Category: XI-OLD SILLABUS

(v) (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

সমাধানঃ
যে- কোনো উপাদান a ∈ A হলে a ∉ A হয়।
ধরি, x ∈ (A ∪ B)^C
⇒ x ∉ (A ∪ B)
⇒ x ∉ A এবং x ∉ B
⇒ x ∈ A^C এবং x ∈ B^C
⇒ x ∈ A^C ∩ B^C
∴ (A ∪ B)^C ⊆ A^C ∩ B^C – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ A^C ∩ B^C
⇒ y ∈ A^C এবং y ∈ B^C
⇒ y ∉ A এবং y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∪ B)
⇒ y ∈ (A ∪ B)^C
∴ A^C ∩ B^C ⊆ (A ∪ B)^C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (Proved)

(vi) (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ (A ∩ B)^C
⇒ x ∉ (A ∩ B)
⇒ x ∉ A বা x ∉ B
⇒ x ∈ A^C বা x ∈ B^C
⇒ x ∈ A^C ∪ B^C
∴ (A ∩ B)^C ⊆ A^C ∪ B^C – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ A^C ∪ B^C
⇒ y ∈ A^C বা y ∈ B^C
⇒ y ∉ A বা y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∩ B)
⇒ y ∈ (A ∩ B)^C
∴ A^C ∪ B^C ⊆ (A ∩ B)^C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C (Proved)

(vii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A – (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B এবং x ∉ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) এবং (x ∈ A এবং x ∉ C)
⇒ x ∈ (A – B) এবং x ∈ (A – C)
⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A – B) ∩ (A – C)
⇒ y ∈ (A – B) এবং (A – C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) এবং (y ∈ A এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∉ B ∪ C
⇒ y ∈ A – (B ∪ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) (Proved)

11. সেট বীজগণিতের সূত্রাবলী প্র​য়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i)  A ∩ ( B – A)  = ϕ

সমাধানঃ
A ∩ ( B – A)
= A ∩ ( B ∩ A^C)
= A ∩ ( A^C ∩ B)
= ( A ∩  A^C) ∩ B
= ϕ ∩ B
= ϕ (Proved)

(ii) A ∪ ( B – A)  = A ∪ B

সমাধানঃ
A ∪ ( B – A)
= A ∪ ( B ∩ A^C)
= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A^C )
= ( A ∪ B) ∩ S
= ( A ∪ B) (Proved)

(iii)  (A ∩ B) – C = ( A – C)  ∩ ( B – C)

সমাধানঃ
(A ∩ B) – C
= (A ∩ B) ∩ C^C
= (A ∩ B) ∩ (C^C ∩ C^C)
= [(A ∩ B) ∩ C^C] ∩ C^C)]
= [A ∩ (B ∩ C^C)] ∩ C^C)]
=  (B ∩ C^C) ∩ (A ∩ C^C)
= (B – C) ∩ (A – C)
= (A – C) ∩ (B – C) (Proved)

(iv)  (A ∪ B)  – C = ( A – C)  ∪ ( B – C)

সমাধানঃ
(A ∪ B)  – C
= (A ∪ B)  – C^C
= (A ∪ C^C) ∪ (B ∪ C^C)
= ( A – C)  ∪ ( B – C) (Proved)

12. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics -এ প​ড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন ছাত্র দ্বিতীয় ও তৃতীয় এবং 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই প​ড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য কতগুলো আসন আছে? (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে)
সমাধানঃ
ধরি, Computer Science- এর ছাত্রদের সেট C;
Information Technology- এর ছাত্রদের সেট I ও
Electronics এর ছাত্রদের সেট যথাক্রমে E.
এখানে, n(C) = 80;
n(I) = 75;
n(E) = 72;
n(C ∩ I) = 60;
n(I ∩ E) = 50;
n(E ∩ C) = 40;
n(C ∩ I ∩ E) = 30;
∴  n(C ∪ I ∪ E)
= n(C) + n(I) + n(E) – n(C ∩ I) – n(I ∩ E) – n(E ∩ C) + n(C ∩ B ∩ E)
= 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30
= 227 – 150 + 30
= 107
Ans: কলেজে ছাত্রদের জন্য 107 টি আসন আছে ।

13. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত ; 20 জন লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ও ধার করা পুস্তকব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, সমগ্র ছাত্রের সেট S;
লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহারকারী ছাত্রের সেট  A;
নিজস্ব পুস্তক অছে এমন ছাত্রের সেট B;
ধার করে পুস্তক ব্যবহার করে এমন ছাত্রের সেট C;
এখানে, n(S) = 100;
n(A) = 50;
n(B) = 40;
n(C) = 30;
n(A ∩ B) = 20;
n(B ∩ C) = 15;
n(A ∩ C) = 10;
∴  n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n( B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 50 + 40 + 30 – 20 – 15 – 10 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 120  – 45 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 75 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, n(A ∩ B ∩ C) = 25
Ans: তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা 25 জন।

14. কোনো কোম্পানি 300 জন ব্যবহারকারীর কোন  ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে তার তথ্যানুসন্ধান করে। দেখা গেল যে, 226 জন A সামগ্রী, 51 জন B সামগ্রী, 54 জন C সামগ্রী, 21 জন A ও B উভ​য় সামগ্রী, 54 জনA ও C উভ​য় সামগ্রী, 39 জন B ও C উভ​য় সামগ্রী এবং 9 জন তিন ধরনের সামগ্রী  পছন্দ করে। প্রমাণ করো যে, তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক ন​য় (ধরে নাও যে, প্রত্যেক ব্যবহারকারী অন্তত এক ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে)।
সমাধানঃ 
ধরি, A সামগ্রীর সেট = A;
B সামগ্রীর সেট = B;
C সামগ্রীর সেট = C হলে,
এখানে, n(A) = 226;
  n(B) = 51;
n(C) = 54;
n(A ∩ B) = 21;
n(A ∩ C) = 54;
n(B ∩ C) = 39;
n(A ∩ B ∩ C) = 9
∴ ( A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 226 + 51 + 54 – 21 – 39 – 54 + 9
= 331 – 114 + 9
= 340 – 114
= 226
কিন্তু প্রশ্নানুযায়ী, মোট ব্যবহারকারীর সংখ্যা 300
∴ তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক ন​য়। (Proved)

17. কোনো কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্রসংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রতিটি গেম খেলে। কতজন ছাত্র- (i) কোনো গেম খেলে না (ii) কেবল একটি গেম খেলে এবং (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে?
সমাধানঃ
ধরি , কলেজের সমস্ত ছাত্রের সেট = S,
ফুটবল খেলা ছাত্রের সেট F,
ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C ও
ভলিবল খেলা ছাত্রের সেট V
এখানে, n(S) = 1000;
n(F) = 540;
n(C) = 465;
n(V) = 370;
n(F ∩ C) = 325;
n(F ∩ V) = 260;
n(C ∩ V) = 235;
n(F ∩ C ∩ V) = 125;
∴ n( F ∪ C ∪ V)
= n(F) + n(C) + n(V) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 + 465 + 370 – 325 – 260 – 235 + 125
= 1375 – 820 + 125
= 1500 – 820
= 680
(i) কোনো গেম খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা
= n(F^C ∩ C^C ∩ V^C)
= n( F ∪ C ∪ V)^C
= n(S) – n( F ∪ C ∪ V)
= 1000 – 680
= 320
(ii) শুধু ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ C^C ∩ V^C)
= n(F) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 – 325 – 260 + 125
= 80
শুধু ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(C ∩ F^C ∩ V^C)
= n(C) – n(C ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 465 – 325 – 235 + 125
= 590 – 560
= 30
শুধু ভলিবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(V ∩ F^C ∩ C^C)
= n(V) – n(V ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 370 – 235 – 260 + 125
= 495 – 495
= 0
∴কেবল একটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ C^C ∩ V^C) + n(C ∩ F^C ∩ V^C) + n(V ∩ F^C ∩ C^C)
= 80 +30 + 0
= 110
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ V) +n(C ∩ V) +n(F ∩ V) – 3 x n(F ∩ C ∩ V)
= 325 + 235 + 260 -3 x 125
= 820 – 375
= 445
Ans: (i) কোনো গেম খেলে 320 জন;
(ii) কেবল একটি গেম খেলে 110 জন; এবং
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে 445 জন।

18. একটি দলে কয়েক্জন ছাত্র অছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন  হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো। 
সমাধানঃ
ধরি, বাংলায় কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট B,
হিন্দিতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট H এবং
ইংরেজীতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট E;
এখানে,  n( B) = 65 ;
n( H) = 54 ;
n( E) = 37 ;
  n( B ∩ H) =31;
n( H ∩ E)  = 17
; n( B ∩ E) = 18
n( B ∪ H ∪ E)
= n( B)  + n( H)  + n( E)  – n( B ∩ H)  – n( H ∩ E)  – n( E ∩ B)  + n( B ∩ H ∩ E) = 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n( B ∩ H ∩ E)
= 90 + n( B ∩ H ∩ E)
এখন, n ( B ∪ H ∪ E) -এর মান ক্ষুদ্রতম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E)  = 0 হয়।
∴ n( A ∪ H ∪ E) -এর ক্ষুদ্রতম মান
= 90 + 0
= 90
n( B ∪ H ∪ E) -এর মান বৃহত্তম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E)  = 0-এর মান বৃহত্তম হয়।
এখন, n( A ∪ H ∪ E) -এর বৃহত্তম মান
= { n( B ∩ H) , n( H ∩ E) , n( E ∩ B)  } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= {31, 17, 18 } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= 17
Ans: দলের বৃহত্তম ছাত্রসংখ্যা = 90 + 17 = 107  ও
ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা  =  90