Category: X-Mathematics

স্বীকার: দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ △ABC ও △PQR সদৃশকোণী।
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q এবং ∠C = ∠R. X ও Y যথাক্রমে ∆ABC এবং △PQR এর পরিকেন্দ্র। BC ও QR অনুরূপ বাহু।
প্রামান্য বিষয়: BX : QY = BC : QR.
প্রমাণ: BC বৃত্তচাপের উপর ∠BXC কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠BAC পরিধিস্থ কোণ।
∴ ∠BXC = 2∠BAC
∴ ∠BAC = ¹/₂∠BXC
আবার, QR বৃত্তচাপের উপর ∠QYR কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠QPR পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠QYR =2∠QPR
∴ ∠QPR = ¹/₂∠QYR
∠BAC= ∠QPR – – – (স্বীকার)
⇒ ¹/₂∠BXC = ¹/₂∠QYR
⇒ ∠BXC = ∠QYR
এখন, BX = XC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠XBC = ∠XCB
△BXC থেকে পাই,
∠XBC + ∠XCB + ∠BXC = 180^o
বা, 2∠XBC + ∠BXC = 180^o
বা, ∠BXC= 180^o – 2∠XBC
আবার, YQ = YR – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠YQR = ∠YRQ
এখন △QYR থেকে পাই,
∠YQR + ∠YRQ + ∠QYR = 180^o
বা, 2∠YQR + ∠QYR = 180^o
বা, ∠QYR = 180^o – 2∠YQR
∵ ∠BXC = ∠QYR
∴ 180^o – 2∠XBC = 180^o – 2∠YQR
⇒ – 2∠XBC = – 2∠YQR
⇒ ∠XBC = ∠YQR
△BXC এবং △QYR এর,
∠XBC = ∠YQR,
∠XCB = ∠YRQ
এবং ∠BXC = ∠QYR.
∴ △BXC এবং △QYR সদৃশকোণী
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
△ BX : QY = BC : QR = XC : YR
∴ BX : QY = BC : QR (প্রমাণিত)

9. কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, PX.XQ = RX.XS
অথবা
একটি বৃত্তে দুটি জ্যা পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্র অপরটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্রের সমান হবে।
সমাধান: