Complete Solution of Ratio And Proportion (অনুপাত ও সমানুপাত)Koshe Dekhi – 5.3
Koshe Dekhi – 5.3 Complete Solution of Ratio And Proportion Complete Solution of Ratio And Proportion
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution| ⛔ একান্তর প্রক্রিয়া ঃঃ \(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a}{c}=\frac{b}{d}}\)
⛔বিপরীত প্রক্রিয়া ঃঃ
\(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{b}{a}=\frac{d}{c}}\)
⛔যোগ প্রক্রিয়া ঃঃ
\(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}}\)
⛔ভাগ প্রক্রিয়া ঃঃ
\(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}}\)
⛔যোগ ভাগ প্রক্রিয়া ঃঃ \(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}\)
⛔সংযোজন প্রক্রিয়া ঃঃ
\(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\\\quad \quad=\frac{a+c+e}{b+d+f}}\)
⛔ \(\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\\}\)হলে প্রত্যেকটি অনুপাত=\(\Large{\quad\quad\frac{ma+nc+pe}{mb+nd+pf}\\}\)এর সমান হবে যেখানে m, n, p যেকোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো। Complete Solution of Ratio And Proportion
1. (i) a : b = c : d হলে, দেখাই যে, (i) (a2 + b2 ) : (a2 – b2 ) = (ac + bd) : (ac – bd) Ans: L.H.S. 2 + b2 ) : (a2 – b2 )2 + b2 } : {(bk)2 – b2 }2 k2 + b2 ) : (b2 k2 – b2 )2 (k2 + 1) : b2 (k2 – 1)2 + 1) : (k2 – 1)R.H.S. 2 + 1) : bd(k2 – 1)2 + 1) : (k2 – 1) = L.H.S. 2 + b2 ) : (a2 – b2 ) = (ac + bd) : (ac – bd) (Proved )
1.(ii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে, (a2 + ab + b2 ) : (a2 – ab + b2 ) = (c2 + cd + d2 ) : (c² – cd + d²) Ans: L.H.S. 2 + ab + b2 ) : (a2 – ab + b2 )2 + bk.b + b2 } : {(bk)2 – bk.b + b2 )2 k2 + b2 k + b2 ) : (b2 k2 – b2 k + b2 )2 (k2 + k + 1) : b2 (k2 – k + 1)2 + k + 1) : (k2 – k + 1)R.H.S. 2 + cd + d2 ) : (c² – cd + d²)2 + dk.b + d2 } : {(dk)2 – dk.b + d2 )2 k2 + d2 k + d2 ) : (d2 k2 – d2 k + d2 )2 (k2 + k + 1) : d2 (k2 – k + 1)2 + k + 1) : (k2 – k + 1) = L.H.S. 2 + ab + b2 ) : (a2 – ab + b2 ) = (c2 + cd + d2 ) : (c² – cd + d²) (Proved )
1.(iii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে, $$\large{\mathbf{\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=(pa+qc):(pb+qd))\\Ans:}}$$
a : b = c : d = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S}}\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}\\=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\=\frac{\sqrt{(bk)^2+(dk)^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\=\frac{\sqrt{b^2k^2+d^2k^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\-k\\\mathbf{\underline{R.H.S}}\\=(pa+qc):(pb+qd)\\=\frac{pa+qc}{pb+qd}\\=\frac{p.bk+q.dk}{pb+qd}\\=\frac{k(pb+qd)}{pb+qd}\\k=\mathbf{\underline{L.H.S}}}$$
$$\large{\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=(pa+qc):(pb+qd))\mathbf{(Proved)})\\}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion2.(i) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে, $$\large{\mathbf{\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\\Ans:}}$$
x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}\\}=\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\\=\frac{(ak)^3}{a^2}+\frac{(bk)^3}{b^2}+\frac{(ck)^3}{c^2}\\=\frac{a^3k^3}{a^2}+\frac{b^3k^3}{b^2}+\frac{c^3k^3}{c^2}\\=ak^3+bk^3+c^3k^3\\=k^3(a+b+c)\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\\=\frac{(ak+bk+ck)^3}{(a+b+c)^2}\\=\frac{k^3(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2}\\=k^3(a+b+c)=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion2.(ii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে, $$\large{\mathbf{\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}\\Ans:}}$$
x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{(ak)^3+(bk)^3+(ck)^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{a^3k^3+b^3k^3+c^3k^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{k^3(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3}\\=k^3\\\mathbf{\underline{R.H.S}}\\=\frac{xyz}{abc}\\=\frac{ak×bk×ck}{abc}\\=k^3=\mathbf{\underline{L.H.S.}\quad (Proved)}}$$
2.(iii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে, (a2 +b2 +c2 )(x2 +y2 +z2 ) = (ax+by+cz)2 Ans: L.H.S. 2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 )2 + b2 + c2 ){(ak)2 + (bk)2 + (ck)2 }2 + b2 + c2 )(a2 k2 + b2 k2 + c2 k2 2 + b2 + c2 )k2 (a2 + b2 + c2 )2 (a2 + b2 + c2 )2 R.H.S. = (ax + by + cz)2 2 2 k + b2 k + c2 k)2 2 + b2 + c2 )}2 2 (a2 + b2 + c2 )2 = L.H.S 2 +b2 +c2 )(x2 +y2 +z2 ) = (ax+by+cz)2 (Proved )
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে, (i) প্রত্যেকটি অনুপাত $$\large{\mathbf{=\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\\}}$$
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে, (ii) (a2 +c2 +e2 )(b2 +d2 +f2 ) = (ab+cd+ef)2 Ans: L.H.S. 2 + c2 + e2 )(b2 + d2 + f2 )2 + (dk)2 + (fk)2 )}(b2 + d2 + f2 )2 k2 + d2 k2 + f2 k2 )(b2 + d2 + f2 )2 (b2 + d2 + f2 )(b2 + d2 + f2 )2 (b2 + d2 + f2 )2 = R.H.S. 2 +c2 +e2 )(b2 +d2 +f2 ) = (ab+cd+ef)2 (Proved )
Complete Solution of Ratio And Proportion4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে, $$\large{\mathbf{(i)\\\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\\(ii)\\a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3}}$$
$$\large{\mathbf{(i)\\Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\\=\left(\frac{ck^2+ck}{ck+c}\right)^2\\=\left[\frac{ck(k+1)}{c(k+1)}\right]^2\\=k^2\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\\=\frac{(ck^2)^2+(ck)^2}{(ck)^2+c^2}\\=\frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}\\=\frac{c^2k^2(k^2+1)}{c^2(k^2+1)}\\=c^2\\=\mathbf{\underline{L.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Koshe Dekhi – 5.3 Complete Solution of Ratio And Proportion $$\large{\mathbf{(ii)\\Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)
\\=(ck^2)^2.(ck)^2.c^2\left[\frac{1}{(ck^2)^3}+\frac{1}{(ck)^3}+\frac{1}{c^3}\right]\\=c^2k^4.c^2k^2.c^2\left(\frac{1}{c^3k^6}+\frac{1}{c^3k^3}+\frac{1}{c^3}\right)\\=c^6k^6×\frac{1+k^3+k^6}{c^3k^6}\\=c^3(1+k^3+k^6)\\=c^3+c^3k^3+c^3k^6\\=c^3+(ck)^3+(ck^2)^3\\=c^3+b^3+a^3\\=a^3+b^3+c^3\\=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion
5.(i) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, (a2 +b2 +c2 )(b2 +c2 +d2 ) = (ab+bc+cd)2 Ans: a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।$$\large{∴\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k – – (k≠0)\\∴c=kd\\b=ck=kd.k=k^2d\\a=bk=k^2d.k=k^3d}$$
L.H.S. 2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + d2 )3 d)2 + (k2 d)2 + (kd)2 }{(k2 d)2 + (kd)2 + d2 }6 d2 + k4 d2 + k2 d2 )(k4 d2 + k2 d2 + d2 )2 (k4 d2 + k2 d2 + d2 )(k4 d2 + k2 d2 + d2 )
= {k(k4 d2 + k2 d2 + d2 )}2 5 d2 + k3 d2 + kd2 )2 3 d×k2 d+ k2 d×kd + kd×d)2 R.H.S. 2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + d2 ) = (ab + bc + cd)² (Proved)
5.(ii) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, (b-c)2 2 2 2 Ans:
$$\large{∴\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k – – (k≠0)\\∴c=kd\\b=ck=kd.k=k^2d\\a=bk=k^2d.k=k^3d}$$
L.H.S. 2 + (c – a)2 + (b – d)2 2 d- kd)2 + (kd – k3 d)2 + (k2 d- d)2 2 d)2 – 2.k2 d.kd + (kd)2 + (kd)2 – 2.kd.k3 d + (k3 d)2 + (k2 d)2 – 2.k2 d.d + (d)2 4 d2 – 2k3 d2 + k2 d2 + k2 d2 – 2k4 d2 + k6 d2 + k4 d2 – 2k2 d2 + d2 4 d2 – 2k3 d2 + 2k2 d2 – 2k4 d2 + k6 d2 – 2k2 d2 + d2 6 d2 – 2k3 d2 + d2 3 d)2 – 2.k3 d.d + (d)2 3 d – d)2 2 = R.H.S. 2 + (c – a)2 + (b – d)2 = (a – d)2 (Proved)
Complete Solution of Ratio And Proportion $$\large{\mathbf{6.(i)\\\frac{m}{a}=\frac{n}{b}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে, (m2 +n2 )(a2 +b2 ) = (am+bn)2
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k}$$
– – – [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]L.H.S. 2 +n2 )(a2 +b2 )2 +(kb)2 }(a2 +b2 )2 a2 +k2 b2 )(a2 +b2 )2 (a2 +b2 )(a2 +b2 )2 (a2 +b2 )2 R.H.S .2 2 2 +b2 )}2 2 (a2 +b2 )2 = L.H.S. 2 +n2 )(a2 +b2 ) = (am+bn)2 (প্রমাণিত)
Complete Solution of Ratio And Proportion $$\large{\mathbf{6.(ii)\\\frac{a}{b}=\frac{x}{y}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে, (a+b)(a2 +b2 )x3 =(x+y)(x2 +y2)a3
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\⇒\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k}$$
– – – [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]L.H.S. 2 +b2 )x3 2 +(ky)2 }x3 2 x2 +k2 y2 )x3 2 (x2 +y2 )x3 3 (x+y)(x2 +y2 )x3 R.H.S. 2 +y2 )(kx)3 3 (x+y)(x2 +y2 )x3 = L.H.S. 2 +b2 )x3 =(x+y)(x2 +y2 )a3 (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{6.(iii)\\\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]2 ); 2 );2 )L.H.S. 2 ) + m.k(mn – l2 ) + n.k(nl – m2 )2 m – ln2 + m2 n – l2 m + ln2 – nm2 ]
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(iv)\\\frac{x}{b+c-a} =\frac{y}{c+a-b} =\frac{z}{a+b-c}}}$$
হলে, দেখাই যে, (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{b+c-a} =\frac{y}{c+a-b} =\frac{z}{a+b-c}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]L.H.S. 2 -c2 -ab+ca+c2 -a2 -bc+ab+a2 -b2 -ca+bc]R.H.S (Proved )
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(v)\\\frac{x}{y} =\frac{a+2}{a-2}}}$$
হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\frac{4a}{a^2+4}}\\\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{y} =\frac{a+2}{a-2}\\⇒\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{a+2}{a-2}\right)^2\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+2.a.2+2^2}{a^2-2.a.2+2^2}\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+4a+4}{a^2-4a+4}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{a^2+4a+4-a^2+4a-4}{a^2+4a+4+a^2-4a+4}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{8a}{2a^2+8}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{8a}{2(a^2+4)}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3 $$\large{\mathbf{6. (vi)\\x=\frac{8ab}{a+b}}}$$হলে,$$\large{\mathbf{\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}}\\}$$
এর মান হিসাব করে লিখি।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒x=\frac{4a×2b}{a+b}\\⇒\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}}$$
আবার $$\large{\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}}$$ $$\large{∴\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\\=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\\=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\\=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\\=\frac{2b-2a}{b-a}\\=\frac{2(b-a)}{b-a}\\=2\quad \mathbf{(Ans)}}$$
Koshe Dekhi 5.3 $$\large{\mathbf{7.(i)\\\frac{a}{3} =\frac{b}{4} =\frac{c}{7}}}$$
হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{a+b+c}{c}=2\\Ans:}\\\frac{a}{3} =\frac{b}{4} =\frac{c}{7}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{\frac{a+b+c}{c}\\=\frac{3k+4k+7k}{7k}\\=\frac{14k}{7k} =2\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3 $$\large{\mathbf{7.(ii)\\\frac{a}{q-r} =\frac{b}{r-p} =\frac{c}{p-q}}}$$
হলে, দেখাই যে, a+ b + c = 0 = pa+qb+rc
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a}{q-r} =\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।](প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{7.(iii)\\\frac{ax+by}{a} =\frac{bx-ay}{b}}\\}$$
হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান। $$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{ax+by}{a} =\frac{bx-ay}{b}\\⇒\frac{a(ax+by)}{a^a} =\frac{b(bx-ay)}{b^b}\\⇒\frac{a^2x+aby}{a^2} =\frac{b^2x-aby}{b^2}}$$
প্রতিটি অনুপাত (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে) হবে
$$\large{\\=\frac{a^2x+aby+b^2x-aby}{a^2+b^2}\\=\frac{a^2x+b^2x}{a^2+b^2}\\=\frac{x(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\\=x\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3 $$\large{\mathbf{8. (i)\\\frac{a+b}{b+c} =\frac{c+d}{d+a}}\\}$$
হয়, তবে প্রমান করি যে,
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a+b}{b+c} =\frac{c+d}{d+a}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{k-1=0\\⇒k=1\\⇒\frac{c+d}{d+a} =1\\⇒c+d=d+a\\⇒c=a\\⇒a=c}$$
c = a অথবা a+b+c+d = 0 (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{8. (ii)\\\frac{x}{b+c} =\frac{y}{c+a} =\frac{z}{a+b}}\\}$$
হয়, তবে দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{a}{y+z-x} =\frac{b}{z+x-y} =\frac{c}{x+y-z}\\Ans:}\\\frac{x}{b+c} =\frac{y}{c+a} =\frac{z}{a+b}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\frac{a}{y+z-x}\\=\frac{a}{k(c+a)+k(a+b)-k(b+c)}\\=\frac{a}{k(c+a+a+b-b-c)}\\=\frac{a}{2ka}\\=\frac{1}{2k}\\\mathbf{\underline{M.H.S.}}\\=\frac{b}{z+x-y}\\=\frac{b}{k(a+b)+k(b+c)-k(c+a)}\\=\frac{b}{k(a+b+b+c-c-a)}\\=\frac{b}{2kb}\\=\frac{1}{2k}
\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{c}{x+y-z}\\=\frac{c}{k(b+c)+k(c+a)-k(a+b)}\\=\frac{c}{k(b+c+c+a-a-b)}\\=\frac{c}{2kc}\\=\frac{1}{2k}\\\frac{a}{y+z-x} =\frac{b}{z+x-y} =\frac{c}{x+y-z}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি – 5.3 $$\large{\mathbf{8.(iii)\\\frac{x+y}{3a-b} =\frac{y+z}{3b-c} =\frac{z+x}{3c-a}}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}}\\\mathbf{Ans:}}$$
প্রতিটি অনুপাত (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে) হবে=
$$\large{=\frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}\\=\frac{2x+2y+2z}{2a+2b+2c}\\=\frac{x+y+z}{a+b+c}\\∴\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=k}$$
কষে দেখি – 5.3 Ratio And Proportion 5.3 [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
x+y+z – (y+z) = k(a+b+c) – k(3b-c)2 -2ab+2ac)2 -2bc+2ab)
(iv) – (i) করে পাই,2 -2ac+2bc)2 -2ab+2ac)+k(b2 -2bc+2ab)+k(c2 -2ac+2bc)2 -2ab+2ac+b2 -2bc+2ab+c2 -2ac+2bc)2 +b2 +c2 )
$$\large{\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\\=\frac{k(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}\\=k\\∴\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{8.(iv)\\\frac{x}{a}=\frac{y}{b} =\frac{z}{c}}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}}\\}$$$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{a}=\frac{y}{b} =\frac{z}{c}=k\\∴x=ka:\\y=kb:\\z=kc\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\frac{x^2-yz}{a^2-bc}\\⇒\frac{(ka)^2-kb.kc}{a^2-bc}\\⇒\frac{k^2a^2-k^2bc}{a^2-bc}\\⇒\frac{k^2(a^2-bc)}{a^2-bc}\\⇒k^2\\\mathbf{\underline{M.H.S.}}\\=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}\\⇒\frac{(kb)^2-kc.ka}{b^2-ca}\\⇒\frac{k^2b^2-k^2ca}{b^2-ca}\\⇒\frac{k^2(b^2-ca)}{b^2-ca}\\⇒k^2\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}\\⇒\frac{(kc)^2-ka.kb}{c^2-ba}\\⇒\frac{k^2c^2-k^2ba}{c^2-ba}\\⇒\frac{k^2(c^2-ba)}{c^2-ba}\\⇒k^2\\∴\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি – 5.3 $$\large{\mathbf{9.(i)\\\frac{3x+4y}{3u+4v} =\frac{3x-4y}{3u-4v}}}$$হয়,তবে দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x}{y} =\frac{u}{v}}\\}$$
$$\large{\mathbf{Ans:\\\underline{L.H.S.}}\\\frac{3x+4y}{3u+4v} =\frac{3x-4y}{3u-4v}\\⇒\frac{3x+4y}{3x-4y} =\frac{3u+4v}{3u-4v}\\⇒\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y} =\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}}$$যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,$$\large{⇒\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\\⇒\frac{x}{y}=\frac{u}{v}=\underline{R.H.S.}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
9. (ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে, প্রমান করি যে, a : b = c : d $$\large{\mathbf{Ans:\\\underline{L.H.S.}}\\=(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\\⇒\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}}$$যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,$$\large{\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\\⇒\frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}\\⇒\frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}\\⇒\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}$$পুনরায় যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই, $$\large{⇒\frac{a+b+a-b}{a+b=a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}\\⇒\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\\⇒\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒a:b=c:d=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{10.(i)\\\frac{a^2}{b+c} =\frac{b^2}{c+a} =\frac{c^2}{a+b}=1}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c}}\\}$$
$$\large{\mathbf{Ans:}\\∵\frac{a^2}{b+c} =\frac{b^2}{c+a} =\frac{c^2}{a+b}=1\\∴a^2=b+c;\\b^2=c+a;\\c^2=a+b\\\mathbf{\underline{L.H.S}}\\=\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c}\\=\frac{a}{a+a^2} +\frac{b}{b+b^2} +\frac{c}{c+c^2}\\=\frac{a}{a+b+c} +\frac{b}{b+c+a} +\frac{c}{c+a+b}\\=\frac{a+b+c}{c+a+b}\\=1=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}
$$
10. (ii) x2 : (by + cz) = y2 2 : (ax + by) = 1 হলে, দেখাই যে, $$\large{\mathbf{\frac{a}{a+x} +\frac{b}{b+y} +\frac{c}{c+z}=1}\\}$$
Ans: 2 : (by + cz) = y2 : (cz + ax) = z2 : (ax + by) = 12 = by + cz ;2 = cz + ax ;2 = ax + by
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S}}\\=\frac{a}{a+x} +\frac{b}{b+y} +\frac{c}{c+z}\\=\frac{ax}{ax+x^2} +\frac{by}{by+y^2} +\frac{cz}{cz+z^2}\\=\frac{ax}{ax+by+cz} +\frac{by}{by+cz+ax} +\frac{cz}{cz+ax+by}\\=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}\\=1 \mathbf{=\underline{R.H.S.}\quad(Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{11.(i)\\\frac{x}{xa+yb+zc} =\frac{y}{ya+zb+xc} =\frac{z}{za+xb+yc}}}$$
এবং x+y+z≠0 হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত
$$\large{\mathbf{\frac{1}{a+b+c}\\Ans:}\\\frac{x}{xa+yb+zc} =\frac{y}{ya+zb+xc} =\frac{z}{za+xb+yc}}$$[ সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই ]$$\large{=\frac{x+y+z}{(xa+yb+zc)+(ya+zb+xc)+(za+xb+yc)}\\=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\\=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\\=\frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}\\=\frac{x+y+z}{x(a+b+c)+y(a+b+c)+z(a+b+c)}\\=\frac{x+y+z}{(a+b+c)(x+y+z)}\\=\frac{1}{a+b+c}}$$
$$\large{\mathbf{11.(ii)\\\frac{x^2-yz}{a} =\frac{y^2-zx}{b} =\frac{z^2-xy}{c}}}$$
হলে, প্রমান করি যে, (a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x^2-yz}{a} =\frac{y^2-zx}{b} =\frac{z^2-xy}{c}=\frac{1}{k}}$$
– – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]2 – yz);2 – zx);2 – xy)বামপক্ষ 2 – kyz + ky2 – kzx + kz2 – kxy)(x + y + z)2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)(x + y + z)3 + y3 + z3 – 3xyz)ডানপক্ষ 2 – yz)x + k(y2 – zx)y + k(z2 – xy)z3 – xyz + y3 – xyz + z3 – xyz)3 + y3 + z3 – 3xyz) = (বামপক্ষ )(প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{11.(iii)\\\frac{a}{y+z} =\frac{b}{z+x} =\frac{c}{x+y}}}$$হলে, প্রমান করি যে, $$\large{\mathbf{\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} =\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\\Ans:}\\\frac{a}{y+z} =\frac{b}{z+x} =\frac{c}{x+y}=k}$$
– – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{∴a=k(y+z);\\\quad b=k(z+x);\\\quad c=k(x+y)\\\underline{L.H.S.}\\=\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}\\=\frac{k(y+z)(kz+kx-kx-ky)}{y^2-z^2}\\=\frac{k(y+z)(kz-ky)}{y^2-z^2}\\=\frac{k.k(y+z)(z-y)}{y^2-z^2}\\=\frac{-k^2(y^2-z^2)}{y^2-z^2}\\=-k^2\\\underline{M.H.S.}\\=\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}\\=\frac{k(z+x)(kx+ky-ky-kz)}{z^2-x^2}\\=\frac{k(z+x)(kx-kz)}{z^2-x^2}\\=\frac{k.k(z+x)(x-z)}{z^2-x^2}\\=\frac{-k^2(z^2-x^2)}{z^2-x^2}\\=-k^2\\\underline{R.H.S.}\\=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\\=\frac{k(x+y)(ky+kz-kz-kx)}{x^2-y^2}\\=\frac{k(x+y)(ky-kx)}{x^2-y^2}\\=\frac{k.k(x+y)(y-x)}{x^2-y^2}\\=\frac{-k^2(x^2-y^2)}{x^2-y^2}\\=-k^2\\\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} =\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) (i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী (a) 8 (c) 12 Ans: (a) 8
(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী (a) 12 (b) 16 (c) 18 (d) 20 Ans: (c) 18তৃতীয় সমানুপাতী x
(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী Ans: (c) 20
(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং $$\large{\mathbf{a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a}\\}$$হলে, a-এর মান$$\large{\mathbf{(a)\quad\frac{81}{256}\quad\quad(b)\quad9\\(c)\quad\frac{9}{16}\quad\quad(d)\quad\frac{16}{9}}\\\mathbf{Ans:}\quad(c)\quad\quad\frac{9}{16}\\\left[a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a\\⇒a^2=\sqrt{\frac{27}{64}×\frac{3}{4}}\\⇒a^2=\sqrt{\frac{81}{256}}\\⇒a=\frac{9}{16}\right]}$$
(v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b :c হবে (a) 3:4:6 (b) 4:3:6 (c) 3:6:4 (d) 6:4:3 Ans: (d) 6:4:3k /2 k /3 k /4 k /2 : k /3 : k /4 1 /2 : 1 /3 : 1 /4 1 /2 ×12 : 1 /3 ×12 : 1 /4 ×12
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি: (i) ab : c2 ; bc : a2 এবং ca : b2 –এর যৌগিক অনুপাত 1:1 Ans: বিবৃতিটি সত্য।2 ; bc : a2 এবং ca : b2 –এর যৌগিক অনুপাত2 × a2 × b2 2 b2 c2 : a2 b2 c2
(ii)x3 y, x2 y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী। Ans: বিবৃতিটি সত্য।3 y × xy3 = x4 y4 2 y2 )2 ]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি: (i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্য সমানুপাতী __________ 42 = ac2 ×b = ac × b3 = abc3 = 64 – – – [প্রশ্নানুযায়ী abc = 64]
(ii) a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর __________% 121 /2
$$\large{\left[\frac{a}{2}=\frac{b}{5} =\frac{c}{8}\\⇒\frac{a}{2}×\frac{100}{100}=\frac{b}{5}×\frac{100}{100} =\frac{c}{8}×\frac{100}{100}\\⇒a×\frac{50}{100}=b×\frac{20}{100}=\frac{c}{2}×\frac{25}{100}\\⇒a×50\%=b×20\%=c×12\frac{1}{2}\%\right]}$$
(iii) (x + 2) এবং (x – 3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x-এর মান __________ Ans: – 6
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো । $$\large{\left[\frac{x+2}{x} =\frac{x}{x-3} \\⇒(x+2)(x-3)=x2\\⇒(x2-3x+2x-6=x2\\⇒-x=-6\\⇒x = 6\right]}$$
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) $$\large{\mathbf{(i)\\ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}$$
হলে, p-এর মান নির্ণয় করি। সমাধান: ধরি,
$$\large{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\\=\frac{2a−3b+4c}{p}=k}$$যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।
∴a = 2k,Ans: p-এর মান 11
$$\mathbf{(ii)\\\large{\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}}}$$হলে,$$\mathbf{\large{\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\\.}}$$-এর মান নির্ণয় করি।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}\\⇒2(3x-5y)=(3x+5y)\\⇒6x-10y=3x+5y\\⇒6x-3x=5y+10y\\⇒3x=15y\\⇒x=5y\\∴\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\\=\frac{3×(5y)^2-5y^2}{3×(5y)^2+5y^2}\\=\frac{3×25y^2-5y^2}{3×25y^2+5y^2}\\=\frac{75y^2-5y^2}{75y^2+5y^2}\\=\frac{70y^2}{80y^2}\\=\frac{7}{8}}$$
Ans: নির্ণেয় মান 7 /8
(iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, (3ax – by) : (4by – 7ax) কত নির্ণয় করি। সমাধান: ধরি, a = 3k, b = 4k এবং x = 5p, y = 7p – – – [যেখানে k ও p অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{∴(3ax-by):(4by-7ax)\\=\frac{3ax-by}{4by-7ax}\\=\frac{3×3k×5p-4k×7p}{4×4k×7p-7×3k×5p}\\=\frac{45kp-28kp}{112kp-105kp}\\=\frac{17kp}{7kp}\\=\frac{17}{7}\\=17:7}$$
Ans: (3ax – by) : (4by – 7ax) = 17 : 7
(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি। সমাধানঃ
$$\large{\frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\\∴\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\\⇒y^2=12×27\\⇒y=\sqrt{4×3×3×9}\\⇒y=2×3×3=18}$$আবার$$\large{\frac{x}{12}=\frac{12}{y}\\⇒\frac{x}{12}=\frac{12}{18}\\⇒x=8}$$
Ans: x = 18 এবং
(v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে, a + b : b + c কত নির্ণয় করি। সমাধানঃ
$$\large{a:b=3:2\\⇒\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{5}{2}\\b:c=3:2\\⇒\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\\⇒\frac{b}{c+b}=\frac{3}{2+3}\\⇒\frac{b}{b+c}=\frac{3}{5}\\\\∴a+b:b+c\\=\frac{a+b}{b+c}\\=\frac{a+b}{b}×\frac{b}{c+b}\\=\frac{5}{2}×\frac{3}{5}\\=\frac{3}{2}}$$
Ans: a + b : b + c এর মান 3 /2
Madhyamik Question MP-2024 ▶️ x /y + z = y /z + x = z /x + y হলে দেখাও যে প্রতিটি অনুপাতের মান 1 /2 অথবা -1।
▶️ a. b. c ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো যে, 1 /b = 1 /b-a + 1 /b-c
MP-2023 $$(i)\quad\frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1$$হলে দেখাও যে,$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$$
MP-2022 ▶️ যদি a : b = b : c হয় , তবে প্রমাণ করো 5.3 4 iii
\(\large{\mathbf{\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\\Solution:}}\)
▶️ \(\large{\mathbf{\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}}\) হলে, \(\large{\mathbf{\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}}}\) এর মান নির্ণয় করো।
MP-2020 ▶️ x : a = y : b = z : c হলে দেখাও 5.3. 2.
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}=\frac{3xyz}{abc}}}\)
▶️ \(\Large{\mathbf{}}\) যদি \(\large{\mathbf{\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}}}\) হয়, তবে প্রমান করো \(\Large{\mathbf{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}}\)
MP-2019 ▶️ \(\large{\mathbf{}}\) যদি \(\large{\mathbf{\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}}\) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, \(\large{\mathbf{\quad\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\}}\)
MP-2018 ▶️\(\Large{\mathbf{\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}}\)
এবং a + b + c ≠ 0 হলে প্রমাণ করো a = b = c
▶️ x : a = y : b = z : c হলে দেখাও (a2 + b2 + c2 2 + y2 + z2 2
MP-2017 ▶️\(\mathbf{}\) যদি \(\Large{\mathbf{\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}}\)
হয়, তবে প্রমাণ কর যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় 1 /2 অথবা -1
▶️ যদি (b + c − a) x = (c + a – b)y = (a + b – c) z = 2, হয়, তবে দেখাও যে
\(\Large{\mathbf{\quad(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=abc}}\)
