PROSTUTI

Category: X-Mathematics

  • বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান – কষে দেখি – 7.1 || Class – X Koshe Dekhi – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    প্রয়োজনীয় উপপাদ্য এবং তথ্যসমূহ

    ✴️ পরিধিস্থ কোণ:  কোনো বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপ পরিধির উপর যে কোণ উৎপন্ন  করে তাকে বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ বলে।
    ▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণের সংখ্যা অসংখ্য।
    ▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন সকল পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ  কোণের মান সমান হয়। 

    ✴️ কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।

    নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;

    নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;

    B A C O P

    ▶️ একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা দুটি এবং কেবল মাত্র দুটি কেন্দ্রস্থ কোণ অঙ্কন করা সম্ভব যার একটা অবশ্যই প্রবৃদ্ধ কোণ হবে।
    ▶️ যেকোনো বৃত্তের সমস্ত পরীক্ষা পরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ 360° এবং অর্ধপরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণের মান হয় 180°।

    ✴️ বৃত্তস্থ কোণের সঙ্গে কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক:✴️

    একই বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

    ▶️ একই বৃত্তাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ
    হয়।
    ▶️ কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলির মান সমান।
    ▶️ একই বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ x° হলে, কেন্দ্রস্থ কোন হবে
    2x°
    ▶️ বৃত্তের একই চাপের উপর অবস্থিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ x° হলে,পরিধিস্থ
    কোন হবে x/2°;
    ▶️ একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোন x° ও y° হলে,
    x° = y° হবে

    1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।

    B A C O P 110°

    সমাধান:
    △BOC থেকে পাই,
    OB=OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    প্রদত্ত ∠BOC = 100°
    ∴ ∠OBC + ∠OCB = 180° – 100°
    = 80°
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    = 80°/2
    = 40°
    আবার,
    প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° – ∠BOC
    = 360° – 100°
    = 260°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
    ∴  প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
    বা, 2∠BAC = 260°
    বা, ∠BAC = 260°/2
    = 130°
    আবার △ABC থেকে পাই,
    AB = BC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∵ ∠BAC = 130°
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    = (180°−130°)/2
    = 50°/2
    =25°
    ∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC
    = 25° + 40° = 65°
    Ans: ∠ABC এর মান 25° এবং
    ∠ABO এর মান 65°।

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।

    A B C O P 110° 40°

    সমাধান:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
    ∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
    আবার, ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ∠AOC
    = 360° – 110°
    = 250°
    ∴ ∠ABC = ½ × ∠AOC
    = ½ × 250°
    = 125°
    Ans: ∠ABC –এর মান 125°।

    3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।

    108° ABCD O P

    সমাধান:
    ∠এখানে, ∠BCP = 108°
    ∴ ∠BCD = 180° – 108°
    = 72°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
    ∴ ∠BOD = 2×∠BCD
    বা, ∠BOD = 2 × 72°
    = 144°
    Ans: ∠BOD –এর মান 144°।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    (Theorems related to Angles in a Circle)

    4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

    40°35° O A C B D

    সমাধান:
    প্রদত্ত ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°
    একই বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA
    ∴ ∠DOA = 2 × ∠DCA
    বা, ∠DCA = ½ × ∠DOA
    = ½ X 40°
    ⇒ 20°
    ∴ ∠BCO = ∠DCA+ ∠ACB
    ⇒ 20° + 35°
    = 55°
    আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠AOB = 2 × ∠ACB
    = 2 × 35°
    = 70°
    ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD
    = 70° + 40°
    = 110
    Ans: ∠BCO = 55° এবং
    ∠BOD = 110°

    5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

    O A B C D P

    সমাধান:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
    ∴ ∠AOB = 2∠ACB
    আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
    ∴ ∠COD = 2∠DBC
    ∴ ∠AOB + ∠COD
    = 2∠ACB + 2∠DBC
    = 2(∠ACB + ∠DBC)
    ⇒ 2(∠PCB + ∠PBC) – – – (1
    △PBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB
    ∴ ∠PCB + ∠PBC = ∠APB
    বা, ∠PCB + ∠PBC = 80° – – – [∵ ∠APB = 80°]
    (1) নং থেকে পাই,
    ∠AOB + ∠COD = 2 × 80°
    = 160°
    Ans: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°

    ২০০ টি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ও আবিষ্কারক CLICK HERE

    6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
    (i) ∠PBQ = ∠CAD
    (ii) ∠BPC = ∠BQD

    C D A B P Q

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    (i) ∠PBQ = ∠CAD
    (ii) ∠BPC = ∠BQD
    অঙ্কনঃ C, B ও B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
    ∴ ∠PCA = 2∠PBA – – – (1)- – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
    আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
    ∴ ∠ADQ = 2∠ABQ – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ∠PCA + ∠ADQ
    = 2∠PBA + 2∠ABQ
    = 2(∠PBA + ∠AQB)
    ⇒ ∠PCA + ∠ADQ
    = 2∠PBQ – – – (3)
    △APC –এর ক্ষেত্রে,
    ∠APC = ∠PAC – – – [∵ CP = CA]
    ∵ ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
    বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
    বা, ∠PCA = 180° – 2∠PAC – – – (3)
    অনুরূপে, △ADQ –এর ক্ষেত্রে,
    ∠ADQ = 180° – 2∠DAQ – – – (4)
    (3) + (4) করে পাই,
    ∠PCA + ∠ADQ = 180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ
    বা, 2∠PBQ = 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) – – – [(3) থেকে পাই]
    বা, 2∠PBQ = {2(180° – (∠PAC + ∠DAQ)}
    ⇒, ∠PBQ = (180° – (∠PAC + ∠DAQ)
    বা, ∠PBQ = ∠CAD [Proved]
    আবার, △ACB –এর
    CA = CB – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠CAB = ∠CBA
    অনুরূপে, △ADB –এর ক্ষেত্রে,
    ∠DAB = ∠DBA
    ∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
    বা, ∠CAD = ∠ABD
    কিন্তু, ∠CAD = ∠PBQ – – [পূর্বে প্রমাণিত]
    ∴ ∠CAD = ∠PBQ
    আবার, ∠PBD – ∠CAD = ∠PBD – ∠PBQ
    বা, ∠PBC = ∠DBQ
    ∴ ∠BPC = ∠BQD [Proved]

    7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90o

    O A B C

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠OBC + ∠BAC = 90°
    অঙ্কনঃ O, B ও O, C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
    △BOC থেকে পাই,
    BO = OC – – – [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
    বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
    ∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [Proved]

    8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।

    C D A B P Q

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রীয় দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
    অঙ্কনঃ A,P ; P,B ; B,Q ; A,Q এবং P, Q যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △APQ এর
    AP = PQ = AQ – – [ ∵ বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধও সমান ]
    ∴ △APQসমবাহু ত্রিভুজ
    ∴ ∠APQ = ∠AQP = 60°
    অনুরূপে, △BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।
    ∴∠BPQ = ∠BQP = 60°
    ∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ
    = 60° +60°
    = 120°
    অনুরূপে, ∠AQB = 120° 
    AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠ACB = ½ × ∠APB
    = ½ × 120°
    = 60°
    আবার APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠ADB = ½ × ∠AQB
    = ½ × 120°
    = 60°
    ∴ ∠DCB =180° – ∠ACB – ∠ADB
    = 180° – 60° – 60°
    = 60°
    △BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [Proved]

    দশম শ্রেণির বয়েলের সুত্র (Boyels Law) এর উপর Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।

    9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।

    S A B D C

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAD = ∠SAC
    অঙ্কনঃ S,A ; S,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △SAC এর,
    SA = SC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠SAC = ∠SCA
    S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ASC = 2∠ABC
    আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
    বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
    বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
    ⇒ ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
    বা, ∠SAC = 90° – ½ ×2∠ABC – – – [∵ ∠ASC = 2∠ABC]
    বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC – – – (1)
    ABD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠BAD = 90° – ∠ABD
    = 90° – ∠ABC – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ∠SAC = ∠BAD [Proved]

    10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
    যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।

    A B P D C O

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    O, D; O, B যুক্ত করা হল।
    ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
    অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
    ∴ ∠AOD = 2∠ABD – – – (1)
    আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
    ∴ ∠BOC = 2∠BDC – – – (2)
    △BDP –এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    (1) + (2) করে পাই,
    ∴ ∠AOD + ∠BOC
    = 2∠ABD + 2∠BDC
    ⇒ 2(∠ABD + ∠BDC)
    = 2(∠PBD + ∠BDP)
    = 2∠BPC
    ∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [Proved]
    যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
    তবে ∠AOD + ∠BOC = 180° হয়
    ∴ 2∠BPC = 180°
    বা, ∠BPC = 90°
    ∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। [Proved]

    11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

    A B P D C O

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
    অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    △BPC –এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
    ∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
    ∴∠BOD = 2∠BCD
    ∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
    (3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
    ∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
    বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]

    12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD

    A D B C P

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ A কেন্দ্রীয় বৃত্ত ABCD চতুর্ভুজের B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত ।
    B, D যুক্ত করা হল।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
    অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির উপর একটি বিন্দু নেওয়া হল। B,P এবং D, P যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △BCD থেকে পাই,
    ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
    বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) – – – (1)
    আবার ∠BCD + ∠BPD = 180° – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।]
    বা, ∠BCD = 180° – ∠BPD – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    180° – (∠CBD + ∠CDB) = 180° – ∠BPD
    বা, ∠CBD + ∠CDB = ∠BPD – – – (3)
    BCD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠BPD পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ।
    ∴ ∠BPD = 1/2∠BAD – – – (4) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    (3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
    বা, ∠CBD + ∠CDB = 1/2∠BAD [Proved]

    13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC

    O A B D C P

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
    অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
    △BOD ও △COD থেকে পাই,
    BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    OD সাধারণ বাহু।
    ∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
    ∴ △BOD ≅ △COD
    অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
    ∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
    বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    2∠BOD = 2∠BAC
    বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
    (A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

    H

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান (a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20

    O P Q R S 140° X°

    Ans: (d) 20
    [O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
    কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ
    = 180° – 140°
    = 40°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ
    = ½ ∠ROQ
    ⇒ ½ × 40°
    = 20°
    ∴ x = 20]

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান (a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200

    O P R Q 140 80° X°

    Ans: (a) 70
    [∠QOR = 360° – (140° + 80°)
    = 360° – 220°
    = 140°
    ∴ ∠QPR = 1/2 ∠QOR
    = 1/2 × 140°
    = 70°
    ∴ x = 70]

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান (a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80

    O A B C D50° X°

    Ans: (b) 50
    [Δ AOB এর OB = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB = ∠OBA
    = 50°
    ∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA
    = 50° + 50° – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    = 100°
    কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
    = 1/2 ∠AOC
    ⇒ 1/2 × 100°
    = 50°]

    (iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান (a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°

    C 50° A O B

    Ans: (c) 40°
    [ΔOAB এর AO = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
    ∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°)
    = 180° – 100°
    = 80°
    এখানে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
    = 1/2 ∠AOB
    ⇒ 1/2 × 80°
    = 40°]

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান (a) 20° (b) 40° (c) 60° (d) 80°

    R 10° P O Q 40°

    Ans: (c) 60°
    [△POQ –এর
    OP = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OPQ = ∠OQP = 10°
    ∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°)
    = 180° – 20°
    = 160°
    আবার, △ROQ –এর,
    OR = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠ORQ = ∠OQR = 40°
    ∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°)
    = 180° – 80°
    = 100°
    ∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ
    = 160° – 100°
    = 60°]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    সত্য বা মিথ্যা     / শূন্যস্থান পূরণ

    (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,

    D C A O B

    ∠AOB=2∠ACD

    Ans: মিথ্যা,
    [কারণ AB এবং AD দুটি বৃত্তচাপ অভিন্ন নয়।]

    (ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB=2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
    Ans: সত্য।
    [∠AOB = 2∠ACB
    চিত্রানুযায়ী,
    ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।
    আবার কোণদ্বয় একই বৃত্তচাপ AB-এর ওপর অবস্থিত ।
    সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত।
    C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

    (i) একই চাপের দ্বারা গঠিত সন্মুখ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের  __________ ।
    Ans: অর্ধেক

    (ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
    Ans: সমান

    (iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________ । 
    Ans: 120°

    prostuti_home
    দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40o, ∠ABC = 120o, ∠BCO=yo এবং ∠COA = xo হলে,
     x ও y-এর মান নির্ণয় করি

    PA 40°B 120° C y° O x°

    সমাধানঃ APC বৃত্তচাপের ওপর.
    কেন্দ্ৰস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ABC = ½ প্ৰবিদ্ধ ∠AOC – – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    ∴ 120° = ½(360° – x)
    বা, 240° = 360° – x
    বা, x = 360° – 240°
    ∴ x = 120°
    ∴ y = 360° – (40°+120° +120°)- – – [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]
    = 360° – 280°
    = 80°
    Ans: x-এর মান 120° ও
    y-এর মান y 80°

    (ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।

    O A B D C

    সমাধান:  O,B ;O,D ; O,C  যুক্ত করা হল ।
    BC বৃত্তচাপের ওপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC এবং কেন্দ্ৰস্থ কোণ ∠BOC
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC
    =2 × 40° = 80°
    ΔBOD ও ΔCOD এর ক্ষেত্রে,
    BD=DC – – – [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]
    OB = OC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    OD সাধারণ বাহু
    ∴ বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে,
    ΔBOD ≅ ΔCOD
    ∴ ∠BOD = ∠COD
    আবার ∠BOC = 80°
    ∴∠BOD = ∠COD
    =40°
    Ans: ∠BOD-এর মান 40°

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।

    O C B A

    ∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    ∠AOC = ∠ABC – – – [সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।]
    = 180°
    ABC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 ×∠ABC – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
    আবার,
    প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC + ∠AOC = 360°
    বা, 2 ×∠ABC + ∠AOC = 360°
    বা, 2 ×∠AOC + ∠AOC = 360°
    ⇒ 3∠AOC = 360°
    বা, ∠AOC = 120°
    Ans: ∠AOC-এর মান 120°

    (iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 এবং ∠ABC = 120° ; 

    O A C B

    বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    O,A ; O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
    Δ AOB ও ΔCOB এর মধ্যে
    OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    AB = BC – – – [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু]
    OB সাধারন বাহু
    ∴ Δ AOB ≅ ΔCOB
    ∠OBA = ∠OAB – – – [অনুরূপ কোণ]
    ∴ ∠OBA = ½ ∠ABC – – – {∠ABC = 120°]
    = ½ × 120°
    = 60°
    ∠OAB =∠OBA – – – [∵OA = OB]
    = 60°
    ∴ ∠AOB = 180° – 60° -60°
    = 60°
    ∴ Δ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
    ∴ AB = OA = 5 সেমি
    Ans: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি

    (v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত।

    A B C D P Q

    ∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    BC ও BD যুক্ত করা হল।
    প্রদত্ত ∠CQD = 70°
    B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CQD
    ∴ ∠CBD = 2 ×∠CQD – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
    = 2 × 70°
    = 140°
    আবার,
    ∠CPD + ∠CBD = 180° – – – [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়]
    বা, ∠CPD + 140° = 180°
    বা, ∠CPD = 40°
    Ans: ∠CPD-এর মান 40°

    Madhyamik Question

    MP-2017

    ▶️ (ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
  • রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS-X Statistics : Mean

    রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS-X Statistics : Mean

    রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

    রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

    কেন্দ্রীয় প্রবনতা ঃ   কোন তথ্যের কোনো কোনো বিশেষ সংখ্যা যেগুলো সম্পূর্ণ তথ্যের প্রতিনিধিত্ব করে, সেগুলি সাধারনত তথ্যের কেন্দ্রীয় অবস্থানের কাছাকাছি থাকে। তাই এই বিশেষ সংখ্যাগুলিকে তথ্যের মধ্যগামিতার মাপক বলা হয়।

    কেন্দ্রীয় অবস্থান ঃ  তথ্যের সংখ্যাগুলিকে উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজালে মাঝে সংখ্যা/ সংখ্যাগুলির কাছাকাছি অবস্থানকে কেন্দ্রীয় অবস্থান বলা হয়। 

    মধ্যগামিতার মাপক তিন প্রকার ঃ
    i)    গড় বা মধ্যক 
    i)    মধ্যমা 
    iii)  ভূয়িষ্ঠক বা সংখ্যাগুরুমান 

    যৌগিক গড় ঃ শুধু গড় বলতে যৌগিক গড়কে বোঝায়। সমজাতীয় কতকগুলি রাশির সমষ্টিকে রাশিগুলির মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রাপ্ত ভাগফলকে যৌগিক গড় বলে। 

    🔴ঃ গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী ঃ🔴

    ✴️ X চলের n সংখ্যক মান x1, x2, x3,…………… xn হলে X-এর যৌগিক গড় হয়

    $$\Large{\bar X={x_1+x_2+x_3+\cdots \cdots +x_n\over n}\\=\frac 1n \sum_{i=1}^n x_{i}}$$

    ✴️ X চলের n সংখ্যক মান x1, x2, x3,…………… xn হলে এবং তাদের অনুরূপ মানের পরিসংখ্যাগুলি যথাক্রমে f1, f2, f3,…………… fn হয় তাহলে তাদের ভারযুক্ত গড় হয়

    $$\Large{\bar X={f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+\cdots +f_n x_n\over f_1+f_2+f_3+\cdots \cdots +f_n}\\=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\\=\frac{\sum f_i x_i}{N}\quad \left[\because N=\sum_{i=1}^n f_{i}\right]}$$

    ✴️ কল্পিত গড় পদ্ধতিতে শ্রেণীবিভাগের মাধ্যমানকে কাল্পনিক গড় (A) ধরা হয়।
    A থেকে মানসমূহগুলির  বিচ্যুতি di হলে,
    di = xi – A
    বা, xi = di – A
    কল্পিত গড় পদ্ধতিতে X-এর গড় হয়

    $$\Large{ \bar X=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\\=\frac{\sum f_i(d_i -A)}{\sum f_i}\\=A+\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}$$

    ✴️️ক্রম বিচ্যুতি পদ্ধতি ঃ
    A =  কল্পিত গড়
    h = শ্রেণি পরিসরের দৈর্ঘ্য হলে,

    $$\Large{d_i = \frac{x_i – A}{h}\\ \bar X=A+\left(\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\right)\times h}$$

    1. আমি আমার 40 জন বন্ধুর বয়স নীচের ছকে লিখেছি,

    বয়স (বছর)151617181920
    বন্ধুর সংখ্যা47101054
    আমি আমার বন্ধুদের গড় বয়স প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    বয়স (বছর)(xi)বন্ধুর সংখ্যা (fi)fixi
    15460
    167112
    1710170
    1810180
    19595
    20480
    মোটΣfi=40Σfixi=697
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে আমার 40 জন বন্ধুর গড় বয়স$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{697}{40}\\=17.425\\\backsimeq 17.43}$$Ans: আমার 40 জন বন্ধুর গড় বয়স 17.43 বছর।

    গণিত প্রকাশ সম্পূর্ণ সমাধান

    2.গ্রামের 50 টি পরিবারের সদস্য সংখ্যা নীচের তালিকায় লিখেছি।

    সদস্য সংখ্যা234567
    পরিবারের সংখ্যা68141543
    ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা কল্পিত গড় পদ্ধতিতে লিখি।

    সমাধান:
    ধরি, কল্পিত গড় (a) = 5
    সদস্য সংখ্যাপরিবারের সংখ্যা (fi)di=xi – adifi
    26-3-18
    38-2-16
    414-1-14
    5 = a1500
    6414
    7326
    মোটΣfi=50Σdifi=-38

    সমাধান
    কল্পিত গড় পদ্ধতিতে 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা $$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=5+\frac{-38}{50}\\=5-0.76\\=4.64}$$Ans: 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা 4.24
    অধ্যায়বিষয়কষে দেখি
    1একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
    (Quadratic Equations
    with one variable)
    		কষে দেখি – 1.1
    কষে দেখি – 1.2
    কষে দেখি – 1.3
    কষে দেখি – 1.4
    কষে দেখি – 1.5
    2সরল সুদকষা (Simple Interest)কষে দেখি – 2
    3বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to circle)    		কষে দেখি – 3.1
    কষে দেখি – 3.2
    4আয়তঘন
    (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)    		কষে দেখি – 4
    5অনুপাত ও সমানুপাত
    (Ratio and Proportion)    		কষে দেখি – 5.1
    কষে দেখি – 5.2
    কষে দেখি – 5.3
    6চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস
    (Compound Interest and
    Uniform Rate of Increase or Decrease)    		কষে দেখি – 6.1
    কষে দেখি – 5.2
    7বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to
    Angles in a Circle)    		কষে দেখি – 7.1
    কষে দেখি – 7.2
    কষে দেখি – 7.3
    8লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)কষে দেখি – 8
    9দ্বিঘাত করণী
    (Quadratic Surd)    		কষে দেখি – 9.1
    কষে দেখি – 9.2
    কষে দেখি – 9.3
    10বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)    		কষে দেখি – 10
    11সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন
    (Construction : Construction of circumcircle
    and incircle of a triangle)    		কষে দেখি – 11.1
    12গোলক (Sphere)কষে দেখি – 12
    13ভেদ (Variation)কষে দেখি – 13
    14অংশীদারি কারবার (Partnership Business)কষে দেখি – 14
    15বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Tangent to a Circle)    		কষে দেখি – 15.1
    কষে দেখি – 15.2
    16লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)কষে দেখি – 16
    17সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
    (Construction: Construction of Tangent to a circle)    		কষে দেখি – 17
    18সদৃশতা (Similarity)কষে দেখি – 18.1
    কষে দেখি – 18.2
    কষে দেখি – 18.3
    কষে দেখি – 18.4
    19বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
    (Real life Problems related to different Solid Objects)    		কষে দেখি – 19
    20ত্রিকোণমিতি:
    কোণ পরিমাপের ধারণা    		কষে দেখি – 20
    21সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
    (Construction : Determination of Mean Proportional )    		কষে দেখি – 21
    22পিথাগোরাসের উপপাদ্য
    (Pythagoras Theorem)    		কষে দেখি – 22
    23ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
    (Trigonometric Ratios and
    Trigonometric Identities)    		কষে দেখি – 23.1
    কষে দেখি – 23.2
    কষে দেখি – 23.3
    24পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
    (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )    		কষে দেখি – 24
    25ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব
    (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)    		কষে দেখি – 25
    26রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা,
    ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান
    (Statistics : Mean, Median,
    Ogive, Mode)    		কষে দেখি – 26.1
    কষে দেখি – 26.2
    কষে দেখি – 26.3
    কষে দেখি – 26.4

    3. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 20.6 হয়, তবে a-এর মান নির্ণয় করি :

    চল (xi)1015a2535
    পরিসংখ্যা (fi)3102575

    সমাধান:
    চলপরিসংখ্যা (fi)fixi
    10330
    1510150
    a2525a
    257175
    355175
    মোটΣfi=50Σfixi=530+25a

    এখানে, যৌগিক গড় 20.6
    প্রশ্নানুযায়ী,$$\Large{\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}=20.6\\⇒\frac{530+25a}{50}=20.6\\⇒530+25a=20.6×50\\⇒530+25a=1030\\ ⇒25a=1030-530\\⇒25a=500\\\therefore a=20}$$Ans: a-এর মান 20

    রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1

    4. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 15 হয়, তবে p-এর মান হিসাব করে লিখি :

    চল510152025
    পরিসংখ্যা6p6105

    সমাধান:
    চলপরিসংখ্যা (fi)fixi
    5630
    10p10p
    15690
    2010200
    255125
    মোটΣfi=27+pΣfixi=445+10p

    এখানে, যৌগিক গড় 15
    প্রশ্নানুযায়ী,$$\Large{\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}=15\\⇒\frac{445+10p}{27+p}=15\\⇒445+10p=15(27+p)\\⇒445+10p=405+15p\\ ⇒10p-15p=405-445\\⇒-5p=-40\\\therefore p=8}$$Ans: p-এর মান 8

    5. রহমতচাচা তার 50 টি বাক্সে বিভিন্ন সংখ্যায় আম ভরে পাইকারি বাজারে নিয়ে যাবেন। কতগুলি বাক্সে কতগুলি আম রাখলেন তার তথ্য নীচের ছকে লিখলাম।

    আমের সংখ্যা50-5252-5454-5656-5858-60
    বাক্সের সংখ্যা6141695
    আমি ওই 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা হিসাব করে লিখি। (যে-কোনো পদ্ধতিতে )

    সমাধান:
    আমের সংখ্যাবাক্সের সংখ্যা
    পরিসংখ্যা (fi)    		শ্রেণী মধ্যক
    (xi)    		fixi
    50-52651306
    52-541453742
    54-561655880
    56-58957513
    58-60559295
    মোটΣfi=50Σfixi=2736
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{2736}{50}\\=54.72}$$Ans: 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা 54.72

    কষে দেখিঃ 26.1

    6. মহিদুল পাড়ার হাসপাতালের 100 জন রোগীর বয়স নীচের ছকে লিখল। ওই 100 জন রোগীর গড় বয়স হিসাব করে লিখি। (যে-কোনো পদ্ধতিতে)

    বয়স (বছরে)10-2020-3030-4040-5050-6060-70
    রোগীর সংখ্যা12822201820

    সমাধান:
    বয়স
    (বছরে)    		রোগীর সংখ্যা
    পরিসংখ্যা (fi)    		শ্রেণী মধ্যক
    (xi)    		fixi
    10-201215180
    20-30825200
    30-402235770
    40-502045900
    50-601855990
    60-7020651300
    মোটΣfi=100Σfixi=4340
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 100 জন রোগীর গড় বয়স$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{4340}{100}\\=43.4}$$Ans: 100 জন রোগীর গড় বয়স 43.4 বছর।

    7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (i)

    শ্রেণি-সীমানা0-1010-2020-3030-4040-50
    পরিসংখ্যা461064

    সমাধান:
    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)fixi
    0-104520
    10-2061590
    20-301025250
    30-40635210
    40-50445180
    মোটΣfi=30Σfixi=750
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{750}{30}\\=25}$$Ans: প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 25

    CLASS – X Statistics : Mean

    7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (ii)

    শ্রেণি-সীমানা10-2020-3030-4040-5050-6060-70
    পরিসংখ্যা101620301311

    সমাধান:
    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)fixi
    10-201015150
    20-301625400
    30-402035700
    40-5030451350
    50-601355715
    60-701165715
    মোটΣfi=100Σfixi=4030
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{4030}{100}\\=40.3}$$Ans: প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 40.3

    ৪. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (i)

    শ্রেণি-সীমানা0-4040-8080-120120-160160-200
    পরিসংখ্যা1220252013

    সমাধান:
    ধরি, কল্পিত গড় (a) = 100

    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)di = xi – afidi
    0-401220-80-960
    40-802060-40-800
    80-12025100 = a00
    120-1602014040800
    160-20013180801040
    মোটΣfi=90Σfiui=80
    কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=100+\frac{80}{90}\\=100+\frac{8}{9}\\=100+0.888\\\backsimeq 100+0.89\\=100.89}$$Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 100.89

    Download our App Madhyamik Prostuti

    ৪. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (ii)

    শ্রেণি-সীমানা25-3535-4545-5555-6565-75
    পরিসংখ্যা4108126

    সমাধান:
    ধরি, কল্পিত গড় (a) = 50

    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)di = xi – afidi
    25 – 35430-20-80
    35 – 451040-10-100
    45 – 55850 = a00
    55 – 65126010120
    65 – 7567020120
    মোটΣfi=40Σfidi = 60
    কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=50+\frac{60}{40}\\=50+\frac{3}{2}\\=50+1.5\\=51.5}$$Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 51.5

    CLASS – X Statistics : Mean

    9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (i)

    শ্রেণি-সীমানা0-3030-6060-9090-120120-150
    পরিসংখ্যা121520258

    সমাধান:
    শ্রেণি দৈর্ঘ্য (h) = 30 -0
    = 30
    এবং কল্পিত গড় (a) = 75 (ধরি)

    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)di = xi – aui = di/hfiui
    0-301215-60-2-24
    30-601545-30-1-15
    60-902075 = a000
    90-1202510530125
    120-150813560216
    মোটΣfi=80Σfiui=2
    ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\left(\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}\right)\times h\\=75+\frac{2}{80}\times 30\\=75+\frac{3}{4}\\=75+0.75\\=75.75}$$Ans: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 75.75

    9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
    (ii)

    শ্রেণি-সীমানা0-1414-2828-4242-5656-70
    পরিসংখ্যা721351116
    শ্রেণি-সীমানাপরিসংখ্যা (fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)di = xi – aui = di/hfiui
    0-1477-28-2-14
    14-282121-14-1-21
    28-423535 = a000
    42-56114914111
    56-70166328232
    মোটΣfi = 90Σfiui = 8
    ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\left(\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}\right)\times h\\=35+\frac{8}{90}\times 14\\=35+\frac{56}{45}\\=35+1.244\\\backsimeq 35+1.24\\=36.24}$$Ans: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 36.24

    10. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার নম্বরের যৌগিক গড় 24 হয়, তবে p-এর মান নির্ণয় করি।

    শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)0-1010-2020-3030-4040-50
    ছাত্র সংখ্যা152035p10

    সমাধান:
    প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)ছাত্র সংখ্যা(fi)শ্রেণী মধ্যক(xi)xifi
    0-1015575
    10-202015300
    20-303525875
    30-40p3535p
    40-501045450
    মোটΣfi=p+80Σxifi=1700+35p

    নম্বরের যৌগিক গড় 24
    প্রশ্নানুযায়ী,

    $$\Large{\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}=24\\⇒\frac{1700+35p}{80+p}=24\\⇒1700+35p=24(80+p)\\⇒1700+35p=1920+24p\\⇒35p-24p=1920-1700\\⇒11p=220\\\therefore p=20}$$Ans: p-এর মান 20

    কষে দেখিঃ 26.1

    11. আলোচনা সভায় উপস্থিত ব্যক্তিদের বয়সের তালিকা দেখি ও গড় বয়স নির্ণয় করি।

    বয়স (বছর)30-3435-3940-4445-4950-5455-59
    রোগীর সংখ্যা101215643

    সমাধান:
    প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    বয়স (বছর)শ্রেণী সীমানারোগীর সংখ্যা (fi)শ্রেণী
    মধ্যক(xi)    		xifi
    30-3429.5-34.51032320
    35-3934.5-39.51237444
    40-4439.5-44.51542630
    45-4944.5-49.5647282
    50-5449.5-54.5452208
    55-5954.5-59.5357171
    মোটΣfi=50Σxifi=2055
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 50 জন রোগীর গড় বয়স $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{2055}{50}\\=41.1}$$Ans: 50 জন রোগীর গড় বয়স 41.1 বছর।

    12. নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

    শ্রেণি-সীমা5-1415-2425-3435-4445-5455-64
    পরিসংখ্যা361820103

    সমাধান:
    প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণি-সীমাশ্রেণী সীমানাপরিসংখ্যা
    (fi)    		শ্রেণী
    মধ্যক(xi)    		xifi
    5-144.5-14.539.528.5
    15-2414.5-24.5619.5117
    25-3424.5-34.51829.5531
    35-4434.5-44.52039.5790
    45-5444.5-54.51049.5495
    55-6454.5-64.5359.5178.5
    মোটΣfi=60Σxifi=2140
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 60 জনের গড় $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{2140}{60}\\=35.666\\\backsimeq35.67}$$Ans: প্রদত্ত তথ্যের গড় 35.67

    রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

    13. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

    শ্রেণি-সীমা (নম্বর)10-এর কম20-এর কম30-এর কম40-এর কম50-এর কম
    ছাত্রী সংখ্যা59172945

    সমাধান:
    প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল

    শ্রেণি-সীমা
    (নম্বর)    		শ্রেণী সীমানা
    (নম্বর)    		পরিসংখ্যা
    (ছাত্রী সংখ্যা) (fi)    		শ্রেণী
    মধ্যক(xi)    		xifi
    10-এর কম0-105525
    20-এর কম10-20(9-5)=41560
    30-এর কম20-30(17-9)=825200
    40-এর কম30-40(29-17)=1235420
    50-এর কম40-50(45-29)=1645720
    মোটΣfi=45Σxifi=1425
    প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 45 জন ছাত্রীর নম্বরের গড় $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{1425}{45}\\=31.666\\=31.67}$$Ans: ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 31.67

    14. নীচের তালিকার 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি।

    শ্রেণি-সীমা (নম্বর)1-44-99-1616-17
    ছাত্র6122620

    সমাধান:
    প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

    শ্রেণী সীমানাপরিসংখ্যা(fi)শ্রেণী মধ্যক(xi) xifi
    1-462.515
    4 – 912.6.578
    9-162612.5325
    16-172016.5330
    Σfi=64Σxifi=748
    প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়$$\Large{=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{748}{64}\\=11.69}$$Ans: 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 11.69
    KOSHE DEKHI
    KOSHE DEKHI
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights