Category: X-Mathematics

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
1. আমি ও আমার বন্ধু মালা দুজনে যথাক্রমে 15000 টাকা ও 25000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করলাম। এক বছরে 16,800 টাকা লাভ হলো। হিসাব করে দেখি আমরা কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাব?
Solution:
আমি ও আমার বন্ধু মালার মুলধনের অনুপাত
= 15000 : 25000
= 15 : 25
= 3 : 5
এক বছরে 16,800 টাকা লাভ হলে,
আমার লভ্যাংশ
= 16800×³/₃₊₅ টাকা
= 16800×³/₈ টাকা
=2100×3 টাকা
=6300 টাকা
মালার লভ্যাংশ
= 16800×⁵/₈ টাকা
= 2100×5 টাকা
= 10500 টাকা
Ans: আমি পাব 6300 টাকা এবং মালা পাবে 10500 টাকা।
2. প্রিয়ম, সুপ্রিয়া ও বুলু যথাক্রমে 15000 টাকা, 10000 টাকা এবং 25000 টাকা দিয়ে একটি ছোটো মুদির দোকান খুলল। কিন্তু বৎসরান্তে 3000 টাকা লোকসান হলো। কাকে কত টাকা লোকসানের পরিমাণ দিতে হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রিয়ম, সুপ্রিয়া ও বুলুর মুলধনের অনুপাত
= 15000 : 10000 : 25000
= 3 : 2 :5
বৎসরান্তে 3000 টাকা লোকসান হলে,
প্রিয়মকে দিতে হবে
= 3000×³/₃₊₂₊₅ টাকা
= 300×³/₁₀ টাকা
= 300×3 টাকা
= 900 টাকা
সুপ্রিয়াকে দিতে হবে
= 3000×²/₁₀ টাকা
= 300×2 টাকা
= 600 টাকা
বুলুকে দিতে হবে
= 3000×⁵/₁₀ টাকা
= 300×5 টাকা
= 1500 টাকা
Ans: প্রিয়মকে দিতে হবে 600 টাকা, সুপ্রিয়াকে দিতে হবে 900 টাকা এবং বুলুকে দিতে হবে 1500 টাকা।
3. শোভা ও মাসুদ দুজনে মিলে 2,50,000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 2,62,500 টাকায় বিক্রি করলেন। গাড়িটি কেনার সময়ে শোভা মাসুদের 1¹/₂ গুন টাকা দিয়ে থাকলে, কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন তা হিসাব করে লিখি।
Solution:
250000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 262500 টাকায় বিক্রি করলে লাভ হয় (262500 – 250000) বা 12500 টাকা।
ধরি, মাসুদ দেয় x টাকা
∴ শোভা দেয় = x×1¹/₂
=x×³/₂ = ^3x/₂ টাকা
শোভা ও মাসুদের মুলধনের অনুপাত
= ^3x/₂ : x
= 3 : 2
12500 টাকার মধ্যে,
শোভা পাবে = 12500×³/₃₊₂
= 12500×³/₅
= 2500×3
= 7500 টাকা
মাসুদ পাবে = 12500×²/₅
= 2500×2
= 5000 টাকা
Ans: শোভা লভ্যাংশ পাবে 7500 টাকা ও মাসুদ লভ্যাংশ পাবে 5000 টাকা
4. তিনবন্ধু যথাক্রমে 5000 টাকা, 6000 টাকা ও 7000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যাবসা শুরু করার এক বছর পর দেখলেন 1800 টাকা লোকসান হয়েছে। মূলধন ঠিক রাখার জন্য প্রত্যেকে লোকসানের পরিমাণ দিয়ে দেবেন বলে সিদ্ধান্ত করেন। তাদের কাকে কত টাকা দিতে হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 5000 :6000 : 7000
= 5 : 6 : 7
1800 টাকা লোকসান হয়েছে।
∴ মূলধন ঠিক রাখার জন্য,
প্রথম বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁵/₅₊₆₊₇ টাকা
= 1800×⁵/₁₈ টাকা
= 100×5 টাকা
= 500 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁶/₁₈ টাকা
= 100×6 টাকা
= 600 টাকা
তৃতীয় বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁷/₁₈ টাকা
= 100×7 টাকা
= 700 টাকা
Ans: তিন বন্ধুকে যথাক্রমে 500 টাকা, 600 টাকা এবং 700 টাকা দিতে হবে।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
5. দীপু, রাবেয়া ও মেঘা যথাক্রমে 6500 টাকা, 5200 টাকা ও 9100 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ছোটো ব্যাবসা শুরু করল ও ঠিক একবছর পরে 14,400 টাকা লাভ হলো। ওই লাভের ²/₃ অংশ তার সমানভাবে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে নির্ণয় করি।
Solution:
দীপু, রাবেয়া ও মেঘার মুলধনের অনুপাত
= 6500 : 5200 : 9100
= 65 : 52 : 91
= 5 : 4 : 7
একবছর পরে 14,400 টাকা লাভ হলো।
14,400 টাকার ²/₃ অংশ
= 14400×²/₃
= 4800×2
= 9600 টাকা
9600 টাকা সমান ভাবে ভাগ করলে প্রত্যেকে পাবে = ⁹⁶⁰⁰/₃ = 3200 টাকা।
সমান ভাবে ভাগ করার পর থাকে (14400- 9600) বা 4800 টাকা।
4800 টাকার মধ্যে,
∴ দীপু পাবে = 4800×⁵/₅₊₄₊₇ টাকা
= 4800×⁵/₁₆ টাকা
= 300×5 টাকা
= 1500 টাকা
রাবেয়া পাবে = 4800×⁴/₁₆ টাকা
= 300×4 টাকা
= 1200 টাকা
মেঘা পাবে =4800×⁷/₁₆
= 300×7 টাকা
= 2100 টাকা
∴ দীপু মোট পাবে = (3200 + 1500) = 4700 টাকা
রাবেয়া মোট পাবে = (3200 + 1200) = 4400 টাকা
মেঘা মোট পাবে = (3200 + 2100) =5300 টাকা
Ans: দীপু, রাবেয়া ও মেঘা পাবে যথাক্রমে 4700 টাকা, 4400 টাকা এবং 5300 টাকা।
দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞান হাইড্রোকার্বন / HYDROCARBON CLICK HERE
6. তিনবন্ধু যথাক্রমে 8000 টাকা, 10000 টাকা ও 12000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাংক থেকে কিছু টাকা ধার নিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 8000 : 10000 : 12000
= 4 : 5 : 6
বছরের শেষে 13400 টাকা লাভ হয়।
লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে (13400 – 5000) বা, 8400 টাকা।
8400 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 8400×⁴/₄₊₅₊₆ টাকা
= 8400×⁴/₁₅ টাকা
= 560×4 টাকা
= 2240 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁵/₁₅ টাকা
= 560×5 টাকা
= 2800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁶/₁₅ টাকা
= 560×6 টাকা
= 3360 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 2240 টাকা, 2800 টাকা এবং 3360 টাকা পাবেন।
7. দুই বছরের মধ্যে টাকা ফেরত দিলে কোনো সুদ দিতে হবে না এই শর্তে তিন বন্ধু একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যথাক্রমে 6000 টাকা, 8000 টাকা ও 5000 টাকা ধার নিয়ে যৌথভাবে চারটি সাইকেল রিকশা ক্রয় করেন। দুই বছর পর হিসাব করে দেখা যায় সমস্ত খরচ-খরচা বাদ দিয়ে মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে। তারা সেই আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর প্রত্যেকে নিজ নিজ ঋনের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেন। এখন কার হাতে কত টাকা থাকবে এবং তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 6000 : 8000 : 5000
= 6 : 8 : 5
মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে।
30400 টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করলে,
প্রথম বন্ধু পাবে = 30400×⁶/₆₊₈₊₅ টাকা
= 30400×⁶/₁₉ টাকা
= 1600×6 টাকা
= 9600 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = 30400×⁸/₁₉ টাকা
= 1600×8 টাকা
= 12800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পাবে = 30400×⁵/₁₉ টাকা
= 1600×5 টাকা
= 8000 টাকা
ঋনের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেওয়ার পর
প্রথম বন্ধুর থাকবে = (9600 – 6000) টাকা
= 3600 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধুর থাকবে = (12800 – 8000) টাকা
= 3600 টাকা
তৃতীয় বন্ধুর থাকবে = (8000 – 5000) টাকা
= 3000 টাকা
তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত
= 3600 : 4800 : 3000
= 6 : 8 : 5
Ans: এখন তিনবন্ধুর হাতে থাকবে যথাক্রমে 3600 টাকা, 4800 টাকা এবং 3000 টাকা
তিনবন্ধুর হাতে থাকা টাকার অনুপাত 6 : 8 : 5
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
8. তিনবন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন। তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন। কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয়, তবে কে, কত টাকা পাবেন নির্ণয় করি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 120000 : 150000 : 110000
= 12 : 15 : 11
একমাসে মোট আয় 29260 টাকা।
মোট আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করেন।
মোট আয়ের ²/₅ অংশ = 29260×²/₅ টাকা
= 5852×2 = 11704 টাকা
11704 টাকার মধ্যে’
ড্রাইভার পাবে = 11704×³/₃₊₂₊₂ টাকা
= 11704×³/₇ টাকা
= 1672×3 টাকা
= 5016 টাকা
দুজন কন্ডাক্টরের প্রত্যেকে পাবে
= 11704×²/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেন।
বাকি টাকা = (29260 – 11704) টাকা
= 17556 টাকা
17556 টাকার মধ্যে’
ড্রাইভার পাবে = 17556×¹²/_12+15+11 টাকা
= 17556×¹²/₃₈ টাকা
= 462×12 টাকা
= 5544 টাকা
প্রথম কন্ডাক্টর পাবে
= 17556×¹⁵/₃₈ টাকা
= 462×15 টাকা
= 6930 টাকা
দ্বিতীয় কন্ডাক্টর পাবে
= 17556×¹¹/₃₈ টাকা
= 462×11 টাকা
= 5082 টাকা
∴ ড্রাইভার মোট পাবে = (5016 + 5544) টাকা
= 10560 টাকা
১ম কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344 + 6930) টাকা
= 10274 টাকা
২য় কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344 + 5082) টাকা
= 8426 টাকা
Ans: ড্রাইভার পাবে 10560 টাকা, প্রথম কন্ডাক্টর পাবে 10274 টাকা এবং দ্বিতীয় কন্ডাক্টর পাবে 8426 টাকা।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
9. বছরের প্রথমে প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবি যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা নিয়ে ব্যাবসা শুরু করেন। পাঁচ মাস পর প্রদীপবাবু আরও 4000 টাকা মূলধন দেন। বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে, কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবির মূলধনের অনুপাত
= [(24000×5 + (24000 + 4000)×7] : (30000×12)
= [(24×5 + (24 + 4)×7] : (30×12)
= (120 + 28×7) : (30×12)
= (120 + 196) : (30×12)
= 316 : 360 = 79 : 90
বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে,
প্রদীপবাবুর লভ্যাংশ
= 27716×⁷⁹/₇₉₊₉₀ টাকা
= 27716×⁷⁹/₁₆₉ টাকা
= 164×79 = 12956 টাকা
আমিনাবিবির লভ্যাংশ
= 27716×⁷⁹/₇₉₊₉₀ টাকা
= 27716×⁹⁰/₁₆₉ টাকা
= 164×90 = 14760 টাকা
Ans: প্রদীপবাবু পাবে 12956 টাকা এবং আমিনাবিবি পাবে 14760 টাকা।
10. নিয়ামতচাচা ও করবীদিদি যথাক্রমে 30,000 টাকা ও 50,000 টাকা মূলধন দিয়ে যৌথভাবে একটি ব্যাবসা আরম্ভ করলেন। 6 মাস পরে নিয়ামতচাচা আরও 40,000 টাকা লগ্নি করলেন, কিন্তু করবীদিদি ব্যক্তিগত প্রয়োজনে 10,000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে যদি 19,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তাহলে কে, কত টাকা লাভ পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
নিয়ামতচাচা ও করবীদিদির মূলধনের অনুপাত
= [(30000×6 + (30000 + 40000)×6] : [(50000×6 + (50000 – 10000)×6]
= [(3×6 + (3 + 4)×6] : [(5×6 + (5 – 1)×6]
= (18 + 42) : (30 + 24)
= 60 : 54 = 10 : 9
বছরের শেষে 19,000 টাকা লাভ হলে,
নিয়ামতচাচার লভ্যাংশ
= 19000×¹⁰/₁₀₊₉ টাকা
= 19000×¹⁰/₁₉ টাকা
= 1000×10 = 10000 টাকা
করবীদিদির লভ্যাংশ
= 19000×⁹/₁₉ টাকা
= 1000×9 = 9000 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে নিয়ামতচাচা পাবে 10000 টাকা এবং করবীদিদি পাবে 9000 টাকা।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
11. বছরের শুরুতে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন 2,40,000 টাকা ও 3,00,000 টাকা দিয়ে একটি মিনিবাস ক্রয় করে চালাতে থাকেন। চার মাস পর তাদের বন্ধু পিটার 81,000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দিলে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন তাদের মূলধনের অনুপাতে সেই টাকা তুলে নেন। বছরের শেষে 39150 টাকা লাভ হলে, লভ্যাংশ থেকে কে, কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
বছরের শুরুতে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিনের মূলধনের অনুপাত
= 240000 : 300000
= 4 : 5
4 মাস পর পিটার 81000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দেয়।
81,000 টাকা থেকে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন মূলধনের অনুপাতে টাকা তুলে নেয়।
∴ শ্রীকান্ত তুলে নেয়
= 81000×⁴/₄₊₅ টাকা
= 81000×⁴/₉ টাকা
= 9000×4 = 36000 টাকা
সৈফুদ্দিন তুলে নেয়
= 81000×⁵/₉ টাকা
= 9000×5 = 45000 টাকা
∴ বছরের শেষে শ্রীকান্ত, সৈফুদ্দিন ও পিটারের মূলধন হয়
= [(240000×4 + (240000 – 36000)×8] : [(300000×4 + (300000 – 45000)×8] : 81000×8
= [(240×4 + (240 – 36)×8] : [(300×4 + (300 – 45)×8] : 81×8
= (960 + 204×8) : (1200 + 255×8) : 81×8
= (960 + 1632) : (1200 + 2040) : 81×8
= 2592 : 3240 : 81×8
= 324 : 405 : 81
= 4 : 5 : 1
বছরের শেষে 39150 টাকা লাভ হলে,
শ্রীকান্তর লভ্যাংশ
= 39150×⁴/₄₊₅₊₁ টাকা
= 39150×⁴/₁₀ টাকা
= 3915×4 = 15660 টাকা
সৈফুদ্দিনের লভ্যাংশ
= 39150×⁵/₁₀ টাকা
= 3915×5 = 19575 টাকা
, পিটারের লভ্যাংশ
= 39150×¹/₁₀ টাকা
= 3915×1 = 3915 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে শ্রীকান্ত পাবে 15660 টাকা, সৈফুদ্দিন পাবে 19575 টাকা ও পিটার পাবে 3915 টাকা
12. বছরের প্রথমে অরুন ও অজয় যথাক্রমে 24,000 টাকা ও 30,000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যাবসা শুরু করেন। কিন্তু কয়েক মাস অরুন আরও 12,000 টাকা ওই ব্যবসায়ে মূলধন দেন। বছরের শেষে ওই ব্যবসায়ে 14,030 টাকা লাভ হলো এবং 7,130 টাকা লভ্যাংশ পেলেন। অরুন কত মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি মাস পর অরুন আরও 12,000 টাকা মূলধন দেন।
বছরের শেষে
অরুনের মূলধন হয়
= [24000x + (12 – x)(24000 + 12000)] টাকা
= [24000x + (12 – x)36000] টাকা
= (24000x + 432000 – 36000x) টাকা
= (432000 – 12000x) টাকা
অজয়ের মূলধন হয়
= 30000×12 টাকা
= 360000 টাকা
অরুন ও অজয়ের মূলধনের অনুপাত
= (432000 – 12000x) : 360000
= (432 – 12x) : 360
= (36 – x) : 30
বছরের শেষে 14,030 টাকা লভ্যাংশের মধ্যে,
অরুনের লভ্যাংশ = 14,030×^36-x/_36-x+30 টাকা
= 14,030×^36-x/_66-x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
14,030×^36-x/_66-x = 7130
বা, 14,030×(36 – x) = 7130×(66 – x)
বা, 14,03×(36 – x) = 713×(66 – x)
বা, 50508 – 1403x = 47058 – 713x
বা, -1403x + 713x = 47058 – 50508
বা, -690x = -3450
বা, 690x = 3450
বা, x = 5
Ans: অরুন 5 মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন।
13. কুমারটুলির তিনজন মৃৎশিল্পী একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যৌথভাবে 100000 টাকা ধার করে মৃৎশিল্পের একটি কারখানা স্থাপন করেন। তার এই চুক্তি করেন যে প্রতি বছর ব্যাংকের কিস্তি 28100 টাকা দেওয়ার পর বাকি লাভের অর্ধেক কাজের অনুপাতে এবং বাকি অর্ধেক সমান ভাগে ভাগ করে নেবেন। গত বছর তারা যথাক্রমে 300 দিন, 275 দিন ও 350 দিন কাজ করেছেন এবং মোট লাভ হয়েছে 139100 টাকা। কে, কত টাকা পেয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনজন মৃৎশিল্পীর কাজের দিনের অনুপাত
= 300 : 275 : 350
= 12 : 11 : 14
মোট লাভ হয়েছে 139100 টাকা।
ব্যাংকের কিস্তি 28100 টাকা দেওয়ার পর বাকি থাকে (139100 – 28100) = 111000 টাকা।
বাকি লাভের অর্ধেক = 111000 ÷ 2 টাকা
= 55500 টাকা
55500 টাকার মধ্যে কাজের অনুপাতে-
প্রথম মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹²/_12+11+14 টাকা
= 55500×¹²/₃₇ টাকা
= 1500×12 = 18000 টাকা
দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹¹/₃₇ টাকা
= 1500×11 = 16500 টাকা
তৃতীয় মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹⁴/₃₇ টাকা
= 1500×14 = 21000 টাকা
বাকি 55500 টাকা সমান ভাগে ভাগ করে নিলে প্রত্যেকে পাবে ⁵⁵⁵⁰⁰/₃ =18500 টাকা
Ans:
প্রথম মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 18000 + 18500 = 36500 টাকা
দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 16500 + 18500 = 35000 টাকা
তৃতীয় মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 21000 + 18500 = 39500 টাকা
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
14. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করেন। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
Solution:
দুই বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 40000 : 50000
= 4 : 5
ধরি মোট লাভ x টাকা।
লাভের 50% = x×⁵⁰/₁₀₀ = ^x/₂ টাকা
^x/₂ টাকা থেকে দুই বন্ধুর প্রত্যেকে পাবে
= ^x/₂ ÷ 2 = ^x/₄ টাকা
অবশিষ্ট ^x/₂ টাকা থেকে.
প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₂ ×⁴/₄₊₅ টাকা
= ^x/₂ × ⁴/₉ টাকা
= ^4x/₁₈ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = ^x/₂ × ⁵/₉ টাকা
= ^5x/₁₈ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(^5x/₁₈ + ^x/₄) – (^4x/₁₈ + ^x/₄) = 800
বা, ^5x/₁₈ + ^x/₄ – ^4x/₁₈ – ^x/₄ = 800
বা, ^5x/₁₈ – ^4x/₁₈ = 800
বা, ^5x-4x/₁₈ = 800
বা, ^x/₁₈ = 800
বা, x = 800×18 = 14400
∴ প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₄ + ^4x/₁₈ টাকা
= ^9x+8x/₃₆ টাকা
= ^17x/₃₆ টাকা
= ¹⁷/₃₆ × 14400 টাকা
= 17 × 400 = 6800 টাকা
Ans: প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা
15. পূজা, উত্তম ও মেহের যথাক্রমে 5000 টাকা, 7000 টাকা ও 10000 টাকা মূলধন নিয়ে অংশীদারি কারবার এই শর্তে শুরু করে যে (i) কারবার চালানোর মাসিক খরচ 125 টাকা, (ii) হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে 200 টাকা পাবে। বছরের শেষে 6960 টাকা লাভ হলে, তা থেকে কে, কত টাকা পাবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
পূজা, উত্তম ও মেহেরের মূলধনের অনুপাত
= 5000 : 7000 : 10000
= 5 : 7 : 10
বছরের শেষে 6960 টাকা লাভের মধ্যে
কারবার চালানোর জন্য মাসিক খরচ হয় 125 টাকা।
1 বছরে খরচ হয় 125×12 বা 1500 টাকা।
পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে 200 টাকা করে 1 বছরে মোট পায় 200×12 = 2400 টাকা।
6960 টাকার মধ্যে পরে থাকে
= (6960 – 1500 – 2400×2) টাকা
= (5460 – 4800) টাকা
= 660 টাকা
660 টাকার মধ্যে,
পূজা পাবে = 660×⁵/₅₊₇₊₁₀ টাকা
= 660×⁵/₂₂ টাকা
= 30×5 = 150 টাকা
উত্তম পাবে = 660×⁷/₂₂ টাকা
= 30×7 = 210 টাকা
মেহের পাবে = 660×¹⁰/₂₂ টাকা
= 30×10 = 300 টাকা
Ans:
পূজা মোট পাবে = (2400 + 150) টাকা
= 2550 টাকা
উত্তম মোট পাবে = (2400 + 210) টাকা
= 2610 টাকা
মেহের মোট পাবে = 300 টাকা
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) কোন যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধন যথাক্রমে 200 টাকা, 150 টাকা ও 250 টাকা। একই সময় পরে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে
(a) 5 : 3 : 4 (b) 4 : 3 : 5 (c) 3 : 5 : 4 (d) 5 : 4 : 3
Ans: (b) 4 : 3 : 5
[তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 200 : 150 : 250
= 4 : 3 : 5]
(ii) শুভেন্দু ও নৌসাদ যথাক্রমে 1500 এবং 1000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ব্যবসায় 75 টাকা ক্ষতি হলে, শুভেন্দুর ক্ষতি হয়
(a) 45 টাকা (b) 30 টাকা (c) 25 টাকা (d) 40 টাকা
Ans: (a) 45 টাকা
[শুভেন্দু ও নৌসাদের মূলধনের অনুপাত
= 1500 : 1000
= 3 : 2
∴ 75 টাকা ক্ষতি হলে,
শুভেন্দুর ক্ষতি হয় =75×³/₂₊₃ টাকা
= 75×³/₅ টাকা
= 45 টাকা]
(iii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করে
(a) 1000 টাকা (b) 2000 টাকা (c) 3000 টাকা (d) 4000 টাকা
Ans: (c) 3000 টাকা
[ ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার লভ্যাংশের অনুপাত
= 50 : 100 : 150
= 1 : 2 : 3
6000 টাকার মধ্যে,
স্মিতার মূলধন = 6000×³/₁₊₂₊₃ টাকা
= 6000×³/₆ টাকা
= 3000 টাকা]
(iv) অমল এবং বিমল একটি ব্যবসা শুরু করে। অমল 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং বিমল কিছু টাকা 6 মাসের জন্য ব্যবসায় নিয়োজিত করে। ব্যবসায় মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল লাভের 46 টাকা পায়। ব্যবসায় বিমলের মূলধন
(a) 1500 টাকা (b) 3000 টাকা (c) 4500 টাকা (d) 6000 টাকা
Ans: (a) 1500 টাকা
[ধরি, বিমল ব্যবসায় নিয়োজিত করে x টাকা।
মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল পায় 46 টাকা।
অমল পায় (69 – 46) বা 23 টাকা।
∵ মূলধনের অনুপাত = লাভের অনুপাত
∴ 500×9 : x×6 = 23 : 46
বা, 250×3 : x = 1 : 2
বা, x= 250×3×2
∴ x = 1500]
(v) পল্লবী 500 টাকা 9 মাসের জন্য রাজিয়া 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি ব্যবসায় নিয়োজিত করে। লভ্যাংশ তাদের মধ্যে বন্টিত হবে যে অনুপাতে তা হলো
(a) 3:2 (b) 5:6 (c) 6:5 (d) 9:5
Ans: (a) 3:2
[পল্লবী ও রাজিয়ার মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 5×9 : 6×5 = 3 : 2]
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে লোকের দরকার 3 জন।
Ans: বিবৃতিটি সত্য।

[(ii) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5:4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।
Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা।
[রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5:4
আবার রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত
= 80 : 100
= 4 : 5 ≠ রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) অংশীদারি কারবার __________ ধরনের।
Ans: দুই

(ii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগন সমান সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে ____________ অংশীদারি কারবার বলে।
Ans: সরল

(iii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগন ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে ____________ অংশীদারি কারবার বলে।
Ans: মিশ্র
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি অংশীদারি ব্যবসায় সমীর, ইদ্রীশ ও অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত ¹/₆ : ¹/₅: ¹/₄; বছরের শেষে ব্যবসায় মোট লাভ 3700 টাকা হলে, অ্যান্টনির লাভ কত হবে হিসাব করি।
Solution:
সমীর, ইদ্রীশ ও অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত
= ¹/₆ : ¹/₅: ¹/₄
= ¹/₆×60 : ¹/₅×60 : ¹/₄×60
= 20 : 12 :15
ব্যবসায় মোট লাভ হয় 3700 টাকা।
∴ অ্যান্টনির লাভ
= 3700 ×¹⁵/_20+12+15 টাকা
= 3700 ×¹⁵/₃₇ টাকা
= 1500 টাকা
Ans: অ্যান্টনির 1500 টাকা লাভ হবে।
(ii) একটি অংশীদারি ব্যবসায় পৃথা ও রাবেয়ার মূলধনের অনুপাত 2:3 এবং রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত 4:5 হলে, পৃথা, রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত কত তা হিসাব করি।
Solution:
পৃথা ও রাবেয়ার মূলধনের অনুপাত
= 2 : 3 = (2×4) : (3×4) = 8 : 12
রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত
= 4 : 5 = (4×3) : (5×3) =12 : 15
∴ পৃথা, রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত= 8 : 12 : 15 (Ans)
(iii) দুজনের একটি অংশীদারি ব্যবসায় মোট লাভ হয় 1500 টাকা। রাজীবের মূলধন 6000 টাকা এবং লাভ 900 টাকা হলে, আফতাবের মূলধন কত তা হিসাব করি।
Solution:
ধরি, আফতাবের মূলধন x টাকা।
মোট লাভ হয় 1500 টাকা।
রাজীবের লাভ 900 টাকা।
∴ আফতাবের লাভ = 1500 – 900 = 600 টাকা।
∵ মূলধনের অনুপাত = লাভের অনুপাত
∴ ⁶⁰⁰⁰/_x = ⁹⁰⁰/₆₀₀
বা, ⁶⁰⁰⁰/_x = ³/₂
বা, 3x = 6000×2
বা, x = 4000
Ans: আফতাবের মূলধন 4000 টাকা।
(iv) একটি অংশীদারি ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 8 : 5 এবং প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল হিসাব করি।
Solution:
ধরি, ব্যবসায় মোট x টাকা লাভ হয়েছিল।
∵ তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3:8:5
∴ প্রথম ব্যক্তির লাভ-
= x×³/₃₊₈₊₅ টাকা
= x×³/₁₆ টাকা
= ^3x/₁₆ টাকা
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ-
= x×⁵/₁₆ টাকা
= ^5x/₁₆ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
^5x/₁₆ – ^3x/₁₆ = 60
বা, ^2x/₁₆ = 60
বা, ^x/₈ = 60
বা, x = 480
Ans: মোট 480 টাকা লাভ হয়েছিল।
(v) জয়ন্ত, অজিত এবং কুণাল মোট 15000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে। বছরের শেষে জয়ন্ত, অজিত এবং কুণালের যথাক্রমে লাভ হয় 800 টাকা, 1000 টাকা এবং 1200 টাকা। জয়ন্ত কত টাকা ব্যবসায় নিয়োজিত করে হিসাব করি।
Solution:
জয়ন্ত, অজিত এবং কুণালের লাভের অনুপাত
= 800 : 1000 : 1200
= 8 : 10 : 12
= 4 : 5 : 6
∵ লাভের অনুপাত = মুলধনের অনুপাত
∴15000 টাকা লাভের মধ্যে,
জয়ন্ত দেয় = 15000×⁴/₄₊₅₊₆
= 15000×⁴/₁₅
= 1000×4
=4000 টাকা
Ans: জয়ন্ত 4000 টাকা ব্যবসায় নিয়োজিত করে।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ অংশীদারি কারবারে তিনজন সদস্যের মূলধনের অনুপাতে a : b : c এবং নিয়োজিত সময়ের অনুপাত x : y : z হলে তাদের লাভের অনুপাত হবে ax : by : cz (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
[তিনজনের মূলধনের অনুপাতে = a : b : c এবং
নিয়োজিত সময়ের অনুপাত = x : y : z
∴ তাদের লাভের অনুপাত
= a×x : b×y : c×z
= ax : by : cz]
▶️ একটি অংশীদারি কারবারে ইলা, রহিমা ও বেলার মুলধণের অনুপাত 3 : 8 : 5। ইলার লাভ বেলার লাভের চেয়ে 600 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত টাকা লাভ হয়েছিল?
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ (i) A, B, C তিন বন্ধু যথাক্রমে x, 2x, y টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল, মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে, A-এর লভ্যাংশ হবে
(a) ^xz/_3x+y টা:
(b) ^2xz/_3x+y টা:
(c) ^z/_2x+y টা:
(d) ^xyz/_3x+y টা:
Ans: (a) ^xz/_3x+y টা:
[ মূলধনের অনুপাত = x : 2x : y
মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে,
A-এর লভ্যাংশ হবে = z . ^x/_(x+2x+y)
= ^xz/_3x+y]
▶️ একটি যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত 6 : 4 : 3, 4 মাস পরে প্রথম বন্ধু তাঁর মূলধনের অর্ধেক তুলে নেন এবং তার ৪ মাস পরে মোট লাভ হয় 61,050 টাকা। তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ঐ ব্যবসায় নিয়োজিত করে:
(a) 1,000 টাকা (b) 2,000 টাকা (c) 3,000 টাকা (d) 4,000 টাকা
VIEW ANSER
▶️ অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার। (সত্য / মিথ্যা)mp224iii
Ans: মিথ্যা
▶️ কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z ; বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C-এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ তিনবন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কতো টাকা পাবেন?
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ আনিসুর 600 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 500 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে। তাদের লভ্য্যাংশের অনুপাত হবে ________। (শূন্যস্থান পুরণ)
Ans: 3 : 2
[আনিসুর ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 4500 : 3000
= 45 : 30
= 3 : 2
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ লভ্যাংশের অনুপাত = 18 : 25]
▶️ A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে। A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B-এর মূলধন কত?
VIEW ANSER
▶️ তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে। তারা ঠিক করে যে, সেই আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে। কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ কোনো অংশীদারী ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ¹/₂ : ¹/₃ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত-
(a) 2 : 3 (c) 1 : 1 (b) 3 : 2 (d) 5 : 3
Ans: (b) 3 : 2
[প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত
= ¹/₂ : ¹/₃
= ¹/₂×6 : ¹/₃×6
= 3 : 2]
▶️ 19 (ii) এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?
VIEW ANSER
▶️ দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল। A -এর লভ্যাংশ কত?
VIEW ANSER
▶️ A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 8,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল। বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
[A B এর মূলধনের অনুপাত
= 10,000×12 : 20,000×6
= 120,000 : 120,000
= 1 : 1
লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত = 1 : 1]
▶️ কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের দেড়গুণ। ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা পাবে?
VIEW ANSER
▶️ A, B, C যৌথভাবে 1,90,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও।
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 13
KOSHE DEKHI 15.1
November 9, 2023
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
ভেদ তিন প্রকারের। যথা-
(a) সরল ভেদ
(b) ব্যস্ত ভেদ
(c) যৌগিক ভেদ
⛔ সরল ভেদঃ দুটি পরস্পর সম্পর্কিত চলরাশি যদি এমন হয় যে , একটির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মানও বৃদ্ধি পায় বা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির মানও হ্রাস পায়, তখন ওই দুটি চলরাশির মধ্যকার সম্পর্ককে সরলভেদ বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর সরল ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ b
a ∝ b
⇒ a = bk – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ^a/_b = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর সরল ভেদে থাকলে তাদের ভাগফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ ব্যস্ত ভেদঃ দুটো চলরাশির মধ্যে যখন একটি রাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মান হ্রাস পায় কিংবা একটি রাশির মান হ্রাস পেলে অপরটির মান বৃদ্ধি পায়, তখন ওই রাশি দুটি ব্যস্ত ভেদে আছে বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ ¹/_b
a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ab = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকলে তাদের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ যৌগিক ভেদঃ যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুণফলের সঙ্গে সরল ভেদে থাকে ,তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশিগুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়।

⛔⛔ যৌগিক ভেদের উপপাদ্যঃ x, y, z তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x ∝ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x ∝ z যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x ∝ yz হবে , যখন y এবং z উভয়ই পরিবর্তনশীল।
Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি
A 25 30 45 250
B 10 12 18 100
A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।
Solution:
^A/_B = ²⁵/₁₀ = ³⁰/₁₂ = ⁴⁵/₁₈ = ²⁵⁰/₁₀₀ = ⁵/₂
∴ A = ⁵/₂×B
∴ A ∝ B
Ans: A ও B পরস্পর সরলভেদে আছে।
ভেদ ধ্রুবকের মান ⁵/₂
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি
x 18 8 12 6
y 3 ²⁷/₄ ⁹/₂ 9
x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।
Solution:
xy = 18×3 = 54
= 8×²⁷/₄ =54
⇒ 12×⁹/₂ =54
= 6×9 =54
∴ xy = 54
∴ x ∝ ¹/_y
Ans: x ও y এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক আছে।
3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, বিপিনকাকুর ট্যাক্সি t মিনিটে s কিমি দূরত্ব অতিক্রম করে।
সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে থাকে।
∴ s ∝ t
বা, s = kt – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখানে, t= 25 হলে s = 14 হয়।
∴ 14 = 25k
বা, k = ¹⁴/₂₅
∴ s = ¹⁴/₂₅×t
5 ঘণ্টা = 5×60 = 300 মিনিট
t = 300 হলে,
s = ¹⁴/₂₅×300
বা, s = 14×12 = 168
Ans: 5 ঘণ্টায় তিনি 168 কিমি পথ যাবেন
(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = y এবং শিশুর সংখ্যা = x
মোট সন্দেশের সংখ্যা স্থির রেখে শিশুর সংখ্যা বাড়ালে শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা কমে যাবে। ∴ প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ এবং শিশুর সংখ্যা পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে।
x ∝ ¹/_y
∴ x = k¹/_y – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
x = 5 হলে y = 24 হয়।
∴ 5 = k×¹/₂₄
বা, k = 5×24
∴ x = 5×24×¹/_y
y = (24 – 4) = 20 হলে ,
x = 5×24×¹/₂₀
বা, x = 6
Ans: শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে প্রত্যেকে 6 টি গোটা সন্দেশ পেত।
(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = N এবং সময় = t
মোট কাজের পরিমাণ স্থির রেখে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়লে দিনসংখ্যা কমবে।
∴ গ্রামবাসীর সঙ্গে সময়ের পরস্পর ব্যস্ত সম্পর্ক।
N ∝ ¹/_t
∴ N = k¹/_t – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 50 হলে t = 18 হয়।
∴ 50 = k×¹/₁₈
বা, k = 50×18
∴ N = 50×18×¹/_t
t = 15 হলে ,
N = 50×18×¹/₁₅
বা, N = 60
পুকুরটি 15 দিনে কাটতে 60 জন লোক লাগবে।
Ans: অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
y ∝ √x
∴ y = k√x – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 9 যখন x = 9
∴ 9 = k×√9
বা, 3k = 9
বা, k = 3
∴ y = 3√x
y = 6 হলে,
6 = 3√x
বা, √x = 2
বা, √x = 4
Ans: x-এর মান 4
(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 4 ও z = 5 হলে x = 3 হয়
∴ 3 = k×⁴/₅
বা, 4k = 15
বা, k = ¹⁵/₄
∴ x = ¹⁵/₄×^y/_z
y = 16 ও z = 30 হলে,
x = ¹⁵/₄×¹⁶/₃₀
বা, x = 2
Ans: x-এর মান 2
(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়।x, y ও z-এর মধ্যে y = 6 ও z = ¹/₅ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়
∴ ¹/₆ = k×⁵/₉
বা, 30k = 9
বা, k = ³/₁₀
∴ x = ³/₁₀×^y/_z
y = 6 ও z = ¹/₅ হলে,
x = ³/₁₀×⁶/_¹/₅
বা, x = ³/₁₀×30
বা, x = 9
Ans: x-এর মান 9
5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y
Solution:
x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^x/_y = k
⇒ ^x+y/_x-y = ^k+1/_k-1 – – – – [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
বা, x + y = ^k+1/_k-1×(x – y)
∴ x + y ∝ x – y (Proved)
(ii) A ∝ ¹/_C, C ∝ ¹/_B হলে, দেখাই যে, A ∝ B
Solution:
A ∝ ¹/_C
∴ A = k×¹/_C – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ A = ^k/_C
⇒ C = ^k/_A
C ∝ ¹/_B
∴ C = m×¹/_B – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^k/_A = ^m/_B – – – – [∵ C = ^k/_A ]
⇒ Am = Bk
বা, A = ^k/_m × B
∴ A ∝ B (Proved)
(iii) যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
Solution:
a ∝ b
∴ a = kb – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ ¹/_c
∴ b = m¹/_c – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, b = ^m/_c
c ∝ d
∴ c = nd – – – – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∵ a = kb
⇒ a = k×^m/_c – – – – [∵ b = ^m/_c ]
⇒ a = k×^m/_nd – – – – [∵ c = nd]
বা, a = ^km/_n×¹/_d
∴ a ∝ ¹/_d
Ans: a ও d-এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক বর্তমান।
(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – -(i) – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – (ii) – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
z ∝ x
⇒ z = nx – – – -(iii) – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x×y×z = ky×mz×nx
বা, 1 = kmn
ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক –
ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 (Ans)
Class X Variation ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 কষে দেখি 13
6. x + y ∝ x – y হলে,
(i) x² + y² ∝ xy
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
∴ ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
∴ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my
$$\large{\therefore\frac{x^2+y^2}{xy}\\=\frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\=\frac{y^2(m^2+1)}{m.y^2}\\= \frac{m^2+1}{m}\\=Constant\\\therefore x^2+y^2∝xy\quad\mathbf{(Proved)} }$$
(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
⇒ y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my
$$\large{⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x^3}{y^3}=m^3\\⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{m^3+1}{m^3-1}\\⇒ x^3+y^3=\left(\frac{m^3+1}{m^3-1}\right)(x^3-y^3)\\\therefore x^3+y^3∝x^3-y^3\quad\mathbf{(Proved)}}$$
(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
⇒ y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
বা, ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
বা, x = my
$$\large{\quad\therefore\frac{ax + by}{px + qy}\\=\frac{a×my+by}{p×my+qy}\\=\frac{y(am+b)}{y(pm+q)}\\=\frac{am+b}{pm+q}}$$
= ধ্রুবক – – – – – [∵ m, a, b, p, q প্রত্যেকে ধ্রুবক]
∴ ax + by ∝ px + qy (Proved)
7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
Solution:
a² + b² ∝ ab
বা, a² + b² = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
$$\large{\quad\frac{a^2+b^2}{ab}=k\\⇒\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{k}{2}\\⇒\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=m\\⇒\frac{a+b}{a-b}=Constant\\\therefore a+b∝a-b\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$
(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y
Solution:
x³ + y³ ∝ x³ – y³
বা, x³ + y³ = k(x³ – y³) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
$$\large{\quad\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=k\\⇒\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\\⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\\⇒\frac{x+y}{x-y}=Constant\\\therefore x+y∝x-y\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
t ∝ ¹/_N – – – – [যখন A স্থির]
এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।
t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
t ∝ ^A/_N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
∴ t = k×^A/_N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ t = ^kA/_N– – – – – – (i)
N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = ^k×18/₁₅
বা, k×18 = 5×15
বা, k = ²⁵/₆
(i) নং এ k = ²⁵/₆ বসিয়ে পাই,
t = ²⁵/₆ × ^A/_N
N = 10 এবং A = 12 হলে
t = ²⁵/₆ × ¹²/₁₀
∴ t = 5
Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
Solution:
ধরি, r মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন V ঘন মিটার।
প্রশ্নানুযায়ী,
V ∝ r³
∴ V = kr³ – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
তিনটি গোলকের ব্যাস যথাক্রমে 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার বা ³/₂, 2 এবং ⁵/₂ মিটার
∴ তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ ³/₄, 1 এবং ⁵/₄ মিটার
তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে
V₁ = k(³/₄)³ = ²⁷/₆₄k ঘন মিটার
V₂ = k(1)³ = k ঘন মিটার
V₃ = k(⁵/₄)³ = ¹²⁵/₆₄k ঘন মিটার
∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন
= V₁ + V₂ + V₃
= ²⁷/₆₄k + k + ¹²⁵/₆₄k
⇒ k (²⁷/₆₄ + 1 + ¹²⁵/₆₄)
= k× ^(27+64+125)/₆₄
= ^216k/₆₄ ঘন মিটার
নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R মিটার হলে, নতুন গোলকের আয়তন হবে kR³ ঘন মিটার
∴ kR³ = ^216k/₆₄
বা, R³ = ²¹⁶/₆₄
বা, R³ = (⁶/₄)³
⇒ R = ⁶/₄
বা, R = ³/₂
∴ 2R = 3
Ans: নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y = -1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, y দুটি চল A এবং B –এর সমষ্টি।
∴ y = A + B
যেখানে,
A ∝ x
∴ A = kx – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
B ∝ ¹/_x
∴ B = m¹/_x – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = kx + ^m/_x – – – – (i)
x = 1 হলে y = -1 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
-1 = k + m – – – – (ii)
x = 3 হলে y = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = k×3 + ^m/₃
বা, 15 = 3k + m – – – – (iii)
(ii) – (i) করে পাই,
3k + m – (k + m) = 15 – (-1)
বা, 3k + m – k – m = 15 + 1
বা, 2k = 16
⇒ k = 2
(ii) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
-1 = 2 + m
বা, m = -3
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 2x – ³/_x
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক y = 2x – ³/_x
11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)
Solution:
a ∝ b
∴ a = k₁b – – – – – [যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ c
∴ b = k₂c – – – – – [যেখানে k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ a = k₁k₂c
$$\large{\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}\\=\frac{(k_1k_2c)^3(k_2c)^3+(k_2c)^3c^3+c^3(k_1k_2c)^3}{k_1k_2c×k_2c×c\{(k_1k_2c)3+(k_2c)^3+c^3\}}\\=\frac{k_1^3.k_2^3.c^3.k_2^3.c^3+k_2^3.c^3.c^3+c^3.k_1^3.k_2^3.c^3}{k_1.k_2^2c^3(k_1^3.k_2^3.c3+k_2^3.c^3+c^3)}\\=\frac{k_1^3.k_2^6.c^6+k_2^3.c^6+k_1^3.k_2^3.c^6}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2^3.c^6(k_1^3.k_2^3+1+k_1^3)}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2(k_1^3.k_2^3+k_1^3+1)}{k_1(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}}$$
= ধ্রুবক
∴ a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³) (Proved)
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
ধরি, x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয় y টাকা যার y₁ অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং y₂ অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
∴ y₁ ∝ x
বা, y₁ = kx – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং y₂ ∝ x²
বা, y₂ = mx² – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = y₁ + y₂
= kx + mx² – – – – (i)
x = 100 হলে y = 5000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5000 = k×100 + m×(100)²
বা, 5000 = 100k + 10000m
বা, 50 = k + 100m – – – – (ii)
x = 200 হলে y = 12000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
12000 = k×200 + m×(200)²
বা, 12000 = 200k + 40000m
বা, 60 = k + 200m – – – – (iii)
(iii) – (ii) করে পাই,
k + 200m – (k + 100m) = 60 – 50
বা, k + 200m – k – 100m = 10
বা, 100m = 10
⇒ m = ¹/₁₀
(ii) নং সমীকরণে m = ¹/₁₀ বসিয়ে পাই,
50 = k + 100 × ¹/₁₀
বা, 50 = k + 10
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 40x + ¹/₁₀×x²
x = 250 মিটার হলে,
y = 40×250 + ¹/₁₀×(250)²
=10000 + ¹/₁₀×250×250
=10000 + 6250
=16250
Ans: 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে
জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতি CLICK HERE
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধ ও h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন v ঘন একক।
∴ V ∝ r²h
বা, V = kr²h – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধরি চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক।
∴ প্রথম চোঙের আয়তন (V₁) = k×(2r)²×5h = 20kr²h
দ্বিতীয় চোঙের আয়তন (V₂) = k×(3r)²×4h = 36kr²h
∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
= V₁ : V₂
= 20kr²h : 36kr²h
⇒ 20 : 36 = 5 : 9
চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 5 : 9 (Ans)
14. পাঁচলা গ্রামে কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, জমির পরিমাণ = A, লাঙলের সংখ্যা =N, দিনসংখ্যা = C
লাঙলের সংখ্যা, জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে এবং দিনের সংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।
∴ N ∝ A এবং N ∝ D
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
N ∝ ^A/_D – – – [যখন A ও D উভয়ই পরিবর্তনশীল]
∴ N = k×^A/_D – – – (i)- [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 25 হলে A = 2400, D = 36 হয়।
∴ 25 = k×²⁴⁰⁰/₃₆
বা, k = ^36×25/₂₄
বা, k = ³/₈
(i) নং থেকে পাই,
N = ³/₈×^A/_D
A = ²⁴⁰⁰/₂ = 1200, D = 30 হলে
N = ³/₈×¹²⁰⁰/₃₀
= 15
∴ অর্ধেক জমি 15 টি লাঙল 30 দিনে চাষ করতে পারে।
প্রশ্নানুসারে, অর্ধেক জমি 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে চাষ করতে পারে।
∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে। (Ans)
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং আয়তন V ঘন একক।প্রশ্নানুসারে,
V ∝ r³
বা, V = k₁r³ – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ V² = k₁r⁶ – – – – (i)
আবার
A ∝ r²
বা, A = k₂r² – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ A³ = k₂r⁶ – – – – (ii)
(i) ÷ (ii) করে পাই,
$$\large{\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2r^6}{K_2^3r^6}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2}{K_2^3}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=k\\\quad\quad \left[k=\frac{k_1^2}{K_2^3}=Constant\right]\\\therefore V^2∝A^3}$$গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকে। (Proved)
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) x ∝ ¹/_y হলে,
(a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
Ans: (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]
(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y³ (d) x² ∝ y²
Ans: (d) x² ∝ y²
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, x² = (ky)²
বা, x² = k²y²
⇒ x² ∝ y²]
(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Ans: (b) 4
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 8 যখন x = 2
(i) নং থেকে পাই,
2 = k×8
বা, k = ¹/₄
∴ x = ¹/₄×y
বা, x = ¹/₄×16 – – – – – [∵ y = 16]
বা, x = 4]
(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32
Ans: (b) 8
[ x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 4 যখন x = 8
(i) নং থেকে পাই,
8 = k×4²
বা, k = ¹/₂
∴ x = ¹/₂×y²
বা, 32 = ¹/₂×y² – – – – – [∵ x = 32]
বা, y² = 64
⇒ y = 8]
(v) যদি y − z ∝ ¹/_x, z − x ∝ ¹/_y এবং x − y ∝ ¹/_z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2
Ans: (a) 0
[ y – z ∝ ¹/_x
∴ y – z = k₁× ¹/_x – – – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x(y − z) = k₁ – – – – – – (i)
z − x ∝ ¹/_y
∴ z − x = k₂×¹/_y – – – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y(z − x) = k₂– – – – – – (ii) এবং
x − y ∝ ¹/_z
∴ x − y = k₃×¹/_z – – – – – – [k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, z(x − y) = k₃ – – – – – (iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = k₁ + k₂ + k₃
বা, xy − xz + yz − xy) + zx − yz = k₁ + k₂ + k₃
বা, 0 = k₁ + k₂ + k₃
∴ তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 0]
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) y ∝ ¹/_x হলে, ^y/_x = অশূন্য ধ্রুবক
Ans: মিথ্যা
[ y ∝ ¹/_x
∴ x = k × ¹/_x – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]
(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z
Ans: সত্য
[ x ∝ z
∴ z ∝ x
y ∝ z
∴ z ∝ y
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
z ∝ xy
বা, xy ∝ z]
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে, x ∝ ______
Ans: z
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, y = ^k/_x – – – – – (i)
y ∝ ¹/_z
∴ y = m ×¹/_z – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, ^k/_x = ^m/_z
বা, ^x/_k = ^z/_m
⇒ ^x/_z = ^k/_m
বা, ^x/_z = ধ্রুবক – – – – – [∵ k, m ধ্রুবক]
∴ x ∝ z]
(ii) x ∝ y এবং xⁿ ∝ ______
Ans: xⁿ
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xⁿ = (ky)ⁿ
বা, xⁿ = kⁿyⁿ
∴ xⁿ ∝ yⁿ]
(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______
Ans: x
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, y = ^x/_k – – – – – (i)
[ x ∝ z
∴ x = mz – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, z = ^x/_m – – – – – (i)
(i)+(ii) করে পাই,
y + z = ^x/_k + ^x/_m
বা, y + z = x(¹/_k + ¹/_m)
∴ y + z ∝ x
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
⇒ k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক: x = ^y2/_4a
(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y ∝ z
∴ y = mz – – – (ii) – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] এবং
z ∝ x
∴ z = nx – – – (iii) – – [ n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x × y × z = ky × mz × nx
বা, 1 = kmn
Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1
(iii) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ ¹/_y
বা, x = k × ¹/_y – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = ^k/_xএবং
y ∝ ¹/_z
বা, y = m ×¹/_z– – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, ^k/_x= ^m/_z
⇒ ^z/_x= ^m/_k
বা, ^z/_x= ধ্রুবক
বা, z ∝ x
Ans: x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধানঃ
x ∝ yz
বা, x = kyz – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ zx
বা, y = mzx – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = mz×kyz
⇒ 1 = kmz²
⇒ ¹/_km = z²
বা, z = √¹/_km
বা, z = ধ্রুবক
∴ z একটি অশূন্য ধ্রুবক। (Proved)
(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
b ∝ a³
∴ b = ka³ – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
a এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে।
∴ b-এর বৃদ্ধির অনুপাত
$$\large{\frac{b_1}{b_2}=\frac{ka_1^3}{ka_2^3}\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{27}}$$Ans: b, 8:27 অনুপাতে বৃদ্ধি
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_cএবং c ∝ d হয় তবে a ∝ ¹/_d হবে। (সত্য / মিথ্যা)
VIEW ANSER
▶️ যদি (√a + √b) ∝ (√a – √b) হয়, তবে দেখাও যে (a + b) ∝ √ab.
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ যদি b ∝ a² হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,
$\Large{\mathbf{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}$
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ^a/_b = ধ্রুবক হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা
[ a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
∴ ab = k = ধ্রুবক]
▶️ 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a³ + b³ + c³ ∝ 3abc
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।
VIEW ANSER
$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy}}$
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ যদি x ∝ y হয়, তাহলে:
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y² (d) x² ∝ y²
VIEW ANSER
▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।
VIEW ANSER
▶️ একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 12
KOSHE DEKHI 14
November 2, 2023

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

x	18	8	12	6
y	3	²⁷/₄	⁹/₂	9

Category: X-Mathematics

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

Ans: (b) 4 : 3 : 5[তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত = 200 : 150 : 250 = 4 : 3 : 5]

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2022

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variationকষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

6. x + y ∝ x – y হলে, (i) x2 + y2 ∝ xy

(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3

(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

7. (i) a2 + b2 ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – bSolution: a2 + b2 ∝ ab বা, a2 + b2 = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3 হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a3b3 + b3c3 + c3a3 ∝ abc(a3 + b3 + c3)

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) x ∝ 1/y হলে, (a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন (a) x2 ∝ y3 (b) x3 ∝ y2 (c) x ∝ y3 (d) x2 ∝ y2

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

(iv) x ∝ y2 এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান (a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

(v) যদি y − z ∝ 1/x, z − x ∝ 1/y এবং x − y ∝ 1/z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি (a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) y ∝ 1/x হলে, y/x = অশূন্য ধ্রুবক

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে, x ∝ ______

(ii) x ∝ y এবং xn ∝ ______

(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y2 এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

(iii) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

(v) যদি b ∝ a3 হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2022

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

Ans: (b) 4 : 3 : 5
[তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 200 : 150 : 250
= 4 : 3 : 5]

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

6. x + y ∝ x – y হলে,
(i) x² + y² ∝ xy

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³

7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
Solution:
a² + b² ∝ ab
বা, a² + b² = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

(i) x ∝ ¹/_y হলে,
(a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y³ (d) x² ∝ y²

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

(v) যদি y − z ∝ ¹/_x, z − x ∝ ¹/_y এবং x − y ∝ ¹/_z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

(i) y ∝ ¹/_x হলে, ^y/_x = অশূন্য ধ্রুবক

(i) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে, x ∝ ______

(ii) x ∝ y এবং xⁿ ∝ ______

(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

(iii) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।