PROSTUTI

Category: HS

  • SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

    SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

    SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

    SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3
    INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক

    বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)                                    প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
    Conventional Type

    1. মনে করো, সব বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R →R অপেক্ষকটি f(x) = 2x² দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে f-1(32) —
     Ⓐ {4, -4}       Ⓑ {1, -1}
    Ⓒ {2, -2}       Ⓓ {3, -3}

    Solution: f(x) = 2x²
    ⇒ 2x² = 32
    ⇒ x = ±4
    Ans:  Ⓐ {4, -4}

    2. একটি অপেক্ষক f: A → B-এর বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয় করা যাবে, যদি f-1 -এর অস্তিত্ব থাকে, তবে f যে ধরনের অপেক্ষক হবে তা হল —
    Ⓐ ইনজেকটিভ    Ⓑ সারজেকটিভ
    Ⓒ বাইজেকটিভ্   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
    Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    Ans:  Ⓒ বাইজেকটিভ্

    3. মনে করো, A = {a, b, c, d} এবং f: A → A অপেক্ষক নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
    f(a) = d, f(b) = a, f(c) = b এবং f(d) = c তাহলে, নীচের কোনটি সমান f-1(b) হবে?
    Ⓐ {a}   Ⓑ {b}
    Ⓒ {c}   Ⓓ {d}
    Solution: f(c) = b
    ∴ f-1(b) = c
    Ans:  Ⓒ {c}

    4. মনে করো, সব পূর্ণসংখ্যার সেট Z এবং f: Z →Z অপেক্ষক f(x) = x² দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে, নীচের কোনটি f-1(-4) -এর সমান হবে?
    Ⓐ {2}          Ⓑ {-2}
    Ⓒ {2, -2}   Ⓓ Φ
    Solution: f(x) = x²
    ∴  f-1(-4) ⇒ f(x) = -4
    ⇒ x² = -4
    ⇒ x = ±2i ∉ Z
    Ans:  Ⓓ Φ

    5. যদি f: A → B চিত্রণের বিপরীত f-1: B → A -র অস্তিত্ব থাকে, তবে যে ধরনের চিত্রণ হবে তা হল –
    Ⓐএক-এক উপরিচিত্রণ
    Ⓑএক-এক অন্তঃচিত্রণ
    Ⓒবহু-এক উপরিচিত্রণ
    Ⓓ বহু-এক অন্তঃচিত্রণ

    Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    Ans:  Ⓐ     এক-এক উপরিচিত্রণ

    6. f: R → R অপেক্ষক f(x) = 9x2 + 6x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত হলে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?

    Ⓐ f অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ্ এবং \(f^{-1}(x) =\frac{-1±\sqrt{x+6}}{3}\)
    Ⓑ f অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ্ নয় কিন্তু \(f^{-1}(x) =\frac{-1±\sqrt{x+6}}{3}\)

    Ⓒ f অপেক্ষবটি বাইজেকটিভ্ নয় এবং f-1 অস্তিত্ব নেই।

    Ⓓ f অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ্ নয় কিন্তু \(f^{-1}(x) =\frac{-1+\sqrt{x+6}}{3}\)

    Solution: f(x) = y ∈ R
    ⇒ 9x2 + 6x – 5 = y
    ⇒ 9x2 + 6x – (5 + y) = 0

    \(∴x=\frac{-6+\sqrt{36+4.9(5+y)}}{2.9}\\=\frac{-6+\sqrt{36(1+5+y)}}{18}\\=\frac{6(-1+\sqrt{6+y})}{18}\\=\frac{-1+\sqrt{6+y}}{3}∉ R\)

    Ans:  Ⓒf অপেক্ষবটি বাইজেকটিভ্ নয় এবং f-1 অস্তিত্ব নেই।

    Analytical/Skill Based Type
    Fill in the Blanks     __________

    1. মনে করো, f: N →Z অপেক্ষক f(x) = x2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তাহলে f-1(16) = __________।
    Ⓐ 4     Ⓑ -4
    Ⓒ ±4  Ⓓ 256
    Solution: f(x) = x²
    ∴ f-1(16) ⇒ f(x) = 16
    ⇒ x² = 16
    ⇒ x = ±4
    Ans:  Ⓐ4

    2. মনে করো, f: A →B তবে f-1(B) = __________।
    Ⓐ {x: x ∈ A এবং f-1(x) ∈ B}
    Ⓑ {x: x ∈ B এবং f(x) ∈ A}
    Ⓒ {x: x ∈ A এবং f(x) ∈ B}
    Ⓓ ΦAns:  Ⓒ{x: x ∈A এবং f(x) ∈B}

    3. f: A → B অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব থাকবে যদি অপেক্ষকটি __________ হয়।
    Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক
    Ⓑ অন্তঃচিত্রণ
    Ⓒ উপরিচিত্রণ
    Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক
    Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    Ans:  Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক

    SOLUTION OF INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

    4. মনে করো, f: A → B এবং y ∈ B তবে f-1(y) সেটটি একাধিক পদবিশিষ্ট হবে যদি ƒ অপেক্ষকটি __________ হয়।
    Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক
    Ⓑ অন্তঃচিত্রণ
    Ⓒ উপরিচিত্রণ
    Ⓓ বাইজেকটিভ্ অপেক্ষক
    Solution:

    f -1 fA        B ● ●         >● ●Ⓐ

    Ans: Ⓐ বহু-এক অপেক্ষক

    5. মনে করো, f: A →B এবং f-1: B →A এর অস্তিত্ব আছে, তবে f-1০f = __________।
    Ⓐ IA     Ⓑ IB
    Ⓒ fA    Ⓓ fB
    Solution: f: A → B এবং f-1: B → A এর অস্তিত্ব থাকলে f-1০f = IA কিন্তু f০f-1 = IB হয়।
    Ans:  Ⓐ IA

    Click here to visit our Facebook

    Column Matching _________

    1. মনে করো A = {-2, -1, 0, 1, 2} এবং f: A →A চিত্রণ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
    f(-2) = 1, f(-1) = -2, f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 1
    স্তম্ভ A-এর সাথে স্তম্ভ B মেলাও।

    A স্তম্ভ B স্তম্ভ
    [i] f-1(-1) =[a] {- 2, 0, 2}
    [ii] f-1(2) =[b] {1}
    [iii] f-1(1) =[c] {-1, 1}
    [iv] f-1{-2, -1} =[d] Φ

    Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
    Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
    Solution: [i]     f(1) = -1
    ∴ f-1(-1) = 1 → [b]
    [ii] 2 এর কোনো প্রাগবিম্ব নেই।
    ∴ f-1(2) = Φ → [d]
    [iii] f(-2) = 1, f(0) = 1, f(2) = 1,
     ∴ f-1(1) = -2, 0, 2 → [a]
    [iv] f(-1) = -2 ∴ f-1(-2) = -1,
    আবার f(1) = -1, ∴ f-1(-1) = 1 → [b]
    Ans:  Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]

    2.  f: R → R অপেক্ষক f(x) = x2 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

    A স্তম্ভ B স্তম্ভ
    [i] f-1(25) =[a] {- 5, 5}
    [ii] f-1(5) =[b] {0}
    [iii] f-1(-5) =[c] {-√5, √5}
    [iv] f-1(0) =[d] Φ

    Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
    Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

    Solution:  [i] f(x) = x2
    ∴ x2 = 25
    ⇒ x = ±5 → [a],
    [ii] f(x) = x2
    ∴ x2 = 5 ⇒ x = ±√5 → [c],
    [iii] f(x) = x2
    ∴ x2 = -5
    ⇒ x = ±√5i ∉ R → [d],
    [iv] f(x) = x2
    ∴ x2 = 0
    ⇒ x = 0 → [b]
    Ans:  Ⓑ[i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]

    3. মনে করো, সব জটিল সংখ্যার সেট C এবং f: C → C অপেক্ষক f(x) = 3x2 + 16 দ্বারা সংজ্ঞাত। বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

    A স্তম্ভ B স্তম্ভ
    [i] f-1(1) =[a] {-3i, 3i}
    [ii] f-1(-11) =[b] {0}
    [iii] f-1(28) =[c] {-√5i, √5i}
    [iv] f-1(16) =[d] {2, -2}

    Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
     Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
     Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

    Solution: [i] f(x) = 3x2 + 16
    ∴ 3x2 + 16 = 1
    ⇒ 3x2 = -15
    ⇒x2 = -5
    ⇒ x = ±√5i → [c],
    [ii] f(x) = 3x2 + 16
    ∴ 3x2 + 16 = -11
    ⇒ 3x2 = -27
    ⇒x2 = -9
    ⇒ x = ±3i → [a],
    [iii] f(x) = 3x2 + 16
    ∴ 3x2 + 16 = 28
    ⇒ 3x2 = 12
    ⇒x2 = 4
    ⇒ x = ±2 → [d],
    [iv] f(x) = 3x2 + 16
    ∴ 3x2 + 16 = 16
    ⇒ 3x2 = 0
    ⇒ x = 0 → [b]
    Ans:  Ⓐ[i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]

    4. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x2 – 14x + 10 দ্বারা সংজ্ঞাত। স্তম্ভ A-এর সাথে স্তম্ভ B মেলাও।

    A স্তম্ভ B স্তম্ভ
    [i] f-1(2) =[a] Φ
    [ii] f-1(4) =[b]{2, 8/3}
    [iii] f-1(-8) =[c]{2/3, 4}
    [iv] f-1(6) =[d] {7 + √31/3, 7 – √31/3}

    Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
     Ⓒ [i] — [b], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [c]
    Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]
    Solution: [i] f(x) = 3x2 – 14x + 10
    ∴ 3x2 – 14x + 10 = 2
    ⇒ 3x2 – 14x + 8 = 0
    ⇒3x2 – 12x – 2x + 8 = 0
    ⇒ 3x(x – 4) – 2(x – 4) = 0
    ⇒ (3x – 2)(x – 4) = 0
    ∴ x = 2/3, 4 → [c],
    [ii] f(x) = 3x2 – 14x + 10
    ∴ 3x2 – 14x + 10 = 4
    ⇒ 3x2 – 14x + 6 = 0

    \(∴x=\frac{14±\sqrt{196-4.3.6}}{2.3}\\=\frac{14±\sqrt{196-72}}{6}\\=\frac{14±\sqrt{124}}{6}\\=\frac{14±2\sqrt{31}}{6}\\=\frac{7±\sqrt{31}}{3}→ [d]\)

    [iii] f(x) = 3x2 – 14x + 10
    ∴ 3x2 – 14x + 10 = -8
    ⇒ 3x2 – 14x + 18 = 0

    \(∴x=\frac{14±\sqrt{196-4.3.18}}{2.3}\\=\frac{14±\sqrt{196-252}}{6}\\=\frac{14±\sqrt{-56}}{6}\\=\frac{14±2\sqrt{-14}}{6}\\=\frac{7±\sqrt{14}i}{3}∉ R → [a]\)

    [iv] f(x) = 3x2 – 14x + 10
    ∴ 3x2 – 14x + 10 = -6
    ⇒ 3x2 – 14x + 16 = 0
    ⇒ 3x2 – 8x – 6x + 8 = 0
    ⇒x(3x – 8) – 2(3x – 8) = 0
    ⇒ (3x – 8)(x – 2) = 0
    ∴ x = 8/3, 2 → [b]
    Ans:  Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

    5. মনে করো, f: R → R চিত্রণ f(x) = x2 – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

    A স্তম্ভ B স্তম্ভ
    [i] f-1(-1, 7) =[a] {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 4}
    [ii] f-1{2 ≤ x ≤ 34} =[b] {x ∈ R: -2 ≤ x ≤ 2}
    [iii] f-1{-5 ≤ x ≤ 14} =[c] {x ∈ R: -6 ≤ x ≤ -2 অথবা 2 ≤ x ≤ 6}
    [iv] f-1{-∞ < x ≤ 2} =[d] {-3, -1, 1, 3}

    Ⓐ [i] — [c], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [b]
    Ⓑ [i] — [a], [ii] — [c], [iii] — [d], [iv] — [b]
     Ⓒ [i] — [d], [ii] — [c], [iii] — [a], [iv] — [b]
    Ⓓ [i] — [c], [ii] — [d], [iii] — [a], [iv] — [b]

    Solution:
    [i]     f(x) = x2 – 2
    ∴ x2 – 2 = -1
    ⇒ x2 = 1
    ⇒ x = ±1 এবং
         x2 – 2 = 7
    ⇒ x2 = 9
    ⇒ x = ±3 → [d],
    [ii] f(x) = x2 – 2
    ∴ 2 ≤x2 – 2 ≤34
    ⇒ 4 ≤x2 ≤36
    ⇒x2 ≥ 4 এবং x2 ≤36
    ⇒ x ≥ 2, x ≤-2  এবং -6 ≤x ≤6
    ∴ -6 ≤x ≤-2 অথবা 2 ≤x ≤6 যখন x ∈R → [c],
    [iii] f(x) = x2 – 2
    ∴ -5 ≤ x2 – 2 ≤ 14
    ⇒ -3 ≤ x2 ≤ 16
    ⇒x2 ≥ -3 এবং x2 ≤ 16
    ⇒ x ≥ ±√3i ∉ R, এবং -4 ≤ x ≤ 4
    ∴ {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 4} → [a],
    [iv] f(x) = x2 – 2
    ∴ f-1 {-∞ < x ≤ 2}
    = { x ∈ R: -∞ < x2 – 2 ≤ 2}
    ={ x ∈ R: x2 ≤ 4}
    = {x ∈ R: -2 ≤ x ≤ 2} → [b]
    Ans:  Ⓒ [i] — [d], [ii] — [c], [iii] — [a], [iv] — [b]

    Rearrangement of Sentences/Events __________

    1. f: R → R  একটি অপেক্ষক f(x) = x3 + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত, f-1(2) নির্ণয়ের ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল –
    [i] f-1(x) –এ x = 2 বসাতে হবে।
    [ii] f(x) = y সমীকরণ থেকে x-কে y-এর আকারে প্রকাশ করে f-1(y) নির্ণয় করতে হবে।
    [iii] f-1(y) তে y-এর স্থানে x বসিয়ে f-1(x) পেতে হবে।
    [iv] f(x)-কে এক-এক দেখাতে হবে।
    [v] f(x) -কে উপরিচিত্রণ দেখাতে হবে।
    f-1(2) নির্ণয়ের সঠিক ক্রম হবে –
    Ⓐ [iv] – [v] – [i] – [ii] – [iii]
    Ⓑ  [iv] – [v] – [ii] – [i] – [iii]
    Ⓒ  [iv] – [v] – [ii] – [iii] – [i]
    Ⓓ [v] – [iv] – [ii] – [i] – [iii]

    Solution:
    [iv] f(x)-কে এক-এক দেখাতে হবে।
    [v] f(x) -কে উপরিচিত্রণ দেখাতে হবে।
    [ii] f(x) = y সমীকরণ থেকে x-কে y-এর আকারে প্রকাশ করে f-1(y) নির্ণয় করতে হবে।
    [iii] f-1(y) তে y-এর স্থানে x বসিয়ে f-1(x) পেতে হবে।
    [i] f-1(x) –এ x = 2 বসাতে হবে।
    Ans:  Ⓒ  [iv] – [v] – [ii] – [iii] – [i]

    2.     f: A → B অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল।
    [i] B সেটের যে-কোনো পদ y হলে A সেটে একটি পদ x থাকবে যাতে f(x) = y হয়।
    [ii] y -এর জায়গায় x বসালে f-1: B → A পাওয়া যাবে।
    [iii] অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ কি না দেখতে হবে।
    [iv] x-এর জায়গায় f-1(y) বসালে বিপরীত অপেক্ষকটি y -এরআকারে পাওয়া যাবে।
    [v] f(x) = y সমীকরণ সমাধান করে x-কে y -এর আকারে প্রকাশ করতে হবে।
    সঠিক ক্রম হবে –
    Ⓐ [iii] – [i] – [v] – [iv] – [ii]
    Ⓑ  [i] – [iv] – [iii] – [ii] – [v]
    Ⓒ  [iv] – [v] – [iii] – [i] – [ii]
    Ⓓ [iii] – [iv] – [ii] – [v] – [i]

    Solution:
    [iii] অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ কি না দেখতে হবে।
    [i] B সেটের যে-কোনো পদ y হলে A সেটে একটি পদ x থাকবে যাতে f(x) = y হয়।
    [v] f(x) = y সমীকরণ সমাধান করে x-কে y -এর আকারে প্রকাশ করতে হবে।
    [iv] x-এর জায়গায় f-1(y) বসালে বিপরীত অপেক্ষকটি y -এরআকারে পাওয়া যাবে।
    [ii] y -এর জায়গায় x বসালে f-1: B → A পাওয়া যাবে।
    Ans:  Ⓐ[iii] – [i] – [v] – [iv] – [ii]

    SEMESTER-3
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

    👉 UNIT-2       বীজগণিত

    • 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
    • 2. নির্ণায়ক
    • 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

    👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

    • 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
    • 2. অবকলন বা অন্তরকলন
    • 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
    • 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
    • 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
    • 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
    • . চরম ও অবম মান

    👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

    • 1. সম্ভাবনা
    • 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
    • 3. দ্বিপদ বিভাজন

    👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

    Relationship between Statements __________

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
      Ⓐবিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
      Ⓑবিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
      Ⓒবিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
      Ⓓবিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

    1. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {p, q, r} এবং f: A → B, g: A → B দুটি অপেক্ষক।
    বিবৃতি-A: f = {(a, p), (b, q), (c, r)} এবং g = {(a, r), (b, q), (c, p)} হতে পারে।
    বিবৃতি-B: f-1 = {(p, a), (q, b), (r, c)} এবং g-1 = {(p, c), (q, b), (r, a)}

    Solution: বিবৃতি-A: f: A → B –এর ক্ষেত্রে A–এর প্রতিটি পদের জন্য B- তে একটি প্রতিবিম্ব আছে।
    আবার g: A → B –এর ক্ষেত্রে A–এর প্রতিটি পদের জন্য B- তে একটি প্রতিবিম্ব আছে।
    ∴ বিবৃতিটি সঠিক।
    বিবৃতি-B: f এর ক্রমিক জোড়গুলোর উপাদান বিনিময় করলে f-1 = {(p, a), (q, b), (r, c)} পাওয়া যায়।
    আবার g এর ক্রমিক জোড়গুলোর উপাদান বিনিময় করলে g-1 = {(r, a), (q, b), (p, c)} পাওয়া যায়।
    ∴ বিবৃতিটি সঠিক, কিন্তু বিবৃতি দুটি পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
    Ans:  Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

    2. মনে করো, A = R – {3} , B = R – {1} এবং f: A → B অপেক্ষকটি f(x) =  x – 2/x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বিবৃতি-A: f-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = = 3x – 2/x – 1
    বিবৃতি-B: f(x) অপেক্ষকটি এক-এক উপরিচিত্রণ।

    Solution:
    বিবৃতি-A:     ধরি, f(x1) = f(x2) যেখানে x1, x2 ∈ A
    ∴ x1 – 2/x1 – 3 = x2 – 2/x2 – 3
    ⇒ x1x2 – 3x1 – 2x2 + 6 = x1x2 – 2x1 – 3x2 + 6
    ⇒ x1 = x2
    ∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
    আবার ধরি, f(x) = y
    ⇒ x – 2/x – 3 = y
    ⇒ x – 2 = xy – 3y
    ⇒x(1 – y) = 2 – 3y
    ⇒ x = 2 – 3y/1 – y = 3y – 2/y – 1
    স্পষ্টতই, 3y – 2/y – 1 ∈ R – {3} = A
    সুতরাং, যে-কোনো y ∈ B -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
    ∴ f একটি উপরিচিত্রণ অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
    ∴ f-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = 3x – 2/x – 1 →বিবৃতিটি সঠিক।
    বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক।
    Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ।

    3. মনে করো, f: Q → Q এবং g: Q → Q অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x এবং g(x) = x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বিবৃতি-A:     f-1 এবং g-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
    বিবৃতি-B: (g০f) -1 = g-1০f-1

    Solution: f: Q → Q এবং g: Q → Q এবং f(x) = 3x, g(x) = x + 3
    বিবৃতি-A: f(x) ও g(x) উভয়ই এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ।
    ∴ f-1 এবং g-1 -এর অস্তিত্ব আছে। → বিবৃতিটি সঠিক।
    বিবৃতি-B: g[f(x)] = g(3x) = 3x + 3
    ∴ g০f = 3x + 3
    ধরি, g০f= y
    ∴ y = 3x + 3
    ⇒ x = 3y + 3  .  . . [y ⇔ x]
    ⇒3y = x – 3
    ⇒ y = x – 3/3
     ∴ (g০f)-1 = x – 3/3  
    f(x) = 3x  ⇒ f-1(x)= x/3  এবং
    g(x) = x + 3 ⇒ g-1(x)= x – 3
    ∴ g-1০f-1 = g-1০f-1(x)
    = g-1[f-1(x)]
    =g-1[x/3]
    = x/3  – 3 = x – 9/3  ≠ (g০f)-1 → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    4. মনে করো, x ∈ R-এর জন্য f: R → R চিত্রণ f(x) = x3 – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বিবৃতি-A: f-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
    বিবৃতি-B: f অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ।

    Solution: বিবৃতি-A:ধরি, f(x1) = f(x2) যেখানে x1, x2 ∈ R
     ∴ x13 – 6  = x23 – 6
    ⇒ x13 = x23
    ⇒ x1 = x2
    ∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
     আবার ধরি, f(x) = y
    ⇒  x3 – 6 = y
    ⇒  x3 = y + 6

    \(⇒x=\sqrt[3]{y+6}∈R\)

    সুতরাং, যে-কোনো y ∈ R -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
     ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
    ∴ f-1 -এর অস্তিত্ব আছে।
    বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক।
    Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

    Assertion-Reasoning __________

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারন) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি  নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
       Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
       Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
       Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
       Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    1. বিবৃতি-I(A): মনে করো, সব x ∈ Q –এর জন্য f: Q → Q অপেক্ষক f(x) = 4x – 5 দ্বারা সংজ্ঞাত; f অপেক্ষকটির বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = x + 5/4
    বিবৃতি-II(R): একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকের অস্তিত্ব থাকবে যদি অপেক্ষকটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হয়।

    Solution: বিবৃতি-A: ধরি, f(x1) = f(x2) যেখানে x1, x2 ∈ Q
     ∴ 4x1 – 5 = 4x2 – 5
    ⇒ 4x1 = 4x2
    ⇒ x1 = x2
    ∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
     আবার ধরি, f(x) = y
    ⇒  4x – 5 = y
    ⇒4x = y + 5
     ⇒ x = y + 5/4  ∈ Q
     সুতরাং, যে-কোনো y ∈ Q -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
     ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
    ∴ f-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = x + 5/4 → বিবৃতিটি সঠিক।
    বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
    Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।


    2. মনে করো, f: A → B একটি অপেক্ষক। f(a1) = f(a2) = f(a3) = b যেখানে a1, a2, a3  ∈ A, b ∈ B এবং a1 ≠ a2 ≠ a3
    বিবৃতি-I(A): f-1: B → A -এর অস্তিত্ব আছে।
    বিবৃতি-II(R):     f-1(b) -এর অস্তিত্ব আছে যেখানে f-1(b) = { a1, a2, a3}

    Solution: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    বিবৃতি-A: এখানে, f(a1) = f(a2) = f(a3) = b অর্থাৎ A সেটের তিনটি ভিন্ন পদের প্রতিবিম্ব একই (b)।
    ∴ চিত্রণটি একটি বহু এক চিত্রণ।
    ∴ f-1: B → A -এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    বিবৃতি-B: f-1(b) হলো b-এর প্রাক-প্রতিবিম্বের সেট।
    ∴ f-1(b) = { a1, a2, a3} → বিবৃতিটি সঠিক।
    Ans: Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    True and False _________________

    1. মনে করো, A = {x: ∈ R: -1 ≤ x ≤ 1} এবং A সেটে দুটি অপেক্ষক f ও g যথাক্রমে f(x) = x2 ও g(x) = x5 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বিবৃতি-I:     f-1 এর অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = ±√x

    বিবৃতি-II: \(g^{-1}\) এর অস্তিত্ব আছে এবং \(g^{-1}(x)=±\sqrt[5]{x}\)

    Ⓐ বিবৃতি । সত্য, বিবৃতি II মিথ্যা
    Ⓑ বিবৃতি। মিথ্যা, বিবৃতি ।I সত্য
    Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি-I: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    f(x) = x2
    ∴ f(1) = 12 = 1 এবং f(-1) = (-1)2 = 1
    ∴ f(1) = f(-1) কিন্তু 1 ≠ -1  ⇒ অপেক্ষকটি এক এক নয়।
    f-1 এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    বিবৃতি-II: g(x) = x5
    g(x) অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ।
    ∴ g-1 এর অস্তিত্ব আছে।
    ধরি, g-1(x) = y
    ⇒ y = x5

    \(⇒ x=\sqrt[5]{y}\\∴g^{-1}(x)=\sqrt[5]{x}≠ ±\sqrt[5]{x}\)

    বিবৃতিটি সঠিক নয়।
    Ans:  Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    2. মনে করো, A = R – {-½}, B = R – {-½} এবং f: A → B অপেক্ষক f(x) = x + 2/2x + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    বিবৃতি-I:     f-1 এর অস্তিত্ব আছে।
    বিবৃতি-I: f-1(x) = x – 2/1 – 2x
    Ⓐ বিবৃতি । সত্য, বিবৃতি II মিথ্যা
    Ⓑ বিবৃতি। মিথ্যা, বিবৃতি ।I সত্য
    Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: ধরি, f(x1) = f(x2) যেখানে x1, x2 ∈ A
     ∴ ∴ x1 + 2/2x1 + 1 = x2 + 2/2x2 + 1
    ⇒ 2x1x2 + x1 + 4x2 + 2 = 2x1x2 + 4x1 + x2 + 2
    ⇒-3x1 = -3x2
    ⇒ x1 = x2  ∴ f একটি এক-এক চিত্রণ।
     আবার ধরি, f(x) = y
    ⇒ x + 2/2x + 1 = y
    ⇒ 2xy + y = x + 2
    ⇒x(2y – 1) = 2 – y
    ⇒ x = 2 – y/2y – 1   = y – 2/1 – 2y
     স্পষ্টতই, y – 2/1 – 2y ∈ R – {-½} = A
     সুতরাং, যে-কোনো y ∈ B -এর জন্য একটি প্রাগবিম্ব  আছে।
     ∴ f একটি উপরিচিত্রণ। অর্থাৎ f(x) একটি বাইজেকটিভ।
    ∴ f-1 -এর অস্তিত্ব আছে এবং f-1(x) = x – 2/1 – 2x 
    বিবৃতি-A এবং বিবৃতি-B সঠিক।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি ।, II সত্য

    Diagram/Chort Based _________________

    1. বিকল্পের চিত্রণগুলির মধ্যে কোনটির বিপরীত আছে?

    fA        B ●           ● ●         >● ●         >● ●         >● ●          ●Ⓐ gA        B ●         >● ●         >● ●         >● ●         >● ●         >● Ⓑ hA        B ●         >● ●         >●● ●         >● ●         >● ●         >● Ⓒ jA        B ●         >● ●         >● ●         >● ●         >● ●         >● Ⓓ

    Solution: যদি f: A → B একটি অপেক্ষক হয়, তবে f-1 অপেক্ষকটির অস্তিত্ব থাকবে, যখন f এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    উপরের চিত্রগুলির মধ্যে Ⓓ এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ। চিত্র Ⓓ সঠিক
    Ans:      Ⓓ

    SOLUTION OF INVERSE FUNCTION
    বিপরীত অপেক্ষক S N DEY SEMESTER 3

    2. যদি f: A → B এবং g: B → C হয়, তবে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি f-1০g-1 অপেক্ষকটিকে উপস্থাপিত করে?

    g f -1   -1 f ০ g ●         ●      >● ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >●       >●        ●Ⓐ A      B    C g f -1   -1 f ০ g ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >●Ⓑ A      B    C g f -1   -1 f ০ g ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >●●Ⓒ A      B    C g f -1   -1 f ০ g ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >● ●       >●      >●Ⓓ C      B    A

    Solution: f: A → B এবং g: B → C দুটি অপেক্ষক হয়, তবে f-1০g-1 অপেক্ষকটির অস্তিত্ব থাকবে, যখন f এবং g উভয়ই এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ বাইজেকটিভ হয়।
    চিত্র Ⓐ -এর ক্ষেত্রে f উপরিচিত্রণ নয়।
    চিত্র Ⓑ-এর ক্ষেত্রে f এবং g এক এক এবং উপরিচিত্রণ অর্থাৎ উভয়ই বাইজেকটিভ। চিত্র Ⓑ সঠিক
    Ans: Ⓑ

    Case Based _________________

    1. মনে করো, f: A → B অপেক্ষকটি f(x) = sin x দ্বারা সংজ্ঞাত।
    [i] বিকল্পগুলির মধ্যে কোন্ ক্ষেত্রে অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে?
    Ⓐ A = {x: –π/2 ≤ x ≤ π/2} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
    Ⓑ A = {x: -π ≤ x ≤ π} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
    Ⓒ A = {x: 0 ≤ x ≤ 2 π} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1}
    Ⓓ A = {x: –π/2 ≤ x ≤ π/2} এবং B = {x: -2 ≤ x ≤ 2}

    Solution:  অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে যদি অপেক্ষকটি এক এক এবং উপরিচিত্রণ হয়।
    A = {x: –π/2 ≤ x ≤ π/2} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1} হলে সংজ্ঞার অঞ্চলের x –এর প্রতিটি মানের জন্য f(x) –এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।
    সুতরাং অপেক্ষকটি এক এক হবে।
    আবার -1 ≤ sin x ≤ 1,
    ∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [-1, 1]
     ∴ উপঅঞ্চল = পাল্লা
    অতএব অপেক্ষকটি একটি বাইজেকটিভ অপেক্ষক হবে যদি A = {x: –π/2 ≤ x ≤ π/2} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤ 1} হয়।
    Ans:  Ⓐ A = {x: –π/2 ≤ x ≤ π/2} এবং B = {x: -1 ≤ x ≤     1}

    [ii] প্রশ্ন (i)-এর সঠিক বিকল্পটির ক্ষেত্রে f-1(-1) হবে –
    Ⓐ -π        Ⓑ –π/2
    Ⓒ π/2      Ⓓ 0
    Solution: ধরি, f-1(-1) = y
    ∴ f(y) = -1
    ⇒ sin y = -1
    ⇒sin y = sin (-π/2)
    ⇒ y = –π/2
    ∴ f-1(-1) = – π/2
    Ans:  Ⓑ –π/2

    2. মনে করো, A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 4, 7, 10}, C = {5, 11, 17, 23} এবং f: A → B, g: B → C অপেক্ষকদ্বয় f(x) = 3x + 1 এবং g(x) = 2x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।

    [i] (g০f)-1(11) =
    Ⓐ 1/76 Ⓑ  1/71 Ⓒ 4 Ⓓ 1
    Solution: f(x) = 3x + 1 এবং g(x) = 2x + 3
    ∴ (g০f)(x) = g(3x + 1)
    = 2(3x + 1) + 3 = 6x + 5
    ধরি, (g০f)-1(11) = y
    ∴ (g০f)(y) = 11
    ⇒ 6y + 5 = 11
    ⇒ y = 1
    Ans:  Ⓓ 1

    [ii] (f-1০g-1)(17)=
    Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3
    Solution: ধরি, g-1(17)= y
    ∴ g(y) = 17
    ⇒ 2y + 3 = 17
    ⇒ y = 7
    ∴ g-1(17) = 7
    (f-1০g-1)(17) = f-1{g-1(17)} = f-1(7)
    ধরি, f-1(7) = z
    ∴ f(z) = 7
    ⇒ 3z + 1 = 7
    ⇒ z = 2
    ∴ (f-1০g-1)(17) = 2
    Ans:  Ⓒ 2

    MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION →
    ← অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • SOLUTION OF COMPOSITION OF FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন

    SOLUTION OF COMPOSITION OF FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন

    SOLUTION OF COMPOSITION OF FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন

    SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION
    SOLUTION OF COMPOSITION OF FUNCTIONS SNDEY অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন

    বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)        প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
    Conventional Type

    1. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট); তাহলে (f০f)(x) হবে —
    Ⓐ 7x – 8       Ⓑ 9x – 7
    Ⓒ 9x – 8       Ⓓ 8x – 9

    Solution: f: R → R অপেক্ষক f(x) = 3x – 2
    ∴(f০f)(x) = f{f(x)}= f(3x – 2)
        = 3(3x – 2) – 2 = 9x – 6 – 2 = 9x – 8
    Ans:  Ⓒ 9x – 8

    2. সব বাস্তব সংখ্যার সেট R -এর ওপর f এবং g অপেক্ষক দুটি f(x) = cos x ও g(x) = x2 দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে (f০g)(x) হবে —
    Ⓐ cos2 x      Ⓑ cos x2
    Ⓒ sin2 x       Ⓓ sin x2

    Solution:  f(x) = cos x ও g(x) = x2
    ∴ (f০g)(x) = f{g(x)}= f(x2) = cos x2
    Ans:  Ⓑ cos x2

    3. যদি f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x + 2 এবং g(x) = 2x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত হয় (যেখানে R হল সব বাস্তব সংখ্যার সেট), তবে নীচের কোনটি (g০f)(x) -এর মান বলো?
    Ⓐ 6x – 7     Ⓑ 6x + 1
    Ⓒ 3x + 5    Ⓓ 6x + 4

    Solution: f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 3x + 2 এবং g(x) = 2x – 3
    ∴ (g০f)(x) =  g{f(x)} = g(3x + 2)
         = 2(3x + 2) – 3 = 6x + 4 – 3 = 6x + 1
    Ans:  Ⓑ 6x + 1

    4. মনে করো, সব বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R → R ও g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 5 – x2এবং g(x) = 3x – 4 দ্বারা সংজ্ঞাত, তাহলে, নীচের কোনটি (f০g)(-1) -এর মান হবে?
    Ⓐ 8     Ⓑ -44   Ⓒ 54    Ⓓ 16

    Solution:  f: R → R ও g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = 5 – x2 এবং g(x) = 3x – 4
    ∴ g(-1) = 3.(-1) – 4= -3 – 4 = -7
    ∴ (f০g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)
         = 5 – (-7)2 = 5 – 49 = -44
    Ans:  Ⓑ -44

    5. যদি g(x) = x2 + x – 2 এবং (g০f)(x) = 2(2x2 – 5x + 2) হয়, তবে f(x) =
    Ⓐ 2x – 3     Ⓑ 2x + 3
    Ⓒ 2x2 + 3x + 1
    Ⓓ 2x2 – 3x – 1

    Solution: g(x) = x2 + x – 2 . . . (i)
        (g০f)(x) = 2(2x2 – 5x + 2)
    ⇒ g[f(x)] = 4x2 – 10x + 4
    ⇒ g[f(x)] = (2x)2 – 2.2x.3 + 32 + 2x – 5
    ⇒g[f(x)] = (2x – 3)2 + (2x – 3) -2 . . . (ii)
    (ii) ও (ii) নং তুলনা করে পাই,
    f(x) = (2x – 3)
    Ans: Ⓐ 2x – 3

    6. যদি f(x) = sin2 x এবং g(f(x)) = |sin x| হয়, তবে g(x) =

    \(\quad Ⓐ \sqrt{x – 1}\quad Ⓑ \sqrt{x}\quad Ⓒ \sqrt{x + 1}\quad Ⓓ -\sqrt{x}\)

    Solution: f(x) = sin2 x এবং
        g(f(x)) = |sin x|
    ⇒ g(sin2 x) = |sin x|
    ধরি, sin2 x = y
    ⇒ sin x = ±√y
    ∴ g(y) = |±√y| = √y
    ∴ g(x) = √x
    Ans: Ⓑ √x

    7. মনে করো, সব x ∈ Q এর জন্য f: Q → Q অপেক্ষকটি f(x) = 2x + 5 দ্বারা সংজ্ঞাত। যদি ( g০f) = IQ হয়, তবে g: Q → Q অপেক্ষকটি হবে —
    Ⓐ 1/2(x+5)   Ⓑ1/2(x-5)
    Ⓒ 2(x + 5)   Ⓓ 2(x – 5)

    Solution: f(x) = 2x + 5
    ∵ (g০f) = IQ
    ∴ (g০f)(x) = x
    ⇒ g[f(x)] = x
    ⇒ g[2x + 5] = x . . . (i)
    ধরি, 2x + 5 = y
    বা, x = y – 5/2
    (i) থেকে পাই,
       g(y) = y – 5/2
    ∴ g(x) = x – 5/2
    Ans:  Ⓑ 1/2(x-5)

    8. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = 4x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত। যদি (g০f)(x) = 8x – 1 হয়, তবে g: R → R অপেক্ষকটি হবে —
    Ⓐ 2x – 5    Ⓑ 2x + 5
    Ⓒ 2x + 7    Ⓓ – 2x + 5

    Solution:  f(x) = 4x – 3
       (g০f)(x) = 8x -1
    ⇒ g[f(x)] = 8x -1
    ⇒ g[4x – 3] = 8x -1 . . . (i)
    ধরি, 4x – 3 = y
    বা, x = y + 3/4
    (i) থেকে পাই,
    g(y) = 8. y + 3/4  – 1
       = 2y + 6- 1
       = 2y + 5
    ∴ g(x) = 2x + 5
    Ans: Ⓑ 2x + 5

    9. মনে করো, f: R → R অপেক্ষকটি f(x) = x + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    (g০f)(x) = x2 + 3x + 3 হয়, তবে g: R → R অপেক্ষকটি হবে —
    Ⓐ x2 – x – 1
    Ⓑ x2 – x + 1
    Ⓒ x2 + x – 1
    Ⓓ x2 + x + 1

    Solution:  f(x) = x + 1
    ∴ (g০f)(x) = x2 + 3x + 3
    ⇒ g[f(x)] = x2 + 3x + 3
    ⇒ g(x  + 1) = x2 + 3x + 3 . . . (i)
    ধরি, x  + 1 = y
    বা, x = y – 1
    (i) নং থেকে পাই,
    g(y) = (y – 1)2 + 3(y – 1) + 3
           = y2 – 2y + 1 + 3y – 3 + 3
           = y2 + y + 1
    ∴ g(x) = x2 + x + 1
    Ans: Ⓓ x2 + x + 1

    10. f: R → R এবং g: R → R দুটি অপেক্ষক এমন যে (g০f)(x) = sin2 x এবং (f০g)(x) = sin(x2) ; f(x) এবং g(x) যথাক্রমে হবে —
    Ⓐ x2, sin x    Ⓑ sin x, x2
    Ⓒ sin x2, x    Ⓓ x, sin x2

    Solution: (g০f)(x) = sin2 x     ⇒ g[f(x)] = sin2 x . . . (i)
         (f০g)(x) = sin(x2) ⇒ f[g(x)] = sin(x2) . . . (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    f(x) = sinx এবং g(x) = x2
    Ans:  Ⓑsin x, x2

    11. যদি ƒ বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক, যা f(x) = [x] দ্বারা সংজ্ঞাত এবং g মডিউলাস অপেক্ষক, যা g(x) = |x| দ্বারা সংজ্ঞাত হয়, তবে g০f(-5/4) =
    Ⓐ 1          Ⓑ 2    
    Ⓒ 0        Ⓓ 3

    Solution: f(x) = [x] = [-5/4] = [-1.25] = -2
    ∴ g০f(-5/4) =  g[f(-5/4)] = g(-2) = |-2| = 2
    Ans: Ⓑ   2

    SEMESTER-3
    সূচিপত্র

    👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

    👉 UNIT-2       বীজগণিত

    • 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
    • 2. নির্ণায়ক
    • 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

    👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

    • 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
    • 2. অবকলন বা অন্তরকলন
    • 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
    • 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
    • 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
    • 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
    • . চরম ও অবম মান

    👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

    • 1. সম্ভাবনা
    • 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
    • 3. দ্বিপদ বিভাজন

    👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

    Analytical/Skill Based Type
    Fill in the Blanks ______________

    1. মনে করো . f: R → R এবং g: R → R} চিত্রণ দুটি যথাক্রমে f(x) = 2x + 1 ও g(x) = x2 – 2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে (g০f)(x) = ______________ এবং ( f০g)(x) = ______________।
    Ⓐ 4x2 + 4x – 1 , 2x2 + 3
    Ⓑ 4x2 + 4x + 1 , 2x + 3
    Ⓒ 4x2 + 4x + 1 , 2x2 – 3
    Ⓓ 4x2 + 4x – 1 , 2x2 – 3

    Solution:  (g০f)(x) =  g[f(x)] = g(2x + 1)
    = (2x + 1)² – 2 = 4x² + 4x + 1 – 2
    = 4x² + 4x – 1
       (f০g)(x) =  f[g(x)] = f(x² – 2)
    = 2(x² – 2) + 1 = 2x² – 3
    Ans: Ⓓ 4x2 + 4x – 1, 2x2 – 3

    2. মনে করো, সব x ∈ R এর জন্য  f: R → R অপেক্ষক f(x) = ax + b দ্বারা সংজ্ঞাত; যদি (f০f) = IR হয়, তবে a = ______________ ও b = ______________
    Ⓐ 1, -1      Ⓑ -1, 0
    Ⓒ 1, সকল বাস্তব সংখ্যা
    Ⓓ -1, সকল বাস্তব সংখ্যা

    Solution: ∵(f০f) = IR
    ⇒ f[f(x)] = x
    ⇒ f(ax + b) = x
    ⇒a(ax + b) + b = x
    ⇒ a2x + ab + b = x
    এটি একটি অভেদ।
    ∴ a2 = 1  ⇒ a = ±1  এবং ab + b = 0
    a = 1 হলে, 1.b + b = 0 বা, 2b = 0 বা, b = 0
     আবার a = -1 হলে,
    -1.b + b = 0
    বা, b.0 = 0
    ∴ b যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
    Ans:  Ⓓ -1, সকল বাস্তব সংখ্যা

    3. f(x) = {x, যখন x ∈ Q
                         {1 – x, যখন x ∉ Q হলে,
    (fof)(x) = ______________
    Ⓐ 1 – x      Ⓑ x
    Ⓒ 1            Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  x ∈ Q হলে,
    (fof)(x) = f[f(x)]
    = f(x) = x
    x ∉ Q হলে,
    (fof)(x) = f[f(x)]
    = f(1 – x)
    = 1 – (1 – x) = x
    ∴ (fof)(x) = x
    Ans: Ⓑ x

    Click here to visit our Facebook

    Column Matching

    1. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং f: A → A ও g: A → A চিত্রণ দুটি নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
    f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 2, f(4) = 1 এবং
    g(1) = 2, g(2) = 4, g(3) = 1, g(4) = 3;
    A স্তম্ভের সঙ্গে B স্তম্ভ মেলাও।

    স্তম্ভ Aস্তম্ভ B
    [i] (g০f)(4) =[a] 2
    [ii] (f০g)(1) =[b] 4
    [iii] (g০f)(3) =[c] 3
    [iv] (f০g)(2) =[d]

    Ⓐ [i] — [a], [ii] — [b],[iii] — [c], [iv] — [d]
    Ⓑ [i] — [d], [ii] — [b], [iii] — [c], [iv] — [a]
    Ⓒ [i] — [d], [i] — [c], [ii] — [b], [iv] — [a]
    Ⓓ [i] — [d], [ii] — [b], [iii] — [b], [iv] — [b]

    Solution:  [i] (g০f)(4) = g[f(4)] = g(1) = 2 → [a]
    [ii] (f০g)(1) = f[g(1)] = f(2) = 4 → [b]
    [iii] (g০f)(3) = g[f(3)] = g(2) = 4 → [c]
    [iv] (f০g)(2) = f[g(2)] = f(4) = 1 → [d]
    Ans:  Ⓐ [i] — [a], [ii] — [b], [iii] — [c], [iv] — [d]

    2. মনে করো, f: R→R এবং g: R→R অপেক্ষক দুটি f(x) = 3x – 2 এবং g(x) = 3|x| – x2 দ্বারা সংজ্ঞাত।
    A স্তম্ভের সঙ্গে B স্তম্ভ মেলাও।

    স্তম্ভ Aস্তম্ভ B
    [i] (g০f)(-1) =[a] 4
    [ii] (f০g)(-2) =[b] -10
    [iii] (g০f)(3) =[c] -28
    [iv] (f০g)(4) =[d] -14

    Ⓐ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [d], [iv] — [c]
    Ⓑ [i] — [b], [i] — [c], [iii] — [a], [iv] — [d]
    Ⓒ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [d]
    Ⓓ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [a]

    Solution:  f(x) = 3x – 2 এবং g(x) = 3|x| – x2
    [i] (g০f)(-1) = g[f(-1)] = g[3(-1) – 2]
    = g(-5) = 3|-5| – (-5)2
    = 3.5 – 25 = 15 – 25 = -10 → [b]
    [ii] (f০g)(-2) = f[g(-2) = f[3|-2| – (-2)2]
    = f[3.2 – 4] = f(2)
    = 3.2 – 2 = 6 – 2 = 4 → [a]

    [iii] (g০f)(3) = g[f(3)] = g[3(3) – 2]
    = g(7) = 3|7| – (7)2 = 3.7 – 49
    = 21 – 49 = -28 → [c]
    [ii] (f০g)(4) = f[g(4) = f[3|4| – (4)2]
    = f[3.4 – 16] = f(-4) = 3.(-4) – 2
    = -12 – 2 = -14 → [d]
    Ans:  Ⓒ [i] — [b], [ii] — [a], [iii] — [c], [iv] — [d]

    Relationship between Statements __________

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
    Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
    Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
    Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
    Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

    1. বিবৃতি-A: f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 হলে (g০f)(x) ≠ (f০g)(x)
    বিবৃতি-B: যে-কোনো দুটি অপেক্ষক ƒ ও g-এর ক্ষেত্রে সর্বদা f০g = g০f

    Solution: বিবৃতি A:(g০f)(x) = g[f(x)] = g(2x + 1)
    = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
    (f০g)(x) = f[g(x)] = f(x2) = 2x2 + 1
    ∴ (g০f)(x) ≠ (f০g)(x) → বিবৃতি A সত্য।
    বিবৃতি B: বিবৃতি B মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    2. বিবৃতি-A: f: A → B এবং g: B → A যেখানে f০g = IB,  তাহলে f একটি উপরিচিত্রণ ও g একটি এক-এক চিত্রণ।
    বিবৃতি-B: f, g, h তিনটি অপেক্ষক হলে h০(g০f) ≠ (h০g)০f

    Solution: বিবৃতি-A: ∵ f০g = IB ⇒ f একটি উপরিচিত্রণ এবং f০g = IB ⇒ g একটি এক-এক চিত্রণ। → বিবৃতি A সত্য।
    বিবৃতি-B:   তিনটি অপেক্ষক f, g, h-এর ক্ষেত্রে অপেক্ষকসমূহের সংযোজন সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।
    অর্থাৎ h০(g০f) = (h০g)০f
    ∴ h০(g০f) ≠ (h০g)০f →বিবৃতিটি মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

    Assertion-Reasoning __________

    প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
    Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
    Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
    Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
    Ⓓ  বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    1. বিবৃতি-I(A): (g০f) -এর অস্তিত্ব থাকবে যখন f অপেক্ষকের পাল্লা, g অপেক্ষকের ক্ষেত্রের একটি উপসেট হয়।
    বিবৃতি-II(R): f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে h: (gof): C → A ∀x ∈ A

    Solution:  বিবৃতি I: বিবৃতি I সত্য।
    বিবৃতি II: f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে h: (gof): A → C ∀x ∈ A হয়। → বিবৃতি II মিথ্যা।
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

    2. বিবৃতি-I(A): f: A → B g: B → C দুটি অপেক্ষক হলে fog = gof)
    বিবৃতি-II(R): দুটি বাইজেকটিভ অপেক্ষকের সংযোজনের দ্বারা প্রাপ্ত অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকটিভ।

    Solution:  বিবৃতি I: বিবৃতি I মিথ্যা।
    বিবৃতি II: দুটি বাইজেকটিভ অপেক্ষকের সংযোজনের দ্বারা প্রাপ্ত অপেক্ষক সর্বদা বাইজেকটিভ হয়। → সত্য।
    Ans:  Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

    True and False __________

    1. বিবৃতি-I: মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = sin x ও g(x) = x2 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে, (g০f) ≠ (f০g)
    বিবৃতি-II: মনে করো, f: R → R এবং g: R → R চিত্রণ দুটি যথাক্রমে f(x) = x + 1 ও g(x) = x – 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে, (g০f) = (f০g) = IR
    Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
    Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি I:f(x) = sin x এবং g(x) = x2
          (g০f) = g[f(x)] = g(sin x) = sin2 x
    (f০g) = f[g(x)] = f(x2) = sin x2
    ∵ sin2 x ≠ sin x2
    ∴ (g০f) ≠ (f০g) → বিবৃতি I সত্য
    বিবৃতি-II: f(x) = x + 1 ও g(x) = x – 1
    (g০f) = g[f(x)] = g(x + 1) = x + 1 – 1 = x = IR
    (f০g) = f[g(x)] = f(x – 1) = x – 1 + 1 = x = IR
    ∴ (g০f) = (f০g) = IR → বিবৃতি II সত্য
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

    2. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x2 ও g(x) = x + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত। তবে ‌—
    বিবৃতি-I: (f০g)(2) = 25
    বিবৃতি-II: (g০f)(3) = 12
    Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং বিবৃতি II মিথ্যা
    Ⓑ বিবৃতি I মিথ্যা এবং বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য
    Ⓓ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই মিথ্যা

    Solution:  f(x) = x2 ও g(x) = x + 3
    বিবৃতি-I: (f০g)(2) = f[g(2)] = f(2 + 3)
    = f(5) = 52 = 25 → বিবৃতি I সত্য
    বিবৃতি-II: (g০f)(3) = g[f(3)] = g(32)
    = g(9) = 9 + 3 = 12 → বিবৃতি II সত্য
    Ans:  Ⓒ বিবৃতি I এবং বিবৃতি II উভয়ই সত্য

    3. দুটি অপেক্ষক f এবং g নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} এবং g = {(2, – 1), (4, 2), (1, – 2), (3, 4)}
    বিবৃতি-I: (g০f) সংজ্ঞাত কিন্তু (f০g) সংজ্ঞাত নয়।
    বিবৃতি-II: (f০g)= {(- 1, 1), (4, 2), (2, 3), (- 2, 4)}
    Ⓐ বিবৃতি I সত্য       Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য   Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: f-এর ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4}   এবং f-এর পাল্লা = {2, 3, 4, 1}
     g-এর ক্ষেত্র = {2, 4, 1, 3}   এবং g-এর পাল্লা = {-1, 2, -2, 4}
    বিবৃতি-I: g-এর ক্ষেত্র = {2, 4, 1, 3} = f-এর পাল্লা
    ∴ (g০f) সংজ্ঞাত
    আবার f-এর ক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4} ≠ g-এর পাল্লা
    ∴ (f০g) সংজ্ঞাত নয়। → বিবৃতি I সত্য
    Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

    4. f: R – {7/5} → R – {3/5} অপেক্ষক f(x) = 3x + 4/5x – 7 দ্বারা এবং g: R – {3/5} → R – {7/5} অপেক্ষক g(x) = 7x + 4/5x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত হয়। তবে —
    বিবৃতি-I:     (f০g)(x) = x
    বিবৃতি-II: (g০f)(x)= ধ্রুবক
    Ⓐ বিবৃতি I সত্য       Ⓑ বিবৃতি II সত্য
    Ⓒ বিবৃতি I, II সত্য   Ⓓ বিবৃতি I, II মিথ্যা

    Solution: বিবৃতি I:

    \(\quad (f০g)(x)\\=f[g(x)]\\= f\left( \frac{7x + 4}{5x – 3} \right)\\=\frac{3.\frac{7x + 4}{5x – 3} + 4}{5.\frac{7x + 4}{5x – 3} – 7}\\=\frac{21x + 12 + 20x – 12}{35x + 20 – 35x + 21}\\=\frac{41x}{41}=x\) → বিবৃতি I সত্য
    বিবৃতি II: \(\quad (g০f)(x)\\=g[f(x)]\\= g\left( \frac{3x + 4}{5x – 7} \right)\\=\frac{7.\frac{3x + 4}{5x – 7} + 4}{5.\frac{3x + 4}{5x – 7} – 3}\\=\frac{21x + 28 + 20x – 28}{15x + 20 – 15x + 21}\\=\frac{41x}{41}=x\) → বিবৃতি II মিথ্যা

    Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য

    Case Based __________

    1. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রমে f(x) = x2 + 3x + 1 ও g(x) = 2x – 3 দ্বারা সংজ্ঞাত।

    [i] (f০f)(x) =
    Ⓐ x4 + 6x3 + 14x2 – 15x + 5
    Ⓑ x4 – 6x3 + 14x2 – 15x + 5
    Ⓒ x4 + 6x3 + 14x2 + 15x + 5
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution: f(x) = x2 + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
    ∴(f০f)(x) = f[f(x)]
    = f(x2 + 3x + 1)
    =(x2 + 3x + 1)2 + 3(x2 + 3x + 1) + 1
    = x4 + 9x2 + 1 + 6x3 + 6x + 2x2 + 3x2 + 9x + 3 + 1
    = x4 + 6x3 + 14x2 + 15x + 5
    Ans:  Ⓒ x4 + 6x3 + 14x2 + 15x + 5

    [ii] (g০g)(x) =
    Ⓐ 4x + 9     Ⓑ 4x – 9
    Ⓒ 4x2 – 9
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  f(x) = x2 + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
    ∴ (g০g)(x) = g[g(x)]
    = g(2x – 3)
    = 2(2x – 3) -3
    =4x – 9
    Ans:  Ⓑ   4x – 9

    [iii] (g০f)(x) =
    Ⓐ 2x2 + 7x – 1
    Ⓑ 2x2 – 6x – 1
    Ⓒ 4x2 – 6x + 1
    Ⓓ 2x2 + 6x – 1

    Solution: f(x) = x2 + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
    ∴ (g০f)(x) = g[f(x)]
    = g(x2 + 3x + 1)
    = 2(x2 + 3x + 1) – 3
    =2x2 + 6x + 2 -3
    = 2x2 + 6x – 1
    Ans:  Ⓓ 2x2 + 6x – 1

    [iv] (f০g)(x) =
    Ⓐ 4x2 – 6x + 1
    Ⓑ 24x2 + 6x – 1
    Ⓒ 4x2 – 6x – 1
    Ⓓ 4x2 + 6x – 1

    Solution: f(x) = x2 + 3x + 1 এবং g(x) = 2x – 3
    ∴ (f০g)(x) = f[g(x)]
    = f(2x – 3)
    = (2x – 3)2 + 3(2x – 3) + 1
    =4x2 – 12x + 9 + 6x – 9 – 1
    = 4x2 + 6x + 1
    Ans:  Ⓐ 4x2 – 6x + 1

    2. মনে করো, f: R → R এবং g: R → R অপেক্ষক দুটি যথাক্রম f(x) = 3x + 5 ও g(x) = x2 – 3x + 2 দ্বারা সংজ্ঞাত।

    [i] (g০f)(x2 – 1) =
    Ⓐ 3x2 – 9x4     Ⓑ 3x4 – 9x2
    Ⓒ 9x4 + 3x2    Ⓓ 9x2 + 3x4

    Solution:  f(x) = 3x + 5 এবং g(x) = x2 – 3x + 2
    ∴ (g০f)(x2 – 1)
    = g[f(x2 – 1)
    = g[3(x2 – 1) + 5]
    =g(3x2 + 2)
    = (3x2 + 2)2 – 3(3x2 + 2) + 2
    =9x4 + 12x2 + 4 – 9x2 – 6 + 2
    = 9x4 + 3x2
    Ans:  Ⓒ 9x4 + 3x2

    [ii] (f০g)(x + 2) =
    Ⓐ 3x2 + 3x – 5
    Ⓑ 3x2 – 3x + 5
    Ⓒ 3(x2 + x + 5)
    Ⓓ 3x2 + 3x + 5

    Solution:  f(x) = 3x + 5 এবং g(x) = x2 – 3x + 2
    ∴ (f০g)(x + 2)
    = f[g(x + 2)]
    =f[(x + 2)2 – 3(x + 2) + 2]
    = f(x2 + 4x + 4 -3x – 6 + 2)
    =f(x2 + x)
    = 3(x2 + x) + 5
    = 3x2 + 3x + 5
    Ans:  Ⓓ 3x2 + 3x + 5

    3. মনে করো, দুটি অপেক্ষক ƒ ও g নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
    f = {(1, 2), (3, – 2), (- 1, 1)} এবং g = {(2, 3), (- 2, 1), (1, 3)}

    [i] (g০f) =
    Ⓐ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}
    Ⓑ {(3, 1), (3, – 1)}
    Ⓒ {(1, 3), (2, – 2), (- 1, 3)}
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  f(1) = 2;    f(3) = -2;    f(-1) = 1;
    এবং g(2) = 3;    g(-2) = 1;    g(1) = 3;
    ∴ (g০f) = g[f(x)] = g[f(1)] = g(2) = 3;
       (g০f) = g[f(x)] = g[f(3)] = g(-2) = 1;
       (g০f) = g[f(x)] = g[f(-1)] = g(1) = 3;
    ∴ ক্রমিত জোড় সমুহ হল (1, 3), (3, 1), (- 1, 3)
    Ans:  Ⓐ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}

    [ii] (f০g)=
    Ⓐ {(1, 2), (1, 3), (- 2, 2)}
    Ⓑ {(2, – 2), (- 2, 2), (1, – 2)}
    Ⓒ {(1, 3), (3, 1), (- 1, 3)}
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  f(1) = 2;    f(3) = -2;    f(-1) = 1;
    এবং g(2) = 3;    g(-2) = 1;    g(1) = 3;
    ∴ (f০g) = f[g(x)] = f[g(2)] = f(3) = -2;
    (f০g) = f[g(x)] = f[g(-2)] = f(1) = 2;
    (f০g) = f[g(x)] = f[g(1)] = f(3) = -2;
    ∴ ক্রমিত জোড় সমুহ হল (2, -2), (-2, 2), (1, -2)
    Ans:  Ⓑ {(2, -2), (-2, 2), (1, -2)}

    4. মনে করো, f: R → R, g: R → R এবং h: R → R অপেক্ষক তিনটি যথাক্রমে f(x) = cos x, g(x) = 2x + 1 এবং h(x) = x3 – x – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। 

    [i] h০(g০f)(x) =
    Ⓐ 8cos3 x + 12cos2 x – 6
    Ⓑ 8cos3 x + 12cos2 x + 4cos x + 6
    Ⓒ 8cos3 x + 12cos2 x + 4cos x – 6
    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

    Solution:  h০(g০f)(x)
    =h[g{f(x)}]
    =h[g(cos x)]
    =h(2cos x + 1)
    = (2cos x + 1)3 – (2cos x + 1) – 6
    =8cos3 x + 12cos2 x + 6cos x + 1 – 2cos x – 1 – 6
    = 8cos3 x + 12cos2 x + 4cos x – 6
    Ans:  Ⓒ 8cos3 x + 12cos2 x + 4cos x – 6

    [ii] [h০(g০f)](π/3) =
    Ⓐ 1    Ⓑ -1
    Ⓒ 2   Ⓓ 0

    Solution:  ∵ h০(g০f)(x) = 8cos3 x + 12cos2 x + 4cos x – 6
    ∴ [h০(g০f)](π/3)
     = 8(cos π/3)3 x + 12(cos π/3)2 + 4cos π/3 – 6
    = 8.(1/2)3 + 12.(1/2)2 + 4.(1/2) – 6
    = 1 + 3 + 2 – 6 = 0
    Ans:  Ⓓ 0

    MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights