PROSTUTI

Category: XII-OLD SILLABUS

  • দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE

    23. দুজন বালকের প্রত্যেকের নিকট 52টি তাসের একটি করে প্যাকেট আছে। তারা প্রত্যেকেই খুশিমতো একটি করে তাস তুলল। (i) দুটি তাসই রুইতনের রাজা (ii) দুটি রুইতন (iii) দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    (i)
    52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতনের রাজা হওয়ার সম্ভাবনা 1/52
    উভয়েই রুইতনের রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
    = 1/52×1/52
    = 1/2704 (Ans)
    (ii)
    52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = 13/52 = 1/4
    উভয়েই রুইতইন তুলবে তার সম্ভাবনা = 1/4×1/4 = 1/16 (Ans)
    (iii) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
    উভয়েই রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
    = 1/13×1/13
    = 1/169 (Ans)

    24. (a) 1, 2, 3, 4 সংখ্যাগুলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন (i) সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হয় (ii) পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হয়।

    Solution:
    1, 2, 3, 4 থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়।
    সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচন করা যায় 4C2 =6 উপায়ে।
    দুটি সংখ্যার সমষ্টি অযুগ্ম হলে, সংখ্যা দুটির একটি যুগ্ম এবং অপরটি অযুগ্ম হতে হবে।
    1, 2, 3, 4 সংখ্যা চারটির মধ্যে যুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি এবং অযুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি।
    একত্রে নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় 2C1×2C1 = 2×2 = 4 উপায়ে।
    (i)
    একত্রে দুটি সংখ্যা নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    P(A) = 4/6 = 2/3 (Ans)
    (ii)
    সংখ্যা দুটি পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচন করা যায় 4C1×4C1 = 4×4 =16 উপায়ে।
    পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় A ={(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) (3,4), (4,3)} অর্থাৎ 8 উপায়ে।
    পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    P(A) = 8/16 = 1/2 (Ans)

    (b) 1 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্য থেকে পরপর দুটি সংখ্যা তোলা হয়। প্রথমে তোলা সংখ্যাটি যুগ্ম এবং দ্বিতীয়বারে তোলা সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ায় সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি (i) পুনঃস্থাপন করা হয় (ii) পুনঃস্থাপন করা হয় না

    Solution:
    1 থেকে 21-এর মধ্যে 10টি যুগ্ম সংখ্যা এবং 11টি অযুগ্ম সংখ্যা আছে।
    ধরা যাক, প্রথম সংখ্যাটি যুগ্ম হওয়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ার ঘটনা B
    P(A) = 10/21
    (i)
    দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা হলে,
    P(B/A) = 11/21
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = 10/21×11/21
    = 110/441 (Ans)
    (ii)
    দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা না হলে,
    P(B/A) =11/20
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = 10/21×11/20
    = 11/420 (Ans)

    25. 10টি বৈদ্যুতিক উপাংশ সম্বলিত একটি প্যাকেটের মধ্যে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বলে জানা আছে। যদি 4 টি উপাংশ উদ্দেশ্যহীনভাবে নিয়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে তাদের মধ্যে একটির বেশি ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    3টি ত্রুটিপূর্ণ এবং (10 – 3) = 7টি ত্রুটিপূর্ণ নয়।
    একটিও ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C4×3C0 উপায়ে।
    1টি ত্রুটিপূর্ণ এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C3×3C1 উপায়ে
    1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ এটি উপাংশ নির্বাচন করা যায়
    = 7C4×3C0 + 7C3×3C1 উপায়ে।
    = 35 + 105 = 140 উপায়ে।
    আবার 10টির মধ্যে 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 10C4 = 210 উপায়ে।
    1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা
    = 140/210 = 2/3 (Ans)

    26. 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 70 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 5 এবং 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 80 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 8 : 6। দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা B।
    ∴ P(A) = 5/9+5 = 5/14
    P(B) = 6/8+6 = 6/14 = 3/7
    A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন,
    ∴ P(A∩B) = P(A) P(B)
    দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
    = P(AUB)
    = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
    = 5/14 + 3/7 – 5/14×3/7
      = 35+42-15/98
    = 62/98 = 31/49 (Ans)

    27. A 4 বারের মধ্যে 3 বার এবং B 6 বারের মধ্যে 5 বার সত্য কথা বলে। একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, A-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E1 এবং B-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E2
    P(E1) = 3/4
    P(E2) = 5/6
    আবার E1, E2 ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    ∴ E1, E2c স্বাধীন এবং E1c, E2 স্বাধীন।
    পরস্পর বিরোধিতা করার ঘটনা
    P[(E1∩E2c) U (E1c∩E2)]
    = P(E1∩E2c) + P(E1c∩E2) – P[(E1∩E2c) ∩(E1c∩E2)]
    = P(E1)P(E2c) +P(E1c)P(E2) – – – [ E1∩E2c এবং E1c∩E2 বিচ্ছেদ সেট]
    = P(E1)[1-P(E2)] + [1-P(E1)]P(E2)
    = 3/4×[1 – 5/6] + [1 – 3/4]×5/6
    = 3/4×1/6 + 1/4×5/6
    = 1/24(3+5)
    = 8/24 = 1/3 (Ans)

    28. A ও B এই দুজন পরীক্ষার্থী Joint Entrance- এর মাধ্যমে ভর্তি হতে ইচ্ছুক। A-র নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 এবং A ও B-এর একই সঙ্গে নির্বাচিত হওয়ার সর্বাধিক সম্ভাবনার মান 0.3 হলে, B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনার মান 0.9 হতে পারে কি?

    Solution:
    ধরি, A ও B-এর নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2
    P(E1) =0.5
    E1 ও E2 স্বাধীন ঘটনা,
    ∴ P(E1∩E2)= P(E1) P(E2)
    এখন, P(E1∩E2) ≤ 0.3
    ⇒ P(E1) P(E2) ≤ 0.3
    ⇒ 0.5×P(E2) ≤ 0.3
    ⇒ P(E2) ≤ 0.6
    B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.9 হতে পারে না। (Ans)

    29. দুজন খেলোয়াড় A ও B এর মধ্যে দাবা খেলায় 20টি গেমের মধ্যে 12টি গেম A, 4টি গেম B জিতল ও 4টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হল। তিনটি গেমের টুর্নামেন্টে (i) B-এর সব গেম জেতার (ii) B-এর কমপক্ষে একটি গেম জেতার এবং (iii) 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A-এর জেতার ঘটনা E1, B-এর জেতার ঘটনা E2 এবং অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার ঘটনা E3
    P(E1) = 12/20 = 3/5
    P(E2) = 4/20 = 1/5
    P(E3) = 4/20 = 1/5
    (i)
    B-এর সব গেম জেতার সম্ভাবনা
    =1/5x1/5x1/5= 1/25 (Ans)
    (ii)
    1টি গেমে B-এর না জেতার সম্ভাবনা
    P(E2c) = 1 – P(E2) = 1 – 1/5 = 4/5
    3টি গেমের কোনোটিতে B জিতবে না তার সম্ভাবনা
    = 4/5x4/5x4/5 = 64/125
    3টি গেমের কমপক্ষে একটি গেম B-এর জেতার সম্ভাবনা
    = 1 – 64/125 = 61/125 (Ans)
    (iii) একটি গেম অমীমাংসিত না হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(E3c) = 1 – P(E3) = 1 – 1/5 = 4/5
    2টি গেম যত রকমভাবে অমীমাংসিতভাবে শেষ হতে পারে তা হল –
    (i) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত নয়
    = 1/5×1/5×4/5 = 4/125
    (ii) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত নয় এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
    = 1/5×4/5×1/5 = 4/125
    (iii) প্রথম গেম অমীমাংসিত নয়, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
    = 4/5×1/5×1/5 = 4/125
    ∴ 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 4/125 + 4/125 +4/125
    = 12/125 (Ans)

    30. ছাত্রদের সঙ্গে শ্রেণিতে মিলিত হয়ে একজন  শিক্ষকের হঠাৎ পরীক্ষা নেওয়ার সম্ভাবনা 1/5 যদি একজন ছাত্র দুদিন অনুপস্থিত থাকে তবে তার অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, E হল পরীক্ষা নেওয়ার ঘটনা।
    পরীক্ষা না নেওয়ার ঘটনা Ec
    E ও Ec ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    P(E) = 1/5 Ec = 1- P(E) = 1 – 1/5 = 4/5
    ওই ছাত্রের অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হবে যদি EEc, EcE অথবা EE ঘটনা তিনটির মধ্যে যে-কোনো একটি ঘটে।
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = P(EEc) + P(EcE) + P(EE)
    = P(E)P(Ec) + P(Ec)P(E) + P(E)P(E)
    = 1/5×4/5 + 4/5×1/5 + 1/5×1/5
    = 1/25(4+4+1)= 9/25 (Ans)

    31. মনে করো, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে যথেচ্ছভাবে নেওয়া একটি সংখ্যা 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B দিয়ে সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়।

    Solution:
    96টি প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে 2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 48টি,
    3 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 32টি।
    2 এবং 3 দিয়ে বিভাজ্য অর্থাৎ 6 দিয়ে বিভাজ্য 16টি সংখ্যা আছে।
    P(A) = 48/96 = 1/2
    P(B) = 32/96 = 1/3
    P(A∩B) = 16/96 = 1/6
    ∴ P(A)P(B) =1/2×1/3
    = 1/6 = P(A∩B)
    A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়। (Proved)

    32. (i) একটি থলিতে 8টি লাল বল ও 5টি সাদা বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে প্রতি বারে 3টি করে পরপর দু-বার বল তোলা হয়। প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।(ii) একটি থলিতে 5টি সাদা, 7টি লাল এবং 3টি কালো বল আছে। পুনরায় প্রতিস্থাপন না করে থলি থেকে একটি একটি করে তিনটি বল তোলা হয়। একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরা যাক প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার ঘটনা W এবং দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার ঘটনা R দ্বারা সূচিত হয়।
    ∴ P(W) = 5C3/13C3 = 5/143
    পুনঃস্থাপন না করলে, প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার পর দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা = P(R/W)
    = 8C3/13-3C3 = 7/15
    প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা,
      P(W)×P(R/W)
    = 5/143 × 7/15
    = 7/729 (Ans)

    (ii)
    ধরা যাক, প্রথমবারে, দ্বিতীয়বার ও তৃতীয়বারে লাল বল না আসার ঘটনা যথাক্রমে R1, R2 ও R3।
    থলিটিতে 7টি লাল বল আছে এবং সাদা ও কালো বল আছে (5+3) বা 8টি।
    P(R1) = 8/8+7 = 8/15
    P(R2/R1) = 7/7+7 = 7/14 = 1/2
    P(R3/(R1∩R2) = 6/6+7 = 6/13
    তিনবারের কোনো বারেই লাল বল না আসার সম্ভাবনা P(R1∩R2∩R3)
    = P(R1)P(R2/R1)×P(R3/(R1∩R2)
    = 8/15×1/2×6/13
    = 8/65 (Ans)

    দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

    1. সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    পরস্পর বিচ্ছিন্ন n-সংখ্যক ঘটনা A1, A2, A3………… An -এর যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান, প্রত্যেকটি ঘটনা বিচ্ছিন্নভাবে ঘটার সম্ভাবনা সমূহের সমষ্টির সমান।
    P(A1UA2UA3………… UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An)
    ধরি একটি যদৃচ্ছ পরীক্ষা E -এর নমুনাদেশ S;
    এই নমুনাদেশের মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য N সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে এবং A1, A2, A3………… An হল E পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট n সংখ্যক পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা।
    আরও মনে করি m1, m2, m3……….  mn সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু যথাক্রমে A1, A2, A3…………, An ঘটনার অন্তর্গত।
    সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
    P(A1) = m1/N, P(A2) = m2/N,
    P(A3) = m3/N……… P(An) = mn/N
    ∵ A1, A2, A3…………, An ঘটনাগুলি পরস্পর বিচ্ছিন্ন।
    ∴ এই ঘটনাগুলির নমুনা বিন্দু m1, m2, m3……….  mn -এর যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু নেই।
    ∴ A1, A2, A3…………, An -এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটবে।
    এই ঘটনায় A1UA2UA3………… UAn নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
    = m1 + m2 + m3………. + mn
    সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
    P(A1UA2UA3………… UAn)
    = (m1 + m2 + m3………. + mn)/N
    = m1/N + m2/N + m3/N………. + mn/N
    = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An)

    2. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার সমষ্টি উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হলে,
    P(AUB)= P(A)P(B)

    3. সম্ভাবনা তত্ত্বে যৌগিক ঘটনা বলতে কী বোঝায়? সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    কোনো সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনাকে যখন আরও একাধিক সরল ঘটনায় বিশ্লিষ্ট করা যায় তখন সেই ধরনের ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলে।
    যেমন – কোন একটি ছক্কা চাললে ছক্কার উপরিভাগের যে যুগ্ম সংখ্যাগুলি নির্দেশ করবে তাদের একত্র করলে {2, 4, 6} সেটটি পাওয়া যায়। এখানে 2, 4, 6 প্রতিটি ঘটনাই সরল ঘটনা। 

    4. প্রমাণ করো:
    (i) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) : যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে।
    (ii) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C);
    যে-কোনো তিনটি ঘটনা A, B, C-এর ক্ষেত্রে।

    U A     B (A∩Bc)   (A∩B)   (Ac∩B)

    (i)
    প্ৰমাণ : চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায়,
    A∩Bc, A∩B, Ac∩B পরস্পর পৃথক ঘটনা এবং
    AUB = (A∩Bc) U (A∩B) U (Ac∩B)
    ∴ P(AUB) = P[(A∩Bc) U (A∩B) U (Ac∩B)]
    = P(A∩Bc) + P(A∩B) + P(Ac∩B)
    = [P(A) – P(A∩B)] + P(A∩B) + [P(B) – P(A∩B)]
    = P(A) – P(A∩B) + P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ∴ AUB = P(A) + P(B) – P(A∩B) (Proved)
    (i)
    প্ৰমাণ :
    P(AUBUC) = P[AU(BUC)]
    = P(A) + P(BUC) – P[A∩(BUC)]
    = P(A) + [P(B) + P(C) – P(B∩C)] – P[(A∩B)U(A∩C)]
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – [P(A∩B) + P(A∩C) – P((A∩B)∩(A∩C))]
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – P(A∩B) – P(A∩C) + P((A∩B)∩(A∩C))
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
    ∴ P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C) (Proved)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    5. সম্ভাবনার গুণন উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে উপপাদ্যের ফলের কীরকম পরিবর্তন হয়?

    E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত দুটি ঘটনা A ও B হলে A ও B ঘটনাদ্বয়ের যুগপৎ ঘটার সম্ভাবনাই হলো সম্ভাবনা তত্ত্বের গুননের উপপাদ্য। অর্থাৎ
    P(A∩B)=P(A/B)P(B)
    প্রমান: ধরি, E সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট নমুনাদেশ S এবং দুটি ঘটনা হল A ও B;
    আরও ধরি,
    n(S)=n, n(A) =m1,
    n(B) =m2 এবং n(A∩B)= m
    ∴ P(A) = m1/n, P(B) = m2/n
    P(A∩B) = m/n,
    B ঘটনাটি ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনাকে P(A/B) দ্বারা সূচিত করা হয়।
    এখন নমুনাদেশের m2 সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m সংখ্যক নমুনা বিন্দু A ঘটনার অনুকূলে হলে,
    P(A/B) = m/m2
    = m/n/m2/n
    = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0
    ⇒ P(A∩B) = P(A/B)P(B)
    অনুরূপে,
    P(B/A) = = m/m1
    = m/n/m1/n
    = P(A∩B)/P(A), P(A) ≠ 0
    ⇒ P(A∩B)= P(B/A)P(A)

    ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে:
    P(A/B) = P(A) এবং
    P(B/A) = P(B)হয়।
    ∴ স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
    P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = P(A)P(B) এবং
    P(A∩B) = P(A/B)P(B)
    = P(A)P(B)

    6. (i) যদি A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (AUB) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    (ii) P(A), P(B) ও P(AB) -এর মাধ্যমে P(Ā + B) এবং P(A + B̄) -এর মান নির্ণয়
    করো, এখানে Ā হল A ঘটনার পূরক ঘটনা।

    (i)
    Solution:
    A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা ।
    ∴ P(A∩B) = P(A).P(B)
    P(A∩C) = P(A).P(C)
    P(B∩C) = P(B).P(C) এবং
    P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C)
    P[(AUB)∩C)]
    = P[(A∩C)U(B∩C)]
    = P(A∩C) + P(B∩C) – P[(A∩C)∩(B∩C)]
    = P(A∩C) + P(B∩C) – P(A∩B∩C)
    = P(A).P(C) + P(B).(C) – P(A).P(B).P(C)
    = [P(A) + P(B) – P(A).P(B)]P(C)
    = P(AUB).P(C)
    ∴ AUB এবং C ঘটনা দুটি স্বাধীন । (Proved)

    (ii)
    Solution:
    ∵ B = (Ā∩B) U (A∩B),
    যেখানে Ā∩B এবং A∩B সেট দুটি পরস্পর পৃথক
    ∴ P(B) = P[(Ā∩B) U (A∩B)]
    ⇒ P(B) = P(Ā∩B) + P(A∩B)
    ⇒ P(A∩B) = P(B) − P(Ā∩B)
    অনুরুপে,
    P(A∩B̄) = P(A) − P(A∩B̄)
    এখন,
    P(ĀUB) = P(Ā) + P(B) − P( Ā∩B )
    = 1− P(A) + P(B) − [P(B) − P(A∩B)]
    = 1- P(A) + P(B) − P(B) + P(A∩B)
    = 1- P(A) + P(A∩B) (Ans)
    P(AUB̄) = P(A) + P(B̄) − P(A∩B̄)
    = P(A) + 1 – P(B) − [P(A) − P(A∩B)]
    = P(A) + 1 – P(B) − P(A) + P(A∩B)
    = 1- P(B) + P(A∩B) (Ans)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    7. যদি A ও B দুটি ঘটনা এবং P(B) ≠ 1 হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

    $$\mathbf{P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\}$$

    তারপর দেখাও যে, P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1
    Solution:
    P(B) ≠ 1

    $${P(A/B^c)=\frac{P(A∩B^c)}{P(B^c)}\\⇒P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\\quad\quad- -[∵P(A)=P(A∩B)+P(A∩B^c)]}$$

    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    A ও B সম্পূর্ণ ঘটনা নয়।
    ∴ P(AUB) < 1
    ∴ P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1 (Proved)

    8. যদি P(A) = a, P(B) = b হয়, তবে দেখাও যে,

    $$\mathbf{P(A/B)\gtrdot\frac{(a+b-1)}{b}\\}$$

    Solution:
    P(A) = a, P(B) = b

    $$\therefore{P(A/B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\\⇒P(A/B)=\frac{P(A)+P(B)-P(AUB)}{P(B)}\\∵1\gtrdot P(AUB)\\∴P(A∩B)\gtrdot P(A)+P(B)-1\\∴P(A/B)\gtrdot\frac{P(A)+P(B)-1}{P(B)}\\⇒P(A/B)\gtrdot\frac{a+b-1}{b}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    9. যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0 হয়, তবে দেখাও যে,

    $$\mathbf{[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\\}$$

    Solution:
    A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0;
    ∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
    এবং P(A∩(AUB)) = P(A)- – – [∵ A ⊆ (AUB)]

    $$\therefore{ [P(A/(AUB)]=\frac{P(A∩(AUB))}{P(AUB)}\\⇒[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    10. X তিনটি বিষয় – গনিত, পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে পরীক্ষা দেয়। এই বিষয় তিনটিতে তার A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.2, 0.3 এবং 0.5; তাহলে তার (i) সব বিষয়গুলিতে A গ্রেড পাওয়ার (ii) কোনো বিষয়েই A গ্রেড না পাওয়ার (iii) দুটি বিষয়ে A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
     ধরি, M,P এবং C দ্বারা যথাক্রমে ” গণিতে A grade পাওয়া “, “পদার্থবিদ্যায় A grade পাওয়া” এবং “রসায়নে A grade পাওয়া” ঘটনা তিনটি সূচিত করে।
    P(M) = 0.2, P(Mc) = 1 – P(M) = 1 – 0.2 = 0.8
    P(P) = 0.3, P(Pc) = 1 – P(P) = 1 – 0.3 = 0.7
    P(C) = 0.5, P(Cc) = 1 – P(M) = 1 – 0.5 = 0.5
    (i)
    X-এর সব বিষয়গুলিতে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
    = P(M)×P (P)×P(C)
    = 0.2 × 0.3 × 0.5
    = 0.03 (Ans)
    (ii)
    X-এর কোনো বিষয়েই A grade না পাওয়ার সম্ভাবনা
    = P(Mc)×P (Pc)×P(Cc)
    = 0.8 × 0.7 × 0.5
    = 0.28 (Ans)
    (iii)
    X-এর দুটি বিষয়ে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
    = {P(Mc)×P(P)×P(C)} + {P(M)×P(Pc)×P(C)} + {P(M)×P(P)×P(Cc)}
    = 0.8 × 0.3 × 0.5 + 0.2 × 0.7 × 0.5 + 0.2 × 0.3 × 0.5
    = 0.12 + 0.07 + 0.3
    = 0.22 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    11. 1,2,3,… 100 চিহ্নিত 100টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4টি টিকিট তোলা হয় 2টি টিকিটের চিহ্নিত অঙ্ক 1 থেকে 40 এবং অপর 2 টির 41 থেকে 100 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    40 টি টিকিটের মধ্যে 2টি টিকিটকে 40C2 উপায়ে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ৷
    একইভাবে, 60 টি টিকিটের মধ্যে 2 টি টিকিটকে 60C2 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
    ∴ নির্ণেয় ঘটনার অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 40C2×60C2
    আবার, 100 টি টিকিটের মধ্যে 4 টি টিকিটকে 100C4 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 40C2×60C2/100C4 (Ans)

    12. মনে করো, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12, P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12
    ∵ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ 0.58 = P(A) + P(B) – 0.12
    ⇒ P(A) + P(B) = 0.58 + 0.12
    ⇒ P(A) + P(B) = 0.70
    ⇒ P(B) = 0.70 – P(A)
    A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B)
    ∵ P(A∩B) = 0.12
    ⇒ P(A)P(B) = 0.12
    ⇒ P(A)[0.70 – P(A)] = 0.12
    ⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]2 = 0.12
    ⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]2 – 0.12 = 0
    ⇒ [P(A)]2 – 0.7×P(A) + 0.12 = 0
    ⇒ [P(A)]2 – 0.4×P(A) – 0.3×P(A) + 0.12 = 0
    ⇒ P(A)(P(A) – 0.4) – 0.3(P(A) – 0.4) = 0
    ⇒ (P(A) – 0.4)(P(A) – 0.3) = 0
    P(A) – 0.4 = 0 বা, P(A) – 0.3 = 0
    ∴P(A) = 0.4 ∴ P(A) = 0.3
    P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ হল 0.4 ও 0.3 (Ans)

    13. A, B, C ঘটনা তিনটি এমন যে, P(A)=0.3, P(B) = 0.4, P(C)=0.8, P(A∩B)=0.08, P(A∩C) = 0.28 এবং P(A∩B∩C)=0.09। যদি P(AUBUC) ≥ 0.75 হয়, তবে দেখাও যে, 0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48।

    Solution:
    P(A) = 0.3, P(B) = 0.4,
    P(C) = 0.8, P(A∩B) = 0.08,
    P(A∩C) = 0.28 এবং
    P(A∩B∩C) = 0.09
    P(AUBUC) ≥ 0.75
    ∴ P(AUBUC)
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
    = 0.3 + 0.4 + 0.8 – 0.08 – P(B∩C) – 0.28 + 0.09
    = 1.59 – 0.36 – P(B∩C)
    = 1.23 – P(B∩C)
    প্রশ্নানুযায়ী
    P(AUBUC) ≥ 0.75
    ⇒ 1.23 – P(B∩C) ≥ 0.75
    ⇒ -P(B∩C) ≥ 0.75-1.23
    ⇒ – P(B∩C) ≥ – 0.48
    ⇒ P(B∩C) ≤ 0.48 – – – – (i)
    আবার
    P(AUBUC) ≤ 1
    ⇒ 1.23 – P(B∩C) ≤ 1
    ⇒ – P(B∩C) ≤ 1 – 1.23
    ⇒ – P(B∩C) ≤ – 0.23
    ⇒ P(B∩C) ≥ 0.23 – – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48 (Proved)

    14. A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। যদি B, C এবং D ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 7 : 2, 7: 5 এবং 13 : 5 হয়, তবে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ নির্ণয় করো।

    Solution: কোনো ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা  = b/a+b হয়।
    B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = 2/7+2 = 2/9
    C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(C) = 5/7+5 = 5/12 এবং
    D ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(D) = 5/13+5 = 5/18
    A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ।
    ∴ P(A)+ P(B) + P(C) + P(D) =1
    বা, P(A) = 1 – P(B) – P(C) – P(D)
    বা, P(A) = 1 – 2/9 – 5/12 – 5/18
    বা, P(A) = 36-8-15-10/36
    বা, P(A) = 3/36 = 1/12
    ∴  A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = 1/12-1 = 1/11 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    15. (i) গণিতের একটি প্রদত্ত প্রশ্ন তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/3, 2/5 এবং 3/4 ৷ প্ৰদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 2/5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 2/5 = 3/5
    P(C) = 3/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 3/4 = 1/4
    প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)}
    = 1 – 2/3×3/5×1/4
    = 1 – 1/10 = 9/10 (Ans)

    (ii) গণিতের একটি অঙ্ক তিনজন ছাত্রকে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়; অঙ্কটি তাদের পক্ষে স্বাধীনভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/2, 1/3 এবং 1/4 হলে তাদের মধ্যে কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/2 = 1/2
    P(B) = 1/3; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 1/4 = 3/4
    কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)}
    = 1/2×2/3×3/4 + 1/2×1/3×3/4 + 1/2×2/3×1/4
    = 1/4 + 1/8 + 1/12
    = 6+3+2/24 = 11/24 (Ans)

    (iii) একজন নির্বাচকের কাছে 300টি সহজ সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন ও 200টি জটিল সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন আছে এবং 500 টি সহজ MCQ এবং 400টি জটিল MCQ আছে। যদি একজন প্রশ্ন কর্তাকে সমসম্ভবভাবে প্রশ্ন তৈরী করতে দেওয়া হয়, তবে প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    সত্য বা মিথ্যা সহজ প্রশ্ন সংখ্যা = 300 টি
    সহজ MCQ সংখ্যা = 500 টি
    সত্য বা মিথ্যা জটিল প্রশ্ন সংখ্যা = 200 টি
    জটিল MCQ সংখ্যা = 400 টি
    প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা
    = 500/300+500+200+400
    = 500/1400 = 5/14 (Ans)

    16. একজন প্রার্থী তিনটি চাকরির ইনটারভিউ-এর জন্য নির্বাচিত হন। প্রথম চাকরির জন্য 3 জন, দ্বিতীয়টির জন্য 4 জন এবং তৃতীয়টির জন্য 2 জন প্রার্থী আছেন। ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চাকরি পাওয়ার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 1/4; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/4 = 3/4
    P(C) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/2 = 1/2
    ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)}
    = 1 – 2/3×3/4×1/2
    = 1 – 1/4 = 3/4 (Ans)

    17. (i) একটি থলিতে 2টি লাল ও 3টি সাদা এবং অপর একটি থলিতে 1টি লাল ও 2টি সাদা বল আছে। যদি উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হয়, তবে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    উদ্দেশ্যহীনভাবে থলি নির্বাচন করলে থলি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 1/2
    বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/2 (2C0x3C1/5C1 + 1C0x2C1/3C1)
    = 1/2 (1×3/5 + 1×2/3)
    = 1/2 (3/5 + 2/3)
    = 1/2 (9+10/15)
    = 1/2 × 19/15
    = 19/30 (Ans)

    (ii) 4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। বাক্স 4টিতে যথাক্রমে 2টি, 3টি, 1টি, 0টি খারাপ ডিম আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে 1 টি ডিম তোলা হয়। তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা যায় 4C1 = 4 উপায়ে।
    4টি বাক্স থেকে একটি খারাপ ডিম নির্বাচন করা যায় যথাক্রমে 2C1= 2, 3C1 = 3, 1C1 = 1 উপায়ে।
    4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে।
    ∴ তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/4(2/12 + 3/12 + 1/12)
    = 1/4×12(2 + 3 + 1)
    = 1/4×12 x6 = 1/8 (Ans)

    18. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 এই দশটি অঙ্ক থেকে প্রতিবারে একটি করে অঙ্ক দুবার তোলা হয়। নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হওয়া সম্ভাবনা নির্ণয় করো, দেওয়া আছে যে, দ্বিতীয় অঙ্কটি তোলার আগে প্রথমে তোলা অঙ্কটি পুনঃস্থাপন করা হয়।

    Solution:
    নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হলে অবশ্যই দুটি অঙ্কের একটি শূন্য হতে হবে।
    প্রথমবারে শূন্য উঠলে সম্ভাবনা
    = 1/10x10C1/10
    = 1/10x10/10 = 1/10
    প্রথমবারে শূন্য না উঠলে সম্ভাবনা
    = 9C1/10x1/10
    = 9/10x1/10 = 9/100
    মোট সম্ভাবনা = 1/10 + 9/100
    = 10+9/100 = 19/100 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    19. 1, 2, 3, 9 অঙ্কগুলি থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি অঙ্ক নেওয়া হয়। যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, তবে একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হলে একটি অঙ্ক অযুগ্ম এবং অপর অঙ্কটি যুগ্ম হতে হবে।
    1 থেকে 9 এর মধ্যে টি যুগ্ম এবং টি অযুগ্ম অঙ্ক আছে।
    নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
    = ( অযুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)×(যুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)
    = 5C1x4C1
    = 5×4 = 20
    যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, এবং একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা
    = (যত উপায়ে একটি অঙ্ক 6 নির্বাচিত করা যায়)×(যত উপায়ে অপর অঙ্ক অযুগ্ম নির্বাচিত করা যায়)
    = 1C1x5C1
    , = 1×5 = 5
    ∴ একটি অঙ্ক ‘6’ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/20 =1/4 (Ans)

    20. কোনো বছরে তিনটি কারখানা A, B এবং C -তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে 25-এর মধ্যে 5, 36-এর মধ্যে 6 এবং 64-এর মধ্যে 8। (i) অন্ততপক্ষে একটি কারখানায়, (ii) সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(A) = 5/25 = 1/5; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/5 = 4/5
    P(B) = 6/36 = 1/6; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/6 = 5/6
    P(C) = 8/64 = 1/8; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 1/8 = 7/8
    তিনটি কারখানায়ই দুর্ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা
    = P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 4/5×5/6×7/8 = 7/12
    (i)
    ∴ অন্ততপক্ষে একটি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = 1 – P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 1 – 7/12 = 5/12 (Ans)
    (ii)
    সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(B)×P(C)
    = 1/5×1/6×1/8 = 1/240 (Ans)

    21. একজন পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার সম্ভাবনা 70% এবং রসায়নে পাস করার সম্ভাবনা 40%। দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা কত?

    Solution: ধরি, A এবং B দ্বারা যথাক্রমে “পদার্থবিদ্যায় পাশ করা ” এবং “রসায়নে পাশ করা ” ঘটনা দুটি সূচিত হয়।
    P(A) = 70/100 = 7/10; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 7/10 = 3/10
    P(B) = 40/100 = 4/10; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 4/10 = 6/10
    দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(Bc) + P(Ac)×P(B)
    = 7/10×6/10 + 3/10×4/10
    = 42/100 + 12/100
    = 42+12/100
    = 54/100 = 27/50 (Ans)

    22. (i) একটি বাক্সে 7টি সাদা ও 5টি কালো বল আছে। যদি বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা হয়, তবে তিনটি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা কত? ওই একই ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের তোলা বল পুনঃস্থাপন করা হয়।

    Solution:
    প্রথম অংশ
    বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা যায় 12C3 = 12×11×10/3×2 = 220 উপায়ে।
    আবার 3টি বলই এক রঙের না হলে হয় 2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো নয় 2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা হবে।
    2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো ওঠানো যায় 7C2x5C1 = 21×5 =105 উপায়ে।
    2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা ওঠানো যায় 5C2x7C1 = 10×7 =70 উপায়ে।
    ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
    = 105/220 + 70/220
    = 175/220 = 35/44
    দ্বিতীয় অংশ
    যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের বল পুনঃস্থাপন করা হয় তখন বাক্স থেকে 1টি বল তোলা যায় 12C1 = 12 উপায়ে।
    একটি করে সাদা বল তোলা যায় = 7C1 = 7 উপায়ে।
    একটি করে কালো বল তোলা যায় = 5C1 = 5 উপায়ে।
    ∴ 3টি বলই এক রঙের (সাদা বা কালো) হওয়ার সম্ভাবনা
    = 7/12×7/12×7/12 + 5/12×5/12×5/12
    = 343/1728 + 125/1728
    = 343+125/1728 = 468/1728
    ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – 468/1728
    = 1728-468/1728
    = 1260/1728 = 35/48 (Ans)

    (ii) একটি পাত্রে 4টি লাল ও 7টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্রটি থেকে যথেচ্ছভাবে 2টি বল তোলা হয়। তোলা বল দুটির (a) 2টি বল লাল (b) 2টি বল কালো (c) 1টি লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    পাত্র থেকে লাল বল তোলার সম্ভাবনা P(A) = 4/11
    পাত্র থেকে কালো বল তোলার সম্ভাবনা P(B) )= 7/11
    পাত্র থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি বল তুললে তোলা বল 2টির মধ্যে-
    (a) 2টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(A)
    = 4/11×4/11 = 16/121 (Ans)
    (b) 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(B)×P(B)
    = 7/11×7/11 = 49/121 (Ans)
    (c) 1টি বল লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(B) + P(B)×P(A)
    = 4/11×7/11 + 7/11×4/11
    = 28/121 + 28/121
    = 56/121 (Ans)

    23. 50, 60 ও 70 বছর বয়স্ক তিনজন ব্যক্তি আছেন। 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা 0.8, 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.5 এবং 70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.2। ব্যক্তি তিনজনের মধ্যে কমপক্ষে দুজনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে “50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা “, “60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” এবং “70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” নির্দেশ করে।
    P(A) = 0.8; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2
    P(B) = 0.5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.5 = 0.5
    P(C) = 0.2; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1- 0.2 = 0.8
    কমপক্ষে 2 জনের আরও10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)}
    = 0.8×0.5×0.2 + 0.8×0.5×0.8 + 0.8×0.5×0.2 + 0.2×0.5×0.2
    = 0.08 + 0.32 + 0.08 + 0.02
    = 0.5 (Ans)

    24. A, B এবং C-এর পক্ষে কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে ⅓, ⅕ ও 1/4 । যদি তারা একসঙ্গে চেষ্টা করে, তবে ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে A দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা, B দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা এবং C দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্দেশ করে।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1- P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 1/5; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 1/5 = 4/5
    P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1- P(C) = 1 – 1/4 = 3/4
    ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)}
    = 1/3×4/5×3/4 + 2/3×1/5×3/4 + 2/3×4/5×1/4
    = 12/60 + 6/60 + 8/60
    = 26/60 = 13/30 (Ans)

    25. তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার অনুকূলে সুযোগ যথাক্রমে 5 : 2, 4 : 3 এবং 3 : 4 । তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার ঘটনা A, B এবং C হলে,
    P(A) = 5/5+2 = 5/7; ∴ P(Ac) = 1- P(A) =1 – 5/7 = 2/7
    P(B) = 4/4+3 = 4/7; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 4/7 = 3/7
    P(C) = 3/3+4 = 3/7; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) =1- 3/7 = 4/7
    – – – [A ঘটনার   অনুকূলে সুযোগ = a : b হলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = a/a+b  হয়।] তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)}
    = 5/7×4/7×3/7 + 2/7×4/7×3/7 + 5/7×3/7×3/7 + 5/7×4/7×4/7
    = 60/343 + 24/343 + 45/343 +80/343
    = 1/343(60+ 24 + 45 + 80)
    = 209/343 (Ans)

    26. কোনো কোম্পানির পরিচালকমণ্ডলীর পদের জন্য দু-দল প্রার্থী প্রতিযোগিতা করে। প্রথম ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। যদি প্রথম দল জয়লাভ করে, তবে নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু করার সম্ভাবনা 0.8 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3। নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার ঘটনা A এবং প্রথম দলের জয়লাভ করার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(B) = 0.6
    ∴ দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার ঘটনা Bc দ্বারা সূচিত হয়।
    P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.6 = 0.4
    প্রশ্নানুযায়ী,
    P(A/B)= 0.8 এবং
    P(A/Bc)= 0.3
    P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc)
    = P(B)×P(A/B) + P(Bc)×P(A/Bc) – – – [∵ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)]
    = (0.6×0.8) + (0.4×0.3)
    = 0.48 + 0.12 = 0.6 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    27. একজন ব্যক্তি রিপোর্ট করেন যে, পরীক্ষার সময় কোনো জীবাণুর A ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.62 এবং B ওষুধের সঙ্গে ওই সম্ভাবনা 0.53। A ও B উভয় ওষুধের সঙ্গে জীবাণুর বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.18 এবং কারও সঙ্গে বিক্রিয়া না করার সম্ভাবনা 0.13। পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন করা উচিত কি?

    Solution:
    ধরি, কোনো জীবাণুর A এবং B ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার ঘটনা যথাক্রমে X এবং Y দ্বারা সূচিত হয়।
    ∴ P(X) = 0.62
    P (Y) = 0.53
    P(X∩Y) = 0.18
    P(Xc∩Yc) = 0.13
    বা, P(XUY)c = 0.13
    বা, P(XUY) = 1 – P(XUY)c
    = 1 – 0.13 = 0.87
    আবার,
    P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y)
    = 0.62 + 0.53 – 0.18
    = 0.97
    কিন্তু রিপোর্ট অনুযায়ী P(XUY) = 0.87
    পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে প্রশ্ন করা উচিত। (Ans)

    28. (i) এলোপাথাড়িভাবে বিন্যাসিত 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি তাস তুলে ফেলে দেওয়া হল। অবশিষ্ট 50টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ফেলে দেওয়া তাস দুটি হতে পারে
    i) 2টিই টেক্কা
    ii) 1টি টেক্কা
    iii) একটিও টেক্কা নয়।
    ধরি, A, B এবং C দ্বারা যথাক্রমে ফেলে দেওয়া 2টি তাসই টেক্কা, 1টি তাস টেক্কা এবং একটিও টেক্কা নয় ঘটনা তিনটি নির্দেশ করা হয়।
    ∴ নমুনা দেশের অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 52C2×50C1
    নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = 1/(52C2×50C1)(4C2×2 + 4C1×48C1×3 + 48C2×4)
    = 1/1326×50(6×2 + 4×48×3 + 1128×4)
    = 1/1326×50(12 + 576 + 4512)
    = 1/166300×5100
    = 1/13 (Ans)

    (ii) এক জোড়া ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে ছোড়া হয়। পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন প্রথম পাশায় 5 পড়ে।

    Solution:
    প্রথম পাশায় 5 পড়লে, পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হবে যখন দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়বে।
    দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়ার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা 1/3 (Ans)

    29. (a) কোনো বস্তুর তিনটে লটে যথাক্রমে 4% 5% ও 10% ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে। প্রত্যেক লট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি করে বস্তু নেওয়া হয়। তোলা তিনটি বস্তুর মধ্যে (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, তিনটে লটে ত্রুটিপূর্ণ বস্তু থাকার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বারা সূচিত করা হয়।
      P(A) = 4/100;   P(Ac) = 1 – 4/100 = 96/100,
    P(B) = 5/100; P(Bc) = 1 – 5/100 = 95/100,
    P(C) = 10/100 = 1/10; P(Cc) = 1 – 1/10 = 9/10
    (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A∩Bc∩Cc) + P(Ac∩B∩Cc) + P(Ac∩Bc∩C)
    = P(A)×P(Bc)×P(Cc) + P(Ac)×P(B)×P(Cc) + P(Ac)×P(Bc)×P(C)
    = 4/100×95/100×9/10  +  96/100×5/100×9/10 + 96/100×95/100×1/10
    = 3420/100000 + 4320/100000 + 9120/100000
    = 342/10000 + 432/10000 + 912/10000
    = 1/10000×(342 + 432 + 912)
    = 1/10000×1686
    = 0.1686 (Ans)
     (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 1 – 96/100×95/100×9/10
    = 1 – 82080/100000
    = 1 – 0.8208 = 0.1792 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

     (b) একটি শত্রুবিমান-বিধ্বংসী বন্দুক থেকে পলায়মান শত্রুবিমানের দিকে সর্বাধিক 4টি গুলি নিক্ষেপ করা যায়। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.4, 0.3, 0.2 ও 0.1 হলে, বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D দ্বারা সূচিত করা হয়।
      P(A) = 0.4;   P(Ac) = 1 – 0.4 = 0.6,
    P(B) = 0.3; P(Bc) = 1 – 0.3 = 0.7,
    P(C) = 0.2 P(Cc) = 1 – 0.2 = 0.8 ও
    P(D) = 0.1; P(Dc) = 1 – 0.1 = 0.9
    ∴ প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত না করার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩Bc∩Cc∩Dc)
    = P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)×P(Dc)
    = 0.6×0.7×0.8×0.9
    = 0.3024
    ∴ বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা
    = 1 – 0.3024
    = 0.6976 (Ans)

    30. A ও B এই দুই অংশের সমন্বয়ে কোনো কোম্পানির একটি বস্তু উৎপাদিত হয়। A অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে 100টির মধ্যে প্রায়শই 9টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। আবার, B অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে প্রায়শই 100টির মধ্যে 5টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করো।

    Solution:
    A অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
    ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = 9/100
    ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Ac)
    = 1 – P(A) = 1 – 9/100 = 91/100
    B অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
    ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(B) = 5/100
    ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Bc)
    = 1- P(B) = 5/100 = 95/100
    সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(Ac) P(Bc)
    = 91/100×95/100
    = 0.8645 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    31. শিশুদের তিনটি দলে যথাক্রমে 3 জন বালিকা ও 1 জন বালক, 2 জন বালিকা ও 2 জন বালক এবং 1 জন বালিকা ও 3 জন বালক আছে। প্রত্যেক দল থেকে যথেচ্ছভাবে 1 জন শিশু নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নিম্নলিখিত তিনটি উপায়ে হতে পারে –
    (i) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালিকা।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 1/4×2/4×1/4 = 2/64
    (ii) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালিকা, তৃতীয় দল হতে বালক।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 1/4×2/4×3/41/4= 6/64
    (iii) প্রথম দল হতে বালিকা, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালক।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 3/4×2/4×3/4 = 18/64
    নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = 2/64 + 6/64 + 18/64
    = 2/64(1 + 3+ 9)
    = 2/64×26 = 13/32 (Ans)

    32. (i) একটি ছ-তলবিশিষ্ট পাশার এমন ঝোঁক আছে যে, অযুগ্ম সংখ্যা যতবার পড়ে যুগ্ম সংখ্যা তার দ্বিগুণ সংখ্যক বার পড়ে। পাশাটি দু- বার ছোড়া হয়। দু-বারে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    (i) Solution:
    একটি ঝোঁকশূন্য পাশায়,
    অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A) = 1/3
    যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(B) = 2×1/3 = 2/3
    দুবারই অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A) ×P(A)
    = 1/3×1/3 = 1/9 এবং
    দুবারই যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(B)×P(B)
    = 2/3×2/3 = 4/9
    প্রাপ্ত ফলের সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/9 + 4/9
    = 1+4/9 = 5/9 (Ans)

    (ii) একটি ঝোঁকশূন্য পাশার তিনটে তল হলদে, দুটি তল লাল এবং একটি নীল।পাশাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, পাশার তিনবার নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার ঘটনা A, B এবং C দ্বারা সূচিত করা হয়।
    P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3
    P(C) = 1/6
    প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল তল পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A)P(B)P(C)
    = 1/2×1/3×1/6
    = 1/36 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    33.
    (i) A ও B-এর মধ্যে ঝোঁকশূন্য পাশা নিয়ে খেলা হয়। যে প্রথম ‘ছয়’ ফেলতে পারে সেই জিতে যায়। যদি A খেলা আরম্ভ করে তবে দেখাও যে, তার খেলায় জেতার সম্ভাবনা হয় 6/11

    Solution:
    P(A) = 1/6; ∴ P(Ac) = 1 – 1/6= 5/6
    P(B) = 1/6; ∴ P(Bc) = 1 – 1/6= 5/6
      ∴A খেলা আরম্ভ করলে,
    A -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(A) + P(Ac∩Bc∩A) + P(Ac∩Bc∩Ac∩Bc∩A) +……
    = 1/6 + 5/6×5/6×1/6 + 5/6×5/6×5/6×5/6×1/6 +…….
    = 1/6(1+(⅚)2 +(⅚)4+…..)
    = 1/6×1/(1-25/36)
    = 1/6×36/(36-25)
    = 1/6×36/11 = 6/11 (Proved)

    (ii) A, B ও C পর্যায়ক্রমে একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণ করে। যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়। প্রত্যেকের জয়লাভ করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, A, B ও C এর হেড্‌ ফেলার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বরা সুচিত করা হয়।
    P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – 1/2 = 1/2
    P(B) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – 1/2 = 1/2;
    P(C) = 1/2; ∴ P(Cc) = 1 – 1/2 = 1/2
    যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়।
    A প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেললে,
    A -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩A) +……
    = 1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + …….
    = 1/2(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/2×1/(1-1/8)
    = 1/2×8/8-1
    = 1/2×8/7 = 4/7
    B প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
    B -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) +……
    = 1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 +…….
    = 1/4(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/4×1/(1-1/8)
    = 1/4×8/8-1
    = 1/4×8/7 = 2/7
    C প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
    C -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C)+……
    = 1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + …….
    = 1/8(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/8×1/(1-1/8)
    = 1/8×8/8-1
    = 1/8×8/7 = 1/7 (Ans)

    34. একটি থলিতে 5টি লাল ও 4টি হলদে রঙের বল আছে। থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয় এবং অপর একটি থলিতে রাখা হয় যার মধ্যে 3টি লাল ও 6টি হলদে বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় উত্তোলিত বলটি হলদে রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/9
    এবং হলদে হওয়ার সম্ভাবনা = 4/9
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে রাখা হয়।
    দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা –
    (i) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হলে সম্ভাবনা
    = 5/9×6/10 = 15/45
    (ii) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হলে সম্ভাবনা
    = 4/9×7/10= 14/45
    ∴ দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 15/45 + 14/45
    = 1/45(15+14)
    = 29/45 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    35.
    (i) 2টি একই ধরনের থলির প্রত্যেকটিতে 5টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হয়। তারপর প্রথম থলি থেকে একটি বল তোলা হয়; তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হলে,
    সেটি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    সেটি লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি সাদা হলে,
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×5/11 = 5/22
    দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি লাল হলে,
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×6/11 = 6/22
    ∴ প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 5/22 + 6/22
    = 11/22 = 1/2 (Ans)

    (ii) একটি পাত্র A-র মধ্যে 3টি সাদা ও 5টি লাল মারবেল আছে। অন্য একটি পাত্র B-এর মধ্যে 5টি সাদা এবং 3টি লাল মারবেল আছে। A পাত্র থেকে B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয় এবং তারপর B পাত্র থেকে 1টি মারবেল তোলা হয়। উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    A পাত্র থেকে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হলে
    দুটি মারবেলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 3C2/8C2 অথবা
    দুটি মারবেলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C2/8C2 অথবা
    একটি মারবেল লাল এবং একটি মারবেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C1×3C1/8C2
    B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয়।
    স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
    = 3C2/8C2×3/10
    = 3/28×3/10
    = 9/280
    স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল সাদা হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = 5C2/8C2×5/10
    = 10/28×1/2
    = 5/28
    স্থানান্তরিত মারবেলের একটি   সাদা এবং একটি লাল হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = 5C1×3C1/8C2
    = 5×3/28×4/10
    = 6/28
    ∴ B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 9/280 + 5/28 + 6/28
    = 1/280 (9 + 50 + 60)
    = 119/280 = 17/40 (Ans)

    36. তিনটি থলির প্রত্যেকটিতে 5টি লাল ও 5টি কালো বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে প্রথম থলি থেকে একটি বল দ্বিতীয় থলিতে এবং তারপর দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তৃতীয় থলিতে স্থানান্তর করা হয়। এখন, তৃতীয় থলি থেকে একটি বল তোলা হয়। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    প্রথম থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তুললে লাল বল অথবা কালো বল উঠতে পারে। প্রথম থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে স্থানান্তরিত করা হয়।
    ∴ প্রথম থলি থেকে লাল বল উঠলে,
    দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11
    কিন্তু প্রথম থলি থেকে কালো বল উঠলে,
    দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভবনা = 1/2×5/11
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11
    আবার, প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকেও লাল বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×6/11 = 36/242
    প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×5/11 = 30/242
    প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×6/11 = 30/242
    প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×5/11 = 25/242
    ∴ তৃতীয় থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 36/242 + 30/242 + 30/242 + 25/242
    = 1/242(36 + 30 + 30 + 25)
    = 121/242 = 1/2 (Ans)

    PREVIOUS
    NEXT
  • Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1 Click Here

    বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

    সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

    1.  নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36
    (b) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (c) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে AC ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (d) P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।
    Ans:     (b) এবং (c)
    [ধরি, তামা থাকার ঘটনা A ও লোহা থাকার ঘটনা B
    ∴ P(A) = 0.28
    তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা = সম্পুর্ন ঘটনা
    অর্থাৎ  AUB = S
    ∴ P(AUB) = P(S) = 1
    কিন্তু P(AUB) = 0.36
    ∴  এটি সত্য নয়।]

    2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
    (a)  P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    (b) P(A/B) > P(B/A)
    (c) P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) − 1
    (d) P(ACUBC) = 1 – P(A∩B)
    Ans:     (a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    [P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    P(A∩B) = 0 হলে,
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    P(A∩B) ≠ 0 হলে,
    P(AUB) < P(A) + P(B)
    ∴ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)]

    3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) P(Ac∩Bc) দ্বারা A অথবা B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1
    (c) P(AcUBc) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (d) একটি সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)
    Ans:     (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1

    4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/Bc) = P(A) হবে।
    (b) যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(AUB) = P(A)) + P(B) হবে।
    (c) একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া যাবে।
    (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

    Ans:     (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।
    [নমুনাদেশে  সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 25 = 32 টি]

    5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 5/8 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে –
    (a) 5 : 13 (b) 5 : 3 (c) 3 : 5 (d) 8 : 13
    Ans:     (c) 3 : 5
    [∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 8-5/5 = 3/5 = 3 : 5
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m

    6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 9/13 (b) 4/13 (c) 4/9 (d) 5/13
    Ans:     (b) 4/13
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 4/9+4 = 4/13
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7.  একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
    (a) 4 : 7 (b) 7 : 4 (c) 4 : 3 (d) 3 : 4
    Ans:     (c) 4 : 3
    [ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে,
    ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 – 4/7 = 3/7
    ∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 7-3/3 = 4/3 = 4 : 3
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m]

    8. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 5/9 (b) 4/9 (c) 4/5 (d) 1/9
    Ans:     (a) 5/9
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 5/5+4 =5/9
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b ]

    9. প্রথম 11টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 6/11 (b) 5/6 (c) 4/11 (d) 5/11
    Ans:     (d) 5/11
    [1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 2, 4, 6, 8, 10 অর্থাৎ 5টি
    ∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে – 5/11]

    10. একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/2 (b) 5/8 (c) 3/4 (d) 3/8
    Ans:     (d) 3/8
    [একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8
    ধরি, A দ্বারা হেড পাওয়ার ঘটনা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 3টি
    ∴ P(A) = 3/8]

    11. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/18 (b) 1/9 (c) 1/12 (d) 5/36
    Ans:     (a) 1/18
    [সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 = 36
    ধরি, 11 পাওয়ার ঘটনা A দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা (5,6),(6,5) বা 2টি
    ∴ P(A) = 2/36 = 1/18]

    12.  দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে P(A) = 1/2  P(AUB) = 2/3 হলে, P(B) -এর মান হবে – (a) 1/4 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 1/5
    Ans:     (b) 1/6
    [A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা।
    ∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 2/3 = 1/2 + P(B)
    ⇒ P(B) = 2/3 – 1/2
    = 1/6]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = 3/5 ও P(A∩B) = 4/9 হলে, P(B) -এর মান হবে –
    (a) 5/9 (b) 8/9 (c) 5/27 (d) 20/27
    Ans:     (d) 20/27
    [A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ⇒ 4/9 = 3/5×P(B)
    ⇒ P(B) = 4/9×5/3 = 20/27]

    14. P(A) = 3/7,  P(B) = 4/7 এবং P(A∩B) = 2/9 হলে, P(A/B) -এর মান হবে –
    (a) 7/18 (b) 14/27 (c) 5/18 (d) 4/9
    Ans:     (a) 7/18
    [P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18]

    UNIT – 6
    সম্ভাবনা
    PROBABILITY

    বেইজ উপপাদ্য Bayes’ Theorem প্রশ্নমালা 1B▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-II)▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-I)▶️ CLICK HERE

    দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    15. A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ; যদি P(A) = 3/5 ও P(B) = 1/6  হয়, তবে P(C) এর মান হবে –
    (a) 23/30 (b) 7/30 (c) 1/10 (d) 9/10
    Ans:     (b) 7/30
    [A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ;
    ∴ AUBUC = S
    ⇒ P(AUBUC) = P(S)
    ⇒ P(AUBUC) = 1
    ⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
    ⇒ P(C) = 1 – P(A) – P(B)
    ⇒ P(C) = 1 – 3/5 – 1/6
    = 30-18-5/30
    = 7/30]

    16.  P(A∩B) = 5/13 হলে, P(AcUBc) এর মান হবে-
    (a) 4/13 (b) 6/13 (c) 7/13 (d) 8/13
    Ans:     (d) 8/13
    [ P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – 5/13
    = 8/13]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    1. B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তে এ ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
    Ans:     E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B (B ≠ 0) হলে B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে A ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলে এবং তা P(A/B) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

    2. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
    (i) P(AUB) = P(A) + P(B) (ii) P(A∩B) = 0
    (iii) P(A) = P(B) (iv) P(AUB) = 1
    (v) P(A∩B) ≠ 0 (vi) P(A/B) = P(A)
    (vii) P(A) = P(B) (viii) P(A∩B) = P(A) P(B)

    Solution:
    (i)
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P (B)
    ⇒ P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা

    (ii)
     P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা।

    (iii)
    P(A) = P(B)
    অর্থাৎ A ও B উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান।
    ∴ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা।

    (iv)
    P(AUB) = 1
    অর্থাৎ A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটবে।
    ∴ এটি একটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

    (v)
    P(A∩B) ≠ 0
    ⇒ A∩B  ≠ ϕ
    ∴ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা নয়।

    (vi)
    P(A/B) = P(A)
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = P(A)
    ⇒P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    (vii)
    P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা নয়।

    (viii)
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A ও B̄ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পূরক ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, P(A বা B)=1- P(A) P(B/A)
    Solution:

    $$\large{P(\overline A)=1-P(A);\\P(\overline B)=1-P(B);\\\therefore P(\overline AU\overline B)=P(\overline A)+P(\overline B)-P(\overline A∩\overline B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-P(\overline{AUB})\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-1+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(A)+P(B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(AUB)+P(A∩B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(AUB)-P(A∩B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A∩B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)P(B/A)\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    4. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা। সেট্ তত্ত্বের প্রচলিত প্রতীকসমূহের প্রয়োগে নিম্নলিখিত ঘটনাসমূহের প্রতীকসমূহ নির্ণয় করো:
    (i) কেবল A ঘটে
    (ii) A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না
    (iii) তিনটি ঘটনাই ঘটে
    (iv) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে
    (v) কমপক্ষে দুটি ঘটনা ঘটে

    (i) Ans: A∩Bc∩Cc
    (ii) Ans: A∩B∩Cc
    (iii) Ans: A∩B∩C
    (iv) Ans: AUBUC
    (v) Ans: (A∩B) U (B∩C) U (C∩A)

    5. মনে করো, কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A1, A2, A3 হলে কোন্ কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
    Ans:
    প্রদত্ত ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হলে,
    A1∩A2 = A2∩A3 = A3∩A1 = ϕ
    ⇒ P(A1∩A2) = P(A2∩A3) = P(A3∩A1) = 0 হবে।
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) হয়।
    ঘটনা তিনটি সম্পূর্ণ হলে,
    A1UA2UA3 =S হবে – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(S) = 1 হয়।

    6. দেখাও যে, A ও B ঘটনা দুটির ঠিক একটা ঘটার সম্ভাবনা হয় P(A) + P(B) – 2P (A∩B)
    Ans:
    ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
    = P(A – B) + P(B – A)
    = P(A) – P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(AB) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রসমূহ দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে কি?
    (i) P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P (C) = 0.1
    (ii) P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 P (C) = 0.2
    (iii)P (AUB) = 0.5, P(B) = 0.6, P (C) = 0.2
    (iv)P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P (BAC) = 0.1
    (v)P(A) = 0.32, P(B) = 0.47, P( BUC) = 0.6
    (vi) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P (C’) = 0.8
    যেখানে (AUBUC) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।

    Ans:
    প্রশ্নানুসারে,
    AUBUC=S (নিশ্চিত ঘটনা)
    ∴ P(AUBUC) = P(S) = 1
    ∵ A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
    P(A) + P(B) + P(C) = 1 – – – – (i)

    (i)
    P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.2 + 0.7 + 0.1 =1
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (ii)
     P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.4 + 0.6 + 0.2 = 1.2
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে না।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (iii)
     P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 0.5 = P(A) + 0.6
    ⇒ P(A) = 0.5 – 0.6 = – 0.1
    ∵ 0 ≤ P(A) ≤ 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হবে না।

    (iv)
    এখানে, P(B∩C) = 0.1≠ 0
    শর্তানুসারে, P(B∩C) = 0 হতে হবে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (v)
     P(BUC) = P(B) + P(C)
    ⇒ 0.68 = 0.47 + P (C)
    ⇒ P(C) = 0.21
    P(S) = P(AUBUC)
    = P(A) + P(B) + P(C)
    = 0.32 + 0.47 + 0.21 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (vi)
    P(B’) = 0.5.
    ⇒ P(B) = 1 – P(B’)
    ⇒ 1 – 0.5 = 0.5
    P(C’) = 0.8
    ⇒ P(C) = 1 – P(C’)
    ⇒ 1 – 0.8 = 0.2
    ∴ P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    8. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P (Z) এবং XUYUZ=S। যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    XUYUZ=S
    P(XUYUS) = P(S)
    ∵ S নিশ্চিত ঘটনা
    ∴ P(XUYUS) = P(S) = 1
    ∵ ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক
    ∴ P(XUYUS) = 1
    ⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
    ⇒ P(X) + 1/2P(X) + 1/3P(X) = 1
    ⇒ P(X) (1 + 1/2 + 1/3) = 1
    ⇒ P(X)×11/6 =1
    ⇒ P(X) = 6/11
    Ans: P(X) -এর মান 6/11

    9. 9. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35, P(A অথবা, B)= 0.85 এবং P(A এবং B)=0.15 তবে P(A) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    P(B) = 0.35,
    P(A অথবা, B)= 0.85
    ⇒ P(AUB) = 0.85,
    P(A এবং B)= 0.15
    ⇒ P(A∩B) = 0.15
    ∵ P(AUB) = 0.85
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.35 – 0.15 = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.20 = 0.85
    ⇒ P(A) = 0.65

    10. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং  P(A) = 2/5, P(B) = 1/3 ; P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A) P(B) – – – [ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা]
    = 2/5 + 1/3 – 2/5×1/3
    = 6+5-2/15
    = 9/15 = 3/5

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11.কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয়। যদি P(A) = 1/4,  P(B) = 2/5 এবং P(AUB) = 1/2  হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাসমূহের মান নির্ণয় করো:
    (i) P(A∩B) (ii) P(A∩Bc)
    (iii) P(AcUBc) যেখানে দিয়ে একটি ঘটনার পূরক ঘটনা প্রকাশিত হয়।

    (i)
    Solution: 
    P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
    = 1/4 + 2/5 – 1/2
    = 5+8-10/20 = 3/20 (Ans)

    (ii)
    Solution:
    P(A∩Bc) = P(A – (A-B))
    = P(A) – P(A∩B)
    = 1/4 – 3/20
    = 5-3/20
    = 2/20 = 1/10 (Ans)

    (iii)
    Solution:
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – 3/20 = 17/20 (Ans)

    12. P(ĀUB̄) = 5/6, P(A) = 1/2 এবং P(B̄) = 2/3 হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    Solution:
    P(ĀUB̄) = 5/6
    ∴ P(A∩B) = 1 – P(ĀUB̄)
    ⇒ P((A∩B) = 1 – 5/6 = 1/6
    আবার P(B̄) = 2/3
    ∴ P(B) = 1 – P(B̄)
    = 1 – 2/3 = 1/3
    ∴ P(A) P(B) = 1/2×1/3
    = 1/6 = P(A∩B)
    Ans: ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক ঘটনাসমূহের সংজ্ঞা দাও। দুটি ঘটনা একই সঙ্গে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে কি? তোমার উত্তর ব্যাখ্যা করতে যথোপযুক্ত উদাহরণ দাও।

    Ans:
    ⏺️যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে তাদের মধ্যে কোনো দুটি ঘটনা কখনও একই সঙ্গে ঘটা সম্ভব নয় তখন সেই ঘটনাসমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা বলা হয়।
    দুটি ঘটনা একইসাথে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে না ।
    ⏺️ ধরি, A, B দুটি ঘটনা এমন যে P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0
    আরও ধরি, A ও B পরস্পর পৃথক এবং স্বাধীন।
    (A∩B) = ϕ
    ∴ P(A∩B) = 0
    ⇒ P(A) P(B) = 0
    ∴ হয় P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 যা অসম্ভব।

    2. কখন দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়? দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B যেখানে P(A) ও P(B) কারও মান শূন্য নয়, স্বাধীন হতে পারে কি?

    Ans: যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা যেখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত,
    P(A∩B) = P(A)P(B) = 0
    ∴ P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 কিন্তু এখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    ∴ দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A1, A2 ও A3 তিনটি ঘটনা। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়,

    $$\mathbf{P(A_1∩A_2∩A_3)\\\quad\quad=P(A_1)P\left(\frac{A_2}{A_1}\right)P\left(\frac{A_3}{A_1∩A_2}\right)}\\$$

    কোন্ শর্তাধীনে P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3) হয় তা উল্লেখ করো।

    Solution:
    তিনটি ঘটনা একসঙ্গে ঘটবে যখন A1∩A2∩A3 ঘটবে।
    ∴ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হল –

    $$\large{\quad\quad P(A_1∩A_2∩A_3)\\=\frac{P(A_1∩A_2∩A_3)}{P(A_1∩A_2)}P(A_1∩A_2)\\=P(A_1∩A_2)P(A_3/(A_1∩A_2))\\=P(A_1)\frac{P(A_1∩A_2)}{P(A_1)} P\left(A_3/(A_1∩A_2)\right)\\=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/(A_1∩A_2))\\}$$

    ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে,
    P(A2/A1) = P(A2) এবং
    P(A3/(A1∩A2)) = P(A3) হবে।
    ∴ P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3)

    4. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে P(AUB) ≤ P(A) + P(B)।

    Solution:
    আমরা জানি,
    0 ≤ (AUB) ≤ 1
    ⇒ -1 ≤ -(AUB) ≤ 0
    ⇒ P(A) + P(B) -1 ≤ P(A) + P(B) – (AUB) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB) ≤ (A∩B) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB)  ≤ P(A) + P(B)

    5. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো:
    (i) P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1
    (ii) P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(E)
    (iii) P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) < P(B)
    Solution:
    (i)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    P(AUB) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B)  – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
    P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) ≤ P(A)
    ⇒ P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1 (Proved)
    (ii)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    A ≤ (AUB)
    ⇒ P(A) ≤ P(AUB) – – – (ii)
    আবার,
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) [∵ P(A∩B) ≥ 1] – – – (iii)
    (i), (ii) ও (iii) থেকে পাওয়া যায় –
    P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) (Proved)

    (iii) প্রদত্ত
    P(A) < P(B)
    ⇒ 1/P(A) > 1/P(B)
    ⇒ P(A∩B)/P(A) > P(A∩B)/P(B)
    ⇒ P(B/A) > P(A/B)
    ⇒ P(A/B) < P(B/A) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    6. A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো : (i) Ac এবং Bc (ii) Ac ও B (iii) A ও Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    ∵ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B)

    (i)
    P(Ac∩Bc) = P[(AUB)c]
    ⇒ P(Ac∩Bc) =1-P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B) + P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B)+  P(A)P(B)
    ⇒P(Ac∩Bc) = [1− P(A)] – P(B)[1 –  P(A)]
    ⇒ P(Ac∩Bc) = [1− P(A)][1- P(B)]
    ⇒P(Ac∩Bc) =  P(Ac)P(Bc)
    ∴ Ac এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (ii)
    P(Ac∩B) = P(B-(A∩B))
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A∩B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A)P(B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)[1-P(A)]
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)P(Ac)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(Ac)P(B)
    ∴ Ac এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (iii)
    P(A∩Bc) = P(A-(A∩B))
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A∩B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)[1-P(B)]
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ∴ A এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    7. Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে

    Solution:  Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(Ac∩Bc) = P(Ac) P(Bc)
    ⇒ P[(AUB)c]= (1-P(A)) (1-P(B))
    ⇒ 1-P(AUB) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- [P(A) + P(B) – P(A∩B)] = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- P(A) – P(B) + P(A∩B) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩B) =  P(A)P(B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    8. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    তিনবার টস করার ঘটনা নমুনাদেশ হল –
    {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
    তিনবার টস করার ঘটনায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8 টি।
    A = {TTT, TTH, THT, THH }
    B = {HHH, HHT, THH, THT} এবং
    A∩B = {THH, THT}
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2
    P(B) = 4/8 = 1/2
    P(C) = 4/8 = 1/2
    P(A∩B) = 2/8 = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2
    = 1/2 = P(A∩B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা দুবার টস্ করা হয়। মনে করো, A, B ও C দ্বারা যথাক্রমে প্রথম টসে হেড্‌, দ্বিতীয় টসে হেড্‌ এবং কেবল একটি হেড্‌ পড়ার ঘটনা সূচিত হয়। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি প্রতি জোড়ায় স্বাধীন।

    Solution:
    দুবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HH, HT, TH, TT}
    A = {HH, HT},
    B= {HH, TH},
    C = {HT, TH} 
    ∴ A∩B = {HH},
    B∩C = {TH} এবং
    C∩A = {HT }
    ∴ P(A) = 2/4 = 1/2 P(B) = 2/4 = 1/2
    P(C) = 2/4 = 1/2 P(A∩B)= 1/4
    P(B∩C)= 1/4 P(C∩A) = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।

    10. প্রমাণ করো যে, দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় “প্রথম পাশায় 4 পড়ার” এবং “দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার” ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    Solution:
    ধরি, প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়।
    দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 =36
    প্রথম পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ প্রথম পাশায় 4 পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = 1/6
    দ্বিতীয় পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = 1/6
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(A∩B) = 1/36
    P(A) P(B) = 1/6×1/6
    = 1/36 =P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল ei(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:
    A = (e1, e2, e3, e4); B = (e3, e4, e5, e6) ও
    C = (e3, e4, e7, e8) A, B ও C
    ঘটনা তিনটির অধীনতা বা স্বাধীনতা পরীক্ষা করো।
    Solution:
    A∩B = (e3, e4), B∩C=(e3, e4)
    C∩A =(e3, e4) এবং A∩B∩C= (e3, e4 )
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2; P(B) = 4/8 = 1/2;
    P(C) = 4/8 = 1/2; P(A∩B) = 2/8 = 1/4;
    P(B∩C) = 2/8 = 1/4;
    P(C∩A) = 2/8 = 1/4;
    P(A∩B∩C)= 2/8 = 1/4;
    P(A)P(B) =1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) =1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।
    P(A)P(B)P(C) = 1/2×1/2 ×1/2= 1/4 ≠ P(A∩B∩C)
    ∴  ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন নয়।

    12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
    (i) P(AcUBc)
    (ii) P(AcUB)
    (iii) P(Ac∩Bc)

    Solution:
    (i)
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – c (Ans)
    (ii) P(AcUB) = P(Ac) + P(B) – P(Ac∩B)
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B – (A∩B))
    = 1 – P(A) + P(B) – [P(B – P(A∩B))]
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – b + c (Ans)
    (iii) P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – a – b + c (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/4 হলে P(Bc), P(A∩Bc), P(AUB), P(B/A), P(Ac∩Bc), P(AUBc) এর মান নির্ণয় করো।
    এক্ষেত্রে, A ও B ঘটনা দুটি
    (i) পরস্পর পৃথক কি না (ii) স্বাধীন কি না
    (iii) সমভাবে সম্ভাব্য কি না (iv) সম্পূর্ণ কি না বলো।

    Solution:
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 − 1/2 = 1/2 (Ans)
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A)-P(A∩B)
    = 1/3 – 1/4
    = 4-3/12 = 1/12 (Ans)
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 1/3 + 1/2 – 1/4
    = 4+6-3/12 = 7/12 (Ans)
    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 1/4/1/3= 3/4 (Ans)
    P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – [1/3 + 1/2 – 1/4]
    = 1 – 7/12 = 5/12 (Ans)
    P(AUBc) = P(A) + P(Bc) – P(A∩Bc)
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A – (A∩B))
    = P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(A∩B)]
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – 1/2 + 1/4 = 3/4 (Ans)
    (i) P(A∩B) = 1/4 ≠ 0
    ∴ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক নয়। (Ans)
    (ii) P(A)P(B) = 1/3×1/2
    = 1/6 ≠ 1/4
    ∴ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়। (Ans)
    (iii) P(A) = 1/3 এবং P(B) = 1/2
    ∴ P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। (Ans)
    (i) P(AUB) = 7/12 ≠ 1
    ∴ ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়। (Ans)

    14. (i) প্রদত্ত P(E) = 1/3 , P(F)= 1/4 এবং P(E∩F)= 1/6 , P(EcUF) মান নির্ণয় করো।

    (i) Solution:
    P(EcUF) = P(Ec)+ P(F) – P(Ec∩F)
    = P(Ec) + P(F)+ P(F∩Ec)
    = 1-P(E)+ P(F) − P(F – P(E∩F))
    = 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E∩F)]
    = 1 – P(E) + P(F) – P(F) + P(E∩F)
    = 1 – P(E) + P(F∩E)
    = 1 – 1/3 + 1/6
    = 6-2+1/6 = 5/6 (Ans)

    (ii)  যদি 2P(A) = P(B) = 5/13 এবং P(A/B) = 2/5 হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    2P(A) = P(B)
    বা, P(A) = 1/2×P(B)
    = 1/2×5/13 – – – [P(B) = 5/13]
    = 5/26
    P(A/B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/5/13 = 2/5
    ⇒ P(A∩B) = 2/5×5/13
    = 2/13
    ∴ P(AUB) = P(A)+ P(B) – P(A∩B)
    = 5/26 + 5/13 – 2/13
    = 5+10-4/26 = 11/26 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(AcUBc)= 0.7; P(A/Bc) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AcUBc) = 0.7
    ⇒ P(A∩B)c = 0.7
    ⇒ 1- P(A∩B) = 0.7
    ⇒ P(A∩B) = 1- 0.7 = 0.3
    P(A/B) = 0.8
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 0.8
    ⇒ 0.3/P(B) = 0.8
    ⇒ P(B) = 0.3/0.8
    = 3/8 = 0.375
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 – 3/8
    = 5/8 = 0.625
    P(B/A) = 0.6
    ⇒ P(A∩B)/P(A) = 0.6
    ⇒ 0.3/P(A) = 0.6
    ⇒ P(A) = 0.3/0.6
    = 1/2 = 0.5
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A) – P(A∩B)
    = 0.5 – 0.3=0.2
    P(A/Bc) = P(A∩Bc)/P(Bc)
    = 0.2/0.625 = 0.32 (Ans)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    (i) Solution:
    P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9
    ∵ P(A + B) = 7/9
    ⇒ P(AUB) = 7/9
    ⇒ P(A)+ P(B) – P(A∩B) =7/9
    ⇒ 3/7 + 4/7  – P(A∩B) = 7/9
    ⇒ P(A∩B) = 3/7 + 4/7 – 7/9
    = 1- 7/9 = 2/9
    ∴ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18 (Ans)

    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 2/9/3/7
    = 2/9×7/3 = 14/27 (Ans)
    আবার
    P(A)P(B) = 3/7 × 4/7
    = 12/49 ≠ P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দটি স্বাধীন নয়।

    (ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2;
    P(E/F) = P(E∩F)/P(F)
    = 0.2/0.3 = 2/3 (Ans)
    P(F/E) = P(E∩F)/P(E)
    = 0.2/0.6 = 1/3 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    17. (i) দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    ধরি, প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 2 : 7
    ∴ P(A) = 7/2+7 = 7/9
    B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 7 : 5
    ∴ P(B) = 5/7+5 = 5/12
    ∵ ঘটনা দুটি স্বাধীন
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B) = 7/9×5/12 = 35/108
    ∴ ঘটনা দুটির অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা-
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
    = 7/9 + 5/12 – 35/108
    = 84+45-35/108
    = 94/108 = 47/54

    (ii) দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইন্টারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/6 এবং 1/7 হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    ধরি, A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S1 এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 1/6 এবং
    P(S2) = 1/7
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 1/6 × 1/7 = 1/42
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 1/6 + 1/7 – 1/42
    = 7+6-1/42
    = 12/42 = 2/7
    Ans: কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 2/7

    18. একজন ঠিকাদারের প্লামবিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা না পাওয়ার সম্ভাবনা 5/9 । যদি কমপক্ষে একটি ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 4/5 হয়, তবে তার পক্ষে উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?।

    Solution:
     ধরি, প্লাম্বিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা A এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    P(A) = 2/3 ; এবং
    P(B)C  = 5/9
    ⇒ P(B) = 1 – P(B)C
     = 1- 5/9 = 4/9
    P(AUB) = 4/5
    আবার, P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ 4/5 = 2/3 + 4/9 – P(A∩B)
    ⇒ P(A∩B) = 2/3 + 4/9 – 4/5
    ⇒ P(A∩B) = 30+20-36/45
    ⇒ P(A∩B) = 14/45
    Ans: উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 14/45

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    19. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ n(A) = 30
    ⇒ P(A) = 30/30+20 = 30/50 = 3/5
    n(B) = 1/2×30 + 1/2×20 = 15+10 = 25,
    ⇒ P(B) = 25/50 = 1/2
    n(A∩B) = 1/2×30 = 15
    ⇒ P(A∩B) =15/50 = 3/10
    ∴ উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচন করা হলে, বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল –
    P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
    = 3/5 + 1/2 – 3/10
    = 6+5-3/10
    = 8/10 = 4/5
    Ans: বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা 4/5

    20. প্রথম 200টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, তোলা টিকিটটি 3-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A এবং 7-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3-এর গুণিতক আছে 66 টি
    ∴ n(A) = 66 ⇒ P(A)= 66/200 = 33/100
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক আছে 28 টি।
    ∴ n(B) = 28 ⇒ P(B) = 28/200 = 7/50
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3 এবং 7-এর গুণিতক অর্থাৎ 21-এর গুণিতক আছে 9টি।
    ∴ n(A∩B) = 9 ⇒ P(A∩B) = 9/200
    ∴ নির্বাচিত সংখ্যাটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 33/100 + 7/50 – 9/200
    = 66+28-9/100
    = 17/40
    Ans: তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা 17/40

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    21. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা B -এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

    Solution:  
    ধরি, A-এর সমাধান করার ঘটনা S1 এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 75/100 = 3/4 এবং
    P(S2) = 70/100 =  7/10
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 3/4 × 7/10 = 21/40
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 3/4 + 7/10 – 21/40
    = 30+28-21/40
    = 37/40
    Ans: A অথবা B-এর সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা হল 37/40 

    22.  চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:  
    ধরি, লক্ষ্যবস্তুতে A-এর আঘাত করার ঘটনা T1 এবং B -এর আঘাত করার ঘটনা T2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(T1) = 3/4 এবং
    P(T2) = 4/5 ,
    দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা হল –
    P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1∩T2 )
    ⇒ P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1)P(T2 ) – – – [T1,T2 ঘটনা দুটি স্বাধীন]
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/4 × 4/5
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/5
    ⇒ P(T1UT2) = 15 + 16 – 12/20
    ⇒ P(T1UT2) = 19/20
    Ans: দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা 19/20

    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights