prostuti

PROSTUTI

Category: HS

  • CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

    CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

    CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

    গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান
    SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

    MATHEMATICS
    SEMESTER-IV (New System)
    2026

    Total Time: 2 Hours]                     [Total Marks: 40
    পরিমিত এবং যথাযথ উত্তরের জন্য বিশেষ মূল্য দেওয়া হবে। বর্ণাশুদ্ধি, অপরিচ্ছন্নতা এবং অপরিস্কার হস্তাক্ষরের ক্ষেত্রে নম্বর কেটে নেওয়া হবে। উপান্তে প্রশ্নের পূর্ণমান সূচিত আছে।
    Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting. Figures in the margin indicate full marks for the questions.

    বিভাগ – ক
    [২ নম্বরের প্রশ্ন]

    1. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) যদি ভেক্টর α = ai + aj + ck; β = i + k এবং γ = ci + cj + bk একতলীয় হয়, তাহলে প্রমাণ করো c2 = ab.

    Solution: ∵ α = ai + aj + ck;
    β = i + k এবং
    γ = ci + cj + bk
    ভেক্টর তিনটি একতলীয়।

    ∴\(\begin{vmatrix}a\ a\ c \\1\ 0\ 1 \\c\ c\ b\end{vmatrix}\)=0

    ⇒ a(0 – c) – a(b – c) + c(c – 0) = 0
    ⇒-ac – ab + ac + c2 = 0
    ⇒ c2 = ab (Proved)

    B) যদি a = 4i – j + k এবং b = 2i – 2j + k হয়, তবে a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution: a = 4i – j + k
    এবং b = 2i – 2j + k
    ∴ a + b
    = 4i – j + k + 2i – 2j + k
    = 6i – 3j + 2k
    a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর

    \(=\frac{a+b}{|a+b|}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{36+9+4}}\\=\frac{6i-3j+2k}{\sqrt{49}}\)

    = 1/7(6i – 3j + 2k)
    Ans: a + b ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর 1/7(6i – 3j + 2k)

    2. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) x – 2/3 = y + 1/-2λ = z – 2/0 এবং x – 1/1 = 2y + 3/3λ = z + 5/2 সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে λ-এর মান (গুলি) নির্ণয় করো।

    আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

    Solution: x – 2/3 = y + 1/-2λ = z – 2/0 সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমুহ 3, -2λ, 0
    এবং x – 1/1 = 2y + 3/3λ = z + 5/2
    ⇒ x – 1/1 = y – (-3/2)/3/2λ = z – (-5)/2 সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমুহ 1, 3/2λ, 2
    ∵ সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব
    ∴ 3.1 + (-2λ).3/2λ + 0.2 = 0
    বা, 3 -3λ2 = 0
    বা,λ2 = 1
    বা, λ = ±1
    Ans: λ-এর মানগুলি হল ±1

    B) 2x + 2y – 2z + 1 = 0 তলটি (2, 1, 5) এবং (3, 4, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে কী অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, 2x + 2y – 2z + 1 = 0 তলটি (2, 1, 5) এবং (3, 4, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে m : n অনুপাতে p বিন্দুতে বিভক্ত করে।
    ∴ p বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3m + 2n/m + n, 4m + n/m + n, 3m + 5n/m + n)
    p বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখার উপর অবস্থিত।
    ∴ 2.3m + 2n/m + n + 2.4m + n/m + n – 2.3m + 5n/m + n + 1 = 0
    ⇒ 6m + 4n + 8m + 2n – 6m – 10n + m + n/m + n = 0
    ⇒ 9m – 3n = 0
    ⇒3m = n
    ⇒ m : n = 1 : 3
    Ans: 1 : 3 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে।

    CLASS 12 2026 SEMESTER IV MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION wbchse // গণিত প্রশ্নপত্র সেমেস্টার 4 সমাধান।

    SEMESTER-4
    সূচিপত্র

    👉 SEMESTER IV-এর প্রশ্নপত্রের সমাধান

    👉 UNIT-1 ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

    👉 UNIT-2     কলনবিদ্যা

    • 1. অনির্দিষ্ট সমাকল
    • 2. পরিবর্ত বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাকলন
    • 3. আংশিক সমাকলন
    • 4. কয়েকটি বিশেষ আকারের অপেক্ষকের সমাকল
    • 5. নির্দিষ্ট সমাকল
    • 6. ক্ষেত্রফলরূপে নির্দিষ্ট সমাকল
    • 7. অবকল সমীকরণ

    👉 UNIT-3    রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

    • 1. রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

    3. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) a ও b-এর কোন্ মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত গাণিতিক অভিব্যক্তিটি সত্য হবে?\(\quad \int\frac{dx}{1 + sin x}=tan\left( \frac{x}{2}+a \right)+b\)

    Solution:

    \(\quad \int\frac{dx}{1 + sin x}\\=\int\frac{(1 – sin x)}{(1 + sin x)(1 – sin x)}dx\\=\int\frac{1 – sin x}{1 – sin^2 x}dx\\=\int\frac{1 – sin x}{cos^2 x}dx\\=\int sec^2 x dx-\int secxtanxdx+c\\=tanx-secx +c . . [c= Intregal\ Constant]\\=\frac{sin x}{cos x}-\frac{1}{cos x}+c\\=\frac{sin x-1}{cos x}\\=-\frac{1-sin x}{cos x}+c\)
    \(=-\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin \frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{cos^22.\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)^2}{cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{\left( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2} \right)^2}{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})(cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2})}+c\\=-\frac{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2}}+c\\=-\frac{1-tan\frac{x}{2}}{1+tan\frac{x}{2}}+c\\=\frac{tan\frac{x}{2}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{x}{2}.tan\frac{π}{4}}+c\\=tan\left( \frac{x}{2}-\frac{π}{4} \right)+c\)

    Ans: a = –π/4 এবং b = ধ্রুবক

    B) মান নির্ণয় করো:\(\quad \int_{-1}^{1} e^{|x|}dx.\)

    Solution: f(x) = e|x|
    f(-x) = e|-x| = e|x| = f(x)
    ∴ f(x) একটি যুগ্ম অপেক্ষক।

    \(\quad \int_{-1}^{1} e^{|x|}dx\\=2\int_{0}^{1} e^xdx\\=2\left[ e^x \right]_0^1\\=2(e^1-e^0)\\=2(e-1)\)

    4. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর-দাও:

    A) y = √x, 2y – x + 3 = 0, x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ এবং প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

    Solution: y = √x
    ⇒ y2 = x . . . (i)
        2y – x + 3 = 0
    ⇒ x = 2y + 3 . . . (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
          y2 = 2y + 3
    ⇒ y2 – 2y – 3 = 0
    ⇒ (y – 3)(y + 1)= 0
    ∴ y = 3, -1
    ∴ x = 9, 1
    ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 3), (1, -1)

    C B A O

    প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল
    = OABCO দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

    \(= \int_{0}^{9}\sqrt{x}dx-\int_{3}^{9}\frac{x+3}{2}dx\\=\frac{2}{3}\left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_0^9-\frac{1}{2}\left[ \frac{x^2}{2}-3x \right]_3^9\\=\frac{2}{3}.9^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\left[ \frac{81}{2}-\frac{9}{2}-(27-9) \right]\\=\frac{2}{3}.27-\frac{1}{2}\left[ \frac{72}{2}-18 \right]\\=18-\frac{1}{2}.18\\=9\)

    Ans: প্রথম পাদে অবস্থিত অঞ্চলটির ক্ষেত্রফল 9 বর্গ একক.

    B) y = sin2x বক্রের যে অঞ্চল x = 0, x = π কোটিদ্বয় এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

    Solution:

    x = 0 x = π

      f(x) = y = sin2x
    ∴ x = 0, x = π কোটিদ্বয় এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

    \(= \int_{0}^{π}ydx\\=\int_{0}^{π}sin^2xdx\\=\frac{1}{2}\int_{0}^{π}2sin^2xdx\\=\frac{1}{2}\int_{0}^{π}(1-cos2x)dx\\=\frac{1}{2}\left[ x-\frac{sin2x}{2} \right]_0^π\\=\frac{1}{2}[(π-0)-(0-0)]\\=\frac{π}{2}\)

    5. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) যে বৃত্তগুলি, মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট ও একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত ও যে সরলরেখা প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তাদের ছেদবিন্দুগামী, সেই সকল বৃত্তগুলির অবকল সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: যে সকল বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং ব্যাসার্ধ 1 একক তার সমীকরণ
      x2 + y2 = 1 . . . (i)
    যে সরলরেখা প্রথম পাদকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তার সমীকরণ
        y = x
    ⇒ x – y = 0 . . . (ii)
    (i) নং বৃত্ত ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ
        x2 + y2 – 1 + λ(x – y) = 0 . . . (iii)
    উভয়দিকে x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
    ∴ 2x + 2ydy/dx + λ(1 – dy/dx) = 0
    ⇒ λ(1 – y1) = -2(x + yy1)
    ⇒ λ = – 2(x + yy1)/(1 – y1)
     (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
          x2 + y2 – 1 – 2(x + yy1)/(1 – y1)(x – y) = 0
     ⇒(1 – y1)(x2 + y2 – 1) – 2(x + yy1)(x – y) = 0
    Ans: নির্ণেয় অবকল সমীকরণঃ
    (1 – y1)(x2 + y2 – 1) – 2(x + yy1)(x – y) = 0

    B) সমাধান করো: dy/dx = ex-y +x2e-y

    Solution:
        dy/dx = ex-y + x2e-y
    ⇒ ey .dy/dx = ex +x2
        উভয় দিকে সমাকলন করে পাই
       ∫ey dy = ∫ex dx + ∫x2 dx
    ⇒ ey = ex + 1/3x3 + c . .[c= সমাকলন ধ্রুবক]

    6. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) একটি রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যার ক্ষেত্রে উত্তল বহুভুজাকার কার্যকরী অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলি (0.0), (0, 4), (2, 3) ও (5, 0) হলে বিষয়াত্মক অপেক্ষক Z = 3x + 4y-এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হবে যে কৌণিক বিন্দুতে তা নির্ণয় করো।

    Solution:

    প্রান্তিক বিন্দুZ = 3x + 4y
    (0.0)Z = 3.0+4.0= 0
    (0, 4)Z = 3.0+4.4= 16
    (2, 3)Z = 3.2+4.3= 18
    (5, 0)Z = 3.5+4.0= 15

      Zmax = 18 যখন কৌণিক বিন্দু (2, 3)
    Ans: Z = 3x + 4y-এর সর্বাধিক মান প্রাপ্ত হবে (2, 3) কৌণিক বিন্দুতে

    B) একজন আসবাবপত্রের ডিলার মাত্র দুটি আইটেম টেবিল এবং চেয়ার-এর ব্যবসা করে। তার কাছে বিনিয়োগের জন্য 5,000 টাকা আছে এবং সর্বাধিক 60 টি আসবাব রাখার জন্য স্থান আছে। প্রতিটি টেবিল ও চেয়ার পিছু তার খরচ যথাক্রমে 250 টাকা ও 60 টাকা। রৈখিক প্রোগ্রামবিধির সমস্যাটির শর্তগুলি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করো।

    Solution:  ধরি আসবাবপত্রের ডিলার x(≥0) টি টেবিল এবং y(≥0) টি চেয়ার রেখেছেন।
    তার সর্বাধিক 60 টি আসবাব রাখার জন্য স্থান আছে।
    ∴ x + y ≤ 60
    তার কাছে বিনিয়োগের জন্য 5,000 টাকা আছে এবং প্রতিটি টেবিল ও চেয়ার পিছু তার খরচ যথাক্রমে 250 টাকা ও 60 টাকা।
    ∴ 250x + 60y ≤ 5000
    সমস্যাটির শর্তগুলি হল
          x + y ≤ 60
          250x + 60y ≤ 5000
          x ≥ 0 এবং y ≥ 0

    বিভাগ খ
    [3 নম্বরের প্রশ্ন]

    7. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) যে সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু i এবং i + j ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয় সেটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো

    Solution: ধরি সামান্তরিকের সংলগ্ন বাহু দুটি
          α = i এবং
           β = i + j
    ∴ α × β = i (i + j)
    = i × i + i × j
    = 0 + k = k
    ∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
    = | α × β |
    = √(02 + 12) = √1 = 1
    Ans: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক।

    B) a, b, c তিনটি একক ভেক্টর হলে, প্রমাণ করো যে, la – b|2 + |b – c|2 + |c – a|2 ≤ 9.

    Solution: B) a, b, c তিনটি একক ভেক্টর।
    ∴ lal = 1, lbl = 1, lcl = 1
    la – b|2 = la – b|.la – b|
    = a.a – a.b – b.a + b.b
    =lal2 – 2.a.b + lbl2
    = 1 + 1 – 2.a.b = 2 – 2.a.b
     |b – c|2 = |b – c|.|b – c|
    = b.b – b.c – c.b + c.c 
    =lbl2 – 2.b.c + lcl2 
    = 1 + 1 – 2.b.c = 2 – 2.b.c
     |c – a|2 = |c – a|.|c – a|
    = c.c – c.a – a.c + a.a 
    =lcl2 – 2.c.a + lal2 
    = 1 + 1 – 2.c.a = 2 – 2.c.a

    ∴ la – b|2 + |b – c|2 + |c – a|2
    = 2 – 2.a.b + 2 – 2.b.c + 2 – 2.c.a
    = 6 – 2(a.b + b.c + c.a) . . . (i)
    আবার 
         la + b + c|2 ≥ 0
    ⇒ a.(a + b + c) + b.(a + b +c) + c(a + b + c)
    ⇒ lal2 + lbl2 + lcl2 + 2(a.b + b.c + c.a) ≥ 0
    বা,3 + 2(a.b + b.c + c.a) ≥ 0
    ⇒ 2(a.b + b.c + c.a) ≥ -3
    ∵ la – b|2 + |b – c|2 + |c – a|2
    = 6 – 2(a.b + b.c + c.a)
    ≤ 6 – (-3) ≤ 9
    la – b|2 + |b – c|2 + |c – a|2 ≤ 9 (Proved)

    8. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) সমাকলন করো: ∫dx/tan x + cot x + secx + cosec X

    \(Solution:\\\quad tan x + cot x + secx + cosec x\\= \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x}+ \frac{1}{cos x} + \frac{1}{sin x}\\= \frac{sin^2 x + cos^2 x + sin x + cos x}{cos x.sin x}\\= \frac{1 + sin x + cos x}{cos x.sin x}\)
    \(\quad \int\frac{dx}{tan x + cot x + secx + cosec x}\\=\int \frac{cos x.sin x}{1 + sin x + cos x}dx\\ = \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{(sin x + cos x + 1)(sin x + cos x – 1)}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{(sin x + cos x)^2 – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x.cos x – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{1 + 2 sin x.cos x – 1}dx\\= \int \frac{cos x.sin x(sin x + cos x – 1)}{2 sin x.cos x}dx\\= \frac{1}{2}\int (sin x + cos x – 1)dx\)

    = 1/2(-cos x + sin x – x) + k . . . [k = সমাকলন ধ্রুবক]
    Ans: 1/2(-cos x + sin x – x) + k

    B) সমাকলন করো: ∫dx/sin(x-α)cos(x-β), যেখানে α, β দুটি ধ্রুবক।

    \(Solution:\\\quad \int \frac{dx}{sin(x-α)cos(x-β)}\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos(α-β)}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos[(x-β)-(x-α)]}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\int \frac{cos(x-β)cos(x-α)+sin(x-β)sin(x-α)}{sin(x-α)cos(x-β)}dx\\=\frac{1}{cos(α-β)}\left[ \int cot(x-α) dx + ∫tan(x-β) dx \right]\)

    = 1/cos(α-β)[loge |sin(x-α)| + loge |sec(x-β)|] + c . . . [c = সমাকলন ধ্রুবক]
    = 1/cos(α-β) loge |sin(x-α)/cos(x-β)| + c

    9. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) সমাধান করো: x dy + y dx + y2(x dy – y dx)= 0.

    \(\quad x dy + y dx + y^2(x dy – y dx)= 0\\⇒d(xy)+x^2y^2\frac{x dy – y dx}{x^2}= 0\\⇒\frac{d(xy)}{(xy)^2}+d\left( \frac{y}{x} \right)= 0\)উভয় দিকে সমাকলন করে পাই,\(\quad \int\frac{d(xy)}{(xy)^2}+\int d\left( \frac{y}{x} \right)= k\\⇒\frac{(xy)^{-2+1}}{-2+1}+\frac{y}{x}= k\\⇒-\frac{1}{xy}+\frac{y}{x}= k\\⇒\frac{-1+y^2}{xy}=k\\⇒(y^2-1)=kxy\ \quad(Ans)\)

    B) সমাধান করো: (sin y + y sin x+ 1/x)dx + (xcos y – cosx + 1/y)dy = 0.

    Solution:
         (sin y + y sin x+ 1/x)dx + (xcos y – cosx + 1/y)dy = 0
    ⇒ sin y dx + y sin x dx + 1/x dx + xcos y dy – cosx dy + 1/y dy = 0
    ⇒ (sin y dx + xcos y dy) – (cosx dy – y sin x dx ) + 1/x dx + 1/y dy = 0
    ⇒d(xsin y) – d(ycosx) + 1/x dx + 1/y dy = 0
         উভয় দিকে সমাকলন করে পাই
        ∫d(xsin y) – ∫d(ycosx) + ∫1/x dx + ∫1/y dy = k . . . [k = সমাকলন ধ্রুবক]
    ⇒ xsin y – ycosx + loge x + loge y = k
    ⇒ xsin y – ycosx + loge xy = k    (Ans)

    10. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) লেখচিত্রের সাহায্যে নীচের রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো এবং অভীষ্ট অপেক্ষক Z-এর অবম মান নির্ণয় করো। (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই)
    z = 3x + 5y
    শর্ত সাপেক্ষে x + 3y ≥ 3,
                                 x + y ≥ 2
                       এবং x, y ≥ 0

    Solution: প্রদত্ত অসমীকরণ তিনটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
         x + 3y = 3
    ⇒ x/3 + y/1 = 1
        x + y = 2
    ⇒ x/2 + y/2 = 1
        y = 0 এবং x = 0
    x + 3y = 3 এবং x + y = 2 ছেদবিন্দুঃ
        x + 3(2 – x) = 3 . . . [∵ y = 2 – x]
    ⇒ x + 6 – 3x = 3
    ⇒ -2x = -3
    ∴ x = 3/2
        y = 2 – 3/2 = 1/2
    x + 3y = 3 এবং x + y = 2-এর ছেদবিন্দু (3/2, 1/2)

    প্রান্তিক বিন্দুz = 3x + 5y
    (3, 0)z = 3.3 + 5.0 = 9
    (3/2, 1/2)z = 3.3/2 + 5.1/2
        = 9 + 5/2 = 7
    (0, 2)z = 3.0 + 5.2 = 10

    Zmin = 7 যখন x = 3/2, y = 1/2

    E D 2       1 1        2 A    3 B     4 C Y X O

    B) লেখচিত্রের মাধ্যমে প্রদত্ত রৈখিক প্রোগ্রাম বিধি সমস্যাটির সমাধান করো (ছক কাগজের প্রয়োজন নেই) z = 5x + 7y এর চরম মান নির্ণয় করো।
    শর্ত সাপেক্ষে x + y ≤ 4,
                               3x + 8y ≤ 24,
                               10x+ 7y ≤ 35,
                               x, y ≥ 0

    Solution: Zmax = 5x + 7y যখন বাধাগোষ্ঠী
              x + y ≤ 4,
              3x + 8y ≤ 24,
              10x+ 7y ≤ 35,
              x, y ≥ 0
    প্রদত্ত অসমীকরণ তিনটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
         x + y = 4 . . .  (i)
    ⇒ x/4 + y/4 = 1
    সরলরেখাটি (4, 0) ও (0, 4)বিন্দুগামী।
         3x + 8y = 24
    ⇒ x/8 + y/3 = 1 . . .  (ii)
    সরলরেখাটি (8, 0) ও (0, 3)বিন্দুগামী।
         10x+ 7y = 35 . . .  (iii)
    ⇒ x/3.5 + y/5 = 1
    সরলরেখাটি (3.5, 0) ও (0, 5)বিন্দুগামী।

    (i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
         10x + 7(4 – x) = 35. . . [∵ y = 4 – x]
    ⇒ 3x = 35 – 28 = 7
    ⇒ x = 7/3
    ∴ y = 4 – 7/3 = 5/3
    (i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু (7/3, 5/3)
    (i) ও (ii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
         3x + 8(4 – x) = 24. . . [∵ y = 4 – x]
    ⇒ -5x = 24 – 32 = -8
    ⇒ x = 8/3
    ∴ y = 4 – 8/3 = 4/3
    (i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু (8/3, 4/3)

    A 5    4    3    2    1 1    2    3(3.5, 0) 4    5    6    7    8    9 E(0, 3) D(8/3, 4/3) C(7/3, 5/3) Y X O
    প্রান্তিক বিন্দুz = 5x + 7y
    O(3, 0)z = 5.0 + 7.0 = 0
    A(3.5, 0)z = 5×3.5 + 7.0 = 17.5
    C(7/3, 5/3)z = 5.7/3 + 7.5/3 = 70/3
    D(8/3, 4/3)z = 5.8/3 + 7.4/3 = 68/3
    E(0, 3)z = 5.0 + 7.3 = 21

    Ans: Zmax = 70/3 = 231/3 যখন x = 7/3, y = 5/3

    বিভাগ গ
    [4 নম্বরের প্রশ্ন]

    11. চারটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি \(a^2l + b^2m + c^2n=0\) এবং mn + nl + Im = 0 সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত। সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0\)

    Solution: mn + nl + Im = 0
    ⇒ l(n + I) = -mn
    ⇒ l = –mn/n + I
    আবার a2l + b2m + c2n =0
    ⇒ a2.-mn/n + m + b2m + c2n = 0
    ⇒-a2mn + b2mn + b2m2 + c2n2 + c2mn = 0
    ⇒ b2m2 + mn(b2 + c2 – a2) + c2n2 = 0
    ⇒ b2(m/n)2 + (b2 + c2 – a2)m/n + c2 = 0
    ইহা (m/n)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

    ∴ বীজদ্বয় \(\frac{m_1}{n_1}\) এবং \(\frac{m_2}{n_2}\) হলে,
    \(\quad\frac{m_1}{n_1}×\frac{m_2}{n_2}=\frac{c^2}{b^2}\\⇒b^2.m_1m_2 = c^2.n_1n_2\\⇒\frac{m_1m_2}{\frac{1}{b^2}}=\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}. .; (i)\)অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,;\(\\\quad\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}=\frac{l_1l_2}{\frac{1}{a^2}}. .; (ii)\)

    ∴ (i) ও (ii) থেকে লেখা যায়, 

    \(\quad\frac{l_1l_2}{\frac{1}{a^2}}=\frac{m_1m_2}{\frac{1}{b^2}}=\frac{n_1n_2}{\frac{1}{c^2}}=k\quad(Let)\\∴l_1l_2=\frac{k}{a^2},\quad m_1m_2=\frac{k}{b^2},\quad n_1n_2=\frac{k}{c^2}\)

    সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব

    \(∴ l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0\\⇒\frac{k}{a^2}+\frac{k}{b^2}+\frac{k}{c^2}=0\\⇒ k\left( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right)=0\\⇒\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=0\quad (Proved)\)

    B) মূলবিন্দু থেকে কোনো সমতলের ওপর আঁকা লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a, b, c) হলে, সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

    Solution: মূলবিন্দু থেকে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (a, b, c)
    ∴ সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের দিকঅনুপাতসমূহ a – 0, b – 0, c – 0 বা a, b, c
    ∴ সমতলটির সমীকরণ:
        a(x – a) + b(y – b) + c(z – c) = 0
    ⇒ ax + by + cz = a2 + b2 + c2
    Ans: সমতলটির সমীকরণ:
               ax + by + cz = a2 + b2 + c2

    C) একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু O থেকে সর্বদা 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে এবং x, y ও z অক্ষকে যথাক্রমে A, B এবং C বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথ (locus) হবে x-2 + y-2 + z-2 = p-2

    Solution: মনে করি মূলবিন্দু থেকে সমতলটির উপর অঙ্কিত লম্বের দিকঅনুপাতসমূহ l, m, n. সমতলটি মূলবিন্দু থেকে সর্বদা 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে।
    ∴ সমতলটির সমীকরণ হবে:
             lx + my + nz = 3p

    \(⇒\frac{l}{3p}x+\frac{m}{3p}y+\frac{n}{3p}z = 1\\⇒\frac{x}{\frac{3p}{i}}+\frac{y}{\frac{3p}{m}}+\frac{z}{\frac{3p}{n}} = 1\)

    ∴ A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3p/l, 0, 0),  (0, 3p/m, 0), (0, 0, 3p/n)
    বা (3p/l, 3p/m, 3p/n)

    ∴ △ABC এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (x, y, z) হলে,

    \(\quad x=\frac{\frac{3p}{l}+0+0}{3}= \frac{p}{l},\\\quad y = \frac{\frac{3p}{m}+0+0}{3}= \frac{p}{m},\\\quad z = \frac{\frac{3p}{n}+0+0}{3}= \frac{p}{n}\)
    \(∴ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}\\=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\\=\frac{l^2}{p^2}+\frac{m^2}{p^2}+\frac{n^2}{p^2}\\=\frac{l^2+m^2+n^2}{p^2}\\= \frac{1}{p^2}…[∵ l^2+m^2+n^2=1]\\=p^-2\)

    ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সঞ্চারপথ (locus) হবে
          x-2 + y-2 + z-2 = p-2 (Proved)

    D) x/1 = y-1/2 = z – 2/3 সরলরেখাটির সাপেক্ষে (1, 6, 3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি AB সরলরেখার সমীকরণ:
        x/1 = y-1/2 = z – 2/3 =  λ (ধরি)
    ∴ x = λ, y = 2λ + 1, z = 3λ + 2
    AB সরলরেখার দিকঅনুপাতসমূহ 1, 2, 3
    সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দু N-এর স্থানাঙ্ক (λ, 2λ + 1, 3λ + 2) এবং P-এর স্থানাঙ্ক (1, 6, 3)
    ∴ PN-এর দিকঅনুপাতসমূহ λ – 1, 2λ + 1 – 6, 3λ + 2 – 3 বা, λ – 1, 2λ – 5, 3λ – 1
    AB সরলরেখার উপর PN লম্ব।
    ∴ 1(λ – 1) + 2(2λ – 5) + 3(3λ – 1) = 0
    ⇒ λ – 1 + 4λ – 10 + 9λ – 3 = 0
    ⇒ 14λ = 14
    ⇒λ = 1
    N-এর স্থানাঙ্ক (1, 2.1 + 1, 3.1 + 2) = (1, 3, 5)
    (1, 6, 3) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু (α, β, γ) হলে,
    ∴ 1 + α/2 = 1 ⇒ 1 + α = 2 ⇒ α = 1
        6 + β/2 = 3 ⇒ 6 + β = 6 ⇒ β = 0
        3 + γ/2 = 5 ⇒ 3 + γ = 10 ⇒ γ = 7
    Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 0, 7)

    12. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) মান নির্ণয় করো: \(∫_a^b \frac{f(x)dx}{f(x)+f(a+b-x)}\)
    \(Solution:\\I=∫_a^b \frac{f(x)dx}{f(x)+f(a+b-x)}\\=∫_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(a+b-(a+b-x))}dx…\left[ ∵∫_a^bf(x)=∫_a^bf(a+b-x) \right]\\=∫_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\∴I+I=∫_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx+∫_a^b \frac{f(a+b-x)dx}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\⇒2I=∫_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)}dx\\⇒2I=∫_a^b dx\\⇒2I=\left[ x \right]_a^b=(b-a)\\∴I=\frac{1}{2}(a-b)\quad (Ans)\)
    B) দেখাও যে \(∫_0^{2000π} \frac{dx}{1+5^{sinx}}= 1000π\)
    \(Solution:\\L.H.S.=∫_0^{2000π} \frac{dx}{1+5^{sinx}}\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{sinx}}\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{sin(2π-x)}}dx…\left[ ∵∫_a^bf(x)=∫_a^bf(a+b-x) \right]\\=1000∫_0^{2π}\frac{dx}{1+5^{-sinx}}dx\\=1000∫_0^{2π}\frac{5^{sinx}}{5^{sinx}+1}dx\\∴I+I=1000∫_0^{2π}\frac{1}{1+5^{sinx}}dx+1000∫_0^{2π}\frac{5^{sinx}}{5^{sinx}+1}dx\\⇒2I=1000∫_0^{2π}\frac{1+5^{sinx}}{1+5^{sinx}}dx\\⇒2I=1000∫_0^{2π}dx\\⇒2I=1000\left[ x \right]_0^{2π}=1000.(2π-0)\\∴I=500.2π=1000π =R.H.S.\quad (Proved)\)

    13. দুটি প্রশ্নের মধ্যে যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

    A) x-অক্ষ, x = √3y সরলরেখা ও x2 + y2 = 4 বৃত্ত দ্বারা প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট সমাকল ব‍্যবহার করে নির্ণয় করো।

    Solution: x = √3y . . . (i)
    x2 + y2 = 4 . . . (ii)
    (i) ও (ii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
         (√3y)2 + y2 = 4. . . [∵ y = 4 – x]
    ⇒ 4y2 = 4
    ⇒ y2 = 1
    ∴ y = ±1
    x = √3(±1) = ±√3
    (i) ও (ii) নং সমীকরণের প্রথম পাদে অবস্থিত ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, √3)

    x=√3 x=2

    ∴ প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল
    = চিহ্নিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

    \(=\int_{0}^{√3}\frac{x}{√3}dx+\int_{√3}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\\=\frac{1}{2√3}\left[ x^2 \right]_{0}^{√3}+\left[ \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+\frac{4}{2}sin^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) \right]_{√3}^{2}\\=\frac{1}{2√3}(3-0)+\left(0+2sin^{-1}(1)-\frac{√3}{2}-2sin^{-1}\frac{√3}{2} \right)\\=\frac{√3}{2}+2sin^{-1}\left(sin \frac{π}{2} \right)-\frac{√3}{2}-2sin^{-1}\left(sin \frac{π}{3} \right)\\=2.\frac{π}{2}-2.\frac{π}{3}\\=\frac{π}{3}\)

    Ans: প্রথম পাদে সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল π/3 বর্গএকক।

    B) কলনবিদ্যার সাহায্যে নিম্নলিখিত বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো:
             x2 + y2 ≤ 1,
             x + y ≤ 1.

    Solution: প্রদত্ত অসমীকরণ দুটির অনুরূপ সমীকরণ হল:
         x2 + y2 = 1 . . .  (i)
         x + y = 1 . . .  (ii)
    (i) ও (iii) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু:
         x2 + (1 – x)2 = 1. . . [∵ y = 1 – x]
    ⇒ x2 + 1 – 2x + x2 = 1
    ⇒ 2x2 – 2x = 0
    ⇒2x(x – 1) = 0
          ∴ x = 0, y = 1
    এবং x = 1, y = 0
    বক্রদ্বয়ের ছেদবিন্দু (0, 1), (1, 0)

    (0,1) (1,0)

    বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল
    = চিহ্নিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

    \(=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx-\int_{0}^{1}(1-x)dx\\=\left[\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}sin^{-1}x \right]_{0}^{1}-\left[ x-\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}\\=0+\frac{1}{2}sin^{-1}1-0-0-\left( 1-\frac{1}{2} \right)\\=\frac{1}{2}sin^{-1}\left( sin\frac{π}{2} \right)-\frac{1}{2}\\=\frac{1}{2}.\frac{π}{2}-\frac{1}{2}\\=\frac{1}{4}(π-2)\)

    Ans: বক্রদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল 1/4(π – 2) বর্গএকক।

    VECTOR ALGEBRA →
    ←HS 2025 MATHEMATICS SOLUTION
  • Solution of Vector Algebra Semester 4 ভেক্টর বীজগণিত

    Solution of Vector Algebra Semester 4 ভেক্টর বীজগণিত

         Solution of Vector Algebra Semester 4 ভেক্টর বীজগণিত

    ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

    Unit 1    ▶ Chapter 1
    ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra
    সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি                                                                                                       প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

    Vector Algebra

    1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।
            (ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান।
            (iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ।

    (i) Ans:     যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।

    ∠ A B

    একটি দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের মান ও অভিমুখ উভয়ই আছে বলে, দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের দ্বারা ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়। চিত্রে ĀB̄ সরলরেখাংশের দ্বারা একটি ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়েছে যার A বিন্দু প্রারম্ভিক বিন্দু এবং B̄ বিন্দু অন্তিম বিন্দু।

    (ii) Ans: ā = 2î – 5ĵ + 3k̂    ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর

    \(|ā| = \sqrt{(2)^2+(-5)^2+(3)^2}\\=\sqrt{4+25+9}=\sqrt{38}\)\(|b̄| = \sqrt{(5)^2+(3)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}\\∴ |ā| = |b̄| = \sqrt{38}\)

     ∴ |ā| = |b̄| =       ā ও b̄ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের মান সমান।

    (iii) Ans: ā = 2î – 5ĵ + 3k̂    ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।
    b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂
        = 2(2î – 5ĵ + 3k̂) = 2ā
    ∵ b̄ = 2ā
    ∴ ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের অভিমুখ একই।

    2. একটি মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের (position Vector)-এর সংজ্ঞা দাও। P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে ā ও b̄ এর মাধ্যমে P̄Q̄ ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Ans: কোন একটি তলে O -কে একটি মূলবিন্দু ধরলে ŌP̄ ভেক্টরকে O বিন্দুর  সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।  প্রারম্ভিক বিন্দু O -কে নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দু বলা হয়।
    P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে
    P̄Q̄ = (Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) = b̄ – ā

    3. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + k̂ এবং -3î – 4ĵ – 5k̂ হলে QP ভেক্টরটি নির্ণয় করো।
     
    Solution: Q̄P̄ = (P̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (Q̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
    = (2î + k̂) – (-3î – 4ĵ – 5k̂)
    =2î + k̂ +3î + 4ĵ + 5k̂)
    = 5î + 4ĵ + 6k̂  (Ans)

    4. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Ans: ভেক্টরঃ যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
    একক ভেক্টরঃ কোন নির্দিষ্ট অভিমুখে একটি ভেক্টরের মান (magnitude) বা মডিউলাস 1 হলে তাকে একক ভেক্টর বলে।
    ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর: ā/|ā|

    5(i). যদি r̄ = xā + yb̄ + zc̄ হয়, তবে ā অভিমুখে r̄ -এর স্কেলার উপাংশ কী হবে?

    Ans:  x

    5(ii). O̅P̄ = xî + yĵ + zk̂ হলে হলে নীচের y -অক্ষ অভিমুখে O̅P̄ -এর ভেক্টর উপাংশ কী হবে?
     
    Ans: yĵ

    6. মনে করো, A ও B বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু C যদি A ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও c̄ হয় তবে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে কী হবে?

    Solution: ধরি, B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর b̄
    ∴ c̄ = ā + b̄/2
    বা, ā + b̄ = 2c̄
    বা, b̄ = 2c̄ – ā
    ∴ B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2c̄ – ā (Ans)

    7. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:      ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂
    ∴ 3ā + 2b̄ = 3(2î – 5ĵ + 3k̂) + 2(î – 2ĵ – 4k̂)
    = 6î – 15ĵ + 9k̂ + 2î – 4ĵ – 8k̂
    = 8î – 19ĵ + k̂

    \(∴ |3ā + 2b̄| = \sqrt{(8)^2+(19)^2+(1)^2}\\=\sqrt{64+361+1}=\sqrt{426}\quad (Ans)\)

    8. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

    Solution:     ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂
    ∴ ā + b̄ = 2î + 3ĵ – 4k̂ + î + 2ĵ + k̂
    = 3î + 5ĵ – 3k̂   (Ans)

    \(∴ |ā + b̄| = \sqrt{(3)^2+(5)^2+(-3)^2}\\=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43}\quad (Ans)\)

    9. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:     2ᾱ – β̄ = 2(2î – 5ĵ + 4k̂) – (î – 4ĵ + 6k̂)
    = 4î – 10ĵ + 8k̂ – î + 4ĵ – 6k̂
    = 3î – 6ĵ + 2k̂  (Ans)

    (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর\(=\frac{2ᾱ – β̄ }{|2ᾱ – β̄|)}\\=\frac{3î – 6ĵ + 2k̂}{\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}}\\=\frac{3î – 6ĵ + 2k̂}{\sqrt{49}}\\=\frac{1}{7}(3î-6ĵ+2k̂)\quad (Ans)\)

    SEMESTER-4
    সূচিপত্র

    👉 SEMESTER IV-এর প্রশ্নপত্রের সমাধান

    👉 UNIT-1 ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

    👉 UNIT-2     কলনবিদ্যা

    • 1. অনির্দিষ্ট সমাকল
    • 2. পরিবর্ত বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাকলন
    • 3. আংশিক সমাকলন
    • 4. কয়েকটি বিশেষ আকারের অপেক্ষকের সমাকল
    • 5. নির্দিষ্ট সমাকল
    • 6. ক্ষেত্রফলরূপে নির্দিষ্ট সমাকল
    • 7. অবকল সমীকরণ

    👉 UNIT-3    রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

    • 1. রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

    10. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6ĵ এবং 5î + 5ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

    \(Solution: |-î+ĵ|^2 =\left( \sqrt{(-1)^2+(1)^2}\right)^2=\left( \sqrt{1+1} \right)^2=2\\|-4î-6ĵ|^2=\left( \sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\right)^2=\left( \sqrt{16+36} \right)^2=52\\ |5î+5ĵ|^2 =\left( \sqrt{(5)^2+(5)^2}\right)^2=\left( \sqrt{25+25} \right)^2=50\\∴ |-4î-6ĵ|^2 = |-î+ĵ|^2 + |5î+5ĵ|^2\)

    ∴ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।  (Proved)

    12. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

    Solution:      A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + 7ĵ, -4î + 5ĵ এবং î – 5ĵ:
    ∴ ĀB̄ = (-4î + 5ĵ) – (-5î + 7ĵ)
    = -4î + 5ĵ + 5î – 7ĵ  = î – 2ĵ
    ∴ B̄C̄ = (î – 5ĵ) – (-4î + 5ĵ)
    = î – 5ĵ + 4î – 5ĵ
    = 5î – 10ĵ  = 5(î – 2ĵ) = 5ĀB̄
    ∵ B̄C̄ = 5ĀB̄  এবং  B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু ।
    ∴ ĀB̄ ও B̄C̄ রেখাংশ একরেখীয়।
    অতএব A, B ও C বিন্দু তিনটি একরেখীয়। (Proved)

    13. ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ হলে, (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর এবং (2ā – b̄) ভেক্টরের অক্ষ দুটি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশ নির্ণয় করো।

    Solution:     এখানে, ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ
    ∴ 2ā – b̄
    = 2(î + ĵ) -(4î – ĵ)
    = 2î + 2ĵ -4î + ĵ  = -2î + 3ĵ

    (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর \(=\frac{2ā – b̄}{|2ā – b̄|}\\=\frac{-2î + 3ĵ}{\sqrt{(-2)^2 + (3)^2}}\\=\frac{1}{\sqrt{13}}(-2î + 3ĵ)\quad (Ans)\)

    x অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ -2î এবং স্কেলার উপাংশ -2;
    y অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ এবং স্কেলার উপাংশ 3 (Ans)

    14. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3ĵ এবং 2î – 5ĵ: P̄Q̅ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

    Solution:     P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3ĵ এবং 2î – 5ĵ
    ∴ P̄Q̅ = (2î – 5ĵ) – (8î + 3ĵ) = 2î – 5ĵ – 8î – 3ĵ = -6î – 8ĵ

    \(∴ |P̄Q̅|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}\\=\sqrt{36+64}\\=\sqrt{100}=10\)

    P̄Q̅, x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে α কোন উৎপন্ন করলে,
    cosα = -6/10 = – 3/5    বা, α = cos-1(- 3/5)
    Ans: P̄Q ভেক্টরের মান 10 ও দিক cos-1(- 3/5)

    15. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
        (i) ĀB̅ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং
       (ii) ĀB̅ রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:
    (i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ ;
    ∴ ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = (4î – 3ĵ – 2î + 5ĵ)/2
    = (2î + 2ĵ)/2 = î + 2ĵ
    ANS: ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 2ĵ

    (ii)
    A__________C__________D__________ B
    ধরি, ĀB̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
    A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ;
    ∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 1.(-2î + 5ĵ) + 2(4î – 3ĵ)/1 + 2
    = -2î + 5ĵ + 8î – 6ĵ/3
    =6î – ĵ/3 = 2î – 1/3 ĵ
    B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2.(-2î + 5ĵ) + 1(4î – 3ĵ)/1 + 2
    = -4î + 10ĵ + 4î – 3ĵ/3
    =7ĵ/3 = 7/3 ĵ
    Ans: যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর  2î – 1/3 ĵ এবং 7/3 ĵ;

    16. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর A(-î – 3ĵ), B(5î + 7ĵ) এবং C(2î + 5ĵ)
    ∴ মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = -î – 3ĵ + 5î + 7ĵ + 2î + 5ĵ/3
    = 6î + 9ĵ/3 = 2î + 3ĵ
    ANS: মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2î + 3ĵ

    17(i). pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:      pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ
    ∴ pî – 5ĵ = m(2î – 3ĵ) – – – [m ≠ 0]
    ⇒ pî – 5ĵ = 2mî – 3mĵ
    ∴ -5 = -3m
    ⇒ m = 5/3 
    এবং p = 2m
    বা, p = 2×5/3 = 10/3
    ANS: p = 10/3

    17(ii). যদি ᾱ = 2î + 3ĵ – 6k̂ এবং β̄ = pî – ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়, তবে p এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:     ᾱ ও β̄ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
    ∴ ᾱ = mβ̄ – – – – [m ≠ 0]
    বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = m(pî – ĵ + 3k̂)
    বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = mpî – mĵ + 3mk̂  
    ∴ 3 = -m
    বা, m = -3
    এবং 2 = mp
    বা, 2 = -3.p
    বা, p = –2/3
    Ans: p এর মান –2/3

    17(iii). ABC ত্রিভুজে AB ও BC বাহু যথাক্রমে 2î – ĵ + 2k̂ ও î + 3ĵ + 5k̂ ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা নির্ণয় করো।

    Solution:     ভেক্টর যোগের সূত্রের সাহায্যে পাই,
       AB̄ + BC̄ + CĀ = 0
    ∴ CĀ = – (AB̄ + BC̄)
    = – (2î – ĵ + 2k̂ + î + 3ĵ + 5k̂)
    = – 3î – 2 ĵ – 7k̂
    ANS: CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা হল – 3î – 2 ĵ – 7k̂

    18. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3ĵ – k̂ হলে AB ভেক্টরের মান ও তার দিক্‌ (direction) কোসাইনগুলি নির্ণয় করো।

    Solution:
    A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3ĵ – k̂
    ∴ ĀB̄ = (4î – 3ĵ – k̂) – (3î – ĵ + 7k̂)
    = 4î – 3ĵ – k̂ – 3î + ĵ – 7k̂
    = î – 2ĵ – 8k̂
      |ĀB̄|

    \(= \sqrt{(1)^2+(-2)^2+(8)^2}\\=\sqrt{1+4+64}=\sqrt{69}\)

    Ans:  AB ভেক্টরের মান  √69 ও তার দিক্‌ কোসাইনগুলি হল- 1/√69, -2/√69, -8/√69

    19.  ā = î + 2ĵ – k̂ এবং b̄ = 3î + ĵ – 5k̂ হলে (ā – b̄) ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:
    ā = î + 2ĵ – k̂ এবং  b̄ = 3î + ĵ – 5k̂
    ∴ ā – b̄ = î + 2ĵ – k̂ – (3î + ĵ – 5k̂)
    = î + 2ĵ – k̂ – 3î – ĵ + 5k̂
    = -2î + ĵ + 4k̂
    ∴ |ā – b̄|

    \(= \sqrt{(-2)^2+(1)^2+(4)^2}\\=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}\)

    ā – b̄ ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর হল
    = ā – b̄/|ā – b̄|
    = 1/√21(-2î + ĵ + 4k̂) (Ans)

    20. মনে করো, ā = 4î + 3ĵ – k̂, b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂, c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂ এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂; দেখাও যে, b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; তাদের মানের (modulus)-এর অনুপাত নির্ণয় করো।

    Solution:      ā = 4î + 3ĵ – k̂,    b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂,    c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂  এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂;
    ∴ b̄ – ā = 5î + 2ĵ + 2k̂ – (4î + 3ĵ – k̂)
    = 5î + 2ĵ + 2k̂ – 4î – 3ĵ + k̂
    = î – ĵ + 3k̂
    d̄ – c̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂ – (2î – 2ĵ – 3k̂)
    = 4î – 4ĵ + 3k̂ – 2î + 2ĵ + 3k̂
    = 2î – 2ĵ + 6k̂
    =2(î – ĵ + 3k̂)
    = 2(b̄ – ā)
    ∵ d̄ – c̄ = 2(b̄ – ā)
    b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। (Proved)
    ∵ 2(b̄ – ā) = d̄ – c̄
    ⇒ |b̄ – ā|/|d̄ – c̄| = 1/2
    ⇒ |b̄ – ā| ∶ |d̄ – c̄| = 1 ∶ 2
    ভেক্টর     দুটির মানের অনুপাত = 1 : 2 (Ans)

    21(i). 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ এবং  -2î +3ĵ – 4k̂ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

    Solution: ধরি, ā = 2î – ĵ + k̂; b̄ = î – 3ĵ – 5k̂ এবং c̄ = -2î + 3ĵ – 4k̂

    \(∴ |ā| = \sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2}\\=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\\|b̄| = \sqrt{(1)^2+(-3)^2+(-5)^2}\\=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}\\|c̄| = \sqrt{(-2)^2+(3)^2+(-4)^2}\\=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}\)

    ∴ |ā|2 + |c̄|2
    = (√6)2 + (√29)2
    = 35 = (√35)2 = |b̄|2
    ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু। (Proved)

    21(ii). A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂; দেখাও যে, বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়।

    Solution: A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂;
    ∴ ĀB̄ = (2î – ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
    = 2î – ĵ + k̂ – 3î + 4ĵ + 4k̂
    = -î + 3ĵ + 5k̂
    B̄C̄ = (î – 3ĵ – 5k̂) – (2î – ĵ + k̂)
    = î – 3ĵ – 5k̂ – 2î + ĵ – k̂
    = -î – 2ĵ – 6k̂
    C̄Ā = (3î – 4ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
    = 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
    = 2î – ĵ + k̂

    \(∴ |ĀB̄| = \sqrt{(-1)^2+(3)^2+(5)^2}\\=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}\\|B̄C̄| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-6)^2}\\=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}\\|C̄Ā| = \sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2}\\=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)

    ∴ |ĀB̄|2 + |C̄Ā|2
    = 35 + 6
    = 41 = ( √41)2 = |B̄C̄|2
    বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (Proved)

    22. ā = î + ĵ – 4k̂, b̄ = 4î – ĵ – 2k̂ হলে,
        (i) (2ā – b̄)     ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর এবং
            (ii) (2ā – b̄) ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশসমূহ নির্ণয় করো।

    (i) Solution: ā = î + ĵ – 4k̂ এবং b̄ = 4î – ĵ – 2k̂
    ∴ 2ā – b̄ = 2(î + ĵ – 4k̂) – (4î – ĵ – 2k̂)
    = 2î + 2ĵ – 8k̂ – 4î + ĵ + 2k̂
    = -2î + 3ĵ – 6k̂
    ∴ |2ā – b̄|

    \(= \sqrt{(-2)^2+(3)^2+(6)^2}\\=\sqrt{4+9+36}\\=\sqrt{49}=7\)

    2ā – b̄ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর
    =  2ā – b̄/|2ā – b̄|
    = 1/7 (-2î + 3ĵ – 6k̂) (Ans)

    (ii) Solution: (2ā – b̄) = -2î + 3ĵ – 6k̂ ভেক্টরের,
      x-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 2î এবং স্কেলার উপাংশ – 2 (Ans)
      y-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ  3ĵ  এবং স্কেলার উপাংশ 3 (Ans)
      z-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 6k̂ এবং স্কেলার উপাংশ – 6 (Ans)

    23. pî – 5ĵ + 6k̂ এবং 2î – 3ĵ – qk̂ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p ও q -এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: ∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।         
     ∴ pî – 5ĵ + 6k̂ = λ (2î – 3ĵ – qk̂) – – – – [λ ≠ 0]
    বা, pî – 5ĵ + 6k̂ = 2λî – 3λĵ – qλk̂
     ∴ -5 = -3λ
    বা, λ = 5/3
    আবার, p = 2λ
    বা, p = 2.5/3 = 10/3
    এবং 6 = -qλ
    বা, 6 = -q.5/3
    বা, q = –18/5
    Ans: p = 10/3, q = –18/5

    24. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂ হলে,
    (i) ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো;
    (ii) যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:
    (i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
    ∴ ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = (4î – 3ĵ + + 5k̂ – 2î + 3ĵ + 2k̂)/2
    = (2î + 7k̂)/2 = î + 7/2k̂
    Ans: ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 7/2k̂

    (ii)           A__________C__________D__________ B
    ধরি, ĀB̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
    A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
    ∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 1.(-2î + 3ĵ + 2k̂) + 2(4î – 3ĵ + 5k̂)/1 + 2
    =-2i ̂ + 3ĵ + 2k ̂ + 8i ̂ – 6ĵ + 10k̂/3
    =6i ̂ – 3ĵ + 12k̂/3
    = 2i ̂ – ĵ +4k̂
    B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2.(-2î + 3ĵ + 2k̂) + 1(4î – 3ĵ + 5k̂)/1 + 2
    =-4i ̂ + 6ĵ + 4k ̂ + 4i ̂ – 3ĵ + 5k̂/3
    = 3ĵ + 9k̂/3
    = ĵ +3k̂
    Ans: যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর 2î – ĵ + 4k̂ এবং ĵ + 3k̂;

    25. দেখাও যে, î + ĵ + k̂ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে।

    Solution:     î + ĵ + k̂ ভেক্টরটির, X অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1, Y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1 এবং Z অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1
    ∵ অক্ষ তিনটি বরাবর স্কেলার উপাংশ সমান।
    ∴ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে। (Proved)

    Click here to visit our Facebook

    বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
    প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

    1. ā, b̄, c̄ তিনটি প্রদত্ত ভেক্টর হলে, দেখাও যে, 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

    Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄
     ĀB̄ = (ā + 2b̄ + 3c̄) – (7ā – c̄)
    =ā + 2b̄ + 3c̄ – 7ā + c̄
    = -6ā + 2b̄ + 4c̄
    =2(-3ā + b̄ + 2c̄)
     B̄C̄ = (-2ā + 3b̄ + 5c̄) – (ā + 2b̄ + 3c̄)
    = -2ā + 3b̄ + 5c̄ – ā – 2b̄ – 3c̄
    = -3ā + b̄ + 2c̄
    ∵ ĀB̄ = 2B̄C̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।        A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
    ∴ 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

    2. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂ হলে দেখাও যে ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

    Solution: A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂
    ∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ + 3k̂) – (-2î + 2ĵ + 2k̂)
    = 2î + 3ĵ + 3k̂ + 2î – 2ĵ – 2k̂
    = 4î + ĵ + k̂
    B̄C̄ = (-î – 2ĵ + 3k̂) – (2î + 3ĵ + 3k̂)
    = -î – 2ĵ + 3k̂ – 2î – 3ĵ – 3k̂
    = -3î – 5ĵ
    C̄Ā = (-2î + 2ĵ + 2k̂) – (-î – 2ĵ + 3k̂)
    = -2î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2ĵ – 3k̂
    = -î + 4ĵ – k̂

    \(∴ |ĀB̄| = \sqrt{(4)^2+(1)^2+(1)^2}\\=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}\\|B̄C̄| = \sqrt{(-3)^2+(-5)^2+(0)^2}\\=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\\|C̄Ā| = \sqrt{(-1)^2+(4)^2+(-1)^2}\\=\sqrt{1+16+1}=\sqrt{18}\)

    ∴ |ĀB̄| = |C̄Ā| ≠ |B̄C̄|
    ∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।     (Proved)

    3(i) A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) হলে ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

    Solution: ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
     A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 6ĵ + 3k̂, î + 2ĵ + 7k̂ এবং 3î + 10ĵ – k̂
    ∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 7k̂) – (2î + 6ĵ + 3k̂)
    = î + 2ĵ + 7k̂ – 2î – 6ĵ – 3k̂
    = -î – 4ĵ + 4k̂
    B̄C̄ = (3î + 10ĵ – k̂) – (î + 2ĵ + 7k̂)
    = 3î + 10ĵ – k̂ – î – 2ĵ – 7k̂
    =2î + 8ĵ – 8k̂
    = -2(î – 4ĵ + 4k̂) = -2ĀB̄
    ∵ B̄C̄ = 2ĀB̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু অর্থাৎ A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
    ∴ (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

    3(ii). দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
     (a) -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
      (b) î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ হলে উভয়ক্ষেত্রে বিন্দু তিনটি সমরেখ।

    (a) Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
    ∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) – (-2î + 3ĵ + 5k̂)
    = î + 2ĵ + 3k̂ + 2î – 3ĵ – 5k̂
    = 3î – ĵ – 2k̂
    B̄C̄ = (7î – k̂) – (î + 2ĵ + 3k̂)
    = 7î – k̂ – î – 2ĵ – 3k̂
    = 6î – 2ĵ – 4k̂ = 2(î – ĵ – 2k̂) = 2ĀB̄
    ∵ B̄C̄ = 2ĀB̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু অর্থাৎ A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
    ∴ -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

    (b) Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂;
    ∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ – 4k̂) – (î – 2ĵ + 3k̂)
    = 2î + 3ĵ – 4k̂ – î + 2ĵ – 3k̂
    = î + 5ĵ – 7k̂
    B̄C̄ = (-7î + 4k̂) – (2î + 3ĵ – 4k̂)
    = -7î + 4k̂ – 2î – 3ĵ + 4k̂
    = -9î – 3ĵ + 8k̂
    C̄Ā = (î – 2ĵ + 3k̂) – (-7î + 4k̂)
    = î – 2ĵ + 3k̂ + 7î – 4k̂
    = 8î – 2ĵ – k̂
     ĀB̄ + B̄C̄ = î + 5ĵ – 7k̂ -9î – 3ĵ + 8k̂
    = -8î + 2ĵ + k̂
    = -(8î – 2ĵ – k̂) = -C̄Ā
    ∴ ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
    ∴ î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

    4. তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর  î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂; দেখাও যে বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়।

    Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂ ;
    ∴ ĀB̄ = (3î – 2ĵ + k̂) – (î + 3ĵ – 2k̂)
    = 3î – 2ĵ + k̂ – î – 3ĵ + 2k̂
    = 2î – 5ĵ + 3k̂
    B̄C̄ = (-2î + ĵ + 3k̂) – (3î – 2ĵ + k̂)
    = -2î + ĵ + 3k̂ – 3î + 2ĵ – k̂
    = -5î + 3ĵ + 2k̂
    এবং C̄Ā = (î + 3ĵ – 2k̂) – (-2î + ĵ + 3k̂)
    = î + 3ĵ – 2k̂ + 2î – ĵ – 3k̂
    = 3î + 2ĵ – 5k̂

    \(∴ |ĀB̄| = \sqrt{(2)^2+(-5)^2+(3)^2}\\=\sqrt{4+25+9}=\sqrt{38}\\|B̄C̄| = \sqrt{(-5)^2+(3)^2+(2)^2}\\=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}\\|C̄Ā| = \sqrt{(3)^2+(2)^2+(-5)^2}\\=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}\)

    ∴ |ĀB̄| = |B̄C̄| = |C̄Ā|
    ∴ বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। (Proved)

    5. î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂, 5î + 2ĵ + 5k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে b ও c -এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂ এবং 5î + 2ĵ + 5k̂ ;
    ∴ ĀB̄ = (7î + 2ĵ + 6k̂) – (î + bĵ + ck̂)
    = 7î + 2ĵ + 6k̂ – î – bĵ – ck̂
    = 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂
    এবং B̄C̄ = (5î + 2ĵ + 5k̂) – (7î + 2ĵ + 6k̂)
    = 5î + 2ĵ + 5k̂ – 7î – 2ĵ – 6k̂
    = -2î – k̂
    ∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
    ∴ ĀB̄ = λB̄C̄ – – – – [λ ≠ 0]
    ∴ 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = λ(-2î – k̂)
    বা, 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = -2λî – λk̂
    ∴ 6 = -2λ
    বা, λ = -3
    আবার, 2 – b = 0
    বা, b = 2
    এবং 6 – c = -λ = 3
    বা, c = 3
    Ans: b = 2 c = 3

    6. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ = 2î – 4ĵ + 5k̂ এবং B̄C̄ = î – 2ĵ – 3k̂ হলে সামান্তরিকটির ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:  ĀC̄ = ĀB̄ + B̄C̄
       = 2î – 4ĵ + 5k̂ + î – 2ĵ – 3k̂
       = 3î – 6ĵ + 2k̂

    \(∴ |ĀC̄| = \sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}\\=\sqrt{9+36+4}\\=\sqrt{49}=7\)

    ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর
    = ĀC̄/|ĀC̄|
    = 1/7(3î – 6ĵ + 2) (Ans)

    ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

    7. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2ā + b̄ এবং ā – 3b̄ যদি C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে তবে C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো। আরও দেখাও যে, A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

    Solution:      A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄ এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ā – 3b̄
    C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে
    ∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2.(2ā + b̄) – 1(ā – 3b̄)/2 – 1
    = 4ā + 2b̄ – ā + 3b̄ =3ā + 5b̄ (Ans)
    CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু
    = 3ā + 5b̄ + ā – 3b̄/1 + 1
    = 4ā + 2b̄/2 =2ā + b̄  = A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    ∴ A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।  (Proved)

    8. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং AB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে প্রমাণ করো যে, ĀD̄ + B̄Ē + C̄F̄ = 0
    Solution: 

    ∠ ∠ ∠ D E F B C A

    ĀD̄ = ĀB̄ + B̄D̄ – – – – (i)
    B̄Ē = B̄C̄ + C̄Ē – – – – (ii)
    C̄F̄ = C̄Ā + ĀF̄ – – – – (iii)
    (i)+ (ii)+ (iii) করে পাই,
       ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄
    = ĀB̄ + B̄D̄ + B̄C̄ + C̄Ē + C̄Ā + ĀF̄
    = ĀB̄ + B̄C̄/2 + B̄C̄ + C̄Ā/2 + C̄Ā + ĀB̄/2
    =2ĀB̄ + B̄C̄ + 2B̄C̄ + C̄Ā + 2C̄Ā + ĀB̄/2
    = 3ĀB̄ + 3B̄C̄ + 3C̄Ā/2
    =3(ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā)/2
    = 3.0/2 = 0
    ∴ ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄ = 0 (Proved)

    9. ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄ হলে দেখাও যে, A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

    Solution:      ∵ ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄
    বা, -ŌĀ + ŌB̄ = -ŌB̄ + ŌC̄
    বা, ŌB̄ – ŌĀ = ŌC̄ – ŌB̄
    বা,ĀB̄ = B̄C̄
    ∵ ĀB̄ = B̄C̄
    ∴ ĀB̄ ও B̄C̄ সমান্তরাল।
    আবার ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু B;
    ∴ A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

    10. একটি সামান্তরিক PQRS-এ প্রমাণ করো যে, P̄R̅ – Q̄S̅ = 2P̄Q̄

     Solution:

    P Q R S

    ভেক্টরের যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, ত্রিভুজ PQR থেকে পাই,
       P̄R̅ = P̅Q̅ + Q̄R̅
    আবার ত্রিভুজ PQS থেকে পাই,
       Q̅S̅ = Q̅P̅ + P̄S̅ = Q̅P̅ – P̄S̅
    ∴ P̄R̅ – Q̅S̅
    = P̅Q̅ + Q̄R̅ – Q̅P̅ – P̄S̅ = P̅Q̅ + Q̄R̅ + P̅Q̅ – Q̄R̅
    যেহেতু PQRS একটি সামান্তরিক, তাই এর বিপরীত বাহু QR এবং PS-এর মান ও অভিমুখ একই।
    ∴ Q̄R̅ = P̄S̅
    ∴ P̄R̅ – Q̅S̅
    = P̅Q̅ + Q̄R̅ + P̅Q̅ – Q̄R̅
    = 2P̅Q̅
    P̄R̅ – Q̅S̅ = 2P̅Q̅ (Proved)

    11(i). ā = 2î + 4ĵ – 4k̂, b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂, c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂ হলে ā + b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান এবং ঐ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:  ā = 2î + 4ĵ – 4k̂;
    b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂
    এবং c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂
    ∴ ā + b̄ + 2c̄
    = 2î + 4ĵ – 4k̂ -5î + 4ĵ + 2k̂ +6î – 6ĵ – 4k̂
    = 3î + 2ĵ – 6k̂
    |ā + b̄ + 2c̄|

    \(\sqrt{(3)^2+(2)^2+(-6)^2}\\=\sqrt{9+4+36}\\=\sqrt{49}=7\quad (Ans)\)

    ā + b̄ + 2c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
    = ā + b̄ + 2c̄/|ā + b̄ + 2c̄|
    = 1/7(3î + 2ĵ – 6k̂) (Ans)

    11(ii). ā = î + ĵ + k̂, b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং 2 = î – 2ĵ + k̂ হলে, (2ā – b̄ + 3c̄) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

    Solution:  ā = î + ĵ + k̂;
    b̄ = 2î – ĵ + 3k
    এবং  c̄ = î – 2ĵ + k̂
    ∴ 2ā – b̄ + 3c̄
    = 2î + 2ĵ + 2k̂ – 2î + ĵ – 3k + 3î – 6ĵ + 3k̂
    = 3î – 3ĵ + 2k̂
    ∴ |2ā – b̄ + 3c̄|

    \(\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(2)^2}\\=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}\)

    2ā – b̄ + 3c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
    = 2ā – b̄ + 3c̄/|2ā – b̄ + 3c̄|
    = 1/√22 (3î – 3ĵ + 2k̂) (Ans)

    12. ভেক্টর পদ্ধতি প্রয়োগ করে প্রমাণ করো যে, (7, 2, -3), (6, 1, 4), (−3, -4, −1) এবং (- 2, -3, -8 ) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু।

    Solution: ধরি প্রদত্ত বিন্দু চারটি হল A(7, 2, -3), B(6, 1, 4), C(−3, -4, −1) এবং D(-2, -3, -8 )
    এবং ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
    ŌĀ = 7î + 2ĵ – 3k̂;
    ŌB̄ = 6î + ĵ + 4k̂;
    ŌC̄ = -3î – 4ĵ −k̂;
    ŌD̄ = -2î – 3ĵ – 8k̂
    ∴ ĀB̄ = 6î + ĵ + 4k̂ – (7î + 2ĵ – 3k̂)
    = 6î + ĵ + 4k̂ – 7î – 2ĵ + 3k̂
    = -î – ĵ + 7k̂
       D̄C̄ = −3î – 4ĵ −k̂ – (-2î – 3ĵ – 8k̂)
    = −3î – 4ĵ −k̂ +2î + 3ĵ + 8k̂
    = -î – ĵ + 7k̂
    ∴ ĀB̄ = D̄C̄   এবং |ĀB̄| = |D̄C̄|
    ∴ ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
    অতএব ABCD একটি সামান্তরিক।
    ∴ প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু। (Proved)

    13. ā = 2î + 4ĵ – 5k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটির সমষ্টির সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো; ভেক্টরের দিক (direction) কোসাইনগুলিও নির্ণয় করো।

    Solution:
    ā + b̄ = 2î + 4ĵ – 5k̂ + î + 2ĵ + 3k̂
    = 3î + 6ĵ – 2k̂
    |ā + b̄|

    \(\sqrt{(3)^2+(6)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{9+36+4}\\=\sqrt{49}=7\)

    |ā + b̄| -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
    = ā + b̄/|ā + b̄|
    = 1/7(3î + 6ĵ – 2k̂) (Ans)
    |3î + 6ĵ – 2k̂| এর দিক অনুপাত 3/7, 6/7, -2/7 (Ans)

    14. ā = 2î – 2ĵ + k̂, b̄ = 2î + 3ĵ + 6k̂ এবং C = -î + 2k̂ হলে ā – b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

    Solution:  ā – b̄ + 2c̄
    = 2î – 2ĵ + k̂ – (2î + 3ĵ + 6k̂) + 2(-î + 2k̂)
    =2î – 2ĵ + k̂ – 2î – 3ĵ – 6k̂ – 2î + 4k̂
    = -2î – 5ĵ – k̂

    |-2î – 5ĵ – k̂| এর মান = \(\sqrt{(-2)^2+(-5)^2+(-1)^2}\\=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}\) একক (Ans)

    |-2î – 5ĵ – k̂| এর দিক অনুপাত  -2/√30, -5/√30, -1/√30 (Ans)

    15. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়। x-এর মান নির্ণয় করো যাতে c̄ = (x – 7)ā + 2b̄ এবং d̄ = (2x + 1)ā – b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় হয়।

    Solution: c̄ ও d̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয়।
    ∴ c̄ = md̄ – – – -[m ≠ 0]
    বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m{(2x + 1)ā – b̄}
    বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m(2x + 1)ā – mb̄
    বা,(x – 7)ā – m(2x + 1)ā + mb̄ + 2b̄ = 0
    বা, (x – 7 – 2mx – m)ā + (m + 2)b̄ = 0
    ∵ ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
    ∵ m + 2 = 0
    বা, m = -2
    আবার,   x – 7 – 2mx – m = 0
    বা, x – 7 – 2.(-2)x + 2 = 0
    বা, x – 7 + 4x + 2 = 0
    বা,5x – 5 = 0
    বা, 5x = 5
    বা, x = 1
    Ans: x-এর মান 1

    16. 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ অবস্থান ভেক্টর বিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে x -এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A, B এবং C -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ
    ∴ ĀB̄ = (10î + 3ĵ) – (12î – 5ĵ)
       = 10î + 3ĵ – 12î + 5ĵ   = -2î + 8ĵ
    B̄C̄ = (xî + 11ĵ) – (10î + 3ĵ)
     = xî + 11ĵ – 10î – 3ĵ   = xî – 10î + 8ĵ 
      = (x – 10)î + 8ĵ
    ∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ,
      ∴ ĀB̄ = mB̄C̄ – – – -[m ≠ 0]
    বা, -2î + 8ĵ = m{(x – 10)î + 8ĵ}
    বা, -2î + 8ĵ = m(x – 10)î + 8mĵ
    ∴ 8 = 8m
    বা, m = 1
    আবার,   -2 = m(x – 10)
    বা, -2 = 1(x – 10)
    বা, -2 = x – 10
    বা,x = -2 + 10
    বা, x = 8
    Ans: x -এর মান 8

    17. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
    যদি p = (x + 4y)ā + (2x + y + 1)b̄ এবং q = (- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄ ভেক্টর দুটির মধ্যে 3p = 2q সম্বন্ধ থাকে তবে x ও y এর মান নির্ণয় করো।

    Solution: ∵ 3p = 2q
    ∴ 3{(x + 4y)ā + + (2x + y + 1)b̄} = 2{(- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄}
    তুলনা করে পাই,
          3(x + 4y) = 2(- 2x + y + 2 )
    বা, 3x + 12y = -4x + 2y + 4
    বা, 3x + 4x + 12y – 2y = 4
    বা,7x + 10y = 4 – – – – (i)
    আবার,   3(2x + y + 1) = 2(2x – 3y – 1)
    বা, 6x + 3y + 3 = 4x – 6y – 2
    বা, 6x – 4x + 3y + 6y = -2 – 3
    বা,2x + 9y = -5 – – – – (ii)
    (i)×2 – 7×(ii) করে পাই,
          14x – 14x + 20y – 63 = 8 + 35
    বা, -43y = 43
    বা, y = -1
    (i) নং থেকে পাই,
          7x + 10×-1 = 4
    বা, 7x = 4 + 10
    বা, 7x = 14
    বা,x = 2
    Ans: x = 2,   y = -1

    18. দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে প্রমাণ করো যে ভেক্টর দুটির অন্তরের মান √3 হবে।

    Solution:  ধরি, ভেক্টর দুটি ā এবং b̄ 
    ∴ |ā| = 1;       |b̄| = 1;     |ā + b̄| = 1
     ∵ |ā – b̄|2 + |ā + b̄|2 = 2{|ā|2 + |b̄|2}
    বা, |ā – b̄|2 = 2{|ā|2 + |b̄|2} – |ā + b̄|2
    বা, |ā – b̄|2 = 2{(1)2 + (1)2} – (1)2
    বা,|ā – b̄|2 = 2{1 + 1} – 1
    বা, |ā – b̄|2 = 2.2 – 1 = 3
    ∴ |ā – b̄| = √3 (Proved)

    19. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। C̄D̄ = ā, D̄Ē = b̄ হলে, ĀB̄, B̄C̄, B̄F̄, C̄Ā, ĀD̄ এবং B̄D̄-এর মান ā ও b̄-এর আকারে নির্ণয় করো

    Solution:

    ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ A B C D E F

    C̄D̄ = ā এবং D̄Ē = b̄
    ∴ ĀB̄ = -D̄Ē = -,b̄ (Ans)
    △CDE থেকে পাই,
        C̄D̄ + D̄Ē + ĒC̄ = 0
    ⇒ C̄Ē = C̄D̄ + D̄Ē = ā + b̄
    ∵ C̄Ē ∥ B̄F̄
    ∴ B̄F̄ = ā + b̄ (Ans)
    ∵ B̄Ē ∥ C̄D̄ এবং B̄Ē = 2.C̄D̄ 
    ∴ B̄Ē = 2ā
    △BCE থেকে পাই,
           B̄C̄ + C̄Ē = B̄Ē
    বা, B̄C̄ = B̄Ē – C̄Ē
    বা, B̄C̄ = 2ā – (ā + b̄)
    বা,B̄C̄ = 2ā – ā – b̄
    বা, B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
    ∴ B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
    △ABC থেকে পাই,
       ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
    বা, -b̄ + (ā – b̄) + C̄Ā = 0
    বা, -2b̄ + ā + C̄Ā = 0
    বা,C̄Ā = 2b̄ – ā (Ans)

    △ACD থেকে পাই,
          ĀC̄ + C̄D̄ = ĀD̄
    বা, ĀD̄ = ĀC̄ + C̄D̄
    বা, ĀD̄ = ā – 2b̄ + ā
    বা,ĀD̄ = 2ā – 2b̄
    বা, ĀD̄ = 2(ā – b̄) (Ans)
    △BCD থেকে পাই,
          B̄D̄ = B̄C̄ + C̄D̄
    বা, B̄D̄ = (ā – b̄) + ā
    বা,B̄D̄ = ā – b̄ + ā
    বা, B̄D̄ = 2ā – b̄ (Ans)

    20. ABCD সামান্তরিকের ĀC̄ ও B̄D̄ হল কর্ণ। প্রমাণ করো  ĀC̄ + B̄D̄ = 2B̄C̄ এবং ĀC̄ – B̄D̄ = 2ĀB̄

    Solution: 

    A B C D

    ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
    ABCD একটি সামান্তরিকের,
            ĀB̄ = D̄C̄
    ∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
    বা, b̄ – c̄ = ā – d̄ – – – (i)
    এবং ĀD̄ = B̄C̄
    ∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
    বা, b̄ – ā = c̄ – d̄ – – – (ii)
    ĀC̄ + B̄D̄
    = c̄ – ā + d̄ – b̄
    = c̄ – b̄ + d̄ – ā
    =c̄ – b̄ – (ā – d̄)
    = c̄ – b̄ – (b̄ – c̄) – – – [(i) নং থেকে পাই]
    =c̄ – b̄ – b̄ + c̄
    = 2(c̄ – b̄)  = 2B̄C̄ (Proved)
    ĀC̄ – B̄D̄
    = c̄ – ā – (d̄ – b̄)
    = c̄ – ā – d̄ + b̄
    =b̄ – ā + c̄ – d̄
    = b̄ – ā + b̄ – ā – – – [(ii) নং থেকে পাই]
    = 2(b̄ – ā)  = 2ĀB̄ (Proved)

    21. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

    Solution:

    E F G H A B C D

    ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄
    AB, BC, CD এবং DA এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G এবং H
    E -এর অবস্থান ভেক্টর = ā + b̄/2
    F -এর অবস্থান ভেক্টর = b̄+ c̄/2
    G -এর অবস্থান ভেক্টর = c̄ + d̄/2
    H -এর অবস্থান ভেক্টর = d̄ + ā/2
    ĒF̄ = b̄+ c̄/2 – ā + b̄/2 = b̄ + c̄ – ā – b̄/2 = c̄ – ā/2
    H̄Ḡ = c̄ + d̄/2 – d̄ + ā/2 = c̄ + d̄ – d̄ – ā/2 = c̄ – ā/2
    ∴ ĒF̄ এবং H̄Ḡ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
    ∴ EFGH একটি সামান্তরিক।
    চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়। (Proved)

    ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

    22. ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    Solution:ধরি, ABCD একটি সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
    P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
    ∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = c̄ + b̄/2
    ABCD একটি সামান্তরিকের,
       ĀB̄ = D̄C̄
    ∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
    ⇒ b̄ + d̄ = c̄ + ā
    ⇒  b̄ + d̄/2 = c̄ + ā/2
    ∴ B̄D̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু  = ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু
    সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।  (Proved)

    23. ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু P। ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে. AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দতে পরস্পর সমত্রিখণ্ডিত হয়।

    P B C D A F

    Solution:

    ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
    P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
    ∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = c̄ + b̄/2
      ABCD একটি সামান্তরিক। 
    ∴ ĀD̄ = B̄C̄
    ∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
    বা, d̄ + b̄ = c̄ + ā
    বা, d̄ + b̄ + c̄ = c̄ + c̄ + ā
    ∴ b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄ 
    ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2×(c̄ + b̄)/2 + d̄/2 + 1
    = b̄ + c̄ + d̄/3
    আবার ধরি, F, ĀC̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2.c̄ + ā/2 + 1
    =ā + c̄ + c̄/3 – – – [b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄]
    = b̄ + c̄ + d̄/3
    ∴ E ও F একই বিন্দু।      
    ∴ AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমখিণ্ডিত হয়। (Proved)

    24. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়।

    Solution:

    P Q E FD C B A

    ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
    ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q
    ∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ā + b̄/2
    এবং Q-এর অবস্থান ভেক্টর = c̄ + d̄/2
    ABCD একটি সামান্তরিক। 
    ∴ ā + c̄/2 = b̄ + d̄/2
    ⇒ ā + c̄ = b̄ + d̄
    ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2×(ā + b̄)/2 + d̄/2 + 1
    = ā + b̄ + d̄/3
    =ā + ā + c̄/3 – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
    = 2.ā + 1.c̄/2 + 1
    ∴ E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    আবার ধরি, F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2×(c̄ + d̄)/2 + b̄/2 + 1
    = c̄ + d̄ + b̄/3
    =ā + c̄ + c̄/3 – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
    = 2.c̄ + ā/2 + 1
    ∴ F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়। (Proved)

    25. ABCD সামান্তরিকের D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু P। ĀP̄ -র ওপর Q বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয় যাতে ĀQ̄ = 2/3ĀP̄ হয়। ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = 2/3B̄D̄

    Solution: ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
    P, D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
    ∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = c̄ + d̄/2
    ∵ ĀQ̄ = 2/3ĀP̄
    ∴ Q বিন্দু ĀP̄ কে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
    ∴ Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = 2.c̄ + d̄/2+ ā/2+1
    = c̄ + d̄ + ā/3  – – – (i)
    ABCD সামান্তরিকের,
       ĀB̄ = D̄C̄
    ∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
    ⇒ b̄ + d̄ = ā + c̄
     (i) থেকে পাই,
    Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
    = b̄ + d̄ + d̄/3
    = b̄ + 2d̄/2 + 1
    ∴ Q বিন্দু B̄D̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
    ∴ Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = 2/3B̄D̄ (Proved)

    26. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F; যদি ত্রিভুজ সমতলে P যে-কোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ = P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄

    Solution: ধরি, P বিন্দুর সাপেক্ষ A, B এবং C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄ এবং c̄
    B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F;
    ∴ D. E ও F -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b̄ +c̄/2 , ā + c̄/2 ও ā + b̄/2
    ∴ P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄
    = b̄ +c̄/2 + ā + c̄/2 + ā + b̄/2
    = b̄ + c̄ + ā + c̄ + ā + b̄/2
    =ā + b̄ + c̄
    = P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ (Proved)

    27. ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং O যে-কোনো বিন্দু (AB-র ওপর অবস্থিত নয়) হলে প্রমাণ করো যে, ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄

    Solution:

    ∠ ∠ ∠A B C O

    △OAC থেকে পাই,
          ŌĀ + ĀC̄ = ŌC̄
    বা, ŌĀ = ŌC̄ – ĀC̄
    আবার, △OCB থেকে পাই,
         ŌC̄ + C̄B̄ = ŌB̄
    বা, ŌB̄ = ŌC̄ + C̄B̄
    ∴ ŌĀ + ŌB̄
    = ŌC̄ – ĀC̄ + ŌC̄ + C̄B̄
    = 2ŌC̄ – ĀC̄ + C̄B̄
    ⇒ 2ŌC̄ – ĀC̄ + ĀC̄ – – – – [ĀC̄ = C̄B̄]
    = 2ŌC̄
    ∴ ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄ (Proved)

    28. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে G একটি বিন্দু। যদি ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, G বিন্দু ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

    Solution: ধরি, মূলবিন্দু সাপেক্ষ A, B, C এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও ḡ
    ∵ ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ 
    ⇒ ā – ḡ + b̄ – ḡ + c̄ – ḡ = 0
    ⇒ – 3ḡ = -ā – b̄ – c̄
    ⇒3ḡ = ā + b̄ + c̄
    ⇒ ḡ = (ā + b̄ + c̄)/3
    ∴ g হল △ABC -এর ভরকেন্দ্র। (Proved)

    29. ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে ছেদ করে। কোনো অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে সামান্তরিকটির শীর্ষবিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄ হলে প্রমাণ করো যে, ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ ।

    Solution:

    A B C D E

    ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।
    E বিন্দু ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
    ∴ অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে,
    E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ā + c̄/2 – – – – – (i)
    আবার E বিন্দু B̄C̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
    E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = b̄ + d̄/2 – – – – – (ii)
    (i) ও (ii) যোগ করে পাই,            
           ŌĒ + ŌĒ = ā + c̄/2 + b̄ + d̄/2
    বা, 2ŌĒ = ā +b̄ + c̄ + d̄/2
    ∴ ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ (Proved

    30. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, কোনো ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তার সমান্তরাল বাহু দুটির সমান্তরাল এবং তাদের সমষ্টির অর্ধেকের সমান।

    Solution:

    A B C D E F

    ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে  ā, b̄, c̄ ও d̄ এবং তির্যক বাহু AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F;
    ∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ā + d̄/2 
    এবং F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = b̄ + c̄/2
    আবার ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান্তরাল।
    ∴ ĒF̄, ĀB̄ ও D̄C̄ -এর সমান্তরাল। (Proved)
    E ও F, AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু ;
    ∴ |ĒF̄| = ½|ĀB̄ + D̄C̄| (Proved)

    2025 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION →
    ← HS 2025 MATHEMATICS SOLUTION
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights