Category: XII-OLD SILLABUS

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5
1. x – অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে-
(A) 0, 1, 0 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0

Ans: (C) 0, 0, 1
[l = cos0^o = 1;
m = cos90^o = 0
n = cos90^o = 0]
2. y অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 1, 1, 1 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0
Ans: (D) 0,1, 0
[l = cos90^o = 0;
m = cos0^o = 1
n = cos90^o = 0]
3. z-অক্ষের দিক কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 0, 0, 1 (B) 0, 1, 0 (C) 1, 1, 1 (D) 1, 0, 0

Ans: (A) 0, 0, 1
[l = cos90^o = 0;
m = cos90^o = 0
n = cos0^o =1]
4. যদি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4 হয়, তবে তার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) ⁹/₁₁, ⁶/₁₁, ²/₁₁ (B) –⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁ (C) ⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁ (D) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (B) –⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁
[দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4
∴ দিক্ কোসাইনগুলি হল
$$\large{l=\frac{-18}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-18}{\sqrt{484}}=\frac{-18}{22}=\frac{-9}{11}\\m=\frac{12}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{12}{\sqrt{484}}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}\\n=\frac{-4}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-4}{\sqrt{484}}=\frac{-4}{22}=\frac{-2}{11}\\}$$
5. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(A)যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ ≠ 2 হবে।
(B) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ = 2 হবে।
(C) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হয়, তবে l² + m² + n² ≠ 1 হবে।
(D) দুটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণের কোসাইন, তাদের দিক্ কোসাইনের ভেক্টর গুণের সাথে সমান হবে।

Ans: (A) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α+β+γ ≠ 2 হবে। [α, β, γ কোণ গুলি একই তলে অবস্থিত নয়]
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
6. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 1, -2, 1 এবং 4, 3, 2-এর সঙ্গে সমানুপাতিক হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-
(A) ^3π/₄ (B) ^π/₂ (C) ^π/₃ (D) ^π/₄/4

Ans: (B) ^π/₂
[এখানে a₁ = 1; b₁ = -2; c₁ =1
এবং a₂= 4; b₂ = 3; c₂ = 2
$$\large{cosθ=\frac{|a_1.a_2+b_1.b_2+c_1.c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}×\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\\\quad=\frac{|1.4+(-2).3+1.2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\\quad=\frac{|4-6+2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=\quad\frac{0}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=0\\\therefore cosθ=0\\⇒cosθ=cos\frac{π}{2}\\⇒θ=\frac{π}{2}]}$$
7. যদি 0 মূলবিন্দু এবং OP(= 3 ) সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2-এর সঙ্গে সমানুপাতি হয়, তবে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে-
(A) (-1, 2, -2) (B) (1, 2, 2) (C) –¹/₉, ²/₉, –²/₉ (D) (3, 6, -9)
Ans: (A) (-1, 2, -2)
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (-¹/₃×3, ²/₃×3, –²/₃×3)
= (-1, 2, -2)]
$$\large{\quad=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}}\\\quad⇒\frac{-1}{\sqrt{1+4+4}},\frac{2}{\sqrt{1+4+4}},\frac{-2}{\sqrt{1+4+4}}\\⇒\frac{-1}{\sqrt{9}},\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}}$$
8. একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে
(A) ^π/₆ (B) ^π/₄ (C) cos^-1(¹/_√3) (D) cos^-1(¹/₃)
Ans: (D) cos^-1(¹/₃)
[ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –
$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}}$$
9.(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) -3, 1 ,4 (B) -1, 5, -2 (C) –³/_√26, ¹/_√26, ⁴/_√26 (D) –¹/_√30, ⁵/_√30, –²/_√30
Ans: (C) –³/_√26, ¹/_√26, ⁴/_√26
[(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ-
(−2 – 1), (3 – 2), (1 + 3) বা, -3, 1, 4
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
$$\large{\quad=\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{1}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{4}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}}\\\quad⇒\frac{-3}{\sqrt{9+1+16}},\frac{1}{\sqrt{9+1+16}},\frac{4}{\sqrt{9+1+16}}\\⇒-\frac{3}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{4}{\sqrt{26}}}$$
10. যদি একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1 এর সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে z অক্ষের সঙ্গে তার নতি হবে
(A) ^π/₂ (B) π (C) ^3π/₂ (D) ^3π/₄
Ans: (D) ^3π/₄
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
$$\large{\quad⇒\frac{0}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{-1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}}\\\quad⇒0,\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}]}$$
∴ z অক্ষের সঙ্গে নতি
cosγ = –¹/_√2
⇒ cosγ = -cos^π/₄
⇒ cosγ = cos(π – ^π/₄)
⇒ cosγ = cos^3π/₄
∴ γ = ^3π/₄]
11. যদি ত্রিমাত্রিক দেশে মূলবিন্দু O থেকে r একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু P(x, y, z) হয়, তবে OP সরলরেখাটির দিক কোসাইনগুলি হবে
(A) ^r/_x, ^r/_y ^r/_z (B) rx, ry, rz
(C) ^x/_r, ^y/_r, ^z/_r (D) এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (C) ^x/_r, ^y/_r, ^z/_r
$$\large{[\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\}$$দিক কোসাইনগুলি হবে$$\large{\quad⇒\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\quad⇒\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}]}$$
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. নিম্নলিখিত বিষয়গুলির সংজ্ঞা দাও :
(i) একটি সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ।
Ans: ত্রিমাত্রিক দেশে কোনো সরলরেখা বা ঐ সরলরেখার দিক নির্দেশক ভেক্টর, তিনটি অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে, সেই কোন তিনটিকে ঐ সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ বলে।

(ii) একটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ।
Ans: কোনো সরলরেখা বা ভেক্টর x y z অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যথাক্রমে α, β, এবং γ কোণ উৎপন্ন করলে, cosα, cosβ এবং cosγ কে ওই সরলরেখা বা ভেক্টরের দিক্ কোসাইন বলা হয়।

(iii) একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ।
Ans: যদি তিনটি সংখ্যা কোন সরলরেখার দিক কোসাইনের সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে ওই সংখ্যাত্রয়কে ওই সরলরেখার দিক্ অনুপাত বলে।
2. (i) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে?

Solution:
যদি সম্ভব হয় তবে ধরি,
l = 1;
m = 2;
n = 3
∴ l² + m² + n²
= 1² +2² +3²
= 1 + 4 + 9
=14 ≠ 1
দিক কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি 14;
∴ 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে না।
(ii) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে?

Solution:
যে কোনো সংখ্যা কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।
∴ 1, 2, 3 কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।
3. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
(i) (2, -1, 4) ও (0, 1, 5) (ii) (4, 3, -5) ও (-2, 1, -8)
(i)
Solution:
(2, -1, 4) ও (0, 1, 5) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0-2, 1+1, 5-4) বা, -2, 2, 1
∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
$$\large{=\frac{-2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{1}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{1}{±\sqrt{4+4+1}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{9}},\frac{2}{±\sqrt{9}},\frac{1}{±\sqrt{9}}\\⇒\frac{-2}{±3},\frac{2}{±3},\frac{1}{±3}\\⇒\frac{-2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};\quad or\quad\frac{2}{3},\frac{-2}{3},\frac{-1}{3}\mathbf{(Ans)}}$$
(ii)
Solution:
(4, 3, -5) ও (-2, 1, -8) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 4, 1 – 3, -8 + 5) বা, -6, -2, -3
∴ ∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
$$\large{=\frac{-6}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-2}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-3}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-2}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-3}{±\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{49}},\frac{-2}{±\sqrt{49}},\frac{-3}{±\sqrt{49}}\\⇒\frac{-6}{±7},\frac{-2}{±7},\frac{-3}{±7}\\⇒\frac{-6}{7},\frac{-2}{7},\frac{-3}{7};\quad or\quad\frac{6}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7}\mathbf{(Ans)}}$$
4. কোনো সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30° । বক্তব্যটি কি সঠিক? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

Solution:
সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30°
∴ l = cos120° = cos(2×90° – 60°) = -cos60° = –¹/₂
m = cos45° = ¹/_√2
n = cos30° = ^√3/₂
∴ l² + m² + n²
= (-¹/₂)² + (¹/_√2)² + (^√3/₂)²
= ¹/₄ + ¹/₂ + ³/₄
= ^{1 + 2 + 3}/₄
= ⁶/₄= ³/₂ ≠ 1
দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি ³/₂;
∴ বক্তব্যটি সঠিক নয়। (Ans)
5. যে দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ ^√3/₄, –¹/₄, –^√3/₂ এবং –^√3/₄, ¹/₄, –^√3/₂; তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ ^√3/₄, –¹/₄, –^√3/₂ এবং –^√3/₄, ¹/₄, –^√3/₂;
∴ তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ θ হলে,
cosθ = ^√3/₄×(-^√3/₄) +,(¹/₄)(-¹/₄) + ( –^√3/₂)(-^√3/₂)
= –³/₁₆ – ¹/₁₆ + ³/₄
= –^{-3 – 1 + 12}/₁₆
= ⁸/₁₆ = ¹/₂
∴ cosθ = cos^π/₃
⇒ θ = ^π/₃
Ans: সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ ^π/₃
6. মনে করো, A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, -1) এবং (-1, 1, 2); BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, –1) এবং (-1, 1, 2)
∴ BA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 1, 5 – 2, -1 – 3) বা 1, 3, -4
BC সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ (-1 – 2, 1 – 5, 2 + 1) -3, -4, 3
∴ BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|1.(-3)+3.(-4)+(-4).3|}{\sqrt{(1)^2+(3)^2+(-4)^2}×\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+(3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-3-12-12|}{\sqrt{1+9+16}×\sqrt{9+16+9}}\\\quad\quad=\frac{|-27|}{\sqrt{26}×\sqrt{34}}\\\quad\quad=\frac{27}{2\sqrt{13}×\sqrt{17}}\\=\therefore cosθ=\frac{27}{2\sqrt{221}}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{27}{2\sqrt{221}}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
7. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি নীচে দেওয়া হল। তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণগুলি নির্ণয় করো।(i) 2, 3, 6 এবং 1, 2, 2(ii) 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5(iii) p,q,r এবং q – r, r-p, p-q(iv) 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5
(i)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 2, 3, 6 এবং 1, 2, 2
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|2.1+3.2+6.2|}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(6)^2}×\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|2+6+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{1+4+4}}\\\quad\quad=\frac{20}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{20}{7×3}\\\therefore cosθ=\frac{20}{21}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{20}{21}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(ii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|5.(-3)+(-12).4+13.5|}{\sqrt{(5)^2+(-12)^2+(13)^2}×\sqrt{(-3)^2+(4)^2+(5)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-15-48+65|}{\sqrt{25+144+169}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|2|}{\sqrt{338}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{2}{13\sqrt{2}×5\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{65}\\\therefore cosθ=\frac{1}{65}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{1}{65}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(iii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি p, q, r এবং q – r, r – p, p – q
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|p.(q-r)+q.(r-p)+r.(p-q)|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{|pq-pr+qr-pq+pr-qr|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{0}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=0\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{2}\\\therefore θ=\frac{π}{2}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(iv)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|2.3+1.(-4)+(-2).5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}×\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|6-4-10|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-8|}{\sqrt{9}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{8}{3×5\sqrt{2}}\\\therefore cosθ=\frac{4\sqrt{2}}{15}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{15}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. যে সরলরেখা তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই সমান কোণে নত থাকে তার দিক্ অনুপাতগুলি নির্ণয় করো। এক্ষেত্রে কতগুলি সরলরেখা হওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি সরলরেখাটি তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই α কোণে নত।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হবে cosα, cosα, cosα
∴ (cosα)² + (cosα)² + (cosα)² = 1
বা, 3cos²α = 1
বা, cos²α = ¹/₃
বা, cosα = ±¹/_√3
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
¹/_√3, ¹/_√3, ¹/_√3 অথবা –¹/_√3, –¹/_√3, –¹/_√3 (Ans)
Ans: এক্ষেত্রে দুটি সরলরেখা হওয়া সম্ভব।
2 zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে ^π/₃ কোণে নত আছে। রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে ^π/₃ কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (^π/₂ – ^π/₃) বা, ^π/₆ কোণে নত।
আবার zx সমতল y অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি y অক্ষের সঙ্গে ^π/₂ কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cos^π/₆, cos^π/₂, cos^π/₃
= ^√3/₂, 0, ¹/₂ (Ans)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
3 কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি α, β, γ হলে, প্রমাণ করো sin²α + sin²β+ sin²γ = 2

Solution:
কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি α, β, γ হলে,
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
বা, 1 – sin²α + 1 – sin²β + 1 – sin²γ = 1
বা, 3 – sin²α – sin²β – sin²γ = 1
বা, – sin²α – sin²β – sin²γ = 1 – 3
বা, -(sin²α + sin²β + sin²γ) = -2
বা, sin²α + sin²β + sin²γ = 2 (Proved)
4. কোনো সরলরেখা (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী এবং x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত হলে রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটি (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে –
^l/_{2 – 6} = ^m/_{-3 + 7} = ⁿ/_{1 + 1} হবে।
⇒ ^l/_{– 4} = ^m/₄ = ⁿ/₂ = k (ধরি)
∴ l = -4k
m = 4k
n = 2k
∵ l² + m² + n² = 1
⇒ (-4k)² + (4k)² + (2k)² = 1
⇒ 16k² + 16k² + 4k² = 1
⇒ 36k² = 1
⇒ k² = ¹/₃₆
∴ k = ± ¹/₆
∴ l = -4×(¹/₆) বা, -4×(-¹/₆) = –²/₃ বা, ²/₃
m = 4×(¹/₆) বা, 4×(-¹/₆) = ²/₃ বা, –²/₃
n = 2×(¹/₆) বা, 2×(-¹/₆) = ¹/₃ বা, –¹/₃
সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত।
∴ l = ²/₃ অর্থাৎ m = –²/₃ n = –¹/₃
Ans: সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ ²/₃, –²/₃, –¹/₃
5. xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে ^π/₄ কোণে নত হলে, রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে ^π/₄ কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (^π/₂ – ^π/₄) বা, ^π/₄ কোণে নত।
আবার xy সমতল z অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি z অক্ষের সঙ্গে ^π/₂ কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cos^π/₄, cos^π/₄, cos^π/₂
= ¹/_√2, ¹/_√2, 0 (Ans)
6. A (4, 5, 0), B(2, 6, 2), C (2, 3, -1) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A (4, 5, 0), B (2, 6, 2), C (2, 3, -1)
$$\large{AB=\sqrt{(2-4)^2+(6-5)^2+(2-0)^2}\\\quad=\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+4}=3\\BC=\sqrt{(2-2)^2+(3-6)^2+(-1-2)^2}\\\quad=\sqrt{(0)^2+(-3)^2+(-3)^2}\\\quad=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt{2}\\CA=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2+(0+1)^2}\\\quad=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+4+1}=3}$$
AB বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{2 – 4}/₃, ^{6 – 5}/₃, ^{2 – 0}/₃ বা, ^-2/₃, ¹/₃, ²/₃ (Ans)
BC বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{2 – 2}/_3√2, ^{3 – 6}/_3√2, ^{-1 – 2}/_3√2 বা, 0, ^-1/_√2, ^-1/_√2 (Ans)
CA বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{4 – 2}/₃, ^{5 – 3}/₃, ^{0 + 1}/₃ বা, ²/₃, ²/₃, ¹/₃ (Ans)
7. দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে প্রমাণ কর যে, P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7);
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)} ≡ (-3, -5, -3)
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(5 + 1), (8 + 2), (7 – 1)} ≡ (6, 10, 6)
∴ ^a₁/_a₂ = ^-3/₆ = –¹/₂
^b₁/_b₂ = ^-5/₁₀ = –¹/₂
^c₁/_c₂ = ^-3/₆ = –¹/₂
∵ ^a₁/_a₂ = ^b₁/_b₂ = ^c₁/_c₂ = –¹/₂
∴ PQ এবং QR পরস্পর সমান্তরাল।
আবার PQ এবং QR সরলরেখার সাধারণ বিন্দু Q
∴ PQ ও QR একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ P, Q এবং R বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
8. মনে করো একটি সরলরেখা y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে π/4 এবং π/3 কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে যে সূক্ষ্মকোণটি উৎপন্ন করে তার মান নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটি y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে ^π/₄ এবং ^π/₃ কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে,
∴ l = cosθ
m = cos^π/₄ = ¹/_√2
n = cos^π/₃ = ¹/₂
∵ l² + m² + n² = 1
∴ cosθ² + (¹/_√2)² + (¹/₂)² = 1
⇒ cosθ² + ¹/₂ + ¹/₄ = 1
⇒ cosθ² = 1 – ¹/₂ – ¹/₄
⇒ cosθ² = ^4-2-1/₄
⇒ cosθ² = ¹/₄
∴ cosθ = ±¹/₂
cosθ = সূক্ষ্মকোণ
∴ cosθ = ¹/₂
⇒ cosθ = cos^π/₆
∴ θ = ^π/₆
Ans: সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে ^π/₆ কোণ উৎপন্ন করে।
9. যদি O মূলবিন্দু এবং A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু হয়, তবে দেখাও যে, OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং মূলবিন্দু O (0, 0, 0)
OA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(2 – 0), (3 – 0), (1 – 0)} ≡ (2, 3, 1)
OB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(1 – 0), (1 – 0), (-5 – 0)} ≡ (1, 1 , -5)
∴ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂
= 2×1 + 3×1 + 1×(-5)
= 2 + 3 – 5
= 0
∵ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂ = 0
∴ OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব। (Proved)
10. দেখাও যে, (-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
(-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(1 + 1), (3 – 0), (-1 + 2)} ≡ (2, 3, 1)
(9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(7 – 9), (2 – 1), (-5 + 6)} ≡ (-2, 1 , 1)
∴ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂
= 2×(-2) + 3×1 + 1×1
= -4 + 3 + 1
= 0
∵ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂ = 0
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার পরস্পর লম্ব। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
11. প্রমাণ করো যে, (4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (4, 3, -3) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।

Solution:
( 4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(5 – 4), (3 – 5), (3 -0)} ≡ (1, -2, 3)
(4, 3, -3 ) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(6 – 4), (-1 – 3), (3 + 3)} ≡ (2, -4, 6)
∴ ^a₁/_a₂ = ¹/₂
^b₁/_b₂ = ^-2/_-4 = ¹/₂
^c₁/_c₂ = ³/₆ = ¹/₂
∵ ^a₁/_a₂ = ^b₁/_b₂ = ^c₁/_c₂
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল। (Proved)
12. কোণগুলি নির্ণয়ের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, A(3, 4, -1), B(1, 5, 1) এবং C(1, 2, -2) শীর্ষবিন্দুগামী ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Solution:
ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি (3, 4, -1), (1, 5, 1) এবং (1, 2, -2)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 3), (5 – 4), (1 + 1) বা, -2, 1, 2
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 1), (2 – 5), (-2 – 1) বা, 0, -3, -3
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (4 – 2), (-1 + 2)বা, 2, 2, 1
$$\large{\therefore cosA=\frac{|(-2).2+1.2+2.1|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1^2}}\\\quad\quad=\frac{|-4+2+1|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{|0|}{\sqrt{9}×\sqrt{9}}=0\\\therefore cosA=cos\frac{π}{2}\\⇒ A=\frac{π}{2} }$$আবার $$\large{ cosB=\frac{|(-2).0+1.(-3)+2.(-3)|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-3-6|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{0+9+9}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{9}×\sqrt{18}}\\\quad\quad=\frac{9}{3×3\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosB=cos\frac{π}{4}\\⇒ B=\frac{π}{4}}$$এবং$$\large{ cosC=\frac{|0.2+(-3).2+(-3).1|}{\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-6-3|}{\sqrt{0+9+9}×\sqrt{4+4+1}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{18}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{9}{3\sqrt{2}×3}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosC=cos\frac{π}{4}\\⇒ C=\frac{π}{4}\\\therefore cosB = cosC\\⇒ B=C}$$
∵ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (Proved)
13. (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x অক্ষের সঙ্গে যে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় করো।

Solution:
(1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (2 – 1), (1 – 3) বা, 2, 1, -2
∴ সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ –
$$\large{\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{4+1+4}},\frac{1}{\sqrt{4+1+4}},\frac{-2}{\sqrt{4+1+4}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{1}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{-2}{3}}$$
x অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হল 1, 0, 0
ধরি, (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা ও x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ cosθ = ²/₃×1 + ¹/₃×0 + ^-2/₃×0
⇒ cosθ = ²/₃
⇒ θ = cos^-1(²/₃)
14. দিক কোসাইন এবং দিক্ অনুপাতসমূহ নির্নয়ের সাহায্যে দেখাও যে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

Solution:
ধরি ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 2), (2 – 3), (0 – 1) বা, -4, -1, -1
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 +2), (1 – 2), (-1 – 0) বা, 2, -1, -1
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 1), (1 + 1) বা, 2, 2, 2
BC ও CA বাহুর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 2×2 + (-1)×2 + (-1)×2
= 4 – 2 – 2 = 0
∴ BC ও CA পরস্পর লম্ব।
ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
15. মূলবিন্দু O থেকে অঙ্কিত সরলরেখাদ্বয় OA এবং OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে 1, -1, -1 এবং 2, -1, 1 হলে, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
OA -এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 1, -1, -1
OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 2, -1, 1
ধরি, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ l, m, n
∴ l×1 + m×(-1) + n×(-1) = 0
বা, l – m – n = 0 – – – – (i)
এবং l×2 + m×(-1) + n×1 = 0
বা, 2l – m + n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
$$\large{\frac{l}{-1-1}=\frac{m}{-2-1}=\frac{n}{-1+2}\\⇒\frac{l}{-2}=\frac{m}{-3}=\frac{n}{1}=k\quad [Let]}$$
∴ l = -2k; m = -3k; n = k
∵ l² + m² + n² = 1
⇒ (-2k)² + (-3k)² + k² = 1
⇒ 4k² + 9k² + k² = 1
⇒ 14k² = 1
⇒ 14k² = ¹/₁₄
∴ k = ±¹/_√14
Ans: অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ হল
^-2/_√14, ^-3/_√14, ¹/_√14 এবং ²/_√14, ³/_√14, ^-1/_√14
16. A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B (0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B(0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু N
N বিন্দুটি BC সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, -11, 4) এবং (2, -3, 1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{2p – 0.1}/_{p + 1} , ^{-3.p – 11}/_{p + 1} , ^{p + 4}/_{p + 1}) বা, (^2p/_{p + 1} , ^{-3P – 11}/_{p + 1} , ^{p + 4}/_{p + 1})
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (-3 + 11), (1 – 4) বা, 2, 8, -3
A(1, 8, 4) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 8, 4)
AN সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(^2p/_{p + 1} – 1), (^{-3P – 11}/_{p + 1} – 8) ,( ^{p + 4}/_{p + 1} – 4)} বা, {(^{p – 1}/_{p + 1}), (^{-11P – 19}/_{p + 1}) ,(^-3p/_{p + 1})}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (^{p – 1}/_{p + 1})×2 + (^{-11P – 19}/_{p + 1})×8 + (^-3p/_{p + 1})×(-3) = 0
বা, 2(p – 1) + (-11P – 19)×8 + (-3p)×(-3) = 0
বা, 2p – 2 – 88P – 152 + 9p = 0
বা, -77p = 154
বা, p = -2
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2×(-2)/_{-2 + 1} , ^{-3×(-2) – 11}/_{-2 + 1} , ^{-2 + 4}/_{-2 + 1})
= (^-4/_-1 , ^-5/_-1 , ²/_-1)
= (4, 5, -2)
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 5, -2)
17. (7, 4, 2 ) এবং ( 3, -2, 5 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (2, a, 5) এবং (b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল হলে, a ও b এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(7, 4, 2) এবং (3, -2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (3 – 7, -2 – 4, 5 – 2) বা -4, -6, 3
(2, a, 5) এবং(b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (b – 2, -15 – a, 11 – 5) বা b – 2, -15 – a, 6
∵ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ^-4/_{b – 2} = ^-6/_{-15 – a} = ³/₆
⇒ ^-4/_{b – 2} = ^-6/_{-15 – a} = ¹/₂
∴ ^-4/_{b – 2} = ¹/₂ ^-6/_{-15 – a} = ¹/₂
বা, b – 2 = -8 বা, -12 = -15 – a
বা, b = -6 বা, a = -3
Ans: a = -3 এবং b = -6
18. (4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব হলে, k -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 4, -1 +3, 5 – 2) বা -1, 2, 3
(k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (7 – k, 3 + 2, -2 – 1) বা 7 – k, 5, -3
সংযোজক সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ (-1)×(7 – k) + 2×5 + 3×(-3) = 0
বা, -7 + k + 10 – 9 = 0
বা, k = 6
Ans: k -এর মান 6
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
19. যে সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5 তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3 হলে
$$\large{cosθ=\frac{|(-4).3+3.4+5.(-5)|}{\sqrt{(-4)^2+(3)^2+(-5)^2}×\sqrt{3^2+4^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|-12+12-25|}{ \sqrt{16+9+25}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-25|}{\sqrt{50}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{25}{50}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{3}\\\therefore θ=\frac{π}{3}}$$Ans: সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3
20. মনে করো A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (4 – 2, 5 + 3, 2 + 1) বা 2, 8, 3
CD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 + 3, 3 – 4, 5 – 1) বা 5, -1, 4
ধরি AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m , n
∴ 2l + 8m + 3n = 0 – – – – (i)
এবং 5l – m + 4n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
$$\large{\frac{l}{32-(-3)}=\frac{m}{15-8}=\frac{n}{-2-40}\\⇒\frac{l}{35}=\frac{m}{7}=\frac{n}{-42}=k\\⇒\frac{l}{5}=\frac{m}{1}=\frac{n}{-6}=k\quad [Let]\\\therefore l=5k;\quad\quad m=k:\quad\quad n=-6k;\\\quad\quad l^2+m^2+n^2=1\\⇒(5k)^2+(k)^2+(-6k)^2=1\\⇒25k^2+k^2+36k^2=1\\⇒62k^2=1\\⇒k^2=\frac{1}{62}\\\therefore k⇒±\frac{1}{62}\\=}$$
Ans: AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হল ⁵/_√62, ¹/_√62, –⁶/_√62 এবং –⁵/_√62, –¹/_√62, ⁶/_√62
21. দিক্ অনুপাতের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
ধরি ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 4, –3 – 2, 1 + 6) বা, 1, -5, 7
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 5, 4 + 3, 5 – 1) বা, 7, 7, 4
DC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 11, 4 – 9, 5 + 2) বা, 1, -5, 7
AD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 4, 9 – 2, -2 + 6) বা, 7, 7, 4

AB ও DC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ AB || DC
আবার BC ও AD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ BC || AD
ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং BC || AD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
AB ও BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 1×7 + (-5)×7 + 7×4
= 7 – 35 + 28
= 0
∴ AB ও BC পরস্পর লম্ব।
∴ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল এবং একটি কোণ সমকোণ।
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
(4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
22. দিক্ সংখ্যার সাহায্যে দেখাও যে, P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। সামান্তরিকটি কি একটি আয়তক্ষেত্র হবে?

Solution:
PQRS চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5 )
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 4, 3 – 7, 4 – 8) বা, -2, -4, -4
SR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 1, -2 – 2, 1 – 5) বা, -2, -4, -4
PS সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 4, 2 – 7, 5 – 8) বা, -3, -5, -3
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 2, -2 – 3, 1 – 4) বা, -3, -5, -3
PQ ও SR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PQ || SR
আবার PS ও QR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PS || QR
PQRS চতুর্ভুজের PQ || SR এবং PS || QR
∴ PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
P, Q, R এবং S বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। (Proved)
PQ ও PS -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= (-2)×(-3) + (-4)×(-5) + (-4)×(-3)
= 6 + 20 + 12
= 38 ≠ 0
∴ PQ ও PS পরস্পর লম্ব নয়।
সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে না। (Proved)
23. মনে করো, দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ । প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c
নির্ণেয় সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখা।
∴ al₁ + bm₁ + cn₁ = 0 – – – – (i)
al₂ + bm₂ + cn₂ = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) সমাধান করে পাই,
$$\large{\frac{a}{m_1n_2-m_2n_1}=\frac{b}{l_2n_1-l_1n_2}=\frac{c}{l_1m_2-l_2m_1}=k\quad [Let]\\\therefore a=k(m_1n_2-m_2n_1)\\\quad b=k(l_2n_1-l_1n_2)\\\quad c=k(l_1m_2-l_2m_1)}$$
Ans: লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ
k(m₁n₂ – m₂n₁), k(l₂n₁ – l₁n₂), k(l₁m₂ – l₂m₁)
= (m₁n₂ – m₂n₁), (l₂n₁ – l₁n₂), (l₁m₂ – l₂m₁)
24. মনে করো P(−9, 4, 5 ) এবং Q (11, 0, -1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু। যদি O মূলবিন্দু এবং ON সরলরেখা PQ সরলরেখার ওপর লম্ব হয়, তবে N-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, N বিন্দুটি PQ সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
P ও Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (−9, 4, 5 ) এবং (11, 0, -1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{11p – 9}/_{p + 1} , ^{0.p + 4}/_{p + 1} , ^{-p + 5}/_{p + 1}) বা, (^{11p – 9}/_{p + 1} , ⁴/_{p + 1} , ^{-p + 5}/_{p + 1})
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 9), (0 – 4), (-1 – 5) বা, 20, -4, -6
ON সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(^{11p – 9}/_{p + 1} – 0), (⁴/_{p + 1} – 0) ,(^{-p + 5}/_{p + 1} – 0)} বা, {(^{11p – 9}/_{p + 1}), (⁴/_{p + 1}) ,(^{-p + 5}/_{p + 1})}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (^{11p – 9}/_{p + 1})×20 + (⁴/_{p + 1})×(-4) + (^{-p + 5}/_{p + 1})×(-6) = 0
বা, 20(11p – 9) – 4×4 – 6(-p + 5) = 0
বা, 220p – 180 – 16 + 6p – 30 = 0
বা, 226p = 226
বা, p = 1
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{11.1 – 9}/_{1 + 1} , ^{0.1 + 4}/_{1 + 1} , ^{-1 + 5}/_{1 + 1})
= (1, 2, 2)
Ans: N-এর স্থানাঙ্ক (1, 2, 2)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
25. মনে করো A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3)
AB-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 + 2), (3 – 0), (-3 – 3) বা, 2, 3, -6
CD-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 3), (4 – 3), (3 – 5) বা, 2, 1, -2
AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{|2×2+3×1+(-6)×(-2)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}×\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|4+3+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{19}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{19}{7×3}\\cosθ=\frac{19}{21}\\\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{19}{21}\quad \mathbf{(Ans)}}$$
26. দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো যাদের দিক্ কোসাইনসমূহ নীচের সমীকরণগুলি সিদ্ধ করে:
(i) l + m + n = 0; l² + m² – n² = 0

Solution:
l + m + n = 0
বা, n = -(l + m),
আবার
l² + m² – n² = 0
বা, l² + m² – {-(l + m)}² = 0
বা, l² + m² – l² – 2lm – m² = 0
বা, -2lm = 0
হয় l = 0 নতুবা m = 0
l = 0 হলে n = -m হয়
আবার m = 0 হলে n = -l হয়
∴ সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল 0, m, -m এবং l, 0, -l
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{|0×l+m×0+(-m)×(-l)|}{\sqrt{0^2+m^2+(-m)^2}×\sqrt{l^2+0^2+(-l)^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{m^2+m^2}×\sqrt{l^2+l^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{2m^2}×\sqrt{2l^2}}\\\quad\quad=\frac{ml}{m\sqrt{2}×l\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos \frac{π}{3}\\⇒θ=\frac{π}{3}}$$∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3
(ii) 2l + 2m – n = 0; mn + Im + nl = 0

Solution:
2l + 2m – n = 0
বা, n = 2l + 2m – – – – – (i)
mn + Im + nl = 0
বা, n(m + l) + Im = 0 – – – – – (ii)
(ii) নং এ n = 2l+ 2m বসিয়ে পাই,
(2l + 2m)(m + l) + Im = 0
বা, 2lm + 2l² + 2m² + 2Im + lm = 0
বা, 2l² + 5Im + 2m² = 0
বা, 2(^l/_m)² + 5(^l/_m) + 2 = 0
∴ সমীকরনের বীজদ্বয় ^l₁/_m₁ ও ^l₂/_m₂ হলে,
^l₁/_m₁ × ^l₂/_m₂ = 1
⇒ l₁l₂ = m₁m₂ – – – – (ii) এবং
^l₁/_m₁ + ^l₂/_m₂ = –⁵/₂
⇒ 2( l₁m₂ + l₂m₁) = -5m₁m₂
∵ n = 2l + 2m
∴ n₁×n₂ = (2l₁+ 2m₁)×(2l₂+ 2m₂)
⇒ n₁×n₂ = 4l₁l₂ + 4l₁m₂ + 4m₁l₂ + 4m₁m₂
⇒ n₁n₂ = 2{2(l₁m₂+l₂m₁)}+ 4l₁l₂ + 4m₁m₂
⇒ n₁n₂ = 2×-5m₁m₂+ 4m₁m₂+ 4m₁m₂ – – – – [∵ l₁l₂ = m₁m₂]
⇒ n₁n₂ = -10m₁m2+ 8m₁m₂
⇒ n₁n₂ = -2m₁m₂
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
⇒ m₁m₂ + m₁m₂ + (-2m₁m₂) – – – – [∵ l₁l₂ = m₁m₂]
⇒ 2m₁m₂ – 2m₁m₂
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ ^π/₂ (Ans)
(iii) l + 2m + 3n = 0; 3lm – 4ln + mn = 0

Solution:
l + 2m + 3n = 0
বা, l = -(2m + 3n) – – – – – (i)
আবার
3lm – 4ln + mn = 0
বা, 3{-(2m + 3n)}m – 4{-(2m + 3n)}n +mn = 0
বা, -6m² – 9nm + 8mn + 12n² + mn = 0
বা, -6m² + 12n² = 0
বা, 12n² = 6m²
বা, 2n² = m²
বা, ^n²/_m² = ¹/₂
বা, ⁿ/_m = ±¹/_√2
⇒ ^n₁/_m₁ = ¹/_√2; ^n₂/_m₂ = – ¹/_√2
∴ ^n₁/_m₁ × ^n₂/_m₂ = ¹/_√2 × (-¹/_√2)
⇒ ^n₁n₂/_m₁m₂ = – ¹/₂
⇒ n₁n₂ = –^m₁m₂/₂ – – – – – (ii)
আবার
^n₁/_m₁ + ^n₂/_m₂ = ¹/_√2 + (-¹/_√2)
⇒ ^{n₁m₂+n₂m₁}/_m₁m₂ = ¹/_√2 – ¹/_√2 = 0
⇒ n₁m₂ + n₂m₁ = 0 – – – – – (iii)
(i) নং থেকে পাই,
l₁ = -(2m₁ + 3n₁) এবং
l₂ = -(2m₂ + 3n₂)
∴ l₁×l₂ = {-(2m₁ + 3n₁)}×{-(2m₂ + 3n₂)}
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6m₁n₂ + 6n₁m₂ + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6(m₁n₂ + n₁m₂) + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6×0 + 9n₁n₂ – – – [(iii) নং থেকে]
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 9×(-^m₁m₂/₂) – – – [(ii) নং থেকে]
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ – 9×^m₁m₂/₂
⇒ l₁l₂ = – ^m₁m₂/₂
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
⇒ – ^m₁m₂/₂ + m₁m₂ – ^m₁m₂/₂
⇒ ^m₁m₂/₂ – ^m₁m₂/₂
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ ^π/₂ (Ans)
(iv) 3l + m + 5n = 0; 6mn – 2nl + 5lm = 0

Solution:
3l + m + 5n = 0
বা, m = -(5n + 3l)
আবার
6mn – 2nl + 5lm = 0
বা, 6{-(5n + 3l)}n – 2nl + 5l{-(5n+3l)} = 0
বা, -30n² – 18ln -2nl – 25ln -15l² = 0
বা, -30n² – 45ln – 15l² = 0
বা, -15(2n² + 3ln – l²) = 0
বা, 2n² + 3ln + l² = 0
বা, 2n² + 2ln + ln + l² = 0
বা, 2n(n + l) + l(n + l) = 0
বা, (n + l)(2n + l) = 0
হয় (n+l)=0 নতুবা (2n + l) = 0
বা, l = -n বা, l = -2n
l = -n হলে
m = -(5n + 3×-n) = -5n + 3n = -2n
l = -2n হলে
m = -(5n + 3×-2n) = -5n + 6n = n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ অনুপাতসমূহ হল -n, -2n, n এবং -2n, n, n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{(-n)×(-2n)+(-2n)×n+n×n}{\sqrt{(-n)^2+(-2n)^2+n^2}×\sqrt{(-2n)^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{2n^2-2n^2+n^2}{\sqrt{n^2+4n^2+n^2}×\sqrt{4n^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{\sqrt{6n^2}×\sqrt{6n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{n\sqrt{6}×n\sqrt{6}}\\\quad\quad=\frac{1}{6}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
1. প্রমাণ করো যে, দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ a²l + b²m + c²n =0 এবং mn + nl + lm = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়।
Solution:
a²l + b²m + c²n =0
বা, l = – ^{b²m + c²n}/_a² – – – -(i)
mn + nl + lm = 0
বা, mn + l(n + m) = 0 – – – -(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
mn + (- ^{b²m + c²n}/_a²)(n + m) = 0
বা, a²mn – (b²m + c²n)(n + m) = 0
বা, a²mn – b²mn – b²m² – c²n² – c²mn = 0
বা, b²m² + b²mn + c²mn – a²mn + c²n² = 0
বা, b²m² + (b² + c² – a²)mn + c²n² = 0
বা, b²(^m/_n)² + (b² + c² – a²)(^m/_n) + c²= 0 – – – (iii) – – [n² দিয়ে ভাগ করে পাই]
(iii) নং সমীকরণ ^m/_n এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ হয় তবে (iii) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^l₁/_l₂ = ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
∴ ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
⇒ ^m₁/_n₁ = ^m₂/_n₂
∴ বীজদুটি সমান।
∴ (b² + c² – a²) – 4b²c² = 0
⇒ (b² + c² – a²)² – (2bc)² = 0
⇒ (b² + c² – a² + 2bc)(b² + c² – a² – 2bc) = 0
⇒ {(b² + 2bc + c²) – a²}{(b² – 2bc + c²)- a²} = 0
⇒ {(b + c)² – (a)²}{(b – c)² – (a)²} = 0
⇒ (b + c + a)(b + c – a)(b – c + a)(b – c + a) = 0
∴ (a + b + c) = 0
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
2. দেখাও যে, দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ al + bm + cn = 0 এবং pl² + qm² + rn² = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^a²/_p+ ^b²/_q + ^c²/_r = 0 হয়।
Solution:
al + bm + cn = 0
বা, l = ^{bm + cn}/_a
আবার
pl² + qm² + rn² = 0
বা, p(^{bm + cn}/_a)² + qm² + rn² = 0
বা, p×(^{b²m² + 2bcmn + c²n²}/_a²) + qm² + rn² = 0
বা, pb²m² + 2pbcmn + pc²n² + a²qm² + a²rn² = 0
বা, (pb² + a²q)m² + 2pbcmn + (pc² + a²r)n² = 0
বা, (pb² + a²q)(^m/_n)² + 2pbc(^m/_n) + (pc² + a²r) = 0 – – – – (i)
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ হয় তবে (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^l₁/_l₂ = ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
∴ ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
বা, ^m₁/_n₁ = ^m₂/_n₂
∴ (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হবে।
(i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে নিরূপক শূন্য হবে।
∴ (2pbc)² – 4×(pb² + a²q)×(pc² + a²r) = 0
বা, 4p²b²c² – 4(p²b²c² + a²b²pr + a²c²pq + a⁴qr) = 0
বা, p²b²c² – p²b²c² – a²b²pr – a²c²pq – a⁴qr = 0
বা, – a²b²pr – a²c²pq – a⁴qr = 0
বা, a²b²pr + a²c²pq + a⁴qr = 0
বা, a⁴qr + a²b²pr + a²c²pq = 0
বা, ^a²/_p+ ^b²/_q + ^c²/_r = 0 – – (Proved)– – – [a²pqr দিয়ে ভাগ করে পাই]
3. প্রমাণ করো যে,
একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী সুক্ষ্মকোণের মান ^π/₂ – sin^-1 ¹/₃

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –
$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}\\⇒θ=\frac{π}{2}-sin^{-1}\frac{1}{3}\\\quad\quad\quad[∵ sin^{-1}\frac{1}{3}+cos^{-1}\frac{1}{3}=\frac{π}{2}]\\∴θ=\frac{π}{2}sin^{-1}\frac{1}{3}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
4. যদি একটি সরলরেখা, একটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে α, β, γ, δ কোণ উৎপন্ন করে, তবে প্রमान করো যে, cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ = ⁴/₃

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
∴ BR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, -a, a
∴ CS -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, -a, a
সরলরেখাটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে α, β, γ, δ কোণ উৎপন্ন করে
ধরি নির্ণেয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l, m, n
$$\large{cosα=\frac{al+am+an}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l+m+n}{\sqrt{3}} \\cosβ=\frac{-al+am+an}{\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}\\cosγ=\frac{-al-am+an}{\sqrt{(-a)^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l-m+n}{\sqrt{3}}\\cosδ=\frac{al-am+an}{\sqrt{a^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l-m+n}{\sqrt{3}}}$$
L.H.S.
= cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ
= (^{l + m + n}/_√3)² + (^{-l + m + n}/_√3)² + (^{-l – m + n}/_√3)² + (^{l – m + n}/_√3)²
= ¹/₃ [(l + m + n)² + (-l + m + n)² + (-l – m + n)² + (l – m + n)²]
= ¹/₃ × 4(l² + m² + n²)
= ¹/₃ × 4 – – – – – [∵ l² + m² + n² = 1]
= ⁴/₃ = R.H.S. (Proved)
5. যদি তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁; l₂, m₂, n₂ এবং l₃, m₃, n₃ হয়, তবে দেখাও যে প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি (l₁ + l₂ + l₃), (m₁ + m₂ + m₃), (n₁ + n₂ + n₃) দিক সংখ্যাবিশিষ্ট সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে।
Solution:
ধরি, প্রথম সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁
দ্বিতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₂, m₂, n₂
এবং তৃতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₃, m₃, n₃
সরলরেখা তিনটি পরস্পর লম্ব ।
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₂l₃ + m₂m₃ + n₂n₃ = 0
∴ l₃l₁ + m₃m₁ + n₃n₁ = 0
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটির দিক সংখ্যা (l₁ + l₂ + l₃), (m₁ + m₂ + m₃), (n₁ + n₂ + n₃)
আরও ধরি, প্রদত্ত সরলরেখাটি প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সরলরেখার সঙ্গে θ₁, θ₂ এবং θ₃ কোণ উৎপন্ন করে।
$$\large{cosθ_1\\=\frac{l_1(l_1+l_2+l_3)+m_1(m_1+m_2+m_3)+n_1(n_1+n_2+n_3)}{\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}\\\quad\quad\quad[\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}=k\quad(Let)]}\\=\frac{l_1^2+l_1l_2+l_3l_1)+m_1^2+m_1m_2+m_3m_1+n_1^2+n_1n_2+n_3n_1}{k}\\=\frac{(l_1^2+m_1^2+n_1^2)+(l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2)+(l_3l_1+m_3m_1+n_3n_1)}{k}\\\\=\frac{1+0+0)}{k}=\frac{1}{k} }$$
অনুরূপে পাওয়া যায়
cosθ₂ = ¹/_k
cosθ₃ = ¹/_k
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
6. A, B, C, D একটি সামান্তরিকের চারটি শীৰবিন্দু। যদি A, B এবং C-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 0, 0), (3, -4, 4) এবং (7, 1, 4) হয়, তবে দিক্ অনুপাতের সাহায্যে D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি D এর স্থানাঙ্ক (x, y, z)
∴ AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 0), ( -4 – 0), (4 – 0) বা 3, -4, 4
CD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x – 7), ( y – 1), (z – 4)
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ CD = AB
(x – 7) = 3 বা, x = 10
(y – 1) = -4, বা, y = -3
(z – 4) = 4 বা, z = 8
Ans: D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (10, -3, 8)
7. মনে করো, P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3; তাহলে PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি প্রদত্ত বিন্দু P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1)
∴ PQ এর দিক্ অনুপাতসমূহ – (2 + 1), (5 – 0), (1 – 3) বা, 3, 5, -2
L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3
∴ L সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ
$$\large{\frac{6}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{2}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{3}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{2}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{3}{\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{49}},\quad\frac{2}{\sqrt{49}},\quad\frac{3}{\sqrt{49}}\\⇒\frac{6}{7},\quad\frac{2}{7},\quad\frac{3}{7}}$$
PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
= ⁶/₇×3 + ²/₇×5 + ³/₇×(-2)
= ¹⁸/₇ + ¹⁰/₇ – ⁶/₇
= ^18+10-6/₇
= ²²/₇ একক
Ans: PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য ²²/₇ একক
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
8. দেখাও যে, যদি দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনগুলি al + bm + cn = 0 এবং pl² + qm² + rn² = 0 দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তবে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে a²(q+r) + b² (r+p) + c²(p + q) = 0
Solution:
al + bm + cn = 0
∴ l = –^{bm + cn}/_a
এবং m = –^{al + cn}/_b
আবার pl² + qm² + rn² = 0
বা, p(-^{bm + cn}/_a)² + qm² + rn² = 0
বা, p×^{(b²m² + 2bcmn + c²n²)}/_a² + qm² + rn² = 0
বা, pb²m² + 2bcmnp + pc²n² + a²qm² + a²rn² = 0
বা, m²(pb² + a²q) + 2bcmnp + n²(pc² + a²r) = 0
বা, (^m/_n)²(pb² + a²q) + 2bcp^m/_n + pc² + a²r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂ হলে,
^m₁/_n₁ × ^m₂/_n₂ = ^{pc² + a²r}/_{pb² + a²q}
⇒ ^m₁m₂/_{^{pc² + a²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}}

এবং pl² + qm² + rn² = 0
বা, pl² + q(-^{al + cn}/_b)² + rn² = 0
বা, pl² + q × ^{(a²l² + 2acln + c²l²)}/_b² + rn² = 0
বা, pl²b² + qa²l² + 2aclnq + c²ql² + b²rn² = 0
বা, l²(pb² + a²q) + 2aclnq + n²(qc² + b²r) = 0
বা, (^l/_n)²(pb² + a²q) + 2bcp^l/_n + qc² + b²r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ^l₁/_n₁ এবং ^l₂/_n₂ হলে,
^l₁/_n₁ × ^l₂/_n₂ = ^{qc² + b²r}/_{pb² + a²q}
⇒ ^l₁l₂/_{^{qc² + b²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}}
∴ ^l₁l₂/_{^{qc² + b²r}} = ^m₁m₂/_{^{pc² + a²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}} = k (ধরি)
∴ l₁l₂ = k(qc² + b²r)
m₁m₂ = k(pc² + a²r)
n₁n₂ = k(pb² + c²r)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 হবে।
বা, k(qc² + b²r) + k(pc² + a²r) + k(pb² + a²q) = 0
বা, k(qc² + b²r + pc² + a²r + pb² + a²q) = 0
বা, qc² + b²r + pc² + a²r + pb² + a²q = 0
বা, a²(q + r) + b²(r + p) + c²(p + q) = 0 (Proved)
PREVIOUS
NEXT
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধানMarch 29, 2025

Matrix S N Dey Solution Part-3January 18, 2024

Matrix S N Dey Solution Part-2December 31, 2023

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্সDecember 17, 2023

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতলDecember 6, 2023

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey SolutionNovember 27, 2023

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাতNovember 19, 2023

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1BNovember 12, 2023

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2November 5, 2023

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-IOctober 15, 2023

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2October 2, 2023

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1September 24, 2023

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2September 17, 2023

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1September 10, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part IIAugust 27, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1August 8, 2023

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.June 10, 2023

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla ScholarshipJune 4, 2023

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াডMarch 23, 2023

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, EligibilityFebruary 11, 2023
November 19, 2023
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2 CLICK HERE
1. Bayes’ উপপাদ্য বিবৃত এবং প্রমাণ করো।
বেজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem)::
একটি ঘটনা X ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটে। এখন যদি শর্তমুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(A₁), P(A₂), P(A₃), …………. P(A_n) এবং শর্তযুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(X/A₁), P(X/A₂),…………….. P (X/A_n) জানা থাকে, তবে সেক্ষেত্রে X ঘটনা ঘটেছে এরূপ শর্তে A_i ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনার মান অর্থাৎ P(A_i/X) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত হয়:
$$\large{P(A/X)\\\quad=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+………+P(A_n)P(X/A_n)}}$$
এটি বেজের (Bayes’) উপপাদ্য রূপে পরিচিত।
প্রমাণ:
∵ A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটনাগুলি সম্পূর্ণ
∴ A₁UA₂UA₃,……………UA_n = S – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
এখন X একটি যে-কোনো ঘটনা হলে
X = S∩X
= [A₁UA₂……………UA_n]∩X
= (A₁∩X)U(A₂∩X)……………U(A_n∩X)
এখানে A₁∩X, A₂∩X……………U(A_n∩X) ঘটনাগুলি পৃথক কারণ A₁, A₂,…………… A_n ঘটনাগুলি পৃথক।
∴ সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য অনুসারে –
P(X) = P(A₁∩X) + P(A₂∩X) + …………… + P(A_n∩X)
= P(A₁)P(X/A₁) + P(A₂)P(X/A₂) + …………… +P(A_n)P(X/A_n) – – – – (i)
আবার সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য অনুসারে –
P(A_i∩X) = P(X)P(A_i/X)
$$\large{\therefore P(A_i/X)=\frac{P(A_i∩X)}{P(X)}\\\quad=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+………+P(A_n)P(X/A_n)}}$$
2. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I : 1 টি সাদা ও 2 টি কালো; বাক্স II : 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III : 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, বাক্স-I, বাক্স-II এবং বাক্স-III নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A₁) = ¹/₁₊₂ = ¹/₃
P(W/A₂) = ²/₂₊₁ = ²/₃
P(W/A₃) = ²/₂₊₂ = ²/₄ = ¹/₂
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_3/W)\\=\frac{P(A_3)P(W/A_3)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)+P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2+4+3}{18}}\\=\frac{1}{6}×\frac{18}{9}=\frac{1}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
3. কোনো বোলটু কারখানায় M₁, M₂, M₃ মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোলটু উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁵/₁₀₀ = ¹/₄
P(A₂) = ³⁵/₁₀₀ = ⁷/₂₀
P(A₃) = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোলটুটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 5% = ⁵/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2% = ²/₁₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₃ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{\quad P(A_3/X)\\=\frac{P(A_3)P(X/A_3)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+P(A_3)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{2}{100}}{\frac{1}{4}×\frac{5}{100}+\frac{7}{20}×\frac{4}{100}+\frac{2}{5}×\frac{2}{100}}\\=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}+\frac{14}{10}+\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{25+28+16}{20}}\\=\frac{4}{5}×\frac{20}{69}\\=\frac{16}{69}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
4. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত হানার সম্ভাবনা কত? যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, E₁, E₂ ও E₃ যথাক্রমে A, B ও C -এর লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার ঘটনা
∴ P(E₁) = ⁴/₅; ∴ P(E^c₁) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
P(E₂) = ³/₄; ∴ P(E^c₂) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
P(E₃) = ²/₃; ∴ P(E^c₃) = 1 – ²/₃ = ¹/₃
কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত করার সম্ভাবনা-
= P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)∪(E₁∩E₂∩E₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃) + P(E₁∩E₂∩E₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃) + P(E₁)P(E₂)P(E₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃ + ⁴/₅×³/₄×²/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12 + 24)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 50
= ⁵/₆ (Ans)

দুটি গুলি আঘাত করার ঘটনা F হলে –
P(F) = P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 26 = ¹³/₃₀
আবার
P(F∩E^c₃)
= P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ⁴/₅×³/₄×¹/₃ = ¹/₅
যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা
= P(E^c₃/F)
$$\large{\quad P(E^c_3/F)\\=\frac{P(E^c_3∩F)}{P(F)}\\=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{13}{30}}\\=\frac{1}{5}×\frac{30}{13}=\frac{6}{13}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
5. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা ও 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান।
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(R/A₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(R/A₂) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₃) = ⁴/₄₊₁ = ⁴/₅
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/W)\\=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)+P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{2+3+4}{15}}\\=\frac{2}{15}×\frac{15}{9}\=\frac{2}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
6. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R
∴ P(R/E₁) = ³/₂₊₃ = ³/₅
P(R/E₂) = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/W)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_2/R)\\=\frac{P(E_2)P(R/E_2)}{P(E_1)P(R/E_1)+P(E_2)P(R/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{27+25}{90}}\\=\frac{5}{18}×\frac{90}{52}=\frac{25}{52}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
7. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানীর দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় যন্ত্রটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂
∴ P(E₁) = 60% = ⁶⁰/₁₀₀ = ³/₅
P(E₂) = 80% = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = 80% = ⁸/₁₀
P(X/E₂) = 90% = ⁹/₁₀
∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_2/X)\\=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(X/E_1)+P(E_2)P(X/E_2)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{9}{10}}{\frac{3}{5}×\frac{8}{10}+\frac{2}{5}×\frac{9}{10}}\\=\frac{18}{24+18}\\=\frac{18}{42}=\frac{3}{7}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
8. একটি থলি A-এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে; অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/E₁) = ¹/₁₊₆ = ¹/₇
P(W/E₂) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇
তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_1/W)\\=\frac{P(E_1)P(W/E_1)}{P(E_1)P(W/E_1)+P(E_2)P(W/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4}{7}}\\=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
9. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M₁, M₂ ও M₃ প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁴/₁₇
P(A₂) = ²⁵⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁵⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁵/₁₇
P(A₃) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ⁴⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁸/₁₇
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 3% = ³/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2.5% = ²⁵/₁₀₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+P(A_3)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{5}{17}×\frac{4}{100}}{\frac{4}{17}×\frac{3}{100}+\frac{5}{17}×\frac{4}{100}+\frac{8}{17}×\frac{25}{1000}}\\=\frac{5×4}{4×3+5×4+4×5}\\=\frac{20}{12+20+20}\\=\frac{20}{52}=\frac{5}{13}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
10. একটি বাক্সে 2টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3টি রৌপ্য মুদ্ৰা আছে অন্য একটি বাক্সে 3টি স্বর্ণ ও 3 রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Solution:
ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ হওয়ার ঘটনা G
∴ P(G/E₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(G/E₂) = ³/₃₊₃ = ³/₆ = ¹/₂
নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/G)
G ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(E_2/G)\\=\frac{P(E_2)P(G/E_2)}{P(E_1)P(G/E_1)+P(E_2)P(G/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4+5}{20}}\\=\frac{1}{4}×\frac{20}{9}\\=\frac{5}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
11. দুটি থলি I ও II আছে। I থলিতে 3 টি সাদা ও 4 টি কালো বল এবং II থলিতে 5 টি সাদা ও 6 টি কালো বল আছে। থলি দুটির একটি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় বলটি সাদা। I থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, I ও II থলি নির্বাচনের ঘটনা A₁ ও A₂
∴ P(A₁) = P(A₂) = ¹/₂
আরও ধরি, থলি থেকে তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/A₁) = ³/₃₊₄ = ³/₇
P(W/A₂) = ⁵/₅₊₆ = ⁵/₁₁
তোলা বলটি সাদা হলে, তা থলি । থেকে তোলার সম্ভাবনা P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/W)\\=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{7}+\frac{1}{2}×\frac{5}{11}}\\=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{33+35}{154}}\\=\frac{3}{14}×\frac{154}{68}\\=\frac{33}{68}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
12. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে—এই ঘটনার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ;
∴ P(R/A₁) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₂) = ⁴/₄₊₅ = ⁴/₉
P(R/A₃) = ²/₂₊₄ = ²/₆ = ¹/₃
উত্তোলিত বলটি লাল হলে, দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₂/R)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_2/R)\\=\frac{P(A_2)P(R/A_2)}{P(A_1)P(R/A_1)+P(A_2)P(R/A_2)+P(A_3)P(R/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{9}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{4}{27}}{\frac{27+20+15}{135}}\\=\frac{4}{27}×\frac{135}{62}\\=\frac{10}{31}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
13. কোনো বিমা কোম্পানী 2000টি স্কুটার এবং 3000টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02 বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, বিমা কোম্পানিটি দ্বারা বিমা করা যানটি স্কুটার ও মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি যানের দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা X
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_2000+3000 = ²⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ²/₅
P(A₂) = ³⁰⁰⁰/_2000+3000 = ³⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ³/₅
আবার,
P(X/A₁) = 0.01; P(X/A₂) = 0.02
∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)}\\=\frac{\frac{3}{5}×0.02}{\frac{2}{5}×0.01+\frac{3}{5}×0.02} \\=\frac{0.6×0.02}{0.4×0.01+0.6×0.02}\\=\frac{6×2}{4×1+6×2}\\=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
14. A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে। ছক্কায় সত্যই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A₁ এবং 5 না পড়ার ঘটনা A₂
∴ P(A₁) = ¹/₆; P(A₂) = ⁵/₆
আরও ধরি, ছক্কা পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা A
P(A/A₁) = ⁸/₁₀ = ⁴/₅
P(A/A₂) = ²/₁₀ = ¹/₅
প্রশ্নানুযায়ী.
নির্ণেয় সম্ভাবনা = P(A₁/A)
A ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে। বেজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/A)\\=\frac{P(A_1)P(A/A_1)}{P(A_1)P(A/A_1)+P(A_2)P(A/A_2)}\\=\frac{\frac{1}{6}×\frac{4}{5}}{\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{5}{6}×\frac{1}{5}}\\=\frac{\frac{4}{30}}{\frac{4+5}{30}}\\=\frac{4}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
15. কোনো Corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4 ; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X
∴ P(A₁) = 0.6; P(A₂) = 0.4
P(X/A₁) = 0.7; P(X/A₂) = 0.3
∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)}\\=\frac{0.4×0.3}{0.6×0.7+0.4×0.3}\\=\frac{4×3}{6×7+4×3}\\=\frac{12}{54}=\frac{2}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
16. একটি বাক্সে 3টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড্‌ পাবার সম্ভাবনা ²/₃এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₂; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
বাক্সটিতে 2টি ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা এবং 1টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা আছে। ধরি, E₁ ও E₂ হল ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা ও ঝোঁকশূন্য মুদ্রা নেওয়ার ঘটনা
∴ P(E₁) = ²/₃ P(E₂) = ¹/₃
আরও ধরি, তিনবার হেড পাওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = ²/₃×²/₃×²/₃ = ⁸/₂₇
∴ P(X/E₂) = ¹/₂×¹/₂×¹/₂ = ¹/₈
তিনবারই হেড পাওয়া গেলে, মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(E_2/X)\\=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(X/E_1)+P(E_2)P(X/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{8}}{\frac{2}{3}×\frac{8}{27}+\frac{1}{3}×\frac{1}{8}}\\=\frac{\frac{1}{3×8}}{\frac{128+27}{3×27×8}}\\=\frac{1}{\frac{155}{27}}=\frac{27}{155}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
KOSHE DEKHI
KOSHE DEKHI
November 12, 2023

error: Content is protected !!