Category: X-Mathematics

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
সম্পাদ্য: ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
KOSHE DEKHI 11.2 CONSTRUCTION OF INCIRCLE OF A TRIANGLE
অন্তর্বৃত্ত: ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে কোন বৃত্ত স্পর্শ করলে বৃত্তটিকে ঐ ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ তিনটির সমদ্বিখণ্ডকত্রয় যে বিন্দুতে ছেদ করে সেই ছেদবিন্দুকে উক্ত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র বলে।
অন্তঃব্যাসার্ধ:কোনো ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধকে ঐ ত্রিভুজের অন্তঃব্যাসার্ধ বলে।
প্রদত্ত চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তটি △PQR এর PQ, QR এবং RP বাহুকে X,Y ও Z বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। তাই O কেন্দ্রীয় বৃত্তটি হল △PQR এর অন্তর্বৃত্ত।
এখানে O হল △PQR এর অন্তঃকেন্দ্র।
OY, OZ এবং OX হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অন্তব্যাসার্দ্ধ।
বহির্বৃত্ত: কোনো ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত যে বৃত্ত ত্রিভুজের একটি বাহুকে এবং ত্রিভুজের অপর দুটি বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে, তাকে ওই ত্রিভুজের বহির্বৃত্ত বলা হয়।
O বিন্দুকে বহিঃকেন্দ্র এবং OP ব্যাসার্ধকে বহিঃব্যাসার্ধ বলে।
✴️ ত্রিভুজের মধ্যে আঁকা সবচেয়ে বড় বৃত্ত কোনটি?
▶️ ত্রিভুজের মধ্যে আঁকা সবচেয়ে বড় বৃত্ত হল অন্তর্বৃত্ত।
✴️ একটি ত্রিভুজের মধ্যে কয়টি অন্তর্বৃত্ত আঁকা সম্ভব?
▶️ একটি ত্রিভুজের মধ্যে কেবলমাত্র একটি অন্তর্বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
👉 কোনো সমবাহু ত্রিভুজের যে-কোনো কোণের অন্তসমদ্বিখণ্ডক তার বিপরীত বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক হয়।
👉 সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও অন্তঃকেন্দ্র একই বিন্দুতে অবস্থান করবে।
🔅 অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি: 🔅
কোন ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করতে গেলে তা চারটি ধাপে সম্পন্ন করতে হবে।
👉 প্রথম ধাপ: যে শর্ত দেওয়া থাকবে সেই নির্দিষ্ট শর্তে অর্থাৎ যে ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে প্রথমে সেই ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।
👉👉 দ্বিতীয় ধাপ: ত্রিভুজের যেকোনো দুটি কোণের অন্ত:সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হবে। ঐ অন্ত:সমদ্বিখণ্ডক দুটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করবে, সেই বিন্দুটিই হবে ওই ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের অন্তকেন্দ্র।
👉👉👉 তৃতীয় ধাপ: অন্ত:সমদ্বিখণ্ডক দুটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করবে সেই বিন্দু থেকে কোণদ্বয় সংলগ্ন বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করতে হবে। এই লম্বই হবে অন্তর্বৃত্তের অন্তব্যাসার্দ্ধ।
👉👉👉👉 চতুর্থ ধাপ: অন্তব্যাসার্দ্ধের সমান মাপ নিয়ে অন্তঃকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে অঙ্কিত ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে।
অঙ্কন প্রণালী:
① ABC ত্রিভুজ অঙ্কন করলাম।

② ∠ABC এবং ∠ACB-এর অন্তসমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে BI ও CI অঙ্কন করলাম যারা পরস্পরকে । বিন্দুতে ছেদ করল।

③ I বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল।

④ । বিন্দুকে কেন্দ্র করে ID দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম। ওই বৃত্তই হলো ∆ABC-এর অন্তর্বৃত্ত।

🔅 বহির্বৃত্ত 🔅

অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

কষে দেখি 11.2
1. নিম্নলিখিত ত্রিভুজগুলি অঙ্কন করি এবং প্রতিটি ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করে অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য মেপে লিখি:

(i) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি., 6 সেমি. ও 5.5 সেমি.।

(ii) দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 7.6 সেমি., 6 সেমি, ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাপ 75°

(iii) একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6.2 সেমি. এবং ওই বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির পরিমাপ 50° ও 75°

(iv) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 7 সেমি. ও 9 সেমি.

(v) একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য 9 সেমি. এবং অপর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5.5 সেমি.
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(vi) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার ভূমির দৈর্ঘ্যা 7.8 সেমি. এবং সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 6.5 সেমি.

(vii) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার ভূমির দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং সমান কোণের একটির পরিমাপ 45°

(viii) 7 সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করি। ওই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন করে স্কেলের সাহায্যে পরিব্যাসার্ধের ও অন্তঃব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি এবং তাদের মধ্যে কোনো সম্পর্ক আছে কিনা লিখি।
KOSHE DEKHI 11.1
KOSHE DEKHI 12
JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply

Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply

PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply

ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply

NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply

Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply

SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply

Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree

KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree

SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE
April 14, 2024
Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
সদৃশতা Koshe Dekhi 18-4 Class 10
1. ∆ABC-এর ∠ABC = 90° এবং BD ⊥ AC; যদি BD = 8 সেমি. এবং AD = 5 সেমি. হয়, তবে CD-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Solution:
∆ABC ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AC এর উপর BD লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ।
ΔBDC এবং ΔADB সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^BD/_AD = ^DC/_BD
⇒⁸/₅ = ^DC/₈ – – [BD = 8; AD = 5]
⇒CD = ⁶⁴/₅ = 12.8
Ans: CD এর দৈর্ঘ্য 12.8 সেমি.।
2. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠B সমকোণ এবং BD ⊥ AC; যদি AD = 4 সেমি. এবং CD = 16 সেমি, হয়, তবে BD ও AB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Solution:

ABC ত্রিভুজের ABC = 90^o এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজের উপর AC লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ।
∴ ΔBDC এবং ΔBDA সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^BD/_AD = ^DC/_BD
⇒^BD/₄ = ¹⁶/_BD – – – [AD = 4; CD = 16]
⇒BD² = 64
বা, BD = 8
সমকোণী ত্রিভুজ ΔADB-এর ক্ষেত্রে,
AB² = AD² + BD²
বা, AB² = 4² + 8²
বা, AB² = 16 + 64
বা, AB² = 80
∴ AB = √80 = 4√5
Ans: BD = ৪ সেমি. এবং AB= 4√5 সেমি.।
3. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, প্রমাণ করি যে, PQ.PR = r²
Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু P-তে অঙ্কিত স্পর্শক A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক। z
.প্রামান্য বিষয়: PQ.PR = r²
অঙ্কন: O, P; O, Q এবং O, R যুক্ত করা হল।

প্রমাণ: P বিন্দুতে QR স্পর্শক এবং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OP ⊥ QR
∴ ∠OPQ = 90^o
আবার, A বিন্দুতে AQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OA ⊥ AQ
∴ ∠OAQ = 90^o
AOQ এবং POQ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠OAQ = ∠OPQ = 90^o
OQ সাধারণ বাহু
AQ = PQ – – – [বহিঃস্থ বিন্দু Q থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AQ এবং PQ ∴ AQ এবং PQ সমান]
∴ ΔΑΟQ ≅ ΔPOQ
∴ ∠AOQ = ∠POQ
অনুরূপে পাই, ΔBOR ≅ ΔPOR
∴ ∠BOR = ∠POR
∠AOQ + ∠POQ + ∠POR + ∠BOR = 180^o
বা, ∠POQ + ∠POQ + ∠POR + ∠POR = 180^o – – – [∵ ∠AOQ = ∠POQ এবং ∠BOR = ∠POR]
বা, 2∠POQ + 2∠POR = 180^o
বা, 2(∠POQ + ∠POR) = 180^o
বা, (∠POQ + ∠POR) = 90^o
বা, ∠QOR = 90^o
∴ QOR সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠QOR সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু O থেকে অতিভুজ QR এর উপর OP লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
∴ ΔOPQ এবং ΔOPR সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^OP/_PR = ^PQ/_OP = ^OQ/_RO
⇒ ^OP/_PR = ^PQ/_OP
⇒ OP² = PQ.PR
বা, r² = PQ.PR
বা, PQ.PR = r² (প্রমাণিত)
4. AB-কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করেছি। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB-এর উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।
Solution:

স্বীকার:AB কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB এর উপর লম্ব CD যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামান্য বিষয়: CD, AC ও BC এর মধ্য সমানুপাতী। অর্থাৎ CD² = AC.BC
অঙ্কন: A, D এবং B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ∠ADB = 90^o – – -n[∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোন 1 সমকোণ]
∴ সমকৌণিক বিন্দু D থেকে অতিভুজ AB এর উপর DC লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
∴ ∆ACD এবং ∆DCB সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AD/_BD = ^CD/_BC = ^AC/_CD
⇒ ^CD/_BC = ^AC/_CD
বা, CD² = AC.BC
∴ CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী। (প্রমাণিত)
5. সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে,
\(\Large{\mathbf{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}}\)
Solution:
স্বীকার: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়:
\(\Large{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}\)

প্রমাণ: ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব।
সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ হয়।
∴ ∆BAC এবং ∆ADC সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AC/_CD = ^BC/_AC
বা, AC² = CD.BC\frac{∆ABC}{∆ADC}= \frac{BC^2}{AC^2}\quad\quad\mathbf{(Proved)}
×BC×AD
\(\Large{\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{\frac{1}{2}×BC×AD}{\frac{1}{2}×AD×CD}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC}{CD}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC.BC}{CD.BC}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC^2}{AC^2}\quad\quad\mathbf{(Proved)}}\)
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
6. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) BD² = AD.DC
(ii) যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
Solution:

স্বীকার:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: (i) BD² = AD.DC এবং
(ii) যে- কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান, অর্থাৎ যেকোনো সরলরেখার ক্ষেত্রে (AC×AD) সর্বদা নির্দিষ্ট।
অঙ্কনঃ B, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ∠ACB = 90^o – – – [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ]
∴ BC ⊥ AD
আবার, AB হল বৃত্তের ব্যাস এবং B বিন্দুতে BD স্পর্শক।
∴ ∠ABD = 90^o
ABD সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AD এর উপর BC লম্ব ।
সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ হয়।
∴ BCD এবং ABD সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^BD/_AD = ^DC/_BD
বা, BD² = AD.DC (প্রমাণিত)
আবার ABD এবং ACB সদৃশকোণী।
∴ ^AB/_AC = ^AD/_AB
বা, AB² = AC.AD
∴ AC ও AD বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃত্তের ব্যাসের উপর অবস্থিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ যেকোনো সরলরেখার জন্য AC ও AD বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান (প্রমাণিত)
7. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) ∆ABC ও ∆DEF-এ ^AB/_DE = ^BC/_FD = ^AC/_EF হলে,
(a) ∠B = ∠E (b) ∠A = ∠D (c) ∠B = ∠D (d) ∠A = ∠F
Ans: (c) ∠B = ∠D
[∆ABC ও ∆DEF-এর
^AB/_DE = ^BC/_FD = ^AC/_EF
∴ ∆ABC ও ∆DEF সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
∴ ∠C = ∠F, ∠A = ∠E এবং ∠B = ∠D]
(ii) ∆DEF ও ∆PQR-এ ∠D = ∠Q এবং ∠R = ∠E হলে, নীচের কোনটি সঠিক নয় লিখি।
(a) ^EF/_PR = ^DF/_PQ (b) ^QR/_PQ = ^EF/_DF(c) ^DE/_QR = ^DF/_PQ (d) ^EF/_RP = ^DE/_QR
Ans: (b) ^QR/_PQ = ^EF/_DF
[∆DEF ও ∆PQR-এ
∠D = ∠Q এবং ∠R = ∠E
∴ ∠F = ∠P
∴ ∆DEF ও ∆PQR সদৃশ।
⇒ ^DE/_QR = ^EF/_RP = ^FD/_PQ]
(iii) ABC ও DEF ত্রিভুজে ∠A = ∠E = 40^o, AB : ED = AC : EF এবং ∠F = 65^o হলে ∠B-এর মান
(a) 35^o (b) 65^o (c) 75^o (d) 85^o
Ans: (c) 75^o
[DEF ত্রিভুজের ∠E = 40^oএবং ∠F = 65^o
∴ ∠D = 180^o – (∠E + ∠F)
বা, ∠D = 180^o – (40^o + 65^o)
বা, ∠D = 180^o – 105^o = 75^o
∵ AB : ED = AC : EF
∴ ∠B = ∠D = 75^o]
(iv) ∆ABC এবং ∆PQR-এ ^AB/_QR = ^BC/_PR = ^CA/_PQ হলে,
(a) ∠A = ∠Q (b) ∠A = ∠P (c) ∠A = ∠R (d) ∠B = ∠Q
Ans: (a) ∠A = ∠Q
[∆ABC এবং ∆PQR-এ,
^AB/_QR = ^BC/_PR = ^CA/_PQ
∴ ^AB/_QR = ^BC/_RP = ^CA/_PQ
∴ ∠A = ∠Q, ∠B = ∠R এবং ∠C = ∠P]
(v) ABC ত্রিভুজে AB = 9 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং CA = 7.5 সেমি। DEF ত্রিভুজে BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF; EF = 8 সেমি এবং ∆DEF ~ ∆ABC হলে ∆DEF-এর পরিসীমা
(a) 22.5 সেমি. (b) 25 সেমি. (c) 27 সেমি. (d) 30 সেমি.
Ans: (d) 30 সেমি.
[DEF ত্রিভুজে BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF;
BC = 6 সেমি. এবং EF = 8 সেমি.
∴ ^BC/_EF = ⁶/₈ = ³/₄
∵ ∆DEF ~ ∆ABC
∴ ^AB/_DE = ^CA/_FD = ³/₄
∴ ^AB/_DE = ³/₄
বা, ⁹/_DE = ³/₄ – – – [∵ AB = 9]
বা, DE = 12
এবং ^CA/_FD = ³/₄
বা, ^7.5/_FD = ³/₄ – – – [∵ CA = 9]
বা, FD = 2.5×4 = 10
∆DEF-এর পরিসীমা
= (12 + 8 + 10)সেমি.
= 30 সেমি.]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) দুটি চতুর্ভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হলে চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ।
Ans: মিথ্যা
(ii) পাশের চিত্রে ∠ADE = ∠ACB হলে, ∆ADE ~ ∆ACB
Ans: সত্য

[∆ADE এবং ∆ACB-এর,
∠ADE = ∠ACB – – – [প্রদত্ত]
∠DAE = ∠CAB – – – [একই কোণ]
∴ অবশিষ্ট ∠AED = অবশিষ্ট ∠ABC
∴∆ADE ~ ∆ACB]
(iii) ∆PQR-এর QR বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে PD ⊥ QR; সুতরাং, ∆PQD ~ ∆RPD
Ans: মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের __________ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
Ans: অনুরূপ
(ii) ∆ABC ও ∆DEF-এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি. এবং 18 সেমি.। ∆ABC ~ ∆DEF: BC ও EF অনুরূপ বাহু। যদি BC = 9 সেমি. হয়, তাহলে EF = __________ সেমি.।
Ans: 5.4
[∆ABC ও ∆DEF-এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি. এবং 18 সেমি.।
∆ABC ~ ∆DEF; এবং BC ও EF অনুরূপ বাহু।
∴ ^BC/_EF = ^AB/_DE = ^CA/_DF = ^AC/_AD
∴ প্রতিটি অনুপাতের মান
= ^{BC + AB + CA}/_{EF + DE + DF} – – – [সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
= ³⁰/₁₈ = ⁵/₃
∴ ^BC/_EF = ⁵/₃
বা, ⁹/_EF = ⁵/₃ – – – [∵ BC = 9]
বা, EF = ^9×3/₅ = 5.4]
8. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, ∠ACB= ∠BAD এবং AD ⊥ BC; AC = 15 সেমি., AB = 20 সেমি. এবং BC = 25 সেমি, হলে, AD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
Solution:

∠ACB = ∠BAD এবং AD ⊥ BC;
AC = 15 সেমি., AB = 20 সেমি.
এবং BC = 25 সেমি,
△ABC এবং ∆ADB ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠BAC = ∠ADB = 90°
∠ACB = ∠BAD – – – [প্রদত্ত]
∠ABC = ∠ABD – – – [একই কোণ]
∴ ∆ABC এবং ∆ADB সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^BC/_AB = ^AB/_BD = ^AC/_AD
⇒^BC/_AB = ^AC/_AD
⇒²⁵/₂₀ = ¹⁵/_AD
বা, AD = ^20×15/₂₅
∴ AD = 12
Ans: AD এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.।
(ii) পাশের চিত্রে, ∠ABC = 90o এবং BD ⊥ AC; যদি AB = 30 সেমি., BD = 24 সেমি. এবং AD = 18 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
Solution:

চিত্রে ∠ABC = 90^o এবং BD ⊥ AC;
AB = 30 সেমি.; BD = 24 সেমি.
এবং AD = 18 সেমি.
আমরা জানি সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয় এবং উৎপন্ন ত্রিভুজ দুটি মূল ত্রিভুজের সঙ্গেও সদৃশ হয় ।
∴ ∆ADB এবং ∆CDB সদৃশকোণী।
আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AB/_BC = ^BD/_CD = ^AD/_BD
⇒ ^BD/_CD = ^AD/_BD
⇒ CD×AD = BD²
বা, CD×18 = (24)² – – – [∵ AD = 8; ∵ BD =24]
বা, CD×18 = 24×24
∴ CD = 32
আবার ∆ABC এবং ∆BDC সদৃশকোণী।
∴ ^AB/_BD = ^BC/_CD = ^AC/_BC
⇒ ^AB/_BD = ^BC/_CD
⇒³⁰/₂₄ = ^BC/₃₂
⇒⁵/₄ = ^BC/₃₂
⇒BC = 5×8 = 40
Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 40 সেমি.।
(iii) পাশের চিত্রে, ∠ABC = 90^o এবং BD ⊥ AC; যদি BD = 8 সেমি. এবং AD = 4 সেমি. হয়, তাহলে CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
Solution:

চিত্রে ∠ABC = 90^o এবং BD ⊥ AC;
BD = 8 সেমি. এবং AD = 4 সেমি.
আমরা জানি সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
∴ ∆ADB এবং ∆CDB সদৃশকোণী।
আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AB/_BC = ^BD/_CD = ^AD/_BD
∴ ^BD/_CD = ^AD/_BD
বা, BD² = AD×CD
বা, 8² = CDX4 – – – [∵ BD = 8]
⇒ 64 = CDX4
বা, CD = 16
Ans: CD-এর দৈর্ঘ্য 16 সেমি.
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
Solution:

ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD,
AD = 4 সেমি. এবং
^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
∆AOD ও ∆COB এর ক্ষেত্রে,
∠OAD = একান্তর কোণ ∠OCB – – – [ ∵ AD || BC এবং AC ভেদক]
আবার, ∠ODA = একান্তর কোণ ∠OBC – – – [∵ AD || BC এবং DB ভেদক]
এবং ∠AOD = বিপ্রতীপ কোন ∠BOC
∴ ∆AOD ও ∆COB সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AO/_OC = ^DO/_OB = ^AD/_BC
আবার ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
∴ ^AD/_BC = ¹/₂
বা, ⁴/_BC = ¹/₂
বা, BC = 8
Ans: BC এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।
(v) ∆ABC ~ ∆DEF এবং ∆ABC ও ∆DEF-এ AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF; ∠A = 47^o এবং ∠E = 83^o হলে, ∠C-এর পরিমাপ কত তা লিখি।
Solution:

ΔΑΒC ও △DEF সদৃশ এবং ∆ABC ও △DEF -এর AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF.
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
∴ ∠C = ∠F, ∠A = ∠D এবং ∠B = ∠E
প্রদত্ত ∠A = 47^o
এবং ∠B = ∠E = 83^o
∴ ∠C = 180^o – (∠A + ∠B)
= 180^o – (47^o + 83^o)
= 180^o – 130^o = 50^o
Ans: ∠C-এর পরিমাপ 50^o
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলি _______________
Ans: সমানুপাতী
▶️ ABCD ট্রপিজিয়ামের BC ∥ AD এবং AD = 4 সেমি, AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে, ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ -হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ ΔABC এর AC এবং BC বাহু দুটির উপর যথাক্রমে L এবং M দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থান করে যাতে LM || AB এবং AL = (x – 2) একক, AC = 2x + 3 একক, BM (x – 3) একক এবং BC = 2x একক, তবে x-এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরুপ বাহুগুলি __________ হয়।
Ans: সমানুপাতী
MP-2020
▶️ সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে,
\(\Large{\mathbf{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}}\)
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: সমান।
▶️ ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ প্রমাণ করো একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি __________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: সদৃশ
PREVIOUS
NEXT
Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র

দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2

Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

সম্পাদ্যঃ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.1

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

Similarity Class X Koshe Dekhi 18.1 সদৃশতা

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone
April 7, 2024

error: Content is protected !!