Category: X-Mathematics

Simple Interest of Class-X কষে দেখি-২
Simple Interest ।। সরল সুদকষা কষে দেখি – ২ ।। দশম শ্রেণির গণিত ।। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান ।। Simple Interest of Class-X ।।
গণিত প্রকাশ সমাধান
সরল সুদকষা কষে দেখি – ২ ।। দশম শ্রেণির গণিত ।। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান ।। Simple Interest of Class-X ।।
এই পোস্টে আমরা দশম শ্রেণির দ্বিতীয় অধ্যায়ের সরল সুদ নিয়েই আলোচনা করবো। পরের পোস্টে চক্রবৃদ্ধি সুদ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।

আমরা দৈনন্দিন জীবনে প্রায়ই দেখি বিভিন্ন প্রয়োজনে মানুষ যখন তার প্রয়োজনীয় অর্থ জোগাড় করতে পারে না তখন তারা বিভিন্ন ব্যাঙ্ক বা কোন আর্থিক প্রতিষ্ঠান থেকে অর্থ ধার বা ঋণ করে, আবার অনেকে তার প্রয়োজনের অতিরিক্ত অর্থ ভবিষ্যতের সুরক্ষার জন্য বিভিন্ন ব্যাঙ্ক বা আর্থিক প্রতিষ্ঠানে গচ্ছিত রাখে।
এ সমস্ত ক্ষেত্রে ধার বা ঋণ গ্রহিতাকে তার ধার বা ঋণ শোধ করার সময় গৃহীত ধার বা ঋণের সাথে কিছু অতিরিক্ত অর্থ প্রদান করতে হয়, আবার ব্যাঙ্ক বা আর্থিক প্রতিষ্ঠানে গচ্ছিত রাখা অর্থের উপরও ব্যাঙ্ক বা আর্থিক প্রতিষ্ঠান, যে গচ্ছিত রেখেছেন তাকে অতিরিক্ত অর্থ প্রদান করে। এই অতিরিক্ত অর্থকে সুদ বলা হয়। আর যে টাকা ধার নেওয়া হয় বা গচ্ছিত রাখা হয় তাকে আসল বলা হয়।

সুদ দুই প্রকার যথা –
(i) সরল সুদ ও
(ii) চক্রবৃদ্ধি সুদ
Simple Interest
সরল সুদ সংক্রান্ত কিছু সংজ্ঞাঃ

সরল সুদঃ যে সুদ শুধুমাত্র আসলের ওপর হিসাব করা হয় তাকে সরল সুদ বলে। সরল সুদের ক্ষেত্রে আসলের কোন পরিবর্তন হয় না।
আসলঃ যে পরিমাণ টাকা ধার দেওয়া হয় বা নেওয়া হয় তাকে আসল বলে।
সুদঃ কোন টাকা ধার করলে, ধার পরিশোধ করার সময় আসল ছাড়া অতিরিক্ত যে টাকা দিতে হয় বা ব্যাংক বা কোন আর্থিক প্রতিষ্ঠানে টাকা গচ্ছিত রাখলে টাকা ফেরত নেওয়ার সময় যে অতিরিক্ত অর্থ পাওয়া যায় তাকেই সুদ বলে।
সময়ঃ যে সময়ের জন্য কোন টাকা ধার নেওয়া হয় বা ধার দেওয়া হয় অথবা কোনো ব্যাংক বা প্রতিষ্ঠানে জমা রাখা হয় তাকেই সময় বলে।
সুদের হারঃ একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর একটি নির্দিষ্ট টাকার উপর অতিরিক্ত যে টাকা পাওয়া যায় তাকেই সুদের হার বলে।
সুদ-আসল বা সুদাসল বা সবৃদ্ধিমূলঃ সুদ ও আসল যোগ করে যে পরিমাণ টাকা হয় তাকে সবৃদ্ধিমূল বলে।
∴ সবৃদ্ধিমূল = সুদ + আসল
উত্তমর্ণঃ যে ব্যক্তি বা প্রতিষ্ঠান টাকা ধার দেয় তাকে উত্তমর্ণ বলে।
অধমর্ণঃ যে ব্যক্তি বা প্রতিষ্ঠান টাকা ধার করে তাকে অধমর্ণ বলে।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলীঃ
আসল = P টাকা;
মোট সুদ = I টাকা;
বার্ষিক সুদের হার = r% ;
সময় = t বছর;
সবৃদ্ধিমূল = A টাকা হলে,
A = P + I
এবং সুদ \(\Large{\\\quad I= \frac{ P×t×r }{100}}\)
A = P + I

বার্ষিক সরল সুদের হার 8% বলতে কী বোঝায়?
বার্ষিক সরল সুদের হার 8% বলতে বোঝায় 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ 8 টাকা।
Simple Interest
1.দুই বন্ধু একসঙ্গে একটি ছোটো ব্যবসা চালাবার জন্য বার্ষিক 12% সরল সুদের হারে একটি ব্যাংক থেকে 15000 টাকা ধার নিলেন। 4 বছর পরে ওই টাকার জন্য তাদের কত টাকা সুদ দিতে হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
এখানে, আসল (p) = 15000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 12%
সময় (t) = 4 বছর
∴ 4 বছরের সুদ (I)
\(\Large{= \frac{ 15000×12×4 }{100}\\ ⇒ 150 × 12 × 4 \\⇒ 7200}\)
Ans: তাদের 7200 টাকা সুদ দিতে হবে।
2. 2005 সালের 1 জানুয়ারি থেকে 27 মে পর্যন্ত বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে 2000 টাকার সুদ কত হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
এখানে, আসল (,P) = 2000 টাকা;
বার্ষিক সুদের হার (r) = 6%;
সময় (t) = 1লা জানুয়ারি থেকে 27শে মে পর্যন্ত দিনসংখ্যা
= (31+28+31+30+26) দিন
= 146 দিন
⇒ ¹⁴⁶/₃₆₅ বছর = ²/₅ বছর।
²/₅ বছরের সুদঃ
\(\Large{\quad I= \frac{P×r×t}{100}\\ =\frac{ 2000×6×2}{100×5}\\ ⇒ 4 × 6 × 2 = 48}\)
Ans: সুদ হবে 48 টাকা

3. বার্ষিক 8¹/₃ % সরল সুদে 960 টাকার 1 বছর 3 মাসের সবৃদ্ধিমূল কত হবে নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
এখানে, আসল (P) = 960 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8¹/₃ % = ²⁵/₃ %
সময় (t) = 1 বছর 3 মাস
= 1 বছর + ³/₁₂ বছর
= (1 + ¹/₄) বছর = ⁵/₄ বছর
মোট সুদ (I):
\(\Large{ = \frac{P×r×t}{100} \\ ⇒\frac{960×25×5}{100×3×4} \\⇒100}\)
∴ সবৃদ্ধিমূল = (960 + 100) টাকা
= 1060 টাকা
Ans: সবৃদ্ধিমূল হবে 1060 টাকা।
Simple Interest
4. উৎপলবাবু তাঁর জমি চাষের জন্য সমবায় ব্যাংক থেকে বার্ষিক 6% সরল সুদের হারে 3200 টাকা 2 বছরের জন্য ধার নিলেন। 2 বছর পরে সুদে-আসলে তাঁকে কত টাকা শোধ করতে হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
এখানে, আসল (P) = 3200 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 6%
সময় (t) = 2 বছর
∴ 2 বছরের সুদ
\(\Large{= \frac{P×r×t}{100} \\ ⇒\frac{3200×6×2}{100} \\ ⇒ 32×12 = 384}\)
∴ সুদে আসলে হবে = (3200 + 384) টাকা
= 3584 টাকা
Ans: 2 বছর পরে সুদে-আসলে 3584 টাকা শোধ করতে হবে।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
5. বার্ষিক 5.25% সরল সুদের হারে শোভাদেবী একটি ব্যাংকে কিছু টাকা জমা রাখেন। 2 বছর পর তিনি সুদ হিসাবে 840 টাকা পেলেন। তিনি কত টাকা জমা রেখেছিলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, শোভাদেবীর ব্যাংকে জমা টাকার পরিমাণ অর্থাৎ আসল (P) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5. 25%
সময় (t) = 2 বছর
2 বছরের সুদ (I) = 840 টাকা
আমরা জানি,
\(\Large{\quad I= \frac{P×r×t. }{100} \\ ⇒840 = \frac{x×5.25×2}{100} \\ ⇒840 = \frac{x×525×2}{100×100} \\ ⇒840 = \frac{x×21×2}{4×100} \\ ⇒x = 8000}\)
Ans: শোভাদেবী ব্যাংকে 8000 টাকা জমা রেখেছিলেন।
Simple Interest
6. গৌতম একটি মুরগি খামার খোলার জন্য একটি সমবায় ব্যাংক থেকে বার্ষিক 12% সরল সুদের হারে কিছু টাকা ধার নিলেন। প্রত্যেক মাসে তাকে 378 টাকা সুদ দিতে হয়। তিনি কত টাকা ধার নিয়েছিলেন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, তিনি ধার নিয়েছিলেন x টাকা
∴ আসল (P) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 12%
সময় (t) = 1 মাস = 1/12 বছর
সুদ (I) = 378 টাকা
আমরা জানি,
\(\Large{\quad I= \frac{P×r×t. }{100} \\ ⇒378 = \frac{x×12×1}{100×12} \\ ⇒378 = \frac{x}{100} \\ ⇒x = 37800}\)
Ans: গৌতম সমবায় ব্যাংক থেকে ধার নিয়েছিলেন 37800 টাকা।
7. বার্ষিক 6 % সরল সুদের হারে কোনো টাকা কত বছরে দ্বিগুণ হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, আসল (P) = x টাকা
∴ সবৃদ্ধিমুল = 2x টাকা
সুদ (I) = (2x -x) টাকা = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 6%
সময় (t) = t বছর
∴ প্রশ্নানুসারে,
\(\Large{\quad x = \frac{x×6×t }{100} \\ ⇒ 6t= 100 \\ ⇒ t = \frac{100}{6} \\ ⇒t = \frac{50}{3} \\ ⇒t = 16\frac{2}{3} }\)
Ans: 16⅔ বছরে দ্বিগুণ হবে।
Simple Interest
8 . মান্নান মিঞা কিছু টাকা ধার করার 6 বছর পর দেখলেন দেয় সরল সুদের পরিমাণ আসলের ⅜ অংশ হয়ে গেছে । বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার কত ছিল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, মান্নান মিঞা x টাকা ধার করেছিলেন।
∴ আসল (P) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = r %
সময় (t) = 6 বছর
সুতরাং, 6 বছরের সুদ (I) = x × ⅜ টাকা
প্রশ্নানুসারে,\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ \frac{3x }{8} = \frac{x×r×6}{100} \\ ⇒\frac{3 }{2} = \frac{r×6}{25} \\ ⇒\frac{1}{2} = \frac{r×2}{25} \\ ⇒4r = 25 \\ ⇒r = \frac{25}{4} \\ ⇒r = 6\frac{1}{4}}\)
Ans: বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার ছিল 6¹/₄ %
Simple Interest
9. একটি কৃষি সমবায় সমিতি তার সদস্যদের বার্ষিক 4% সরল সুদের হারে কৃষি ঋণ দেয়। কিন্তু ব্যাংক থেকে টাকা ধার করলে বার্ষিক 7.4% হারে সরল সুদ দিতে হয়। একজন কৃষক যদি ব্যাংক থেকে টাকা ধার না করে সমবায় সমিতির সদস্য হয়ে সমিতি থেকে 5000 টাকা কৃষি ঋণ নেন, তবে তার বছরে সুদ বাবদ কত টাকা বাঁচবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
সমবায় সমিতির ক্ষেত্রে,
আসল (P₁) = 5000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = 4%
সময় (t₁) = 1 বছর
∴ 1 বছরের সুদঃ
\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ I_{1} = \frac{5000×4×1}{100} \\ ⇒ I_{1} = 50×4 \\⇒I_{1} = 200 }\)
ব্যাংকের ক্ষেত্রে ,
এখানে, আসল (P₂) = 5000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = 7.4%
সময় (t₂) = 1 বছর
∴ 1 বছরের সুদঃ
\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ I_{2} = \frac{5000×7.4×1}{100} \\ ⇒ I_{2} = 50×7.4 \\⇒I_{2} = 370 }\)
∴ সুদ বাবদ বাঁচবে = (370 – 200) টাকা
= 170 টাকা
Ans: কৃষকটির বছরে সুদ বাবদ 170 টাকা বাঁচবে ।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
10. যদি 292 টাকার 1 দিনের সুদ 5 পয়সা হয়, তবে বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, বার্ষিক সুদের হার (r) = r%
আসল (P) = 292 টাকা
সুদ (I) = 5 পয়সা = 5/100 টাকা
সময় (t) = 1 দিন = 1/365 বছর
\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ I = \frac{292×r×1 }{100×365} \\ ⇒ I = \frac{4r }{100×5}}\) প্রশ্নানুসারে \(\Large{\quad\frac {5}{100}= \frac{4r}{100×5} \\ ⇒ 4r = 25 \\ ⇒ r = \frac{25}{4}\\ ⇒ r = 6\frac{1}{4}}\)
Ans: বার্ষিক সুদের হার 6¼ %
পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি: CLICK HERE
Simple Interest
11. বার্ষিক 8% হার সরল সুদে কত বছরে 600 টাকার সুদ 168 টাকা হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, সময় (t) = t বছর
এখানে, আসল (P) = 600 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
∴ t বছরের সুদঃ
\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ I = \frac{600×8×t}{100} \\ ⇒ I = 48t\\}\) প্রশ্নানুসারে \(\Large{\quad 48t = 168 \\ ⇒ 2t = 7 \\ ⇒ t = \frac{7}{2}\\ ⇒ t = 3\frac{1}{2}}\)
Ans: 3½ বছরে 600 টাকার সুদ 168 টাকা হবে।
12. যদি বার্ষিক 10% হার সরল সুদে 800 টাকা ব্যাংকে জমা দিয়ে সুদে আসলে 1200 টাকা ফেরত পাই, তবে ওই টাকা কত সময়ের জন্য ব্যাংকে জমা ছিল হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
t বছরের জন্য ব্যাংকে জমা ছিল
এখানে, আসল(P) = 800 টাকা
সুদ-আসল = 1200 টাকা
∴ সুদ (I) = (1200 – 800) টাকা = 400 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
\(\Large{ ∵ I = \frac{P×r×t }{100} \\ ∴ 400 = \frac{800×10×t }{100} \\ ⇒ 400 = 8×10t \\ ⇒ t = 5}\)
Ans: 5 বছরের জন্য ব্যাংকে জমা ছিল
Simple Interest
13. কোনো মূলধন একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে-আসলে 7100 টাকা এবং 4 বছরের সুদে-আসলে 6200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
(7 বছরের সুদ + আসল) – (4 বছরের সুদ + আসল) = 7100 – 6200) টাকা
বা, 3 বছরের সুদ = 900 টাকা
∴ 1 বছরের সুদ = ⁹⁰⁰/₃ = 300 টাকা
4 বছরের সুদ = 300×4 = 1200 টাকা
∴ আসল = (6200 – 1200) টাকা = 5000 টাকা
ধরি, বার্ষিক সুদের হার (r) = r%
সময় (t) = 4 বছর
সুদ(I) = 1200 টাকা
I = ^{P × r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\large{\quad 200=\frac{5000×r×4 }{100} \\⇒ 50×4r = 1200\\⇒ \quad r=6}\)
Ans: মূলধন 5000 টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার 6% ।
14. একই সময়ে অমল রায় ব্যাংকে এবং পশুপতি ঘোষ পোস্ট অফিসে 2000 টাকা করে জমা রাখেন। 3 বছর পর তারা সুদসহ যথাক্রমে 2360 টাকা ও 2480 টাকা ফেরত পান। ব্যাংক ও পোস্ট অফিসের বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, ব্যাংকের বার্ষিক সুদের হার (r₁) = r₁% এবং পোস্ট অফিসের বার্ষিক সুদের হার (r₂) = r₂%
ব্যাংকের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₁) = 2000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = r₁%
সময় (t₁) = 3
3 বছরের সুদ-আসল = 2360 টাকা
∴ 3 বছরের সুদ I₁ = (2360 – 2000) = 360 টাকা
I = ^{P× r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\Large{\quad 360= \frac{2000×r₁×3 }{100} \\ ⇒ 3×r₁×20 = 360 \\ ⇒ \quad r₁ = 6}\)
Simple Interest
পোস্ট অফিসের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₂) = 2000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = r₂%
সময় (t₂) = 3
3 বছরের সুদ-আসল = 2480 টাকা
∴ 3 বছরের সুদ (I₂) = (2480 – 2000) = 480 টাকা
I = ^{P × r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\Large{\quad 480= \frac{2000×r₁×3 }{100} \\ ⇒ 3×r₁×20 = 480 \\ ⇒ r₁ = 8 }\)
Ans: ব্যাংক ও পোস্ট অফিসের বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারের অনুপাত = 6 : 8 = 3 : 4
15. একটি তাঁত সমবায় সমিতি যন্ত্রচালিত তাঁত ক্রয় করার সময় 15000 টাকা ধার করে। 5 বছর পর সেই ধার শোধ করতে সমিতিকে 22125 টাকা দিতে হলো। ব্যাংকের বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, বার্ষিক সুদের হার (r) = r%
এখানে, আসল(P) = 15000 টাকা
সুদ-আসল = 22152 টাকা
∴ সুদ (I) = (22125 – 15000) টাকা
= 7125 টাকা
সময় (t) = 5 বছর
I = ^{P × r ×t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\Large{\quad 7125 = \frac{15000×r×5 }{100} \\ ⇒ 150×r×5 = 7125 \\ ⇒ 2r = 19 \\ ⇒ r = \frac{19}{2} \\ ⇒ r = 9\frac{1}{2}}\)
Ans: ব্যাংকের বার্ষিক সরল সুদের হার 9½ %
মাধ্যমিকের গণিতের App Madhyamik Mathematics ডাউনলোড করতে এখানে CLICK কর।
Simple Interest
16. আসলামচাচা কর্মক্ষেত্র থেকে অবসর নেওয়ার সময় 100000 টাকা পেলেন। ওই টাকার কিছুটা ব্যাংকে ও বাকিটা পোস্ট অফিসে জমা রাখেন এবং প্রতি বছর সুদ বাবদ মোট 5400 টাকা পান। ব্যাংকের ও পোস্ট অফিসের বার্ষিক সরল সুদের হার যদি যথাক্রমে 5% ও 6% হয়, তবে তিনি কোথায় কত টাকা জমা রেখেছিলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, আসলামচাচা ব্যাংকে জমা রাখেন x টাকা
∴ তিনি পোস্ট অফিসে জমা রাখেন (100000 – x) টাকা
ব্যাংকের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₁) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = 5%
সময় (t₁) = 1 বছর
I = ^{P× r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
1 বছরের সুদ
\(\Large{\quad I_{1} = \frac{x×5×1 }{100} \\ ⇒ I_{1} = \frac{x }{20}}\)
পোস্ট অফিসের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₂) = (100000 – x) টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = 6%
সময় (t₂) = 1 বছর
1 বছরের সুদ
\(\Large{\quad I_{2} =\frac{(100000-x)×6×1 }{100} \\ ⇒ I_{2} = \frac{3(100000-x)}{50}}\) ∴ প্রশ্নানুসারে,\(\Large{\quad I_{1}+I_{2} = 5400 \\⇒ \frac{x}{20} + \frac{3(100000-x)}{50} =5400 \\ ⇒ \frac{5x+3(100000-x)×2}{100} =5400 \\ ⇒ \frac{5x+600000-6x}{100} =5400 \\ ⇒ \frac{600000-x}{100} =540 \\ ⇒ 60000-x = 540000 \\ ⇒ -x = 540000-540000 \\ ⇒ -x = -60000 \\ ⇒ x = 60000 \\ \therefore 100000 – x=100000 – 60000 =40000}\)
Simple Interest
Ans: আসলামচাচা ব্যাংকে জমা রাখেন 60,000 টাকা এবং পোস্ট অফিসে জমা রাখেন 40,000 টাকা।
17. রেখাদিদি তার সঞ্চিত অর্থের 10000 টাকা দুটি আলাদা ব্যাংকে ভাগ করে একই সময়ে জমা দিলেন। একটি ব্যাংকের বার্ষিক সরল সুদের হার 6% এবং অন্য ব্যাংকটির বার্ষিক সরল সুদের হার 7%; 2 বছর পর তিনি যদি সুদ বাবদ মোট 1280 টাকা পান, তাহলে তিনি কোন ব্যাংকে কত টাকা জমা দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, রেখাদিদি প্রথম ব্যাংকে জমা রাখেন x টাকা
∴ তিনি দ্বিতীয় ব্যাংকে জমা রাখেন (10000 – x) টাকা
প্রথম ব্যাংকের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₁) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = 6%
সময় (t₁) = 2 বছর
I = ^P×r×t/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
2 বছরের সুদ
\(\Large{\quadI_{1} = \frac{x×6×2 }{100} \\ ⇒ I_{1} = \frac{6x}{50}}\)
দ্বিতীয় ব্যাংকের ক্ষেত্রেঃ-
আসল (P₂) = (10000 – x) টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = 7%
সময় (t₂) = 2 বছর
2 বছরের সুদ
\(\Large{\quad I_{2} = \frac{(10000-x)×7×2 }{100} \\ ⇒ I_{2} = \frac{7(10000-x)}{50}}\) ∴ প্রশ্নানুসারে, \(\Large{\quad I_{1}+I_{2} = 1280 \\ ⇒ \frac{6x}{50} + \frac{7(10000-x)}{50} =1280 \\ ⇒ \frac{6x+7(10000-x)}{50} =1280 \\ ⇒ \frac{6x+70000-7x}{50} =1280 \\ ⇒ \frac{70000-x}{50} =1280 \\ ⇒ 70000-x = 64000\\ ⇒ -x = 64000-70000 \\ ⇒ -x = -6000 \\ ⇒ x = 6000 \\ \therefore 100000 – x=100000 – 60000 =40000}\)
Ans: রেখাদিদি প্রথম ব্যাংকে জমা রাখেন 6000 টাকা এবং দ্বিতীয় ব্যাংকে জমা রাখেন 4000 টাকা।
Simple Interest
18. কোনো ব্যাংক বার্ষিক 5% হারে সরল সুদ দেয়। এই ব্যাংকে দীপুবাবু বছরের প্রথমে 15000 টাকা জমা দেওয়ার 3 মাস পরে 3000 টাকা তুলে নিলেন এবং টাকা তুলে নেওয়ার 3 মাস পরে আবার তিনি 8000 টাকা জমা দিলেন। ওই বছরের শেষে দীপুবাবু সুদে-আসলে কত টাকা পাবেন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রথম 3 মাসে,
আসল (P₁) = 15000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = 5%
সময় (t₁) = 3 মাস = ³/₁₂ বছর
∴ প্রথম 3 মাসের সুদ
\(\Large{\quad I_{1}= \frac{P_{1}×r_{1}×t_{1}}{100} \\ ⇒ I_{1}= \frac{15000×5×3 }{100×12} \\ ⇒ I_{1}= \frac{75×5 }{2} \\ ⇒ I_{1}= \frac{375 }{2} \\ ⇒ I_{1}= 187.50}\)
পরবর্তী 3 মাসে,
আসল (P₂) = (15000 – 3000) টাকা
= 12000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = 5%
সময় (t₂) = 3 মাস = ³/₁₂ বছর
∴ পরবর্তী 3 মাসের সুদ
\(\Large{\quad I_{2}= \frac{P_{2}×r_{2}×t_{2}}{100} \\ ⇒ I_{2}= \frac{12000×5×3 }{100×12} \\ ⇒ I_{2}=150}\)
শেষ 6 মাসে,
আসল (P₃) = (12000 + 8000) টাকা
= 20000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₃) = 5%
সময় (t₃) = 6 মাস = ⁶/₁₂ বছর
শেষ 6 মাসের সুদ
\(\Large{\quad I_{3}= \frac{P_{3}×r_{3}×t_{3}}{100} \\ ⇒ I_{3}= \frac{20000×5×6 }{100×12} \\ ⇒ I_{3}= 500 }\)
বছর শেষে দীপুবাবু সুদে-আসলে পাবেন
= (20000 + 187.50 + 150 + 500) টাকা
= 20837.50 টাকা
Ans: বছরের শেষে দীপুবাবু সুদে-আসলে 20837.50 টাকা পাবেন।
Simple Interest
19. রহমতচাচা একটি বাড়ি তৈরি করার জন্য বার্ষিক 12% সরল সুদের হারে 240000 টাকা ব্যাংক থেকে ধার নেন । ধার নেওয়ার এক বছর পর তিনি বাড়িটি প্রতি মাসে 5200 টাকায় ভাড়া দেন। ধার নেওয়ার কত বছর পরে তিনি বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদসহ শোধ করবেন তা হিসাব করি।

সমাধানঃ
ধরি রহমতচাচা t বছরের জন্য ব্যাংক থেকে টাকা ধার নেন।
এখানে,
আসল (P) = 240000 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 12%
সময় (t) = t বছর
∴ t বছরে মোট সুদ
\(\Large{\quad I = \frac{P×r×t }{100} \\ ⇒ I = \frac{240000×12×t }{100} \\ ⇒ I = 2400×12t }\)
ধার নেওয়ার 1 বছর পর রহমতচাচা বাড়িটি প্রতি মাসে 5200 টাকায় ভাড়া দেন।
সুতরাং, তিনি বাড়ি ভাড়া পান (t – 1) বছরের।
∴ (t – 1) বছরে মোট বাড়ি ভাড়া পান = 5200×12×(t – 1) টাকা
প্রশ্নানুসারে,
240000+2400×12t = 5200×12×(t – 1)
বা, 2400×12t + 240000 = 5200×12×(t – 1)
বা, 100(24×12t + 2400) = 5200×12×(t – 1)
⇒, 24×12t + 2400 = 52×12×(t – 1)
⇒ 12(24t + 200) = 52×12×(t – 1)
বা, 24t + 200 = 52(t – 1)
বা, 24t + 200 = 52t – 52
⇒ 24t – 52t = – 52 – 200
বা, – 28t = – 252
বা, 28t = 252
বা, t = 9
Ans: ধার নেওয়ার 9 বছর পরে রহমতচাচা বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদসহ শোধ করতে পারেন।
Simple Interest
20. রথীনবাবু তাঁর দুই মেয়ের প্রত্যেকের জন্য ব্যাংকে এমনভাবে টাকা জমা রাখেন যাতে প্রত্যেক মেয়ের বয়স যখন 18 বছর হবে তখন প্রত্যেক মেয়ে 120000 টাকা করে পাবে। ব্যাংকের বার্ষিক সরল সুদের হার 10% এবং মেয়েদের বর্তমান বয়স যথাক্রমে 13 বছর এবং 8 বছর। তিনি প্রত্যেক মেয়ের জন্য ব্যাংকে কত টাকা জমা রেখেছিলেন হিসাব করি।

সমাধানঃ ধরি, বড় মেয়ের জন্য x টাকা ও ছোট মেয়ের জন্য y টাকা ব্যাংকে জমা রাখেন।
বড় মেয়ের ক্ষেত্রে,
আসল (P₁) = x টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₁) = 10%
সময় (t₁) = (18 – 13) = 5 বছর
∴ 5 বছরে মোট সুদ
\(\Large{\quad I_{1}= \frac{P_{1}×r_{1}×t_{1}}{100} \\ ⇒ I_{1}= \frac{x×10×5}{100} \\ ⇒ I_{1}= \frac{x}{2}}\)
প্রশ্নানুসারে,
x + I₁ = 120000
বা, x + ^x/₂ =120000
বা, ^3x/₂ =120000
⇒ 3x =120000×2
বা, x =40000×2
বা, x =80000
আবার ছোট মেয়ের ক্ষেত্রে,
আসল (P₂) = y টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r₂) = 10%
সময় (t₂) = (18 – 8) = 10 বছর
∴ 5 বছরে মোট সুদ
\(\Large{\quad I_{2}= \frac{P_{2}×r_{2}×t_{2}}{100} \\ ⇒ I_{2}= \frac{y×10×10}{100} \\ ⇒ I_{2}= y }\)
প্রশ্নানুসারে,
y + I₂ = 120000
বা, y + y =120000
বা, 2y =120000
∴ y = 60000
Ans: রথীনবাবু বড় মেয়ের নামে 80,000 টাকা এবং ছোট মেয়ের নামে 60,000 টাকা রেখেছিলেন।
21. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q):
(i) বার্ষিক r% হার সরল সুদে p টাকার t বছরের সুদ I টাকা হলে,
(a) I = prt (b) prtI = 100 (c) prt = 100 × I (d) কোনোটিই নয়

Ans: (c) prt = 100 × I
\(\Large{\quad\left[ ∵ I=\frac{prt}{100}\\∴prt = 100 × I\right]}\)
(ii) কোনো মূলধন একটি নির্দিষ্ট সরল সুদের হারে 20 বছরে দ্বিগুন হয়। একই সরল সুদের হারে ওই মূলধন তিনগুন হবে
(a) 30 বছরে (b) 35 বছরে (c) 40 বছরে (d) 45 বছরে

Ans: (c) 40 বছরে
[ ধরি, আসল = P টাকা,
বার্ষিক সরল সুদের হার = r%,
সময় = t বছর,
সুদ = I
মূলধন দ্বিগুন হলে সুদ হয় = (2P – P) টাকা
= P টাকা
মূলধন তিনগুন হলে সুদ হয় = (3P – P) টাকা
= 2P টাকা
P টাকা সুদ হয় 20 বছরে
∴ 1 টাকা সুদ হয় 20/P বছরে
2P টাকা সুদ হয় 20×2P/P = 40 বছরে ]

(iii) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুন হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20%

Ans: (b) 10%
[ আসল = P টাকা,
বার্ষিক সরল সুদের হার = r%,
সময় (t) = 10 বছর,
সুদ (I) = (2P – P) টাকা = P টাকা
\(\Large{\quad\left[∵ I=\frac{Prt}{100} \\∴P=\frac{P×10×t}{100}\\⇒ t= 10 \right]}\)
Simple Interest
(iv) x% বার্ষিক সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের x বছরে সুদ x টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ
(a) x টাকা (b) 100x টাকা (c) ¹⁰⁰/_x টাকা (d) ¹⁰⁰/_x² টাকা

Ans: (c) 100/x টাকা
[ ধরি, মূলধনের পরিমাণ x টাকা
\(\Large{\quad ∵ I=\frac{Prt}{100}\\∴x = \frac{P×x×x}{100} \\ ⇒ P=\frac{100}{x}]}\)
(v) বার্ষিক r% সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের n বছরে মোট সুদ pnr/25 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ (a) 2p টাকা (b) 4p টাকা (c) ^p/₂ টাকা (d) ^p/₄ টাকা

Ans: (b) 4p টাকা
[ ধরি, মূলধনের পরিমাণ x টাকা
\(\Large{\quad \left[ ∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ \frac{pnr}{25}= \frac{x×r×n}{100}\\ \quad ⇒ x=4p\right]}\)
Simple Interest
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) যে ব্যক্তি টাকা ধার করেন তাঁকে অধমর্ণ বলে।
Ans: সত্য।

(ii) আসল ও শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার একই থাকলে মোট সুদ সময়ের সঙ্গে ব্যস্ত সমানুপাতে থাকে।
Ans: মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) যে ব্যক্তি টাকা ধার দেন তাঁকে ________ বলে।
Ans: উত্তমর্ণ

(ii) বার্ষিক ^r/₂ % সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদ-আসল (2p + __________ ) টাকা।
Ans: ^prt/₁₀₀
[ ধরি, সুদের পরিমাণ I টাকা
\(\Large{\quad \left[∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ I = \frac{2p×r×t}{100×2}\\ ⇒ I= \frac{prt}{100}\right]}\)
(iii) 1 বছরে আসল ও সুদ-আসলের অনুপাত 8 : 9 হলে বার্ষিক সরল সুদের হার _________।
Ans: 12¹/₂
[ধরি, আসল = 8x টাকা, তাহলে সুদ-আসল = 9x টাকা ∴ সুদ = (9x – 8x) = x টাকা
\(\Large{\quad\left[ ∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ x = \frac{8x×r×1}{100}\\ ⇒ r= \frac{25}{2} \\ ⇒ r= 12\frac{1}{2} \right]}\)
Simple Interest
22. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) কোনো মূলধন বার্ষিক 6¹/₄% সরল সুদের হারে কত বছরে দ্বিগুন হবে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা,
বার্ষিক সরল সুদের হার = 6¹/₄% = ²⁵/₄ %
সময় = t বছর,
মূলধন দ্বিগুন হলে সুদ হবে (I) = (2P – P) টাকা
= P টাকা
\(\Large{\quad ∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ P = \frac{P×25×t}{100×4}\\ ⇒ 1= \frac{t}{16} \\ ⇒ t= 16}\)
Simple Interest
Ans: 16 বছরে দ্বিগুন হবে

(ii) বার্ষিক সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾ হওয়ায় অমলবাবুর বার্ষিক আয় 60 টাকা কম হয়। অমলবাবুর মূলধন নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾ হওয়ায়
সুদের হ্রাস হয় =(4- 3¾)%
= (4-15/4) % = ¼%
∴ ¼ টাকা আয় কম হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় কম হয় 100×4 টাকায়
60 টাকা আয় কম হয় 100x4x60 টাকায়
= 24000 টাকায়
Ans: অমলবাবুর মূলধন 24000 টাকা

(iii) শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 4 বছরের সুদ আসলের ⁸/₂₅ অংশ হবে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা এবং সুদের হার = r%
∴ সুদ = Px⁸/₂₅ টাকা
সময় = t বছর
\(\Large{\quad ∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ \frac{8P}{25} = \frac{P×r×4}{100}\\ ⇒ r = 8 }\)Ans: বার্ষিক সরল সুদের হার 8%
Simple Interest
(iv) শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 10 বছরের সুদ সুদ-আসলের ⅖ অংশ হবে তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা এবং সুদের হার = r%
সময় = 10 বছর
\(\Large{\quad ∵ I=\frac{Prt}{100}\\ ⇒ I = \frac{P×r×10}{100}\\ ⇒ I = \frac{Pr}{10}}\)
সুদ-আসল = (P + ^Pr/₁₀) টাকা
প্রশ্নানুসারে,
\(\Large{\quad \frac{Pr}{10} = \left(P+\frac{Pr}{10} \right)\times \frac{2}{5} \\⇒ \frac{Pr}{10} = P\left(1+\frac{r}{10}\right) \times \frac{2}{5}\\ ⇒\frac{r}{10} = 2\left(\frac{10+r}{50}\right) \\ ⇒5r = 2r +20\\ ⇒3r = 20 \\ ⇒r =6\frac{2}{3}}\)
Simple Interest
Ans: বার্ষিক সরল সুদের হার 6⅔ %

(v) বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকা মাসিক সুদ 1 টাকা তা নির্ণয় করি।
ধরি, আসল(P) = P টাকা
এখানে, সুদের হার(r) = 5%
সময়(t) = 1 মাস
= 1/12 বছর
সুদ = 1 টাকা
\(\Large{\quad ∵ I=\frac{Prt}{100}\\⇒ 1=\frac{P×5×1}{100×12}\\\ ⇒ P = 240 }\)
Ans: 240 টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা।
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ গোবিন্দবাবু কর্মক্ষেত্র থেকে অবসর নেওয়ার সময় 5,00,000 টাকা পেলেন। ঐ টাকার কিছুটা ব্যাঙ্ক ও বাকিটা পোস্ট অফিসে জমা রাখেন। প্রতি বছর সুদ বাবদ 33,600 টাকা পান। ব্যাঙ্ক ও পোস্ট অফিসে বার্ষিক সরল সুদের হার যথাক্রমে 6% ও 7.2%। তিনি কোথায় কত টাকা রেখেছিলেন তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ 500 টাকার বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরের সুদ 105 টাকা হয়, নির্ণয় করো
VIEW ANSER

MP-2023
▶️ শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 5 বছরের সুদ আসলের ²/₅ অংশ হবে তাহা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ 180 টাকার 1 বছরের সুদ আসল 198 টাকা হলে বার্ষিক সরল সুদের হার __________ (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 10%
[আসল (P= 180 টাকা ;
সময় (t)= 1 বছর
সুদ আসল = 198 টাকা
∴ সুদ (I)= (198 – 180) = 18 টাকা
18 = 180.r.1/100
r = 10]
MP-2022
▶️ কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে-আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ বার্ষিক সুদ আসলের ¹/₁₆ অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কত হবে?
VIEW ANSER
▶️ আসল ও সবৃদ্ধিমূলের মধ্যে সম্পর্কটি হল আসল < সবৃদ্ধিমূল। (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
MP-2020
▶️ কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার-
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ ধরি, আসল = x টাকা
মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে সুদ হবে x টাকা
সময় = t বছর
∴ x = ^x×10×r/₁₀₀
বা, 1 = ^r/₁₀
বা, r = 10]
▶️ বার্ষিক ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদে-আসলে হল 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা। (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদ
= ^prt/₁₀₀টাকা।
∴ t বছরের সুদ-আসল
= 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা।]
▶️ কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 5:6 হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ বার্ষিক 10% সরল সুদের হারে a টাকার b মাসের সুদঃ
\(\large{\mathbf{\quad (a)\frac{ab}{100}}}\) টাকা \(\large{\mathbf{(b)\quad\frac{ab}{120}}}\) টাকা \(\large{\mathbf{(c)\quad\frac{ab}{1200}}}\) টাকা \(\large{\mathbf{(d)\quad\frac{ab}{10}}}\) টাকা \(\large{\mathbf{\\Ans:\quad\quad (b)\quad\frac{ab}{120}}}\)টাকা
[বার্ষিক সরল সুদের হার = 10%
আসল = a টাকা
সময় = b মাস = ^b/₁₂ বছর
∴ সুদ = ^a×b×10/_12×100 টাকা
= ^ab/₁₂₀ টাকা]
▶️ বার্ষিক r% সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের n বছরের সুদ ^pnr/₂₅ টাকা হলে মূলধনের পরিমাণ __________ টাকা হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
VIEW ANSER
▶️ বার্ষিক সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾% হওয়ায় এক ব্যক্তির বার্ষিক আয় 60 টাকা কম হয়। ঐ ব্যক্তির মূলধন নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 25 : 28 হলে বার্ষিক’ সুদের হার
(a) 3% (b) 12% (c) 10 ⁵/₇% (d) 8%
VIEW ANSER
▶️ কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: এক
PREVIOUS
NEXT
January 26, 2023
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2
প্রিয় ছাত্র-ছাত্রী
X-Mathematics এই ক্যাটাগরিতে আমরা আগের পোস্টে দশম শ্রেণীর এর গণিত প্রকাশ বইয়ের প্রথম অধ্যায়ের একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের কষে দেখি 1.1 এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান করেছিলাম। আমাদের আজকের পোস্টে কষে দেখি 1.2 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হল। পরবর্তী পোষ্টে কষে দেখি 1.3 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হবে। তাই আমাদের এই পোস্টগুলো পেতে আমাদের পেজটিকে নিয়মিত ফলো করতে থাকো। মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভাল ফল করতে এই প্রশ্নগুলি তৈরি করে নাও।
মাধ্যমিক ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর এই ধরনের প্রশ্নোত্তর পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত follow করতে থাকো।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো:
ax² + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) একটিমাত্র চল থাকবে।
(ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে।
(iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে।
(iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।
বীজ: যে সকল বাস্তব সংখ্যা বা রাশি কোন প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে সেই সমস্ত বাস্তব সংখ্যা বা রাশিকে ওই সমীকরণের বীজ বলে।
একটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 1 এবং একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 2
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(i),(ii)
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:
(i) x² + x + 1 = 0, 1 ও -1
(ii) 8x² + 7x = 0, 0 ও 2
(iii) x + ¹/_x = ¹³/₆, ⁵/₆ ও ⁴/₃
(iv) x²- √3x – 6=0, -√3 ও 2√3

সমাধানঃ
(i) x² + x + 1 = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই,
(1)² + 1 + 1
= 1 + 1 + 1
= 3 ≠ 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = -1 বসিয়ে পাই,
(-1)² + (-1) +1
= 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ 1 ও -1 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 1 ও -1 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।

(ii) 8x² + 7x = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
8x(0)² + 7×0
= 0 + 0 = 0 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
8x(2)² + 7×2
= 8×4 + 14
= 32 +14 = 46 ≠ 0
∴ 0 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে । কিন্তু 2 দ্বারা সমীকরনটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 0 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ কিন্তু 2 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(iii),(iv)
(iii) Solution:
x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁵/₆ বসিয়ে পাই,
\(\Large{\quad\frac {4}{3}+\frac {1}{\frac {4}{3}}\\=\frac {4}{3}+\frac {3}{4}\\=\frac {16+9}{12}\\=\quad\frac {25}{12}≠\quad\frac {13}{6}}\) আবার
x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁴/₃ বসিয়ে পাই,
\(\Large{\quad\frac {5}{6}+\frac {1}{\frac {5}{6}}\\=\frac {5}{6}+\frac {6}{5}\\=\frac {25+36}{30}\\=\frac {61}{30}\\≠\quad\frac {13}{6}}\)
∴ ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।
(iv) x²– √3x – 6 = 0, -√3 ও 2√3
সমীকরণের বামপক্ষে x = -√3 বসিয়ে পাই,
(-√3)² – √3x(-√3) – 6 = 3 + 3 – 6 = 6 – 6 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2√3 বসিয়ে পাই,
(2√3)² – √3x(2√3) – 6 = 12 – 6 – 6 = 12 – 12 = 0
∴ -√3 ও 2√3 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে ।
তাই -√3 ও 2√3 দ্বিঘাত সমীকরণটীর দুটি বীজ ।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 2-(i),(ii),(iii)
2 (i) k-এর কোন মানের জন্য 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃
∴ 7(²/₃)² + k.²/₃ – 3 = 0
বা, ²⁸/₉ + ^2k/₃ – 3 = 0
⇒ 28 + 6k – 27 =0
বা, 6k – 1 =0
বা, k = –¹/₆
উত্তরঃ k-এর মান –¹/₆ হলে 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে ।
(ii) k-এর কোন মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a;
∴ (-a)² + 3a.(-)a – k = 0
বা, a² – 3a² – k = 0
⇒ -2a²– k =0
বা, k = 2a²
উত্তরঃ k-এর মান 2a² হলে x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে ।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 3
3. যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ²/₃ এবং -3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি
সমাধানঃ
ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ⅔ এবং -3
∴ a(²/₃)² + 7.²/₃ + b = 0
বা, ^4a/₉ + ¹⁴/₃ + b =0
বা, 4a + 42 + 9b = 0 ………………….(i)
আবার,
a(-3)² + 7.(-3) + b = 0
বা, 9a – 21 + b = 0
বা, b = 21 – 9a………………….(ii)
(i) নং সমীকরণে b = 21 – 9a বসিয়ে পাই,
4a + 42 + 9(21 – 9a) = 0
বা, 4a + 42 + 189 – 81a = 0
⇒ -77a + 231 = 0
বা, -77a = -231
বা, a = 3
(ii) নং-এ সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই,
b = 21 – 9a
বা, b = 21 – 9×3
বা, b = 21 -27
∴ b = -6
উত্তরঃ a = 3 এবং b = -6
মাধ্যমিকের গণিতের App Madhyamik Mathematics ডাউনলোড করতে এখানে CLICK কর।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(i),(ii),(iii)
4. সমাধান করোঃ
(i) 3y² – 20 = 160 -2y²
সমাধানঃ
3y² – 20 = 160 -2y²
⇒ 3y² + 2y² = 160 – 20
⇒ 5y² = 180
∴ y² = 36
⇒ y = ± √36
⇒ y = ± 6
নির্ণেয় সমাধানঃ y = – 6 এবং y = 6
(ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
সমাধানঃ
(2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
⇒ 4x² + 4x + 1 + x² + 2x + 1 = 6x + 47
⇒ 5x² + 6x + 2 = 6x + 47
5×2 = 6x – 6x + 47 – 2
⇒ 5x² = 45
⇒ x² = 9
x = ±√9
⇒ x = ± 3
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3
(iii) (x – 7)(x -9) = 195
সমাধানঃ
(x – 7)(x -9) = 195
⇒ x² – 9x -7x + 63 = 195
⇒ x² – 16x + 63 – 195 = 0
x² – 16x – 132 = 0
⇒ x² -22x + 6x – 132 = 0
∴ x(x -22) + 6(x – 22) = 0
⇒ (x -22)(x + 6) = 0
হয় (x -22) = 0 নতুবা, (x + 6) = 0
∴ x = 22 . ∴ x = – 6
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 22
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(iv),(v),(vi)
\(\Large{\mathbf{(iv) \quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3},\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3}\\⇒ \frac {3x^{2}-24}{x}=\frac {x}{3}}\)
⇒ 3(3x² – 24) = x²
9x² – 72 = x²
⇒ 9x² – x² = 72
⇒ 8x² = 72
∴ x² = 9
∴ x = ±3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(v) \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x},\quad x≠0\\Solution:}}\)
\(\Large{ \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3}=15….[∵ x≠0] }\)
x² + 9 = 45
⇒ x² = 45 – 9
⇒ x² = 36
∴ x = √36
∴ x = ±6
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 6
\(\Large{\mathbf{(vi) \quad 10x-\frac {1}{x}=3,\quad x≠0}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad 10x-\frac {1}{x}=3\\⇒\frac {10x^{2}-1}{x}=3}\)
⇒ 10x² – 1 = 3x
10x² – 3x – 1 = 0
⇒ 10x² – 5x + 2x – 1 = 0
⇒ 5x(2x – 1) +1(2x – 1) = 0
(2x – 1)(5x + 1) = 0
হয় (2x – 1) = 0 বা, (5x + 1) = 0
∴ 2x = 1 ∴ 5x = -1
∴ x = ¹/₂ ∴ x = –¹/₅
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ¹/₅ এবং x = ¹/₂
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি : CLICK HERE
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(vii),(viii)
\(\Large{\mathbf{(vii) \quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0,\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0\\⇒ \frac {2-5x+2x^{2}}{x^2}=0}\)
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
2x² – 4x – x + 2 = 0
⇒ 2x(x – 2) -1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(2x – 1) = 0
হয় x – 2 = 0 নতুবা, 2x – 1 = 0
∴ x = 2 ∴ 2x = 1
∴ x = ¹/₂
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = ¹/₂ এবং x = 2
\(\Large{\mathbf{(viii) \quad\frac{x-2}{x+2}-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1,\\\quad x≠-2,6\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{x-2}{x+2}+6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-\frac {6x-12}{x-6}\\\quad \frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-6)-(6x-12)}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\\quad \frac {x-2}{x+2}=\frac {6-5x}{x-6}}\)
⇒ (x – 2)(x – 6) = (6 – 5x)(x + 2)
⇒ x² – 6x – 2x + 12 = 6x + 12 -5x² -10x
x² + 5x² – 8x + 4x = 0
⇒ 6x² – 4x = 0
⇒ 2x(3x – 2) = 0
হয় 2x = 0 নতুবা, 3x – 2 = 0
∴ x = 0 ∴ 3x = 2
∴ x = ²/₃
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = ²/₃
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(ix),(x),(xi)
\(\Large{\mathbf{(ix)\quad \frac {1}{x-3}-\frac {1}{x+5}=\frac {1}{6},\quad x≠3,-5\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac {1}{6}\\\quad \frac {8}{x^{2}+2x-15}=\frac {1}{6}}\)
⇒ x² + 2x – 15 = 48
⇒ x² + 2x – 15 – 48 = 0
x² + 2x – 63 = 0
⇒ x² + 9x – 7x – 63 = 0
⇒ x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
(x + 9)(x – 7) = 0
হয় x + 9 = 0 নতুবা, x – 7 = 0
∴ x = -9 ∴ x = 7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -9 এবং x = 7
\(\Large{\mathbf{(x)\quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12},\quad x≠0,-1\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12}}\)
ধরি, ^x/_x+1 = a
∴ a + ¹/_a =2 ¹/₁₂
⇒ ^{a² + 1}/_a = ²⁵/₁₂
⇒ 12(a² + 1) = 25a
12a² + 12 = 25a
⇒ 12a² – 25a + 12 = 0
⇒ 12a² – 16a – 9a + 12 = 0
4a(3a – 4) -3(a – 4) = 0
⇒ (3a – 4)(4a – 3) = 0
হয় 3a – 4 = 0 নতুবা, 4a – 3 = 0
বা, a = ⁴/₃ বা, a = ³/₄
a = ^x/_x+1 বসিয়ে পাই,
^x/_x+1 = ⁴/₃ ^x/_x+1 = ³/₄
বা, 4x + 4 = 3x বা, 4x = 3x + 3
বা, x = -4 বা, x = 3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -4 এবং x = 3
\(\Large{\mathbf{(xi)\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx},\quad [a≠b,c≠d], x≠\frac {a}{-b},\frac {-c}{d}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx}}\)
⇒ (ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)
acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx
⇒ acx + adx² + bdx – acx – bcx² – bdx = ad – bc
⇒ adx² – bcx² = ad – bc
(ad – bc)x² = (ad – bc)
⇒ x² = 1
⇒ x = ±1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 এবং x = -1
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xii),(xiii),(xiv)
\(\Large{\mathbf{(xii)\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4}\)
ধরি, 2x + 1 = a
\(\Large{ \quad\therefore \quad a+\frac {3}{a}=4\\⇒\quad \frac {a^{2}+3}{a}=4}\)
⇒ a² – 4a +3 = 0
a² – 3a – a +3 = 0
⇒ a(a – 3) -1(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 1) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 1 = 0
বা, a = 3 বা, a = 1
a = (2x + 1) বসিয়ে পাই,
2x + 1 =3 2x + 1 = 1
বা, 2x = 2 বা, 2x = 0
বা, x = 1 বা, x = 0
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = 1
\(\Large{\mathbf{(xiii)\quad \frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}, \quad x≠ -1\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad\frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2}{x+1}-\frac {3}{x+1}=\frac {x+1}{3}-\frac {x+1}{2}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2-3}{x+1}=\frac {2(x+1)-3(x+1)-5}{6}\\\quad \frac {-1}{x+1}=\frac {2x+2-3x-3-5}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-x-6}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-(x+6)}{6}\\\quad \frac {1}{x+1}=\frac {x+6}{6}}\)
⇒ (x + 1)(x + 6) = 0
⇒ x² + 6x + x + 6 – 6 = 0
x² + 7x = 0
⇒ x(x + 7) = 0
হয় x = 0 নতুবা, x + 7 = 0
∴ x = -7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -7 এবং x = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xv),(xvi)
\(\Large{\mathbf{(xiv)\quad \frac {12x+17}{3x+1}- \frac {2x+15}{x+7}=3\frac {1}{5}, \quad x≠ \frac {1}{3},-7\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}\\⇒\frac{4(3x+1)+13}{3x+1}-\frac{2(x+7)+1}{x+7}=3\frac {1}{5}\\ ⇒ 4+\frac {13}{3x+1}-2- \frac {1}{x+7}=3+\frac {1}{5}\\\quad 2+\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}\\⇒\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}-2\\⇒\frac{13(x+7)-(3x+1)}{(3x+1)(x+7)}=1+\frac{1}{5}\\\quad\frac{13x+91-3x-1}{3x^{2}+21x+x+7}=\frac{5+1}{5}\\⇒\frac{10x+90}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\⇒\frac{2(5x+45)}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\\quad\frac{5x+45}{3x^{2}+22x+7}=\frac {3}{5}}\)
3(3x² + 22x + 7) = 5(5x + 45)
⇒ 9x² + 66x + 21 = 25x + 225
⇒ 9x² + 66x + 21 – 25x – 225 = 0
9x² + 41x – 204 = 0
⇒ 9×2 + 68x – 27x – 204 = 0
⇒ x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0
(9x + 68)(x – 3) = 0
হয় 9x + 68 = 0 নতুবা, x – 3 = 0
বা, 9x = -68 ∴ x = 3
বা, x= –⁶⁸/₉
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ⁶⁸/₉ এবং x = 3
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xv)\quad \left ( \frac {x+3}{x-3}\right)^2 + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5, \quad x≠ 3,-3\\Solution: }}\)\(\Large{\left ( \frac {x+3}{x-3}\right) + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5}\)
ধরি, \(\Large{ \quad\frac {x+3}{x-3}=a\\ \therefore \quad a + 6\times \frac {1}{a}=5\\ ⇒ \quad \frac {a^{2}+6}{a}=5}\)
⇒ a² + 6 = 5a
a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
(a – 3)(a – 2) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 2 = 0
∴ a = 3 ∴ a = 2
a = ^(x+3)/_(x-3) বসিয়ে পাই,
^(x+3)/_(x-3) = 3 ^(x+3)/_(x-3) = 2
∴ 3(x – 3) = x + 3 ∴ 2(x – 3) = x + 3
∴ 3x – x = 3 + 9 ∴ 2x – x = 3 + 6
x = 6 x = 9
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 6 এবং x = 9
\(\large{\mathbf{(xvi)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)
Solution:
∴ x² + ax + bx = -ab
∴ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xvii),(xviii)
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xvii)\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0 \quad x≠ a}}\) \(\Large{ \quad}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0\\}\)ধরি,\(\Large{ \quad\frac {x+a}{x-a}=p}\)
∴ p² – 5p + 6 = 0
∴ p² – 3p – 2p + 6 = 0
⇒ p(p – 3) -2(p – 3) = 0
⇒ (p – 3)(p – 2) = 0
হয় p – 3 = 0 নতুবা, p – 2 = 0
∴ p = 3 ∴ p = 2
p = ^(x+a)/_(x-a) বসিয়ে পাই,
^(x+a)/_(x-a) = 3 ^(x+a)/_(x-a) = 2
∴ 3(x – a) = x + a ∴ 2(x – a) = x + a
∴ 3x – x = a + 3a ∴ 2x – x = a + 2a
x = 2a x = 3a
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 2a এবং x = 3a
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xviii)\quad \frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b},\quad x≠0,-b}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b}\\⇒ \frac {(x+b)-x}{x(x+b)}=\frac {(a+b)-a}{a(a+b)}\\⇒ \frac {x+b-x}{x^{2}+bx}=\frac {a+b-a}{a^{2}+ab}\\\quad\frac {b}{x^{2}+bx}=\frac {b}{a^{2}+ab}\\⇒ \frac {1}{x^{2}+bx}=\frac {1}{a^{2}+ab}\\}\)
∴ x² + bx = a² + ab
∴ x² – a² + bx – ab = 0
⇒ (x + a)(x – a) + b(x – a) = 0
⇒ (x – a)(x + a + b) = 0
হয় x – a = 0 নতুবা, x + a + b = 0
∴ x = a ∴ x = -(a + b)
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = a, -(a + b)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xix),(xx),(xxi)
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xix)\quad \frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6},x≠1,2,3,4}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\frac {(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac {(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {1}{x-2}-\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-3}-\frac {1}{x-2}+\frac {1}{x-4}-\frac {1}{x-3}=\frac {1}{6}\\∴ -\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-(x-4)+(x-1)}{(x-1)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-x+4+x-1}{x^{2}-4x-x+4}=\frac {1}{6}\\∴ \frac {3}{x^{2}-5x+4}=\frac {1}{6}}\)
⇒ x² – 5x + 4 = 18
⇒ x² – 5x – 14 = 0
x² – 7x + 2x – 14 = 0
⇒ x(x – 7) + 2(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(x + 2) = 0
হয় x – 7 = 0 নতুবা, x + 2 = 0
∴ x = 7 ∴ x = -2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -2, 7
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xx)\quad \frac {a}{x-a}+\frac {b}{x-b}=\frac {2c}{x-c},\quad x≠a,b,c}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\frac{a}{x – a } + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c}\\= \frac{a}{x – a } + 1 + \frac{b}{x – b} + 1= \frac{2c}{x – c} + 2\\= \frac{a + x – a}{x – a } + \frac{b + x – b}{x – b} = \frac{2c + 2x – 2c}{x – c}\\⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} = \frac{2x}{x – c}⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} – \frac{2x}{x – c} =0\\=x\left(\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c}\right) =0}\)
হয় x = 0
অথবা
\(\Large{ \quad\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c} =0\\=\frac{1}{x – a } – \frac{1}{x – c} = \frac{1}{x – c} – \frac{1}{x – b}\\=\frac{x – c – x + a}{(x – a)(x – c)} = \frac{x – b – x + c}{(x – b)(x – c)}\\⇒\frac{a – c}{x – a} = \frac{c – b}{x – b}}\)
∴ (x – a)(c – b) = (x – b)(a – c)
⇒ cx – ac – bx + ab = ax – cx – ab + bc
⇒ cx – bx – ax + cx = ac – ab – ab + bc
2cx – bx – ax = ac – 2ab + bc
⇒ x(2c – b – a) = ac + bc – 2ab
∴ x = ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0, ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}
(xxi) x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
Solution:
x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – √3x – 2x + 2√3 = 0
বা, x(x – √3) – 2(x – √3) = 0
বা, (x – √3)(x – 2) = 0
হয় x – √3 = 0 নতুবা, x – 2 = 0
∴ x = √3 ∴ x = 2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = √3, 2
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}}}\)
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0\quad (x ≠ 3, -3)}}\)
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ± 10. (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ x² = 100
⇒ x = ±√100
∴ x = ±10]
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)}}\)
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}}}\) \(\Large{}\)
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ সমাধান কর:
\(\large{\mathbf{\quad\left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2-5\left(\frac{x+4}{x-4}\right)+6=0, (x≠4)}}\)
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)}}\)
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
January 12, 2023

error: Content is protected !!