Category: X-Mathematics

Complete Solution of MP-17 Mathematics

Complete Solution of MP-17

মাধ্যমিক গণিত ২০১৭ সমাধান

2017 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৭

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো

2017
MATHEMATICS
Time – 3 Hours Fifteen Minutes
(First fifteen15 minutes for reading the question paper)
Full Marks-90 -For Regular Candidates
100 – For External Candidates

[প্রশ্ন নং 1, 2, 3, 4-এর উত্তরগুলির প্রশ্নসংখ্যা লিখে ক্রমানুযায়ী উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনীয়, হিসাবপত্র ও চিত্র অঙ্কন আবশ্যিকভাবে উত্তর-পত্রের প্রথম দিকে মার্জিন টেনে ডান দিকে করতে হবে।//কোনো প্রকার সারণী বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করতে দেওয়া হবে না। প্রয়োজনে π = 22/7 ধরে নিতে হবে। প্রয়োজন মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

Complete Solution of MP-17

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচিত করো। 1×6 = 6

(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 25 : 28 হলে বার্ষিক’ সুদের হার
(a) 3% (b) 12% (c) 10 ⁵/₇% (d) 8%
Ans. (b) 12%
[ধরি আসল 25x টাকা এবং সবৃদ্ধিমূল 28x টাকা
∴ সুদ = (28x – 25x) = 3x টাকা
3x = ^25x×1×r/₁₀₀
⇒ 3 = ^r/₄
∴ r = 12]

(ii) কোন শর্তে ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে?
(a) a = 0 (b) b = 0 (c) c = 0 (d) এদের কোনটিই নয়।
Ans. (c) c = 0
[দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হয় যদি ধ্রুবক পদের সহগ শূন্য হয়]

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা
(a) 2টি (b) 1টি (c) 3টি (d) 4টি
Ans. (d) 4টি

2017 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

(iv) sinθ = cosθ হলে 2θ-এর মান হবে (a) 30^o (b) 60^o (c) 45^o (d) 90^o
Ans. (d) 90^o
[ sinθ = cosθ
⇒ sinθ = sin(90^o – θ)
⇒ θ = 90^o – θ
⇒ 2θ = 90^o]

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) ৪ গুণ
Ans. (d) ৪ গুণ
[ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ শঙ্কুটির আয়তন V₁= ¹/₃πr²h ঘন একক
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃π×(2r)²×2h ঘন একক
= ¹/₃π×4r²×2h ঘন একক
= 8×¹/₃πr²h ঘন একক
= 8×V₁ ঘন একক]

(vi) 2, 8, 2, 3, 8, 3, 9, 5, 6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা
(a) 8 (b) 6.5 (c) 5.5 (d) 52
Ans. (d) 52
[সংখ্যাগুলিকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই- 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9
এখানে n = 9
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদ
= ⁹⁺¹/₂ তম পদ
= ¹⁰/₂ তম পদ
= 5 তম পদ = 5]

Complete Solution of MP-17

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান।
Ans: এক

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে।
Ans: সমান

(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি __________ হবে।
Ans: সদৃশ

(iv) cos²θ – sin²θ = ¹/_x (x > 1), হলে cos⁴θ – sin⁴θ __________
Ans: ¹/_x
[cos⁴θ – sin⁴θ
= (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
= 1×¹/_x
= ¹/_x]

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
Ans: একটি

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x_n এই n সংখ্যক সংখ্যার গড় x হলে Kx₁, Kx₂, Kx₃ …….. Kx_n এর গড় __________ (K≠ 0)
Ans: Kx̄
[ ^{x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n}/_n = x̄
∴ ^{Kx₁+Kx₂+Kx₃+ …….. +Kx_n}/_n
⇒ ^{K(x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n)}/_n
= Kx̄]

Complete Solution of MP-17

3. সত্য বা মিথ্যা লেখ (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল। বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে।
Ans: সত্য
[A B এর মূলধনের অনুপাত
= 10,000×12 : 20,000×6
= 120,000 : 120,000
= 1 : 1
লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত = 1 : 1]

(ii) x = 2 + √3 হলে x + ¹/_x – এর মান হবে 2√3

Ans: মিথ্যা
[ x = 2 + √3
∴ ¹/_x = ¹/_{2 + √3}
= ^{2 – √3}/_{(2 + √3)(2 – √3)}
= ^{2 – √3}/_{(2)² – (√3)²}
= ^{2 – √3}/_4-3
= 2 – √3
∴ X + ¹/_x = 2 + √3 + 2 – √3 = 4]

(iii) 7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি হবে।
Ans: মিথ্যা
[7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হবে
= (7 + 3) সেমি = 10 সেমি

(iv) 0^o < θ < 90^o হলে sinθ > sin²θ হবে।
Ans: সত্য

(v) একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ 3πr² = 36π
⇒ r² = 12
⇒ r² = 2√3]

(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্ব টানলে, x অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা।
Ans: সত্য

Complete Solution of MP-17

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি) 2×10=20

(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?

Solution:
ধরি, মূলধনের পরিমাণ P টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r%
P টাকা 8 বছরে দ্বিগুণ হয়।

\(\large{∴P(1+\frac{r}{100})^8=2P\\⇒(1+\frac{r}{100})^8=2 —-(i)\\}\)ধরি P টাকা t বছরে চারগুণ হবে।\(\large{\\∴P+\frac{r}{100})^t=4P\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=4\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=(2)^2\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=[(1+\frac{r}{100})^8]^2\\⇒(1+\frac{r}{100})^t=(1+\frac{r}{100})^{16})\\\quad ∴ r=16}\)

Ans: 16 বছরে চারগুণ হবে

(ii) কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের দেড়গুণ। ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা পাবে?

Solution:
ধরি, B-এর মূলধন x টাকা
∴ A-এর মূলধন = x × .1¹/₂ টাকা
= ^3x/₂ টাকা
∴ A ও B-এর মূলধনের অনুপাত
= ^3x/₂ : x
= ³/₂ : 1
= 3 : 2
আরও ধরি A লভ্যাংশ পাবে p টাকা
B লভ্যাংশ পায় 1,500 টাকা
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ p : 1,500 = 3 : 2
বা, p = 1,500 × ³/₂
বা, p = 750×3
বা, p = 2250
Ans: A পাবে 2250 টাকা ।

(iii) সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।

Solution:
x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।
∴ b² – 4ac = 0
বা, (p-3)² – 4.1.p = 0
বা, p² – 6p + 9 – 4p = 0
বা, p² – 10p + 9 = 0
বা, p² – 9p – p + 9 = 0
বা, p(p – 9) -1(p – 9) = 0
বা, (p – 9)(p – 1) = 0
হয় p – 9 = 0 নতুবা p – 1 = 0
∴ p = 9 ∴ p = 1
Ans: ‘p’ এর মান 9 অথবা 1-এর জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

Complete Solution of MP-17

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।
Solution:
x ∝ yz এবং y ∝ zx
⇒ x = kyz – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং
y ∝ zx
⇒ y = mzx – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ y = mz.kyz – – – – [∵ x = kyz]
⇒ 1 = mkz²
⇒ z² = ¹/_mk
⇒ z = ¹/_√mk
∴ z = ধ্রুবক (Proved)

(v) একটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত তাদের পরিসীমার অনুপাতের সমান হয়।
এখানে সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত = 20 : 16 = 5 : 4
প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহু 7 সেমি।
ধরি, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
∴ 9 : x = 5 : 4
বা, ⁹/_x = ⁵/₄
বা, 5x = 36
বা, x = ³⁶/₅
∴ x = 7.2
Ans: দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি

(vi) △ABC এর ∠ABC = 90^o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC এর ∠ABC = 90^o,
AB = 5 সেমি,
BC = 12 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (5)² + (12)²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
∴ AC = 13
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র ঐ ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত হয়।
Ans: ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ¹³/₂ = 6.5 সেমি.

(vii) ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2√2a সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC এর মান লেখো।
Solution:
ABC ত্রিভুজের,
AB = (2a – 1) সেমি,
AC = 2√2a সেমি এবং
BC = (2a + 1) সেমি
∴ AB² + AC²
= (2a – 1)² + (2√2a)²
= 4a² – 4a + 1 + 8a
= 4a² + 4a + 1
= (2a – 1)² = BC²
∴ BC² = AB² + AC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BC
∴ ∠BAC সমকোণ
∴ ∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC এর মান 90^o

(viii) x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।
Solution:
x = asecθ
∴ ^x/_a = secθ
বা, ^x²/_a² = sec²θ – – – – (i)
y = btanθ
∴ ^y/_b = tanθ
বা, ^y²/_b² = tan²θ – – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
^x²/_a² – ^y²/_b² = sec²θ – tan²θ
⇒ ^x²/_a² – ^y²/_b² = 1 – – – – [∵ sec²θ – tan²θ= 1]
Ans: θ বর্জিত সম্পর্কটি হল ^x²/_a² – ^y²/_b² = 1

Complete Solution of MP-17

(ix) tan(θ + 15^o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
tan(θ + 15^o) = √3
⇒ tan(θ + 15^o) = tan60^o
⇒ θ + 15^o = 60^o
⇒ θ = 60^o – 15^o
⇒ θ = 45^o
∴ sinθ + cosθ
= sin45^o + cos45^o
= ¹/_√2 + ¹/_√2
= ¹⁺¹/_√2
= ²/_√2
= √2
Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2

(x) একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

Solution:
ধরি, ছোট গোলকটির ব্যাস 2r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাস 4r একক
∴ ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাসার্ধ 2r একক
বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(2r)² বর্গ একক
= 16πr² বর্গ একক

ছোট গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³ ঘন একক
∵ বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান = ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমান
∴ 16πr² = ⁴/₃πr³
বা, 48πr² = 4πr³
বা, 12 = r
∴ r = 12
Ans: ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ 12 একক

(xi) একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x, ধার সংখ্যা y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা P হলে x – y + z + P এর মান কত?
Solution:
আয়তঘনকের তলসংখ্যা x = 6,
ধার সংখ্যা y = 12,
শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z = 8 এবং
কর্ণের সংখ্যা P = 4
∴ x – y + z + P
= 6 – 12 + 8 + 4
= 6
Ans: x – y + z + P এর মান 6

(xii) 11, 12, 14, x – 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে x এর মান নির্ণয় কর।
Solution:
এখানে রাশির সংখ্যা 9 (অযুগ্ম)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ⁹⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ¹⁰/₂ = 5-তম রাশির মান
= x + 4
প্রশ্নানুযায়ী
x + 4 = 24
∴ x = 20
Ans: x এর মান 20

Complete Solution of MP-17

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?

Solution:
ধরি, আসল = P টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 80 টাকা
ধরি, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I₁
প্রদত্ত,
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 4%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি,
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

\(\large{I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{4}{100} \right )^{2}-1 \right]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{25} \right )^{2}-1 \right]\\=P\left [ \left ( \frac{26}{25} \right )^{2}-1 \right ]\\=P×\frac{26+25}{25}×\frac{26-25}{25}\\=P×\frac{51}{25}×\frac{1}{25}\\=\frac{51P}{625}}\)

2 বছরের সরল সুদ

\(\large{I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×4×2}{100}\\=\frac{2P}{25}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,

\(\large{I_{1}-I_{2}=80\\\therefore \frac{51P}{625}-\frac{2P}{25}=80\\⇒\frac{51P-50P}{625}=80}\)

⇒ P = 625×8
∴ P =50000
Ans: 50000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে।

(ii) A, B, C যৌথভাবে 1,90,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও।

Solution:
ধরি C-এর মূলধনের x টাকা
∴ B-এর মূলধনের (x + 20000) টাকা এবং
A-এর মূলধনের [(x + 20000) + 20000] টাকা = (x + 40000) টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(x + 40000) + (x + 20000) + x = 180000
বা, 3x + 60000 = 180000
বা, 3x = 180000 – 60000
বা, 3x = 120000
বা, x = 40000
∴ A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= (40000 + 40000) : (40000 + 20000) : 40000
= 80000 : 60000 : 40000
= 8 : 6 : 4
= 4 : 3 : 2
∴ 10800 টাকার মধ্যে,
A পাবে = 10800×⁴/₄₊₃₊₂ টাকা
= 10800×⁴/₉ টাকা
= 1200×4 টাকা
= 4800 টাকা
B পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
C পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
Ans: A পাবে 4800 টাকা,
B পাবে 3600 টাকা ও
C পাবে 2400 টাকা

6. যে কোনো একটি সমাধান কর: 3

\(\Large{\mathbf{(i)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)

⇒ x² + ax + bx = -ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b

(ii) একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত?
Solution:
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – 5x = 3
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(2x + 1) = 0
হয় (x – 3) = 0 নতুবা (2x + 1) = 0
বা, x = 3 বা, x = – 1/2
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা
x ≠ – ½
∴ x = 3
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3

Complete Solution of MP-17

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল কর:

\(\Large{\mathbf{(i)\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}\\=\frac{(√3-√2)}{(√3+√2)(√3-√2)}-\frac{(√3+1)(2-√3)}{(2+√3)(2-√3)}+\frac{(√2+1)(3-2√2)}{(3+2√2)(3-2√2)}\\=\frac{√3-√2}{(√3)^2-(√2)^2}-\frac{2√3-3+2-√3}{(2)^2-(√3)^2}+\frac{3√2-2.2+3-2√2}{(3)^2-(2√2)^2}\\=\frac{√3-√2}{3-2}-\frac{√3-1}{4-3}+\frac{√2-1}{9-8}\\=\frac{√3-√2}{1}-\frac{√3-1}{1}+\frac{√2-1}{1}}\)

= √3 – √2 – √3 + 1 + √2 – 1
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলমান 0

(ii) একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?

Solution:
ধরি, হোস্টেলের ব্যয় C টাকা যার মধ্যে C₁ ধ্রুবক এবং C₂ আবাসিকদের সংখ্যা N-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
∴ C = C₁ + C₂
∴ C₂ ∝ N
বা, C₂ = kN – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ C = C₁ + kN – – – – (i)
N = 120 হলে C = 2000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
2000 = C₁ + k×120
বা, 2000 = C₁ + 120k – – – – (ii)
N = 100 হলে C = 1700 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
1700 = C₁ + k×100
বা, 1700 = C₁ + 100k – – – – (iii)

(ii) – (iii) করে পাই,
C₁ + 120k – (C₁ + 100k) = 2000 – 1700
বা, C₁ + 120k – C₁ – 100k = 300
বা, 20k = 300
বা, k = 15
(ii) নং সমীকরণে k = 15 বসিয়ে পাই,
2000 = C₁ + 15×120
বা, 2000 = C₁ + 1800
∴ C₁ = 200
(i) নং সমীকরণে C₁ ও k-এর মান বসিয়ে পাই,
C = 200 + 15N
C = 1880 হলে,
1880 = 200 + 15N
⇒ 15N =1880 – 200
⇒ 15N =1680
⇒ N =112
Ans: ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা হবে 112 জন।

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

\(\mathbf{(i)}\) যদি \(\Large{\mathbf{\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}}\)

হয়, তবে প্রমাণ কর যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় ¹/₂ অথবা -1

\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই)

\(\Large{=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}\\=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}\\=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}\\=\frac{1}{2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয়

\(\Large{=\frac{a-b}{b+c-c-a}\\=\frac{a-b}{b-a}\\=\frac{a-b}{-(a-b)}\\=-1\quad \mathbf{(Proved)}}\)

(ii) যদি (b + c − a) x = (c + a – b)y = (a + b – c) z = 2, হয়, তবে দেখাও যে

\(\Large{\mathbf{\quad(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=abc}}\)

Solution:
∵ (b + c − a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2
∴ (b + c − a)x = 2
বা, ^{b + c − a}/₂ = ¹/_x
(c + a – b)y = 2
বা, ^{c + a − b}/₂ = ¹/_y
(a + b – c) z = 2
বা, ^{a + b – c}/₂ = ¹/_z

\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})\\=(\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2})(\frac{c+a-b}{2}+\frac{a+b-c}{2})(\frac{a+b-c}{2}+\frac{b+c-a}{2})\\=(\frac{b+c-a+c+a-b}{2})(\frac{c+a-b+a+b-c}{2})(\frac{a+b-c+b+c-a}{2})\\=(\frac{2c}{2})(\frac{2a}{2})(\frac{2b}{2})=\mathbf{R.H,S\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-17

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও? 5

(i) যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।

স্বীকার: ΔABC-এর AB বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, AB² = AC² +BC²
প্রামান্য বিষয়: ∠ACB= 1 সমকোণ
অঙ্কন: CB-এর সমান করে FE সরলরেখাংশ অঙ্কন করলাম। FE বাহুর উপর F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করলাম এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান করে FD অংশ কেটে নিলাম এবং D ও E বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ: AB² = AC² + BC² – – – [প্রদত্ত]
= DF² + EF² – – – [অঙ্কনানুসারে AC = DF এবং BC = EF]
=DE²– – – [∵∠DFE = 1 সমকোণ]
∴ AB = DE
△ABC ও △DEF-এর ক্ষেত্রে,
AB = DE – – – [পূর্বে প্রমানিত],
BC = EF – – – [অঙ্কনানুসারে]এবং
AC = DF – – – [অঙ্কনানুসারে]
∴ △ABC ≅ △DEF – – – (S-S-S সর্বসমতার শর্তানুসারে)
∴ AB = DE
∵ ∠ACB = ∠DFE = 1 সমকোণ – – – [অঙ্কনানুসারে, DF ⊥ EF]
∴∠ACB = । সমকোণ (Proved)

(ii) কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোগক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B,
O.A; O, B; O, P যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PA = PB
প্রমাণ: PA ও PB স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
POA ও POB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
∠OAP = ∠OBP – – – (প্রত্যেকে 1 সমকোণ)
অতিভুজ OP সাধারণ বাহু এবং
OA = OB – – – (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ΔΡΑΟ = ΔΡΒO – – – [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴PA = PB [Proved]

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তঃস্থ চতুর্ভুজ।

স্বীকার: ABCD চতুর্ভুজের AR, BP, CP ও DR যথাক্রমে ∠A, ∠B, ∠C ও ∠D-এর সমদ্বিখণ্ডক যা পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রমাণ: △ARD-এর,
∠ARD + ∠RDA + ∠DAR = 180^o
⇒ ∠ARD+ ¹/₂∠D + ¹/₂∠A = 180^o – – – – – (i)
আবার, △BPC-এর,
∠BPC + ∠PCB + ∠CBP = 180^o
⇒ ∠BPC + ¹/₂∠C+ ¹/₂∠B = 180^o – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠ARD + ¹/₂∠D + ¹/₂∠A + ∠BPC + ¹/₂C+ ¹/₂∠B = 180^o + 180^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + ¹/₂(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + ¹/₂×360^o = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC + 180^o = 360^o
বা, ∠ARD + ∠BPC = 360^o – 180^o
∴ ∠ARD + ∠BPC = 180^o
অনুরূপে ∠QRS + ∠QPS = 180^o
∴PQRS চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ PQRS চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (Proved)

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
△BOD ও △COD থেকে পাই,
BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]

Complete Solution of MP-17

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(ⅰ) 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর এবং ঐ ত্রিভুজটির অর্ন্তবৃত্ত অঙ্কন কর। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

(ii) ৪ সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন কর এবং ঐ আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন কর। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

12. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(i) কোনে৷ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ ^π/₃, ^5π/₆, 90^o হলে চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো।
Solution:
π/3 = 180°/3
= 60°;
5π/6 = 5×180°/6
= 150°
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
= 360° – (60° + 150° + 90°)
= 360° – 300°
= 60°
= 60°×3/3
= 180°/3
= π/3
Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
বৃত্তীয় মান = π/3

\(\large{\mathbf{(ii)\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\large{\mathbf{sinθ – cosθ=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\)

\(\Large{\mathbf{Solution}\\\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}\\⇒\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{x}{y}\\⇒tanθ=\frac{x}{y}}\)

আমরা জানি, sec²θ = 1 + tan²θ

\(\Large{∴secθ=\sqrt{1+tan^2θ}\\\quad=\sqrt{1+(\frac{x}{y})^2}\\\quad=\sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{y^2+x^2}{y^2}}\\\quad=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\\∴cosθ=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

আাবার sin²θ + cos²θ = 1

\(\Large{∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ} \\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-y^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

\(\Large{\mathbf{L.H.S.} \\=sinθ-cosθ\\=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

(iii) যদি tan9^o = ^a/_b হয় তবে প্রমাণ কর যে,

\(\large{\quad\mathbf{\frac{sec^281^o}{1+ cot^281^o}=\frac{b^2}{a^2}}\\\mathbf{Solution:}}\)

\(\large{\quad tan9^o=\frac{a}{b}\\⇒tan(90^o-81^o)=\frac{a}{b}\\⇒cot81^o=\frac{a}{b}\\∴tan81^o=\frac{b}{a}}\)

\(\large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\frac{sec^281^o}{1+ cot^281^o}\\=\frac{sec^281^o}{cosec^281^o}\\=\frac{\frac{1}{cos^281^o}}{\frac{1}{sin^281^o}}\\=\frac{sin^281^0}{cos^281^o}\\=tan^281^o\\=(\frac{b}{a})^2\\=\frac{b^2}{a^2}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)

Complete Solution of MP-17

13. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মি.। একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
Solution:

ধরি, ছোট স্তম্ভ CD = x মিটার এবং
বড় স্তম্ভ AB = 3x মিটার।
AB ও CD স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোজক রেখাংশ AC -এর মধ্যবিন্দু E থেকে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং (90^o – θ)
এখানে AC = 150 মিটার
∴ AE = CE = ¹⁵⁰/₂ = 75 মিটার
∠AEB = θ
∠CED = 90^o – θ
ΔBAE -এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AE = tanθ
⇒ ^3x/₇₅ = tanθ
⇒ 3x = 75×tanθ – – – (i)
আবার ΔDCE -এর ক্ষেত্রে,
^CD/_CE = tan(90^o – θ)
⇒ ^x/₇₅ = cotθ
⇒ x = 75×cotθ – – – (ii)
(i)×(ii) করে পাই
3x.x = 75×tanθ×75×cotθ
⇒ 3x² = 75×75×tanθ.cotθ
⇒ x² = 75×25×1 – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ x² = 3×25×25
∴ x = 25√3
Ans: ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা 25√3 মিটার।

(ii) একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি 60° এবং 30° হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মি. দূরে থাকে তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত?
Solution:

ধরি, লাইটহাউসের উচ্চতা(AB) = x মিটার
প্রথম জাহাজ থেকে দ্বিতীয় জাহাজের দূরত্ব(CD) = y মিটার:
এখন ΔABC থেকে পাওয়া যায়,

\(\Large{\quad tan60^{\circ}=\frac{AB}{BC} \\⇒\sqrt{3}=\frac{x}{150}\\⇒x=150√3}\)

∴ লাইটহাউসের উচ্চতা = 150√3 মিটার
আবার ΔABD থেকে পাওয়া যায়,

\(\Large{\quad tan30^{\circ}=\frac{AB}{BD}\\⇒\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{BC+CD}\\⇒\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{150+y}}\)

⇒ 150 + y = √3x
⇒ 150 + y = √3×150√3 – – – – – [∵ x = 150√3]
⇒ 150 + y = 450
⇒ y = 450 – 150
⇒ y = 300
∴ CD = y = 300
BD = BC + CD
= (150 + 300) মিটার
= 450 মিটার
Ans: দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইটহাউস থেকে 450 মিটার দূরে অবস্থিত।
লাইটহাউসের উচ্চতা 100√3 মিটার।

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 4.2 ডেসি মি দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবথেকে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় কর।
Solution:
কাঠের ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি. = 42 সেমি.।
নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ^4.2/₂ = 2.1ডেসিমি. =21 সেমি. এবং উচ্চতা 42 সেমি.।
∴ নিরেট শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×21×21×42 ঘন সেমি.
= 22×21×42 ঘন সেমি.
= 19404 ঘন সেমি.।
= 19.404 ঘন ডেসিমি.।
Ans: নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।

(ii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং 4 সেমি উচ্চবিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে। পাত্রটি খালি করতে কতগুলি বোতল দরকার হবে?
Solution:
অর্ধগোলাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ 9 সেমি
∴ পাত্রের জলের আয়তন
= ²/₃ πr³ ঘনএকক
= ²/₃ π(9)r³ ঘনসেমি
= 2×243π ঘনসেমি
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস 3 সেমি
∴ চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ = ³/₂ সেমি
উচ্চতা(h) = 4 সেমি
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr²h ঘনএকক
= π(³/₂)²×4 ঘনসেমি
= π×⁹/₄×4 ঘনসেমি
= 9π ঘনসেমি
ধরি, পাত্রটি খালি করতে x টি বোতল দরকার।
∴ x.9π = 2×243π
বা, x = 2×27
বা, x = 54
Ans: পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতল দরকার।

(iii) একটি ঢাকনা সমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার। ঐ ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

Solution:
ধরি, জলের ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
প্রশ্নানুযায়ী
πr² = 616
বা, ²²/₇× r² = 616
বা, r² = 28×7
∴ r = 14
এখানে ট্যাঙ্কের উচ্চতা 21 মিটার।
∴ ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= (2πr² + 2πrh) বর্গমিটার
= (2×616 + 2×²²/₇×14×21) বর্গমিটার
= (1232 + 2×22×2×21) বর্গমিটার
= (1232 +1848) বর্গমিটার
= 3080 বর্গমিটার
Ans: ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 3080 বর্গমিটার।

Complete Solution of MP-17

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় কর যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100:

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0-10	10	10
10-20	x	10+x
20-30	25	10+x+25=35+x
30-40	30	35+x+30=65+x
40-50	y	65+x+y
50-60	10	65+x+y+10=75+x+y
মোট

এখানে, N = 100
∴ ^N/₂ = ¹⁰⁰/₂ = 50
প্রশ্নানুযায়ী
75 + x + y = 100
বা, x + y = 25 – – – – (i)
∵ মধ্যমা 32
∴ মধ্যমা শ্রেনিটি হল 30-40।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 30; N = 100;
C = 35 + x; fm = 30;
h = 30 – 40 = 10

\(\Large{ = 30 + \left(\frac{50 – (35+x)}{30}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{15-x}{3}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,
30 + ^15-x/₃ = 32
বা, ^15-x/₃ = 32 – 30 = 2
বা, 15 – x = 6
বা, x = 9
(i) নং সমীকরণে x = 9 বসিয়ে পাই,
9 + y = 25
∴ y = 16
Ans: x -এর মান 9
y-এর মান 16

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় কর:

শ্রেণী-সীমা	0-5	5–10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35
পরিসংখ্যা	5	12	18	28	17	12	8

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজনে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 28
∴ পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু শ্রেনি 15 – 20
এখানে, । = 15; f₁ = 28;
f₀ = 18; f₂ = 17;
h = 5 – 0 = 5
নির্নেয় সংখ্যাগুরু মান

\(\Large{=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)×h\\=15+\left(\frac{28-18}{2×28-18-17}\right)×5\\=15+\left(\frac{10}{56-35}\right)×5\\=15+\frac{50}{21}}\)

= 15 + 2.38 (প্রায়)
= 17.38
Ans: সংখ্যাগুরু মান 17.38

(iii) নীচের তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন কর।
Solution:

শ্রেণী-সীমা	0-5	5–10	10-15	15-20	20-25	25-30
পরিসংখ্যা	4	10	15	8	3	5

শ্রেণী	বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0 বা 0 এর বেশি	4
5 বা 5 এর বেশি	10
10 বা 10 এর বেশি	15
15 বা 15 এর বেশি	8
20 বা 20 এর বেশি	3
25 বা 25 এর বেশী	5

X অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে (0, 45), (5, 41), (10, 31), (15,16), (20, 8), (25, 5) বিন্দুগুলি স্থাপন করও যুক্ত করে বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া গেল।

PREVIOUS

NEXT

January 21, 2024

Complete Solution of MP-22 Mathematics
Complete Solution of MP-22
মাধ্যমিক গণিত ২০২২ সমাধান
2022 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২২
2022
MATHEMATICS
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper only)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে। ]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায় ]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।
Complete Solution of MP-22
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6
(i) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা P এবং প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে:
\(\large{\mathbf{(a)\quad P(1+\frac{r}{100})^n\\(b)\quad P(1+\frac{r}{50})^n\\(a)\quad P(1+\frac{r}{100})^{2n}\\(a)\quad P(1-\frac{r}{100})^n\\Ans:}}\)
\((b)\quad P(1+\frac{r}{50})^n\)
[বর্তমান জনসংখ্যা P
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r%
∴ n বছর পর জনসংখ্যা হবে
\(\large{\quad =P(1+\frac{2r}{100})^n\\\quad = P(1+\frac{r}{50})^n]}\)
(ii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ঐ ব্যবসায় নিয়োজিত করে:
(a) 1,000 টাকা (b) 2,000 টাকা (c) 3,000 টাকা (d) 4,000 টাকা
Ans: (c) 3,000 টাকা
[ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার লভ্যাংশের অনুপাত
= 50 :100 : 150 = 1 : 2 : 3
∴ তাদের মূল্ধনের অনুপাত = 1 : 2 : 3
6,000 টাকার মধ্যে,
স্মিতার পাবে = 6,000 × ³/₆ টাকা
= 1000 × 3 = 3000 টাকা]
(iii) A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7, হলে, A : D = কতো ?
(a) 2 : 7 (b) 7 : 2 (c) 5 : 8 (d) 5 : 14
Ans: (d) 5 : 14
\(\quad[\frac{A}{B}×\frac{B}{C}×\frac{C}{D}=\frac{2}{3}×\frac{5}{8}×\frac{6}{7}\\⇒\frac{A}{D}=\frac{5}{14}\\∴ A:D=5:14]\)
(iv) ‘0’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের ওপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হলে ∠RPQ এর মান :
(a) 30^o (b) 90^o (c) 60^o (d) 45^o
Ans: (d) 45^o
[△PQR -এর PQ হলো বৃত্তটির ব্যাস।
∴ ∠PRQ = 90° – – – – (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)
আবার, PR = PQ
∴ ∠RPQ = ∠PQR
△PQR -এর
∠RPQ + ∠PQR + ∠PRQ = 180^o
⇒ ∠RPQ + ∠PQR + 90^o = 180^o
⇒ ∠RPQ + ∠RPQ = 180^o – 90^o
⇒ 2∠RPQ = 90^o
∴ ∠RPQ = 45^o
(v) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা:
(a) 2 টি (b) 1 টি (c) 3 টি (d) 4 টি
Ans: (d) 4 টি

vi) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন:
(a) ^32πr³/₃ ঘনএকক (b) ^16πr³/₃ ঘনএকক (c) ^8πr³/₃ ঘনএকক (d) ^64πr³/₃ ঘনএকক Ans: (a) ^32πr³/₃ ঘনএকক
[2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= ⁴/₃π(2r)³ঘনএকক
= ⁴/₃π×8r³ ঘনএকক
= ^32πr³/₃ ঘনএকক]
Complete Solution of MP-22
2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5
(1) বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন __________।
Ans: P(1+r/100)

(ⅱ) ⁷/_√11 একটি __________ সংখ্যা।
Ans: অমূলদ

(iii) কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
Ans: r³
[গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
v = ⁴/₃πr³
⇒ v ∝ r³ – – – (∵ ⁴/₃π = ধ্রুবক)]

iv) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরুপ বাহুগুলি __________ হয়।
Ans: সমানুপাতী

(v) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি __________।
Ans: সমবৃত্তস্থ

(vi) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম __________।
Ans: ঘনক
Complete Solution of MP-22
3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5
(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার।
Ans: মিথ্যা

(ⅱ) আসল ও সবৃদ্ধিমূলের মধ্যে সম্পর্কটি হল আসল < সবৃদ্ধিমূল।
Ans: সত্য

(iii) x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ± 10.
Ans: সত্য
[ x² = 100
⇒ x = ±√100
∴ x = ±10]

(iv) a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ^a/_b = ধ্রুবক হবে।
Ans: মিথ্যা
[ a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
∴ ab = k = ধ্রুবক]

(v) দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি মাত্র সাধারণ স্পর্শক থাকবে।
Ans: মিথ্যা
[দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কোনো সাধারণ স্পর্শক নেই।

(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
Ans: সত্য
Complete Solution of MP-22
4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20
(i) বার্ষিক সুদ আসলের ¹/₁₆ অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কত হবে?
Solution:
প্রদত্ত, আসল(P) = 690 টাকা,
∴ বার্ষিক সুদ(I) = 690×¹/₁₆ টাকা
= ⁶⁹⁰/₁₆ টাকা
সময়(t) = 8 মাস
= ⁸/₁₂ বছর = ²/₃ বছর
1 বছরের সুদ ⁶⁹⁰/₁₆ টাকা
∴ ²/₃ বছরের সুদ ⁶⁹⁰/₁₆×²/₃ টাকা
= ⁶⁹⁰/_8×3 টাকা
= ¹¹⁵/₄টাকা
= 28.75 টাকা
Ans: 8 মাসে 690 টাকার সুদ হবে 28.75 টাকা।
(ⅱ) কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে?
Solution:
ধরি, লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = r%
প্রদত্ত, A = 17280 জন,
p = 13310 জন ও t = 3 বছর
আমরা জানি,
\(\large{\quad A=p\left(1+\frac{r}{100}\right)^t\\⇒17280=13310\left(1+\frac{r}{100}\right)^3\\⇒\left(1+\frac{r}{100}\right)^3=\frac{17280}{13310}\\⇒\left(\frac{100+r}{100}\right)^3=\frac{1728}{1331}\\⇒\left(\frac{100+r}{100}\right)^3=\left(\frac{12}{11}\right)^3\\⇒\frac{100+r}{100}=\frac{12}{11}}\)
⇒ 1100 + 11r = 1200
⇒ 11r = 1200 – 1100
⇒ 11r = 100
⇒ r = ¹⁰⁰/₁₁
∴ r = 9 ¹/₁₁
Ans: লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার 9 ¹/₁₁
(iii) কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z ; বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C-এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।
Solution:
A, B, C এর মূলধনের অনুপাত
= ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z
= ¹/_x×xyz : ¹/_y×xyz : ¹/_z×xyz
= yz : zx : xy
বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হলে,
C-এর ক্ষতির পরিমাণ = z×^xy/_yz+zx+xy টাকা
= ^xyz/_yz+zx+xy টাকা
Ans: C-এর ক্ষতির পরিমাণ ^xyz/_yz+zx+xy টাকা
(iv) 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?
Solution:
ধরি, 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয় α ও β
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β
= ^-(-66)/₇
= ⁶⁶/₇ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = ²⁷/₇
∴ বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত
= ⁶⁶/₇ : ²⁷/₇
= ⁶⁶/₇×7 : ²⁷/₇×7
= 66 : 27
= 22 : 9
Ans: বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত 22 : 9
Complete Solution of MP-22
(v) হরের করণী নিরসন করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{12}{√15-3}\\Solution:\\}}\)\(\large{\quad\frac{12}{√15-3}\\=\frac{12(√15+3)}{(√15-3)(√15+3)}\\=\frac{12(√15+3)}{(√15)^2-(3)^2}\\=\frac{12(√15+3)}{15-9}\\=\frac{12(√15+3)}{6}\\=2(√15+3)}\)
Ans: 2(√15+3)
(vi) ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?
Solution:

‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
OA = 13 সেমি.
AB = 10 সেমি.
O বিন্দু থেকে AB-এর উপর OD লম্ব টানা হল।
∴ AD = ¹/₂×AB
= ¹/₂×10 সেমি.
= 5 সেমি.
ODA ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + OD² = OA²
⇒ (5)² + OD² = (13)²
⇒ 25 + OD² = 169
⇒ OD² = 169 – 25
⇒ OD² = 144
⇒ OD² = (12)²
∴ OD = 12
Ans: ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব 12 সেমি.
(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60^o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

AOB বৃত্তটির ব্যাস এবং C বৃত্তটির উপরিস্থ একটি বিন্দু।
∴ ∠ACB = 90^o – – – [∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
আবার △OBC -এর,
OB = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OCB = ∠OBC – – – [ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়]
∴ ∠OCB = 60^o – – – [∵ ∠OBC = 60^o]
∴∠OCA = ∠ACB – ∠OCB
= 90^o – 60^o
= 30^o
Ans: ∠OCA -এর মান 30^o
(viii) একটি ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র থেকে 26 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

স্পর্শক PQ = 10 সেমি.
OP = 26 সেমি.
PQ স্পর্শক এবং OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OQ ⊥ PQ
OQP সমকোণী ত্রিভুজের,
∴ OQ² + QP² = OP²
⇒ OQ² + 10² = 26²
⇒ OQ² + 100 = 676
⇒ OQ² = 676 – 100
⇒ OQ² = 576
⇒ OQ² = (24)²
∴ OQ = 24
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের 24 সেমি.
Complete Solution of MP-22
(ix) △ABC -এর DE || BC, যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি, হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

∵ DE || BC
\(\large{∵\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}\\⇒\frac{AC}{AE}=\frac{AD+DB}{AD}\\⇒\frac{AC}{7.5}=\frac{5+6}{6}\\⇒\frac{AC}{7.5}=\frac{11}{5}\\⇒\frac{AC}{1.5}=11}\)
∴AC=16.5
Ans: AC এর দৈর্ঘ্য 16.5 সেমি,
(x) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্দ্ধ যথাক্রমে h₁ একক ও h₂ একক এবং r₁ একক ও r₂ একক
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ভূমির পরিধি 2πr₁ বর্গ একক ও 2πr₂ বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\large{\quad\frac{2πr_1}{2πr_2}=\frac{3}{4}\\⇒\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}}\)
তাদের আয়তনের অনুপাত
\(\large{=\frac{πr_1^2h_1}{πr_2^2h_2}\\=\frac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}\\=9:32}\)
Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32
(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ 2r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(2r)² বর্গ একক
= 16πr² বর্গ একক
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ হবে
= (2r + 2r×⁵⁰/₁₀₀) একক
= (2r + r) একক
= 3r একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে
= 4π(3r)²
= 36πг² বর্গ একক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে
= (36πг² – 16πг²) বর্গ একক
= 20πг² বর্গ একক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায়
= ^20πг²/_16πг₂× 100%
= ²⁰/₁₆×100%
= 5×25%= 125%
Ans: নির্ণেয় গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।
(xii) একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.। ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.
প্রশ্নানুযায়ী,
a√3 = 4√3
বা, a = 4
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গসেমি.
= 6 x (4)² বর্গসেমি.
= 96 বর্গসেমি.।
Ans: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি.।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Complete Solution of MP-22
5. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5×2=10
(i) কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে-আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
Solution:
(7 বছরের সুদ + আসল) – (4 বছরের সুদ + আসল) = (7100 – 6200) টাকা
বা, 3 বছরের সুদ = 900 টাকা
∴ 1 বছরের সুদ = ⁹⁰⁰/₃ = 300 টাকা
∴ 4 বছরের সুদ = 300×4 = 1200 টাকা
∴ আসল = (6200 – 1200) টাকা = 5000 টাকা
ধরি, বার্ষিক সুদের হার (r) = r%
সময় (t) = 4 বছর
সুদ(I) = 1200 টাকা
I = ^{P × r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\large{\quad 200=\frac{5000×r×4 }{100} \\⇒ 50×4r = 1200\\⇒ \quad r=6}\)
Ans: মূলধন 5000 টাকা এবং
বার্ষিক সুদের হার 6% ।
Complete Solution of MP-22
(ii) তিনবন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কতো টাকা পাবেন?
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 8000 : 10000 : 12000
= 4 : 5 : 6
বছরের শেষে 13400 টাকা লাভ হয়।
∴ লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে (13400 – 5000) বা, 8400 টাকা।
8400 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 8400×⁴/₄₊₅₊₆ টাকা
= 8400×⁴/₁₅ টাকা
= 560×4 টাকা
= 2240 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁵/₁₅ টাকা
= 560×5 টাকা
= 2800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁶/₁₅ টাকা
= 560×6 টাকা
= 3360 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 2240 টাকা, 2800 টাকা এবং 3360 টাকা পাবেন।
Complete Solution of MP-22
(iii) 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে?
Solution:
প্রদত্ত,
আসল (P) = 20000 টাকা,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
\(\large{I_{1}=P\left (1+\frac{r}{100} \right )^{2}-P\\\quad =P\left [\left (1+\frac{5}{100} \right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (1+\frac{5}{100} \right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (1+\frac{1}{20}\right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (\frac{21}{20}\right )^{2}-1 \right ]\\\quad =20000 \left( \frac{441}{400}-1\right)\\\quad =20000 × \frac{41}{400}}\)
= 50×41 টাকা
= 2050 টাকা
আবার 2 বছরের সরল সুদ
\(\large{I_{2}=\frac{Prt}{100}\\\quad =\frac{20000×5×2}{100}\\\quad =\frac{20000×5×2}{100}}\)
= 200×10 টাকা
= 2000 টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য
= I₁ – I₂
= 2050 টাকা – 2000 টাকা
= 50 টাকা
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 50 টাকা।
6. যে কোনো দুটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3×2=6
\(\large{\mathbf{(i)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)
⇒ x² + ax + bx = -ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b
(ii) সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
Solution:
নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় -4 ও 3 ;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -4 + 3 = -1
বীজদ্বয়ের গুণফল = -4×3 = -12
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-1)x + (-12) = 0
বা, x²+ x – 12 = 0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হল-
x²+ x – 12 = 0
(iii) m + ¹/_m=√3 হলে, (a) m² + ¹/_m² এবং (b) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?
Solution:
\(\large{\mathbf{(a)}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2}\\=(m)^2+\left(\frac{1}{m}\right)^2\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2.m.\frac{1}{m}\\=(\sqrt3)^2-2\\=3-2=1}\)
\(\large{\mathbf{(b)\\}m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^3+\frac{1}{m^3}\\=(m)^3+\left(\frac{1}{m}\right)^3\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^3-3.m.\frac{1}{m}.\left(m+\frac{1}{m}\right)\\=(\sqrt3)^3-3.\sqrt3\\=3\sqrt3-3\sqrt3=0\quad\mathbf{(Ans)}}\)
Ans: m² + ¹/_m²-এর সরলতম মান 1
m³ + ¹/_m³ -এর সরলতম মান 0
Complete Solution of MP-22
7. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6
(i) সরলতম মান নির্ণয় করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\Solution:}}\)
\(\large{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}-\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}-\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}- \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}- \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}\)
= √5(√3 – √2) – √3(√5 – √2) + √2(√5 – √3)
= √15 – √10 – √15 + √6 + √10 – √6
= 0
Ans: প্রদত্ত রাশির সরলতম মান 0
(ⅱ) যদি a = ^{√5 + 1}/_{√5 – 1}, এবং ab = 1 হয়, তবে ^a/_b + ^b/_a-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
\(\large{a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\ab=1\\\therefore b=\frac{1}{a}\\\quad=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt{5})^2+(1)^2)]}{(\sqrt{5})^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2×6}{4}\\=3}\)
প্রদত্ত রাশি
\(\large{=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\=\frac{a^2+b^2}{ab}\\=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\\=\frac{3^2-2×1}{1}}\)
= 9 – 2
= 7
Ans: ^a/_b + ^b/_a-এর মান 7

(iii) 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
t ∝ ¹/_N – – – – [যখন A স্থির]
এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।
t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
t ∝ ^A/_N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
∴ t = k×^A/_N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ t = ^kA/_N– – – – – – (i)
N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = ^k×18/₁₅
বা, k×18 = 5×15
বা, k = ²⁵/₆
(i) নং এ k = ²⁵/₆ বসিয়ে পাই,
t = ²⁵/₆ × ^A/_N
N = 10 এবং A = 12 হলে
t = ²⁵/₆ × ¹²/₁₀
∴ t = 5
Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3 = 3
(i) যদি a : b = b : c হয় , তবে প্রমাণ করো
\(\large{\mathbf{\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\\Solution:}}\)
\(\large{\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\\quad a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}\\=\frac{ck^2.ck.c(ck^2+ck+c)^3}{(ck^2.ck+ck.c+c.ck^2)^3}\\=\frac{c^3k^3[c(k^2+k+1)]^3}{(c^2k^3+c^2k+c^2k^2)^3}\\=\frac{c^3k^3.c^3(k^2+k+1)^3}{[c^2.k(k^2+1+k)]^3}\\=\frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{c^6.k^3(k^2+k+1)^3}\\=1=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}\)
\(\large{\mathbf{(ii)\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}}\) হলে, \(\large{\mathbf{\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}}}\) এর মান নির্ণয় করো।
\(\large{\mathbf{Solution}\\\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=1\\⇒\frac{a}{1-a}+1+\frac{b}{1-b}+1+\frac{c}{1-c}+1=1+3\\⇒\frac{a+1-a}{1-a}+\frac{b+1-b}{1-b}+\frac{c+1-c}{1-c}=4\\⇒\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}=4\quad\mathbf{Ans}}\)
Complete Solution of MP-22
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5=5
(i) প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রামাণ্য বিষয়: (i) ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ
(ii) ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
অঙ্কন: A, O এবং C, O যোগ করা হল।
প্রমাণ: ABC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠AOC = 2∠ADC
∴ ∠ADC = ¹/₂∠AOC – – – – (i)
আবার ADC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
∴ ∠ABC = ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠ADC + ∠ABC = ¹/₂∠AOC + ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC
= ¹/₂(∠AOC + প্রবৃদ্ধ∠AOC)
= ¹/₂×4 সমকোণ
= 2 সমকোণ
অনুরূপে B. O এবং D, O যোগ করে প্রমাণ করা যায় ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]
∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ[প্রমাণিত]
(ii) প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা এবং OD, AB জ্যা-এর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়: OD, AB জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে অর্থাৎ AD = DB
অঙ্কন: O, A এবং O, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: OD, AB জ্যা-এর উপর লম্ব।
∴ △ODA ও △ODB সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী △ODA ও △ODB-এর ক্ষেত্রে
∠ODA = ∠ODB – – – (প্রতিটি কোণ সমকোণ)
অতিভুজ OA = অতিভুজ OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এবং OD সাধারণ বাহু
△ODA ≅ △ODB – – – [R-H-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴ AD = DB [প্রমাণিত]
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3=3
(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

প্রদত্তঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা।
প্রামান্য বিষয়ঃ AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
অঙ্কনঃ CD কে G পর্যন্ত এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,
∠EAF = ∠BDE
∵ ED, ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
∴ ∠BDE = ∠EDG
∴ ∠EAF = ∠EDG – – – (i)
অনুরুপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,
∠EDG = ∠EAC – – – (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
∠EAG = ∠EAC
∴ EA, ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)
(ii) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
△BPC –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
(3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]
Complete Solution of MP-22
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5 = 5
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি ও 8 সেমি.। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে।)

(ii) 2.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি, দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্ব কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

12. যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×4=16
(i) 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।
Solution:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটাৱ
= 21 ডেসিমি
চৌবাচ্চার প্রস্থ = 1.5 মিটার
= 15 ডেসিমি
ধরি, জলের গভীরতা বৃদ্ধি পাবে = h ডেসিমি.
চৌবাচ্চায় ঢালা জলের আয়তন
= 630 লিটার
= 630 ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুসারে,
21 x 15 x h = 630
বা, h = 2
Ans: চৌবাচ্চার গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।
(ⅱ) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কত?
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h
= π×r²×2r ঘন ডেসিমি
= 2πr³ ঘন ডেসিমি
উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = π×r²×6r ঘন ডেসিমি
= 6π×r³ ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
6π×r³ – 2π×r³ = 539
বা, 4×²²/₇×r³ = 539
বা, r³ = 539×⁷/₂₂×¹/₄
বা, r³ = 49×⁷/₂×¹/₄
বা, r³ = (⁷/₂)³
বা, r = ⁷/₂
Ans: চোঙটির উচ্চতা = 2×⁷/₂ = 7 ডেসিমি
(iii) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাবুর উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।
∴ তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মিটার।
তাঁবুর ভিতরের আয়তন = 11 × 20 = 220 ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 220
⇒ ¹/₃×44×h = 220
⇒ ¹/₃×h = 5
∴h = 15
Ans: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।
(iv) 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি
∴ গোলকটির আয়তন = ⁴/₃π×8³ ঘন সেমি
নিরেট গোলাকার গুলির ব্যাসার্ধ (r) = 1 সেমি
∴ গুলির আয়তন = ⁴/₃π×1³ ঘন সেমি
ধরি, x টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
∴ x× ⁴/₃π×1³ = ⁴/₃π×8³
বা, x×1³ = 8³
বা, x = 512
Ans: নিরেট গোলাকার গুলি তৈরি করা যাবে 512টি।
(v) একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা, হলে, 1 ঘন ডেসিমি, চা-এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো।
Solution:
চা-এর বাক্সের ওজন
= (52.350 – 3.750) কিগ্রা
= 48.600 কিগ্ৰা।
চা-এর বাক্সের আয়তন
= (7.5 x 6 x 5.4) ঘন ডেসিমি.
= 243 ঘন ডেসিমি
243 ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন = 48.600 কিগ্ৰা।
∴ প্রতি ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন
= ^48.600/₂₄₃ কিগ্ৰা
= 0.2 কিগ্ৰা
= 200 গ্ৰাম।
Ans: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্ৰাম।
PREVIOUS
NEXT
JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply

Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply

PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply

ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply

NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply

Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply

SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply

Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree

KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree

SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE
January 18, 2024

Category: X-Mathematics

Complete Solution of MP-17 Mathematics

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো

Complete Solution of MP-17

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচিত করো। 1×6 = 6

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

Complete Solution of MP-17

3. সত্য বা মিথ্যা লেখ (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(ii) x = 2 + √3 হলে x + 1/x – এর মান হবে 2√3

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি) 2×10=20

(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?

(iii) সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x2 + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।

Complete Solution of MP-17

(vi) △ABC এর ∠ABC = 90o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

Complete Solution of MP-17

(ix) tan(θ + 15o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?

6. যে কোনো একটি সমাধান কর: 3

Complete Solution of MP-17

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3(i) সরল কর:

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও? 5

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

Complete Solution of MP-17

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(iii) যদি tan9o = a/b হয় তবে প্রমাণ কর যে,

13. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

Complete Solution of MP-17

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

Complete Solution of MP-22 Mathematics

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

Complete Solution of MP-22

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

Complete Solution of MP-22

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20

(ⅱ) কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে?

(iv) 7x2 – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?

(v) হরের করণী নিরসন করো:

(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।Solution:

Complete Solution of MP-22

5. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5×2=10

Complete Solution of MP-22

(iii) 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে?

6. যে কোনো দুটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3×2=6

(ii) সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।

(iii) m + 1/m=√3 হলে, (a) m2 + 1/m2 এবং (b) m3 + 1/m3 -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?Solution:

Complete Solution of MP-22

7. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) সরলতম মান নির্ণয় করো:

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3 = 3

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5=5

(i) প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3=3

(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

Complete Solution of MP-22

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5 = 5

12. যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×4=16

(ii) x = 2 + √3 হলে x + ¹/_x – এর মান হবে 2√3

(iii) সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x² + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।

(vi) △ABC এর ∠ABC = 90^o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

(ix) tan(θ + 15^o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল কর:

(iii) যদি tan9^o = ^a/_b হয় তবে প্রমাণ কর যে,

(iv) 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?

(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60^o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

(iii) m + ¹/_m=√3 হলে, (a) m² + ¹/_m² এবং (b) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?
Solution: