Category: SEMESTER-1

SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস

SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস

Class11 Semester i — **PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস**

SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস

বিন্যাস [Permutation]ঃ নির্দিষ্ট সংখ্যক কতকগুলি বস্তুর মধ্য থেকে কয়েকটি বা সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে যত প্রকারে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (permutation) বলে।

বিন্যাসের বিভিন্ন সূত্রঃ
★ n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ⁿp_r যেখানে n ≥ r
ⁿp_r = ^n!/_{(n – r)!} = n(n – 1)(n – 2) …….. (n – r + 1)
★ n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে সবগুলি একসঙ্গে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ⁿp_n = n!

পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাস
★ n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর প্রতিটি বস্তুকে r বার ব্যবহার করলে বিন্যাস সংখ্যা n^r

শর্তারোপিত বিন্যাস
★ m সংখ্যক বিশেষ বস্তু কখনোই থাকবে না এই শর্তে n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা ^{n – m}p_r যেখানে n – m ≥ r
★ m সংখ্যক বিশেষ বস্তু সর্বদাই থাকবে এই শর্তে n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা ^{n – m}p_{r – m} যেখানে n – m ≥ r

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. n ও m(<n) দুটি অখণ্ড সংখ্যা হলে, n(n – 1)(n – 2) …….. (n – m) =
Ⓐ ^n!/_{(m + n)!}
Ⓑ ^n!/_{(m – n)!}
Ⓒ ^m!/_{(m – n – 1)!}
Ⓓ ^n!/_{(n – m – 1)!}

Solution: ∵ ⁿp_r = ^n!/_{(n – r)!}
= n(n – 1) …….. (n – r + 1)
∴ n(n – 1)(n – 2) …….. (n – m)
= n(n – 1)(n – 2) …….. {n – (m + 1) + 1}
= ^n!/_{(n – (m + 1))!}
= ^n!/_{(n – m – 1)!}Ans: Ⓒ ^m!/_{(m – n – 1)!}

2. 0! = Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ ∞ Ⓓ অসংজ্ঞাত
Ans: Ⓑ 1

3. m(m – 1)(m – 2) … 3.2.1 =
Ⓐ m! Ⓑ (m + 1)!
Ⓒ (m – 1)!
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓐ m!

4. n(n – 1) ………. (n – 2)! =
Ⓐ (n + 1)! Ⓑ n!
Ⓒ (n – 1)! Ⓓ (n – 2)!
Ans: Ⓑ n!

5. n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা কত হবে, যখন 4টি বিশেষ বস্তু কখনোই থাকবে না?
Ⓐ ⁿP_{r – 4} Ⓑ ^{n – 4}P_{r – 4}
Ⓒ ^{n – 4}P_r Ⓓ ⁿP_{r – 4}

Solution: m সংখ্যক বিশেষ বস্তু কখনোই থাকবে না এই শর্তে n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা হয় ^{n – m}p_r
∴ n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা (যখন 4টি বিশেষ বস্তু কখনোই থাকবে না) হবে = ^{n – 4}P_r
Ans: Ⓒ ^{n – 4}P_r

6. নীচের কোনটি ¹⁰P₃ -এর মান?
Ⓐ 360 Ⓑ 720
Ⓒ 1440 Ⓓ 240

Solution: ¹⁰P₃ = 10×9×8 = 720
Ans: Ⓑ 720

7. ⁿP_r = x . ^{n – 1}P_{r – 1} হলে, নীচের কোনটি x-এর মান হবে?
Ⓐ n Ⓑ n(n – 1)
Ⓒ ^{n – r}/_n Ⓓ ⁿ/_{n – r}

Solution: ⁿP_r = x. ^{n – 1}P_{r – 1}
⇒ ^n!/_{(n – r)!} = x . ^{(n – 1)!}/_{(n – 1 – r + 1)!}
⇒ ^n!/_{(n – r)!} = x . ^{(n – 1)!}/_{(n – r)!}
⇒n(n – 1)! = x . (n – 1)
⇒ n = x
Ans: Ⓐ n

8. ⁹P₅ = x × ⁹P₃ হলে, নীচের কোনটি x-এর মান হবে?
Ⓐ 56 Ⓑ 42
Ⓒ 30 Ⓓ 20

Solution: ⁹P₅ = x × ⁹P₃
⇒ 9×8×7×6×5 = x×9×8×7
⇒6×5 = x
⇒ x = 30
Ans: Ⓒ 30

9. n-এর মান ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে ⁿP_n =
Ⓐ 1 Ⓑ 0
Ⓒ ^{n – 1}P_n-1 Ⓓ ⁿP_{n – 1}

Solution: ⁿP_n = ^n!/_{(n – n)!} = ^n!/_0! = n! = ^n!/_{(n – (n – 1)!} = ⁿp_{n – 1}
Ans: Ⓓ ⁿP_{n – 1}

10. 1 . 3 . 5 . 7 . 9 …. (2n – 1) =
Ⓐ ^(2n)!/_n!
Ⓑ ^2n!/_n!._2ⁿ
Ⓒ ^(2n)!/_n!._2ⁿ
Ⓓ ^2n!/_n!

Solution: 1 . 3 . 5 . 7 . 9 …. (2n – 1)
= ^{1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 …. (2n – 2) . (2n – 1) . 2n}/_{2 . 4 . 6 . 8 …. (2n – 2) . 2n}
= ^(2n)!/_{(1.2) . (2.2) . (3.2) . (4.2) . …. (n – 1)2 . (n.2)}
=^(2n)!/_{2ⁿ . 1 . 2 . 3 . 4 …. (n – 1) . n}
= ^(2n)!/_{2ⁿ . n!}
= ^(2n)!/_{n! . 2ⁿ}
Ans: Ⓒ ^(2n)!/_n!.2ⁿ

11. ^x/_12! = ¹/_10! + ¹/_11! হলে x এর মান হবে — Ⓐ 144         Ⓑ 120         Ⓒ 122         Ⓓ 132

Solution: ^x/_12! = ¹/_10! + ¹/_11! ⇒ ^x/_12.11.10! = ¹/_10! + ¹/_11.10!          ⇒ ^x/_12.11 = 1 + ¹/₁₁        ⇒ ^x/_12.11 = ^{11 + 1}/₁₁
            ⇒ ^x/₁₂ = 12          ⇒ x = 144
Ans: Ⓐ 144

12. 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …. 100 × 100! =
Ⓐ 101! Ⓑ 101! – 1
Ⓒ 101! + 1 Ⓓ 2 × 101!

Solution: ∵ 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …. n × n!
= (n+1)! – 1 ∴ 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …. 100 × 100!
=(100+1)! – 1
= 101! – 1
Ans: Ⓑ 101! – 1

13. 1! + 2! + 3! + …. + 25! -কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে —
Ⓐ 4 Ⓑ 5
Ⓒ 8 Ⓓ 9

Solution: 13! এবং তার পরবর্তী প্রতিটি পদ 13 এর গুনীতক।
∴ 13! + …. + 25! পর্যন্ত সংখ্যাগুলির সমষ্টিকে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0।
আবার 11! + 12! = 11! + 12.11! = 11!(1 + 12) = 13.11!
∴ 11! + 12! কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0।
8! + 10! = 8! + 10.9.8! = 8!(1 + 90) = 8!.91 = 7.13.8!
∴ 8! + 10! কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0।
2! + 4! = 2 + 24 = 26 = 2.13
∴ 2! + 4! কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0।
∴ 1! + 3! + 5! + 6! + 7! + 9! কে 13 দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকবে তাই হবে নির্নেয় ভাগশেষ।
1! + 3! + 5! + 6! + 7! + 9!
= 1 + 6 + 120 + 6.5! + 7.6.5! + 9.8.7!
= 127 + 6.120 + 42.120 + 72.7!
=127 + 720 + 5040 + 72.5040
=5887 + 362880
= 368047
= 28366.13 + 9
∴ নির্নেয় ভাগশেষ 9
Ans: Ⓓ 9

14. 7!, 15!, 11!-এর লসাগু — Ⓐ 15! Ⓑ 16! Ⓒ 17! Ⓓ 18!

Solution: 7! = 7!, 15! = 15×14×13×12×11×10×9×8×7!, 11! = 11×10×9×8×7!
∴ নির্নেয় লসাগু = 15×14×13×12×11×10×9×8×7! = 15!
Ans: Ⓐ 15!

15. ⁹P_r = 3024 হলে r-এর মান হবে —
Ⓐ 6 Ⓑ 4
Ⓒ 5 Ⓓ 3

Solution: ⁹P_r = 3024
⇒ ⁹P_r = 9×8×7×6
⇒ ⁹P_r = ⁹P₄
∴ r = 4
Ans: Ⓑ 4

16. শুরু ও শেষে ইংরেজি বর্ণমালার ব্যঞ্জনবর্ণ (consonant) থাকবে এমনভাবে EQUATION শব্দটির অক্ষরগুলিকে সাজিয়ে কতগুলি বিভিন্ন শব্দ তৈরি করা যায়?
Ⓐ 720 Ⓑ 4320
Ⓒ 1440 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: EQUATION শব্দটির 8 টি অক্ষরের মধ্যে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
শুরু ও শেষের 2টি স্থানে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণকে ³P₂ উপায়ে বসানো যায়।
বাকি (8 – 2) বা 6টি অক্ষরকে 6টি স্থানে 6! উপায়প বসানো যায়।
∴ মেট বিন্যাস সংখ্যা হবে = ³P₂×6! = 3×2×720 = 4320
Ans: Ⓑ 4320

17. চারটি বিভিন্ন বইয়ের প্রত্যেকটির তিনটি করে কপি রয়েছে। একটি তাকে তাদেরকে কত রকম উপায়ে সাজিয়ে রাখা যাবে?
Ⓐ ^6!/_(3!)⁴ Ⓑ ^12!/_(3!)⁴
Ⓒ ^10!/_(3!)⁴ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 4টি বিভিন্ন বইয়ের প্রত্যেকটির 3টি করে কপি থাকলে মোট বইয়ের সংখ্যা =3×4 = 12 টি।
∴ 12 টি বইকে সাজানো যাবে = ^12!/_(3!)⁴
Ans: Ⓑ ^12!/_(3!)⁴

18. প্রতিটি ছেলেই সব পুরস্কারগুলি পাওয়ার যোগ্য হলে 5 টি পুরস্কার 4 জন ছেলেকে কত উপায়ে দেওয়া যেতে পারে?
Ⓐ 4⁵ Ⓑ 4⁶
Ⓒ 2¹¹ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: প্রথম পুরস্কারটি 4 জন ছেলের প্রত্যেককে 4 প্রকারে দেওয়া যেতে পারে।
একইভাবে ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম পুরস্কারগুলির প্রতিটিও 4 জন ছেলের প্রত্যেককে 4 প্রকারে দেওয়া যেতে পারে।
∴ পুরস্কারগুলি দেওয়া যেতে পারে 4×4×4×4×4 = 4⁵ উপায়ে।
Ans: Ⓐ 4⁵

19. পাঁচটি লোক নীচের তলা থেকে একটি আটতলা বহুতলের লিফটে চড়েছে। তারা মোট কতগুলি উপায়ে লিফট থেকে বেরোতে পারবে?
Ⓐ ⁷P₅ Ⓑ 7⁵
Ⓒ 5⁷ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 5টি লোক নীচের তলা থেকে একটি 8তলা বহুতলের লিফটে চড়েছে।
∴ তারা 7টা তলার যেকোনো তলাতে লিফট থেকে বেরোতে পারবে।
প্রথম লোকটি লিফট থেকে বেরোতে পারবে 7 উপায়ে।
একইভাবে 2য়, 3য়, 4র্থ, 5ম লোকটিও লিফট থেকে বেরোতে পারবে 7 উপায়ে।
∴ তারা লিফট থেকে বেরোতে পারবে 7×7×7×7×7 = 7⁵ উপায়ে।
Ans: Ⓑ 7⁵

20. P, Q, R এবং S-কে একটি মঞ্চে বক্তৃতা দিতে ডাকা হয়েছে। অনুষ্ঠান সংগঠকরা তাদের উপস্থাপনাকে মোট কতগুলি ক্রমে সাজাতে পারে।
Ⓐ 4 টি Ⓑ 12 টি
Ⓒ 256 টি Ⓓ 24 টি

Solution: 4 জনকে সাজাতে পারে 4! = 4×3×2×1 = 24 উপায়ে।
Ans: Ⓓ 24 টি

21. ⁿP_r -এর মান নীচের কোনটির সাথে সমান হবে?
Ⓐ ^{n – 1}P_r + r × ^{n – 1}P_r _– ₁
Ⓑ n × ^{n – 1}P_r + ^{n – 1}P_{r – 1}
Ⓒ n(^{n – 1}P_r + ^{n – 1}P_{r – 1})
Ⓓ n × ^{n – 1}P_{r – 1}+ ^{n – 1}P_r

Solution: ⁿp_r = ^n!/_{(n – r)!}
= ^{n(n – 1)!}/_{(n – r)!}
= ^{(n – r + r)(n – 1)!}/_{(n – r)!}
=^{(n – r)(n – 1)!}/_{(n – r)!}+ ^{r(n – 1)!}/_{(n – r)!}
= ^{(n – r)(n – 1)!}/_{(n – r)(n – r – 1)!}+ ^{r(n – 1)!}/_{(n – r)!}
= ^{(n – 1)!}/_{(n – 1 – r)!} + ^{r(n – 1)!}/_{(n – 1 – (r – 1))!}
= ^{n – 1}P_r + r × ^{n – 1}P_{r – 1}Ans: Ⓐ ^{n – 1}P_r + r × ^{n – 1}P_r _– ₁

22. একটি ট্রেনে পাঁচটি ফাঁকা বসার জায়গা রয়েছে। তাহলে কতরকম উপায়ে তিনজন যাত্রী বসতে পারে?
Ⓐ 20 Ⓑ 30
Ⓒ 10 Ⓓ 60

Solution: 5টি ফাঁকা জায়গায় 3 জন যাত্রী যত উপায়ে বসতে পারে তা হল ⁵P₃ = 5×4×3 = 60
Ans: Ⓓ 60

23. 7 জন পুরুষ এবং 7 জন মহিলা একটি গোল টেবিলে মোট কত রকমভাবে বসতে পারে এমনভাবে যে কোনো দুইজন মহিলা পাশাপাশি বসবে না?
Ⓐ (7!)² Ⓑ 7!6!
Ⓒ (6!)² Ⓓ 7!

Solution: n সংখ্যক বস্তু একটি বৃত্তাকার টেবিলে (n – 1)! উপায়ে সাজানো যায়।
∴ 7 জন পুরুষ একটি গোল টেবিলে বসতে পারবে (7 – 1)! বা 6! উপায়ে।
আবার দুইজন মহিলা পাশাপাশি না বসলে 7 জন মহিলা, 7 জন পুরুষের মাঝে 7টি স্থানে 7! উপায়ে বসতে পারবে।
∴ দুইজন মহিলা পাশাপাশি বসবে না এমন শর্তে তারা বসতে পারবে 6!×7! বা 7!6! উপায়ে।
Ans: Ⓑ 7!6!

24. DELHI শব্দের অক্ষরগুলি সাজিয়ে মোট কতগুলি শব্দ তৈরি করা যেতে পারে যাতে প্রতিক্ষেত্রে L অক্ষরটি মাঝখানে থাকে?
Ⓐ 12 Ⓑ 24
Ⓒ 60 Ⓓ 6

Solution: DELHI শব্দে 5টি অক্ষর আছে।
L অক্ষরটি মাঝখানে থাকলে বাকি 4টি স্থানে 4টি অক্ষর দিয়ে শব্দ তৈরি করা যাবে 4! = 4×3×2×1 = 24 উপায়ে।
Ans: Ⓑ 24

25. একটি 12 তলা ফ্ল্যাট বাড়ির লিফটে তিনজন প্রবেশ করল। তাঁরা প্রত্যেকে পৃথক তলে লিফট থেকে নামবে। লিফট যদি দ্বিতীয় তলায় না দাঁড়ায় তাহলে মোট কতগুলি উপায়ে তাঁরা লিফট থেকে নামতে পারেন?
Ⓐ 720 Ⓑ 240
Ⓒ 120 Ⓓ 36

Solution: তারা যেকোনো একটি তলায় লিফটে প্রবেশ করল।
সুতরাং তারা 11 তলার যেকোনো একটি তলায় নামতে পারবে।
কিন্ত 12 তলা ফ্ল্যাট বাড়ির লিফট দ্বিতীয় তলায় না দাঁড়ালে লিফট থেকে মোট 10 উপায়ে নামা যায়।
তাঁরা প্রত্যেকে পৃথক তলে লিফট থেকে নামলে প্রথম ব্যক্তি 10 তলার যেকোনো একটি তলায় নামতে পারে।
দ্বিতীয় ব্যক্তি বাকি 9 তলার যেকোনো একটি তলায় নামতে পারে।
তৃতীয় ব্যক্তি বাকি 8 তলার যেকোনো একটি তলায় নামতে পারে।
∴ তারা লিফট থেকে নামতে পারে 10×9×8 = 720 উপায়ে।
Ans: Ⓐ 720

26. একটি গ্রাম থেকে শহরে যাওয়ার 5টি রাস্তা আছে। কতরকমভাবে একজন গ্রামবাসী শহরে যেতে এবং ফিরে আসতে পারে?
Ⓐ 25 Ⓑ 20
Ⓒ 10 Ⓓ 5

Solution: একজন গ্রামবাসী শহরে 5 উপায়ে যেতে পারে এবং 5 উপায়ে ফিরে আসতে পারে।
∴ একজন গ্রামবাসী শহরে যেতে এবং ফিরে আসতে পারে 5×5 = 25 উপায়ে।
Ans: Ⓐ 25

27. 10টি সত্য/মিথ্যা প্রশ্ন রয়েছে। মোট কত উপায়ে এই প্রশ্নগুলিকে উত্তর করা যেতে পারে?
Ⓐ 10! Ⓑ 10
Ⓒ 2¹⁰ Ⓓ 10²

Solution: প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর 2 প্রকারে করা যেতে পারে।
∴ 10টি প্রশ্নের উত্তর করা যেতে পারে 2¹⁰ উপায়ে।
Ans: Ⓒ 2¹⁰

28. ⁹P₅ + 5 . ⁹P₄ = ¹⁰P_r হলে r-এর মান হবে—
Ⓐ 4 Ⓑ 5
Ⓒ 6 Ⓓ 7

Solution: ⁹P₅ + 5 . ⁹P₄ = ¹⁰P_r
⇒ ^9!/_{(9 – 5)!} + 5 . ^9!/_{(9 – 4)!} = ^10!/_{(10 – r)!}
⇒ ^9!/_4! + 5 . ^9!/_5! = ^10.9!/_{(10 – r)!}
⇒¹/_4! + ⁵/_5.4! = ¹⁰/_{(10 – r)!}
⇒ ¹/_4! + ¹/_4! = ¹⁰/_{(10 – r)!}
⇒ ²/_4! = ¹⁰/_{(10 – r)!}
⇒¹/_4! = ⁵/_{(10 – r)!}
⇒5.4! = (10 – r)!
⇒ 5! = (10 – r)!
⇒5 = (10 – r)
⇒ r = 10 – 5 = 5
Ans: Ⓑ 5

29. 4টি পুরস্কার 10 জন ছাত্রের মধ্যে যত রকমে দেওয়া যায় যাতে কোনো একজন ছাত্র একাধিক পুরস্কার না পায়। তার সংখ্যা—
Ⓐ 5040 Ⓑ 2520
Ⓒ 2500 Ⓓ 5080

Solution: কোনো একজন ছাত্র একাধিক পুরস্কার না পেলে 4টি পুরস্কার 10 জন ছাত্রের মধ্যে দেওয়া যায় ¹⁰P₄ = 10×9×8×7 = 5040 রকমে।
Ans: Ⓐ 5040

30. একটি শাখা রেলপথে মোট 12টি স্টেশন আছে। কতগুলি বিভিন্ন দ্বিতীয় শ্রেণির টিকিট মুদ্রিত করলে এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে যাওয়া যাবে? Ⓐ 156 Ⓑ 66 Ⓒ 132 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: শাখা রেলপথে মোট 12টি স্টেশন আছে।
সুতরাং যেকোনো একটি স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে যাওয়ার জন্য 11 প্রকারের টিকিট মুদ্রিত করতে হবে।
অতএব 12টি স্টেশনের জন্য টিকিট মুদ্রিত করতে হবে 11×12 বা 132 প্রকারের।
Ans: Ⓒ 132

31. DRAUGHT শব্দটির অক্ষরসমূহ কত বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়, যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একত্রে থাকে?
Ⓐ 2880 Ⓑ 1440
Ⓒ 1540 Ⓓ 1560

Solution: DRAUGHT শব্দটিতে 2টি স্বরবর্ণ(A, U) এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
2টি স্বরবর্ণকে 1টি বর্ন ধরলে মোট 6টি বর্ণকে 6! উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
আবার 2টি স্বরবর্ণ নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
∴ নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6!×2! = 6×5×4×3×2×2 = 1440
Ans: Ⓑ1440

32. ঝোঁকশূন্য একটি ছক্কাকে পরপর 4 বার নিক্ষেপ করা হল। কতগুলি বিভিন্ন ফল সম্ভব?
Ⓐ 1296 Ⓑ 4096
Ⓒ 2592 Ⓓ 2048

Solution: একটি ঝোঁকশূন্য ছক্কাকে 1 বার নিক্ষেপ করলে 1 থেকে 6 পর্যন্ত 6টি ফল সম্ভব।
∴ একটি ছক্কাকে পরপর 4 বার নিক্ষেপ করলে ফল সম্ভব = 6×6×6×6 = 1296 টি
Ans: Ⓐ 1296

33. STRANGE শব্দের অক্ষরগুলি কত বিভিন্ন উপায়ে সাজানো যায়, যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা অযুগ্ম স্থানে থাকে? Ⓐ 1220 Ⓑ 1550 Ⓒ 1440 Ⓓ 2440

Solution: STRANGE শব্দে 7 টি অক্ষরের মধ্যে 2 টি স্বরবর্ণ (A, E) আছে।
এই 2 টি স্বরবর্ণ 1, 3, 5, 7 এই 4 টি স্থানে ⁴P₂ বা 4×3 বা 12 উপায়ে সাজানো যায়।
বাকি 5 টি স্থানে 5 টি বর্ন 5! উপায়ে সাজানো যায়।
∴ নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা = 12×5! = 12×5×4×3×2 = 1440
Ans: Ⓒ 1440

34. 2, 4, 5, 7, 8, 0 অঙ্কগুলির সাহায্যে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে, যাদের প্রত্যেকটিতে অঙ্কগুলি বিভিন্ন হবে?
Ⓐ 400 Ⓑ 200
Ⓒ 300 Ⓓ 360

Solution: 2, 4, 5, 7, 8, 0 অঙ্কগুলির সাহায্যে 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হবে = ⁶P₄ = 6×5×4×3 = 360
কিন্তু হাজারের ঘরে 0 থাকলে সেই সংখ্যাটি 4 অঙ্কের হবে না।
∴ হাজারের ঘরে 0 কে রেখে বাকি 3টি ঘর ⁵P₃ = 5×4×3 = 60 উপায়ে সাজানো যায়।
∴ 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে = (360 – 60)টি = 60টি
Ans: Ⓒ 300

35. অযুগ্ম অঙ্কগুলিকে অযুগ্ম স্থানে রেখে 4, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5 অঙ্কগুলির সাহায্যে 8 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?
Ⓐ 36 Ⓑ 24
Ⓒ 30 Ⓓ 20

Solution: 8টি অঙ্কের মধ্যে 2 আছে 3টি, 8টি স্থানের মধ্যে অযুগ্ম স্থান আছে 4টি এবং অযুগ্ম অঙ্ক 4টি যার মধ্যে 3 আছে 2টি ও 5 আছে 2টি।
∴ অযুগ্ম অঙ্কগুলিকে অযুগ্ম স্থানে রাখা যায় ^4!/_2!×2! = ^4×3×2/_2×2 = 6 উপায়ে।
বাকি 4টি অঙ্ক যার মধ্যে 3টি 2 আছে, তাদের রাখা যায় ^4!/_3! = ^4×3×2/_3×2 = 4 উপায়ে।
∴ 8 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় 6×4 = 24টি।
Ans: Ⓑ 24

36. LATE শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করে যেসব শব্দ গঠিত হয় তাদের অভিধানের নিয়মে সাজানো হলে শব্দটির অবস্থান (rank) হবে — Ⓐ 12-তম Ⓑ 13-তম Ⓒ 14-তম Ⓓ 15-তম

Solution: LATE শব্দে 4টি অক্ষর আছে।
এই 4টি অক্ষর দ্বারা শব্দ গঠন করা যায় 4! = 4×3×2×1 = 24টি
অভিধানের নিয়মে সাজানো হলে L-এর আগে A এবং E দ্বারা গঠিত শব্দ থাকবে।
A দ্বারা শুরু হবে এমন শব্দের সংখ্যা = 3! = 3×2×1 = 6টি।
∴ A অথবা E দিয়ে শুরু হবে এমন শব্দের সংখ্যা (6 + 6) বা 12 টি।
অভিধানের নিয়মে সাজালে 12 টি শব্দের পরে L দিয়ে শুরু শব্দ শুরু হবে।
13-তম শব্দ L দিয়ে শুরু হবে যার পরের অক্ষর থাকবে A এবং E।
∴ 14-তম শব্দ হবে LATE
Ans: Ⓒ 14-তম

37. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলির সাহায্যে 1000 অপেক্ষা ছোটো ও 5 দ্বারা বিভাজ্য যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যা তার সংখ্যা হবে (কোনো সংখ্যায় কোনো অঙ্ক একবারের বেশি ব্যবহার করা যাবে না) —
Ⓐ 154 Ⓑ 170
Ⓒ 164 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 1000 অপেক্ষা ছোটো ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা এক, দুই এবং তিন অঙ্কের হবে।
এক অঙ্কের সংখ্যা: 5 দ্বারা বিভাজ্য এক অঙ্কের সংখ্যা 5 অর্থাৎ 1টি।
দুই অঙ্কের সংখ্যা: 5 দ্বারা বিভাজ্য দুই অঙ্কের সংখ্যার একক স্থানে 5 কে রেখে দশক স্থানে 0 থেকে 9 পর্যন্ত (0 ও 5 বাদে) 8টি সংখ্যা 8 উপায়ে বসানো যায়।
আবার একক স্থানে 0 কে রেখে দশক স্থানে 0 থেকে 9 (0 বাদে) পর্যন্ত 9টি সংখ্যা 9 উপায়ে বসানো যায়।
5 দ্বারা বিভাজ্য দুই অঙ্কের সংখ্যা হবে (8 + 9) অর্থাৎ 17টি।
তিন অঙ্কের সংখ্যা: একক স্থানে 0 থাকলে মোট বিন্যাস সংখ্যা ⁹P₂ = 9×8 = 72টি
একক স্থানে 5 থাকলে মোট বিন্যাস সংখ্যা ⁹P₂ = 9×8 = 72টি
একক স্থানে 5 এবং শতক স্থানে 0 থাকলে মোট বিন্যাস সংখ্যা ⁸P₁ = 8টি
∴ একক স্থানে 5 থাকলে তিন অঙ্কের বিন্যাস সংখ্যা হবে (72 – 8) বা 64টি।
5 দ্বারা বিভাজ্য তিন অঙ্কের মোট সংখ্যা হবে (72 + 64) বা 136টি।
সুতরাং 1000 অপেক্ষা ছোটো ও 5 দ্বারা বিভাজ্য যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যা তার সংখ্যা হবে = (1 + 17 + 136) = 154টি।
Ans: Ⓐ 154

C;ASS 11 SEMESTER 1 SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY বিন্যাস

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সেট ও অপেক্ষক

সেট তত্ত্ব
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
- ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
- সম্বন্ধ (Relation) PART II
- অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
- চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
- অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2 বীজগণিত

সূচকের নিয়মাবলি
লগারিদম্
দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
রৈখিক অসমীকরণ
বিন্যাস ও সমবায়
- বিন্যাস
কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

বাস্তব সংখ্যা
সীমা
অন্তরকলন বা অবকলন
অন্তরকলজের তাৎপর্য

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ____________

1. চারজন পথিক কোনো এক শহরে গেল, যেখানে 5টি হোটেল আছে কোনো দুজন একই হোটেলে না থাকলে তারা ____________ রকমে হোটেলে থাকতে পারে।
Ⓐ 60 Ⓑ 120
Ⓒ 180 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 4 জন, 5টি হোটেল থাকতে পারে ⁵C₄ = 5×4×3×2 = 120 উপায়ে।
Ans: Ⓑ 120

2. চাঁদপাল ঘাট ও বোটানিক্যাল গার্ডেনের মধ্যে 12টি ফেরি স্টিমার যাতায়াত করে। এক ব্যক্তি ____________ রকমে চাঁদপাল ঘাট থেকে বোটানিক্যাল গার্ডেনে গিয়ে অন্য একটি স্টিমারে ফিরতে পারে।
Ⓐ 132 Ⓑ 136
Ⓒ 144 Ⓓ 156

Solution: চাঁদপাল ঘাট থেকে বোটানিক্যাল গার্ডেনে যাওয়া যায় 12 উপায়ে।
আবার উক্ত 12 প্রকারের প্রতি প্রকারের জন্য বোটানিক্যাল গার্ডেন থেকে চাঁদপাল ঘাটে ফেরা যায় 11 প্রকারে।
∴ ব্যক্তিটি চাঁদপাল ঘাট থেকে বোটানিক্যাল গার্ডেনে যাতায়াত করতে পারেন 12×11 বা 132 প্রকারে।Ans: Ⓐ 132

3. BENGALI শব্দের অক্ষরগুলির সবগুলি একযোগে নিয়ে ____________ টি বিন্যাস পাওয়া যায়।
Ⓐ 2520 Ⓑ 5040 Ⓒ 10080 Ⓓ 56

Solution: BENGALI শব্দের 7 টি অক্ষরের সবগুলি একযোগে নিয়ে বিন্যাস পাওয়া যায় 7! বা 7×6×5×4×3×2 বা 5040 টি।
Ans: Ⓑ 5040

4. GAVASKAR নামের অক্ষরগুলি ____________ রকমভাবে বিন্যস্ত করা যায়, যাতে তিনটি ‘A’ সর্বদা একত্রে থাকে।
Ⓐ 720 Ⓑ 360
Ⓒ 1440 Ⓓ 1320

Solution: GAVASKAR নামের 8টি অক্ষরের মধ্যে 3টি A আছে।
3টি A-কে 1টি A ধরলে মোট অক্ষর হয় (8 – 3 + 1) বা 6 টি।
∴ এই 6 টি অক্ষর বিন্যস্ত করা যায় 6! বা 720 উপায়ে।
Ans: Ⓐ 720

5. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে পরপর 5 বার টস্ করা হলে ____________ টি বিভিন্ন ফল সম্ভব।
Ⓐ 16 Ⓑ 32
Ⓒ 64 Ⓓ 8

Solution: একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে 1 বার টস্ করলে ফল হয় 2টি।
2 বার টস্ করলে ফল হয় 2² বা 4 টি।
∴ 5 বার টস্ করলে ফল হয় 2⁵ টি বা 32 টি।
Ans: Ⓑ 32

6. 3 জন বালককে একত্রে রেখে, 3 জন বালক এবং 5 জন বালিকাকে ____________ রকমভাবে এক সারিতে সাজানো যায়।
Ⓐ 720 Ⓑ 1440
Ⓒ 4320 Ⓓ 1080

Solution: 3 জন বালককে একত্রে রাখলে, 3 জন বালক এবং 5 জন বালিকা নিয়ে মোট হয় (5 + 1) বা 6 জন।
এই 6 জনকে সাজানো যায় 6! বা 720 উপায়ে।
আবার 3 জন বালককে 3! বা 6 উপায়ে সাজানো যায়।
∴ মোট সাজানো যায় 720×6 বা 4320 উপায়ে।
Ans: Ⓒ 4320

7. একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে 3, 6, 7, 2, 0 অঙ্কগুলির সাহায্যে পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট ____________ টি অযুগ্ম সংখ্যা গঠন করা যায়।
Ⓐ 36 Ⓑ 24
Ⓒ 48 Ⓓ 120

Solution: সংখ্যাগুলি অযুগ্ম। সুতরাং এককের স্থানে 3 অথবা 7 থাকবে।
তাই এককের স্থান 2 উপায়ে পূর্ণ করা যায়। বাকি 4টি স্থানের মধ্যে অযুত 2, 6, এবং 3 বা 7 এই 3টি সংখ্যা দ্বারা 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট তিনটি স্থানে (দশক, শতক, সহস্র) বাকি 3 টি সংখ্যা দ্বারা 3! বা 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
∴ মোট অযুগ্ম সংখ্যা গঠন করা যায় 2×3×6 = 36 টি।
Ans: Ⓐ 36

8. দুটি ‘O’ অক্ষর একত্রে থাকবে না এই শর্তে ____________ রকমে FOOTBALL শব্দটির অক্ষরগুলি সাজানো যায়।
Ⓐ 7560 Ⓑ 8560
Ⓒ 9560 Ⓓ 6560

Solution: FOOTBALL শব্দটিতে মোট 8 টি অক্ষরের মধ্যে 2 টি O, 2 টি L এবং 4 টি বিভিন্ন অক্ষর আছে।
FOOTBALL শব্দটির অক্ষরগুলি সাজানো যায় ^8!/_2!×2! বা ^{8×7×6×5×4×3×2}/_2×2 বা 10080 উপায়ে।
কিন্তু দুটি ‘O’ অক্ষর একত্রে থাকলে, দুটি ‘O’ কে 1 টি ধরে মোট অক্ষর হয় 7 টি।
দুটি ‘O’ অক্ষর একত্রে থাকলে, 7 টি অক্ষর সাজানো যায় ^7!/_2! বা ^{7×6×5×4×3×2}/₂ বা 2520 উপায়ে।
∴ দুটি ‘O’ অক্ষর একত্রে না থাকলে FOOTBALL শব্দটির অক্ষরগুলি সাজানো যায় (10080 – 2520) বা 7560 উপায়ে।
Ans: Ⓐ 7560

9. একজন ব্যক্তির নাম 9 অক্ষরবিশিষ্ট এবং একটি অক্ষর একাধিকবার ও অন্য অক্ষরগুলির প্রত্যেকটি একটি করে আছে। যদি তার নামের অক্ষরগুলির মোট বিন্যাস সংখ্যা 15120 হয়, তবে এক জাতীয় অক্ষরটি ____________ বার আছে।
Ⓐ 4 Ⓑ 3
Ⓒ 5 Ⓓ 6

Solution: ধরি x অক্ষরটি একাধিকবার আছে।
∴ 9টি অক্ষর সাজানো যায় ^9!/_x! উপায়ে।
প্রশ্নানুযায়ী,
^9!/_x! = 15120
বা, ^9!/_x! = 9×8×7×6×5
বা, ^9!/_x! = ^{9×8×7×6×5×4×3×2×1}/_4×3×2×1
বা,^9!/_x! = ^9!/_4!
বা, x = 4

Ans: Ⓐ 4

10. 0, 2, 5, 2, 4, 5 অঙ্কগুলির সাহায্যে এক লক্ষ অপেক্ষা বড়ো ____________ টি সংখ্যা গঠন করা যায়।
Ⓐ 120 Ⓑ 140
Ⓒ 150 Ⓓ 160

Solution: 6 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 2 ও 2 টি 5 আছে।
6 টি অঙ্ক নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ^6!/_2!.2! বা ⁷²⁰/₄ বা 180 টি।
আবার লক্ষ স্থানে 0 থাকলে তা 5 অঙ্কের সংখ্যা হবে।
লক্ষ স্থানে 0 রেখে 6 টি অঙ্ক নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ^5!/_2!.2! বা ¹²⁰/₄ বা 30 টি।
∴ এক লক্ষ অপেক্ষা বড়ো সংখ্যা (180 – 30) বা 150 টি।
Ans: Ⓒ 150

11. 0, 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলির সাহায্যে 3000 ও 4000 -এর মধ্যবর্তী ____________টি সংখ্যা গঠন করা যায় (একই অঙ্ক একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে)।
Ⓐ 125 Ⓑ 96
Ⓒ 126 Ⓓ 124

Solution: 3000 ও 4000 -এর মধ্যবর্তী সংখ্যার ক্ষেত্রে সহস্র স্থানে 3 থাকবে।
যেহেতু একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার করা যাবে তাই বাকি 3 টি স্থানে 5 টি অঙ্ক 5³ বা 125 উপায়ে বসানো যাবে।
কিন্তু এর মধ্যে একটি সংখ্যা 3000 থাকবে যা 3000 ও 4000 -এর মধ্যবর্তী নয়।
∴ 3000 ও 4000 -এর মধ্যবর্তী সংখ্যা হবে (125 – 1) বা 124 টি।
Ans: Ⓓ 124

12. একটি শ্রেণিতে প্রতিদিন 5 পিরিয়ড করে ক্লাস হয়। ____________ রকমে 4টি বিভিন্ন বিষয়কে প্রতিদিন বিন্যস্ত করা যায়।
Ⓐ 120 Ⓑ 240
Ⓒ 360 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 5 টি পিরিয়ডে 4টি বিভিন্ন বিষয় পড়াতে হবে।
সুতরাং 1 টি বিষয় 2 টি পিরিয়ডে পড়াতে হবে।
5 টি বিষয় বিন্যস্ত করতে হবে ^5!/_2! বা ¹²⁰/₂ বা 60 উপায়ে।
আবার যে বিষয়টি 2 বার পড়ানো হবে তা নির্বাচন করা যায় 4 প্রকারে।
মোট বিন্যাস সংখ্যা 60×4 বা 240 উপায়ে।
Ans: Ⓑ 240

13. একটি সংকেত লিপি (code signal)-তে অঙ্ক-অক্ষর-অঙ্ক (digit-letter-digit) সমন্বয় (ইংরেজি হরফের অক্ষর) ব্যবহার করা হয়; অঙ্ক কিংবা অক্ষরে 0/o এবং 1/l ব্যবহার করা হয় না। ____________ টি বিভিন্ন সংকেত লিপি সম্ভব।
Ⓐ 1548 Ⓑ 1536
Ⓒ 1440 Ⓓ 1444

Solution: 0 ও 1 ছাড়া মোট 8 টি অঙ্ক আছে।
আর অক্ষরে O ও I ছাড়া মোট 24 টি অক্ষর আছে।
সংকেত লিপিতে প্রথম স্থানে 8 টি অঙ্ক 8 প্রকারে বসানো যায়।
দ্বিতীয় স্থানে 24 টি অক্ষর 24 প্রকারে বসানো যায়।
তৃতীয় স্থানে 8 টি অঙ্ক 8 প্রকারে বসানো যায়।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা 8×24×8 বা 1536
Ans: Ⓑ 1536

14. একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলির সাহায্যে 999 অপেক্ষা ছোটো এবং 2 দ্বারা বিভাজ্য যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা ____________।
Ⓐ 75 Ⓑ 68
Ⓒ 78 Ⓓ 75

Solution:
তিন অঙ্কের সংখ্যার ক্ষেত্রে,
একক স্থানে 2 বা 4 বা 6-কে 3 উপায়ে রাখা যায়।
বাকি 2 টি স্থানে 5 টি অঙ্ককে ⁵p₂ বা 20 উপায়ে রাখা যায়।
2 দ্বারা বিভাজ্য 999 অপেক্ষা ছোটো তিন অঙ্কের সংখ্যা 3×20 বা 60 টি।
দুই অঙ্কের সংখ্যার ক্ষেত্রে,
একক স্থানে 2 বা 4 বা 6-কে 3 উপায়ে রাখা যায়।
দশক স্থানে বাকি 5 টি অঙ্ককে 5 উপায়ে রাখা যায়।
2 দ্বারা বিভাজ্য 999 অপেক্ষা ছোটো দুই অঙ্কের সংখ্যা 3×5 বা 15 টি।
এক অঙ্কের সংখ্যার ক্ষেত্রে,
2 দ্বারা বিভাজ্য 999 অপেক্ষা ছোটো এক অঙ্কের সম্ভাব্য সংখ্যা হল 2, 4 ও 6 বা 3টি সংখ্যা।
∴ 999 অপেক্ষা ছোটো এবং 2 দ্বারা বিভাজ্য যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা হল (60 + 15 + 3) বা 78 টি।
Ans: Ⓒ 78

Column Matching ____________

1. স্তম্ভ A -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

A স্তম্ভ	B স্তম্ভ
[i] (-5)!	[a] -120
[ii] 0!	[b] অর্থহীন
[iii] (¹/₅)!	[c] 0
[iv] 1!	[d] 1

Ⓐ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [b], [iv] — [d]
Ⓑ [i] — [a], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [d]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
Ⓓ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [d]

Solution: [i] (-5)! অনির্ণেয়/অর্থহীন →[b]
[ii] 0! = 1 → [d]
[iii] (¹/₅)! অর্থহীন → [b]
[iv] 1! =1 → [d]
Ans: Ⓓ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [d]

2. A স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] ^{n + 1}p₃ = 10 × ^{n – 1}p₂ হলে n-এর মান হবে	[a] 3
[ii] ⁿP₅ = 20 . ⁿP₃ হলে n-এর মান হবে	[b] 4
[iii] ^{n + 1}P₄ : ^{n – 1}P₃ = 72 : 5 হলে n-এর মান হবে	[c] 5
[iv] 16. ¹⁵p_n = 13. ¹⁶p_n হলে n-এর মান হবে	[d] 8

Ⓐ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [d], [iv] — [a]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [a]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [c], [iv] — [a]
Ⓓ [i] — [b], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [a]

Solution: [i] ^{n + 1}p₃ = 10 × ^{n – 1}p₂
⇒ (n + 1)n(n – 1) = 10 × (n – 1)(n – 2)
⇒ (n + 1)n = 10 × (n – 2)
⇒n² + n = 10n – 20
⇒ n² – 9n + 20 = 0
⇒n² – 5n – 4n + 20 = 0
⇒n(n – 5) – 4(n – 5) = 0
⇒ (n – 5)(n – 4) = 0
∴ n = 4, 5 → [b]
[ii] ⁿP₅ = 20 . ⁿP₃
⇒ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) = 20.n(n – 1)(n – 2)
⇒ (n – 3)(n – 4) = 20
⇒n² – 7n + 12 = 20 ⇒ n² – 7n – 8 = 0
⇒ n² – 8n + n – 8 = 0
⇒n(n – 8) + 1(n – 8) = 0
⇒ (n – 8)(n + 1) = 0
∴ n = -1, 8 → [d]

[iii]^{n + 1}P₄ : ^{n – 1}P₃ = 72 : 5
⇒ ^{(n + 1)n(n – 1)(n – 2)}/_{(n – 1)(n – 2)(n – 3)} = 72 : 5
⇒^{(n + 1)n}/_{(n – 3)} = 72 : 5
⇒ 5(n + 1)n = 72(n – 3)
⇒5n² + 5n = 72n – 216
⇒ 5n² – 67n + 216 = 0
⇒ 5n² – 40n – 27n + 216 = 0
⇒5n(n – 8) – 27(n + 8) = 0
⇒ (5n – 27)(n – 8) = 0
∴ n = ²⁷/₅, 8 → [d]
[iv] 16. ¹⁵p_n = 13. ¹⁵p_n
⇒ 16×^15!/_{(15 – n)!} = 13×^16!/_{(16 – n)!}
⇒ 16×^15!/_{(15 – n)!} = 13×16.^15!/_{(16 – n)(15 – n)!}
⇒1 = ¹³/_{(16 – n)}
⇒ 13 = 16 – n
⇒ n = 16 – 13 = 3 → [a]
Ans: Ⓐ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [d], [iv] — [a]

3. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] COMMERCE শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা হয়।	[a] 50400 উপায়ে
[ii] ACCOUNTANT শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা হয়।	[b] 5040 উপায়ে
[iii] ENGINEERING শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা হয়।	[c] 226800 উপায়ে
[iv] STATISTICS শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা হয়।	[d] 277200 উপায়ে

Ⓐ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [c], [iv] — [a]
Ⓑ [i] — [b], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [a]
Ⓒ [i] — [b], [ii] — [c], [iii] — [a], [iv] — [d]
Ⓓ [i] — [a], [ii] — [d], [iii] — [c], [iv] — [a]

Solution:
[i] COMMERCE শব্দের 8 টি অক্ষরের মধ্যে 2টি করে C, E এবং M আছে।
∴ অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা যায় 8!/_(2!)² = 5040 উপায়ে। → [b]
[ii] ACCOUNTANT শব্দের 10 টি অক্ষরের মধ্যে 2টি করে A, C, N এবং T আছে।
∴ অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা যায় ^10!/_(2!)² = ²26800 উপায়ে। → [c]

[iii] ENGINEERING শব্দের 11টি অক্ষরের মধ্যে 2টি করে G, I এবং 3টি করে E, N আছে।
∴ অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা যায় ^11!/_2!.2!.3!.3! = 277200 উপায়ে। → [d]
[iv] STATISTICS শব্দের 10টি অক্ষরের মধ্যে 2টি I এবং 3টি করে S, T আছে।
∴ অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা যায় ^10!/_2!.3!.3! = 50400 উপায়ে। → [a]
Ans: Ⓑ [i] — [b], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [a]

4. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] 0, 2, 5, 6, 7 অঙ্কগুলির কোনোটিই একাধিকবার ব্যবহার না করে পাঁচটি সার্থক অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?	[a] 1260
[ii] PEOPLE শব্দটির সমস্ত অক্ষর একযোগে নিয়ে কতগুলি বিন্যাস করা যায়, যাতে দুটি P কখনও একত্রে না থাকে?	[b] 36
[iii] ORION শব্দের অক্ষরগুলি কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়, যাতে দুটি ব্যঞ্জনবর্ণ কখনও একত্রে না থাকে তা নির্ণয় করো।	[c] 96
[iv] x³y²z⁴ রাশিটির অক্ষরসমূহ পূর্ণ দৈর্ঘ্যে লিখলে তা থেকে কতগুলি বিভিন্ন বিন্যাস পাওয়া যাবে?	[d] 120

Ⓐ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [a]
Ⓑ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
Ⓒ [i] — [c], [ii] — [b], [iii] — [d], [iv] — [a]
Ⓓ [i] — [d], [ii] — [c], [iii] — [b], [iv] — [a]

Solution: [i] 0, 2, 5, 6, 7 অঙ্কগুলিকে সাজানো যায় 5! = 120 রকমে।
আবার, একেবারে বাঁদিকে অর্থাৎ অজুতের স্থানে 0 রেখে অবশিষ্ট 4টি অঙ্ককে সাজানো যায় 4! = 24 রকমে।
পাঁচটি সার্থক অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় (120 – 24) = 96টি → [c]
[ii] PEOPLE শব্দের 6 টি অক্ষরের মধ্যে P ও E আছে 2টি করে।
PEOPLE শব্দটি বিন্যাস করা যায় ^6!/_2!.2! = 180 রকমে।
আবার দুটি P -কে একত্রে ধরে (6 – 1) বা 5 টি অক্ষরকে বিন্যস্ত করা যায় ^5!/_2! = 60 উপায়ে।
দুটি P কখনও একত্রে না থাকলে বিন্যাস সংখ্যা হয় (180 – 60) = 120 টি → [d]

[iii] ORION শব্দের 5 টি অক্ষরের মধ্যে O আছে 2টি এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (R, N) আছে 2টি।
ORION শব্দের অক্ষরসমূহ নিয়ে প্রাপ্ত বিন্যাস সংখ্যা ^5!/_2! বা 60 টি।
2টি ব্যঞ্জনবর্ণকে 1টি ধরে অক্ষরগুলিকে সাজানো যায় ^4!/_2!×2 = 24টি
দুটি ব্যঞ্জনবর্ণ কখনও একত্রে না থাকলে বিন্যাস সংখ্যা হয় (60 – 24) = 36 টি → [b]
[iv] x³y²z⁴ রাশিটির 9 টি অক্ষরসমূহের মধ্যে 3টি x, 2টি এবং 4টি y আছে।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা হয় ^9!/_3!.2!.4! = 1260 → [a]
Ans: Ⓐ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [b], [iv] — [a]

Rearrangement of Sentences/Events ____________

1. VENUS শব্দটির অক্ষরগুলির সবগুলিকে একযোগে নিয়ে যতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায়, যাতে স্বরবর্ণগুলির ক্রম অপরিবর্তিত থাকে, তা নির্ণয় করার ধাপগুলি হল —
[i] VENUS শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যাস করার ক্ষেত্রে আগে E -কে তারপর U -কে রাখতে হবে।
[ii] E বামদিক থেকে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ স্থানে থাকলে U -কে যথাক্রমে 4, 3, 2 ও 1 রকমভাবে রাখা যাবে।
[iii] N, V, S — এদেরকে একযোগে নিয়ে বিন্যস্ত করা যায় 3!।
[iv] মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4 × 3! + 3×3! + 2 x 3! + 3! = 60
[v] VENUS শব্দটিতে স্বরবর্ণ 2টি (E, U)।
ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-

Ⓐ [v] — [i] — [iv] — [iii] — [ii]
Ⓑ [v] — [i] — [ii] — [iii] — [iv]
Ⓒ [i] — [ii] — [iii] — [iv] — [v]
Ⓓ [v] — [iii] — [ii] — [i] — [iv]

Solution:
[v] VENUS শব্দটিতে স্বরবর্ণ 2টি (E, U)।
[i] VENUS শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যাস করার ক্ষেত্রে আগে E -কে তারপর U -কে রাখতে হবে।
[ii] E বামদিক থেকে প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ স্থানে থাকলে U -কে যথাক্রমে 4, 3, 2 ও 1 রকমভাবে রাখা যাবে।
[iii] N, V, S — এদেরকে একযোগে নিয়ে বিন্যস্ত করা যায় 3!।
[iv] মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4 × 3! + 3×3! + 2 x 3! + 3! = 60
Ans: Ⓑ [v] — [i] — [ii] — [iii] — [iv]

2. 3, 5, 7, 8, 9 অঙ্কগুলির কোনোটির পুনরাবৃত্তি না করে 7000 অপেক্ষা বড়ো যতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়, তা নির্ণয় করার ধাপগুলি হল —
[i] 3, 5, 7, 8, 9-কে একযোগে নিয়ে বিন্যাস করা যায় 5! রকমে।
[ii] মোট বিন্যাস সংখ্যা = (3 × ⁴P₃ + 5!) = 192
[iii] 4 অঙ্কের 7000 অপেক্ষা বড়ো সংখ্যা গঠন করতে হলে সহস্র স্থানে 7, 8, 9 -কে রাখতে হবে।
[iv] 7 অথবা ৪ অথবা 9 -কে সহস্র স্থানে রেখে বাকি অঙ্কগুলিকে একযোগে নিয়ে অবশিষ্ট 3 টি স্থানে বিন্যাস করা যায় ⁴P₃ রকমে। ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-

Ⓐ [iii] — [i] — [iv] — [ii]
Ⓑ [i] — [iii] — [iv] — [ii]
Ⓒ [iii] — [iv] — [i] — [ii]
Ⓓ [i] — [iv] — [ii] — [iii]

Solution:
[iii] 4 অঙ্কের 7000 অপেক্ষা বড়ো সংখ্যা গঠন করতে হলে সহস্র স্থানে 7, 8, 9 -কে রাখতে হবে।
[iv] 7 অথবা ৪ অথবা 9 -কে সহস্র স্থানে রেখে বাকি অঙ্কগুলিকে একযোগে নিয়ে অবশিষ্ট 3 টি স্থানে বিন্যাস করা যায় ⁴P₃ রকমে।
[i] 3, 5, 7, 8, 9-কে একযোগে নিয়ে বিন্যাস করা যায় 5! রকমে।
[ii] মোট বিন্যাস সংখ্যা = (3 × ⁴P₃ + 5!) = 192
Ans: Ⓒ [iii] — [iv] — [i] — [ii]

3. COMMITTEE শব্দটির সমস্ত অক্ষর একযোগে নিয়ে যতগুলি বিন্যাস গঠন করা যায়, যাতে স্বরবর্ণ চারটি একত্রে না থাকে, তা নির্ণয় করার ধাপগুলি হল —
[i] স্বরবর্ণগুলিকে একযোগে নিয়ে COMMITTEE শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যাস করা যায় 12 × ^6!/_2!2! = 2160
[ii] COMMITTEE শব্দের অক্ষরগুলি একযোগে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ^9!/_2!2!2! = 45360
[iii] COMMITTEE শব্দের মধ্যে স্বরবর্ণ আছে 4টি (0, I, E, E)
[iv] মোট বিন্যাস সংখ্যা (45360 – 2160) = 43200 |
[v] স্বরবর্ণগুলিকে একযোগে নিয়ে বিন্যাস করা যায় ^4!/₂! = 12
ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে —

Ⓐ [ii] — [iii] — [v] — [i] — [iv]
Ⓑ [iii] — [i] — [ii] — [iv] — [v]
Ⓒ [ii] — [iii] — [v] — [iv] — [i]
Ⓓ [ii] — [iii] — [i] — [iv] — [v]

Solution:
[ii] COMMITTEE শব্দের অক্ষরগুলি একযোগে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ^9!/_2!2!2! = 45360
[iii] COMMITTEE শব্দের মধ্যে স্বরবর্ণ আছে 4টি (0, I, E, E)
[v] স্বরবর্ণগুলিকে একযোগে নিয়ে বিন্যাস করা যায় ^4!/₂! = 12
[i] স্বরবর্ণগুলিকে একযোগে নিয়ে COMMITTEE শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যাস করা যায় 12 × ^6!/_2!2! = 2160
[iv] মোট বিন্যাস সংখ্যা (45360 – 2160) = 43200 |
Ans: Ⓐ [ii] — [iii] — [v] — [i] — [iv]

4. 6 অঙ্কবিশিষ্ট যতগুলি বিভিন্ন যুগ্ম সংখ্যা শুধুমাত্র 2, 3, 5, 3, 4, 5 এই ছয়টি অঙ্ক দ্বারা গঠন করা যায়, তা নির্ণয় করার ধাপগুলি হল —
[i] অবশিষ্ট 5 টি ঘর অবশিষ্ট 5 টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যায়।
[ii] অবশিষ্ট 5 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 5 এবং 2 টি 3 রয়েছে।
[iii] প্রদত্ত অঙ্কগুলি নিয়ে 6 অঙ্কবিশিষ্ট যুগ্মসংখ্যা গঠন করতে হলে একক ঘরের অঙ্ক 2 বা 4 হতে হবে।
[iv] সুতরাং, অবশিষ্ট 5 টি ঘর পূরণ করা যায় ^5!/_2!2! রকমে।
[v] সুতরাং, ছয় অঙ্কবিশিষ্ট যুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা = 2 × ^5!/_2!2! = 60

ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-
Ⓐ [iii] — [i] — [ii] — [v] — [iv]
Ⓑ [i] — [iv] — [ii] — [v] — [iv]
Ⓒ [ii] — [iii] — [i] — [v] — [iv]
Ⓓ [iii] — [i] — [ii] — [iv] — [v]

Solution:
[iii] প্রদত্ত অঙ্কগুলি নিয়ে 6 অঙ্কবিশিষ্ট যুগ্মসংখ্যা গঠন করতে হলে একক ঘরের অঙ্ক 2 বা 4 হতে হবে।
[i] অবশিষ্ট 5 টি ঘর অবশিষ্ট 5 টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যায়।
[ii] অবশিষ্ট 5 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 5 এবং 2 টি 3 রয়েছে।
[iv] সুতরাং, অবশিষ্ট 5 টি ঘর পূরণ করা যায় ^5!/_2!2! রকমে।
[v] সুতরাং, ছয় অঙ্কবিশিষ্ট যুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা = 2 × ^5!/_2!2! = 60
Ans: Ⓓ [iii] — [i] — [ii] — [iv] — [v]

5. যদি ‘MOTHER’ শব্দের অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করে বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হয় এবং অভিধানের নিয়মে সাজানো হয়, তবে শব্দটির অবস্থান (rank) কত হবে, তা নির্ণয় করা ধাপগুলি হল —

[i] ME বা MH দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 4! = 24
[ii] E দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 5! = 120 |
[iii] MOTE দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হলে 2! = 2
[iv] H দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 5! = 120 |
[v] MOE, MOH বা MOR দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 3! = 6
[vi] MOTHER শব্দটির অবস্থান (rank) হবে = (120 + 120 + 2 × 24 + 3 × 6 + 2 + 1) = 309 -তম।
[vii] MOTHER দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 1! = 1
ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে —
Ⓐ [vi] — [ii] — [i] — [v] — [iii] — [vii] — [vi]
Ⓑ [ii] — [iv] — [i] — [v] — [iii] — [vii] — [vi]
Ⓒ [ii] — [iv] — [i] — [iii] — [v] — [vii] — [vi]
Ⓓ [ii] — [iv] — [v] — [i] — [iii] — [vii] — [vi]

Solution:
[ii] E দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 5! = 120 |
[iv] H দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 5! = 120 |
[i] ME বা MH দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 4! = 24
[v] MOE, MOH বা MOR দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 3! = 6
[iii] MOTE দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হলে 2! = 2
[vii] MOTHER দিয়ে শুরু MOTHER শব্দের অক্ষরগুলি নিয়ে বিন্যাস হবে 1! = 1
[vi] MOTHER শব্দটির অবস্থান (rank) হবে = (120 + 120 + 2 × 24 + 3 × 6 + 2 + 1) = 309 -তম।
Ans: Ⓑ [ii] — [iv] — [i] — [v] — [iii] — [vii] — [vi]

6. 6 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে কতভাবে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে যেখানে 2 জন বালিকা কখনই পাশাপাশি বসবে না, তা নির্ণয় করার ধাপগুলি হল —

[i] 4 জন বালিকাকে গোল টেবিলে 6 জন বালকের মাঝে 6টি স্থানে বসাতে হবে 6P4 = 360 উপায়ে।
[ii] 6 জন বালককে গোল টেবিলে বসানো যায় (6 – 1)! = 120 উপায়ে।
[iii] গোল টেবিলে 2 জন বালিকা পাশাপাশি থাকবে না। এরূপ সজ্জিত সংখ্যা 120 × 360 = 43200
[iv] গোল টেবিলে 6 জন বালকের মাঝে 6 টি স্থান থাকে।
ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে —
Ⓐ [iv] — [i] — [ii] — [iii]
Ⓑ [iii] — [iv] — [i] — [ii]
Ⓒ [i] — [iv] — [iii] — [ii]
Ⓓ [i] — [ii] — [iii] — [iv]

Solution:
[iv] গোল টেবিলে 6 জন বালকের মাঝে 6 টি স্থান থাকে।
[i] 4 জন বালিকাকে গোল টেবিলে 6 জন বালকের মাঝে 6টি স্থানে বসাতে হবে 6P4 = 360 উপায়ে।
[ii] 6 জন বালককে গোল টেবিলে বসানো যায় (6 – 1)! = 120 উপায়ে।
[iii] গোল টেবিলে 2 জন বালিকা পাশাপাশি থাকবে না। এরূপ সজ্জিত সংখ্যা 120 × 360 = 43200
Ans: Ⓐ [iv] — [i] — [ii] — [iii]

Relationship between Statements ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিবৃতিটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B -এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: চারটি পুরস্কার — একটি আবৃত্তির জন্য, একটি খেলাধূলার জন্য, একটি সাহসিকতার জন্য এবং একটি সাধারণ মেধার জন্য ৪ জন বালকের মধ্যে 4096 উপায়ে দেওয়া যায়।
বিবৃতি-B: n-সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু যদি r বার পর্যন্ত বারবার আসে, তবে n সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে r-সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা = ⁿp_r ।

Solution: বিবৃতি-A:4 টি পুরস্কারই 8 জন বালকের যে কেউ পেতে পারে।
মোট উপায় 8⁴ = 4096 → বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি-B: n-সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু যদি r বার পর্যন্ত বারবার আসে, তবে n সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে r-সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা = ⁿp_r→ বিবৃতি B সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

2. বিবৃতি-A: একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার না করে 1, 2, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলির সাহায্যে 3000 ও 4000-এর মধ্যবর্তী 60 টি সংখ্যা গঠন করা যায়।
বিবৃতি-B: ⁿp_r = ^n!/_{r!(n – r)!}

Solution: বিবৃতি-A:3000 ও 4000-এর মধ্যবর্তী সংখ্যা হলে সহস্র স্থানের অঙ্কটি 3 হবে।
বাকি 5টি শব্দকে বাকি 3টি স্থানে বসানো যায় ⁵P₃ = 60 রকমে।→ বিবৃতি A সত্য।
বিবৃতি-B: ⁿp_r = ^n!/_{r!(n – r)!}→ বিবৃতি B মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

3. বিবৃতি-A: 14400 উপায়ে 5 জন প্রথম বর্ষ ও 3 জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্রকে বিন্যস্ত করা যায় যাতে দুজন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র একসাথে না বসে।
বিবৃতি-B: m-সংখ্যক বিশেষ বস্তু কখনোই থাকবে না এমন শর্তে n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r -সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা হবে n – mpr, যেখানে n – m ≥ r

Solution: 2 জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র একসাথে বসবে না।
সুতরাং দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্রদের 5 জন প্রথম বর্ষের ছাত্রের মধ্যবর্তী 4 টি স্থানে এবং দুই প্রান্তে অর্থাৎ মোট (4 + 2) = 6টি স্থানে রাখতে হবে।
5 জন প্রথমবর্ষের ছাত্রকে 5টি স্থানে রাখা যায় 5! =120 রকমে।
আবার 3 জন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্রকে 6টি স্থানে রাখা যায় ⁶P₃ = 120 রকমে।
দুজন দ্বিতীয় বর্ষের ছাত্র একসাথে বসবে না এরকমভাবে বিন্যস্ত করা যায় 120×120 = 14400 রকমে। → বিবৃতি A সত্য
বিবৃতি B সত্য
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

4.বিবৃতি\(-A: \frac{np_{r-1}}{a}=\frac{np_r}{b}=\frac{np_{r+1}}{c}\) হলে \(b^2=a(b+c)\) হবে।

বিবৃতি-B: ⁿP_r = ^n!/_{(n – r)!}
Solution:

\(\quad \frac{np_{r-1}}{a}=\frac{np_r}{b}\\⇒\frac{n!}{(n-r+1)!.a}=\frac{n!}{(n-r)!.b}\\⇒\frac{n!}{(n -r+1)(n-r)!.a}=\frac{n!}{(n-r)!.b}\\⇒\frac{1}{(n-r+1).a}=\frac{1}{b}\\⇒\frac{1}{(n-r+1)}=\frac{a}{b}\)

আবার,

\(\quad \frac{np_r}{b}=\frac{np_{r+1}}{c}\\⇒\frac{n!}{(n-r)!.b}=\frac{n!}{(n-r-1)!.c}\\⇒\frac{1}{(n -r)(n-r-1)!.b}=\frac{n!}{(n-r-1)!.c}\\⇒\frac{1}{(n-r).b}=\frac{1}{c}\\⇒n-r=\frac{c}{b}\)

\(\quad ∴\frac{a(b + c)}{b^2}\\=\frac{a}{b}×\frac{(b + c)}{b}\\=\frac{a}{b}×\left( 1+\frac{c}{b} \right)\\=\frac{1}{(n – r + 1)}×(n – r + 1)=1\\∴\frac{a(b + c)}{b^2}=1\)

⇒ b² = a(b + c) → বিবৃতি A সত্য
বিবৃতি B সত্য
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

5. বিবৃতি-A: কোনো দুটি ‘ – ‘ চিহ্ন পাশাপশি না রেখে 35 রকমে 6 টি ‘ + ‘ চিহ্ন এবং 4টি ‘ – ‘ চিহ্নকে এক লাইনে সাজানো যায়।
বিবৃতি-B: ¹_/r!.ⁿP_r = ^n!/_{r!(n – r)!}

Solution: বিবৃতি-A:6 টি ‘ + ‘ চিহ্নকে ^6!/_6! = 1 রকমে বসানো যায়।
আর 4টি ‘ – ‘ চিহ্নকে 7টি স্থানে ^⁷P₄/_4! = ^7×5×6×4/_4×3×2×1 = 35 রকমে বসানো যায়।
চিহ্নগুলিকে এক লাইনে সাজানো যায় 1×35 = 35 উপায়ে। → বিবৃতি A সত্য
বিবৃতি B সত্য
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Assertion-Reasoning ____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): ²ⁿP_n = {1 . 3 . 5… (2n – 1)}.2ⁿ
বিবৃতি-II(R): ⁿP_r = n(n – 1)(n – 2)…. (n – r + 1)

Solution: ²ⁿP_n = ^(2n)!/_{(2n – n)!}
= ^{2n.( 2n – 1)( 2n -2)(2n – 3).(2n – 4)……4.3.2.1}/_n!
=^{[2n.(2n – 2)……6.4.2][(2n – 1).(2n – 3)……5.3.1]}/_n!
= ^{[(2.n).2.(n – 1)……(2.3).(2.2).(2.1)][(2n – 1)……5.3.1]}/_n!
=^{2^n.[n.(n – 1)……3.2.1)]{1 . 3 . 5… (2n – 1)}}/_n!
= ^{2^n.n!{1 . 3 . 5… (2n – 1)}}/_n!
= {1 . 3 . 5… (2n – 1)}.2ⁿ → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলি দিয়ে তিন অঙ্কবিশিষ্ট 729 টি সংখ্যা গঠন করা যায় (একই অঙ্ক একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে)।
বিবৃতি-II(R): n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে প্রত্যেকটি বস্তু যদি r বার পর্যন্ত বারবার আসে, তবে n -সংখ্যক বস্তু থেকে একযোগে r -সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা = n^r।

Solution: মোট সংখ্যা 9 টি।
প্রতিটি অঙ্ক একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে।
তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় 9³ = 729। → বিবৃতি I সঠিক।
বিবৃতি II সঠিক।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

3. বিবৃতি-I(A): n-সংখ্যক বইকে যত রকমে একটি তাকে সাজানো যায়, যাতে দুটি নির্দিষ্ট বই কখনও একত্রে না থাকে, তা হল (n – 2) . (n – 1)!।
বিবৃতি-II(R): r . (n – 1)! – n! = (n – r) . (n – 1)!

Solution: n-সংখ্যক বইকে রাখা যায় n! উপায়ে।
দুটি নির্দিষ্ট বইকে একটি ধরলে (n – 2 + 1) বা (n – 1)টি বইকে রাখা যায় (n – 1)! উপায়ে।
আবার 2টি বই নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে থাকতে পারে।
দুটি নির্দিষ্ট বই কখনও একত্র না থাকলে বিন্যাস সংখ্যা হবে
= n! – (n – 1)!×2!
= n(n – 1)! – (n – 1)!×2
=(n – 1)!(n – 2)
= (n – 2) . (n – 1)!। → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: r . (n – 1)! – n!
= r . (n – 1)! – n(n – 1)!
=(n – 1)! (r – n)
= -(n – r) . (n – 1)! → বিবৃতি II মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

4. বিবৃতি-I(A): 2880 উপায়ে 5 জন বাণিজ্য ও 4 জন বিজ্ঞান শাখার ছাত্রকে একটি সারিতে সাজানো যায় যাতে বাণিজ্য ও বিজ্ঞান শাখার ছাত্র একজনের পর আর একজন এই ক্রমে থাকতে পারে।
বিবৃতি-II(R): n -সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p -সংখ্যক a এবং q -সংখ্যক b এবং অন্য অক্ষরগুলি বিভিন্ন হলে সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা হয় ^n!/_p!q!।

Solution: বাণিজ্য শাখার ছাত্র 5 জন এবং বিজ্ঞান শাখার ছাত্র 4 জন।
∴ বাণিজ্য শাখার ছাত্রদের মাঝে বিজ্ঞান শাখার ছাত্রদের রাখতে হবে।
বাণিজ্য শাখার 5 জন ছাত্রের মাঝে বিজ্ঞান শাখার 4 জন ছাত্রকে রাখা যায় 5!×4! বা 2880 রকমে। → বিবৃতি I সঠিক।
বিবৃতি II সঠিক।
Ans: Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ নয়।

5. বিবৃতি-I(A): n -সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে r -সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা ⁿP_r হলে
1 + 1 . ¹P₁ + 2 . ²P₂ + 3 . ³P₃ + … + n . ⁿP_n = ^{n + 1}P_{n + 1}
বিবৃতি-II(R): ⁿp_r = ^{n – 1}P_r + r . ^{n – 1}p_{r – 1}

Solution: ^{r + 1}P_{r + 1} – ^rP_r
= (r + 1)! – r!
=(r + 1).r! – r!
= r!(r + 1 – 1)
= r.r!
r = 1.2.3……..n বসিয়ে পাই,
  ²P₂ – ¹P₁ = 1.1!
  ³P₃ – ²P₂ = 2.2!
  ⁴P₄ – ³P₃ = 3.3!
  . . . . . . .
  . . . . . . .
  ^{n + 1}P_{n + 1} – ⁿP_n = n.n!
  __________________
   ^{n + 1}P_{n + 1} – ¹P₁ = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …. + n.n!
⇒ ^{n + 1}P_{n + 1} – 1 = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …. + n.n!
⇒ 1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! + …. + n.n! = ^{n + 1}P_{n + 1} → বিবৃতি I সঠিক,
বিবৃতি II সঠিক
Ans: Ⓑ   বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ নয়।

6. বিবৃতি-I(A): একটি পাঠাগারে কোনো পুস্তকের 5 কপি, অন্য দুই পুস্তকের 4 কপি করে, অপর তিন পুস্তকের 6 কপি করে এবং 8টি বিভিন্ন পুস্তক 1 কপি করে আছে। সব পুস্তকগুলিকে ^39!/_{5!(4!)²(6!)³} রকমে সাজানো যায়।
বিবৃতি-II(R): n সংখ্যক অক্ষরের মধ্যে p সংখ্যক a. q সংখ্যক b. r সংখ্যক c এবং অন্য অক্ষরগুলি বিভিন্ন হলে সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ^n!/_p!q!r!।

Solution: বিবৃতি-I: পাঠাগারে কোনো পুস্তকের সংখ্যা = 5 ×1 + 4 × 2 + 3 × 6 + 4 = 5 + 8 + 18 + 8 = 39
পুস্তকগুলিকে সাজানো যায় = ^39!/_{5!(4!)²(6!)³} → বিবৃতি I সঠিক
বিবৃতি II সঠিক
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

7. বিবৃতি-I(A): 4 টি চিঠি ও 4টি নির্দিষ্ট ঠিকানাবিশিষ্ট খাম আছে। 9 উপায়ে 4টি চিঠির প্রত্যেকটিই ভুল ঠিকানাবিশিষ্ট খামে রাখা যায়।
বিবৃতি-II(R): n -সংখ্যক খামে নির্দিষ্ট n -সংখ্যক চিঠির প্রত্যেকটিকেই ভুল খামে রাখা যায়
n![1 – ¹/_1! + ¹/_2! – ¹/_3! + ….. + (-1)ⁿ . ¹/_n!] প্রকারে।

Solution: বিবৃতি-I: 4 টি চিঠি ও 4টি নির্দিষ্ট ঠিকানাবিশিষ্ট খাম আছে। প্রথম চিঠিটিকে 3 উপায়ে ভুল খামে রাখা যায়।
প্রতি ক্ষেত্রে অবশিষ্ট 3টি চিঠিকে 3 রকমভাবে ভুল খামে রাখা যায়।
∴ প্রত্যেকটি চিঠিই ভুল ঠিকানাবিশিষ্ট খামে রাখা যায় 3 × 3 = 9 উপায়ে। → বিবৃতি-I সঠিক।
বিবৃতি-II: n![1 – ¹/_1! + ¹/_2! – ¹/_3! + ….. + (-1)ⁿ . ¹/_n!]
∴ 4![1 – ¹/_1! + ¹/_2! – ¹/_3! + ¹/_4!]
= 24(1 – 1 + ¹/₂ – ¹/₆ + ¹/₂₄)
=24(¹/₂ – ¹/₆ + ¹/₂₄)
= 12 – 4 + 1
= 9 → বিবৃতি-II সঠিক।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I -এর সঠিক কারণ।

True and False ___________

1. বিবৃতি-I: 2, 4, 6, 8, 9 অঙ্কগুলির সাহায্যে 100 ও 1000 -এর মধ্যবর্তী 60 টি সংখ্যা গঠন করা যায়, যদি প্রত্যেক সংখ্যায় যে-কোনো অঙ্ক কেবলমাত্র একবারই ব্যবহৃত হয়।
বিবৃতি-II: SUCCESS শব্দের অক্ষরসমূহকে 420 উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি 1 ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: 100 ও 1000 -এর মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলি সর্বদা তিন অঙ্কের সংখ্যা হবে।
∴ 2, 4, 6, 8, 9 অঙ্কগুলির সাহায্যে তিন অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যায় ⁵P₃ = 60 টি। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: SUCCESS শব্দের 7টি অক্ষরের মধ্যে 2টি C এবং 3টি S আছে।
∴ অক্ষরগুলি বিন্যস্ত করা যায় ^7!/_2!.3! = 7200 উপায়ে। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

2. বিবৃতি-I: পরপর তিনটি ফুটবল খেলার ফলাফল 27 উপায়ে হতে পারে।
বিবৃতি-II: 4 টি ডাকবাক্সে 5টি চিঠি 625 রকমে ফেলা যায়।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I:প্রতিটি ফুটবল খেলায় জয়, পরাজয় এবং অমিমাংসিত এই তিনরকম ফল হতে পারে।
তিনটি খেলার মোট ফলাফল হতে পারে 3³ = 27 টি। → বিবৃতি । সত্য
বিবৃতি-II: 4 টি ডাকবাক্সে 5টি চিঠি ফেলা যায় 4⁵ = 1024 উপায়ে। → বিবৃতি II মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

3. বিবৃতি-I: BENGAL শব্দের অক্ষরগুলি 720 রকমে সাজানো যায়, যাতে স্বরবর্ণ দুটি কখনও একত্রে না থাকে।
বিবৃতি-II: JUXTAPOSED শব্দের অক্ষরগুলির সবগুলি নিয়ে বিন্যাস করলে 120960 টি বিন্যাসে স্বরবর্ণ চারটি একত্রে থাকবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: BENGAL শব্দটিতে 6টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে।
এই 6টি অক্ষরকে 6! = 720 উপায়ে সাজানো যায়।
আবার স্বরবর্ণ দুটি (E, A) একত্রে থাকলে (6 – 2 + 1) = 5 টি অক্ষরকে 5!×2! = 240 উপায়ে সাজানো যায়।
স্বরবর্ণ দুটি কখনও একত্রে না থাকবে না এরূপে সাজানো যায় (720 – 240) = 480 উপায়ে। → বিবৃতি । মিথ্যা
বিবৃতি ।।: JUXTAPOSED শব্দটিতে 10 টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে।
স্বরবর্ণ 4টি (A, E, O, U) -কে একটি অক্ষর ধরে মোট (10 – 4 + 1) = 7 টি অক্ষরকে 7! = 5040 রকমে সাজানো যায়।
আবার 4টি স্বরবর্ণ পরস্পরের মধ্যে 4! = 24 রকমে বিন্যাসিত হতে পারে।
স্বরবর্ণ চারটিকে একত্রে শব্দটির অক্ষরগুলিকে বিন্যাস করা যায় 5040×24 = 120960 রকমে। → বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য

4. 4 জন বালক এবং 3 জন বালিকাকে এক সারিতে সাজানো হবে।
বিবৃতি-Ⅰ: কোনো দুজন বালিকা কখনও পাশাপাশি না থাকে, এরূপ বিন্যাস সংখ্যা 1440 |
বিবৃতি-II: কোনো দুজন বালক কখনও পাশাপাশি না থাকে, এরূপ বিন্যাস সংখ্যা 144
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: 4 জন বালককে 4টি স্থানে রাখা যায় 4! = 24 রকমে।
দুজন বালিকা পাশাপাশি না থাকলে তাদেরকে 4টি বালকের মধ্যবর্তী 3 টি স্থানে এবং দুই প্রান্তে মোট 5 টি স্থানে রাখা যায় 5P3 = 60 রকমে।
কোনো দুজন বালিকা কখনও পাশাপাশি থাকবে না এরূপ বিন্যাস সংখ্যা 24×60 = 1440 টি। → বিবৃতি । সত্য
বিবৃতি ।।: 3 জন বালিকাকে 3টি স্থানে রাখা যায় 3! = 6 রকমে।
দুজন বালিক পাশাপাশি না থাকলে তাদেরকে 3টি বালিকার মধ্যবর্তী 2 টি স্থানে এবং দুই প্রান্তে মোট 4 টি স্থানে রাখা যায় 4! = 24 রকমে।
কোনো দুজন বালিক কখনও পাশাপাশি থাকবে না এরূপ বিন্যাস সংখ্যা 6×24 = 144 টি। → বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য

5. বিবৃতি-I: 3, 4, 5, 6, 8 অঙ্কগুলি দ্বারা 6000 অপেক্ষা বড়ো 4 অঙ্কবিশিষ্ট 36 টি সংখ্যা গঠন করা যায় (একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার করা চলবে না)।
বিবৃতি-II: এই সংখ্যাগুলির মধ্যে 18টি অযুগ্ম হবে (একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার করা চলবে না)।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: 6000 অপেক্ষা বড়ো4 অঙ্কবিশিষ্ট অযুগ্ম সংখ্যার ক্ষেত্রে সহস্র স্থানে 6 অথবা 8 এবং বাকি 3টি স্থানে 4টি অঙ্ক বসাতে হবে।
সহস্র স্থানে 6 অথবা 8, 2 রকমে বসানো যায় এবং বাকি 3টি স্থানে 4টি অঙ্ক ⁴P₃ = 24 রকমে বসানো যায়।
6000 অপেক্ষা বড়ো 4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায় 2×24 = 48টি। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি II: 6000 অপেক্ষা বড়ো4 অঙ্কবিশিষ্ট অযুগ্ম সংখ্যার ক্ষেত্রে সহস্র স্থানে 6 অথবা 8, একক স্থানে 3 অথবা 5 এবং বাকি 2টি স্থানে 3টি অঙ্ক বসাতে হবে।
সহস্র স্থানে 6 অথবা 8, 2 রকমে বসানো যায়, একক স্থানে 3 অথবা 5 2 রকমে বসানো যায়, এবং বাকি 2টি স্থানে 3টি অঙ্ক ³P₂ = 6 রকমে বসানো যায়।
6000 অপেক্ষা বড়ো 4 অঙ্কবিশিষ্ট অযুগ্ম সংখ্যা গঠন করা যায় 2×2×6 = 24টি। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

6. 12টি বস্তু থেকে একযোগে 3টি বস্তুর বিন্যাসের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট বস্তু-
বিবৃতি-I: সর্বদা থাকবে 330 উপায়ে।
বিবৃতি-II: কখনও থাকবে না 990 উপায়ে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: নির্দিষ্ট বস্তুটি ছাড়া অবশিষ্ট (12 – 1) = 11 টি বস্তু থেকে 2 টি বস্তুর বিন্যাসের সংখ্যা ¹¹P₂ = 110 টি।
আবার, নির্দিষ্ট বস্তুটি প্রতিটি বিন্যাসের সাথে ³P₁ = 3 রকমে বসানো যায়।
নির্দিষ্ট বস্তুটি সর্বদা থাকবে এরূপ বিন্যাসের সংখ্যা 110×3 = 330। → বিবৃতি । সত্য
বিবৃতি II: ∵ 1 টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই থাকবে না, সুতরাং (12 – 1) = 11টি বস্তু থেকে 3টি বস্তু বেছে নিতে হবে।
1টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই থাকবে না, এরকম বিন্যাসের সংখ্যা ¹¹P₃ = 990। → বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য

7. বিবৃতি-I: ALGEBRA শব্দটির অক্ষরগুলিকে 2520 উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়।
বিবৃতি-II: এই বিন্যাস সংখ্যার মধ্যে 1850 গুলিতে দুটি ‘A’ একসঙ্গে থাকবে না।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: ALGEBRAশব্দটির 7টি অক্ষরের মধ্যে 2টি A আছে।
শব্দটির সব কয়টি অক্ষর নিয়ে মোট বিন্যাসের সংখ্যা ^7!/_2! = 2520। → বিবৃতি । সত্য
বিবৃতি II: 2টি A কে একত্রে রেখে ALGEBRA শব্দটির সব কয়টি অক্ষর নিয়ে মোট বিন্যাসের সংখ্যা (7 – 2 + 1)! = 6! = 720 টি।
∴ দুটি ‘A’ একসঙ্গে না থাকলে বিন্যাসের সংখ্যা (2520 – 720) = 1800 টি। → বিবৃতি II মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

8. বিবৃতি-I: INSURANCE শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যা ECONOMICS শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ হবে।
বিবৃতি-II: ECONOMICS শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যা INSURANCE শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যার দ্বিগুণ হবে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: INSURANCE শব্দটিতে 9টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 2টি N আছে এবং বাকি 7টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর।
INSURANCE শব্দটির সব কয়টি অক্ষর নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা ^9!/_2!
ECONOMICS শব্দটিতে 9টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 2টি করে C এবং O আছে এবং বাকি 5টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর।
ECONOMICS শব্দটির সব কয়টি অক্ষর নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা ^9!/_2!×2!
INSURANCE শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যা = ^9!/_2! = 2 × ^9!/_2!×2! = 2 × ECONOMICS শব্দটির অক্ষরসমূহের বিন্যাস সংখ্যা সুতরাং বিবৃতি । সত্য
বিবৃতিটি II মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা

9. বিবৃতি-I: n-সংখ্যক জিনিসের সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার যতগুলিতে নির্দিষ্ট m-সংখ্যক বস্তু কখনও পাশাপাশি না থাকে তার সংখ্যা n! – m!(n – m + 1)! |
বিবৃতি-II: 5 জন বালককে একটি গোল টেবিলে বিন্যস্ত করা যায় 24 উপায়ে।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য কিন্তু বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি । ও II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি ।: n সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা = n!
m সংখ্যক বস্তুকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = (n – m + 1)!
∴ m-সংখ্যক বস্তু কখনও পাশাপাশি না থাকলে তার সংখ্যা n! – m!(n – m + 1)! → বিবৃতি । সত্য
বিবৃতি II: 5 জন বালককে একটি গোল টেবিলে বিন্যস্ত করা যায় (5 – 1)! = 4! = 24 উপায়ে। → বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি । ও II উভয়ই সত্য

Case Based ____________

1. মনে করো ^{n + r}P₂ = 110, ^{n – r}P₂ = 20 |
[i] n -এর মান হবে —
Ⓐ 3 Ⓑ 8
Ⓒ 5 Ⓓ 9

Solution: ^{n + r}P₂ = 110
⇒ (n + r)(n + r – 1) = 11×10
∴ (n + r) = 11 . . . (i)
আবার ^{n – r}P₂ = 20
⇒ (n – r)(n – r – 1) = 5×4
∴ (n – r) = 5 . . . (i)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
n + r + n – r = 11 + 5
বা, 2n = 16
বা, n = 8
(i) নং-এ n = 8 বসিয়ে পাই,
8 + r =11
বা, r = 3
Ans: Ⓑ 8

[ii] r -এর মান হবে —
Ⓐ 5 Ⓑ 2
Ⓒ 3 Ⓓ 4
Ans: Ⓒ 3

2. মনে করো LOGARITHM শব্দটির অক্ষরগুলিকে বিভিন্ন রকমে সাজানো হল।
[i] এরকম কত বিভিন্ন রকমে সাজানো যায়?
Ⓐ 362880 Ⓑ 462880
Ⓒ 262880 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: LOGARITHM শব্দটিতে 9টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে।
অক্ষরগুলিকে 9! = 362880 রকমে সাজানো যায়।
Ans: Ⓐ 362880

[ii] কতগুলি L দ্বারা শুরু হয়?
Ⓐ 35280 Ⓑ 40320
Ⓒ 35320 Ⓓ 50320

Solution: L দিয়ে শুরু হলে অবশিষ্ট 8 টি অক্ষরকে 8 টি স্থানে সাজানো যায় 8! = 40320 রকমে।
Ans: Ⓑ 40320

[iii] কতগুলি L দ্বারা শুরু হয় কিন্তু M দ্বারা শেষ হয় না?
Ⓐ 40320 Ⓑ 35200
Ⓒ 30280 Ⓓ 35280

Solution: L দিয়ে শুরু এবং M দিয়ে শেষ হলে অবশিষ্ট 7 টি অক্ষরকে 7 টি স্থানে সাজানো যায় 7! = 5040 রকমে।
M দিয়ে শুরু কিন্তু L দিয়ে শেষ নয় এমনভাবে সাজানো যায় (40320 – 5040) বা 35280 রকমে।
Ans: Ⓓ 35280

3. 12টি বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে 6টি করে নিয়ে বিন্যাস করলে —
[i] বিন্যাসে 3টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদাই থাকবে —
Ⓐ 60840 Ⓑ 60480
Ⓒ 60400 Ⓓ 60860

Solution: 6টি বস্তুর মধ্যে 3টি বস্তু বিন্যাস করা যায় ⁶P₃ = 120 রকমে।
আবার অবশিষ্ট 3টি বস্তু (12 – 3) = 9টি বস্তু থেকে নিয়ে নেওয়া যায় ⁹P₃ = 504 রকমে।
বিন্যাসে 3টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা রেখে বিন্যাসের সংখ্যা 120×504 = 60480
Ans: Ⓑ 60480

[ii] বিন্যাসে 3টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই থাকবে না —
Ⓐ 60480 Ⓑ 60840
Ⓒ 30240 Ⓓ 30420

Solution: বিন্যাসে 3টি নির্দিষ্ট বস্তু কখনোই না থাকলে 12টি বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে 6টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ^{12 – 3}P₆ = ⁹P₆ = 9×8×7×6×5×4 = 60480
Ans: Ⓐ 60480

4. 567724 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সাহায্যে বিভিন্ন রকম সংখ্যা গঠন করতে হবে।
[i] 6 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠিত হতে পারে?
Ⓐ 360 রকমে Ⓑ 460 রকমে
Ⓒ 480 রকমে Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: সংখ্যাটির 6টি অঙ্কের মধ্যে 2টি 7 এবং 4টি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক রয়েছে।
সংখ্যাটির অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা ^6!/₂ = 360।
Ans: Ⓐ 360 রকমে

[ii] এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কতগুলি যুগ্ম সংখ্যা হবে?
Ⓐ 230 Ⓑ 180
Ⓒ 240 Ⓓ 360

Solution: সংখ্যাটির অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা ^6!/₂ = 360।
সংখ্যাটির টি অঙ্ক দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা ।
567724 সংখ্যাটির দ্বারা গঠিত বিন্যাসের সংখ্যায় যুগ্ম সংখ্যা 3টি ও অযুগ্ম সংখ্যা 3টি আছে।
∴ সংখ্যাটির দ্বারা গঠিত 6 অঙ্কের যুগ্ম সংখ্যার সংখ্যা ³⁶⁰/₂ = 180।
Ans: Ⓑ 180

5. 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলির সাহায্যে সংখ্যা গঠন করতে হবে (অঙ্কগুলি একবারই ব্যবহার করা যাবে)
[i] চার অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে —
Ⓐ 256 টি Ⓑ 36 টি
Ⓒ 24 টি Ⓓ 16 টি

Solution: 1, 2, 3, 4 অঙ্কগুলির সাহায্যে (অঙ্কগুলি একবারই ব্যবহার করা যাবে) চার অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার তৈরি করা যাবে 4! বা 24 টি
Ans: Ⓒ 24 টি

[ii] যতগুলি চার অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন হবে তাদের যোগফল —
Ⓐ 66660 Ⓑ 666660
Ⓒ 88880 Ⓓ 888880

Solution: প্রতিটি অঙ্ক প্রতি ঘরে ²⁴/₄ বা 6 বার করে পুনরাবৃত্ত হবে।
প্রতি ঘরের অঙ্ক সমষ্টি = 1× 6 + 2 × 6 + 3 × 6 + 4 × 6 = 6 + 12 + 18 + 24 = 60
∴ সংখ্যাগুলির সমষ্টি = 60(1000 + 100 + 10 + 1) = 66 × = 1111 = 66660
Ans: Ⓐ 66660

6. CONTACT শব্দটির অক্ষরগুলি নিয়ে বিভিন্ন প্রকারে সাজাতে হবে।

[i] স্বরবর্ণগুলির ক্রমিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা —
Ⓐ 750 Ⓑ 630
Ⓒ 530 Ⓓ 840

Solution: CONTACT শব্দটিতে 7টি শব্দের মধ্যে 2টি C, 2টি T এবং 1টি করে O, N, A আছে।
CONTACT শব্দটির অক্ষরগুলিকে সাজানো যায় ^7!/_2!.2! = 1260 উপায়ে।
দুটি স্বরবর্ণরে ক্রমিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকলে বিন্যাস সংখ্যা হবে ¹²⁶⁰/₂ = 630টি
Ans: Ⓑ 630

[ii] স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণগুলির আপেক্ষিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা —
Ⓐ 30 Ⓑ 630
Ⓒ 90 Ⓓ 60

Solution: স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণগুলির আপেক্ষিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকলে দুটি স্বরবর্ণ দ্বিতীয় ও পঞ্চম স্থানেই থাকবে।
দুটি স্বরবর্ণ(O, A) দ্বিতীয় ও পঞ্চম স্থানে 2! বা 2 উপায়ে থাকবে।
5টি ব্যঞ্জনবর্ণ(C, N, T, C, T) বাকি 5টি স্থানে ^5!/_2!.2! বা 30 উপায়ে থাকবে।
স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণগুলির আপেক্ষিক অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা হবে 2×30 = 60 টি।
Ans: Ⓓ 60

[iii] স্বরবর্ণগুলির অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে এরূপ বিন্যাস সংখ্যা —
Ⓐ 30 Ⓑ 60
Ⓒ 630 Ⓓ 84

Solution: স্বরবর্ণগুলির অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে অবশিষ্ট 5টি ব্যঞ্জনবর্ণকে উপায়ে সাজানো যায় ^5!/_2!.2! বা 30 উপায়ে।
Ans: Ⓐ 30

MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION →

← চল ও ধ্রুবক(vARIABE AND CONSTANT)

June 19, 2026

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

VARIABLE AND CONSTANT
SN DEY SEMESTER-I
(চল ও ধ্রুবক)

N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTION
SEMESTER-I
CHAPTER 2
সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক (Relation and Function)
চল ও ধ্রুবক
VARIABLE AND CONSTANT

SEMESTER-I CHAPTER 2

চল ও ধ্রুবক VARIABLE AND CONSTANT

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. f(x+2) = 2x² – 3x + 5 হলে f(1) =
Ⓐ 2 Ⓑ 5
Ⓒ 10 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x+2) = 2x² – 3x + 5
x-এর স্থলে -1 বসিয়ে পাই,
f(-1 + 2) = 2.(-1)² – 3.(-1) + 5
⇒ f(1) = 2 + 3 + 5
⇒f(1) = 10
Ans: Ⓒ 10

2. f(x) = 4^x হলে f(log₄x) =
Ⓐ 4 Ⓑ x
Ⓒ 4^x Ⓓ x⁴

Solution: f(log₄x)
=4^log₄x = x (∵ e^log_ex= x)
Ans: Ⓑ x

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সেট ও অপেক্ষক

সেট তত্ত্ব
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
- ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
- সম্বন্ধ (Relation) PART II
- অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
- চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
- অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2 বীজগণিত

সূচকের নিয়মাবলি
লগারিদম্
দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
রৈখিক অসমীকরণ
বিন্যাস ও সমবায়
- বিন্যাস
কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

বাস্তব সংখ্যা
সীমা
অন্তরকলন বা অবকলন
অন্তরকলজের তাৎপর্য

3. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ y² = x হলে, y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায়।
Ⓑ f(x) = ^x²/_x ও φ(x) = x অপেক্ষক দুটি অভিন্ন।
Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করে।
Ⓓ f(x) = √(x^2 + 4x – 1) হলে, f(- 2) -এর মানের অস্তিত্ব আছে।

Solution:
Ⓐ y² = x
বা y = ±√x
∴ x-এর একটি মানের জন্য y-এর দুটি মান পাওয়া যায়, তাই y, x-এর অপেক্ষক নয়। → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓑ f(x) = ^x²/_x অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সংজ্ঞাত নয়, কিন্তু ϕ(x) = x অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সংজ্ঞাত।
তাই এই দুটি অপেক্ষক অভিন্ন নয়।→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0
বা, x = ¹/₂[y³ – 3y² + 11]
∴ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করা যায়।→ বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করে।

VARIABLE AND CONSTANT

4. নীচের কোনটির জন্য f(x) = x ও φ(x) = √x² অপেক্ষক দুটি অভিন্ন?
Ⓐ 0 < x < ∞ Ⓑ – ∞ < x < ∞
Ⓒ 0 ≤ x < ∞ Ⓓ – ∞ < x ≤ 0

Solution: f(x) = x অপেক্ষকটি x- এর সকল বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞাত হবে।
φ(x) = √x² অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে,
যদি x² ≥ 0
⇒, x ≥ 0
∴ অপেক্ষক দুটি অভিন্ন হবে যদি 0 ≤ x < ∞ হয়।
Ans: Ⓒ 0 ≤ x < ∞

5. f(x) = 3x – 9 হলে, নীচের কোনটি f(x² – 1) -এর মান হবে?
Ⓐ 3x² – 9 Ⓑ 3x² – 12
Ⓒ x² – 10 Ⓓ 3x² – 10

Solution: x-এর স্থলে x² – 1 বসিয়ে পাই,
f(x² – 1) = 3(x² – 1) – 9
= 3x² – 3 – 9
= 3x² – 12
Ans: Ⓑ 3x² – 12

6. f(x – 1) = 7x – 5 হলে, নীচের কোনটি f(x) -এর মান হবে?
Ⓐ 7x + 2 Ⓑ 7x – 12
Ⓒ 8x – 4 Ⓓ 7(x + 1)

Solution: x-এর স্থলে x + 1 বসিয়ে পাই,
f(x + 1 – 1) = 7(x + 1) – 5
⇒ f(x) = 7x + 7 – 5 = 7x + 2
Ans: Ⓐ 7x + 2

7. 2f(x) + 3f(-x) = 15 – 4x হলে, নীচের কোনটি [f(1) + f(-1)] -এর মান হবে?
Ⓐ 5 Ⓑ 7
Ⓒ -6 Ⓓ 6

Solution: 2f(x) + 3f(-x) = 15 – 4x
x-এর স্থলে 1 এবং -1 বসিয়ে পাই,
2f(1) + 3f(-1) = 15 – 4.1 = 11…… (i)
2f(-1) + 3f(1) = 15 – 4.(-1) = 19…… (ii)
(ii) + (ii) করে পাই,
2f(1) + 3f(-1) + 2f(-1) + 3f(1) = 11 + 19
⇒ 5f(1) + 5f(-1) = 30
⇒ 5[f(1) + f(-1)] = 30
বা f(1) + f(-1) = 6
Ans: Ⓓ 6

8. 3f(x) + 2f(- x) = 5(x – 2) হলে, নীচের কোনটির f(0) -এর মান –
Ⓐ 0 Ⓑ -2
Ⓒ 2 Ⓓ 1

Solution: x-এর স্থলে 0 বসিয়ে পাই,
3f(0) + 2f(-0) = 5(0 – 2)
⇒ 3f(0) + 2f(0) = 5×(-2)
⇒5f(0) = 5×(-2)
∴ f(0) = -2
Ans: Ⓑ -2

SN DEY SEMESTER-I

9. f(x) = log₃ x এবং φ(x) = x² হলে, নীচের কোনটি f{φ(3)} -এর মান?
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3

Solution: f(x) = log₃ x এবং φ(x) = x²
∴ φ(3) = 3²
∴ f{φ(3)} = f{3²} = log₃ 3²
⇒ f{φ(3)} = 2log₃ 3 = 2.1 = 2
Ans: Ⓒ 2

10. f(x) = √(x + 3) অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চল হল –
Ⓐ (-∞, 3) Ⓑ (-∞, 3]
Ⓒ (3, ∞) Ⓓ [-3, ∞)
Solution: f(x) = √(x + 3)
অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি x + 3 ≥ 0 বা, x ≥ -3 হয়।
∴ অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চল [-3, ∞)
Ans: Ⓓ [-3, ∞)

চল ও ধ্রুবক

11. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য নয়?
Ⓐ f(x) = 3x – 9 হলে f(x² + 1) = 3x² – 6
Ⓑ f(x – 1) = 7x – 5 হলে, f(x + 1) – f(x + 2) -এর মান -7
Ⓒ f(x + 3) = 2x² – 3x – 1 হলে, f(x + 1) = 2x² – 11x + 13
Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2 হলে f(x) = x² + 10x – 18

Solution: Ⓐ f(x) = 3x – 9
∴ f(x² + 1) = 3(x² + 1) – 9
= 3x² + 3 – 9
= 3x² – 6→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓑ f(x – 1) = 7x – 5
∴ f(x + 1) – f(x + 2)
= f[(x + 2) – 1] – f[(x + 3) -1]
= 7(x + 2) – 5 – [7(x + 3) – 5]
⇒ 7x + 14 – 5 – 7x – 21 + 5
= -7→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓒ f(x + 3) = 2x² – 3x – 1
∴ f(x + 1)
= f[(x – 2) + 3]
= 2(x – 2)² – 3(x – 2) – 1
⇒ 2x² – 8x + 8 – 3x + 6 – 1
= 2x² – 11x +13 → বিবৃতিটি সত্য।
Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2
∴ f(x)
= f[(x – 2) + 2]
= (x – 2)² – 6(x – 2) + 2
⇒ x² – 4x + 4 – 6x + 12 + 2
= x² – 10x + 18→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2 হলে f(x) = x² + 10x – 18

12. যদি 2f(x) + 3f(- x) = x² – x + 1 হয়, তবে f(2) -এর মান-
Ⓐ 3 Ⓑ 2
Ⓒ -2 Ⓓ 3

Solution: 2f(x) + 3f(-x) = x² – x + 1……. (i)
x-এর স্থলে -x বসিয়ে পাই,
2f(-x) + 3f(x) = (-x)² – (-x) + 1
= x^2 + x + 1……. (ii)
(i)×2 – (ii)×3 করে পাই,
4f(x) + 6f(-x) – [6f(-x) + 9f(x)] = 2x² – 2x + 2 – [3x² + 3x + 3]
⇒ 4f(x) + 6f(-x) – 6f(-x) – 9f(x) = 2x² – 2x + 2 – 3x² – 3x – 3
⇒ -5f(x) = -x² – 5x – 1
বা, 5f(x) = x² + 5x + 1
⇒f(x) = ¹/₅[x² + 5x + 1]
∴ f(2) = ¹/₅[2² + 5.2 + 1]
⇒ f(2) = ¹/₅[4 + 10 + 1] = ¹/₅.15 = 3
Ans: Ⓓ 3

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

13. f(x) = 5^x হলে –
Ⓐ f(x + 2) = 25 + f(x)
Ⓑ f(x + y) = f(x) + f(y)
Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = 25
Ⓓ f(log₅x) = f(x)

Solution: f(x) = 5^x
Ⓐ f(x + 2) = 5^x+2 = 5^x.5² = 25.5^x = 25f(x)
Ⓑ f(x + y) = 5^x+y = 5^x.5^y = f(x).f(y)
Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = ^{5^x+1}/_5^x-1
= ^{5^x}.^5¹/_5^x._5^-1
= ^5¹/_5^-1 = 5¹⁺¹ =5²=25
Ans: Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = 25

\(14.\ f(x) = \frac{a.(x – b)}{(a – b)} + \frac{b.(x – a)}{(b – a)}\ \)

হলে f(a) + f(b) =
Ⓐ f(a – b) Ⓑ f(a + b)
Ⓒ f(ab) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

\(Solution:.\ f(x) = \frac {a.(x – b)}{(a – b)} + \frac{b.(x – a)}{(b – a)}\\∴ f(a) + f(b)\\=\frac {a.(a – b)}{(a – b)} + \frac {b.(a – a)}{(b – a)}+ \frac {a.(b – b)}{(a – b)} + \frac {b.(b- a)}{(b – a)}\\ =a + 0 + 0 + b \\= a + b\\ f(a + b)\\= \frac{a.(a+b-b)}{(a – b)} + \frac{b.(a+b – a)}{(b – a)} \\= \frac{a^2}{(a – b)} + \frac{b^2}{(b – a)} \\=\frac{a^2}{(a – b)} – \frac{b^2}{(a – b)} \\= \frac{a^2-b^2}{(a – b)} \\=\frac{(a+b)(a-b)}{(a – b)} \\=a+b\\\textbf{Ans: Ⓑ f(a + b)} \)

15. φ(x) = log_ex হলে কোনটি সঠিক নয়?
Ⓐ φ(e^x) = x Ⓑ φ(x^m) = mφ(x)
Ⓒ φ(xy) = φ(x) φ(y) Ⓓ φ(^x/_y) = φ(x) – φ(y)
Solution: Ⓐ φ(x) = log_ex
∴ φ(e^x) = log_ee^x
= x.log_ee = x→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓑ φ(x^m) = log_ex^m
= m.log_ex = mφ(x)→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓒ φ(xy) = log_exy
= log_ex + log_ey = φ(x) + φ(y)→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓒ φ(xy) = φ(x) φ(y)

16. f(x) = e^{px + q} (p, q ধ্রুবক) হলে – f(a) f(b) f(c) ÷ f(a + b + c) =
Ⓐ 1 Ⓑ e^q
Ⓒ e^2q Ⓓ 3^3q
Solution: f(x) = e^{px + q} (p, q ধ্রুবক)
∴ f(a) f(b) f(c)
= e^{pa + q}.e^{pb + q}.e^{pc + q}
= e^{pa + q + pb + q + pc + q}
⇒ e^{p(a + b + c) + 3q}
= e^{p(a + b + c) + q + 2q}
= e^{p(a + b + c) + q}.e^2q
f(a + b + c)
= e^{p(a + b + c) + q}
∴ f(a) f(b) f(c) ÷ f(a + b + c)
= e^{p(a + b + c) + q}.e^2q ÷ e^{p(a + b + c) + q}
= e^2q
Ans: Ⓒ e^2q

17. f(x) = |x| – 2x হলে, f(-1) + f(1) -এর মান
Ⓐ 4 Ⓑ 1
Ⓒ -1 Ⓓ 2
Solution: f(x) = |x| – 2x
∴ f(-1) + f(1)
= |-1| – 2.(-1) + |1| – 2.1
= 1 + 2 + 1 – 2 = 2
Ans: Ⓓ 2

সেমেস্টার -1

\(18. \ g(x) = \frac{x – a}{x} + \frac{x}{x – b}\ হলে, g(\frac{a+b}{2})=\\ Ⓐ\ \frac{ab}{a^2 – b^2}\quad Ⓑ\ \frac{4ab}{a^2 + b^2}\\ Ⓒ\ \frac{4ab}{a^2 – b^2}\quad Ⓓ \ \frac{2ab}{a^2 – b^2}\\ Solution: g(x) = \frac{x-a}{x} + \frac{x}{x-b}\\ ∴ g\left( \frac{a+b}{2} \right)\\ = \frac{\frac{a+b}{2} -a}{\frac{a+b}{2}} + \frac{\frac{a+b}{2}}{\frac{a+b}{2}-b}\\ = \frac{\frac{a+b-2a}{2}}{\frac{a+b}{2}}+\frac{\frac{a+b}{2}}{\frac{a+b-2b}{2}}\\= \frac{b-a}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\\= \frac{a+b-2a}{a+b}+\frac{a+b}{a+b-2b}\\= \frac{(b – a)^2 – (a + b)^2}{(a + b)(b – a)}\\=\frac{-[(a + b)^2 – (a – b)^2]}{(a + b)(b – a)}\\=\frac{-4ab}{b^2 – a^2}\\=\frac{4ab}{a^2 – b^2}\\ Ans: Ⓒ \frac{4ab}{a^2 – b^2} \)

চল ও ধ্রুবক

19. 19. যদি f(x) -কে (x – a)(x – b) -এর দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ R হয়, তবে R =

\(Ⓐ \frac{f(a) – f(b)}{a – b}\ Ⓑ \frac{a – b}{f(a) – f(b)}\\ Ⓒ \frac{af(a) + bf(b)}{a – b}Ⓓ\ \frac{f(a)(x – b) – f(b)(x – a)}{a – b} \)

Solution: ধরি, f(x) = (x – a)(x – b).g(x) + (px + q) …… [যেখানে (px + q) = R]
∴ f(a) = (a – a)(a – b).g(a) + (pa + q)
= (pa + q)
এবং f(b) = (b – a)(b – b).g(b) + (pb + q)
= (pb + q)
∴ f(a) – f(b) = (pa + q) – (pb + q)
⇒ f(a) – f(b) = pa + q – pb + q
⇒ f(a) – f(b) = p(a – b)
বা p = ^{f(a) – f(b)}/_{a – b}
আবার, f(a) = pa + q
⇒ f(a) = ^{f(a) – f(b)}/_{(a – b)} . a + q
⇒ q = f(a) – ^{f(a) – f(b)}/_{(a – b)} . a
বা, q = ^{f(a)(a – b) – (f(a) – f(b))×a}/_{a – b}
বা, q = ^{f(a)(a – b) – a.f(a) + a.f(b)}/_{a – b}
⇒ q =^{f(a)(a – b – a) + a.f(b)}/_{a – b}
⇒ q = ^{-bf(a) + a.f(b)}/_{a – b}
বা, q = ^{af(b) – bf(a)}/_{a – b}
∴ R = ^{f(a) – f(b)}/_{a – b} . x + ^{af(b) – bf(a)}/_{a – b}
⇒ R = ^{xf(a) – xf(b) + af(b) – bf(a)}/_{a – b}
⇒ R = ^{(x – b)f(a) – (x – a)f(b)}/_{a – b}
বা, R = ^{f(a)(x – b) – f(b)(x – a)}/_{a – b}
Ans: Ⓓ (f(a)(x – b) – f(b)(x – a))/(a – b)

20. f(x) = ¹/_x² হলে, f(x + h) – f(x – h) =
Ⓐ 0 Ⓑ ¹/_h²
Ⓒ – ^4xh/_{(x² – h²)²} Ⓓ ^4xh/_{(x² – h²)²}
Solution: f(x) = ¹/_x²
∴ f(x + h) – f(x – h)
= ¹/_{(x + h)²} – ¹/_{(x – h)²}
= ^{(x – h)² – (x + h)²}/_{(x + h)².(x – h)²}
= –^4xh/_{(x² – h²)²}
Ans: Ⓒ – ^4xh/_{(x² – h²)²}

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

21. f(x) = log_ex এবং g(x) = e^x হলে
Ⓐ f{f(x)} = x Ⓑ g{g(x)} = g(x)
Ⓒ f{g(x)} = g{f(x)} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) = log_ex এবং g(x) = e^x ∴
Ⓐ f{f(x)} = f(log_ex) = log_e(log_ex)
Ⓑ g{g(x)} = g{e^x} = e^{e^x}
Ⓒ f{e^x} = log_ee^x = xlog_ee = x
g{f(x)} = g{log_ex} = e^log_ex = x
∴ f{g(x)} = g{f(x)}
Ans: Ⓒ f{g(x)} = g{f(x)}

22. f(x) = 10x^2 – 13x + 13 হলে, f(x) = 16 সমীকরণটির সমাধান হবে
Ⓐ – ³/₂, ¹/₅ Ⓑ 3, -1
Ⓒ ³/₂, –¹/₅ Ⓓ ³/₂, – 1
Solution: f(x) = 10x² – 13x + 13
∵ f(x) = 16
∴ 10x² – 13x + 13 = 16
⇒ 10x^2 – 13x – 3 = 0
⇒ 10x² – 15x + 2x – 3 = 0
বা, 5x(2x – 3) + 1(2x – 3) = 0
⇒ (2x – 3)(5x + 1) = 0
∴ x = ³/₂ বা, x = –¹/₅
Ans: Ⓒ ³/₂, –¹/₅

23. f(x)= 4[x] – 3|x| হলে f(3.5) + f(-3.5) -এর মান হবে
Ⓐ 25 Ⓑ -26
Ⓒ -25 Ⓓ -28
Solution: f(x)= 4[x] – 3|x|
∴ f(3.5) + f(-3.5)
= 4[3.5] – 3.|3.5| + 4[-3.5] – 3.|-3.5|
= 4×3.5 – 3×3.5 + 4×-4 – 3×3.5
⇒ 14 – 10.5 – 16 -10.5
= 14 – 37 = -25
Ans: Ⓒ -25

সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

24. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো গোলকে x উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ অন্তর্লিখিত হল। চোঙটির ঘনফল v =
Ⓐ ^πx/₄ .(4r² + x²) Ⓑ πxr²
Ⓒ ^πx/₄ .(4r² – x²) Ⓓ ^πx/₄ .(r² – 4x²)
Solution: গোলকের ব্যাসার্ধ r, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা x; চোঙটি গোলকে অন্তর্লিখিত
∴ চোঙের তীর্যক উচ্চতা = গোলকের ব্যাস = 2r

∴ চোঙের ব্যাস = \(\sqrt{(2r)^2 -x^2}\\\)∴ চোঙটির আয়তন =\(\\= πr^2h\\= π.\left( \frac{\sqrt{(2r)^2 -x^2}}{2} \right)^2.x \\= \frac{πx}{4}(4r^2 -x^2)\)

Ans: Ⓒ ^πx/₄ .(4r² – x²)

25. 25 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে একটি আয়তক্ষেত্র অন্তর্লিখিত হয়। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y (বর্গসেমি)-কে তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি-র অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করলে হয়

\(Ⓐ\ x = y\sqrt{2500 – y^2}\quadⒷ\ y = \sqrt{2500 – x^2}\\ Ⓒ\ y = x\sqrt{25 – x^2}\quad Ⓓ\ y = x\sqrt{2500 – x^2}\)

Solution: আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি,
ধরি অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি
∴ y = xa
বা, a = ^y/_x
25 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে আয়তক্ষেত্রটি অন্তর্লিখিত।
∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ন = বৃত্তের ব্যাস = 2×25 = 50 সেমি।
∴ x² + a² = (50)²
বা, x² + ^y²/_x² = 2500
বা, ^y²/_x² = 2500 – x²
⇒ y² = x²(2500 – x²)
⇒ y = x√(2500 – x²)

\(Ans:\ Ⓓ\ y = x\sqrt{2500 – x^2}\)

\(26.\ F(x) = \frac{(x – b)(x – c)}{(a – b)(a – c)}+\frac{(x – c)(x – a)}{(b – c)(b – a)}+\frac{(x – a)(x – b)}{(c – a)(c – b)} \)

হলে F(0) = Ⓐ 0 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ 3

\(Solution:\\ F(x) = \frac{(x – b)(x – c)}{(a – b)(a – c)}+\frac{(x – c)(x – a)}{(b – c)(b – a)}+\frac{(x – a)(x – b)}{(c – a)(c – b)}\\∴\ F(0) = \frac{(0 – b)(0 – c)}{(a – b)(a – c)}+\frac{(0 – c)(0 – a)}{(b – c)(b – a)}+\frac{(0 – a)(0 – b)}{(c – a)(c – b)}\\\quad =\frac{bc}{-(a – b)(c – a)}-\frac{ac}{(b – c)(a – b)}-\frac{ab}{(c – a)(b – c)}\\\quad =\frac{-bc(b-c)-ca(c-a)-ab(a-b)}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad = \frac {-bc(b-c)-c^2a+ca^2-a^2b+ab^2}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad =\frac{-bc(b-c) +ab^2-c^2a-a^2b +ca^2}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad =\frac{-bc(b-c) +a(b^2-c^2)-a^2(b-c)}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad =\frac{-bc(b-c) +a(b+c)(b-c)-a^2(b-c)}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad =\frac{ (b-c)( -bc+ab+ac-a^2)}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\ \quad =\frac{ (b-c)[ -b(c-a)+a(c-a)]}{(a – b)(c – a)(b-c)}\\\quad =\frac{ (b-c)(c-a)(a-b)}{(a – b)(c – a)(b-c)}=1\\ Ans:\quad Ⓒ 1 \)

Relation and Function

\(27 .f(x)= \frac{x-1}{x+1}\) হলে \( \frac{f(x) – f(y)}{(1 + f(x)f(y)}=\\Ⓐ\ \frac{x + y}{1 – xy}\quad Ⓑ\ \frac{xy – 1}{xy+ 1}\\ Ⓒ\ \frac{x – y – 1}{xy + 1}\quad Ⓓ\ \frac{x – y}{1+ xy} \)

\(Solution:\\ \frac{f(x) – f(y)}{1 + f(x)f(y)}\\= \frac{\frac{x-1}{x+1}-\frac{y-1}{y+1}}{1+\frac{x-1}{x+1}.\frac{y-1}{y+1}}\\=\frac{\frac{(x-1)(y+1)-(y-1)(x+1)}{(x+1)(y+1)}}{\frac{(x+1)(y+1)+(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}}\\= \frac{xy+x-y-1-xy-y+x+1}{xy+x+y+1+xy-x-y+1}\\=\frac{2x-2y}{2xy+2}\\=\frac{x-y}{xy+1}\\Ans:\ Ⓓ\ \frac{x – y}{1+ xy} \)

28. f(x) = ¹/_{1 – x} হলে f[f(f(x))] =
Ⓐ 1 – x Ⓑ ¹/_x
Ⓒ x Ⓓ x²
Solution:

\(f(x) = \frac{1}{1-x}\\∴ f(f(x) )=f\left(\frac{1}{1-x} \right)\\ = \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\\\frac{1}{\frac{1-x-1}{x-1}}\\=\frac{1-x}{-x}\\=\frac{x-1}{x}\\∴\ f(f(f(x) ) )\\=f\left(\frac{x-1}{x}\right)\\= \frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}\\=\frac{1}{\frac{x-x+1}{x}}=x\\Ans:\ Ⓒ\ x \)

29. y = f(x) = ^{px + q}/_{rx – p} হলে x =
Ⓐ f(y²) Ⓑ f(2y)
Ⓒ f(y) Ⓓ f(y + 1)
Solution: y = f(x)
= ^{px + q}/_{rx – p}
বা, px + q = y(rx – p)
বা, px – rxy = -py – q
⇒ x(p – ry) = -(py + q)
বা, -x(ry – p) = -(py + q)
বা, x(ry – p) = (py + q)
⇒ x = ^{py + q}/_{ry – p} = f(y)
Ans: Ⓒ f(y)

30. y = f(x) = ^{3x – 5}/_{2x – m} হলে, m -এর মান কত হবে, যাতে f(y) = x হয়?
Ⓐ 1 Ⓑ 0
Ⓒ 2 Ⓓ 3
Solution: y = f(x) = ^{3x – 5}/_{2x – m}
∴ ^{3x – 5}/_{2x – m} = y
বা, 2xy – my = 3x – 5
বা, 2xy – 3x = my – 5
⇒ x(2y – 3) = my – 5
বা, x = ^{my – 5} /_{2y – 3}
m = 3 হলে x = ^{3y – 5}/_{2y – 3} হয় অর্থাৎ f(y) = x
Ans: Ⓓ 3

\(31.y = f(x)=\frac{x – 3}{2x+1} \) এবং z = f(y) হলে, z-কে x-এর অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করলে হয়\(Ⓐ\ z = \frac{x – 3}{2x+1}\quad Ⓑ\ z = \frac{5x + 6}{4x – 5}\\Ⓒ\ z = -\frac{5x + 6}{4x – 5}\quad Ⓓ\ z = \frac{5x – 6}{4x – 5}\)

\(Solution: y = f(x)= \frac{x – 3}{2x + 1})\\∴\ z =\ f(y)=\ f(f(x))\\= f\left( \frac{x – 3}{2x + 1} \right)\\ = \frac{\frac{x – 3}{2x + 1}-3}{\frac{2.(x – 3)}{2x + 1}+1}\\\frac{\frac{(x – 3)– 3(2x + 1)}{2x + 1}}{\frac{2(x – 3)+ (2x + 1)}{2x + 1}}\\= \frac{x – 3 – 6x – 3}{2x – 6 + 2x + 1}\\= \frac{-5x – 6}{4x – 5}\\=-\frac{5x + 6}{4x – 5}\\Ans:\ Ⓒ\ -\frac{5x + 6}{4x – 5} \)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

\(32.\ F(x) = \frac{4x – 5}{3x – 4} \) হলে F{F(x)} =

\(F(x) = \frac{4x – 5}{3x – 4}\\∴ F\left\{ F(x)\right\}=\\F\left( \frac{4x – 5}{3x – 4} \right)\\= \frac{4.\frac{4x – 5}{3x – 4}-5}{3.\frac{4x – 5}{3x – 4}-4}\\=\frac{\frac{4.(4x – 5)– 5.(3x – 4)}{3x – 4}}{\frac{3.(4x – 5)– 4.(3x – 4)}{3x – 4}}\\= \frac{16x – 20 – 15x+ 20}{12x – 15 – 12x + 16}=\ x\\ Ans: Ⓓ\ x \)

33. a > 0, n = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং f(x) = (a – xⁿ)^¹/n হলে f{f(x)} =
Ⓐ xⁿ Ⓑ aⁿ
Ⓒ x² Ⓓ x
Solution: f(x) = (a – xⁿ)^¹/n
∴ f{f(x)} = f{(a – xⁿ)^¹/n}
= [a – [(a – xⁿ)^¹/n]ⁿ]^¹/n
= [a – (a – xⁿ)]^¹/n
⇒ [a – a + xⁿ)]^¹/n
= (xⁿ)^¹/n = x
Ans: Ⓓ x

\(34. φ(x) = \frac{1-x}{1+x}\) হলে φ{φ(x)} = φ

\(φ(x)= \frac{1 – x}{1 + x}\\∴\ φ\left\{ φ(x) \right\}\\=\frac{1-\frac{1 – x}{1 + x}}{1+\frac{1 – x}{1 + x}}\\=\frac{\frac{1 + x – 1 + x}{1 + x}}{\frac{1 + x + 1 – x}{1 + x}}\\=\frac{2x}{2}=x\\Ans:\ Ⓓ\ x\)

35. ^x/_{sin x} অপেক্ষকটি x-এর কোন্ মানে অসংজ্ঞাত?
Ⓐ nπ + π Ⓑ ^nπ/₂
Ⓒ nπ Ⓓ ^{n(n + 1)π}/₂ (যেখানে n ∈ Z)
Solution: ^x/_{sin x} অপেক্ষকটি অসংজ্ঞাত হবে যদি
sin x = 0 হয়
বা, x = nπ হয়।
Ans: Ⓒ nπ

Relation and Function

36. f(x) = a + b sin x অপেক্ষকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান যথাক্রমে 7 ও 1 হলে, f(^π/₆) -এর মান হবে –
Ⓐ 11 Ⓑ ¹¹/₄
Ⓒ ¹¹/₂ Ⓓ ⁵/₂
Solution: আমরা জানি,
-1 ≤ sin x ≤ 1
⇒ -b ≤ b sin x ≤ b
⇒ a – b ≤ f(x) ≤ a + b
বা, a – b ≤ a + b sin x ≤ a + b
∴ a + b = 7 ……. (i) এবং
a – b = 1 ……. (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
a + b + a – b = 7 + 1
বা, 2a = 8
বা, a = 4
(i) নং থেকে পাই,
4 + b = 7
বা, b = 3
∴ f(x) = 4 + 3sin x
f(^π/₆)
= 4 + 3sin ^π/₆
= 4 + 3×¹/₂ = 4 + ³/₂ = 11/₂
Ans: Ⓒ ¹¹/₂

37. f(x) = ax² + bx + c হলে a ও b-এর যে মানের জন্য, f(x + 1) = f(x) + x + 1 একটি অভেদ হয় তা হল –
Ⓐ 1, 1 Ⓑ ¹/₂, ¹/₂
Ⓒ 2, 2 Ⓓ 1, 2
Solution: f(x) = ax² + bx + c;
f(x + 1) = f(x) + x + 1 একটি অভেদ।
∴ a(x + 1)² + b(x + 1) + c = ax² + bx + c + x + 1
⇒ ax² + 2ax + a + bx + b + c = ax² + bx + c + x + 1
⇒ ax² + (2a + b)x + (a + b + c) = ax² + (b + 1)x + (c + 1)
এটি একটি অভেদ।
∴ 2a + b = b + 1
বা, 2a = 1
বা, a = ¹/₂
এবং a + b + c = c + 1
বা, a + b = 1
বা, ¹/₂ + b = 1
∴ b = ¹/₂
Ans: Ⓑ ¹/₂, ¹/₂

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

38. f(x) = 3 – |x – 3| অপেক্ষকের পাল্লা
Ⓐ (-∞, 3) Ⓑ R
Ⓒ (∞, 3] Ⓓ [3, ∞)
Solution: f(x) = 3 – |x – 3|
|x – 3| সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান ∞
∴ f(x) -এর সর্বোচ্চ মান 3 – 0 = 3
f(x) -এর সর্বনিম্ন মান 3 – ∞ = -∞
∴ অপেক্ষকের পাল্লা (-∞, 3)
Ans: Ⓐ (-∞, 3)

39. যদি f(x) = ^x/_{x + 1}, g(x) = x¹⁰ এবং h(x) = x + 3 হয়, তবে f[g{h(x)}] =
Ⓐ 1 Ⓑ ^{(x + 3)¹⁰}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}
Ⓒ ^{x + 3}/_{x + 4} Ⓓ (^{x + 3}/_{x + 4})¹⁰
Solution: f(x) = ^x/_{x + 1}, g(x) = x¹⁰, h(x) = x + 3
∴ g[h(x)]
= g(x + 3)
= (x + 3)¹⁰
f[g{h(x)}]
=f[(x + 3)¹⁰]
= ^{(x + 3)¹⁰}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}
Ans: Ⓑ ^{(x + 3)¹⁰}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}

\(40. \ f(x) = \sqrt{x + 1} +\sqrt{4 – x}\)অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র-

\( \sqrt{x + 1} +\sqrt{4 – x}\) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি-

\( \sqrt{x + 1} \) এবং \( \sqrt{4 – x}\) সংজ্ঞাত হয়।

⇒ (x + 1) ≥ 0 এবং (4 – x) ≥ 0 হয়।
⇒ x ≥ -1 এবং – x ≥ -4 হয়।
∵ x ≥ -1 এবং x ≤ 4 হয়।
অর্থাৎ -1 ≤ x ≤ 4 হয়।
Ans: Ⓒ [-1, 4]

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

\(41.\ f(x)\ = \frac{1}{log_e (2 – x)}+ \sqrt{x +3}\) অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র –

Ⓐ (-3, 2) Ⓑ [-3, 2)
Ⓒ [- 3, 2) – {1} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
log_e(2 – x) ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ 2 – x > 0 এবং 2 – x ≠ 1 হয়।
⇒ -x > -2 এবং -x ≠ -1;
⇒ x < 2 এবং x ≠ 1;
x + 3 ≥ 0 হয়।
⇒ x ≥ -3 হয়।
∴ x ≠ 1; x < 2 এবং x ≥ -3 হয়।
অর্থাৎ -3 ≤ x < 1 এবং 1 < x < 2
Ans: Ⓒ [- 3, 2) – {1}

S.N.Dey (MCQ)

42. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য নয়?

\(Ⓐ\ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + |x|}} \) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) \(\quad Ⓑ\ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x – |x|}} \) -এর ক্ষেত্র φ

\(Ⓒ\ h(x) = \frac{1}{\sqrt{x + [x]}} \) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) \(\quad Ⓓ\ φ(x) = \frac{1}{\sqrt{x – [x]}} \) -এর ক্ষেত্র (০, ∞)

Solution: Ⓐ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x + [x] > 0 হয়।
এখন x < 0 হলে, |x| = -x
∴ x + [x] > 0
বা, x – x = 0 > 0
ইহা অসম্ভব।
আবার x > 0 হলে, |x| = x
∴ x + [x] > 0
বা, x + x > 0
বা, 2x > 0
∴ x > 0
∴ f(x) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) → বিবৃতিটি সত্য।Ⓐ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন

Ⓑ g(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x – |x| > 0 হয়।
বা, x > |x| হয়।
এখন x < 0 হলে, |x| = -x
∴ x > -x
বা, 2x > 0
বা, x > 0
x < 0 হলে, x > 0 হচ্ছে।
ইহা অসম্ভব।
আবার x > 0 হলে, |x| = x
∴ x > x যা অসম্ভব।
∴ g(x) -এর ক্ষেত্র φ → বিবৃতিটি সত্য।

Ⓒ h(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x + [x] > 0 হয়।
∴ h(x) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) → বিবৃতিটি সত্য ।

Ⓓ φ(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x – [x] ≥ 0 হয়।
আবার x – [x] = {x}
∴ 0 ≤ {x} < 1
∴ φ(x) অপেক্ষকের ক্ষেত্র [0, 1)
φ(x) = sqrt(x – [x]) -এর ক্ষেত্র [০, ∞)→ বিবৃতিটি সত্য নয়।

\(\textbf{Ans:}\) \(\quad Ⓓ\ φ(x) = \frac{1}{\sqrt{x – [x]}} \) -এর ক্ষেত্র (০, ∞)

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I

43. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ f(x) = 2 – |x – 2| -এর পাল্লা [0, 2]

\(Ⓑ\ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x + [x]}} \) -এর পাল্লা R

Ⓒ h(x) = ^{|x – 3|}/_{x – 3} -এর পাল্লা [-1, 1]
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: Ⓐ সব x ∈ Rএর জন্য,
0 ≤ |x – 2| < ∞
বা, – ∞ < – |x – 2| ≤ 0
বা, 2 – ∞ < 2 – |x – 2| ≤ 2
⇒ -∞ < f(x) ≤ 2
∴ f(x) -এর পাল্লা (-∞, 2] → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓑ g(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন

0 < sqrt(x + [x]) < ∞
∵ 0 < sqrt(x + [x]) < ∞
∴ 0 < 1/sqrt(x + [x]) < ∞….. [x→0⁺ হলে ¹/_x → ∞ হয় এবং x→∞ হলে ¹/_x → 0 হয় ]
∴ g(x) -এর পাল্লা (0, ∞) → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓒ h(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন x ≠ 3
(x – 3) < 0 হলে,
h(x) = ^{-(x – 3)}/_{(x – 3)} = -1
(x – 3) > 0 হলে,
h(x) = ^{(x – 3)}/_{(x – 3)} = 1
h(x)অপেক্ষকটির পাল্লা {-1, 1}→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

\(44. \ f(x) = \frac{1}{1 – 2cos x}\) অপেক্ষকের পাল্লা-

Ⓐ [¹/₃, 1] Ⓑ [- 1, ¹/₂]
Ⓒ (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞) Ⓓ [-¹/₃, 1]
Solution: -1 ≤ cos x ≤ 1
⇒ -2 ≤ 2cos x ≤ 2
⇒ 2 ≥ -2cos x ≥ -2
বা, -2 ≤ -2cos x ≤ 2
⇒ -1 ≤ 1 – 2cos x ≤ 3
∴ ¹/_{1 – 2cos x} ≤ -1
⇒ f(x) ≤ -1 …… (ii)
1 – 2cos x ≥ ¹/₃
⇒f(x) ≥ ¹/₃…… (ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই,
f(x) -এর পাল্লা (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞)
Ans: Ⓒ (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞)

45. যদি f(x) = log_x² x³ হয়, তবে f(x) =
Ⓐ ³/₂ Ⓑ 1
Ⓒ 0 Ⓓ 2³²
Solution: f(x) = log_x² x³
= ^logx³/_logx²
= ^3logx/_2logx = ³/₂
Ans: Ⓐ ³/₂

Analytical/Skill Based Type

Fill in the Blanks

1. ওপর-খোলা একটি উল্লম্ব জলাধারের ভূমি x মিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। জলাধারের আয়তন 40 ঘনমিটার হলে তার সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে x-এর অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করলে হবে _________________
Ⓐ x² + ⁴⁰/_x Ⓑ x² + ¹⁶⁰/_x²
Ⓒ x² + ¹⁶⁰/_x Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: জলাধারের ভূমি x মিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র।
ধরি, জলাধারের উচ্চতা h মিটার।
∴ জলাধারের আয়তন = x²h ঘনমিটার
প্রশ্নানুযায়ী,
x²h = 40
বা, h = ⁴⁰/_x²
জলাধারের উপর দিক খোলা।
∴ জলাধারের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= x² + 4x.h
= (x² + 4x.⁴⁰/_x²) বর্গমিটার
= (x² + ¹⁶⁰/_x) বর্গমিটার
Ans: Ⓒ x^2 + 160/x [

2. f(x – 2) = 2x³ + 3x² – 3 হলে f(- 1) = _________________
Ⓐ 1 Ⓑ -2 Ⓒ 2 Ⓓ 0
Solution: (x – 2) = 2x³ + 3x² – 3
x-এর পরিবর্তে 1 বসিয়ে পাই,,
f(1 – 2) = 2.1³ + 3.1² – 3
⇒ f(-1) = 2 + 3 – 3 = 2
Ans: Ⓒ 2

3. f(x) = 2x² – 3x + 5 হলে, ^{f(a + h) – f(a)}/_h -এর মান _________________
Ⓐ 4a + 2h + 3 Ⓑ 4a – 2h – 3
Ⓒ 4a + 3h – 2 Ⓓ 4a + 2h – 3
Solution: f(x) = 2x² – 3x + 5
∴ ^{f(a + h) – f(a)}/_h
= ¹/_h.[2(a + h)² – 3(a + h) + 5 – (2a² – 3a + 5)]
= ¹/_h.[2a² + 4ah + 2h² – 3a – 3h + 5 – 2a² + 3a – 5]
⇒ ¹/_h.[4ah + 2h² – 3h]
= ¹/_h.h(4a + 2h – 3)
= 4a + 2h – 3
Ans: Ⓓ 4a + 2h – 3

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

\(4. g(θ) = \frac{1 – tan θ}{1 + tan θ}\) হলে, \(g\left( \frac{π}{4}- θ \right)\)-এর মান _________________

\(g(θ) = \frac{1 – tan θ}{1 + tan θ}\\=\frac{tan\frac{π}{4} – tan θ}{1+tan\frac{π}{4} . tan θ}\\=tan\left( \frac{π}{4}-θ \right)\\∴ g\left( \frac{π}{4}-θ \right)\\ =tan\left[ \frac{π}{4}-\left( \frac{π}{4}-θ \right) \right]\\=tan\left( \frac{π}{4}-\frac{π}{4}+θ \right)\\=tan θ\\Ans: Ⓑ\ tan θ\)

\(5. f(x) = log_{e}\frac{1+x}{1-x}\) হলে,\(\ f\left( \frac{2x}{1+x^{2}} \right)=\) ________________

\(f(x) = log_{e}\frac{1+x}{1-x}\\∴f\left( \frac{2x}{1+x^{2}} \right)\\=log_{e}\frac{1+\frac{2x}{1+x^{2}}}{1-\frac{2x}{1+x^{2}}}\\=log_{e}\frac{\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}}{\frac{1+x^{2}-2x}{1+x^{2}}}\\=log_{e}\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}-2x}\\=log_{e}\frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{2}}\\=log_{e}\left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{2}\\=2log_{e}\frac{1+x}{1-x}=2f(x))\\Ans: Ⓒ\ 2f(x) \)

6. ( [- 3] + [- 3.6] – |2.6| + |-3| ) -এর মান _________________
Ⓐ 6.6 Ⓑ -6.6 Ⓒ 6 Ⓓ 4.6
Solution: [- 3] + [- 3.6] – |2.6| + |-3|
= – 3 – 4 – 2.6 +3 = -6.6]
Ans: Ⓑ -6.6

7. f(x) = cos(log(x)) হলে, f(x)f(y) – ¹/₂[f(^x/_y) + f(xy)] এর মান _________________
Ⓐ -1 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ 0
Solution: f(x) = cos(log(x))
∴ f(x)f(y) – ¹/₂[f(^x/_y) + f(xy)]
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos log(^x/_y) + cos log(xy)
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos(logx – logy) + cos(logx + logy)
⇒ cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos logx.cos logy + sin logx .sin logy + cos logx. cos logy – sin logx, sinlogy
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[2×cos logx.cos logy]
= cos log(x).cos log(y) – cos log(x).cos log(y) = 0
Ans: Ⓓ 0

8. f(x) = x² + ax + b এবং f(1) = 1 , f(2) = 2 হলে f(3) -এর মান 1 _________________
Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 7 Ⓓ 5
Solution: f(x) = x² + ax + b
∴ f(1) = 1
⇒ (1)² + a.1 + b = 1
⇒ 1 + a + b = 1
বা, a + b = 0
⇒ b = -a
f(2) = 2
⇒ (2)² + a.2 + b = 1
⇒ 4 + 2a + b = 1
বা, 2a + b = -3
⇒ 2a – a = -2 …….. [∵ b = -a]
⇒a = -2 এবং b = 2
∴ f(x) = x² – 2x + 2
∴ f(3) = (3)² – 2.3 + 2 = 9 – 6 + 2 = 5
Ans: Ⓓ 5

VARIABLE AND CONSTANT

9. f(x) = sinx, g(x) = x² এবং h(x) = log(x) হলে, h[g(f(x))] = _________________
Ⓐ log(sin x) Ⓑ 2sin log(x) Ⓒ 2 log(sin x)Ⓓ {log(sin x)}²
Solution:
f(x) = sinx, g(x) = x² এবং h(x) = log(x)
h[g(f(x))]
∴ g(f(x)) = g(sinx) = (sinx)²
h[g(f(x))] = h[(sinx)²] = log(sinx)² = 2log(sinx)]
Ans: Ⓒ 2 log(sin x)

10. log₁₀x-এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র = _________________
Ⓐ R Ⓑ (0,1) Ⓒ (0, ∞) Ⓓ R – {0}
Solution: log₁₀x অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (0, ∞)
Ans: Ⓒ (0, ∞)

\(11.\ f(x) = \frac{\sqrt{3x – 7}}{\sqrt[6]{x + 1}-2}\) অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র = _________________

Ⓐ R – {63} Ⓑ (63, ∞) Ⓒ (⁷/₃, 63) ∪ (63, ∞)Ⓓ (3, ∞) – {63}
Solution: [f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে,
যখন – 3x – 7 ≥ 0
⇒ 3x ≥ 7
⇒ x ≥ ⁷/₃
এবং ⁶√(x + 1) ) – 2 > 0
⇒ ⁶√(x + 1) > 2
⇒ (x + 1) > 2⁶
বা, x + 1> 64
বা, x > 63
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (7/3, 63) ∪ (63, ∞)
Ans: Ⓒ (⁷/₃, 63) ∪ (63, ∞)

\(12.\ f(x)=\log_{100x}\left( \frac{2log_{10} x + 2}{-x} \right)\) অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র = _________________

Ⓐ (¹/₁₀, ∞) Ⓑ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀) ∪ (10, 100)
Ⓒ (10, 100) ∪ (100, ∞)Ⓓ (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)
Solution: f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে যখন
– 100x > 0, 100x ≠ 1, 2log₁₀ x + 2 > 0 এবং – x > 0 হবে।
100x > 0 হলে, x > 0 হবে।
আবার 100x ≠ 1 হলে, x ≠ ¹/₁₀₀ হবে।
2log₁₀ x + 2) > 0 হলে,
2log₁₀ x > -2
বা, log₁₀ x > -1
বা, x = 10^-1 = ¹/₁₀ হবে।
এবং – x > 0 হলে, x < 0 হবে।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)
Ans: Ⓓ (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

13. f(x) একটি দ্বিঘাত অপেক্ষক এবং f(1) = 5 , f(- 1) = 11 ও f(2) = 8 হলে, f(-2) = _________________
Ⓐ 10 Ⓑ 21 Ⓒ 20 Ⓓ 19
Solution: ধরি f(x) = ax² + bx + c (a ≠0)
f(1) = 5
⇒ a.(1)² + b.1 + c = 5
⇒ a + b + c = 5 ……….. (i)
f(- 1) = 11
⇒ a.(-1)² + b.(-1) + c = 11
⇒ a – b + c = 11 ……….. (ii)
f(2) = 8
⇒ a.(2)² + b.(2) + c = 8
⇒ 4a + 2b + c = 8 ……….. (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + b + c – (a – b + c) = 5 -11
⇒ a + b + c – a + b – c = -6
⇒ 2b = -6
∴ b = -3
(iii) – (ii) করে পাই,
4a + 2b + c – (a + b + c) = 8 – 5
⇒ 4a + 2b + c – a – b – c = 3
⇒ 3a + b = 3
বা, 3a – 3 = 3 ….. [∴ b = -3]
বা, a = 2
(i) নং থেকে পাই,
2 – 3 + c = 5
⇒ c = 6
∴ f(x) = 2x² – 3x + 6
∴ f(-2) = 2.(-2)² – 3.(-2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20
Ans: Ⓒ 20

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

Solution: p(x) = ^a/_x + b + cx
p(1) = 5
⇒ ^a/₁ + b + c.1 = 5
⇒ a + b + c = 5 ……….. (i)
p(-2) = 2
⇒ ^a/_-2 + b + c.(-2) = 2
⇒ a – 2b + 4c = -4 ……….. (ii)
p(-1) = -3
⇒ ^a/_-1 + b + c.(-1) = -3
⇒ -a + b – c = -3 ……….. (iii)
(i) + (iii) করে পাই,
a + b + c – a + b – c = 5 – 3
⇒ 2b = 2
⇒ b = 1
(i) – (ii) করে পাই,
a + b + c – (a – 2b + 4c) = 5 – (-4)
⇒ a + b + c – a + 2b – 4c = 5 + 4
⇒ 3b – 3c = 9
বা, b – c = 3
⇒ 1 – c = 3 ….. [∴ b = 1]
⇒ c = -2
(i) নং থেকে পাই,
a + 1 – 2 = 5
⇒ a = 6
∴ p(x) = ⁶/_x + 1 – 2x
অতএব p(-3) = ⁶/_-3 + 1 – 2.(-3)
= -2 +1 + 6 = 5
Ans: Ⓓ 5

15. যদি f(n + 1) = ^{2f(n) + 1}/₂, n = 1, 2, 3 ,…. এবং f(1) = 2 হয় তবে f(101) = _________________
Ⓐ 102 Ⓑ 52 Ⓒ 51 Ⓓ 50

Solution: f(n + 1) = ^{2f(n) + 1}/₂ এবং f(1) = 2
n = 1 হলে,
f(1 + 1) = ^{2f(1) + 1}/₂
বা, f(2) = ^{2.2 + 1}/₂ = ⁵/₂
n = 2 হলে,
f(2 + 1) = ^{2f(2) + 1}/₂
বা, f(3) = ^{2.⁵/₂ + 1}/₂ = ⁶/₂ = 3
n = 3 হলে,
f(3 + 1) = ^{2f(3) + 1}/₂
বা, f(4) = ^{2.3 + 1}/₂ = ⁷/₂
∴ শ্রেণিটি হল 2, ⁵/₂, 3, ⁷/₂
এখানে ⁵/₂ – 2 = 3 – ⁵/₂ = ¹/₂
∴ শ্রেণিটি সমান্তর প্রগতিভুক্ত যার প্রথম পদ (a) 2 এবং সাধারণ অন্তর (d) ¹/₂
∴ f(101) = 2 + (101 – 1).¹/₂
= 2 + 50 = 52
Ans: Ⓑ 52

3. Column Matching

1. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] √(x² – 7x + 10)	[a] (- ∞, – 6) ∪ (2, ∞)
[ii] ^{x – 2}/_{x² – 3x + 2}	[b] R – {1, 2}
[iii] ¹/_{√(x – 2)(x + 6)}	[c] (2, 3)
[iv] ¹/_{√(x – 2)(3 – x)}	[d] (- ∞, 2] ∪ [5, ∞)

Ⓐ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]
Ⓒ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Solution:[i] √(x² – 7x + 10) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x² – 7x + 10 ≥ 0
বা, x² – 5x – 2x + 10 ≥ 0
বা, x(x – 5) – 2(x – 5) ≥ 0
⇒ (x – 5)(x – 2) ≥ 0
বা, x ≤ 2 এবং x ≥ 5
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (- ∞, 2] ∪ [5, ∞) → [d]
[ii] ^{x – 2}/_{x² – 3x + 2} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x² – 3x + 2 ≠ 0
বা, x² – 2x – x + 2 ≠ 0
বা, x(x – 2) – 1(x – 2) ≠ 0
⇒ (x – 2)(x – 1) ≠ 0
বা, x ≠ 2, x ≠ 1
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {1, 2} → [b]
[iii] ¹/_{√(x – 2)(x + 6)} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন (x – 2)(x + 6) > 0
(x – 2)(x + 6) > 0 হবে যদি x < 0 এবং x > 0 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (- ∞, – 6) ∪ (2, ∞) → [a]
[iv] ¹/_{√(x – 2)(3 – x)} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
(x – 2)(3 – x) > 0
বা, -(x – 2)(x – 3) > 0
বা, (x – 2)(x – 3) < 0 হবে।
∴ অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন x > 2 এবং x < 3 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (2, -3) → [c]]
Ans: Ⓒ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[a], [iv]-[c]

2. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] cot x	[a] (-∞, ∞)
[ii] ¹/_{sin x – cos x}	[b] R – {nπ: n ∈ z}
[iii] ^x²/_{1 + x²}	[c] [- ¹/₂, ¹/₂]
[iv] sin^-1 2x	[d] R – {^{nπ + π}/₄: n ∈ z}

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Solution: [i] cotx = ^cosx/_sinx.
cotx সংজ্ঞাত হবে যদি,
sinx ≠ 0
বা, sinx ≠ sinnπ…… [যেখানে n ∈ z]
বা, x ≠ nπ
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {nπ} → [b]
[ii] ¹/_{sin x – cos x} সংজ্ঞাত হবে যদি,
sin x – cos x ≠ 0
বা, sin x ≠ cos x
বা, tan x ≠ 1
⇒ tan x ≠ tanπ/4
বা, tan x ≠ tan(nπ + π/4) …… [যেখানে n ∈ z]
বা, x ≠ nπ + π/4
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {^{nπ + π}/₄: n ∈ z} → [d]
[iii] x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য
x² ≥ 0
বা, 1 + x² ≥ 1
∴ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ^x²/_{1 + x²} সংজ্ঞাত হবে।
[iv] sin^-1 2x সংজ্ঞাত হবে যদি
-1 ≤ 2x ≤ 1
বা, -1/2 ≤ x ≤ 1/2
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল [- ¹/₂, ¹/₂] → [c]
Ans: Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]

3. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার অঞ্চল দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] ^x/_{x + 2}	[a] R – {2, –³/₂}
[ii] √(4x – 4x² – 1)	[b] R – {-2}
[iii] ^{x² + x – 6}/_{2x² – x – 6}	[c] (1, 3)
[iv] √x² – 4x + 3	[d] R – {¹/₂}

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Solution:[i] ^x/_{x + 2} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x + 2 ≠ 0
বা, x ≠ – 2 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {-2} → [b]
[ii] √(4x – 4x² – 1) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
4x – 4x² – 1 ≥ 0
বা, -(4x² – 4x + 1) ≥ 0
বা, 4x² – 4x + 1 ≤ 0
⇒ (2x)² – 2.2x.1 + (1)² ≤ 0
বা, (2x – 1)² ≤ 0
কিন্তু x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য (2x – 1)² সর্বদা শূন্য বা শূন্যের থেকে বড়ো হবে।
∴ (2x – 1)² = 0
বা, 2x – 1 = 0
বা, x = ¹/₂ ∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {¹/₂} → [d]
[iii] ^{x² + x – 6}/_{2x² – x – 6} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
2x² – x – 6 ≠ 0
বা, 2x² – 4x + 3x – 6 ≠ 0
বা, 2x(x – 2) + 3(x – 2) ≠ 0
⇒ (x – 2)(2x + 3) ≠ 0
বা, x = 2, –³/₂
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {-³/₂, 2} → [a]
[iv] √(x² – 4x + 3) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x² – 4x + 3 ≥ 0
বা, x² – 3x – x + 3 ≥ 0
বা, x(x – 3) – 1(x – 3) ≥ 0
⇒ (x – 3)(x – 1) ≥ 0
∴ x ≤ 1, x ≥ 3
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (-∞, 1) ∪ (3, ∞) → [c] উত্তরটি ভুল আছে।
Ans: Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]

4. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] y = sin x (0 ≤ x ≤ π)	[a] [-√2, √2]
[ii] y = tanx (-^π/₂ < x < ^π/₂)	[b] [0, 1]
[iii] y = ¹/_{2 – cos3x}	[c] (-∞, ∞)
[iv] y = sinx + cosx	[d] [¹/₃, 1]

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[a]
Solution:
[i] y = sin x (0 ≤ x ≤ π)
0 ≤ x ≤ π বিস্তারে
0 ≤ sin x ≤ 1 হয়
বা, 0 ≤ y ≤ 1 হয়।
∴ y = sin x অপেক্ষকের পাল্লা [0, 1] → [b]
[ii] y = tan x (-^π/₂ < x < ^π/₂)
–^π/₂ < x < ^π/₂ বিস্তারে
-∞ ≤ tan x ≤ ∞ হয়
বা, -∞ ≤ y ≤ ∞ হয়।
∴ y = tan x অপেক্ষকের পাল্লা (-∞, ∞) → [c]
[iii] y = ¹/_{2 – cos3x}
∵ -1 ≤ cos3x ≤ 1
⇒ 1 ≥ – cos3x ≥ -1
⇒ 2 + 1 ≥ 2 – cos3x ≥ -1 + 2
বা, 3 ≥ 2 – cos3x ≥ 1
⇒ ¹/₃ ≤ ¹/_{2 – cos3x} ≤ 1
⇒ ¹/₃ ≤ y ≤ 1
∴ অপেক্ষকের পাল্লা [¹/₃, 1] → [d]
[iv] y = sin x + cos x
বা, y = √2(¹/_√2 sin x + ¹/_√2 cos x)
বা, y = √2(sinx.cos45° + cosx sin45°)
∴ y = √2sin(x + 45°)
∵ -1 ≤ sin(x + 45°) ≤ 1
⇒ √2 ≤ √2sin(x + 45°) ≤ √2
⇒ √2 ≤ y ≤ √2
∴ y = sin x + cos x অপেক্ষকের পাল্লা [√2, √2] → [a]]
Ans: Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]

5. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] y = ^x²/_{1 + x²}	[a] [0, 1)
[ii] y = √(9 – x²)	[b] [-¹/₁₁, 1]
[iii] y = ^x/_{x² – 5x + 9}	[c] (- ∞, ¹/₂] ∪ [ ⁹/₂ , ∞)
[iv] y= ^{3x – 5}/_{x² – 1} (x ≠ ± 1)	[d] [0, 3]

Ⓐ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]
Ⓓ [1]-[d], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[c]
Solution:
[i] y = ^x²/_{1 + x²}
বা, y = ^{1 + x² – 1}/_{1 + x²}
বা, y = 1 – ¹/_{1 + x²}
আমরা জানি,
0 ≤ x² ≤ ∞
⇒ 1 ≤ 1 + x² ≤ ∞
⇒ 1 ≥ ¹/_{1 + x²} > 0
বা, -1 ≤ –¹/_{1 + x²} < 0
⇒ 0 ≤ 1 – ¹/_{1 + x²} < 1
⇒ 0 ≤ y < 1
∴ y-এর পাল্লা [0, 1) → [a]

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

[ii] x-এর যে-কোনো মানের জন্য x² ≥ 0 হয়।
আবার y = √(9 – x²)
বা, y² = 9 – x²
বা, 9 – y² = x²
∴ 9 – y² ≥ 0 ……… [∴ x² ≥ 0]
বা, (3 + y) (3 – y) ≥ 0
∴ -3 ≤ y ≤ 3 কিন্তু y ≥ 0
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [0, 3] → [d]
[iii] y = ^x/_{x² – 5x + 9}
বা, y(x² – 5x + 9) = x
বা, x²y – 5xy + 9y = x
⇒ x²y – 5xy – x + 9y = 0
বা, x²y – (5y + 1)x + 9y = 0
∵ x বাস্তব এবং সসীম,
∴ [- (5y + 1)]² – 4.y.9y ≥ 0
বা, (5y + 1)² – 4.y.9y ≥ 0
বা, 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ -(11y² – 10y – 1) ≥ 0
বা, 11y² – 10y – 1 ≤ 0
বা, 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y(y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (y – 1)(11y + 1) ≤ 0
∴ –¹/₁₁ ≤ y ≤ 1
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [-¹/₁₁, 1] → [b][iv]
y = ^{3x – 5}/_{x² – 1}
বা, y(x² – 1) = 3x -5
বা, x²y – 3x – y + 5 = 0
⇒ x²y – 3x – (y – 5) = 0
∵ x বাস্তব এবং সসীম,
∴ (-3)² – 4.y.[-(y – 5)] ≥ 0
বা, 9 + 4y² – 20y ≥ 0
বা, 4y² – 20y + 9 ≥ 0
⇒ 4y² – 18y – 2y + 9 ≥ 0
বা, 2y(2y – 9) – 1(2y – 9) ≥ 0
বা, (2y – 9)(2y – 1) ≥ 0
∴ y ≥ ⁹/₂ এবং y ≤ ¹/₂
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা (- ∞, ¹/₂] ∪ [ ⁹/₂ , ∞) → [c]]
Ans: Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]

6. দুটি বাস্তব অপেক্ষক f(x) ও φ(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x) = √(x – 2) ও φ(x) = x + 3 ;
তাহলে, কোন্ অপেক্ষকের কোনটি ক্ষেত্র তা নির্ণয় করে স্তম্ভ A ও স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] φ(X)	[a] (2, ∞)
[ii] ¹/_f(x)	[b] [2, ∞)
[iii] ¹/_φ(x)	[c] R
[iv] ^f/_φ(x)	[d] (-∞, -3) U (-3, ∞)

Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]
Ⓑ [i]-[c], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[a]
Ⓒ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[b]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Solution:
f(x) = √(x – 2) ও φ(x) = x + 3
[i] x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য φ(x) সংজ্ঞাত হবে।
∴ φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল R → [c]
[ii] ¹/_f(x) = ¹/_{√(x – 2)}
¹/_f(x) সংজ্ঞাত হবে যদি
x – 2 > 0 হয় বা, x > 2
∴ ¹/_f(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল (2, ∞) → [a]
[iii] ¹/_φ(x) = ¹/_{(x + 3)}
¹/_φ(x) সংজ্ঞাত হবে যদি x + 3 ≠ 0 হয় বা, x ≠ -3
∴ ¹/_φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল (-∞, -3) U (-3, ∞) → [d]
[iv] ^f/_φ(x) = sqrt(x – 2)/x + 3
∴ ^f/_φ(x) সংজ্ঞাত হবে,
যদি x – 2 ≥ 0 এবং x + 3 ≠ 0 হয়
বা, x ≥ 2 এবং x ≠ -3 হয়।
∴ ^f/_φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল [2, ∞) → [b]
Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]

4. Rearrangement of Sentences/Events

1. 2f(¹/_x) + f(x) = 3x হলে f(^{x – 1}/_x) নির্ণয় করার জন্য নিম্নোক্ত ধাপগুলি উল্লেখ করা হলো।
[i] x-এর পরিবর্তে (^{x – 1}/_x) বসাতে হবে
[ii] f(x) -এর মান পাওয়া যাবে
[iii] x-এর পরিবর্তে ¹/_x বসিয়ে নতুন একটি সমীকরণ পাওয়া যাবে
[iv] প্রদত্ত সমীকরণ ও প্রাপ্ত সমীকরণ সমাধান করতে হবে
সঠিক ক্রম হবে-
Ⓐ [i] — [ii] – [iii] — [iv]
Ⓑ [i] — [iv] – [iii] — [ii]
Ⓒ [iii] — [iv] – [ii] — [i]
Ⓓ [i] — [iii] – [iv] — [i]
Solution: 2f(¹/_x) + f(x) = 3x ………..(i)
(i) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে ¹/_x বসিয়ে পাই,
2f(x) + f(¹/_x) = 3.¹/_x ………..(ii) → [iii]
(ii).2 – (i) করে পাই,
2[2f(x) + f(¹/_x)] – [2f(¹/_x) + f(x)] = 2.3.¹/_x – 3x → [iv]
⇒ 4f(x) + 2f(¹/_x) – 2f(¹/_x) – f(x) = 6.¹/_x – 3x
⇒ 3f(x) = 3[²/_x – x]
বা, f(x) = ²/_x – x = ^{2 – x²}/_x → [ii]

\(f\left( x-\frac{1}{x} \right)\\=\frac{2-\left( x-\frac{1}{x} \right)^2 }{\left( x-\frac{1}{x} \right)}\\=\frac{2-x^2+2.x.\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{x-\frac{1}{x}}\\=\frac{4-x^2-\frac{1}{x^2}}{x-\frac{1}{x}}\\Ans:\ Ⓒ\ [iii] – [iv] – [ii] – [i]\)

5. Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}
বিবৃতি-B: f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের পাল্লা R।

f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6}
x² + 3x – 2x – 6)
= x(x + 3) – 2(x + 3)
= (x + 3)(x – 2)
∴ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে
যদি x + 3 ≠ 0 এবং x – 2 ≠ 0 হয়
অর্থাৎ x ≠ -3 এবং x ≠ 2 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}
ধরি y = f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6}
বা, y = ^{(x – 2)(x – 1)}/_{(x + 3)(x – 2)}
বা, y = ^{x – 1}/_{x + 3} ……….. [∵ x ≠ 2]
⇒ xy + 3y = x – 1
বা, xy – x = – 1 – 3y
বা, -x(1 – y) = -(1 + 3y)
⇒ x(1 – y) = (1 + 3y)
বা, x = (1 + 3y)(1 – y)
x অসংজ্ঞাত হবে যদি y = 1 হয়।
∴ y ≠ 1
আবার যেহেতু x ≠ -3 এবং x ≠ 2
সুতরাং y = (x – 1)/(x + 3) থেকে পাই,
x = -3 হলে y অসংজ্ঞাত হবে।
x ≠ 2 হলে
y ≠ ^{(2 – 1)}/_{(2 + 3)} ≠ ¹/₅
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা R – {¹/₅, 1}
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: f(x) = cos log(x)) হলে f(^x/_y) + f(xy) – 2f(x)f(y) এর মান 0
বিবৃতি-B: f(x) = log cos x হলে f(xy) = f(x) + f(y)
Solution:
বিবৃতি-A: f(x) = cos log(x)
∴ f(^x/_y) + f(xy) – 2f(x)f(y)
= cos log(x/y) + cos log(xy) – 2f(x)f(y
= cos(log x – log y) + cos(log x + log y) – 2f(x)f(y)
⇒ 2cos^{log x + log y + log x – log y}/₂ .cos ^{log x + log y – log x + log y}/₂ – 2f(x)f(y)
⇒ 2cos ^2logx/₂.cos ^2logy/₂ – 2f(x)f(y)
= 2cos log x . cos logy – 2f(x)f(y)
= 2f(x)f(y) – 2f(x)f(y) = 0 → বিবৃতি A সত্য
বিবৃতি-B: f(x) = log(cos x)
∴ f(xy) = cos log(xy)
= cos(log x + log y)
≠ f(x) + f(y) → বিবৃতি B মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সতা কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

6. Assertion-Reasoning

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে।
প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি ।। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর-সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): \( f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}\) হলে \(\\f\left( \frac{1}{1997} \right) + f\left( \frac{2}{1997} \right) + ………; + f\left( \frac{1}{1997} \right) = 998 \)

1. বিবৃতি-II(R): \( f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}\) হলে \(f(x) + f(1 – x) = 1 \)

Solution: বিবৃতি II

\( f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}\\∴ f(x) + f(1 – x) \\= \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}\\=\frac{4^x}{4^x+2} +\frac{\frac{4}{4^x}}{\frac{4}{4^x}+2}\\=\frac{4^x}{4^x+2} +\frac{4}{4+2.4^x}\\=\frac{4^x}{4^x+2} +\frac{4}{2(2+4^x)}\\=\frac{2.4^x+4}{2(2+4^x)}\\=\frac{2(4^x+2)}{2(2+4^x)}=1 \) বিবৃতি ।। সঠিক

বিবৃতি ।\(f\left( \frac{1}{1997} \right)+f\left( \frac{2}{1997} \right)+…+f\left( \frac{1996}{1997} \right)\\=\left[ f\left( \frac{1}{1997} \right)+f\left( \frac{1996}{1997} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{1997} \right)+f\left( \frac{1995}{1997} \right) \right]+…+\left[ f\left( \frac{998}{1997} \right)+f\left( \frac{999}{1997} \right) \right]\\=\left[ f\left( \frac{1}{1997} \right)+f\left(1- \frac{1}{1997} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{1997} \right)+f\left(1- \frac{2}{1997} \right) \right]+…+\left[ f\left( \frac{998}{1997} \right)+f\left(1- \frac{998}{1997} \right) \right]\\= \)

= 1 + 1 +……+ 998 তম পদ পর্যন্ত = 998 → বিবৃতি। সঠিক।
Ans: Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি ।। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর-সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): f(x + y) = f(x) + f(y) হলে f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক।
বিবৃতি-II(R): যে-কোনো অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম অপেক্ষক হবে।

Solution: f(x + y) = f(x) + f(y) ………(i)
(i) নং -এ x = y = 0 বসিয়ে পাই,,
f(0 + 0) = f(0) + f(0)
বা, f(0) = 2f(0)
বা, f(0) = 0
(i) নং -এ y-এর পরিবর্তে -x বসিয়ে পাই,
f(x – x) = f(x) + f(-x)
বা, f(0) = f(x) + f(-x)
বা, 0 = f(x) + f(-x)
∴ f(x) = -f(-x)
∴ অপেক্ষকটি অযুগ্ম অপেক্ষক।
কারণ প্রত্যেকটি অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম হবে আবার নাও হতে পারে।
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

7. Case Based

\(Solution:\\y = f(x) = \frac{ax – b}{bx – a}\\ ∴ f(x)f\left( \frac{1}{x} \right)\\=\frac{ax – b}{bx – a}×\frac{a.\frac{1}{x} – b}{b.\frac{1}{x} – a}\\=\frac{ax – b}{bx – a}×\frac{x – bx}{b – ax}\\=\frac{ax – b}{bx – a}×\frac{bx – a}{ax – b}=1\\Ans:\ Ⓓ\ 1 \)

\(Solution:\\y=f(x)=\frac{ax-b}{bx-a}\\∴ f(y)= f\left( \frac{ax – b}{bx – a} \right)\\=\frac{a.\frac{ax – b}{bx – a}-b}{b.\frac{ax – b}{bx – a}-a}\\=\frac{a(ax – b)– b.(bx – a)}{b.(ax – b)– a.(bx – a)}\\=\frac{a^2x– ab – b^2x + ab}{abx – b^2 – abx + a^2}\\=\frac{a^2 x – b^2x}{a^2- b^2}\\=\frac{x(a^2 – b^2)}{a^2- b^2}= x\\Ans:\ Ⓒ\ x \)

2. সব বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্য f ও g অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে \(f(x) = \sqrt{x+1}\) ও \(f(x) =\sqrt{x-1}\) দ্বারা সংজ্ঞাত

\(Solution:\ f(x) = \sqrt{x+1};\quad g(x) = \sqrt{x-1}\\∴ \frac{f}{g}(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x – 1}}\\⇒ \frac{f}{g}(1) = \frac{\sqrt{1 + 1}}{\sqrt{1 – 1}}\\= \frac{\sqrt{2}}{0}= ∞ \)

Ans: Ⓓ অস্তিত্ব নেই

\(Solution:\ f(x) = \sqrt{x+1};\quad g(x) = \sqrt{x-1}\\∴ \frac{g}{f}(x) = \frac{\sqrt{x – 1}}{\sqrt{x + 1}}\\⇒ \frac{g}{f}(1) = \frac{\sqrt{1 – 1}}{\sqrt{1 + 1}}\\= \frac {0}{\sqrt{2}}= 0 \)

Ans: Ⓒ 0

[iii] ^f/_g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল-

\(Solution:\ f(x) = \sqrt{x+1};\quad g(x) = \sqrt{x-1}\\∴ \frac{f}{g}(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x – 1}}\)

^f/_g(x) সংজ্ঞাত হবে যদি
x + 1 ≥ 0 এবং x – 1 > 0 হয়।
⇒ x ≥ -1 এবং x > 1 হয়।
∴ ^f/_g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল (1, ∞)]
Ans: Ⓑ (1, ∞)

\(Solution:\ f(x) = \sqrt{x+1};\quad g(x) = \sqrt{x-1}\\∴ \frac{g}{f}(x) = \frac{\sqrt{x – 1}}{\sqrt{x + 1}}\)

^g/_f(x) সংজ্ঞাত হবে যদি
x – 1 ≥ 0 এবং x + 1 > 0 হয়।
⇒ x ≥ 1 এবং x > -1 হয়।
∴ ^g/_f -এর সংজ্ঞার অঞ্চল [1, ∞)
Ans: Ⓒ [1, ∞)

3. f(x) অপেক্ষক {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1} ক্ষেত্রে সংজ্ঞাত।

[i] f(2x – 1) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র-
Ⓐ [0, 1] Ⓑ (0, 1] Ⓒ [¹/₂, 1] Ⓓ (¹/₂, 1)
Solution: {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1}
∴ 2x – 1 ≥ 0
বা, 2x ≥ 1
বা, x ≥ ¹/₂
এবং 2x – 1 ≤ 1
বা, 2x ≤ 2
বা, x ≤ 1
∴ f(2x – 1) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র [¹/₂, 1]]
Ans: Ⓒ [¹/₂, 1]

[ii] f(x²) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র-
Ⓐ [0, 1] Ⓑ [-1, 1] Ⓒ (-1, 1] Ⓓ (0, 1)
Solution: {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1}
∴ x² ≥ 0
বা, x ≥ 0
এবং x² ≤ 1
বা, x ≤ ±1
∴ f(x²) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র [-1, 1]
Ans: Ⓑ [-1, 1]

Function or Mapping

October 4, 2025

Category: SEMESTER-1

SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস

SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY SEMESTER 1 বিন্যাস

1. n ও m(<n) দুটি অখণ্ড সংখ্যা হলে, n(n – 1)(n – 2) …….. (n – m) =Ⓐ n!/(m + n)!Ⓑ n!/(m – n)!Ⓒ m!/(m – n – 1)!Ⓓ n!/(n – m – 1)!

7. nPr = x . n – 1Pr – 1 হলে, নীচের কোনটি x-এর মান হবে?Ⓐ n Ⓑ n(n – 1)Ⓒ n – r/n Ⓓ n/n – r

13. 1! + 2! + 3! + …. + 25! -কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে —Ⓐ 4 Ⓑ 5Ⓒ 8 Ⓓ 9

15. 9Pr = 3024 হলে r-এর মান হবে —Ⓐ 6 Ⓑ 4Ⓒ 5 Ⓓ 3

21. nPr -এর মান নীচের কোনটির সাথে সমান হবে? Ⓐ n – 1Pr + r × n – 1Pr – 1Ⓑ n × n – 1Pr + n – 1Pr – 1Ⓒ n(n – 1Pr + n – 1Pr – 1)Ⓓ n × n – 1Pr – 1 + n – 1Pr

26. একটি গ্রাম থেকে শহরে যাওয়ার 5টি রাস্তা আছে। কতরকমভাবে একজন গ্রামবাসী শহরে যেতে এবং ফিরে আসতে পারে? Ⓐ 25 Ⓑ 20 Ⓒ 10 Ⓓ 5

31. DRAUGHT শব্দটির অক্ষরসমূহ কত বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়, যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একত্রে থাকে? Ⓐ 2880 Ⓑ 1440 Ⓒ 1540 Ⓓ 1560

C;ASS 11 SEMESTER 1 SOLUTION OF PERMUTATION S N DEY বিন্যাস

5. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে পরপর 5 বার টস্ করা হলে ____________ টি বিভিন্ন ফল সম্ভব। Ⓐ 16 Ⓑ 32 Ⓒ 64 Ⓓ 8

6. 3 জন বালককে একত্রে রেখে, 3 জন বালক এবং 5 জন বালিকাকে ____________ রকমভাবে এক সারিতে সাজানো যায়। Ⓐ 720 Ⓑ 1440 Ⓒ 4320 Ⓓ 1080

2. A স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

3. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

4. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Relationship between Statements ______________

1. বিবৃতি-I(A): 2nPn = {1 . 3 . 5… (2n – 1)}.2n বিবৃতি-II(R): nPr = n(n – 1)(n – 2)…. (n – r + 1)

1. মনে করো n + rP2 = 110, n – rP2 = 20 |[i] n -এর মান হবে —Ⓐ 3 Ⓑ 8Ⓒ 5 Ⓓ 9

[ii] কতগুলি L দ্বারা শুরু হয়?Ⓐ 35280 Ⓑ 40320Ⓒ 35320 Ⓓ 50320

6. CONTACT শব্দটির অক্ষরগুলি নিয়ে বিভিন্ন প্রকারে সাজাতে হবে।

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTIONSEMESTER-ICHAPTER 2সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক (Relation and Function)চল ও ধ্রুবকVARIABLE AND CONSTANT

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)Conventional Type

VARIABLE AND CONSTANT

SN DEY SEMESTER-I

চল ও ধ্রুবক

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

সেমেস্টার -1

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

Relation and Function

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

Relation and Function

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

S.N.Dey (MCQ)

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I

Analytical/Skill Based Type

Fill in the Blanks

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

VARIABLE AND CONSTANT

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

14. p(x) = a/x + b + cx এবং p(1) = 5, p(- 2) = 2, p(- 1) = – 3 হলে, p(-3) = _________________ Ⓐ 6 Ⓑ 7 Ⓒ 4 Ⓓ 5

3. Column Matching

1. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

2. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

3. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার অঞ্চল দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

4. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

5. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

4. Rearrangement of Sentences/Events

5. Relationship between Statements

1. বিবৃতি-A: f(x) = x2 – 3x + 2/x2 + x – 6 অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}বিবৃতি-B: f(x) = x2 – 3x + 2/x2 + x – 6 অপেক্ষকের পাল্লা R।

6. Assertion-Reasoning

2. বিবৃতি-I(A): f(x + y) = f(x) + f(y) হলে f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক। বিবৃতি-II(R): যে-কোনো অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম অপেক্ষক হবে।

7. Case Based

1. মনে করো, y = f(x) = ax – b/bx – a [i] f(x)f(1/x) = Ⓐ a Ⓑ b Ⓒ 1/2 Ⓓ 1

[i] f/g(1) এর মান- Ⓐ 1 Ⓑ 0 Ⓒ 2 Ⓓ অস্তিত্ব নেই

[iii] f/g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল-

3. f(x) অপেক্ষক {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1} ক্ষেত্রে সংজ্ঞাত।

1. n ও m(<n) দুটি অখণ্ড সংখ্যা হলে, n(n – 1)(n – 2) …….. (n – m) =
Ⓐ ^n!/_{(m + n)!}
Ⓑ ^n!/_{(m – n)!}
Ⓒ ^m!/_{(m – n – 1)!}
Ⓓ ^n!/_{(n – m – 1)!}

7. ⁿP_r = x . ^{n – 1}P_{r – 1} হলে, নীচের কোনটি x-এর মান হবে?
Ⓐ n Ⓑ n(n – 1)
Ⓒ ^{n – r}/_n Ⓓ ⁿ/_{n – r}

13. 1! + 2! + 3! + …. + 25! -কে 13 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে —
Ⓐ 4 Ⓑ 5
Ⓒ 8 Ⓓ 9

15. ⁹P_r = 3024 হলে r-এর মান হবে —
Ⓐ 6 Ⓑ 4
Ⓒ 5 Ⓓ 3

21. ⁿP_r -এর মান নীচের কোনটির সাথে সমান হবে?
Ⓐ ^{n – 1}P_r + r × ^{n – 1}P_r _– ₁
Ⓑ n × ^{n – 1}P_r + ^{n – 1}P_{r – 1}
Ⓒ n(^{n – 1}P_r + ^{n – 1}P_{r – 1})
Ⓓ n × ^{n – 1}P_{r – 1}+ ^{n – 1}P_r

26. একটি গ্রাম থেকে শহরে যাওয়ার 5টি রাস্তা আছে। কতরকমভাবে একজন গ্রামবাসী শহরে যেতে এবং ফিরে আসতে পারে?
Ⓐ 25 Ⓑ 20
Ⓒ 10 Ⓓ 5

31. DRAUGHT শব্দটির অক্ষরসমূহ কত বিভিন্ন উপায়ে বিন্যস্ত করা যায়, যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একত্রে থাকে?
Ⓐ 2880 Ⓑ 1440
Ⓒ 1540 Ⓓ 1560

5. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রাকে পরপর 5 বার টস্ করা হলে ____________ টি বিভিন্ন ফল সম্ভব।
Ⓐ 16 Ⓑ 32
Ⓒ 64 Ⓓ 8

6. 3 জন বালককে একত্রে রেখে, 3 জন বালক এবং 5 জন বালিকাকে ____________ রকমভাবে এক সারিতে সাজানো যায়।
Ⓐ 720 Ⓑ 1440
Ⓒ 4320 Ⓓ 1080

1. বিবৃতি-I(A): ²ⁿP_n = {1 . 3 . 5… (2n – 1)}.2ⁿ
বিবৃতি-II(R): ⁿP_r = n(n – 1)(n – 2)…. (n – r + 1)

1. মনে করো ^{n + r}P₂ = 110, ^{n – r}P₂ = 20 |
[i] n -এর মান হবে —
Ⓐ 3 Ⓑ 8
Ⓒ 5 Ⓓ 9

[ii] কতগুলি L দ্বারা শুরু হয়?
Ⓐ 35280 Ⓑ 40320
Ⓒ 35320 Ⓓ 50320

N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTION
SEMESTER-I
CHAPTER 2
সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক (Relation and Function)
চল ও ধ্রুবক
VARIABLE AND CONSTANT

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

14. p(x) = ^a/_x + b + cx এবং p(1) = 5, p(- 2) = 2, p(- 1) = – 3 হলে, p(-3) = _________________
Ⓐ 6 Ⓑ 7 Ⓒ 4 Ⓓ 5

1. বিবৃতি-A: f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}
বিবৃতি-B: f(x) = ^{x² – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের পাল্লা R।

2. বিবৃতি-I(A): f(x + y) = f(x) + f(y) হলে f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক।
বিবৃতি-II(R): যে-কোনো অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম অপেক্ষক হবে।

1. মনে করো, y = f(x) =^{ax – b}/_{bx – a}
[i] f(x)f(¹/_x) =
Ⓐ a Ⓑ b Ⓒ ¹/₂ Ⓓ 1

[i] ^f/_g(1) এর মান-
Ⓐ 1 Ⓑ 0 Ⓒ 2 Ⓓ অস্তিত্ব নেই

[iii] ^f/_g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল-