Category: X-Mathematics

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
Complete Solution of Quadratic Equation
দশম শ্রেণির দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4
1. (i) 4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – l)-এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রী ধর আচার্যের সুত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান:
4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1)
বা, 4x² + (2x)² – (1)² = 8x² – 4x
বা, 4x² + 4x² – 1 = ৪x² – 4x
⇒ ৪x² – ৪x² – 4x – 1 =0
বা, 4x – 1 = 0,
এটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
∴ এখানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়ােগ করা যাবে না।
(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পরি বুঝে লিখি।
Ans: শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারি।
(iii) 5x² + 2y – 7 = 0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে $\Large{k = \frac{k±12}{10}}$ পাওয়া গেলে kএর মান কী হবে?
সমাধানঃ
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,
$\Large{\quad x= \frac {-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-2 ± \sqrt{2^{2} – 4.5.(-7)}}{2.5} \\ ⇒x= \frac{-2 ± \sqrt{4 + 140}}{10} \\ ⇒x= \frac{-2 ± \sqrt{144} }{10} \\⇒x= \frac{-2 ± 12 }{10} }$
শর্তানুযায়ী$\Large{\quad \frac{k±12}{10} = \frac{-2 ± 12 }{10} \\ ⇒ k±12= -2 ±12 \\ ⇒ k = -2}$
Ans: k-এর মান -2
2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।
(i) 3x² + 11x – 4 = 0

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 3 , b = 11 এবং c = -4
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (11)² – 4.3.(- 4) = 121 + 48 = 169 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{ x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-11 ± \sqrt{169}}{2.3} \\ ⇒x= \frac{-11 ± 13}{6} \\ ⇒x= \frac{-11 + 13}{6} \quad or, x= \frac{-11 – 13}{6}\\⇒x= \frac{2}{6} \quad \quad or, x=\frac{-24}{6}\\⇒x= \frac{1}{2} \quad \quad or, x=-4}$
Ans: বীজ দুটি হল -4, ¹/₂
ii) (x – 2)(x + 4) + 9 = 0
সমাধান:
(x – 2)(x + 4) + 9 = 0
বা, x² + 4x – 2x – 8 = 9
বা, x² + 2x – 8 + 9 = 0
⇒ x² + 2x +1 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 1, b = 2 এবং c = 1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.1.1
= 4 – 4 = 9 = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল-
$\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(2) ± \sqrt{0}}{2.1} \\ ⇒x= \frac{-2 ± 0}{2} \\ ⇒x= \frac{-2+0}{2} \quad or, x= \frac{-2-0}{2}\\⇒x= -1 \quad \quad or, x=-1}$
Ans: বীজ দুটি হল -1, -1
(iii) (4x – 3)² -2(x + 3) = 0
সমাধান:
(4x – 3)² -2(x + 3) = 0
বা, (4x)² – 2 . 4x . 3 + (3)² – 2x – 6 = 0
বা, 16x² – 24x + 9 – 2x – 6 = 0
বা, 16x² – 26x + 3 = 0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax²+bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই-
a = 16, b = – 26 এবং c = 3
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (-26)² – 4.16.3
= 676 – 192 = 484 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-26) ± \sqrt{484}}{2.16} \\ ⇒x= \frac{26 ± 22}{32} \\ ⇒x= \frac{26+22}{32} \quad or, x= \frac{26-22}{32}\\⇒x= \frac{48}{32} \quad \quad or, x=\frac{4}{32}\\⇒x= \frac{3}{2} \quad \quad or, x=\frac{1}{8}}$
Ans: বীজ দুটি হল ¹/₈, ³/₂
(v) 3x² + 2x – 1 = 0
সমাধান:
3x² + 2x – 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+ bx + c = 0 [a ≠ 0] Program সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2 এবং c = -1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.3.(-1)
= 4 + 12 = 16 > 0
3x² + 2x – 1 = 0 সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-2 ± \sqrt{16}}{2.3} \\ ⇒x= \frac{-2 ± 4}{6} \\ ⇒x= \frac{-2+4}{6} \quad or, x= \frac{-2-4}{6}\\⇒x= \frac{2}{6} \quad \quad or, x=\frac{-6}{6}\\⇒x= \frac{1}{3} \quad \quad or, x=1}$
Ans: বীজ দুটি হল ¹/₃, 1
(v) 3x² + 2x + 1 = 0
সমাধান:
3x² + 2x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণকে ax²+ bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 2 এবং c = 1
সমীকরনটির নিরূপক
b² – 4ac
= (2)² – 4.3.1
= 4 – 12 = – 8 < 0
Ans: 3x² + 2x + 1 = 0 সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
(vi) 10x² – x – 3 = 0
সমাধান:
10x² – x – 3 = 0 সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 10, b = -1, c = -3
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-1)² – 4.10.(-3)
⇒1 + 120 = 121 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-1) ± \sqrt{121}}{2.10} \\ ⇒x= \frac{1 ± 11}{20} \\ ⇒x= \frac{1+11}{20} \quad or, x= \frac{1-11}{20}\\⇒x= \frac{12}{20} \quad \quad or, x=\frac{-10}{20}\\⇒x= \frac{3}{5} \quad \quad or, x=\frac{-1}{2}}$
Ans: বীজ দুটি হল ³/₅, –¹/₂
(vii) 10x² – x + 3 = 0
সমাধান:
10x² – x + 3 = 0 সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরনের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a =10, b = – 1 এবং c = 3
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (- 1)² – 4.10.3
=1 -120= -119 <0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণের কোনাে বাস্তব বীজ নেই।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
(viii) 25x² – 30x + 7 = 0
সমাধান:
25x² – 30x + 7 = 0 [a ≠ 0]
সমীকরনটি ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 25 , b = -30, c = 7
সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-30)² – 4.25.(7)
= 900 – 700 = 200 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{\quad x=\frac {-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}\\ ⇒ x=\frac{-(-30) ± \sqrt{200}}{2.25}\\ ⇒x=\frac{30 ± 10\sqrt{2}}{50}\\ ⇒x=\frac{30 + 10\sqrt{2}}{50} \quad or, x=\frac{30 – 10\sqrt{2}}{50}\\⇒x=\frac{10(3+\sqrt{2})}{50} \quad \quad or, x=\frac{10(3-\sqrt{2})}{50}\\⇒x= \frac{3+\sqrt{2}}{5}\quad\quad or, x=\frac{3-\sqrt{2}}{5}}$
Ans: বীজ দুটি হল ^3+√2/₅, ^3-√2/₅
(ix) (4x – 2)² + 6x = 25
সমাধান:
(4x – 2)² + 6x = 25
বা, (4x)² – 2 . 4x . 2 + (2)² + 6x-25=0
বা, 16x² – 16x + 4 + 6x – 25 = 0
বা, 16x² – 10x – 21 =0
সমীকরনটি ax² + bx + c = 0 [a ≠ 0] সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 16 , b = -10, c = – 21
∴ সমীকরনটির নিরূপক
= b² – 4ac
= (-10)² – 4.16.(-21)
= 100 + 1344 = 1444 > 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বীজ দুটি হল –
$\Large{\quad x= \frac{-b ± \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a} \\ ⇒ x= \frac{-(-10) ± \sqrt{1444}}{2.16} \\ ⇒x= \frac{10 ± 38}{32} \\ ⇒x= \frac{10 + 38}{32} \quad or, x= \frac{10 – 38}{32}\\⇒x= \frac{48}{32} \quad \quad or, x=\frac{-28}{32}\\⇒x= \frac{3}{2} \quad \quad or, x=\frac{-7}{8}}$$$ বীজ দুটি হল 3/2 -⅞
Ans: বীজ দুটি হল ³/₂, –⁷/₈

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।
(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য থেকে 2 সেমি. কম হয়, তবে সাথির আকাঁ সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি.
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 2x + 6 সেমি. এবং
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = 2x + 6 – 2 সেমি.
= 2x + 4 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²
বা, x² + (2x)² + 2.2x.4 + (4)² = (2x)² + 2.2x.6 + (6)²
বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36
⇒ x² + 16x + 16 = 24x + 36
বা, x² + 16x – 24x + 16 – 36 = 0
বা, x² – 8x – 20 = 0
⇒ x² – 10x + 2x – 20 = 0
বা, x(x – 10) + 2(x – 10) = 0
বা, (x – 10)(x + 2) = 0
হয় (x – 10) = 0 নতুবা (x +2) = 0
বা, x = 10 বা, x = – 2
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 2 ∴ x = 10
Ans: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি., (2.10 + 4) = 24 সেমি. এবং (2.10 + 6) = 26 সেমি.
(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, এককের ঘরের অঙ্ক x
∴ দশকের ঘরের অঙ্ক 2x
সংখ্যাটি হল = 10×2x + 1×x
= 20x + x = 21x
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x.2x
= 2x²
প্রশ্নানুসারে,
21x.x = 189
বা, 21x²= 189
⇒ x²= 9
বা, x = ± √9
বা, x = ± 3
(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অনিকের গতিবেগ x মিটার/সেকেন্ড
∴ সালমার গতিবেগ (x + 1) মিটার/সেকেন্ড
180 মিটার দৌড়াতে ,
অনিকের সময় লাগে 180/x সেকেন্ড এবং
সালমার সময় লাগে 180/x + 1) সেকেন্ড
প্রশ্নানুসারে,
,$\Large{ \quad\frac{180}{x}-\frac{180}{x+1}=2 \\ ⇒\frac{180(x+1)-180x}{x(x+1)}=2 \\ ⇒\frac{180x+180-180x}{x^{2}+x}=2\\⇒\frac{180}{x^{2}+x}=2\\ \\⇒\frac{90} {x^{2}+x}=1 }$
⇒ x² + x = 90
⇒ x² + x – 90 = 0
বা, x² + 10x – 9x – 90 = 0
⇒ x(x + 10) – 9(x + 10) = 0
⇒ (x + 10)(x – 9) = 0
হয় (x + 10) = 0 নতুবা (x – 9) = 0
বা, x = -10 বা, x = 9
বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 10 ∴ x = 9
Ans: অনিকের গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = (x +5) মিটার এবং
প্রস্থ = (x -3) মিটার
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x +5).(x -3) বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে,
2.x² – (x +5).(x -3) = 78
বা, 2x² – (x² – 3x + 5x – 15) = 78
বা, 2x² – (x² + 2x – 15) = 78
⇒ 2x² – x² – 2x + 15 – 78 = 0
বা, x² – 2x – 63 = 0
বা, x² – 9x + 7x – 63 = 0
⇒ x(x – 9) +7(x – 9) = 0
বা, (x – 9)(x +7) = 0
হয় (x – 9) = 0 নতুবা , (x + 7) = 0
বা, x = 9 বা, x = – 7
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 7 ∴ x = 9
Ans: বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার ।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সারির সংখ্যা x
∴ প্রতি সারিতে চারাগাছ লাগান ( x + 24) টি।
মোট চারাগাছ লাগান = x.( x + 24) টি
প্রশ্নানুসারে,
x.( x + 24) + 10 = 350
বা, x² + 24x + 10 – 350 = 0
বা, x² + 24x – 340 = 0
⇒ x² + 34x – 10x – 340 = 0
বা, x(x + 34) – 10(x +34) = 0
বা, (x + 34)(x – 10) = 0
হয় (x + 34) = 0 নতুবা , (x – 10) = 0
বা, x = – 34 বা, x = 10
সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না
x ≠ – 34 ∴ x = 10
Ans: সারির সংখ্যা 10 টি।
(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, কুন্তল একটি জিনিস তৈরি করতে x মিনিট নেয়।
∴ জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে (x – 5) মিনিট নেয়।
6 ঘন্টা = 6×60 = 360 মিনিট
কুন্তল x মিনিটে করে 1 টি জিনিস
1 মিনিটে করে ¹/_x টি জিনিস
কুন্তল 360 মিনিটে করে ³⁶⁰/_x টি জিনিস
জোসেফ 360 মিনিটে করে ³⁶⁰/_(x-5) টি জিনিস।
প্রশ্নানুযায়ী,
,$\Large{\quad \frac{360}{x-5}-\frac{360}{x}=6 \\ ⇒\frac{360x-360(x-5)}{x(x-5)}=6 \\ ⇒\frac{360x-360x+1800}{x^{2}-5x}=6\\⇒\frac{1800}{x^{2}-5x}=6\\ \\⇒\frac{300} {x^{2}-5x}=1}$
⇒ x² – 5x = 300
⇒ x² – x – 300 = 0
বা, x² – 20x + 15x – 300 = 0
⇒ x(x – 20) + 15(x – 20) = 0
⇒ (x – 20)(x + 15) = 0
হয় (x – 20) = 0 নতুবা (x + 15) = 0
বা, x = 20 বা, x = -15
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না
x ≠ – 15 ∴ x = 20
Ans: কুন্তল ওই সময়ে জিনিস তৈরি করে = ³⁶⁰/₂₀ = 18 টি
(vii) স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি
সমাধান:
ধরি, স্রোতের বেগ x কিমি/ঘন্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ (8 + x) কিমি/ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ (8 + x) কিমি/ঘন্টা.
∴ স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. যেতে সময় লাগে ¹⁵/_{(8 + x)} ঘন্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. যেতে সময় লাগে ²²/_{(8 – x)} ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী
,$\Large{\quad\frac{15}{8+x}+\frac{22}{8-x}=5 \\ ⇒\frac{15(8-x)+22(8+x)}{(8+x)(8-x)}=5 \\ ⇒\frac{120-15x+176+22x}{64-x^{2}}=5\\⇒\frac{296+7x}{64-x^{2}}=5}$
⇒ 296 + 7x = 5(64 – x²)
⇒ 296 + 7x = 320 – 5x²
= 5x² + 7x + 296 – 320 = 0
⇒ 5x² + 7x – 24 = 0
⇒ 5x² + 15x – 8x – 24 = 0
= 5x(x + 3) – 8(x + 3) = 0
= (x + 3)(5x – 8) = 0
হয় (x + 3) = 0 নতুবা (5x – 8) = 0
বা, x = -3 বা, 5x = 8
বা, x = ⁸/₅ = 1³/₅
বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
x ≠ – 3 ∴ x = 1³/₅
Ans: স্রোতের বেগ 1³/₅ কিমি/ঘন্টা।
জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় কিভাবে করবে তা দেখতে এখানে Click করো।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌঁছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি ছিল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় x কিমি.
∴ এক্সপ্রেস ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় (x – 15) কিমি.
180 কিমি. যেতে,
সুপারফাস্ট ট্রেনের সময় লাগেxতার 180/x ঘন্টা এবং
এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে তার 180/(x – 15) ঘন্টা
প্রশ্নানুযায়ী,$\Large{\quad\frac{180}{x-15}-\frac{180}{x}=1 \\ ⇒\frac{180x-180(x-15)}{x(x-15)}-=1 \\ ⇒\frac{180x-180x-2700}{x^{2}-15x}=1}$
⇒ x² – 15x = 2700
⇒ x² – 15x – 2700 = 0
= x² – 60x + 45x – 2700 = 0
⇒ x(x – 60) + 45(x – 60) = 0
⇒ (x – 60)(x + 45) = 0
হয় (x – 60) = 0 নতুবা (x + 45) = 0
বা, x = 60 বা, x = -45
যেহেতু ট্রেনের গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ -45
∴ x = 60
Ans: সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 60 কিমি.
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকার চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।
সমাধানঃ
ধরি প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম x টাকা
∴ x টাকায় পাওয়া যায় 1 কিগ্রা. মাছ
1 টাকায় পাওয়া যায় ¹/_x কিগ্রা. মাছ
240 টাকায় পাওয়া যায় ²⁴⁰/_x কিগ্রা. মাছ
আবার প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম (x – 20) টাকা এবং প্রতি কিগ্রা. চালের দাম (x -40) টাকা
∴ 240 টাকায় পাওয়া যায় ²⁴⁰/_{(x – 20)} কিগ্রা. ডাল
এবং 280 টাকায় পাওয়া যায় ²⁸⁰/_{(x – 40)} কিগ্রা. চাল প্রশ্নানুযায়ী,
প্রশ্নানুযায়ী, $\Large{\quad\frac{240}{x}+\frac{240}{x-20}=\frac{280}{x-40} \\ ⇒\frac{240(x-20)+240x}{x(x-20)}= \frac{280}{x-40}\\⇒ \frac{240x-240×20+240x}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{480x-4800}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{40(12x-120)}{x^{2} -20x}= \frac{280}{x-40}\\⇒\frac{12x-120}{x^{2} -20x}= \frac{7}{x-40}}$
⇒ (12x – 120)(x – 40) = 7(x² – 20x)
⇒ 12x² – 480x – 120x + 4800 = 7x² – 140x
= 12x² – 7x² – 600x + 140x + 4800 = 0
⇒ 5x² – 460x + 4800 = 0
⇒ 5(x² – 92x + 960) = 0
= x² – 92x + 960 = 0
⇒ x² – 80x – 12x + 960 = 0
⇒ x(x – 80) – 12(x – 80) = 0
∴ (x – 80)(x – 12) = 0
হয় (x – 80) = 0 নতুবা (x – 12) = 0
বা, x = 80 বা, x = 12
যেহেতু প্রতি কিগ্রা. ডালের দাম, প্রতি কিগ্রা. মাছের দামের চেয়ে 20 টাকা কম তাই প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম 12 টাকা হতে পারে না।
∴ x = 80
Ans: প্রতি কিগ্রা. মাছের দাম 80 টাকা।
Madhyamik Question
MP-2020
▶️ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে, সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 1.3
KOSHE DEKHI 1.5
April 6, 2023

Complete Solution of MP-23 Mathematics

Complete Solution of MP-23

মাধ্যমিক গণিত ২০২৩ সমাধান

2023 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২৩

2023
MATHEMATICS
Time – 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks-90 -For Regular Candidates
100 – For External Candidates

Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে। ]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায় ]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]

Complete Solution of MP-23 Physical Science CLICK HERE
Complete Solution of MP-23 English CLICK HERE

Complete Solution of MP-23

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো : 1×6-6

(i) A, B, C তিন বন্ধু যথাক্রমে x, 2x, y টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল, মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে, A-এর লভ্যাংশ হবে
(a) ^xz/_3x+y টা:
(b) ^2xz/_3x+y টা:
(c) ^z/_2x+y টা:
(d) ^xyz/_3x+y টা:
Ans: (a) xz/3x+y টা:
[ মূলধনের অনুপাত = x : 2x : y
মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে,
A-এর লভ্যাংশ হবে = z . x/(x+2x+y)
= xz/3x+y]

(ii) x²= x এই সমীকরণটির সমাধান সংখ্যা
- (a) 1 টি
- (b) 2 টি
- (c) 0 টি
- (d) 3 টি
- Ans: (b) 2 টি
  [ x²= x
  বা, x²– x = 0
  বা, x(x-1)= 0
  ∴ x = 0, x = 1 ]
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা হবে
- (a) 1 টি
- (b) 2 টি
- (c) 3 টি
- (d) 4 টি
- Ans: (a) 1 টি
(iv) θ এর যে মানের জন্য 5 + 4 sinθ -র বৃহত্তম মান হবে
- (a) 9
- (b) 1
- (c) 0
- (d) 5
- Ans: (a) 9
  [ 0 ≤ sinθ ≤ 1
  ⇒ 4×0 ≤ 4sinθ ≤ 4×1
  ⇒ 5 + 0 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 4 +5
  ⇒ 5 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 9

(v) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
(a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16
Ans: (b) 9:4

[ধরি, নিরেট গোলকে দুটির ব্যাসার্ধ a এবং b একক।$$\therefore \frac{\frac{4}{3}\pi a^3}{\frac{4}{3}\pi b^3}=\frac {27}{8} \\⇒ \frac{a^3}{b^3}=\frac {3^3}{2^3}\\⇒ \frac{a}{b}=\frac {3}{2}$$∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =$$\frac{4\pi a^2}{4\pi b^2}=\frac {3^2}{2^2} \\ \quad \quad \quad= \frac{9}{4}$$(vi) একটি চলকের তিনটি মান 4, 5 এবং 7, তাদের পরিসংখ্যা যথাক্রমে p – 2. P + 1 ও p – 1. চলকটির যৌগিক গড় 5.4 হলে p এর মান হবে :$$(a) \quad 1 \\ (b) \quad 2 \\(c) \quad 3 \\ (a) \quad 4 \\ Ans(d) \quad 4 $$ প্রশ্নানুযায়ী,$$\frac{4.(p−2)+5.(p+1)+7.(p−1)}{p-2+p+1+p-1}=5.4\\⇒\frac{4p-8+5p+5+7p−7}{3p-2}=5.4\\⇒\frac{16p-10}{3p-2}=5.4\\⇒5.4(3p-2)=16p-10\\⇒16.2p-10.8=16p-10\\⇒16.2p-16p=-10+10.8\\⇒.2p=0.8\\⇒p=4$$

Complete Solution of MP-23

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি) :

(i) 180 টাকার 1 বছরের সুদ আসল 198 টাকা হলে বার্ষিক সরল সুদের হার __________।
- Ans: 10%
  [আসল (P= 180 টাকা ;
  সময় (t)= 1 বছর
  সুদ আসল = 198 টাকা
  ∴ সুদ (I)= (198 – 180) = 18 টাকা
  18 = 180.r.1/100
  r = 10]
(ii) (a²bc) এবং (4bc) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x এর মান __________।
- Ans: 2abc
  [x²= a²bc×4bc
  বা, x²= (2abc)²
  বা, x = 2abc]

(iii) tanθ cos 60^o = ^√3/₂ হলে, sin (θ – 15^o) এর মান হবে __________।

Ans: ¹/_√2
[tanθ.cos60^o = ^√3/₂
বা, tanθ.¹/₂ = ^√3/₂
বা, tanθ = √3
বা, tanθ = tan60^o
বা, θ = 60^o
∴ sin(θ – 15^o)
= sin(60^o – 15^o)
= sin45^o = ¹/_√2]

(iv) ∠A এবং ∠B দ্বয় পূরক কোণ হলে ∠A + ∠B = __________।
Ans: 90°

(v) 8, 15, 10, 11, 7, 9, 11, 13 এবং 16 সংখ্যাগুলির মধ্যমা হবে __________।
Ans: 11
[সংখ্যাগুলিকে উর্দ্ধক্রমে সাজিয়ে পাই –
7, 8, 9, 10, 11, 11, 13, 15, 16
সংখ্যাগুলি মধ্যমা হলো (9+1)/2 = 5 তম পদ
মধ্যমা 11 ]

(vi) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার __________ ও _________ র সমন্বয়।
Ans: শঙ্কু, চোঙ

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি) : 1×5-5

(i) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের সুদের হার যথাক্রমে r1 %, r2%, 2r3% হয়, তবে P টাকার 3 বছরের শেষে সবৃদ্ধিমূল

$\Large{\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {r_3}{100}\right)}$

Ans: মিথ্যা $\Large{\\\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {2r_3}{100}\right)}$

(ii) cos 36° এবং sin 54° এর মান সমান।
Ans: সত্য
[cos 36° = cos (90 – 54)° = sin 54°]

(iii) কোনো বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর কেবলমাত্র একটি স্পর্শক টানা যায়।
Ans: মিথ্যা
[কোনো বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর দুটি স্পর্শক টানা যায়।]

(iv) 2ab : c², bc : a² এবং ca: 2b² এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1.
Ans: সত্য
[যৌগিক অনুপাত = 2ab.bc.ca : c²a²2b²
= 2(abc)² : 2(abc)² = 1 : 1]

(v) কোনো গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাংখ্য মান সমান হলে ব্যাসার্ধ 3 একক হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, গোলকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ r একক।
4πr² = 4/3πr³
r = 3]

(vi) 5, 2, 4, 3, 5, 2, 5, 2, 5, 2 তথ্যের সংখ্যাগুরু মান হবে 2 ।
Ans: মিথ্যা
[সংখ্যাগুরু মান হবে 2 ও 5]

Complete Solution of MP-23

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10-20

Complete Solution of MP-23

(i) শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 5 বছরের সুদ আসলের ²/₅ অংশ হবে তাহা নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, আসল(P) = x টাকা
সুদ (I) = ⅖x টাকা
সময় (t) = 5 বছর
বার্ষিক সুদের হার (r) = ?
I = Prt/100 সুত্র থেকে পাই,
⅖x = x × r × 5/100
বা, 2x = xr/4
বা, r = 8
Ans: বার্ষিক সরল সুদের হার 8%

(ii) কোনো ব্যবসায় A ও B এর মূলধনের অনুপাত ¹/₇ : ¹/₄, বছরের শেষে 11,000 টাকা লাভ হলে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
A ও B এর মূলধনের অনুপাত
= ¹/₇ : ¹/₄
= 4 : 7
11,000 টাকা লাভ হলে,
A এর লভ্যাংশ = 11,000 × 4/11 টাকা
= 1000×4 = 4000 টাকা
B এর লভ্যাংশ = 11,000 × 7/11 টাকা
= 1000×7 = 7000 টাকা
Ans: A এর লভ্যাংশ 4000 টাকা
B এর লভ্যাংশ 7000 টাকা

(iii) x² – x = K(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 2 হলে, K-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
x² – x = K(2x – 1)
বা, x² – x – K(2x – 1) = 0
বা, x² – x – 2Kx + K = 0
বা, x² – (1 + 2K)x + K = 0
প্রশ্নানুযায়ী,
1 + 2K = 2
বা, 2K = 1
বা, K = ½
Ans: K-এর মান ½

(iv) যদি b ∝ a² হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
b ∝ a²
বা, b = ka² – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
a এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে
b₁ : b₂ = k(a₁)² : k(a₂)²
= (a₁)² : (a₂)²
= 2² : 3² = 4 : 9
Ans: b-এর বৃদ্ধি 4 : 9 অনুপাতে বৃদ্ধি পায়

(v) একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা। BA এবং DC কে বর্ধিত করলে পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, ∠PCB = ∠PAD.
সমাধান:

(vi) ΔABC এর AC এবং BC বাহু দুটির উপর যথাক্রমে L এবং M দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থান করে যাতে LM || AB এবং AL = (x – 2) একক, AC = 2x + 3 একক, BM (x – 3) একক এবং BC = 2x একক, তবে x-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:

$\Large{\frac{LC}{AC} =\frac{MC}{BC}\\⇒\frac{AC-AL}{AC} =\frac{BC-BM}{BC}\\⇒\frac{(2x+3)-(x-2)}{2x+3} =\frac{2x-(x-3)}{2x}\\⇒\frac{2x+3-x+2}{2x+3} =\frac{2x-x+3}{2x}\\⇒\frac{x+5}{2x+3} =\frac{x+3}{2x}\\⇒2x(x+5)=(2x+3)(x+3)\\⇒2x^{2}+10x=2x^{2}+6x+3x+9\\⇒10x-9x=9\\⇒x=9}$x-এর মান = 9 (ANS)

(vii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক AB বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:
C বিন্দু দিয়ে একটি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা হল যা AB কে R বিন্দুতে ছেদ করে
R বিন্দু দিয়ে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অঙ্কি্ত সরল সাধারণ স্পর্শক দুটি হল RA ও RC
∴ ∠RA = RC
∠RAC = ∠RCA
অনুরূপে ∠RBC = ∠BCR
ABC ত্রিভুজে,
∠BAC + ∠ACB +∠CBA = 180°
বা, ∠RAC + ∠ACB +∠CBR = 180°
বা, ∠RCA + ∠BCR + ∠ACB = 180°
বা, ∠ACB + ∠ACB = 180°
বা, 2∠ACB = 180°
বা, ∠ACB = 90°
Ans: ∠ACB = 90°

(viii) tan 2A = cot(A – 30°) হলে, sec ( A + 20°) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
tan 2A = cot(A – 30°)
বা, tan 2A = tan{90° – (A – 30°)}
বা, 2A = 90° – A + 30°
বা, 2A + A = 120°
বা, 3A = 120°
বা, A = 40°
∴ sec ( A + 20°)
= sec ( 40° + 20°)
= sec 60° = 2
Ans: sec ( A + 20°) = 2

(ix) tanθ = ⁸/₂₅ হলে, sinθ র মান নির্ণয় করো।
সমাধান:

$tanθ = \frac{8}{25} \\⇒cotθ = \frac{25}{8} \\⇒cot^{2}θ =\left( \frac{25}{8}\right)^2 \\⇒\frac{cos^{2}θ}{sin^{2}θ}=\frac{225}{64}\\⇒\frac{cos^{2}θ+sin^{2}θ}{sin^{2}θ}=\frac{225+64}{64}\\⇒\frac{1}{sin^{2}θ}=\frac{289}{64}\\⇒sin^{2}θ=\frac{64}{289}\\⇒sinθ=\frac{8}{17}$Ans: sinθ =8/17

(x) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে AH/3V এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r একক
এখানে উচ্চতা = H একক
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (V) = ⅓πr²H
ভূমিতলের ক্ষেত্রফল (A) = πr²

$$\frac{AH}{3V}\\⇒\frac{\pi r^{2}.H}{3.\frac{1}{3}.\pi r^{2}H}\\⇒1$$Ans: AH/3V = 1

(xi) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r একক
চোঙের উচ্চতা = শঙ্কুর উচ্চতা = h একক
∴ চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত
= πr²h : ⅓ πr²h
= 3 : 1
Ans: নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত = 3 : 1

(xii) উর্ধ্বক্রমে সাজানো 6, 8, 10, 12, 13, x তথ্যের গড় ও মধ্যমা সমান হলে x এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
6, 8, 10, 12, 13, x তথ্যের গড়
= (6+8+10+12+13+x)/6
= (49 + x)/6
তথ্যের মধ্যমা
= (10 + 12)/2
= 22/2
= 11
প্রশ্নানুযায়ী,
(49 + x)/6 = 11
বা, 49 + x = 66
বা, x = 17
Ans: x এর মান = 17

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :

(i) ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ীর সংখ্যা 6¼ % হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 22500 জন ধূমপায়ী থাকলে, 2 বছর পূর্বে ওই শহরে কতজন ধূমপায়ী ছিল ?

সমাধান:
প্রদত্ত,
বর্তমান বছরে ওই শহরে ধূমপায়ীর সংখ্যা (P) = 22500 জন,
বার্ষিক ধূমপায়ীর সংখ্যা হ্রাসের হার (r) = 6¼=25⁄4 %,
সময় (t) = 2 বছর,
ধরি, 2 বছর পূর্বে ধূমপায়ীর সংখ্যা ছিল P জন।

শর্তানুযায়ী$$ P\left ( 1-\frac{\frac{25}{4}}{100}\right )^{2}=22500\\⇒P\left ( 1-\frac{25}{100\times 4}\right )^{2}=22500\\⇒P\left ( 1-\frac{1}{4\times 4}\right )^{2}=22500\\⇒P\left ( 1-\frac{1}{16}\right )^{2}=22500\\⇒P\left ( \frac{15}{16}\right )^{2}=22500\\⇒P=\frac{22500\times 16\times 16}{15\times 15}\\⇒P=25600$$

Ans: 2 বছর পূর্বে ওই শহরে 25600 জন ধূমপায়ী ছিল।
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ list of important wars and battles in Indian history CLICK HERE

(ii) একটি যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত 6:4:3, 4 মাস পরে প্রথম বন্ধু তাঁর মূলধনের অর্ধেক তুলে নেন এবং তার ৪ মাস পরে মোট লাভ হয় 61,050 টাকা। তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?

সমাধান:
তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত = 6:4:3
∴ এক বন্ধুর মূলধন 6x টাকা হলে অপর দুই বন্ধুর মূলধন হবে 4x টাকা এবং 3x টাকা।
এক মাস হিসাবে তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত হবে
= (6x.4 + 3x.8) : 4x.12 : 3x.12
= (24x + 24x) : 48x : 36x
= 48x : 48x : 36x
= 4 : 4 : 3
মোট লাভ হয় 61,050 টাকা।
∴ প্রথম বন্ধু পাবে
= 61,050 × 4/(4+4+3) টাকা
= 61,050 × 4/11 টাকা
= 5550 × 4 টাকা
= 22200 টাকা (Ans:)
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে
= 61,050 × 4/11 টাকা
= 5550 × 4 টাকা
= 22200 টাকা (Ans:)
তৃতীয় বন্ধু পাবে
= 61,050 × 3/11 টাকা
= 5550 × 3 টাকা
= 16650 টাকা (Ans:)

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3

(i) সমাধান করো :

$$\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0\quad (x ≠ 3, -3)$$সমাধানঃ $$\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0\\⇒a-\frac{1}{a}+6\frac{6}{7}=0 – – – – \left[\frac{x-3}{x+3}=a\right]\\⇒\frac{a^{2}-1}{a}+\frac{48}{7}=0\\⇒\frac{a^{2}-1}{a}=-\frac{48}{7}\\⇒7a^{2}-7=-48a\\⇒7a^{2}+48a-7=0\\⇒7a^{2}+49a-a-7=0\\⇒7a(a+7)-1(a+7)=0\\⇒(a+7)(7a-1)=0\\either(a+7)=0\quad or,(7a-1)=0\\\quad or,a=-7\quad\quad or,a=\frac{1}{7}\\\frac{x-3}{x+3}=-7\quad\frac{x-3}{x+3}\frac{1}{7}\\⇒x-3=-7x-21\quad 7x-21=x+3\\or,8x=-18\quad\quad or,6x=24\\or,x=-\frac{9}{4}\quad\quad or,x=4$$নির্ণেয় সমাধানঃ x=-9/4,4

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

(ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও 3 টি কলম বেশী পাওয়া যাবে। মূল্য কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় 12/x টি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/(x – 6) টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,

$\Large{\quad\frac {12×30}{x-6}-\frac {12×30}{x}=3\\⇒\frac {360x-360(x-6)}{x(x-6)}=3\\⇒\frac {360x-360x-360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×2}{x^{2}-6x}=1}$

⇒ x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
⇒ x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24)= 0
হয় x – 30 = 0 নতুবা x + 24 = 0
বা, x = 30 বা, x = -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3

(i) যদি x = ¹/_2-√3 এবং y = ¹/_2+√3 হয় তবে ¹/_x+1 + ¹/_y+1 এর মান নির্ণয় করো।

যদি $$x=\frac{1}{2-\sqrt3}, \quad y=\frac{1}{2+\sqrt3}$$হয় তবে $$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}$$এর মান নির্ণয় করো।সমাধানঃ$$ x=\frac{1}{2-\sqrt3}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2)^{2}-(\sqrt3)^{2}}\\=\frac{2+\sqrt3}{4-3}\\=2+\sqrt3\\\therefore x+1=2+\sqrt3+1\\=3+\sqrt3\\y=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^{2}-(\sqrt3)^{2}}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\\=2-\sqrt3\\\therefore y+1=2-\sqrt3+1\\=3-\sqrt3\\\therefore \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\\=\frac{1}{3+\sqrt3}+\frac{1}{3-\sqrt3}\\=\frac{3-\sqrt3+3+\sqrt3}{(3+\sqrt3)(3-\sqrt3)}\\=\frac{6}{(3)^{2}-(\sqrt3)^{2}}\\=\frac{6}{9-3}\\=\frac{6}{6}=1(Ans)$$

(ii) x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,

$\Large{\mathbf{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}$

সমাধান:
x ∝ y
বা, x = k₁y – – – -[k₁ একটি অশূন্য ধ্রুবক]
বা, y ∝ z বা, y = k₂z – – – -[k₂ একটি অশূন্য ধ্রুবক]
∴ x = k₁y
বা, x = k₁.k₂z
বা, x = k₁k₂z

$$\therefore\frac{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\\=\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}}{\frac{yz+zx+xy}{xyz}}\\=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{yz+zx+xy}\\=\frac{(k_{1}.k_{2}.z)^{2}+(k_{2}.z)^{2}+z^{2}}{k_{2}.z.z+z.k_{1}.k_{2}.z+k_{1}.k_{2}.z.k_{2}.z}\\=\frac{k_{1}^{2}k_{2}^{2}z^{2}+k_{2}^{2}z^{2}+z^{2}}{k_{2}z^{2}+k_{1}k_{2}z^{2}+k_{1}k_{2}^{2}z^{2}}\\=\frac{z^{2}(k_{1}^{2}k_{2}^{2}+k_{2}^{2}+1)}{z^{2}(k_{2}+k_{1}k_{2}+k_{1}k_{2}^{2})}\\\quad =k – – – – (k=Constant)$$$$\therefore\frac{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=k\\or,\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\\or,\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(Proved)$$

৪. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3

$$(i)\quad\frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1$$হলে দেখাও যে,$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$$সমাধানঃ$$\frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1\\\therefore a^{2}= b+c\\\therefore b^{2}=c+ a\\\therefore c^{2}=a+b$$ $$L.H.S =\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$$ $$=\frac{a}{a+a^{2}}+\frac{b}{b+b^{2}}+\frac{c}{c+c^{2}}$$ $$=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}$$ $$\qquad=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\qquad(Proved)$$

(ii) 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।
সমাধানঃ

ধরি, ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা 5 টি a, b, c, 54, 162
∴ a/b = b/c = c/54 = 54/162
∴ c/54 = 54/162
বা, c/54 = 1/3
বা, c = 18 আবার,
b/c = c/54
বা, b/18 = 18/54
বা, b/18 = 1/3
বা, b = 6
অনুরূপে a/6 =6/18
বা, a = 2
Ans: প্রথমটি 2

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :

(i) প্রমাণ করো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

স্বীকার : O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রামাণ্য বিষয় : ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ এবং
∠BAD+ ∠BCD = 2 সমকোণ
অঙ্কন : A, O এবং C, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ABC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠AOC = 2 ∠ADC – – – (∵ একই বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়)
বা, ∠ADC = ½ ∠AOC……..(i)
আবার ADC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
বা, ∠ABC = ½ প্রবৃদ্ধ ∠AOC……..(ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠ADC + ∠ABC
= ½ ∠AOC + ½ প্রবৃদ্ধ∠AOC
= ½ (∠AOC + প্রবৃদ্ধ∠AOC)
= ½× 4 সমকোণ
= 2 সমকোণ
অনুরূপে B, O এবং D, O যোগ করে প্রমাণ করতে পারি যে,
∠BAD+ BCD = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]

(ii) প্রমাণ করো বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে থাকে।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।৷
প্রামাণ্য বিষয়: OP ও AB পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, OP⊥ AB
অঙ্কন: AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু Q নিলাম। O, Q বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম। প্রমাণ: স্পর্শক AB-এর উপর স্পর্শবিন্দু P ছাড়া অন্য যে-কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হবে।
∴ OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
মনে করি, OQ বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ OR < OQ – – – [ ∵ R বিন্দু O ও Q-এর মধ্যবর্তী]
আবার, OR = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ OP<OQ
আবার Q বিন্দু AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু,
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
আবার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হয় লম্ব দূরত্ব।
∴ OP ⊥ AB (প্রমাণিত)

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও ঃ 3

(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠DAB এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। 0 বৃত্তটির কেন্দ্র হলে ∠XOY এর মান নির্ণয় করো।

∠BAX = ∠DAX = ½ ∠DAB – – -[AX, ∠DAB এর সমদ্বিখন্ডক] এবং
∠BCY = ∠DCY = ½ ∠DCB – – -[CY, ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক]
O,X; OY এবং OB যুক্ত করা হল।
BY বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOY ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCY
∴ ∠BOY = 2∠BCY
BX বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOX ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAX
∴ ∠BOX = 2∠BAX
∠XOY = ∠BOX + ∠BOY
= 2∠BCY + 2∠BAX
= 2 × ½ ∠DCB + 2 × ½ ∠DAB
= ∠DCB + ∠DAB
= 2 সমকোণ – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোনগুলির সমষ্টি দুই সমকোণ]
= 180°
Ans: ∠XOY = 180°

(ii) প্রমাণ করো – বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

স্বীকার: ABCD একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম যার AB ∥ DC
প্রামাণ্য বিষয়: AD = BC
অঙ্কন: A,C এবং B,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ∠ABC + ∠BCD = 180° – – – [ AB ∥ DC এবং DC ভেদক]
আবার, ∠DAB + ∠BCD = 180° – – – [∵ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ]
∴ ∠ABC + ∠BCD = ∠DAB + ∠BCD
বা, ∠ABC = ∠DAB
ΔABD ও ΔABC এর মধ্যে,
∠DAB = ∠ABC (পূর্বে প্রমাণিত)
∠ADB = ∠ACB – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
AB সাধারণ বাহু
A-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে
ΔABD ≅ ΔABC
AD = BC – – – [অনুরূপ বাহু]
বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম। (প্রমাণিত)

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :

(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 5 সেমি ও 6 সেমি। ঐ ত্রিভুজের একটি অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো।
(ii) 7 cm বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।
অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি এখানে ক্লিক করো।

12. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :

(ⅲ) যদি $\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ

$\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}\\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad∴xsinθ=x×\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=y×\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=ycosθ \\\quad∴\mathbf{xsinθ = ycosθ\quad (Proved)}}$

(ii) যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 cm, হয় তবে ওই বৃত্তের 5.5 7 cm দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
বৃত্তের পরিধি = 2.π.r
= 2. 22/7.7 cm
= 44 cm
44 cm বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে 2π^c কোণ
1 cm বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে 2π^c/44 কোণ
5.5 cm বৃত্তচাপ উৎপন্ন করে (2π^c×5.5)/44 কোণ
= π^c/4 কোণ
Ans: কেন্দ্রস্থ কোণটির বৃত্তীয় মান π^c/4 .

(iii) দেখাও যে,

$$\frac{tanθ + secθ – 1}{tanθ-secθ+1}=\frac{1+sinθ}{cosθ}$$$$RHS=\frac{tanθ+secθ-1}{tanθ-secθ+1}\\=\frac{tanθ+secθ-(sec^{2}θ-tan^{2}θ)}{tanθ-secθ+1}\\=\frac{(tanθ+secθ)-(secθ+tanθ)(secθ-tanθ)}{tanθ-secθ+1}\\=\frac{(tanθ+secθ)(1-secθ+tanθ)}{tanθ-secθ+1}\\=tanθ+secθ\\=\frac{sinθ}{cosθ}+\frac{1}{cosθ}\\=\frac{sinθ+1}{cosθ}\\=\frac{1+sinθ}{cosθ}=LHS\quad (Proved)$$

Complete Solution of MP-23

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(i) একটি অসম্পূর্ণ স্তম্ভের পাদদেশ থেকে 50 মি দূরের কোন বিন্দু থেকে তার অগ্রভাগের উন্নতি কোণ 30° স্তম্ভটি আর কত উচ্চতা বৃদ্ধি করলে ঐ বিন্দু থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° হবে।

ΔABC এর ক্ষেত্রে,
BC/AB = tan30°
বা, BC/50 =1/√3
বা, BC = 50/√3 – – – (i)
ΔABD এর ক্ষেত্রে,
BD/AB = tan45°
বা, BD/50 = 1
বা, BD = 50
বা, BC + CD = 50
বা, BC + x = 50
বা, BC = 50 – x – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
50/√3 = 50 – x
বা, 50 = √3(50 – x)
বা, 50 = 50√3 – √3x
বা, √3x = 50√3 – 50
বা, √3x = 50(√3 – 1)
বা, √3x = 50(√3 – 1)/√3
Ans: স্তম্ভটির উচ্চতা 50(√3 – 1)/√3 বৃদ্ধি করতে হবে।

(ii) একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি বাতি স্তম্ভের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° 360°, বাড়ি ও বাতি স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় কর।

ΔABC এর ক্ষেত্রে,
BC/AB = tan60°
বা, BC/AB =√3
বা, AB = BC/√3 – – – (i)
আবার AB = DE = BC/√3
ΔDEC এর ক্ষেত্রে,
EC/DE = tan30°
বা, EC/DE =1/√3
বা, EC/AB = 1/√3
বা, EC = 1/√3×BC/√3
বা, EC = BC/3
বা, 3EC = BC
বা, 3(BC – BE) = BC
বা, 3BC – BC = 3BE
বা, 2BC = 3AD – – – (∵ BE = AD)
বা, BC : AD = 3 : 2
Ans: বাড়ি ও বাতি স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত 3 : 2

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4×2=8

(i) 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহির্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

সমাধান:
1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলকের মোট আয়তন
= 4/3.π(1)³ + 4/3.π(6)³
= 4/3.π(1 + 216)
= 4/3.π.217 ঘনসেমি
নতুন গোলকের বহির্ব্যাসার্ধ =9 সেমি
ধরি, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ R সেমি
∴ নতুন গোলকের আয়তন
=4/3.π{(9)³ -(R)³} ঘনসেমি
প্রশ্নানুসারে,
4/3.π{(9)³ – (R)³} = 4/3.π.217
বা, (9)³ – (R)³} = 217
বা, 729 – (R)³ = 217
বা, – R³ = 217 – 729
বা, – R³ = – 512
বা, R³ = 512
বা, R³ = (8)³
বা, R = 8
Ans: নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ 8 সেমি

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুণ হতো, তবে শঙ্কুটির আয়তন 539 ঘন সেমি বেশি হতো। শঙ্কুটির উচ্চতা নির্ণয় করো। সমাধান:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r সেমি।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 2r সেমি।
শঙ্কুটির আয়তন
= ⅓ πr².2r ঘন সেমি
= ⅔ πr³ ঘন সেমি
উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুণ হলে,
শঙ্কুটির আয়তন হবে
= ⅓ πr².7r ঘন সেমি
= 7/3 πr³ ঘন সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
7/3.πr³ – ⅔.πr³ = 539
বা, ⅓.πr³(7 – 3) = 539
বা, 4.22/7.r³ = 539
বা, 4.22.r³ = 539.7
বা, 4.2r³ = 49.7
বা, (2r)³ = 7³
বা, 2r = 7
Ans: লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 7 সেমি।

(iii) সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমিটার। 1 ঘন ডেসিমিটার কাঠের ওজন 3 kg এবং গুঁড়িটির ওজন 18.48 কুইন্টাল হলে গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, গুঁড়িটির ব্যাসার্ধ r ডেসিমিটার এবং
উচ্চতা h ডেসিমিটার।
গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 440 বর্গ ডেসিমিটার।
∴ 2πгh = 440 – – – – – – (i)
18.48 কুইন্টাল = 1848 কেজি
3 kg কাঠের আয়তন 1 ঘন ডেসিমিটার
1848 kg কাঠের আয়তন ⅓×1848 ঘন ডেসিমিটার
= 616 ঘন ডেসিমিটার
∴ πr²h = 616 – – – – – – (ii)
(ii) ÷ (i) করে পাই,
πr²h/2πгh = 616/440
বা, r/2 = 56/40
বা, r/2 = 14/10
বা, r = 28/10
বা, 2r = 56/10 = 5.6
Ans: গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.6 ডেসিমিটার।

Complete Solution of MP-23

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4×2=8
(i) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের যৌগিক গড় 50 এবং মোট পরিসংখ্যা 120 হলে f₁ ও f₂ এর মান নির্ণয় করঃ

শ্ৰেণী সীমা	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
পরিসংখ্যা	17	f₁	32	f₂	19

সমাধানঃ
মোট পরিসংখ্যা 120
∴ 17 + f₁ + 32 + f₂ + 19 = 120
বা, f₁ + f₂ + 68 = 120
বা, f₁ + f₂ = 52 – – – (i)

শ্ৰেণী সীমা	পরিসংখ্যা (f_i)	মধ্যমান(x_i)	d_i = x_i – A	f_id_i
0-20	17	10	-40	-680
20-40	f₁	30	-20	-20f₁
40-50	32	50=A	0	0
60-80	f₂	70	20	20f₂
80-100	19	90	40	760
	N=f₁+f₂+68			∑f_id_i =-20f₁+20f₂+80 =20(f₂-f₁)+80

$$\bar x=A+\frac{\sum f_{i}d_{i}}{N}\\⇒50=50+\frac{20(f_{2}- f_{1}) + 80}{120}\\⇒0=\frac{20(f_{2}- f_{1}) + 80}{120}\\⇒0=20(f_{2}- f_{1}) + 80\\⇒20(f_{2}- f_{1}) = – 80\\⇒f_{2}- f_{1} = – 4—(ii)$$

(i) + (ii) করে পাই,
f₁ + f₂ + f₂ – f₁ = 52 + 4
বা, 2f₂ = 56
বা, f₂ = 28
আবার, f₁ + f₂ = 52
বা, f₁ = 52 – 28 = 24
Ans: f₁ = 24,
f₂ = 28

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো।

Complete Solution of MP-23

শ্ৰেণী সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	7	10	23	50	6	4

সমাধানঃ

শ্ৰেণী	বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0 বা 0-এর বেশি	100
10 বা 10-এর বেশি	100-7=93
20 বা 20-এর বেশি	93-10=83
30 বা 30-এর বেশি	83-23=60
40 বা 40-এর বেশি	60-50=10
50 বা 50-এর বেশি	10-6=4
60 বা 60-এর বেশি	4-4=0

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (0,100), (10,93),(20,83),(30,60),(40,10),(50,4),(60,0) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং বৃহত্তর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো :

শ্ৰেণী সীমা	50-59	60-69	70-79	80-89	90-99	100-109
পরিসংখ্যা	5	20	40	50	30	6

সমাধানঃ
(60-59)/2 = ½ = 0.5

শ্ৰেণী সীমা	শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
50-59	49.5-59.5	5
60-69	59.5-69.5	20
70-79	69.5-79.5	40
80-89	79.5-89.5	50
90-99	89.5-99.5	30
100-109	99.5-109.5	6

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 50
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 79.5-89.5
এখানে, l = 79.5; h = 89.5-79.5 = 10;
f₀ = 40; f₁ = 50; f₂ = 30

সংখ্যাগুরুমান=$$l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=79.5+\frac{50-40}{2×50-40-30}×10\\=79.5+\frac{10}{30}×10\\=79.5+\frac{10}{3}\\=79.5-3.33\\=82.83$$Ans: পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান = 82.83

PREVIOUS

HOME

NEXT

March 3, 2023

Category: X-Mathematics

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4 Complete Solution of Quadratic Equation

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.4

1. (i) 4x2 + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – l)-এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রী ধর আচার্যের সুত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পরি বুঝে লিখি।

2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

ii) (x – 2)(x + 4) + 9 = 0

(iii) (4x – 3)2 -2(x + 3) = 0

(v) 3x2 + 2x – 1 = 0

(v) 3x2 + 2x + 1 = 0

(vi) 10x2 – x – 3 = 0

(vii) 10x2 – x + 3 = 0

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

(viii) 25x2 – 30x + 7 = 0

(ix) (4x – 2)2 + 6x = 25

Madhyamik Question

MP-2020

Complete Solution of MP-23 Mathematics

Complete Solution of MP-23

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো : 1×6-6

(v) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে (a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16Ans: (b) 9:4

Complete Solution of MP-23

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি) :

(iii) tanθ cos 60o = √3/2 হলে, sin (θ – 15o) এর মান হবে __________।

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি) : 1×5-5

Complete Solution of MP-23

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10-20

Complete Solution of MP-23

(i) যদি x = 1/2-√3 এবং y = 1/2+√3 হয় তবে 1/x+1 + 1/y+1 এর মান নির্ণয় করো।

(ii) x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,

(ii) 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।সমাধানঃ

(i) প্রমাণ করো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

(ii) প্রমাণ করো – বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

(iii) দেখাও যে,

Complete Solution of MP-23

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4×2=8

Complete Solution of MP-23

Complete Solution of MP-23

1. (i) 4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – l)-এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রী ধর আচার্যের সুত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।

(iii) (4x – 3)² -2(x + 3) = 0

(v) 3x² + 2x – 1 = 0

(v) 3x² + 2x + 1 = 0

(vi) 10x² – x – 3 = 0

(vii) 10x² – x + 3 = 0

(viii) 25x² – 30x + 7 = 0

(ix) (4x – 2)² + 6x = 25

(v) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
(a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16
Ans: (b) 9:4

(iii) tanθ cos 60^o = ^√3/₂ হলে, sin (θ – 15^o) এর মান হবে __________।

(i) যদি x = ¹/_2-√3 এবং y = ¹/_2+√3 হয় তবে ¹/_x+1 + ¹/_y+1 এর মান নির্ণয় করো।

(ii) 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।
সমাধানঃ