PROSTUTI

Category: X-Mathematics

  • দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

                            OR ব্যাসার্ধ(r) গোলক 

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    গোলকটির ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি
    ∴গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×10.5×10.5 বর্গ সেমি
    = 4×22/7××105/10××105/10 বর্গ সেমি
    = 4×22××15/10×105/10 বর্গ সেমি
    = 22×3×21 বর্গ সেমি
    = 1386 বর্গ সেমি।
    Ans: গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি।

    2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    ধরি, চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∴ চামড়ার বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ সেমি
    বলটি তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে।
    বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 431.20/17.50 বর্গ সেমি
    = 43120/1750 বর্গ সেমি
    = 616/25 বর্গ সেমি
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4πr2 = 616/25
    বা, 4×22/7×r2 = 616/25
    বা, 4×2/7×r2 = 56/25
    বা, 1/7×r2 = 7/25
    বা, r2 = 7×7/25
    বা, r = 7/5
    বা, 2r = 2×7/5 = 2.8
    Ans: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি।

    3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    সটপাট বলটির ব্যাসার্ধ (r) = 7/2​সেমি
    ∴ বলটির আয়তন = 4/3 π×7/23 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×7/2×7/2×7/2 ঘন সেমি
    = 1/3×11×7×7 ঘন সেমি
    = 539/3 ঘন সেমি
    = 1792/3 ঘন সেমি
    Ans: বলটিতে ​1792/3 ঘন সেমি লোহা আছে।

    4. 28 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 28/2 = 14 সেমি
    ∴ নিরেট গোলকেটির আয়তন = 4/3 π×143 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×14×14×14 ঘন সেমি
    = 4/3×22××2×14×14 ঘন সেমি
    = 34496/3 ঘন সেমি
    = 11498 2/3 ঘন সেমি
    Ans: গোলকটি জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে ​11498 2/3 ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r1) = 7 সেমি
    ∴ বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r1)2 বর্গ সেমি
    = 4π×7×7 বর্গ সেমি
    বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r2) = 21 সেমি
    ∴ বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r2)2 বর্গ সেমি
    = 4π×21×21 বর্গ সেমি
    ∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
    = 4π×7×7 : 4π×21×21
    = 1×1 : 3×3
    = 1 : 9
    Ans: পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9

    6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 1272/7 বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∵ বাটিটি নিরেট নয় তাই বাটি তৈরি করতে বক্রতলের পাত লাগে।
    ∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr2 বর্গ সেমি
    প্রশ্নানুযায়ী,
    2πr2 = 1272/7
    বা, 2×22/7×r2 = 891/7
    বা, 2×22×r2 = 891
    বা, 2×2×r2 = 81
    বা, r2 = 81/4
    ∴ r = 9/2
    বা, 2r = 9
    Ans: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 9 সেমি।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি
    ∴ নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π×2.13 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×21/10×21/10×21/10 ঘন সেমি
    = 4×22×1/10×21/10×21/10 ঘন সেমি
    = 38.808 ঘন সেমি
    ∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π×2.12 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×21/10×21/10 বর্গ সেমি
    = 4×22×3/10×21/10 বর্গ সেমি
    = 55.44 বর্গ সেমি
    Ans: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে।
    লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।

    8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 14/2 = 7 সেমি
    ∴ গোলকটির আয়তন = 4/3 π×73 ঘন সেমি
    ছোটো নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি
    ∴ ছোটো নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π×3.53 ঘন সেমি
    ধরি, x টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে
    ∴ x× 4/3 π×3.53 = 4/3 π×73
    বা, x×3.53 = 73
    বা, x×3.53 = 73
    বা, x×35/10×35/10×35/10 = 7×7×7
    বা, x×7/2×7/2×7/2 = 7×7×7
    ∴ x = 8
    Ans: নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে = 8টি।

    9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    তিনটি নিরেট তামার গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি।
    ∴ তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে 4/3 π(3)3 ঘন সেমি, 4/3 π(4)3 ঘন সেমি ও 4/3 π(5)3 ঘন সেমি।
    ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = 4/3 πr3 ঘন সেমি
    তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো।
    ∴ বড়ো গোলকটির = তিনটি নিরেট তামার গোলকের আয়তন।
    ∴ 4/3 πr3 = 4/3 π(3)3 + 4/3 π(4)3 + 4/3 π(5)3
    বা, 4/3 πr3 = 4/3 π(27 + 64 + 125)
    বা, r3 = 216
    বা, r3 = (6)3
    ∴ r = 6
    Ans: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ 6 সেমি।

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r) = 42/2 ডেসিমি
    = ​21ডেসিমি
    = 2.1 মিটার
    ∴ গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল
    = 2πr2 বর্গ একক
    = 2×22/7×2.1×2.1 বর্গ মিটার
    = 2×22×0.3×2.1 বর্গ মিটার
    =27.72 বর্গ মিটার
    ∴ প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে
    = (27.72 × 35) টাকা
    = 970.20 টাকা
    Ans: রং করতে 970.20 টাকা কত খরচ পড়বে।

    LIFE SCIENCE অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance CLICK HERE

    11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ = 21/2 সেমি
    ∴ প্রথম গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(21/2)2 বর্গ সেমি
    দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ = 17.5/2 সেমি
    ∴ দ্বিতীয় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(17.5/2)2 বর্গ সেমি
    ∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত
    = 4π(21/2)2 : 4π(17.5/2)2
    = 21/2×21/2 : 17.5/2×17.5/2
    = 21/2×21/2 : 175/20×175/20
    = 21×21 : 35/2×35/2
    = 3×3 : 5/2×5/2
    = 9 : 25
    Ans: গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত 9 : 25

    12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    ধরি, ধাতব গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক এবং কেটে নেওয়া নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
    ∴ ধাতব গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πR2 বর্গ একক
    ∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πr2 বর্গ একক
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4πR2/2 = 4πr2
    বা, R2/2 = r2
    বা, R2 = 2r2
    বা, R = √2.r
    ∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত = 36 : 25

    $$\large{=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}πR^3-\frac{4}{3}πr^3}\\=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}π\left(R^3-r^3\right)}\\=\frac{r^3}{R^3-r^3}\\=\frac{r^3}{(r\sqrt2)^3-r^3}\\=\frac{r^3}{r^3(2\sqrt2-1)}\\=\frac{1}{2\sqrt2-1}\\=1:(2\sqrt2-1)}$$

    13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

    সমাধান:
    ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি
    ∴ ভূগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πr2
    = 4π(14)2 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×14×14 বর্গ সেমি
    = 4×22×2×14 বর্গ সেমি
    = 2464 বর্গ সেমি
    ভূগোলকের বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি
    ∴ বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
    = πr2
    = π(0.7)2
    = 22/7×7/10×7/10 বর্গ সেমি
    = 22×1/10×7/10 বর্গ সেমি
    = 1.54 বর্গ সেমি।
    ∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
    = (2 × 1.54) বর্গ সেমি = 3.08 বর্গ সেমি।
    ∴ ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
    = (2464 – 3.08) বর্গ সেমি
    = 2460.92 বর্গ সেমি।
    Ans: ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি।

    14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
    ∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
    =  4/3 π(8)3 ঘন সেমি
    1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলির আয়তন
    =  4/3 π(1)3 ঘন সেমি।
    ∴ 1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
    = 4/3 π(8)3 ÷ 4/3 π(1)3
    = (8)3 ÷ (1)3 = 512 টি

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
    (a) 32πr3/3 ঘন একক (b) 16πr3/3 ​ ঘন একক (c) 8πr3/3​ ঘন একক (d) 64πr3/3 ঘন একক

    Ans: (a) 32πr3/3 ঘন একক
    [নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π(2r)3 ঘন একক
    = 32πr3/3 ঘন একক]

    (ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত(a) 1:2 (b) 1:4 (c) 1:8 (d) 1:16

    Ans: (b) 1:4
    [ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    ∴ তাদের আয়তনের অনুপাত   4/3 πr3  : 4/3 πR3
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4/3 πr3  : 4/3 πR3 = 1 : 8
    বা, r3  : R3 = 13 : 23
    বা, r : R = 1 : 2
    ∴ তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
    = 4πr2  : 4πR2
      = r2  : R2
    = 12  : 22 = 1 : 4]

    (iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 588π বর্গ সেমি (b) 392π বর্গ সেমি (c) 147π বর্গ সেমি (d) 98π বর্গ সেমি

    Ans:   (c) 147π বর্গ সেমি
    [নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি
    ∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 3πr2 = 3×π×72
    = 147π বর্গ সেমি ]

    (iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত  (a) 64:27 (b) 4:3 (c) 27:64 (d) 3:4

    Ans: (a) 64:27
    [ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr2  : 4πR2
    প্রশ্নানুযায়ী
    4πr2  : 4πR2 = 16 : 9
    বা, r2  : R2 = 16 : 9
    বা, r : R= 4 : 3
    তাদের আয়তনের অনুপাত
    =  4/3 πr3  : 4/3 πR3
    = r3  : R3
    = 43  : 33 = 64 : 27]

    (v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক

    Ans: (a) 1 একক
    [ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
    ∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
    নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 πr3 ঘন একক
    [প্রশ্নানুজায়ী,
    4πr2 = 3×4/3 πr3
    বা, r = 1]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

    (i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।

    Ans: মিথ্যা
    [ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
    ∴ নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 πr3 ঘন একক
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে,
    গোলকটির আয়তন হবে = 4/3 πr3
    = 4/3 π(2r)3
    = 8 × 4/3 πr3 ঘন একক]

    (ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3

    Ans: সত্য
    [ধরি, অর্ধগোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    ∴ 3πr2 : 3πR2 = 4 : 9
    বা, r2 : R2 = 4 : 9
    বা, r : R = 2 : 3]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একটি তল বিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম __________।
    Ans: গোলক

    (ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______।
    Ans:     1টি

    (iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________   বর্গ একক।
    Ans: 12πr2
    [অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 3πr2 বর্গ একক
    = 3π(2r)2 = 12πr2 বর্গ একক]

    16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ অর্ধগোলকের আয়তন = 2/3 πr3 ঘন একক
    এবং অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গ একক।
    প্রশ্নানুসারে,
    2/3 πr3 = 3πr2
    বা, 2πr3 = 9πr2
    বা, r = 9/2 = 4.5
    Ans: অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ 4.5 একক

    (ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গসেমি।
    চোঙটির উচ্চতা(h) = 12 সেমি
    চোঙটির ব্যাসার্ধ(R) = 12/2 = 6 সেমি।
    ∴ চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πRh
    = 2π×6×12 বর্গসেমি।
    প্রশ্নানুসারে,
    4πr2 = 2π×6×12
    বা, r2 = 6×6
    বা, r = 6
    Ans: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

    (iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক।
    ∴ অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গএকক;
    এবং নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR2 বর্গএকক।
    প্রশ্নানুসারে,

    $$\large{\quad\quad 3πr^2=4πR^2\\⇒3r^2=4R^2\\⇒\frac{r^2}{R^2}=\frac{4}{3}\\⇒\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt3}}$$Ans: অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:√3

    (iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, S3/V2 ​-এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে )

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল S = 4πr2
    এবং গোলকের আয়তন V = 4/3 πr3

    $$\large{\therefore\frac{S^3}{V^2}=\frac{\left(4πr^2\right)^3}{\left(\frac{4}{3}πr^3\right)^2}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=\frac{64π^3r^6×9}{16π^2r^6}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=36π\quad\mathbf{(Ans)}}$$

    (v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক।
    ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে.
    ব্যাসার্ধ হয় = r × 150/100
    = 3r/2 একক
    ∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4π(3r/2)2 বর্গ একক।
    = 4π×9r2/4
    = 9πr2 বর্গ একক।
    ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হয় = 9πr2 – 4πr2
    = 5πr2 বর্গ একক।
    ∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায় = 5πr2/4πr2 × 100
    = 125
    Ans: ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় 125%

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
    (a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16

    VIEW ANSER

    ▶️ 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহির্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
    (a) 32πr3/3 ঘন একক (b) 16πr3/3 ​ ঘন একক (c) 8πr3/3​ ঘন একক (d) 64πr3/3 ঘন একক

    VIEW ANSER

    ▶️ কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
    Ans:     r3
    [গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
    v = 4/3πr3
    ⇒ v ∝ r3 – – – (∵ 4/3π = ধ্রুবক)]

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে। (সত্য/ মিথ্যা)

    VIEW ANSER

    ▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
    Ans:     একটি

    ▶️

    ▶️ একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে। (সত্য/ মিথ্যা)
    Ans:     সত্য
    [ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
    ∴ 3πr2 = 36π
    ⇒ r2 = 12
    ⇒ r2 = 2√3]

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

    VIEW ANSER
    KOSHE DEKHI 11.2
    KOSHE DEKHI 13
  • বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45°; ∠SQP ও ∠RSP-এর মান হিসাব করে লিখি।

    65° 45° X P Q R S

    Solution:
    PS বৃত্তচাপের উপর ∠SQP ও ∠PRS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠SQP = ∠PRS = 65°
    আবার ∠PQR = ∠SQP + ∠RQS
    = 65° + 45°
    = 110°
    PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠RSP + ∠PQR = 180°
    বা, ∠RSP + 110° = 180°
    বা, ∠RSP = 180° – 110°
    = 70°
    Ans: ∠SQP = 65°, ∠RSP = 70°

    2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

    82° 47° D X A B C

    Solution:
     ∠CBX = 82°
    ∴ ∠ABC = 180° – 82°
    = 98°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    বা, ∠ADC + 98° = 180°
    বা, ∠ADC = 180° – 98°
    = 82°
    ∵ ∠ADB = 47°
    ∴ ∠BDC = 82° – 47°
    = 35°
    BC বৃত্তচাপের উপর ∠BAC ও ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴∠BAC = ∠BDC = 35°
    Ans: ∠BAC = 35°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠QOR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR –এর মান হিসাব করে লিখি।

    110° 80° 60° O T S P Q R

    Solution:
    SR বৃত্তচাপের উপর ∠SOR কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠RQS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠RQS = ½ × ∠SOR
    = ½ × 80° = 40°
    ∠POS = 360° – (∠SOR + ∠ROQ + ∠QOP)
    = 360° – (80° + 60° + 110°)
    = 360° – 250°
    ⇒ 110°
    ∴ PS বৃত্তচাপের উপর ∠POS কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠PQS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠PQS = ½ × ∠POS
    = ½ × 110° = 55°
    ∴ ∠PQR = ∠PQS + ∠RQS
    = 55° + 40° = 95°
    ∴ ∠RQT = 180° – ∠PQR
    = 180° – 95° = 85°
    QS বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠SOQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠SPQ
    ∴ 2∠SPQ = ∠SOQ
    বা, 2∠SPQ = ∠SOR + ∠ROQ
    বা, 2∠SPQ = 80° + 60°
    ⇒ 2∠SPQ = 140°
    বা, ∠SPQ = 70°
    আবার, PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠QRT = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠SPQ
    ∴ ∠QRT = 70°
    △RQT থেকে পাই,
    ∠QTR = 180° – (∠RQT + ∠QRT)
    = 180° – (85° + 70°)
    = 180° – 155°
    ⇒ 25°
    Ans: ∠RQS = 40°,
    ∠QTR = 25°

    4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC ∥ BD।

    A C Q P B D

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB ও CD সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ AC ∥ BD
    অঙ্কনঃ A, C; P, Q; B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ APQC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
    আবার, PBDQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠PQC = অন্তস্থ কোণ ∠PBD
    ∵ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
    ∴ ∠PAC + ∠PBD = 2 সমকোণ
    AC ও BD সরলরেখার ভেদক AB এবং অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোন
    ∴ AC ∥ BD (প্রমানিত)।

    5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করে যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

    Solution: F A D C E B

    প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক AF পরিধিকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে। F, C যুক্ত করা হল।
    প্রামান্য বিষয়ঃ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
    প্রমাণঃ ABCF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ECF = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BAF ……….(i)
    FD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DCF ও ∠FAD
    ∴ ∠DCF = ∠FAD
    আবার, AF, ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক
    ∠FAD = ∠BAF
    বা, ∠DCF = ∠BAF – – – [∵ ∠DCF = ∠FAD]
    বা, ∠DCF = ∠ECF – – – [(i) নং থেকে]
    ∴ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
    ∴ ∠BAD ও ∠DCE –এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।(প্রমানিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

    Solution: B D C X A

    প্রদত্তঃ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু X দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দু ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।
    অঙ্কনঃ A, C ও B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
    ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠CAX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BDC এবং
    বহিঃস্থ কোণ ∠ACX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠ABD
    △XAC ও △XBD-এর,
    ∠CAX = ∠BDC এবং
    ∠ACX = ∠ABD
    ∴ △XAC ও △XBD –এর দুটি করি কোণ সমান। (প্রমানিত)

    7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS।

    P R H G Q S

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর G, H বিন্দুতে ছেদ করেছে। G ও H বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q এবং R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং PQ ∥ RS.
    প্রামান্য বিষয়ঃ PQ = RS
    অঙ্কনঃ P, R; G, H এবং Q, S যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠HSQ + ∠HGQ = 180° – – – (i)
    আবার, PQ সরলরেখার ওপর G বিন্দুতে, GH দণ্ডায়মান।
    ∴∠PGH + ∠HGQ = 180° – – – (ii)
    (i) ও (ii) নং থেকে পাই,
    ∠HSQ + ∠HGQ = ∠PGH+ ∠HGQ7
    বা, ∠HSQ = ∠PGH
    আবার, PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠PRH + ∠PGH = 180°
    বা, ∠PRH + ∠HSQ = 180° – – – [∵ ∠PGH = ∠HSQ]
    PR ও QS বাহুদ্বয়ের ভেদক RS এর একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণের সমষ্টি 180°
    ∴ PR || QS
    আবার, PQ || RS
    ∴ PRSQ একটি সামান্তরিক।
    ∴PQ = RS (প্রমাণিত)

    8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। △ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC।

    Solution: A B C E D

    প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং BC –এর উপর E যেকোনো বিন্দু। AE পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ ∠ACD = ∠AEC
    অঙ্কনঃ C, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∴ বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তস্থ ∠ABC
    আবার, ABC ত্রিভুজের,
    AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ ∠CDE = ∠ACB
    △DCE -এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠BCD = ∠CDE + ∠CED
    বা, ∠ACB + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
    বা, ∠CDE + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
    ∴ ∠ACD = ∠AEC (প্রমাণিত)

    জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 4 ও 8 এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় CLICK HERE

    9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখন্ডক।

    Solution: B C D A F G E

    প্রদত্তঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা।
    প্রামান্য বিষয়ঃ AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
    অঙ্কনঃ CD কে G পর্যন্ত এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
    প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
    ∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,
    ∠EAF = ∠BDE
    ∵ ED, ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
    ∴ ∠BDE = ∠EDG
    ∴ ∠EAF = ∠EDG – – – (i)
    অনুরুপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,
    ∠EDG = ∠EAC – – – (ii)
    (i) ও (ii) নং থেকে পাই,
    ∠EAG = ∠EAC
    ∴  EA, ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, △AEF ও △ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

    Solution: A B C E F

    প্রদত্তঃ △ABC এর AC এবং AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ E, F যোগ করা হল ।
    প্রমাণঃ ∵ BE ⊥ AC
    ∴∠BEC = 1 সমকোণ এবং
    ∵ CF ⊥ AB
    ∴ ∠CFB = 1 সমকোণ
    ∴∠BEC = ∠CFB = 1 সমকোন
    ∴ একই রেখাংশ BC এর ওপর অবস্থিত দুটি কোন ∠BEC ও ∠CFB অর্ধবৃত্তস্থ কোন।
    ∴ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ (প্রমানিত)
    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
    ∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BCEF এর,
    বহিঃস্থ কোন ∠AEF = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠FBC
    বা, ∠AEF =  ∠ABC এবং
    বহিঃস্থ কোন ∠AFE = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠ECB
    বা, ∠AFE= ∠ACB
    △AEF এবং △ABC এর,
    ∠AEF =  ∠ABC এবং
    ∠AFE= ∠ACB
    ∴△AEF ও △ABC এর দুটি করে কোন সমান (প্রমাণিত)

    11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

    Solution: A B F E D C

    প্রদত্তঃ ABCD সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী বৃত্ত AD ও BC বৃত্তকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ E, F, C, D সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ E, F যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠BAE + ∠BFE = 180° – – – (i)
    আবার ABCD সামান্তরিকের,
    ∠BAD + ∠ADC = 180°∴ ∠BAE + ∠EDC = 180° – – – (ii) [সামান্তরিকের সন্নিহিত কোনদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
    (i) ও (ii) থেকে পাই, 
    ∠BAE + ∠BFE = ∠BAE + ∠EDC
    বা, ∠BFE = ∠EDC
    বা, 180° – ∠EFC = ∠EDC
    ⇒ ∠EFC + ∠EDC = 180
    EFCD চতুর্ভুজের,
    ∠EFC + ∠CDE = 180°
    ∴ EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    ∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

    12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। △BCP এবং △CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।

    12.Solution: A B C D P R T

    প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার বর্ধিত AB এবং DC পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং বর্ধিত AD ও BC পরস্পর R বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । △BCP এবং △CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ P, T, R সমরেখ ।
    অঙ্কনঃ P, T; R T এবং C, T যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ BCTP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠CTP + ∠CBP = 180°
    বা, ∠CTP = 180° – ∠CBP
    বা, ∠CTP = ∠ABC
    ∠CDA = 180° – ∠CDR
    বা, ∠CDA = ∠CTR
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ABC + ∠CDA = 180°
    বা, ∠CTP + ∠CTR = 180°
    ∠CTP এবং ∠CTR এর CT সাধারন বাহু এবং কোন দুটির সমষ্টি 180°,
    ∴ P, T, R সমরেখ। (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

    Solution: A B C D E F O

    প্রদত্তঃ △ABC এর শীর্ষবিন্দু তিনটি থেকে বিপরীত বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যথাক্রমে AD, BE এবং CF, O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ ৷
    অঙ্কনঃ D, E; E, F এবং F, D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ O, △ABC এর লম্ববিন্দু ।
    সুক্ষকোনী ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব তার পাদত্রিভুজের কোনকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    ∴ AD রেখা, ∠FDE কে, BE রেখা ∠DEF কে এবং CF রেখা ∠DFD কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
    ⇒ △DEF এর অন্তর্দ্বিখন্ডকত্রয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
    ∴ O △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ (প্রমাণিত)

    14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE =  CA

    Solution: A B C D E

    প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে এবং DE = AB ;
    প্রামান্য বিষয়ঃ CE =  CA
    অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ ∠BAC = ∠BDC – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
    এবং ∠CAD = ∠CBD – – – [ একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
    আবার, ∠BAC = ∠CAD – – – [ ∵ AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∴ ∠BDC = ∠DBC
    ∴ △BCD থেকে পাই, CD =BC
    AE সরলরেখার ওপর D বিন্দুতে DE দণ্ডায়মান
    ∴ ∠EDC + ∠CDA = 180°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    ∴ ∠EDC + ∠CDA = ∠ADC + ∠ABC
    বা, ∠EDC = ∠ABC
    এখন △DEC ও △ABC এর মধ্যে
    DE = AB – – – ( প্রদত্ত )
    ∠EDC = ∠ABC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
    CD = BC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
    ∴ △DCE ≅ △ABC – – – [ S-S-S শর্তানুসারে ]
    ∴ CE = CA – – – (অনুরূপ বাহু )[প্রমাণিত ]

    15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে PR = PB

    Solution: O A B P R

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী। RAP সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P,B ও R,B যুক্ত করা হল ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ PR = PB
    অঙ্কনঃ O, A; O, B এবং O, R যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ △ROB এর OR = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠ORB = ∠OBR
    △ROA এর OA = OR – -M – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAR = ∠ARO
    আবার চতুর্ভুজ AOBP সমবৃত্তস্থ ।
    ∴ ∠OBP+ ∠OAP = 180° – – – (i)
    PR বাহুর ওপর A বিন্দুতে AO দন্ডায়মান ৷
    ∴ ∠OAP + ∠OAR = 180° – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    ∠OBP+ ∠OAP = ∠OAP + ∠OAR
    বা, ∠OBP = ∠OAR
    বা, ∠OBP = ∠ARO
    ∠PRB = ∠ARO + ∠ORB
    = ∠OBP + ∠OBR
    = ∠PBR
    △PBR এর ∠PRB = ∠PBR
    ∴ PR = PB (প্রমাণিত)

    16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

    Solution: A B C D E

    প্রদত্তঃ ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ ABCDE এর যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ  A, D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোনের মান
    = {(5 – 2) × 180°}/5
    = 540°/5 = 108°
    এখন, △ADE এর AE = DE
    ∴ ∠DAE = ∠EDA
    = (180°-108°)/2
    = 36°
    ∴ ∠BAD = 108° – 36° = 72°
    ∴ ∠BAD + BCD = 108° + 72°
    = 180°
    অতএব ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোনগুলির সমষ্টি 180°
    ∴ ABCD চতুর্ভুজটি সমবৃত্তস্থ ।
    সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

    A B C D O 120°

    Ans: (c) 30°
    Solution:
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    ∴ ∠ABC = 180° – 120° = 60°
    আবার, ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠BAC = 180° – (90° + 60°)
    = 180° – 150° = 30°

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 75°  (b) 105° (c) 115° (d) 80°

    A B C D O 40° 65°

    Ans: (c) 115°
    Solution:
    ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
    = 180° – 155° = 25°
    ∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
    ∴ ∠BCD = 180° – 65°
    = 115°

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ∥ DC এবং ∠BAC = 25° হলে ∠DAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

    > > A B C D O 25°

    Ans: (d) 40°
    Solution:
    ∵ AB ∥ CD
    ∴ ∠ACD = ∠BAC = 25°
    ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠ABC = 180° – 90° – 25°
    = 180° – 115° = 65°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠ABC + ∠CDA = 180°
    ∴ ∠ADC = 180° – 65°
    = 115°
    ∴ ∠DAC = 180° – (115° + 25°)
    = 180° – 140° = 40°

    (iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA-কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE ∥ CD, ∠ABC = 92° এবং ∠FAE = 20° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 20° (b) 88° (c) 108° (d) 72°

    > >A B C D E F 92° 20°

    Ans: b) 88°
    Solution:
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
    ∠ABC + ∠CDA = 180°
    ∴ ∠CDA = 180° – 92° = 88°
    ∵ AE ∥ CD
    ∴ ∠CDA = একান্তর ∠DAE
    = 88°
    ∴ ∠DAF = ∠DAE + ∠EAF
    = 88° + 20° = 108°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    অন্তস্থ ∠BCD = বহিঃস্থ ∠DAF
    = 108°

    (v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75° হলে, ∠DEF-এর মান – (a) 75° (b) 70° (c) 60° (d) 105°

    A B C D E F 75°

    Ans: (d) 105°
    Solution:
    C, D যুক্ত করা হল।
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ ∠DCF = অন্তস্থ ∠DAB = 75°
    আবার, DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠DEF + ∠DCF = 180° – 75°
    বা, ∠DEF = 180° – 75° = 105°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    (B) সত্য / মিথ্যা লিখিঃ

    (i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।
    Ans:      মিথ্যা।

    (ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
    Ans:      সত্য।

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পুরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ।

    (ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।
    Ans:     আয়তাকার।

    (iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ।

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

    18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

    (i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। ∠ARB = 150°, ∠BQD = x° হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

    ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ARB + ∠ACB = 180°
    ∴ ∠ACB = 180° – 150° = 30°
    ∴ ∠BCD = 180° – 30° = 150°
    BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
    ∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2∠BCD
    = 2 × 150° = 300°
    ∴ ∠BQD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BQD
    = 360° – 300° = 60°
    Ans: x –এর মান 60°।

    Solution: Q C P B 80° x° A D R

    (ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD = 80° এবং ∠PDA = 84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: P Q C O O 80° 84° A D B

    AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADP + ∠AQP = 180°
    ∴ ∠AQP = 180° – 84° = 96°
    ∴ ∠BQP = 180° – 96° = 84°
    এবং ∠DAQ + ∠DPQ = 180°
    বা, ∠DPQ = 180° – 80° = 100°
    ∴ ∠QPC = 180° – 100° = 80°
    BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠BCP + ∠BQP = 180°
    ∴ ∠BCP = 180° – 84° = 96°
    ∠QBC + ∠QPC = 180°
    ∴ ∠QBC = 180° – 80° = 100°
    Ans: ∠QBC = 100°, ∠BCP = 96°

    (iii) পাশের চিত্রে ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: Q PC O 80° 60° A D B

    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের.
    ∠DAB + ∠DCB = 180°
    ∴ ∠DCB = 180° – 60°
    = 120° এবং
    ∠ABC + ∠ADC = 180°
    ∴ ∠ADC = 180° – 80°
    = 100°
    △APD এর ক্ষেত্রে,
    ∠APB = 180° – ∠BAD – ∠ABC
    = 180° – 60° – 80°
    = 40°
    ∴ ∠DPC = 40°
    △AQD এর ক্ষেত্রে,
    ∠AQD = 180° – ∠BAD – ∠ADC
    = 180° – 60° – 100°
    = 20°
    ∴ ∠BQC = 20°
    Ans: ∠DPC = 40° এবং ∠BQC = 20°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80° এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: > > C D O 80° 10° A E B

    যেহেতু ∠AOB = 80°
    ∴ ∠BOC = 180° – 80° = 100°
    ∴ ∠OCB + ∠OBC = 180° – 100°
    বা, 2∠OCB = 80° – – [OC = OB, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    বা, ∠OCB = 80°/2
    ⇒ ∠OCB = 40°
    ∠BCE = ∠OCB + ∠ACE
    = 40° + 10° = 50°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BEC
    ∴ ∠BOC = 2∠BEC
    ∴ 2∠BEC = 100°
    ⇒ ∠BEC = 100°/2​ = 50°
    ∵ CD ∥ BE
    ∴ ∠BEC = ∠DCE = 50°
    ∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
    = 50° + 50°
    = 100°
    ∴ EBCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∠BED + ∠BCD = 180°
    ∴ ∠BED = 180° – 100°
    = 80°
    Ans: ∠BED-এর মান = 50°

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140° এবং ∠CAB = 50° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: CSolution: D O 50° 140°A E B

    ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∠CAB + ∠CDB = 180°
    বা, 50° + ∠CDB = 180°
    বা, ∠CDB = 180° – 50° = 130°
    ∴ ∠BDE = 180° – ∠CDB
    = 180° – 130° = 50°
    আবার, ∠AOD = 140°
    ∴ ∠BOD = 180° – ∠AOD
    = 180° – 140° = 40°
    ∴ ∠OBD + ∠ODB = 180° – 40°
    বা, 2∠OBD = 140° – – [OB = OD, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    বা, ∠OBD = 140°/2
    ⇒ ∠OBD = 70°
    ∴ ∠DBE = 180° – ∠OBD
    = 180° – 70°
    = 110°
    ∴ ∠BED = 180° – (110° + 50°)
    = 180° – 160°
    = 20°
    Ans: ∠BED-এর মান = 20°

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে BOC ব্যাস, ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভুজ, ∠ADC = 110o হলে ∠ACB এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠DAB এবং BCD এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। 0 বৃত্তটির কেন্দ্র হলে ∠XOY এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ প্রমাণ করো – বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     সমবৃত্তস্থ

    ▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ দুটি কোণের সমষ্টি ________  হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয়।
    Ans:    . 180o

    MP-2019

    ▶️ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100o হলে ∠C-এর মান:
    (a) 50o (b)20o (c) 80o (d) 180o

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65o,  ∠DAC = 40o হলে ∠BCD এর মান-
    (a) 75o (b) 105o (c) 115o (d) 80o

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A -এর মান হবে __________ । (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     90o
    [বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র হয়]

    MP-2017

    ▶️ প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তঃস্থ চতুর্ভুজ।

    VIEW ANSER
    KOSHE DEKHI 9.3
    KOSHE DEKHI 11.1
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights