Skip to content

HOME
CLASS–X
MP QUESTION
HS
- HS MATHEMATICS
SCHOLARSHIP
- Government Scholarship
- Private Scholarship
G K
NCERT
- RS AGGARWAL(XI)
- NCERT TEXTBOOK-11

Category: XII-OLD SILLABUS

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution CLICK HERE
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
1. bx – ay = n, cy – bz = l এবং az – cx = m সমতলগুলি একটি সরলরেখায় ছেদ করবে যদি- (a) al + bm + cn = 1 (b) al – bm – cn = 0 (c) al + bm + cn = 0 (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (c) al + bm + cn = 0
[al + bm + cn = 0; bx – ay = n এবং cy – bz = l সমতল দুটির ছেদক সরলরেখাগামী সমতলের সমীকরণ –
(bx – ay – n) + λ(cy – bz – l) = 0
⇒ bx + (λc – a)y – λbz – n – λl = 0 – – – (i)
az – cx = m
⇒ – cx + az – m = 0 – – – (ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
b = -c
⇒ c = -b;
λc – a = 0
⇒ λc = a
⇒ λ = ^a/_c;
-λb = a
⇒ λb = -a
⇒ λ = –^a/_b;
– n – λl = – m
⇒ n + λl = m
⇒ n + a/c×l = m – – – [∵ λ = ^a/_c]
⇒ cn + al = cm
⇒ cn + al = -bm – – – [∵ c = -b]
⇒ cn + al + bm = 0
⇒ al + bm + cn = 0]
2. ^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ সরলরেখা, x – 2y + z = 20 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল-
(a) (8, 7, 26) (b) (-8, 7, 26) (c) (8, -7, 26) (d) (8, 7, -26)

Ans: (a) (8, 7, 26)
[^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ = t (ধরি)
∴ x = 3t + 2 ;
y = 4t – 1;
z = 12t + 2
(3t + 2, 4t – 1, 12t + 2) বিন্দুটি x – 2y + z = 20 সমতলে অবস্থিত।
∴ 3t + 2 – 2(4t – 1) + 12t + 2 = 20
বা, 3t + 2 – 8t + 2 + 12t + 2 = 20
বা, 7t = 14
বা, t = 2
বিন্দুটি হল (3.2 + 2, 4.2 – 1, 12.2 + 2) বা, (8, 7, 26)]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
3. (2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা xy সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল
(a) (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0) (c) (¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0)
[(2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6
ধরি, ^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6 =t
∴ x = t + 2;
y = 7t – 3;
z = -6t + 1
xy সমতলের সমীকরণ z=0
(t + 2, 7t – 3, -6t + 1) বিন্দু z = 0 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ -6t + 1 = 0
বা, t = ¹/₆
বিন্দুটি হল (¹/₆ + 2, 7.¹/₆ – 3, -6.¹/₆ + 1) বা, (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0)]
4. (1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখা 3x + 2y + z = 6 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল- (a) (-3, -2, -1) (b) (3, -2, 1) (c) (-3, 2, 1) (d) (3, 2, 1)

Ans: (b) (3, -2, 1)
[(1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1
ধরি, ^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1 = t
∴ x = 2t + 1;
y = -3t + 1;
z = -t + 2
(2t + 1, -3t + 1, -t + 2) বিন্দু 3x + 2y + z = 6 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ 3(2t + 1) + 2(-3t + 1) – t + 2 = 6
⇒ 6t + 3 – 6t + 2 – t + 2 = 6
⇒ -t = 6-7
⇒ t = 1
বিন্দুটি হল (2.1 + 1, -3.1 + 1, -1 + 2) বা, (3, -2, 1)]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
5. একটি সমতল অক্ষত্রয়কে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a, a, a) হলে সমতলের সমীকরণ হয় x + y + z = p; তাহলে, p-এর মান হবে-
(a) 6a (b) -3a (c) 0 (d) 3a

Ans: (d) 3a
[সমতলের সমীকরণ হয়
x + y + z = p
⇒ ^x/_p + ^y/_p + ^z/_p = 1
∴ A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (p, 0, 0), (0, p, 0) ও (0, 0, p)
∴ ^p+0+0/₃=a
⇒ p = 3a]
6. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য হবে?
(a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
(b) যে সমতল (3, 4, -1) বিন্দুগামী এবং r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 7 = 0 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 10 = 0
(c) x – y + 2z = 5 এবং 3x + y + z = 6 সমতল দুটির ছেদক সরলরেখার সমীকরণ হয় ^4x-11/₃ = ^4y+9/₅ = ^z-0/₁
(d) ^x+3/₂ = ^y-4/₃ = ^z+5/₂সরলরেখা এবং 4x – 2y – z = 1 সমতল পরস্পর লম্ব।

Ans: (a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
7. (2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2 হলে, সমতলের সমীকরণ হবে-
(a) 5x – 3y – 2z = 21 (b) 5x + 3y + 2z = -21
(c) 5x + 3y + 2z = 21 (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (c) 5x + 3y + 2z = 21
[(2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2;
∴ সমতলের সমীকরণ হবে –
5(x – 2) + 3(y – 3) + 2(z – 1) = 0
⇒ 5x – 10 + 3y – 9 + 2z – 2 = 0
⇒ 5x + 3y + 2z = 21]
8. সরলরেখা 3x – 2y + z +3 = 0 = 4x – 3y + 4z +1 যদি 2x – y + mz – 2 = 0-এর সমান্তরাল হয়, তবে m-এর মান হবে-
(a) -2 (b) 8 (c) 18 (d) 11

Ans: (a) -2
[3x – 2y + z +3 = 0
4x – 3y + 4z +1 = 0
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\3\quad -2\quad\quad 1\\4\quad -3\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad}$$
= î(-8 + 3) – ĵ(12 – 4) + k̂(-9 + 8)
= -5î – 8ĵ – k̂
-5î – 8ĵ – k̂ ভেক্টরটি 2x – y + mz – 2 = 0-এর উপর লম্ব।
∴ -5×2 + (-8)×(-1) + (-1)×m = 0
⇒ -10 + 8 – m = 0
⇒ -2 – m = 0
∴ m = -2]
9. r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান হবে-
(a) ^q/_î.n̄ (b) ^î.n̄/_q (c) –^î.n̄/_q (d) ^q/_|n̄|

Ans: (a) ^q/_î.n̄
[ধরি r̄ = xî + yĵ + zk̂ এবং n̄ = n₁î + n₂ĵ + n₃k̂
∵ r̄.n̄ = q
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(n₁î + n₂ĵ + n₃k̂) = q
$$\large{⇒n_1x+n_2y+n_3z=q\\⇒\frac{n_1x+n_2y+n_3z}{q}=0\\⇒\frac{x}{\frac{q}{n_1}}+\frac{y}{\frac{q}{n_2}}+\frac{z}{\frac{q}{n_3}}=1}$$
r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান ^q/_n₁ = ^q/_în̄]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
10. r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ – 3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
(a) ¹/_√38(2î + 5ĵ – 3k̂) (b) ¹/_√38(2î – 5ĵ + 3k̂)
(c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂) (d) ¹/_√38(-2î + 5ĵ – 3k̂)

Ans: (c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂)
[r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ -3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের অভিলম্ব ভেক্টর î – ĵ + k̂ ও 2î + ĵ -3k̂;
ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল ভেক্টর n̄ হলে n̄ = (î – ĵ + k̂)×(2î + ĵ -3k̂)
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 1\quad -3\end{vmatrix}\\\quad}$$
= î(3 – 1) – ĵ(-3 – 2) + k̂(1 + 2)
= 2î + 5ĵ + 3k̂
ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
$$\large{\quad\frac{2\hat i+5\hat j+3\hat k}{|2\hat i+5\hat j+3\hat k|}\\=\frac{1}{\sqrt{2^2+5^2+3^2}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)\\=\frac{1}{\sqrt{38}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)]}$$
11. r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r̄.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি-
(a) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ = q হয় (b) b̄.n̄ ≠ 0, ā.n̄ ≠ q হয় (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয় (d) b̄.n̄ ≠0, ā.n̄ = q হয়

Ans: (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয়
[r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি তারা পরস্পর সমান্তরাল হয় অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্ত্তী কোণ 0° হয়।
sinθ = ^b̄.n̄/_|b̄||n̄|
⇒ ^b̄.n̄/_|b̄||n̄| = 0 হবে যদি b̄.n = 0 হয়৷]
12. r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলকে -2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা-
(a) 1 : 5 (b) 1 : 10 (c) 3 : 5 (d) 3 : 10

Ans: (d) 3 : 10
[r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলের কার্তেসীয় সমীকরন
(xî +yĵ + zk̂)(î – 2ĵ + 3k̂) = 17
বা, x – 2y + 3z = 17
-2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8)
ধরি, (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা x – 2y + 3z = 17 সমতলকে n : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (^3n-2/_n+1, ^-5n+4/_n+1, ⁸ⁿ⁺⁷/_n+1)
বিন্দুটি x – 2y + 3z = 17 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ ^3n-2/_n+1 -2(^-5n+4/_n+1) + 3(⁸ⁿ⁺⁷/_n+1) = 17
বা, 3n – 2 – 2(-5n + 4) + 3(8n + 7) = 17(n + 1)
বা, 3n – 2 +10n – 8 + 24n + 21 = 17n + 17
বা, 37n + 11 = 17n + 17
বা, 20n = 6
বা, 10n = 3
বা, n = ³/₁₀
∴ n : 1 = 3 : 10]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
13. ^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
(a) k = 1 বা -1 হয় (b) K =0 বা -3 হয়
(c) k = 3 বা -3 হয় (d) k = 0 বা -1 হয়

Ans: (b) K =0 বা -3 হয়
[^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-x_1\quad y-y_1\quad z-z_1\\a_1\quad\quad\quad b_1\quad\quad\quad c_1\\a_2\quad\quad\quad b_2\quad\quad\quad c_2\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}1-2\quad 4-3\quad 5-4\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}-1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 1\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\}$$
⇒ -1(1 +2k) -1(1 + k²) +1(2 – k) = 0
⇒ -1 – 2k -1 – k² + 2 – k = 0
⇒ -3k – k² = 0
⇒ k² + 3k = 0
⇒ k(k + 3) = 0
k = 0; k = -3]
14. যে সমতলের ওপর ^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখা এবং (3, 2, 0) বিন্দুটি অবস্থিত তার সমীকরণ হয়-
(a) x – y + z = 1 (b) x + y + z = 5
(c) x + 2y – z = 1 (d) 2x – y + z = 5

Ans: (a) x – y + z = 1
[^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখাটি (3, 6, 4) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাত 1, 5, 4
আবার (3, 6, 4) ও (3, 2, 0) এর দিক অনুপাত (3 – 3), (6 – 2), (4 – 0) বা, 0, 4, 4;
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\0\quad\quad 4\quad\quad 4\\1\quad\quad 5\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(16-20)-\hat j(0-4)+\hat k(0-4)}$$
⇒ -4î + 4ĵ – 4k̂
⇒ -4(î – ĵ + k̂)
নির্ণেয় সমীকরণ –
r̄.n̄ = â.n̄
যেখানে r̄ = xî + yĵ + zk̂
এবং â = (3î + 2ĵ)
∴ (xî + yĵ + zk̂).-4(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).-4(î – ĵ + k̂)
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).(î – ĵ + k̂)
⇒ x – y + z = 3 – 2 = 1]
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. 4x + 3y – 6z – 12 = 0 সমতলের সমীকরণটিকে ছেদিতাংশ আকারে প্রকাশ করো এবং সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা লেখো।

Solution:
4x + 3y – 6z – 12 = 0
⇒ 4x + 3y – 6z = 12
⇒ ^4x/₁₂ + ^3y/₁₂ – ^6z/₁₂ = 1
⇒ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলের ছেদিতাংশ আকারের সমীকরণ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা হল যথাক্রমে 3 একক, 4 একক ও 2 একক।
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
2. 2x – y + 2z = 5 সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর এবং অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
সমতলটির সমীকরণ 2x – y + 2z = 5
Ans: সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর 2î – ĵ + 2k̂

অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর
$$\large{=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{|2\hat i-\hat j+2\hat k|}\\=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\\= \frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{4+1+4}}\\=\frac{1}{3}(2\hat i-\hat j+2\hat k)}$$
Ans: সমতলটির অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর ¹/₃(2î – ĵ + 2k̂)
3. প্রদত্ত সমতলগুলির স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ [r̄.n̄ = d] নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (2î – k̂) + λî + μ(î – 2ĵ – k̂)
(ii) r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
(iii) r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)

(i)
Solution:
(i) প্রদত্ত তলটি (2î – k̂) বিন্দুগামী এবং î ও (î – 2ĵ – k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad\quad \hat j\quad\quad\quad\hat k\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\\1\quad\quad -2\quad\quad -1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0-0)-\hat j(-1-0)+\hat k(-2-0)\\=\hat j-2\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(ĵ – 2k̂) = (2î – k̂).(ĵ – 2k̂)
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 0+0+2
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 2
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(ĵ – 2k̂) = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
= (î + 2ĵ + 3k̂) + s(î – ĵ – 2k̂) + t(-î + 2k̂)
প্রদত্ত তলটি (î + 2ĵ + 3k̂) বিন্দুগামী এবং (î – ĵ – 2k̂) ও (-î + 2k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad -2\\-1\quad\quad 0\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(-2-0)-\hat j(-2-2)+\hat k(0-1)\\=-2\hat i-\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(-2î – k̂) = (-2î – k̂).(î + 2ĵ + 3k̂)
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -2 + 0 – 3
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -5
⇒ r̄.(2î + k̂) = 5
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(2î + k̂) = 5

(iii)
Solution:
r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)
প্রদত্ত তলটি (î – ĵ) বিন্দুগামী এবং (î + ĵ + k̂) ও (4î – 2ĵ + 3k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad\quad 1\quad\quad 1\\4\quad\quad -2\quad\quad 3\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(3+2)-\hat j(3-4)+\hat k(-2-4)\\=5\hat i+\hat j -6\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = (î – ĵ).(5î + ĵ – 6k̂)
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 5 – 1 + 0
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
4. প্রদত্ত সমতলগুলির কার্তেসিয় আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
(ii) r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂

(i)
Solution:
r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
∴ n̄ = (-î + ĵ + 2k̂)×(î + 2ĵ + k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\-1\quad 1\quad2\\1\quad\quad 2\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(1-4)-\hat j(-1-2)+\hat k(-2-1)\\=-3\hat i+3\hat j-3\hat k\\=3(-\hat i+\hat j-\hat k)}$$
∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.3(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).3(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = – 1 – 1 + 0
⇒ -r̄.(î – ĵ + k̂) = – 2
⇒ r̄.(î – ĵ + k̂) = 2
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = 2
⇒ x – y + z = 2
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ x – y + z = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
⇒ r̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) +s(î – ĵ – 2k̂) + t(î + ĵ + 2k̂)
∴ n̄ = (î – ĵ – 2k̂)×(î + ĵ + 2k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad-2\\1\quad\quad 1\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(-2+2)-\hat j(2+2)+\hat k(1+1)\\=-4\hat j+2\hat k}$$
∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.(-4ĵ + 2k̂) = (î + 2ĵ + 3k̂).(-4ĵ + 2k̂)
⇒ 2r̄.(-2ĵ + k̂) = 2(î + 2ĵ + 3k̂).(-2ĵ + k̂)
⇒ r̄.(-2ĵ + k̂) = 0 – 4 +3
⇒ -r̄.(2ĵ – k̂) = -1
⇒ r̄.(2ĵ – k̂) = 1
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(2ĵ – k̂) = 1
⇒ 0 + 2y – z = 1
⇒ 2y – z = 1
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ 2y – z = 1
5. প্রদত্ত সমতলগুলির নন-প্যারামেট্রিক আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
(ii) r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)

(i)
Solution:
r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
⇒ r̄ = 3ĵ + λ(î + 2k̂) + μ(-2î – ĵ + k̂)
∴ n̄ = (î + 2k̂)×(-2î – ĵ + k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 0\quad\quad 2\\-2\quad -1\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0+2)-\hat j(1+4)+\hat k(-1+0)\\=2\hat i-5\hat j-\hat k}$$
∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = 3ĵ.(2î – 5ĵ – k̂)
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = -15
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0

(ii)
Solution:
r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)
∴ n̄ = (î + 2ĵ + 3k̂)×(5î – 2ĵ + 7k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 2\quad\quad 3\\5\quad -2\quad\quad 7\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(14+6)-\hat j(7-15)+\hat k(-2-10)\\=20\hat i+8\hat j-12\hat k}$$
∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(20î + 8ĵ – 12k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(20î + 8ĵ – 12k̂)
⇒ 4r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 4(2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 10 + 4 + 3
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
6. 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂ বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂
∴ AB = 2î – 2ĵ – k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 2î – 2ĵ – k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= -î – 6ĵ – 3k̂
AC = 7î + 6k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 7î + 6k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= 4î – 4ĵ + 4k̂
সমতলটির ওপর A, B ও C বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
∴ সমতলটির ওপর AB, AC অবস্থিত
∴ সমতলটির অভিলম্ব ভেক্টর হল –
$$\large{\therefore \vec {AB}×\vec{AC}=\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\-1\quad -6\quad -3\\4\quad -4\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad=\hat i(-24-12)-\hat j(-12+4)+\hat k(4+24)\\\quad=-36\hat i-8\hat j+28\hat k}$$
A বিন্দুগামী ĀB̄×ĀC̄ ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টরের সমীকরণ হল –
r̄.(-36î – 8ĵ + 28k̂) = (-36î – 8ĵ + 28k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ -4r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = -4(9î – 2ĵ + 7k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 27 – 8 + 14
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
Ans: নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1)

Solution:
(2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\4-2\quad -1-3\quad 2-4\\-3-2\quad 5-3\quad 1-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\2\quad -4\quad -2\\-5\quad\quad 2\quad -3\end{vmatrix}=0}$$
⇒ (x – 2)(12 + 4) – (y – 3)(-6 – 10) + (z – 4)(4 – 20) = 0
⇒ 16(x – 2) + 16(y – 3) – 16(z – 4) = 0
⇒ 16[(x – 2) + (y – 3) – (z – 4)] = 0
⇒ x – 2 + y – 3 – z + 4 = 0
⇒ x + y – z = 1
Ans: (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ x + y – z = 17.
7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(ii) (3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0)

Solution:
(3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\1-3\quad 1-3\quad 1-0\\0-3\quad -1-3\quad 0-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\-2\quad -2\quad\quad 1\\-3\quad\quad -4\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$
⇒ (x – 3)(0 + 4) – (y – 3)(0 + 3) + (z – 0)(8 – 6) = 0
⇒ 4(x – 3) – 3(y – 3) + 2z = 0
⇒ 4x – 12 – 3y + 9 + 2z = 0
⇒ 4x – 3y + 2z = 3
Ans: ((3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ 4x – 3y + 2z = 3
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(i) (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1)

Solution:
(3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\4-3\quad 5-9\quad 1-4\\-4-3\quad 4-9\quad 4-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\1\quad -4\quad -3\\-7\quad -5\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒(x-3)(0-15)-(y-9)(0-21)+(z-4)(-5-28)=0\\⇒-15(x-3)+21(y-9)(0-21)-33(z-4)=0—(i)}$$
(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (0, -1, -1) বসিয়ে পাই,
-15(0 – 3) + 21(-1 – 9) – 33(-1 – 4)
= -15×(-3) + 21×(-10) – 33×(-5)
= 45 – 210 + 165
= -165 + 165
= 0
(0, -1, -1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)
8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(ii) (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1)

Solution:
(-1, -5, -3), (1, 1, -1) ও (0, 4, 3) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\1+1\quad 1+5\quad -1+3\\0+1\quad 4+5\quad 3+3\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\2\quad\quad\quad 6\quad\quad\quad 2\\1\quad\quad\quad 9\quad\quad\quad 6\end{vmatrix}=0\\⇒(x+1)(36-18)-(y+5)(12-2)+(z+3)(18-6)=0\\⇒18(x+1)-10(y+5)+12(z+3)=0 – – – (i)}$$
(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (-2, -2, 1) বসিয়ে পাই,
18(-2 + 1) -10(-2 + 5) + 12(1 + 3)
= 18×(-1) – 10×3 + 12×4
= -18 – 30 + 48
= -48 +48
= 0
(-2, -2, 1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)
9. (2, 3, -1) বিন্দুগামী যে সমতল তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমতলটি তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে a একক দূরত্বে ছেদ করে।
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_a + ^z/_a = 1
⇒ ^x+y+z/_a = 1
⇒ x + y + z = a – – – (i)
(i) নং সমতলটি (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2 + 3 – 1 = a
∴ a = 4
Ans: সমতলটির সমীকরণ x + y + z = 4
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
10. x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটি পরস্পর পরস্পরের ওপর লম্ব হলে K-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ হল 1, K, 5 ও 3, -2, K;
সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সমতল দুটির অভিলম্ব দুটিও লম্ব হবে।
∴ 1×3 + K×(-2) + 5×K =0
⇒ 3 – 2K + 5K = 0
⇒ 3K= -3
⇒ K= -1
Ans: K-এর মান -1
11. কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি △LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3) হয়, তবে সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক, b একক ও c একক ছেদ করে।
∴ L, M ও N বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে যথাক্রমে (a, 0, 0), (0, b, 0), ও (0, 0, с)
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1
△LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3)
∴ ^a+0+0/₃ = 1 ⇒ a = 3
^0+b+0/₃ = -2 ⇒ b = -6
∴ ^0+0+c/₃ = 3 ⇒ c = 9
∴ সমতলটির সমীকরণ
= ^x/₃ + ^y/_-6 + ^z/₉ = 1
= ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1
Ans: নির্ণেয় সমতলটির সমীকরণ ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1
12. (2, 1, -1) বিন্দুগামী যে সমতল x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c.
নির্নেয় সমতলটি x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব।
∴ a – b + c = 0;
3a + 4b – 2c =0
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_2-4 = ^b/₃₊₂ = ^c/₄₊₃ = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₅ = ^c/₇ = k
⇒ a = -2k; b = 5k; c = 7k
(2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ হল –
a(x – 2) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0
⇒ -2k(x – 2) + 5k(y – 1) + 7k(z + 1) = 0
⇒ -2(x – 2) + 5(y – 1) + 7(z + 1) = 0
⇒ -2x + 4 + 5y – 5 + 7z + 7 = 0
⇒ -2x + 5y + 7z + 6 = 0
⇒ 2x – 5y – 7z = 6
Ans: (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ 2x – 5y – 7z = 6
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
13. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5z + 4 = 0

Ans: 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 3, 4, -5
(1, 2, 3) বিন্দুগামী 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
3(x – 1) + 4(y – 2) + (-5)(z – 3) = 0
⇒ 3x – 3 + 4y – 8 – 5z + 15 = 0
⇒ 3x + 4y – 5z + 4 = 0
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 3x + 4y – 5z + 4 = 0 (Proved)
14. প্রমাণ করো যে, (2, -3, 5) বিন্দুগামী যে সমতল yz সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হবে x = 2 ।

Ans:
yz সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
(2, -3, 5) বিন্দুগামী yz সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
1(x – 2) + 0(y + 3) + 0(z – 5) = 0
⇒ x – 2 = 0
⇒ x = 2
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ: x = 2 (Proved)
15. 2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে সমতলের x, y ও z-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের সমষ্টি 19 একক, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে কোনো সমতলের সমীকরণ –
2x + 4y + 5z = k
⇒ ^2x/_k + ^4y/_k + ^5z/_k = 1₂₄₅
⇒ ^x/_k/₂ + ^y/_k/₄ + ^z/_k/₅ = 1
সমতলটি x, y ও z-অক্ষ থেকে যথাক্রমে ^k/₂, ^k/₄ ও ^k/₅ একক ছিন্ন করে।
প্রশ্নানুযায়ী,
^k/₂ + ^k/₄ + ^k/₅ = 19
⇒ ^10k+5k+4k/₂₀ = 19
⇒ ^19k/₂₀ = 19
⇒ k = 20
Ans: নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 2x + 4y + 5z = 20
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. P(3, 2, 1) বিন্দু থেকে 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব কত? অতঃপর উক্ত সমতলের সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল Q(α, β, γ)
∵ পাদবিন্দুটি 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অবস্থিত।
∴ 2α – β + γ + 1 = 0 – – – (i)
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2, 1)
∴ PQ-এর দিক্ অনুপাত α – 3, β – 2, γ – 1
আবার, 2x – y + z + 1 = 0 সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাত 2, -1, 1 PQ সরলরেখাংশ সমতলটির ওপর লম্ব।
$$\large{\therefore\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2(α-3)-(β-2)+(γ-1)}{2×2-(-1)+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2α-6-β+2+γ-1}{4+1+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{2α-β+γ-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{-1-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=-1\\\therefore\frac{α-3}{2}=-1\quad ⇒α=1\\\quad\frac{β-2}{-1}=-1\quad ⇒β=3\\\quad\frac{γ-1}{1}=-1\quad ⇒γ=0}$$
Ans: পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 0)
∴ পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব
$$\large{=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2+(1-0)^2}\\=\sqrt{4+1+1}\\=\sqrt{6}}$$
Ans: অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব √6 একক।

ধরি, সমতলটির সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব R (x₁, y₁, z₁)
∴ PR-এর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (^3+x₁/₂, ^2+y₁/₂, ^1+z₁/₂
∴ ^3+x₁/₂ = 1 ⇒ 3 + x₁ = 2 ⇒ x₁ = -1;
^2+y₁/₂ = 3 ⇒ 2 + y₁ = 6 ⇒ y₁ = 4;
^1+z₁/₂ = 0 ⇒ 1 + z₁ = 0 ⇒ z₁ = -1
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 4, -1)
2. প্রমাণ করো যে, (1, 2, 1), (-2, 2, -1) ও (1, 1, 0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)

Solution:
ধরি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হল A(1, 2, 1), B(-2, 2, -1) ও C(1, 1, 0)
$$\large{\therefore AB=\sqrt{(-2-1)^2+(2-2)^2+(-1-1)^2}\\\quad=\sqrt{9+0+4}\\\quad=\sqrt{13}\\BC=\sqrt{(1+2)^2+(1-2)^2+(0+1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{9+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{11}\\CA=\sqrt{(-1-1)^2+(2-1)^2+(0-1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{0+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{2}\\\therefore BC^2+CA^2\\\quad\quad=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2\\\quad\quad=11+2\\\quad\quad=13\\\quad\quad=(\sqrt{13})^2\\\quad\quad=AB^2}$$
∴ ∆ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ হল AB।
আবার সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
∴ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র
= AB-এর মধ্যবিন্দু
= (^1-2/₂, ²⁺²/₂, ^1-1/₂)
= (-¹/₂, 2, 0)
Ans: ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
3. (3, 1, 1) এবং (1, -2, 3) বিন্দুগামী যে সমতলগুলি x, y ও z-অক্ষের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
x-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং x -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$
∴ (x – 3)(0 – 0) – (y – 1)(0 + 2) + (z – 1)(0 – 3) = 0
⇒ 0 – 2(y – 1) – 3(z – 1) = 0
⇒ -2y + 2 – 3z + 3 = 0
⇒ -2y – 3z + 5 = 0
⇒ 2y + 3z = 5
Ans: x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 2y + 3z = 5

y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
y-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং y -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\}$$
∴ (x – 3)(0 + 2) – (y – 1)(0 + 0) + (z – 1)(2 – 0) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2x – 6 + 2z – 2 = 0
⇒ 2x + 2z – 8 = 0
⇒ x + z – 4 = 0
⇒ x + z = 4
Ans: y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ x + z = 4

z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
z-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং z -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0}$$
∴ (x – 3)(3 – 0) – (y – 1)(2 – 0) + (z – 1)(0 – 0) = 0
⇒ 3(x – 3) – 2(y – 1) + 0 = 0
⇒ 3x – 9 – 2y + 2 = 0
⇒ 3x – 2y – 7 = 0
⇒ 3x – 2y = 7
Ans: z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 3x – 2y = 7
4. মূলবিন্দু থেকে যে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1), তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দু থেকে সমতলটির ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1)
∴ সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 0), (-1 – 0) অর্থাৎ 2, 3, -1
∴ ধরি, সমতলটির সমীকরণ 2x + 3y – z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2×2 + 3×3 – (-1) = d
⇒ 4 + 9 + 1 = d
⇒ d =14
Ans: সমতলটির সমীকরণ হল 2x + 3y – z = 14
5. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5c = 3 সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5c = -4

Solution:
3x + 4y – 5c = 0 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল 3x + 4y – 5z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (1, 2, 3) বিন্দুগামী।
∴ 3×1 + 4×2 – 5×3 = d
⇒ 3 + 8 – 15 = d
⇒ d = -4
সমতলটির সমীকরণ হল 3x +4y – 5z = -4 (Proved)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
6. (1, 1, 2) এবং (2, 4, 3) বিন্দুগামী যে সমতল x – 3y + 7z = 6 সমতলের ওপর লম্ব, তার কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো এবং কার্তেসিয় সমীকরণটিকে ভেক্টর সমীকরণে রূপান্তরিত করো।

Solution:
(1, 1, 2) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
সমতলটি (2, 4, 3) বিন্দুগামী।
∴ a(2 – 1) + b(4 – 1) + c(3 – 2) = 0
⇒ a + 3b + c = 0 – – – (ii)
(i) নং সমতলটি x – 3y + 7z = 6 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×1 + b×(-3) + c×7 = 0
⇒ a – 3b + 7c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₂₁₊₃ = ^b/_1-7 = ^c/_-3-3 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₂₄ = ^b/_-6 = ^c/_-6 = k
⇒ ^a/₄ = ^b/_-1 = ^c/_-1 = k
⇒ a = 4k; b = -k; c = -k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 4k(x – 1) + (-k)(y – 1) + (-k)(z – 2) = 0
⇒ 4(x – 1) – (y – 2) – (z – 3) = 0
⇒ 4x – 4 – y + 2 – z + 3 = 0
⇒ 4x – y – z + 1 = 0
Ans: সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ 4x – y – z + 1 = 0
সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ হল –
(xî + yĵ + 4k̂).(4î – ĵ – k̂) = 1
⇒ r̄..(4î – ĵ – k̂) = 1
Ans: সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(4î – ĵ – k̂) = 1
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
7. প্রমাণ করো (1, 2, 3) ও (3, 2, -1) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 6y + z + 7 = 0

Solution:
(1, 2, 3) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 2) + c(z – 3) = 0 – – – (i)
সমতলটি (3, 2, -1) বিন্দুগামী।
∴ a(3 – 1) + b(2 – 2) + c(-1 – 3) = 0
⇒ 2a – 4c = 0
⇒ 2a + 0b – 4c = 0 – – – (ii)

(i) নং সমতলটি 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×3 + b×2 + c×6 = 0
⇒ 3a + 2b + 6c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₀₊₈ = ^b/_-12-12 = ^c/_4-0 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₈ = ^b/_-24 = ^c/₄ = k
⇒ ^a/₂ = ^b/_-6 = ^c/₁ = k
⇒ a = 2k; b = -6k; c = k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 2k(x – 1) + (-6)k(y – 2) + k(z – 3) = 0
⇒ 2(x – 1) – 6(y – 2) + (z – 3) = 0
⇒ 2x – 2 – 6y + 12 + z – 3 = 0
⇒ 2x – 6y + z + 7 = 0 (Proved)
8. প্রমাণ করো (-1, 3, 2) বিন্দুগামী যে সমতলটি x + 2y + 2z = 5 ও 3x + 3y + 2z + 8 = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 4y + 3z + 8 = 0

Solution:
(−1, 3, 2) বিন্দুগামী একটি সমতলের সমীকরণ হল –
a(x + 1) + b(y – 3) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
(i) নং সমতলটি x + 2y + 2z = 5 এবং 3x + 3y + 2z + 8 = 0সমতল দুটির সাথে লম্ব।
∴ a + 2b + 2c = 0 – – – (ii)
3a + 3b + 2c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_4-6 = ^b/_6-2 = ^c/_3-6 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₄ = ^c/_-3 = k
⇒ a = -2k; b = 4k; c = -3k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ -2k(x + 1) + 4k(y – 3) + (-3k)(z – 2) = 0
⇒ -2(x + 1) + 4(y – 3) – 3(z – 2) = 0
⇒ -2x – 2 + 4y – 12 – 3z + 6 = 0
⇒ -2x + 4y – 3z – 8 = 0
⇒ 2x – 4y + 3z + 8 = 0 (Proved)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
9. দেখাও যে, ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব।

Solution:
ax + by + r = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, b, 0
xy-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
এখন a×0 + b×0 + 0×1 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

by + cz + p = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, b, c
yz-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
এখন 0×1 + b×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

cz + ax + q = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, 0, c
zx-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
এখন a×0 + 1×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব। (Proved)
Utube_comptech_prostuti2022
10. মূলবিন্দুগামী কোনো সমতল (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে, প্রমাণ করো যে, ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1

Solution:
সমতলটি মূলবিন্দুগামী।
∴ কোনো সমতল (0, 0, 0), (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে,
$$\large{\therefore\begin{vmatrix}2-x-0\quad\quad 2-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-y-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-0\quad\quad 2-z-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}2-x\quad 2\quad\quad 2\\2\quad\quad 2-y\quad 2\\2\quad\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}-x\quad y\quad 0\\0\quad -y\quad z\\2\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\\ \quad\quad\quad — [R_1^!=R_1-R_2;R_2^!=R_2-R_3]}$$
⇒ -x(-2y + yz – 2z) -y(0 – 2z) = 0
⇒ 2xy -xyz + 2zx +2yz = 0
⇒ 2xy + 2zx +2yz = xyz
⇒ ^2xy/_xyz + ^2zx/_xyz + ^2yz/_xyz = 1
⇒ ²/_z + ²/_y + ²/_x = 1
⇒ ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1 (Proved)
11. মনে করো, একটি ভেক্টর n̄ অক্ষগুলির সঙ্গে সমান কোণ (θ ≤ 90°) উৎপন্ন করে এবং ভেক্টরটির মান 2√3 । (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলটির ভেক্টর এবং কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, n̄ ভেক্টরটি অক্ষগুলির সাথে θ (θ ≤ 90°) কোণ উৎপন্ন করে।
∴ n̄ = 2√3(îcosθ + ĵcosθ + k̂cosθ)
আবার, cos²θ + cos²θ + cos²θ =1
⇒ 3cos²θ = 1
⇒ cos²θ = ¹/₃
⇒ cosθ = ¹/_√3 – – – [∵ θ ≤ 90°]
∴ n̄ = 2√3(^î/_√3 +^ĵ/_√3 + ^k̂/_√3)
⇒ n̄ = 2î + 2ĵ + 2k̂
∴ (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n̄ ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ
n̄.{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ (2î + 2ĵ + 2k̂).{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2î + 2ĵ + 2k̂).(î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2 – 2 + 4) = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – 4 = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) = 4
⇒ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 – – – (i)
∴ সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 (Ans)
(i) নং সমীকরণে r̄ = xî + yĵ + zk̂ বসিয়ে পাই,
(xî + yĵ + zk̂).(î + ĵ + k̂) = 2
⇒ x + y + z = 2
∴ সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ x + y + z = 2 (Ans)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
12. মনে করো, P(α, β, γ) বিন্দুগামী কোনো সমতল তিনটি অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে এবং O মূলবিন্দু থেকে সমতলটির ওপর OP লম্ব। প্রমাণ করো যে, LMN ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ^r⁵/_2αβγ যেখানে |ŌP̄| = r
Solution:
OP-এর দিক অনুপাতসমূহ (α – 0), (β – 0), (γ – 0) অর্থাৎ α, β, γ
এবং |ŌP̄| = r
⇒ √(α² + β² + γ²) = r
⇒ α² + β² + γ² = r² – – – (i)
OP সমতলটির ওপর লম্ব।^r²/_αβγ
(α, β, γ) বিন্দুগামী এবং OP-এর ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ –
α(x – α) +β(y – β) + γ(z – γ) = 0
⇒ αx – α² + βy – β² + γz – γ² = 0
⇒ αx + βy + γz = α² + β² + γ²
⇒ αx + βy + γz = r² – – – [(i) থেকে পাই]
⇒ ^x/_{^r²/_α} + ^y/_{^r²/_β} + ^z/_{^r²/_γ} = 1
∴ L, M ও N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (^r²/_α, 0, 0), (0, ^r²/_β, 0) ও (0, 0, ^r²/_γ)
∴ OL-এর দিক অনুপাতসমূহ ^r²/_α, 0, 0
OM-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, ^r²/_β, 0
এবং ON-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, ^r²/_γ
OLMN চতুস্তলকটির আয়তন
$${\large=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}\frac{r^2}{α}\quad 0\quad 0\\0\quad \frac{r^2}{β}\quad 0\\0\quad 0\quad \frac{r^2}{γ}\end{vmatrix}\\=\frac{r^2}{α}(\frac{r^2}{β}×\frac{r^2}{γ})\\=\frac{r^6}{6αβγ}}$$
আবার, OLMN-এর আয়তন
= ¹/₃×ŌP̄×△LMN
= ¹/₃×r×△LMN
∴ ¹/₃×r×△LMN = ^r⁶/_6αβγ
⇒ △LMN = ^r⁵/_2αβγ (Proved)
13. একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু থেকে 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে ও অক্ষগুলিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, L, M ও N বিন্দুগামী xy, yz ও zx সমতল তিনটির সমান্তরাল সমতলগুলির ছেদবিন্দুর গতিপথ হবে
$$\large{\mathbf{9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}}\\}$$
Solution:
ধরি, L, M ও N বিন্দুগামী সমতল তিনটির ছেদবিন্ii
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
∴ L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) সমতলের দূরত্ব 3p একক
$$\large{\therefore \frac{|\frac{0}{α}+\frac{0}{β}+\frac{0}{γ}-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒3p\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}=1\\⇒9p^2\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=1\\⇒9\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=\frac{1}{p^2}\\⇒9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
14. (f, g, h) বিন্দুগামী একটি চলমান সমতল অক্ষ তিনটিকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M ও N বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত x, y ও z অক্ষের সমান্তরাল সমতলগুলি P বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ হবে f/x+g/y+h/z= 1

Solution:
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ =
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (f, g, h) বিন্দুগামী।
∴ ^f/_α + ^g/_β + ^h/_γ = 1
∴ P(α, β, γ) বিন্দুর সঞ্চারপথ –
^f/_x + ^g/_y + ^h/_z = 1 (Proved)
15. ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের ওপর P একটি চলমান বিন্দু।OP সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অঙ্কিত সমতল অক্ষ তিনটিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M, N বিন্দু থেকে xy, yz ও zx সমতলের সমান্তরাল সমতলগুলি Q বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তবে, দেখাও যে Q বিন্দুর সঞ্চারপথ হয়:
$$\large{\quad x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\}$$
Solution:
ধরি, Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ:
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
আরও ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x₁, y₁, z₁)
∴ OP-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x₁ – 0), (y₁ – 0), (z₁ – 0) অর্থাৎ x₁, y₁, z₁
(i) নং সমতল ও OP সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
$$\large{\quad\frac{x_1}{\frac{1}{α}}=\frac{y_1}{\frac{1}{β}}=\frac{z_1}{\frac{1}{γ}}=k\\\therefore x_1=\frac{k}{α};\quad y_1=\frac{k}{β};\quad z_1=\frac{k}{γ}\\}$$
P (x₁, y₁, z₁) বিন্দুটি ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।
$$\large{\therefore \frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}+\frac{z_1}{c}=1\\⇒\frac{\frac{k}{α}}{a}+\frac{\frac{k}{β}}{b}+\frac{\frac{k}{γ}}{c}=1\\⇒\frac{k}{aα}+\frac{k}{bβ}+\frac{k}{cγ}=1\\⇒\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{k}—(ii)}$$
p বিন্দুটি ^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।
$$\large{\therefore \frac{x_1}{α}+\frac{y_1}{β}+\frac{z_1}{γ}=1\\⇒\therefore \frac{\frac{k}{α}}{α}+\frac{\frac{k}{β}}{β}+\frac{\frac{k}{γ}}{γ}=1\\⇒\frac{k}{α^2}+\frac{k}{β^2}+\frac{k}{γ^2}=1\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{k}—(iii)}$$
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
$$\large{\quad\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}}$$
Q (α, β, γ) এর সঞ্চারপথ –
$$\large{\quad \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\⇒ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
December 6, 2023
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা 4A Straight Line in Three Dimensional Space Ex 4A Class XII S N Dey Solution
বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
1. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(b)\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0\\(c)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(d)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0}$$
Ans: (b)
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 1, 0, 0
∴ x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
2. ᾱ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী যে সরলরেখা β̄ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হয়-
(a) r̄ = ᾱ + β̄ (b) r̄ = β̄ + tᾱ
(c) r̄ = ᾱ + tβ̄ (d)এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (c) r̄ = ᾱ + tβ̄
3. যে সরলরেখার প্রতিসম আকারে সমীকরণ ^{x – 1}/₃ = ^{y – 5}/₁ = ^{z – 3}/₀ সেই সরলরেখার সমান্তরাল যে-কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি হয় –
(a) (3, 1, 0) (b) (3, -1, 0) (c) (1, 5, 3) (d) (-3, 1, 0)
Ans: (a) (3, 1, 0)
4. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x – 2 = 2y + 1 = 2z – 4. তার দিক্ অনুপাতগুলি হয়-
(a) ¹/₃, –¹/₂, ¹/₂ (b) –¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
(c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂ (d) ¹/₃, ¹/₂, –¹/₂
Ans: (c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
$$\large{\quad 3x-2=2y+1=2z-4\\⇒3(x-\frac{2}{3})=2(y+\frac{1}{2})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}}$$
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
5. ( 1, 2, 3) ও (4, 0, 6) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখার সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{6}\\(b)\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-6}{3}\\(c)\quad\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}\\(d)\quad\frac{x-4}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-6}{3}\\\mathbf{Ans\quad(d)}\\\[\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{3}]}$$
6. (5, 2, 7) বিন্দুগামী যে সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-5}{b}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-7}{b},b≠0\\(b)\quad\frac{x+5}{b}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+7}{b},b≠0\\(c)\quad\frac{x-5}{0}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-7}{0},b≠0\\(d)\quad\frac{x+5}{0}=\frac{y+2}{b}=\frac{z+7}{0},b≠0}$$
Ans: (c)
[y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে b ≠ 0 ]
7. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
(b) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত হয়, ^x₁/_a = ^y₁/_b = –^z₁/_c ।
(c) (1, 0, 0) ও (0, 5, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হয় r̄ = (1, 0, 0) + t(-1, -5, 3)
(d) x = 3 + 2t, y = 5, z = 3 সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল।
Ans: (a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ x-অক্ষ বা x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
8. যদি P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6), R(7, 8, 9) বিন্দুত্রয় সমরেখ হয়, তবে Q বিন্দু PR সরলরেখাকে যে অনুপাতে ছেদ করে তা হল –
(a) 2 : 1 (b) 1 : 2 (c) 1 : 1 (d) 1 : 3
Ans: (c) 1 : 1
[P(1, 2, 3) ও R(7, 8, 9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁺⁷/₂, ²⁺⁸/₂, ³⁺⁹/₂) বা (4, 5, 6)
∵ PR-এর মধ্যবিন্দু Q
∴ Q বিন্দু PR সরলরেখাকে 1 : 1 অনুপাতে ছেদ করে.]
$$\mathbf{\large{9.\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}}\\}\\$$
সরলরেখাটি z-অক্ষের সমান্তরাল হলে,
(a) a = c = 0 ও b ≠ 0 হবে
(b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
(c) b = c = 0 ও a ≠ 0 হবে
(d) a = b = c = 0 হবে

Ans: (b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
[z-অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 0, 1]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
10. (1, 2, 3) ও (4, 5, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6},\\(b)\quad\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{4-2},\\(c)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{5-2}=\frac{z-6}{5-3},\\(d)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{2-5}=\frac{z-6}{3-6}\\\mathbf{Ans:\quad}(a)\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}\\}$$$$[\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}]}$$
অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. x – অক্ষের কার্তেসিয় ও ভেক্টর সমীকরণ লেখো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দুটি x – অক্ষের উপর অবস্থিত এবং x – অক্ষের দিক্ অনুপাতসমূহ হল 1, 0, 0
x – অক্ষের কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0} \quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
x – অক্ষের ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = 0î + 0ĵ + 0k̂ + t(1î + 0ĵ + 0k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = tî (Ans)
2. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{2x – 5}/₃ = ^{6 – 3y}/₂ = ^{z + 1}/₆ হলে, ওই সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ কি হবে?

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad \frac{2x-5}{3}=\frac{6-3y}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{2(x-\frac{5}{2})}{3}=\frac{-3(y-\frac{6}{3})}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}×6}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}×6}=\frac{z+1}{6×6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{9}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{36}}$$Ans: প্রদত্ত সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 9, -4, 36;
3. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 4, তার দিক্ কোসাইনগুলি লেখ।

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad 6x-2=3y+1=2z-4\\⇒6(x-\frac{2}{6})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-2}{3}}$$
∴ সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, 2, 3;
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনগুলি হল
$$\large{=±\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1+4+9}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{14}},\quad±\frac{2}{\sqrt{14}},\quad±\frac{3}{\sqrt{14}}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
4. ^{x – 5}/₂ = ^{y + 6}/₀ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখাটি কোন্ অক্ষের ওপর লম্ব?
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{2}=\frac{y+6}{0}=\frac{z-3}{2}\\}$$
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, 0, 2;
আবার y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0;
∴ 2×0 + 0×1 + 2×0 = 0
∴ প্রদত্ত সরলরেখাটি এবং y অক্ষের ওপর লম্ব। (Ans)
5. ^{x – 5}/₃ = ^{y + 4}/₇ = ^{z – 6}/₂ সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লেখো।
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\\}$$
সরলরেখাটি (5, -4, 6) বিন্দুগামী এবং 3, 7, 2 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট।
∴ সরলরেখাটি 5î – 4ĵ + 6k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং 3î + 7ĵ + 2k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
প্রদত্ত সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ-
r̄ = 5î – 4ĵ + 6k̂ + t(3î + 7ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল যে সরলরেখা (1, -2, 5) বিন্দুগামী, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(1, -2, 5) এর অবস্থান ভেক্টর î – 2ĵ + 5k̂
(1, -2, 5) বিন্দুগামী যে সরলরেখা î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = î – 2ĵ + 5k̂ + t(î – 2ĵ + 3k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, -2, 3
(1, -2, 5) বিন্দুগামী এবং 1, -2, 3 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{1}=\frac{y-(-2)}{-2}=\frac{z-5}{3}\\⇒\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-5}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
2. (5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(5, 2, -4) এর অবস্থান ভেক্টর 5î + 2ĵ – 4k̂
(5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = 5î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î + 2ĵ – 8k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 3, 2, -8
(5, 2, -4) বিন্দুগামী এবং 3, 2, -8 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-(-4)}{-8}\\⇒\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}\quad\mathbf{(Ans)} }$$
3. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{x + 3}/₂ = ^{y – 5}/₄ = ^{z + 6}/₂ হলে, সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}\\⇒ \frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z-(-6)}{2} \\}$$
সরলরেখাটি (-3, 5, -6) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 4, 2
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = -3î + 5ĵ – 6k̂ + t(2î + 4ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
4. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 2 = 5y – 4 = 3 – z; সরলরেখাটি যে বিন্দুগামী তার স্থানাঙ্ক ও তার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো। সরলরেখাটি প্রতিসম (symmetric) আকারে প্রকাশ করো এবং তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+2=5y-4=3-z\\⇒ 3(x+\frac{2}{3})=5(y-\frac{4}{5})=-1(z-3)\\⇒ \frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-²/₃, ⁴/₅, 3) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ ¹/₃, ¹/₅, -1
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –²/₃î + ⁴/₅ĵ + 3k̂ + t(¹/₃î + ¹/₅ĵ – k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
5. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z; সরলরেখাটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুগামী, তা নির্ণয় করো ও রেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে সেটি প্রতিসম (symmetric) আকারে ও ভেক্টর আকারে প্রকাশ করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+1=6y-2=1-z\\⇒ 3(x+\frac{1}{3})=6(y-\frac{1}{3})=-1(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{z-1}{-1} \\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6} \\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-¹/₃, ¹/₃, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 1, -6
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –¹/₃î + ¹/₃ĵ + k̂ + t[2î + ĵ – 6k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
6. (1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{-5-2}=\frac{z-(4)}{2-(-4)}\\⇒\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+4}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = 1î + 2ĵ – 4k̂ + t[(4 – 1)î + (-5 – 2)ĵ + (2 + 4)k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
= î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î – 7ĵ + 6k̂) (Ans)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
7. কোনো সরলরেখার সমীকরণ x = by + c, z = ay + d হলে তার প্রতিসম (symmetric) আকারে কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
প্রতিসম আকারে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
$$\large{x=by+c\quad⇒y=\frac{x-c}{b}\\z=ay+d\quad⇒y=\frac{z-d}{a}\\\therefore \frac{x-c}{b}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-d}{a}}$$
প্রদত্ত সরলরেখাটি (c, 0, d) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক অনুপাতসমূহ b, 1, a;
ভেক্টর সমীকরণঃ
(c, 0, d) এর অবস্থান ভেক্টর cî + dk̂ এবং সরলরেখাটি bî + ĵ + ak̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ হল
∴ r̄ = cî + dk̂ + t(bî + ĵ + ak̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
8. P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂; PQRS একটি সামান্তরিক হলে, QS সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, PQRS সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂;
∴ P. Q ও R বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 5, -8), (0, -3, 6) ও (-3, 2, 3)
সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2-3/₂, ⁵⁺²/₂, ^-8+3/₂) = (-¹/₂, ⁷/₂, –⁵/₂)
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
∴ QO সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-0}{0+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3-\frac{7}{2}}=\frac{z-6}{6+\frac{5}{2}}\\⇒\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-\frac{13}{2}}=\frac{z-6}{\frac{17}{2}}\\⇒\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}—(i)}$$∴ QS সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:$$\large{\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
QS সরলরেখা (0, -3, 6) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাতসমূহ 1, -13, 17
∴ সরলরেখাটি -3ĵ + 6k̂ বিন্দুগামী এবং î – 13ĵ + 17k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
QS সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
∴ r̄ = -3ĵ + 6k̂ + t(î – 13ĵ + 17k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
9. দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î + 5k̂, î + ĵ + 3k̂ ও – 5i + 3j – k হলে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
ধরি বিন্দু তিনটি হল P, Q এবং R
∴ ŌP̄ = 4î + 5k̂
ŌQ̄ = î + ĵ + 3k̂
ŌR̄ = -5î + 3ĵ – k̂
∴ P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 0, 5), (1, 1, 3) এবং (-5, 3, -1)
∴ PQ সরলরেখার সমীকরণঃ
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-0}{0-1}=\frac{z-5}{5-3}\\⇒\frac{x-4}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-5}{2}—-(i)}$$(i) নং সমীকরণে (-5, 3, -1) বসিয়ে পাই,$$\large{\frac{-5-4}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-1-5}{2}\\⇒\frac{-9}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-6}{2}\\⇒-3=-3=-3}$$
(-5, 3, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ PQ সরলরেখাটি (-5, 3, -1) অর্থাৎ R বিন্দুগামী।
∴ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
10. ^{x + 2}/₃ = ^{y + 1}/₂ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি$$\large{\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}=t\\}$$
– – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
∴ x = 3t – 2
y = 2t – 1
z = 2t + 3
∴ সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3t – 2, 2t – 1, 2t + 3)
(3t – 2, 2t – 1, 2t + 3) বিন্দু থেকে (1, 3, 3 ) বিন্দুর দূরত্ব
= √{(3t – 2 – 1)² + (2t – 1 – 3)² + (2t + 3 – 3)²}
= √{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²}
প্রশ্নানুযায়ী
√{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²} = 5
⇒ (3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)² = 25
⇒ 9t² + 9 – 18t + 4t² + 16 – 16t + 4t² = 25
⇒ 17t² + 25 – 34t = 25
⇒ 17t² – 34t = 0
⇒ 17t(t – 2) = 0
⇒ t(t – 2) = 0
∴ t = 0, t = 2
t = 0 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×0 – 2, 2×0 – 1, 2×0 + 3) = (-2, -1, 3)
t = 2 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×2 – 2, 2×2 – 1, 2×2 + 3) = (4, 3, 7)
সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি হল (-2, -1, 3) এবং (4, 3, 7) (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
11. যদি p̄.q̄ = |p̄||q̄| হয়, তবে দেখাও যে, P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা (যেখানে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂ ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂) মূলবিন্দুগামী হবে।

Solution:
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌP̄ = p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌQ̄ = q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂
ধরি p̄ ও q̄ এর মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ ŌP̄.ŌQ̄ = p̄.q̄
= |p̄||q̄|cosθ
∴ |p̄||q̄|cosθ = |p̄||q̄| – – – – [∵ p̄.q̄ = |p̄||q̄|]
⇒ cosθ = 1
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°
ŌP̄ ও ŌQ̄ এর মধ্যবর্তী কোণ 0°
অর্থাৎ ŌP̄ ও ŌQ̄ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী। (Proved)
12. (i) 2î – ĵ + k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং -î + 4ĵ + k ও i + 2ĵ + 2k̂ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো। সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ-ও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
এখানে
ā = 2î – ĵ + k̂
b̄ = (î + 2ĵ + 2k̂) – (-î + 4ĵ + k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
∴ r̄ = 2î – ĵ + k̂ + t(2î – 2ĵ + k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (2, -1, 1) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, -2, 1
∴ সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ হল-
$$\large{\frac{x-2}{2}=\frac{y-(-1)}{-2}=\frac{z-1}{1}\\⇒\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1} \quad\mathbf{(Ans)}}$$
(ii) কোনো সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 2 হলে সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি এবং ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
$$\large{6x-2=3y+1=2z-2\\⇒6(x-\frac{1}{3})=3(y-\frac{-1}{3})=2(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-1}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}}$$
সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি হল 1, 2, 3 (Ans)
সরলরেখাটি (¹/₃, –¹/₃, 1) বিন্দুগামী
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = ¹/₃î – ¹/₃ĵ + k̂ + t(î + 2ĵ + 3k̂) (Ans)
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
November 27, 2023

←Previous Page

1 2 3 4 5 … 11

CLASS-X (63)
Country & Currency (6)
GK (8)
Government Scholarship (9)
History & Geography (6)
HS (41)
HS MATHEMATICS (22)
Important Dates (6)
Miscellaneous (4)
MP ENGLISH SOLUTION (4)
MP MATHEMATICS SOLUTION (9)
MP PHYSICAL SCIENCE SOLUTION (4)
MP QUESTION SOLUTION (1)
NCERT TEXTBOOK-11 (5)
Privata Scholarship (5)
Quiz (1)
RS AGGARWAL(XI) (7)
SCHOLARSHIP (14)
SEMESTER-1 (6)
SEMESTER-2 (7)
SEMESTER-3 (9)
Sports (6)
Uncategorized (1)
X-English (22)
X-Mathematics (57)
X-P. Sc (10)
XI-OLD SILLABUS (10)
XII-OLD SILLABUS (22)

About Us
Privacy Policy
Contact Us
Disclaimer

Designed by SUBRATA SARKAR

Copyright @prostuti2022.in

Proudly powered by WordPress

error: Content is protected !!