PROSTUTI

Category: X-Mathematics

  • বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
    || RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE || KOSHE DEKHI 7.3 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH

    1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি –(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD

    A C B

    সমাধানঃ △ABC -এর তিনটি বিন্দু অসমরেখ বিন্দু এবং A ও C বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই B বিন্দুটিও বৃত্তের উপরেই অবস্থিত হবে। – – – [তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।]
    প্রশ্নানুযায়ী, AB রেখাকে বৃত্তটি D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    ∴ B ও D বিন্দু দুটি একই বিন্দু হবে।
    ∴ AB = AD হবে।
    Ans: (ii) AB = AD

    2. প্রমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

    B C A D

    স্বীকারঃ △ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, AB -কে ব্যাস ধরে O কেন্দ্রীয় বৃত্ত আঁকা হল। যা BC -কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ BD = DC
    অঙ্কনঃ A, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ∠ADB = 1 সমকোণ – – – [∵∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    ∴ ∠ADC = 1 সমকোণ।
    △ADB ও △ADC -এর
    ∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
    অতিভুজ AC = অতিভুজ AB – – – [প্রদত্ত]
    ∠ABD = ∠ACD – – – [সমান বাহুর বিপরীত কোণ]
    ∴ △ADB ≅ △ADC
    ⇒ BD = DC
    ∴ D বিন্দু BC –কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। [প্রমাণিত]

    3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

    P Q A B

    স্বীকারঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
    অঙ্কনঃ A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
    ∴ ∠PQA এবং ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∠PQA = ∠PQB = 1 সমকোণ।
    ∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
    ∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [প্রমাণিত]

    4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ-কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে PS = ST

    P Q R S T

    স্বীকারঃ PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু R এবং PR ও PQ –কে ব্যাস ধরে দুটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে। P বিন্দুগামী যেকোনো রেখা ওই বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PS = ST
    অঙ্কনঃ S, R ও T, Q যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ যেহেতু, ∠PSR এবং ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∠PSR = ∠PTQ = 1 সমকোণ।
    ∴ SR ও TQ উভয়েই একই সরলরেখা PT -এর উপর লম্ব।
    ∴ SR || TQ
    △PTQ –এর PQ বাহুর মধ্যবিন্দু R এবং RS || QT
    ∴ S, PT –এর মধ্যবিন্দু।
    ∴ PS = ST [প্রমাণিত]

    5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ = ST

    R P Q O S T

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি PS এবং PT বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ RQ = ST
    অঙ্কনঃ Q, S; R, T; S, T; S, O; T, O; R, O এবং Q,O যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ PS ⊥ PQ
    ∴ ∠QPS = 90°
    অর্থাৎ ∠QPS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ QS বৃত্তের ব্যাস।
    আবার PR ⊥ PT
    ∴ ∠RPT = 90°
    অর্থাৎ ∠RPT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ RT বৃত্তের ব্যাস।
    △SOT ও △QOR -এর থেকে পাই,
    OT = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    OS = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∠SOT = বিপ্রতীপ ∠ROQ
    ∴ △SOT ≅ △QOR
    ∴ RQ = ST [প্রমাণিত]

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে এ ক্লিক করো।

    6. ABC একটি সূক্ষ্মকোনী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।

    A B C P F E Q

    স্বীকার: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়:  BPCQ একটি সামান্তরিক।
    অঙ্কন: B, P ও C, P যুক্ত করা হল।
    প্রমাণ: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP;
    ∴ ∠ABP এবং ∠ACP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°
    অর্থাৎ, PB ⟂ AB
    এবং PC ⟂ AC
    ∵ PB ⟂ AB এবং CF⟂ AB (প্রদত্ত)
    ∴ PB || CF
    অর্থাৎ, PB || CQ
    আবার, PC ⟂ AC
    এবং BE ⟂ AC (প্রদত্ত)
    ∴ PC || BE
    অর্থাৎ, PC || BQ
    ∴ BPCQ চতুর্ভুজের,
    PB || CQ এবং
    PC || BQ
    ∴ BPCQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]

    7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।

    A B C Q P M

    স্বীকারঃ △ABC এর ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ও বহির্দ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PQ বৃত্তের একটি ব্যাস ।
    অঙ্কনঃ P, Q যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক যথাক্রমে AP ও AQ;
    ∵ কোনো কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক পরস্পর লম্ব হয়।
    ∴ AP ⊥ AQ
    ∠PAQ = 1 সমকোণ [
    অর্থাৎ ∠PAQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ৷
    ∴ PQ বৃত্তের ব্যাস [প্রমাণিত]

    8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।

    A B C D O

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি ব্যাস।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
    অঙ্কনঃ A, D; D, B; B, C; C, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠CAD, ∠ADB, ∠DBC এবং ∠BCA প্রতিটি কোণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠CAD = ∠ADB = ∠DBC = ∠BCA = 90°
    আবার
    ∠CAD + ∠DBC
    = 90° + 90° = 180°
    ∴ ADBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
    ACBD একটি আয়াতাকার চিত্র। [প্রমাণিত]

    9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

    A B C D O

    স্বীকারঃ ABCD একটি রম্বস।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে ।
    অঙ্কনঃ A C এবং B,D যুক্ত করা হল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রমাণঃ রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং,
    ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
    আবার যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ, তাই AB বা BC বা CD বা DA যেকোনো বাহুকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি O বিন্দু দিয়ে যাবে ।
    ∴রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে। [প্রমাণিত]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

    10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এবং PR = RQ; ∠RPQ-এর মান(a) 30°  (b) 90°  (c) 60°  (d) 45°

    P Q R O

    Ans: (d) 45°
    [∵ PR = RQ
    ∴ ∠RPQ = ∠RQP
    ∠PRQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    △PRQ -এর ক্ষেত্রে,
    ∴ ∠PRQ = 90°
    ∴ ∠RPQ + ∠RQP = 90°
    বা, 2∠RPQ = 90°
    বা, ∠RPQ = 45°]

    (ii) QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD, QR বাহুর উপর লম্ব। OD = 4 সেমি হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য
    (a) 4 সেমি  (b) 2 সেমি  (c) 8 সেমি  (d) কোনটিই নয়

    P Q R D O

    Ans: (c) 8 সেমি
    [OD ⊥ QR
    O হল বৃত্তের কেন্দ্র
    ∴ D, QR এর মধ্যবিন্দু।
    ∠PQR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ PQ ⊥ QR
    OD = 12 PQ [:: ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক
    ∴ PQ ∥ OD এবং
    ½ PQ = OD
    বা, PQ = 2×OD
    বা PO = 2 × 4
    = 8 ]

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    (iii) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD = 40° হলে, ∠CED-এর মান(a) 40°  (b) 80°  (c) 20°  (d) 70°

    B A O C D E

    Ans: (d) 70°
    [∠COD = 40°
    C, D ও A, D যুক্ত করা হল।
    CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAE বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠DAE = ½ ∠COD
    = ½ × 40°
    = 20°
    ∴ ∠ADB = 90° – – – [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।]
    বা, ∠ADE = 90°
    △ADE –এর ক্ষেত্রে,
    ∠AED + ∠EDA + ∠DAE = 180°
    বা, ∠AED + 90° + 20° = 180°
    বা, ∠AED + 110° = 180°
    ⇒ ∠AED = 70°
    বা, ∠CED = 70°]

    (iv) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC = 3 সেমি ও BC = 4 সেমি হলে AB-এর দৈর্ঘ্য
    (a) 3 সেমি  (b) 4 সেমি  (c) 5 সেমি  (d) 8 সেমি

    A B C O

    Ans: (c) 5 সেমি
    [∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠ACB = 90°
    △BAC সমকোণী ত্রিভুজের,
    AB2 = AC2 + BC2
    = 32 + 42
    = 9 + 16
    ⇒ 25 = 52
    ∴  AB = 5]

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25° হলে, ∠AEC-এর মান নির্ণয় করি।
    (a) 50°  (b) 90°  (c) 45°  (d) 20°

    A B C E O D

    Ans: (c) 45°
    [প্রদত্ত ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25°
    ∠ACB = 90° – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    △ADC –এর,
    ∠ADC = 180° – ∠ACD – ∠CAD
    = 180° – 90° – 25°
    = 65°
    △CED –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC
    ∴ ∠ADC = ∠DCE + ∠DEC
    বা, 65° = 20° + ∠DEC
    বা, ∠DEC = 65° – 25°
    = 45°
    ∴ ∠AEC = 45°]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

    (B) সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

    (i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থুলকোণ।
    Ans: মিথ্যা।

    (ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু O এবং OA = OB = OC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
    Ans: সত্য।

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ __________।
    Ans: সমকোণ।

    (ii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোন __________।
    Ans: স্থুলকোণ।

    (iii) সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি _________ বিন্দু দিয়ে যাবে।Ans: সমকৌনিক বিন্দু।

    11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে, BD = 4 সেমি হলে CD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    B C A D

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত BD = 4 সেমি
    ∵ AB ব্যাস।
    ∴ ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ADB = ∠ADC
    = 90°
    △ABD এবং △ACD থেকে পাই,
    AB = AC
    ∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
    AD সাধারণ বাহু।
    ∴ △ABD ≅ △ADC
    ∴ BD = CD – – – [অনুরূপ বাহু]
    ⇒ CD = 4 সেমি। – – – [∵ BD = 4 সেমি]
    Ans: CD-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

    (ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি ও AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    A B C

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
    AC = 3 সেমি
    AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
    ∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    অতএব, BC ব্যাস।
    △BAC সমকোণী ত্রিভুজের
    BC2 = AB2 + AC2
    = 42 + 32
    = 16 + 9
    ⇒ 25 = 52
    ∴  BC = 5
    ∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ =  5/2
    ​ =2.5
    Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি

    (iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি হলে, জ্যা QR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    P Q R

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি
    PR ও PQ পরস্পর লম্ব।
    ∴ ∠RPQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ QR বৃত্তের ব্যাস।
    Ans: QR -এর দৈর্ঘ্য 2r সেমি।

    (iv) AOB বৃত্তে একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60° হলে ∠OCA-এর মান নির্ণয় করি।

    B A C O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠OBC = 60°
    ∠ACB = 90° – – – [∵ ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    △ABC –এর
    ∠BAC = 180° – ∠ACB – ∠ABC
    = 180° – 90° – 60°
    = 30°
    ∴ ∠OAC = 30°
    ∠OCA = ∠OAC – – – [∵ OC = OA]
    = 30°
    △AOC –এর OA = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    আবার, ∠OAC = ∠CAB
    ∴ ∠OCA = 30°
    Ans: ∠OCA-এর মান 30°

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD-কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB-এর মান নির্ণয় করি।

    B A P C D O

    সমাধানঃ
    A, D যুক্ত করা হল।
    জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান
    ∴ OB = OA = OC = OD =CD
    ∴ △COD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
    ⇒ ∠COD = 60°
    CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAP বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠DAP = ½ × ∠COD
    = ½ × 60°
    = 30°
    আবার, ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ADB = 90°
    ∴ ∠PDA = 90°
    △PDA -এর ক্ষেত্রে
    ∠APD = 180° – ∠DAP – ∠PDA
    = 180° – 30° – 90°
    = 60°
    ∴ ∠APB = 60°
    Ans: ∠APB-এর মান 60°

    Madhyamik Question

    MP-2022

    ▶️ ‘0’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের ওপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হলে ∠RPQ এর মান :
    (a) 30o (b) 90o (c) 60o (d) 45o

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমান কর A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

    VIEW ANSER

    MP-2019

    ▶️ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-প্রমাণ করো।

    VIEW ANSER

    MP-2018


    ▶️ অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans: সত্য

    KOSHE DEKHI 7.2
    KOSHE DEKHI 8
  • বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২
    RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২
    || RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE || KOSHE DEKHI 7.2 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH

    কষে দেখি ৭.২

    (a) একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ (বা পরিধিস্থ) কোণের দ্বিগুণ। 
    (b) কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশ কোণগুলির মান সমান।
    (c) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।

    (d)  যদি দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অবস্থিত অপর দুটি বিন্দুতে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে ঐ বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।
    (e) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত সমকৌণিক বিন্দুগামী।
    (f) সমন্ধিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর যে-কোনো একটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

    1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°; ∠BAC = 60° এবং ∠CAD = 20° ; ∠DCA ও ∠BCA-এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।

    D A C B

    সমাধানঃ প্রদত্ত ∠DBA = 40°;
    ∠BAC = 60° এবং
    ∠CAD = 20°
    ∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
    = 60° + 20°
    = 80°
    AD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DBA ও ∠ACD।
    ∴ ∠ACD = ∠DBA
    = 40°
    ∴ ∠ADB = 180° – (∠BAD + ∠DBA)
    = 180° – (80° + 40°)
    ⇒ 180° – 120°
    = 60°
    আবার, বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB ও ∠BCA।
    ∴ ∠BCA = ∠ADB
    = 60°
    ∴ ∠DCB = ∠DCA + ∠BCA
    = 40° + 60°
    = 100°
    ∴ ∠BAD + ∠DCB
    = 80° + 100°
    = 180°
    ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি 180°

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB-এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC-এর মান হিসাব করে লিখি।

    O P A C B

    সমাধানঃ O কেন্দ্রীয়  বৃত্তের CB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
    ∴ 2∠BAC = ∠COB
    বা, ∠BAC = ½∠COB
    = ½ × 90° – – -[∵ OC⟂AB]
    = 45°
    △ACB থেকে পাই,
    AC = BC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠BAC = ∠CBA
    = (180° – 90°)/2
    = 90°/2 = 45°
    ∴ ∠APC = ∠CBA – – – [AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠CBA ও ∠APC]
    = 45°
    Ans: ∠BAC এর মান 45° ও
    ∠APC –এর মান 45° ।

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে △ABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG

    O D A E C B G

    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC -এর উপর লম্ব AD -কে বর্ধিত করায় তা △ABC –এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ OD = DG
    অঙ্কনঃ B, O যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। B, G যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ AD⟂BC
    ∴ ∠ODC = 90°
    আবার, BE⟂AC
    ∴ ∠OEC = 90°
    ∴ ∠ODC + ∠OEC
    = 90° + 90°
    = 180°
    ∴ DOEC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    ∴ বহিঃস্থ ∠BOD = বিপরীত অন্তস্থ ∠ECD
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB ও ∠AGB
    ∴ ∠ACB = ∠AGB
    বা, ∠ECD = ∠DGB
    আবার, ∠ECD = ∠BOD
    ∴ ∠BOD = ∠DGB
    △BDG ও △BDO থেকে পাই,
    ∠BOD = ∠BGD
    ∠BDO = ∠BDG – – – [ প্রত্যেকে এক সমকোণ]
    BD সাধারণ বাহু
    ∴ △BDG ≅ △BDO
    ∴ OD = DG [প্রমাণিত]

    4. △ABC-এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI

    A I C B P

    স্বীকারঃ △ABC –এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র ।; বর্ধিত AI পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে ।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PB = PC = PI
    অঙ্কনঃ AI, BI, CI, PB এবং PC অঙ্কন করা হল ।
    প্রমাণঃ ।, ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ।
    ∠A, ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে AI, BI ও CI ;
    ∠PBC = ∠PAC – – – [ একই বৃত্যাংশস্থ কোণ ]
    আবার, ∠PAC= ½∠BAC – – – [ ∵ AI, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক ]
    ∠PBC = ½∠BAC
    এখন, ∠IBP = ∠IBC + ∠PBC
    বা, ∠IBP = ½∠ABC + ½∠BAC – – – (i)
    ∠ABI এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP এবং
    ∴ ∠BIP = ∠IBA+ ∠IAB – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    = ½∠ABC + ½∠BAC – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    ∠IBP= ∠BIP
    △BIP এর,
    ∠IBP= ∠BIP
    ∴ PI=PB – – – (iii)
    অনুরূপে, △CIP থেকে প্রমাণ করা যায়,
    PC = PI – – – (iv)
    (iii) ও (iv) থেকে পাই,
    PI = PB = PC
    ∴ PB = PC = PI [প্রমাণিত]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে ∠AQC = ∠BQD

    A D C B P Q X Y

    স্বীকারঃ অঙ্কনঃ X ও Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা X কেন্দ্রীয় বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং Y কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AQC = ∠BQD
    প্রমাণঃ X কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    ∠PAQ = ∠PBQ – – – [একই বৃত্যাংশস্থ কোণ]
    আবার, Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    ∠PCQ = ∠PDQ – – – [একই বৃত্যাংশস্থ কোণ]
    △AQC এর ক্ষেত্রে
    ∠AQC = 180° – (∠PAQ+∠PCQ)
    = 180° – (∠PBQ + ∠PDQ) – – – [ ∵ ∠PAQ = ∠PBQ; ∠PCQ = ∠PDQ ]
    = ∠BQD
    ∠AQC = ∠BQD [প্রমাণিত]

    পশ্চিমবঙ্গের দীর্ঘতম,বৃহত্তম,উচ্চতম Largest of West Bengal CLICK HERE

    6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC-এর মধ্যবিন্দু।

    E F A D C B P

    স্বীকারঃ AB ও CD লম্ব দুটি জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু থেকে AD -এর উপর লম্বকে বর্ধিত করলে BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
    প্রমাণঃ △FPD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠FPD + ∠FDP = 90°
    আবার, △APD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠FAP + ∠FDP = 90°
    ∴ ∠FPD + ∠FDP = ∠FAP + ∠FDP
    বা, ∠FPD = ∠FAP – – – (i)
    অনুরূপে,
    ∠FPA = ∠FDP – – – (ii)
    AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC ও ∠ABC
    ∴ ∠ADC = ∠ABC
    বা, ∠FDP = ∠PBE – – – (iii)
    DB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠DAB ও ∠DCB
    ∴ ∠DAB = ∠DCB
    ∠BPE = বিপ্রতীপ কোণ ∠APF
    = ∠FDP – – [(ii) নং থেকে পাই]
    = ∠PBE – – [(iii) নং থেকে পাই]
    △PEB ত্রিভুজের,
    ∠BPE = ∠PBE
    ∴ PE = BE
    অনুরূপে △PCE ত্রিভুজ থেকে প্রমাণ করা যায়,
    PE = CE
    ∴ BE = CE
    ∴ E, BC –এর মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]

    7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে AC = BD হবে।

    A B C D O

    স্বীকারঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = BD
    অঙ্কনঃ A, C; B, D যুক্ত করা হল যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রমাণঃ একই বৃত্তচাপ BC দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC ও ∠BDC
    ∴ ∠BAC = ∠BDC
    বা, ∠BAO = ∠ODC
    আবার, AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD ও ∠ACD
    ∴ ∠ABD = ∠ACD
    বা, ∠ABO = ∠OCD
    △AOB ও △COD থেকে পাই,
    ∠ABO = ∠OCD
    ∠BAO = ∠ODC
    AB = DC – – – [স্বীকার]
    ∴ △AOB ≅ △COD
    ∴ AO = OD – – -[অনুরূপ বাহু]
    OC = OB – – -[অনুরূপ বাহু]
    ∴ AC = AO + OC
    = OD + OB
    = BD
    ∴ AC = BD [প্রমাণিত]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ

    A C Q O P

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের ওপর C যেকোনো একটি বিন্দু । O,A,C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যাকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ CP = PQ
    অঙ্কনঃ O,C; C,Q; QO যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ △OAQ এর
    OA = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OAQ = ∠OQA
    বা, ∠PAO = ∠PQO – – – (i)
    আবার, ∠PAO এবং ∠PCO O,A,C বিন্দুগামী বৃত্তের OP চাপের ওপর দুটি বৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠PAO = ∠PCO – – – (ii)
    (i) নং ও(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
    ∠PCO = ∠PQO
    △OCQ এর
    OC = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∠OCQ = ∠OQC – – – (iii)
    ∵ ∠OCQ = ∠OQC
    ∠OCQ – ∠PCO = ∠OQC – ∠PQO
    বা, ∠PCQ = ∠PQC
    ∴ △PCQ সমবাহু ত্রিভুজ
    ∴ CP = CQ [Proved]

    9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।

    B A C X Y Z O D

    স্বীকারঃ △ABC, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে অন্তর্লিখিত যার ∠BAC, ∠ABC, ∠CAB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে বৃত্তের X, Y, Z বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AX⟂YZ
    অঙ্কনঃ XY ও YZ  সমদ্বিখণ্ডক দুটি D মিলিত হয়েছে।
    প্রমাণঃ O ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র।
    △ZOY –এর
    OZ = OY – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OZY = ∠OYZ
    বা, ∠OZD = ∠OYD
    △ZOP ও △YOP এর ক্ষেত্রে,
    ∠OZD = ∠OYD
    OZ = OY এবং
    OD সাধারণ বাহু।
    ∴ △ZOD ≅ △YOD
    ∴ ∠ODZ = ∠ODY
    DO সরলরেখা YZ সরলরেখার উপর দণ্ডায়মান হয়ে দুটি সমান সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করেছে।
    ∴ ∠ODZ = ∠ODY
    = 90o
    ∴ OD⟂YZ
    বা, AX⟂YZ [Proved]

    10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে △XYZ -এর, ∠YXZ = 90o – ½∠BAC

    B A C X Y Z O

    স্বীকারঃ BC ত্রিভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে AX, BY এবং CZ;
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠YXZ = 90° – ½∠BAC
    প্রমাণঃ AZ এর উপর ∠AXZ এবং ∠ACZ পরিধিস্থ কোণ ।
    ∴ ∠AXZ = ∠ACZ
    = ½∠ACB – – – [CZ, ∠ACB –এর সমদ্বিখণ্ডক]
    আবার, AY এর উপর ∠AXY এবং ∠ABY পরিধিস্থ কোণ ।
    ∴ ∠AXY = ∠ABY
    = ½∠ABC – – – [BY, ∠ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∴ ∠YXZ = ∠AXZ + ∠AXY
    = ½∠ACB + ½∠ABC
    = ½(∠ACB + ∠ABC)
    ⇒ ½(180o – ∠BAC)
    = 90o – ½∠BAC [Proved]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    11. △ABC-এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

    A C B D E

    স্বীকারঃ △ABC –এর
    AD⟂BC, BE⟂AC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ D, E যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △EBC ও △ADC –এর ক্ষেত্রে
    ∠BEC = ∠ADC = 90° – – – [স্বীকার]
    ∠ECB সাধারণ কোণ
    ∴ ∠EBC = ∠CAD
    অর্থাৎ ∠EBD = ∠EAD
    এখানে DE রেখার একই পার্শ্বে A ও B বিন্দুতে দুটি সমান কোণ ∠EBD এবং ∠EAD উৎপন্ন হয়েছে ।
    ∴ BDEA একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]

    JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc. SHOW MORE

    12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র ; ∠ACB = 30o, ∠ABC = 60o, ∠DAB = 35o এবং ∠DBC = xo হলে, x এর মান (a) 35 (b) 70 (c) 65 (d) 55

    A C B D O

    Ans: (d) 55
    ]প্রদত্ত ∠ACB = 30o, ∠ABC = 60o,
    ∠DAB = 35o
    ∠ADB = ∠ACB – – – [একই বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 30°
    ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠BAC = = 90o
    ∠DAC = ∠BAC – ∠DAB
    = 90o – 35o
    = 55o
    ∠DBC এবং ∠DAC একই বৃত্তচাপ CD দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠DBC = ∠DAC
    = 55o = x]

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65o, ∠BDC = 45o হলে, ∠CBD-এর মান(a) 65o (b) 45o (c) 40o (d) 20o

    A C B D O

    Ans: (d) 20o
    [O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC, ∠BDC∴
    ∠BAC = ∠BDC – – – [একই বৃত্তচাপ BC দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 45° – – – [∵ ∠BDC = 45o ]
    ,প্রদত্ত ∠BAC = 65°
    ∠CAD = ∠BAD – ∠BAC
    = 65° – 45°
    = 20°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত ∠CAD ও ∠CBD বৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠CBD = ∠CAD
    = 20°]

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110o এবং ∠CBE = 30o হলে, ∠ADB এর মান (a) 70o (b) 60o (c) 80o (d) 90o

    A C B D O E

    Ans: (c) 80o
    [প্রদত্ত ∠AEB = 110o এবং ∠CBE = 30o
    ∴ ∠BEC = ∠AEC – ∠AEB
    = 180o – 110o
    = 70o
    আবার
    ∠BCE = 180o – ∠BEC – ∠CBE
    = 180o – 70o – 30o
    ⇒ 180o – 100o
    = 80o
    ∠ADB = ∠ACB – – -[একই বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 80°]

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28o, ∠AEC = 38o হলে, ∠AXB-এর মান (a) 56o (b) 86o (c) 38o (d) 28o

    A C B D E O X

    Ans: (b) 86o
    [প্রদত্ত ∠BCD = 28o, ∠AEC = 38o
    ∠BAD = ∠BCD – – – [BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 28o
    △BCE –এর বহিঃস্থ কোণ
    ∠ABC = ∠BCE + ∠BEC
    = ∠BCD + ∠AEC
    ⇒ 28° + 38°
    = 66°
    ∴ △AXB –এর বহিঃস্থ কোণ
    ∠AXB = 180° – ∠XAB – ∠XBA
    = 180° – 28° – 66°
    ⇒ 180° – 94°
    = 86°]

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB || CD. ∠ABC = 25o হলে, ∠CED-এর মান (a) 80o (b) 50 o (c ) 25o (d) 40o

    A C B D E O

    Ans: (d) 40o
    [প্রদত্ত ∠ABC = 25o
    A, E ও B, E যুক্ত করা হল।
    ∵AB || CD, এবং BC ছেদক
    ∴ ∠BCD = ∠ABC
    = 25o
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
    ∠AEC = ∠ABC – – – [AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 25o এবং
    ∠BED = ∠BCD – – – [BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 25o
    আবার, ∠AEB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠AEB = 90o
    ∴ ∠CED = ∠AEB – ∠AEC – ∠BED
    = 90o – 25o – 25o
    = 40o ]

    IMPORTANT PHRASAL VERBS AND FORMS OF VERBS CLICK HERE

    (B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ

    (i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।

    A C B D E

    Ans: বিবৃতিটি সত্য।
    [AD ⊥ BC এবং BE ⊥ AC
    ∴ ∠AEB = ∠ADB = 90o
    ∠AEB ও ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ হলে হবে ঐ বৃত্তের ব্যাস।
    ∴ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।]

    (ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC; BE ও CF যথাক্রমে ZABC ও ZACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।

    A C B F E

    Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা।
    [△ABC এর AB = AC
    ∴ ∠ACB = ∠ABC
    বা, ½ × ∠ACB = ½ × ∠ABC
    বা, ∠BCF = ∠CBE – – – [CF ও BE যথাক্রমে ∠ACB ও ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক]
    আবার, △BCF ও △BCE -এর থেকে পাই,
    ∠BCF = ∠CBE
    ∠CBF = ∠BCE
    ∴ অবশিষ্ট ∠BFC = অবশিষ্ট ∠BEC
    অতএব BC বৃত্তটির জ্যা হলে ∠BFC ও ∠BEC কোণ দুটি সমবৃত্তস্থ হবে ।
    সুতরাং, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্ত কোণ __________ ।
    Ans:     সমান

    (ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি __________ হবে।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ

    (iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য __________ ।
    Ans:     সমান

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60o হলে, ∠CDE-এর মান নির্ণয় করি।

    A C B D E O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠CBD = 60o
    A, B যুক্ত করা হলো।
    ∠ABC = 90o – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    ∴ ∠ABD = ∠ABC – ∠CBD
    = 90o – 60o
    = 30o
    আবার, ∠ABD = ∠ACD – – – [একই বৃত্তচাপ AD -এর উপর অবস্থিত]
    ∴ ∠ACD = 30o
    AC || DE এবং CD ভেদক,
    ∴ ∠CDE = ∠ACD
    = 30o
    Ans: ∠CDE-এর মান 30o

    (ii) পাশের চিত্রে ∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।

    Q R P S O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠SQR = 35o এবং
    ∠PRQ = 32o
    ∴ ∠PQR = 2×∠SQR – – – [∵∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS]
    = 2×35o.
    = 70o
    △PQR-এর ক্ষেত্রে,
    ∠QPR = 180o – ∠PQR – ∠PRQ
    = 180o – 70o – 32o
    = 180o – 102o = 78o
    একই বৃত্তচাপ QR -এর উপর ∠QSR ও ∠QPR অবস্থিত।
    ∴ ∠QSR = ∠QPR
    = 78o
    Ans: ∠QSR-এর মান 78o

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC= 50° ; ∠CAD এর মান নির্ণয় করি।

    A B D C P O

    সমাধানঃ
    ধরি, AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রদত্ত ∠ADC = 50o
    ∠ABC = ∠ADC – – – [একই বৃত্তচাপ AB -এর উপর অবস্থিত]
    = 50o
    ∠ACB = 90o – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    △ABC -এর ক্ষেত্রে,
    ∠CAB = 180o – ∠ACB – ∠ABC)
    = 180o – 90o – 50o
    = 180o – 140o = 40o
    ∵ AB ⊥ CD
    ∠APD = 90° △APD – এর -এর ক্ষেত্রে,
    ∠DAP = 180° – ∠APD – ∠ADC
    = 180° – 90° – 50°
    = 180o – 140o = 40o
    ∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠DAB
    = 40° + 40°
    = 80°
    Ans: ∠CAD এর মান 80°

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC =32° হলে, ∠BDC-এর মান নির্ণয় করি।

    B C D A O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠ABC = 32o
    △ ABC -এর AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ ∠ACB = 32o
    ∠ADB = ∠ACB
    = 32o – – – [একই বৃত্তচাপ AB -এর উপর অবস্থিত]
    ∠ADC = ∠ABC
    = 32° – – – [একই বৃত্তচাপ AC -এর উপর অবস্থিত]
    ∠BDC = ∠ADC + ∠ADB
    = 32o + 32o.
    = 64o
    Ans: ∠BDC-এর মান 64o

    (v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    13. (v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    B C Y A X O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত BY = 4 সেমি
    △ABC -এর AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    আবার, BX হলো ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক।
    ∴ ∠ABC = 2∠ABX – – – (i)
    অনুরূপে, ∠ACB = 2∠BCY – – – (ii)
    ∵ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ 2 ∠ABX = 2 ∠BCY
    বা, ∠ABX = ∠BCY
    AX ও BY উপচাপ দুটি দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠ABX ও ∠BCY পরপস্পর সমান ।
    ∴ AX = BY
    = 4
    Ans: AX-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ △ABC এর ∠ABC = 90°, AB = 6 সেমি, BC = ৪ সেমি হলে △ABC এর পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান-প্রমাণ করো।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

    VIEW ANSER

    MP-2019


    ▶️ একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ △ABC এর ∠ABC = 90o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    KOSHE DEKHI 7.1
    KOSHE DEKHI 7.3
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights