Category: X-Mathematics

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP এবং OP ব্যাসার্ধ।
এখানে OA = 17 সেমি,
OP = ¹⁶/₂ = 8 সেমি
APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AP² + OP² = OA²
বা, AP² + 8² = 17²
বা, AP² + 64 = 289
বা, AP² = 225
∴ AP = 15
Ans: বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।

2.একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution: বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AP ও AQ।
∴ AP = AQ
∴ APQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠APQ = ∠AQP
প্রদত্ত ∠PAQ = 60°
△APQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180°
বা, ∠APQ + ∠AQP = 180° – ∠PAQ
বা, ∠APQ + ∠APQ = 180° – 60°
বা, 2∠APQ = 120°
বা, ∠APQ = 60°
Ans: ∠APQ-এর মান 60°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA ∥ RQ

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR বৃত্তের ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়: OA || RQ
অঙ্কন: O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে PA ও QA দুটি স্পর্শক।
∴ ∠AOP = ∠AOQ
∴ ∠AOP + ∠AOQ + ∠QOR = 180°
বা ∠AOP + ∠AOP = 180° – ∠QOR
বা 2∠AOP = 180° – ∠QOR – – – (i)
আবার △ORQ –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠ORQ + ∠RQO + ∠QOR = 180°
বা, ∠RQO + ∠RQO = 180° – ∠QOR – – – [∵ OR = OQ, ∠ORQ = ∠RQO]
বা, 2∠RQO = 180° – ∠QOR – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
2∠AOP = 2∠RQO
∴ ∠AOP = ∠RQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ OA || RQ (প্রমাণিত)

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তটি AB, BC, CE ও AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠AOB + ∠COD = 180°
অথবা, ∠AOD + ∠BOC = 180°
অঙ্কন: O, A; O, B; O, C; O, D; O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও S বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ ∠AOP = ∠AOS
∴ ∠AOP + ∠AOS = ∠POS
বা ∠AOP + ∠AOP = ∠POS
বা 2∠AOP = ∠POS
বা ∠AOP = ¹/₂∠POS
অনুরূপে,
∠BOP = ¹/₂∠POQ
∠COR = ¹/₂∠QOR
∠DOR = ¹/₂∠ROS
∴ ∠AOB + ∠COD
= (∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR )
= (¹/₂∠POS + ¹/₂∠POQ) + (¹/₂∠QOR + ¹/₂∠ROS)
= ¹/₂(∠POS + ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS)
= ¹/₂ × 360°
= 180°
অনুরূপে, প্রমাণ করা যায়
∠AOD + ∠BOC = 180°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180° (প্রমাণিত)
∠AOD + ∠BOC = 180° (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক হল ABCD; এবং বৃত্তটি AB, BC, CD ও AD বাহুকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন: O, A; O, P; O, B; O, Q; O, R; O, D; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি AP ও AS;
∴ AP = AS
অনুরূপে, BP = BQ;
CQ = CR;
এবং DS = DR
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS – – – [∵ AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS]
= BQ + CQ + DS + AS
∴ AB + CD = BC + AD
বা AB + AB = BC + AD – – – – [∵ ABCD একটি সামান্তরিক
বা 2AB = 2BC AB = CD; BC = AD]
বা AB = BC
ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের O একটি বিন্দু। OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∠COD = 56°, ∠COE = 40°,
∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রামাণ্য বিষয়: OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণ: A কেন্দ্রীয় বৃত্তের D ও C বিন্দুতে যথাক্রমে OD ও OC দুটি স্পর্শক।
∴ OD = OC – – – – (i)
∴ ∠ODC = ∠OCD
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C ও E বিন্দুতে যথাক্রমে OC ও OE দুটি স্পর্শক।
∴ OC = OE – – – – (ii)
∴ ∠OCE = ∠OEC
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
OD = OC = OE (প্রমাণিত)
△COD –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°
বা, ∠OCD + ∠OCD + 56° = 180°
বা, 2∠OCD = 180° – 56° = 124°
∴ ∠OCD = 62°
∴ ∠ACD = ∠OCA – ∠OCD
= 90° – 62° = 28°
∴ x = 28
△COE –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCE + ∠OEC + ∠EOC = 180°
বা, ∠OCE + ∠OCE + 40° = 180°
বা, 2∠OCE = 180° – 40° = 140°
∴ ∠OCE = 70°
∴ ∠BCE = ∠OCB – ∠OCE
= 90° – 70° = 20°
∴ y = 28
x – y = 28 – 20
= 8 (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রীয় অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AO + BO = ধ্রুবক।
অঙ্কন: O, X; O, A যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ স্পর্শবিন্দুটি A ও B কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার, O ও A কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OB রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
এবং B ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি OX রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
∴ AO + BO = (AB + BO) + (AO – AB)
= AB + BO + AO – AB
= BO + AO
= BX – OX + AY + OY
= BX – OX + AY + OX – – – [OX = OY,একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= BX + AY
= B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= ধ্রুবক
∴ AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP ∥ BQ.

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AP || BQ
অঙ্কন: A, P; B, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △AOP –এর OA = OP – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠AOP = ∠APO
আবার, △BOQ –এর OB = BQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠BOQ = ∠BQO
A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB তাদের কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ। ∴ ∴ A, O, B বিন্দু তিনটি সমরেখ।
PQ ও AB রেখাংশদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠AOP = বিপ্রতীপ ∠BOQ
∴ ∠APO = ∠BQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ AP || BQ (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
স্বীকার: A, B, C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে P, Q, R বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB, BC, CA যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়: △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে এবং AB হল কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশ।
∴ R বিন্দুটি AB রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অনুরূপে P ও Q বিন্দুটি যথাক্রমে BC এবং AC রেখাংশের উপর অবস্থিত।
বৃত্ত তিনটি সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
∴ AR = RB = BP = PC = CQ = QA
∴ AR + RB = BP + PC = CQ + QA
⇒ AB = BC = CA
∴ △ABC –এর AB, BC, CA বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। উপচাপ BC-এর উপর, X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: △ADE –এর পরিসীমা = 2AB
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AB = AC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B ও X বিন্দুতে যথাক্রমে BD ও DX দুটি স্পর্শক।
∴ BD = DX
এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তের X ও C বিন্দুতে যথাক্রমে XE ও CE দুটি স্পর্শক।
∴ XE = CE
△ADE-এর পরিসীমা
= AD + DE + EA
= AD + DX + XE + EA
= AD + DB + EC + EA
= AB + AC
= AB + AB
= 2AB

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 12 সেমি (b) 13 সেমি (c) 6.5 সেমি (d) 6 সেমি

Ans: (a) 12 সেমি
[OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি
∴ AB = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি]

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর মান পরিমাপ
(a) 60° (b) 45° (c) 30° (d) 90°

Ans: (d) 90°
C বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা, AB স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ DA = DC
∴ ∠DAC = ∠DCA
অনুরূপে DC = DB
∴ ∠DCB = ∠DB
△ACB ত্রিভুজ থেকে পাই,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
বা, ∠DCA + ∠DCB + ∠DAC+ ∠DBC=180°
বা, 2(∠DCA + ∠DCB) =180°
বা, ∠DCA + ∠DCB = 90°
বা, ∠ACB =90°]

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দুরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 60 বর্গ সেমি (b) 30 বর্গ সেমি (c) 120 বর্গ সেমি (d) 150 বর্গ সেমি
Ans: (a) 60 বর্গ সেমি

[OQ = OR = 5 সেমি, OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂ × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি]

(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 2 সেমি (b) 2.5 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) 8 সেমি
Ans: (d) 8 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (5 + 3) সেমি
= 8 সেমি]

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 5.5সেমি (b) 1 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) 1.5 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (3.5 – 2) সেমি
= 1.5 সেমি]

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
Ans: সত্য।

(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের __________ বলে।
Ans: ছেদক।

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: 4

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো __________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক)।

Ans: তির্যক।

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি। Solution:

এখানে ∠PBO = 30°
△BOP –এর OB = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠BPO = ∠PBO = 30°
PT স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OPT = 90°
∴ ∠BPT = ∠BPO + ∠OPT
= 30°+ 90°
= 120°
△BPT -এর ক্ষেত্রে,
∠PTB + ∠TBP + ∠BPT =180°
বা, ∠PTA + 30° + 120° = 180°
বা, ∠PTA + 150° =180°
বা, ∠PTA = 30°
Ans: ∠PTA-এর মান 30°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়। তাহলে x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AP = 4 সেমি,
BP = 6 সেমি,
AC = 12 সেমি।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও R বিন্দুতে AP ও AR দুটি স্পর্শক।
∴ AR = AP = 4 সেমি
∴ CR = AC – AR
= 12 – 4 – – – [∵ AC = 12]
= 8 সেমি
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক।
∴ BQ = BP = 6 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে Q ও R বিন্দুতে CQ ও CR দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CR = 8 সেমি
∴ BC = BQ + CQ
= (6 + 8)
= 14 সেমি।
Ans: x -এর মান 14।

(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AB = 5 সেমি,
BC = 7 সেমি,
CA = 6 সেমি
∴ AP = AB – BP
= 5 – BR
= 5 – (BC – CR) – – – [∵ BR = BC – CR]
= 5 – (7 – CQ)
= 5 – 7 + CQ
= -2 + (AC – AQ) – – – [∵ CQ = AC – AQ]
= -2 + (6 – AQ)
= -2 + 6 – AQ
= 4 – AP – – – [∵ AQ = AP]
∴ AP + AP = 4
বা, 2AP = 4
বা, AP = 2
Ans: A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CP ও CQ দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CP = 11 সেমি
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে R ও Q বিন্দুতে BR ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BQ = BR
বা, BQ = CQ – BC
= 11 – 7
= 4
∴ BR = 4
Ans: BR -এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

Solution:
এখানে, দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 8 সেমি এবং r₂ = 3 সেমি,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব d = 13 সেমি
বৃত্ত দুটির সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

$$\large{=\sqrt{d^2-(r_1^2-r_2^2)} \quad cm\\=\sqrt{13^2-(8-3)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-(5)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-25}\quad cm\\=\sqrt{144}\quad cm\\=12\quad cm}$$Ans: সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।

PREVIOUS

NEXT

November 24, 2023

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. মাসুম O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO-কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∠BAT = 21° হলে, ∠BTA-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
O, B যুক্ত করা হল।
এখানে ∠BAT = 21°
আবার ∠ABO = ∠BAO – – – – [∵ OB = OA]
∴ ∠ABO = 21°
BT স্পর্শক ও OB স্পর্শক বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OBT = 90°
∴ ∠ABT = ∠ABO + ∠OBT
= 21° + 90°
= 111°
∴ ∠BTA = 180° – ∠BAT – ∠ABT
= 180° – 21° – 111°
= 180° – 132°
= 48°
Ans: ∠BTA-এর মান 48°

2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY ব্যাস এবং বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে। X বিন্দু থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব XZ, PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: XA, ∠YXZ –এর সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন: X, A; A, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: XZ ⟂ PQ
∴ ∠XZA = 90°
আবার, PQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OAZ = 90°
∴ ∠XZA = ∠OAZ
∴ XZ || AO
∴ ∠AXZ = একান্তর ∠OAX – – – – (i)
আবার, △AOX থেকে পাই,
OX = OA
∴ ∠AXO = ∠OAX – – – – (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
∠AXZ = ∠AXO
∴ XA, ∠YXZ–এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = RT = PT

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PR ব্যাস। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু যেখানে PR = PS ; RS বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ST = RT = PT
অঙ্কন: P, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: PS স্পর্শক এবং PR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠RPS= 90°
△RPS এর,
∠PRS = ∠PSR . . . . . [PR=PS স্বীকার]
∠PRS = ∠PSR = 180°- ^90°/₂
= ^90°/₂ =45°
∴ ∠PRT =∠PST = 45°
আবার, ∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PTR = 90°
∴ ∠RPT + ∠PTR + ∠PRT= 180°
বা, ∠RPT + 90° + 45° = 180°
বা, ∠RPT = 180°-135°
= 45°
△PTR এর.
∠RPT= ∠PRT
∴ RT=PT . . . . (i)
∴ ∠TPS = ∠RPS – ∠RPT
= 90° – 45°= 45°
△PTS এর,
∠TPS = ∠PST
∴ ST=PT . . . . (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
RT = PT = ST
বা, ST = RT = PT (প্রমাণিত)।

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OA ও OB ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুদ্বয়ে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অঙ্কন: A, B; O, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ:
AT স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AT
∴ ∠OAT = 90°
আবার, BT স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OB ⟂ BT
∴ ∠OBT = 90°
∴ OATB চতুর্ভুজের,
∠OAT + ∠OBT = 90° + 90°
= 180°
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।- – – – [যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হয়]
আবার, ∠AOB = 90°
∴ OATB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আবার OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্র।
AB ও OT, OATB বর্গক্ষেত্রের দুটি কর্ন।
∵ বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ AB = OT (প্রমাণিত)
বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AB ও OT পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ = ¹/₂BC.

Solution:
স্বীকার: দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O। বৃহত্তর বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও AC ছোটো বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: PQ = ¹/₂BC
অঙ্কন: O, P ও O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় ছোটো বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে AB ও AC দুটি স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ দুটি হল যথাক্রমে OP ও OQ
∴ OP ⟂ AB এবং OQ ⟂ AC
O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তের জ্যা AB -এর P বিন্দুতে OP লম্ব।
∴ AP = PB
অর্থাৎ P, AB -এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপে O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তটির AC জ্যা –এর Q বিন্দুতে OQ লম্ব।
∴ AQ = QC
অর্থাৎ Q, AC -এর মধ্যবিন্দু।
△ ABC -এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q এবং PQ সংযোজক সরলরেখা।
∴ PQ = ¹/₂BC (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

6. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AX স্পর্শক। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ –এর মধ্যবিন্দু P।
প্রামাণ্য বিষয়: XAOP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অঙ্কন: O, Y ও O, Z যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: AX স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AX
∴ ∠OAX = 90°
আবার P, YZ-এর মধ্যবিন্দু এবং PO বৃত্তের কেন্দ্রগামী সরলরেখা।
∴ ∠OPX = 90°
XAOP চতুর্ভুজের,
∠OAX + ∠OAX = 90° + 90°
= 180°
∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP = SR.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P একটি বিন্দু। OP –এর উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP –কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: SP = SR
অঙ্কন: O, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △ROQ থেকে পাই,
OR = OQ – – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR ………(i)
∵ RS স্পর্শক ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠ORS = 90°
∴ ∠PRS = 90° – ∠ORP ………(ii)
বা, ∠PRS = 90° – ∠OQP [(i) নং থেকে]
আবার OQ ⟂ OP
∴ ∠QOP = 90°
∴ ∠OPQ = 90° – ∠OQP
∴ ∠RPS = 90° – ∠OQP – – – [∠OPQ = বিপ্রতীপ ∠RPS]
∴ ∠RPS = 90° – ∠ORP ………(iii)
(iii) ও (iii) নং থেকে পাই,
∠PRS = ∠RPS
△PRS ত্রিভুজের
∠PRS = ∠RPS
∴ SP = SR (প্রমাণিত)

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR = 2∠RQM

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR একটি জ্যা এবং QM বৃত্তের ব্যাস। Q ও R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠QPR = 2∠RQM
অঙ্কন:
প্রমাণ: বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে দুটি স্পর্শক PR ও PQ
∴ PR = PQ – – – – [∵ বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।]
△PQR এর,
∠PRQ = ∠PQR – – – – [∵ PR = PQ]
∴ ∠QPR = 180° – ∠PRQ – ∠PQR
= 180° – ∠PQR – ∠PQR
= 180° – 2∠PQR
∴ 2∠PQR = 180° – ∠QPR
আবার PQ স্পর্শক এবং QO স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OQP = 90°
বা, ∠RQM + ∠PQR= 90°
বা, 2∠RQM + 2∠PQR= 180°
বা, 2∠RQM + 180° – ∠QPR = 180° – – – – [2∠PQR = 180° – ∠QPR]
বা, 2∠RQM = ∠QPR
বা, ∠QPR = 2∠RQM (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

Solution:
স্বীকার: বৃত্তের জ্যা AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠P + ∠Q = 2∠BOC
অঙ্কন: A,R; B,R; C,R; D,R এবং B,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ∵ PA ও PB স্পর্শক এবং AR ও BR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ যথাক্রমে
∴ ∠RAP = ∠RBP = 90°, = 90°
∴ ∠RAP + ∠RBP = 90° + 90°
= 180°
∴ ∠APB + ∠ARB = 360° – 180°
বা, ∠APB + ∠ARB = 180°
বা, ∠P = 180° – ∠ARB – – – – – (i)
আবার বৃত্ত চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ARB ও পরিধিস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠ARB = 2∠ACB
(i) নং থেকে পাই,
∠P = 180° – 2∠ACB
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,
∠Q = 180° – 2∠DBC – – – – – (ii)
(ii) ও (ii) যোগ করে পাই,
∠P + ∠Q = 180° – 2∠ACB + 180° – 2∠DBC
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠ACB + ∠DBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠OCB + ∠OBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(180° – ∠BOC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 360° + ∠BOC
বা, ∠P + ∠Q = ∠BOC (প্রমাণিত)

PREVIOUS

NEXT

November 16, 2023