PROSTUTI

Category: X-Mathematics

  • Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
    CLASS X TRIGONOMETRIC RATIOS AND TRIGONOMETRIC IDENTITIES KOSHE DEKHI 23.3

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    \(\Large{\mathbf{(i) sinθ = \frac{4}{5}}}\) হলে, \(\Large{\mathbf{\frac{cosecθ}{1+cotθ}}}\) -এর মান নির্ণয় করে লিখি।
    θ A B C Solution:

    চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোন।
    এখানে ∠BAC = θ
    ∴ sinθ = BC/AC = 4/5
    ধরি, BC = 4k একক এবং AC = 5k একক, যেখানে k > 0
    ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    AB2 + BC2 = AC2
    বা, AB2+ (4k)2 = (5k)2
    বা, AB2 = 25k2 – 16k2 = 9k2
    ∴ AB = ±3k
    ∵AB > 0
    ∴ AB = 3k
    ∴ cosecθ = AC/BC
    = 5k/4k = 5/4
    ∴ cotθ = AB/BC
    = 3k/4k = 3/4

    \(\Large{\frac{cosecθ}{1+cotθ}=\frac{\frac{5}{4}}{1+\frac{3}{4}}\\\quad\quad\quad=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}\\\quad\quad\quad=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{5}{7}\quad\mathbf{Ans}}\)
    \(\Large{\mathbf{(ii) যদি tanθ = \frac{3}{4} }}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\Large{\mathbf{\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}=\frac{1}{2}}}\)
    θ A B C Solution:

    চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোন।
    এখানে ∠BAC = θ
    ∴ tanθ = BC/AB = 3/4
    ধরি, BC = 3k একক এবং AB = 4k একক, যেখানে k > 0
    ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    AC2 = AB2 + BC2
    = (4k)2 + (3k)2
    = 16k2 + 9k2 = 25k2
    ∴ AC = ±5k
    ∵ AC > 0
    ∴ AC = 5k
    ∴ sinθ = BC/AC
    = 3k/5k = 3/5

    \(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}\\=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}}\\=\sqrt{\frac{\frac{5-3}{5}}{\frac{5+3}{5}}}\\=\sqrt{\frac{2}{8}}\\=\sqrt{\frac{1}{4}}\\=\frac{1}{2}=\mathbf{R.H.S\quad(Proved)} }\)
    \(\Large{\mathbf{(iii)\quad tanθ = 1}}\) হলে, \(\Large{\mathbf{\quad \frac{8sinθ+5cosθ}{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}}}\) -এর মান নির্ণয় করি।
    \(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\quad \frac{8sinθ+5cosθ}{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}\\\quad=\frac{\frac{8sinθ+5cosθ}{cos^3θ}}{\frac{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}{cos^3θ}}\\\quad=\frac{8\frac{tanθ}{cos^2θ}+5\frac{1}{cos^2θ}}{tan^3θ-2+7\frac{1}{cos^2θ}}\\\quad=\frac{8tanθ×sec^2θ+5sec^2θ}{tan^3θ-2+7sec^2θ}\\\quad=\frac{8tanθ×(1+tan^2θ)+5(1+tan^2θ)}{tan^3θ-2+7(1+tan^2θ)}\\\quad=\frac{8×1×(1+1^2)+5(1+1^2)}{1^3-2+7(1+1^2)}\\\quad=\frac{8×2+5×2}{1-2+7×2}\\\quad=\frac{16+10}{-1+14}\\\quad=\frac{26}{13}=2\mathbf{(Ans)}}\)

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    2. (i) cosecθ এবং tanθ-কে sinθ-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
    Solution:

    \(\Large{\quad cosecθ=\frac{1}{sinθ}\quad\mathbf{(Ans)}\\\quad tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad\quad\quad=\frac{sinθ}{\sqrt{1-sin^2θ}}\quad\mathbf{(Ans)}}\)

    (ⅱ) cosecθ এবং tanθ-কে cosθ-এর মাধ্যমে লিখি।
    Solution:

    \(\Large{\quad cosecθ=\frac{1}{sinθ}==\frac{1}{\sqrt{1-cos^2θ}}\quad\mathbf{(Ans)}\\\quad tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{1-cos^2θ}}{cosθ}\quad\mathbf{(Ans)}}\)

    3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ – tanθ)-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    secθ + tanθ = 2
    আমরা জানি,
    sec2θ – tan2θ = 1
    বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
    বা, 2×(secθ + tanθ) = 1
    ∴ secθ + tanθ = 1/2
    Ans: secθ – tanθ-এর মান 1/2

    (ii) cosecθ –  cotθ = √2 – 1 হলে, (cosecθ + cotθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    cosecθ –  cotθ = √2 – 1
    আমরা জানি,
    cosec2θ – cot2θ = 1
    বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
    বা, (cosecθ – cotθ)(√2 – 1) = 1
    ⇒ cosecθ – cotθ = 1/√2 – 1
    ⇒ cosecθ – cotθ = √2 + 1/(√2 – 1)(√2 – 1)
    বা, cosecθ – cotθ = √2 + 1/(√2)2 – (1)2
    ⇒ cosecθ – cotθ = √2 + 1/2 – 1
    ⇒ cosecθ – cotθ = √2 + 1
    Ans: cosecθ + cotθ-এর মান √2 + 1

    (iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ×cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    sinθ + cosθ = 1
    উভয় দিকে বর্গ করে পাই
    (sinθ + cosθ)2 = (1)2
    বা, sin2θ + cosθ2 + 2.sinθ.cosθ = 1
    বা, (1)2 + 2sinθcosθ = 1 – – – – [∵ sin2θ + cosθ2 = 1]
    ⇒ 1 + 2sinθcosθ = 1
    বা, 2sinθcosθ = 0
    ∴ sinθcosθ = 0
    Ans: sinθ×cosθ-এর মান 0

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    (iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ – cotθ)-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    tanθ + cotθ = 2
    উভয় দিকে বর্গ করে পাই
    (tanθ + cotθ)2 = (2)2
    বা, (tanθ – cotθ)2 + 4.tanθ.cotθ = 4
    বা, (tanθ – cotθ)2 + 4 = 4
    ∴ (tanθ – cotθ)2 = 0
    ∴ tanθ – cotθ = 0
    Ans: tanθ – cotθ -এর মান 0

    (v) sinθ – cosθ = 7/13  হলে, sinθ + cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) সুত্র প্রয়োগ করে পাই,
    (sinθ + cosθ)2 + (sinθ + cosθ)2 = 2(sin2θ + cos2θ)
    ⇒ (sinθ + cosθ)2 + (7/13)2 = 2.1 – – – – [∵ sin2θ + cos2θ = 1]
    ⇒ (sinθ + cosθ)2 + 49/169 = 2
    বা, (sinθ + cosθ)2 = 2 – 49/169
    ⇒ (sinθ + cosθ)2 = 338-49/169
    ⇒ (sinθ + cosθ)2 = 289/169
    ∴ sinθ + cosθ = ±17/13
    ∵ 0o ≤ θ ≤ 90o
    ∴ sinθ + cosθ = 17/13
    Ans: sinθ + cosθ-এর মান 17/13

    (vi) sinθcosθ = 1/2  হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    sinθcosθ = 1/2
    (sinθ + cosθ)2
    = sin2θ + cos2θ + 2.sinθ.cosθ
    = 1 + 2.1/2 = 1 + 1 = 2
    ∴ sinθ + cosθ = ±√2
    ∵ 0o ≤ θ ≤ 90o
    ∴ sinθ + cosθ = √2
    Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (vii) secθ – tanθ = 1/√3 হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    secθ – tanθ = 1/√3 – – – – (i)
    আমরা জানি,
    sec2θ – tan2θ = 1
    বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
    বা, (secθ + tanθ)×1/√3 = 1
    ∴ secθ + tanθ = √3 – – – – (ii)
    (i) + (ii) করে পাই,
    secθ – tanθ + secθ + tanθ = 1/√3 + √3
    বা, 2secθ = 1+3/√3
    বা, 2secθ = 4/√3
    ∴ secθ = 2/√3
    (ii) নং থেকে পাই,
    secθ + tanθ = √3
    বা, 2/√3 + tanθ = √3
    বা, tanθ = √3 – 2/√3 = 3-2/√3
    ∴ tanθ = 1/√3
    Ans: secθ -এর মান 2/√3
    tanθ -এর মান 1/√3

    (viii) cosecθ + cotθ = √3 হলে, cosecθ এবং cotθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    cosecθ + cotθ = √3 – – – – (i)
    আমরা জানি,
    cosec2θ – cot2θ = 1
    বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
    বা, √3(cosecθ – cotθ) = 1
    ∴ cosecθ – cotθ = 1/√3 – – – – (ii)
    (i) + (ii) করে পাই,
    cosecθ + cotθ + cosecθ – cotθ = √3 + 1/√3
    বা, 2cosecθ = 3+1/√3
    বা, 2cosecθ = 4/√3
    ∴ cosecθ = 2/√3
    (i) নং থেকে পাই,
    cosecθ + cotθ = √3
    বা, 2/√3 + cotθ = √3
    বা, cotθ = √3 – 2/√3 = 3-2/√3
    ∴ cotθ = 1/√3
    Ans: cosecθ -এর মান 2/√3
    cotθ -এর মান 1/√3

    (ix) sinθ + cosθ/sinθ – cosθ = 7 হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    sinθ + cosθ/sinθ – cosθ = 7
    বা, 7(sinθ – cosθ) = sinθ + cosθ
    বা, 7sinθ – 7cosθ = sinθ + cosθ
    ⇒ 7sinθ – sinθ= cosθ + 7cosθ
    বা, 6sinθ= 8cosθ
    ∴ sinθ/cosθ = 8/6
    ∴ tanθ = 4/3
    Ans: tanθ-এর মান 4/3

    (x) cosecθ + sinθ/cosecθ – sinθ = 5/2  হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    cosecθ + sinθ/cosecθ – sinθ = 5/2
    বা, 2(cosecθ + sinθ) = 5(cosecθ – sinθ)
    বা, 2cosecθ + 2sinθ = 5cosecθ – 5sinθ
    ⇒ 2sinθ + 5sinθ = 5cosecθ – 2cosecθ
    ⇒ 7sinθ = 3cosecθ
    বা, 7sinθ = 3/sinθ
    বা, sin2θ = 3/7
    ∴ sinθ = √3/√7
    Ans: sinθ-এর মান √3/√7

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (xi) secθ + cosθ = 5/2 হলে, (secθ – cosθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    secθ + cosθ = 5/2
    উভয় দিকে বর্গ করে পাই
    (secθ + cosθ)2 = (5/2)2
    বা, (secθ – cosθ)2 + 4secθ.cosθ = 25/4
    বা, (secθ – cosθ)2 + 4 = 25/4
    ⇒ (secθ – cosθ)2 = 25/4 -4
    বা, (secθ – cosθ)2 = 25-16/4 = 9/4
    বা, secθ – cosθ = 3/2
    Ans: secθ – cosθ -এর মান 3/2

    (xii) 5sin2θ + 4cos2θ = 9/2-সম্পর্কটি থেকে tanθ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    5sin2θ + 4cos2θ = 9/2
    বা, 2(5sin2θ + 4cos2θ) = 9×1
    বা, 10sin2θ + 8cos2θ = 9×(sin2θ + cos2θ)
    ⇒ 10sin2θ + 8cos2θ = 9sin2θ + 9cos2θ
    ⇒ 10sin2θ – 9sin2θ = 9cos2θ – 8cos2θ
    বা, sin2θ = cos2θ
    বা, sinθ = cosθ
    ∴ sinθ/cosθ = 1
    ∴ tanθ = 1
    Ans: tanθ-এর মান 1

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (xiii) tan2θ + cot2θ = 10/3 হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ – cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    tan2θ + cot2θ = 10/3
    বা, (tanθ + cotθ)2 – 2.tanθ.cotθ = 10/3
    বা, (tanθ + cotθ)2 – 2 = 10/3
    ⇒ (tanθ + cotθ)2 = 10/3 + 2
    বা, (tanθ + cotθ)2 = 16/3
    ∴ tanθ + cotθ = 4/√3 – – – – (i)

    আবার
    tan2θ + cot2θ = 10/3
    বা, (tanθ – cotθ)2 + 2.tanθ.cotθ = 10/3
    বা, (tanθ – cotθ)2 + 2 = 10/3
    ⇒ (tanθ – cotθ)2 = 10/3 – 2
    বা, (tanθ – cotθ)2 = 4/3
    ∴ tanθ – cotθ = ±2/√3 – – – – (ii)
    tanθ – cotθ = 2/√3 হলে
    (i) + (ii) করে পাই,
    tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = 4/√3 + 2/√3
    বা, 2tanθ = 6/√3
    বা, tanθ = 3/√3 = √3
    tanθ – cotθ = –2/√3 হলে
    (i) + (ii) করে পাই,
    tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = 4/√3 – 2/√3
    বা, 2tanθ = 2/√3
    বা, tanθ = 1/√3
    Ans: tanθ + cotθ = 4/√3
    tanθ – cotθ = ±2/√3
    tanθ = 1/√3 বা √3

    (xiv) sec2θ + tan2θ = 13/12 হলে, (sec4θ – tan4θ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    sec2θ + tan2θ = 13/12
    sec4θ – tan4θ
    = (sec2θ)2 – (tan2θ)2
    = (sec2θ + tan2θ)(sec2θ – tan2θ)
    ⇒ 13/12 × 1 – – – – [∵ sec2θ – tan2θ = 1]
    = 13/12
    Ans: sec4θ – tan4θ = 13/12

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    4. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR = √5 একক এবং PQ – RQ = 1 একক হলে, cosP – cosR-এর মান নির্ণয় করি।

    P Q R √5 Solution:

    PQR ত্রিভুজে ∠Q = 90o
    PR = √5 একক এবং
    PQ – RQ = 1 একক
    ∴ cosP – cosR
    = PQ/PR – RQ/PR
    = PQ – RQ/PR
    ⇒ 1/√5
    Ans: cosP – cosR = 1/√5

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (ii) XYZ ত্রিভুজে ∠Y সমকোণ। XY = 2√3 একক এবং XZ – YZ = 2 একক হলে, (secX – tanX)-এর মান নির্ণয় করি।

    X Y Z 2√3 Solution:

    XYZ ত্রিভুজে ∠Y = 90o
    XY = 2√3 একক এবং
    XZ – YZ = 2 একক
    ∴ secX – tanX
    = XZ/XY – YZ/XY
    = XZ – YZ/XY
    ⇒ 2/2√3 = 1/√3
    Ans: secX – tanX = 1/√3

    5. সম্পর্কগুলি থেকে ‘θ’ অপনয়ন করি:

    (i) x = 2sinθ, y = 3cosθ

    Solution:
    x = 2sinθ
    ∴ sinθ = x/2
    y = 3cosθ
    ∴ cosθ = y/3
    আমরা জানি,
    sin2θ + cos2θ = 1
    ⇒ (x/2)2 + (y/3)2 = 1
    ⇒ x2/4 + y2/9 = 1
    ∴ 9x2 + 4y2 = 36
    Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
    9x2 + 4y2 = 36

    (ii) 5x = 3secθ, y = 3tanθ

    Solution:
     5x = 3secθ
    ∴ secθ = 5x/3
    ∴ sec2θ = 25x2/9
    y = 3tanθ
    ∴ tanθ = y/3
    ∴ tan2θ = y2/9
    আমরা জানি,
    sec2θ – tan2θ = 1
    ⇒ 25x2/9 – y2/9 = 1
    ⇒ 25x2 – y2 = 9
    Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
    25x2 – y2 = 9

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    6. (i) যদি sinα = 5/13 হয়, তাহলে দেখাই যে tanα + secα = 1.5

    Solution:
    sinα = 5/13

    \(\Large{∴cosα = \sqrt{1-sin^2α}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-\frac{25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{169-25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{144}{169}}\\\quad\quad\quad=\frac{12}{13}\\∴secα=\frac{13}{12}\\∴tanα=\frac{sinα}{cosα}\\\quad\quad=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{13}}\)

    L.H.S.
    tanα + secα
    = 5/12 + 13/12
    ⇒ 5+13/12 = 18/12
    = 3/2 = 1.5 = R.H.S. (Proved)

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (ii) যদি tanA = n/m হয়, তাহলে sinA ও secA উভয়ের মান নির্ণয় করি।

    Solution:
     tanA = n/m
    ∴ cotA = m/n
    ⇒cot2A = m2/n2

    \(\Large{∵ cosec^2A = 1 + cot^2A\\⇒cosec^2A = 1 + \frac{m^2}{n^2}\\⇒cosec^2A = \frac{n^2+m^2}{n^2}\\∴cosecA = \frac{\sqrt{n^2+m^2}}{n}\\∴sinA = \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\mathbf{\quad Ans}\\∴cosA = cotA.sinA\\\quad\quad\quad=\frac{m}{n}. \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\\quad\quad\quad=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}\\∴secA=\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m}\mathbf{\quad Ans}}\)

    (ⅲ) যদি

    \(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ
    \(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}\\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad∴xsinθ=x×\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=y×\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=ycosθ \\\quad∴\mathbf{xsinθ = ycosθ\quad (Proved)}}\)

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (iv) যদি \(\Large{\mathbf{sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{Cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\\Solution:}}\)
    \(\Large{\quad sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\∴cosecα=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\\⇒ cosec^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒1+cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}-1\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{4a^2.b^2}{(a^2-b^2)^2}\\∴cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)
    (v) যদি \(\Large{\mathbf{\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{\quad sinθ-cosθ =\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\)
    \(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}=k}\)

    ∴ sinθ = kx এবং
    cosθ = ky
    আমরা জানি,
    sin2θ + cos2θ = 1
    বা, (kx)2 + (ky)2 = 1
    ⇒ k2x2 + k2y2 = 1
    বা, k2(x2 + y2) = 1
    বা, k2 = 1/x2 + y2
    ∴ k = 1/√x2 + y2

    \(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\sinθ-cosθ\\\quad =kx-ky\\\quad=k(x-y)\\\quad=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}×(x-y)\\\quad=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

    Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (vi) যদি (1+ 4x²)cosA = 4x হয়, তাহলে দেখাই যে, cosecA + cotA = 1 + 2x/ 1 – 2x
    Solution:
     (1+ 4x²)cosA = 4x

    \(\Large{∴cosA=\frac{4x}{1+4x^2}\\∴sinA=\sqrt{1-cos^2A}\\\quad = \sqrt{1-\left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)^2}\\\quad =\sqrt{1-\frac{16x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1+4x^2)^2-4.1.4x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1-4x^2)^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\frac{1-4x^2}{1+4x^2}\\ ∴cosecA=\frac{1}{sinA}\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}\\∴cotA=\frac{cosA}{sinA}\\\quad =\frac{\frac{4x}{1+4x^2}}{\frac{1-4x^2}{1+4x^2}}\\\quad=\frac{4x}{1-4x^2}}\)
    \(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\CosecA+cotA\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}+\frac{4x}{1-4x^2}\\\quad=\frac{1+4x^2+4x}{1-4x^2}\\\quad =\frac{(1)^2+(2x)^2+2.1.2x}{(1)-(2x)^2}\\\quad =\frac{(1+2x)^2}{(1+2x)(1-2x)}\\\quad=\frac{1+2x}{1-2x}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

    7. যদি x = asinθ এবং y = btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,

    \(\Large{\mathbf{\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}=1}}\)

    Solution:
    x = asinθ এবং
    y = btanθ

    \(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\frac{a^2}{a^2sin^2θ}-\frac{b^2}{b^2tan^2θ}\\=\frac{1}{sin^2θ}-\frac{1}{tan^2θ}\\=cosec^2θ-cot^2θ\\=1=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

    8. যদি sinθ + sin2θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos2θ + cos4θ = 1

    Solution:
    sinθ + sin2θ = 1
    ⇒ sinθ = 1 – sin2θ
    ⇒ sinθ = cos2θ
    ∴ sin2θ = cos4θ
    ⇒ 1 – cos2θ = cos4θ
    ⇒ 1 = cos4θ + cos2θ
    ∴ cos2θ + cos4θ = 1 (Proved)

    9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

    (i) যদি 3x = cosecα এবং 3/x = cotα হয়, তাহলে 3(x2 – 1/x2)-এর মান
    (a) 1/27 (b) 1/81 (c) 1/3 (d) 1/9

    Ans:   (a)1/3
    [ cosecα = 3x
    ∴ cosec2α = 9x2
    আবার cotα = 3/x
    ∴ cot2α = 9/x2
    আমরা জানি
    cosec2α – cot2α = 1
    ⇒ 9x2 – 9/x2 = 1
    ⇒ 9(x2 – 1/x2) = 1
    ∴ 3(x2 – 1/x2) = 1/3]

    (ii) যদি 2x = secA  এবং 2/x = tanA হয়, তাহলে 2(x2 – 1/x2)-এর মান
    (a) 1/2 (b) 1/4 (c) 1/8 (d) 1/16

    Ans:  (a) 1/2
    [ secA = 2x
    ∴ sec2A = 4x2
    আবার tanA = 2/x
    ∴ tan2A = 4/x2
    আমরা জানি,
    sec2A – tan2A = 1
    ⇒ 4x2 – 4/x2 = 1
    ⇒ 4(x2 – 1/x2) = 1
    ∴ 2(x2 – 1/x2) = 1/2]

    (iii) tanα + cotα = 2 হলে, (tan13α + cot13α)-এর মান
    (a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনটিই নয়

    Ans:   (c)2
    [ tanα + cotα = 2
    ⇒ tanα + 1/tanα = 2
    ⇒ tan2α + 1/tanα = 2
    = tan2α + 1 = 2tanα
    ⇒ tan2α – 2tanα + 1 = 0
    ⇒ (tanα – 1)2 = 0
    tanα – 1 = 0
    ⇒ tanα = 1
    cotα = 1/tanα
    = 1/1 = 1
    tan13α + cot13α
    = (1)13 + (1)13
    = 1 + 1= 2]

    (iv) যদি sinθ – cosθ = 0 (0o ≤ θ ≤ 90o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান
    (a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2

    Ans:   (d) 2√2
    [ sinθ – cosθ = 0
    বা, sinθ = cosθ
    বা, sinθ/cosθ = 1
    ⇒ tanθ = tan45o
    বা, θ = 45o
    secθ + cosecθ = x
    বা, sec45o + cosec45o = x
    বা, √2 + √2 = x
    ∴ x = 2√2

    (v) 2cos3θ = 1 হলে, θ-এর মান
    (a) 10o (b) 15o (c) 20o (d) 30o

    Ans:   (c)20o
    [ 2cos3θ = 1
    বা, cos3θ = 1/2
    বা, cos3θ = cos60o
    ⇒ 3θ = 60o
    বা, θ = 20o]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

    (i) যদি, 0o ≤ α < 90o হয়, তাহলে (sec2α + cos2α)-এর সর্বনিম্ন মান 2

    Ans:  সত্য
    [sec2α + cos2α
    = (secα – cosα)2 + 2×secα×cosα
    = (secα – cosα)2 + 2
    ∵ (secα – cosα)2 ≥ 0
    ⇒ (secα – cosα)2 + 2 ≥ 0 + 2
    ⇒ (secα – cosα)2 + 2 ≥ 2
    ∴ sec2α + cos2α ≥ 2]

    (ii) (cos0oxcos1oxcos2oxcos3ox. . . . . . . . .  × cos90o) -এর মান 1

    Ans:  মিথ্যা
    [ cos0oxcos1oxcos2oxcos3ox. . . . . . . . .  × cos90o
    = cos0oxcos1oxcos2oxcos3ox. . . . . . . . .  ×0
    = 0]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

    (i) (4/sec2θ + 1/1+cot2θ + 3sin2θ) -এর মান ________
    Ans:  4

    \(\Large{[\quad\frac{4}{sec^2θ}+\frac{1}{1+cot^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+\frac{1}{cosec^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+sin^2θ+3sin^2θ\\=4cos^2θ+4sin^2θ\\=4(cos^2θ+4sin^2θ)\\=4×1=4]}\)

    (ii) sin(θ – 30o) = 1/2 হলে, cosθ-এর মান ________

    Ans:  1/2
    [sin(θ – 30o) = 1/2
    ⇒ sin(θ – 30o) = sin30o
    ⇒ θ = 60o
    cosθ = cos60o
    = 1/2]

    (iii) cos2θ – sin2θ = 1/2  হলে, cos4θ – sin4θ-এর মান ________

    Ans:  1/2
    [cos4θ – sin4θ
    ⇒ (cos2θ)2 – (sin2θ)2
    = (cos2θ + sin2θ)(cos2θ – sin2θ)
    ⇒ 1×1/2
    = 1/2]

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

    (i) যদি rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0o < θ < 90o হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    rcosθ = 2√3
    ⇒ (rcosθ)2 = (2√3)2
    ⇒ r2cos2θ = 12 – – – (i),
    rsinθ = 2
    ⇒ (rsinθ)2 = (2)2
    ⇒ r2sin2θ = 4 – – – (ii)
    (i) + (ii) করে পাই,
    r2cos2θ + r2sin2θ = 12 + 4
    বা, r2(cos2θ + sin2θ) = 16
    বা, r2 = 16
    ∴ r = 4
    (ii) নং থেকে পাই,
    4sinθ = 2
    বা, sinθ = 1/2
    বা, sinθ = sin30o
    ∴ θ = 30o
    Ans: r-এর মান 4 এবং θ-এর মান 30o

    (ii) যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0o ≤ A ≤ 90o এবং 0o ≤ B ≤ 90o, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    sinA + sinB = 2 – – – (i)
    ∵ 0o ≤ A ≤ 90o এবং 0o ≤ B ≤ 90o
    ∴ sinA-এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং sinB-এর সর্বোচ্চ মান 1
    sinA = 1 এবং sinB = 1 (i) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
    ∴ sinA = 1 এবং sinB = 1
    ∴ sinA = sin90o ∴ sinB = sin90o
    A = 90o ∴ B = 90o
    ∴ cosA + cosB
    =  cos90o + cos90o
    ⇒ 0 + 0
    ⇒ 0
    Ans: cosA + cosB -এর মান 0

    (iii) যদি 0o < θ < 90o হয়, তাহলে (9tan2θ + 4cot2θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    9tan2θ + 4cot2θ
    = (3tanθ)2 + (2cotθ)2
    = (3tanθ – 2cotθ)2 + 2×3tanθ×2cotθ
    ⇒ (3tanθ – 2cotθ)2 + 12×tanθ.cotθ
    = (3tanθ – 2cotθ)2 + 12×1- – – [∵ tanθ.cotθ = 1]
    = (3tanθ – 2cotθ)2 + 12
    ∵ (3tanθ – 2cotθ)2 ≥ 0
    ⇒(3tanθ – 2cotθ)2 + 12 ≥ 0 + 12
    ⇒ (3tanθ – 2cotθ)2 + 12 ≥ 12
    ⇒9tan2θ + 4cot2θ ≥ 12
    Ans: 9tan2θ + 4cot2θ-এর সর্বনিম্ন মান 12

    (iv) (sin6α + cos6α + 3sin2α.cos2α)-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    sin6α + cos6α + 3sinα2 cos2α
    = (sin2α)3 + (cos2α)3 + 3sin2α cos2α(sin2α + cos2α)
    = (sin2α + cos2α)3
    ⇒ (1)2
    = 1
    Ans: sin6α + cos6α + 3sin2α.cos2α -এর মান 1

    (v) যদি cosec2θ =  2cotθ এবং 0o < θ < 90o হয়, তাহলে θ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    cosec2θ =  2cotθ
    বা, 1 + cot2θ – 2cotθ = 0
    বা, cot2θ – 2×cotθ×1 + 12 = 0
    ⇒ (cotθ – 1)2 = 0
    ⇒ cotθ – 1 = 0
    বা, cotθ = 1
    বা, cotθ = cot45o
    ∴ θ = 45o
    Ans: θ-এর মান 45o

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ rcos θ = 2√3, rsin θ = 2 এবং 0o < θ < 90o  হয় তাহলে r এবং θ এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ tan θ + cot θ এর সর্বনিম্নমান-
    (a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
    Ans:     (b) 2
    [(tan θ + cot θ)2
    = (tan θ – cot θ)2 + 4tan θcot θ
    =  (tan θ – cot θ)2 + 4
    ∵ (tan θ – cot θ)2 ≥ 0
    ⇒ (tan θ – cot θ)2 + 4 ≥ 0 + 4
    ⇒ (tan θ – cot θ)2 + 4 ≥ 4
    বা, (tan θ + cot θ)2 ≥ 4
    ⇒ tan θ – cot θ ≥ 2]

    ▶️ 5sin2θ + 4cos2θ = 9/2 সম্পর্ক থেকে tanθ এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ θ এর যে মানের জন্য 5 + 4 sinθ -র বৃহত্তম মান হবে
     (a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
    Ans: (a) 9
    [ 0 ≤ sinθ ≤ 1
    ⇒ 4×0 ≤ 4sinθ ≤ 4×1
    ⇒ 5 + 0 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 4 +5
    ∴ 5 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 9

    ▶️ tanθ cos 60° = √3/2 হলে, sin (θ – 15°) এর মান হবে __________।(শূন্যস্থান পূরণ)

    VIEW ANSER
    ▶️ যদি \(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ
    VIEW ANSER
    ▶️ দেখাও যে, \(\Large{\mathbf{\frac{tanθ + secθ – 1}{tanθ-secθ+1}=\frac{1+sinθ}{cosθ}}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ যদি sinθ – cosθ  = 0, (0o ≤ θ ≤ 90o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান-
    (a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2

    VIEW ANSER

    ▶️ (iv) sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান ________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     1
    [0 ≤ sinθ ≥ 1 হয়
    ∴ 0 ≤ sin3θ ≥ 1
    ∴sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে।]

    MP-2019

    ▶️ tanα + cotα = 2 হলে tan13α + cot13α-এর মান-
    (a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0

    VIEW ANSER

    ▶️ (0o ≤ θ ≤ 90o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?

