PROSTUTI

Category: X-Mathematics

  • কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    Koshe Dekhi 26.2 | Class 10| Statistics | Median | WBBSE | Ganit Prakash

    1. মধুবাবুর দোকানের গত সপ্তাহের প্রতিদিনের বিক্রয়লব্ধ অর্থ (টাকায়) হলো, 107, 210, 92, 52, 113, 75, 195; বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা নির্ণয় করি।
    Solution:
    প্রতিদিনের বিক্রয়লব্ধ অর্থ মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
    52, 75, 92, 107, 113, 195, 210
    এখানে n = 7 অর্থাৎ n অযুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = (n + 1)/2-তম মান
    = (7 + 1)/2-তম মান
    = 4-তম মান
    ⇒ 107
    Ans: বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা 107

    2. কিছু পশুর বয়স (বছরে) হলো 6, 10, 5, 4, 9, 11, 20, 18; বয়সের মধ্যমা নির্ণয় করি।
    Solution:
    পশুর বয়সগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
    4, 5, 6, 9, 10, 11, 18, 20
    এখানে n = 8 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[8/2-তম মান + (8/2 + 1)-তম মান]
    = ½[4-তম মান + 5-তম মান]
    = 1/2(9 + 10) = 9.5
    Ans: পশুর বয়সের মধ্যমা 9.5

    দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    3. 14 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর হলো, 42, 51, 56, 45, 62, 59, 50, 52, 55, 64, 45, 54, 58, 60; প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা নির্ণয় করি।
    Solution:
    14 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
    42, 45, 45, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64
    এখানে n = 22 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[14/2-তম মান + (14/2 + 1)-তম মান]
    = ½[7-তম মান + 8-তম মান]
    = 1/2(54 + 55) = 54.5
    Ans: ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা 54.5

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী

    4. আজ পাড়ার ক্রিকেট খেলায় আমাদের স্কোর হলো,
    7 9 10 11 11 8 7 7 10 6 9
    7 9  9  6  6  8  8 9 8  7 8
    ক্রিকেট খেলায় আমাদের স্কোরের মধ্যমা নির্ণয় করি।
    Solution:
    ক্রিকেট খেলার স্কোরগুলি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
    6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11
    এখানে n = 22 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[22/2-তম মান + (22/2 + 1)-তম মান]
    = ½[11-তম মান + 11-তম মান]
    = 1/2(8 + 8) = 8
    Ans: ক্রিকেট খেলায় আমাদের স্কোরের মধ্যমা 8

    5. নীচের 70 জন ছাত্রের ওজনের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ওজনের মধ্যমা নির্ণয় করি।

    ওজন (কিগ্রা.)4344454647484950
    ছাত্র সংখ্যা468141210115

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    ওজন (কিগ্রা.)ছাত্র সংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    4344
    44610
    45818
    461432
    471244
    481054
    491165
    50570 = n

    এখানে n = 70 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[70/2-তম মান + (70/2 + 1)-তম মান]
    = ½[35-তম মান + 36-তম মান]
    = 1/2(47 + 47) = 47
    Ans: 70 জন ছাত্রের ওজনের মধ্যমা 47 কিগ্রা.

    মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2024) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

    6. নলের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের (মিমি.) পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে ব্যাসের দৈর্ঘের মধ্যমা নির্ণয় করি।

    ব্যাসের দৈর্ঘ্য (মিমি.)1819202122232425
    পরিসংখ্যা341015251364

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    ব্যাসের দৈর্ঘ্য (মিমি.) পরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    1833
    1947
    201017
    211532
    222557
    231370
    24676
    25480 = n

    এখানে n = 80 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[80/2-তম মান + (80/2 + 1)-তম মান]
    = ½[40-তম মান + 41-তম মান]
    = 1/2(20 + 20) = 20
    Ans: নলের ব্যাসের দৈর্ঘের মধ্যমা 20 মিমি.।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী
    7. মধ্যমা নির্ণয় করি:

    x0123456
    f7443516782

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    x fক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    077
    14451
    23586
    316102
    49111
    54115
    61116 = n

    এখানে n = 116 অর্থাৎ n যুগ্ম।
    ∴ নির্নেয় মধ্যমা = 1/2[116/2-তম মান + (116/2 + 1)-তম মান]
    = ½[58-তম মান + 59-তম মান]
    = 1/2(2 + 2) = 2  (Ans)

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

    8. আমাদের 40 জন শিক্ষার্থীর প্রতি সপ্তাহে টিফিন খরচের (টাকায়) পরিসংখ্যা হলো,

    টিফিন খরচ (টাকায়)35 – 4040 – 4545 – 5050 – 5555 – 6060 – 6565 – 70
    শিক্ষার্থী3569782

    টিফিন খরচের মধ্যমা নির্ণয় করি।

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    টিফিন খরচ (টাকায়) শিক্ষার্থীক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    35 – 4033
    40 – 4558
    45 – 50614
    50 – 55923
    55- 60730
    60 – 65838
    65 – 70240 = N

    এখানে,  N = Σfi = 40
    ∴ N/2 = 40/2 = 20
    এখানে, 20-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 50 – 55
    ∴ 50 – 55 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 50; N = 40; C = 14; f_{m} = 9; h = 5]\\\quad =50 + \left(\frac{\frac{40}{2} – 14}{9}\right).5\\\quad =50 + \left(\frac{20 – 14}{9}\right).5\\\quad =50 + \left(\frac{10}{3}\right)\\\quad =50 +3.33=53.33}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 53.33

    কষে দেখি 26.3

    9. নীচের তথ্য থেকে ছাত্রদের উচ্চতার মধ্যমা নির্ণয় করি:

    উচ্চতা (সেমি.)135 – 140140 – 145145 – 150150 – 155155 – 160160 – 165165 – 170
    ছাত্রদের সংখ্যা610192220167

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    উচ্চতা (সেমি.) ছাত্রদের সংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    135 – 14066
    140 – 1451016
    145 – 1501935
    150 – 1552257
    155- 1602077
    160 – 1651693
    165 – 1707100 = N

    এখানে,  N = Σfi = 100
    ∴ N/2 = 100/2 = 50
    এখানে, 50-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 150 – 155
    ∴ 150 – 155 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 150; N = 100; C = 35; f_{m} = 22; h = 5]\\\quad =150 + \left(\frac{\frac{100}{2} – 35}{22}\right).5\\\quad =150 + \left(\frac{50 – 35}{22}\right).5\\\quad =150 + \left(\frac{75}{22}\right)\\\quad =150 +3.41=153.41}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 153.41

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী10. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করি:

    শ্রেণি-সীমানা0 – 1010 – 2020 – 3030 – 4040 – 5050 – 6060 – 70
    পরিসংখ্যা4710151085

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি সীমানা পরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    0 – 1044
    10 – 20711
    20 – 301021
    30 – 401536
    40 – 501046
    50 – 60854
    60 – 70559 = N

    এখানে,  N = Σfi = 59
    ∴ N/2 = 59/2 = 29.5
    এখানে, 29.5–এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15 – 20
    ∴ 15 – 20 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 30; N = 59; C = 21; f_{m} = 15; h = 10]\\\quad =30 + \left(\frac{\frac{59}{2} – 21}{15}\right).10\\\quad =30 + \left(\frac{29.5 – 21}{15}\right).10\\\quad =30 + \left(\frac{85}{15}\right)\\\quad =30 +5.67=30.67}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 30.67

    11 . নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

    শ্রেণি-সীমানা5 – 1010 – 1515 – 2020 – 2525 – 3030 – 3535 – 4040 – 45
    পরিসংখ্যা5615105432

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি সীমানা পরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    5 – 1055
    10 – 15611
    15 – 201526
    20 – 251036
    25 – 30541
    30 – 35445
    35 – 40348
    40 – 45250 = N

    এখানে,  N = Σfi = 50
    ∴ N/2 = 50/2 = 25
    এখানে, 25-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15 – 20
    ∴ 15 – 20 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 15; N = 50; C = 11; f_{m} = 15; h = 5]\\\quad =15 + \left(\frac{\frac{50}{2} – 11}{15}\right).5\\\quad =15 + \left(\frac{25 – 11}{15}\right).5\\\quad =15 + \left(\frac{14}{3}\right)\\\quad =15 +4.67=19.67}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 19.67

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    12. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

    শ্রেণি-সীমা1-56 – 1011 – 1516 – 2021 – 2526 – 3031 – 35
    পরিসংখ্যা2367543

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমাশ্রেণি সীমানা পরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    1 – 50.5 – 5.522
    6 – 105.5 – 10.535
    11 – 1510.5 – 15.5611
    16 – 2015.5 – 20.5718
    21 – 2520.5 – 25.5523
    26 – 3025.5 – 30.5427
    31 – 3530.5 – 35.5330 = N

    এখানে,  N = Σfi = 30
    ∴ N/2 = 30/2 = 15
    এখানে, 15-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15.5 – 20.5
    ∴ 15.5 – 20.5 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 15.5; N = 30; C = 11; f_{m} = 7; h = 5]\\\quad =15.5 + \left(\frac{\frac{30}{2} – 11}{7}\right).5\\\quad =15.5 + \left(\frac{15 – 11}{7}\right).5\\\quad =15.5 + \left(\frac{20}{7}\right)\\\quad =15.5 +2.86=18.36}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 18.36

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী
    13. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

    শ্রেণি-সীমা51-6061-7071-8081-9091-100101-110
    পরিসংখ্যা4101520154

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমাশ্রেণি সীমানা পরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    51 – 6050.5 – 60.544
    61 – 7060.5 – 70.51014
    71 – 8070.5 – 80.51529
    81 – 9080.5 – 90.52049
    91 – 10090.5 – 100.51564
    101 – 110100.5 – 110.5468 = N

    এখানে,  N = Σfi = 68
    ∴ N/2 = 68/2 = 34
    এখানে, 34-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 80.5 – 90.5
    ∴ 80.5 – 90.5 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h \\\quad\quad [l = 80.5; N = 68; C = 29; f_{m} = 20; h = 10]\\\quad =80.5 + \left(\frac{\frac{68}{2} – 29}{20}\right).10\\\quad =80.5 + \left(\frac{34 – 29}{20}\right).10\\\quad =80.5 + \left(\frac{5}{2}\right)\\\quad =80.5 +2.5=83}\)

    Ans: তথ্যের মধ্যমা 83

    14. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করি:

    নম্বরছাত্রীদের সংখ্যা
    10-এর কম12
    20-এর কম22
    30-এর কম40
    40-এর কম60
    50-এর কম72
    60-এর কম87
    70-এর কম102
    80-এর কম111
    90-এর কম120

    Solution:
    প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমা
    (নম্বর)    		শ্রেণি সীমানাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা    		পরিসংখ্যা
    (শিক্ষার্থী সংখ্যা)
    10-এর কম10-এর কম88
    20-এর কম10-2015(15-8)=7
    30-এর কম20-3029(29-15)=14
    40-এর কম30-4042(42-29)=13
    50-এর কম40-5060(60-42)=18
    60-এর কম50-6070(70-60)=10
    মোটN=70

    এখানে,  N = Σfi = 70
    ∴ N/2 = 70/2 = 35
    এখানে, 35-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 30-40
    ∴ 30 – 40 হল মধ্যমা শ্রেনি।
    ∴ মধ্যমা =

    \(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

    এখানে l = 30; N = 70; C = 29; fm = 13; h = 10]

    \(\Large{ = 30 + \left(\frac{35 – 29}{13}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{60}{13}\\ = 30 + \frac{60}{13}}\)

    = 30 + 4.615 = 34.62 (প্রায়)
    Ans: তথ্যটির মধ্যমা 34.62

    কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী
    15. নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100;

    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা
    0 – 1010
    10 – 20x
    20 – 3025
    30 – 4030
    40 – 50y
    50 – 6010

    Solution:
    প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যাক্ষুদ্রতর সূচক
    ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
    0 – 101010
    10 – 20x10 + x
    20 – 302535 + x
    30 – 403065 + x
    40 – 50y65 + x + y
    50 – 601075 + x + y

    এখানে,  N = 75 + x + y
    প্রশ্নানুযায়ী,
    75 + x + y = 100
    ∴ x + y = 25 – – – – (i)
    আবার মধ্যমা = 32
    ∴ 30-40 হল মধ্যমা শ্রেনি।

    \(\Large{ ∴ 32 = l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h\\\quad\quad\quad[ l = 30; N = 100; C = 35+x; f_{m} = 30; h = 10]\\⇒32-30 = \left(\frac{50 – (35+x)}{30}\right).10\\⇒2 = \frac{15-x}{3}\\⇒6 = 15-x\\⇒x=9}\)

    (i) নং থেকে পাই,
    9 +y = 25
    বা, y = 25 – 9 = 16
    Ans: x-এর মান 9
    ও y-এর মান 16

    KOSHE DEKHI 26.1
    KOSHE DEKHI 26.3
  • Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    কষে দেখি ২৪ ।। Koshe Dekhi 24 || Class 10 || পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    Koshe Dekhi 24

    1. মান নির্ণয় করি:
    (i) sin38o/cos52o
    (ii) cosec79o/sec11o
    (iii) tan27o/cot63o

    (i)
    প্রদত্ত রাশি
     = sin38o/cos52o
    = sin38o×sec52o
    ⇒ sin38o×sec(90o – 38o)
    = sin38o×cosec38o
    = 1 (Ans)

    (ii)
    প্রদত্ত রাশি
     = cosec79o/sec11o
    = cosec79o×sec11o
    ⇒ cosec79o×sec(90o – 79o)
    = cosec79o×cos79o
    = 1 (Ans)

    (iii)
    প্রদত্ত রাশি
     = tan27o/cot63o
    = tan27o×tan63o
    ⇒ tan27o×tan(90o – 27o)
    = tan27o×cot27o
    = 1 (Ans)

    Koshe Dekhi 24
    2. দেখাই যে:
    (i) sin66o – cos24o = 0
    (ii) cos257o + cos233o = 1
    (iii) cos275o – sin215o = 0
    (iv) cosece248o – tan242o = 1
    (v) sec70o sin20o + cos20ocosec70o = 2

    (iii)
    L.H.S.
    = sin66o – cos24o
    = sin66o – cos(90o – 66o)
    ⇒ sin66o – sin66o
    = 0 = R.H.S. (Proved)

    (ii)
    L.H.S.
    = cos257o + cos233o
    = cos257o + cos2(90o – 57o)
    ⇒ cos257o + sin257o
    ⇒ 1 = R.H.S. (Proved)

    (iii)
    L.H.S.
    = cos275o – sin215o
    = cos275o – sin2(90o – 75o)
    ⇒ cos275o – cos275o
    = 0 = R.H.S. (Proved)

    Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

    (iv)
    L.H.S.
    = cosece248o – tan242o
    = cosece248o – tan2(90o – 48o)
    ⇒ cosece248o – cot248o
    ⇒ 1 = R.H.S. (Proved)

    (v)
    L.H.S.
    = sec70o sin20o + cos20ocosec70o
    = sec70o sin(90o – 70o) + cos(90o – 70o)cosec70o
    ⇒ sec70o×cos 70o + sin70o×cosec70o
    = 1 + 1 = 2 = R.H.S. (Proved)

    Koshe Dekhi 24
    3. (i) যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
    sin2α + sin2β = 1

    Solution:
    α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
    ∴ α + β = 90o
    বা, β = 90o – α
    L.H.S.
    = sin2α + sin2β
    = sin2α + sin2(90o – α)
    ⇒ sin2α + cos2α – – – [∵ sin2α + cos2α = 1 ]
    = 1 = R.H.S. (Proved)

    3. (ii) যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
    cotβ + cosβ = cosβ/cosα(1 + sinβ)

    Solution:
    α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
    ∴ α + β = 90o
    বা, β = 90o – α
    L.H.S.
     = cotβ + cosβ
    = cosβ/sinβ + cosβ
    ⇒ cosβ(1/sinβ + 1)
    = cosβ(1 +sinβ/sinβ)
    ⇒ cosβ[1 +sinβ/sin(90o – α)]
    = cosβ[1 +sinβ/cosα]
    = cosβ/cosα(1 + sinβ) = R.H.S. (Proved)

    3. (iii) যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
    secα/cosα – cot2β = 1

    Solution:
    α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
    ∴ α + β = 90o
    বা, β = 90o – α
    L.H.S.
     = secα/cosα – cot2β
    = secα×secα – cot2(90o – α) – – – [∵ 1/cosα = secα]
    ⇒ sec2α – tan2α
    = 1 = R.H.S. (Proved)

    Koshe Dekhi 24

    4. যদি sin 17o = x/y হয়, তাহলে দেখাও যে,

    \(\Large{\mathbf{sec17^o-sin73^o=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\Solution}}\)
    \(\Large{\quad sin17^o=\frac{x}{y}}\\∴cos17^o=\sqrt{1-sin^217^o}\\\quad=\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}\\\quad=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\∴sec17^o=\frac{1}{cos17^o}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}\\sin73^o=sin(90-73)^o\\=cos17^o\\=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y} \)

    L.H.S.

    \(\Large{\quad sec17^o-sin73^o\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}-\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\\quad=\frac{y^2-(\sqrt{y^2-x^2})^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{y^2-y^2+x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

    5. দেখাই যে, sec212o – 1/tan278o = 1

    L.H.S.
     = sec212o – 1/tan278o
    = sec212o – cot278o – – – [∵ 1/tanθ = cotθ]
    ⇒ sec212o – cot2(90o – 12o)
    = sec212o – tan212o
    = 1 = R.H.S. (Proved)

    6. ∠A + ∠B = 90o হলে, দেখাই যে, 1 + tanA/tanB = sec2A

    Solution:
    ∠A + ∠B = 90o
    ∴ ∠B = 90o – ∠A
    L.H.S.
    = 1 + tanA/tanB
    = 1 + tanA/tan(90o – ∠A)
    ⇒ 1 + tanA/cotA
    = 1 + tanA×tanA – – – [∵ 1/cotA = tanA]
    = 1 + tan2A
    ⇒ sec2A = R.H.S. (Proved)

    Koshe Dekhi 24
    7. দেখাই যে, cosec222o cot268o = sin222o +sin2 68o+cot268o

    L.H.S.
    = cosec2(90o – 68o)× cot268o
    = sec268o× cot268o
    ⇒ sec268o× cos268o/sin268o
    = 1/sin268o – – – [∵ secθ×cosθ =1]
    = cosec268o – – – [∵ 1/sinθ = cosecθ]
    ⇒ 1 + cot268o – – – [∵ cosec2θ = 1 + cot2θ]
    = sin222o + cos222o + cot268o – – – [∵ sin2θ + cos2θ= 1]
    = sin222o + cos2(90o – 68o) + cot268o
    ⇒ sin222o + sin268o + cot268o = R.H.S. (Proved)

    8. যদি ∠P + ∠Q = 90o হয় তবে দেখাও যে,

    \(\Large{\quad\mathbf{\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ=cos^2p}}\)

    Solution:
    ∠P + ∠Q = 90o
    ∴ ∠Q = 90o – ∠P
    L.H.S.

    \(\Large{\quad\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ}\\=\sqrt{\frac{sinP}{cos(90^o-P)}}-sinPcos(90^o-P)\\=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}}-sinPsinP\)

    = 1 -sin2P
    = cos2P = R.H.S. (Proved)

    9. প্রমাণ করি যে, cot12ocot38ocot52ocot78ocot60o = 1/√3

    L.H.S.
    = cot12ocot38ocot52ocot78ocot60o
    = cot12ocot78ocot52ocot38ocot60o
    ⇒ cot12ocot(90o – 12o)cot52ocot(90o – 52o)×cot60o
    = (cot12o×tan12o)×(cot52o×tan52o)× 1/√3
    = 1×1× 1/√3 = 1/√3 = R.H.S. (Proved)

    10. O কেন্দ্রীয় যে-কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O. C যুক্ত করে দেখাই যে,
    (i) tan∠ABC = cot∠ACO
    (ii) sin2∠BCO + sin2∠ACO = 1
    (iii) cosec2∠CAB – 1 = tan2∠ABC

    C O A B Solution:

    (i) tan∠ABC = cot∠ACO

    Solution:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু।
    ∴ ∠ACB = 90o
    ∴ ∠CAB + ∠ABC = 90o
    আবার ACO ত্রিভুজের AO = CO
    ∴ ∠CAO = ∠ACO – – – (i)
    L.H.S.
    ⇒ tan∠ABC
    = tan(90o – ∠CAB)
    = cot∠CAB
    ⇒ cot∠CAO
    = cot∠ACO – – – [(I) নং থেকে]
    = cot∠ACO = R.H.S. (Proved)

    (ii) sin2∠BCO + sin2∠ACO = 1

    Solution:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু।
    ∴ ∠ACB = 90o
    ∴ ∠BCO + ∠ACO = 90o
    L.H.S.
    = sin2∠BCO + sin2∠ACO
    = sin2∠BCO + sin2(90o – ∠BCO)
    ⇒ sin2∠BCO + cos2∠BCO
    = 1 = R.H.S. (Proved)

    (iii) cosec2∠CAB – 1 = tan2∠ABC

    Solution:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু।
    ∴ ∠ACB = 90o
    ∴ ∠CAB + ∠ABC = 90o
    L.H.S.
    = cosec2∠CAB – 1
    = cosec2(90o – ∠ABC) – 1
    ⇒ sec2∠ABC – 1
    = tan2∠ABC = R.H.S. (Proved)

    11. ABCD একটি আয়তাকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে,
    (i) tan∠ACD = cot∠ACB
    (ii) tan2∠CAD + 1 = 1/sin2∠BAC

    C D A B Solution:

    (i) tan∠ACD = cot∠ACB

    L.H.S.
    = tan∠ACD
    = tan(90o – ∠ACB) – – – [∵ ABCD একটি আয়তাকার চিত্র।∴ ∠BCD = 90o]
    ⇒ cot∠ACB = R.H.S (Proved)

    (ii) tan2∠CAD + 1 = 1/sin2∠BAC

    R.H.S.
    = 1/sin2∠BAC
    = cosec2∠BAC
    ⇒ cosec2 (90o – ∠CAD) – – – [∵ ABCD একটি আয়তাকার চিত্র।∴ ∠DAB = 90o]
    = sec2∠CAD
    = tan2∠CAD + 1 = L.H.S (Proved)

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    Koshe Dekhi 24
    12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহু বিকল্পীয়  প্রশ্ন (M.C.Q.):

    (i)  (sin43ocos47o + cos43o sin47o) -এর মান
    (a) 0 (b) 1 (c) sin4o (d) cos4o

    Ans:  (b) 1
    [ sin43ocos47o + cos 43osin47o
    = sin43ocos(90o – 43o) + cos43osin(90o – 43o)
    = sin43o×sin43o + cos 43o×cos43o
    =sin243o+ cos243o = 1]

    (ii) (tan35o/cot55o  + cot78o/tan 12o)- এর মান
     (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) কোনোটিই নয়

    Ans:  (c) 2
    [ tan35o/cot55o  + cot78o/tan12o
    = tan35o/cot(90o – 35o) + cot78o/tan(90o – 78o)
    = tan35o/tan35o  + cot78o/cot78o
    ⇒ 1 + 1 = 2]

    (iii) {cos (40° + θ) – sin (50°- θ)}-এর মান
    (a) 2cosθ (b) 7sinθ (c) 0 (d) 1 

    Ans: (c) 0
    [ {cos (40° + θ) – sin (50° – θ)}
    = cos (40° + θ) – sin (90° – 40° – θ)
    = cos (40° + θ) – sin{90° – (40° + θ)}
    ⇒ cos (40° + θ) – cos(40° + θ)
    = 0]

    (iv) ABC একটি ত্রিভুজ। sin (B+C/2) =
    (a) sinA/2 (b) cosA/2 (c) sinA (d) cosA

    Ans:  (b) cosA/2
    [ ABC একটি ত্রিভুজ।
    ∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180o
    বা, ∠B + ∠C = 180o – ∠A
    ∴ sin(B+C/2) = sin (180o – A/2)
    = sin (90o – A/2)
    = cosA/2]

    (v) A + B = 90o এবং tanA = 3/4 হলে, cot B-এর মান
    (a) 3/4 (b) 4/3 (c) 3/5 (d) 4/5

    Ans:  (a) 3/4
    [tanA= 3/4
    বা, tan(90o – B) = 3/4
    বা, cotB= 3/4]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

    (i) cos54o এবং sin 36o-এর মান সমান।
    Ans:     সত্য
    [cos54o = cos(90o – 36o) = sin36o]

    (ii) (sin12o – cos78o)-এর সরলতম মান 1.
    Ans: মিথ্যা
    [ sin12o – cos78o
    = sin12o – cos(90o – 12o)
    = sin12o – sin12o= 0]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

    (i) (tan15o× tan45o×tan60o×tan75o)-এর মান  _________।

    Ans: √3
    [ tan15o×tan45o × tan60o×tan75o
    = tan15o×1×√3×tan(90o-15o)
    = √3×tan15o×cot15o
    ⇒ √3×1=√3]

    (ii) (sin 12o× cos18o× sec 78o×cosec72o)-এর মান _________।

    Ans:  1
    [ sin 12o×cos18o×sec78o×cosec72o
    = sin 12o×cos18o×sec(90o-12o)×cosec(90o-18o)
    = sin 12o× cos18o × cosec12o×sec18o
    ⇒ (sin 12o×cosec12o)×(cos18o×sec18o)
    = 1×1=1]

    (iii) A এবং B পরস্পর পূরক কোণ হলে, sinA = _________।

    Ans:  cosB
    [ A এবং B পরস্পর পূরক কোণ।
    ∴ A + B = 90o
    ∴ sinA = sin(90o – B) = cosB]

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

    (i) sin 10θ = cos 8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হালে, tan 9θ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    sin10θ = cos8θ
    ⇒ sin10θ = sin(90o – 8θ)
    ⇒ 10θ = 90o – 8θ
    বা, 10θ + 8θ = 90o
    ⇒ 18θ = 90o
    ⇒ θ = 5o
    ∴ tan9θ = tan9×5o
    = tan45o = 1
    Ans: tan 9θ-এর মান 1

    (ii) tan4θ×tan6θ= 1 এবং 6θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    tan4θ×tan6θ = 1
    ⇒ tan6θ = 1/tan4θ
    ⇒ tan6θ = cot4θ
    বা,tan6θ = tan(90o – 4θ)
    ⇒ 6θ = 90o – 4θ
    ⇒ 6θ + 4θ = 90o
    ∴ 10θ = 90o
    ∴ θ = 9o
    Ans: θ-এর মান 9o

    \(\Large{\mathbf{(iii)\quad\frac{2sin^263^o+1+2sin^227^o}{2cos^217^o-2+3cos^273^o}}}\)

    -এর মান নির্ণয় করি।
    Solution:

    \(\Large{\quad\frac{2sin^263^o+1+2sin^227^o}{3cos^217^o-2+3cos^273^o}}\\=\frac{2sin^263^o+1+2sin^2(90^o-63^o)}{3cos^217^o-2+3cos^2(90^o-17^o)}\\=\frac{2sin^263^o+1+2cos^263^o}{3cos^217^o-2+3sin17^o}\\=\frac{2(sin^263^o+cos^263^o)+1}{3(cos^217^o+sin17^o-2}\\=\frac{2×1+1}{3×1-2}\\=\frac{3}{1}=3\quad\mathbf{Ans}\)

    (iv) (tan 1oxtan 2ox tan 3o – – – – – – – tan 89°)-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    tan 1oxtan2oxtan3o – – – – – – – tan89o
    = tan1oxtan2oxtan3o – – – – – – – tan87oxtan88oxtan89o
    = tan1oxtan2oxtan3o – – – – – – tan(90o-3o)xtan(90o-2o)xtan(9o-1o)
    বা, tan1oxtan2oxtan3o – – – – – – – cot3oxcot2oxcot1o
    = (tan1oxcot 1o)×(tan2oxcot2o)×(tan3o×cot3o) – – – -×tan45o× – – – (tan89oxcot89o)
    = 1×1×1- – – ×1× – – – ×1 = 1
    Ans: নির্নেয় মান 1

    (v) sec 5A = cosec (A+36°) এবং 5A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, A-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution:
    sec 5A = cosec (A+36o)
    ⇒ sec 5A = sec{90o – (A+36o)}
    ⇒ 5A = 90o – A – 36o
    বা,5A + A = 90o – 36o
    ⇒ 6A = 54o
    ⇒ A = 9o
    Ans: A-এর মান 9o

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ iv) sin (θ – 30o) = 1/2 হলে cos θ এর মান হবে _______________
    Ans:     1/2
    [ sin (θ – 30o) = 1/2
    ⇒ sin (θ – 30o) = sin30o
    ⇒ θ – 30o = 30o
    বা, θ = 30o + 30o
    ⇒ θ = 60o
    ∴ cosθ = cos60o = 1/2

    ▶️ যদি sin 17o = x/y হয়, তাহলে দেখাও যে,

    \(\Large{\mathbf{sec17^o-sin73^o=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ ∠A এবং  ∠B দ্বয় পূরক কোণ হলে  ∠A + ∠B  = __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans: 90o

    MP-2020

    ▶️ যদি sin 17o = x/y হয়, তাহলে দেখাও যে,

    \(\Large{\mathbf{sec17^o-sin73^o=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}}}\)
    VIEW ANSER

    ▶️ tan4θ.tan6θ = 1 এবং 6θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2019

    ▶️ যদি ∠P + ∠Q = 90o হয় তবে দেখাও যে,

    \(\Large{\quad\mathbf{\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ=cos^2p}}\)
    VIEW ANSER

    ▶️ cos 53o/sin37o -এর সরলতম মান _______। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     1
    [ cos 53o/sin37o
    =cos 53o/cos(90o – 53o)
    =cos 53o/cos53o) = 1]

    ▶️ sin 10θ = cos8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, tan9θ-এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ sec227o – cot263o -এর সরলতম মান 1(সত্য / মিথ্যা).

    Ans: সত্য
    [sec227o – cot263o
    = sec227o – cot2(90o – 27o)
    ⇒ sec227o – tan227o
    = 1]

    ▶️ tan35otan55o = sinθ হলে, θ-এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান ________ হবে । (শূন্যস্থান পূরণ)

    Ans: 90o
    [ tan35otan55o = sinθ
    ⇒ tan35otan(90o-35o) = sinθ
    ⇒ tan35ocot35o = sinθ
    ∴ 1 = sinθ
    ⇒ sin90o = sinθ
    ∴ θ = 90o]

    ▶️ (c) মান নির্ণয় করো:

    \(\Large{\mathbf{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ tan (θ + 15o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ sinθ = cosθ হলে 2θ-এর মান হবে
    (a) 30o (b) 60o (c) 45o (d) 90o

    Ans: (d) 90o
    [ sinθ = cosθ
    ⇒ sinθ/cosθ = 1
    ⇒ tanθ = tan45o
    ∴ θ = 45o
    ∴ 2θ = 2×45o = 90o]

    ▶️ যদি  tan9o = a/b হয় তবে প্রমাণ কর যে,

    \(\large{\quad\mathbf{\frac{sec^281^o}{1+ cot^281^o}=\frac{b^2}{a^2}}\\\mathbf{Solution:}}\)
    VIEW ANSER
    KOSHE DEKH 23.3
    KOSHE DEKHI
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights