Category: X-Mathematics

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
APPLICATION OF TRIGONOMETRIC RATIOS: HEIGHTS & DISTANCES || ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব || KOSHE DEKHI 25 || কষে দেখি 25 ||CLASS 10 || দশম শ্রেণী || GANIT PRAKASH || গণিত প্রকাশ || WBBSE
▶️ প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য, সূত্র ও ধর্মাবলী
👉 দৃষ্টিরেখা ঃ কোনো ব্যক্তি যখন কোনো বস্তুকে দেখে, তখন তার চোখ ও বস্তুর মধ্যে কল্পিত সংযোজক রেখাটিকে দৃষ্টিরেখা বলে।

✴️ অনুভূমিক রেখা ঃ ভূমিতলে অবস্থিত কিংবা ভূমিতলের সমান্তরালে অবস্থিত যেকোনো রেখাকে অনুভূমিক রেখা বলে।

👉 উলম্ব রেখা ঃ অনুভূমিক রেখার উপর কোন বিন্দুতে লম্বভাবে অবস্থিত রেখাটিকে উলম্ব রেখা বলে।

✴️ উন্নতি কোণ ঃ কোন ব্যক্তি যখন কোন বস্তুকে নিচ থেকে উপর দিকে দেখে, তখন দৃষ্টিরেখাটি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে।
👉 অবনতি কোণ ঃ কোন ব্যক্তি যখন কোন বস্তুকে উপর থেকে নিচের দিকে দেখে, তখন দৃষ্টিরেখাটি উপরে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোন উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে।

✴️ পর্যবেক্ষকের উচ্চতা দেওয়া না থাকলে পর্যবেক্ষককে একটি বিন্দু হিসেবে ধরে নিতে হবে।

👉 বাড়ি, স্তম্ভ, গাছ, টাওয়ার ইত্যাদি ভূমিতলে উপর লম্বভাবে আছে ধরে নিতে হবে।
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60^o হয়, তাহালে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
চিত্রে BC নারকেল গাছ।
এখানে AB = 20 মিটার
উন্নতি কোণ ∠BAC = 60^o
AВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan60^o = ^BC/_AB
⇒ √3 = ^BC/₂₀
∴ BC = 20√3
Ans: গাছটির উচ্চতা 20√3 মিটার।
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30^o তখন একটি স্তম্ভর ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

চিত্রে BC স্তম্ভ এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য AB = 9 মিটার।
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠BAC = 30^o
AВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan30^o = ^BC/_AB
⇒ ¹/_√3 = ^BC/₉
⇒ √3BC = 9
বা, √3BC = 3×√3×√3
∴ BC = 3√3
Ans: স্তম্ভটির উচ্চতা 3√3 মিটার।
3. 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60^o কোণ করে উড়তে থাকে, তাহালে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।

চিত্রে সুতো AC = 150 মি.
চিত্রে C বিন্দুতে ঘুড়িটির অবস্থান এবং বিন্দুতে খুঁটি পোতা হয়েছে।
∠BAC = 60^o
AВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
sin60^o = ^BC/_AC
⇒ ^√3/₂ = ^BC/₁₅₀
∴ BC = 75×√3 = 75√3
Ans: ঘুড়িটি মাঠ থেকে 75√3 মিটার উঁচুতে রয়েছে।।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীরপাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60^o কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।

চিত্রে C বিন্দুতে গাছের অবস্থান এবং B বিন্দুতে খুঁটি পোতা হয়েছে।
এখাণে AB = 7√3 মিটার
∠BAC = 60^o
BC = নদী
AВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan60^o = ^BC/_AB
⇒ √3 = ^BC/_7√3
∴ BC = 7√3×√3 = 21
Ans: নদীটি 21 মিটার চওড়া।
5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে ৪√3 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30^o কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।

চিত্রে AB টেলিগ্রাফ পোষ্ট D বিন্দুতে মচকেছে।
এখানে BC = 8√3 মিটার।
পোষ্টটির অগ্রভাগ ভূমির সঙ্গে C বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।।
প্রশ্নানুযায়ী, ∠DCB = 30^o
DВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan30^o = ^BD/_BC
⇒ ¹/_√3 = ^BD/_8√3
∴ BD = 8
আবার DВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
sin30^o = ^BD/_DC
⇒ ¹/₂ = ⁸/_DC
⇒ DC = 16
∴ AB = BD +DA
= BD + DC
= 8 + 16 = 24
Ans: পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটারউপরে মচকে ছিল
এবং পোস্টটির উচ্চতা ছিল 24 মিটার।
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30^o কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60^o কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।

চিত্রে AB ও CD যথাক্রমে প্রথম বাড়ি এবং দ্বিতীয় বাড়ি।
EB ও ED হল মই।
এখানে AE = 6 মিটার
∠AEB = 30^o ; ∠CED = 60^o
এবং CD = 24 মিটার।
BAE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AE/_BE = cos30^o
⇒ ⁶/_BE = ^√3/₂
⇒ √3BE = 6×2
বা, √3BE = 2×√3×√3×2
∴ BE = 4√3
∴ DE = 4√3 মিটার
DCE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CE/_DE = cos60^o
⇒ ^CE/_4√3 = ¹/₂
⇒ CE = 2√3
∴ AC = AE + EC
= 6 + 2√3
= 2(3 + √3)
আবার DCE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DC/_CE = tan60^o
⇒ ^DC/_2√3 = √3
⇒ DC = 6
Ans:
(i) মইটির দৈর্ঘ্য 4√3 মিটার।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া 2√3 মিটার দূরে রয়েছে।
(iii) রাস্তাটি 2(3 + √3) মিটার চওড়া।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে।
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30^o হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
[√3-এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]

ধরি, চিমনির উচ্চতা (AB)= x মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
∠ BCA = 60^o ; ∠ BDA = 30^o
এবং CD = 24 মিটার ।
আরও ধরা যাক BC = y মিটার।
এখন ͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
tan60^o= ^AB/_BC
⇒ √3= ^x/_y
⇒ ^y/_x = ¹/_√3
আবার ΔABD থেকে পাওয়া যায়
^AB/_BD = tan30^o
⇒ ^AB/_(BC+CD) = ¹/_√3
⇒ ^x/_(24+y) = ¹/_√3
বা, ^(24+y)/_x = √3
⇒ ²⁴/_x + ^y/_x = √3
⇒ ²⁴/_x + ¹/_√3 = √3
বা, ²⁴/_x = √3 – ¹/_√3
⇒ ²⁴/_x = ^3-1/_√3
⇒ ²⁴/_x = ²/_√3
বা, x = 12√3
⇒ x = 12×1.732
⇒> x = 20.784
Ans: চিমনির উচ্চতা = 20.784 মিটার (প্রায়)।
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি খুঁটির ছায়ায় দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
[√3= 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]

ধরি, পোষ্টের উচ্চতা (AB) = x মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
∠ BCA = 60^o ; ∠ BDA = 45^o
এবং CD = 3 মিটার ।
আরও ধরা যাক BC = y মিটার।
এখন ͢ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
tan45^o = ^AB/_BD
⇒ 1 = ^AB/_(BC+CD)
⇒ 1 = ^x/_(y+3)
বা, y + 3 = x
⇒ y = x – 3
আবার ͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
tan60^o = ^AB/_BC
⇒ √3 = ^x/_y
⇒ √3= ^x/_(x-3)
বা, √3(x – 3) = x
⇒ √3x – 3√3 = x
⇒ √3x – x = 3√3
বা, x(√3 – 1) = 3√3
⇒ x = ^3√3/_{(√3 – 1)}
⇒ x = ^{3√3(√3 + 1)}/_{(√3 – 1)(√3 +1)}
বা, x = ^9+3√3/_{(3 – 1)}
⇒ x = ^9+3×1.732/₂
⇒ x = ^9+5.196/₂
বা, x = ^14.196/₂
⇒ x = 7.098
Ans: পোষ্টের উচ্চতা = 7.098 মিটার।
9. 9√3 মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30^o হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

চিত্রে তিনতলা বাড়ি AB = 9√3 মিটার
CD হল কারখানার চিমনি
এখানে,
চিমনির উন্নতি কোণ ∠EBD = 30^o
AC = BE = 30 মিটার
আবার EC = AB = 9√3 মিটার
ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
tan30^o = ^DE/_BE
⇒ ¹/_√3 = ^DE/₃₀
⇒ √3DE = 30
বা, √3DE = 10×√3×√3x
⇒ DE = 10√3
∴ CD = CE + ED
= 9√3 + 10√3
= 19√3
Ans: চিমনির উচ্চতা 19√3 মিটার।
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60^o ও 30^o হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্বে থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটি হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

ধরি, লাইটহাউসের উচ্চতা(AB) = x মিটার
প্রথম জাহাজ থেকে দ্বিতীয় জাহাজের দূরত্ব(CD) = y মিটার
এখন ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
tan60^o = ^AB/_BC
⇒ √3 = ^x/₁₅₀
⇒ x = 150√3
∴ লাইটহাউসের উচ্চতা = 150√3 মিটার
আবার ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
tan30^o = ^AB/_BD
⇒ ¹/_√3= ^AB/_(BC+CD)
⇒ ¹/_√3= ^x/_(150+y)
বা, 150 + y = √3x
⇒ 150 + y = √3.150√3 – – – – [∵ x = 150√3]
⇒ 150 + y = 450
বা, y = 450 -150
⇒ y = 300
∴ CD = y = 300
BD = BC + CD
= (150 + 300) মিটার
= 450 মিটার
Ans: দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটহাউস থেকে 450 মিটার দূরে অবস্থিত।
এবং লাইটহাউসের উচ্চতা 100√3 মিটার।
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
Solution:

চিত্রে পাঁচতলা বাড়ির উচ্চতা CD = 16 মিটার
এবং AB মনুমেন্টে।
এখানে CD = 15 মিটার
মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ∠EDB = 60^o
এবং গোড়ার অবনতি কোণ ∠EDA = ∠DAC = 30^o
সমকোণী ত্রিভুজ DCA-এর ক্ষেত্রে,
^CD/_AC = tan30^o
বা, ¹⁶/_AC = ¹/_√3
বা, AC = 16√3
∴ DE = 16√3
আবার সমকোণী ত্রিভুজ DEB-এর ক্ষেত্রে,
^EB/_DE = tan60^o
বা, ^EB/_16√3 = √3
বা, EB = 16√3×√3 = 49
∴ AB = AE + EB
= CD + EB
= 16 + 48 = 64
Ans: মনুমেন্টের উচ্চতা 64 মিটার
এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে 16√3 মিটার দূরে অবস্থিত।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60^o কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45^o কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।

এখানে সুতোর দৈর্ঘ্য AC = ED = 250 মিটার
∠CAB = 60^o; ∠DEB = 45^o
∴ DBE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BD/_ED = sin45^o
বা, ^BD/₂₅₀ = ¹/_√2
বা √2BD = 250
⇒ √2×√2BD = 250×√2
বা 2BD = 250×√2
∴ BD = 125√2
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BC/_AC = sin60^o
বা, ^BC/₂₅₀ = ^√3/2
বা 2BC = 250×√3
∴ BC = 125√3
∵ √3 > √2
∴ 125√3 > 125√2
Ans: 🔅 সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60^o কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি 125√3 মিটার উপরে থাকবে।
🔅🔅 সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45^o কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি 125√3 মিটার উপরে থাকবে।
🔅🔅🔅 এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60^o কোণ করে থাকে তখনবেশি উঁচুতে থাকবে।
13. উড়ো জাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60^o ও 30^o অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 545√3 মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।

এখানে উড়োজাহাজটির উচ্চতা AB = 545√3
H এবং M যথাক্রমে হাওড়া স্টেশন এবং শহিদ মিনার
প্রশ্নানুযায়ী ∠PBQ = ∠BMA = 30^o;
এবং ∠QBH = ∠BHA = 60^o
∴ BHA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BA/_AB = tan45^o
বা, ^DA/_AB = 1
বা DA = AB
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CA/_AB = tan50^o
বা, ^CD+DA/_AB= 1.192
বা, ^3.6+DA/_AD = 1.192 – – – – [∵ AB = AD]
⇒ 1.192DA = 3.3 + DA
বা, 1.192A – DA = 3.3
বা 0.192DA = 3.3
∴ DA = 17.187(প্রায়)
Ans: বাড়িটির উচ্চতা 17.19 মিটার।
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50^o ও 45^o হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, tan 50^o = 1.192]

চিত্রে,
পতাকা দণ্ড DC= 3.3 মিটার এবং
বাড়ি AD
∠ABD = 45^o
∠ABC = 50^o
∴ DAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DA/_AB = tan45^o
বা, ^DA/_AB = 1
বা DA = AB
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CA/_AB = tan50^o
বা, ^CD+DA/_AB= 1.192
বা, ^3.6+DA/_AD = 1.192 – – – – [∵ AB = AD]
⇒ 1.192DA = 3.3 + DA
বা, 1.192A – DA = 3.3
বা 0.192DA = 3.3
∴ DA = 17.187(প্রায়)
Ans: বাড়িটির উচ্চতা 17.19 মিটার।
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।

চিত্রে,
স্তম্ভ AB = 180 মিটার এবং
স্তম্ভ CD = 60 মিটার।
এখানে, ∠PBQ = 60^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AB/_BC = tan60^o
বা, ^AB/_BC = √3
বা, ¹⁸⁰/_BC = √3
⇒ √3BC = 180
বা, BC = ¹⁸⁰/_√3
বা, BC = 60√3
আবার DCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan∠CBD = ^DC/_BC
বা, tan∠CBD = ⁶⁰/_60√3
বা, tan∠CBD = ¹/_√3
⇒ tan∠CBD = tan30^o
∴ ∠CBD = 30^o
Ans: প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ 30^o
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30^o হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।

ধরি, স্তম্ভটির উচ্চতা(AB) = x মিটার।
চিত্রানুযায়ী,
∠ACB =45° এবং ∠ADB =30°
ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
\(\Large{\quad \frac{AB}{BC} = tan45^o\\⇒ \frac{AB}{BC} = 1}\)
⇒ AB = BC
⇒ BC = AB = x
আবার ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
\(\Large{\quad \frac{AB}{BD} = tan30^o\\⇒ \frac{x}{BC + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\\⇒ \frac{x}{x + 60} = \frac{1}{\sqrt{3}}\\⇒ x + 60 = x√3\\⇒ x√3 –x=60\\⇒ x(√3 -1)=60\\⇒ x = \frac{60}{\sqrt{3} – 1} \\⇒x=\frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2}\\⇒ x = 30(√3 +1) \\⇒x = 30(1.732 + 1) – – -. -. -[ √3 = 1.732 ] \\⇒x = 30× 2.732 = 81.96 }\)
Ans: স্তম্ভটির উচ্চতা = 81.96 মিটার (প্রায়)
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30^o থেকে 60^o হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

চিত্রে চিমনি AB
এখানে ∠ADC = 30^o; ∠ACB = 60^o
এবং DC = 50 মিটার
ধরি, AB = x মিটার এবং BC = y মিটার
AВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan60^o = ^AB/_BC
⇒ √3 = ^x/_y
∴ x = √3y
আবার ABD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan30^o = ^AB/_BD
⇒ ¹/_√3 = ^AB/_{BC+CD)
⇒ ¹/_√3 = ^x/_{y+50)
∴ √3x = y + 50
⇒ √3×√3y = y + 50
⇒ 3y – y = 50
∴ y = 25
∴ x = √3y
= √3×25 = 25√3
Ans: চিমনির উচ্চতা 25√3 মিটার।
18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30^o কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।

চিত্রে উল্লম্ব খুঁটি AB = 126 ডেসিমি।
খুঁটিটির অগ্রভাগ ভূমির সঙ্গে C বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
ধরি খুঁটিটি x ডেসিমি উচ্চতায় D বিন্দুতে দুমড়েছে।
∴ DC = AD
= AB – BD
= (126 – x) ডেসিমি
প্রশ্নানুযায়ী, ∠DCB = 30^o
sin30^o = ^BD/_DC
⇒ ¹/₂ = ^x/_{(126 – x)}
⇒ 2x = 126 – x
বা, 3x = 126
∴ x = 42
আবার DВС সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan30^o = ^BD/_BC
⇒ ¹/_√3 = ⁴²/_DC
∴ DC = 42√3
Ans: খুঁটিটি 42 ডেসিমি উপরে দুমড়ে গিয়েছিল।
তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 42√3 ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30^o উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে 60^o উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় নির্ণয় করি।

চিত্রে মোহিত A বিন্দুতে দাড়িয়ে প্রথমে উত্তরদিকে C বিন্দুতে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে D বিন্দুতে দেখতে পেল।
এখানে, ∠XAC = ∠ACD = 30^o;
∠YAB = ∠ABD = 60^o
এবং AD = 50√3 মিটার
ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_DC = tan30^o
বা, ^50√3/_DC = ¹/_√3
বা, DC = 50√3×√3
∴ DC = 150
আবার ABD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_BD = tan60^o
বা, ^50√3/_BD = √3
∴ BD = 50
∴ BC = CD + BD
= 150 + 50 = 200
পাখিটি 2 মিনিটে ওড়ে 200 মিটার
পাখিটি 1 মিনিটে ওড়ে ²⁰⁰/₂ মিটার
∴ পাখিটি 60 মিনিটে ওড়ে 100×60 মিটার
= 6000 মিটার = 6 কিমি
Ans: পাখিটির গতিবেগ ঘণ্টায় 6 কিমি।
20. 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30^o অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি।

ধরি, ব্যক্তিটি RS রেলওয়ে ওভারব্রিজের উপর B বিন্দুতে দাঁড়িয়ে প্রথমে P বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 30^o অবনতি কোণে এবং 2 সে. পরে Q বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন।
চিত্রে,
AB = 5√3 মিটার
∠BPA = 30^o
∠BQA = 45^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^5√3/_AP = ¹/_√3
বা, AP = 5√3×√3
∴ AP = 15
আবার ͢সমকোণী ত্রিভুজ BAQ থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AQ = tan45^o
বা, ^5√3/_AQ = 1
বা, AQ = 5√3
⇒ AQ = 5×1.732
⇒ AQ = 8.660
∴ PQ = AP + AQ
= 15 + 8.660
= 23.660
ট্রেনটি 2 সেকেন্ডে যায় 23.660 মিটার
∴ ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় ^23.660/₂ মিটার = 11.830 মিটার
Ans: ট্রেনটির গতিবেগ সেকেন্ডে 11.830 মিটার
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45^o কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30^o কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

এখানে সেতু AB
প্রশ্নানুযায়ী,
∠ADB = 45^o; ∠ACB = 30^o
এবং CD = 400 মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABD-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_BD = tan45^o
বা, ^AB/_BD = 1
বা, AB = BD – – – (i)
আবার সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_BC = tan30^o
বা, ^AB/_BC = ¹/_√3
বা, AB = ^BC/_√3 – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
BD = ^BC/_√3
⇒ √3BD = BC
⇒ √3BD = BD + CD
বা, √3BD – BD = 400
বা, BD(√3 – 1) = 400
⇒ BD(√3 – 1)(√3 + 1) = 400(√3 + 1)
বা, BD(3 – 1) = 400(1.732 + 1)
বা, 2×BD = 400 ×2.732
⇒ BD = 200 ×2.732
বা, BD = 546.400
Ans: সেতুটির দৈর্ঘ্য 546.400 মিটার।
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30^o অবনতি কোণ ও 60^o উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

চিত্রে AC পার্কের একপ্রান্ত C-তে CD একটি বাড়ি।
এখানে CD = 15 মিটার
এখানে অবনতি কোণ ∠EDA = ∠DAC = 30^o
এবং উন্নতি কোণ ∠BDE = 60^o
সমকোণী ত্রিভুজ DCA-এর ক্ষেত্রে,
^CD/_AC = tan30^o
বা, ¹⁵/_AC = ¹/_√3
বা, AC = 15√3
∴ DE = 15√3
আবার সমকোণী ত্রিভুজ DEB-এর ক্ষেত্রে,
^EB/_DE = tan60^o
বা, ^EB/_15√3 = √3
বা, EB = 15√3×√3 = 45
∴ AB = AE + EB
= CD + EB
= 15 + 45 = 60
Ans: ইটভাটার চিমনির উচ্চতা 60 মিটার
এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব 15√3 মিটার।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60^o ও 30^o হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি, (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত, (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।
ধরি P ও Q পরপর দুটি কিলোমিটার ফলক।
B হল উড়োজাহাজটির অবস্থান।
AB ভূমি থেকে উড়োজাহাজের উচ্চতা।
(i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত

এখানে ∠XBP = ∠BPA = 30^o
∠YBQ = ∠BQA = 60^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^AB/_AP = ¹/_√3
বা, AP = √3AB – – – (i)
আবার সমকোণী ত্রিভুজ BAQ-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AQ = tan60^o
বা, ^AB/_AQ = √3
বা, AQ = ^AB/_√3 – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই
AP + AQ = √3AB + ^AB/_√3
⇒ PQ = AB(√3 + ¹/_√3)
⇒ 1 = AB×³⁺¹/_√3 – – – [∵ PQ = 1 km]
বা, 4AB = √3
⇒ AB = ^√3/₄
∴ AB = ^√3/₄ কিমি
AB = ^√3/₄×1000 = 250√3 মিটার
Ans: উড়োজাহাজটির উচ্চতা 250√3 মিটার
(ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।

এখানে ∠XBP = ∠BPA = 30^o
∠XBQ = ∠BQA = 60^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^AB/_AP = ¹/_√3
বা, AP = √3AB – – – (i)
আবার সমকোণী ত্রিভুজ BAQ-এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AQ = tan60^o
বা, ^AB/_AQ = √3
বা, AQ = ^AB/_√3 – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই
AP – AQ = √3AB – ^AB/_√3
⇒ PQ = AB(√3 – ¹/_√3)
⇒ 1 = AB×^3-1/_√3 – – – [∵ PQ = 1 km]
বা, 2AB = √3
⇒ AB = ^√3/₂
∴ AB = ^√3/₂ কিমি
AB = ^√3/₂×1000 = 500√3 মিটার
Ans: উড়োজাহাজটির উচ্চতা 500√3 মিটার
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা
(a) 10 মিটার (b) 10√3 মিটার (c) ¹⁰/_√3 মিটার (d) 100 মিটার
Ans: (b) 10√3 মিটার
[এখানে AB মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার(B) উন্নতি কোণ 60^o এবং AC = 10 মিটার

АВС সমকোণী ত্রিভুজের ,
tan60^o = ^AB/_AC
⇒ √3 = ^AB/₁₀
বা, AB = 10√3]

θ-এর মান (a) 30^o (b) 45^o (c) 60^o (d) 75^o
Ans: (a) 30^o
[ tanθ = ⁵/_5√3
⇒ tanθ = ¹/_√3
⇒ tanθ = tan30^o
∴ θ = 30^o]
(ii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হলো,
(a) 15^o (b) 30^o (c) 45^o (d) 60^o
Ans: (c) 45^o
[ধরি, A হল তিনতলা বাড়ির ছাদ এবং С হল বাক্সটির অবস্থান।
এখানে AB = BC

তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা বাক্সকে θ কোণে দেখলে,
tanθ = ^AB/_BC
⇒ tanθ = ^BC/_BC – – – [∵ AB = BC]
⇒ tanθ = 1 = tan45^o
∴ θ = 45^o]
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা 100√3 মিটার। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ
(a) 30^o (b) 45^o (c) 60^o (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) 60^o
[চিত্রে, টাওয়ার (AB) = 100√3 মিটার
এবং AC = 100 মিটার

টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ θ হলে,
tanθ = ^AB/_AC
⇒ tanθ = ^100√3/₁₀₀
⇒ tanθ = √3 = tan60^o
∴ θ = 60^o]
(v) একটি পোস্টের ভূমিতলে ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
(a) 30^o (b) 45^o (c) 60^o (d) কোনোটিই নয়
Ans: (a) 30^o
[চিত্রে পোস্ট AB
প্রশ্নানুযায়ী, BC = √3AB
ধরি, সূর্যের উন্নতি কোণ θ

АВС সমকোণী ত্রিভুজের,
tanθ = ^AB/_BC
⇒ tanθ = ^AB/_√3AB – – – – [∵ BC = √3AB]
⇒ tanθ = ¹/_√3 = tan30^o
∴ θ = 30^o]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) △АВС এর ∠B = 90^o, AB = BC হলে, ∠C = 60^o

Ans: মিথ্যা
[△АВС এর ∠B = 90^o
, AB = BC
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
tan∠C = ^AB/_BC
⇒ tan∠C = ^AB/_AB – – – – [∵ AB = BC]
⇒ tan∠C = 1 = tan45^o
∴ ∠C = 45^o]
(ii) PQ একটি বাড়ির উচ্চতা, QR ভূমি। P বিন্দু থেকে R বিন্দুর অবনতি কোণ ∠SPR; সুতরাং, ∠SPR = ∠PRQ.

Ans: সত্য
[এখানে PS ∥ RQ এবং PR ভেদক।
∴ ∠SPR = ∠PRQ]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য _________ পায়। (হ্রাস/বৃদ্ধি)
Ans: হ্রাস
[সূর্যের উন্নতি কোণ যত বৃদ্ধি পাবে, কোন বস্তুর ছায়ার দৈর্ঘ্য ততো হ্রাস পায়।]
(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o হলে, একটি পোস্টের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘা _________ হবে।
Ans: সমান
(iii) যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o-এর _________ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য স্তম্ভের উচ্চতা থেকে কম ।
Ans: বেশি
[সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o হলে, কোন বস্তুর দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হয়।]
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60^o এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।
চিত্রে C হল ঘুড়ির অবস্থান।
এখানে সুতোর দৈর্ঘ্য(BC) = 20√3 মিটার,
এবং ∠ABC = 60^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
sin60^o = ^AC/_BC
⇒ ^√3/₂ = ^AC/_20√3
⇒ AC = ^√3/₂ × 20√3 = sin60^o
∴ AC = 30
Ans: ঘুড়িটি মাটি থেকে 30 মিটার উচ্চতায় আছে ।

(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB = 50√3 মিটার হলে, ∠C এর মান নির্ণয় করি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
অতিভুজ AC = 100 মিটার; AB = 50√3 মিটার
∴ ∠B = 90^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
sin∠C = ^AB/_AC
⇒ sin∠C = ^50√3/₁₀₀
⇒ sin∠C = ^√3/₂ = sin60^o
∴ ∠C = 60^o
Ans: ∠C এর মান 60^o
(iii) ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দুরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান। গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণ করেছে হিসাব করি।

চিত্রে AB গাছটি D বিন্দুতে মচকেছে।
গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সঙ্গে C বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রশ্নানুযায়ী,
CB = BD গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে,
tanθ = ^BD/_CB
⇒ tanθ = ^BD/_BD – – – – [∵ CB = BD]
⇒ tanθ = 1 = tan45^o
∴ θ = 45^o
Ans: গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে 45^o কোণ করেছে।
(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজ ∠B = 90^o, ABর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB : BC : BD = √3 : 1 : 1, ∠ACD-এর মান নির্ণয় করি।

চিত্রে, AB : BC : BD = √3 : 1 : 1
ধরি, AB = √3k ; BC = k এবং BD = k
ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
\(\Large{\quad tan∠ACB = \frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}k}{k}\\⇒tan∠ACB =\sqrt{3}=\tan60^o\\\therefore ∠ACB =60^o}\)
আবার ΔDCB থেকে পাওয়া যায়
\(\Large{\quad tan∠DCB = \frac{BD}{BC}=\frac{k}{k}\\⇒tan∠DCB =1=\tan45^o\\\therefore ∠DCB =45^o }\)
∴ ∠ACD = ∠ACB – ∠BCD
= 60^o – 45^o = 15^o
Ans: ∠ACD -এর মান 15^o
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্য্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : । হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।

প্রশ্নানুযায়ী.
BC : AC = √3 : 1
ধরি, স্তম্ভের উচ্চতা = AC = k
∴ স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য = BC = √3k
͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
\(\Large{\quad tan∠ABC = \frac{AC}{BC}=\frac{k}{\sqrt{3}k}\\⇒ tan∠ABC =\frac{1}{\sqrt{3}}=tan30^o\\\therefore ∠ABC =30^o}\)
Ans: সূর্যের উন্নতি কোণ 30^o
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ কোন স্তম্ভের একই পার্শ্বে এবং পাদবিন্দুগামী একই অনুভূমিক সরলরেখায় অবস্থিত দুটি বিন্দু থেকে স্তম্ভের শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং ϕ। স্তম্ভের উচ্চতা h হলে বিন্দু দুটির দূরত্ব নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ 120 মিটার চওড়া রাস্তার দুপাশে ঠিক বিপরীতে A ও B বিন্দুতে দুটি সমান উচ্চতার স্তম্ভ আছে। স্তম্ভ দুটির পাদবিন্দুর সংযোগ রেখার উপর C বিন্দু থেকে A ও B বিন্দুতে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 60^o ও 30^o হলে AC মান নির্ণয করো।
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ একটি অসম্পূর্ণ স্তম্ভের পাদদেশ থেকে 50 মি দূরের কোন বিন্দু থেকে তার অগ্রভাগের উন্নতি কোণ 30° স্তম্ভটি আর কত উচ্চতা বৃদ্ধি করলে ঐ বিন্দু থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° হবে।
VIEW ANSER
▶️ একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি বাতি স্তম্ভের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও 60°, বাড়ি ও বাতি স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় কর।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথম চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় কর।
VIEW ANSER
▶️ একটি হ্রদের h মিটার উপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ α এবং হ্রদের উপর ওর প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β। প্রমাণ করো, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব
\(\Large{\quad\quad \frac{2h\sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}}\)
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে। রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50^o ও 45^o হয়। বাড়িটির উচ্চতা কত?(ধরে নাও tan 50^o = 1.2)
VIEW ANSER
▶️ 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল। যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30^o কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90^o কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : 1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ সূর্যের উন্নতি কোণ 45^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায় । খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30^o অবনতি কোণে দেখলেন । কিন্তু 2 সেকেন্ড পরে ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন । ট্রেনটির গতিবেগ কত ?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মি.। একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
VIEW ANSER
▶️ একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি 60^o ও 30^o হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত ?
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 24
KOSHE DEKHI 26.1
Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র

দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2

Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

সম্পাদ্যঃ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.1

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

Similarity Class X Koshe Dekhi 18.1 সদৃশতা

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone
May 12, 2024
Solution of Koshe dekhi 22
Solution of Koshe dekhi 22
Solution of Koshe dekhi 22
কষে দেখি ২২ || পিথাগোরাসের উপপাদ্য || দশম শ্রেণির উপপাদ্য
KOSHE DEKHI 22 || PYTHAGORAS THEOREM || CLASS 10
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি:
(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.
Ans: (8)² + (15)² = 64 + 225
= 289
= (17)²
∴ দেখা যাচ্ছে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটো বাহুর বর্গের সমষ্টি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী তিনটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.
Ans: (9)² + (6)² = 81 + 36
= 117
≠ (11)²
∴ দেখা যাচ্ছে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুটো বাহুর বর্গের সমষ্টি, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান নয়। সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী তিনটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করবে না।
Solution of Koshe dekhi 22
2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তার একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
এখানে মইয়ের দৈর্ঘ্য ED =EC= 15 মিটার।
মিলিদের জানালার উচ্চতা AD = 9 মিটার এবং
আমাদের জানালা BC = 12 মিটার
DAE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + AE² = DE²
বা, 9² + AE² = (15)²
বা, AE² = 225 – 81 =144
∴ AE =√144 = 12
আবার CBE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² + BE² = EC²
বা, (12)² + BE² = (15)²
বা, BE² = 225 – 144 = 81
∴ BE =√81 = 9
∴ AB = AE + EB
= 12 + 9
= 21
Ans: রাস্তাটি 12 মিটার চওড়া।
3. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

ABCD রম্বসের কর্ণ BD = 12 সেমি. এবং প্রতিটি বাহু 10 সেমি.
এখাণে AB = 10 সেমি.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্দিত করে।
∴ AO ⊥ 0B এবং
OB = ¹/₂BD = ¹/₂×12 = 6 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OB² + OA² = AB²
বা, 6² + OA² = (10)²
বা, OA² = 100 – 36 = 64
∴ OA = √64 = 8
∴ AC = 2.OA = 2.8 = 16
Ans: রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি.
Solution of Koshe dekhi 22
4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS² + QR² = PR² + QS²

প্রদত্ত: △PQR-এর ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু।
প্রামান্য বিষয়: PS² + QR² = PR² + QS²
প্রমান: △PQR-এর ∠Q সমকোণ।
∴ △PQS এবং △PQR প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ ।
PQS সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PS² = PQ² + QS² – – – (i)
PQR সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² + QR² = PR²
বা, QR² = PR² – PQ² – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
PS² + QR² = PQ² + QS² + PR² – PQ²
বা, PS² + QR² = QS² + PR²
বা, PS² + QR² = PR² + QS² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22
5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।

প্রদত্ত: ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB² + BC² + CD² + DA² = AC²+ BD²
প্রমান: রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্দিত করে।
∴ AC ⊥ BD এবং AO = OC ও BO = OD
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OA² + OB²– – – – (i)
BOC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OB² + OC²– – – – (ii)
COD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OC² + OD²– – – – (iii)
DOA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DA² = OD² + OA²– – – – (iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
AB² + BC² + CD² + DA²
= OA² + OB² + OB² + OC² + OC² + OD² + OD² + OA²
⇒ 2OA² + 2OB² + 2OC² + 2OD²
⇒ 2OA² + 2OC² + 2OB² + 2OD²
= 2OA² + 2OA² + 2OB² + 2OB² – – – [∵ AO = OC ও BO = OD]
⇒ 4OA² + 4OB²
= (2OA)² + (2OB)²
= AC² + BD²
∴ AB² + BC² + CD² + DA² = AC²+ BD² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB² + BC² + CA² = 4AD²

প্রদত্ত: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: AB² + BC² + CA² = 4AD²
প্রমান: ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = BC = CA
আবার, AD, BC বাহুর উপর লম্ব।
△ADB এবং △ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ ।
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AD² + BD²
বা,AB² = AD² + (^BC/₂)²
বা,AB² = AD² + ^BC²/₄
⇒4AB² = 4AD² + BC²
⇒AB² + BC² + CA² + BC² = 4AD² + BC² – – – [∵ AB = BC = CA]
বা,AB² + BC² + CA² = 4AD² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q: B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, BQ² + PC² = BC² + PQ²

প্রদত্ত: △ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর যথাক্রমে P ও Q দুটি বিন্দু। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করা হল।
প্রামান্য বিষয়: BQ² + PC² = BC² + PQ²
প্রমান: △ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ △BAQ, △PAC, △BAC এবং △PAQ প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
BAQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BQ² = AB² + AQ²– – – – (i)
PAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PC² = AP² + AC²– – – – (ii)
BAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = AC² + AB²– – – – (iii)
PAQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² = AP² + AQ²– – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
BQ² + PC² = AB² + AQ²+ AP² + AC²
বা, BQ² + PC² = (AC² + AB²) + (AP² + AQ²)
বা, BQ² + PC² = BC² + PQ² – – -[(iii) ও (iv) থেকে]
∴ BQ² + PC² = BC² + PQ² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22
8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB² + CD² = BC² + DA²

প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB² + CD² = BC² + DA²
প্রমাণ:– △AOB, △BOC, △COD, △DOA প্রতিটি ত্রিভুজই সমকোণী ত্রিভুজ।
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OB² + OA²– – – – (i)
BOC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BC² = OB² + OC²– – – – (ii)
COD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
CD² = OC² + OD²– – – – (iii)
DOA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DA² = OD² + OA²– – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
AB² + CD² = OB² + OA² + OC² + OD²
বা, AB² + CD² = (OB² + OC²) + (OA² + OD²)
বা, AB² + CD² = BC² + DA² – – -[(iii) ও (iv) থেকে]
∴ AB² + CD² = BC² + DA² [Proved]
Solution of Koshe dekhi 22
9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB² – AC² = BD² – CD²

প্রদত্তঃ △ABC-এর উচ্চতা AD এবং AB > AC;
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB² – AC² = BD² – CD²
প্রমাণ: △ABC-এর AD উচ্চতা
∴ AD ⟂ BC
∴ △ADB ও △ADC প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AD² + BD² – – – – (i)
ACD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AD² + CD² – – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
AB² – AC² = AD² + BD² – AD² – CD²
বা, AB² – AC² = BD² – CD² [Proved]
Solution of Koshe dekhi 22
10. 10. △ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC² + BP² = AB² + CP²

প্রদত্তঃ △ABC-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB (AC > AB)বাহুদুটির উপর লম্ব যথাক্রমে BD ও CE পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC² + BP² = AB² + CP²
অঙ্কনঃ A, P যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ △ABC –এর BD ⟂ AC ও CE ⟂ AB
∴ AF ⟂ BC – – – [P লম্ববিন্দু]
∴ △AFC, △BFP, △AFB, △CFP প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ। AFC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AF² + CF² – – – – (i)
BFP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BP² = BF² + PF² – – – – (ii)
AFB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AF² + BF² – – – – (iii)
CFP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
CP² = PF² + CF² – – – – (iv)
(i) + (ii) করে পাই,
AC² + BP² = AF² + CF² + BF² + PF²
বা, AC² + BP² = AF² + BF² + PF² + CF²
বা, AC² + BP² = AB² + CP² – – – [(iii) ও (iv) থেকে]
∴ AC² + BP² = AB² + CP² [Proved]
Solution of Koshe dekhi 22
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD² + DB² = 2CD²

প্রদত্তঃ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু।
প্রামান্য বিষয়ঃ AD² + DB² = 2CD²
অঙ্কনঃ D বিন্দু থেকে AC এবং BC-এর উপর যথাক্রমে DE এবং DF লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমানঃ CEDF চতুর্ভুজের,
∠CED = ∠CFD = 90^o
আবার ∠C সমকোণ।
∴ CEDF এক্টী একটি আয়তক্ষেত্র।
∠ADE = ∠ABC – – – – [∵DE ∥ BC এবং AB ভেদক]
আবার ∠ABC = ∠BAC
△AED এর ∠ADE = ∠DAE
∴ AE = ED
অনুরূপে △DFB এড় থেকে প্রমাণ করা যায়
BF = DF
△AED সমকোণী ত্রিভুজের,
AD² = AE² + DE²
বা, AD² = DE² + DE² – – – [∵ AD = DE]
বা, AD² = 2DE² – – – (i)
অনুরূপে DFB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
BD² = 2DF² – – – (ii)
△DEC সমকোণী ত্রিভুজের,
CD² = DE² + CE²
বা, CD² = DE² + DF² – (iii)- – [∵ CE = DF]
(i) + (ii) করে পাই,
AD² + BD² = 2DE² + 2DF²
= 2(DE² + DF²)
= 2CD [(iii) নং থেকে]
∴ AD² + BD² = 2DE² (Proved)
Solution of Koshe dekhi 22
12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC² = CD² + 3AD²

প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD মধ্যমা।
প্রামান্য বিষয়ঃ BC² = CD² + 3AD²
প্রমানঃ ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ △CAD এবং △CAB ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
আবার CD মধ্যমা।
∴ AD = DB
∴ AB = 2AD
△CAB সমকোণী ত্রিভুজের,
BC² = AC² + AB²
বা, BC² = AC² + (2AD)²
বা, BC² = AC² + 4AD² – – – (i)
△CAD সমকোণী ত্রিভুজের,
CD² = AC² + AD² – – – (ii)
∵ BC² = AC² + 4AD²
= AC² + AD² + 3AD²
= CD² + 3AD² – – – [(ii) থেকে পাই]
∴ BC² = CD² + 3AD² (Proved)
13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ²

প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব ।
প্রামান্য বিষয়ঃ AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ²
অঙ্কনঃ O,A: O,B এবং O,C যুক্ত করা হল।
প্রমানঃ BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব
∴ △OXB, △OXC, △OYC, △OYA, △OZA এবং △OZB প্রতিটি ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
△OZA সমকোণী ত্রিভুজের,
AZ² = OA² – OZ² – – – (i)
△OXB সমকোণী ত্রিভুজের,
BX² = OB² – OX² – – – (ii)
△OYC সমকোণী ত্রিভুজের,
CY² = OC² – OY² – – – (iii)
△OYA সমকোণী ত্রিভুজের,
AY² = OA² – OY² – – – (iv)
△OXC সমকোণী ত্রিভুজের,
CX² = OC² – OX² – – – (v)
△OZB সমকোণী ত্রিভুজের,
BZ² = OB² – OZ² – – – (vi)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
AZ² + BX² + CY²
= OA² – OZ² + OB² – OX² + OC² – OY²
= OA² – OY² + OC² – OX² + OB² – OZ²
⇒ AY² + CX² + BZ² – – – [(iv), (v), (vi) থেকে পাই]
AZ² + BX² + CY² = AY² + CX² + BZ² (Proved)
14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY² + XT² = 5XY²

প্রদত্তঃ RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y;
প্রামান্য বিষয়ঃ RY² + XT² = 5XY²
প্রমানঃ RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ।
∴ △RSY, △TSX এবং △XSY প্রতিটি ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ।
△RSY সমকোণী ত্রিভুজের,
RY² = RS² + SY² – – – – (i)
△TSX সমকোণী ত্রিভুজের,
XT² = XS² + TS² – – – – (ii)
△XSY সমকোণী ত্রিভুজের,
XY² = XS² + SY² – – – – (iII)
(i) + (ii) করে পাই,
RY² + XT² = RS² + SY² + XS² + TS²
বা, RY² + XT² = (2XS)² + SY² + XS² + (2SY)² – – – [∵ RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; ]
বা, RY² + XT² = 4XS² + SY² + XS² + 4SY²
⇒ RY² + XT² = 5XS² + 5SY²
⇒ RY² + XT² = 5(XS² + SY²)
∴ RY² + XT² = 5XY² (Proved) – – – – [(iii) নং থেকে]
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.):
(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব (a) 34 মিটার, (b) 17 মিটার, (c) 26 মিটার, (d) 25 মিটার।
Ans: (c) 26 মিটার

এখাণে AB = 24 মিটার এবং BC = 10 মিটার
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
বা, AC² = 24² + 10²
বা, AC² = 576 + 100 = 676
∴ AC = √676 = 26]
(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD² = (a) ³/₂DC² (b) 2DC² (c) 3DC² (d) 4DC²
Ans: (c) 3DC²

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = BC = CA
আবার AD ⊥ BC
∴ BD = DC
∴ BC = 2DC
ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + DC² = AC²
বা, AD² = BC² – DC²
বা, AD² = (2DC)² – DC²
∴ AD² = 4DC² – DC² = 3DC²]
(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB² = – 2AC² হলে, ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°
Ans: (b) 90°
[ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের
AC = BCএবং
AB² = 2AC²
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = AC² + BC²
∴ ∠ACB = 90°]
(iv) 13 মিটার ও 7 মিটার উচ্চ দুটি দণ্ড ভূমিতলে লম্বভাবে অবস্থিত এবং তাদের পাদদেশের মধ্যে দূরত্ব 8 মিটার। তাদের শীর্ষদেশের মধ্যে দূরত্ব
(a) 9 মিটার (b) 10 মিটার (c) 11 মিটার (d) 12 মিটার।
Ans: (b) 10 মিটার

[এখানে BC = 13 মিটার, AD = 7 মিটার AB = 8
∴ CE = BC – AD = 13 – 7 = 6
∴ DEC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
DC² = DE² + EC²
বা, DC² = (8)² + (6)²
বা, DC² = 64 + 36 = 100
∴ DC = √100 = 10]
(v) একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি. এবং 10 সেমি. হলে, রম্বসটির পরিসীমা
(a) 13 সেমি. (b) 26 সেমি. (c) 52 সেমি. (d) 25 সেমি.।
Ans: (c) 52 সেমি.

[ABCD রম্বসের AB = 24 সেমি. এবং BD = 10 সেমি.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AO = ²⁴/₂ = 12 সেমি.
∴ BO = ¹⁰/₂ = 5 সেমি.
AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AO² + BO²
বা, AB² = (12)² + (5)²
বা, AB² = 144 + 25 = 169
∴ AB = √169 = 13
∴ রম্বসটির পরিসীমা = 4×13 সেমি.
= 52 সেমি.]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক, 4x একক এবং 5x একক
(3x)² + (4x)²
= 9x² +16x²
= 25x² = (5x)²
∴ ত্রিভুজের দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর বর্গের সমান।অতএব ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।]
(ii) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তে কোনো জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যাটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হবে।
Ans: মিথ্যা

[চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB জ্যা কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করেছে।
এখানে, OA = OB = 10 সেমি.
∴ AOB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = OA² + OB²
বা, AB² = (10)² + (10)²
বা, AB² = 100 + 100 = 200
∴ AB = √200 = 10√2]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের _______ সমান।
Ans: সমষ্টির
(ii) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি. হলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য _______ সেমি.।
Ans: 8
[ধরি, অতিভুজের দৈর্ঘ্য a সেমি.
∴ a² = (4√2)² + (4√2)²
বা, a² = 32 + 32
বা, a² = 64
∴ a = √64 = 8]
(ii) ABCD আয়তাকার চিত্রের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AB = 12 সেমি., AO = 6.5 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য _______ সেমি.।
Ans: 5
[আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ∴ AC = 2×6.5 = 13
এখানে, AB = 12 সেমি.।
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² + BC² = AC²
বা, (12)² + BC² = (13)²
বা, BC² = 169 – 144 = 25
∴ BC = √25 = 5]
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A.)
(i) ABC ত্রিভুজের AB= (2a – 1) সেমি., AC = 2√2a সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।
সমাধান:
AB² + AC²
= (2a – 1)² + (2√2a)²
= 4a² + 1 – 4a + 8a
⇒ 4a² + 1 + 4a
= (2a + 1)²
= BC²
∴ AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC সমকোণ।
∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC-এর মান 90^o
(ii) পাশের চিত্রে PQR ত্রিভুজের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে ∠POQ = 90^o, OP = 6 সেমি. এবং OQ = 8 সেমি.। যদি PR = 24 সেমি. এবং ∠QPR = 90^o হয়, তাহলে QR বাহুর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:

এখানে, OP = 6 সেমি. এবং OQ = 8 সেমি.
∠POQ = 90^o
∴ POQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PQ² = OP² + OQ²
= 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ PQ = √100 = 10
আবার PR = 24 সেমি. এবং ∠QPR = 90^o
∴ QPR সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
QR² = PQ² + PR²
= (10)² + (24)²
= 100 + 576 = 676
∴ QR = √676 = 26
Ans: QR বাহুর দৈর্ঘ্য 26 সেমি.।
(iii) ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
এখানে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.
ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু।
∴ AO² + OC² = BO² + OD²
∴ 5² + OC² = 6² + 8²
বা, OC² = 36 + 64 – 25
বা, OC² = 100 – 25 = 75
∴ OC = √75 = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.
(iv) ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব BC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। যদি BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি. এবং AD = 4 সেমি. হয়, তাহলে ∠BAC-এর পরিমাপ কত তা লিখি।

সমাধান:
ABC ত্রিভুজের A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব।
∴ △ADB ও △ADC উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ।
এখানে BD = 8 সেমি., DC = 2 সেমি. এবং AD = 4 সেমি.
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = BD² + AD²
= 8² + 4²
= 64 + 16 = 80
আবার ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AD² + DC²
= 4² + 2²
= 16 + 4 = 20
∴ BC = BD + DC = 8 + 2 = 10
এখন
AB² + AC² = 80 + 20
= 100 = (10)²
= BC²
AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC সমকোণ।
∴ ∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC-এর পরিমাপ 90^o
(v) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB = 3 সেমি., BC = 4 সেমি. এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
= 3² + 4²
= 9 + 16 = 25
∴ AC = √25 = 5
∵ BD ⊥ AC
∴ ¹/₂×AC×BD = ¹/₂×AB×BC
বা, AC×BD = AB×BC
বা, 5×BD = 4×3
∴ BD = ¹²/₅ = 2.4
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি.
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ △ABC এর ∠ABC = 90°, AB = 6 সেমি, BC = ৪ সেমি হলে △ABC এর পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
VIEW ANSER
▶️ PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90^o এবং PS, অতিভুজ QR-এর ওপর লম্ব। প্রমাণ করো যে ¹/_PS² – ¹/_PQ² = ¹/_PR²
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভূজ হবে।
Ans: সত্য
[15 দাগের অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীপ্রশ্নের (B) -এর (i) -এর মতো।]
▶️ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o, AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে, OB = 6 সেমি, OD=8 সেমি এবং OA = 5সেমি। OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?
VIEW ANSER
▶️ △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2√2a সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC এর মান লেখো।
VIEW ANSER
▶️ যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 21
KOSHE DEKHI 23.1
Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র

দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2

Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

সম্পাদ্যঃ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.1

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

Similarity Class X Koshe Dekhi 18.1 সদৃশতা

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone
May 5, 2024

Category: X-Mathematics

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

▶️ প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য, সূত্র ও ধর্মাবলী

2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30o তখন একটি স্তম্ভর ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

θ-এর মান (a) 30o (b) 45o (c) 60o (d) 75o Ans: (a) 30o

(v) একটি পোস্টের ভূমিতলে ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ (a) 30o (b) 45o (c) 60o (d) কোনোটিই নয় Ans: (a) 30o

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) △АВС এর ∠B = 90o, AB = BC হলে, ∠C = 60o

Ans: মিথ্যা[△АВС এর ∠B = 90o, AB = BCABC সমকোণী ত্রিভুজের, tan∠C = AB/BC⇒ tan∠C = AB/AB – – – – [∵ AB = BC] ⇒ tan∠C = 1 = tan45o ∴ ∠C = 45o]

(ii) PQ একটি বাড়ির উচ্চতা, QR ভূমি। P বিন্দু থেকে R বিন্দুর অবনতি কোণ ∠SPR; সুতরাং, ∠SPR = ∠PRQ.

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60o এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।

(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB = 50√3 মিটার হলে, ∠C এর মান নির্ণয় করি।

(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজ ∠B = 90o, ABর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB : BC : BD = √3 : 1 : 1, ∠ACD-এর মান নির্ণয় করি।

(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্য্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : । হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.

(ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS2 + QR2 = PR2 + QS2

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 22

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB2 + CD2 = BC2 + DA2

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB2 – AC2 = BD2 – CD2

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD2 + DB2 = 2CD2

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC2 = CD2 + 3AD2

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY2 + XT2 = 5XY2

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M. C. Q.):

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD2 = (a) 3/2DC2 (b) 2DC2 (c) 3DC2 (d) 4DC2Ans: (c) 3DC2

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB2 = – 2AC2 হলে, ∠C-এর পরিমাপ (a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S. A.)

(i) ABC ত্রিভুজের AB= (2a – 1) সেমি., AC = 2√2a সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে ∠BAC-এর মান লিখি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30^o তখন একটি স্তম্ভর ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

θ-এর মান (a) 30^o (b) 45^o (c) 60^o (d) 75^o
Ans: (a) 30^o

(v) একটি পোস্টের ভূমিতলে ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
(a) 30^o (b) 45^o (c) 60^o (d) কোনোটিই নয়
Ans: (a) 30^o

(i) △АВС এর ∠B = 90^o, AB = BC হলে, ∠C = 60^o

Ans: মিথ্যা
[△АВС এর ∠B = 90^o
, AB = BC
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
tan∠C = ^AB/_BC
⇒ tan∠C = ^AB/_AB – – – – [∵ AB = BC]
⇒ tan∠C = 1 = tan45^o
∴ ∠C = 45^o]

(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60^o এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।

(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজ ∠B = 90^o, ABর উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB : BC : BD = √3 : 1 : 1, ∠ACD-এর মান নির্ণয় করি।

4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে,প্রমাণ করি যে, PS² + QR² = PR² + QS²

6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে AB² + BC² + CA² = 4AD²

8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB² + CD² = BC² + DA²

9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ করি যে AB² – AC² = BD² – CD²

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD² + DB² = 2CD²

12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হালে, প্রমাণ করি যে, BC² = CD² + 3AD²

14. RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY² + XT² = 5XY²

(ii) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং AD ⊥ BC হলে, AD² = (a) ³/₂DC² (b) 2DC² (c) 3DC² (d) 4DC²
Ans: (c) 3DC²

(iii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AC = BC এবং AB² = – 2AC² হলে, ∠C-এর পরিমাপ
(a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) 60°