Category: XII-OLD SILLABUS

 ধরি, ĀB̄ = ā এবং B̄C̄ = b̄
∴ ĀD̄ = 2b̄
△ABC থেকে পাই,
ĀC̄ = ĀB̄ + B̄C̄ = ā + b̄
আবার △ACD থেকে পাই,
ĀC̄ + C̄D̄ = ĀD̄
বা, C̄D̄ = ĀD̄ – ĀC̄
বা, C̄D̄= 2b̄ – ā – b…..[∵ ĀD̄ = 2B̄C̄]
∴ C̄D̄ = b̄ – ā
B̄E = 2.C̄D̄ =2(b̄ – ā)=2b̄ – 2ā
∴EB̄ =2ā – 2b̄
FC̄ = 2ED̄ = 2AB̄ = 2ā
∴ ĀD̄ + EB̄ + FC̄
= 2b̄ + 2ā – 2b̄ + 2ā
= 4ā = 4ĀB̄
ĀD + EB̄ + FC̄=4ĀB̄…. (Proved)

(ii) ^{x – 2}/_a = ^{y + 3}/₆ = ^{z – 2}/₅ এবং ^{x + 2}/₃ = ^{y – 1}/_2a = ^{z + 3}/₅ দুটি প্রদত্ত সরলরেখা। a-এর কোন্ মানগুলির জন্য
(a) সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে এবং
(b) সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে?
Solution:
প্রদত্ত সরলরেখা দুটির দিক্ অনুপাতে সমূহ যথাক্রমে a, 6, 5 এবং 3, 2a, 5
(a) সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে যদি
a×3 + 6×2a + 5×5 = 0 হয়।
বা, 15a + 25 = 0 হয়।
বা, a = ^-25/₁₅ = ^-5/₃ হয়।
Ans: a = ^-5/₃ হলে সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে।

(b) সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি
^a/₃ = ⁶/_2a = ⁵/₅ হয়।
∴ ^a/₃ = ⁶/_2a
বা, a² = 9
বা, a = ±3
আবার ^a/₃ = ⁵/₅
বা, a = 3
Ans: a = 3 হলে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।

(e) যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:  2×1=2

(i) যদি A ও B দুটি ঘটনা এবং P(A∪B) = ⁵/_6,  P(A∩B) = ¹/₃ এবং P(B^c) = ¹/₂ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, A ও B স্বাধীন ঘটনা।
Solution:
P(A∪B) = ⁵/_6,  P(A∩B) = ¹/₃ এবং P(B^c) = ¹/₂
∴ P(B) = 1 – P(B^c) =1 – ¹/₂ = ¹/₂
∵ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
∴ ⁵/₆ = P(A) + ¹/₂ – ¹/₃
বা, P(A) = ⁵/₆ – ¹/₂ + ¹/₃
বা, P(A) = ^5-3+2/₆ = ⁴/₆ = ²/₃
P(A)×P(B) = ²/₃×¹/₂ = ¹/₃ = P(A∩B)
∴ A ও B স্বাধীন ঘটনা।  (প্রমানিত)

(ii) একটি যদৃচ্ছ চল X -এর সম্ভাবনা বিভাজন হল নিম্নরূপ:

তাহলে P(x≤1.5) – এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
∑P(x) = 1
∴ K + K² + 2K² + K = 1
⇒ 3K² + 2K – 1 = 0
⇒ (3k – 1)(k + 1) = 0
∴ k = ¹/₃ বা, k = -1 (অসম্ভব)
∴ P(x≤1.5) = K + K² + 2K²
  = 3K² + K= 3(¹/₃)² + ¹/₃ = ¹/₃ + ¹/₃ = ²/₃ (Ans)

HS 2025 Mathematics Solution

3.(a) যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:  4×1=4

(i) ধরা যাক A হলো একটি সমতলের সমস্ত সরলরেখার সেট।একটি সম্বন্ধ R এরূপভাবে সংজ্ঞাতে যেখানে R = {(x,y): x, y পরস্পর লম্ব, x, y ∈ A} পরীক্ষা করে বল উপরের সম্বন্ধ R স্বসম, প্রতিসম বা সংক্রমণ হয় কিনা।

Solution:
R = {(x,y): x, y পরস্পর লম্ব, x, y ∈ A}
স্বসমতাঃ
ধরি a ∈ A এবং  (a, a) ∈ R
কোনো সরলরেখা তার নিজের উপর লম্ব হতে পারে না।
∴ (a, a) ∉ R ∀ a ∈ A
∴ A সেটের ওপর R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
প্রতিসমতাঃ
ধরি a, b ∈A এবং (a, b) ∈ R
a, b পরস্পর লম্ব।
⇒ b, a পরস্পর লম্ব অর্থাৎ (b, a) ∈ R
∴ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ A
∴ A সেটের ওপর R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
সংক্রমণতাঃ
ধরি a, b, c ∈ A এবং (a, b) ∈ R ও (b, c) ∈ R
∴ a ⊥ b এবং b ⊥ c
একই সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখাসমূহ পরস্পর সমান্তরাল হয়।
∴ a ও b পরস্পর লম্ব নয় অর্থাৎ (a, b) ∉ R
∴ A সেটের ওপর R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।
A সেটের ওপর R সম্বন্ধটি প্রতিসম কিন্তু স্বসম বা সংক্রমণ নয়।

(b) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলো লক্ষণীয়): 4×2=8

Solution:
L.H.S.
F(x).F(y)

২০২৫ উচ্চ মাধ্যামিক গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

অথবা

∴ A^-1 -এর অস্তিত্ব আছে।

∴ (A^T)^-1 -এর অস্তিত্ব আছে।

= (a + b)(b + c)[(a + b + c)(1 – 1) -(-c)(1 + 1) + (-b)(-1 – 1)]
= (a + b)(b + c)[0 +2c +2b]
⇒ (a + b)(b + c)2(a + c)
⇒ 2(a + b)(b + c)(c + a) = R.H.S (Proved)

ক্রেমার -এর নিয়ম অনুসারে সমাধান করো:
¹/_x + ¹/_y + ¹/_z =1; ²/_x + ⁵/_y + ³/_z = 0; ¹/_x + ²/_y + ⁴/_z = 3

Solution:
¹/_x + ¹/_y + ¹/_z =1;
²/_x + ⁵/_y + ³/_z = 0;
¹/_x + ²/_y + ⁴/_z = 3
ক্রেমার -এর নিয়ম অনুসারে প্রদত্ত সমীকরণত্রয়ের সমাধান হল-

Ans: x = 1: y= -1; z = 1

(c) নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলো লক্ষণীয়):   4×4=16

(i) যদি f(x) = {3ax + b, x>1-এর জন্য
                 11,      x=1-এর জন্য
                5ax - 2b, x<1-এর জন্য
এবং অপেক্ষকটি x= 1 বিন্দুতে সন্তত হয়, তবে a ও b -এর মান নির্ণয় করো।  3
Solution:
 f(x) = { 3ax + b, x>1-এর জন্য
          11,      x=1-এর জন্য
         5ax - 2b, x<1-এর জন্য

lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ 3ax + b = 3a + b
lim_x→1- f(x) = lim_x→1- 5ax – 2b = 5a – 2b
f(1) = 1
x = 1 বিন্দুতে f(x) সন্তত।
∴ lim_x→1+ f(x) = lim_x→1- f(x) = f(1) = 1
13a + b = 5a – 2b = 1
∴ 13a + b = 11…..…. (i)
5a – 2b = 11….….(ii)
(ii )×2 + (ii) করে পাই,,
6a + 2b = 22
5a – 2b = 11
_________
বা, 11a = 33
বা, a = 3
(i)থেকে পাই,
3×3 +b = 11
বা, b = 2
Ans: a ও b -এর মান যথাক্রমে 3 এবং 2

অথবা

2x = y^1/m + y^-1/m হলে দেখাও যে ( 1 – x²)^d2y/_dx² – x ^dy/_dx + m²y = 0 যেখানে m (≠0) একটি ধ্রুবক।

Solution:
2x = y^1/m + y^-1/m …… (i)
( y^1/m – y^-1/m)² = ( y^1/m + y^-1/m)² – 4×y^1/m×y^-1/m
বা, ( y^1/m – y^-1/m)² = (2x)² – 4
বা, ( y^1/m – y^-1/m)² = 4x² – 4
∴ y^1/m – y^-1/m = 4x² – 4

উভয় দিকে log নিয়ে পাই,

উভয় দিকে x -এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

পুনরায় x -এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

অথবা

ধরি, x + 1 + ¹/_x = z²
∴ (1 – ¹/_x² )dx = 2z dz

ধরি, h = ¹/_n
∵ n → ∞
∴ h → 0

ধরি 1 + x³ = z
∴ 3x² dx = dz

অথবা

যদি f(x) = f(a+x) হয়, তবে প্রমাণ করো যে _a∫^a+t f(x)dx -এর মান a নিরপেক্ষ।

ধরি, z = x - a
  ∴ dx = dz


 x = z + a
  x=a,  z=0;
  x=a+t z=t;
I= a∫a+t f(x)dx
 = 0∫t f(z+a)dz
 = 0∫t f(z)dz ....[∵f(x)=f(a+x)]
 = 0∫t f(z)dz ....[a∫bf(x)=a∫bf(z)]
a∫a+t f(x)dx-এর মান a নিরপেক্ষ। 

(iv) সমাধান করো : e^-y  sec²ydy = dx + x dy

Solution:  
e^-y sec²ydy = dx + x dy
⇒ dx + x dy = e^-y sec²ydy
⇒ ^dx/_dy + x = e^-y sec²y
এটি x -এর একমাত্রিক অবকল সমীকরন (^dx/_dy + P.x = Q)
এখানে P = 1
∴ সমাকলন গুনক = e^∫1.dy = e^y
উভয় দিকে সমাকলন গুনক e^y দিয়ে গুন করে পাই,
e^{y dx}/_dy + e^y x = e^y.e^-y sec²y
⇒ e^{y dx}/_dy + e^y x = sec²y
⇒ d(e^y x) =∫ sec²y dy + C… [C=সমাকলন ধ্রুবক]
∴ xe^y = tany + C.

অথবা

সমাধান করো : x²(xdx + ydy) + 2y(xdy – ydx)= 0.

(d) যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও। 4×1=4

(i) যদি A(3,2,1), B(4,x,5), C(4,2,-2) এবং D( 6,5,-1) বিন্দু চারটি একই সমতলে হয়, তবে x -এর মান নির্ণয় করো।

⇒ 1(2 – x + 21) – (x – 2)(0 + 14) + 4(0 – 4 + 2x) = 0
⇒ 23 – x – 14x + 28 -16 + 8x = 0
বা, -7x + 35 = 0
বা, -7x = -35
∴ x = 5
Ans: x -এর মান 5

(ii) ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G হলে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো, ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄

Solution:
ধরি, মূলবিন্দু সাপেক্ষ A, B, C এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও ḡ
G হল △ABC -এর ভরকেন্দ্র।
∴ ḡ = ^{(ā + b̄ + c̄)}/₃
⇒ 3ḡ = ā + b̄ + c̄
L.H.S.
= ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄
= ā – ḡ + b̄ – ḡ + c̄ – ḡ
⇒ ā + b̄ + c̄ – 3ḡ
⇒ ā + b̄ + c̄ – ā – b̄ – c̄
= 0̄ = R.H.S.
∴ ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ (Proved)

(e) যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×1=4

(i) তিনটি থলিতে যথাক্রমে 3 টি সাদা বল ও 2 টি লাল, 7 টি সাদা ও 3 টি লাল এবং 5 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হলো। তোলা বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, প্রথম দ্বিতীয় ও তৃতীয় থলি নির্বাচনের ঘটনা যথাক্রমে A, B এবং C
∴ P(A) = P(B) = P(C) = ¹/₃
নির্বাচিত বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা X দ্বারা সূচিত হলে,
P(^X/_A) = ³/₅; P(^X/_B) = ⁷/₁₀; P(^X/_C) = ⁵/₈
∴ সাদা বল তোলার সম্ভাবনা P(X)
= P(A).P(^X/_A) + P(B).P(^X/_B) + P(C).P(^X/_C)
= ¹/₃׳/₅ + ¹/₃×⁷/₁₀ + ¹/₃×⁵/₈
⇒ ¹/₃(³/₅ + ⁷/₁₀ + ⁵/₈)
⇒ ¹/₃×^(24+28+25)/₅
= ¹/₃×⁷⁷/₄₀ = ⁷⁷/₁₂₀
Ans: তোলা বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা ⁷⁷/₁₂₀

(ii) একটি মেয়ে একটি ছক্কা ছুঁড়লো। যদি সে 1 বা 2 পায় তখন সে একটি মুদ্রা তিনবার টস্ করে এবং টেলের সংখ্যা লিখে রাখে। যদি সে 3, 4, 5 বা 6 পায় তখন সে একটি মুদ্রা এক বার টস করে এবং হেড্ বা টেল যা পড়লো সেটা লিখে রাখে। যদি তার কেবলমাত্র একটি টেল্ পড়ে, তাহলে ছক্কা ছোঁড়ার সময় 3, 4, 5 বা 6 পড়ার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, A =  ছক্কায় 1 বা 2 পড়ার ঘটনা সূচিত হয়।
B = ছক্কায় 3, 4, 5 বা 6 পড়ার ঘটনা সূচিত হয়।
X = মুদ্রা টস করলে কেবলমাত্র একটি টেল পড়ার ঘটনা সূচিত হয়।
∴ P(A) = ²/₆ = ¹/₃
P(B) = ⁴/₆ = ²/₃
তিনবার টস করলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হয় 2³ = 8
∴ P(^X/_A) = ^3c₁/₈ = ³/₈ 
একবার টস করলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হয় 2
∴ P(^X/_B) = ¹/₂
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-

4. (a) যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:     5×2=10

(i) ‘k’ -এর কোন্ মানগুলির জন্য x = y² এবং xy = k বক্র দুটি পরস্পর সমকোণে ছেদ করে?

Solution:
ধরি, বক্র দুটি পরস্পরকে (p, q) বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে।
x = y² এবং xy = k
x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই, 
1 = 2y ^dy/_dx
বা, ^dy/_dx = ¹/_2y
∴ [^dy/_dx]_(p,q) = ¹/_2q
আবার
.y + x.^dy/_dx = 0
বা, ^dy/_dx = – ^y/_x
∴ [^dy/_dx]_(p,q) = –^q/_p
∵ বক্র দুটি পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
∴ (p, q) বিন্দুতে বক্র দুটির প্রবনতার গুনফল হবে (-1)
∴ ¹/_2q×(-^q/_p) = -1
বা, ¹/_2p = 1
বা, p = ¹/₂
আবার x = y²  
বা, p = q²
বা, ¹/₂ = q²
∴ q = ±¹/_√2
xy = k সমীকরণ থেকে পাই, 
pq = k
⇒ ¹/₂×(±¹/_√2) = k
∴ k = ±¹/_2√2
Ans: ‘k’ -এর মান ±¹/_2√2

(ii) দেখাও যে, x³ + ¹/_x³ অপেক্ষকের চরম মান তার অবম মানের থেকে ক্ষুদ্রতর।

Solution:
ধরি, y = x³ + ¹/_x³  = x³ + x^-3
x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
^dy/_dx = 3x² – 3x^-4
পুনরায়  x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
^d2y/_dx² = 6x + 12x^-5
চরম বা অবম মানের জন্য ^dy/_dx = 0 হবে।
∴ 3x² – 3x^-4 = 0
বা, x² = ¹/_x⁴
বা, x⁶ = 1
⇒ x⁶ – 1 = 0
⇒(x³ + 1)(x³ – 1) = 0
∴ x = -1;  x = 1
[^d2y/_dx²]_{x= -1}
= 6.(-1) + 12(-1)^-5
= -6 -12 = -18<0
∴ x = -1 -এ y-এর চরম মান থাকবে। 
[^d2y/_dx²]_{x= 1}
= 6.1 + 12(1)^-5
= 6 +12 = 18>0
∴ x = 1 এ y-এর অবম মান থাকবে। 
চরম মান = (-1)³ + 1/(-1)³ = -1 – 1 = -2
অবম মান = (1)³ + 1/(1)³ = 1 + 1 = 2
∴ অপেক্ষকটির চরম মান(-2) তার অবম মানের(2) থেকে ক্ষুদ্রতর।   (Proved)

ধরি, cosα + cotx sinα = z
∴ 0 + – sinα.cosec²x dx = dz
⇒cosec²x dx = – ^dz/_sinα

(iv) সমাধান করো: x^dy/_dx – y =xtan^y/_x; প্রদত্ত y = ^π/₂ যখন x= 1

Solution:
x^dy/_dx – y = xtan^y/_x
⇒ ^dy/_dx – ^y/_x = tan^y/_x …. (i)
ধরি y = vx
x-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,
^dy/_dx = v + x ^dv/_dx
…. (i) নং -এ ^dy/_dx -এর মান বসিয়ে পাই,
∴ v + x^dv/_dx – v = tanv
⇒  x^dv/_dx = tanv
⇒ ^dv/_tanv = ^dx/_x
বা, cotv dv = ^dx/_x
বা, ∫ cotv dv = ∫^dx/_x
⇒ log| sinv | = log| x | + log| c |…. [C= সমাকল ধ্রুবক]
⇒ log| sinv | = log| xc |
বা, |sinv| = |x|c
বা, sin^y/_x = |x|c…. (ii)
x = 1, y = ^π/₂ হলে,
sin^π/₂ = |1|×c
বা, 1 = c
∴ c = 1
(ii) নং থেকে পাই,
sin^y/_x = |x|×1
বা, sin^y/_x = ±x
Anx: নির্ণেয় সমাধান ঃ
sin^y/_x = ±x

(b) যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও।   5×1=5

(i) তিনটি একক ভেক্টর  α, β,  γ যদি α + β +  γ = 0 শর্ত সিদ্ধ করে, তবে প্রমাণ করো, α.β + β.γ +.α = – 3/2 . উপরন্ত পরীক্ষা করে দেখো যে γ ভেক্টরটি α ও β ভেক্টর দ্বয়ের উপর লম্ব হওয়া সম্ভব কিনা। 3+2

Solution:
ᾱ, β̄  ও γ একক ভেক্টর।
∴ |ᾱ| = |β̄| =  |γ| = 1
∵ ᾱ + β̄ + γ = 0
বা, (ᾱ + β̄ + γ)² = (0)² 
বা, ᾱ² + β̄ ² + γ² + 2(ᾱ.β̄ + β̄.γ + γ.ᾱ) = 0
⇒ |ᾱ|² + |β̄ |² + |γ|²  + 2(ᾱ.β̄ + β̄.γ + γ.ᾱ) = 0
বা,  1 + 1 + 1  + 2(ᾱ.β̄ + β̄.γ + γ.ᾱ) = 0
বা, 2(ᾱ.β̄ + β̄.γ + γ.ᾱ) = -3
∴ ᾱ.β̄ + β̄.γ + γ.ᾱ = ^-3/₂  (Proved)
∵ ᾱ + β̄ + γ = 0
বা, γ(ᾱ + β̄ + γ) = γ.0
বা, γ.ᾱ + γ.β̄ + γ² = 0 
⇒ γ.ᾱ + γ.β̄ + 1² = 0 
বা, γ.ᾱ + γ.β̄  = -1 … (i)
যদি γ, ᾱ ও β̄ -এর উপর লম্ব হয়, তবে γ.ᾱ = 0 এবং β̄.γ = 0 হবে।
∴ γ.ᾱ + γ.β̄  =  0 + 0 = 0
কিন্তু γ.ᾱ + γ.β̄  = -1… [(i) থেকে]
∴ γ ভেক্টরটি ᾱ ও β̄  ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব হওয়া সম্ভব নয়। (Ans)

(ii) ^x/₁ = ^{(y – 1)}/₂ = ^{(z – 2)}/₃ সরলরেখার সাপেক্ষে (1,6,3) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো। প্রতিবিম্বটি এবং বিন্দুটির মধ্য দিয়ে যে সরলরেখা যায় তার সমীকরণ নির্ণয় করো।  3+2
Solution:

Solution:
   z = 2x - y
  শর্ত সাপেক্ষে
   x + y ≤ 5
   x + 2y ≤ 8
   4x + 3y ≥ 12
এবং x, y ≥ 0
প্রদত্ত অসমীকরণগুলির অনুরূপ সমীকরণ হলো:
    x + y = 5
বা, x/5 + y/5 = 1 . . . (i)
    x + 2y = 8
বা, x/8 + y/4 = 1 . . . (ii)
   4x + 3y = 12
বা, x/3 + y/4 = 1 . . . (iii)
এবং x, y ≥ 0 
প্রদত্ত অসমীকরণগুলিতে (0, 0) বসিয়ে পাই,
 x + y ≤ 5
∴ 0 + 0 = 0 ≤ 5
 x + 2y ≤ 8
∴ 0 + 0 = 0 ≤ 8
∴ 0 + 0 = 0 /≥ 12
(i) - (ii) করে পাই, 
  x  +  y =  5 
 _x _+ 2y = _8
______________
   বা, -y = -3
   বা,  y = 3 
(i) নং থেকে পাই, 
    x  +  3 =  5
বা, x = 2 
(i), (ii) এবং (iii) সমীকরণ তিনটির লেখচিত্র অঙ্কন করা হল এবং প্রদত্ত অসমীকরণ তিনটির সাধারণ সমাধান অঞ্চল চিহ্নিত করা হলো।
প্রান্তিক বিন্দু  z = 2x - y
  (3, 0)   z = 2.3-0=6
  (5, 0)   z = 2.5-0=10
  (2, 3)   z = 2.2-3=1
  (0, 4)   z = 2.0-4=-4
Ans: Z-এর পরম মান 10 যখন x =5,  y = 0