Category: X-Mathematics

দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 Solution of Compound Interest
দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1
Solution of Compound Interest
দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1
Solution of Compound Interest
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
🔷 চক্রবৃদ্ধি সুদ ঃ কোন নির্দিষ্ট সমযের শেষে অর্জিত সুদ মূলধনের সাথে যুক্ত করে ওই সুদ-আসলকে পরবর্তী নির্দিষ্ট সময়ের জন্য নতুন মূলধন হিসেবে গণ্য করে যখন পুনরায় সুদ হিসাব করা হয়, তখন সেই সুদকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলে।
▶️ সমূল চক্রবৃদ্ধি ঃ মূলধন ও নির্দিষ্ট সময়ের চক্রবৃদ্ধি সুদের সমষ্টিকে সমূল চক্রবৃদ্ধি বলা হয়।
🔷 চক্রবৃদ্ধি সুদের পর্ব ঃ যে সময়ের পর চক্রবৃদ্ধি সুদ দেওয়া হয় তাকে চক্রবৃদ্ধি সুদের পর্ব বলে।
আসল = P টাকা
সময় = n বছর
সুদের হার = r%
সমূল চক্রবৃদ্ধি = A টাকা এবং
চক্রবৃদ্ধি সুদ = I টাকা হলে,
⛔ সমূল চক্রবৃদ্ধি ঃ $$$$$$A = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n\\}$$⛔ সুদ 1 বছর অন্তর অর্থাৎ 1 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n\\}$$⛔ সুদ 6 মাস অন্তর অর্থাৎ 2 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{2}}}{{100}}} \right)^{2n}\\}$$⛔ সুদ 4 মাস অন্তর অর্থাৎ 3 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{3}}}{{100}}} \right)^{3n}\\}$$⛔ সুদ 3 মাস অন্তর অর্থাৎ 4 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{4}}}{{100}}} \right)^{4n}\\}$$
⛔ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে সুদের হার যথাক্রমে r₁%, r₂%, r₃% হলে ঃ
$$\Large{A=P\left(1+\frac{r_1}{100}\right)\left(1+\frac{r_2}{100}\right)\left(1+\frac{r_3}{100}\right)\\}$$
⛔ t বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে ঃ
$$\Large{P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}-1 \right ]}\\$$
1. আমার কাছে 5000 টাকা আছে। আমি ওই টাকা একটি ব্যাংকে বার্ষিক 8.5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে জমা রাখলাম। 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট কত টাকা পাব হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=5000×\left ( 1+\frac{8.5}{100} \right )^{2}\\=5000×\left ( 1+\frac{85}{1000} \right )^{2}\\=5000×\left ( 1+\frac{17}{200} \right )^{2}\\=5000×\left ( \frac{217}{200} \right )^{2}\\=5000×\frac{217×217}{200×200}\\=\frac{217×217}{8}\\=5886.13}\)
Ans: 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট 5886.13 টাকা পাব।
2. 5000 টাকার বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল = 5000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (t) = 3 বছর।
আমরা জানি,
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=5000×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{3}\\=5000×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{2}\\=5000×\left ( \frac{25+2}{25} \right )^{3}\\=5000×\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}\\=5000×\frac{27×27×27}{25×25×25}\\=8×\frac{27×27×27}{25}\\=\frac{157464}{25}\\=6298.56}\)
Ans: 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 6298.56 টাকা।
3.গৌতমবাবু 2000 টাকা বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের জন্য ধার নিয়েছেন। 2 বছর পরে তিনি কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ দেবেন তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল = 2000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 6%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি,
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=2000×\left ( 1+\frac{6}{100} \right )^{2}\\=2000×\left ( 1+\frac{3}{50} \right )^{2}\\=2000×\left ( \frac{50+3}{50} \right )^{2}\\=2000×\left ( \frac{53}{50} \right )^{2}\\=2000×\frac{53×53}{2500}\\=4×\frac{53×53}{5}\\=\frac{11236}{5}\\=2247.20}\)
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= (2247.20 – 2000) টাকা
= 247.20 টাকা
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
4. 30000 টাকার বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল = 30000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
সময় (t) = 3 বছর।
আমরা জানি,
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=30000×\left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{3}\\=30000×\left ( \frac{100+9}{100} \right )^{3}\\=30000×\left ( \frac{109}{100} \right )^{3}\\=30000×\frac{109×109×109}{1000000}\\=3×\frac{109×109×109}{100}\\=38850.87}\)
Ans: 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= (38850.87 – 30000) টাকা
= 8850.87 টাকা
5. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 80000 টাকার 2½ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল = 80000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (t) = 2½ বছর।
আমরা জানি,
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=80000×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{2}\\=80000×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{2}\\=80000×\left ( \frac{21}{20} \right )^{2}\\=80000×\frac{441}{400}\\=200×441\\=88200}\)
পরবর্তী ¹/₂ বছরের ক্ষেত্রেঃ
আসল = 88200 টাকা
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (t) = ¹/₂ বছর।
পরবর্তী ¹/₂ বছরের সুদ
\(\Large{=\frac{P×r×t}{100}\\=\frac{88200×5×1}{100×2}\\=441×5\\=2205}\)
Ans: 2¹/₂ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
= (88200+2205) টাকা
= 90405 টাকা
6. ছন্দাদেবী বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের জন্য ধার করেন। চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা হলে, ছন্দাদেবী কত টাকা ধার করেছিলেন নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, ছন্দাদেবী P টাকা ধার করেছিলেন।
   প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (t) = 2 বছর।
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2496 টাকা।
আমরা জানি,
t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি
\(\Large{=P×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{2}\\=P×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{2}\\=P×\left ( \frac{27}{25} \right )^{2}\\=P×\frac{729}{625}\\=\frac{729P}{625}}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\Large{\frac{729P}{625}-P=2496\\⇒\frac{729P-625P}{625}=2496\\⇒\frac{104P}{625}=2496\\⇒P=\frac{2496×625}{104}\\⇒P=24×625\\⇒P=1500}\)
Ans: ছন্দাদেবী 15000 টাকা ধার করেছিলেন।
7. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধির হার সুদে কোন আসলের 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 2648 হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা,
সবৃদ্ধিমূল = A টাকা।
প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় (t) = 3 বছর।
চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2648 টাকা।
আমরা জানি,
t বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে,
\(\Large{=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}-1 \right ]}\)
∴ 3 বছরেরচক্রবৃদ্ধি সুদ
\(\Large{=P\left [ \left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{11}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{1331}{1000}-1 \right )\\=P×\frac{331}{1000}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad P×\frac{331}{1000}=2648\\⇒P=2648×\frac{1000}{331}\\⇒P=8×1000\\ \therefore P=8000}\)
Ans: নির্ণেয় আসলের পরিমাণ 8000 টাকা।
দশম শ্রেণির জৈব যৌগ-এর হাইড্রোকার্বনের উপর video tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।
8. রহমতচাচা বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখে 2 বছর পরে সুদে-আসলে 29702.50 টাকা ফেরত পেলেন। রহমতচাচা কত টাকা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা,
প্রদত্ত,
সবৃদ্ধিমূল (A) = 29702.50 টাকা।
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি,
t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,
\(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে
,\(\Large{=P\left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{2}\\=P\left ( \frac{9+100}{100} \right )^{2}\\=P\left ( \frac{109}{100} \right )^{2}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad P\left ( \frac{109}{100} \right )^{2}=29702.50\\⇒ x=\frac{2970250×100×100}{100×109×109}\\⇒ x=\frac{27250×100}{109}\\⇒ x=250×100\\ \therefore x=25000}\) Ans: রহমতচাচা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন 25000 টাকা।
9. বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, আসল (P) = x টাকা
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = ৪%
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 31492.80 টাকা
সময় (t) = 3 বছর।
আমরা জানি,
t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,
\(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)
∴ 3 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে
,\(\Large{=x\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{3}\\=x\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{3}\\=x\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad x\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}=31492.80\\⇒ x=\frac{3149280×25×25×25}{100×27×27×27}\\⇒ x=\frac{11664×25×25×25}{10×27×27}\\⇒ x=\frac{432×25×25×5}{2×27}\\⇒ x=\frac{16×25×25×5}{2}\\\therefore x=25000}\)Ans: আসলের পরিমাণ 25000 টাকা।
10. বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল (P) = 12000 টাকা,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 7.5%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি,
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ\(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=12000\left [ \left ( 1+\frac{7.5}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000\left [ \left ( 1+\frac{3}{40} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000\left [ \left ( \frac{43}{40} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000 \left( \frac{1849}{1600}-1 \right )\\=12000 × \frac{249}{1600}\\=15×\frac{249}{2}\\=\frac{3735}{2}\\=1867.50}\)2 বছরের সরল সুদ\(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{12000×7.5×2}{100}\\=120×15\\=1800}\)2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য\(\Large{=I_{1}-I_{2}\\=1867.50-1800\\=67.50}\)Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 67.50 টাকা।
11. 10,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
আসল (P) = 10000 টাকা,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (t) = 3 বছর।
3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
\(\large{I_{1}=P\left (1+\frac{r}{100}\right)^{3}-P\\\quad =P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100}\right )^{3}-1\right ]\\\quad =10000\left [\left (1+\frac{5}{100}\right)^{3}-1\right]\\\quad =10000\left [\left (1+\frac{1}{20}\right)^{3}-1\right]\\\quad =10000\left [\left (\frac{21}{20}\right)^{3}-1\right ]\\\quad =10000\left(\frac{9261}{8000}-1\right)\\\quad =10000 ×\frac{1261}{8000}\\\quad =5×\frac{1261}{4}\\\quad =\frac{6305}{4}\\\quad =1576.25}\)
3 বছরের সরল সুদ
3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য
= I₁ – I₂
⇒ 1576.25 টাকা – 1500 টাকা
= 76.25 টাকা
Ans: 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 76.25 টাকা।
পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি দেখতে এখানে CLICK করো
12. বার্ষিক 9% সুদের হারে কিছু টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা
ধরি, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I₁
প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
সময় (t) = 2 বছর।
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{109}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{11881}{10000} -1 \right )\\=P × \frac{11881-10000}{10000}\\=\frac{1881P}{10000}}\) 2 বছরের সরল সুদ \(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×9×2}{100}\\=\frac{18P}{100}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad I_{1}-I_{2}=129.60\\\therefore \frac{1881P}{10000}-\frac{18P}{100}=129.60\\⇒\frac{1881P-1800P}{10000}=\frac{12960}{100}\\⇒\frac{81P}{100}=12960\\⇒81P=1296000\\⇒P=16000}\)
Ans: টাকার পরিমাণ 16,000 টাকা।

13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অস্তর 930 টাকা হয়, তবে এই টাকার পরিমাণ কত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা
ধরি, 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I₁
প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় (t) = 3 বছর।
3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
\(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{3} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{11}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{1331}{1000} -1 \right )\\=P × \frac{331}{1000}\\=\frac{331P}{1000}}\) 3 বছরের সরল সুদ \(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×10×3}{100}\\=\frac{3P}{10}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{I_{1}-I_{2}=930\\\therefore \frac{331P}{1000}-\frac{3P}{10}=930\\⇒\frac{331P-300P}{1000}=930\\⇒\frac{31P}{1000}=930\\⇒31P=930.1000\\=30000}\)
Ans: টাকার পরিমাণ 30,000
14. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 7% এবং দ্বিতীয় বছর ৪% হয়, তবে 6000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
আসল = 6000 টাকা
প্রথম বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 7%
দ্বিতীয় বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 8%
1 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে
,\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=6000×\left ( 1+\frac{7}{100} \right )^{1}\\⇒A=6000×\frac{100+7}{100}\\⇒A=6000×\frac{107}{100}\\⇒A=60×107\\⇒A=6420}\)
∴ 1 বছর পর আসল বেড়ে হবে 6420 টাকা।
2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,
\(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=6420×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{1}\\⇒A=6420×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )\\⇒A=6420×\frac{25+2}{25}\\⇒A=6420×\frac{27}{25}\\⇒A=1284×\frac{27}{5}\\⇒A=\frac{1284×27}{5}\\⇒A=\frac{34668}{5}\\⇒A=6933.60}\)

Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 6933.60 – 6000
= 933.60 টাকা
15. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
আসল = 5000 টাকা
প্রথম বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%
দ্বিতীয় বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 6%
1 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,
\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=5000×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{1}\\⇒A=5000×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )\\⇒A=5000×\frac{20+1}{20}\\⇒A=5000×\frac{21}{20}\\⇒A=250×21\\⇒A=5250}\)
∴ 1 বছর পর আসল বেড়ে হবে 5250 টাকা।
2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,
\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=5250×\left ( 1+\frac{6}{100} \right )^{1}\\⇒A=5250×\left ( 1+\frac{3}{50} \right )\\⇒A=5250×\frac{50+3}{50}\\⇒A=5250×\frac{53}{50}\\⇒A=105×53\\⇒A=5565}\)
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 5565-5000
= 565 টাকা
বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ 200টি আবিষ্কার ও আবিষ্কারকের নাম জানতে এখানে CLICK করো।
16. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা।
বার্ষিক সুদের হার = r%
প্রদত্ত,
সময় (t) = 1 বছর।
1 বছরের সরল সুদ (I) = 50 টাকা
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 102 টাকা
আমরা জানি,
t বছরের সরল সুদ,
\(\Large{\quad I=\frac{Prt}{100}\\\therefore 50=\frac{p\times r\times 1}{100}\\\therefore \frac{pr}{100}=50 . . . (i)}\)
1 বছরের সরল সুদ = 50 টাকা
∴ 2 বছরের সরল সুদ = 2×50 = 100 টাকা
আবার চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,
দ্বিতীয় বছরের শুরুতে আসলের পরিমাণ = (p+50) টাকা
দ্বিতীয় বছরের শেষে সরল সুদের পরিমাণ
\(\Large{=\frac{( P + 50)×1×r}{100}\\=\frac{\left ( p + 50 \right ) r}{100}…(ii)}\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(\Large{\frac{\left ( P + 50 \right )r}{100}-\frac{Pr}{100}=102-100\\⇒\frac{Pr + 50r – Pr}{100}=2\\⇒50r=2\times 100\\⇒50r=200\\⇒r=4\\}\)(i) নং সমীকরণে r=4 বসিয়ে পাই,\(\Large{\quad\frac{P\times 4}{100}=5\\⇒P=\frac{50\times 100}{4}\\⇒P=1250}\)
Ans: মূলধনের পরিমাণ 1250 টাকা ও
বার্ষিক সুদের হার 4 টাকা।

17. কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, আসল = P টাকা।
এবং বার্ষিক সুদের হার = r%
প্রদত্ত,
সময় (t) = 2 বছর।
2 বছরের সরল সুদ ( I ) = 8400 টাকা
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 8652 টাকা।
সরল সুদের ক্ষেত্রে ঃ
আমরা জানি,
\(\Large{\quad I=\frac{Prt}{100}\\\therefore 8400=\frac{pr\times 2}{100}\\⇒\frac{pr}{100}=\frac{8400}{2}\\⇒\frac{pr}{100}=4200\quad….. (i)}\)
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে ঃ
চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল
\(\Large{\therefore 8652=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\⇒8652=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\⇒8652=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1^{2}\right ]\\⇒8652=P\left ( 1+\frac{r}{100}+1 \right )\left ( 1+\frac{r}{100}-1 \right )\\⇒8652=P\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\times \left ( \frac{r}{100} \right )\\⇒8652=\left ( \frac{Pr}{100} \right )\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\\⇒8652=4200\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\\⇒\left ( 2+\frac{r}{100} \right )=\frac{8652}{4200}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{8652}{4200}-2\\⇒\frac{r}{100}=\frac{8652-8400}{4200}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{252}{4200}\\\therefore r=\frac{252\times 100}{4200}=6\\}\) (i) নং সমীকরণে r = 6 বসিয়ে পাই,\(\Large{\quad \frac{P\times 6}{100}=4200\\\therefore P=\frac{4200\times 100}{6}\\=70000}\)
Ans: মূলধন 70000 টাকা ও
বার্ষিক সুদের হার 6 টাকা
18. 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
সুদের পর্ব (n) = 6 মাস = 12/6 = 2
সুদের হার (r) = 8%
আসল (P) = 6000 টাকা
সময় (t) = 1 বছর
আমরা জানি,
1 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে,
\(\Large{\quad I=P\left[\left ( 1+\frac{r}{100n} \right )^{nt}-1\right]\\=6000\left[\left ( 1+\frac{8}{100\times 2} \right )^{2\times 1}-1\right]\\=6000\left[\left ( 1+\frac{1}{25} \right )^{2}-1\right]\\=6000\left[\left ( \frac{25+1}{25} \right )^{2}-1\right]\\=6000\left[\left ( \frac{26}{25} \right )^{2}-(1)^2\right]\\=6000\left ( \frac{26+25}{25} \right )\left ( \frac{26+25}{25} \right )\\=6000\times \frac{51}{25}\times \frac{1}{25} \\=48\times \frac{51}{5} \\=\frac{2448}{5} \\=489.60}\)
Ans: 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 489.60 টাকা
দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ
19. 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6250 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
      ∵ 3 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
সুদের পর্ব (n) = 3 মাস = 12/3 = 4
সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 6250 টাকা
সময় (t) = 9 মাস = 9/12 = ¾ বছর
আমরা জানি,
t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে
,\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100n} \right )^{nt}\\⇒A=6250\left ( 1+\frac{10}{100\times 4} \right )^{4\times \frac{3}{4}}\\⇒A=6250\left ( 1+\frac{1}{40} \right )^3\\⇒A=6250\left (\frac{40+1}{40} \right )^3\\⇒A=6250\times \frac{41\times 41\times 41}{40\times 40\times 40}\\\therefore A=6730.566\\A=6730.57}\)
∵ চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল (P)
= 6730.57-6250.00
= 480.57
উত্তর : নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি সুদ 480.57 টাকা (প্রায়)।
বিপ্রতীপ কোণ Opposite angles / Vertical angles / Vertically Opposite angles. Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।
20. যদি 60000 টাকার 2 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 69984 টাকা হয়, তবে বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = r (ধরি)
আসল (P) = 60000 টাকা
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 69984 টাকা
সময় (n) = 2 বছর
∴ 2 বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=60000 \left(1 + \frac{r}{100} \right)^2\\= 60000\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 60000\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=69984\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{69984}{60000}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{11664}{10000}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{2916}{2500}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{729}{625}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\left(\frac{27}{25}\right)^2\\⇒\frac{100+r}{100}=\frac{27}{25}\\⇒\frac{100+r}{4}=27\\⇒100+r=108\\⇒r=8}\)
উত্তর : নির্ণেয় বার্ষিক সুদের হার 8%

21. বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 8%
আসল (P) = 40000 টাকা
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 46656 টাকা
সময় (n) = t বছর (ধরি)
∴ t বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=40000 \left(1 + \frac{8}{100} \right)^t\\=40000 \left(1 + \frac{2}{25} \right)^t\\= 40000\left( \frac{25 + 2}{25} \right)^t\\= 40000\left( \frac{27}{25} \right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 40000\left( \frac{27}{25} \right)^t=46656\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{46656}{40000}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{11664}{10000}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{729}{625}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\left(\frac{27}{25}\right)^2\\\therefore t=2}\) উত্তর : নির্ণেয় সময় 2 বছর।
22. শতকরা বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = r% (ধরি)
আসল (P) = 10000 টাকা
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 12100 টাকা
সময় (n) = 2 বছর
∴ 2 বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=10000{ \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^2}\\= 10000{\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2}\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 10000{\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2}=12100\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\frac{12100}{10000}\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\frac{121}{100}\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\left(\frac{11}{10}\right)^2\\⇒\frac{100 + r}{100} =\frac{11}{10}\\⇒\frac{100 + r}{10} =11\\⇒100+r=110\\⇒r=10}\)
উত্তর : নির্ণেয় বার্ষিক সুদের হার 10%
দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ
23. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 50000 টাকা
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 60500 টাকা
সময় (n) = t বছর (ধরি)
∴ n বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\\=50000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^t\\=50000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^t\\=50000\left( \frac{11}{10} \right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 50000\left( \frac{11}{10} \right)^t=60500\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{60500}{50000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{121}{100}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\left(\frac{11}{10}\right)^2\\⇒t=2}\)উত্তর : নির্ণেয় সময় 2 বছর।
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
24. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরের 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 399300 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 300000 টাকা
সমূল চক্রবৃদ্ধি = 399300 টাকা
সময় (n) = t বছর (ধরি)
∴ n বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\\=300000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^t\\=300000\left(1+\frac{1}{10}\right)^t\\=300000\left(\frac{11}{10}\right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 300000\left(\frac{11}{10}\right)^t=399300\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{399300}{300000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{1331}{1000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\left(\frac{11}{10}\right)^3\\⇒t=3}\)
উত্তর : নির্ণেয় সময় 3 বছর।

25. সুদের পর্ব 6 মাস হলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1600 টাকার 1½ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সুদ-আসল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
            সুদের পর্ব 6 মাস = 12/6 = 2
সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 1600 টাকা
সময় (n) = 1½ বছর = 3/2 বছর
1½ বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
\(\Large{=P{\left( {1 + \frac{r}{{200}}} \right)^{2n}}\\=1600\times {\left( {1 + \frac{10}{{200}}} \right)^{2\times \frac{3}{2}}}\\=1600\times {\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^3}\\=1600\times {\left(\frac{21}{20} \right)^3}\\=1600\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\\= 1852.20}\)
চক্রবৃদ্ধি সুদ = (1852.20 – 1600) টাকা
= 252.20 টাকা
Ans: 1½ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 252.20 টাকা
সুদ-আসল= 1852.20 টাকা
দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ আমন 25,000 টাকা 3 বছরের জন্য এমনভাবে ধার করলেন যে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6%, 3 বছরের শেষে আমন সুদে আসলে কত টাকা জমা দেবে?
VIEW ANSER
▶️ 500 টাকার বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরের সুদ 105 টাকা হয়, নির্ণয় করো।
VIEW ANSER

▶️ সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের হার বার্ষিক 10% হলে, দ্বিতীয় বছরে কোনো মূলধনের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অনুপাত-
(a) 20 : 21 (b) 10 : 11 (c) 5 : 6 (d) 1 : 1
VIEW ANSER
▶️ আসল বা মূলধন এবং কোনো নির্দিষ্ট সময়ের চক্রবৃদ্ধি সুদের সমষ্টিকে _______________ বলে। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি
MP-2023
▶️ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের সুদের হার যথাক্রমে r1 %, r2%, 2r3% হয়, তবে P টাকার 3 বছরের শেষে সবৃদ্ধিমূল
\(\Large{\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {r_3}{100}\right)}\)
(সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা
\(\Large{\\\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {2r_3}{100}\right)}\)
MP-2022
▶️ বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন ________। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: P(1 + ^r/₁₀₀)
▶️ 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে?
VIEW ANSER

MP-2019
▶️ এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক সুদের হার ছিল ________ % (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 10
▶️ বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা
▶️ যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার 1¹/₂ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ নির্দিষ্ট আসলের উপর সমান হারে সুদ হলে 2 বছরের সরল সুদ, চক্রবৃদ্ধি সুদের তুলনায় বেশী। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
▶️ আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ঐ টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: এক
▶️ r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?
VIEW ANSER
▶️ বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
April 30, 2023
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
```
🔅🔅দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ ঃ-
      ax² + bx + c = 0   (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং  a ≠ 0)
```
✴️ শ্রীধর আচার্যের সূত্র ঃ
ax² + bx + c = 0 হলে
\(\Large{🔅\quad\quad x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}}\)
b² – 4ac কে নিরূপক বলে।
⛔(i) যদি b² – 4ac < 0 হয়, তবে বীজদ্বয় অবাস্তব বা কাল্পনিক এবং অসমান হবে।
⛔⛔(ii) যদি b² – 4ac = 0 হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং সমান হবে।
⛔⛔⛔(iii) যদি b² – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং অসমান হবে।
⛔⛔⛔⛔(iv) যদি b² – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, অমূলদ এবং অসমান হবে।
⭕ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে ঃ
x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + বীজদ্বয়ের গুনফল = 0
⇒ x² – (p + q)x + pq = 0
⭕ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে,
🔅বীজদ্বয়ের সমষ্টি\(\Large{\quad\quad p+ q =-\frac{b}{a}\\}\) 🔅বীজদ্বয়ের গুনফল\(\Large{\\\quad\quad pq =-\frac{c}{a}}\)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 1
1.নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) 2x² + 7x + 3 = 0
সমাধানঃ
2x² + 7x + 3 = 0
এখানে, a = 2; b = 7; c = 3;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² – 4.2.3
= 49 – 24 = 25 > 0
Ans: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
(ii) 3x² – 2√6x + 2 = 0
সমাধানঃ
3x² – 2√6x + 2 = 0
এখানে, a = 3; b = -2√6; c = 2;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-2√6)² + 4.3.2
= 24 – 24 = 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
(iii) 2x² -7x + 9 = 0
সমাধানঃ
2x² – 7x + 9 = 0
এখানে, a = 2; b = – 7; c = 9;
সমীকরণের নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= (-7)² + 4.2.9
= 49 – 72 = -23 <0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক
(iv) ²/₅ x² – ²/₃ x + 1 = 0
সমাধানঃ
²/₅x² – ²/₃ x + 1 = 0
এখানে, a = ²/₅ ; b = – ²/₃ ; c = 1;
প্রদত্ত সমীকরণটির নিরূপক
⇒ b² – 4ac
= ( – ²/₃ )² – 4 .²/₅.1
= ⁴/₉ – ⁸/₅
⇒ ^20-72/₄₅
= – ⁵²/₄₅ < 0
সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 2
2. k-এর কোন মান/ মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
(i) 49x² + kx + 1 = 0
সমাধানঃ
49x² + kx + 1 = 0
এখানে, a = 49 ; b = k ; c = 1;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac
⇒ (k)^² – 4.49.1 = 0
বা, k² = 196
বা, k = ±√196 = ±14
Ans: k = ±14
(ii) 3x² -5x + 2k = 0
সমাধানঃ
3x² – 5x + 2k = 0
এখানে, a = 3 ; b = – 5 ; c = 2 ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (-5)² – 4.3.2k = 0
বা‌, 25 – 24k = 0
বা – 24k = – 25
বা, k = ²⁵/₂₄
Ans: k-এর মান ²⁵/₂₄
(iii) 9x² -24x + k = 0
সমাধানঃ
9x² – 24x + k = 0
এখানে, a = -9 ; b = -24 ; c = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
⇒ b² – 4ac = 0
বা, (- 24)^² – 4.9.k = 0
বা, 36k = 576
∴ k = 16
Ans: k-এর মান 16
(iv) 2x²+ 3x + k = 0
সমাধানঃ
2x² + 3x + k = 0
এখানে, a = 2 ; b = 3 ; c = k ;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়। ∴
∴ b² – 4ac = 0
বা, (3)² – 4.2.k = 0
বা, 8k = 9
∴ k = ⁹/₈
Ans: k – এর মান ⁹/₈
(v) x² – 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0
সমাধানঃ
x²- 2(5+2k)x +3 (7+10k)=0
এখানে,
a = 1;
b = -2(5+2k);
c =3 (7+10k);
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {-2(5+2k)}² – 4.1.3(7+10k) = 0
বা, 4{(5+2k)² – 1.3(7+10k)} = 0
⇒ (5+2k)² – 3 (7+10k) = 0
বা, 25 + 20k + 4k² – 21 – 30k = 0
বা, 4k² – 10k + 4 = 0
⇒ 2(2k² – 5k + 2) = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0
বা, 2k(k-2) – 1(k-2)= 0
⇒ (k -2)(2k-1)=0
হয় (k -2) =0 নতুবা (2k-1)=0
বা, k = 2 বা, k = ½
Ans: k = 2 ও ½
(vi) (3k+1)x² + (2k+1)x + k = 0
সমাধানঃ
(3k+1)x² + 2(k+1)x + k = 0
এখানে,
a = (3k+1);
b = 2(k+1);
c = k;
সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরুপক : b² – 4ac = 0 হয়।
∴ b² – 4ac = 0
বা, {2(k+1)}² – 4. (3k+1).k = 0
বা, 4{(k+1)² – (3k+1).k} = 0
বা, (k+1)² – (3k+1).k = 0
⇒ k²+ 2k + 1 – 3k² – k = 0
বা, -2k² + k + 1 = 0
বা, -(2k² -k – 1) = 0
⇒ 2k² – k – 1 = 0
বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0
বা, 2k(k -1 ) + 1(k – 1) = 0
⇒ (2k + 1)(k – 1) = 0
হয় (2k + 1)= 0 নতুবা (k – 1) = 0
বা, 2k = – 1 বা, k = 1
বা, k = – ¹/₂
Ans: k = 2 ও – ¹/₂
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
Q. NO. 3
3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
(i) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
4, 2
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 4 ও 2 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (4 + 2) x + 4 . 2 = 0
বা, x²– 6 x + 8 = 0 (Ans.)
(ii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, -3
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও – 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-4 – 3) x + (-4 x- 3) = 0
বা, x²+ 7x + 12 = 0 (Ans.)
(iii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
-4, 3
সমাধানঃ
সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-4 + 3) x + (-4 x 3) = 0
বা, x²+ x – 12 = 0 (Ans.)
(iv) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
5, -3
সমাধানঃ সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 5 ও – 3 ;
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (5 – 3) x + (5 x- 3) = 0
বা, x²– 2x – 15 = 0 (Ans.)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
Q. NO. 4 & 5
4. m এর মান কত হলে 4x² + 4(3m-1)x + m + 7 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?
সমাধানঃ
4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের
বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে
^{(m + 7)}/₄ = 1 হবে
বা, (m -+7) = 4 হবে।
বা, m = – 3
Ans: m-এর মান হবে -3
5. (b – c)x² + (c – a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b = a + c
সমাধানঃ
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের মান সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে। অর্থাৎ b² – 4ac = 0 হবে।
এখানে, a = (b – c);
b = (c – a);
c = (a – b)
∴ (c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
বা, c² – 2ac + a² – 4ab + 4ac + 4b² – 4bc = 0
বা, a² + 4b²+ c² – 4ab – 4bc + 2ac = 0
⇒ (a)² + (-2b)²+ (c)² + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0
বা, (a -2b + c)² = 0
বা, (a – 2b + c) = 0
⇒ a + c = 2b
∴ 2b = a + c (প্রমাণিত)
Q. NO. 6 & 7
6. (a² + b²)x²– 2(ac + bd)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ^a/_b = ^c/_d
সমাধানঃ
(a² + b²)x – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় সমান.
∴ সমীকরণের নিরূপক অর্থাৎ b²-4ac = 0
এখানে,
a = (a² + b²);
b = -2(ac + bd);
c = (c² + d²) ;
∴ {- 2(ac + bd)}² -4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা, 4(ac+bd)² – 4.(a² + b²) (c² + d²) = 0
বা, 4{(ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²)} = 0
বা, (ac+bd)² – (a² + b²) (c² + d²) = 0
⇒ a²c² + 2abcd + b²d² – a²c² – a²d² – b²c² – b²d² = 0
বা, 2abcd – a²d² – b²c² = 0
বা, -(a²d² – 2abcd + b²c²) = 0
⇒ (ad – bc)² = 0
বা, ad – bc = 0
বা, ad = bc
∴ ^a/_b = ^c/_d (Proved)
7. প্রমাণ করি যে, 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয়।
সমাধানঃ
এখানে,
a = 2(a² + b²);
b = 2(a+b);
c = 1;
∴ 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0
সমীকরণের নিরূপক
= b² – 4ac
= {2(a + b)}² – 4.{2(a² + b²)}.1
= 4{(a + b)² – (2a² +2b²)}
= 4(a² + 2ab + b²– 2a² – 2b²)
⇒ 4(- a² + 2ab – b²)
= – 4(a² – 2ab + b²)
= – 4(a – b)²
∵ (a – b)² ≥ 0
∴ 4(a – b)² ≥ 4.0
∴ – 4(a – b)² ≤ 0
a ≠ b হলে,
– 4(a – b)² = 0 হয় অর্থাৎ নিরূপক শূন্য হয়।
নিরূপক শূন্য হলে বীজদ্বয়ের কোন বাস্তব বীজ থাকে না।
∴ a ≠ b হলে সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)
Q. NO. 8 & 9
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(i) α² + β² এর মান নির্ণয় করি।
(i) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α² + β²
= (α+β)² – 2.α.β
⇒ (- ²/₅)² – 2. (-³/₅)
= ⁴/₂₅ + ⁶/₅
= ^{(4 +30)}/₂₅
⇒ ³⁴/₂₅ (Ans)

8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(ii) α³ + β³ এর মান নির্ণয় করি।
(ii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
= α³ + β³
= (α+β)³ – 3.α.β (α+β)
⇒ (- ²/₅)³ – 3.(- ³/₅).(- ²/₅ )
= – ⁸/₁₂₅ – ¹⁸/₂₅
= ^{(- 8 – 90)}/₁₂₅
⇒ –⁹⁸/₁₂₅ (Ans)
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iii) ¹/_α + ¹/_β এর মান নির্ণয় করি।
(iii) সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +.β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
⇒ ¹/_α + ¹/_β
⇒ ^{(α +.β)}/_αβ
= ^– ^2/₅/_– _⅗
= ²/₃ (Ans)
8. 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
(iv) ^α²/_β + ^β²/_α এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
5x² + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α +β = – ²/₅ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল –
α×β = – ³/₅
প্রদত্ত রাশিঃ
\(\Large{=\frac{α^2}{β}+\frac{β^2}{α}\\=\frac{α^3+β^3}{αβ}\\=\frac{(α +β)^3-3α β(α +β)}{αβ}\\=\frac{\frac{-8}{125}-\frac{18}{25}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-8-90}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-98}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{-98\times 5}{-3\times 125}\\=\frac{98}{75}\quad Ans}\)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
9. ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac
সমাধানঃ
ধরি ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজ দুটি যথাক্রমে α ও 2α বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
α + 2 α = – ^b/_a
বা, 3α = – ^b/_a
বা, α = – ^b/_3a
বীজদ্বয়ের গুণফল-
\(\Large{\quad α\times 2α. =\frac{c}{a}\\⇒2α^2=\frac{c}{a}\\⇒2\left(\frac{-b}{3a}\right)^2=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a}=c\\⇒2b^2=9ac\quad (Proved)}\)

পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি
Q. NO. 10 & 11
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক , সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধানঃ
x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = – p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় ¹/_α ও ¹/_β
নির্ণেয় সমীকরনের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ¹/_α + ¹/_β
= ^{(α +.β)}/_αβ
⇒ ^-p/₁
= -p এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল
= ¹/_α . ¹/_β
= ¹/_αβ = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- p)x + 1 = 0
বা, x² + px + 1 = 0
11. x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β²
= (α +.β)² – 2α.β
⇒ (-1)² – 2.1
= 1- 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
= (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (-1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) x²– 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
(a) 2 (b) – 2 (c) 6 (d) – 6
Ans: (c) 6
সমাধানঃ
α + β = –^b/_a
= – ^(-6)/₁ = 6
(ii) x² – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল – 2 হলে, k-এর মান
(a) – 2 (b) – 8 (c) 8 (d) 12
Ans: (c) 8
সমাধানঃ
x² – 3x + k = 10
বা, x² – 3x + k-10 = 0
∴ ^c/_a = k-10
প্রশ্নানুযায়ী
k-10 = – 2
বা, k= -2+10 = 8
(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² – 4ac হবে
(a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 (d) কোনােটিই নয়
Ans: (a) > 0
(iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
(a) c = – ^b/_2a (b) c = ^b/_2a (c) c = – ^b²/_4a (d) c = ^b²/_4a
Ans: (d) c = ^b²/_4a
সমাধানঃ
বীজদ্বয় সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে অর্থাৎ
b² – 4ac = 0 হবে।
বা, – 4ac = – b²
⇒ 4ac = b²
বা, c = ^b²/_4a
(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজয় α এবং β হলে ¹/_α + ¹/_β এর মান
(a) – ³/₈ (b) ²/₃ (c) – 4 (d) 4
Ans: (c) 4
সমাধানঃ
α + β = – ^b/_a
= – ⁽⁸⁾/₃ = –⁸/₃ এবং
αβ = ^c/_a
= ²/₃
∴ ¹/_α + ¹/_β = ^{(β+ α)}/_αβ
= ^–⁸/₃/_²/₃
= -4
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
Ans: উক্তিটি মিথ্যা।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (-1)² – 4.1.1
⇒ 1 – 4
= -3 < 0
(ii) x² – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
Ans: উক্তিটি সত্য ।
সমাধানঃ
নিরুপক = b² – 4ac
= (1)² – 4.1.2
⇒ 1 – 8
= -7 < 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i)7x² – 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ________
Ans: 2 : 3
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – ^(-12)/₇ = ¹²/₇
বীজদ্বয়ের গুণফল = ¹⁸/₇ ;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত
= ¹²/₇ : ¹⁸/₇
⇒ 12 : 18
= 2 : 3
(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = ________
Ans: a
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = 1
বা, c = a
(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে a + c = ________
Ans: 0
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের গুণফল : ^c/_a = – 1
বা, c = -a
বা, a + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধানঃ
বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল 24
∴ দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ
x² – ( বীজদ্বয়ের সমষ্টি).x+ বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x² – 14x + 24 = 0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ x² – 14x + 24 = 0
(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
kx²+ 2x + 3k = 0 সমীকরণের
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –²/_k এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = ^3k/_k = 3
∵ বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুনফল সমান।
∴ –²/_k = 3
বা, k = – ²/₃
Ans: k-এর মান – ²/₃
(iii) x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, ( α – β )এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β ;
α + β = -(-22) = 22 এবং
α.β = 105
∴ ( α – β )² = ( α + β )² – 4α β
বা, ( α – β )² = (22)² – 4 x 105
বা, ( α – β )²= 484 – 420 = 64
⇒ α – β = ±√64
বা, α – β = ±8
Ans: α – β = এর মান ± 8.
(iv) x² – x = k(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² – x = k(2x – 1)
বা, x² – x – 2kx + k = 0
বা, x² – (1 + 2k)x + k = 0
প্রশ্নানুযায়ী,
1 + 2k = 0
বা, 2k = -1
বা, k = – ¹/₂
Ans: k-এর মান – ¹/₂
(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x² + bx + 12 = 0 এর একটি বীজ 2,
∴ (2)² + b.2 + 12 = 0
বা, 4 +2b +12 = 0
বা, 2b +16 = 0
⇒ 2b = -16
বা, b = -8
আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণেরও একটি বীজ 2
∴ (2)² + b.2 + q = 0
বা, 4 +2.(-8) +q = 0 . . . . . .[∵ b = -8]
বা, 4 – 16 +q = 0
⇒ – 12 +q = 0
বা, q = 12
Ans: q-এর মান 12
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α, β হলে ¹/_α + ¹/_β এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ যদি ax² + abcx + bc= 0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে-
(a) abc = 1 (b) b = ac (c) bc = 1 (d) a = bc
Ans: (d) a = bc
[ধরি, বীজদ্বয় α ও ¹/_α
∴ α × ¹/_α = ^bc/_a
বা, 1 = ^bc/_a
বা, a = bc]
MP-2022
▶️ 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?
VIEW ANSER
▶️ সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ 5x² – 2x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি α ও β হলে ¹/_α + ¹/_β-এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ ax² + 2bx + c = 0 (a≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, b² = ________ হবে
VIEW ANSER

▶️ x²– 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
(a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3

Ans: (c) 3
MP-2019
▶️ x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে সমীকরণটি লেখ।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)

Ans: সমান
PREVIOUS
NEXT
April 13, 2023

error: Content is protected !!