    VIEW ANSER

    ▶️ △ABC-এর ∠C= 90o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m2 + n2

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ tanθ + cotθ = 2 হলে tan7θ + cot7θ = কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ যদি cos2θ – sin2θ = 1/2 হয়, তাহলে tan2θ-এর মান নির্ণয় ।

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ cos2θ – sin2θ = 1/x (x > 1), হলে cos4θ – sin4θ  __________(শূন্যস্থান পূরণ)

    VIEW ANSER

    ▶️ x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
  • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি 2√3​ মিটার লম্বা হলে আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।

    Solution: A B C 60° 2√3 90°

    Solution:
    ধরি, ভূমি থেকে জানালার উচ্চতা AB এবং
    মই (AC) = 2√3 ​মিটার
    এখানে ∠BAC = 60°
    ∴ ABC সমকোনী ত্রিভুজের

    \(\quad\frac{AB}{AC}=sin60°\\⇒\frac{AB}{2√3}=\frac{2}{√3}\\∴AB=4\)

    2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোণ। AB = 8√3 সেমি. এবং BC= 8 সেমি. হলে, ∠ACB ও ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution: A B C 60° 8 সেমি. 8√3 সেমি. 90°
    \(\quad tan∠ACB=\frac{AB}{BC}\\⇒tan∠ACB=\frac{8√3}{8}\\⇒tan∠ACB=√3\\⇒tan∠ACB=tan60^o\\\therefore ∠ACB=60^o\)আবার\(\quad tan∠BAC=\frac{BC}{AB}\\⇒tan∠BAC=\frac{8}{8√3}\\⇒tan∠BAC=\frac{1}{√3}\\⇒tan∠BAC=tan30^o\\\therefore ∠BAC=30^o\)

    Ans: ∠ACB = 60o ও
    ∠BAC = 30o

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90o, ∠A = 30o এবং AC = 20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    Solution: C B A 30° 20 90°

    ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠B = 90o, A= 30o;
    AC = 20 সেমি.

    \(\quad\frac{BC}{AC}=sin45^o\\⇒\frac{BC}{20}=\frac{1}{2}\\⇒BC=10\) আবার \(\quad\frac{AB}{AC}=cos30^o\\⇒\frac{AB}{20}=\frac{√3}{2}\\⇒AB=10√3\)

    Ans: BC বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি. ও
    AB বাহুর দৈর্ঘ্য 10√3 সেমি.

    4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q = 90o, R= 45o; যদি PR = 3√2 মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    Solution: P Q R 45° 3√2 90°

    PQR সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠Q = 90o, R= 45o;
    PR = 3√2 মিটার

    \(\quad\frac{PQ}{PR}=sin45^o\\⇒\frac{PQ}{3√2}=\frac{1}{√2}\\⇒PQ=3\\\)আবার \(\quad\frac{QR}{PR}=cos45^o\\⇒\frac{QR}{3√2}=\frac{1}{√2}\\⇒QR=3\)

    Ans: PQ বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার ও
    QR বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    5. মান নির্ণয় করি:

    (i) sin245o – cosec260o + sec230o

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি
    sin245o – cosec260o + sec230o
    = (1/√2)2 – (2/√3)2 + (2/√3)2
    = 1/2
    Ans: নির্ণেয় মান 1/2

    (ii) sec245o – cot245o – sin230o – sin260o

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি
    sec245o – cot245o – sin230o – sin260o
    = (√2)2 – (1)2 – (1/2)2 – (√3/2)2
    = 2 – 1 – 1/4 – 3/2
    ⇒1 – 1/4 – 3/2
    = 4-1-3/4 = 0/4
    = 0
    Ans: নির্ণেয় মান 0

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    (iii) 3tan245o – sin260o – 1/3cot230o – 1/8sec245o

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি
    3tan245o – sin260o – 1/3cot230o – 1/8sec245o
    = 3×(1)2 – (√3/2)2 – 1/3×(√3)2 – 1/8×(√2)2
    = 3 – 3/4 – 1/3×3 – 1/8×2
    ⇒3 – 3/4 – 1 – 1/4
    ⇒2 – 3/4 – 1/4
    = 8-3-1/4
    = 4/4 = 1
    Ans: নির্ণেয় মান 1

    (iv) 4/3cot230o + 3sin260o – 2cosec260o – 3/4tan230o

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি
    4/3cot230o + 3sin260o – 2cosec260o – 3/4tan230o
    = 4/3×(√3)2 + 3×(√3/2)2 – 2×(2/√3)2 – 3/4×(1/√3)2
    = 4/3×3 + 3×3/4 – 2×4/3 – 3/4×1/3
    ⇒ 4 + 9/4 – 8/3 – 1/4
    = 48+27-32-3/12
    = 75-35/12 = 40/12
    ⇒ 10/3 = 3 1/3
    Ans: নির্ণেয় মান 3 1/3

    \(\large{\mathbf{(v)\quad \frac{\frac{1}{3}cos30^o}{\frac{1}{2}sin45^o}+\frac{tan60^o}{cos30^o}}}\)

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি L.H.S.

    \(\large{\quad \frac{\frac{1}{3}cos30^o}{\frac{1}{2}sin45^o}+\frac{tan60^o}{cos30^o}}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{√3}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{√2}}+\frac{√3}{\frac{√3}{2}}\\=\frac{\frac{√3}{6}}{\frac{1}{2√2}}+2\\⇒\frac{√3}{6}×2√2+2\\=\frac{√6}{3}+2\\=\frac{√6+6}{2}\quad\mathbf{Ans}\)

    (vi) cot230o – 2cos260o – 3/4 sec245o – 4sin230o

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি
    cot230o – 2cos260o – 3/4 sec245o – 4sin230o
    = (√3)2 – 2×(1/2)2 – 3/4×(√2)2 – 4×(1/2)2
    = 3 – 2×1/4 – 3/4×2 – 4×1/4
    ⇒ 3 – 1/2 – 3/2 – 1
    = 2 – 1/2 – 3/2
    = 4-1-3/2
    ⇒ 0/2 = 0

    Ans: নির্ণেয় মান 0

    \(\large{\mathbf{(vii)\quad sec^260^o-cot^230^o- \frac{2tan30^ocosec60^o}{1+tan^230^o}}}\)

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি

    \(\large{\quad sec^260^o-cot^230^o- \frac{2tan30^ocosec60^o}{1+tan^230^o}\\=(2)^2-(√3)^2-\frac{2×\frac{1}{√3}×\frac{2}{√3}}{1+(\frac{1}{√3})^2}\\=4-3-\frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{3}}\\=1-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\\=1-1=0}\)

    Ans: নির্ণেয় মান 0

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    \(\large{\mathbf{(viii)\quad \frac{tan60^o-tan30^o}{1+tan60^otan30^o}+cos60^ocos30^o+ sin60^osin30^o}}\)

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি

    \(\large{\quad \frac{tan60^o-tan30^o}{1+tan60^otan30^o}+cos60^ocos30^o+ sin60^osin30^o\\=\frac{√3-\frac{1}{√3}}{1+√3×\frac{1}{√3}}+\frac{1}{2}×\frac{√3}{√2}+ \frac{√3}{√2}×\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{2}{√3}}{2}+\frac{√3}{4}+ \frac{√3}{4}\\⇒\frac{1}{√3}+\frac{√3}{2}\\=\frac{2+3}{√3}\\=\frac{5}{√3}}\)

    Ans: নির্ণেয় মান 5/√3

    \(\large{\mathbf{(ix)\quad\frac{1-sin^230^o}{1+sin^245^o}×\frac{cos^260^o+cos^230^o}{cosec^290^o-cot^290^o}÷(sin60^otan30^o)}}\)

    Solution:
    প্রদত্ত রাশি

    \(\large{=\frac{1-sin^230^o}{1+sin^245^o}×\frac{cos^260^o+cos^230^o}{cosec^290^o-cot^290^o}÷(sin60^otan30^o)\\=\frac{1-(\frac{1}{2})^2}{1+(\frac{1}{√2})^2}×\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{√3}{2})^2}{(1)^2-(0)^2}÷\frac{√3}{2}×\frac{1}{√3}\\=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}×\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1-0}÷\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{2+1}{2}}×\frac{\frac{1+3}{4}}{1}÷\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}×\frac{1}{1}÷\frac{1}{2}\\=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}÷\frac{1}{2}\\=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=1}\)

    Ans: নির্ণেয় মান 1

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    6. দেখাই যে,
    (i) sin⁡245o + cos⁡⁡245o = 1

    Solution:
    L.H.S. = sin⁡245o + cos⁡⁡245o
    = (1/√2)⁡2 + (1/√2)⁡2
    ⇒ 1/2 + 1/2
    = 1 = L.H.S. (Proved)

    (ii) cos⁡60o = cos⁡230o − sin⁡230o

    Solution:
    L.H.S. = cos⁡60o = 1/2
    R.H.S. = cos⁡230o − sin⁡230o
    = (√3/2)2 – (1/2)2
    ⇒ 3/4 – 1/4
    = 3-1/4 = 2/4
    = 1/2 = L.H.S. (Proved)

    \(\mathbf{(iv)}\large{\quad\sqrt{\frac{1+cos30^o}{1-cos30^o}}=sec60^o+tan60^o}\\\)\(\mathbf{L.H.S.}\\\)\(\large{\quad\sqrt{\frac{1+cos30^o}{1-cos30^o}}\\=\sqrt{\frac{1+\frac{√3}{2}}{1-\frac{√3}{2}}}\\=\sqrt{\frac{\frac{2+√3}{2}}{\frac{2-√3}{2}}}\\=\sqrt{\frac{2+√3}{2-√3}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{(2-√3)(2+√3)}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{(2)^2-(√3)^2}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{4-3}}\\=\sqrt{(2+√3)^2}\\=sec60^o+tan60^o=R.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}}\)
    \(\large{\mathbf{(v)}\quad\frac{2tan^230^o}{1-tan^230^o}+sec^245^o-cot^245^o=sec60^o}\)
    \(\mathbf{L.H.S.}\\\)\(\quad\large{\frac{2tan^230^o}{1-tan^230^o}+sec^245^o-cot^245^o\\=\frac{2(\frac{1}{√3})^2}{1-(\frac{1}{√3})^2}+(√2)^2-(1)^2\\=\frac{2×\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}+2-1\\=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}+1\\=1+1=2\\=sec60^o=R.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}}\)


    (vi) tan2 ⁡⁡π/4 sin⁡π/3 tan ⁡⁡π/6 tan2 ⁡⁡π/3 = 11/2

    Solution:
    L.H.S. = tan2 ⁡⁡π/4 sin⁡π/3 tan ⁡⁡π/6 tan2 ⁡⁡π/3
    = (1)2 ×√3/2 ×1/√3 ×(√3)2
    ⇒ 1×1/2 ×3
    = 3/2 = 11/2 = R.H.S. (Proved)

    (vii) sin⁡π/3tan⁡⁡π/6 + sin⁡⁡π/2cos⁡π/3 = 2sin⁡2⁡π/4

    Solution:
    L.H.S. = sin⁡π/3tan⁡⁡π/6 + sin⁡⁡π/2cos⁡π/3
    = √3/2×1/√3 + 1×1/2
    ⇒ 1/2 + 1/2 = 1

    R.H.S. = 2sin⁡2⁡π/4
    = 2×(1/√2)⁡2
    ⇒ 2×1/2 = 1 = L.H.S. (Proved)

    7. (i)  xsin⁡45ocos⁡45otan⁡60o = tan2⁡45o − cos⁡60o হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    xsin⁡45ocos⁡45otan⁡60o = tan2⁡45o − cos⁡60o
    ⇒ x×1/√2×1/√2×√3 = (1)2⁡ − 1/2
    ⇒ x×√3/2 = 1⁡ − 1/2
    = x√3/2 = 1/2
    ⇒ √3x = 1
    ∴ x = 1/√3
    Ans: x-এর মান 1/√3

    \(\mathbf{(ii)\quad\large{xsin⁡60^ocos⁡^230^o=\frac{tan^245^osec⁡60^o}{cosec60^o}}}\) হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:

    \(\large{\quad xsin⁡60^ocos⁡^230^o=\frac{tan^245^osec⁡60^o}{cosec60^o}\\⇒x×\frac{√3}{2}×(\frac{√3}{2})^2=\frac{(1)^2×2}{\frac{2}{√3}}\\⇒x×\frac{√3}{2}×\frac{3}{4}=2×\frac{√3}{2}\\⇒x×\frac{3√3}{8}=√3\\⇒x×\frac{3}{8}=1\\⇒x=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}}\)

    Ans: x-এর মান 22/3

    (iii) x2 = sin⁡230o + 4cot⁡245o − sec260o হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    x2 = sin⁡230o + 4cot⁡245o − sec260o
    ⇒ x2 = (1/2)⁡2 + 4×(1)⁡2 − (2)⁡2
    ⇒ x2 = 1/4 + 4 − 4
    = x2 = 1/4
    ∴ x = ±1/2
    Ans: x-এর মান ±1/2

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    8. xtan⁡30o + ycot⁡60o = 0 এবং 2x – ytan⁡45o = 1 হলে, x ও y-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    xtan⁡30o + ycot⁡60o = 0
    ⇒ x×1/√3 + y×1/√3 = 0
    ⇒ x+y/√3 = 0
    = x + y = 0
    ⇒ x = -y – – – – (i)
      2x – ytan⁡45o = 1
    ⇒ 2x – y×1 = 1
    ⇒ -2y 1 y = 1 – – – – [∵ x = -y]
    বা, -3y = 1
    ∴ y = –1/3
    (i) নং থেকে পাই,
    x = -(-1/3)
    ∴ x = 1/3
    Ans: x = 1/3; y = –1/3

    9. যদি A = B = 45o হয়, তবে যাচাই করি যে,
    (i) sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
    (ii) cos(A + B) = cosAcosB – sinAsinB

    (i)
    Solution:
    A = B = 45o
    L.H.S. = sinAcosB + cosAsinB
    = sin(A + B)
    ⇒ sin(45o + 45o)
    = sin90o = 1
    R.H.S. = sin45ocos45o + cos45osin45o
    ⇒ 1/√2×1/√2 + 1/√2×1/√2
    = 1/2 + 1/2
    = 1 = L.H.S. (Proved)


    (ii)
    Solution:
    A = B = 45o
    L.H.S. = cos(A + B)
    = cos(45o + 45o)
    ⇒ cos90o = 0
    R.H.S. = cosAcosB – sinAsinB
    = cos45ocos45o – sin45osin45o
    ⇒ 1/√2×1/√2 – 1/√2×1/√2
    = 1/2 – 1/2
    = 0 = L.H.S. (Proved)

    10. (i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, tan∠ABD = cot∠BAD

    Solution: D B C A

    Solution:
    ABD সমবাহু ত্রিভুজের BD মধ্যমা।
    ∴ BD ⊥ AC
    ∴ ∠BDA = 90o
    L.H.S. = tan∠ABD
    = লম্ব/ভূমি
    ⇒ AD/BD
    R.H.S. = cot∠BAD
    ⇒ ভূমি/লম্ব
    = AD/BD = L.H.S. (Proved)


    (ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠BAC = 90o; ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

    প্রমাণ করি যে, \(\mathbf{\frac{sec⁡∠ACD}{sin⁡∠CAD}=cosec^2∠CAD}\)
    Solution: D B C A

    Solution:
    △ABC এর
    ∠BAC = 90o;
    ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক AD;
    ∴ ∠BAD = ∠CAD = 90o/2 = 45o
    △ABC এর AB = AC
    ∴ ∠ABD = ∠ACD = (180o-90o)/2
    = 90o/2 = 45°
    L.H.S.

    \(\large{=\frac{sec⁡∠ACD}{sin⁡∠CAD}\\=\frac{sec⁡45°}{sin⁡45°}\\=\frac{sec⁡45°}{sin⁡45°}\\=\frac{√2}{\frac{1}{√2}}\\=2\\=(√2)^2\\=cosec^2∠CAD=R.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}}\)

    ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

    11. θ (0o ≤θ ≤ 90o)-এর কোন মান/মানগুলির জন্য 2cos⁡2θ − 3cosθ + 1 = 0 সত্য হবে নির্ণয় করি।

    Solution:
    2cos⁡2θ − 3cosθ + 1 = 0
    ⇒ 2cos⁡2θ − 2cosθ – cosθ + 1 = 0
    ⇒ 2cos⁡θ(cosθ – 1) − 1(cosθ – 1) = 0
    = (cosθ – 1)(2cosθ – 1) = 0
    হয় cosθ – 1 = 0 নতুবা, 2cosθ – 1 = 0
    বা, cosθ = 1 বা, 2cosθ = 1
    বা, cosθ = 1 বা, 2cosθ = 1
    ⇒ cosθ = cos0o বা, cosθ = 1/2
    ∴ θ = 0o বা, cosθ = cos60o
    ∴ θ = 60o
    Ans: ∴ θ = 0o, 60o

    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights