Category: HS MATHEMATICS

SOLUTION OF PROBABILITY S N DEY SEMESTER 3 সম্ভাবনা

সম্ভাবনা
SEMESTER-3

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)                                                                            প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36।
Ⓑ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও A ∩ B ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
Ⓒ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
Ⓓ P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।

Solution: Ⓐ P(A) = 0.28, P(A ∩ B) = 0.36
আমরা জানি, P(A ∩ B) ≤ P(A)
কিন্তু এখানে P(A ∩ B) ≥ P(A) – এটি সম্ভব নয়।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓑ P[A ∩ (A ∩ B)] = P(A ∩ B) = P(A)P(B) . . . [∵A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন]
∴ A ও A ∩ B ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓒ  P(A^C ∩ B^C)
= P(A ∪ B)^C
=1 – P(A ∪ B)
= 1 – P(A) – P(B) + P(A ∩ B)
= 1 – P(A) – P(B) + P(A)P(B) . . . [∵A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন]
=1[1 – P(A)] – P(B)[1 – P(A)]
= (1 – P(A))(1 – P(B))
= P(A^C)P(B^C)
∴ বিবৃতিটি সত্য।
Ans:  Ⓒ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।

2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
Ⓐ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
Ⓑ P(A/B) > P(B/A)
Ⓒ P(A ∩ B) ≤ P(A) + P(B) – 1 
Ⓓ P(A^C ∩ B^C) = 1 – P(A ∩ B)

Solution: 0 ≤ P(A ∩ B)
⇒ 0 ≤ P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
⇒ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) → সত্য।
Ans:  Ⓐ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ P(A^C ∩ B^C)  দ্বারা A এবং B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
Ⓑ যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ হয়, তবে P( A ∪ B ∪ C) = 1
Ⓒ P(AC ∪ BC) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
Ⓓ একটি যদৃচ্ছ পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)

Ans:  Ⓑ যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ হয়, তবে P( A ∪ B ∪ C) = 1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/B^C) = P(A) হবে।
Ⓑ যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(A ∪ B) = P(A) + P(B) হবে।
Ⓒ একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা  বিন্দু পাওয়া যাবে।
    Ⓓ একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য  নমুনা বিন্দু থাকে।

Solution: Ⓐ P(A/B^C)
= ^{P(A ∩ Bc)}/_P(Bc)
= ^{P(A) – P(A ∩ B)}/_{1 – P(B)} ≠ P(A) → সত্য নয়।
Ⓑ যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) হবে। → সত্য নয়।
Ⓒ একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6ⁿ সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া  যাবে। → সত্য নয়।
Ⓓ একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষার নমুনাদেশে 2⁵ = 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে। → সত্য।
Ans:  Ⓓ একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ⁵/₈ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
Ⓐ 5 : 13        Ⓑ 5 : 3
Ⓒ 3 : 5        Ⓓ 8 : 13

Solution: একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ⁵/₈
∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ
= (8 – 5) : 5 = 3 : 5
Ans:  Ⓒ 3 : 5

6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ⁹/₁₃     Ⓑ ⁴/₁₃
Ⓒ ⁴/₉       Ⓓ ⁵/₁₃

Solution: একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4
∴ ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা
= ⁴/_{9 + 4} = ⁴/₁₃
Ans:  Ⓑ ⁴/₁₃

7. একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
Ⓐ 4 : 7        Ⓑ 7 : 4
Ⓒ 4 : 3        Ⓓ 3 : 4

Solution: একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ 
∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ
= 4 : (7 – 4) = 4 : 3
Ans:  Ⓒ 4 : 3

৪. প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ⁶/₁₁        Ⓑ ⁵/₆
Ⓒ ⁴/₁₁        Ⓓ ⁵/₁₁

Solution: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 5 টি।
∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে = ⁵/₁₁
Ans:  Ⓓ ⁵/₁₁

9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড্ পাওয়ার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ¹/₂        Ⓑ ⁵/₈
Ⓒ ³/₄       Ⓓ ³/₈

Solution: একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে তার নমুনাদেশ হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
∴ একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে 1 টি হেড্ পাওয়ার সম্ভাবনা = ³/₈
Ans:  Ⓓ ³/₈

10. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে-
Ⓐ ¹/₁₈      Ⓑ ¹/₉
Ⓒ ¹/₁₂      Ⓓ ⁵/₃₆

Solution: সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার নমুনাবিন্দু (5, 6), (6, 5)
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ²/₃₂  = ¹/₁₈
Ans:  Ⓐ ¹/₁₈

11. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ³/₅ ও P(A ∩ B) = ⁴/₉ হলে, P(B) -এর মান হবে-
Ⓐ ⁵/₉         Ⓑ ⁸/₉
Ⓒ ⁵/₂₇       Ⓓ ²⁰/₂₇

Solution: A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা।
∴ P(A ∩ B) = P(A)×P(B)
⇒ ⁴/₉ = ³/₅×P(B)
⇒ P(B) = ²⁰/₂₇
Ans  Ⓓ ²⁰/₂₇ 

12. P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবংP(A ∩ B) = ²/₉ হলে, P(A/B) -এর মান হবে-
Ⓐ ⁷/₁₈    Ⓑ ¹⁴/₂₇
Ⓒ ⁵/₁₈    Ⓓ ⁴/₉

Solution: P(A/B)
= ^{P(A ∩ B)}/_P(B)
=^2/9/_4/7
= ²/₉×⁷/₄ = ⁷/₁₈
Ans:  Ⓐ ⁷/₁₈

13. P(A ∩ B) = ⁵/₁₃ হলে, P(A^c U B^C) -এর মান হবে-
Ⓐ ⁴/₁₃     Ⓑ ⁶/₁₃
Ⓒ ⁷/₁₃     Ⓓ ⁸/₁₃

Solution: P(A^c U B^C)
= P(A ∩ B)^C
=1 – P(A ∩ B)
= 1 – ⁵/₁₃ = ⁸/₁₃
Ans:  Ⓓ ⁸/₁₃

14. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা এবং P(AUB) = P(A) + P(B) হলে –
Ⓐ A ও B পরস্পর পৃথক
Ⓑ A ও B সমভাবে সম্ভব
Ⓒ A ও B সম্পূর্ণ
Ⓓ A ও B পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(AUB) = P(A) + P(B) হলে A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা।
Ans:  Ⓐ A ও B পরস্পর পৃথক

15. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, P(A) = P(B) ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
     Ⓐ A ও B পরস্পর পৃথক      Ⓑ A ও B সমভাবে সম্ভব      Ⓒ A ও B সম্পূর্ণ      Ⓓ A ও B পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(A) = P(B) হলে A ও B সমভাবে সম্ভব।
Ans: Ⓑ  A ও B সমভাবে সম্ভব

16. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা এবং P(A U B) = 1 হলে-
Ⓐ A ও B পরস্পর পৃথক
Ⓑ A ও B সমভাবে সম্ভব
Ⓒ A ও B সম্পূর্ণ 
Ⓓ A ও B পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(A U B) = 1 হলে A ও B সম্পূর্ণ ঘটনা।
Ans:  Ⓒ A ও B সম্পূর্ণ

17. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা এবং P(A/B) = P(A) হলে-
Ⓐ A ও B স্বাধীন
Ⓑ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য
Ⓒ A ও B পরস্পর পৃথক
Ⓓ A ও B পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(A/B) = P(A)
⇒ ^{P(A ∩ B)}/_P(B) = P(A)
⇒ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
∴ A ও B স্বাধীন
Ans: Ⓐ A ও B স্বাধীন

18. কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A₁, A₂ A₃ হলে বিকল্পগুলির কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
Ⓐ P( A₁ U A₂ U A₃) = 1
Ⓑ P(A₁ U A₂ U A₃ ) = P(A₁ + P(A₂) + P(A₃)
Ⓒ P( A₁ U A₂ U A₃ ) = 1 এবং P(A₁ U A₂ U A₃ ) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)
Ⓓ P( A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 0

Solution: A₁, A₂ A₃ ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ।
∴ P( A₁ U A₂ U A₃ ) =1
 আবার A₁, A₂ A₃ হলে পরস্পর পৃথক।
∴ P(A₁ U A₂ U A₃ ) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)
Ans:  Ⓒ P( A₁ U A₂ U A₃ ) = 1 এবং P(A₁ U A₂ U A₃ ) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

19. যদি (A U B U C) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হয় তবে, বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটির দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে?
Ⓐ P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P(C) = 0.1
Ⓑ P(A) = 0.4, P(B) = 0.6, P(C) = 0.2
Ⓒ P( A ∪ B) = 0.5, P(B) = 0.6, P(C)= 0.2
Ⓓ P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 P( B ∩ C) = 0.1

Solution: (A U B U C) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
∴ (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 হতে হবে।
Ⓐ P(A) + P(B) + P(C) = 0.2 + 0.7 + 0.1 = 1 → সত্য
Ans:  Ⓐ P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P(C) = 0.1

20. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P(Z) এবং X ∪ Y ∪ Z = S যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান হল-
Ⓐ ³/₁₁      Ⓑ ⁴/₁₁
Ⓒ ⁵/₁₁      Ⓓ ⁶/₁₁

Solution: X ∪ Y ∪ Z = S
∴ P(X ∪ Y ∪ Z) = P(S) = 1
⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
⇒ P(X) + ¹/₂×P(X) + ¹/₃×P(X) = 1
⇒P(X)(1 + ¹/₂ + ¹/₃) = 1
⇒ P(X) × ^{6 + 3 + 2}/₆ = 1
⇒P(X) × ¹¹/₆ = 1
⇒ P(X) = ⁶/₁₁
Ans:  Ⓓ ⁶/₁₁

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  • ম্যাট্রিক্স PART 1
  • ম্যাট্রিক্স PART 2
• 2. নির্ণায়ক
  • মাইনর ও সহ-উৎপাদক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
  • সম্ভাবনা
  • Bayes’ উপপাদ্য
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

21. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
Ⓑ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Ⓒ P(A ∪ B) ≥ P(A) + P(B)
Ⓓ P( A ∪ B) = 1

Solution: 0 ≤ P(A ∩ B)
⇒ 0 ≤ P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
⇒ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
Ans:  Ⓐ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

22. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ P(A) ≥ P(A ∩ B) ≤ P(A) + P(B) – 1
Ⓑ P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
Ⓒ P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) > P(B)
Ⓓ P(A) < P(A/B)

Solution:  A ∩ B ⊆ A
∴ P(A ∩ B) ≤ P(A) . . . (i)
 A  ⊆ A ∪ B
∴ P(A) ≤ P(A ∪ B) . . . (ii)
     0 ≤ P(A ∩ B)
⇒ 0 ≤ P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
⇒ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) . . . (iii)
    (i), (ii)ও (iii) থেকে পাই,
P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
Ans:  Ⓑ P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

23. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল্’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড্’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়, তবে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ P( A ∩ B) = 0
Ⓑ P(A ∩ B) = P(A)
Ⓒ P(A ∩ B) = P(B)
Ⓓ A ও B স্বাধীন

Solution: তিনবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HHH, HHT, HTH, HTT, ΤΗΗ, ΤΗΤ, ΤTH, TTT}
∴ A = {THH, ΤΗΤ, ΤΤΗ, TTT}
B = {HHH, HHT, ΤΗΗ, ΤΗΤ}
∴ P(A) = P(B) = ⁴/₈ = ¹/₂
এবং A ∩ B = {THH, THT}
∴ P(A ∩ B)
= ²/₈ = ¹/₄
= ¹/₂ × ¹/₂ = P(A).P(B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।
Ans:  Ⓓ A ও B স্বাধীন

24. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল e_i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:   A = (e₁, e₂, e₃, e₄);   B = (e₃, e₄, e₅, e₆);    C = (e₃, e₄, e₇, e₈)
      বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ A, B ও C পরস্পর স্বাধীন
Ⓑ P(A ∩ B ∩ C) = 0
Ⓒ P(A ∩ B ∩ C) ≠ P(A)P(B)P(C)
Ⓓ P(A ∩ B) = P(A)

Solution: P(A) = P(B) = P(C) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(A ∩ B ∩ C) = {e₃, e₄} = ²/₈ = ¹/₄
P(A)P(B)P(C) = ¹/₂ × ¹/₂ × ¹/₂ = ¹/₈ ≠ P(A ∩ B ∩ C)
Ans: Ⓒ P(A ∩ B ∩ C) ≠ P(A)P(B)P(C)

25. P(A) = ¹/₃, P(B) = ¹/₂, P(A ∩ B) = ¹/₄ হলে A ও B ঘটনা দুটি –
Ⓐ পরস্পর পৃথক        Ⓑ স্বাধীন
Ⓒ সমভাবে সম্ভাব্য     Ⓓ সম্পূর্ণ নয়

Solution: P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=¹/₃ + ¹/₂  – ¹/₄
= ^{4 + 6 – 3}/₁₂ = ⁷/₁₂ ≠ 1
 ∴ A ও B ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়।
Ans:  Ⓓ সম্পূর্ণ নয়

26. যদি 2P(A) = P(B) = ⁵/₁₃ এবং P(A/B) = ²/₅ হয়, তবে P(A U B) =
Ⓐ ¹¹/₂₆       Ⓑ 1
Ⓒ ¹⁵/₂₆      Ⓓ ¹⁰/₁₃

Solution: 2P(A) = ⁵/₁₃ ⇒ P(A) = ⁵/₂₆
P(B) = ⁵/₁₃     P(A/B) = ²/₅
∴ P(A ∩ B)
= P(A/B)×P(B)
= ²/₅×⁵/₁₃ = ²/₁₃
∴ P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=⁵/₂₆ + ⁵/₁₃ – ²/₁₃
= ^{5 + 10 – 4}/₂₆ = ¹¹/₂₆
 Ans: Ⓐ ¹¹/₂₆

27. যদি P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(A^C U B^C) = 0.7 হয়, তবে P(A/B^C) =
Ⓐ 0.3         Ⓑ 0.31
Ⓒ 0.32      Ⓓ 0.33

Solution:  P(A^cUB^c) = 0.7
⇒ P(A ∩ B)^c = 0.7
⇒1 – P(A ∩ B) = 0.7
⇒ P(A ∩ B) = 0.3
আবার P(A/B) = 0.8
⇒ ^{P(A ∩ B)}/_P(B) = 0.8
⇒^0.3/_P(B) = 0.8
⇒ P(B) = 0.375
এবং  P(B/A) = 0.6
⇒ ^P(A∩B)/_P(A) = 0.6
⇒0.3/_P(A) = 0.6
⇒ P(A) = 0.5
এখন, P (A/B^c)
= ^{P(A ∩ Bc)}/_P(Bc)
=^{P(A – A∩B)}/_{1 – P(B)}
= ^{P(A) – P(A∩B)}/_{1 – P(B)}
=^{0.5 – 0.3}/_{1 – 0.375} = 0.32
Ans:  Ⓒ 0.32

28. যদি P(A) = ²/₃, P(B) = ¹/₂ এবং P(A U B) = ⁵/₆ হয়, তবে P(B/A) -এর মান হবে-
Ⓐ ¹/₂         Ⓑ ¹/₃
Ⓒ ¹/₄         Ⓓ ¹/₆

Solution: P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= ²/₃ + ¹/₂ – ⁵/₆ = ¹/₃
P(B/A)
= ^P(A∩B)/_P(A)
= ^1/3/_2/3 = ¹/₂
Ans:  Ⓐ ¹/₂

29. দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁴⁷/₅₄         Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ²/₃             Ⓓ ⁵/₇

Solution: প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B।
P(A) = ⁷/₉,    P(B) = ⁵/₁₂
অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা
= P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=P(A) + P(B) – P(A).P(B) . . .  [∵ A এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন]
= ⁷/₉ + ⁵/₁₂ – ⁷/₉×⁵/₁₂
= ^{84 + 45 – 35}/₁₀₈
=⁹⁴/₁₀₈ = ⁴⁷/₅₄
Ans: Ⓐ ⁴⁷/₅₄

30. দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইনটারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₆ এবং ¹/₇ হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার-
Ⓐ ¹/₂         Ⓑ ²/₇
Ⓒ ¹/₆         Ⓓ ¹/₇

Solution: A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা A এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা B
রমেশের কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=P(A) + P(B) – P(A).P(B) . . . [∵ A এবং B স্বাধীন]
= ¹/₆ + ¹/₇ – ¹/₆×¹/₇
= ^{7 + 6 – 1} /₄₂
=¹²/₄₂ = ²/₇
Ans:  Ⓑ ²/₇

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  • ম্যাট্রিক্স PART 1
  • ম্যাট্রিক্স PART 2
• 2. নির্ণায়ক
  • মাইনর ও সহ-উৎপাদক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
  • সম্ভাবনা
  • Bayes’ উপপাদ্য
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

32. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₅        Ⓑ ²/₅ 
Ⓒ ⁴/₅        Ⓓ ³/₅

Solution: বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B।
∴ P(A) = ³⁰/₅₀,  P(B) = ²⁵/₅₀  এবং P(A ∩ B) = ¹⁵/₅₀
বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A U B)
=P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ³⁰/₅₀ + ²⁵/₅₀ – ¹⁵/₅₀ = ⁴/₅
Ans:  Ⓒ ⁴/₅

33. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা, B-এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³⁷/₄₀     Ⓑ ³/₄
Ⓒ ⁷/₁₀         Ⓓ ²¹/₄₀

Solution: A-এর সমাধান করার ঘটনা A এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা B।
P(A) = 0.75,  P(B) = 0.70
P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=P(A) + P(B) – P(A)P(B) . . .[ ∵ P(A) এবং P(B) ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন]
= 0.75 + 0.70 – 0.75×0.70
= 1.450 – 0.525 = 0.925 = ³⁷/₄₀
Ans:  Ⓐ ³⁷/₄₀

34. 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 70 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 5 এবং 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 80 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 8 : 6। দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ³¹/₄₉    Ⓑ ³⁰/₄₉
Ⓒ ⁵/₁₄      Ⓓ ³/₇

Solution:  প্রথম ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা B।
P(A) = ⁵/₁₄, P(B) = ⁶/₁₄
A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন,
সুতরাং P(A ∩ B) = P(A)P(B)
দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
= P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=P(A) + P(B) – P(A)P(B)
= ⁵/₁₄ + ⁶/₁₄ – ⁵/₁₄×⁶/₁₄
= ^{70 + 84 – 30}/_14×14
=¹²⁴/_14×14 = ³¹/₄₉
Ans:  Ⓐ ³¹/₄₉

35. A ও B এই দুজন পরীক্ষার্থী Joint Entrance-এর মাধ্যমে ভরতি হতে ইচ্ছুক। A র নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 এবং A ও B-এর একই সঙ্গে নির্বাচিত হওয়ার সর্বাধিক সম্ভাবনার মান 0.3 হলে, B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা p হলে, বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ p = 0.9      Ⓑ p ≤ 0.5
Ⓒ p = 0.5      Ⓓ p ≥ 0.5

Solution: A ও B-এর নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B
এখন, P(A ∪ B)  ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
⇒0.5 + P(B) – 0.3 ≤ 1
⇒ P(B) ≤ 0.8
Ans:  Ⓑ p ≤ 0.5     

36. ছাত্রদের সঙ্গে শ্রেণিতে মিলিত হয়ে একজন শিক্ষকের হঠাৎ পরীক্ষা নেওয়ার সম্ভাবনা ¹/₅। যদি একজন ছাত্র দুদিন অনুপস্থিত থাকে তবে তার অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁶/₂₅            Ⓑ ⁷/₂₅
Ⓒ ⁸/₂₅            Ⓓ ⁹/₂₅

Solution:  E হল পরীক্ষা নেওয়ার ঘটনা। P(E) = ¹/₅
∴ P(E^c) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হবে যদি EE^c, E^cE অথবা EE ঘটনা তিনটির মধ্যে যে-কোনো একটি ঘটে।
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
= P(EE^c) + P(E^cE) + P(EE)
=P(E)P(E^c) + P(E^c)P(E) + P(E)P(E)
= ¹/₅×⁴/₅ + ⁴/₅×¹/₅ + ¹/₅×¹/₅
=  ^{4 + 4 + 1}/₂₅ = ⁹/₂₅
Ans:  Ⓓ ⁹/₂₅

37. মনে করো, প্রথম n -সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে যথেচ্ছভাবে নেওয়া একটি সংখ্যা 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B দিয়ে সূচিত হয়। A ও B স্বাধীন হবে যখন-
Ⓐ n = 96             Ⓑ n = 98
Ⓒ n = 99             Ⓓ n = 100

Solution: P(A) = ⁴⁸/₉₆ = ¹/₂,
P(B) = ³²/₉₆= ¹/₃
∴ P(A ∩ B)
= ⁶/₉₆ = ¹/₆ = ¹/₂×¹/₃ = P(A)P(B)
∴ A ও B স্বাধীন হবে যখন n = 96
Ans:  Ⓐ n = 96

38. একটি থলিতে 8 টি লাল বল ও 5 টি সাদা বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে প্রতি বারে 3 টি করে পরপর দু-বার বল তোলা হয়। প্রথমবারে 3 টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3 টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂₀₄₄₉            Ⓑ ¹/₄₂₉
Ⓒ ¹⁴⁰/₂₀₄₄₉      Ⓓ ⁷/₄₂₉

Solution: প্রথমবারে সাদা বল তোলার ঘটনা W ও দ্বিতীয়বারে লাল বল তোলার ঘটনা R হলে,
নির্ণেয় সম্ভাবনা
= P(W)×P(R/W)
= ^5C3/_13C3×^8C3/_10C3
                [⁵C₃ = ^5×4×3/₆ = 10;   ¹³C₃ = ^13×12×11/₆ = 13×2×11; 
                 ⁸C₃ = ^8×7×6/₆ = 56;   ¹⁰C₃ = ^10×9×8/₆ = 120]
=¹⁰/_13×2×11×⁵⁶/₁₂₀
=  ⁵/₁₄₃   ×⁷/₁₅
= ¹/₄₂₉
Ans: Ⓓ ⁷/₄₂₉

39. একটি থলিতে 5 টি সাদা, 7 টি লাল এবং 3 টি কালো বল আছে। পুনরায় প্রতিস্থাপন না করে থলি থেকে একটি একটি করে তিনটি বল তোলা হয়। একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা-
Ⓐ ¹/₆₅     Ⓑ ⁷/₆₅
Ⓒ 0           Ⓓ ⁸/₆₅

Solution: প্রথমবার, দ্বিতীয়বার এবং তৃতীয়বার লাল বল না তোলার ঘটনা A হলে P(A) = ⁸/₁₅
দ্বিতীয়বার এবং তৃতীয়বার লাল বল না তোলার ঘটনা B হলে P(B) = ⁷/₁₄ = ¹/₂
এবং তৃতীয়বার লাল বল না তোলার ঘটনা C হলে P(C) = ⁶/₁₃
একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A ∩ B ∩ C)
=P(A)×P(B)×P(C)
= ⁸/₁₅×¹/₂×⁶/₁₃ = ⁸/₆₅
Ans: Ⓓ ⁸/₆₅

40. যদি A ও B দুটি ঘটনা এবং P(B) ≠ 1 হয়, তবে P(A/B^c) =
Ⓐ ^{P(A) – P(A ∩ B)}/_{1 – P(B)}
Ⓑ ^{P(A) – P(A ∩ B)}/_{1 + P(B)}
Ⓒ ^{P(A) + P(A ∩ B)}/_{1 + P(B)}
Ⓓ ^P(A)/_{1 – P(B)}

Solution:  P(A/B^c)
= ^{P(A ∩ Bc)}/_P(Bc)
= ^{P(A) – P(A ∩ B)}/_{1 – P(B)}
Ans: Ⓐ ^{P(A) – P(A ∩ B)}/_{1 – P(B)}

41. যদি P(A) = a, P(B) = b হয়, তবে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ P(A/B) > ^{(a + b – 1)}/_b
Ⓑ P(A/B) > a
Ⓒ P(A/B) > b
Ⓓ P(A/B) = ^{(a + b – 1)}/_b

Solution: P(A ∪ B) ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ≤ 1
⇒P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A ∩ B
⇒a + b – 1 ≤ P(A/B) P(B)
⇒ a + b – 1 ≤ P(A/B).b 
⇒ P(A/B) ≥ ^{(a + b – 1)}/_b
Ans:  Ⓐ P(A/B) > ^{(a + b – 1)}/_b

42. 1, 2, 3, . . . , 100 চিহ্নিত 100 টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4 টি টিকিট তোলা হয়। 2 টি টিকিটের চিহ্নিত অঙ্ক 1 থেকে 40 এবং অপর 2 টির 41 থেকে 100 হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ⁶/₂₅           Ⓑ ⁴/_100C4
Ⓒ ^{40C2 + 60C2}/_100C4
Ⓓ ^{40C2 × 60C2}/_100C4

Solution: 100 টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4 টি টিকিট তোলা যায় ¹⁰⁰C₄ উপায়ে।
1 থেকে 40 পর্যন্ত 2 টি টিকিট কাটা যায় ⁴⁰C₂ উপায়ে এবং 41 থেকে 100 পর্যন্ত 2 টি টিকিট কাটা যায় ⁶⁰C₂ উপায়ে।
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ^{40C2 × 60C2}/_100C4
Ans:  Ⓓ ^{40C2 × 60C2}/_100C4

43. মনে করো, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A ∪ B) = 0.58 P( A ∩ B) = 0.12 , P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ হল-
Ⓐ 0.2 ও 0.6     Ⓑ 0.3 ও 0.4
Ⓒ 0.1 ও 0.12     Ⓓ 1 ও 0.12

Solution: P(A ∪ B) = 0.58
⇒ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.58
⇒P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.58
⇒ P(A) + P(B) – 0.12 = 0.58
⇒ P(A) + P(B) = 0.70
আবার  P(A ∩ B) = 0.12
⇒ P(A)P(B) = 0.58  . . . [∵A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন]
∴ P(A) + P(B) = 0.70 = 0.30 + 0.40
এবং P(A ∩ B) = 0.12 = 0.30×0.40
P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ 0.3 ও 0.4
 Ans:  Ⓑ 0.3 ও 0.4

44. A, B, C ঘটনা তিনটি এমন যে, P(A) = 0.3 , P(B) = 0.4, P(C) = 0.8 , P(A ∩ B) = 0.08 , P(A ∩ C) = 0.28 এবং P(A ∩ B ∩ C) = 0.09 । যদি P(A ∪ B ∪ C) ≥ 0.75 হয়, তবে-
Ⓐ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.48
Ⓑ 0.3 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.4
Ⓒ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.4
Ⓓ 0.3 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.48

Solution: 0.75 ≤ P( A ∪ B ∪ C) ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C) ≤ 1
⇒ 0.75 ≤ 0.3 + 0.4 + 0.8 – 0.08 – P(B ∩ C) – 0.28 + 0.09 ≤ 1
⇒0.75 ≤ 1.23 – P(B ∩ C) ≤ 1
⇒ -0.48 ≤ – P(B ∩ C) ≤ -0.23
⇒ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.483
Ans:  Ⓐ 0.23 ≤ P(B ∩ C) ≤ 0.48

45. A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। যদি B, C এবং D ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 7 : 2, 7 : 5 এবং 13 : 5 হয়, তবে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ হবে-
Ⓐ 637 : 50    Ⓑ 13 : 2
Ⓒ 1 : 11            Ⓓ 11 : 1

 Solution: P(B) = ²/_9,  P(C) = ⁵/_12,   P(D) = ⁵/₁₈
     P(A + B + C + D) = 1 . . . [∵A, B, C ও D সম্পূর্ণ ঘটনা]
⇒ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1 . . . [∵A, B, C ও D পৃথক ঘটনা]
⇒P(A) = 1 – ²/₉ – ⁵/₁₂ – ⁵/₁₈
⇒ P(A)= ^{36 – 8 – 15 – 10}/₃₆
⇒ P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂
∴ A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ
= 1 : (12 – 1) = 1 : 11
 Ans:  Ⓒ 1 : 11

46. গণিতের একটি অঙ্ক তিনজন ছাত্রকে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়; অঙ্কটি তাদের পক্ষে স্বাধীনভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₂, ¹/₃ এবং ¹/₄  হলে তাদের মধ্যে কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা-
Ⓐ ²³/₂₄        Ⓑ ¹/₂₄
Ⓒ ¹¹/₂₃          Ⓓ ¹¹/₂₄

Solution: তিনজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে,
P(A) = ¹/_2,  P(B) = ¹/₃,  P(C) = ¹/₄
∴ P(A^c) = ¹/_2.   P(B^c) = ²/_3,     P(C^c) = ³/₄
কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা
= P(AB^cC^c + A^cBC^c + A^cB^cC)
= P(A)P(B^c)P(C^c) + P(A^c)P(B)P(C^c) + P(A^c)P(B^c)P(C)
=¹/₂ײ/₃׳/₄ + ¹/₂×¹/₃׳/₄ + ¹/₂ײ/₃×¹/₄
= ^{6 + 3 + 2}/₂₄ = ¹¹/₂₄
Ans:  Ⓓ ¹¹/₂₄

47. একজন প্রার্থী তিনটি চাকরির ইনটারভিউ-এর জন্য নির্বাচিত হন। প্রথম চাকরির জন্য 3 জন, দ্বিতীয়টির জন্য 4 জন এবং তৃতীয়টির জন্য 2 জন প্রার্থী আছেন। ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂₄            Ⓑ ³/₄ 
Ⓒ ²³/₂₄         Ⓓ 1

Solution: প্রার্থীর প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চাকরি পাওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে,
 P(A) = ¹/_3,   P(B) = ¹/_4,  P(C) = ¹/₂  
∴ প্রার্থীর পক্ষে একটিও চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা
 =  P(A^c ∩ B^c ∩ C^c)
= P(A^c)P(B^c)P(C^c)
=(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄)(1 – ¹/₂)
= ²/₃׳/₄×¹/₂ = ¹/₄
 ∴ প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটিও চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা 
= 1 – ¹/₄ = ³/₄
Ans:  Ⓑ ³/₄

48. একটি থলিতে 2 টি লাল ও 3 টি সাদা এবং অপর একটি থলিতে 1 টি লাল ও 2 টি সাদা বল আছে। যদি উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হয়, তবে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁷/₃₀       Ⓑ ¹⁹/₃₀
Ⓒ ²³/₃₀      Ⓓ ¹³/₃₀

Solution: ধরি, প্রথম এবং দ্বিতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A এবং B হলে,
P(A) = P(B) = ¹/₂
নির্বাচিত বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W  হলে,
P(W/A) = ³/_5,      P(W/B) = ²/₃
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
=  P(W/A)×P(A) + P(W/B)×P(B)
= ³/₅×¹/₂ + ²/₃×¹/₂
=^{9 + 10}/₃₀  =  ¹⁹/₄₈
Ans:  Ⓑ ¹⁹/₃₀

49. 4 টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। বাক্স 4 টিতে যথাক্রমে 2 টি, 3 টি, 1 টি, 0 টি খারাপ ডিম আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে 1 টি ডিম তোলা হয়। তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₈       Ⓑ ⁷/₈
Ⓒ 0          Ⓓ 1

Solution:  ধরি, প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ বাক্স নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A, B, C এবং D হলে,
  P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = ¹/₄
 নির্বাচিত ডিমটি খারাপ হওয়ার ঘটনা W  হলে,
P(W/A) = ²/_12,  P(W/B) = ³/_12,
P(W/C) = ¹/_12,   P(W/D) = ⁰/₁₂
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
=  P(W/A)×P(A) + P(W/B)×P(B) + P(W/C)×P(C) + P(W/D)×P(D)
= ²/₁₂×¹/₄ + ³/₁₂×¹/₄ + ¹/₁₂×¹/₄ + ⁰/₁₂×¹/₄
=^{2 + 3 + 1 + 0}/₄₈
=  ⁶/₄₈  =  ¹/₈
Ans:  Ⓐ ¹/₈

50. 0, 1, 2, . . . , 9 এই দশটি অঙ্ক থেকে প্রতিবারে একটি করে অঙ্ক দুবার তোলা হয়। নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হওয়ার সম্ভাবনা হল (দেওয়া আছে যে, দ্বিতীয় অঙ্কটি তোলার আগে প্রথমে তোলা অঙ্কটি পুনঃস্থাপন করা হয়)-
Ⓐ ¹⁹/₁₀₀     Ⓑ ¹⁰/₈₁
Ⓒ ¹/₁₀₀       Ⓓ ¹/₁₀

Solution: প্রথম অঙ্কটি শূন্য হওয়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় অঙ্কটি শূন্য হওয়ার ঘটনা B হলে,
  P(A) = ¹/₁₀   এবং P(B) = ¹/₁₀ 
P(A ∩ B) = P(A)×P(B) = ¹/₁₀× ¹/₁₀  = ¹/₁₀₀
∴ P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ¹/₁₀  + ¹/₁₀  – ¹/₁₀₀  = ¹⁹/₁₀₀
Ans:  Ⓐ ¹⁹/₁₀₀

51. 1, 2, 3, . . . , 9 অঙ্কগুলি থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি অঙ্ক নেওয়া হয়। যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, তবে একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₄        Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ³/₄        Ⓓ ⁵/₆

Solution: 1, 2, 3, . . . , 9 এর মধ্যে অযুগ্ম ও যুগ্ম অঙ্ক আছে যথাক্রমে 5 টি ও 4 টি।
অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হলে একটি অযুগ্ম ও একটি যুগ্ম অঙ্ক নিতে হবে।
9 টি থেকে 2 টি অঙ্ক নেওয়া যায় ⁵C₁×⁴C₁ বা 5×4 বা 20 উপায়ে।
 একটি অঙ্ক 6 হলে অপর অঙ্কটি অযুগ্ম হতে হবে।
1 টি অঙ্ক অযুগ্ম নেওয়া যায় ⁵C₁ বা 5 উপায়ে।
নির্ণেয় সম্ভাবনা = ⁵/₂₀ = ¹/₄
Ans:  Ⓐ ¹/₄

52. একজন পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার সম্ভাবনা 70% এবং রসায়নে পাস করার সম্ভাবনা 40%। দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²³/₅₀      Ⓑ ⁴⁹/₅₀
Ⓒ ¹/₅₀       Ⓓ ²⁷/₅₀

Solution: পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার ঘটনা A এবং রসায়নে পাস করার ঘটনা B হলে, P(A) = 0.7        ∴ P(A^c) = 0.3
P(B) = 0.4        ∴ P(B^c) = 0.6
দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা
= P(AB^c) + P(A^cB)
= P(A)P(B^c) + P(A^c)P(A)
=0.7×0.6 + 0.3×0.4
= 0.42 + 0.12
= 0.54 = ²⁷/₅₀
Ans:  Ⓓ ²⁷/₅₀

53. 50, 60 ও 70 বছর বয়স্ক তিনজন ব্যক্তি আছেন। 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা 0.8, 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.5 এবং 70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.2। ব্যক্তি তিনজনের মধ্যে কমপক্ষে দুজনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 0.2        Ⓑ 0.3
Ⓒ 0.4        Ⓓ 0.5

Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে “50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা”, “60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” এবং “70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা” নির্দেশ করে।
P(A) = 0.8        ∴ P(A^c) = 0.2
P(B) = 0.5        ∴P(B^c) = 0.5
P(C) = 0.2        ∴P(C^c) = 0.8
কমপক্ষে 2 জনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
= P(A)×P(B)×P(C^c)+ P(A^c)×P(B)×P(C)+ P(A)×P(B^c)×P(C) + P(A)×P(B)×P(C)
= 0.8×0.5×0.8+ 0.2×0.5×0.2+ 0.8×0.5×0.2+ 0.8×0.5×0.2
=0.320 + 0.020 + 0.080 + 0.080
= 0.5
Ans: Ⓓ 0.5

54. তিনজন ছাত্রকে একটি অঙ্ক সমাধান করতে দেওয়া হল যাদের সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄ তাদের অঙ্কটিকে সমাধান করার ঘটনা স্বাধীন হলে, অঙ্কটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা-
Ⓐ ¹/₄        Ⓑ ²/₃
Ⓒ ¹/₂        Ⓓ ³/₄

Solution: প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের একটি অঙ্ক সমাধান করতে পারার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে
P(A) = ¹/₂,   P(B) = ¹/₃,   P(C) = ¹/₄
∴ অঙ্কটির সমাধান না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A^c ∩ B^c ∩ C^c)
= P(A^c)P(B^c)P(C^c)
=(1 – ¹/₂)(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄)
= ¹/₂ײ/₃׳/₄ = ¹/₄
অঙ্কটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – ¹/₄ = ³/₄
Ans:  Ⓓ ³/₄

55. A, B এবং C-এর পক্ষে কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₃, ¹/₅ ও ¹/₄ । যদি তারা একসঙ্গে চেষ্টা করে, তবে ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁷/₃₀       Ⓑ ¹³/₃₀ 
Ⓒ ⁷/₃₀        Ⓓ ²³/₃₀

Solution: A. ধরি A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে ” A দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা “,” B দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা ” এবং ” C দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা” নির্দেশ করে।
P(A) = ¹/_3,  ∴ P(A^c) = ²/₃
P(B) = ¹/₅,  ∴ P(B^c) = ⁴/₅
P(C) = ¹/₄    ∴ P(C^c) = ³/₄
∴ ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা
= P(A)×P(B^c)×P(C^c) + P(A^c)×P(B)×P(C^c) + P(A^c)×P(B^c)×P(C)
=¹/₃×⁴/₅׳/₄ + ²/₃×¹/₅׳/₄ + ²/₃×⁴/₅×¹/₄
=¹²/₆₀ + ⁶/₆₀ + ⁸/₆₀
= ²⁶/₆₀ = ¹³/₃₀
Ans:  Ⓑ ¹³/₃₀

56. তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার অনুকূলে সুযোগ যথাক্রমে 5:2, 4:3 এবং 3:4। তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹/₂        Ⓑ ²⁰⁹/₃₄₃
Ⓒ 0           Ⓓ 1

Solution: প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমালোচক কর্তৃক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে
P(A) = ⁵/₇,   P(B) = ⁴/₇,   P(C) = ³/₇,
∴ অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা
= P(ABC) + P(A^cBC) + P(AB^cC) + P(ABC^c)
= P(A)P(B)P(C) + P(A^c)P(B)P(C) + P(A)P(B^c)P(C) + P(A)P(B)P(C^c)
=⁵/₇×⁴/₇׳/₇ + ²/₇×⁴/₇׳/₇ + ⁵/₇׳/₇׳/₇ + ⁵/₇×⁴/₇×⁴/₇
= ^{60 + 24 + 45 + 80}/₃₄₃
= ²⁰⁹/₃₄₃
Ans:  Ⓑ ²⁰⁹/₃₄₃

57. কোনো কোম্পানির পরিচালকমণ্ডলীর পদের জন্য দু-দল প্রার্থী প্রতিযোগিতা করে। প্রথম ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। যদি প্রথম দল জয়লাভ করে, তবে নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু করার সম্ভাবনা 0.8 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3। নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 0.6        Ⓑ 0.5
Ⓒ 0.3        Ⓓ 0.2

Solution: ধরি, নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার ঘটনা A এবং প্রথম দলের জয়লাভ করার ঘটনা B দ্বারা নির্দেশিত হয়।
নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা = P(A)
১ম দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা = P(B)=0.6
২য় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা = P(B^c)=0.4
 প্রশ্নানুসারে, P(A/B) = 0.8      P(A/B^c)=0.3
     P(A)= P(A ∩ B) + P(A ∩ B^c)
= P(B)×P(A/B) + P(B^c)×P(A/B^c)
= 0.6×0.8 + 0.4×0.3 = 0.6
Ans:  Ⓐ 0.6

58. একজন ব্যক্তি রিপোর্ট করেন যে, পরীক্ষার সময় কোনো জীবাণুর A ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.62 এবং B ওষুধের সঙ্গে ওই সম্ভাবনা 0.53। A ও B উভয় ওষুধের সঙ্গে জীবাণুর বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.18 এবং কারও সঙ্গে বিক্রিয়া না করার সম্ভাবনা 0.13। পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন করা উচিত কি?
Ⓐ হ্যাঁ               Ⓑ না
Ⓒ বলা সম্ভব নয় 
Ⓓ তথ্য অসম্পূর্ণ

Solution: ধরি, X এবং Y হল জীবাণুর যথাক্রমে A এবং B ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার ঘটনা নির্দেশ করে
P(X) = 0.62     P(Y) = 0.53
P(X ∩ Y) = 0.18
     P(X^c ∩ Y^c) = 0.13
বা, P(X U Y)^c = 0.13
বা, P(X U Y) = 1 – 0.13 = 0.87
আবার, P(X U Y)
= P(X) + P(Y) – P(X ∩ Y)
= 0.62 + 0.53 – 0.18 = 0.97
এক্ষেত্রে P (XUY)-এর দুটি মান পাওয়া যাচ্ছে।
∴ Report নিয়ে প্রশ্ন করা উচিত
Ans:  Ⓐ হ্যাঁ

59. এলোপাথাড়িভাবে বিন্যাসিত 52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি তাস তুলে ফেলে দেওয়া হল। অবশিষ্ট 50 টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁶/₁₃            Ⓑ ⁷/₁₃
Ⓒ ¹²/₁₃          Ⓓ ¹/₁₃

Solution: ফেলে দেওয়া তাস দুটি নিম্নরূপে হতে পারে:
A) 2টি তাসই টেক্কা
 এক্ষেত্রে মোট উপায় ⁴C₂
∴ অবশিষ্ট 50 টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা ²/₅₀
B) 1টি তাস টেক্কা
এক্ষেত্রে মোট উপায় ⁴C₁×⁴⁸C₁
∴ অবশিষ্ট 50 টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা ³/₅₀
C) একটিও টেক্কা নয়
 এক্ষেত্রে মোট উপায় ⁴⁸C₂
∴ অবশিষ্ট 50 টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা ⁴/₅₀
নমুনা দেশের অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = ⁵²C₂
নির্ণেয় সম্ভাবনা
= A ঘটনার সম্ভাবনা + B ঘটনার সম্ভাবনা + C ঘটনার সম্ভাবনা
= ^4C2/_52C2ײ/₅₀ + ^4C1×48C1/_52C2׳/₅₀ + ^48C2/_52C2×⁴/₅₀
=¹/_52C2×50[4C2×2 + 4C1×48C1×3 + 48C2×4]
= ¹/_1326×50[6×2 + 4×48×3 + 1128×4]
= ¹/_1326×50×12(1 + 48 + 94×4]
=¹/_221×25×(1 + 48 + 376]
= ¹/_221×25×425
= ¹⁷/₂₂₁  = ¹/₁₃
Ans:  Ⓓ ¹/₁₃

60. এক জোড়া ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে ছোড়া হয়। পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা, যখন প্রথম পাশায় 5 পড়ে-
Ⓐ 1          Ⓑ ²/₃
Ⓒ ¹/₃      Ⓓ 0

Solution: পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার নমুনা বিন্দু = {(4, 6), (5,5), (5,6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
 প্রথম পাশায় 5 পড়ার ঘটনা A হলে P(A) = ¹/₆
পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার ঘটনা B হলে P(B) = ⁶/₃₆ = ¹/₆
     P(A ∩ B) = ²/₃₆ = ¹/₁₈
∴ P(B/A) = ^{P(A ∩ B)}/_P(A) = ^1/18/_1/6   = ¹/₃
Ans:  Ⓒ ¹/₃

61. একটি শত্রুবিমান-বিধ্বংসী বন্দুক থেকে পলায়মান শত্রুবিমানের দিকে সর্বাধিক 4 টি গুলি নিক্ষেপ করা যায়। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.4, 0.3, 0.2 ও 0.1 হলে, বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 0.2             Ⓑ 0.3
Ⓒ 0.5             Ⓓ 0.6976

Solution: P(A) = 0.4    ∴ P(A^c) = 0.6;
P(B) = 0.3      ∴ P(B^c) = 0.7
P(C) = 0.2      ∴ P(C^c) = 0.8
P(D) = 0.1       ∴ P(D^c) = 0.9
বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা
= 1- [P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)×P(D^c)]
= 1 – (0.6×0.7×0.8×0.9) = 0.6976
Ans:  Ⓓ 0.6976

62. A ও B এই দুই অংশের সমন্বয়ে কোনো কোম্পানির একটি বস্তু উৎপাদিত হয়। A অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে 100 টির মধ্যে প্রায়শই 9 টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। আবার, B অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে প্রায়শই 100 টির মধ্যে 5 টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 0.8645            Ⓑ 0.8654
Ⓒ0.6845             Ⓓ0.8645

Solution: A অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A) = ⁹/₁₀₀
∴ P(A^c) = ⁹¹/₁₀₀
B অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= P(B) = ⁵/₁₀₀
∴ P(B^c) = ⁹⁵/₁₀₀
সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁹¹/₁₀₀×⁹⁵/₁₀₀
= ⁸⁶⁴⁵/₁₀₀ = 0.8645
Ans:  Ⓐ 0.8645

63. শিশুদের তিনটি দলে যথাক্রমে 3 জন বালিকা ও 1 জন বালক, 2 জন বালিকা ও 2 জন বালক এবং 1 জন বালিকা ও 3 জন বালক আছে। প্রত্যেক দল থেকে যথেচ্ছভাবে 1 জন শিশু নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা হল –
Ⓐ ¹/₃₂             Ⓑ ¹³/₃₂
Ⓒ ¹⁹/₃₂          Ⓓ ²¹/₃₂
Solution: (i) ১ম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালিকা থাকার সম্ভাবনা = ¹/₄ײ/₄×¹/₄ = ¹/₃₂
 (ii) ১ম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালিকা, তৃতীয় দল হতে বালক থাকার সম্ভাবনা = ¹/₄ײ/₄׳/₄ = ³/₃₂
(iii) ১ম দল হতে বালিকা, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালক থাকার সম্ভাবনা = ³/₄ײ/₄׳/₄ = ⁹/₃₂
 নির্ণেয় সম্ভাবনা
= ¹/₃₂ + ³/₃₂ + ⁹/₃₂ = ¹³/₃₂
Ans: Ⓑ ¹³/₃₂

64. একটি ছ-তলবিশিষ্ট পাশার এমন ঝোঁক আছে যে, অযুগ্ম সংখ্যা যত বার পড়ে যুগ্ম সংখ্যা তার দ্বিগুণ সংখ্যক বার পড়ে। পাশাটি দু-বার ছোড়া হয়। দু-বারে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁴/₉             Ⓑ ⁵/₉
Ⓒ ¹/₃₆           Ⓓ ¹/₂

Solution: ধরি অযুগ্ম সংখ্যা পড়ে x বার এবং যুগ্ম সংখ্যা পড়ে 2x বার
∴ ঝোঁকশূন্য পাশায় অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা P(A) = ^x/_{x + 2x} = ¹/₃,
 যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা P(B) = ^2x/_{x + 2x} = ²/₃
 দুবারই অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(A)×P(A)
= ¹/₃×¹/₃ = ¹/₉  – – – [∵ দুটি অযুগ্ম সংখ্যার সমষ্টি যুগ্ম হয়]
এবং দুবারই যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(B) ×P(B)
= ²/₃ײ/₃ = ⁴/₉
∴ প্রাপ্ত ফলের সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা = ¹/₉ + ⁴/₉ = ⁵/₉
Ans:  Ⓑ ⁵/₉            

65. একটি ঝোঁকশূন্য পাশার তিনটে তল হলদে, দুটি তল লাল এবং একটি নীল। পাশাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 0                Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ³⁵/₃₆     Ⓓ ¹/₃₆

Solution: হলুদ পড়ার ঘটনা, লাল পড়ার ঘটনা এবং নীল পড়ার ঘটন Y, R এবং N হলে,
P(Y) = ³/₆, P(R) = ²/₆, P(N) = ¹/₆
∴ নির্ণেয় সম্ভাবন
= ³/₆ײ/₆×¹/₆ = ¹/₃₆
Ans:  Ⓓ ¹/₃₆

66. A ও B-এর মধ্যে ঝোঁকশূন্য পাশা নিয়ে খেলা হয়। যে প্রথম ‘ছয়’ ফেলতে পারে সেই জিতে যায়। যদি A খেলা আরম্ভ করে তবে, তার খেলায় জেতার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ⁵/₁₁             Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ⁶/₁₁             Ⓓ ¹/₂

Solution: P(A) = ¹/_6,   P(B)= ¹/₆
      A-এর খেলায় জেতার সম্ভাবনা
= P(A) +P(A^c∩B^c∩A) +P(A^c∩B^c∩A^c∩B^c∩A) + . . . .
=¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ + . . . . = ¹/₆[1 +(⁵/₆)² + (⁵/₆)⁴ + . . . . ]
=⁵/₆×[¹/_{(1 – 25/36)}]
= ¹/₆×[¹/_11/36
= ¹/₆׳⁶/₁₁ = ⁶/₁₁
Ans:  Ⓒ ⁶/₁₁

67. A, B এবং C পর্যায়ক্রমে একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণ করে। যে প্রথমে ‘হেড্’ ফেলে সেই জিতে যায়। প্রত্যেকের জয়লাভ করার সম্ভাবনা হল যথাক্রমে-
Ⓐ ⁴/₇, ²/₇, ¹/₇ 
Ⓑ ²/₇, ⁴/₇, ¹/₇
Ⓒ ⁴/₇, ¹/₇, ²/₇
Ⓓ ¹/₇, ²/₇, ⁴/₇

Solution: হেড্ পড়ার সম্ভাবনা = ¹/₂
      A জেতার সম্ভাবনা
= P(A) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A) +P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C^c∩A) + . . . .
=¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + . . . .
= ¹/₂[1 +¹/₈ +¹/₆₄ + . . . .]
= ¹/₂×[¹/_{(1 – 1/8)} = ⁴/₇

      B জেতার সম্ভাবনা
= P(A^c∩B)+ P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B)+ P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B) + . . . .
=¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + . . . .
= ¹/₄[1 +¹/₈ +¹/₆₄ + . . . .]
= ¹/₄×[¹/_{(1 – 1/8)} = ²/₇
      C জেতার সম্ভাবনা
= 1 – ⁴/₇ – ²/₇
= ¹/₇
Ans:  Ⓐ ⁴/₇, ²/₇, ¹/₇

68. একটি থলিতে 5 টি লাল ও 4টি হলদে রঙের বল আছে। থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয় এবং অপর একটি থলিতে রাখা হয় যার মধ্যে 3 টি লাল ও 6 টি হলদে বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি হলদে রঙের হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²⁸/₄₅            Ⓑ ²⁹/₄₅
Ⓒ ²¹/₄₅             Ⓓ ¹/₄₅

Solution:  প্রথম ক্ষেত্র:  প্রথম তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₉;
তারপর তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₉×⁶/₁₀
দ্বিতীয় ক্ষেত্র:  প্রথম তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₉;
তারপর তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₉×⁷/₁₀
∴ নির্নেয় সম্ভাবনা
= ⁵/₉×⁶/₁₀ + ⁴/₉×⁷/₁₀
=¹/₉₀(30 + 28)
= ¹/₉₀×56 = ²⁸/₄₅
Ans:  Ⓑ  ²⁹/₄₅

69. 2 টি একই ধরনের থলির প্রত্যেকটিতে 5 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1 টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হয়। তারপর প্রথম থলি থেকে একটি বল তোলা হয়; তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা হল –
Ⓐ ¹/₃             Ⓑ ¹¹/₁₇
Ⓒ ¹/₄             Ⓓ ¹/₂

Solution: প্রথম ক্ষেত্র: দ্বিতীয় থলি হতে তোলা বল লাল হলে সম্ভাবনা ⁵/₁₀
তারপর প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀×⁶/₁₁
দ্বিতীয় ক্ষেত্র: দ্বিতীয় থলি হতে তোলা বল সাদা হলে সম্ভাবনা ⁵/₁₀
তারপর প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀×⁵/₁₁
∴ নির্নেয় সম্ভাবনা
= ⁵/₁₀×⁶/₁₁ + ⁵/₁₀×⁵/₁₁
=⁵/₁₁₀×(6 + 5)
= ¹/₂₂×11 = ¹/₂
Ans:  Ⓓ  ¹/₂

70. একটি পাত্র A-র মধ্যে 3 টি সাদা ও 5 টি লাল মারবেল আছে। অন্য একটি পাত্র B-এর মধ্যে 5 টি সাদা এবং 3 টি লাল মারবেল আছে। A পাত্র থেকে B পাত্রে 2 টি মারবেল স্থানান্তর করা হয় এবং তারপর B পাত্র থেকে 1 টি মারবেল তোলা হয়। উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ¹⁷/₄₀             Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ²¹/₄₀             Ⓓ ²³/₄₀

Solution:  প্রথম ক্ষেত্র: পাত্র থেকে নেওয়া মার্বেল  2টি লাল হলে সম্ভাবনা ^5C2/_8C2;
তারপর B পাত্র থেকে 1 টি মারবেল তোলা হলে উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ^5C2/_8C2×⁵/₁₀ = ¹⁰/₂₈×⁵/₁₀
দ্বিতীয় ক্ষেত্র:A পাত্র থেকে নেওয়া মার্বেল 2টি সাদা হলে সম্ভাবনা ^3C2/_8C2;
তারপর B পাত্র থেকে 1 টি মারবেল তোলা হলে উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ^3C2/_8C2׳/₁₀ = ³/₂₈׳/₁₀
তৃতীয় ক্ষেত্র: 1টি লাল ও 1টি সাদা হলে সম্ভাবনা ^3C1×5C1/_8C2;
তারপর B পাত্র থেকে 1 টি মারবেল তোলা হলে উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা ^3C1×5C1/_8C2×⁴/₁₀ = ^3×5/₂₈×⁴/₁₀
∴ নির্নেয় সম্ভাবনা
= ¹⁰/₂₈×⁵/₁₀ + ³/₂₈׳/₁₀ + ^3×5/₂₈×⁴/₁₀
=¹/₂₈₀×(50 + 9 + 60)
= ¹/₂₈₀×119 = ¹⁷/₄₀
Ans:  Ⓐ  ¹⁷/₄₀

71. তিনটি থলির প্রত্যেকটিতে 5 টি লাল ও 5 টি কালো বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে প্রথম থলি থেকে একটি বল দ্বিতীয় থলিতে এবং তারপর দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তৃতীয় থলিতে স্থানান্তর করা হয়। এখন, তৃতীয় থলি থেকে একটি বল তোলা হয়। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ 1             Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ²/₃       Ⓓ ³/₄

Solution: i) প্রথম থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂
এক্ষেত্রে দ্বিতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁶/₁₁ এবং তৃতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁶/₁₁ ×⁶/₁₁
আবার দ্বিতীয় থলি হতে কালো বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁵/₁₁ এবং তৃতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁵/₁₁×⁵/₁₁
ii) প্রথম থলি হতে কালো বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂
এক্ষেত্রে দ্বিতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁵/₁₁ তৃতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁵/₁₁×⁶/₁₁
আবার দ্বিতীয় থলি হতে কালো বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁶/₁₁ এবং তৃতীয় থলি হতে লাল বল তোলার সম্ভাবনা ¹/₂×⁶/₁₁×⁵/₁₁
∴ নির্নেয় সম্ভাবনা
= ¹/₂×⁶/₁₁ ×⁶/₁₁ + ¹/₂×⁵/₁₁×⁵/₁₁ + ¹/₂×⁵/₁₁×⁶/₁₁ + ¹/₂×⁶/₁₁×⁵/₁₁
= ¹/_2×11×11 × (6×6+ 5×5 + 5×6 + 6×5)
=¹/_2×11×11 × (36+ 25 +30 + 30)
= ¹/_2×11×11 × 121 = ¹/₂
Ans:  Ⓑ ¹/₂

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. A, B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P( A ∪ B) = __________ I
Ⓐ P(A) + P(B)
Ⓑ P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Ⓒ P(A) + P(B) – 1
Ⓓ P(A)P(B)

Solution: A, B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে,
P( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Ans:  Ⓑ P(A) + P(B) – P(A)P(B)

2. A, B ঘটনা দুটি পৃথক হলে P( A ∪ B) = __________ |
Ⓐ P(A) + P(B)
Ⓑ P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Ⓒ P(A) + P(B) – 1
Ⓓ P(A)P(B)

Solution: A, B ঘটনা দুটি পৃথক হলে P( A ∪ B) = P(A) + P(B)
Ans: Ⓐ P(A) + P(B)

3. A, B ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা = __________
Ⓐ P(A) + P(B) – P(A)P(B)
Ⓑ P(A) + P(B)
Ⓒ P(A) + P(B) – 2P(A ∪ B)
Ⓓ P(A)P(B)

Solution: A, B ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∪ B) – P(A ∩ B)
=P(A) + P(B) – P(A ∩ B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – 2P(A ∪ B)
Ans: Ⓒ P(A) + P(B) – 2P(A ∪ B)

4. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ²/₅, P(B) = ¹/₃, হলে P(A ∪ B) = __________ I
Ⓐ ¹¹/₁₅    Ⓑ 0
Ⓒ 1           Ⓓ ³/₅

Solution: A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ²/₅, P(B) = ¹/₃
∴ P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A)×P(B)
=²/₅ +  ¹/₃  – ²/₅ × ¹/₃
= ^{6 + 5 – 2}/₁₅
= ⁹/₁₅ = ³/₅
Ans: Ⓓ ³/₅

5. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35 , P(A অথবা B) = 0.85 এবং (A এবং B) = 0.15 তবে P(A) =__________
Ⓐ 0.50      Ⓑ 0.65
Ⓒ 0.20      Ⓓ 1

Solution: P(B) = 0.35 , P(A ∪ B) = 0.85 এবং (A ∩ B) = 0.15
     P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇒ P(A) = P(A ∪ B) – P(B) + P(A ∩ B)
⇒ P(A) = 0.85 – 0.35 + 0.15 = 0.65
Ans: Ⓑ 0.65

6. P(E) = ¹/₃, P(F) = ¹/₄ এবং P(E ∩ F)= ¹/₆ হলে P( E^C ∪ F) = __________ 
Ⓐ ⁵/₆        Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ¹¹/₁₂      Ⓓ ²/₃

Solution: P(E) = ¹/₃, P(F) = ¹/₄ এবং P(E ∩ F)= ¹/₆
∴ P( E^C ∪ F)
= P(E^C) + P(F) – P(E^C ∩ F)
= 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E ∩ F)]
=1 – P(E) + P(E ∩ F)
= 1 – ¹/₃ + ¹/₆
= ⁵/₆
Ans: Ⓐ ⁵/₆

7. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে P(A) = ¹/₂ ও P(A ∪ B)= ²/₃ হলে, P(B)= __________
Ⓐ ¹/₄      Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ¹/₃      Ⓓ ¹/₅

Solution:  A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা
  ∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
⇒ ²/₃ = ¹/₂ + P(B)
⇒ P(B) = ²/₃ – ¹/₂ = ¹/₆
Ans: Ⓑ ¹/₆

8. P(A) = ⁴/₁₁, P(B) = ⁷/₁₁ এবং P(A ∩ B) = ²/₉ হলে, P(A/B) = __________
Ⓐ ²²/₆₃    Ⓑ ⁴¹/₆₃
Ⓒ ¹¹/₁₈       Ⓓ ⁷/₁₈

Solution:  P(A/B)
= ^{P(A ∩ B)}/_P(B)
= ^2/9/_7/11
=²/₉ × ¹¹/₇ = ²²/₆₃
Ans:  Ⓐ ²²/₆₃

9. A চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটির ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা __________
Ⓐ ³/₅        Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ¹¹/₁₂      Ⓓ ¹⁹/₂₀

Solution: A লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারবে তার ঘটনা A এবং B আঘাত করতে পারবে তার ঘটনা B।
∴ P(A) = ³/₄ এবং P(B)= ⁴/₅
     P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A)P(B) . . . [A এবং B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন]
=³/₄ + ⁴/₅– ³/₄ × ⁴/₅
= ¹⁹/₂₀
Ans:  Ⓓ ¹⁹/₂₀

10. A 4 বারের মধ্যে 3 বার এবং B 6 বারের মধ্যে 5 বার সত্য কথা বলে। একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার সম্ভাবনা __________ 
Ⓐ ³/₅      Ⓑ ¹/₆
Ⓒ ¹¹/₁₂    Ⓓ ¹/₃

Solution: A এবং B এর সত্য কথা বলার ঘটনা A এবং B
∴ P(A) = ³/_{4 ,}      P(B) = ⁵/₆
একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার  সম্ভাবনা
= P(A)P(B^c) + P(A^c)P(B)
= ³/₄ × (1 – ⁵/₆) + (1 – ³/₄) × ⁵/₆
=³/₄×¹/₆ + ¹/₄ × ⁵/₆
= ^{3 + 5}/₂₄ = ¹/₃
Ans:  Ⓓ ¹/₃

11. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে__________
      Ⓐ ⁵/₉      Ⓑ ⁴/₉      Ⓒ ⁴/₅      Ⓓ ¹/₉

Solution: ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
Ans:  Ⓐ ⁵/₉

12. A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনাসমূহ, যদি P(A) = ³/₅ ও (B) = ¹/₆ হয়, তবে P(C)-এর মান __________ হবে
Ⓐ ²³/₃₀     Ⓑ ⁷/₃₀
Ⓒ ¹/₁₀         Ⓓ ⁹/₁₀

Solution: P(A U B U C) = 1
⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
⇒ ³/₅ + ¹/₆ + P(C) = 1
⇒²³/₃₀ + P(B) = 1
⇒ P(B) = 1 – ²³/₃₀ = ⁷/₃₀
Ans: Ⓑ ⁷/₃₀

13. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, P(A ∩ B) = 0 ক্ষেত্রে ঘটনা দুটির সম্পর্ক __________
 Ⓐ পরস্পর পৃথক
Ⓑ সমভাবে সম্ভব
Ⓒ সম্পূর্ণ
Ⓓ পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(A ∩ B) = 0 হলে, A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হবে।
Ans: Ⓐ পরস্পর পৃথক

14. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, P(A ∩ B) ≠ 0 – এর ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি __________
Ⓐ সমভাবে সম্ভাব্য নয়
Ⓑ স্বাধীন
Ⓒ পরস্পর পৃথক
Ⓓ পরস্পর পৃথক নয়

Solution: P(A ∩ B) ≠ 0 হলে, A ও B দুটি পরস্পর পৃথক নয়।
Ans: Ⓓ পরস্পর পৃথক নয়

15. Ā ও B̅ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পুরক ঘটনা হলে P(Ā বা B̅) __________
Ⓐ 1 – P(A)P(B/A)   Ⓑ 1 – P(B)P(B/A)
Ⓒ 1 – P(A)P(A/B)   Ⓓ P(A)P(B/A)
Solution: P(Ā বা B̅)
= P(Ā U B̅)
= P(A ∩ B)
=1 – P(A ∩ B)
= 1 – P(A)P(B/A) . . . [∵P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)]
Ans: Ⓐ 1 – P(A)P(B/A)

16. প্রথম 200 টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200 টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7 -এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা হল __________
Ⓐ ¹⁷/₄₀          Ⓑ ¹⁹/₄₀
Ⓒ ⁴⁷/₁₀₀          Ⓓ ⁹/₂₀₀

Solution: তোলা টিকিটটি 3 -এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A, তোলা টিকিটটি 7 -এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B হলে,
 P(A) = ⁶⁶/₂₀₀,
P(B) = ²⁸/₂₀₀
তোলা টিকিটটি 3 এবং 7 -এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = P(A ∩ B) = ⁹/₂₀₀
∴ তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7 -এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
 = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=⁶⁶/₂₀₀ + ²⁸/₂₀₀ – ⁹/₂₀₀
= ^{66 + 28 – 9}/₂₀₀
= ⁸⁵/₂₀₀ =¹⁷/₄₀
Ans: Ⓐ¹⁷/₄₀

17. 10 টি বৈদ্যুতিক উপাংশ সম্বলিত একটি প্যাকেটের মধ্যে 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বলে জানা আছে। যদি 4 টি উপাংশ উদ্দেশ্যহীনভাবে নিয়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে তাদের মধ্যে একটির বেশি ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা হল __________
Ⓐ ¹/₆          Ⓑ ¹/₂
Ⓒ ¹/₃          Ⓓ ²/₃

Solution: 10 টি থেকে 4 টি নির্বাচন করা যায় ¹⁰C₄ = ^10×9×8×7/₂₄= 210 উপায়ে
 3টি ত্রুটিপূর্ণ এবং (10-3) = 7টি ত্রুটিপূর্ণ নয়।
 একটিও ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ⁷C₄׳C₀ উপায়ে।
 1 টি ত্রুটিপূর্ণ এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ⁷C₃׳C₁ উপায়ে
  1 টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায়
= ⁷C₄׳C₀ + ⁷C₃׳C₁ উপায়ে।
= 35×1 + 35×3 =140 . . . [⁷C₄ =⁷C₃ =^7×6×5×4/₂₄= 35]
আবার 10টির মধ্যে 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ¹⁰C₄ উপায়ে।
∴ 1 টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা হল
= ¹⁴⁰/₂₁₀ = ²/₃
Ans:  Ⓓ ²/₃

18. যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P( A ∪ B) ≠ 0 হয়, তবে P(^A/_{A ∪ B}) =  __________I
Ⓐ ^P(A)/_P(B)          Ⓑ ^P(A)/_{P(A) + P(B)}
Ⓒ ^P(A)/_{2P(A) + P(B)}          Ⓓ 0

Solution: P(^A/_{A ∪ B})
= P[A ∩ (A ∪ B)]/P(A ∪ B)
=P[(A ∩ A) ∪ (A ∩ B)]/P(A) + P(B)  . . . [∵ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা]
= P(A ∪ ϕ)/P(A) + P(B)
= P(A)/P(A) + P(B)
Ans: Ⓑ ^P(A)/_{P(A) + P(B)}

19. গণিতের একটি প্রদত্ত প্রশ্ন তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₃, ²/₅ এবং ³/₄ । প্রদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা  __________I    
Ⓐ ¹/₁₀          Ⓑ ⁹/₁₀
Ⓒ ⁷/₁₀          Ⓓ 1

Solution: তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C হলে,
P(A^c) = 1 – ¹/₃ = ²/₃,
P(B^c) = 1 – ²/₅ = ³/₅,
P(C^c) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
∴ প্রদত্ত প্রশ্নটির সমাধান না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A^c ∩ B^c ∩ C^c)
=P(A^c)P(B^c)P(C^c)
= ²/₃ × ³/₅ × ¹/₄ = ¹/₁₀
∴ প্রদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – ¹/₁₀ = ⁹/₁₀
Ans: Ⓑ ⁹/₁₀

20. একজন নির্বাচকের কাছে 300 টি সহজ সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন ও 200 টি জটিল সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন আছে এবং 500 টি সহজ MCQ এবং 400 টি জটিল MCQ আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি প্রশ্ন নির্বাচন করা হয়। যদি নির্বাচিত প্রশ্নটি একটি MCQ হয়ে থাকে, তবে এটি একটি সহজ প্রশ্ন হওয়ার সম্ভাবনা হল __________
Ⓐ⁸/₉           Ⓑ ⁴/₇
Ⓒ ⁵/₁₄           Ⓓ ⁵/₉

Solution: নির্বাচিত প্রশ্নটি MCQ হওয়ার ঘটনা A এবং সহজ হওয়ার ঘটনা B হলে,
P(A) = ^{500 + 400}/_{300 + 200 + 500 + 400}
= ⁹⁰⁰/₁₄₀₀ = ⁹/₁₄,
P(A ∩ B) = ⁵⁰⁰/₁₄₀₀ = ⁵/₁₄
∴ P(B/A) = ^{P(A ∩ B)}/_P(A)
= ^5/14/_9/14 = ⁵/₉
Ans: Ⓓ ⁵/₉

Column Matching ____________________ 1.

মনে করো A, B দুটি ঘটনা। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] A, B পরস্পর পৃথক।	[a] P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
[ii] A, B পরস্পর স্বাধীন।	[b] P( A ∩ B) = 0 এবং P( A U B) = 1
[iii] A, B পরস্পর সম্পূর্ণ।	[c] P( A ∩ B) = 0
[iv] A, B পরস্পর পৃথক এবং সম্পূর্ণ।	[d] P( A U B) = 1

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓑ [i] – [a], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓒ [i] – [d], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [b]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution: [i] A, B পরস্পর পৃথক। ⇒ P( A ∩ B) = 0 → [c]
[ii] A, B পরস্পর স্বাধীন। ⇒ P(A ∩ B)= P(A) . P(B) → [a]
[iii] A, B পরস্পর সম্পূর্ণ। ⇒ P( A U B) = 1 → [d]
[iv] A, B পরস্পর পৃথক এবং সম্পূর্ণ। ⇒ P( A ∩ B) = 0 এবং P( A U B) = 1 → [b]
Ans:  Ⓐ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]

2. মনে করো A, B দুটি ঘটনা। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] P( A U B) =	[a] P(A ∩ B)/P(B)
[ii] P( A ∩ B) =	[b] 1 – P(A)
[iii] P(AC) =	[c] P(A) + P(B) – P(A U B)
[iv] P(A/B) =	[d] P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution: [i] P( A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) → [d]
[ii] P( A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A U B) → [c]
[iii] P(A^C) = 1 – P(A) → [b]
[iv] P(A/B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B) → [a]
Ans:  Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]

3. মনে করো E পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং A ⊂ S । ϕ হল অসম্ভব ঘটনা। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] P(A) = P(AC) হলে P(A) =	[a] 0
[ii] P(S) =	[b] 1/2
[iii] P(ϕ) =	[c] 1 – P(A)
[iv] P(A C) =	[d] 1

Ⓐ[i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓑ[i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓒ[i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓓ[i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution: [i] P(A) = P(A^C)
⇒ P(A) = 1 – P(A)
⇒2P(A) = 1
⇒ P(A) = ¹/₂ → [b]
[ii] P(S) = 1 → [d]
[iii] P(ϕ) = 0 → [a]
[iv] P(A ^C) = 1 – P(A) → [c]
Ans:  Ⓑ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]

4. মনে করো, কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয় এবং যদি P(A) = ¹/₄, P(B) = ²/₅, P(A U B) = ¹/₂ হয়, তবে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] P(A ∩ B) =	[a] 17/20
[ii] P(A ∩ BC) =	[b] 3/8
[iii] P( AC U BC) =	[c] 3/20
[iv] P(A/B) =	[d] 1/10

Ⓐ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [b], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution: P(A) = ¹/₄, P(B) = ²/₅, P(A U B) = ¹/₂
[i] P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A U B)
= ¹/₄ + ²/₅ – ¹/₂
=^{5 + 8 – 10}/₂₀
= ³/₂₀ → [c]
[ii] P(A ∩ B^C)
= P(A) – P(A ∩ B)
=¹/₄ – ³/₂₀
= ^{5 – 3}/₂₀
= ¹/₁₀ → [d]
[iii] P(A^C U B^C)
= P(A ∩ B)^C
=1 – P(A ∩ B)
= 1 – ³/₂₀
= ¹⁷/₂₀ → [a]
[iv] P(A/B)
= ^{P(A ∩ B)}/_P(B)
=^3/20/_2/5
= ³/₂₀× ⁵/₂
= ³/₈→ [b]
Ans:   Ⓓ [i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [a], [iv] – [b]

5. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা, বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] কেবল A ঘটনা ঘটে	[a] P(A ∩ B ∩ CC)
[ii] তিনটি ঘটনাই ঘটে |	[b] P[(A ∩ B) U (B ∩ C) U (C ∩ A)]
[iii] কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে	[c] P(A ∩ BC ∩ CC)
[iv] A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না	[d] P(A U B U C)
	[e] P(A ∩ B ∩ C)

Ⓐ[i] – [c], [ii] – [e], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓑ[i] – [c], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓒ[i] – [c], [ii] – [d], [iii] – [e], [iv] – [a]
Ⓓ[i] – [c], [ii] – [e], [iii] – [d], [iv] – [b]

Solution: [i] কেবল A ঘটনা ঘটে = P(A ∩ B^C ∩ C^C) → [c]
[ii] তিনটি ঘটনাই ঘটে | = P(A ∩ B ∩ C) → [e]
[iii] কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে = P(A U B U C) → [d]
[iv] A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না = P(A ∩ B ∩ C^C) → [a]
Ans:  Ⓐ  [i] – [c], [ii] – [e], [iii] – [d], [iv] – [a]

Rearrangement of Sentences/Events ______

1. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস করা হল। মনে করো প্রথম টসে টেল আসার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে হেড্ আসার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। ঘটনা দুটি স্বাধীন কি না দেখার জন্য ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল-

[i] P(A ∩ B) = P(A)P(B) কি না দেখতে হবে।
[ii] P(A) নির্ণয় করতে হবে।
[iii] P(A ∩ B) নির্ণয় করতে হবে।
[iv] P(B) নির্ণয় করতে হবে।
        ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-
Ⓐ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Ⓑ [ii] – [iv] – [iii] – [i]
Ⓒ [i] – [iii] – [ii] – [iv]
Ⓓ [iii] – [i] – [ii] – [iv]

Solution: ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-
 [ii] P(A) নির্ণয় করতে হবে।
 [iv] P(B) নির্ণয় করতে হবে।
 [ii] P(A ∩ B) নির্ণয় করতে হবে।
 [i] P(A ∩ B) = P(A)P(B) কি না দেখতে হবে।

Ans: Ⓑ [ii] – [iv] – [iii] – [i]

2. দুটি ঝোঁকশূন্য পাশা গড়িয়ে দিলে, প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি 10 বা 10-এর চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল –
[i] A ঘটনার নমুনা বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
[ii] P(A) নির্ণয় করতে হবে।
[iii] সংখ্যা দুটির সমষ্টি 10 বা 10-এর চেয়ে বেশি হওয়ার ঘটনা A ধরতে হবে।
[iv] নমুনা দেশের বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
        ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-
Ⓐ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Ⓑ [i] – [iv] – [iii] – [ii]
Ⓒ [i] – [iii] – [iv] – [ii]
Ⓓ [iii] – [i] – [iv] – [ii]

Solution: ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে-
 [iii] সংখ্যা দুটির সমষ্টি 10 বা 10-এর চেয়ে বেশি হওয়ার ঘটনা A ধরতে হবে।
 [i] A ঘটনার নমুনা বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
 [iv] নমুনা দেশের বিন্দুর সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
 [ii] P(A) নির্ণয় করতে হবে।
Ans: Ⓓ [iii] – [i] – [iv] – [ii]

Relationship between Statements ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: একটি ছক্কা দুবার চালা হলে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₃₆
     বিবৃতি-B: দুটি ছক্কা একসাথে চালা হলে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₁₂

Solution: বিবৃতি-A: একটি ছক্কা দুবার চালা হলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হয় = 6² = 36
প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হয় এমন নমুনা বিন্দু = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₃₆ → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: দুটি ছক্কা একসাথে চালা হলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হয় = 6² = 36
প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হয় এমন নমুনা বিন্দু = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₃₆ → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: P(Ā ∪ B̄) = ⁵⁄₈ P(A) = ¹⁄₂ এবং P(B̄) = ²⁄₃ হলে ঘটনা দুটি স্বাধীন।
বিবৃতি-B: A, B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P(A ∩ B) = 0
Solution:P(Ā ∪ B̄) = ⁵⁄₆
⇒ P(A ∩ B) = ⁵⁄₆
⇒ 1 – P(A ∩ B) =⁵⁄₆
⇒P(A ∩ B) = 1 – ⁵⁄₆
⇒ P(A ∩ B) = ¹⁄₆
P(B̄) = ²⁄₃

⇒ 1 – P(B) = ²/₃
⇒ P(B) = 1 – ²/₃ = ¹/₃
∴ P(A).P(B) = ¹/₂ × ¹/₃ = ¹/₆ = P(A ∩ B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: A, B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P( A ∩ B) = P(A).P(B) হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা। 
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

3. বিবৃতি-A: দুটি পাশা ছোড়ার যাচ্ছে পরীক্ষায় প্রথম পাশায় 4 পড়ার এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    বিবৃতি-B: X ও Y ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে P(X ∩ Y) = P(X)P(Y)

Solution: দুটি পাশা একসাথে ছুড়লে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হয় = 6² = 36
প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা {(4, 1), (4, 2) . . . (4, 6)}
4 পড়ার ঘটনা A হলে, P(A) = ⁶/₃₆ = ¹/₆
অনুরূপে দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B হলে, P(B) = ⁶/₃₆ = ¹/₆ 
(A ∩ B) = {(4, 5)}  
∴ P(A ∩ B) = ¹/₃₆            
    P(A ∩ B) = ¹/₃₆ = ¹/₆ × ¹/₆ = P(A)P(B) = ¹/₃₆
বিবৃতি-B: X ও Y ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে P(X ∩ Y) = P(X)P(Y)
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

4. বিবৃতি-A: A₁, A₂ ও A₃ স্বাধীন হলে, P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃)
     বিবৃতি-B: A₁, A₂ ও A₃ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়, P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁ ∩ A₂)

Solution: বিবৃতি-A: A₁, A₂ ও A₃ স্বাধীন হলে, P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃) → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: A₁, A₂ ও A₃ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়, P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃)
আবার P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁ ∩ A₂)
= P(A₁) × ^{P(A1∩ A2)}/_P(A1) × P(A₃/A₁ ∩ A₂)
=P(A₁∩ A₂) × P(A₃/A₁ ∩ A₂)
= P(A₁∩ A₂) × ^{P(A1 ∩ A2 ∩ A3)}/_{P(A1 ∩ A2)}
= P(A₁∩ A₂ ∩ A₃)
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি 1 (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ,ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
 Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
 Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
 Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
 Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): একটি শহরের একজন ব্যক্তি A পত্রিকার পাঠক হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂ এবং একজন ব্যক্তি B পত্রিকার পাঠক হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂ আবার উভয় পত্রিকার পাঠক হওয়ার সম্ভাবনা ³/₁₀ ওই শহরের কোনো একজন ব্যক্তি A, B পত্রিকার যে-কোনো একটি পত্রিকার পাঠক হওয়ার সম্ভাবনা ⁷/₁₀
    বিবৃতি-II(R): P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Solution: বিবৃতি-I(A): P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= ¹/₂ + ¹/₂ – ³/₁₀
=^{5 + 5 – 3}/₁₀ = ⁷/₁₀ → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ¹/₃, P(B) = ²/₅ হলে P(A U B) = ³/₅
       বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P(A ∩ B) = 0 আবার, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Solution: বিবৃতি-I(A): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।
∴ P(A ∩ B)
= P(A) . P(B)
= ¹/₃ × ²/₅ = ²/₁₅
∴ P(A U B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=¹/₃ + ²/₅ – ²/₁₅
= ^{5 + 6 – 2}/₁₅
= ⁹/₁₅ = ³/₅ → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P(A ∩ B) = P(A). P(B)হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

3. বিবৃতি-I(A): A^C ও B^C ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে A ও B স্বাধীন হবে।
     বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে P(A ∩ B) = P(A) . P(B)।

Solution: বিবৃতি-I(A): A^C ও B^C ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
 ∴ P(A^C) . P(B^C) = P(A^C ∩ B^C)
⇒ [1 – P(A)][1 – P(B) = P(A U B)^C
⇒1 – P(B) – P(A) + P(A) . P(B)= 1 – P(A U B)
⇒ – P(B) – P(A) + P(A) . P(B) = – P(A U B)
⇒ P(A) . P(B) = P(A) + P(B) – P(A U B)
⇒  P(A) . P(B) = P(A ∩ B)
∴ P(A) ও P(B) ঘটনা দুটি স্বাধীন। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে P(A ∩ B) = P(A) . P(B) → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

4. বিবৃতি-I(A): A, B এবং C ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে (A U B) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে।
     বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P(A U B) = P(A) + P(B) হবে।

Solution: বিবৃতি-I(A): A, B এবং C ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P[(A U B) ∩ C]
=  P[(A ∩ C) U (B ∩ C)]
=P(A ∩ C) + P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)]
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) . P(C) + P(B) . P(C) – P(A) . P(B) . P(C)
=P(C)[P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
= P(C)[P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(C) . P(A U B)
∴ (A U B) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II(R): A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে P(A U B) = P(A) . P(B) হয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

True and False ___________

1. মনে করো E সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনা দেশ S এবং E পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট যে-কোনো একটি ঘটনা A অর্থাৎ, A ⊆ SI
  বিবৃতি-I: যে-কোনো ঘটনা A-এর জন্য -1 ≤ P(A) ≤ 1
  বিবৃতি-II: P(S) = 1
  বিবৃতি-III: P(A/S) = 1
Ⓐ বিবৃতি । সত্য         Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি III সত্য        Ⓓ বিবৃতি I, I ও II সত্য

Solution: বিবৃতি-I: যে-কোনো ঘটনা A-এর জন্য 0 ≤ P(A) ≤ 1 → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: P(S) = 1 → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-III: P(A/S) = P(A ∩ S)/P(S) = P(A)/P(S) = P(A)/1 = P(A) → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans:  Ⓑ বিবৃতি II সত্য

2. বিবৃতি-I: A এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C এবং B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
     বিবৃতি-II: A এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A এবং B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
     বিবৃতি-III: A এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C এবং A U B ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
Ⓐ বিবৃতি । ও II সত্য           Ⓑবিবৃতি II ও III সত্য
Ⓒবিবৃতি III ও I সত্য           Ⓓ বিবৃতি I, II ও IIII সত্য

Solution: বিবৃতি-I: P(A^C ∩ B^C)
= P(A U B)^C
=1 – P(A U B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A ∩ B)
=1 – P(A) – P(B) + P(A).P(B)
= (1 – P(A)) – P(B)(1 – P(A))
= P(A)^CP(B^C)
∴ A^C এবং B^C ঘটনা দুটি স্বাধীন → বিবৃতিটি সত্য

বিবৃতি-II: P(A ∩ B^C)
= P(A) – P(A ∩ B)
=P(A) – P(A) . P(B)
= P(A)(1 – P(B))
= P(A) . P(B^C)
 ∴ A এবং B^C ঘটনা দুটি স্বাধীন → বিবৃতিটি সত্য

বিবৃতি-III: P(A^C ∩ (A U B))
= P((A^C ∩ A) U (A^C ∩ B))
=P(ϕ U (A^C ∩ B))
= P(A^C ∩ B)
= P(B) – P(A ∩ B)
=P(B) – P(A). P(B)
= P(B)(1 – P(A))
= P(B)P(A^C)
∴ P(A^C ∩ (A U B)) = P(B) . P(A^C) এই সমীকরণটি সমান হবে যদি P(A U B)) = P(B) হয়।
আবার P(A U B)) = P(B) হবে যদি P(B) = 0 হয়।
∴ P(A^C ∩ (A U B)) = P(B)P(A^C) সর্বদা সমান হয় না। → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি । ও II সত্য

3. মনে করো Ā হল A ঘটনার পূরক ঘটনা।
বিবৃতি-I: P(Ā + B) = 1 – P(A) + P(AB)
বিবৃতি-II: P(A + B̅) = 1 + P(B) – P(AB)

Ⓐ বিবৃতি । সত্য           Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য       Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: P(A̅ + B)
= P(A̅) + P(B) – P(A̅ ∩ B)
=1 – P(A) + P(B) – [P(B) – P(AB)]
= 1 – P(A) + P(AB) → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: P(A + B̅)
= P(A) + P(B̅) – P(A ∩ B̅)
=P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(AB)]
= 1 – P(B) + P(AB) → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans:  Ⓐ বিবৃতি II সত্য

4. বিবৃতি-I: A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, P(A) ≠ P(B) ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়।
     বিবৃতি II: A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে P(A ∩ B) = P(A)P(B) ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি স্বাধীন।
Ⓐ বিবৃতি । সত্য           Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য           Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: P(A) ≠ P(B) হলে, A ও B ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি II: P(A ∩ B) = P(A)P(B) হলে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন। → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓒ  বিবৃতি I, II সত্য

5. মনে করো, P(A) = a, P(B) = b এবং P(A∩B) = c
   বিবৃতি-I: P(A^C U B^C) = 1 + c
   বিবৃতি-II: P(A^C U B) = 1 − a + c
   বিবৃতি-III: P(A^C ∩ B^C) = 1 – a – b + c
Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য         Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য         Ⓓ বিবৃতি I, II, IIII সত্য

Solution:  P(A) = a, P(B) = b এবং P(A ∩ B) = c
বিবৃতি-I: P(A^C U B^C) = P(A ∩ B)^C = 1 – P(A ∩ B) = 1 – c → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: P(A^C U B)
= P(A^C) + P(B) – P(A^C ∩ B)
=1 – P(A) + P(B) – [P(B) – P(A∩ B)]
= 1 – P(A) +  P(A∩ B)
= 1 – a + c → বিবৃতিটি সত্য

বিবৃতি-III: P(A^C ∩ B^C)
= P(AU B)^C
=1 – P(AU B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩ B)
= 1 – a – b + c → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓑ  বিবৃতি II, III সত্য

6. দুটি ঘটনা A ও B-এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉
    বিবৃতি-I: P(A/B) = ⁷/₁₈
   বিবৃতি-II: P(B/A) = ¹⁴/₂₇
Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য           Ⓑ বিবৃতি I সত্য 
Ⓒ বিবৃতি I, II মিথ্যা           Ⓓ বিবৃতি II সত্য

Solution: P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A ∪ B) = ⁷/₉
∵ P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
=³/₇ + ⁴/₇ + ⁷/₉
= ^{27 + 36 – 49}/₆₃
= ¹⁴/₆₃ = ²/₉
বিবৃতি-I: P(A/B)
= ^{P(A ∩ B)}/_P(B)
= ²/₉ × ⁷/₄ =  ⁷/₁₈ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: P(B/A)
= ^{P(A ∩ B)}/_P(B)
= ²/₉ × ⁷/₃ =¹⁴/₂₇ → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓐ  বিবৃতি ।, II সত্য

7. 1, 2, 3, 4 সংখ্যাগুলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2 টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা, যখন-
    বিবৃতি-I: সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হয় ²/₃
    বিবৃতি-II: পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হয় ¹/₂
Ⓐ বিবৃতি । ও II সত্য      Ⓑ বিবৃতি I ও II মিথ্যা 
Ⓒ বিবৃতি II সত্য               Ⓓ বিবৃতি I সত্য

Solution: 2 টি সংখ্যার সমষ্টি যুগ্ম হবে {1, 2}, {1, 4}, {3, 2}, {3, 4} বা 4টি উপায়ে।
 দুটি সংখ্যা একত্রে নির্বাচিত করা যায় ⁴C₂ = 6 উপায়ে।
বিবৃতি-I: সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হলে নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁴/₆ = ²/₃ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হলে সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
= ²/₄ × ²/₄ + ²/₄ × ²/₄
= ¹/₄ + ¹/₄ = ¹/₂  → বিবৃতিটি সত্য
 Ans:  Ⓐ  বিবৃতি । ও II সত্য

8. কোনো বছরে তিনটি কারখানা A, B এবং C-তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে 25-এর মধ্যে 5, 36-এর মধ্যে 6 এবং 64-এর মধ্যে 8।
   বিবৃতি-I: অন্ততপক্ষে একটি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ⁵/₁₂
   বিবৃতি-II: সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ²³⁹/₂₄₀
Ⓐ বিবৃতি । সত্য          Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য     Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: A, B এবং C-তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে ⁵/₂₅ = ¹/₅, ⁶/₃₆ = ¹/₆ এবং ⁸/₆₄ = ¹/₈
কোনো কারখানায় দুর্ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা
= P(A^C ∩ B^C ∩ C^C)
=P(A^C).P(B^C).P(C^C)
= (1 – ¹/₅) × (1 – ¹/₆) × (1 – ¹/₈)
=⁴/₅ × ⁵/₆ × ⁷/₈
= ⁷/₁₂
বিবৃতি-I: অন্ততপক্ষে একটি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
=1 –  ⁷/₁₂ =  ⁵/₁₂ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A ∩ B∩ C)
= P(A).P(B).P(C)
=¹/₅ × ¹/₆ × ¹/₈
= ¹/₂₄₀ → বিবৃতিটি মিথ্যা
Ans:  Ⓐ  বিবৃতি । সত্য

9. একটি পাত্রে 4 টি লাল এবং 7 টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্রটি থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি বল তোলা হয়। তোলা বল দুটির-
     বিবৃতি-I: 2 টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা ¹⁶/₁₂₁
     বিবৃতি-II: 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা ⁴⁹/₁₂₁
       বিবৃতি-III: 1 টি লাল ও 1 টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা ⁵⁶/₁₂₁
Ⓐ বিবৃতি ।, II সত্য       Ⓑ বিবৃতি II, III সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য       Ⓓ বিবৃতি I, II, IIII সত্য

Solution: পাত্রে মোট বল আছে (4 + 7) বা 11 টি।
 পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্র থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি বল তোলা হয়।
বিবৃতি-I: 2 টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁴/₁₁ × ⁴/₁₁ = ¹⁶/₁₂₁ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-II: 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ⁷/₁₁ × ⁷/₁₁ = ⁴⁹/₁₂₁ → বিবৃতিটি সত্য
বিবৃতি-III: 1 টি লাল ও 1 টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁴/₁₁ × ⁷/₁₁ + ⁷/₁₁ × ⁴/₁₁
= ^{28 + 28}/₁₂₁= ⁵⁶/₁₂₁ → বিবৃতিটি সত্য
Ans:  Ⓓ   বিবৃতি I, II, IIII সত্য 

10. কোনো বস্তুর তিনটি লটে যথাক্রমে 4%, 5% ও 10% ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে। প্রত্যেক লট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি করে বস্তু নেওয়া হয়। তোলা তিনটি বস্তুর মধ্যে-
      বিবৃতি-I: ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা 0.1687
      বিবৃতি-II: কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা 0.1792
 Ⓐ বিবৃতি । সত্য           Ⓑ বিবৃতি II সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য        Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

Solution: তিনটি লটে(ধরি A, B, C) ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে যথাক্রমে 4%, 5% ও 10% ।
বিবৃতি-I: ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= P[(A ∩ B^C ∩ C^C) ∪ (A^C ∩ B ∩^C C) ∪ (A^C ∩ B^C ∩ C)]
= P(A).P(B^C).P(C^C) + P(A^C).P(B).P(C^C) + P(A^C).P(B^C).P(C)
=⁴/₁₀₀ × ⁹⁵/₁₀₀ × ⁹⁰/₁₀₀ + ⁹⁶/₁₀₀ × ⁵/₁₀₀ × ⁹⁰/₁₀₀ + ⁹⁶/₁₀₀ × ⁹⁵/₁₀₀ × ¹⁰/₁₀₀
= ^{34200 + 43200 + 91200}/_1000000
=¹⁶⁸⁶⁰⁰/_1000000
= 0.1686      ≠ 0.1687 → বিবৃতিটি মিথ্যা
বিবৃতি-II: কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – P(A^C ∩ B^C ∩ C^C)
= 1 – P(A^C).P(B^C).P(C^C)
=1 – ⁹⁶/₁₀₀ × ⁹⁵/₁₀₀ × ⁹⁰/₁₀₀
= 1 –  ⁸²⁰⁸⁰⁰/_1000000
=  ^{10000 – 820800}/₁₀₀₀₀
=^{10000 – 8208}/₁₀₀₀₀
=  ¹⁷⁹²/₁₀₀₀₀
= 0.1792
Ans:  Ⓑ. বিবৃতি II সত্য

Diagram/Chart Based _________________

1.

5	7	0	5
0	3	2	1
4	5	8	7
6	9	3	0

ওপরের চার্ট থেকে যদৃচ্ছভাবে একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে সংখ্যাটি 5 হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  Ⓐ ³/₁₆           Ⓑ ³/₂₆
   Ⓒ ⁵/₁₆           Ⓓ 0

Solution: ওপরের চার্ট-এ মোট 16 টি সংখ্যা আছে যার মধ্যে 5 আছে 3 টি।
∴ একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে সংখ্যাটি 5 হওয়ার সম্ভাবনা = ³/₁₆   
Ans:  Ⓐ ³/₁₆

2. সকাল 11 টায় A স্টেশন থেকে কতকগুলি ট্রেন তাদের গন্তব্যস্থলের উদ্দেশ্যে রওনা দিল, ট্রেনগুলির রুট বিভিন্ন রঙের রেখা দ্বারা চিত্রে দেখানো হয়েছে। গৌরব ওই সময় যদৃচ্ছভাবে যে-কোনো একটি ট্রেনে উঠে পড়ল। গৌরব যে ট্রেনে উঠেছে সেই ট্রেনটির গন্তব্যস্থল D হওয়ার সম্ভাবনা হল-
Ⓐ ²/₁₆        Ⓑ ³/₂₆
Ⓒ ³/₇           Ⓓ 0