Category: XII-OLD SILLABUS

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part I
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
1. দেখাও যে, বাস্তব সংখ্যাসমুহের সেটের ওপর সংজ্ঞাত “অপেক্ষা বড়ো” সম্বন্ধ সংক্রমণ, কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, R হল একটি বাস্তব সংখ্যার সেট এবং R সেটে সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R = {(x, y) : x > y, x এবং y ∈ R }
এখন, a ∈ R হলে
(a, a) ∉ R কারণ a, a-এর থেকে বড় নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R হলে
(b, a) ∉ R কারণ a, b এর থেকে বড় হলে b, a থেকে বড় হতে পারে না।
∴ (a, b) ∈ R
⇒ (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
ধরি, a, b, c ∈ R
(a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R
⇒ a > b এবং b > c
⇒ a > c
⇒ (a, c) ∈ R
∴ (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হলে (a, c) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
2. প্রমাণ করো যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাসমূহের সেট L এর ওপর সংজ্ঞাত “l₁ সরলরেখা l₂ এর ওপর লম্ব, l₁,l₂ ∈ L” সম্বদ্ধ L-এর ওপর প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
L= কোনো সমতলে অঙ্কিত সরলরেখা সমূহের সেট।
প্রদত্ত সম্বন্ধটি R হলে,
R = {(l₁, l₂) : l₁ ⊥ l₂, এবং l₁, l₂ ∈ L}
(l₁, l₂) ∈ R
⇒ l₁, l₂এর ওপর লম্ব
⇒ l₂, l₁এর ওপর লম্ব
⇒ (l₂, l₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
ধরি, l₁∈ L;
কোনো সরলরেখা তার নিজের উপর লম্ব হতে পারে না।
∴ (l₁,l₁) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার ধরি, l₁, l₂, l₃∈ L
(l₁, l₂) ∈ R এবং (l₂, l₃) ∈ R
⇒ l₁ ⊥ l₂
⇒ l₂ ⊥ l₃
⇒ l₁ ∥ l₃
⇒ ( l₁, l₃) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
3. R = {(x, y) : y, x দিয়ে বিভাজ্য, x, y ∈ N} যে-কোনো সংখ্যা x ∈ N-এর জন্য, x সংখ্যাটি সর্বদা x দিয়ে বিভাজ্য হবে।
Ans:
যেকোনো সংখ্যা সর্বদা সেই সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ N
∴ R একটি স্বসম সম্বন্ধ।
ধরি , x, y, z ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ y = ax, a ∈ N এবং z = by, b ∈ N
⇒ z = b(ax) = (ab)x, ab ∈ N
⇒ z, x দ্বারা বিভাজ্য
⇒(x, z) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ (x, z) ∈ R, ∀x, y, z ∈ N
∴ R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 6, 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ, (3, 6) ∈ R কিন্তু 3, 6 দিয়ে বিভাজ্য নয়।
∴ (3, 6) ∈ R
⇒ (6, 3) ∉ R
∴ R প্রতিসম নয়।
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।
4. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + y = 12 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
প্রমাণ করো যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ প্রতিসম, কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ নয়।
Ans:
R = {(x, y) : x + y = 12, x, y ∈ N}
ধরা যাক, x, y ∈ N যে-কোনো সংখ্যা এমন যে,
(x, y) ∈ R
⇒ x + y = 12
⇒ y + x = 12 [∵ x + y = y + x, ∀x, y ∈ N]
⇒ (y, x) ∈ R
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R ∀x, y ∈ N
∴ R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
স্পষ্টতই, 7 ∈ N কিন্তু
7 + 7 = 14 ≠ 12 ⇒ (7, 7) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(5, 7) ∈ R এবং (7, 5) ∈ R কিন্তু (5, 5) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
5. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংঘাত:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
দেখাও যে, N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ x + 2y = 10 সব x, y ∈ N-এর জন্য।
(x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R, x, y ∈ N
⇒ x + 2y = 10 এবং y + 2x = 10
⇒ x + 2y = y + 2x
⇒ x = y
∴ (x, y) ∈ R এবং (y, x) ∈ R,
⇒ x = y, x, y ∈ N
∴ N-এর ওপর R সম্বন্ধ বিপ্রতিসম।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
6. মনে করো, সব সেটসমূহের সেট S এবং S-এর ওপর R সম্বন্ধের সংজ্ঞা হয় X ⊆ Y, সব X, Y ∈ S -এর জন্য। দেখাও যে, S-এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম এবং সংক্রমণ, কিন্তু প্রতিসম নয়।
Ans:
ধরি, x ∈ R x ⊆ x যেহেতু প্রতিটি সেট তার নিজের সাবসেট।
∀x ∈ S, (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
আবার, x, y ∈ S এবং x ⊆ y
x ⊆ y হলে y ⊆ x সম্ভব নয়।
(x, y) ∈ R
⇒ (y, x) ∉R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
x, y, z ∈ S
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R
⇒ x ⊆ y এবং y ⊆ z
⇒ x ⊆ z
⇒ (x, z) ∈
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
7. অখণ্ড সংখ্যাসমূহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y) এর মান জোড় }
প্রমাণ করো যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
R = {(x, y) : x, y ∈ Z এবং (x – y ) = 2k,
∀x ∈ Z, x − x = 0 = 0.2
⇒ (x, x) ∈ R, x ∈ Z
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম।
ধরি, (x, y) ∈ R
⇒ x – y = 2k যেখানে k ∈ Z
⇒ y – x = 2.(-k) যেখানে, – k ∈ Z
∴ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = 2k, k ∈ Z
⇒ (y – z) = 2m, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = 2k + 2m = 2(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
8. (i) সব অখন্ড সংখ্যাসমুহের সেট Z-এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
দেখাও যে, Z-এর ওপর R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
(x, y) ∈ R ⇒ (x – y) -এর মান n দিয়ে বিভাজ্য।
∀x ∈ Z
x – x = 0 যা n দিয়ে বিভাজ্য।
∴ (x, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R, x, y ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – x) = n(-k), k ∈ Z
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R , ∀x, y, z ∈ Z
⇒ (x – y) = nk, k ∈ Z
⇒ (y – z) = nm, m ∈ Z
⇒ (x – z) = (x – y) + (y – z) = nk + nm = n(k + m)
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
(ii) মনে করো, সব বহুভুজসমূহের সেট A; A-তে সংজ্ঞাত R সম্বন্ধ হয়, R = {(P₁, P₂ ) : P₁ ও P₂ -এর সমসংখ্যক বাহু আছে}। দেখাও যে, R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। 3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসমূহের সেট নির্ণয় করো।
Ans: A বহুভুজের সেট।
R = {(P₁, P₂ ) : P₁ ও P₂ -এর সমসংখ্যক বাহু আছে, P₁, P₂ ∈ R}
P₁ ∈ R এর জন্য P₁ এর বাহুসংখ্যা P₁ এর সমান হয়।
∴ (P₁, P₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
∀P₁, P₂ ∈ A
P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₂ এর বাহুসংখ্যা
(P₁, P₂ ) ∈ R
⇒ (P₂, P₁ ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
∀P₁, P₂, P₃∈ A এর জন্য
(P₁, P₂ ) ∈ R এবং (P₂, P₃ ) ∈ R
⇒ P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₂ এর বাহুসংখ্যা এবং P₂ এর বাহুসংখ্যা = P₃ এর বাহুসংখ্যা
⇒ P₁ এর বাহুসংখ্যা = P₃ এর বাহুসংখ্যা
⇒ (P₁, P₃ ) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
3, 4, 5 বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের বাহুসংখ্যা 3
সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে সম্বন্ধযুক্ত A -এর পদসংখ্যা 3 যা যেকোনো ত্রিভুজের পদসংখ্যা।
A সেটটি হল সমস্ত ত্রিভুজসমূহের সেট।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
9. মনে করো, কোনো সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু। P ও Q এর মধ্যে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়। দেখাও যে, সংজ্ঞাত S সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: কোনও সমতলে O হল মূলবিন্দু এবং P ও Q ঐ সমতলে অন্য একটি বিন্দু।
OP = OQ
∴ ওই সমতলে সব বিন্দু P এর জন্য OP = OP হবে
⇒ (P,P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
আবার ওই একই সমতলে S সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করা হল যাতে OP = OQ হয়।
∴ OP = OQ
⇒ OQ = OP
∴(P,Q) ∈ S এবং (Q, P) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ওই সমতলে তিনটি বিন্দু P,Q, R এমনভাবে নেওয়া হল যেন (P,Q) ∈ S এবং (Q,R) ∈ S হয়
∴ OP = OQ এবং OQ = OR
⇒ OP = OR
⇒ (P,R) ∈ S
∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
10. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x= ±y}
দেখাও যে, R-র ওপর S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈ R এবং x = ±y}
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x এর জন্য x = +x
(x, x) ∈ S, ∀x ∈ R
∴ S একটি স্বসম সম্বন্ধ ৷
আবার ধরা যাক, (x, y) ∈ S এবং x = ±y
∵ x = ±y
⇒ y = ±x
⇒ (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
ধরা যাক, x, y, z ∈ R, (x, y) ∈ S এবং (y, z) ∈ S
∵ x = ±y এবং y = ±z
⇒ x = ±z
⇒ (x, z) ∈ S
∴ S একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
∴ S একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ। (প্রমাণিত)
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
11. একটি প্রদত্ত সেট A-এর ওপর ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও ।
Ans:
ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
I_A= {(x, x) : x ∈ A} সম্বন্ধটি হল ক্ষুদ্রতম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ: A সেটের ওপর সকল সমতুল্যতা সম্বন্ধের মধ্যে বৃহত্তম সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ। A সেটের ওপর সার্বিক সম্বন্ধ হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
A×A = {(x, y) : x, y ∈ A} সম্বন্ধটি হল বৃহত্তম সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
12. বাস্তব সংখ্যাসমূহের সেট R-এর ওপর একটি সম্বন্ধ S নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
S = {(x, y) : x² + y² = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
R-এর ওপর S সম্বন্ধটির (i) স্বসমতা (ii) প্রতিসাম্য এবং (iii) সংক্রমিতা পরীক্ষা করো।
সমাধান:
(i) স্বসমতা
S = {(x, y) : x² + y² = 1, সব x, y ∈ R – এর জন্য}
S= {(x, y) : x2 + y2 = 1, x, y ∈ R }
∴ 1² +1² = 2 # 1
(1, 1) ∉ S
∴ S স্বসম নয়৷
(ii) প্রতিসাম্য
ধরি, (x, y) ∉ S
⇒ x² + y² = 1
⇒ y² + x² = 1
⇒ (x, y) ∈ S এবং (y, x) ∈ S
∴ S একটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
(iii) সংক্রমিতা
$$\large{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2\\=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\\⇒\left(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)∈S}$$ এবং $$\large{\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2\\=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\\⇒\left(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)∈S}$$ কিন্তু $$\large{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2\\=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}≠1\\⇒\left(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)∉S}$$ ∴ S সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
13. মনে করো, A = {a, b, c} একটি প্রদত্ত সেট A-র ওপর একটি সম্বন্ধ এমনভাবে সংজ্ঞাত করো যাতে A -র ওপর সম্বন্ধটি:
(i) স্বসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₁ = {(a, a),(b, b),(c, c),(b, a)}(a, a),(b, b),(c, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, a), (a, a) ∈ R₁
⇒ (b, a) ∈ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ।
(b, a) ∈ R₁ কিন্তু (a, b) ∉ R₁
∴ R₁ সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ নয়।

(ii) স্বসম এবং প্রতিসম হয় কিন্তু সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₂ = {(a, a), (b, b), (c. c), (b, c), (c. b), (a, b), (b. a)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(b, c) ∈ R₂
⇒ (c, b) ∈ R₂
এবং (a, b) ∈ R₂
⇒ (b, a) ∈ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি প্রতিসম
(a, b), (b, c) ∈ R₂ কিন্তু (a, c) ∉ R₂
∴ R₂ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(iii) প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয় কিন্তু স্বসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R_₃
R₃ = {(b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}
(b, c) ∈ R₃
⇒ (c, b) ∈ R₃
∴ R₃সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(b, c), (c, b) ∈ R₃
⇒ (b, b) ∈ R₃
∴ R₃ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R₃
∴ R₃ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।

(iv) স্বসম কিন্তু প্রতিসম কিম্বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R_₄
R_₄ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)}
(a, a),(b, b),(c, c) ∈ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
(a, b) ∈ R_₄ কিন্তু (b, a) ∉ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R_₄ কিন্তু (a, c) ∉ R_₄
∴ R_₄ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
(v) প্রতিসম কিন্তু স্বসম কিংবা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₅
R₅ = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}
(a, b) ∈ R₅ ⇒ (b, a) ∈ R₅
(b, c) ∈ R₅ ⇒ (c, b) ∈ R₅
∴ R₅ সম্বন্ধটি প্রতিসম।
(a, a) ∉ R₅
∴ R₅ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b), (b, a) ∈ R₅ (a, a) ∉ R₅
∴ R_₄ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(vi) সংক্রমণ কিন্তু স্বসম কিংবা প্রতিসম না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₆
R₆ = {(a, b), (b, b)}
(a, b), (b, b) ∈ R₆ ⇒ (b, b) ∈ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
(a, a) ∉ R₆ এবং (c, c) ∉ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R₆ কিন্তু (b, a) ∉ R₆
∴ R₆ সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।

(vii) স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₇
R₇ = {(a, b), (b, c ), (c, a )}
(a, a) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
(a, b) ∈ R₇ কিন্তু (b, a) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি স্বসম প্রতিসম নয়।
(a, b), (b, c) ∈ R₇ কিন্তু (a, c) ∉ R₇
∴ R₇ সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

(viii) একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়;
সমাধান:
এখানে A = {a, b, c}
ধরি, A সেটের ওপর একটি সম্বন্ধ R₈
R₈ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, a)}
এখানে ∀a, b, c ∈ A,
(a, a), (b, b), (c, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি স্বসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R₈ সম্বন্ধটি স্বসম।
∀a, b, c ∈ A
(a, b) ∈ R₈ ⇒ (b, a) ∈ R₈ ,
(b. c) ∈ R₈ ⇒ (c. b) ∈ R₈
(c, a) ∈ R₈ ⇒ (a, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি প্রতিসম সম্বন্ধ।
A সেটের ওপর R₈ সম্বন্ধ প্রতিসম।
আবার, ∀a, b, c ∈ A,
(a, b) ∈ R₈, (b, c) ∈ R₈ ⇒ (a, c) ∈ R₈
∴ R₈ সম্বন্ধটি সংক্রমণ।
A সেটের ওপর সম্বন্ধ R₈ সংক্রমণ ।
∴ A সেটের ওপর সংজ্ঞায়িত সম্বন্ধ R₈ একটি সমতুলাতা সম্বন্ধ।
আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো।
14. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ N নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয় :
R={(x,y): x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ টি স্বসম ,সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়।
সমাধান:
R={(x,y) : x ∈ N, y ∈ N এবং x, y -এর গুণিতক }
যেকোন সংখ্যা সেই সংখ্যার গুণিতক হয়।
⇒(x,x) ∈ R, ∀x ∈ N,
∴ R সম্বন্ধ টি স্বসম ৷
ধরি (x,y) ∈ R এবং (y,x) ∈ R
যেখানে x = yk এবং y = xl, এবং k, l ∈ N
এখন y = xl
⇒ y= (yk)l
⇒ y= y(kl)
⇒ 1 = kl
⇒ k = l = 1
∴ x = y
∴ (x,y) ∈ R (y,x) ∈ R
⇒ x=y
∴ R সম্বন্ধটি বিপ্ৰতিসম
আবার ধরি, x,y,z ∈ N এবং (x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
∴ x = yk এবং y = zl, k, I ∈ N
∴ x = yk
⇒ x = (zl)k
⇒ x = z(lk)
⇒ x = zm, যেখানে m = lk ∈ N
∴ (x,z) ∈ R
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ R
⇒ (x,z) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ সম্বন্ধ ৷
আবার (10,5) ∈ R কিন্তু (5,10) ∉ R, ∵ x, y -এর গুণিতক।
∴ R প্রতিসম নয়।
15. মনে করো একটি সেট A এর ওপর R ও S দুটি সম্বন্ধ। যদি
(i) R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হয় তবে প্রমান করো যে RUS এবং R∩S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম হবে।
(ii) R স্বসম এবং S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ হয় তবে প্রমান করো যে RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হবে।
(iii) R ও S উভয় A এর ওপর সংক্রমণ হয় তবে প্রমান করো যে R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ কিন্তু RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
(i) সমাধান:
ধরি, (x,y) ∈ RUS যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R অথবা (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R অথবা S এবং (y, x) ∈ R অথবা S
⇒ (y,x) ∈ RUS
∴ RUS A এর ওপর প্রতিসম । (প্রমানিত)

ধরি, (x,y) ∈ R∩S যেখানে x, y ∈ A
⇒(x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
R এবং S উভয়েই A এর ওপর প্রতিসম
∴ (x,y) ∈ R এবং (x,y) ∈ S
⇒ (y, x) ∈ R এবং ( y,x) ∈ S
⇒ (y,x) ∈ R∩S
∴ R∩S A এর ওপর প্রতিসম। (প্রমানিত)

(ii) সমাধান:
(ii) A সেটের ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ,
∴ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A এর জন্য,
⇒ (x,x) ∈ RUS, ∀x ∈ A এর জন্য, যেখানে S যে-কোনো একটি সম্বন্ধ ।
RUS সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম। (প্রমানিত)

(iii) সমাধান:
(iii) ধরি, (x,y),(y,z) ∈ R∩S এবং x,y,z ∈ A
R ও S উভয়েই A এর ওপর সংক্রমণ
∴ (x,y), (y,z) ∈ R এবং (x,y), (y,z) ∈ S
⇒ (x,z) ∈ R এবং (x,z) ∈ S,
⇒ (x,z) ∈ R∩S
R∩S সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ।
আবার ধরি, x,y,z ∈ A যেখানে
(x,y) ∈ R এবং (y,z) ∈ S কিন্তু (x,z) ∉ R এবং (x,z) ∉ S
∴ (x,y), (y,z) ∈ RUS কিন্তু (x,z) ∉ RUS
∴ RUS সম্বন্ধ A এর ওপর সংক্রমণ নাও হতে পারে ।
16. স্বাভাবিক সংখ্যা সমূহের সেট N এর ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরুপে সংজ্ঞাত হয়ঃ
(x, y) ∈ R ⇒ x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা, সব x, y ∈ N এর জন্য দেখাও যে N এর ওপর R সম্বন্ধ স্বসম।
সমাধান:
R = {(x, y) : x – y + √3 একটি অমূলদ সংখ্যা এবং x, y ∈ N}
∀x ∈ N, (x, x) ∈ R
⇒ x – x + √3 = √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
∴ N এর ওপর R একটি স্বসম সম্বন্ধ ।
August 27, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

দ্বাদশ শ্রেণীর S. N. DEY এর সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য নিচে দেওয়া BUTTON-এ ক্লিক করো।

Unit 1	সম্বন্ধ ও চিত্রণ RELATIONS AND FUNCTIONS	▶️ CLICK HERE
Unit-2:	বীজগণিত Algebra	▶️ CLICK HERE
Unit-3:	কলনবিদ্যা Calculus	▶️ CLICK HERE
Unit-4:	ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি Vector & Three dimensional geometry	▶️ CLICK HERE
Unit-5:	রৈখিক প্রোগ্রামবিধি Linear Programming	▶️ CLICK HERE
Unit-6:	সম্ভাবনা Probability	▶️ CLICK HERE

Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ

1. A = (1, 2, 3, 4) এবং A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ I_A হলে-
A. (1, 2) ∈ I_A
B. (2, 2) ∈ I_A
C. (2, 1 ) ∈ I_A
D. (3, 4) ∈ I_A
Ans: B. (2, 2) ∈ I_A
[একক সম্বন্ধ I_A হলে I_A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}]

2. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর –
A. স্বসম এবং প্রতিসম হয়
B. প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়।
C. স্বসম এবং সংক্রমন হয়
D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়
Ans: D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
A. A = {1, 2, 3} এবং R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1,2)) হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
B. A = {a, b, c, d) এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(a, c), (b, d), (b, c) (c, a) (d, b)} তাহলে, A -র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
C. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
Ans: D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
[A. X (3, 3) ∉ R
B. X (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
A. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একক সম্বন্ধ সর্বদাই A -এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
B. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A -এর ওপর একটি একক সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
D. X = {a, b, c} এবং Y= {c, a, b} হয়, তবে XxY = YxX হবে।
Ans: C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
[(1, 2) এবং (2, 1 ) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ]

5. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় –
A. 2⁴
B. 2⁸
C. 2¹²
D. 2¹⁶
Ans: D. 2¹⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 4 টি
∴ AxA তে মোট পদসংখ্যা হবে = 4×4 = 16 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2¹⁶]

6. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e} সেটে মোট সম্বন্ধসমুহের সংখ্যা –
A. 2⁶
B. 2⁸
C. 2⁴
D. 2¹⁵
Ans: A. 2⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 3 এবং B সেটের পদসংখ্যা 2
∴ AxB তে মোট পদসংখ্যা হবে = 3×2 = 6 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2⁶]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. মনে করো, A = { 8, 9, 10, 11 } এবং B = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য, R-এর ক্ষেত্র হবে –
A. {2, 3, 4, 5}
B. {8,‌ 9, 10}
C. {8, 9, 10, 11}
D. {8, 10}
Ans: B. {8,‌ 9, 10}
[xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
∴ R = {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
R-এর ক্ষেত্র হবে {8,‌ 9, 10}]

8. R = {(x, y) : x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R -এর পাল্লা হবে –
A. {-2, -1, 0, 1, 2}
B. {-2, -1, 0}
C. {5, 4, 3, 2, 1}
D. {4, 3, 2, 1}
Ans: C. {5, 4, 3, 2, 1}
[x = -2 (|x| = |-2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-2 – 3| = |-5| = 5
x = -1 (|x| = |-1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-1 – 3| = |-4| = 4
x = 0 (|x| = |0| = 0 < 3) হলে
y = |x – 3| = |0 – 3| = |-3| = 3
x = 1 (|x| = |1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |1 – 3| = |-2| = 2
x = 2 (|x| = |2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |2 – 3| = |-1| = 1
R-এর পাল্লা হবে {5,‌ 4, 3, 2, 1}]

9. যদি C থেকে R-এর ওপর ϕ সম্বন্ধটি হয় xϕy ⇔ |x| = y.তবে নীচের কোনটি সঠিক?
A. (2+3i)ϕ13
B. 3ϕ(-3)
C. (1+i)ϕ2
D. iϕ1
Ans: D. iϕ1
[xϕy ⇔ |x| = y
|(2+3i)| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
|3| = √3² = √9 = 3
|(1+i)| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
|i| = √1²) = 1]

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

UNIT – 1
সম্বন্ধ ও চিত্রণ
RELATIONS AND FUNCTIONS

সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসम হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে তার সংখ্যা হল –
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ans: A. 1
[A = {1, 2, 3}; R = {(1, 2), (1, 3)}
সম্বন্ধটি স্বসম হলে (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R হবে।
সম্বন্ধটি প্রতিসम হলে (1, 2), (1, 3) ∈ R ⇒ (2, 1), (3, 1) ∈ R হবে।
∴ R = {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}]

11. {1, 2, 3, 4} এর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1,3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের সঠিক উক্তি নির্বাচন করো:
A. R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসम কিন্তু সংক্রমন নয়;
B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
C. R সম্বন্ধ প্রতিসम ও সংক্রমন কিন্তু স্বসম নয়;
D. R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
[A. -X (1, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমন
C. -X (2, 2), (1, 1), (4, 4), (3, 3) ∈ R সম্বন্ধটি স্বসম
D. -X (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R সম্বন্ধটি প্রতিসम নয়]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

1.মনে করো A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6) এবং R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :
xRy ⇒ (x + y) এর মান জোড়, দেখাও যে, A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
Ans: A সেটের প্রতিটি পদ বিজোড় কিন্তু B সেটের পদ্গুলি জোড়। যেহেতু, একটি বিজোড় ও একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হয়। তাই x ∈ A ও ইয় ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হবে৷
∴ xRy ⇒ (x + y) –এর মান জোড়, এই সম্মন্ধটি একটি শূন্য সম্মন্ধ হবে ৷
∴ A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।

2. কখন কোনো সেট A – এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ স্বসম নয়? মনে করো, A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}; A -র ওপর R কি স্বসম?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R স্বসম হয় না যখন A সেটের কমপক্ষে একটি পদ a -এর জন্য (a, a) ∉ R হয়।
A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)};
এখানে, (b, b) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয় ।

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

3. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ প্রতিসম নয়? মনে করো, X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ কি প্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R প্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R হয়
X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)};
এখানে, (1,2) ∈ R কিন্তু ( 2,1) ∉ R
∴ R সম্বন্ধেটি প্রতিসম নয়।

4. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ বিপ্রতিসম নয়? মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর এটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:A-র ওপর R সম্বন্ধ কি বিপ্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R বিপ্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R কিন্তু a ≠ b হয়।
A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর সংজ্ঞাত সম্বন্ধ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:
এখানে, (3,4) ∈ R এবং (4,3) ∈ R কিন্তু 3 ≠ 4
∴ সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম নয়।

Class XII Relation

5. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ নয়? মনে করো, A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয় R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}; A র ওপর R সম্বন্ধ কি সংক্রমণ?
Ans: কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R ওই সেটের ওপর সংক্রমণ হয় না যখন a, b, c ∈ A এমন হয় যে (a, b) ∈ R এবং (b, c ) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R হয়।
A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}
এখানে (2, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R কিন্তু ( 2, 2) ∉ R
∴ A র ওপর R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

6. কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R একই সঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হতে পারে কি?
Ans: a,b ∈ A হলে, (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R হলে সম্বন্ধটি প্রতিসম হবে।
আবার (a,b) ∈ R এবং (b,a) ∈ R
⇒ a = b হলে সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম হবে।
∴ কোন সেট A এর উপর একটি সম্বন্ধ R যদি,
(a, b) ∈ R
⇒ a = b আকারে সংজ্ঞাত হয় তবে A -এর ওপর R সম্বন্ধ একইসঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হবে ।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Class XII Relation

7. নীচে সংজ্ঞাত প্রত্যেকটি সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা নির্ণয় করো:
(i) R₁ = {(a. ¹/_a) : 0 < a <5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা}
Ans:
∵ 0 < a < 5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা
R₁-এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং
R₁-এর পাল্লা {1, ½, ⅓, ¼}

(ii) R₂ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4}
Ans:
x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4
∴ R₂= {(-1, -4), (1, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 1), (4, 1)}
R₂-এর ক্ষেত্র {-4, -2, -1, 1, 2, 4} এবং
R₂-এর পাল্লা {-4, -2, -1, 1, 2, 4}

(iii) R₃ = {(x, y) : x ∈ N, y ∈ N এবং 2x + y = 41 )
Ans:
∵ 2x + y = 41
বা, y = 41 – 2x
∴ R₃ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35),. . . . . (19, 3),(20, 1)}
∴ R₃ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3. . . . . 19, 20} এবং
R₃ -এর পাল্লা {39, 37, 35,. . . . . 3, 1}

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

(iv) R₄ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং x² + y² = 25}
Ans:
R₄ = {(x, y)! x ও y অখণ্ড সংখ্যা x² + y² = 25}
∵ x² + y² = 25
বা, y² = 25 – x²
বা, y = √(25 – x²)
∵ x ও y অখণ্ড সংখ্যা।
∴ x এর মান -5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 হলে,
y এর মান হবে যথাক্রমে 0, 3, 4, 5, 4, 3, 0
∴ R₄ = {(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)}
∴ R₄ -এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} এবং
R₄ -এর পাল্লা = {0, 3, 4, 5)

(v) R₅ = (( x – 5, 2x – 7 ) : x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা }
Ans:
x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ x = {1, 3, 5, 7, 9}
∴ R₅ = {(-4, -5),(-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)}
∴ R₅ -এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4} এবং
∴R₅ -এর পাল্লা {-5, -1, 3, 7, 11}
(vi) R₆ = {(x, x² – 31 ) : x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা}
Ans:
x হল 12 এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
∴ x = {2, 3, 5, 7, 11}
R6={(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18),(11, 90)}
∴ R₆ -এর ক্ষেত্র ={2, 3, 5, 7, 11} এবং
∴ R₆ -এর পাল্লা = {-27, -22, -6, 18, 90}

Class XII Relation

(vii) R₇ = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| <3 এবং y = |x-3|}
Ans:
x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x|< 3
∴ x = {-2, -1, 0, 1, 2}
y = |-2 – 3| = 5, |-1 – 3| = 4, |0 – 3| = 3, |1 – 3| = 2, |2 – 3| = 1
R₇ = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)}
∴ R₇-এর ক্ষেত্র = { -2, -1, 0, 1, 2} এবং
R₇-এর পাল্লা = {5, 4, 3, 2, 1}
(viii) S = {(x, y) : x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈N এবং x + 3y = 12}
∵ x+3y=12
বা, 3y = 12 – x
বা, y = ^{(12 – x)}/ ₃
x = 3, হলে y = 3
x = 6, হলে y = 2
x = 9, হলে y = 1
S = {(3, 3), (6, 2), (9, 1)}
∴ S এর ক্ষেত্র {3,6,9} এবং
S এর পাল্লা {3,2,1}

Class XII Relation

8. একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
সমতুল্যতা সম্বন্ধঃ শূন্য নয় এমন কোন সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি –
(i) R সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হয় অর্থাৎ ∀x ∈ A এর জন্য (x, x) ∈ R হয়;
(ii) R সম্বন্ধ A এর ওপর প্রতিসম হয় অর্থাৎ ∀x, y ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R হয় এবং
(iii) R সম্বন্ধ A ওপর সংক্রমণ হয় অর্থাৎ ∀x, y, z ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R হয়।

⛔ কোন সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেট △ এর ওপর R সম্বন্ধ সর্বদা স্বসম কারণ যে কোনো ত্রিভুজ সর্বদা তার নিজের সঙ্গে সদৃশ হবে।
অর্থাৎ △₁ ∈ △ এর জন্য (△₁, △₁) ∈ R
△₁, △₂∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R
⇒ △₁, এবং △₂ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₂, এবং △₁ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₂, △₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
△₁, △₂, △₃∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R এবং (△₂, △₃) ∈ R
⇒ △₁, ও △₂ এবং △₂, ও △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₁, এবং △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₁, △₃) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

9. A = {a, b, c} সেটের ওপর একটি সমৃদ্ধ R এমনভাবে সংজ্ঞাত করো, যাতে সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়।
Ans:
R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
(a, a), (b, b), (c, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ টি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ নয়।

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

10. মনে করো, A= (1, 2, 3) এবং A -এর উপর R = (1, 1), (2, 3), (3, 3)} একটি সম্বন্ধ। R-এর সঙ্গে (i) সবচেয়ে কম (ii) সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড়সমূহ যোগ করো যাতে পরিবর্ধিত সম্বন্ধ দুটির প্রতিটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
Ans:
(i) R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি সেটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়।
(2,2) ∉ R
∴ (2,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি স্বসম সম্বন্ধ হবে।
আবার, (2, 3) ∈ R কিন্তু ( 3, 2) ∉ R
∴ (3,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি প্রতিসম হবে।
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}
(2,3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R
⇒ (2,2) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন সম্মন্ধ ।
সবচেয়ে কম সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে R সম্বন্ধটিকে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2,2) এবং (3, 2) যোগ করতে হবে।

(ii) A সেটের ওপর সংজ্ঞাত সবচেয়ে বড় সমতুল্যতা সম্বন্ধ হল A×A
A×A = {(1,1), (2, 2), ( 3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}
সুতরাং, সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে সম্বন্ধটিতে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2, 2), (1, 2), (1, 3), ( 2, 1) (3,1), (3, 2) পদ্গুলি যোগ করতে হবে।

11. মনে করো, T₁, T₂, T₃ তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10 ; T₁, T₂, এবং T₃ ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ans:
সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
এখানে 3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটির বাহুগুলি পরস্পর সমানুপাতিক।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধযুক্ত।