Category: XII-OLD SILLABUS

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2
Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1-CLICK HERE
3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)
(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$
4. দোলকের দৈর্ঘ্য l ও দোলনকাল T যদি T=2л√^l/_g সূত্র দ্বারা আবদ্ধ হয় এবং g দৈর্ঘ্যের ত্রুটি 1% হলে, দোলনকালের ত্রুটি নির্ণয় করো।
Solution:
$$\large{T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}\\⇒\frac{dT}{dl}=\frac{2π}{\sqrt g}.{\frac{1}{2\sqrt l}}\\⇒dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}.Δl\\ \quad ∵\quad\frac{Δl}{l}×100=1\\⇒\quadΔl=0.01l \\∴dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}×0.01l\\⇒dT=2π\sqrt{\frac{l}{g}}×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×0.005\\⇒\frac{dT}{T}=0.005\\∴\left(\frac{dT}{T}×100\right)\%=0.5\%}$$Ans: দোলনকালের ত্রুটি 0.5%
5. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। যদি ব্যাসার্ধের পরিমাপে সম্ভাব্য ত্রুটির মান 0.05 সেমি হয়, তবে গোলকের আয়তনের পরিমাপে ত্রুটি, আপেক্ষিক ও শতকরা ত্রুটির মান নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি,গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
এখানে, r = 20 সেমি এবং Δr = 0.05 সেমি
গোলকের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = 4πr²
⇒ dV = 4πr² × Δr
⇒ dV = 4π×(20)² ×0.05
⇒ dV = 4π×400×⁵/₁₀₀
⇒ dV = 80π
Ans: আয়তনের পরিমাপে ত্রুটির মান 80π
∴ ^dV/_V = ^80π/_{⁴/₃ π(20)³}
⇒ ^dV/_V = ^80×3/_4×8000
⇒ ^dV/_V = ³/₄₀₀
⇒ ^dV/_V = 0.0075
Ans: আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান 0.0075
∴ ^dV/_V × 100 = 0.0075×100
= 0.75
Ans: আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির মান 0.75
6. দেখাও যে, কোনো ঘনকের আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান তার বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির প্রায় তিনগুণ।
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
ঘনকের আয়তন V হলে,
V = a³
∴ ^dV/_da = 3a²
⇒ dV = ^dV/_da .da
⇒ dV = 3a².da
⇒ dV = 3a² × a × ^da/_a
⇒ dV = 3a³ × ^da/_a
∴ ^dV/_V = ¹/_V × 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = ¹/_3a³× 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = 3 ^da/_a
∴ আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি = 3× বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি (Proved)
7. একটি বেলুনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ব্যাসার্ধ মাপতে গিয়ে যদি 0.01 সেমি ত্রুটি হয়, তবে বেলুনের আয়তন নির্ণয় করতে গিয়ে কত ত্রুটি হবে নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, বেলুনের ব্যাসার্ধ r;
এখানে, r = 7 সেমি এবং Δr = 0.01 সেমি
বেলুনের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = ⁴/₃ π.3.r²
⇒ ^dV/_dr = 4πr²
∴ ΔV = ^dV/_dr.Δr
⇒ ΔV = 4πr².Δr
⇒ ΔV = 4π7².0.01 – – – – [r = 7]
⇒ ΔV = 4×²²/₇×7²×¹/₁₀₀
⇒ ΔV = 6.16
Ans: বেলুনের আয়তন নির্ণয়ে ত্রুটি 6.16 বর্গসেমি ।
8. একটি ওলটানো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির জলাধারের উচ্চতা 24 ইঞ্চি ও ভূমির ব্যাস 12 ইঞ্চি। জলাধারে প্রতি মিনিটে 100 ঘনইঞ্চি জল ঢালা হয়। যখন জলাধারে জলের উচ্চতা 10 ইঞ্চি তখন জলতলের উচ্চতা কী হারে বৃদ্ধি পায়?
Solution:
ধরি, t সময়ে জলাধারে সঞ্চিত জলের আয়তন V;
জলের উপরিতলের ব্যাসার্ধ r এবং জলের গভীরতা h হলে,
সঞ্চিত জলের আয়তন
V = ¹/₃πr²h
এখানে,
OB = 24 ইঞ্চি ; OA =6 ইঞ্চি, OB= 24 ইঞ্চি;
t সময়ে CD = r; জলের গভীরতা CB = h
স্পষ্টতই, △AOB এবং △DCB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{OA}{CD}=\frac{OB}{CB}\\⇒\frac{6}{r}=\frac{24}{h}\\⇒\frac{1}{r}=\frac{4}{h}\\⇒r=\frac{h}{4}\\\therefore V=\frac{1}{3}.π.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h\\⇒ V=\frac{1}{3}.π.\frac{h}{16}^3\\⇒ \frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}.π.3.\frac{h}{16}^2.\frac{dh}{dt}\\ ⇒\frac{dV}{dt}=π.\frac{h}{16}^2\frac{dh}{dt}\\ \quad\quad\frac{dV}{dt}= 10;\quad h=10 \\100=\frac{π}{16}10^2\frac{dh}{dt}\\⇒ \frac{dh}{dt}=\frac{16}{π}\\}$$Ans: জলতলের উচ্চতা 16/π ইঞ্চি/মিনিট হারে বৃদ্ধি পায়।
9. 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি 15 ফুট উচ্চ একটি আলোকস্তম্ভের পাদদেশ থেকে ঘণ্টায় 3 মাইল বেগে সরে আসলে,
(i) তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কী হারে বৃদ্ধি পাবে?
(ii) তার ছায়ায় দূরবর্তী প্রান্ত কত বেগে গতিশীল হবে ?
(i)
Solution:
এখানে, আলোকস্তম্ভের উচ্চতা(AB) = 15 ফুট,
ব্যক্তির উচ্চতা(DE) = 6 ফুট,
dx/dt = 3 মাইল/ঘন্টা,
ধরি, BE = x, ছায়ার দৈর্ঘ্য(EC) = y,
স্পষ্টতই, △ABC এবং △DEC সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\\⇒\frac{15}{6}=\frac{x+y}{y}\\⇒\frac{5}{2}=\frac{x+y}{y}\\⇒5y=2(x+y)\\⇒3y=2x\\ ⇒3\frac{dy}{dt}=2\frac{dx}{dt}\\⇒3\frac{dy}{dt}=2.3\\⇒\frac{dy}{dt}=2}$$
Ans: ব্যক্তিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ঘন্টায় 2 মাইল বেগে বাড়বে।
(ii)
Solution:
d(x+y) = dy/dt + dx/dt
= 3 + 2 =5
Ans: ছায়ার দূরবর্তী প্রান্তের বেগ ঘন্টায় 5 মাইল বেগে গতিশীল হবে।
10.কোনো জলাধারের তলদেশ 3 ফুট বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। যদি জলাধারে জলের উচ্চতা প্রতি মিনিটে 1 ফুট বৃদ্ধি পায়, তবে তাতে কী হারে জল ঢালা হচ্ছিল?
Solution:
ধরি, জলাধারটির বাহুর দৈর্ঘ্য a ফুট এবং উচ্চতা h ফুট
∴ জলাধারটির আয়তন V = a²h
এখানে a = 3 ফুট, ^dV/_dt = a²
^dh/_dt = 1 ফুট/মিনিট
∵ V = a²h
⇒ ^dV/_dt = a².^dh/_dt
⇒^dV/_dt = 3²×1
⇒ ^dV/_dt = 9
Ans: 9 ঘনফুট/মিনিট হারে জল ঢালা হচ্ছিল।
11. প্রতি মিনিটে 3 ঘনফুট হারে বালি ফেলে ভূমি সমতলে একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হয়, যার উচ্চতা ভূমির ব্যাসার্ধের অর্ধেক। যখন ভূমির ব্যাসার্ধ 4 ফুট, তখন কী হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে?
Solution:
ধরা যাক,লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
এখানে ^dV/_dt = 3 ঘনফুট/মিনিট
এবং h = ^r/₂
বা, r = 2h
শঙ্কুর আয়তন হলে,
V = ¹/₃ πr²h
বা, V = ¹/₃ π(2h)²h
= ⁴/₃ πh³
∴ ^dV/_dt = ⁴/₃ π.3.h²
⇒ ^dV/_dt = 4πh² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(^r/₂)h² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(⁴/₂)² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π.4 ^dh/_dt
⇒ ^dh/_dt = ³/_16π
Ans: প্রতি মিনিটে ³/_16π ফুট হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে
12. 26 ফুট দীর্ঘ একটি মই উল্লম্ব দেওয়ালের গায়ে হেলানো অবস্থায় আছে। দেওয়াল থেকে মইটির নিম্নপ্রান্তের অনুভূমিক দূরত্ব 10 ফুট। যদি মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেন্ডে 10 ইঞ্চি বেগে নামতে থাকে, তবে তার নিম্নপ্রান্ত ভূমির ওপর কত বেগে গতিশীল হবে? মইটির প্রবণতা যে হারে পরিবর্তিত হয় তাও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, AB = x এবং BC = y
মইটির উচ্চতা(AC) = 26 ফুট = 26×12 ইঞ্চি
t সময়ে মইটি অনুভূমিক মেঝের সঙ্গে θ কোণ করে থাকলে,
প্রবণতা(m) = tanθ = ^x/_y
এখানে ^dx/_dt = 10 ইঞ্চি/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² + y² = (26×12)²
⇒ 2x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
y = BC = 10 ফুট = 10×12 ইঞ্চি হলে,
x² + y² = (26×12)² থেকে পাই,
x² + (10×12)² = (26×12)²
বা, x² = (26×12)² – (10×12)²
বা, x² = 12²(26² – 10²)
বা, x² = 12²(26 + 10)(26 – 10)
বা, x² = 12² × 36 × 16
বা, x = 12 × 6 × 4
∴ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^{12 × 6 × 4}/_{12 × 10}×(-10)
= 24
Ans: মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেণ্ডে 24 ইঞ্চি বা 2 ফুট বেগে গতিশীল।
দ্বিতীয় অংশঃ প্রবণতা পরিবর্তনের হার-
m = tanθ = ^x/_y
$$\large{\therefore\frac{dm}{dt}=\frac{y.\frac{dx}{dt}-x.\frac{dy}{dt}}{y^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{10.\frac{-10}{12}-2.24}{(10)^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-\frac{50}{6}-48}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{\frac{-50-288}{6}}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-338}{6.100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-169}{300}}$$Ans: প্রবণতা পরিবর্তনের হার, সেকেন্ডে 169/300 ফুট প্রতি সেকেন্ড
13. ভূমি সমতলে পর্যবেক্ষক থেকে 50 ফুট দূরে একটি বেলুন সেকেন্ডে 6 ফুট বেগে উল্লম্বভাবে ওপরদিকে ওঠে। যখন ভূমি থেকে বেলুনের উচ্চতা 120 ফুট তখন সেটি কত বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়?

Solution:
ধরি, AB = x ফুট এবং AC = y ফুট
এখানে ^dx/_dt = 6 ফুট/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
y² = x² + 50²
বা, y² = 120² + 50² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = 14400 + 2500
বা, x² = 16900
বা, x = 130
বা, (120) 2 + 502=y2
বা, y = 130
আবার,
y² = x² + 50²
⇒ 2y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₁₃₀×6
⇒ ^dy/_dt = ⁷²/₁₃
Ans: বেলুনটি সেকেন্ডে ⁷²/₁₃ ফুট বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়1
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
14. একটি বাড়ি থেকে 30 ফুট দূরে ভূমিতে একটি বাতি জ্বলছিল; 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি বাতির কাছ থেকে প্রতি সেকেন্ডে 5 ফুট বেগে বাড়ির দিকে হাঁটতে থাকে। বাড়ি থেকে যখন তার দূরত্ব 15 ফুট, তখন কী হারে দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কমতে থাকবে?
Solution:
ধরি, DE ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং ব্যক্তিটির উচ্চতা(BC) = 6 ফুট ;
চিত্রে AE = 30 ফুট, CE=15 ফুট, AC = x ফুট (ধরি,)
^dx/_dt = 5 ফুট/সেকেন্ড;
স্পষ্টতই, △AED এবং △ACB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}\\⇒\frac{y}{6}=\frac{30}{x}\\⇒xy= 180\\⇒ x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0\\⇒15.\frac{dy}{dt}+12.\frac{dx}{dt}=0 —(x=15 হলে,y=12)\\⇒ 15.\frac{dy}{dt}+12.5=0\\⇒\frac{dy}{dt}=-\frac{60}{15}=-4}$$Ans: দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সেকেন্ডে 4 ফুট হারে কমতে থাকবে।
15. একজন বালক একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছিল। ঘুড়িটির উচ্চতা যখন 160 ফুট তখন বালকটি থেকে ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য 200 ফুট (সুতোটি একটি সরলরেখায় আছে ধরে নাও) বালকটি থেকে অনুভূমিক তলের সমান্তরালভাবে ঘুড়িটি ঘণ্টায় 5 মাইল বেগে উড়তে থাকলে বালকটি কী হারে সুতো ছাড়ছিল?

Solution:
ধরি, ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য(AC) = y ফুট এবং BC = x ফুট
এখানে AB = 160 ফুট;
^dy/_dt = 5 মাইল/ঘণ্টা
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² +160² = y²
বা, x² +160² = 200²
বা, x² = 200² -160² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = (200 + 160)(200 + 160)
বা, x² = 360×40
বা, x = 6×20 = 120
∵ x² +160² = y²
⇒ 2x×^dx/_dt = 2y×^dy/_dt
⇒ x^dx/_dt = y^dy/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = 3
Ans: বালকটি 3মাইল/ঘণ্টা বেগে সুতো ছাড়ছিল।
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
16. অক্ষটিকে উল্লম্ব অবস্থায় রাখা একটি শঙ্কু আকৃতির পাত্র থেকে প্রতি মিনিটে 8৪৪ ঘনমিটার জল সমহারে পাম্প করে ফেলা হচ্ছে। যদি শঙ্কুর অর্ধ-শীর্ষকোণ 45° হয়, তবে যখন জলের গভীরতা 2 মিটার, তখন জলতল অবনমনের হার বের করো।

Solution:
সমকোণী △ABC-এর ∠BAC= 45°
ধরি শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং উচ্চতা hমিটার
∵ ∠BAC= 45°
∴ h = r
শঙ্কুর আয়তন V হলে,
V = ¹/₃ πr²h = ¹/₃ πr³ – – – [∵ h = r]
⇒ ^dV/_dr = ¹/₃×π×3r²
⇒ dv = πr² dr
⇒ 88 = π×2²×dr
⇒ 88 = ²²/₇×4×dr
⇒ dr = 7
Ans: জলতল অবনমনের হার 7 মিটার
17. একটি বৃত্তাকার কালির ফোঁটা সেকেন্ডে 2 বর্গসেমি হারে বড়ো হয়; 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ক্ষেত্রফল S = πr²
প্রশ্নানুসারে,
πr² = 2 × 2⁶/₁₁
বা, ²²/₇ r² = 2 × ²⁸/₁₁
বা, r² = ^4×7×7/_11×11
বা, r = ^2×7/₁₁ = ¹⁴/₁₁
এখানে, ^dS/_dt = 2
∵ S = πr²
⇒ ^dS/_dt = 2πr^dr/_dt
⇒ 2 = 2×²²/₇×¹⁴/₁₁×^dr/_dt
⇒ 1 = 4×^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ¹/₄ = 0.25
Ans: ব্যাসার্ধ সেকেন্ডে 0.25 সেমি বৃদ্ধি পায়।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
18. স্থির হ্রদে একটি পাথর ফেলা হয় এবং ঢেউগুলি সেকেন্ডে 4 সেমি হারে বৃত্তাকারে গতিশীল হয়। যে সময়ে বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বৃদ্ধি পায়?
Solution:
ধরি বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার ঢেউ-এর ক্ষেত্রফল S = πr²
এখানে, ^dr/_dt = 4
∵ S = πr²
∴ ^dS/_dt = 2πr.^dr/_dt
=2π×10×4
= 80π
Ans: 80 বর্গসেমি হারে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়।
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
19. দুটি রাস্তা AB ও BC পরস্পর B বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার। একজন ব্যক্তি A বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 4 মিটার বেগে B অভিমুখে সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে এবং ওই সময়ে B বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 8 মিটার বেগে অপর এক ব্যক্তি BC রাস্তায় সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে। যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কী হারে পরিবর্তিত হয়?
Solution:
এখানে, ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার।
ধরি, t সেকেন্ড পর তারা D ও E বিন্দুতে পৌছয়।
প্রথম ব্যক্তি A বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 4t মিটার এবং
দ্বিতীয় ব্যক্তি B বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 8t মিটার।
অাসে।
∴ BD = 28 – 4t এবং BE = 8t মিটার এবং DE = x (ধরি)

$$\large{\quad cos60°=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒\frac{1}{2}=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒(28-4t).8t=(28-4t)^2+(8t)^2-x^2\\⇒x^2=(28-4t)^2+64t^2+32t^2-224t\\⇒x^2=(28-4t)^2+96t^2-224t\\\therefore 2x\frac{dx}{dt}=2(28-4t)(-4)+192t-224\\⇒x\frac{dx}{dt}=-112+16t+96t-112\\⇒x\frac{dx}{dt}=112t-224\\⇒\frac{dx}{dt}=\frac{112t-224}{\sqrt{(28-4t)^2+96t^2-224t}}\\\therefore\left[\frac{dx}{dt}\right]_{t=3}=\frac{112×3-224}{\sqrt{(28-4×3)^2+96×3^2-224×3}}\\\quad\quad=\frac{336-224}{\sqrt{286+864-672}}\\\quad\quad=\frac{112}{\sqrt{448}}\\\quad\quad=\frac{16×\sqrt7×\sqrt7}{8\sqrt{7}}\\ \quad\quad=2\sqrt7}$$Ans: যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√7 হারে পরিবর্তিত হবে।
20. কোনো গ্যালভানোমিটারে C = ktanθ সমীকরণের সাহায্যে তড়িৎপ্রবাহ C-এর পরিমাণ নির্ণয় করা হয় (k একটি ধ্রুবক) θ = 45°-তে θ-এর পরিমাপে 0.7% ত্রুটির জন্য অনুরূপ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি নির্ণয় করো।
Solution:
C = ktanθ
∴ ^dC/_dθ = ksec²θ
এখানে, ^△θ/_θ × 100 = 0.7
বা, △θ = ^0.7θ/₁₀₀
∴ △C = ^dC/_dθ × △θ
= ksec²θ × ^0.7θ/₁₀₀
$$\large{=\frac{△C}{C}×100\\=\frac{\frac{ksec^2θ ×0.7θ}{100}}{ktanθ}×100\\= \frac{ksec^2θ ×7θ}{ktanθ×10×100}×100\\= \frac{sec^2θ ×7θ}{tanθ×10}\\= \frac{sec^245° ×7×\frac{π}{4}}{tan45°×10}\\= \frac{(\sqrt{2})^2×7×\frac{22}{7×4}}{1×10}\\= \frac{2×7×22}{7×4×10}\\= \frac{11}{10}=1.1}$$ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি শতকরা 1.1 Ans
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
21. ভূমি সমতল থেকে ⅔ কিমি উচ্চতায় একটি উড়োজাহাজ ঘণ্টায় 15 কিমি বেগে অনুভূমিক দিকে গতিশীল। ভূমির ওপর অবস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি কী হারে দূরে সরে যায় (প্রদত্ত, 2 মিনিট আগে উড়োজাহাজটি ওই স্থির বিন্দুর ওপর দিয়ে গিয়েছিল)?

Solution:
2 মিনিটে উড়োজাহাজটি যায়
= 15 × 2/60 কিমি
= ½ কিমি।
চিত্রে AC = ⅔ কিমি;
CB = x কিমি এবং AB = y কিমি হলে
x² = y² + (⅔)²
⇒ 2x ^dx/_dt = 2y ^dy/_dt
⇒ x ^dx/_dt = y. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = ^y/_x. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = y/x × 15 – – – [∵ ^dy/_dt = 15]
y= ½, x = ⅚ হলে
^dx/_dt = ^½/_⅚ × 15
⇒ ^dx/_dt = ⅗ × 15
= 9
Ans: স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি প্রতি ঘন্টায় 9 কিমি দূরে সরে যায়।
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
October 2, 2023

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1 CLICK

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়।
[x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার
= ^lim_△x→0 ^Δy/_Δx
= ^dy/_dx = f'(x)]

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

Ans: (c) –¹/₁₆
[y = ¹/_√x+1
= (x + 1)^–¹/₂
^dy/_dx = –¹/₂(x + 1)^–¹/₂-1
= –¹/₂(x + 1)^–³/₂
[^dy/_dx]_{_x=3} = –¹/₂(3 + 1)^–³/₂
= –¹/₂(2²)^–³/₂
= –¹/₂ x ¹/₂^₃
= –¹/₂ x ¹/₈
= –¹/₁₆]

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

Ans: (a) -6
[y = 2x – x²
^dy/_dx = 2 – 2x
[^dy/_dx]_{_x=4} = 2 – 2×4
= 2 – 8 = -6]

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

Ans: (c) cotx
[ধরি, y = f(x) = Log sinx
f'(x) = ¹/_sinx x cosx
= cotx]

6. 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট কোনো একটি বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য পরিমাপে ত্রুটির পরিমান 0.05 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল পরিমাপে আসন্ন ত্রুটির পরিমাপ হবে-
(a) 0.5 বর্গসেমি (b) 0.1 বর্গসেমি
(c) 0.2 বর্গসেমি (d) 1 বর্গসেমি

Ans: (d) 1 বর্গসেমি
[ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a = 0.05
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
= 2 x 10 x 0.05
= 1 বর্গসেমি]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

(i)
Solution:
y = x³ – 3x² + 2x
^dy/_dx= 3x² – 3 × 2x + 2
= 3x² – 6x + 2
∴ dy = (3x² – 6x + 2) dx (Ans)

(ii)
Solution:
y = e^x² + a²
^dy/_dx= e^x² × 2x
= 2xe^x²
∴ dy = 2xe^x² dx (Ans)

(iii)
Solution:
y = sin√x
^dy/_dx= cos√x × ¹/_2√x
= ^cos√x/_2√x
∴ dy = ^cos√x/_2√x dx (Ans)

(iv)
Solution:
y = e^x(sinx + cosx)
^dy/_dx= e^x(sinx + cosx) + e^x(cosx – sinx)
= e^xsinx + e^xcosx + e^xcosx – e^xsinx
= 2e^xcosx
∴ dy = 2e^xcosx dx (Ans)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

(i)
Solution:
d(x² – y²)
= 2x dx – 2y dy (Ans)

(ii)
Solution:
d(xy²)
= x.2ydy + y².dx
= 2xydy + y²dx (Ans)

(iii)
Solution:
d(^x²/_y)
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{2xydx – x².dy}/_y²

(iv)
Solution:
d(x²siny)
= x².cosydy + siny.2xdx
= x²cosydy + 2xsinydx (Ans)

3. y = x²– 2x + 3 অপেক্ষকের বৃদ্ধি (Increment) ও অবকল (differential) নির্ণয় করে, যখন
(i) x -এর মান 2 থেকে 2.02-এ পরিবর্তিত হয়
(ii) x -এর মান 3 থেকে 2.97-এ পরিবর্তিত হয়।

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.02 – 2 = 0.02
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.02) – f(2)
= (2.02)²– 2×2.02 + 3 – (2²– 2×2 + 3)
= 4.0804– 4.04 + 3 – 4+ 4 – 3
= 0.0404 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×2 – 2)×0.02
= 2×0.02 = 0.04 (Ans)

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.97 – 3 = -0.03
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.97) – f(3)
= (2.97)²– 2×2.97 + 3 – (3²– 2×3 + 3)
= 8.8209– 5.94 + 3 – 9+ 6 – 3
= 2.8809– 3
= -0.1191 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×3 – 2)×(-0.03)
= -4×0.03 = -0.12 (Ans)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
y = x²
⇒ ^dy/_dx = 2x
x = 2 হলে y = (2)² = 4
x = 5 হলে y = (5)² = 25
∴ Δx = 5 – 2 = 3
Δy = 25 – 4 = 21
y = 25 যখন, x=5 .. Ax=5-2=3, Ay=25-4=21
∴ গড় পরিবর্তন = ^Δy/_Δx
= ²¹/₃ = 7 (Ans)
[^dy/_dx]_{_x=2} = 2.2 = 4
x=2-তে পরিবর্তনের হার = 4 (Ans)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

5. গোলকাকৃতি খেলনা বেলুনকে যখন ফোলানো হয়, তখন তার আয়তন V (ঘনইঞ্চিতে) এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল S (বর্গইঞ্চিতে) সময় t -এর অপেক্ষক হয়, যেখানে, V = ^π/₆t³ এবং S = πt² । t = 4 -এ আয়তন এবং ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
V = ^π/₆t³
⇒ ^dV/_dt = ^π/₆ × 3t²
= ^π/₂t²
[^dV/_dt]_{_t=4} = ^π/₂ × (4)²
= ^π/₂ × 16
= 8π
Ans: t = 4 -এ আয়তন পরিবর্তনের হার 8π ঘনইঞ্চি/সেকেন্ড ।
আবার
S = πt²
⇒ ^dS/_dt = π × 2t
= 2πt
[^dS/_dt]_{_t=4} = 2π × 4
= 8π
Ans: t = 4 -এ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার 8π বর্গইঞ্চি/সেকেন্ড।

6. (i) একটি বল t সেকেন্ড সময়ে s ফুট দুরত্ব অতিক্রম করে, যেখানে s = 8t – 10t² ; t = 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ নির্ণয় করো।
(ii) t সেকেন্ড সময়ে কোনো কণার বেগ, প্রতি সেকেন্ড v ফুট হলে v= 6t² – 2t³ হয়; t = 4 সেকেন্ড সময়ে কণার ত্বরণ নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
s = 8t – 10t²
⇒ ^ds/_dt = 8 – 10 × 2t
= 8 – 20t
[^ds/_dt]_{_t=2} = 8 – 20 × 2
= 8 – 40
= -32
Ans: 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ হবে -32 ফুট/সেকেন্ড ।
(ii)
Solution:
v = 6t² – 2t³
⇒ ^dv/_dt = 6 × 2t – 2×3t²
= 12t – 6t²
[^dv/_dt]_{_t=4} = 12 × 4 – 6(4)²
= 48 – 96
= -48
Ans: 4 সেকেন্ড সময়ে কণাটির ত্বরণ হবে -48 ফুট/সেকেন্ড² ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

$$\large{s=\frac{t}{\sqrt{t+1}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{1.\sqrt{t+1}-t.\frac{1}{2\sqrt{t+1}}}{(\sqrt{t+1})^2}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{2.(t+1)-t}{2.(t+1)(t+1)^{\frac{1}{2}}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{t+2}{2.(t+1)^{\frac{3}{2}}}}$$ t = 3 -এ s -এর t -এর সাপেক্ষে s এর পরিবর্তনের হার$$\large{\left[\frac{ds}{dt}\right]_{t=3}=\frac{3+2}{2.(3+1)^{\frac{3}{2}}}\\\quad \quad= \frac{5}{2.(2^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{5}{16}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

8. তাপ প্রয়োগের ফলে একটি বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেন্ডে 0.002 সেমি বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 14 সেমি তখন পাতের ক্ষেত্রফল কী হারে বৃদ্ধি পায়?

Solution:
ধরি, বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
ক্ষেত্রফল (A) = πr²
এখানে ^dr/_dt = 0.002
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=14} = 2 × ²²/₇ × 14 × 0.002
= 2×22×2×0.002
= 0.176
Ans:পাতের ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে 0.176 বর্গসেমি বৃদ্ধি পায়।

9. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার ¹/_π ; যে সময়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 একক, তখন (i) তার পরিধির দৈর্ঘ্যের (ii) তার ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিধি S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিধি (S) = 2πr একক
এখানে ^dr/_dt = ¹/_π
(i)
S = 2πr
⇒ ^dS/_dt = 2π × ^dr/_dt
[^dS/_dt]_{_r=2} = 2π × ¹/_π
= 2
Ans: বৃত্তের পরিধির পরিবর্তনের হার 2 একক।
(ii)
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=2} = 2π× 2 × ¹/_π
= 4
Ans: বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার 4 বর্গএকক।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তনের হার 4 এবং প্রতি সেকেন্ডে y -এর পরিবর্তন 12 একক হলে প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন নির্ণয় করো।

Solution:
প্রদত্ত ^dy/_{dx =}4 এবং ^dy/_dt = 12
∴ ^dx/_dt = ^dx/_dy × ^dy/_dt
=¹/_^dy/dx × ^dy/_dt
= ¹/₄× 12 = 3
Ans: প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন 4 একক

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

Solution:
গোলকের ব্যাসার্ধ r একক, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক হলে,
S = 4πr²
^dS/_dt = 4π×2r × ^dr/_dt – – – (i)
এবং
V = ⁴/₃ πr³
^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt – – – (ii)
(ii) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,

$$\large{\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{\frac{4}{3}.π.3r^2\frac{dr}{dt}}{4π.2r.\frac{dr}{dt}}\\⇒\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{r}{2}\\⇒2\frac{dV}{dt}=r\frac{dS}{dt}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, f(x) = ^⁴√x
= x^¹/₄
∴ f'(x) = ¹/₄ x^{^-3/₄}
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = x^¹/₄ + ¹/₄ x^{^-3/₄} .△x
x = 625 এবং △x = 2 বসিয়ে পাই,
f(625 + 2) = (625)^¹/₄ + ¹/₄ (625)^{^-3/₄} × 2
⇒ f(627) = (5⁴)^¹/₄ + ¹/₄ (5⁴)^{^-3/₄} × 2
= 5 + ¹/₄ × ¹/₁₂₅ × 2
= 5 + ¹/₂₅₀
= 5 + 0.004
= 5.004

Ans: ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 5.004

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

Solution:
ধরি, f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = sinx + cosx .△x
x = 60° এবং △x = 2° বসিয়ে পাই,
f(60° + 2°) = sin60° + cos60° × 2°
⇒ f(62°) = ^√3/₂ + ¹/₂ × 2× 0.017 – – – [1° = 0.017]
= 0.866 + 0.017
= 0.883
Ans: sin62° -এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 0.883

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

Solution:
ধরি, f(x) = log_ex
∴ f'(x) = ¹/_x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = log_ex + ¹/_x .△x
x = 10 এবং △x = 0.01 বসিয়ে পাই,
f(10 + 0.01) = log_e10 + ¹/₁₀ × (0.01)
⇒ f(10.01) = 2.303 + 0.001 – – – [log_e10 = 2.303]
= 2.304
Ans: log_e10.01 -এর মান 2.304

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

Solution:
ধরি, f(x) = tanx
∴ f'(x) = sec²x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = tanx + sec²x .△x
x = 44° এবং △x = -1° বসিয়ে পাই,
f(45° – 1°) = tan45° + sec²45° × (-1°)
⇒ f(44°) = 1 + (√2)² × (-0.017451) – – – [1° = 0.017451]
= 1 – 2 × 0.017451
= 1 – 0.034912
= 1 – 0.0349
= 0.9651
Ans: tan44° -এর মান 0.9651

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48

(i)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 25 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(25 + 1) = √25 + ¹/_2√25 ×1
⇒ f(26) = 5 + ¹/₁₀
= 5 + 0.1
= 5.1
Ans: √26 -এর আসন্ন মান 5.1

(ii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.25 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.25 – 0.01) = √0.25 + ¹/_2√0.25 × (-0.01)
⇒ f(0.24) = 0.5 – ¹/_2×0.5× 0.01
= 0.5 – ¹/₁× 0.01
= 0.5 – 0.01
= 0.49
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.49

(iii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 36 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(36 + 1) = √36 + ¹/_2√36 ×1
⇒ f(37) = 6 + ¹/₁₂
= 6 + 0.0833
= 6.0833
Ans: √37 -এর আসন্ন মান 6.0833

(iv)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.49 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.49 – 0.01) = √0.49 + ¹/_2√0.49 × (-0.01)
⇒ f(0.48) = 0.7 – ¹/_2×0.7× 0.01
= 0.7 – ¹⁰/₁₄× 0.01
= 0.7 – ¹/₁₄₀
= 0.7 – 0.0071
= 0.6929
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.6929

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

6. (i) f(x) = 3x² + 15x + 5 হলে, f(3.02) -এর আসন্ন মান নির্ণয় করো। [NCERT, CBSE]
(ii) যদি y = x⁴ – 12 হয়, এবং x-এর মান 2 থেকে পরিবর্তিত হয়ে 1.99 হয়, তবে y-এর আসন্ন পরিবর্তন কত? [CBSE ’02]

(i)
Solution:
f(x) = 3x² + 15x + 5
f'(x) = 3.2x + 15
= 6x + 15
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = 3x² + 15x + 5 + (6x + 15).△x
x = 3 এবং △x = 0.02 বসিয়ে পাই,
f(3 + 0.02) = 3(3)² + 15.3 + 5 + (6.3 + 15)×0.02
⇒ f(3.02) = 27 + 45 + 5 + (18 + 15)×0.02
= 77 + 33×0.02
= 77 + 0.66
= 77.66
Ans: f(3.02) -এর আসন্ন মান 77.66

(ii)
Solution:
y = x⁴ – 12
⇒ ^dy/_dx = 4x³
এখানে, △x = 1.99 – 2 = -0.01
∴ △y = ^dy/_dx × △x
= 4x³ × △x
= 4(2)³ × -0.01
= 32 × -0.01
= -0.32
Ans: y-এর আসন্ন পরিবর্তন -0.32

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, ^△a/_a × 100 = 5
বা, △a = ^5a/₁₀₀
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × ^5a/₁₀₀
= ^15a³/₁₀₀
আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি

$$\large{=\frac{△V}{V}×100\\=\frac{\frac{15a^3}{100}}{a^3}×100\\= \frac{15a^3}{100a^3}×100\\=15}$$ ঘনকের আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি 15 Ans

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

8. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a < 0.01
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
∵ △a < 0.01
⇒ 2a x △a < 2a x 0.01
⇒ △A < 2a x 0.01
ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হলে,
2a x 0.01 ≤ 2 হবে
⇒ a x 0.01 ≤ 1
⇒ a x ¹/₁₀₀ ≤ 1
⇒ a ≤ 100
সর্বাধিক 100 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব। (Ans)

9. অবকলনের পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
(i) 7 সেমি ও 7.02 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের এবং
(ii) 4 সেমি ও 4.05 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
∴ A = πr²
⇒ ^dA/_dr = 2πr
এখানে, r = 7
r + △r = 7.02
বা, △r = 7.02 – 7 = 0.02
∴ △A = ^dA/_dr × △r
= 2πr × △r
= 2π × 7 × 0.02
= 2 ×²²/₇ × 7 × ²/₁₀₀
= 0.88
Ans: দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের আসন্ন মান 0.88 সেমি।

(ii)
Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, a = 4
a + △a = 4.05
বা, △a = 4.05 – 4 = 0.05
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × △a
= 3(4)² × 0.05
= 48 × 0.05
= 2.4
Ans: দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান 2.4 সেমি।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হলে, প্রমাণ করো যে, তার পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিসীমা S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিসীমা (S) = 2πr একক
∵ ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হয়।
ধরি, ^dA/_dt = k (ধ্রুবক)
∵ A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr ^dr/_dt
⇒ k = 2πr ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ^k/_2πr
⇒ ^dr/_dt = ^k/_S
⇒ ^dr/_dt = k × ¹/_S – – – [S = 2πr]
⇒ ^dr/_dt ∝ ¹/_S
Ans: বৃত্তের পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

11. একটি কণা y² = 8x অধিবৃত্ত বরাবর গতিশীল। অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুতে কণার ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, (h, k) বিন্দুতে ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান।
∴ ^dh/_dt = ^dk/_dt
প্রদত্ত,y² = 8x
∴ k² = 8h – – – [(h, k) বিন্দু অধিবৃত্তের উপরিস্থিত]
⇒ 2k ^dk/_dt = 8 ^dh/_dt
⇒ 2k = 8 – – – [^dk/_dt = ^dh/_dt]
⇒ k = 4
∴ 8h = (4)²
বা, h = 2
Ans: নির্ণেয় বিন্দুটি হল (2,4)

12. একটি গোলাকৃতি বেলুনের মধ্যে প্রতি সেকেণ্ডে 25 ঘনসেমি হারে বায়ু পূর্ণ করা হয়। যখন তার ব্যাস 20 সেমি, তখন তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পাবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dV/_dt = 25
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 4πr² × ^dr/_dt
r = ²⁰/₂ = 10 সেমি হলে,
⇒ 25 = 4π(10)² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 400π × ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ²⁵/_400π
⇒ ^dr/_dt = ¹/_16π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে ব্যাসার্ধ থেকে ¹/_16π বৃদ্ধি পাবে।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

13. বায়ুপূর্ণ একটি গোলকাকৃতি বেলুন থেকে বায়ু বার করে দিয়ে ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেণ্ডে ¹/₈ সেমি হ্রাস পায়। যখন ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন কী হারে বেলুন থেকে বায়ু বেরোবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dr/_dt = ¹/₈
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² .¹/₈
⇒ ^dV/_dt = ¹/₂πr²
∴ [^dV/_dt]_{_r=10} = ¹/₂π(10)²
= 50π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে বেলুন থেকে 50π ঘনসেমি বায়ু বেরোবে।

14. একটি একক ঘনকের আয়তনের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে γ এবং তার প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে β হলে দেখাও যে, 2γ = 3β

Solution:
ধরি, 1°C-এ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক।
এখানে, ^dA/_dt = β
এবং ^dV/_dt = γ
ক্ষেত্রফল(A) = a²
⇒A³ = a² – – – (i)
আবার,
আয়তন(V) = a³
⇒V² = a⁶ – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A³ = V²
⇒ 3A² ^dA/_dt = 2V ^dV/_dt
⇒ 3A² × β = 2V × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
একক দৈর্ঘের ঘনকের ক্ষেত্রে,
⇒ 3(1²)² × β = 2×1³ × γ
⇒ 3β = 2γ
⇒ 2γ = 3β (Proved)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

15. একটি কণা সরলরেখায় গতিশীল এবং O সরলরেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। t সময়ে O বিন্দু থেকে কণার দূরত্ব a cosnt + b sinnt ( a, b, n ধ্রুবক) হলে প্রমাণ করো যে, কণার ত্বরণ O বিন্দু থেকে তার দূরত্বের সমানুপাতিক।

Solution:
ধরি, O বিন্দু থেকে কণাটির দূরত্ব x একক।
∴ x = a cosnt + b sinnt
⇒ ^dx/_dt = -an sinnt + bn cosnt
∴ কণার ত্বরণ
= ^d²x/_dt²
= -an² cos nt – bn² sin nt
= -n² (acos nt + b sin nt)
= -n² x
∴ ^d²x/_dt² ∝ x (Proved)

16. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য সেকেণ্ডে √3 সেমি হারে এবং তার ক্ষেত্রফল সেকেণ্ডে 12 বর্গসেমি হারে বৃদ্ধি পেলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি,
∴ A = ^√3/₄ × a²
⇒ ^dA/_dt = ^√3/₄ × 2a^da/_dt – – -(i)
প্রদত্ত, ^da/_dt = √3 এবং
^dA/_dt = 12
(i) নং থেকে পাই,
12 = ^√3/₄ × 2a × √3
বা, 6a = 12 × 4
বা, a = 8
Ans: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।

17. স্থিরাবস্থা থেকে একটি ট্রেন পরবর্তী স্টেশনে যাত্রা করল; t ঘণ্টায় শুরু থেকে ট্রেনটির দূরত্ব x কিলোমিটার হলে x নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সূচিত হয় –
x = 90t² – 45t³
6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ ও ত্বরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x = 90t² – 45t³
t = 6 মিনিট
= ⁶/₁₀ ঘণ্টা
= ¹/₁₀ ঘণ্টা
∴ গতিবেগ (v)
= ^dx/_dt
= 180t – 135t²
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে গতিবেগ-
[^dx/_dt ]_{_t=¹/₁₀} = 180×¹/₁₀ – 135×¹/₁₀×¹/₁₀
= 18 – 1.35
= 16.65
ত্বরণ (a)
= ^d²x/_dt²
= 180 – 135×2t
= 180 – 270t
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে ত্বরণ –
[^d²x/_dt²]_{_t=¹/₁₀} = 180 – 270×¹/₁₀
= 180 – 27
= 153
= 180t – 135t²
Ans: 6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ হবে 16.65 কিমি/ঘণ্টা ও
ত্বরণ হবে 153 কিমি/ঘণ্টা²

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

18. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

19. 1 গ্রাম জলের তাপমাত্রা 0°C থেকে 1 °C-এ বৃদ্ধি করতে হলে Q একক তাপ লাগে, যেখানে Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³ ; প্ৰতি ডিগ্রি তাপমাত্রা বৃদ্ধির জন্য তাপবৃদ্ধির হারকে আপেক্ষিক তাপ বলা হলে 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করো।

Solution:
Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³
∴ আপেক্ষিক তাপ
= ^dQ/_dt
= 1 + 10^-5 × 4t + 10^-7 x 9t²
∴ 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ
[^dQ/_dt]_{_t=50}
= 1 + 10^-5 × 4×50 + 10^-7 x 9(50)²
= 1 + 10^-5 × 200 + 10^-7 x 9 x 2500
= 1 + 0.002 + 0.00225
= 1.00425
50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ 1.00425 (Ans)

prostuti_home — দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

1. কোনো অপেক্ষকের ‘অন্তরকল’ শব্দটির ব্যাখ্যা দাও।
একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। ব্যাসার্ধের পরিমাপে বৃহত্তম ত্রুটির মান 0.05 সেমি হলে গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি
প্রদত্ত r = 20 সেমি;
△r = 0.05 সেমি
∵ A = 4πr²
∴ ^dA/_dr = 8πr
⇒ dA = ^dA/_dr×△r
= 8πr × △r
= 8 × π × 20 × 0.05
= 8π বর্গসেমি
Ans: গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি 8π বর্গসেমি।

2. ABC ত্রিভুজের A কোণের পরিমাপ হল 45° ; যদি কোণ পরিমাপে ত্রুটির পরিমাপ 1′ হয়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো। (প্রদত্ত, 1’=0.000291)।

Solution:
ধরা যাক,ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক ।
∴ y = ½ bc.sinA
⇒ ^dy/_dA = ½ bc.cosA
এখানে, A = 45°
△A = 1’= 0.000291
∴ dy = ^dy/_dA×△A
= ½ bc.cosA.△A
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ

$$\large{=\frac{dy}{y}×100\\=\frac{½ bc.cosA △A}{½ bc.sinA △A}×100\\=\frac{½ bc.cos45°.0.000291}{½ bc.sin45°}×100\\=\frac{\frac{1}{\sqrt2}.0.000291}{\frac{1}{\sqrt2}}×100\\=0.000291×100\\=0.0291}$$∴শতকরা ত্রুটি 0.0291

3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)

(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$

September 24, 2023

Category: XII-OLD SILLABUS

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2

6. দেখাও যে, কোনো ঘনকের আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান তার বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির প্রায় তিনগুণ।

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) f'(x)/f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = 1/√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –1/8 (b) 1/16 (c) –1/16 (d) –1/8

4. y = 2x – x2 অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:(i) y = x3 – 3x2 + 2x(ii)y = ex2 + a2(iii) y = sin√x(iv) y = ex(sinx + cosx)

UNIT – 3কলনবিদ্যাCALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো: (i) d(x2 – y2)(ii) d(xy2)(iii) d(x2/y)(iv) d(x2siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x2 অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = t/√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2dV/dt = rdS/dt

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. 4√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

3. loge10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, loge10 = 2.303

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:(i)√26 (iii)√0.24(ii) √37 (iv) √0.48

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48