Category: X-Mathematics

Circle বৃত্ত Complete Solution of Theorems Related to Chapter – 3

Circle Chapter -3

Circle Complete Solution of Theorems Related to Chapter – 3

দশম শ্রেণীর গণিত || বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য || অধ্যায়-৩ || Theorems Related To Circle || Chapter – 3 || কষে দেখি – 3.1 || WBBSE Class 10th Mathematics

♦️বৃত্ত সংক্রান্ত বিভিন্ন সংজ্ঞা♦️

বৃত্তঃ একটি নির্দিষ্ট স্থির বিন্দুকে কেন্দ্র করে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে অন্য একটি গতিশীল বিন্দু স্থির বিন্দুটির চারদিকে একবার ঘুরে এলে যে ক্ষেত্র তৈরি হয় তাকে বৃত্ত বলে।
কেন্দ্রঃ যে স্থির বিন্দুকে কেন্দ্র করে বৃত্ত আঁকা হয় তাকে ঐ বৃত্তের কেন্দ্র বলে।
নীচের চিত্রে O হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র ।

জ্যাঃ পরিধির উপর অবস্থিত যে কোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে জ্যা বলে। নীচের চিত্রে PQ , AB হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের জ্যা।

ব্যাসার্ধঃ একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে। উপরের চিত্রে OC, OB, OA হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
** ব্যাসার্ধ হচ্ছে ব্যাসের অর্ধেক।
ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2

ব্যাসঃ বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যাকেই ব্যাস বলে।
উপরের চিত্রে AB হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস ।
একটি বৃত্তে অসংখ্য ব্যাস থাকে।
** ব্যাস= 2 × ব্যাসার্ধ
*** বৃত্তের ব্যাসই হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তচাপঃ বৃত্তের পরিধির যে কোন অংশকে বৃত্তচাপ বলে।

অধিচাপঃ অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বড়ো চাপকে অধিচাপ বলে ।
নীচের চিত্রে SMT হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অধিচাপ ।

উপচাপঃ অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট চাপকে উপচাপ বলে ।
নীচের চিত্রে ST হল O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অধিচাপ ।

অর্ধবৃত্তঃ বৃত্তের ব্যাস বৃত্তকে যে দুইটি সমান অংশে বিভক্ত করে তাদের প্রত্যেককে অর্ধবৃত্ত বলে।
নীচের চিত্রে AB ব্যাস বৃত্তকে দুটি অর্ধবৃত্ত-এ ভাগ করেছে।

পরিধিঃ বৃত্তের সীমারেখার দৈর্ঘ্যকে বৃত্তের পরিধি বলে।

বৃত্তাংশঃ বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তাংশ বলে।

অধিবৃত্তাংশঃ বড়ো বৃত্তাংশটিকে অধিবৃত্তাংশ (Major segment) বলে .।

উপবৃত্তাংশঃ ছোটো বৃত্তাংশটিকে উপবৃত্তাংশ (Minor segment) বলে।

বৃত্তকলাঃ বৃত্তের দুইটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তকলা বা বৃত্তীয় ক্ষেত্র বলে।

বড়ো বৃত্তকলা ছোট বৃত্তকলা

এককেন্দ্রীয় বৃত্ত বা সমকেন্দ্রিক বৃত্তঃ একই কেন্দ্র বিশিষ্ট একাধিক বৃত্তকে সমকেন্দ্রিক বৃত্ত বলে।

সর্বসম বৃত্তঃ যদি দুটি বৃত্তের একই ব্যাস থাকে তাহলে দুটি বৃত্ত সর্বসম হয়।

কষে দেখি – 3.1

1.পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবি দেখি এবং কোন কোন ব্যাসার্ধ PAQ বৃত্তাংশে অবস্থিত লিখি।

Ans: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PO, AO, CO ব্যাসার্ধ PAQ বৃত্তাংশে অবস্থিত।

2. নীচের ▭-এ বুঝে লিখি।
(i) একটি বৃত্তে ▭ বিন্দু আছে।
Ans: অসংখ্য

(ii) বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ▭।
Ans: ব্যাস

(iii) জ্যা বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে দুটি ▭ বিভক্ত করে।
Ans: বৃত্তাংশে

(iv) বৃত্তের সকল ব্যাস ▭ বিন্দুগামী।
Ans: কেন্দ্র

(v) দুটি বৃত্তাংশ সমান হলে তাদের বৃত্তচাপ দুটির দৈর্ঘ্য ▭ হবে।
Ans: সমান

(vi) একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের বৃত্তকলা হলো বৃত্তচাপ এবং দুটি ▭ -এর দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চল।
Ans: ব্যাসার্ধ

(vii) বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ▭।
Ans: বড়ো

3. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে একটি বৃত্ত একেঁ কেন্দ্র, জ্যা, ব্যাস, ব্যাসার্ধ, উপচাপ, অধিচাপ নির্দেশ করি।

Ans: চিত্রে বৃত্তটির কেন্দ্র O, PQ জ্যা, AB ব্যাস, OR ব্যাসার্ধ, ST উপচাপ এবং SRT অধিচাপ।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 6.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1 কষে দেখি – 11.2
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

4. সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) বৃত্ত একটি সামতলিক চিত্র।
Ans: সত্য

(ii) বৃত্তাংশ (Segment) একটি সামতলিক ক্ষেত্র।
Ans: সত্য

(iii) বৃত্তকলা (Sector) একটি সামতলিক ক্ষেত্র।
Ans: সত্য

(iv) জ্যা একটি সরলরেখাংশ।
Ans: সত্য

(v) চাপ একটি সরলরেখাংশ।
Ans: মিথ্যা

(vi) একটি বৃত্তে সসীম সংখ্যক একই দৈর্ঘ্যের জ্যা আছে।
Ans: মিথ্যা

(vii) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটিই বৃত্ত আঁকা সম্ভব ।
Ans: মিথ্যা
জ্যামিতি তৃতীয় অধ্যায়ঃ বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখিঃ 3.1

Madhyamik Question

MP-2019

▶️ তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য

PREVIOUS

NEXT

February 24, 2023

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3 Complete Solution of Quadratic Equation
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
প্রশ্ন নম্বর 1
1.দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, একটি সংখ্যা x ;
∴ অপর সংখ্যাটি x + 3
প্রশ্নানুযায়ী,
x² + (x +3)² = 117
⇒ x² + x² + 6x + 9 – 117 = 0
⇒ 2x² + 6x – 108 = 0
2(x² + 3x – 54) = 0
⇒ x² + 3x – 54 = 0
⇒ x² + 9x -6x – 54 = 0
x(x + 9) – 6(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x – 6) = 0
হয় (x + 9) = 0 নতুবা (x – 6) = 0
বা, x = – 9 বা, x = 6
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা
x ≠ – 9
∴ x = 6 এবং (x + 3) = 6 +3 = 9
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা দুটি 6 এবং 9
Q. NO- 2
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা h মিটার।
ত্রিভুজটির ভূমি = (h×2 + 18) মিটার।
∴ ½ × (h×2 + 18) × h = 360 ……. [∵ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা]
⇒ ½ × 2 (h + 9)h = 360
⇒ h² + 9h = 360
h² + 9h – 360 = 0
⇒ h² + 24h – 15h – 360 = 0
⇒ h(h + 24) – 15(h – 24) = 0
(h + 24) (h – 15) = 0
হয় (h + 24) = 0 নতুবা (h – 15) = 0
বা, h = – 24 বা, h = 15
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
h ≠ – 24
∴ h = 15
Ans: ত্রিভুজের উচ্চতা = 15 মিটার।
Q. NO- 3
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – 5x = 3
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(2x + 1) = 0
হয় (x – 3) = 0 নতুবা (2x + 1) = 0
বা, x = 3 বা, x = – 1/2
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা
x ≠ – ½
∴ x = 3
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3
মাধ্যমিকের ইংরাজির উপর বিভিন্ন প্রশ্নোত্তর পেতে এখানে ক্লিক করো
Complete Solution of Quadratic Equation
প্রশ্ন নম্বর 4, 5
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি। এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপ গাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় x কিমি.
∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় (x+5) কিমি.
200 কিমি যেতে মোটরগাড়ির সময় লাগে = 200/x ঘন্টা…….[∵ সময় = অতিক্রান্ত দূরত্ব ÷ গতিবেগ] এবং
জিপ গাড়ির সময় লাগে = 200/(x+5) ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\Large{\quad\frac{200}{x}-\frac {200}{x+5}=2\\⇒\frac {200(x+5)-200x}{x(x+5)}=2\\⇒\frac{200x+1000-200x}{x^{2}+5x}=2\\\quad\frac{1000}{x^{2}+5x}=2\\⇒\frac {500}{x^{2}+5x}=1}\)
x² + 5x = 500
⇒ x² + 5x – 500 = 0
⇒ x² + 25x – 20x – 500 = 0
x(x + 25) -20(x – 25) = 0
⇒(x + 25)(x – 20) = 0
হয় (x + 25) = 0 নতুবা (x – 20) = 0
বা, x = – 25 বা, x= 20
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 25
∴ x = 20
Ans: মোটরগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 20 কিমি.
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ প্রস্থ = 2000/x মিটার।….. [ ∵ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল; ∴ প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য] প্রশ্নানুযায়ী,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 180
⇒ 2( x + 2000/x) = 180
⇒ x + 2000/x = 90
(x² + 2000)x = 90
⇒ x² + 2000 = 90x
⇒ x² – 90x + 2000 = 0
x² – 50x – 40x + 2000 = 0
⇒ x(x – 50) – 40(x – 50) = 0
⇒ (x – 50)(x – 40) = 0
হয় (x – 50) = 0 নতুবা (x – 40) = 0
বা, x= 50 বা, x= 40
x = 50 হলে 2000/x = 2000/50 = 40
বা, x = 40 হলে 2000/x = 2000/40 = 50
Ans: আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার ও
প্রস্থ = 40 মিটার।
Complete Solution of Quadratic Equation
প্রশ্ন নম্বর 6, 7
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x
∴ দশকের ঘরের অঙ্ক (x – 3)
সংখ্যাটি = 10×(x – 3) + 1×x
= 10x – 30 + x
= 11x – 30
অঙ্ক দুটির গুনফল = x(x – 3)
= x² – 3x
প্রশ্নানুযায়ী,
(11x – 30) – (x² – 3x) = 15
⇒ 11x – 30 – x² + 3x = 15
⇒ 11x – 30 -x² +3x – 15 = 0
14x – 45 – x² = 0
⇒ – (x² – 14x + 45) = 0
⇒ x² – 9x – 5x + 45 = 0
x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
⇒(x – 9)(x – 5) = 0
হয় x – 9 = 0 অথবা x – 5 = 0
বা, x = 9 বা, x=5
Ans: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 5 অথবা 9
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
7. আমাদের স্কুলে চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11 ¹/₉ মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় x মিনিটে।
∴ দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় (x+5) মিনিটে।
∴ প্রথম নল দিয়ে x মিনিটে পূর্ণ হয় 1 অংশ,
প্রথম নল দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয় 1/x অংশ।
দ্বিতীয় নল দিয়ে x+5 মিনিটে পূর্ণ হয় 1 অংশ,
দ্বিতীয় নল দিয়ে 1 মিনিটে পূর্ণ হয় 1/x+5 অংশ।
11 ¹/₉ মিনিট = ^1e00/₉ মিনিট
নল দুটি দিয়ে একত্রে ¹⁰⁰/₉ মিনিটে পূর্ণ হয়
\(\Large{\mathbf{}}\) \(\Large{\quad =\frac{100}{9} \left(\frac{1}{x}+\frac {1}{x+5}\right) অংশ\\\therefore \frac{100}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)=1 \\⇒\frac{100}{9}\left(\frac{x+5+x}{x(x+5)}\right)=1\\⇒100\left[\frac{2x+5}{x^{2}+5x}\right]=9}\)
9(x² + 5x) = 100(2x + 5)
⇒ 9x² + 45x = 200x + 500
⇒ 9x² + 45x – 200x – 500 = 0
9x² – 155x – 500 = 0
⇒ 9x² – 180x + 25x – 500 = 0
⇒ 9x(x – 20) + 25(x – 20) = 0
(x – 20)(9x + 25) = 0
হয় (x – 20) = 0 নতুবা (9x + 25) = 0
বা, x = 20 বা, 9x = -25
বা, x = –²⁵/₉
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – ²⁵/₉
∴ x = 25
x + 5 = 25 + 5 = 30
Ans: প্রথম নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 25 মিনিটে এবং
দ্বিতীয় নল দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় 30 মিনিটে।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
Solution:
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার।
∴ প্রস্থ = ²⁰⁰⁰/_x মিটার।….. [ ∵ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল; ∴ প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য] প্রশ্নানুযায়ী,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 180
⇒ 2( x + ²⁰⁰⁰/_x) = 180
⇒ x + ²⁰⁰⁰/_x = 90
(x² + 2000)x = 90
⇒ x² + 2000 = 90x
⇒ x² – 90x + 2000 = 0
x² – 50x – 40x + 2000 = 0
⇒ x(x – 50) – 40(x – 50) = 0
⇒ (x – 50)(x – 40) = 0
হয় (x – 50) = 0 নতুবা (x – 40) = 0
বা, x= 50 বা, x= 40
x = 50 হলে ²⁰⁰⁰/_x = ²⁰⁰⁰/₅₀ = 40
বা, x = 40 হলে ²⁰⁰⁰/_x = ²⁰⁰⁰/₄₀ = 50
Ans: আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার ও
প্রস্থ = 40 মিটার।
মাধ্যমিকের P.Sc এর বিভিন্ন Tutorial এর জন্য এখানে Click করো
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
প্রশ্ন নম্বর 8, 9
8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পূর্ণ করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, পর্ণা x দিনে একা কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারে।
∴ পীযূষ (x+6) দিনে একা কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে।
পর্ণা x দিনে করে 1 অংশ কাজ,
1 দিনে করে ¹/_x অংশ কাজ,
4 দিনে করে ⁴/_x অংশ কাজ
আবার, পীযূষ 4 দিনে করে ⁴/_(x+6) অংশ কাজ,
∴ পর্ণা ও পীযূষ একত্রে 4 দিনে করে ⁴/_x + ⁴/_(x+6) অংশ কাজ
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\Large{\quad\frac{4}{x}+\frac{4}{x+6}=1\\⇒\frac {4(x+6)+4x}{x(x+6)}=1\\⇒\frac {4x+24+4x}{x^{2}+6x}=1\\ \quad\frac {8x+24}{x^{2}+6x}=1}\)
x² + 6x = 8x + 24
⇒ x² + 6x – 8x – 24 = 0
⇒ x² – 2x – 24 = 0
x² – 6x + 4x – 24 = 0
⇒ x(x – 6) + 4(x – 6) = 0
⇒ (x – 6)(x + 4) = 0
হয় (x – 6) = 0 নতুবা (x + 4) = 0
বা, x= 6 বা, x= -4
দিন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 4
x = 6
Ans: পর্ণা একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পূর্ণ করতে পারবে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় ¹²/_xটি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় ^12×30/_x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় ^12×30/_{(x – 6)} টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,
\(\Large{\quad\frac {12×30}{x-6}-\frac {12×30}{x}=3\\⇒\frac {360x-360(x-6)}{x(x-6)}=3\\⇒\frac {360x-360x-360×6}{x^{2}-6x}=3\\\quad\frac {360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×2}{x^{2}-6x}=1}\)
x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24) = 0
হয় (x – 30) = 0 নতুবা (x + 24) = 0
বা, x = 30 বা, x= -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( V.S.A. )
10. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন ( M.C.Q. )
- (A) (i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
  - (a) একটি
  - (b) দুটি
  - (c) তিনটি
  - (d) কোনােটিই নয়
  - Ans. (b) দুটি
- (A) (ii) ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
  - (a) b ≠ 0
  - (b) c ≠ 0
  - (c) a ≠ 0
  - (d) কোনােটিই নয়
  - Ans. (c) a ≠ 0
    
    [এখানে a = 0 হলে, x² যুক্ত পদটিও 0 হয়ে যাবে [bx + c = 0],
    ফলে সমীকরণটি আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকবে না।
- (A) (iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
  - (a) 1
    (b) 2
  - (c) 3
  - (d) কোনােটিই নয়
  - Ans. (b) 2
- (A) (iv) 4 ( 5x² – 7x + 2 ) = 5 ( 4x² – 6x + 3 ) সমীকরণটি
  - (a) রৈখিক
  - (b) দ্বিঘাত
  - (c) ত্রিঘাত
  - (d) কোনােটিই নয়
  - Ans. (a) রৈখিক
    
    4( 5x² – 7x + 2 ) = 5( 4x² – 6x + 3 )
    ⇒ 20x² – 28x + 8 = 20x² – 30x + 15
    ⇒ 20x² – 28x + 8 – 20x² + 30x – 15 = 0
    2x – 7 = 0
    এটি একটি রৈখিক সমীকরণ
- (A) (v) x²/x=6 সমীকরণটির বীজ / বীজদ্বয় –
  - (a) 0
  - (b) 6
  - (c) 0 ও 6
  - (d) –6
  - Ans. (b) 6
    
    x²/x=6
    ⇒ x² = 6x
    ⇒ x² – 6x = 0
    x(x – 6) = 0
    x = 6 অথবা 0
    যদি x = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটি অনির্ণেয় হয়ে যাবে।
    তাই x = 0 হবে না।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
প্রশ্ন নম্বর 10. (B)
10. (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) ( x – 3 )² = x² – 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

সমাধানঃ
( x – 3 )² = x² – 6x + 9
⇒ x² – 2.x.3 + (3)² = x² – 6x + 9
⇒ x² – 6x + 9 = x² – 6x + 9
এটি একটি অভেদ।
Ans. মিথ্যা

( ii ) x² = 25 সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5

সমাধানঃ
x² = 25
⇒ x = ± √25 = ± 5
∴ x = -5 এবং x = +5
Ans. মিথ্যা
মাধ্যমিকের গণিতের App Madhyamik Mathematics ডাউনলোড করতে এখানে CLICK কর।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
প্রশ্ন নম্বর 10. (C)
10. (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি ________ সমীকরণ ।

সমাধানঃ
ax² + bx + c = 0 সমীকরণটিতে a = 0 এবং b ≠ 0 হলে,
সমীকরণটি bx + c = 0 Hobe
Eti একটি রৈখিক সমীকরণের উদাহরণ।
Ans. রৈখিক
( ii ) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয় , তাহলে সমীকরণটি হলাে _________.

সমাধানঃ
দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1;
∴ সমীকরণটি হবে,
(x – 1) (x – 1) = 0
⇒ (x – 1)² = 0
⇒ x² – 2x + 1 = 0
Ans. x² – 2x + 1 = 0
(iii) x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয় _____ ও _____

সমাধানঃ
x² = 6x
⇒ x² – 6x = 0
⇒ x(x – 6) = 0
∴ x = 0 অথবা 6]
Ans. 0, 6
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
প্রশ্ন নম্বর 11-(i), (ii), (iii)
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( S.A. )
( i ) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে , a-এর মান নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1;
সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই,
∴ (1)² + a.1 + 3 = 0
⇒ 1 + a + 3 = 0
⇒ a + 4 = 0
∴ a = – 4
Ans. a এর মান – 4
( ii ) x² – ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।
সমাধানঃ
x² – ( 2 + b ) x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2;
সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই,
(2)² – ( 2 + b ) 2 + 6 = 0
4 – 4 – 2b + 6 = 0
⇒ -2b + 6 = 0
⇒ -2b = – 6
∴ b = 3
∴ x² – (2 + 3) x + 6 = 0
⇒ x² – 2x – 3x + 6 = 0
⇒ x(x – 2) – 3(x – 2) = 0
(x – 2) (x – 3) = 0
∴ x = 2, 3
Ans. সমীকরণের অপর বীজটির মান 3
( iii ) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।
সমাধানঃ
2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2;
সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2.(2)² + k.2 + 4 = 0
⇒ 2.4 + 2k + 4 = 0
⇒ 8 + 2k + 4 = 0
2k + 12 = 0
⇒ 2k = -12
⇒ k = – 6
∵ 2x² – 6x + 4 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0
x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x(x – 2) -1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
∴ x = 2, 1
Ans. সমীকরণের অপর বীজটির মান 1.
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.3
প্রশ্ন নম্বর 11-(iv), (v)
( iv ) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর ⁹/₂₀ ; সমীকরণটি লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি,প্রকৃত ভগ্নাংশটি = x
প্রশ্নানুযায়ী,
∴ তার অন্যোন্যক ¹/_x
¹/_x – x = ⁹/₂₀
Ans: সমীকরণটি হল: ¹/_x – x = ⁹/₂₀

( v ) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 হলে , a এবং b- এর মান লিখি ।
সমাধানঃ
ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় –5 ও –7 ।
∴ x = – 5 হলে,
a(-5)² + b.(-5) + 35 = 0
⇒ 25a – 5b +35 = 0
⇒ 5a – b + 7 = 0 —— (i)
আবার x = – 7 হলে,
a(-7)² + b.(-7) + 35 = 0
⇒ 49a – 7b +35 = 0
⇒ 7a – b + 5 = 0 —— (ii)
(ii) – (i) করে পাই,
7a – b + 5 – (5a – b + 7)= 0 – 0
⇒ 7a – b + 5 – 5a + b – 7= 0
⇒ 2a – 2= 0
2a = 2
⇒ a = 1
(i) নং সমীকরণে a = 1 বসিয়ে পাই,
5.1 – b + 7 = 0
⇒ 5 – b +7 = 0
⇒ 12 – b = 0
– b = – 12
⇒ b = 12
Ans. a = 1, এবং b = 12
Madhyamik Question
MP-2023
▶️ x²= x এই সমীকরণটির সমাধান সংখ্যা (a) 1 টি (b) 2 টি (c) 0 টি (d) 3 টি
Ans: (b) 2 টি
[ x²= x
বা, x²– x = 0
বা, x(x-1)= 0
∴ x = 0, x = 1 ]
▶️ (ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও 3 টি কলম বেশী পাওয়া যাবে। মূল্য কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ± 10. (সত্য/মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ x² = 100
⇒ x = ±√100
∴ x = ±10]
MP-2019
▶️ কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ 2x + ¹/_x = 2 হলে, ^x/_2x²+x+1 -এর মান কত ?
VIEW ANSER
▶️ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত?
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
February 6, 2023