(30 + 5g)]²
বা, g² + (2g + 10)² = (30 + 5g)²
⇒ g² + 4g² + 40g + 100 = 900 + 300g + 25g²
বা, -20g² – 260g – 800 = 0
বা, g² + 13g + 40 = 0
⇒ g² + 8g + 5g + 40 = 0
⇒ g(g + 8) + 5(g + 5) = 0
বা, ( (g + 5)(g + 8) = 0
বা, g = – 5, – 8
g = – 5 হলে,
f = 2(- 5) + 10 = 0
(iv) থেকে পাই,
SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle
\(\quad\sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5 + r \\⇒ 5 = 5 + r \\⇒ r = 0\)
অর্থাৎ বৃত্তটি একটি বিন্দু বৃত্ত হয়।
ইহা অসম্ভব।
আবার, g = – 8 হলে
f = 2(- 8) + 10 = -16 + 10 = -6
(iv) থেকে পাই,
\(\quad\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = 5 + r \\⇒\sqrt{64+36} = 5 + r \\⇒10 = 5 + r \\⇒ r = 5\)
নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
(x – 8)² + (y – 6)² = (5)²
বা, x² – 16x + 64 + y² – 12y + 36 = 25
বা, x² + y² – 16x – 12y + 75 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 16x – 12y + 75 = 0
22. দেখাও যে, (x – a)² + (y – b)² = c² এবং (x – b)² + (y – a)² = c² বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হয় sqrt(4c^2 – 2(a – b)^2) একক।
Solution:

(x – a)² + (y – b)² = c² এবং (x – b)² + (y – a)² = c² বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
(x – a)² + (y – b)² – c² – [(x – b)² + (y – a)² – c²] = 0
বা, x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – c² – x² + 2bx – b² – y² + 2ay – a² + c² = 0
বা, – 2ax – 2by + 2bx + 2ay = 0
⇒ (2b – 2a)x – (2b – 2a)y = 0
বা, (2b – 2a)(x – y) = 0
বা, x – y = 0
ধরি, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ যথাক্রমে (x – a)² + (y – b)² = c² এবং (x – b)² + (y – a)² = c²,
CD হল তাদের সাধারণ জ্যা এবং AE সাধারণ জ্যা-এর উপর লম্ব।
(x – a)² + (y – b)² = c² বৃত্তের কেন্দ্র (a, b) এবং ব্যাসার্ধ c
এখানে AD = c
\(AE = \frac{|a – b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} =\frac{|a – b|}{\sqrt{2}}\)
∴ AED সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
ED² + AE² = AD²
বা, ED² + ^{(|a – b|)²}/₂ = c²
বা, 2ED² + (a – b)² = 2c²
⇒ 2ED² = 2c² – (a – b)²
\(⇒ED^2 = \frac{2c^2 – (a – b)^2}{2}\\⇒ED = \sqrt{\frac{2c^2 – (a – b)^2}{2}}\\∴ CD = 2ED\\= 2×\sqrt{\frac{2c^2 – (a – b)^2}{2}}\\=\sqrt{4×\frac{2c^2 – (a – b)^2}{2}}\\=\sqrt{4c^2-2(a – b)^2}\)
বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হয় \(\sqrt{4c^2-2(a – b)^2}\) একক। (Proved)
23. A ও B বিন্দু দুটির ভুজ দুটি হল x² + 2ax – b² = 0 সমীকরণের দুটি বীজ এবং তাদের কোটি দুটি হল x² + 2px – q² = 0 সমীকরণের দুটি বীজ। AB রেখাংশকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ এবং তার ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Solution: x² + 2ax – b² = 0
বা, x² + 2ax + a² – b² – a² = 0
বা, (x + a)² = b² + a²
\(x + a = ±\sqrt{b^2 + a^2}\\⇒x = ±\sqrt{b^2 + a^2} – a \)A ও B বিন্দু দুটির ভুজ যথাক্রমে \(\ (\sqrt{b^2 + a^2} – a)\ ও \ (-\sqrt{b^2 + a^2} – a)\)
x² + 2px – q² = 0
বা, x² + 2px + p² – q² – p² = 0
বা, (x + p)² = q² + p²
\(x + p = ±\sqrt{q^2 + p^2}\\⇒x = ±\sqrt{q^2 + p^2} – p \)A ও B বিন্দু দুটির কোটি যথাক্রমে \(\ (\sqrt{q^2 + p^2} – p)\ ও \ (-\sqrt{q^2 + p^2} – p)\)
∴ A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে\(\ (\sqrt{b^2 + a^2} – a,\ \sqrt{q^2 + p^2} – p) ও \\ (-\sqrt{b^2 + a^2} – a,\ -\sqrt{q^2 + p^2} – p)\)
AB রেখাংশকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ:
\(\left( x- \sqrt{b^2 + a^2} + a \right)\left( x+ \sqrt{b^2 + a^2} + a \right)+\left( y- \sqrt{p^2 + q^2} + p \right)\left( y+ \sqrt{p^2 + q^2} + p \right)=0\\⇒\left( (x+a)- \sqrt{b^2 + a^2} \right)\left( (x+a)+ \sqrt{b^2 + a^2} \right)+\left( (y+p)- \sqrt{p^2 + q^2} \right)\left((y+p)+ \sqrt{p^2 + q^2} \right)=0\\⇒\left( (x+a)^2- (b^2 + a^2) \right)+\left( (y+p)^2- (p^2 + q^2) \right)\)
⇒ x² + 2ax + a² – b² – a² + y² + 2py + p² – p² – q² = 0
⇒ x² + 2ax – b² + y² + 2py – q² = 0
বা, x² + y² + 2ax + 2py – b² – q² = 0
বৃত্তের কেন্দ্র (-^2a/₂, –^2p/₂) = (-a, -p)
এখানে c = – b² – q²
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(\\=\sqrt{(-a)^2 + (-p)^2 – (-b^2 – q^2)} \\= \sqrt{a^2 + b^2 + p^2 + q^2}\)
Ans:বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 2ax + 2py – b² – q² = 0,
এবং তার ব্যাসার্ধ \(\ \sqrt{a^2 + b^2 + p^2 + q^2}\)
24. ABC ত্রিভুজে AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হয় 3x – 2y + 8 = 0; যদি A ও B শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, -1) এবং (3, 1) হয়, তবে BC বাহুর সমীকরণ এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ: 3x – 2y + 8 = 0 . . . (i)
∴ ধরি, AC বাহুর সমীকরণ 2x + 3y + k = 0
AC বাহু (1, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2.1 + 3(-1) + k = 0
বা, k = 1
অতএব AC বাহুর সমীকরণ: 2x + 3y + 1 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii)-এর ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{24+2} = \frac{y}{3-16} = \frac{1}{-4-9}\\⇒ \frac{x}{26} =\frac{y}{-13} =\frac{1}{-13}\\⇒ \frac{x}{-2} =\frac{y}{1}= 1\)
∴ x=-2; y=1
AC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক (-2, 1)
ধরি, C-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ ^h+1/₂=-2
বা, h = -5 এবং
^k-1/₂ =1
বা, k=3
C-এর স্থানাঙ্ক (-5, 3)
∴ BC বাহুর সমীকরণ:
\(\quad \frac{y – 1}{1-3} = \frac{x – 3}{3+5}\\⇒ \frac{y – 1}{-2} =\frac{x – 3}{8} \\⇒ \frac{y – 1}{-1} =\frac{x – 3}{4}\)
⇒ 4y – 4 = -x + 3
⇒ x + 4y = 7 . . . (iii)
BC-এর মধ্যবিন্দু E-এর স্থানাঙ্ক (^-5+3/₂, ³⁺¹/₂) = (-1, 2)
BC-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ 4x – y + k = 0
এটি (-1, 2) বিন্দুগামী।
∴ 4(-1) – 2 + k = 0
বা, k = 6
BC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
4x – y + 6 = 0
বা, y = 4x + 6
AC এবং BC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
O-এর স্থানাঙ্ক:
3x – 2(4x + 6) + 8 = 0 . . . [y = 4x + 6]
বা, 3x – 8x – 12 + 8 = 0
বা, -5x = 4
⇒ x = –⁴/₅
∴ y = 4(-⁴/₅) + 6 = ¹⁴/₅
O-এর স্থানাঙ্ক (- ⁴/₅, ¹⁴/₅)
ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুই হল সেই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র।
ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (- ⁴/₅, ¹⁴/₅)
Ans: BC বাহুর সমীকরণ x + 4y = 7 এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক(- ⁴/₅, ¹⁴/₅)
25. মনে করো, x² + y² = a² বৃত্তের AB ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটিতে AC ও BD দুটি স্পর্শক। যদি AD ও BC সরলরেখা দুটি বৃত্তের পরিধির ওপর E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে দেখাও যে, AC.BD = 4a²
Solution:

x² + y² = a² বৃত্তের কেন্দ্র O(0, 0) এবং ব্যাসার্ধ a একক।
ধরি, বৃত্তের AB ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-a, 0) ও (a, 0) এবং ব্যাসটি x অক্ষের উপর অবস্থিত।
A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত AC ও BD স্পর্শক দুটি AB ব্যাস অর্থাৎ x অক্ষের উপর লম্ব।
∴ AC স্পর্শকের সমীকরণ: x = -a এবং
BD স্পর্শকের সমীকরণ: x = a
ধরি, C ও D বিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-a, h) ও (a, k)
∴ AC-এর দৈর্ঘ্য h একক এবং BD -এর দৈর্ঘ্য k একক।
∴ AC.BD = h.k . . . (i)
AD সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y – 0}{0 – k} = \frac{x + a}{-a – a}\\⇒ \frac{y}{-k} = \frac{x + a}{-2a}\\⇒ y = \frac{k(x + a)}{2a} . . . (i)\)
BC সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y – 0}{0 – h} = \frac{x – a}{a – (-a)}\\⇒ \frac{y}{-h} = \frac{x – a}{2a}\\⇒ y = \frac{-h(x – a)}{2a} . . . (ii)\)
ধরি, AD ও BC সরলরেখা দুটি বৃত্তের পরিধির ওপর E(m, n) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ m² + n² = a²
বা, m² – a² = -n²
(m, n) বিন্দুটি (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
n = ^{k(m + a)}/_2a
বা, k(m + a) = 2an
বা, k = ^2an/_{(m + a)}
আবার n = –^{h(m – a)}/_2a
বা, h(m – a) = -2an
বা, h = –^2an/_{(m – a)}
\(∴ AC.BD\\=h.k\\=\frac{2an}{m + a}×\frac{-2an}{m – a}\\= -\frac{4a^2n^2}{m^2 – a^2}\\ = -\frac{4a^2n^2}{-n^2} [∵ m^2 – a^2 = -n^2]\\= 4a^2 (Proved)\)
সরলরেখা PART-1
SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)SN DEY SEMESTER-I

এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation
February 13, 2026
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2
UNIT 2 CHAPTER 2
PART-II
SEMESTER-2 দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2
সূচিপত্র
👉 UNIT-1 বীজগণিত
- 1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
- 2. দ্বিপদ উপপাদ্য
- 3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
  - অনুক্রম
  - সমান্তর প্রগতি
  - গুণোত্তর প্রগতি
👉 UNIT-2 স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)
- 1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
- 2. সরলরেখা
- 3. বৃত্ত
- 4. অধিবৃত্ত
- 5. উপবৃত্ত
- 6. পরাবৃত্ত
- UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
👉 UNIT-3 পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
- 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
- 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
- 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
- 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব
একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. দেখাও যে, (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।
Solution: (-8, 3) বিন্দু থেকে 4x – 3y + 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{|4.(-8) – 3.3 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|-32 – 9 + 1|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|-40|}{\sqrt{25}}\\=\frac{40}{5}=8\)একক
(-8, 3) বিন্দু থেকে 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{|12.(-8) – 5.3 + 7|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|-96 – 15 + 7|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|-104|}{\sqrt{169}}\\=\frac{104}{13}=8\)একক
∴ (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)
2. প্রমাণ করো যে, (2, 2) বিন্দুটি 4x + 3y – 4 = 0 , 12x – 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী।
Solution: (2, 2) বিন্দুথেকে 4x + 3y – 4 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{|4.2 + 3.2 – 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 6 – 4|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক
(2, 2) বিন্দুথেকে 12x – 5y + 12 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{|12.2 – 5.2 + 12|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|24 – 10 + 12|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|26|}{\sqrt{169}}\\=\frac{26}{13}=2\)একক
একক(2, 2) বিন্দুথেকে 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{|3.2 – 4.2 – 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|6 – 8 – 8|}{\sqrt{9+16}}\\=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক
(2, 2) বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)
3. m -এর মান কত হলে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার ওপর মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 12 একক হবে?
Solution: মূলবিন্দু থেকে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\( = \frac{|0 + m.0 – 13|}{\sqrt{1^2 + m^2}}\\= \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}}\)প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}} = 12\\⇒\frac{-13}{\sqrt{1 + m^2}} = ±12\)
⇒ ±12(√1 + m²) = -13
⇒ 144(1 + m²) = 169
বা, 144m² = 169 – 144
⇒ 144m² = 25
⇒ m² = ²⁵/₁₄₄
⇒m = ±⁵/₁₂
Ans: m -এর মান ±⁵/₁₂
4. (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব 2√13 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\( = \frac{|2.(-3) – 3.4 + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}\\= \frac{|-6 – 12 + k|}{\sqrt{4 + 9}}\\= \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\\\quad \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}=2√13\)
⇒ |-18 + k| = 2.13
⇒ -18 + k = ± 26
⇒k = 18 ± 26
⇒ k = 44; k = -8
Ans: k-এর মান -8, 44
5. 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।
Solution: 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\( = \frac{|12.3 + k.(-5) – 9|}{\sqrt{12^2 + k^2}}\\= \frac{|36 – 5k – 9|}{\sqrt{144 + k^2}}\\= \frac{|27 – 5k|}{\sqrt{144 + k^2}}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{|27 – 5k|}{144 + k^2} = 4\\ ⇒ (27 – 5k)^2 = 16(144 + k^2)\)
⇒ 729 – 270k + 25k² = 2304 + 16k²
⇒ 9k² – 270k – 1575 = 0
বা, k² – 30k – 175 = 0
⇒ k² – 35k + 5k – 175 = 0
⇒ k(k – 35) + 5(k – 35) = 0
⇒(k – 35)(k + 5) = 0
∴ k = 35; k = -5
Ans: k-এর মান -5, 35
6. যদি 5x + 12y – 1 = 0 এবং 10x + 24y + k = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক হয়, তবে k-এর মান কত হবে?
Solution: 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –⁵/₁₂ এবং
10x + 24y + k = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –¹⁰/₂₄ = –⁵/₁₂
∴ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
মূলবিন্দু থেকে 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{5.0 + 12.0 – 1}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{- 1}{\sqrt{25 + 144}}= \frac{-1}{13}\) একক।
আবার মূলবিন্দু থেকে 10x + 24y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\( = \frac{10.0 + 24.0 + k}{\sqrt{10^2 + 24^2}}\\= \frac{k}{\sqrt{100 + 576}}=\frac{k}{26}\) একক।
সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
= ^k/₂₆ – (-¹/₁₃)
= ^k/₂₆ + ¹/₁₃
=^{k + 2}/₂₆ একক।
প্রশ্নানুযায়ী,
^{k + 2}/₂₆ = 2
বা, k + 2 = 52
বা, k = 50
Ans: k-এর মান 50
7. 3x + 4y + 9 = 0 এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
Solution: 3x + 4y + 9 = 0 সরলরেখার এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|9 – 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{2}{5}\)একক।
Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2/5 একক।
8. মনে করো, একটি বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ; তাহলে বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
Solution: বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ;
স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব
= বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
\(=\frac{|16 – (-13)|}{\sqrt{5^2 + 2^2}}\\= \frac{|16 + 13|}{\sqrt{25+4}}\\=\frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\)একক।
Ans: বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য √29 একক।
9. একটি সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b; মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\)
Solution: সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b;
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
^x/_a + ^y/_b = 1
মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে,
\(\quad p = \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} – 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p = \frac{|- 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}\\⇒\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}\ (Proved)\)
10. (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 এবং 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো এবং তারপর প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।
Solution: (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(\quad \frac{|8.2 + 6.1 – 17|}{\sqrt{8^2 + 6^2}}\\= \frac{|16 + 6 – 17|}{\sqrt{64+36}}\\= \frac{5}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) একক (Ans)
(2, 1) বিন্দু থেকে 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(\quad \frac{|4.2 + 3.1 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 3 + 1|}{\sqrt{16+9}}= \frac{12}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}\) একক (Ans)
∴ প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব
\(=\left| \frac{12}{5}-\frac{1}{2} \right|=\left| \frac{24-5}{10} \right|=\frac{19}{10}\)
Ans: প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব ¹⁹/₁₀ একক
11. দেখাও যে x cos α + y sin α = a cos 2αএবং x secα + y cosecα = 2a সরলরেখা দুটির ওপর মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না।
Solution: মূলবিন্দু থেকে x cos α + y sin α = a cos 2α -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(= \frac{|0.cos α + 0.sin α – a cos 2α|}{\sqrt{cos^2 α + sin^2 α}} = \left| – a cos 2α\ \right| \)
আবার মূলবিন্দু থেকে x secα + y cosecα = 2a -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(= \frac{|0.sec α + 0.cosec α – 2a|}{\sqrt{sec^2 α + cosec^2 α}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α }+ \frac{1}{sin^2 α}}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{sin^2 α + cos^2 α}{cos^2 α.sin^2 α }}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α.sin^2 α}}}\\=\frac{2|-a|}{\frac{1}{cos α.sin α}}\\=2sin α.cos α|-a|=|-a|sin 2α\)
∴ অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি
= (|- a cos 2α|)² + (|- a sin 2α)²
= a² cos² 2α + a² sin² 2α
=a²(cos² 2α + sin² 2α)
= a² – যা α নিরপেক্ষ।
∴ মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3
1. A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2); B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2);
AC সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y + 2}{-2-6}= \frac{x -2}{2-4}\\⇒ \frac{y + 2}{-8}= \frac{x -2}{-2}\\⇒ \frac{y + 2}{4}=x-2\)
⇒ 4x – 8 = y + 2
⇒ 4x – y – 10 = 0
B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(\quad \frac{|4(-1) – 3 – 10|}{\sqrt{4^2 + 1^2}}\\= \frac{|-4 – 3 – 10|}{\sqrt{16+1}}= \frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}\) একক (Ans)
2. (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর (4, -1) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:
\(\quad \frac{y + 4}{-4-1}= \frac{x + 11}{-11-1}\\ ⇒ \frac{y + 4}{-5}= \frac{x + 11}{-12}\)
⇒ -12y – 48 = -5x – 55
⇒ 5x – 12y + 7 = 0
(4, -1) বিন্দু থেকে 5x – 12y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{25+144}}= \frac{39}{3}= 3\) একক (Ans)
3. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ x + y = 2 এবং শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1); ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ:
x + y = 2
বা, x + y – 2 = 0
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1);
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব
\(= \frac{|2 -1 – 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\)
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে উচ্চতা = ^√3/₂ a একক
∴ ^√3/₂ a = ¹/_√2
বা, a = ¹/_√2.²/_√3 = ^√6/₃
Ans: ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ^√6/₃ একক
4. একটি গতিশীল বিন্দু P-এর সব অবস্থানে x + y = 5 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে তার লম্বদূরত্ব দুটির সমষ্টি সর্বদা 10। প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।
Solution: ধরি গতিশীল বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দু থেকে x + y = 5 এর লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}\)
আবার (h, k) বিন্দু থেকে 3x – 2y + 7 = 0 এর লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad\frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}+ \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}=10\\⇒±\frac{h + k – 5}{\sqrt{2}}±\frac{3h – 2k + 7}{\sqrt{13}}=10\\⇒±√13(h + k – 5) ± √2(3h – 2k + 7) = 10√26\\⇒(±√13 ± 3√2)h + (±√13 ± 2√2)k + (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0\)
∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ:
(±√13 ± 3√2)x + (±√13 ± 2√2)y + (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0
এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।(Proved)
5. মূলবিন্দু থেকে x sin θ+ y cos θ= ^a/₂ sin 2θ এবং x cos θ- y sin θ= a cos 2θসরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে P₁ ও P₂ হলে প্রমাণ করো যে, 4P₁² + P₂² = a²
Solution: মূলবিন্দু থেকে x sin θ + y cos θ = ^a/₂ sin 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য
\(\quad P_1 = \frac{|0.sin θ + 0.cos θ – \frac{a}{2}sin 2θ|}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_1 = |- \frac{a}{2} sin 2θ|\\ ⇒P_1^2 = \frac{a^2}{4}sin^2 2θ\\ ⇒4P_1^2 = a^2 sin^2 2θ . . . (i)\)
মূলবিন্দু থেকে x cos θ – y sin θ = a cos 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য
\(\quad P_2 = \frac{|0.cos θ – 0.sin θ – a cos 2θ}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_2 = |- a cos 2θ|\\ ⇒P_2^2 = a^2 cos^2 2θ . . . (ii)\)
(i) + (ii) করে পাই,
\(\quad 4P_1^2+P_2^2\\ = a^2 sin^2 2θ+a^2 cos^2 2θ\\= a^2(sin^2 2θ+ cos^2 2θ)= a^2\\\ ∴ 4P₁² + P₂² = a² \ (Proved)\)
6. দেখাও যে, (±4, 0) বিন্দু দুটি থেকে 3x cos θ+ 5y sin θ= 15 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না।
Solution: (4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(= \frac{|3.4 cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)
(-4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
\(= \frac{|3.(-4) cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|-12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|-(12 cos θ + 15)|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)
∴ লম্ব দুটির গুণফল \(=\frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}×\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|(12 cos θ)^2 – (15)^2|}{\left( \sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ} \right)^2}\\=±\frac{144cos^2 θ – 225}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225(cos^2 θ + sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225cos^2 θ – 225sin^2θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-225sin^2θ – 81 cos^2 θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-9(9 cos^2 θ + 25sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}= ±9\)∴ লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)
7. (0, a) বিন্দুগামী যে দুটি সরলরেখার ওপর (2a, 2a) বিন্দু থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য a একক, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, (0, a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y – a = m(x – 0) . . . [যেখানে m সরলরেখাটির প্রবনতা]
বা, y – a = mx
বা, mx – y + a = 0
(2a, 2a) বিন্দু থেকে mx – y + a = 0 সরলরেখার লম্বের দৈর্ঘ্য
\(=\frac{|m.2a – 2a + a|}{\sqrt{m^2 + 1^2}} \\= \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}=a\\⇒|2am – a|=a\sqrt{m^2 + 1}\)
বা, (2am – a)² = a²(m² + 1)
বা, 4a²m² – 4a²m + a² = a²m² + a²
⇒ 4m² – 4m + 1 = m² + 1
বা, 3m² – 4m = 0
বা, m(3m – 4) = 0
∴ m = 0; m = ⁴/₃
m = 0 হলে,
0.x – y + a = 0
বা, y = a
আবার m = ⁴/₃ হলে,
⁴/₃.x – y + a = 0
বা, 4x – 3y + 3a = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
y = a এবং
4x – 3y + 3a = 0
8. 2x + 3y = 5 এবং 2x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 2x + 3y = 5 . . . (i) এবং
2x + 3y + 1 = 0 . . . (ii)
স্পষ্টতই (i) এবং (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + k = 0
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব
=\(\frac{|k + 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k + 5|}{\sqrt{13}}\)
আবার (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব
=\(\frac{|k – 15|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k – 15|}{\sqrt{13}}\)
শর্তানুযায়ী,
^{|k + 5|}/_√13 = ^{|k – 1|}/_√13
বা, |k + 5| = |k – 1|
বা, (k + 5)² = (k – 1)²
⇒ k² + 10k + 25 = k² – 2k + 1
⇒ 10k + 2k = 1 – 25
বা, 12k = – 24
বা, k = -2
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + 2 = 0
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
2x + 3y + 2 = 0
9. x + y – 3 = 0 এবং x + y + 1 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: x + y – 3 = 0 . . . (i) এবং
x + y + 1 = 0 . . . (ii)
ধরি, (i) এবং (ii) নং সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ x + y + k = 0 . . . (iii)
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব
\(= \frac{|k + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k + 3|}{\sqrt{2}}\)
আবার (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব
\(= \frac{|k – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k – 1|}{\sqrt{2}}\)
শর্তানুযায়ী,
^{|k + 3|}/_√2 = ^{|k – 1|}/_√2
বা, |k + 3| = |k – 1|
বা, (k + 3)² = (k – 1)²
বা,k² + 6k + 9 = k² – 2k + 1
বা, 6k + 2k = 1 – 9
বা,8k = – 8
বা, k = -1
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
x + y – 1 = 0
বা, x + y = 1
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:x + y = 1
10. 2 একক দূরবর্তী দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ হয় 12x – 5y + 4 = 0 । সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 12x – 5y + k = 0
দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 2 একক
∴ নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখা এবং প্রদত্ত 12x – 5y + 4 = 0 সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 1 একক
\(∴ \frac{|4 – k|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{\sqrt{144+25}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{13}=1\)
বা, 4 – k = ±13
বা, k = 4 ± 13
∴ k = 4 + 13 = 17;
k = 4 – 13 = -9
k = 17 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0;
k = -9 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y – 9 = 0
বা, 12x – 5y = 9
Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0 এবং
12x – 5y = 9
11. (2, -2) বিন্দু এবং 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার মাঝখান দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + 1 = 0 . . . (i)
(2, -2) বিন্দু থেকে 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
\(= \frac{|3.2 – 4.(-2) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{15}{5}\)
= 3 একক
স্পষ্টতই, নির্ণেয় সরলরেখা 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল হবে।
ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + k = 0 . . . (ii)
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(= \frac{|1 – k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|1 – k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|1 – k|}{5}\)
প্রশ্নানুসারে,
^{|1 – k|}/₅ = ¹/₂.3
বা, 1 – k = ±¹⁵/₂
বা, 2 – 2k = ±15
বা,2k = 2 ± 15
বা,k = ¹/₂(2 ± 15)
∴ k = ¹⁷/₂; –¹³/₂
এখন, k = ¹⁷/₂ হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y + ¹⁷/₂ = 0
বা, 6x – 8y + 17 = 0
এটি (2, -2) বিন্দু থেকে ³/₂ একক দূরবর্তী নয়।
∴ k ≠ ¹⁷/₂
k = –¹³/₂ হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y – ¹³/₂ = 0
বা, 6x – 8y – 13 = 0
বা, 6x – 8y = 13
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 6x – 8y = 13
12. 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল এবং (1, -2) বিন্দু থেকে 7.5 একক দূরবর্তী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ: 3x + 4y + k = 0
(1, -2) বিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব
\(= \frac{|3.1 + 4.(-2) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3 – 8 + k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|k – 5|}{5}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
^{|k – 5|}/₅ = 7.5
বা, k – 5 = ±37.5
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = 37.5
বা, k = 42.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y + 42.5 = 0
বা, 6x + 8y + 85 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = -37.5
বা, k = -32.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y – 32.5 = 0
বা, 6x + 8y – 65 = 0
বা, 6x + 8y = 65
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
6x + 8y + 85 = 0 এবং
6x + 8y = 65
13. x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক লম্বদূরত্ববিশিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দু x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ h + k = 4
বা, h + k – 4 = 0 . . . (i)
(h, k) থেকে 4x + 3y = 10 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|4h + 3k – 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\ = \frac{|4h + 3k – 10|}{5}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\quad \frac{|4h + 3k – 10|}{5}=1 \\⇒ 4h + 3k – 10 = ±5\)
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = 5
বা, 4h + 3k – 15 = 0 . . . (ii)
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = -5
বা, 4h + 3k – 5 = 0 . . . (iii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
4h + 4k – 16 – (4h + 3k – 15) = 0
⇒ 4h + 4k – 16 – 4h – 3k + 15 = 0
বা, k – 1 = 0
বা, k = 1
(i) নং থেকে পাই,
h + 1 – 4 = 0
বা, h = 3
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, 1)
(i)×3 – (iii)×1 করে পাই,
3h + 3k – 12 – (4h + 3k – 5) = 0
বা, 3h + 3k – 12 – 4h – 3k + 5 = 0
বা,-h – 7 = 0
বা, h = -7
(i) নং থেকে পাই,
-7 + k – 4 = 0
বা, k = 11
অপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (-7, 11)
Ans: বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (3,1) ও (-7, 11)
14. একটি গতিশীল বিন্দুর 3x – 4y – 2 = 0 এবং 5x – 12y = 4 সরলরেখা দুটির ওপর লম্বদূরত্ব দুটি সর্বদা সমান হলে গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) থেকে 3x – 4y – 2 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{9 + 16}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{5}\)আবার (h, k) থেকে 5x – 12y – 4 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(= \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{25 + 144}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\\\quad \frac{|3h – 4k – 2|}{5} = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)
বা, 13(3h – 4k – 2) = ±5(5h – 12k – 4)
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = 5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = 25h – 60k – 20
বা, 14h + 8k – 6 = 0
বা,7h + 4k – 3 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = -5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = -25h + 60k + 20
বা,64h – 112k – 46 = 0
বা, 32h – 56k – 23 = 0
Ans: গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
7x + 4y = 3 অথবা 32x – 56y = 23
15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t^² = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, x – ty + at^² = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(a, 0) এবং (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা = ^{0 – k}/_{a – h} = – ^k/_{a – h}
x – ty + at² = 0 সরলরেখার প্রবনতা = ¹/_t
∴ –^k/_{a – h}×¹/_t = -1
বা, ^k/_{a – h}×¹/_t = 1
বা, t = ^k/_{a – h}
(h, k) বিন্দুটি x – ty + at² = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ h – tk + at² = 0
বা, h – (^k/_{a – h}).k + a(^k/_{a – h})² = 0 . . . [∵ t = ^k/_{a – h}]
বা, (a – h)².h – k(a – h).k + ak² = 0
বা,(a – h)².h – ak² + hk² + ak² = 0
বা, (a – h)².h + hk² = 0
বা, h[(a – h)² + k²] = 0
∵ (a – h)² + k² ≠ 0
∴ h = 0
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ x = 0
আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।
বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ত্রিভুজটির A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ABC ত্রিভুজের,
AB: 3x + 4y + 3 = 0 . . . (i)
BC: 2x + y + 1 = 0 . . . (ii) ও
CA: 2x + 3y + 1 = 0 . . . (ii)
AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{4-9} = \frac{y}{6-3} = \frac{1}{9-8}\\⇒\frac{x}{-5} = \frac{y}{3} = 1\)
∴ x=-5; y=3
BC বাহুর প্রবনতা -2
A বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা ¹/₂
∴ A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ:
y – 3 = ¹/₂(x + 5)
বা, x – 2y + 11 = 0
2. কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ x + 4y = 7 এবং 2x – 5y = 1; তার ভূমির সমীকরণ x + y = 2 হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ:
x + 4y = 7
বা, x = 7 – 4y . . . (i) এবং
2x – 5y = 1 . . . (ii)
ভূমির সমীকরণ: x + y = 2
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
(ii) নং সমীকরণে x = 7 – 4y বসিয়ে পাই,
2(7 – 4y) – 5y = 1
বা, 14 – 8y – 5y = 1
বা,-13y = -13
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y = 1 বসিয়ে পাই,
x = 7 – 4.1 = 3
∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু (3, 1)
ভূমির সমীকরণ x + y = 2 . . . (iii)
(3, 1) বিন্দু থেকে ভূমির লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|3 + 1 – 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{√2}=√2\ \) একক
x + y = 2 সরলরেখার প্রবনতা -1
∴ ভূমির লম্ব সরলরেখার প্রবনতা 1
(3, 1) বিন্দুগামী এবং 1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 1 = 1(x – 3)
বা, x – y – 2 = 0
বা, x – y = 2
Ans: ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য √‌2 একক
এবং ত্রিভুজটির উচ্চতার সমীকরণ: x – y = 2
দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
3. প্রমাণ করো যে \(\left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) ও \(\left( -\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\)বিন্দু দুটি থেকে \(\frac{x}{a} cos θ + \frac{y}{b } sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল \(b^2\) হবে।
Solution: \( \left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}} \)\( \left(-\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| -\frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\)
∴ সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল
\(=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}×\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\\=\frac{\left| \left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right)\left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right) \right|}{\left( \sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}} \right)^2}\\=\frac{\left| \frac{a^2 – b^2}{a^2}cos^2 θ – 1 \right|}{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}\\=\frac{\left| \frac{a^2cos^2 θ – b^2cos^2 θ-a^2}{a^2} \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{a^2.b^2}}\\=\frac{\left| -a^2\left(1-cos^2θ \right) – b^2cos^2 θ \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{b^2}}\\=b^2\frac{\left| -\left(a^2sin^2θ+b^2cos^2 θ \right) \right|}{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}=b^2\quad (Proved)\)
4. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC বাহুর সমীকরণ 5y = 12x – 3; যদি ত্রিভুr জটির ভরকেন্দ্র (2, -1) হয়, তবে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:
ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD মধ্যমা।
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র G(2, -1) AD মধ্যমাকে 2ঃ1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ GD = ¹/₃AD
⇒ AD = 3GD = 3.2 = 6
BC বাহুর সমীকরণ:
5y = 12x – 3
বা, 12x – 5y – 3 = 0
∵ AD ⊥ BC
\(GD = \frac{|12.2 – 5.(-1) – 3|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\\quad = \frac{|24 + 5 – 3|}{144 + 25} = \frac{26}{13} = 2\)
ধরি, ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ ^√3/₂.a = 6
বা, a = ¹²/_√3 = 4√3
Ans: ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 একক
5. 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার সাপেক্ষে (-3, -1) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, A(-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(-3, -1) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (^h-3/₂, ^k-1/₂)
এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m₁) = ^k+1/_h+3
3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = –²/₃
প্রদত্ত সরলরেখা এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
∴ m₁×m₂ = -1
বা, ^k+1/_h+3×(-²/₃) = -1
বা, 2(k +1) = 3(h + 3)
বা,2k – 3h – 7 = 0 . . . (i)
আবার (^h-3/₂, ^k-1/₂) বিন্দুটি 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 3.^k-1/₂ + 2.^h-3/₂ + 22 = 0
বা, 3k – 3 + 2h – 6 + 44 = 0
বা, 3k + 2h + 35 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{k}{-105+14} = \frac{h}{-21-70} = \frac{1}{4+9}\\⇒\frac{k}{-91} = \frac{h}{-91} = \frac{1}{13}\\⇒ \frac{k}{-7} = \frac{h}{-7} = 1\)
∴ k = -7; h = -7
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)
Ans: (-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)
6. x + 3y – 7 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(3, 8) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (^3+h/₂, ^8+k/₂) এবং
(3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m₁) = ^k-8/_h-3
x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m₂) = –¹/₃
প্রদত্ত সরলরেখা এবং (3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
∴ m₁×m₂ = -1
বা, ^k-8/_h-3×(-¹/₃) = -1
বা, k-8 = 3h – 9
বা,k – 3h + 1 = 0 . . . (i)
আবার (^3+h/₂, ^8+k/₂) বিন্দুটি x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ ^3+h/₂ + 3.^8+k/₂ – 7 = 0
বা, 3 + h + 24 + 3k – 14 = 0
বা, h + 3k + 13 = 0
বা,h = -3k – 13 . . . (ii)
(i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:
(i) নং-এ h = -3k – 13 বসিয়ে পাই,
k – 3(-3k – 13) + 1 = 0
বা, k + 9k + 39 + 1 = 0
বা, 10k = -40
বা,k = -4
(ii) নং-এ k = -4 বসিয়ে পাই,
h = -3(-4) – 13 = 12 – 13 = -1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)
Ans: A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)
7. মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y – 5 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: 3x + 4y – 5 = 0 . . . (i)
(i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ 4x – 3y + k = 0 . . . (ii)
(ii) নং সরলরেখা (0, 0) বিন্দুগামী।
∴ 0 – 0 + k = 0
বা k = 0
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
4x – 3y = 0
বা, x = ^3y/₄ . . . (iii)
(i) নং সমীকরণে x = ^3y/₄ বসিয়ে পাই,
3.^3y/₄ + 4y – 5 = 0
বা, 9y + 16y = 20
বা, 25y = 20
বা,y = ⁴/₅
(iii) নং থেকে পাই, x = ³/₄.⁴/₅ = ³/₅
Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (³/₅, ⁴/₅)
8. (2, 3) বিন্দু থেকে x + y – 11 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: x + y – 11 = 0 . . . (i)
(i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – y + k = 0 . . . (ii)
(ii) নং সরলরেখা (2, 3) বিন্দুগামী।
∴ 2 – 3 + k = 0
বা k = 1
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – y + 1 = 0 . . . (iii)
(i) + (iii) করে পাই,
x + y – 11 + x – y + 1 = 0
বা, 2x = 10
বা, x = 5
(i) নং থেকে পাই,
5 + y – 11 = 0
বা, y = 6
Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 6)
9. 5x + y + 6 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে (4, -13) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।
Solution: 5x + y + 6 = 0 . . . (i)
(i) নং সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y + k = 0 . . . (ii)
(ii) নং সরলরেখা (4, -13) বিন্দুগামী।
∴ 4 – 5(-13) + k = 0
বা, k = -69
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y – 69 = 0 . . . (iii)
(i) ও (iii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{-69+30} = \frac{y}{6+345} = \frac{1}{-25-1}\\⇒\frac{x}{-39} = \frac{y}{351} = \frac{1}{-26}\\⇒ \frac{x}{3} = \frac{y}{-27} = \frac{1}{2}\\∴ x = \frac{3}{2};\ y = -\frac{27}{2}\)
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (³/₂, –²⁷/₂)
ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ ^4+h/₂ = ³/₂
বা, 4+h = 3
বা, h = -1
এবং ^k-13/₂ = –²⁷/₂
বা, k-13 = -27
বা, k = -14
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -14)
10. দেখাও যে 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।
Solution: 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
\(\quad \frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{12^2 + 5^2}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{3^2 + 4^2}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{169}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{25}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {13} = ±\frac{3x – 4y + 3} {5}\)
⇒ 60x + 25y + 60 = ± (39x – 52y + 39)
(+) চিহ্ন ধরে,
60x + 25y + 60 = 39x – 52y + 39
⇒ 21x + 77y + 21 = 0
⇒ 3x + 11y + 7 = 0
(-) চিহ্ন ধরে,
60x + 25y + 60 = -(39x – 52y + 39)
⇒ 60x + 39x + 25y – 52y + 60 + 39 = 0
⇒ 99x – 27y + 99 = 0
বা 11x – 3y + 11 = 0
∴ 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখা 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক।
অতএব 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)
11. 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অবস্থিত এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো যার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব, (2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্বের সমান।
Solution: 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y + k = 0 . . . (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) নং সরলরেখার লম্বদূরত্ব
\(= \frac{|0+0+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|k|}{√13}\\\)(2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্ব\(= \frac{|3.2-2.(-1)+5|}{\sqrt{3^2+2^2}} ⇒ \frac{|13|}{√13}=√13\\\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|k|}{√13}=√13\\⇒|k| = 13 \\⇒k = ±13\)
Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y ±13 = 0
12. দেখাও যে, 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।
Solution: ধরি, (h, k) বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।
\(⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{13^2 + 9^2}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{250}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5\sqrt{10}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {1} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5}\)
⇒ 5(h + 3k – 6) = ±(13h – 9k – 10)
(+) চিহ্ন ধরে,
5(h + 3k – 6) = (13h – 9k – 10)
বা, 5h – 13h + 15k + 9k – 30 + 10 = 0
বা, – 8h + 24k – 20 = 0
বা,2h – 6k + 5 = 0
(-) চিহ্ন ধরে,
5(h + 3k – 6) = -(13h – 9k – 10)
বা, 5h + 13h + 15k – 9k – 30 – 10 = 0
বা, 18h + 6k – 40 = 0
বা,9h + 3k – 20 = 0
বা, 9h + 3k = 20
সুতরাং (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখাটিকে সিদ্ধ করে।
অতএব (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান। (Proved)
13. (-2, 6) বিন্দু থেকে 2x + 3y = 1 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। প্রদত্ত সরলরেখাটির সাপেক্ষে (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution: 2x + 3y = 1 . . . (i) সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y + k = 0
সরলরেখাটি (-2, 6) বিন্দুগামী।
∴ 3×(-2) – 2×6 + k = 0
বা, k = 18
∴ লম্ব সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 2y + 18 = 0 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
\(\quad \frac{x}{54-2} = \frac{y}{-3-36} = \frac{1}{-4-9}\\⇒\frac{x}{52} = \frac{y}{-39} = \frac{1}{-13}\\⇒ \frac{x}{-4} = \frac{y}{3} = 1\)
∴ x = -4; y = 3
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
ধরি, (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ ^h-2/₂ = -4,
বা, h-2 = -8
বা, h = -6,
আবার ^k+6/₂ = 3
বা, k+6 = 6
বা,k = 0
∴ প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)
Ans: (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)
14. কোনো বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 5x + 12y – 10 = 0 এবং 5x + 12y + 29 = 0 এবং অন্য একটি বাহু (3, 5) বিন্দুগামী। অন্য বাহু দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution: দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে
5x + 12y – 10 = 0 এবং
5x + 12y + 29 = 0
স্পষ্টতই বাহু দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্রের,
AB বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y – 10 = 0 . . . (i) এবং
CD বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y + 29 = 0 . . . (ii)
BC বাহু AB বাহুর উপর লম্ব।
আরও ধরি, BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + k = 0 . . . (iii)
BC বাহু (3, 5) বিন্দুগামী।
∴ 12.3 – 5.5 + k = 0
বা, 36 – 25 + k = 0
বা, k = -11
∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y – 11 = 0 . . . (iv)
CD বাহু BC বাহুর সমান্তরাল।
∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + p = 0
ABCD একটি বর্গাক্ষেত্র।
∴ AB ও CD বাহুর দূরত্ব = BC ও DA বাহুর দূরত্ব
\(⇒\frac{|29 – (-10)|} {\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|p – (-11)|} {\sqrt{12^2 + 5^2}}\\⇒\frac{|29 +10|} {\sqrt{25 + 144}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{144 + 25}}\\⇒\frac{39} {\sqrt{169}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{169}}\)
⇒ |p + 11| = 39
⇒ p + 11= ±39
∴ p = 39-11, -39-11
= 28, -50
∴ BC বাহুর সমীকরণ:
12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0
Ans: অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
12x – 5y – 11 = 0 এবং
12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0
15. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p, x sin α- y cos α= -p, x cos α+ y sin α= – p এবং x sin α- y cos α= p সরলরেখা চারটি একটি বর্গাকার চিত্র উৎপন্ন করে।
Solution: সরলরেখা চারটি হলো:
x cos α + y sin α = p . . . . (i)
x sin α – y cos α = -p . . . . (ii)
x cos α + y sin α = – p . . . . (iii) এবং
x sin α – y cos α = p . . . . (iv)
স্পষ্টতই (i) ও (iii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
আবার (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি সামান্তরিক।
(i) নং থেকে পাই,
x cos α + y sin α = p
বা, y sin α = -x cos α + p
বা, y = -cot α x + p cosec α
∴ (i) নং সরলরেখার প্রবনতা (m₁) = -cot α
(ii) নং থেকে পাই,
x sin α – y cos α = -p
বা, y cos α = x sin α + p
বা, y = tan α x + p sec α
∴ (ii) নং সরলরেখার প্রবনতা (m₂) = tan α
∴ m₁×m₂ = -cot α×tan α = -1
অতএব (i) নং ও (ii) নং সরলরেখা পরস্পর লম্ব সরলরেখা।
সুতরাং সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র।
(i) ও (iii) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব
\(= \frac{\left| -p – p \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\\\)(ii) ও (iv) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব \(= \frac{\left| -p – (-p) \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\)
∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রটির বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব সমান।
∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি বর্গক্ষেত্র।
সরলরেখা PART-1
SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2
January 20, 2026

Category: SEMESTER-2

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

SEMESTER-2 CIRCLE (বৃত্ত) Complete solution of Circle

SEMESTER-2 CIRCLE (বৃত্ত)Complete solution of Circle

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলিপ্রতিটি প্রশ্নের মান 2

2. একটি বৃত্তের কেন্দ্র (3, -1) বিন্দুতে এবং তা (6, -5) বিন্দুগামী; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

3. নীচের প্রত্যেকটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো:

4. কী শর্তে ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 দ্বারা বৃত্ত সূচিত হয় উল্লেখ করো এবং এই শর্তে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো

5. মূলবিন্দুগামী এবং (a, 0) ও (0,b) বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

6. (i) (2a, 0) ও (0, -2a) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশ যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

7. বক্তব্যগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক? উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।

8. (ii) (λ, 1 + λ) বিন্দুটি x2 + y2 = 1 বৃত্তের ভেতরে থাকলে λ-এর মান নির্ণয় করো।

9. x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 বৃত্তের (1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় করো।

11. x2 + y2 + 4x – 7y – k = 0 বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 একক, k-এর মান নির্ণয় করো।

12. 2x2 + 2y2 + ax + by + c = 0 বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (3, -4) হলে, a ও b-এর মান নির্ণয় করো।

14. x2 + y2 + 4x – 8y – 5 = 0 বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ নির্ণয় করো।

15. একটি বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ x = 1/2 (- 3 + 4cos θ) y = 1/2 (1 + 4sin θ); বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

16. (i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের সমীকরণ x2 + y2 + 2x – 4y – 8 = 0 হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

16. (ii) যে সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি x2 + y2 – 4x – 6y – 23 = 0 বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

3. x2 + y2 + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় এবং x2 + y2 – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

4. x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী যে সরলরেখাটি x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

5.(i) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (0, 0), (1, 2), (2, 0)

5. (ii) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (2, -1), (2, 3), (4, -1)

12. (i) একটি বৃত্ত (-2, 5) ও (4, 3) বিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র 2x – 3y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

12. (ii) (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দুগামী এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো, যার কেন্দ্র x – y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।

15. 5 একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট যে বৃত্ত (-6, 5) ও (-3, -4) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

16. (-2, 2) বিন্দুগামী বৃত্তে দুটি ব্যাসের সমীকরণ যথাক্রমে 3x + y = 5 এবং x + y + 1 = 0 বৃত্তটির সমীকরণ ও তার ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

17. একটি বৃত্ত (-3, 4) ও (1,0) বিন্দুগামী এবং তার কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

18. যে বৃত্ত (2, 0) ও (4, 0) বিন্দুগামী এবং যার কেন্দ্র y = 2 সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

19. যে বৃত্ত y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং (α, β) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

21. যে বৃত্তটি y-অক্ষকে (0, 5) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র 2x + y = 13 সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

26. x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত ও অক্ষ দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

27. x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0 এবং x2 + y2 – 5x + 8y – 43 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ও তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

29. মূলবিন্দুগামী এবং x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0 এবং x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

32. α একটি পরিবর্তনশীল চল হলে দেখাও যে, x cos α + y sin α = a এবং x sin α – y cos α = a সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।

35. প্রমাণ করো যে x2 + y2 = a2 বৃত্তের উপরিস্থিত (x1, y1) ও (x2, y2) বিন্দু দুটির দূরত্বের বর্গের মান 2(a2 – x1x2 – y1y2)

37. x – 3y = 4, 3x + y = 22 , x – 3y = 14 এবং 3x + y = 62 সরলরেখা চারটি দ্বারা সীমাবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

5. কোনো বৃত্ত (-2, 1) এই বিন্দুগামী এবং তা 3x – 2y = 6 সরলরেখাকে (4, 3) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

8. প্রমাণ করো যে, x2 + y2 + 4x – 10y – 20 = 0 এবং x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।

13. x – y + 1 = 0 সরলরেখা x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। AB রেখাংশকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

14. x2 + y2 – 4x – 2y – 31 = 0 এবং 2x2 + 2y2 – 6x + 8y – 35 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

15. x2 + y2 = 16 বৃত্তের ওপর (0, 4) একটি বিন্দু। ওই বিন্দুর মধ্যে দিয়ে অঙ্কিত জ্যা-সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

18. x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

19. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

21. (13, 6) বিন্দুগামী যে বৃত্ত x2 + y2 = 25 এবং x2 + y2 – 25x + 150 = 0 বৃত্ত দুটিকে বহিঃস্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

22. দেখাও যে, (x – a)2 + (y – b)2 = c2 এবং (x – b)2 + (y – a)2 = c2 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হয় sqrt(4c^2 – 2(a – b)^2) একক।

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]SEMESTER-2

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় [Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

2. প্রমাণ করো যে, (2, 2) বিন্দুটি 4x + 3y – 4 = 0 , 12x – 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী।

3. m -এর মান কত হলে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার ওপর মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 12 একক হবে?

5. 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

7. 3x + 4y + 9 = 0 এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

2. (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর (4, -1) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

5. মূলবিন্দু থেকে x sin θ+ y cos θ= a/2 sin 2θ এবং x cos θ- y sin θ= a cos 2θসরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে P₁ ও P₂ হলে প্রমাণ করো যে, 4P₁² + P₂² = a²

6. দেখাও যে, (±4, 0) বিন্দু দুটি থেকে 3x cos θ+ 5y sin θ= 15 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

7. (0, a) বিন্দুগামী যে দুটি সরলরেখার ওপর (2a, 2a) বিন্দু থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য a একক, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

8. 2x + 3y = 5 এবং 2x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

9. x + y – 3 = 0 এবং x + y + 1 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

11. (2, -2) বিন্দু এবং 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার মাঝখান দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

12. 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল এবং (1, -2) বিন্দু থেকে 7.5 একক দূরবর্তী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

13. x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক লম্বদূরত্ববিশিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t2 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

1. ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ত্রিভুজটির A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় করো।

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

6. x + 3y – 7 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

7. মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y – 5 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

9. 5x + y + 6 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে (4, -13) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

10. দেখাও যে 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

15. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p, x sin α- y cos α= -p, x cos α+ y sin α= – p এবং x sin α- y cos α= p সরলরেখা চারটি একটি বর্গাকার চিত্র উৎপন্ন করে।

SEMESTER-2
CIRCLE (বৃত্ত)
Complete solution of Circle

SEMESTER-2
CIRCLE (বৃত্ত)
Complete solution of Circle

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

8. (ii) (λ, 1 + λ) বিন্দুটি x² + y² = 1 বৃত্তের ভেতরে থাকলে λ-এর মান নির্ণয় করো।

9. x² + y² – 4x + 6y + 9 = 0 বৃত্তের (1, -2) বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় করো।

11. x² + y² + 4x – 7y – k = 0 বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 একক, k-এর মান নির্ণয় করো।

12. 2x² + 2y² + ax + by + c = 0 বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (3, -4) হলে, a ও b-এর মান নির্ণয় করো।

14. x² + y² + 4x – 8y – 5 = 0 বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ নির্ণয় করো।

15. একটি বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ x = ¹/₂ (- 3 + 4cos θ) y = ¹/₂ (1 + 4sin θ); বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

16. (i) একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের সমীকরণ x² + y² + 2x – 4y – 8 = 0 হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

16. (ii) যে সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি x² + y² – 4x – 6y – 23 = 0 বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

3. x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় এবং x² + y² – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

4. x² + y² + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী যে সরলরেখাটি x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

26. x² + y² – 6x – 2y + 6 = 0 বৃত্তের ওপর অবস্থিত ও অক্ষ দুটি থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

27. x² + y² – 4x + 6y – 36 = 0 এবং x² + y² – 5x + 8y – 43 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ও তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

29. মূলবিন্দুগামী এবং x² + y² – 4x – 8y + 16 = 0 এবং x² + y² + 6x – 4y – 3 = 0 বৃত্ত দুটির ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

35. প্রমাণ করো যে x² + y² = a² বৃত্তের উপরিস্থিত (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) বিন্দু দুটির দূরত্বের বর্গের মান 2(a² – x₁x₂ – y₁y₂)

8. প্রমাণ করো যে, x² + y² + 4x – 10y – 20 = 0 এবং x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।

14. x²+ y² – 4x – 2y – 31 = 0 এবং 2x² + 2y² – 6x + 8y – 35 = 0 বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

15. x² + y² = 16 বৃত্তের ওপর (0, 4) একটি বিন্দু। ওই বিন্দুর মধ্যে দিয়ে অঙ্কিত জ্যা-সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

18. x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 বৃত্তে অন্তলিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

19. x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0 বৃত্তে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

21. (13, 6) বিন্দুগামী যে বৃত্ত x² + y² = 25 এবং x² + y² – 25x + 150 = 0 বৃত্ত দুটিকে বহিঃস্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

22. দেখাও যে, (x – a)² + (y – b)² = c² এবং (x – b)² + (y – a)² = c² বৃত্ত দুটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হয় sqrt(4c^2 – 2(a – b)^2) একক।

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t^² = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।