PROSTUTI

Category: CLASS-X

  • ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০ Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০ Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০
    Class -X

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    TRIGONOMETRY: CONCEPT OF MEASUREMENT OF ANGLE
    কষে দেখি 20

    জ্যামিতিক কোণঃ দুটি রেখাংশ একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ওই বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয় । OA ও OB দুটি রেখাংশ O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, তার ফলে O বিন্দুতে ∠AOB কোণ উৎপন্ন হয়েছে । এই  ∠AOB কে আমরা জ্যামিতিক কোণ বলি ।

    O A B > >
    অধ্যায়বিষয়কষে দেখি
    1একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
    (Quadratic Equations
    with one variable)
    		কষে দেখি – 1.1
    কষে দেখি – 1.2
    কষে দেখি – 1.3
    কষে দেখি – 1.4
    কষে দেখি – 1.5
    2সরল সুদকষা (Simple Interest)কষে দেখি – 2
    3বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to circle)    		কষে দেখি – 3.1
    কষে দেখি – 3.2
    4আয়তঘন
    (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)    		কষে দেখি – 4
    5অনুপাত ও সমানুপাত
    (Ratio and Proportion)    		কষে দেখি – 5.1
    কষে দেখি – 5.2
    কষে দেখি – 5.3
    6চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস
    (Compound Interest and
    Uniform Rate of Increase or Decrease)    		কষে দেখি – 6.1
    কষে দেখি – 5.2
    7বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to
    Angles in a Circle)    		কষে দেখি – 7.1
    কষে দেখি – 7.2
    কষে দেখি – 7.3
    8লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)কষে দেখি – 8
    9দ্বিঘাত করণী
    (Quadratic Surd)    		কষে দেখি – 9.1
    কষে দেখি – 9.2
    কষে দেখি – 9.3
    10বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)    		কষে দেখি – 10
    11সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন
    (Construction : Construction of circumcircle
    and incircle of a triangle)    		কষে দেখি – 11.1
    12গোলক (Sphere)কষে দেখি – 12
    13ভেদ (Variation)কষে দেখি – 13
    14অংশীদারি কারবার (Partnership Business)কষে দেখি – 14
    15বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Tangent to a Circle)    		কষে দেখি – 15.1
    কষে দেখি – 15.2
    16লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)কষে দেখি – 16
    17সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
    (Construction: Construction of Tangent to a circle)    		কষে দেখি – 17
    18সদৃশতা (Similarity)কষে দেখি – 18.1
    কষে দেখি – 18.2
    কষে দেখি – 18.3
    কষে দেখি – 18.4
    19বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
    (Real life Problems related to different Solid Objects)    		কষে দেখি – 19
    20ত্রিকোণমিতি:
    কোণ পরিমাপের ধারণা    		কষে দেখি – 20
    21সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
    (Construction : Determination of Mean Proportional )    		কষে দেখি – 21
    22পিথাগোরাসের উপপাদ্য
    (Pythagoras Theorem)    		কষে দেখি – 22
    23ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
    (Trigonometric Ratios and
    Trigonometric Identities)    		কষে দেখি – 23.1
    কষে দেখি – 23.2
    কষে দেখি – 23.3
    24পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
    (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )    		কষে দেখি – 24
    25ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব
    (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)    		কষে দেখি – 25
    26রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা,
    ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান
    (Statistics : Mean, Median,
    Ogive, Mode)    		কষে দেখি – 26.1
    কষে দেখি – 26.2
    কষে দেখি – 26.3
    কষে দেখি – 26.4

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    ত্রিকোণমিতিক কোণঃ একটি রেখাংশকে তার প্রান্ত বিন্দুতে স্থির রেখে
    যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘোরানো হয় , তবে সেই রেখার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে তার পরবর্তী অবস্থান সেই প্রান্তবিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন করে। 

    ↻ ↻O > A > B C >

    OA রেখাকে তার প্রান্তীয় বিন্দু O তে স্থির রেখে ঘড়ির কাঁটার দিকে  বা বিপরীতদিকে ঘুরিয়ে যথাক্রমে OC ও OB  অবস্থানে নিয়ে গেলে, প্রথম অবস্থানের সঙ্গে এই অবস্থানগুলি যথাক্রমে ∠COA এবং ∠BOA কোণ উৎপন্ন করে । এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলে ।

    সুতরাং জ্যামিতিক কোণের পরিমাপই হল মূল বিচার্য বিষয় । জ্যামিতিক কোণের পরিমাপ 0° থেকে 360° পর্যন্ত যেকোনো মানের হতে পারে, কিন্তু তার চেয়ে বড়ো হতে পারেনা ।
    কিন্তু ত্রিকোণমিতির কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণিয়মান রেখার দিক ও তার ফলে সৃষ্ট কোণের পরিমান উভয়ই বিচার করা হয় ।

    ⛔ ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ধনাত্মক কোণ  বলে । 
    বিপরীতক্রমে ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঋণাত্মক কোণ  বলে । 
    জ্যামিতিক কোণের  ক্ষেত্রে রেখাটি একপাক সম্পূর্ণ ঘোরার পর আবার ঘুরতে শুরু করলে কোণের মান নতুন করে 0° থেকে বাড়তে শুরু করবে । তারপর একপাক সম্পূর্ণ করলে আবার 360° হবে। কিন্তু কোণের মান কখনই 360° এর বেশি হবেনা ।
    ত্রিকোণমিতিক কোণ যে কোনো পরিমাপের হতে পারে, এমনকি ঋণাত্মকও ।
    ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (1×360+30)° = 390° ;

    আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (2×360+30)° = (720+30)°=750°
    আবার ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার  দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(1×360+30)° = -390°
    আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(2×360+30)° = -(720+30)°= -750°

    ⛔ কোণ পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতিঃ
    ত্রিকোণমিতিক কোন পরিমাপ সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে করা হয়।
    👉         (ক) ষষ্টিক পদ্ধতি ও 
    👉         (খ) বৃত্তীয় পদ্ধতি 
             
    👉 1. ষষ্ঠিক পদ্ধতিঃ   এই পদ্ধতিতে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি পুরো একপাক ঘুরে এলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে 360° ধরে তার চার ভাগের একভাগকে 90° বা এক সমকোণ ধরা হয় । এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে 90 টি সমান ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) বলে।
    এই পদ্ধতিতে অন্যান্য নিম্ন এককগুলি হল মিনিট ও সেকেন্ড।
    এদের মধ্যে সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলঃ
     ✴️ এক সমকোণ = 90° ( ডিগ্রি ) 
    ✴️ 1° ( ডিগ্রি ) = 60′ ( মিনিট )
    ✴️ 1′ ( মিনিট ) = 60” ( সেকেন্ড )

    👉 2. বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ  যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে যে ধ্রূবক সম্পর্কটি রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে।  যে কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চাপ সবসময় কেন্দ্রে একটি নিদিষ্ট পরিমান কোণ ধারণ করে। এই কোণের পরিমানকেই বৃত্তীয় পদ্ধতিতে একক ধরা হয় এবং তাকে এক রেডিয়ান বলা হয়।
    ✴️  রেডিয়ান ঃ কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ওর কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান বলে।

    👉 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোন।  একে 1c (এক রেডিয়ান

    ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

    $$\Large{\pi ^{c}=180^\circ\\\therefore1^{c}=\frac{180^\circ}{\pi}\\=\frac{180^\circ}{\frac{22}{7}}\\=\frac{180^\circ\times 7}{22}\\=\frac{90^\circ\times 7}{11}\\=\frac{630^\circ}{11}\\=57^\circ 16^{l}22^{ll}}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    👉 ষষ্টিক পদ্ধতি ও বৃত্তীয় পদ্ধতির সম্পর্কঃ
    1c = 57°16’22”

    ⛔ r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের s দৈর্ঘ্যের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় পরিমাপ θ হলে s = rθ হয়।

    পদ্ধতি দুটির এককগুলির মধ্যে সম্পর্কঃ 
    ষষ্ঠিক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি 
    360° = 2πc ;
    180° = πc ;
    90° = πc/2

    1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি :
    (i) 832′ (ii) 6312″
    (iii) 375″ (iv) 27 1/12°
    (v) 72.04″

    $$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 832’\\Ans:}\\832’\\=\frac{832′}{60}\\=13^o +52’\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 6312”\\Ans:}\\6312”\\=\frac{6312}{60}’\\=105\frac{12}{60}’\\=105’+\frac{1}{5}’\\=60’+45’+\frac{1}{5}×60”\\=1^o+45’+12”\\=1^o45’12”\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad 375”\\Ans:}\\375”\\=\frac{375}{60}’\\=\frac{25}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}×60”\\=6’+15”\\=6’15”\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 27\frac{1}{12}^o\\Ans:}\\27\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}×60’\\=27^o+5’\\=27^o5’\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 72.04^o\\Ans:}\\72.04^o\\=72^o+.04^o\\=72^o+.04×60’\\=72^o+2.4’\\=72^o+2’+.4’\\=72^o+2’+.4×60”\\=72^o+2’+24”\\=72^{o}2’24”\\-*-}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি :
    (i) 60° (ii) 135°
    (iii) -150° (iv) 72°
    (v) 22°30′ (vi) -62°30′
    (vii) 52°52’30” (viii) 40°16’24”

    $$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 60^o\\Ans:}\\60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\frac{π^c}{3}\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 135^o\\Ans:}\\135^o\\=135×\frac{π^c}{180}\\=3×\frac{π^c}{4}\\=\frac{3π^c}{4}\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad -150^o\\Ans:}\\-150^o\\=-150×\frac{π^c}{180}\\=-5×\frac{π^c}{6}\\=-\frac{5π^c}{6}\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 72^o\\Ans:}\\72^o\\=72×\frac{π^c}{180}\\=2×\frac{π^c}{5}\\=\frac{2π^c}{5}\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 22°30’\\Ans:}\\22°30’\\=22°+30’\\=22+\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=22°+\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(22+\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{44+1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{45}{2}\right)^o\\=\frac{45}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{1}{2}×\frac{π^c}{4}\\=-\frac{π^c}{8}\\-*-\\\mathbf{(vi)\quad\quad -62°30’\\Ans:}\\-62°30’\\=-62°-30’\\=-62-\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=-62°-\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(-62-\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-124-1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-125}{2}\right)^o\\=\frac{-125}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{-25}{2}×\frac{π^c}{36}\\=-\frac{25π^c}{72}\\-*-}$$

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    $$\Large{\mathbf{(vii)\quad\quad 52°52’30”\\Ans:}\\52°52’30”\\=52°+52’+30”\\=52°+52’+\left(\frac{30}{60}\right)’\\=52°+52’+\left(\frac{1}{2}\right)’\\=52°+\left(52+\frac{1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{104+1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{105}{2}\right)’\\=52°+\left(\frac{105}{2×60}\right)^o \\=52°+\left(\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(52+\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{416+7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{423}{8}\right)^o\\=\frac{423}{8}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{47}{8}×\frac{π^c}{20}\\=\frac{47π^c}{160}\\-*-\\\mathbf{(viii)\quad\quad 40°16’24”\\Ans:}\\40°16’24”\\=40°+16’+24”\\=40°+16’+\left(\frac{24}{60}\right)’\\=40°+16’+\left(\frac{2}{5}\right)’\\=40°+\left(16+\frac{2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{80+2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{82}{5}\right)’\\=40°+\left(\frac{82}{5×60}\right)^o \\=40°+\left(\frac{41}{5×30}\right)^o\\=40°+\left(\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(40+\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6000+41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6041}{150}\right)^o\\=\frac{6041}{150}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{6041π^c}{27000}\\-*-}$$


    3. ΔABC-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি ∠ACD=144° হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    A B C D


    ΔABC-এর AC = BC
    ∴ ∠BAC = ∠ABC
    ∵ ∠ACD=144°
    ∴ ∠ACB = 180° – 144°
    = 36°
    = 36×π/180
    = πc/5
    ∴ ∠BAC + ∠ABC = πc – πc/5
    = 4πc/5
    ∴ ∠BAC = ∠ABC = ½×4πc/5
    = 2πc/5
    Ans: ΔABC-এর তিনটি কোণের মান ∠ABC = 2πc/5;
    ∠BCA = πc/5;
    ∠CAB = 2πc/5;

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
    কষে দেখি 20

    4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 হলে, যষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি ।
    সমাধানঃ
    ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
    ∴ অপর কোণটি 90° – θ
    2π/5 = 2×180°/5 =72°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ – (90° – θ) = 72°
    বা, θ – 90° + θ = 72°
    বা, 2θ = 72° + 90°
    বা, 2θ = 162°
    বা, θ = 81°
    ∴ অপর কোণটি = 90° – 81° = 9°
    Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 81° ও 9°;

    5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ π/12; তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    একটি কোণের পরিমাপ = 65° এবং
    দ্বিতীয়টির পরিমাপ = π/12
    = 180°/12 = 15°
    ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
    ∴ তৃতীয় কোণটির মান
    = 180° – (65°+15°)
    = 180° – 80°
    = 100°
    = 100 × πc/180
    = 5πc/9
    Ans: তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে 100° ও 5πc/9

    6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি ।
    সমাধানঃ
    ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
    ∴ অপর কোণটি 135° – θ
    π/12 = 180°/12
    =15°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ – (135° – θ) = 15°
    বা, θ – 135° + θ = 15°
    বা, 2θ = 15° + 135°
    বা, 2θ = 150°
    বা, θ = 75°
    বা, θ = 75 × πc/180
    বা, θ = 5πc/12
    ∴ অপর কোণটি = 135° – 75°
    = 60°
    = 60°× πc/180
    = πc/3
    Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60° ও 75° এবং
    বৃত্তীয় মান যথাক্রমে πc/3 ও 5πc/12

    7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = πc
    ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত = 2:3:4;
    ∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান
    = πc × 4/9
    = 4πc/9
    Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4πc/9

    8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    এখানে, s = 5.5 সেমি
    r = 28 সেমি
    আমরা জানি, s = rθ

    $$ \Large{\therefore θ =\frac{s}{r}\\⇒θ =\frac{5.5}{28}\\⇒θ =\frac{55}{28×10}\\⇒θ =\frac{11}{28×2}\\⇒θ =\frac{11×2}{28×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7×4×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7}×\frac{1}{16}\\⇒θ =π^{c}×\frac{1}{16}\\⇒θ =\frac{π^{c}}{16}}$$

    Ans: কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = πc/16

    9.একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    ধরি, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান θ
    এখানে, দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°
    প্রশ্নানুযায়ী,
    θ : 30° = 5:2
    বা, θ = 30° × 5/2
    বা, θ = 75°
    বা, θ = 75 × π/180
    বা, θ = 5πc/12
    Ans: প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান = 75°
    ও বৃত্তীয় মান = 5πc/12

    10.একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি –51/12 π কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    কোনটি ঋণাত্মক
    ∴ রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে আবর্তন করেছে।
    51/12 π
    = 5π + π/12
    = 4π + π + π/12
    = 2×2π + 180° + 180°/12
    = 2×2π + 180° + 15°
    = 2×2π + 195°
    ঘূর্ণায়মান রশ্মি একবার পূর্ণ আবর্তনে 2π কোণ উৎপন্ন করে।
    Ans: রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে।
    তারপরে আরও 195° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে।

    11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভূত কোণ ∠ABC = 45°; ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ABD, ∠BAD, ∠CBD এবং ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    B A C D

    ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক BD
    ∴ ∠ABD = ∠CBD
    এখানে, ∠ABC = 45°
    ∴ ∠ABD = ∠CBD
    = 45°/2
    = 45/2×πc/180
    = πc/8
    ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180° – ∠ABC
    = 180° – 45°
    = 135°
    ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC;
    ∴ ∠BAD = ∠BCD
    = 135°/2
    = 135/2×πc/180
    = 3πc/8
    Ans:
    ∠ABD-এর বৃত্তীয় মান = πc/8
    ∠BAD-এর বৃত্তীয় মান = 3πc/8
    ∠CBD-এর বৃত্তীয় মান = πc/8
    ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান = 3πc/8

    12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

    ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB = BC = CA আবার CE = BC ∴ CE = AC ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60° B E C A

     ∴∠ACE = 180° – ∠ACB
    = 180° – 60°
    = 120°
    = (120/180)π
    = ⅔π
    ∵ AC = CE
    ∴ ∠CAE = ∠ CEA
    = (180° – 120°)/2
    = 60°/2
    = 30°
    = π/6
    Ans: ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান হল-
    ∠ACE-এর বৃত্তীয় মান ⅔π
    ∠CAE-এর বৃত্তীয় মান π/6
    ∠AEC-এর বৃত্তীয় মান π/6

    13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3, 5π/6 ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ
    π/3 = 180°/3
    = 60°;
    5π/6 = 5×180°/6
    = 150°
    ∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
    = 360° – (60° + 150° + 90°)
    = 360° – 300°
    = 60°
    = 60°×3/3
    = 180°/3
    = π/3
    Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
    বৃত্তীয় মান = π/3

    14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

    (i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে (a) π/4 রেডিয়ান (b) π/2 রেডিয়ান (c) π রেডিয়ান (d) 2π রেডিয়ান
    Ans: 2π রেডিয়ান

    (ii) π/6 রেডিয়ান সমান (a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
    Ans: (d) 30°
    [π/6 = 180°/6 = 30°]

    (iii)একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান (a) π/3 (b) 2π/3 (c) π/6 (d) π/4
    Ans: (b) 2π/3

    [একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান $$\Large{\frac{(2n-4)×π}{2n}\\=\frac{(2×6-4)×π}{2×6}\\=\frac{8×π}{2×6}\\=\frac{2π}{3}}]$$


    (iv) s =rθ সম্পর্কে θ-এর পরিমাপ করা হয় (a) যষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতেই নয়। Ans. (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

    (v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের ∠A = 120° হলে, ∠C-এর বৃত্তীয় মান
    (a) π/3 (b) π/6 (c) π/2 (d) 2π/3
    Ans. (a) π/3
    [বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়।
    ∴ ∠A + ∠C = 180°
    বা, ∠C = 180° – ∠A
    বা, ∠C = 180° – 120°
    = 60° = π/3]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

    (i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।
    Ans. বিবৃতিটি সত্য।

    (ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দু-বার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
    Ans. বিবৃতিটি সত্য।

    (C) শূন্যস্থান পুরণ করি :
    (i) π রেডিয়ান একটি _____________ কোণ।
    Ans. ধ্রুবক

    (ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _____________ (প্রায়)।
    Ans. 57°16’22”

    (iii) 3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান _____________ ।
    Ans. 5π/8

    [3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান $$=π-\frac{3π}{8}\\=\frac{8π-3π}{8}\\=\frac{5π}{8}\\Ans. \quad \frac{5π}{8}$$]

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 এখানে CLICK করো।

    15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

    (i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, R/D-এর মান নির্ণয় করি।
    সমাধান:
    π রেডিয়ান = 180°
    ∴ 1 রেডিয়ান = 180/π
    বা, R রেডিয়ান = 180R/π
    প্রশ্নানুসারে,
    D = 180R/π
    ∴ R/D = π/180
    Ans: R/D-এর মান π/180

    (ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান লিখি।
    সমাধান:
    63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণ
    = 90° – 63°35’15”
    = 89°59’60” – 63°35’15”
    = 26°24’45”
    Ans: 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান 26°24’45”

    (ii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″ হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
    সমাধান:
    দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″
    কোণদুটির সমষ্টি
    = 65°56’55” + 64°3’5″
    = 129°59’60”
    =129°59′ – – – [∵ 60″ = 1′]
    =130° – – – – – [∵ 60′ = 1°]
    ∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্ঠিক মান
    = 180° – 130°
    = 50°
    Ans: তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 50 ×π/180 = 5πc/18

    (iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
    সমাধান:

    এখানে, s = 220 সেমি; θ = 63° $$s = 22 cm;\\ θ = 63°\\=63×\frac{π^c}{180}\\=63×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{63×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{11}{10}\right)^c$$আমরা জানি s= rθ$$\therefore 220=r×\frac{11}{10}\\⇒r=\frac{220×10}{11}=200$$Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।


    (v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
    সমাধান:
    ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে 360°/12 = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
    180° = πc
    ∴ 1° = πc /180
    বা, 30° = πc × 30/180
    = πc/6 
    Ans: কোণটির বৃত্তীয় মান πc/6

  • দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 Solution of Compound Interest 

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 Solution of Compound Interest 

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1
    Solution of Compound Interest

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1
    Solution of Compound Interest

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    🔷  চক্রবৃদ্ধি সুদ  ঃ কোন নির্দিষ্ট সমযের শেষে অর্জিত সুদ মূলধনের সাথে যুক্ত করে ওই সুদ-আসলকে পরবর্তী নির্দিষ্ট সময়ের জন্য নতুন মূলধন হিসেবে গণ্য করে যখন পুনরায় সুদ হিসাব করা হয়, তখন সেই সুদকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলে। 
    ▶️ সমূল চক্রবৃদ্ধি ঃ মূলধন ও নির্দিষ্ট সময়ের চক্রবৃদ্ধি সুদের সমষ্টিকে সমূল চক্রবৃদ্ধি বলা হয়।
    🔷 চক্রবৃদ্ধি সুদের পর্ব ঃ যে সময়ের পর চক্রবৃদ্ধি সুদ দেওয়া হয় তাকে চক্রবৃদ্ধি সুদের পর্ব বলে।      
    আসল = P টাকা
    সময় = n বছর
    সুদের হার = r%
    সমূল চক্রবৃদ্ধি = A টাকা এবং
    চক্রবৃদ্ধি সুদ = I টাকা হলে,

    ⛔ সমূল চক্রবৃদ্ধি ঃ $$$$$$A = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n\\}$$⛔ সুদ 1 বছর অন্তর অর্থাৎ 1 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n\\}$$⛔ সুদ 6 মাস অন্তর অর্থাৎ 2 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{2}}}{{100}}} \right)^{2n}\\}$$⛔ সুদ 4 মাস অন্তর অর্থাৎ 3 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{3}}}{{100}}} \right)^{3n}\\}$$⛔ সুদ 3 মাস অন্তর অর্থাৎ 4 টি পর্বে দেওয়া হলে ঃ$$A = P{\left( {1 + \frac{{\frac{r}{4}}}{{100}}} \right)^{4n}\\}$$

    ⛔ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে সুদের হার যথাক্রমে r1%, r2%, r3% হলে ঃ

    $$\Large{A=P\left(1+\frac{r_1}{100}\right)\left(1+\frac{r_2}{100}\right)\left(1+\frac{r_3}{100}\right)\\}$$

    ⛔ t বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে ঃ

    $$\Large{P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}-1 \right ]}\\$$

     1. আমার কাছে 5000 টাকা আছে। আমি ওই টাকা একটি ব্যাংকে বার্ষিক 8.5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে জমা রাখলাম। 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট কত টাকা পাব হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=5000×\left ( 1+\frac{8.5}{100} \right )^{2}\\=5000×\left ( 1+\frac{85}{1000} \right )^{2}\\=5000×\left ( 1+\frac{17}{200} \right )^{2}\\=5000×\left ( \frac{217}{200} \right )^{2}\\=5000×\frac{217×217}{200×200}\\=\frac{217×217}{8}\\=5886.13}\)

    Ans: 2 বছরের শেষে সুদে-আসলে মোট 5886.13 টাকা পাব। 

    2. 5000 টাকার বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
        প্রদত্ত,
    আসল = 5000 টাকা
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
                  সময় (t) = 3 বছর।
         আমরা জানি,
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=5000×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{3}\\=5000×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{2}\\=5000×\left ( \frac{25+2}{25} \right )^{3}\\=5000×\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}\\=5000×\frac{27×27×27}{25×25×25}\\=8×\frac{27×27×27}{25}\\=\frac{157464}{25}\\=6298.56}\)

     Ans: 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 6298.56 টাকা।

    3.গৌতমবাবু 2000 টাকা বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের জন্য ধার নিয়েছেন। 2 বছর পরে তিনি কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ দেবেন তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
        প্রদত্ত,
    আসল = 2000 টাকা
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 6%
                  সময় (t) = 2 বছর।
         আমরা জানি,
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=2000×\left ( 1+\frac{6}{100} \right )^{2}\\=2000×\left ( 1+\frac{3}{50} \right )^{2}\\=2000×\left ( \frac{50+3}{50} \right )^{2}\\=2000×\left ( \frac{53}{50} \right )^{2}\\=2000×\frac{53×53}{2500}\\=4×\frac{53×53}{5}\\=\frac{11236}{5}\\=2247.20}\)

    Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
    = (2247.20 – 2000) টাকা
    = 247.20 টাকা

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    4. 30000 টাকার বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
        প্রদত্ত,
    আসল = 30000 টাকা
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
                  সময় (t) = 3 বছর।
         আমরা জানি,
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=30000×\left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{3}\\=30000×\left ( \frac{100+9}{100} \right )^{3}\\=30000×\left ( \frac{109}{100} \right )^{3}\\=30000×\frac{109×109×109}{1000000}\\=3×\frac{109×109×109}{100}\\=38850.87}\)

    Ans: 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
    = (38850.87 – 30000) টাকা
    = 8850.87 টাকা

    5. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 80000 টাকার 2½ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে, তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
        প্রদত্ত,
    আসল = 80000 টাকা
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
                  সময় (t) = 2½ বছর।
         আমরা জানি,
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=80000×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{2}\\=80000×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{2}\\=80000×\left ( \frac{21}{20} \right )^{2}\\=80000×\frac{441}{400}\\=200×441\\=88200}\)

    পরবর্তী 1/2 বছরের ক্ষেত্রেঃ
    আসল = 88200 টাকা
         বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
         সময় (t) = 1/2 বছর।
    পরবর্তী 1/2 বছরের সুদ

    \(\Large{=\frac{P×r×t}{100}\\=\frac{88200×5×1}{100×2}\\=441×5\\=2205}\)

    Ans: 21/2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে
    = (88200+2205) টাকা
    = 90405 টাকা

    6. ছন্দাদেবী বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের জন্য ধার করেন। চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা হলে, ছন্দাদেবী কত টাকা ধার করেছিলেন নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    ধরি, ছন্দাদেবী P টাকা ধার করেছিলেন।
         প্রদত্ত,
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
                  সময় (t) = 2 বছর।
                  চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2496 টাকা।
        আমরা জানি,
    t বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

    \(\Large{=P×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{2}\\=P×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{2}\\=P×\left ( \frac{27}{25} \right )^{2}\\=P×\frac{729}{625}\\=\frac{729P}{625}}\)

    প্রশ্নানুযায়ী,

    \(\Large{\frac{729P}{625}-P=2496\\⇒\frac{729P-625P}{625}=2496\\⇒\frac{104P}{625}=2496\\⇒P=\frac{2496×625}{104}\\⇒P=24×625\\⇒P=1500}\)

    Ans: ছন্দাদেবী 15000 টাকা ধার করেছিলেন।

    7. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধির হার সুদে কোন আসলের 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 2648 হবে, তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, আসল = P টাকা,
                  সবৃদ্ধিমূল = A টাকা।
        প্রদত্ত,
                  বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
                  সময় (t) = 3 বছর।
                  চক্রবৃদ্ধি সুদ (I) = 2648 টাকা।
        আমরা জানি,
    t বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে,

    \(\Large{=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}-1 \right ]}\)

    ∴ 3 বছরেরচক্রবৃদ্ধি সুদ

    \(\Large{=P\left [ \left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{11}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{1331}{1000}-1 \right )\\=P×\frac{331}{1000}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad P×\frac{331}{1000}=2648\\⇒P=2648×\frac{1000}{331}\\⇒P=8×1000\\ \therefore P=8000}\)

    Ans: নির্ণেয় আসলের পরিমাণ 8000 টাকা।

    দশম শ্রেণির জৈব যৌগ-এর হাইড্রোকার্বনের উপর video tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।

    8. রহমতচাচা বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখে 2 বছর পরে সুদে-আসলে 29702.50 টাকা ফেরত পেলেন। রহমতচাচা কত টাকা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    ধরি, আসল = P টাকা,
      প্রদত্ত,
            সবৃদ্ধিমূল (A) = 29702.50 টাকা।
            বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
            সময় (t) = 2 বছর।
        আমরা জানি,
    t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,

    \(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে

    ,\(\Large{=P\left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{2}\\=P\left ( \frac{9+100}{100} \right )^{2}\\=P\left ( \frac{109}{100} \right )^{2}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad P\left ( \frac{109}{100} \right )^{2}=29702.50\\⇒ x=\frac{2970250×100×100}{100×109×109}\\⇒ x=\frac{27250×100}{109}\\⇒ x=250×100\\ \therefore x=25000}\) Ans: রহমতচাচা সমবায় ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন 25000 টাকা।

    9. বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি ।

    সমাধানঃ
    ধরি, আসল (P) = x টাকা
      প্রদত্ত, 
        বার্ষিক সুদের হার (r) = ৪%
    সমূল চক্রবৃদ্ধি = 31492.80 টাকা
        সময় (t) = 3 বছর।
      আমরা জানি,
    t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,

    \(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}}\)

    ∴ 3 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে

    ,\(\Large{=x\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{3}\\=x\left ( 1+\frac{2}{25} \right )^{3}\\=x\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad x\left ( \frac{27}{25} \right )^{3}=31492.80\\⇒ x=\frac{3149280×25×25×25}{100×27×27×27}\\⇒ x=\frac{11664×25×25×25}{10×27×27}\\⇒ x=\frac{432×25×25×5}{2×27}\\⇒ x=\frac{16×25×25×5}{2}\\\therefore x=25000}\)Ans: আসলের পরিমাণ 25000 টাকা।

    10. বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ  
      প্রদত্ত, 
        আসল (P) = 12000 টাকা,
        বার্ষিক সুদের হার (r) = 7.5%
        সময় (t) = 2 বছর।
      আমরা জানি,

    2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ\(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=12000\left [ \left ( 1+\frac{7.5}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000\left [ \left ( 1+\frac{3}{40} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000\left [ \left ( \frac{43}{40} \right )^{2}-1 \right ]\\=12000 \left( \frac{1849}{1600}-1 \right )\\=12000 × \frac{249}{1600}\\=15×\frac{249}{2}\\=\frac{3735}{2}\\=1867.50}\)2 বছরের সরল সুদ\(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{12000×7.5×2}{100}\\=120×15\\=1800}\)2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য\(\Large{=I_{1}-I_{2}\\=1867.50-1800\\=67.50}\)Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 67.50 টাকা।

    11. 10,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য হিসাব করে লিখি।          
    সমাধানঃ  
      প্রদত্ত, 
        আসল (P) = 10000 টাকা,
        বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
        সময় (t) = 3 বছর।
    3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

    \(\large{I_{1}=P\left (1+\frac{r}{100}\right)^{3}-P\\\quad =P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100}\right )^{3}-1\right ]\\\quad =10000\left [\left (1+\frac{5}{100}\right)^{3}-1\right]\\\quad =10000\left [\left (1+\frac{1}{20}\right)^{3}-1\right]\\\quad =10000\left [\left (\frac{21}{20}\right)^{3}-1\right ]\\\quad =10000\left(\frac{9261}{8000}-1\right)\\\quad =10000 ×\frac{1261}{8000}\\\quad =5×\frac{1261}{4}\\\quad =\frac{6305}{4}\\\quad =1576.25}\)

    3 বছরের সরল সুদ
    3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য
    = I1 – I2
    ⇒ 1576.25 টাকা – 1500 টাকা
    = 76.25 টাকা
    Ans: 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 76.25 টাকা।

    পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি দেখতে এখানে CLICK করো

    12. বার্ষিক 9% সুদের হারে কিছু টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ      
    ধরি, আসল = P টাকা।
    চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা
      ধরি, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I1
      প্রদত্ত, 
            বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
            সময় (t) = 2 বছর।

    2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{9}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{109}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{11881}{10000} -1 \right )\\=P × \frac{11881-10000}{10000}\\=\frac{1881P}{10000}}\) 2 বছরের সরল সুদ \(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×9×2}{100}\\=\frac{18P}{100}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad I_{1}-I_{2}=129.60\\\therefore \frac{1881P}{10000}-\frac{18P}{100}=129.60\\⇒\frac{1881P-1800P}{10000}=\frac{12960}{100}\\⇒\frac{81P}{100}=12960\\⇒81P=1296000\\⇒P=16000}\)

    Ans: টাকার পরিমাণ 16,000 টাকা।

    13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অস্তর 930 টাকা হয়, তবে এই টাকার পরিমাণ কত হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ      
    ধরি, আসল = P টাকা।
    চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা
      ধরি, 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I1
      প্রদত্ত, 
            বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
            সময় (t) = 3 বছর।
    3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

    \(\Large{\quad I_{1}=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{3} – P\\=P\left [ \left ( 1+\frac{10}{100} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( 1+\frac{1}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P\left [ \left ( \frac{11}{10} \right )^{3}-1 \right ]\\=P \left ( \frac{1331}{1000} -1 \right )\\=P × \frac{331}{1000}\\=\frac{331P}{1000}}\) 3 বছরের সরল সুদ \(\Large{\quad I_{2}=\frac{Prt}{100}\\=\frac{P×10×3}{100}\\=\frac{3P}{10}}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{I_{1}-I_{2}=930\\\therefore \frac{331P}{1000}-\frac{3P}{10}=930\\⇒\frac{331P-300P}{1000}=930\\⇒\frac{31P}{1000}=930\\⇒31P=930.1000\\=30000}\)

    Ans: টাকার পরিমাণ 30,000

    14. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 7% এবং দ্বিতীয় বছর ৪% হয়, তবে 6000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    আসল = 6000 টাকা
    প্রথম বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 7%
    দ্বিতীয় বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 8%
    1 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে

    ,\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=6000×\left ( 1+\frac{7}{100} \right )^{1}\\⇒A=6000×\frac{100+7}{100}\\⇒A=6000×\frac{107}{100}\\⇒A=60×107\\⇒A=6420}\)

    ∴ 1 বছর পর আসল বেড়ে হবে 6420 টাকা।
    2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,

    \(\Large{A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=6420×\left ( 1+\frac{8}{100} \right )^{1}\\⇒A=6420×\left ( 1+\frac{2}{25} \right )\\⇒A=6420×\frac{25+2}{25}\\⇒A=6420×\frac{27}{25}\\⇒A=1284×\frac{27}{5}\\⇒A=\frac{1284×27}{5}\\⇒A=\frac{34668}{5}\\⇒A=6933.60}\)


    Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 6933.60 – 6000
    = 933.60 টাকা

    15. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    আসল = 5000 টাকা
    প্রথম বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%
    দ্বিতীয় বছর বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 6%
    1 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,

    \(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=5000×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{1}\\⇒A=5000×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )\\⇒A=5000×\frac{20+1}{20}\\⇒A=5000×\frac{21}{20}\\⇒A=250×21\\⇒A=5250}\)

    ∴ 1 বছর পর আসল বেড়ে হবে 5250 টাকা।
    2 বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে,

    \(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{t}\\⇒A=5250×\left ( 1+\frac{6}{100} \right )^{1}\\⇒A=5250×\left ( 1+\frac{3}{50} \right )\\⇒A=5250×\frac{50+3}{50}\\⇒A=5250×\frac{53}{50}\\⇒A=105×53\\⇒A=5565}\)

    Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 5565-5000
    = 565 টাকা

    বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ 200টি আবিষ্কার ও আবিষ্কারকের নাম জানতে এখানে CLICK করো।

    16. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ      
    ধরি, আসল = P টাকা।
              বার্ষিক  সুদের হার = r%
      প্রদত্ত,
              সময় (t) = 1 বছর।
          1 বছরের সরল সুদ (I) = 50 টাকা
          2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 102 টাকা
      আমরা জানি,
    t বছরের সরল সুদ,

    \(\Large{\quad I=\frac{Prt}{100}\\\therefore 50=\frac{p\times r\times 1}{100}\\\therefore \frac{pr}{100}=50 . . . (i)}\)

    1 বছরের সরল সুদ = 50 টাকা
    ∴ 2 বছরের সরল সুদ = 2×50 = 100 টাকা
    আবার চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,
    দ্বিতীয় বছরের শুরুতে আসলের পরিমাণ = (p+50) টাকা
    দ্বিতীয় বছরের শেষে সরল সুদের পরিমাণ

    \(\Large{=\frac{( P + 50)×1×r}{100}\\=\frac{\left ( p + 50 \right ) r}{100}…(ii)}\)

    (ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

    \(\Large{\frac{\left ( P + 50 \right )r}{100}-\frac{Pr}{100}=102-100\\⇒\frac{Pr + 50r – Pr}{100}=2\\⇒50r=2\times 100\\⇒50r=200\\⇒r=4\\}\)(i) নং সমীকরণে r=4 বসিয়ে পাই,\(\Large{\quad\frac{P\times 4}{100}=5\\⇒P=\frac{50\times 100}{4}\\⇒P=1250}\)

    Ans: মূলধনের পরিমাণ 1250 টাকা ও
    বার্ষিক সুদের হার 4 টাকা।

    17. কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
    সমাধানঃ      
    ধরি, আসল = P টাকা।
              এবং বার্ষিক  সুদের হার = r%
      প্রদত্ত,
              সময় (t) = 2 বছর।
              2 বছরের সরল সুদ ( I ) = 8400 টাকা
              2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 8652 টাকা।
                    সরল সুদের ক্ষেত্রে ঃ
      আমরা জানি,

    \(\Large{\quad I=\frac{Prt}{100}\\\therefore 8400=\frac{pr\times 2}{100}\\⇒\frac{pr}{100}=\frac{8400}{2}\\⇒\frac{pr}{100}=4200\quad….. (i)}\)

    চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে ঃ
    চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল

    \(\Large{\therefore 8652=P\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2} – P\\⇒8652=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1 \right ]\\⇒8652=P\left [ \left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{2}-1^{2}\right ]\\⇒8652=P\left ( 1+\frac{r}{100}+1 \right )\left ( 1+\frac{r}{100}-1 \right )\\⇒8652=P\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\times \left ( \frac{r}{100} \right )\\⇒8652=\left ( \frac{Pr}{100} \right )\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\\⇒8652=4200\times \left ( 2+\frac{r}{100} \right )\\⇒\left ( 2+\frac{r}{100} \right )=\frac{8652}{4200}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{8652}{4200}-2\\⇒\frac{r}{100}=\frac{8652-8400}{4200}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{252}{4200}\\\therefore r=\frac{252\times 100}{4200}=6\\}\) (i) নং সমীকরণে r = 6 বসিয়ে পাই,\(\Large{\quad \frac{P\times 6}{100}=4200\\\therefore P=\frac{4200\times 100}{6}\\=70000}\)

    Ans: মূলধন 70000 টাকা ও
    বার্ষিক সুদের হার 6 টাকা

    18. 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    ∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
                সুদের পর্ব (n) = 6 মাস = 12/6 = 2
                সুদের হার (r)  = 8%
                আসল (P) = 6000 টাকা
                সময় (t) = 1 বছর
          আমরা জানি,
    1 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে,

    \(\Large{\quad I=P\left[\left ( 1+\frac{r}{100n} \right )^{nt}-1\right]\\=6000\left[\left ( 1+\frac{8}{100\times 2} \right )^{2\times 1}-1\right]\\=6000\left[\left ( 1+\frac{1}{25} \right )^{2}-1\right]\\=6000\left[\left ( \frac{25+1}{25} \right )^{2}-1\right]\\=6000\left[\left ( \frac{26}{25} \right )^{2}-(1)^2\right]\\=6000\left ( \frac{26+25}{25} \right )\left ( \frac{26+25}{25} \right )\\=6000\times \frac{51}{25}\times \frac{1}{25} \\=48\times \frac{51}{5} \\=\frac{2448}{5} \\=489.60}\)

    Ans: 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 489.60 টাকা

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ

    19. 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6250 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
          ∵ 3 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
                সুদের পর্ব (n) = 3 মাস = 12/3 = 4
                সুদের হার (r)  = 10%
                আসল (P) = 6250 টাকা
                সময় (t) = 9 মাস = 9/12 = ¾ বছর
          আমরা জানি,
    t বছর পর সবৃদ্ধিমূল হবে

    ,\(\Large{\quad A=P\left ( 1+\frac{r}{100n} \right )^{nt}\\⇒A=6250\left ( 1+\frac{10}{100\times 4} \right )^{4\times \frac{3}{4}}\\⇒A=6250\left ( 1+\frac{1}{40} \right )^3\\⇒A=6250\left (\frac{40+1}{40} \right )^3\\⇒A=6250\times \frac{41\times 41\times 41}{40\times 40\times 40}\\\therefore A=6730.566\\A=6730.57}\)

    ∵ চক্রবৃদ্ধি সুদ = সবৃদ্ধিমূল (A) − আসল (P)
                          = 6730.57-6250.00
                          = 480.57
      উত্তর : নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি সুদ 480.57 টাকা (প্রায়)।

    বিপ্রতীপ কোণ Opposite angles / Vertical angles / Vertically Opposite angles. Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।

    20. যদি 60000 টাকার 2 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি 69984 টাকা হয়, তবে বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত,
                বার্ষিক সুদের হার (r)  = r (ধরি)
                আসল (P) = 60000 টাকা
                সমূল চক্রবৃদ্ধি = 69984 টাকা
                সময় (n) = 2 বছর
    ∴ 2 বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=60000 \left(1 + \frac{r}{100} \right)^2\\= 60000\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 60000\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=69984\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{69984}{60000}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{11664}{10000}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{2916}{2500}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\frac{729}{625}\\⇒\left( \frac{100+r}{100} \right)^2=\left(\frac{27}{25}\right)^2\\⇒\frac{100+r}{100}=\frac{27}{25}\\⇒\frac{100+r}{4}=27\\⇒100+r=108\\⇒r=8}\)

    উত্তর : নির্ণেয় বার্ষিক সুদের হার 8%

    21. বার্ষিক ৪% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত,
                বার্ষিক সুদের হার (r)  = 8%
                আসল (P) = 40000 টাকা
                সমূল চক্রবৃদ্ধি = 46656 টাকা
                সময় (n) = t বছর (ধরি)
    ∴ t বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=40000 \left(1 + \frac{8}{100} \right)^t\\=40000 \left(1 + \frac{2}{25} \right)^t\\= 40000\left( \frac{25 + 2}{25} \right)^t\\= 40000\left( \frac{27}{25} \right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 40000\left( \frac{27}{25} \right)^t=46656\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{46656}{40000}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{11664}{10000}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\frac{729}{625}\\⇒\left( \frac{27}{25} \right)^t=\left(\frac{27}{25}\right)^2\\\therefore t=2}\) উত্তর : নির্ণেয় সময় 2 বছর।

    22. শতকরা বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি। 

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত,
                বার্ষিক সুদের হার (r)  = r% (ধরি)
                আসল (P) = 10000 টাকা
                সমূল চক্রবৃদ্ধি = 12100 টাকা
                সময় (n) = 2 বছর 
    ∴ 2 বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=10000{ \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^2}\\= 10000{\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2}\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 10000{\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2}=12100\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\frac{12100}{10000}\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\frac{121}{100}\\⇒\left( \frac{100 + r}{100} \right)^2=\left(\frac{11}{10}\right)^2\\⇒\frac{100 + r}{100} =\frac{11}{10}\\⇒\frac{100 + r}{10} =11\\⇒100+r=110\\⇒r=10}\)

    উত্তর : নির্ণেয় বার্ষিক সুদের হার 10%

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ

    23. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ
    প্রদত্ত,
                বার্ষিক সুদের হার (r)  = 10%
                আসল (P) = 50000 টাকা
                সমূল চক্রবৃদ্ধি = 60500 টাকা
                সময় (n) = t বছর (ধরি)
    ∴ n বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\\=50000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^t\\=50000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^t\\=50000\left( \frac{11}{10} \right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 50000\left( \frac{11}{10} \right)^t=60500\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{60500}{50000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{121}{100}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\left(\frac{11}{10}\right)^2\\⇒t=2}\)উত্তর : নির্ণেয় সময় 2 বছর।
    prostuti_home
    দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

    24. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরের 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 399300 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত,
                বার্ষিক সুদের হার (r)  = 10%
                আসল (P) = 300000 টাকা
                সমূল চক্রবৃদ্ধি = 399300 টাকা
                সময় (n) = t বছর (ধরি)
    ∴ n বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\\=300000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^t\\=300000\left(1+\frac{1}{10}\right)^t\\=300000\left(\frac{11}{10}\right)^t\\}\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\Large{\quad 300000\left(\frac{11}{10}\right)^t=399300\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{399300}{300000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\frac{1331}{1000}\\⇒\left( \frac{11}{10} \right)^t=\left(\frac{11}{10}\right)^3\\⇒t=3}\)

    উত্তর : নির্ণেয় সময় 3 বছর।

    25. সুদের পর্ব 6 মাস হলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1600 টাকার 1½ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সুদ-আসল নির্ণয় করি।
    সমাধানঃ

                সুদের পর্ব 6 মাস = 12/6 = 2
                সুদের হার (r)  = 10%
                আসল (P) = 1600 টাকা
                সময় (n) = 1½ বছর = 3/2 বছর
          1½ বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

    \(\Large{=P{\left( {1 + \frac{r}{{200}}} \right)^{2n}}\\=1600\times {\left( {1 + \frac{10}{{200}}} \right)^{2\times \frac{3}{2}}}\\=1600\times {\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^3}\\=1600\times {\left(\frac{21}{20} \right)^3}\\=1600\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\\= 1852.20}\)

    চক্রবৃদ্ধি সুদ = (1852.20 – 1600) টাকা
                                = 252.20 টাকা
      Ans: 1½ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = 252.20 টাকা
                            সুদ-আসল= 1852.20 টাকা

    দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ আমন 25,000 টাকা 3 বছরের জন্য এমনভাবে ধার করলেন যে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6%, 3 বছরের শেষে আমন সুদে আসলে কত টাকা জমা দেবে?

    VIEW ANSER

    ▶️ 500 টাকার বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরের সুদ 105 টাকা হয়, নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER



    ▶️ সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের হার বার্ষিক 10% হলে, দ্বিতীয় বছরে কোনো মূলধনের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অনুপাত-
    (a) 20 : 21 (b) 10 : 11 (c) 5 : 6 (d) 1 : 1

    VIEW ANSER

    ▶️ আসল বা মূলধন এবং কোনো নির্দিষ্ট সময়ের চক্রবৃদ্ধি সুদের সমষ্টিকে _______________ বলে। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি

    MP-2023

    ▶️ চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের সুদের হার যথাক্রমে  r1 %, r2%,  2r3% হয়, তবে P টাকার 3 বছরের শেষে সবৃদ্ধিমূল

    \(\Large{\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {r_3}{100}\right)}\)

    (সত্য / মিথ্যা)
    Ans: মিথ্যা

    \(\Large{\\\quad\quad P\left(1+\frac {r_1}{100}\right)\left(1+\frac {r_2}{100}\right)\left(1+\frac {2r_3}{100}\right)}\)

    MP-2022

    ▶️ বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন ________। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     P(1 + r/100)

    ▶️ 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে?

    VIEW ANSER


    MP-2019

    ▶️ এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক সুদের হার ছিল ________ % (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     10

    ▶️ বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans:     মিথ্যা

    ▶️ যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার 11/2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ নির্দিষ্ট আসলের উপর সমান হারে সুদ হলে 2 বছরের সরল সুদ, চক্রবৃদ্ধি সুদের তুলনায় বেশী। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans: সত্য

    ▶️ আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ঐ টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     এক

    ▶️ r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?

    VIEW ANSER

    ▶️ বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights