1. নীচে সংজ্ঞাত অনুক্রমগুলির প্রত্যেকটির প্রথম 5টি পদ নির্ণয় করো। (i) un = n/n + 1 (ii) un = (- 1)n. n/3n + 1 (iii) un = 2n2 – 3n প্রতিক্ষেত্রে পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিগুলিও নির্ণয় করো।
(i)Ans: un = n/n + 1 n = 1, 2, 3, 4, 5 বসিয়ে পাই, u1 = 1/1 + 1 = 1/2 u2 = 2/2 + 1 = 2/3 u3 = 3/3 + 1 = 3/4 u4 = 4/4 + 1 = 4/5 u5= 5/5 + 1 = 5/6 প্রথম 5টি পদ হল 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিটি হল – 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + 5/6
5. un অনুক্রমের n-তম পদ un নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত: un = {n/n+1, যখন n-এর মান বিজোড় {n/n+1, যখন n-এর মান জোড় অনুক্রমটির 25-তম এবং 50-তম পদ দুটি নির্ণয় করো।
Ans: অনুক্রমটির 25-তম পদ = u25 = 25/25 + 1 = 25/26 এবং 50-তম পদ = u50 = 50 + 1/50 + 2 = 51/52 অনুক্রমটির 25-তম এবং 50-তম পদ দুটি হল যথাক্রমে 25/26 এবং 51/52
6. নিম্নে সংজ্ঞাত অনুক্রমের প্রথম 5 টি পদ নির্ণয় করো: a1 = – 2 , a2 = 2 এবং an = n/n – 2 . an – 1 , n > 2
8. u1 = 4 এবং un =3un – 1 +2, n ≥ 2 দ্বারা সংজ্ঞাত অনুক্রমের প্রথম 5টি পদ নির্ণয় করো। পদগুলির দ্বারা গঠিত অনুক্রমের 5 টি পদ সমন্বিত শ্রেণিটিও নির্ণয় করো।
12. একটি শ্রেণির প্রথম r-সংখ্যক পদের সমষ্টি হয় a . r2 + br শ্রেণিটির প্রথম পদ এবং 12-তম পদ নির্ণয় করো।
Ans: Sr = a . r2 + br ∵ tr = Sr – Sr – 1 = a . r2 + br – [a . (r – 1)2 + b(r – 1)] = a . r2 + br – (ar2 – 2ar + a + br – b) == ar2 + br – ar2 + 2ar – a – br + b = 2ar – a + b ∴প্রথম পদ t1 = 2a.1 – a + b = a + b এবং 12-তম পদ t12 = 2a.12 – a + b = 24a – a + b = 23a + b প্রথম পদ এবং 12-তম পদ যথাক্রমে a + b এবং 23a + b
13. ur অনুক্রমের ক্ষেত্রে, যদি u1 = 2 এবং ur + 1 = ur + r + 2 হয়, [সব স্বাভাবিক সংখ্যা r-এর জন্য], তবে অনুক্রমটির দশম পদ নির্ণয় করো।
11(i). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 1 + 3 + 5 + . . . . . + (2n – 1) = n2
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 1 + 3 + 5 + . . . . .. + (2n – 1) = n2 n = 1 হলে, P(1): 1 = 12 = 1 অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 1 + 3 + 5 + . . . . .. + (2m – 1) = m2 ∴ P(m + 1) = 1 + 3 + 5 + . . . . .. + (2n – 1) + { 2(m + 1) – 1} = m2+ (2m + 1) == m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(ii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = n/2[2a + (n – 1)d]
Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = n/2[2a + (n – 1)d] a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ = a + (n – 1)d ∴ P(n): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . + [a + (n – 1)d] = n/2[2a + (n – 1)d] n = 1 হলে, P(1): a = 1/2[2a + (1 – 1)d] ⇒ a = 1/2[2a] = a অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . + [a + (m – 1)d] = m/2[2a + (m – 1)d] ∴ P(m + 1) = a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . [a + (m – 1)d] + [a + (m + 1 – 1)d] = m/2[2a + (m – 1)d] + [a + md] = ma + m/2(m – 1)d + a + md == ma + a + m/2(m – 1)d + md = (m + 1)a + md[m – 1/2 + 1] = (m + 1)a + md . m + 1/2 = m + 1/2(2a + md) = m + 1/2[2a + (m + 1 – 1)d] ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(iii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
\(sin x + sin 2x + sin 3x+ . . . . . + sin nx = \frac{sin\frac{n+1}{2}x . sin \frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}\)
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
\(P(n): sin x + sin 2x + sin 3x+ . . . . . + sin nx = \frac{sin\frac{n+1}{2}x . sin \frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}\)
n = 1 হলে,
\(P(1): sin x = \frac{sin\frac{1+1}{2}x . sin \frac{1.x}{2}}{sin\frac{x}{2}}\\⇒sin x=sin x\)
অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
\(∴ P(m): sin x + sin 2x + sin 3x+ . . . . . + sin mx = \frac{sin\frac{m+1}{2}x . sin \frac{mx}{2}}{sin\frac{x}{2}}\)
\(∴ P(m+1):\\sin x + sin 2x + sin 3x+ . . . . . + sin m + sin (m+1)x \\= \frac{sin\frac{m+1}{2}x . sin \frac{mx}{2}}{sin\frac{x}{2}}+ sin (m+1)x\\=\frac{sin\frac{m+1}{2}x . sin \frac{mx}{2}}{sin\frac{x}{2}}+ sin 2\frac{m+1}{2}x\\=\\=\frac{sin\frac{m+1}{2}x . sin \frac{mx}{2}}{sin\frac{x}{2}}+ 2sin \frac{m+1}{2}x.cos\frac{m+1}{2}x\\=sin \frac{m+1}{2}x\left[ \frac{sin \frac{mx}{2}}{sin \frac{m}{2}}+2cos\frac{m+1}{2}x \right]\\=sin \frac{m+1}{2}x.\frac{sin\frac{mx}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{m+1}{2}x}{sin\frac{x}{2}}\\=sin \frac{m+1}{2}x.\frac{sin\frac{mx}{2}+sin\frac{m+2}{2}x-sin\frac{m}{2}x}{sin\frac{x}{2}}\\=sin \frac{m+1}{2}x.\frac{sin\frac{m+2}{2}x}{sin\frac{x}{2}}\\=\frac{sin\frac{(m+1)+1}{2}x.sin \frac{m+1}{2}x}{sin\frac{x}{2}}\)
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(iv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
\(sin x + sin 3x+ . . . . . + sin(2n – 1) x = \frac{sin^2 nx}{sin x}
\)
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
\(P(n): sin x + sin 3x+ . . . . . + sin(2n – 1) x = \frac{sin^2 nx}{sin x}
\)
n = 1 হলে, P(1): sin x , sin21.x/sin x ⇒ sin x = sin x অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
\(∴ P(m): sin x + sin 3x+ . . . . . + sin(2m – 1) x = \frac{sin^2 mx}{sin x} \\∴ P(m+1) \\=sin x + sin 3x+ . . . . . + sin(2m – 1) x + sin[2(m+1) – 1] x \\=\frac{sin^2 mx}{sin x}+sin(2m+1)x\\=\frac{sin^2 mx+sin(2m+1)x.sinx}{sinx}\\=\frac{sin^2 mx+\frac{2.sin(2m+1)x.sinx}{2}}{sin x}\\=\frac{sin^2 mx+\frac{cos 2mx-cos 2(m+1)x}{2}}{sin x}\\=\frac{2sin^2 mx+ cos 2mx-cos 2(m+1)x}{2sin x}\\=\frac{1-cos 2mx+ cos 2mx-cos 2(m+1)x}{2sin x}\\=\frac{1-cos 2(m+1)x}{2sin x}\\=\frac{2sin^2(m+1)x}{2sin x}\\=\frac{sin^2(m+1)x}{sin x}
\)
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(v). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ (i = √-1)
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ n = 1 হলে, P(1): (cos θ + i sin θ)1 , cos 1.θ + i sin 1.θ ⇒ (cos θ + i sin θ) = cos θ + i sin θ অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): (cos θ + i sin θ)m = cos mθ + i sin mθ ∴ P(m + 1) = (cos θ + i sin θ)m + 1 = (cos θ + i sin θ)m .(cos θ + i sin θ) = (cos mθ + i sin mθ).(cos θ + i sin θ) = cos mθ.cos θ + i cos mθ.sin θ + i sin mθ.cos mθ + i2 sin mθ.sin θ = cos mθ.cos θ – sin mθ.sin θ+ i(cos mθ.sin θ + sin mθ.cos mθ) . . . [∵ i2 = -1] = cos (mθ + θ) – i sin (mθ + θ) = cos (m + 1)θ – i sin (m + 1)θ ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(vi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . + 1/2n = 1 – 1/2n
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . + 1/2n = 1 – 1/2n n = 1 হলে, P(1): 1/2 , 1 – 1/2 ⇒ 1/2 = 1/2 অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . + 1/2m = 1 – 1/2m ∴ P(m + 1) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . . . + 1/2m + 1/2m + 1 = 1 – 1/2m + 1/2m .2 ⇒ 1 – 1/2m(1 – 1/2) = 1 – 1/2m.1/2) = 1 – 1/2m + 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(vii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: a + ar + ar2 + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = a (rn – 1/r – 1) [ r ≠ 1]
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): a + ar + ar2 + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = a (rn – 1/r – 1) [ r ≠ 1] a + ar + ar2 + . . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ = a rn–1 ∴ P(n): a + ar + ar2 + . . . . . + a rn–1 = a (rn – 1/r – 1) [ r ≠ 1] n = 1 হলে, P(1): a , a (r1 – 1/1 – 1) ⇒ a = a অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): a + ar + ar2 + . . . . . + a rm–1 = a (rm – 1/r – 1) ∴ P(m + 1) = a + ar + ar2 + . . . . . + a rm–1 + a rm + 1 – 1 = a (rm – 1/r – 1) + a rm ⇒ 1/r – 1 [arm – a + a rm(r – 1)] ⇒ 1/r – 1 (arm – a + a rm.r – a rm) = 1/r – 1 (a rm + 1 – a) = a .rm + 1 – 1/r – 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(viii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 12 + 32 + 52 + . . . . . + (2n – 1)2 = n/3(4n2 – 1)
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n! = (n + 1)! – 1
Ans:ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n! = (n + 1)! – 1 n = 1 হলে, P(1): 1.1!, (1 + 1)! – 1 ⇒ 1, 2! – 1 ⇒ 1 =1 অর্থাৎ P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + m.m! = (m + 1)! – 1 যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + m.m! + (m + 1)(m + 1)! = (m + 1)! – 1 + (m + 1)(m + 1)! = (m + 1)! + (m + 1)(m + 1)! – 1 == (m + 1)! (m + 1 + 1) – 1 = (m + 2)(m + 1)! – 1 = (m + 2)! – 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xvi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 23n – 1 সর্বদা 7 দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 23n – 1 সর্বদা 7 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 23.1 – 1 = 8 – 1 = 7 -যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 23m – 1 = 7k যেখানে k ∈ N ∴ P(m+1) = 23(m + 1) – 1 = 23m .23 – 1 = 8(7k + 1) – 1 == 56k + 8 – 1 = 56k + 7 = 7(8k + 1) → যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xvii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 4n + 15n – 1 সর্বদা 9 -এর গুণিতক।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 4n + 15n – 1 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 41 + 15.1 – 1 = 4 + 15 – 1 = 18 – যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 4m + 15m – 1 = 9k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 4m + 1 + 15(m + 1) – 1 = 4m .41 + 15(m + 1) – 1 = 4(9k – 15m + 1) + 15(m + 1) – 1 == 36k – 60m + 4 + 15m + 15 – 1 = 36k – 45m + 18 = 9(4k – 5m + 2) → যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xviii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 2.7n + 3.5n – 5 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2.7n + 3.5n – 5 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 2.71 + 3.51 – 5 = 14 + 15 – 5 = 24 যা 24 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 2.7n + 3.5n – 5 = 24k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 2.7m + 1 + 3.5m + 1 – 5 = 2.7m.7 + 3.5m.3 – 5 = 14.7m + 15.5m + 1 – 5 == (2.7m + 3.5m – 5) + (12.7m + 12.5m) = 24k + 12(7m + 5m) = 24k + 12.2p . . . [∵ 7m ও 5m অযুগ্ম সংখ্যা, ∴ 7m + 5m একটি যুগ্ম সংখ্যা হবে। ধরি (7m + 5m ) = 2p] = 24(k + p)→ যা 24 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xix). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 152n – 1 + 1 সর্বদা 16 দ্বারা বিভাজ্য
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 152n – 1 + 1 সর্বদা 16 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 152.1 – 1 + 1 = 15 + 1 = 16 -যা 16 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): = 152m – 1 + 1 = 16k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 152(m + 1) – 1 + 1 = 152m + 1 + 1 = 152m – 1 + 2 + 1 ==152m – 1.152 + 1 = 225(16k -1) + 1 = 225.16k – 225 + 1 == 225.16k – 224 = 26(225k – 14) → যা 16 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
11(xx). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো: 12n + 25n – 1 সর্বদা 13 দ্বারা বিভাজ্য
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 12n + 25n – 1 সর্বদা 13 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 121 + 251 – 1 = 12 + 1 = 13 -যা 13 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 12m + 25m – 1 = 13k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 12m + 1 + 25m + 1 – 1 = 12.12m + 25m – 1 + 1 = 12.12m + 25 25m – 1 == 12(12m + 25m) + 13.25m – 1 = 12.13k + 13.25m – 1 = 13.(12k + 25m – 1 ) → যা 13 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
12. স্বাভাবিক সংখ্যা -এর মানসমূহ নির্ণয় করো যাতে 2n > 2n + 1 অসমতা সিদ্ধ হয়।
Ans: n = 1 হলে, 21, 2.1 + 1 ⇒ 2 > 3 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয় না। n = 2 হলে, 22, 2.2 + 1 ⇒ 4 > 5 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয় না। আবার n = 3 হলে, 23, 2.3 + 1 ⇒ 8 > 7 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয়। ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2n > 2n + 1 (n ≥ 3) এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 2m > 2m + 1 (m ≥ 3) 2m + 1 = 2.2m > 2(2m + 1) ⇒ 2m + 1 > 4m + 1 ⇒ 2m + 1 > 2m + 2m + 1 ⇒⇒ 2m + 1 > 2m + 2 + 1. . . [∵ m ≥ 3, ∴ 2m > 2] ⇒ 2m + 1 > 2(m + 1) + 1 ∴ P(m + 1) = 2m + 1 > 2(m + 1) + 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 3 এবং n ∈ N
13(i). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 52n + 2 – 24n – 25 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 52n + 2 – 24n – 25 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 52.1 + 2 – 24.1 – 25 = 54 – 24 – 25 = 625 – 49 = 576 -যা 576 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 52m + 2 – 24m – 25 = 576k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 52(m + 1) + 2 – 24(m + 1) – 25 = 52m + 4 – 24m – 24 – 25 = 52m + 2.52 – 24m – 49 == 25.52m + 2 – 24m – 49 = 25.(576k + 24m + 25) – 24m – 49 = 25.576k + 600m + 625 – 24m – 49 == 25.576k + 576m + 576 = 576(25k + m + 1) → যা 576 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(ii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 10n + 3.4n + 2 + 5 (n ≥ 0) সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 10n + 3.4n + 2 + 5 (n ≥ 0 এবং n ∈ N) সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 100 + 3.40 + 2 + 5 = 1 + 3.4 2 + 5 = 6 + 3.16 = 6 + 48 = 54 যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 10m+ 3.4m + 2 + 5 = 9k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 10m + 1 + 3.4(m + 1) + 2 + 5 = 10m.101 + 3.4m + 2.41 + 5 = 10.10m + 12.4m + 2 + 5 == 10m + 3.4m + 2 + 5 + 9.10m + 9.4m + 2 = 9k + 9(10m + 4^m + 2) = 9(k + 10m + 4m + 2) → যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(iii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 34n + 1 + 22n + 2 (n ≥ 0) সর্বদা 7-এর গুণিতক।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 34n + 1 + 22n + 2 (n ≥ 0) সর্বদা 7-এর গুণিতক। n = 1 হলে, P(0): 34.0 + 1 + 22.0 + 2 = 31 + 22 = 3 + 4 = 7 -যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(0) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 34m + 1 + 22m + 2 = 7k যেখানে k ∈ N ∴ P(m+1) = 34(m + 1) + 1 + 22(m + 1) + 2 = 34m + 5 + 22m + 4 = 81.34m + 1 + 4.22m + 2 == 81(7k – 22m + 2) + 4.22m + 2 == 81.7k – 81.22m + 2 + 4.22m + 2 = 81.7k – 77.22m + 2 = 7(81k – 11.2^2m + 2) → যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(0) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 0 এবং n ∈ N
13(iv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 32n + 2 – 8n – 9 সর্বদা 64 দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 32n + 2 – 8n – 9 সর্বদা 64 দ্বারা বিভাজ্য। n = 1 হলে, P(1): 32.1 + 2 – 8.1 – 9 = 34 – 8 – 9 = 81 – 17 = 64 যা 64 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 32m + 2 – 8m – 9 = 64k যেখানে k ∈ N ∴ P(m+1) = 3[2(m + 1) + 2] – 8(m + 1) – 9 = 32m + 2.32 – 8m – 8 – 9 = 9(64k + 8m + 9) – 8m – 17 == 9.64k + 72m + 81 – 8m – 17 = 9.64k + 64m + 64 = 64(9k + m + 1) → যা 64 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(v)(a). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: n < 2n
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): n < 2n n = 1 হলে, P(1): 1 < 21 অর্থাৎ P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): m < 2m ∵ m < 2m ⇒ 1 + m < 1 + 2m ⇒ 1 + m < 2m + 2m. . . [∵ 2m > 1] ⇒ 1 + m < 2.2m ⇒ 1 + m < 2m + 1 ∴ P(m + 1): 1 + m < 2m + 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(v)(b). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 3n > n3 (n ≥ 4)
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 3n > n3 যখন n ≥ 4) n = 4 হলে, P(1): 34 , 43 ⇒ 81 > 64 অর্থাৎ P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 3m > m3 (m ≥ 4) ∵ 3m > 3m2 এবং 3m > 3m + 1 আবার 3m > m3 ∴ 3m + 3m + 3m > m3 + 3m2 + 3m + 13 ⇒ 3.3m > (m + 1)3 ⇒ 3m + 1 > (m + 1)3 ∴ P(m + 1): 3m + 1 > (m + 1)3 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(v)(c). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 2n <n! (n ≥ 4)
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2n < n! (n ≥ 4) এখন n = 4 হলে, P(4): 24, 4! ⇒ 16 < 24 অর্থাৎ P(4) সত্য। এখন, ধরি n = m (m ≥ 4) হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 2m < m! (m ≥ 4) ∵ 2m < m! ∴ 2.2m < 2.m! ⇒ 2m + 1 < (m + 1).m! . . . [∵ m ≥ 4, ∴ (m + 1) > 2] ⇒ 2m + 1 < (m + 1)! ∴ P(m + 1): 2m + 1 < (m + 1)! ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(v)(d). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:3n > 2n
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 3n > 2n n = 1 হলে, P(1): 31, 21 ⇒ 3 > 2 অর্থাৎ P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 3m > 2m ∵ 3m > 2m ∴ 3.3m > 3.2m ⇒ 3.3m > 2.2m ⇒ 3m + 1 > 2m + 1 ∴ P(m + 1): 3m + 1 > 2m + 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(vi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 1 + 2 + 3+ . . . + n < 1/8.(2n + 1)2
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 1 + 2 + 3+ . . . + n < 1/8.(2n + 1)2 n = 1 হলে, P(1): 1, 1/8.(2.1 + 1)2 ⇒ 1, 1/8.32 ⇒ 1 < 9/8 অর্থাৎ, P(1) সত্য।
∴ P(m + 1): 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < 1/8.(2(m + 1) + 1]2 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(vii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 12 + 22 + 32 + . . . + n2 > n3/3
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 12 + 22 + 32 + . . . + n2 > n3/3 n = 1 হলে, P(1): 12 = 1 , 13/3 ⇒ 1 > 1/3 অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 12 + 22 + 32 + . . . + m2 > m 3/3 ∴ P(m + 1) ∵ 12 + 22 + 32 + . . . + m2 > m 3/3 ∴ 12 + 22 + 32 + . . . + m2 + (m + 1)2 > m 3/3 + (m + 1)2 ⇒ P(m + 1) > m 3/3 + m2 + 2m + 1 ⇒ P(m + 1) > m 3 + 3m2 + 6m + 3/3 বা, P(m + 1) > m 3 + 3m2.1 + 3.m.12 + 13 + 3m2+ 2/3 বা, P(m + 1) > (m + 1) 3 + 3m12 + 2/3 ⇒ P(m + 1) > (m + 1) 3/3 + 3m2 + 2/3 ⇒ P(m + 1) > (m + 1) 3/3 . . . [∵ m ∈ N, ∴ 3m2 + 2/3 > 0] ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(viii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 1/5 n5 + 1/3 n3 + 1/15.7n একটি অখণ্ড সংখ্যা
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 1/5 n5 + 1/3 n3 + 1/15.7n একটি অখণ্ড সংখ্যা। n = 1 হলে, P(1): 1/5 + 1/3 + 1/15.7 = 3 + 5+ 7/15 = 1 -একটি অখণ্ড সংখ্যা। অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 1/5 m5 + 1/3 m3 + 1/15.7m = k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 1/5 (m + 1)5 + 1/3 (m + 1)3 + 1/15.7(m + 1) = [1/5 m5 + 1/3 m3 + 1/15.7m] + 1/5[5C1.m4 + 5C2.m3 + 5C3.m2 + 5C4.m] + 1/3[3C1.m2 + 3C2.m] + [ 1/5 + 1/3 + 7/15] = k + অখণ্ড সংখ্যা + অখণ্ড সংখ্যা + 1 = অখণ্ড সংখ্যা ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13(ix). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: n11/11 + n5/5 + n3/3 + 62n/165 একটি পূর্ণসংখ্যা
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): n11/11 + n5/5 + n3/3 + 62n/165 একটি পূর্ণসংখ্যা n = 1 হলে, P(1): 1/11 + 1/5 + 1/3 + 62/165 = 15 + 33 + 55 + 62/165 = 165/165 = 1 – একটি পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): m11/11 + m5/5 + m3/3 + 62m/165 = k যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = (m + 1)11/11 + (m + 1)5/5 + (m + 1)3/3 + 62(m + 1)/165 = [m11/11 + m5/5 + m3/3 + 62m/165] + 1/11 [11C1.m10 + 11C2.m9 + . . . + 11C10.m] + 1/5[5C1.m4 + 5C2.m3 + . . . + 5C4.m] + 1/3[3C1.m2 + 3C2.m] + [ 1/11 + 1/5 + 1/3 + 62/165] = k + পূর্ণসংখ্যা + পূর্ণসংখ্যা + পূর্ণসংখ্যা + 1 = পূর্ণসংখ্যা ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
13 (x). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + . . . + 2.(n – 1) + 1.n = 1/6n(n + 1)(n + 2)
13(xiv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: nC0 + nC1 + nC2 + . . . + nCn = 2n
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): nC0 + nC1 + nC2 + . . . + nCn = 2n n = 1 হলে, P(1): 1C0 + 1C1 = 1 + 1 = 2 = 21 অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): mC0 + mC1 + mC2 + . . . + mCm = 2m ∴ P(m + 1) = m + 1C0 + m + 1C1 + m + 1C2 + . . . + m + 1Cm + 1 = m + 1C0 + m + 1C1.11 + m + 1C2.12 + . . . + m + 1Cm + 1.1m + 1 == (1 + 1)m + 1 . . . [∵ nC0 + nC1.x1 + nC2.x2 + . . . . + nCn.xn = (1 + x)n] = 2m +1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
14. x ও y দুটি বাস্তব সংখ্যা হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে দেখাও যে, (xn – yn) সর্বদা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য, যখন n ∈ N
Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): (xn – yn) সর্বদা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য, যখন n ∈ N n = 1 হলে, P(1): (x1 – y1) = x – y -যা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): (xm – ym) = r(x – y) যেখানে r ∈ N বা, xm = r(x – y) + ym ∴ P(m + 1) = xm + 1 – ym + 1 = x.xm – y.ym = x.[r(x – y) + ym] – y.ym = x.r(x – y) + x.ym – y.ym = x.r(x – y) + ym(x – y) = (x – y)(xr + ym) -এই রাশিমালাটি (x – y) দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
15. n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমান করো যে, (an + bn) সর্বদা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ধরি, n = 2k – 1 যেখানে k ∈ N ∴ (an + bn) = (a2k – 1 + b2k – 1) সর্বদা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(k) দ্বারা সূচিত হয়। k = 1 হলে, P(1): a2.1 – 1 + b2.1 – 1 = a + b যা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি k = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয় যেখানে m ∈ N ∴ P(m) = a2m – 1 + b2m – 1 = r(a + b) ∴ P(m + 1) = a2(m + 1) – 1 + b2(m + 1) – 1 = a2m + 1 + b2m + 1 == a2m – 1 + 2 + b2m – 1 + 2 = a2.a2m – 1 + b2.b2m – 1 = a2[r(a + b) – b2m – 1] + b2.b2m – 1 = a2.r(a + b) – a^2.b2m – 1 + b2.b2m – 1 = a2.r(a + b) – b2m – 1[a2 – b2] = a2.r(a + b) – b2m – 1.(a + b)(a – b) = (a + b)[a2.r – (a – b)b2m – 1] – রাশিমালাটি (a + b) দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(k) সত্য যখন n ∈ N
16. যদি n ∈ N হয় এবং (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.n + 1) = n2 + 2n + 5 বিবৃতি n = m এ সত্য হয়, তবে প্রমাণ করো যে, বিবৃতিটি n = (m + 1) -ও সত্য। n ∈ N সকল মানে বিবৃতিটি সত্য বলা যায় কি?
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.n + 1) = n2 + 2n + 5 যেখানে n ∈ N বিবৃতিটি n = m এ সত্য হয় । অর্থাৎ P(m): (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.m + 1) = m2 + 2m + 5 n = (m + 1) হলে P(m +1): [(2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.m + 1)] + [2.(m + 1) + 1] = m2 + 2m + 5 + (2m + 2 + 1) = m2 + 2m + 5 + 2m + 3 == (m2+ 2m + 1) + 2m + 2 + 5 = (m + 1)2 + 2(m + 1) + 5 ∴ n = (m + 1) -এ বিবৃতিটি সত্য। n = 1 হলে, P(1): 2.1 + 1 , 12 + 2.1 + 5 = 3 ≠ 8 অর্থাৎ, P(1) সত্য নয়। ∴ n ∈ N -এর সকল মানের জন্য বিবৃতিটি সত্য নয়।
17. n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হলে আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, n(n2 – 1) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য।
Ans: n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা। ধরি, n = 2k – 1 যেখানে k ∈ N ∴ n(n2 – 1) = (2k – 1)[(2k – 1)2 – 1] = (2k – 1)(4k2 – 4k +1 – 1) == (2k – 1)(4k2 – 4k) = 4k(k – 1)(2k – 1) আরওধরি, 4k(k – 1)(2k – 1) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য, যখন k ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(k) দ্বারা সূচিত হয়। k = 1 হলে, P(1): 4.1(1 – 1)(2.1 – 1) = 4.0.3 = 0, যা 24 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি k = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয় যেখানে m ∈ N ∴ P(m) = 4m(m – 1)(2m – 1) = 24r, যখন r ∈ N বা, m(2m2 – m – 2m + 1) = 6r বা, m(2m2 – 3m + 1) = 6r ⇒ 2m3 – 3m2 + m = 6r বা, 2m3 = 6r + 3m2 – m ∴ P(m + 1) = 4(m + 1)(m + 1 – 1)[2(m + 1) – 1] = 4(m + 1).m[2m + 2 – 1] == 4m(m + 1)(2m + 1) = 4m(2m2 + m + 2m + 1) = 4m(2m2 + 3m + 1) == 4(2m3 + 3m2 + m) = 4(6r + 3m2 – m + 3m2 + m) = 4(6r + 6m2) == 4.6(r + m2) = 24(r + m2) – রাশিমালাটি 24 দ্বারা বিভাজ্য। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(k) সত্য যখন n ∈ N
18. 2n > n2 অসমতা সত্য হতে হলে n -এর ধনাত্মক অখণ্ড মান নির্নয় করো।
Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2n > n2 n = 1, 2, 3 ….. হলে, P(1): 21 , 12 ⇒ 2 > 1 – বিবৃতিটি সত্য। P(2): 22 , 22 ⇒ 4 > 4 – বিবৃতিটি সত্য নয়। P(3): 23 , 32 ⇒ 8 > 9 – বিবৃতিটি সত্য নয়। P(4): 24 , 42 ⇒ 16 > 16 – বিবৃতিটি সত্য নয়। P(5): 25 , 52 ⇒ 32 > 25 – বিবৃতিটি সত্য। P(6): 26 , 62 ⇒ 64 > 36 – বিবৃতিটি সত্য। ধরি P(n) সত্য যখন n = 1 এবং n ≥ 5 ∴ P(1) এবং P(n ≥ 5) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 2m > m2 আবার m > 2 হলে m2 > 2m + 1 হয়। ∵ 2m > m2 ∴ 2m + 2m > m2 + m2 ⇒ 2.2m > m2 + 2m + 1 ⇒ 2m + 1 > (m + 1)2 ∵ P(5) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 5 ∴ n -এর ধনাত্মক অখণ্ড মান n = 1 এবং n ≥ 5
19. গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, n ∈ N হলে 32n কে যখন 8 দ্বারা ভাগ করা হয় তখন ভাগশেষ সর্বদা 1 হয়।
Ans: ধরি, 32n কে – 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 1 হয়, যখন n ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হয়। n = 1 হলে, P(1): 32.1= 9 = 8 + 1 যা 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 1 হয় অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 32m = 8k + 1 যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 32(m + 1) = 32m . 32m = 9.32n ⇒ 9(8k + 1) = 72k + 9 = 8(9k + 1) + 1 – রাশিমালাটিকে 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 1 হয়। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
20. আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, 5n + 1 + 4.6n কে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হয়, যখন n ∈ N
Ans: ধরি, 5n + 1 + 4.6n কে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হয়, যখন n ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হয়। n = 1 হলে, P(1): 51 + 1 + 4.61 = 52+ 4.6 = 25 + 24 = 49 = 2.20 + 9 → 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 9 হয়। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 5(m + 1) + 4.6m = 20k + 9… যেখানে k ∈ N ∴ P(m + 1) = 5[(m + 1) + 1] + 4.6(m + 1) = 5(m + 1).5 + 4.6m.6 = 5.5(m + 1) + 24.6m ⇒ 5(20k + 9 – 4.6m) + 24.6m ⇒ 100k + 45 – 20.6m + 24.6m = 100k + 45 + 4.6m = 100k + 45 + 4.(1 + 5)m = 100k + 45 + 4.(1 + mC1.5 + mC2.52 + mC3.53 + …… + mCm.5m) = 100k + 45 + 4 + 4.(mC1.5 + mC2.52 + mC3.53 + …… + mCm.5m ) = 100k + 49 + 4.5(mC1 + mC2.5 + mC3.52 + …… + mCm.5m – 1) = 100k + 49 + 20(mC1 + mC2.5 + mC3.52 + …… + mCm.5m – 1) = 100k + 40 + 20(mC1 + mC2.5 + mC3.52 + …… + mCm.5m – 1) + 9 = 20(5k + 2 + mC1 + mC2.5 + mC3.52 + …… + mCm.5m – 1) + 9 -রাশিমালাটিকে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হবে। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2
21. n ∈ N হলে আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে 8.7n + 4n + 2 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 8.7n + 4n + 2 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়। n = 1 হলে, P(1): 8.71 + 41 + 2 = 8.7 + 43 = 56 + 64 = 120 যা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়। অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): 8.7m + 4m + 2 = 24k যেখানে k ∈ N বা, 8.7m + 16.4m = 24k বা, 8.7m = 24k – 16.4m ∴ P(m + 1) = 8.7m + 1 + 4m + 1 + 2 = 8.7m . 7 + 4m + 2.4 = (24k – 16.4m).7 + 4.16.4m = (24k – 16.4m).7 + 4.16.4m ⇒ 24.7k – 112.4m + 64.4m = 24.7k – 48.4m = 24(7k – 2.4m) k অযুগ্ম সংখ্যা হলে 24(7k – 2.4m) 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য হবে না। ∴ P(n) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়। ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
22. গাণিতিক আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, n -এর সকল ধনাত্মক পূর্ণমানের জন্য |sin nx| ≤ n|sin x|
Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): |sin nx| ≤ n |sin x| n = 1 হলে, P(1): |sin 1.x| ≤ 1|sin x| ⇒ |sin x| ≤ |sin x| অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। ∴ P(m): |sin mx| ≤ m |sin x| ∴ P(m + 1) = |sin (m + 1)x| = |sin mx cos x + cos mx sin x| ≤ |sin mx cos x| + |cos mx sin x| ≤ |sin mx| |cos x| + |cos mx| |sin x| <≤ |sin mx| . 1 + 1. |sin x|……… [∵ cos x ≤ 1] ≤ |sin mx| + |sin x| ≤ m |sin mx| + |sin x| …….. [∵ |sin mx| ≤ m|sin x|] . ≤ (m + 1)|sin mx| ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N
