Category: XII-OLD SILLABUS

Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
(i) হয় তবে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।
\(2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\quad 2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x\quad\quad 10\\14\quad 2y-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 10+4\\14+1\quad 2y-6+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x +3 = 7
⇒ 2x = 4
∴ x = 22
y – 4 = 14
⇒ 2y = 18
∴ y = 9
Ans: x = 2; y = 9
(ii) x, y ও z -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y = 2 – – – – (i)
x – z = 2 – – – – (ii)
2x – y = 1 – – – – (iii)
(i) + (ii) করে পাই
x + y + 2x – y = 2 + 1
⇒ 3x = 3
∴ x = 1
(i) নং থেকে পাই
1 + y = 2
∴ y = 1
(ii) নং থেকে পাই
1 – z = 2
⇒ -z = -1
∴ z = -1
Ans: x = 1; y = 1; z = –1
Matrix S N Dey Solution Part-2
(iii) x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যাতে নীচে দেওয়া ম্যাট্রিক্স দুটি সমান হয়
\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x – z = 3 – t
⇒ x – z + t = 3 – – – – (i)
-z – x = 5 – t
⇒ -x – z + t = 5 – – – – (ii)
7- t = t + 5
⇒ -t – t = 5 – 7
⇒ -2t = -2
∴ t = 1
6 + z = x – y
⇒ x – y – z = 6 – – – – (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
x – z + t – (-x – z + t) = 3 – 5
⇒ x – z + t + x + z – t = 3 – 5
⇒ 2x = -2
∴ x = -1
(i) থেকে পাই,
x – z + t = 3
⇒ -1 – z + 1 = 3
⇒ – z = 3
∴ z = -3
(iii) থেকে পাই,
x – y – z = 6
⇒ -1 – y -(-3) + 1 = 5
⇒ – y + 3 = 4
⇒ -y = 1
∴ y = -1
Ans: x = -1; y = -1; z = -3; t = 1;
(iv) a, b, c ও d -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:}\\\)\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
b + c = 9 – d
⇒ b + c + d = 9 – – – – (i)
c + a = 8 – d
⇒ a + c + d = 8 – – – – (ii)
7 – d = a + b
⇒ a + b + d = 7 – – – – (iii)
6 – c = a + b
⇒ a + b + c = 6 – – – – (iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
b + c + d + a + c + d + a + b + d + a + b + c = 9 + 8 + 7 + 6
⇒ 3(a + b + c + d) = 30
⇒ a + b + c + d = 10 – – – – (v)
(v) – (i) করে পাই,
a = 1
(v) – (ii) করে পাই,
b = 2
(v) – (iii) করে পাই,
c = 3
(v) – (iv) করে পাই,
d = 4
Ans: a = 1; b = 2; c = 3; d = 4;
(v). x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যখন
\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}3x\quad 3y\\3z\quad 3t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad x+4\quad 6+x+y\\-1+z+t\quad 2t+3\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
3x = x + 4
∴ x = 2
আবার
3y = 6 + x + y
⇒ 2y = 6 + x
⇒ 2y = 6 + 2 – – – – [x = 2]
∴ y = 4
3t = 2t + 3
∴ t = 3
3z = -1 + z + t
⇒ 2z = -1 + t
⇒ 2z = -1 + 3 – – – – [t = 2]
∴ z = 1
Ans: x = 4; y = 4; z = 1; t = 3
2. নীচে দেওয়া A ও B ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে A + B, AB এবং BA সংজ্ঞাত কিনা বলো এবং সংজ্ঞাত ক্ষেত্রে তাদের মান নির্ণয় করো।
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A ও B সমক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A + B, AB এবং BA প্রতিটিই সংজ্ঞাত।
\(\mathbf{(i)\\}\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\)
\(\quad A+B\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 2\\0\quad 2\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad AB\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 0+2\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 2+0\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{(ii)}\\\)\(A\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\)
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B এর ক্রম ভিন্ন;
∴ A + B সংজ্ঞাত নয়।

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা(2) ≠ B-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ AB ম্যাট্রিক্সও সংজ্ঞাত নয়।
আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা(3) = A-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ BA ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞাত।
\(\quad BA\\=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6+40+35\quad 9+48+40\\4+5+7\quad\quad 6+6+8\\2+15+21\quad 3+18+24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}81\quad 97\\16\quad 20\\38\quad 45\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
3. কখন দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হয়?
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA; ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে এটি কি সাধারণভাবে সত্য? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা প্রতিষ্ঠা করো।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয়।
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয় = 3
∴ AB সংজ্ঞাত
\(\quad AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-2-3\quad -2+2+0\quad -3+0+3\\6-3-3\quad -2+3+0\quad -3+0+3\\6-2-4\quad -2+2+0\quad -3+0+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\\quad BA=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad 6-2-3\quad 12-6-6\quad\quad 18-6-12\\-1+1+0\quad -2+3+0\quad -3+3-0\\-1+0+1\quad -2+0+2\quad -3+0+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\∴ AB = BA\)
ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে AB = BA সর্বদা সত্য নয়।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
এখানে AB ≠ BA
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{4. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8-6+1\quad 12+0-5\\6+21-1\quad 9+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 7\\26\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 8+9\quad\quad 4-21\quad -2+3\\-12+0\quad -6+0\quad\quad 3+0\\-4+15\quad -2-35\quad\quad 1+5\end{bmatrix}\\=\\=\begin{bmatrix}\quad 17\quad -17\quad 1\\-12\quad -6\quad 3\\\quad 11\quad -37\quad 6\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{5. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে AB – 2B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB – 2B\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2+0\quad 4+4+0\quad 0+4+2\\1+1+0\quad 4-2+0\quad 0-2+2\\2-3+0\quad 8+6+0\quad 0+6-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\\quad 2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad\quad 0\quad\quad 6\\\quad 4\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 14\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{6. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB ≠ BA

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
∴ AB ≠ BA (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{7. \\}\)\(P=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে P² = P

Solution:
P² = P × P
\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+2-4\quad -4-6+8\quad -8-8+12\\-2-3+4\quad\quad 2+9-8\quad\quad 4+12-12\\\quad 2+2-3\quad -2-6+6\quad -4-8+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=P\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{8.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA = 0, O একটি 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 6+9-15\quad\quad 10+15-25\\\quad 1+4-5\quad -3-12+15\quad -5-20+25\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\\\quad 2+3-5\quad -3-12+15\quad -5-15+20\\-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ AB = BA = 0 (Proved)
\(\mathbf{9. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1+2+3\quad -1+2+3\quad 1-2-3\\-2-6-12\quad -2-6-12\quad 2+6+12\\-3-4-9\quad -3-4-9\quad 3+4+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad\quad 4\quad -4\\-20\quad -20\quad\quad 20\\-16\quad -16\quad\quad 16\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-2+3\quad -1+3-2\quad\quad 1-4+3\\\quad 2+4-6\quad -2-6+4\quad -2+8-6\\-3-6+9\quad -3+9-6\quad\quad 3-12+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)
∴ AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0 (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
9. (ii)
α – β = (2n+1)π/2, n ∈ Z হলে প্রমান করো যে,
\(\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2αcos^2β+cosαsinαcosβsinβ\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosαcosβcos(α-β)\quad cosαsinβcos(α-β)\\sinαcosβcos(α-β)\quad sinαsinβcos(α-β)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad [∵cos(α-β)=cos(2n+1)\frac{π}{2}=0]\\=0\quad\mathbf{(Proved)} \)
\(\mathbf{10.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2-4A-5I=0\) যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
A² – 4A – 5I
\(=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+8\quad 4+12\\2+6\quad 8+9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9-4-5\quad 16-16-0\\8-8-0\quad 17-12-5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}=0\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{11. (ii)\\}\) \(A =\begin{pmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2+3A+5I =\begin{pmatrix}\quad3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)
Solution:
A² + 3A + 5I
\(=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-6\quad 2+0\\-3+0\quad -6+0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 6\\-9\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3+5\quad 6+0\\-9+0\quad 0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 8\quad 6\\-9\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii) যদি
\(A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A²= 8A + KI হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-0\quad 0+0\\-1-7\quad 0+49\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}\\∵A^2=8A+KI\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+K\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad 8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}K\quad 0\\0\quad K\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad K+8\quad 0\\-8\quad 56+K\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
K + 8 = 1
বা, K = -7
Ans: K = -7
\(\mathbf{12.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}\quad1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (A + B)² ≠ A² + 2AB + B²
\((A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.}\\\)\((A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0-20\quad\quad 0-5\\0+4\quad -20+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-20\quad -5\\\quad 4\quad -19\end{pmatrix}\\A^2=A×A\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-2\quad 2-4\\-1+2\quad -2+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1-6\quad 3+2\\1+6\quad -3-2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-7\quad 5\\7\quad -5\end{pmatrix}\\B^2=B×B\\=\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-9\quad -3+3\\3-3\quad -9+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-8\quad 0\\0\quad -8\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{R.H.S.}\\\)\(A^2+2AB+B^2\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-7\quad\quad 5\\\quad 7\quad -5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-14\quad 10\\\quad 14\quad -10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-23\quad 8\\15\quad -16\end{pmatrix}\)
(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² (Proved)
\(\mathbf{13. (i)\\}\) \(\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}2x+y\\ 3x+4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + y = 1 – – – – (i)
3x + 4y = -1 – – – – (ii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
8x + 4y – 3x – 4y= 1 + 4
⇒ 5x = 5
∴ x = 1
(i) নং x = 1-এ বসিয়ে পাই-
2 + y = 1
∴ x = -1
Ans: x = 1 ; y = -1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{(ii)\\}\) \(A=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A² = KA – 2I₂ হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-8\quad -6+4\\12-8\quad -8+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}\\∵A^2=KA-2I_2\\∴\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k\quad -2k\\4k\quad -2k\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k+0\\4k+0\quad -2k-2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
4 = 4k
∴ k = 1
Ans: k = 1 ;
\(\mathbf{14.\\}\)\(A =\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) হলে প্রমাণ করো যে,\((A-2I)(A-3I)=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
\(\quad (A-2I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 2\quad\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\\\quad (A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 1\quad\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\∴(A-2I)(A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{15.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\) হলে (\(i =\sqrt{-1}\))
AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i-i\quad -1-i^2\\-i^2-1\quad i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad0\quad -1+1\\1-1\quad\quad 0\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i+i\quad\quad i^2-1\\-1+i^2\quad -i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad\quad -1-1\\-1-1\quad\quad -2i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad -2\\-2\quad -2i\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
16. \(X=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, X² = 0 যেখানে 0 হল 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(X^2=X×X\\=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)×(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\\(-1)1+3×(-1)+4×1\quad\quad (-1)(-3)+3×3+4(-3)\quad\quad (-1)(-4)+3×4+4(-4)\\\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 4+12-16\\\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\∴X^2=0\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{17.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\)
হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন 3A – 2X = B

Solution:
3A – 2X = B
⇒ 2X = 3A – B
\(∴2x=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}3\quad -9\quad\quad 12\quad 6\\0\quad\quad 15\quad -6\quad 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{18.}\) \(A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, AB = I₂ যেখানে I₂ হল 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=I_2\quad \mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{19.}\\A=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\)
এবং (A + B)² = A² + B² হলে a ও b -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(A+B\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad -1+1\\2+b\quad -1-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad \quad0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\∴(A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{bmatrix}1+a\quad\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+a\quad \quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)(a+1)+0×(b+2)\quad (a+1)×0+0×-2\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad (b+2)×0-2×-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}\\\quad A^2\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2\quad -1+1\\2-2\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B^2\\=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
(A + B)² = A² + B²
\(∴ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\\⇒ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+b-1\quad a-1\\ab-b\quad\quad b\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
a – 1 = 0 এবং b = 4
∴ a = 1
Ans: a = 1 ; b = 2;
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{20.\\A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}}\)
হলে AA^T নির্ণয় করো।Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = A^T ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 2
∴AA^T সংজ্ঞাত
\(\quad AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1×1+1×1\quad 1×2+1×2\quad 1×3+1×3\\2×1+2×1\quad 2×2+2×2\quad 2×3+2×3\\3×1+3×1\quad 3×2+3×2\quad 3×3+3×3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1+1\quad 2+2\quad 3+3\\2+2\quad 4+4\quad 6+6\\3+3\quad 6+6\quad 9+9\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{21.\\A=\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}}\)
এবং A + B = BC হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
∵ A + B = BC
\(∴\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad -2+4\\2+0\quad 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+4y\quad -6+8\\0+y\quad 0+2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad 2\\2\quad\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4y-3\quad 2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
y = 2
এবং x + 3 = 4y – 3
⇒ x = 4y – 6
⇒ x = 4.2 – 6
⇒ x = 8 – 6 = 2
Ans: x = 2,
y = 2
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
22. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি কি শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে? উদাহরণের সাহায্যে বোঝাও।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স নাও হতে পারে।
উদাহরণঃ
ধরি,
\(A=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\∴AB=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1×0+0×0\quad 1×0+0×1\\0×0+0×0\quad 0×0+0×1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
23. (i) দেখাও যে,
\(A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স A² – 4A + 3I = 0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\mathbf{Solution:}\\A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\∴A^2\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2×2+-1×-1\quad\quad 2×-1+-1×2\\-1×2+2×-1\quad\quad -1×-1+2×2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}\\∴A^2-4A+3I\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\quad 8\quad -4\\-4\quad\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5-8+3\quad -4+4+0\\-4+4+0\quad\quad 5-8+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=0\quad \mathbf{Proved}\)
23. (ii)
\((ii)A=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)
হলে 3A² – 2B + I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad A^2\\=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2×2-1×3\quad\quad 2×-1-1×2\\3×2+2×3\quad\quad 3×-1+2×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴3A^2-2B+I\\=3\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -12\\36\quad\quad 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 0\quad 8\\-2\quad 14\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3-0+1\quad -12-8+0\\36+2+0\quad\quad 3-14+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad -20\\38\quad\quad -10\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
24.
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
হলে x-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}1+2x+15\quad 3+5x+3\quad 2+x+2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}(2x+16)×1+(5x+6)×2+(x+4)×x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x +16 +10x + 12 + x^2 + 4x = 0\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+16x+28=0\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x² + 16x + 28 = 0
⇒ x² + 14x + 2x + 28 = 0
⇒ x(x + 14) +2(x +14) = 0
⇒ (x + 14)(x +2) = 0
হয় (x + 14) = 0 নতুবা (x +2) = 0
∴ x = -14 বা x = -2
Ans: x = -2 , -14
PREVIOUS
NEXT
December 31, 2023

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

1. (i) নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
(b) A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(c) A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(d) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ans: (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
[► A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যাবে যদি A ও B সমক্রমের হয়।
এখানে A ম্যাট্রিক্স m×n ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স r×s ক্রমের কিন্তু r ≠ m এবং s ≠ n
∴ A ও B সমক্রমের নয়।
A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় না।
►►AB গুণফল সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা]

2. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
(b) ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
(c) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
(d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

Ans: (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।।
[A -এর ক্রম m×n
ও B -এর ক্রম n×p
∴ AB -এর ক্রম m×p]

3. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।
(b) যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
(c) A ≠ 0, B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
(d) একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AA^T = A^TA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Ans: (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।

4. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B =
(a) B² (b) I (c) A (d) 0

Ans: (a) B²
[B² = B.B
= BA.B – – – (∵ BA = B)
= B(AB)
= B.A – – – (∵ AB = A)
= B]

5. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t -এর সমান হয় তবে A-কে বলা হবে-
(a) প্রতিসম (b) একক ম্যাট্রিক্স
(c) বিপ্রতিসম (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (a) প্রতিসম

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি –
(a) A^t = -A হয় (b) AA^t = A হয়
(c) A^tA = A হয় (d) A^-1 হয়

Ans: (a) A^t = -A হয়

7. (AB)^t =
(a) B^tA^t (b) A^tB^t (c) A^tB (d) B^tA

Ans: (a) B^tA^t
[∵ (AB)^t = B^tA^t]

8. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং । একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হলে, A.I=
(a) A (b) A^T (c) -A (d) A.A^T

Ans: (a) A
[∵ AI = A]

9. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = i + 2j তবে A হবে-

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 4\end{bmatrix}\quad (b)}\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\quad (d)\)এদের কোনোটিই নয়\(\\\mathbf{Ans}\quad(c)\quad\begin{bmatrix}3\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\)

[∵ a_jj = i + 2j
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = (1 + 2.1) = 3;
a₁₂ = (1 + 2.2) = 5;
a₂₁ = (2 + 2.1) = 4;
a₂₂ = (2 + 2.2) = 6;

UNIT – 2
বীজগণিত
Algebra

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ প্রশ্নমালা 1 (Part-III)	▶️ CLICK HERE
Types of Matrix & Operation Matrices Exercise – 1 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ Types of Matrix & Operation Matrices প্রশ্নমালা 1 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\quad(a)\quad\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂(i + 2j)²
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂(1 + 2.1)² = ¹/₂(3)² = ⁹/₂ ;
a₁₂ = ¹/₂(1 + 2.2)² = ¹/₂(5)² = ²⁵/₂ ;
a₂₁ = ¹/₂(2 + 2.1)² = ¹/₂(4)² = 8 ;
a₂₂ = ¹/₂(2 + 2.2)² = ¹/₂(6)² = 18 ;]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

11. যদি A = [a_jj] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = 3i – 2j তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad 5\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}-1\quad -1\\\quad4\quad\quad 2\\\quad7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad \begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

[∵ a_ij = 3i – 2j
i = 1, 2, 3 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = 3.1 – 2.1 = 1;
a₁₂ = 3.1 – 2.2 = -1;
a₂₁ = 3.2 – 2.1 = 4;
a₂₂ = 3.2 – 2.2 = 2;
a₃₁ = 3.3 – 2.1 = 7;
a₃₂ = 3.3 – 2.2 = 5;]

12. যদি A = [a_jj] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂|3i – 4j| তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂|3i – 4j|
i = 1, 2 এবং j = 1, 2, 3 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂|3.1 – 4.1| = ¹/₂|-1| = ¹/₂
a₁₂ = ¹/₂|3.1 – 4.2| = ¹/₂|-5| = ⁵/₂
a₁₃ = ¹/₂|3.1 – 4.3| = ¹/₂|-9| = ⁹/₂
a₂₁ = ¹/₂|3.2 – 4.1| = ¹/₂|2| = 1
a₂₂ = ¹/₂|3.2 – 4.2| = ¹/₂|-2| = 1
a₂₃ = ¹/₂|3.2 – 4.3| = ¹/₂|-6| = 3]

13. যদি A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে নীচের কোন্ উক্তিটি সঠিক নয়?
(a) A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
(d) A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

Ans: (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
[∵ A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়।]

14. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}}\)

এবং f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰ হয়, তবে

\(\mathbf{f(a) =\\(a)\quad 0\quad\quad (b)\quad\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\(c)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}(d)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\1\quad 1\end{bmatrix}}\\\)\(\mathbf{Ans:}\quad (c)\quad \begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

[\(A^2=A.A\\=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)

∵ f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰
= I + A + A² + A³ +…..+ A²⁰
= I + A + 0 + 0.A + 0.A² +….. + 0.A¹⁸
= I + A

\(\quad=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\\quad=\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

15. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A² হবে-
(a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়
[ধরি

\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\)একটি 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\\A^2 =A.A\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+1\quad -2-2\\-2-2\quad\quad 1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{bmatrix}\)]

16. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\\quad 3\quad y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\quad\quad 5\\3\quad -2\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x-এর মান হবে –
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

Ans: (c) 2
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x – y = 6;
এবং y = -2
∵ 2x – y = 6
বা, 2x – (-2) = 6
বা, 2x = 4
বা, x = 2]

17. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}1\quad 4\\ 2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}}\)

(y<0) হয়, তবে x – y + z এর মান হবে-
(a) 5 (b) 2 (c) 1 (d) -3

Ans: (a) 5
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x = 1; z = 2
y² = 4
বা, y = ±2
∴ y = -2 – – -[y<0]
x – y + z = 1 – (-2) + 2
= 1 + 2 + 2
= 5]

18. যদি

\(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad 2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)

হয়, তবে B ম্যাট্রিক্স হবে-

\((a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\quad(b)\quad \begin{bmatrix}\quad 0\quad 6\\-3\quad 7\end{bmatrix}\\(c)\quad \begin{bmatrix}2\quad –1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\quad(d)\quad \begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans.}\quad(a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)

[\((2A-3B)-2(A-2B)=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

19. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix} \quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) -এর মান হবে [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] –
(a) A (b) I (c) 0 (d) 5I

Ans: (c) 0

[\(A=\begin{bmatrix}\quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix},\quad I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-2I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\\A-3I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix} \)

∴ (A – 2I)(A – 3I)

\(\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix} \)]

20. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}x\quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}}\)

ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A² = I হয়, তবে
(a) 1 + x² + yz = 0 (b) 1 – x² + yz = 0
(c) 1 – x² – yz = 0 (d) 1 + x² – yz = 0

Ans: (c) 1 – x² – yz = 0

[\(\quad A^2=I\\⇒A.A=I\\=\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad\quad 0\\\quad 0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴x^2+yz=1\\⇒1-x^2-yz=0\)]

21. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে –
(a) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স
(c) বর্গ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স

[ধরি\(A=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴A^T=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0=A\\∴A^T=0=-0=-A\)]

22 একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A, তবে (I + A)³ – 7A-এর মান হবে-
(a) A (b) I – A (c) I (d) 3A

Ans: (c) I
(I + A)³ – 7A
[ (I + A)³ – 7A
= (I + A)(I + A)(I + A) – 7A
= (I² + IA + AI +A²)(I + A) – 7A
= (I + A + A + A)(I + A) – 7A – – – [∵ A² = A; I² = A; AI =A]
= (I + 3A)(I + A) – 7A
= I + A + 3A + 3A – 7A
= I + 7A – 7A
= I ]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

\(\mathbf{1.\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad এবং \quad C=\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

(i) A + 2B (ii) 2B – 3C
(iii) 4C – A (iv) A + 4B – 3C ম্যাট্রিক্সগুলি নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
A + 2B

\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad\quad 7\\\quad 4\quad -5\\-1\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii)
Solution:
2B – 3C

\(2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad\quad 16\\\quad 4\quad -3\\\quad -9\quad -13\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iii)
Solution:
4C – A

\(=4\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 16\quad -8\\\quad 0\quad -4\\\quad 12\quad\quad 20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 14\quad -5\\\quad 0\quad -5\\\quad 13\quad\quad 16\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iv)
Solution:
A + 4B – 3C

\(\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\quad\quad 20\\\quad 8\quad -12\\\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 17\\\quad 8\quad -11\\-1\quad\quad 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad 23\\ 8\quad\quad14\\-10\quad -7\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

2. (i) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X নির্ণয় করো যখন 3A + 4B = 2X

Solution:

∵\(3A+4B=2X\\∴3\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} =2X\\⇒2X=\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} \\⇒X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad ও \quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

এবং হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:

\(∵2A+B+X=0\\⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\\quad 6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\\7\quad\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\⇒X=-\begin{bmatrix}1\quad 2\\\quad 7\quad 13\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\\quad -7\quad -13\end{bmatrix}\)

3. A ও B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন :

\(\mathbf{(i)\\A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix}}\\\)

\(\mathbf{Solution:}\\ A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix} – – – (i)\\ A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix} – – – (ii)\\\)

(i) + (ii) করে পাই

\(∴2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\ \)

(i) – (ii) করে পাই

\(∴2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\\ \)

\(\mathbf{(ii)\\A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}}\)

(i) – (ii) করে পাই,

\(\quad (A-2B)-(A-3B)=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\)

আবার (i) থেকে পাই,

\(\quad A-2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}8\quad -4\\0\quad\quad 10\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\ 4\quad 2\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(iii)\\2A+B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad এবং\quad A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}}\)

2×(i) – (ii) করে পাই,

\(\mathbf{Solution:}\\∴2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒4A+2B-A-2B=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 4\quad\quad 6\\-2\quad -4\quad -6\\\quad 8\quad\quad 4\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒3A=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

2×(ii) – (i) করে পাই,

\(\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒2A+4B-2A-B=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\8\quad 2\quad 14\\2\quad 2\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒3B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad9\quad\quad 4\quad\quad 17\\\quad -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad 9\quad\quad 4\quad\quad 17\\ -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

\(\mathbf{4.(i)}\\A=\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix} \quadএবং \quad C=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করো যখন 2A + 5B = C;

\(\mathbf{Solution:}\\∵ 2A + 5B = C\\∴2\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 10\\4\quad 2a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\quad 5b\\10\quad 45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
10 + 5b = a – – – – (i)
2a + 45 = 45
বা, 2a = 0
∴ a = 0
(i) নং থেকে পাই,
10 + 5b = 0
⇒ 5b = -10
∴ b = -2
Ans: a -এর মান 0
b-এর মান -2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(ii) একটি ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো।

Solution:
একটি ম্যাট্রিক্সের মোট পদ সংখ্যাকে যতগুলি ক্রমের আকারে প্রকাশ করা যাবে ততগুলি ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
18 = 1 × 18 ; 18 = 18 × 1 ;
18 = 2 × 9 ; 18 = 9 × 2 ;
18 = 3 × 6 ; 18 = 6 × 3;
∴ মোট ক্রমের 6 টি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
Ans: ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি 1×18, 18×1, 2×9, 9×2, 3×6 ও 6×3;
কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি হল 1×5, 5×1;
18 = 1 × 18 ;

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii) যদি

হয়, তবে x y-এর মান নির্ণয় করো।

\(\mathbf{2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}}\)

Solution:

\(\quad 2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\)

\(\mathbf{4.(iv)\\\quad \begin{bmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\5\\7\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x. y ও z-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y + z = 9 – – – (i)
z + x = 5 – – – (ii)
y + z = 7 – – – (ii)
(i) – (ii) – (iii) করে পাই,
(x + y + z) – (z + x) – (y + z) = 9 – 5 – 7
⇒ x + y + z – z – x – y – z = -3
⇒ – z = -3
∴ z = 3
(ii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
3 + x = 5
∴ x = 2
(iii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
y + 3 = 7
∴ y = 4
Ans: x -এর মান 2
y -এর মান 4
z -এর মান 3

\(\mathbf{5.(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}}\) হলে প্রমাণ করো যে,

\(\mathbf{(a)\quad (A+B)=A^I+B^I\\(b)\quad (A-B)^I=A^I-B^I}\)

\(\mathbf{5.(i)\\Solution}\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad ∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad \quad 4\\-5\quad \quad 7 \end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad∴B^I=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad \quad 5\\-1\quad \quad 0 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(a)}\\A+B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 1\quad -6\\1\quad 9\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I+B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I=A^I+B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(b)}\\A-B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\-7\quad -1\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad -1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I-B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I=A^I-B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 1
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 3
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1+ 2×2+3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের; যদি তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত ও px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m, n ও p-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের
∵ AB সংজ্ঞাত;
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ m = 3
∴ AB ম্যাট্রিক্স হবে 2 x n ক্রমের।
প্রদত্ত, AB ম্যাট্রিক্স px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ p = 2
Ans: m -এর মান = 3;
n -এর মান = 4;
p -এর মান = 2

7. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে A + B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত হলে প্রমাণ করো যে, A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে।

Solution:
A + B সংজ্ঞাত
∴ A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
ধরি, A ও B m×n ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
আবার AB সংজ্ঞাত
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ n = m
∴ A ও B m×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স (Proved)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

8. একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না।

Solution:
ধরি,

\(\\A=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 4×3+2×5\quad\quad 4×-1+2×2\\-1×3+3×5\quad -1×-1+3×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}22\quad 0\\12\quad 7\end{bmatrix}\)

আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = A-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3×4+-1×-1\quad\quad 3×2+-1×3\\\quad 5×4+2×-1\quad\quad 5×2+2×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 13\quad 3\\18\quad 16\end{bmatrix}\\∴\quad AB≠BA\)

∴ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (Proved)

\(\mathbf{(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}}\)

হলে AB নির্ণয় করো।

Solution:

\(\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 1
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2×3\quad\quad 2×5\quad\quad 2×7\\\quad 3×3\quad\quad 3×5\quad\quad 3×7\\-1×3\quad -1×5\quad -1×7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 6\quad\quad 10\quad\quad 14\\\quad 9\quad\quad 15\quad\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}\)

হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 4
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(AB=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1×1+2×2+3× 3+4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)

B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = Aএর সারি সংখ্যা = 1
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\quad 1×4\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\quad 2×4\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\quad 3×4\\4×1\quad 4×2\quad 4×3\quad 4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii). মান নির্ণয় করো:

\(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{Solution:}\\\quad\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} ax+hy+gz\\hx+by+fz\\gx+ fy+cz\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x(ax+hy+gz)+y(hx+by+fz)+z(gx+ fy+cz)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+hxy+gzx+hxy+by^2+fyz+gzx+ fyz+cz^2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{10.\\A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix},\quad এবং\quad B=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}}\)

হলে AX = B ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে প্রকাশিত x, y, z-এর একঘাত সমীকরণ তিনটি লেখো।

\(\mathbf{Solution:}\\∵AX=B\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\)

Ans: x, y ও z -এর একঘাত সমীকরণ তিনটি হল –
x + 2y + 3z = 14;
2x – y + 5z = 15;
-3x + 2y + 4z = 13

11. নীচের সমীকরণগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো:
(i) a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

(ii) a₁x + b₁y + c₁z = k₁
a₂x + b₂y + c₂z = k₂
a₃x + b₃y + c₃z = k₃

(i)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 – – – – (ii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix},\quad 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\\)

\(∴AX=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}\\∴AX+C\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\⇒AX+C=0 \)

(ii)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁z = k₁ – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂z = k₂ – – – – (ii)
a₃x + b₃y + c₃z = k₃ – – – – (iii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix} \\\)

\(∴AX= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(∴AX=K\\⇒\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\ a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{12.\\A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}}\)

হলে দেখাও যে, A – A^T একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স
Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A^T=\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A-A^T\\=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix} \\\therefore (A-A^T)^T\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 1\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=-\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=-(A-A^T)\) A – \(A^{T}\) একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স\(\quad\mathbf{(Proved)}\)

PREVIOUS

NEXT