Category: HS MATHEMATICS

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

Conventional Type

1. চারটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের উপসেটগুলির সংখ্যা হল-
Ⓐ 4 Ⓑ 8
Ⓒ 16 Ⓓ 64

Ans: Ⓒ 16
[একটি সসীম সেট A-র পদসংখ্যা n হলে তার সূচক সেটে 2ⁿ সংখ্যক পদ থাকবে।
∴ চারটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের উপসেটগুলির সংখ্যা হল = 2⁴ = 16]

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সেট ও অপেক্ষক

সেট তত্ত্ব
সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
- ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
- সম্বন্ধ (Relation) PART II
- অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
- চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
- অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2 বীজগণিত

সূচকের নিয়মাবলি
লগারিদম্
দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
রৈখিক অসমীকরণ
বিন্যাস ও সমবায়
- বিন্যাস
- সমবায়
কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

বাস্তব সংখ্যা
সীমা
অন্তরকলন বা অবকলন
অন্তরকলজের তাৎপর্য

2. পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল-
Ⓐ 5 Ⓑ 10
Ⓒ 32 Ⓓ 31

Ans: Ⓓ 31
[পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল
= 2⁵– 1 = 32 – 1 = 31]

3. যদি x ∈ A ⇒ X ∈ B হয় তবে –
Ⓐ A = B Ⓑ A ⊂ B
Ⓒ A ⊆ B Ⓓ B ⊆ A

Ans: Ⓒ A ⊆ B
[[ যেহেতু x ∈ A ⇒ x ∈ B সুতরাং A ⊆ B]

4. যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়, তবে –
Ⓐ Α = Φ Ⓑ Α ∩ Β = φ
Ⓒ A = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ A = B
[ x ∈ A হলে x ∈ B হবে (∵ A ⊆ B)
আবার x ∈ B হলে x ∈ A হবে (∵ B ⊆ A)
∴ A = B]

5. যদি A ও B দুটি সেটের ক্ষেত্রে AU B = A ∩ B হয়, তবে –
Ⓐ A ⊆ B Ⓑ B ⊆ A
Ⓒ A = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓒ A = B
[ ধরি x ∈ A ∴ x ∈ A∪B.
আবার, A∪B = A∩B
∴ x ∈ A∩B ⇒ x∈B
∴A⊂B …..(i)
একই ভাবে,
যদি y ∈ B তবে
y ∈ A∪B = A∩B.
∴ y∈A ∴ B⊂A …..(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়, A=B]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

6. A – B = Φ হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি –
Ⓐ A ≠ B Ⓑ A ⊂ B
Ⓒ B ⊂ A Ⓓ Α ∩ Β = φ
Ans: Ⓑ A ⊂ B[B ⊆ A হলে,
x: x ∈ A ⇒ x ∈ B}
∴ A – B = Φ]

7. যদি A ∩ B = B হয়, তবে-
Ⓐ A ⊆ B Ⓑ B ⊆ A
Ⓒ A = B Ⓓ A = φ

Ans: Ⓑ B ⊆ A
[ ∵ A ∩ B = B,
∴ B ⊆ A∩B
⇒ B ⊆ A ]

8. A ও B দুটি বিচ্ছেদ (disjoint) সেট হলে, n(A U B) =
Ⓐ n(A) + n(B) Ⓑ n(A) – n(B)
Ⓒ 0 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓐ n(A) + n(B)
[ A ও B দুটি বিচ্ছেদ সেট।
∴ n(A ∩ B) = 0
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= n(A) + n(B) – 0
= n(A) + n(B)]

9. যেকোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, n(A) + n(B) – n(A∩B) =
Ⓐ n(AUB) Ⓑ n(A)- n(B)
Ⓒ φ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ n(AUB)
[∵ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)]

10. A U U = U এর দ্বৈত অভেদ হবে —
Ⓐ A ∩ U = U Ⓑ Α U φ = φ
Ⓒ A U φ = Α Ⓓ A ∩ φ = φ

Ans: Ⓓ A ∩ φ = φ

11. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) অভেদের দ্বৈত অভেদ হল —
Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C)
Ⓑ AU (B U C) = (A U B) U (A U C)
Ⓒ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)
Ⓓ A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Ans: Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION

12. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট
Ⓑ 889 অপেক্ষা বড়ো যুগ্ম সংখ্যাগুলির সেট একটি অসীম সেট
Ⓒ (-150) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক সংখ্যাগুলির সেট হবে একটি অসীম সেট।
Ⓓ A = {x: x বাস্তব এবং এবং 0 < x ≤ 1} একটি একপদী সেট।

Ans: Ⓑ 889 অপেক্ষা বড়ো যুগ্ম সংখ্যাগুলির সেট একটি অসীম সেট

13. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য নয়?
Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে।
Ⓑ A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে, A ⊆ C হবে।
Ⓒ A ⊆ B এবং B ⊆ A হলে, A = B হবে।
Ⓓ A U φ = φ (যেখানে ϕ হল শূন্য সেট)হলে, A = φ হবে।

Ans: Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে।
[a ∈ A এবং a ∈ B
∴ A ⊆ B]

14. নীচের কোনটি 12 সংখ্যাটির উৎপাদকগুলির সেট?
Ⓐ {2, 3, 4, 6} Ⓑ {2, 3, 4, 6, 12}
Ⓒ {2, 3, 4, 8, 6} Ⓓ {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Ans: Ⓓ {1, 2, 3, 4, 6, 12}
[12 = 2×2×3
∴ 12 এর উৎপাদকগুলি হল 1, 2, 3, 4, 6, 12]

15. নীচের সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট?
Ⓐ {0} Ⓑ {φ}
Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2}
Ⓓ {x: x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং 1 < x < 2}

Ans: Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2}
[{0} এর একটি পদ 0 ;
{ϕ} এর একটি পদ ϕ ;
1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই।
তাই {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট।
1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই।
তাই {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট।]

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

16. A সেটের সূচক সেট B হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ A ⊃ B Ⓑ B ⊃ A
Ⓒ A ∈ B Ⓓ A = B

Ans: Ⓒ A ∈ B [যেকোনো সেট নিজেই নিজের উপসেট।
∴ A সেটটি সূচক সেট B সেটে থাকবে।

17. যদি x ∈ A U B হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ X ∈ A Ⓑ x ∈ B
Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B Ⓓ x ∉ A

Ans: Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B
[x ∈ A U B এর অর্থ হল x, A অথবা B অথবা A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে। ∴ x ∈ A U B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]

18. x ∈ A ∩ B হয় তবে নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ X ∈ A ∧ x ∈ B Ⓑ x ∈ B
Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B Ⓓ x ∉ A

Ans: Ⓐ x ∈ A ∧ x ∈ B
[x ∈ A ∩ B এর অর্থ হল x, A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে।
∴ x ∈ A∩B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]

19. A = {2, 4, 6, 8} হলে নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ {2, 4} ∈ Α Ⓑ {2, 4} ⊆ A
Ⓒ {2, 4} ⊂ A Ⓓ {2, 4} ∈ A^C

Ans: Ⓒ {2, 4} ⊂ A
[{2, 4} সেটটি A সেটের যথার্থ উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ {2, 4} ∉ A
∴ {2, 4} ⊂ A]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

20. নীচের বিবৃতি গুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ {a} ∈ {a, b, c} Ⓑ a ∉ {a, b, c}
Ⓒa ⊂ {a, b, c} Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c}Ans: Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c}
[Ⓐ {a}, {a, b, c} -এর উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ {a} ∉ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓑ a, {a, b, c} -এর একটি পদ।
∴ {a} ∈ {a, b, c}∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓒ a, {a, b, c} -এর একটি পদ কিন্তু উপসেট নয়।
∴ a ⊄ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c} বিবৃতিটি সঠিক]

21. নীচের সংজ্ঞাত চারটি সেটের মধ্যে কোন দুটি সেট সমান?
(i) A = {0}                 (ii) B = {Φ}
(iii) C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6}
(iv) D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1}
Ⓐ [i] ও [iv]     Ⓑ [ii] ও [iv]
Ⓒ [ii] ও [iii]    Ⓓ [iii] ও [iv]

Ans: Ⓐ [i] ও [iv]
[A = {0}
B = {Φ}
C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6} = {4}
D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1} = {0}
∴ A = D]

22. নীচের সংজ্ঞাত সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট?
Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7}
Ⓑ B = {0} Ⓒ C = {Ф}
Ⓓ D = {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 2 < x ≤ 3}

Ans: Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7 }
[2 থেকে 7 এর মধ্যে কোনো পূর্ণ ঘন সংখ্যা নেই।
∴ A = ϕ (শূন্য সেট)]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

23. নীচের সংজ্ঞাত সেটগুলির মধ্যে কোনটি অসীম সেট?
Ⓐ A = {x : x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা এবং – 1 ≤ x < 1}
Ⓑ B = (-100) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক যুগ্ম সংখ্যাসমূহের সেট
Ⓒ C = 100 এর চেয়ে ছোটো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট
Ⓓ D = (x: x বাস্তব ও -1 ≤ x < 1}

Ans: Ⓓ D = (x: x বাস্তব ও –1 ≤ x < 1}
[-1 থেকে 1 এর মধ্যে অসীম সংখ্যক বাস্তব সংখ্যা বর্তমান।
∴ D সেটটি একটি অসীম সেট।]

24. A = {{1}, {2, 3}} সেটের সূচক সেটটি হল –
Ⓐ {Φ, {1}, {2, 3}, A} Ⓑ {{1}, {2,3}, A}
Ⓒ {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A} Ⓓ {Φ,{{1}}, {2}, {3}, {{2.3}}, A}

Ans: Ⓒ {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A}
[A = {{1}, {2, 3}} সেটের সূচক সেটটি হল – {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A}]

25. A = {1, 2, 3, 4} , B = {2, 4, 5, 8} C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে –
Ⓐ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Ⓑ B ∩ C = {4, 5} Ⓒ A U (BUC) = {5, 6, 7}
Ⓓ A U (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ans: Ⓑ B ∩ C = {4, 5}
[A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}Ⓑ B ∩ C = {4, 5}]

26. P = {a, b, c, d, e} এবং Q = {a, e, i, o, u} হলে –
Ⓐ P ⊂ QⒷ Q ⊂ P
Ⓒ P ∩ Q = {a, e}Ⓓ P U Q = {a, b, i, c, d, u}

Ans: Ⓒ P ∩ Q = {a, e}
[b ∈ P কিন্তু b ∉ Q
∴ P ⊄ Q Ⓐ সত্য নয়।
i ∈ Q কিন্তু i ∉ P
∴ Q ⊄ P Ⓑ সত্য নয়।
(ii) P ∩ Q = { a, b, c, d, e} ∩ { a, e, i, o, u}
= { a, e}]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

27. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {{a, b}, C = {a, b, d} এবং D = {c, d} এবং E = {d}; নিম্নলিখিত বক্তব্যসমুহের মধ্যে কোনটি সত্য?
Ⓐ {a} ∉ A Ⓑ D ⊅ E
Ⓒ D ⊂ B Ⓓ {a} ⊂ A

Ans: Ⓓ {a} ⊂ A
[{a} A-এর একটি উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ Ⓐ {a} ∉ A বক্তব্যটি সত্য নয়।
c ∈ D কিন্তু c ∉ E
∴ E ⊂ D
Ⓑ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।
c ∈ D কিন্তু c ∉ B
∴ Ⓒ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।
∵ a ∈ A
∴ {a} A-এর একটি উপসেট।
∴ Ⓓ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

28. মনে করো, সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A = {3, 4, 5} ও B = {1, 4, 5} তার দুটি উপসেট। তবে (AUB)’ =
Ⓐ {2} Ⓑ {1, 2}
Ⓒ {1, 3, 4, 5} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓐ {2}
[A U B = {1, 3, 4, 5}
(A U B)‘ = S – (A U B)
= {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 3, 4, 5}
= {2}]

29. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে A – (B ∩ C) =
Ⓐ {1} Ⓑ {2}
Ⓒ {1,2} Ⓓ {{1}, {2}}

Ans: Ⓒ {1,2}
[B ∩ C = 2, 3, 4, 5} ∩ { 1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {3, 4, 5}
A – (B ∩ C)
= {1, 2}]

30. সার্বিক সেট S = {1, 2, 4, 8, 16, 32} এবং A = {1, 2, 8, 32} B = {4, 8, 32} এর দুটি উপসেট হলে (AUB)^C =
Ⓐ {1, 2, 4, 8, 32} Ⓑ {16}
Ⓒ {8, 32} Ⓓ {1, 2, 4, 16}

Ans: Ⓑ {16}
[(AUB) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
(AUB)^C
= S – (AUB)
= {16}]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

31. P = {a, b, c, d, e, f} এবং Q = {a, c, e, f} হলে, (P – Q) U (P ∩ Q) হবে –
Ⓐ Q Ⓑ P U Q
Ⓒ P ∩ Q Ⓓ P

Ans: Ⓓ P
[(P – Q) = {b, c, d}
U (P ∩ Q) = {a, c, e, f}
∴ (P – Q) U (P ∩ Q)
= {a, b, c, d, e, f} = P]

32. যদি P = { θ: sinθ – cosθ = √ 2cosθ} এবং Q = { θ: sinθ + cosθ = √ 2sinθ} হয়, তবে
Ⓐ P ⊂ Q Ⓑ Q ⊂ P
Ⓒ P = Q Ⓓ P ∩ Q = Φ

Ans: Ⓒ P = Q
[ধরি, x ∈ P
∴ sinx – cosx = √2 cosx
বা, sinx = √2 cosx + cosx
বা, sinx = (√2 + 1) cosx
⇒ ¹/_{(√2 + 1)} sinx = cos x
বা, ^{(√2 – 1)}/_{(2 – 1)} sinx = cosx
বা, √2 sinx – sinx = cosx
⇒ √2 sinx = cosx + sin x
⇒ x ∈ Q
∴ P ⊆ Q – – – (i)
আবার ধরা যাক, y ∈ Q
∴ siny + cosy = √2 siny
⇒ cosy = √2 siny – siny
⇒ cosy = (√2 – 1) siny
= siny = ¹/_{(√2 – 1)} cosy
⇒ siny = ^{(√2 + 1)}/_{(2 – 1)} cosy
⇒ siny = (√2 + 1) cosy
= siny = √2 cosy + cosy
⇒ siny – cosy = √2 cosy
⇒ y ∈ P
∴ Q ⊆ P – – – (ii)
(i) ও(ii) থেকে পাই,
P = Q]

33. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং (B U C) = {3, 4, 6} হলে, (A – B) ∩ (A – C) =
Ⓐ {1, 2} Ⓑ {2, 5}
Ⓒ {1, 2, 5} Ⓓ {1, 2, 6}

Ans: Ⓒ {1, 2, 5}
[( A – B) ∩ ( A – C)
= A – ( B ∪ C)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 }
= { 1, 2, 5 }]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

34. মনে করো, সার্বিক সেট S = {a, b, c, d, e} এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} এর দুটি উপসেট। তাহলে (A U B)^/ =
Ⓐ {a, c, e} Ⓑ {c}
Ⓒ {a, b, d, e} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓑ {c}
A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
= {a, b, d, e}
∴ ( A ∪ B)’
= S – (A ∪ B)
= {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
= {c}]

35. মনে করো, সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; A^C ∩ B^C =
Ⓐ {1, 5. 6} Ⓑ {2, 3, 4}
Ⓒ Ф Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ {1, 5. 6}
[A^C ∩ B^C
= (A U B}^C
= S – (A U B}^C
= {1, 5, 6}]

36. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N এবং aN = {ax: x ∈ N} হলে, 3N ∩ 7N হবে –
Ⓐ N Ⓑ 5N
Ⓒ 21N Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ 21N
[aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
∴ 3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
= 21ℕ]

37. মনে করো সব পূর্ণসংখ্যার সেট Z এবং A = {x: x = 6n, n ∈ Z} ও B = {x: x = 4n, n ∈ Z); A ∩ B =

Ⓐ {x: x = 2n, n ∈ Z} Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z}
Ⓒ {x: x = 24n, n ∈ Z) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

Ans: Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z}
[A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
= 6ℕ
B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
= 4ℕ
∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
= kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
⇒ 12ℕ
= { x: x = 12n, n ∈ ℤ}]

38. যে কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য নয়?
Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ Ⓑ A^C – B^C = B – A
Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β) Ⓓ A – B = A^C ∩ B

Ans: Ⓓ A – B = A^C ∩ B
[(B-A) ∩ A
= (B ∩ A^C) ∩ A
= B ∩ ( A^C ∩ A)
⇒ B ∩ ϕ
= ϕ
∴ ( B – A) ∩ A = ϕ
Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ বিবৃতিটি সত্য।
ধরি, ∀x ∈ (A^C – B^C)
⇒ x ∈ A^C এবং x ∉ B^C
⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
বা, x ∈ B এবং x ∉ A
⇒ x ∈ (B – A)
∴ A^C – B^C ⊆ B – A – – – (i)
আবার ধরি,
∀y ∈ (B – A)
⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
বা,y ∈ A^C এবং y ∉ B^C
⇒ y ∈ (A^C – B^C)
∴ B – A ⊆ A^C – B^C – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A^C – B^C = B – A
∴ A^C – B^C = B – A
Ⓑ A^C – B^C = B – A বিবৃতিটি সত্য।
যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
A∩B ⊆ B
ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∉A∩B [ ∵ A∩B ⊆ B ]
∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
সুতরাং, x ∈ A-B
⇒ x ∈A – (A∩B)
∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B) যে-কোনো পদ
⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ A^C) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ y ∈ ( A ∩ A^C) অথবা y ∈ ( A – B)
বা, y ∈ ( A ∩ A^C) ∪ ( A – B)
⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
A – B = A – (A ∩ B) Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β) বিবৃতিটি সত্য।
∴ Ⓓ A – B = A^C ∩ B বিবৃতিটি সত্য নয়।]

39. মনে করো A, B, C তিনটি প্রদত্ত সেট। নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
Ⓐ B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে
Ⓑ B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে।
Ⓒ A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে।
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
[ধরি, A = {{1, 2}, 3}, B = {1, 2}
এখানে B ∈ A এবং 1 ∈ B কিন্তু 1 ∉ A
∴ Ⓐ বিবৃতিটি মিথ্যা।
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} এবং C = {{1, 2, 3}, 4}
এখানে B ⊂ A এবং A ∈ C কিন্তু B ∉ C
∴ Ⓑ বিবৃতিটি মিথ্যা।
A = {1, 2}, B = {2, 3} এবং C = {1, 2, 4}
এখানে A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু A ⊂ C
∴ Ⓒ বিবৃতিটি মিথ্যা।]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

40. একটি শ্রেণীতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরাজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরাজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাঠ করেন?
Ⓐ 5 জন Ⓑ 15 জন
Ⓒ 25 জন Ⓓ 40 জন

Ans: Ⓐ 5 জন
[যারা ইংরাজি এবং হিন্দি পাঠ করেন তাদের সেট যথাক্রমে E এবং H হলে,
n(E U H) = 70, n(E) = 45 এবং n (H) = 30
∴ n(E ∩ H)
= n(E) + n(H) – n(Ε U Η)
= 45 + 30 – 70
= 75 – 70 = 5]

41. কলকাতার 1003 টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63 টি পরিবারের রেডিও বা টিভি ছিল না; 794 টি পরিবারে রেডিও এবং 187 টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিও ও টিভি উভয়ই ছিল?
Ⓐ 85 Ⓑ 22
Ⓒ 43 Ⓓ 41

Ans: Ⓓ 41
[n(R U T)^C = 63; n(R) = 794 এবং n(T) = 187
∴ n(R U T) = 1003 – 63 = 940
n(R ∩ T)
= n(R) + n(T) – n(R U T)
= 794 + 187 – 940
= 981 – 940 = 41]

42. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যঅনুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয়সামগ্রী পছন্দ করে?
Ⓐ 585 Ⓑ 170
Ⓒ 270 Ⓓ 280

Ans: Ⓑ 170
[A সামগ্রী এবং B সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারীর সেট A ও B হলে উভয়সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারী হল (A ∩ B)
∴ (A ∩ B)
= n(A) + n(B) – n(A U B)
= 720 + 450 – 1000
= 1170 – 1000 = 170]

43. দুটি সেট A ও B এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p 3 q এর মান যথাক্রমে –
Ⓐ 3, 6 Ⓑ 6, 3
Ⓒ 5, 7 Ⓓ 3, 4

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

Ans: Ⓑ 6, 3
[ 2p – 2q = 56
⇒ 2p – 2q = 64 – 8
⇒ 2p – 2q = 2⁶ – 2³
∴ p = 6, q = 3]

44. দুটি সসীম সেট A ও B এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, AUB-এর সবচেয়ে বেশি উপাদান সংখ্যা–
Ⓐ mn Ⓑ m – n
Ⓒ m + n Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ m + n
[n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)
n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি n(A∩ B) = 0 হয় অর্থাৎ A ও B বিচ্ছেদ) সেট হয়।
∴ n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি,
n(AUB) = n(A) + n(B)
= m + n হয়।]

45. মনে করো সার্বিক সেট, S = {x: 0 < x ≤ 10} –এর দুটি উপসেট হল– A = {x: 2 ≤ x < 5} এবং B = {x: 3 < x < 7}; A ∩ B =
Ⓐ {x: 3 ≤ x ≤ 5} Ⓑ {x: 3 < x < 5}
Ⓒ {x: 2 ≤ x < 7} Ⓓ {x: 2 < x < 3}

Ans: Ⓑ {x: 3 < x < 5}
[A ∩ B = {x: 2 ≤ x < 5} ∩ {x: 3 < x < 7}
= {x: 3 < x < 5}]

46. P = {p, q, r, s, t, u} এবং Q ∩ R = {q, r, v, w) হলে, (P – Q) U (P – R) =
Ⓐ {p, s, t} Ⓑ {p, s, t, u, w}
Ⓒ {s, t, u} Ⓓ {p, s, t, u}

Ans: Ⓓ {p, s, t, u}
[ (P – Q) U (P – R)
= (P ∩ Q^C) U (P ∩ R^C)
= P ∩ (Q^C U R^C)
= P ∩ (Q ∩ R)^C= P – (Q ∩ R)
= {p, s, t, u}]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

47. যদি S সার্বিক সেটের A, B, C তিনটি উপসেট হয়, যেখানে S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), A = {1, 3, 5, 6}, B ∩ C = {1, 2, 6} তবে (B^C U C^C) =
Ⓐ {3, 4, 5} Ⓑ {1, 3, 4, 5, 7}
Ⓒ {3, 4, 5, 7} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ {3, 4, 5, 7}
[(B^C U C^C) =(B ∩ C)^C = S – (B ∩ C)
= {3, 4, 5, 7}]

48. যদি U = {a, b, c, d, e, f} সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C, U-এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = {a, c, d} এবং B U C = {a, d, c, f} তবে (A ∩ B) U (A ∩ C) =
Ⓐ {b, e} Ⓑ {a, b, c, d}
Ⓒ {a, c, d} Ⓓ {c, d}

Ans: Ⓒ {a, c, d}
[(A ∩ B) U (A ∩ C)
= A ∩ (B U C)
= {a, c, d} ∩ {a, d, c, f}
= {a, c, d}]

49. যেকোনো তিনটি সেট A, B, C এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ A U (B ∩ C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Ⓑ A ∩ (B U C) = (A U B) ∩ (A U C)
Ⓒ A – (B ∩ C) = (A ∩ B) – C
Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)

Ans: Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)
[ A – (B U C)
= A ∩ (B U C)^C= A ∩ (B^C ∩ C^C)
= (A ∩ B^C) ∩ (A ∩ C^C)
= (A – B) ∩ (A – C)]

50. A ∩ (B – A) =
Ⓐ Α ∩ Β         Ⓑ AUB
Ⓒ Φ               Ⓓ এদের কোনটিই নয়

Ans: Ⓒ Φ [ A ∩ (B – A)
= A ∩ (B ∩ A^C)
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ A^C)
= (A ∩ B) ∩ Φ
= Φ]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

51. যদি A এবং B দুটি সেট নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত হয় A = {(x,y), у = ¹/_x, x ≠ 0, x ∈ R} এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R} তবে,
Ⓐ A ∩ B = A Ⓑ A ∩ B = B
Ⓒ Α ∩ Β = Φ Ⓓ A U B = A

Ans: Ⓒ Α ∩ Β = Φ
[A = {(x,y), у = ¹/_x, x ≠ 0, x ∈ R}
= {(1,1), (2, ¹/₂), (3, ¹/₃)…….}
এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R}
= {(1, -1), (2, -2), (3, -3)……..}
A ও B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ পদ নেই।
∴ Ⓒ Α ∩ Β = Φ]

52. 60 জন ছাত্রের একটি শ্রেণিতে 25 জন ক্রিকেট খেলে, 20 জন ছাত্র টেনিস খেলে এবং 10 জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। তবে কোনো খেলাই খেলে না এরকম ছাত্রের সংখ্যা হবে –
Ⓐ 0 Ⓑ 25
Ⓒ 35 Ⓓ 45

Ans: Ⓑ 25
[প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি –

[ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C এবং টেনিস খেলা ছাত্রের সেট T

শুধু ক্রিকেট, শুধু টেনিস এবং উভয় খেলাই খেলে এরকম ছাত্রের সংখ্যা
= (15 + 10 + 10) = 35 জন
কোনো খেলাই খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা
= 60 – 35 = 35 জন]

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে ____________।
Ⓐ A = C Ⓑ A = B = C
Ⓒ C ⊆ A Ⓓ A ⊆ C

Ans: Ⓓ A ⊆ C

2. AUB = B হলে ____________।
Ⓐ B ⊆ A Ⓑ A ∩ B = B
Ⓒ Α = Φ Ⓓ A ⊆ B

Ans: Ⓓ A ⊆ B
[∵ AUB = B
∴ A ⊆ B]

3. A ⊆ B হলে ____________।
Ⓐ AUB = A Ⓑ A ∩ B = B
Ⓒ A – B = ϕ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ A – B = ϕ

4. যে-কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, AUB = A∩B হলে ____________।
Ⓐ A ⊆ B ⒷB ⊆ A
Ⓒ A = B = Φ Ⓓ A = B

Ans: Ⓓ A = B

5. n -সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট A-র সূচক সেট ____________ সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে।
Ⓐ n² Ⓑ 2n
Ⓒ 2ⁿ Ⓓ n2ⁿ

Ans: Ⓒ 2ⁿ

6. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics-এ পড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন দ্বিতীয় ও তৃতীয়, 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য ____________ টি আসন আছে (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে)।
Ⓐ 105 Ⓑ 107
Ⓒ 102 Ⓓ 106

Ans: Ⓑ 107
[ধরি, Computer Science, Information Technology এবং Electronics- এর সেট যথাক্রমে C, I এবং E।
এখানে n(C) = 80, n(I) = 75, n(E) = 72, n(C∩I) = 60, n(I∩E) = 50, n(E∩C) = 40 এবং n(C∩I∩E) = 30
∴ n(CUIUE) = n(C) + n(I) + n(E) – n(C∩I) – n(I∩E) – n(E∩C)
বা, n(CUIUE) = 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30
বা, n(CUIUE) = 257 – 150 = 107
কলেজে মোট 107 টি আসন আছে।]

7. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত; 20 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 জন নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রদের সংখ্যা হবে ____________।
Ⓐ 24 Ⓑ 25
Ⓒ 20 Ⓓ 15

Ans: Ⓑ 25
[ধরি, লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সেট A, নিজস্ব পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সেট B এবং ধার করা পুস্তক ব্যাবহারকারী ছাত্রের সেট C।
প্রদত্ত, n(AUBUC) = 100, n(A) = 50, n(B) = 40, n(C) = 30, n(A∩B) = 20, n(B∩C) = 15, n(C∩A) = 10
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A) – n(A∩B∩C)
⇒ 100 = 50 + 40 + 30 – 20 – 15 – 10 + n(A∩B∩C)
⇒ 100 = 120 – 45 + n(A∩B∩C)
বা, 100 = 75 + n(A∩B∩C)
⇒ n(A∩B∩C) = 100 – 75 = 25
∴ তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যাবহার করত এমন ছাত্রদের সংখ্যা 25 জন।]

8. কোনো শহরে তিনটি দৈনিক সংবাদপত্র X, Y, Z প্রকাশিত হয়। ওই শহরের 65% লোক X পত্রিকা, 54% Y পত্রিকা, 45% Z পত্রিকা পড়ে; 38% লোক X ও Y; 32% Y ও Z; 28% X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক এই তিন প্রকার পত্রিকার কোনোটাই পড়ে না। যদি শহরের মোট লোকসংখ্যা 1000000 জন হয়, তবে শহরের ____________ জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে।
Ⓐ 250000 Ⓑ 560000
Ⓒ 220000 Ⓓ 780000

Ans: Ⓒ 220000
[ধরি মোট সংবাদপত্র পাঠকের সংখ্যা 100 জন এবং X, Y ও Z. সংবাদপত্র পাঠকের সেট যথাক্রমে A, B এবং C
প্রদত্ত, n(A) = 65, n(B) = 54, n(C) = 45, n(A∩B) = 38, n(B∩C) = 32, n(C∩A) = 28, n(Ac∩Bc∩Cc) = 12 n(A^c∩B^c∩C^c) = 12
⇒ n(AUBUC)^c =12
⇒ n(S) – n(AUBUC) = 12
বা, 100 – n(AUBUC) = 12
⇒ n(AUBUC) = 100 – 12 = 88

আবার,
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(B∩C) – n(C∩A) + n(A∩B∩C)
⇒ 88 = 65 + 54 + 45 – 38 – 32 – 28 + n(A∩B∩C)
বা, 88 = 164 – 98 + n(A∩B∩C)
⇒ 88 = 66 + n(A∩B∩C)
∴ n(A∩B∩C) = 88 – 66 = 22
1000000 জন পাঠকের মধ্যে তিনটি পত্রিকাই পড়ে
= 1000000×²²/₁₀₀ = 220000 জন]

9. মনে করো, A₁, A₂ , . . . , A₃₀ এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে পাঁচটি এবং B₁, B₂ , … ,B_n এই n-সংখ্যক সেটের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে। ধরো, A₁ U A₂ U … U A₃₀ = B₂ U B₂ U … U B_n = S মনে করো S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে। n-এর মান হবে ____________।
Ⓐ 25 Ⓑ 20
Ⓒ 45 Ⓓ 5

Ans: Ⓒ 45
[S = A₁ U A₂ U … U A₃₀
S-এর 30 টি সেটের প্রতিটিতে 5টি এবং S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক10টি A সেটে আছে।
S সেটের মোট পদসংখ্যা
= 30×⁵/₁₀ = 15
S = B₂ U B₂ U … U B_n
S-এর n টি সেটের প্রতিটিতে 3টি এবং S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক 9টি B সেটে আছে।
S সেটের মোট পদসংখ্যা = 3×ⁿ/₉ = ⁿ/₃
∵ A₁ U A₂ U … U A₃₀ = B₂ U B₂ U … U B_n= S
∴ 15 = ⁿ/₃
বা, n = 45]

COLUMN MATCHING

1. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ–B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] {5, 6, 7} এই সেটের মোট উপসেট সংখ্যা	[a] 49
[ii] যদি n(A) = 75, n(B) = 49 এবং B ⊂ A হয়, তবে n (A∩B) =	[b] 16
[iii] যদি n(S) = 30, n(A) = 10, n(B) = 7 এবং n(A∩B) = 3 হয়, তবে n(A^cUB^c) =	[c] 8
[iv] যদি A সেটের পদসংখ্যা 7 হয়, তবে P(A)-এর সংখ্যা	[d] 128

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [d]

Ans: Ⓓ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] [d]
[[i] {5, 6, 7} সেটের উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8
[ii] B ⊂ A হলে, (A∩B) = B
∴ n(A∩B) = n(B) = 49
[iii] n(AUB) = n(AUB) + n(AUB) – n(A∩B)
= 10 + 7 – 3 = 14
∴ n(A^cUB^c) = n(A∩B)^c
= n(S) – n(A∩B) = 30 – 3 = 27
[iv] A সেটের পদসংখ্যা 7 ∴ P(A)-এর সংখ্যা= 27 = 128

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

2. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ-B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] A = {θ: 3sinθ + 4 cosθ = 5} এবং B = {θ: 4sinθ – 3cosθ = 0}	[a] A = Φ
[ii] A= {(x, y): xy = 0, x, y ∈ R} এবং B = {(x, y): x + y = 1, x, y ∈ R}	[b] Α ≠ Φ
[iii] যদি n(S) = 30, n(A) = 10, n(B) = 7 এবং n(A∩B) = 3 হয়, তবে n(A^cUB^c) =	[c] A = B
[iv] A = {x: sinx cosx = ½ এবং ( 10 < x < π/ 2}	[d] A ∩ В = Ф

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [d]
Ⓒ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [d]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Ans: Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]
[[i] 3sinθ + 4 cosθ = 5
বা, (3sinθ + 4 cosθ)² = 25 [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই।
বা, 9sin²θ + 24 sinθ.cosθ +16 cos²θ = 25
⇒ 9(1 – cos²θ) + 24 sinθ.cosθ +16(1 – sin²θ) = 25
বা, 9 – 9 cos²θ + 24 sinθ.cosθ + 16 – 16sin²θ = 25
বা, -(9 cos²θ -24 sinθ.cosθ + 16sin²θ) = 0
⇒ 9 cos²θ – 24 sinθ.cosθ +16sin²θ = 0
বা, (3cosθ – 4sinθ)² = 0
বা, 3cosθ – 4sinθ = 0
∴ A = B

[ii] A ও B সেট দুটির মধ্যে সাধারণ পদ হল (1,0) এবং (0,1)
∴ A ∩ В = {1} ≠ Ф
[iii] 16x² + 24x + 13 = 0
∴ x = ^{– 24 ± √[(24)² – 4.16.13]}/_2.16
⇒ x = ^{– 24 ±√[576 – 832]}/₃₂
⇒ x= ^{– 24 ±√- 256}/₃₂
x এর মান অবাস্তব।
∴ A = Φ
[iv] sinx cosx = ^½
⇒ 2sinx cosx = 1
⇒ sin2x = sin^π/₂⇒ 2x = ^π/₂
⇒ x = ^π/₄ Α ≠ Φ]

SEMESTER-I SET THEORY

3. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ-B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] যদি A = {(x, y): y = e^2x, x ∈ R} এবং B = {(x,y): y = e^-2x, x ∈ R} হয়, তবে n(A^cU B^c)^c =	[a] 2⁸
[ii] যদি A = {3, 5, 6}; তবে n(P(P(A))) =	[b] 2³
[iii] যদি A∩B = Ф, n(S) = 20 এবং n(B) = 12 হয় তবে n(A U B‘) =	[c] 7.2²
[iv] মনে করো n(A) = m এবং n(B) = n যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 112 বেশি হয় তবে mn =	[d] 2⁰

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] -[a]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [d]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [a], [iv] – [c]

Ans: Ⓒ [i] – [d], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [c]
[[i] n(A^c U B^c)^c = n[(A∩B)^c]^c = n(A∩B)
x = 0 হলেই দুটি সেটের একটি মাত্র সাধারণ পদ থাকে।
y = e^2x = e^^2.0 = e⁰ = 1
∴ A সেটের একটি পদ হয় (0, 1)
অনুরূপে y = e^-2x = e^-2.0 = e⁰ = 1
∴ B সেটের একটি পদ হয় (0, 1)
∴ n(A∩B) = {0, 1)
⇒n(A∩B) = 1 = 2⁰ – [d]

[ii] A = {3, 5, 6}
∴ n(A) = 2
∴ n(P(A)) = 2³ = 8
∴ n(P(P(A)) = 2⁸ – [a]
[iii] n(A U B‘) = n(S) – n(B) – n(B)
= 20 – 12 = 8 = 2 ^ 3 – [b]
[iv] 2^m – 2ⁿ = 112
⇒ 2^m – 2ⁿ = 7×16 = 7.(2⁷ – 2⁴]
∴ m = 7, n = 4
mn = 7.4 = 7.2² – [c]]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

4. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ-B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] {x: √3 < x < √10, x ∈ Z}	[a] একপদী সেট
[ii] {x: √2 < x < √3, x ∈ Q}	[b] অসীম সেট
[iii] {x: √2 < x < 2, x ∈ Z}	[c] শূন্য সেট
[iv] {x: √2 < x < √5, x ∈ Z}	[d] সসীম কিন্তু একপদী সেট নয়

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [d]
Ⓓ [i] – [a], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [d]

Ans: Ⓐ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [a]
[[i] {x: √3 < x < √10, x ∈ Z} = {2, 3} -(d)
[ii] {x: √2 < x < √3, x ∈ Q}
∵ x ∈ Q
∴ √2 এবং √3 এর মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।
∴ এটি একটি অসীম সেট। – [b]

[iii] {x: √2 < x < 2, x ∈ Z}
∵ x ∈ Z
∴ √2 এবং 3 এর মধ্যে কোনো পূর্ণসংখ্যা নেই।
∴ এটি একটি শূন্য সেট। – [c]
[iv] √2 < √4 < √5
⇒ √2 < 2 < √5
{x: √2 < x < 2, x ∈ Z} = {2}
∴ এটি একটি একপদী সেট। – [a]]

REARRANGEMENT OF SENTENCES / EVENTS

1. যদি A = {1, 4, 5, 7} এবং B = {1, 7, 9, 10} দুটি সেট হয়, তবে A△Β সেট তৈরির ধাপগুলি হল –
[i] (B – A) সেটটি নির্ণয় করতে হবে
[ii] (A – B) সেটটি নির্ণয় করতে হবে
[iii] A△Β সেটটি পাওয়া যাবে।
[iv] (A – B) U (B – A) নির্ণয় করতে হবে।
ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল –
Ⓐ [i] – [ii] – [iii] – [iv]
Ⓑ [ii] – [i] – [iv] – [iii]
Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]
Ⓓ [ii] – [iii] – [iv] – [i]

Ans: Ⓑ [ii] – [i] – [iv] – [iii]

2. দুটি সেট P = {x: 1 ≤ x < 7, x ∈ R} এবং Q = {x: -1 ≤ x <4, x ∈ R} -এর জন্য (P U Q) – (P ∩ Q) সেট গঠন করার ধাপগুলি হল –
[i] P U Q = {x: 1 ≤ x <7, x ∈ R}
[ii] P ∩ Q = {x: 1 ≤ x < 4, x ∈ R}
[iii] (P U Q) – (P ∩ Q) = {x: -1 < x < 1 ∨ 1 ≤ x < 7, x ∈ R}
[iv] (P U Q) – (P ∩ Q) = {x: – 1 ≤ x <7, x ∈ R} – {x: 1 ≤ x < 4, x ∈ R}
ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল-
Ⓐ [i] – [ii] – [iv] – [iii]
Ⓑ [ii] – [i] – [iii] – [iv]
Ⓒ [iii] – [ii] – [iv] – [i]
Ⓓ [iv] – [i] – [ii] – [iii]

Ans: Ⓐ [i] – [ii] – [iv] – [iii]

3. মনে করো, N_a = {n_a: n ∈N}; N₆ ∩ N₉ পাওয়ার ধাপগুলি কি কি ?
[i] N₆ = {6, 12, 18, 24, 30, …..}
[ii] N₆ ∩ N₉ = {18, 36, …….}
[iii] N₉ = {9, 18, 27, 36, ……}
[iv] N₆ ∩ N₉ = {18n: n∈N)
ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল-
Ⓐ [i] – [ii] – [iii] – [iv]
Ⓑ [i] – [iii] – [ii] – [iv]
Ⓒ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Ⓓ [i] – [iv] – [ii] – [iii]

Ans: Ⓑ [i] – [iii] – [ii] – [iv]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

4. n(A) 5, n(B) =7, n(A U B) = 8 হলে, n(A△B) -এর মান নির্ণয় করার ধাপগুলি হল-
[i] n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
[ii] n(A△B) = n(A U B) – n(A ∩ B) = 4
[iii] n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(AUB)
[iv] n(A ∩ B) = 5 + 7 – 8 = 4
ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল-
Ⓐ [i] – [iii] – [iv] – [ii]
Ⓑ [i] – [ii] – [iv] – [iii]
Ⓒ [ii] – [i] – [iii] – [iv]
Ⓓ [ii] – [iii] – [i] – [iv]

Ans: Ⓐ [i] – [iii] – [iv] – [ii]

RELATIONSHIP BETWEEN STATEMENT

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে ?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর বিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: যে সেটের উপাদান সংখ্যা সসীম, সেই সেটকে সসীম সেট বলে।
বিবৃতি-B: যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট

Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
[যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি সসীম সেট হতে পারে।
যেমনঃ A = {1, 2, 3 …}
A অসীম সেটের উপসেটগুলী হল {1}, {1}, {1, 2} ইত্যাদি।
এগুলো প্রতিটি সসীম সেট]

2. বিবৃতি-A: মূলদ (Q) ও অমূলদ(Q^C) সংখ্যা মিলে পাওয়া যায় বাস্তব সংখ্যার সেট।
বিবৃতি-B: Q U Q^C = R

Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

3. বিবৃতি-A: A = {3, 5}, B = {1, 3, 5} হলে A – B = Ф ⇔ A ⊂ B
বিবৃতি-B: A – B = Ф ⇔ A ⊂ B

Ans: : Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
[A – B
= {} = Ф]

4. বিবৃতি-A: যদি A = {x: x² + 3x + 2 = 0} হয়, তবে n( P(P(A))) = 16
বিবৃতি-B: যদি n(A) = m হয়, তবে n(P(A)) = 2m

Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
[ x² + 3x + 2 = 0
বা, (x + 2)(x + 1) = 0
বা, x = – 2, – 1
∴ n(A) = 2
n(P(A)) = 2² = 4
n(P(P(A))) = 2⁴ = 16 ]

5. বিবৃতি-A: A = {1, 5, 9, 15} এবং B = {3, 7, 9, 12, 15} হলে, (A ∩ B) U (A/B) = A
বিবৃতি-B: A U (B – A) = A U B

Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়
[ [(A ∩ B) U (A/B)
= {9, 15} U {1, 5}
= {1, 5, 9, 15} = A
A U (B – A)
= {1, 5, 9, 15} U {3, 7, 12}
= {1, 3, 5, 7, 9, 12, 15}
= A U B]

ASSERTION-REASONING

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে Ⓐ Ⓑ Ⓒ ও Ⓓ সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট।
বিবৃতি-II(R): যদি a ∈ A ⇒ a ∈ B হয়, তবে A ⊆ B ।

Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
[অমূলদ সংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যা নিয়ে বাস্তব সংখ্যা গঠিত।
∴ অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট।]

2. বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: x² – 3x + 2 = 0, x ∈ R} এবং B = {x: x² – 1 = 0, x ∈ ℕ} হয়, তবে n (A ∪ B) = 2
বিবৃতি-II(R): B ⊂ A হলে, n(A ∪ B) = n(A)

Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
[ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
বা x(x – 2) – 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(x – 1) = 0
∴ x = 2, 1
∴ A = {1, 2}
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1)(x – 1) = 0
∴ x = 1, -1 এবং x ∈ ℕ
∴ B = {1}
A ∪ B = {1, 2}
n(A ∪ B) = 2]

3. বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: – 1 < x < 1, x ∈ Z} হয়, তবে A একপদী সেট।
বিবৃতি-II(R): কোনো সেটের সূচক সেট একপদী সেট হতে পারে না।

Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
[ A = {x: – 1 < x < 1, x ∈ Z}
⇒ A = {0}]

4. বিবৃতি-I(A): ; যদি A= {x: x হল 10-এর থেকে ছোটো মৌলিক সংখ্যা এবং x³ – 8x² + 17x – 10 = 0} হয়, তবে n(P(A)) = 4
বিবৃতি-II(R): কোনো সসীম সেটে n-সংখ্যক উপাদান থাকলে, তারা সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা হবে n² ।

Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
[10-এর থেকে ছোটো মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5, 7
x = 2 হলে,
2³ – 8.2² + 17.2 – 10 = 8 – 32 + 34 – 10 = 0
x = 3 হলে,
3³ – 8.3² + 17.3 – 10 = 27 – 72 + 51 – 10 ≠ 0
x = 5 হলে,
5³ – 8.5² + 17.5 – 10 = 125 – 200 + 85 – 10 = 0
x = 7 হলে,
7³ – 8.7² + 17.7 – 10 = 343 – 392 + 119 – 10 ≠ 0
∴ A = {2, 5}
n(A) = 2
∴ n(P(A)) = 2² = 4
কোনো সসীম সেটে n-সংখ্যক উপাদান থাকলে, তারা সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা হয় 2²]

5. বিবৃতি-I(A): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {0, 1, 2, 3, 6, 7, 9}
∴ A△B = {4, 5, 6, 7, 9}
বিবৃতি-II(R): A△B =(A ∩ B^c ) ∪ (B ∩ A^c )

Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
[ A△B
= (A ∪ B) – (A ∩ B)
⇒ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} – {0, 1, 2, 3, 6}
= {4, 5, 7, 9}]

TRUE AND FALSE

1. বিবৃতি-I: P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B), যেখানে P(X) হল X সেটের সূচক সেট।
বিবৃতি-II: যদি A এবং B দুটি অশূন্য সেট সেট হয়, তবে A ∩ (A ∩ B)’ = A’ ∩ B
Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।। মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি ।। সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য
Ⓓ বিবৃতি। ও ।। উভয়েই মিথ্যা

Ans: Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।।
[প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-

চিত্রের কমলা অংশ[(A ∩ B)] ছাড়া আয়তক্ষেত্রের সমগ্র অংশটি দ্বারা (A ∩ B)’ সূচিত হয়।
নীল অংশটি দ্বারা A ∩ (A ∩ B)’ সূচিত হয়।
আর A বৃত্ত ছাড়া আয়তক্ষেত্রের সমগ্র অংশটি দ্বারা A’ সূচিত হয়।
B বৃত্তের শুধুমাত্র হলুদ অংশটি দ্বারা A’ ∩ B সূচিত হয়।
∴ A ∩ (A ∩ B)’ ≠ A’ ∩ B]

2. বিবৃতি-I: (B – A) U (A ∩ B) = B
বিবৃতি-II A ⊂ B ⇒ AUB = B
Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।। মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি ।। সত্য
Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য
Ⓓ বিবৃতি। ও ।। উভয়েই মিথ্যা

Ans: Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য
[সমাধানঃ প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-

B বৃত্তের শুধুমাত্র হলুদ অংশটি দ্বারা (B – A) সূচিত হয়।
(A ∩ B) দ্বারা পুরো A বৃত্ত সূচিত হয়।
(B – A) U (A ∩ B) দ্বারা পুরো B বৃত্ত সূচিত হয়।
∴ (B – A) U (A ∩ B) = B

SETS THEORY
DIAGRAM / CHART BASED

Click here to visit our Facebook

1. নীচের কোন চিত্রটি A^c ∩ B কে নির্দেশ করে?

Ans: Ⓑ
[Ⓐ চিত্র নির্দেশ করে A – B
Ⓒ চিত্র নির্দেশ করে A △ B
Ⓓ চিত্র নির্দেশ করে A ∩ B]

2. নীচের কোন বিকল্পটি উপরের ভেনচিত্রটিকে নির্দেশ করে?

Ⓐ Α ∩ Β = Φ Ⓑ A U B = B
Ⓒ A ∩ B = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

উপরের ভেনচিত্র অনুযায়ী (A U B) সেটের উপসেটের সংখ্যা হবে-
Ⓐ 5 Ⓑ 16 Ⓒ 32 Ⓓ 8
Ans: Ⓒ 32
[A U B = {2, 4, 6, 8, 0}
∴ AU B সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁵ = 32]

4. কোনোটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে A ⊂ B, C ⊄ B,A ∩ C ≠ Φ বজায় রেখে অঙ্কিত ভেনচিত্রটি হবে –

Ans: Ⓑ
[Ⓑ চিত্রটিতে A সম্পূর্ণরুপে В-এর মধ্যে অবস্থিত। ∴ A ⊂ B,
C-এর কিছুটা B-এর বাইরে আছে। ∴ С ⊄ B
A আর C পরস্পর ছেদ করেছে।∴ A ∩ C ≠ Φ]

5. কোনোটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C এর ক্ষেত্রে A ⊂ B, В ∩ C ≠ Φ, С ∩ A = Φ, С ⊄ B বজায় রেখে অঙ্কিত ভেনচিত্রটি হবে –

Ans: (D)

[Ⓓ চিত্রটিতে A সম্পূর্ণরুপে В-এর মধ্যে অবস্থিত। ∴ A ⊂ B,
আবার, B-এর মধ্যে কিছুটা C দখল করে আছে। ∴ В ∩ C ≠ Φ,
C আর A পরস্পর ছেদ করেনি।∴ С ∩ A = Φ,
C-এর কিছুটা B-এর বাইরে আছে।∴С ⊄ B]

SETS THEORY
CASE BASED

1. সেট সম্পর্কে ধারণা দেওয়ার জন্য একজন গণিতের শিক্ষক সসীম পদসংখ্যাবিশিষ্ট দুটি সেট A ও B লিখলেন। A ও B সেট দুটির অঙ্কবাচক (cardinal number) সংখ্যার সমষ্টি 9। A ও B সেটের সূচক সেট দুটির অঙ্কবাচক সংখ্যার অনুপাত ৪:11

[i] A সেটটির অঙ্কবাচক সংখ্যা হল —
Ⓐ 3 Ⓑ 6 Ⓒ 2 Ⓓ 9
Ans: Ⓑ 6

[ii] n(AUB) এর সর্বাধিক মান —
Ⓐ 3 Ⓑ 6 Ⓒ 9 Ⓓ 12
Ans: Ⓒ 9

[সমাধানঃ ধরি, A ও B সেটের পদসংখ্যা যথাক্রমে a ও (9 – a)
প্রশ্নানুযায়ী,
^P(A)/_P(B) = ⁸/₁
⇒ ^{2^a}/_2^9-a = 8
বা, 2^{a – 9 + a} = 2³
বা, 2a – 9 = 3
⇒ 2a = 12
বা, a = 6
∴ 9 – a = 9 – 6 = 3]

2. মনে করো, A = (a, b, c, d, e, f, g, h, i), B = {b, d, f, h), C = (a, c, e, g, i), D = {c, d, e) এবং E = (c, e)। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন সেট X এর সঙ্গে সমান হতে পারে?

[i] যখন X ও B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়
Ans: Ⓐ X = C এবং X = E
[ B এবং E পরস্পর বিচ্ছেদ সেট।
আবার, B এবং E-ও বিচ্ছেদ সেট। ]

[ii] যখন X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়
Ans: Ⓑ X = B এবং X = D
[X = D কারণ B ⊂ A কিন্তু B ⊄ C ।
আবার X = D কারণ D ⊂ A কিন্তু B ⊄ C ।]

[iii] যখন X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়
Ans: Ⓒ X = E
[E ⊂ D এবং E ⊄ B]

[iv] যখন X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D (উত্তর) Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়
Ans: Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়।
[এখানে এমন কোনো সেট নেই যেটি C এর সাবসেট এবং A এর সাবসেট নয়।]

3. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে।

[i] শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না?
Ⓐ 25% Ⓑ 15% Ⓒ 75% Ⓓ 85%
Ans: Ⓑ 15%
[এখানে n(A)= 60, n(B-A) = 25
∴ n(AUB) = n(A) + n(B-A) = 60 + 25 = 85
∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না = (100 – 85)% = 15%]

[ii] সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা কতজন B পত্রিকা পাঠ করেন?
Ⓐ 75% Ⓑ 45% Ⓒ 85% Ⓓ 25%
Ans: Ⓒ 85%
[∵ n (AUB) = 85;
∴ n(B)-এর সর্বাধিক মান হতে পারে 85]

[iii] সম্ভাব্য সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করেন?
Ⓐ 10% Ⓑ 20% Ⓒ 15% Ⓓ 25%
Ans: Ⓓ 25%
[∵ শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে।]

4. A = {x: 0 < x ≤ 2} এবং B = {x: 1 < x < 3} হলে,
[i] A ∩ B
Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1}
Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}
Ans: Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2}
[A ∩ B = {x: 0 < x ≤ 2} ∩ {x: 1 < x < 3}
= {x: 1 < x ≤ 2}]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

[ii] A U B
Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1}
Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}
Ans: Ⓐ {x: 0 < x < 3}
[A U B = {x: 0 < x ≤ 2} U {x: 1 < x < 3}
= {x: 0 < x < 3}]

[iii] A – B
Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1}
Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}
Ans: Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1}
[A – B = {x: 0 < x ≤ 2} – {x: 1 < x < 3}
= {x: 0 < x ≤ 1}]

[iv] A U B – (A ∩ B)
Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1}
Ⓒ {x: 1 ≤ x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}
Ans: Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}
[A U B – (A ∩ B)
= {x: 0 < x < 3} – {x: 1 < x ≤ 2}
= {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}]

5. প্রদত্ত X U Y = {1, 2, 3, 4}, X U Z = {2, 3, 4, 5} , X ∩ Y = {2, 3} এবং X ∩ Z = {2, 4}

[i] X সেটটি হবে —
Ⓐ {1, 2, 3} Ⓑ {2, 4, 5} Ⓒ {2, 3, 4} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ {2, 3, 4}

[ii] Y সেটটি হবে —
Ⓐ {1, 2, 4} Ⓑ {1, 2, 3} Ⓒ {2, 4, 5} Ⓓ {2, 3, 4}
Ans: Ⓑ {1, 2, 3}

[iii] Z সেটটি হবে —
Ⓐ {1, 2, 4} Ⓑ {2, 3, 4} Ⓒ {2, 4} Ⓓ {2, 4, 5}
Ans: Ⓓ {2, 4, 5}
[সমাধানঃ প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-

∴ X = {2, 3,4}
Y = {1, 2, 3}
Z = {2, 4, 5}

6. কোনও কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্র সংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রত্যেকটি গেম খেলে।

[i] কতজন ছাত্র কোনও গেম খেলে না?
Ⓐ 445 Ⓑ 110 Ⓒ 320 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ 320

[ii] কতজন ছাত্র কেবল একটি গেম খেলে
(A) 445 (B) 320 (C) 220 Ⓓ 110
Ans: Ⓓ 110

[iii] কতজন ছাত্র ঠিক দুটো গেম খেলে?
Ⓐ 110 Ⓑ 445 Ⓒ 160 Ⓓ 320
Ans: Ⓑ 445
[সমস্যাটিকে ভেন চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই,,

কোনও গেম খেলে না
= 1000 – (540 + 110 + 30)
= 1000 – 680 = 320 জন
কেবল একটি গেম খেলে
= 80 + 30 = 110 জন
ঠিক দুটো গেম খেলে
= 200 + 110 + 135 = 445 জন]

7. একটি দলে কয়েক জন ছাত্র আছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে।

[i] দলের সর্বোচ্চ ছাত্রসংখ্যা হতে পারে —
Ⓐ 105 Ⓑ 75 Ⓒ 90 Ⓓ 107
Ans: Ⓓ 107

[ii] দলের সর্বনিম্ন ছাত্রসংখ্যা হতে পারে —
Ⓐ 91 Ⓑ 90 Ⓒ 107 Ⓓ 89
Ans: Ⓑ 90

[বাংলা, হিন্দি ও ইংরাজি তে কথা বলতে পারে এমন ছাত্রের সেট যথাক্রমে B, H, E হলে,
n(BUHUE)
= n(B) + n(H) + n(E) – n(B∩H) – n(H∩E) – n(E∩B) + n(B∩H∩E)
= 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n(B∩H∩E)
⇒ 156 – 66 + n(B∩H∩E)
= 90 + n(B∩H∩E)
n(BUHUE) এর মান ক্ষুদ্রতম হবে যদি n(B∩H∩E) = 0 হয়।
∴ n(BUHUE) এর ক্ষুদ্রতম মান = 90 + 0 = 90
আবার n(BUHUE) এর মান বৃহত্তম হবে যদি n(B∩H∩E) বৃহত্তম হয়।
n(B∩H∩E) এর বৃহত্তম মান হবে (B∩H), (H∩E) এবং (E∩B) এর ক্ষুদ্রতম মান = 17
∴ n(BUHUE) এর বৃহত্তম মান = 90 + 17 = 107]

8. একটি সভার 100 জন লোকের মধ্যে 29 জন ভারতীয় মহিলা এবং 23 জন ভারতীয় পুরুষ। এই ভারতীয়দের মধ্যে 4 জন ডাক্তার এবং 24 জন হয় পুরুষ নয়তো ডাক্তার। সভায় কোনো বিদেশী ডাক্তার নেই।

[i] সভায় কতজন বিদেশী ছিলেন?
Ⓐ 43 Ⓑ47 Ⓒ 24 Ⓓ 48
Ans: (D) 48
[ii] সভায় মহিলা ডাক্তারের সংখ্যাই বা কত?
Ⓐ 1 Ⓑ 4 Ⓒ 7 Ⓓ 8
Ans: (A) 1
[সভায় ভারতীয়দের সংখ্যা = 29 + 23 = 52 জন
∴ সভায় বিদেশীর সংখ্যা = 100 – 52 = 48 জন
সভায় 24 জন হয় পুরুষ নয় ডাক্তার এবং 23 জন পুরুষ।
∴ মহিলা ডাক্তারের সংখ্যা (24 – 23) জন = 1 জন।]

Ordered Pair

July 16, 2025

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

S N DEY MATHEMATICS SOLUTION
CLASS XII
SEMESTER – III
UNIT 4 CHAPTER 1
BAYES’ THEOREM S N DEY
বেইজের উপপাদ্য

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type __________________

1. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I: 1 টি সাদা ও 2 টি কালো, বাক্স II: 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III: 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₃ Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ³/₄ Ⓓ ⁴/₅

Solution: ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, এবং C ∴ P(A) = P(B) = P(C) = ¹/₃
আরও ধরি, উত্তোলিত বলটি সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A) = ¹/_{1 + 2} = ¹/₃P(W/B) = ²/_{2 + 1} = ²/₃P(R/C) = ²/_{2 + 2} = ¹/₂যদি তোলা বলটি সাদা হয়, তবে তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল P(C/W)

\(=\frac{P(C)P(W/C)}{P(A)P(W/A) + P(B)P(W/B) + P(C)P(W/C)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}\)

= ¹/₂×⁶/_{2 + 4 + 3}
= ¹/₂×⁶/₉ = ¹/₃
Ans: Ⓐ ¹/₃

2. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C -এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁵/₁₃Ⓑ ⁶/₁₃
Ⓒ ⁴/₁₃Ⓓ ²/₁₃

Solution: ধরি, E₁, E₂ ও E₃ যথাক্রমে A, B ও C -এর লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার ঘটনা
∴ P(E₁) = ⁴/₅;∴ P(E^c₁) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
P(E₂) = ³/₄;∴ P(E^c₂) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
P(E₃) = ²/₃;∴ P(E^c₃) = 1 – ²/₃ = ¹/₃

দুটি গুলি আঘাত করার ঘটনা F হলে –
P(F) = P[(E^c₁∩ E₂∩ E₃) ∪ (E₁∩ E^c₂∩ E₃) ∪ (E₁∩ E₂∩ E^c₃)]
= P(E^c₁∩ E₂∩ E₃) + P(E₁∩ E^c₂∩ E₃) + P(E₁∩ E₂∩ E^c₃)
=P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12)
=¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 26 = ¹³/₃₀

নির্ণেয় সম্ভাবনা\(=\frac{P(E_1 ∩ E_2 ∩ E_3^c)}{P(F)}\\=\frac{\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}}{\frac{13}{30}}\)

= ¹/₅×³⁰/₁₃
= ⁶/₁₃Ans: Ⓑ ⁶/₁₃

3. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²/₅ Ⓑ ¹/₃ Ⓒ ²/₉ Ⓓ ⁴/₉

Solution: ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান।
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅;
P(W/A₂) = ³/₃₊₂ = ³/₅;
P(W/A₃) = ⁴/₄₊₁ = ⁴/₅
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₁/W)

\(=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1) + P(A_2)P(W/A_2) + P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\)

= ²/_{2 + 3 + 4} = ²/₉
Ans: Ⓒ ²/₉

4. একটি থলি A -এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B -এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভবনা হল-
Ⓐ ²⁵/₅₂ Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ⁴/₉ Ⓓ ²⁵/₅₁

Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R
∴ P(R/E₁) = ³/₂₊₃ = ³/₅
এবং P(R/E₂) = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/R)

\(=\frac{P(E_2)P(R/E_2)}{P(E_1)P(R/E_1) + P(E_2)P(R/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5}+\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{27+25}{45}+\frac{5}{9}}\)

= ⁵/₉×⁴⁵/₅₂
= ²⁵/₂₆

Ans: Ⓐ ²⁵/₅₂

5. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানির দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় বস্তুটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₇Ⓑ ²/₅
Ⓒ ³/₅Ⓓ ²/₇

Solution: ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂
∴ P(E₁) = 60% = 0.60
এবং P(E₂) = 40% = 0.40
আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = 80% = 0.80
এবং P(X/E₂) = 90% = 0.90
∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E₂/X)

\(=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(W/E_1) + P(E_2)P(W/E_2)}\)

= ^0.40×0.90/_{0.60×0.80 + 0.40×0.90}
=^0.36/_{0.48 + 0.36}
= ³⁶/₈₄= ³/₇
Ans: Ⓐ ³/₇

6. একটি থলি A এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে, অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂Ⓑ ¹/₅
Ⓒ ⁴/₅Ⓓ ¹/₇

Solution: ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/E₁) = ¹/₁₊₆ = ¹/₇
এবং P(W/E₂) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇
তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₁/W)

\(=\frac{P(E_1)P(W/E_1)}{P(E_1)P(W/E_1) + P(E_2)P(W/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4}{7}}\\=\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}+\frac{4}{7}}\)

= ¹/_{1 + 4}= ¹/₅
Ans: Ⓑ ¹/₅

7. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M₁, M₂ ও M₃ প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₃ Ⓑ ⁵/₁₃
Ⓒ ⁸/₁₃ Ⓓ ²/₁₃

Solution: ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁴/₁₇;
P(A₂) = ²⁵⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁵⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁵/₁₇;
P(A₃) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ⁴⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁸/₁₇
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 3% = ³/₁₀₀;
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀,
P(X/A₃) = 2.5% = ²⁵/₁₀₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₂/X)

\(=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(X/A_2) + P(A_2)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{5}{17}×\frac{4}{100}}{\frac{4}{17}×\frac{3}{100}+\frac{5}{17}×\frac{4}{100}+\frac{8}{17}×\frac{25}{1000}}\)

= ^5×4/_{4×3 + 5×4 + 4×5}
= ²⁰/₅₂ = ⁵/₁₃
Ans: Ⓑ ⁵/₁₃

৪. একটি বাক্সে 2 টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3 টি রৌপ্য মুদ্রা আছে অন্য একটি বাক্সে 3 টি স্বর্ণ ও 3 টি রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা হল- Ⓐ ¹/₂Ⓑ ⁴/₉Ⓒ ¹/₉Ⓓ ⁵/₉

Solution: ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ হওয়ার ঘটনা G ∴ P(G/E₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅P(G/E₂) = ³/₃₊₃ = ³/₆ = ¹/₂
নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/G)

\(=\frac{P(E_2)P(G/E_2)}{P(E_1)P(G/E_1) + P(E_2)P(G/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}+\frac{1}{2}}\)

= ¹/₂×¹⁰/_{4 + 5} = ⁵/₉
Ans: Ⓓ ⁵/₉

9. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2 টি লাল ও 4 টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে – এই ঘটনার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁰/₃₁Ⓑ ²¹/₃₁
Ⓒ ¹/₃₁Ⓓ ¹/₃

Solution: ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ;
∴ P(R/A₁) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₂) = ⁴/₄₊₅ = ⁴/₉
P(R/A₃) = ²/₂₊₄ = ²/₆ = ¹/₃যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে – এই ঘটনার সম্ভাবনা হল P(A₂/R)

\(=\frac{P(A_2)P(R/A_2)}{P(A_1)P(R/A_1) + P(A_2)P(R/A_2) + P(A_2)P(R/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{9}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{4}{9}}{\frac{3}{5}+\frac{4}{9}+\frac{1}{3}}\)

= ⁴/₉×⁴⁵/_{27 + 20 + 15}
= ⁴/₉×⁴⁵/₆₂ = ¹⁰/₃₁
Ans: Ⓐ ¹⁰/₃₁

10. কোনো বিমা কোম্পানি 2000 টি স্কুটার এবং 3000 টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02; বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₂₅₀Ⓑ ³/₅
Ⓒ ³/₄Ⓓ ¹/₄

Solution: বিমা করা একটি যানটি স্কুটার এবং মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
∴ P(A) = ²⁰⁰⁰/_{2000 + 3000} = ²/₅;
এবং P(B) = ³⁰⁰⁰/_{2000 + 3000} = ³/₅নির্বাচিত যানটির দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = 0.01 এবং P(W/B) = 0.02
∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা (B/W)

\(=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B)}\\=\frac{0.02×\frac{3}{5}}{0.02×\frac{2}{5}+0.02×\frac{3}{5}}\)

11. কোনো corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂Ⓑ ³/₂₅
Ⓒ ³/₁₀Ⓓ ²/₉

Solution: প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X
∴ P(A₁) = 0.6; P(A₂) = 0.4
এবং P(X/A₁) = 0.7; P(X/A₂) = 0.3
∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)

\(=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(X/A_2)}\)

= ^0.4×0.3/_{0.6×0.7 +0.4×0.3}
= ¹²/_{42 + 12} = ¹²/₅₄ = ²/₉
Ans: Ⓓ ²/₉

12. একটি বাক্সে 3 টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড পাবার সম্ভাবনা ²/₃ এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₂; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²⁷/₁₅₅Ⓑ ¹/₃
Ⓒ ¹/₂₄Ⓓ ¹/₂

Solution: প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মুদ্রা নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = P(B) = P(C) = ¹/₃তিনবার টস্ করলে প্রতিবারেই হেড্ পড়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = (²/₃)³ = ⁸/₂₇,
P(W/B) = (²/₃)³ = ⁸/₂₇
এবং P(W/C) = (¹/₂)³ = ¹/₈∴ মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা (C/W)

\(=\frac{P(W/C)P(C)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\\=\frac{\frac{1}{8}×\frac{1}{3}}{\frac{8}{27}×\frac{1}{3}+\frac{8}{27}×\frac{1}{3}+\frac{1}{8}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{1}{8}}\)

= ¹/₈×^8×27/_{(64 + 64 + 27)}
= ²⁷/₁₁₅
Ans: Ⓐ ²⁷/₁₅₅

13. এক পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের 25% রাশিবিজ্ঞানে, 30% গণিতে এবং 45% রাশিবিজ্ঞান বা গণিতের মধ্যে কোনো একটি বিষয়ে অকৃতকার্য হয়। একজন পরীক্ষার্থীকে উদ্দেশ্যহীনভাবে বেছে নেওয়া হয়। যদি ওই পরীক্ষার্থী গণিতে অকৃতকার্য হয়ে থাকে, তবে তার রাশিবিজ্ঞানে কৃতকার্য হওয়ার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ¹/₃Ⓑ ²/₃
Ⓒ ¹/₂Ⓓ ¹/₄

Solution: রাশিবিজ্ঞান এবং গণিতে অকৃতকার্য হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B
∴ P(A) = 0.25,              P(B) = 0.30,                P(A ∪ B) = 0.45
     P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= 0.25 + 0.30 – 0.45 = 0.10
     P(A^C/B)
= ^{P(A^C ∩ B)}/_P(B)
=^{P(B) – P(A ∩ B)}/_P(B)
= ^{0.30 – 0.10}/_0.30
= ^0.20/_0.30 = ²/₃
Ans: Ⓑ ²/₃

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
- সন্ততা
- অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
- সম্ভাবনা
- Bayes’ উপপাদ্য
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks _________________

1. Bayes’-এর উপপাদ্যের ক্ষেত্রে P(A_i/X) = _____________

\(Ⓐ\ \frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓑ\ \frac{P(A_i)P(A_i/X)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓒ\ \frac{P(X)P(A_i/X)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\\Ⓓ\ \frac{P(X)P(A_i/X)}{P(X)P(A₁/X) + P(X)P(A_2/X) + . . . + P(X)P(A_n/X)}\\Ans:\quad Ⓐ\ \frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A₁)P(X/A₁) + P(A_2)P(X/A_2) + . . . + P(A_n)P(X/A_n)}\)

2. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে, যদি 6 টি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ এর মধ্যে একটি ঘটে। যদি P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = P(A₄) = P(A₅) = P(A₆) = ¹/₆ এবং P(X/A₁) = ¹/₅, P(X/A₂) = ¹/₁₀, P(X/A₃) = ¹/₁₀, P(X/A₄) = ¹/₁₀, P(X/A₅) = ³/₁₀, P(X/A₆) = ¹/₅ হয়, তবে P(X) =_____________
Ⓐ ¹/₂Ⓑ 1
Ⓒ ¹/₆Ⓓ ¹/₃

Solution: P(X) = P(X/A₁)P(A₁) + P(X/A₂)P(A₂) + . . . + P(X/A₆)P(A₆)
= ¹/₅×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ¹/₁₀×¹/₆ + ³/₁₀×¹/₆ + ¹/₅×¹/₆
=¹/₆(¹/₅ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ³/₁₀ + ¹/₅)
= ¹/₆×^2+1+1+1+3+2/₁₀
= ¹/₆×¹⁰/₁₀ = ¹/₆
Ans: Ⓒ ¹/₆

3. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃, . . . , A_n এর মধ্যে একটি ঘটে তবে, X = _____________
Ⓐ A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . ∪ A_n
Ⓑ A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ . . . ∩ A_nⒸ (X ∪ A₁) ∩ (X ∪ A₂) ∩ (X ∪ A₃) ∩ . . . ∩ (X ∪ A_n )
Ⓓ (X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ (X ∩ A₃) ∪ . . . ∪ (X ∩ A_n)

Ans: Ⓓ (X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ (X ∩ A₃) ∪ . . . ∪ (X ∩ A_n)

4. মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে, যদি n টি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃ এর মধ্যে একটি ঘটে। যদি P(X ∩ A₁) = P(X ∩ A₂) = P(X ∩ A₃) = ¹/₁₀ হয়, তবে P(X) = _____________
Ⓐ ³/₁₀Ⓑ ¹/₁₀₀₀
Ⓒ P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃)Ⓓ 1

Solution: P(X ∩ A₁) = P(X ∩ A₂) = P(X ∩ A₃) = ¹/₁₀
n সংখ্যক ঘটনা পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ
∴ P(X) = P[(X ∩ A₁) ∪ (X ∩ A₂) ∪ P(X ∩ A₃)]
= P(X ∩ A₁) + P(X ∩ A₂) + P(X ∩ A₃)
= ¹/₁₀ + ¹/₁₀ + ¹/₁₀ = ³/₁₀
Ans: Ⓐ ³/₁₀

5. মনে করো একটি বিদ্যালয়ে V থেকে X পর্যন্ত ছাত্রছাত্রী পড়ানো হয়। ওই বিদ্যালয়ের V, VI, VII, VIII, IX এবং X-এর ছাত্রীর শতকরা হার যথাক্রমে 40%, 45%, 30%, 50%, 40% এবং 60%। আবার সমগ্র বিদ্যালয়ের V, VI, VII, VIII, IX এবং X-এর ছাত্রছাত্রীর শতকরা হার যথাক্রমে 25%, 15%, 15%, 20%, 15% এবং 10%। ওই বিদ্যালয় থেকে যদৃচ্ছভাবে একজন শিক্ষার্থী নির্বাচন করে দেখা গেল সে একজন ছাত্রী, তবে ওই ছাত্রী অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা _____________
Ⓐ ²⁰/₁₀₀Ⓑ ⁴⁰/₂₁₃
Ⓒ ¹/₁₀Ⓓ 1

Solution: বিদ্যালয়ের V থেকে X পর্যন্ত ছাত্রী হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C, D, E ও F হলে,
P(A) = 0.40,P(B) = 0.45,
P(C) = 0.30,P(D) = 0.50,
P(E) = 0.40 এবং P(F) = 0.60
আবার নির্বাচিত শিক্ষার্থী W হলে,
P(W/A) = 0.25,P(W/B) = 0.15,
P(W/C) = 0.15,P(W/D) = 0.20,
P(W/E) = 0.15,P(W/F) = 0.10
একজন ছাত্রী অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(D/W)\\=\frac{P(W/D)P(D)}{W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + . . . + P(W/F)P(F)}\)

= ^0.20×0.50/_{0.25×0.40 + 0.15×0.45 + 0.15×0.30 + 0.20×0.50 +0.15×0.40+0.10×0.60}
=^0.1000/_{0.1000+0.0675+0.0450+0.1000+0.0600+0.0600}
= ¹⁰⁰⁰/₄₃₂₅ = ⁴⁰/₁₇₃
Ans: Ⓑ ⁴⁰/₂₁₃

Column Matching _________________

1. মনে করো দুটি বক্স রয়েছে যার একটি বক্স-I এবং অপরটি বক্স-II। বক্স-I-এ 2 টি লাল ও 3 টি সাদা এবং বক্স-II-এ 3 টি লাল ও 5 টি সাদা বল রয়েছে। যদৃচ্ছভাবে একটি বক্স নির্বাচন করার পর তার থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বল তোলা হল। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] তোলা বলটি বক্স-Ⅰ-এর লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা	[a] ⁶/₃₁
[ii] তোলা বলটি বক্স-II-এর সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা	[b] ¹/₅
[iii] যদি বলটি লাল হয় তবে বলটি বক্স-I থেকে তোলার সম্ভাবনা	[c] ⁵/₄₉
[iv] যদি বলটি সাদা হয় তবে বলটি বক্স-II থেকে তোলার সম্ভাবনা	[d] ⁵/₁₆

   Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
   Ⓑ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[b]
   Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
   Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[b]

Solution: প্রথম এবং দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে P(A) = P(B) = ¹/₂
[i] তোলা বলটি বক্স-Ⅰ-এর লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A ∩ R)
= P(R/A)P(A) = ²/₅×¹/₂= ¹/₅→[b]
[ii] তোলা বলটি বক্স-II-এর সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা
= P(B ∩ W)
= P(W/B)P(B) = ⁵/₈×¹/₂= ⁵/₁₆→[d]

[iii] যদি বলটি লাল হয় তবে বলটি বক্স-I থেকে তোলার সম্ভাবনা

\(= P(A/R)\\=\frac{P(R/A)P(A)}{P(R/A)P(A)+P(R/B)P(B)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{8}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+\frac{3}{8}}\)

= ²/₅×⁴⁰/_{16 + 15} = ¹⁶/₃₁ → [a]
[iv] যদি বলটি সাদা হয় তবে বলটি বক্স-II থেকে তোলার সম্ভাবনা

\(= P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B)}\\=\frac{\frac{5}{8}×\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{5}{8}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{5}+\frac{5}{8}}\)

2. কোনো বোলটু কারখানায় M₁, M₂, M₃ মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] M₁মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[a] ¹⁶/₆₉
[ii] M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[b] ⁵³/₆₉
[iii] M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[c] ²⁵/₆₉
[iv] M₄ অথবা M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা	[d] ²⁸/₆₉

Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[b]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [ii]-[a], [iv]-[b]

Solution: M₁, M₂, M₃ মেশিনে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে,
P(A) = 0.25, P(B) = 0.35 ও P(C) = 0.40
উৎপাদিত বোলটু ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = 0.05, P(W/B) = 0.04 ও P(W/C) = 0.02
[i] M₁ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.05×0.25/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.125/_0.345 = ¹²⁵/₃₄₅ = ²⁵/₆₉ → [c]
[ii] M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.04×0.35/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.140/_0.345 = ¹⁴⁰/₃₄₅ = ²⁸/₆₉ → [d]

[iii] M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা

\(= P(C/W)\\=\frac{P(W/C)P(C)}{P(W/A)P(A) + P(W/B)P(B) + P(W/C)P(C)}\)

= ^0.02×0.40/_{0.05×0.25 + 0.04×0.35 + 0.02×0.40}
= ^0.080/_0.345 = ⁸⁰/₃₄₅ = 16/₆₉ → [a]
[iv] M₁ অথবা M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা
= M₁ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা + M₂ মেশিনের সাহায্যে বোলটুটি উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা
= ²⁵/₆₉ + ²⁸/₆₉ = ⁵³/₆₉ → [b]
Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[d], [ii]-[a], [iv]-[b]

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Relationship between Statements ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: 52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি তাস তোলা হল তাসটি লাল রঙের সাহেব হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂₆
বিবৃতি-B: 52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি তাস তোলা হল। দেখা গেল তাসটি সাহেব তবে তাসটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂

Solution: বিবৃতি-A: তাসটি সাহেব এবং তাসটি লাল রঙের নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
P(A) = ⁴/₅₂; P(B) = ²⁶/₅₂;
তাসটি লাল রঙের সাহেব হওয়ার সম্ভাবনা = P(A ∩ B) = ²/₅₂= ¹/₂₆ → বিবৃতিটি সত্যবিবৃতি-B: P(B/A) =P(A ∩ B)/P(A) = ^2/52/_4/52= ¹/₂→ বিবৃতিটি সত্য কিন্তু পরস্পর নির্ভরশীল নয়
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

2. বিবৃতি-A: Bayes’ উপপাদ্যে A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা।
বিবৃতি-B: Bayes’ উপপাদ্যে X/A₁ , X/A₂ , X/A₃ , . . . ,X/A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা।

Solution: বিবৃতি-A: Bayes’ উপপাদ্যে A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-B: Bayes’ উপপাদ্যে X/A₁ , X/A₂ , X/A₃ , . . . ,X/A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Assertion-Reasoning ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি 1 (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ,ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
  Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
   Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
   Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
   Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি A, B, C এবং D পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা চারটির একটি ঘটে। যদি P(A) = 0.3, P(B) = 0.2, P(C) = 0.6, P(D) = 0.4, P(X/A) = 0.1, P(X/B) = 0.2, P(X/C) = ¹/₆₀, P(X/D) = 0.05 হয় তবে P(B/X) = 0.4
বিবৃতি-II(R): মনে করো, X ঘটনাটি ঘটতে পারে যদি A₁ , A₂ , A₃ , . . . ,A_n পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনার একটি ঘটে তবে,

\(\quad P(A_i/X)=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+. . .+P(A_n)P(X/A_n)}\)

Solution: বিবৃতি-I:

\(\quad P(B/X)\\=\frac{P(B)P(X/B)}{P(A)P(X/A)+P(B)P(X/B)+P(C)P(X/C)+P(D)P(X/D)}\\=\frac{0.2×0.2}{0.3×0.1+0.2×0.2+0.6×\frac{1}{60}+0.4×0.5}\)

= ^0.04/_{0.03 + 0.04 + 0.01 + 0.02}
= ^0.04/_0.01 = 0.4 → বিবৃতিটি সঠিক
বিবৃতি-II: বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

2. মনে করো, A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে।
বিবৃতি-I(A): ছক্কায় সত্যিই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা ⁴/₅
বিবৃতি-II(R): ছক্কায় 5 পড়ার এবং না পড়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁এবং A₂ আবার A বলেছে 5 পড়েছে তার ঘটনা X দ্বারা প্রকাশিত হলে

\(\quad P(A_1/X)=\frac{P(A_1)P(X/A_1)}{P(A_1)P(X/A_1) + P(A_2)P(W/A_2)}\)

Solution: ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A এবং 5 না পড়ার ঘটনা B
∴ P(A) = ¹/₆; P(B) = ⁵/₆
বিবৃতি-I:
আরও ধরি, ছক্কায় 5 পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা Y
P(Y/A) = ⁸/₁₀ = ⁴/₅: P(Y/B) = ²/₁₀ = ¹/₅
নির্ণেয় সম্ভাবনা =

\(= P(A/Y)\\=\frac{P(Y/A)P(A)}{P(Y/A)P(A) + P(Y/B)P(B)}\\=\frac{\frac{4}{5}×\frac{1}{6}}{\frac{4}{5}×\frac{1}{6}+\frac{1}{5}×\frac{5}{6}}\)

= ⁴/_{4 + 5}
= ⁴/₉ ≠ ⁴/₅ → বিবৃতিটি সঠিক নয়
বিবৃতি-II: ছক্কায় 5 পড়ার এবং না পড়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁এবং A₂ আবার A বলেছে 5 পড়েছে তার ঘটনা X দ্বারা প্রকাশিত হলে P(A₁/X) = → বিবৃতিটি সঠিক
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

True and False _______________

1. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয়।
বিবৃতি-I: বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ⁸/₁₄
বিবৃতি-II: থলি A নির্বাচন করা হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂×³/₅
বিবৃতি-III: তোলা বলটি লাল হলে বলটি থলি A থেকে তোলার সম্ভাবনা ²⁷/₅₂Ⓐ বিবৃতি I, III সত্য
   Ⓑবিবৃতি II, III সত্য
   Ⓒবিবৃতি I, II সত্য
   Ⓓবিবৃতি III সত্য

Solution: প্রথম ও দ্বিতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে, P(A) = P(B) = ¹/₂
বিবৃতি-I: নির্বাচিত বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R হলে,
P(R/A) = ³/₅, P(R/B) = ⁵/₉∴ P(R) = P[(R ∩ A) ∪ (R ∩ B)]
= P(R ∩ A) + P(R ∩ B)
=P(^R/_A)P(A) + P(^R/_B)P(B)
= ³/₅×¹/₂ + ⁵/₉×¹/₂
= ¹/₂(³/₅ + ⁵/₉)
=¹/₂×^{27 + 25}/₄₅
= ¹/₂×⁵²/₄₅
= ²⁶/₄₅→ বিবৃতিটি মিথ্যাবিবৃতি-II: থলি A নির্বাচন করা হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
P(R/A) = ³/₅≠ ¹/₂×³/₅ → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-III: তোলা বলটি লাল হলে বলটি থলি A থেকে তোলার সম্ভাবনা
P(A/R) = ^P(R/A)P(A)/_P(R)
= ^3/5×1/2/_26/45
= ³/₁₀×⁴⁵/₂₆ = ²⁷/₅₂ → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓓ বিবৃতি III সত্য

2. বিবৃতি-I: Bayes’ উপপাদ্যে A₁, A₂, A₃ , . . . , A_n-এর ক্ষেত্রে
P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . A_n) =1
এবং P(A_i ∩ A_j) = 0 i , j =1, 2, . . . , n এবং i ≠ j
বিবৃতি-II: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
Ⓐ বিবৃতি । সত্য Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I ও II সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: Bayes’ উপপাদ্যে A₁, A₂, A₃ , . . . , A_n-এর ক্ষেত্রে P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ . . . A_n) =1 এবং P(A_i ∩ A_j) = 0, i , j =1, 2, . . . , n এবং i ≠ j → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) → বিবৃতিটি সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য

Diagram/Chart Based _______________

ওপরের চিত্রের মধ্য থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বিন্দু নির্বাচন করা হল। দেখা গেল নির্বাচিত বিন্দুটি লাল, তবে বিন্দুটি চিত্রের নীল অংশ থেকে নির্বাচন করার সম্ভাবনা হল- Ⓐ ¹/₅Ⓑ ⁶/₂₅
Ⓒ ¹/₄Ⓓ 0

Solution: নীল, সবুজ, লাল ও হলুদ লালঅংশ নির্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D হলে, ∴ P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = ¹/₄
নির্বাচিত বিন্দুটি লাল হওয়ার ঘটনা W হল,
P(^W/_A) = ³/₁₅ = ¹/₅, P(^W/_B) = ⁴/₁₀ = ²/₅,
P(^W/_C) = ¹/₁₀
এবং P(^W/_D) = ²/₁₅
লাল বিন্দুটি চিত্রের নীল অংশ থেকে নির্বাচন করার সম্ভাবনা

\(\quad P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)+P(W/C)P(C)+P(W/D)P(D)}\)

=^1/5×1/4/_{(1/5×1/4) + (2/5×1/4) + (1/10×1/4) + (2/15×1/4)}
=^1/5/_{1/5 + 2/5 + 1/10 + 2/15}
= ¹/₅×³⁰/_{6 + 12 + 3 + 4}
= ¹/₅×³⁰/₂₅ = ⁶/₂₅Ans: Ⓑ ⁶/₂₅

বাক্স দুটির কোনো একটি থেকে অর্ক একটি বল তুলল। অর্কর তোলা বলটি কালো হলে বলটি বাক্স 2 থেকে তোলা হয়েছে তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁵/₂₉Ⓑ ³/₅
Ⓒ ³/₁₀Ⓓ 0

Solution: বক্স 1 ও বক্স 2 নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে X ও Y হলে,
P(X) = ²/₅ এবং P(Y) = ³/₅
নির্বাচিত বলটি কালো হওয়ার ঘটনা B হলে,
P(B/X) = ⁷/₁₀, P(B/Y) = ⁵/₁₀∴ অর্কর তোলা বলটি কালো হলে বলটি বাক্স 2 থেকে তোলা হয়েছে তার সম্ভাবনা P(Y/B)

\(=\frac{P(B/Y)P(Y)}{P(B/X)P(X)+P(B/Y)P(Y)}\\=\frac{\frac{5}{10}×\frac{3}{5}}{\frac{7}{10}×\frac{2}{5}+\frac{5}{10}×\frac{3}{5}}\\=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{14}{50}+\frac{15}{50}}\)

= ³/₁₀×⁵⁰/₂₉ = ¹⁵/₂₉Ans: Ⓐ ¹⁵/₂₉

Case Based _______________

1. কোনো বিমা কোম্পানি 2000 জন স্কুটার চালক, 4000 জন মোটরগাড়ি এবং 6000 জন ট্রাক চালকের বিমা করে। স্কুটার চালক, মোটরগাড়ি চালক এবং ট্রাক চালকের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₁₀₀, ³/₁₀₀ এবং ³/₂₀

[i] ওই বিমা কোম্পানিতে বিমা করা আছে এমন একজন ব্যক্তিকে নির্বাচন করলে তিনি মোটরগাড়ি চালক এবং দুর্ঘটনাগ্রস্থ হবে তার সম্ভাবনা হল-    Ⓐ ¹/₁₀₀Ⓑ ³/₁₀₀Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: বিমা করা ব্যক্তিটি স্কুটার চালক, মোটরগাড়ি চালক এবং ট্রাক চালক হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = ²⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ²/₁₂ = ¹/₆;
  P(B) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ⁴/₁₂ = ¹/₃;
   P(C) = ⁶⁰⁰⁰/_{2000 + 4000 + 6000} = ⁶/₁₂ = ¹/₂;
ব্যক্তিটির দুর্ঘটনা ঘটানোর ঘটনা W হল,
     P(^W/_A) = ¹/₁₀₀,          P(^W/_B) = ³/₁₀₀         এবং P(^W/_C) = ³/₂₀মোটরগাড়ি চালক এবং দুর্ঘটনাগ্রস্থ হবে এমন ব্যক্তির সম্ভাবনা
= P(B ∩ W)
=P(^W/_B)P(B)
= ³/₁₀₀×¹/₃ = ¹/₁₀₀Ans: Ⓐ ¹/₁₀₀

[ii] ওই বিমা কোম্পানির কোনো একজন বিমাকারী দুর্ঘটনাগ্রস্থ হয়ে বিমার টাকার জন্য কোম্পানিতে যোগাযোগ করল। ওই ব্যক্তি একজন মোটরগাড়ি চালক হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₁₀₀Ⓑ ³/₁₀₀
Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: দুর্ঘটনাগ্রস্থ এবং মোটরগাড়ি চালক হবে এমন ব্যক্তির সম্ভাবনা

\(\quad P(B/W)\\=\frac{P(W/B)P(B)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)}\)

2. দুটি থলি I ও II আছে। । থলিতে 3টি সাদা ও 4টি কালো বল এবং II থলিতে 5টি সাদা ও 6টি কালো বল আছে। সুমন থলি দুটির একটি থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি বল তোলে।

[i] সুমন থলি I থেকে একটি সাদা বল তুলেছে তার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³/₁₄Ⓑ ³³/₆₈
Ⓒ ³/₂₆Ⓓ 0

Solution: প্রথম ও দ্বিতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
P(A) = P(B) = ¹/₂
নির্বাচিত বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W হলে,
P(W/A) = ³/₇, P(W/B) = ⁵/₁₁
∴ P(A ∩ W) = P(^W/_A)P(A) = ³/₇×¹/₂ = ³/₁₄
Ans: Ⓐ ³/₁₄

\(\quad P(A/W)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W/A)P(A)+P(W/B)P(B)}\)

=^3/7×1/2/_{(3/7×1/2) + (5/11×1/2)}
= ^3/7/_{3/7 + 5/11}
= ³/₇×⁷⁷/₆₈ = ³³/₆₈
Ans: Ⓑ ³³/₆₈

3. একটি অফিসে তিনজন কর্মী A, B ও C এক বিশেষ ধরনের ফর্ম প্রস্তুত-প্রক্রিয়াকরণ করেন। A 50% ফর্ম, B 20% ফর্ম এবং C বাকি 30% ফর্ম প্রস্তুত করেন। A -এর ত্রুটির হার 0.06, B-এর ত্রুটির হার 0.04 এবং C-এর ত্রুটির হার 0.03

[i] B ফর্ম প্রক্রিয়াকরণ করেছে এবং তাতে ত্রুটি রয়েছে এরূপ হওয়ার সম্ভাবনা-
Ⓐ 0.009         Ⓑ 0.003
Ⓒ 0.008         Ⓓ 0.002

Solution: ধরি, A, B ও C-এর দ্বারা ফর্ম প্রক্রিয়াকরণের ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C
∴ P(A) = 0.5;   P(B) = 0.2 এবং P(C) = 0.3;
ফর্মে ত্রুটি থাকার ঘটনা W হল,
P(^W/_A) = 0.06,    P(^W/_B) = 0.04    এবং P(^W/_C) = 0.03
    P(B ∩ W)
= P(^W/_B)P(B)
= 0.04×0.2 = 0.008
Ans: Ⓒ 0.008

[ii] ফর্ম প্রক্রিয়াকরণে সামগ্রিকভাবে ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা-
Ⓐ 0.03 Ⓑ 0.047
Ⓒ 0.2 Ⓓ 0.037

Solution: P(W) = P(^W/_A)P(A) + P(^W/_B)P(B) + P(^W/_C)P(C)
= 0.06×0.5 + 0.04×0.2 + 0.03×0.3
= 0.030 + 0.008 + 0.009 = 0.047
Ans: Ⓑ 0.047

[iii] কোম্পানিটির ম্যানেজার মান পরীক্ষা করতে চান। পরিদর্শনের সময় তিনি যদৃচ্ছভাবে প্রস্তুত হয়ে থাকা ফর্মগুলি থেকে একটি বেছে নেন। যদি ওই বাছাইকৃত ফর্মটি ত্রুটিপূর্ণ হয়ে থাকে, তবে সেই ফর্মটি A -এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত না হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁷/₄₇ Ⓑ ³⁰/₄₇
Ⓒ ⁸/₄₇ Ⓓ ³⁹/₄₇

Solution: ফর্মটি A -এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত হওয়ার সম্ভাবনা
= P(^A/_W)
= ^P(W/A)P(A)/_P(W)
=^0.06×0.5/_0.047
= ^0.030/_0.047 = ³⁰/₄₇∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1 – ³⁰/₄₇= ¹⁷/₄₇
Ans: Ⓐ ¹⁷/₄₇

[iv] যদি ফর্ম প্রক্রিয়াকরণের সময় ভুল করার ঘটনা E দ্বারা সূচিত হয় এবং E₁, E₂ ও E₃ দ্বারা যথাক্রমে ওই ত্রুটিপূর্ণ ফর্মটির A, B ও C-এর দ্বারা প্রক্রিয়াকৃত হওয়ার ঘটনা নির্দেশিত হয়, তবে -এর মান –
Ⓐ 0.1 Ⓑ 0.2 Ⓒ 1.1 Ⓓ 1

Solution:

\(\quad \sum_{i=1}^{3}P\left(\frac{E_i}{E}\right)\\=P\left(\frac{E_1}{E}\right)+P\left(\frac{E_i}{E}\right)+P\left(\frac{E_i}{E}\right)\\=P\left(\frac{A}{W}\right)+P\left(\frac{B}{W}\right)+P\left(\frac{C}{W}\right)\\=\frac{P(W/A)P(A)}{P(W)}+\frac{P(W/B)P(B)}{P(W)}+\frac{P(W/C)P(C)}{P(W)}\)

= ^0.06×0.5/_0.047 + ^0.04×0.2/_0.047 + ^0.03×0.3/_0.047
=³⁰/₄₇ + ⁸/₄₇ + ⁹/₄₇
= ⁴⁷/₄₇ = 1
Ans: Ⓓ 1

সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন →

← সম্ভাবনা (PROBABILITY)

November 13, 2022

Category: HS MATHEMATICS

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

Conventional Type

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

Analytical/Skill Based Type Fill in the Blanks

COLUMN MATCHING

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

SEMESTER-I SET THEORY

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

REARRANGEMENT OF SENTENCES / EVENTS

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

RELATIONSHIP BETWEEN STATEMENT

1. বিবৃতি-A: যে সেটের উপাদান সংখ্যা সসীম, সেই সেটকে সসীম সেট বলে। বিবৃতি-B: যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট

2. বিবৃতি-A: মূলদ (Q) ও অমূলদ(QC) সংখ্যা মিলে পাওয়া যায় বাস্তব সংখ্যার সেট। বিবৃতি-B: Q U QC = R

ASSERTION-REASONING

1. বিবৃতি-I(A): অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট। বিবৃতি-II(R): যদি a ∈ A ⇒ a ∈ B হয়, তবে A ⊆ B ।

2. বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: x2 – 3x + 2 = 0, x ∈ R} এবং B = {x: x2 – 1 = 0, x ∈ ℕ} হয়, তবে n (A ∪ B) = 2 বিবৃতি-II(R): B ⊂ A হলে, n(A ∪ B) = n(A)

TRUE AND FALSE

SETS THEORYDIAGRAM / CHART BASED

1. নীচের কোন চিত্রটি Ac ∩ B কে নির্দেশ করে?

2. নীচের কোন বিকল্পটি উপরের ভেনচিত্রটিকে নির্দেশ করে?

4. কোনোটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে A ⊂ B, C ⊄ B,A ∩ C ≠ Φ বজায় রেখে অঙ্কিত ভেনচিত্রটি হবে –

Ans: Ⓑ[Ⓑ চিত্রটিতে A সম্পূর্ণরুপে В-এর মধ্যে অবস্থিত। ∴ A ⊂ B,C-এর কিছুটা B-এর বাইরে আছে। ∴ С ⊄ BA আর C পরস্পর ছেদ করেছে।∴ A ∩ C ≠ Φ]

SETS THEORYCASE BASED

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORYএস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

SOLUTION OF BAYES’ THEOREM S N DEY SEMESTER 3 বেইজের উপপাদ্য

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. বিবৃতি-A: যে সেটের উপাদান সংখ্যা সসীম, সেই সেটকে সসীম সেট বলে।
বিবৃতি-B: যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট

2. বিবৃতি-A: মূলদ (Q) ও অমূলদ(Q^C) সংখ্যা মিলে পাওয়া যায় বাস্তব সংখ্যার সেট।
বিবৃতি-B: Q U Q^C = R

1. বিবৃতি-I(A): অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট।
বিবৃতি-II(R): যদি a ∈ A ⇒ a ∈ B হয়, তবে A ⊆ B ।

2. বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: x² – 3x + 2 = 0, x ∈ R} এবং B = {x: x² – 1 = 0, x ∈ ℕ} হয়, তবে n (A ∪ B) = 2
বিবৃতি-II(R): B ⊂ A হলে, n(A ∪ B) = n(A)

SETS THEORY
DIAGRAM / CHART BASED

1. নীচের কোন চিত্রটি A^c ∩ B কে নির্দেশ করে?

SETS THEORY
CASE BASED

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব