PROSTUTI

Category: CLASS-X

  • অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী Ratio and Proportion – Class X

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী Ratio and Proportion – Class X

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

    অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.1
    অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.2
    অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি 5.3

    ⛔ দুটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটি অপেক্ষা কতগুণ বা কত অংশ, যার দ্বারা  সংক্ষেপে সরল আকারে প্রকাশ করা হয় তাকে অনুপাত বলে।
      যেমন ঃ-    a : b

    ⛔ পূর্বপদ ও উত্তরপদ ঃ a : b অনুপাতের  a-কে পূর্বপদ এবং b-কে উত্তরপদ  বলে।

    ⛔ সাম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a = b হয় তবে অনুপাতটিকে সাম্যানুপাত বলে।
      যেমন ঃ-  3 : 3

    ⛔ বৈষম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a ≠ b হয় তবে অনুপাতটিকে বৈষম্যানুপাত বলে।
      যেমন ঃ-  3 : 5

    ⛔ গুরু অনুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a > b হয় তবে অনুপাতটিকে গুরু অনুপাত বলে।
      যেমন ঃ-  5 : 3

    ⛔ লঘু অনুপাত বলে ঃ a : b অনুপাতের যদি a < b হয় তবে অনুপাতটিকে লঘু অনুপাত বলে।
      যেমন ঃ-  5 : 7


    ⛔ a : b এর ব্যস্ত অনুপাত b : a

    ⛔ দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত ঃ  a : b এর দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত a2 : b2

    🔅 ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত ঃ  a : b এর ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত a3 : b3

    ⛔ দ্বিবিভাজিত  বা অর্ধমিশ্র অনুপাত ঃ  a : b এর দ্বিবিভাজিত  বা অর্ধমিশ্র অনুপাত √a : √b 

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X

    1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত , লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখ ।
    (i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস

    সমাধানঃ
    4 মাস এবং 1 বছর 6 মাসের অনুপাত
    = 4 মাস : 1 বছর 6 মাস
    = 4 মাস : (12 + 6) মাস
    ⇒ 4 মাস : 18 মাস
    = 4 : 18
    = 2 : 9
    Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 9
    অনুপাতটি লঘু অনুপাত।

    (ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা

    সমাধানঃ
    75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
    = 75 পয়সা : 1 টাকা 25 পয়সা
    = 75 পয়সা : (100 + 25) পয়সা
    ⇒ 75 পয়সা : 125 পয়সা
    = 75 : 125= 3 : 5
    Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 3 : 5
    অনুপাতটি লঘু অনুপাত।

    (iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার

    সমাধানঃ
    60 সেমি. এবং 0.6 মিটারের অনুপাত
    = 60 সেমি. : 0.6 মিটার
    = 60 সেমি. : 0.6 × 100 সেমি.
    ⇒ 60 সেমি. : 60 সেমি.
    = 60 : 60
    ⇒ 1 : 1
    Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 1 : 1
    অনুপাতটি সাম্যানুপাত।

    (iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম

    সমাধানঃ
    1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রামের অনুপাত
    = 1.2 কিগ্রা. : 60 গ্রাম
    = 1.2 × 1000 গ্রাম : 60 গ্রাম
    ⇒ 1200 গ্রাম : 60 গ্রাম
    = 1200 : 60
    = 20 : 1
    Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 20 : 1
    অনুপাতটি গুরু অনুপাত।

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    2. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি ।

    সমাধানঃ
    p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত
    = p কিগ্রা. : q গ্রাম
    = p × 1000 গ্রাম : q গ্রাম
      ⇒ 1000p গ্রাম : q গ্রাম
      = 1000p : q
    Ans:  p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত = 1000p : q

    (ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।

    উত্তর: x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে যখন রাশি দুটোর একক একই একক হবে। অর্থাৎ মাসকে দিনে পরিণত করতে হবে বা দিনকে মাসে পরিণত করতে হবে।

    (iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি ।

    উত্তর:একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত একটি সাম্যানুপাত।

    (iv) a / b : c, b / c : a, c / a : b- এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    a / b : c, b / c : a, c / a : b- এর মিশ্র অনুপাত
    =a / b × b / c × c / a : c × a × b
    = 1 : abc
    Ans:  নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : abc

    (v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z2 হবে হিসাব করে লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, x2 : yz এবং a : b – এর মিশ্র অনুপাত হবে xy : z2 ।
    ∴ x2 × a : yz × b= xy : z2
    বা, ax2 : byz = xy : z2
    বা, ax : by =  y : z
    ⇒, a : b =  y × y : x × z
    বা, a : b =  y2 : xz
    Ans: নির্ণেয় অনুপাত = y2 : xz

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

    (vi) x2: yz / x , y2: zx / y , z2: yx / z অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    x2 : yz / x, y2 : zx / y ও z2 : yx / z এর ব্যস্ত অনুপাতগুলি হল যথাক্রমে yz / x : x2, zx / y : y2 ও yx / z :  z2
    ∴ ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত
    = (yz / x × zx / y × yx / z) : (x2 × y2 × z2)
    = xyz : x2y2z2
    ⇒ 1 : xyz
    Ans:  ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত = 1 : xyz

    দশম শ্রেণির রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLICK HERE

    3 . নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি:
    (i) 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11

    সমাধানঃ
    4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাত
    = (4 × 5 × 9) : (5 × 7 × 11)
    = 36 : 77
    Ans:  4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11 এর মিশ্র অনুপাত = 36 : 77

    (ii) (x + y) : (x – y) , (x2 + y2) : (x + y)2 এবং (x2 – y2)2 : (x4 – y4)

    সমাধানঃ
    (x + y) : (x – y) , (x2 + y2) : (x + y)2 এবং (x2 – y2)2 : (x4 – y4) এর মিশ্র অনুপাত
    =  {(x + y)(x2 + y2)(x2 – y2)2} : {(x – y)(x + y)2(x4 – y4)}
    =  (x + y)(x2 + y2)(x2 – y2)2 : (x – y)(x + y)2(x2 + y2)(x2 – y2)
    ⇒ (x2 – y2)2 : (x – y)(x + y)(x2 – y2)
    =  (x2 – y2) : (x – y)(x + y)
    ⇒ (x + y)(x – y) : (x – y)(x + y)
    = 1 : 1
    Ans:  নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : 1

    অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী

    4 . (i) A : B = 6 : 7 এবং B : C = 8 : 7 হলে, A : C নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    এখানে, A : B = 6 : 7
    বা,  A / B = 6 / 7
    এবং B : C = 8 : 7
    বা, B / C = 8 / 7
    ∴  A / B × B / C = 6 / 7 × 8 / 7
    বা,  A / C =  48 / 49
    বা,  A : C=  48 : 49
    Ans:  A : C =  48 : 49

    (ii) A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হলে, A : D নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    এখানে, A : B = 2 : 3
    বা, A / B = 2 / 3
      B : C = 4 : 5
    বা, B / C = 4 / 5
    এবং C : D = 6 : 7
    বা, C / D = 6 / 7
    ∴   A / B × B / C × C / D
    =  2 / 3 × 4 / 5 × 6 : 7
    বা, A / D =  16 / 35
    ∴ A : D =  16 : 35
    Ans:  A : D = 16 : 35

    (iii ) যদি A : B = 3 : 4 এবং B : C = 2 : 3 হয় , তাহলে A : B : C নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    A : B = 3 : 4
    B : C = 2 : 3 = 2×2 : 3×2 = 4 : 6
    ∴  A : B : C = 3 : 4 : 6
     Ans:  A : B : C = 3 : 4 : 6

    (iv) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7 হলে , x : y : z নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    x : y = 2 : 3 = (2×4) : (3×4) = 8 : 12
    y : z = 4 : 7 = (4×3) : (7×3) = 12 : 21
    ∴ x : y : z = 8 : 12 : 21
    Ans:  x : y : z = 8 : 12 : 21

    5. (i) x : y = 3 : 4 হলে, (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত x : y = 3 : 4
    ধরি, x = 3k
    ∴ y = 4k
    এখন, (3y – x) : (2x + y)
    = (3.4k – 3k) : (2.3k + 4k)
    = (12k – 3k) : (6k + 4k)
    ⇒ 9k : 10k= 9 : 10
    Ans:  (3y – x) : (2x + y) = 9 : 10

    (ii) a : b = 8 : 7 হলে , দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b) = 7 : 5

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত a : b = 8 : 7
    ধরি, a = 8k এবং b = 7k
    L.H.S. = (7a – 3b) : (11a – 9b)
    = (7.8k – 3.7b) : (11.8k – 9.7k)
    = (56k – 21b) : (88k – 63k)
    ⇒ 35k : 25k
    = 7 : 5= R.H.S. (প্রমাণিত)

    (iii) p : q = 5 : 7 এবং p – q = -4 হলে, 3p + 4q এর মান নির্ণয় করি

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত p : q = 5 : 7
    ধরি, p = 5x এবং q = 7x
    আবার,
    p – q = -4
    বা, 5x – 7x = -4
    বা, -2x = -4
    ⇒ 2x = 4
    বা, x = 2
    ∴ p = 5x
    = 5.2
    = 10
    এবং q = 7x
    = 7.2
    = 14
    ∴ 3p + 4q
    = 3.10 + 4.14
    = 30 + 56
    ⇒ 86
    Ans: 3p + 4q এর মান 86

    MY OWN TRUE FAMILY Important Questions and Answer CLICK HERE

    6. (i) (5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12 হলে, x : y নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    (5x − 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12
    বা, (5x − 3y) / (2x + 4y) = 11 : 12
    বা, 12.(5x − 3y) = 11.(2x + 4y)
    বা, 60x – 36y = 22x + 44y
    বা, 60x – 22x = 44y + 36y
    ⇒, 38x = 80y
    বা, 19x = 40y
    বা, x / y = 40 / 19
    ∴  x : y = 40 : 19
    Ans:  x : y = 40 : 19

    ( ii ) (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3 হলে, a : b নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3
    বা, (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5 : 3
    বা, 3.(3a + 7b) = 5.(5a – 3b)
    বা, 9a + 21b = 25a – 15b
    বা, 9a – 25a = – 15b – 21b
    ⇒, -16a = -36b
    বা, ab = −36−16
    বা, a / b = 9 / 4
    ∴ a : b = 9 : 4
    Ans:  a : b = 9 : 4

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    7. (i) (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137 :473

    সমাধানঃ:
    এখানে,
    (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11
    বা, (7x – 5y) / (3x + 4y) = 7 : 11
    বা, 11.(7x – 5y) = 7.(3x + 4y)
    বা, 77x – 55y = 21x + 28y
    বা, 77x – 21x = 28y + 55y
    ⇒ 56x = 83y
    বা, x / y = 83 / 56
    ∴ x : y = 83 : 56
    ধরি, x = 83k এবং
    y = 56k
    L.H.S. = (3x – 2y) : (3x + 4y)
    = (3.83k – 2.56k) : (3.83k + 4.56k)
    = (249k – 112k) : (249k + 224k)
    ⇒ 137k : 473k
    = 137 : 473= RHS (Proved)

    (ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11 : 13

    সমাধানঃ
    এখানে,
    (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5
    বা, (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5
    বা, 5.(10x + 3y) = 9.(5x + 2y)
    বা, 50x + 15y = 45x + 18y
    বা, 50x – 45x = 18y – 15y
    ⇒, 5x = 3y
    বা, x / y = 3 / 5
    ∴ x : y = 3 : 5
    ধরি, x = 3k এবং y = 5k
    L.H.S. = (2x + y) : (x + 2y)
    = (2.3k + 5k) : (3k + 2.5k)
    = (6k + 5k) : (3k + 10k)
    ⇒ 11k : 13k
    = 11 : 13 = R.H.S. (Proved)

    বিভিন্ন দেশের সীমারেখা madhyamik-prostutI
    মাধ্যমিকের সব বিষয়ের জন্য App Madhyamik Prostuti ডাউনলোড করতে এখানে CLICK করুন

    8. (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    ধরি, 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে x যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।∴
    ∴ (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11
    বা, (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11
    বা, 11.(2 + x) = 6.(5 + x)
    বা, 22 + 11x = 30 + 6x
    ⇒ 11x – 6x = 30 – 22
    বা, 5x = 8
    ∴ x = 8/5
    Ans: 8/5 যোগ করতে হবে।

    (ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি ।

    সমাধানঃ
    ধরি, a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে।
    ∴ (a – x) : (b – x) = m : n
    বা, (a – x) : (b – x) = m : n
    বা, n.(a – x) = m.(b – x)
    বা, an – nx = bm – mx
    বা, mx – nx = bm – an
    ⇒ x(m – n) = bm – an
    বা, x = (bm − an)/(m − n)

    Ans:  (bm − an)/(m − n) বিয়োগ করতে হবে।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    (iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে ।

    সমাধানঃ
    ধরি, 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে x যোগ এবং উত্তরপদ থেকে x বিয়োগ করতে  হবে।
    2 : 3 ও 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত
    = (2 × 5) : (3 × 4)
    = 5 : 6
    প্রশ্নানুসারে,
    (4 + x) / (7 – x) = 5 : 6
    বা, 6.(4 + x) = 5.(7 – x)
    বা, 24 + 6x = 35 – 5x
    বা, 6x + 5x = 35 – 24
    বা,11x = 11
    ∴ x = 1
    Ans: 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করতে  হবে।

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ যদি (3x – 2y) : (3x + 2y) = 4 : 5 হয়, তবে (x + y) : (x – y) এর মান কত?

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7, হলে, A : D = কতো ?
    (a) 2 : 7 (b) 7 : 2 (c) 5 : 8 (d) 5 : 14
    Ans: (d) 5 : 14

    \(\quad[\frac{A}{B}×\frac{B}{C}×\frac{C}{D}=\frac{2}{3}×\frac{5}{8}×\frac{6}{7}\\⇒\frac{A}{D}=\frac{5}{14}\\∴ A:D=5:14]\)

    MP-2020

    ▶️ 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে। (সত্য মিথ্যা)

    VIEW ANSER

    MP-2019

    ▶️ (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ (ii) ab : c2, bc : a2 এবং ca : b2 -এর যৌগিক অনুপাত 1:1। (সত্য বা মিথ্যা)
    Ans:     সত্য
    [ab : c2, bc : a2 এবং ca : b2 -এর যৌগিক অনুপাত
    = ab×bc×ca : a2×b2×c2
    = a2b2c2 : a2b2c2
    ⇒1 ; 1]

    ▶️ \(\large{\mathbf{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}\)
    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
  • বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান – কষে দেখি – 7.1 || Class – X Koshe Dekhi – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    প্রয়োজনীয় উপপাদ্য এবং তথ্যসমূহ

    ✴️ পরিধিস্থ কোণ:  কোনো বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপ পরিধির উপর যে কোণ উৎপন্ন  করে তাকে বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ বলে।
    ▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণের সংখ্যা অসংখ্য।
    ▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন সকল পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ  কোণের মান সমান হয়। 

    ✴️ কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।

    নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;

    নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;

    B A C O P

    ▶️ একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা দুটি এবং কেবল মাত্র দুটি কেন্দ্রস্থ কোণ অঙ্কন করা সম্ভব যার একটা অবশ্যই প্রবৃদ্ধ কোণ হবে।
    ▶️ যেকোনো বৃত্তের সমস্ত পরীক্ষা পরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ 360° এবং অর্ধপরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণের মান হয় 180°।

    ✴️ বৃত্তস্থ কোণের সঙ্গে কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক:✴️

    একই বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

    ▶️ একই বৃত্তাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ
    হয়।
    ▶️ কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলির মান সমান।
    ▶️ একই বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ x° হলে, কেন্দ্রস্থ কোন হবে
    2x°
    ▶️ বৃত্তের একই চাপের উপর অবস্থিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ x° হলে,পরিধিস্থ
    কোন হবে x/2°;
    ▶️ একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোন x° ও y° হলে,
    x° = y° হবে

    1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।

    B A C O P 110°

    সমাধান:
    △BOC থেকে পাই,
    OB=OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    প্রদত্ত ∠BOC = 100°
    ∴ ∠OBC + ∠OCB = 180° – 100°
    = 80°
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    = 80°/2
    = 40°
    আবার,
    প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° – ∠BOC
    = 360° – 100°
    = 260°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
    ∴  প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
    বা, 2∠BAC = 260°
    বা, ∠BAC = 260°/2
    = 130°
    আবার △ABC থেকে পাই,
    AB = BC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∵ ∠BAC = 130°
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    = (180°−130°)/2
    = 50°/2
    =25°
    ∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC
    = 25° + 40° = 65°
    Ans: ∠ABC এর মান 25° এবং
    ∠ABO এর মান 65°।

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।

    A B C O P 110° 40°

    সমাধান:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
    ∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
    আবার, ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ∠AOC
    = 360° – 110°
    = 250°
    ∴ ∠ABC = ½ × ∠AOC
    = ½ × 250°
    = 125°
    Ans: ∠ABC –এর মান 125°।

    3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।

    108° ABCD O P

    সমাধান:
    ∠এখানে, ∠BCP = 108°
    ∴ ∠BCD = 180° – 108°
    = 72°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
    ∴ ∠BOD = 2×∠BCD
    বা, ∠BOD = 2 × 72°
    = 144°
    Ans: ∠BOD –এর মান 144°।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

    (Theorems related to Angles in a Circle)

    4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

    40°35° O A C B D

    সমাধান:
    প্রদত্ত ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°
    একই বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA
    ∴ ∠DOA = 2 × ∠DCA
    বা, ∠DCA = ½ × ∠DOA
    = ½ X 40°
    ⇒ 20°
    ∴ ∠BCO = ∠DCA+ ∠ACB
    ⇒ 20° + 35°
    = 55°
    আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠AOB = 2 × ∠ACB
    = 2 × 35°
    = 70°
    ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD
    = 70° + 40°
    = 110
    Ans: ∠BCO = 55° এবং
    ∠BOD = 110°

    5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

    O A B C D P

    সমাধান:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
    ∴ ∠AOB = 2∠ACB
    আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
    ∴ ∠COD = 2∠DBC
    ∴ ∠AOB + ∠COD
    = 2∠ACB + 2∠DBC
    = 2(∠ACB + ∠DBC)
    ⇒ 2(∠PCB + ∠PBC) – – – (1
    △PBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB
    ∴ ∠PCB + ∠PBC = ∠APB
    বা, ∠PCB + ∠PBC = 80° – – – [∵ ∠APB = 80°]
    (1) নং থেকে পাই,
    ∠AOB + ∠COD = 2 × 80°
    = 160°
    Ans: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°

    ২০০ টি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ও আবিষ্কারক CLICK HERE

    6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
    (i) ∠PBQ = ∠CAD
    (ii) ∠BPC = ∠BQD

    C D A B P Q

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    (i) ∠PBQ = ∠CAD
    (ii) ∠BPC = ∠BQD
    অঙ্কনঃ C, B ও B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
    ∴ ∠PCA = 2∠PBA – – – (1)- – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
    আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
    ∴ ∠ADQ = 2∠ABQ – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ∠PCA + ∠ADQ
    = 2∠PBA + 2∠ABQ
    = 2(∠PBA + ∠AQB)
    ⇒ ∠PCA + ∠ADQ
    = 2∠PBQ – – – (3)
    △APC –এর ক্ষেত্রে,
    ∠APC = ∠PAC – – – [∵ CP = CA]
    ∵ ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
    বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
    বা, ∠PCA = 180° – 2∠PAC – – – (3)
    অনুরূপে, △ADQ –এর ক্ষেত্রে,
    ∠ADQ = 180° – 2∠DAQ – – – (4)
    (3) + (4) করে পাই,
    ∠PCA + ∠ADQ = 180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ
    বা, 2∠PBQ = 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) – – – [(3) থেকে পাই]
    বা, 2∠PBQ = {2(180° – (∠PAC + ∠DAQ)}
    ⇒, ∠PBQ = (180° – (∠PAC + ∠DAQ)
    বা, ∠PBQ = ∠CAD [Proved]
    আবার, △ACB –এর
    CA = CB – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠CAB = ∠CBA
    অনুরূপে, △ADB –এর ক্ষেত্রে,
    ∠DAB = ∠DBA
    ∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
    বা, ∠CAD = ∠ABD
    কিন্তু, ∠CAD = ∠PBQ – – [পূর্বে প্রমাণিত]
    ∴ ∠CAD = ∠PBQ
    আবার, ∠PBD – ∠CAD = ∠PBD – ∠PBQ
    বা, ∠PBC = ∠DBQ
    ∴ ∠BPC = ∠BQD [Proved]

    7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90o

    O A B C

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠OBC + ∠BAC = 90°
    অঙ্কনঃ O, B ও O, C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
    △BOC থেকে পাই,
    BO = OC – – – [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OBC = ∠OCB
    আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
    বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
    ∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [Proved]

    8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।

    C D A B P Q

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রীয় দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
    অঙ্কনঃ A,P ; P,B ; B,Q ; A,Q এবং P, Q যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △APQ এর
    AP = PQ = AQ – – [ ∵ বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধও সমান ]
    ∴ △APQসমবাহু ত্রিভুজ
    ∴ ∠APQ = ∠AQP = 60°
    অনুরূপে, △BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।
    ∴∠BPQ = ∠BQP = 60°
    ∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ
    = 60° +60°
    = 120°
    অনুরূপে, ∠AQB = 120° 
    AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠ACB = ½ × ∠APB
    = ½ × 120°
    = 60°
    আবার APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠ADB = ½ × ∠AQB
    = ½ × 120°
    = 60°
    ∴ ∠DCB =180° – ∠ACB – ∠ADB
    = 180° – 60° – 60°
    = 60°
    △BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [Proved]

    দশম শ্রেণির বয়েলের সুত্র (Boyels Law) এর উপর Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।

    9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।

    S A B D C

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAD = ∠SAC
    অঙ্কনঃ S,A ; S,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △SAC এর,
    SA = SC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠SAC = ∠SCA
    S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ASC = 2∠ABC
    আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
    বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
    বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
    ⇒ ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
    বা, ∠SAC = 90° – ½ ×2∠ABC – – – [∵ ∠ASC = 2∠ABC]
    বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC – – – (1)
    ABD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠BAD = 90° – ∠ABD
    = 90° – ∠ABC – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ∠SAC = ∠BAD [Proved]

    10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
    যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।

    A B P D C O

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    O, D; O, B যুক্ত করা হল।
    ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
    অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
    ∴ ∠AOD = 2∠ABD – – – (1)
    আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
    ∴ ∠BOC = 2∠BDC – – – (2)
    △BDP –এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    (1) + (2) করে পাই,
    ∴ ∠AOD + ∠BOC
    = 2∠ABD + 2∠BDC
    ⇒ 2(∠ABD + ∠BDC)
    = 2(∠PBD + ∠BDP)
    = 2∠BPC
    ∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [Proved]
    যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
    তবে ∠AOD + ∠BOC = 180° হয়
    ∴ 2∠BPC = 180°
    বা, ∠BPC = 90°
    ∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। [Proved]

    11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

    A B P D C O

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
    অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    △BPC –এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    ½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
    ∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
    ∴∠BOD = 2∠BCD
    ∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
    (3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
    ∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
    বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]

    12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD

    A D B C P

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ A কেন্দ্রীয় বৃত্ত ABCD চতুর্ভুজের B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত ।
    B, D যুক্ত করা হল।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ
    ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD
    অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির উপর একটি বিন্দু নেওয়া হল। B,P এবং D, P যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △BCD থেকে পাই,
    ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
    বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) – – – (1)
    আবার ∠BCD + ∠BPD = 180° – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।]
    বা, ∠BCD = 180° – ∠BPD – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    180° – (∠CBD + ∠CDB) = 180° – ∠BPD
    বা, ∠CBD + ∠CDB = ∠BPD – – – (3)
    BCD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠BPD পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ।
    ∴ ∠BPD = 1/2∠BAD – – – (4) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    (3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
    বা, ∠CBD + ∠CDB = 1/2∠BAD [Proved]

    13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC

    O A B D C P

    সমাধানঃ
    স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
    অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
    △BOD ও △COD থেকে পাই,
    BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    OD সাধারণ বাহু।
    ∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
    ∴ △BOD ≅ △COD
    অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
    ∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
    বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
    (1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
    2∠BOD = 2∠BAC
    বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
    (A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

    H

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান (a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20

    O P Q R S 140° X°

    Ans: (d) 20
    [O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
    কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ
    = 180° – 140°
    = 40°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ
    = ½ ∠ROQ
    ⇒ ½ × 40°
    = 20°
    ∴ x = 20]

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান (a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200

    O P R Q 140 80° X°

    Ans: (a) 70
    [∠QOR = 360° – (140° + 80°)
    = 360° – 220°
    = 140°
    ∴ ∠QPR = 1/2 ∠QOR
    = 1/2 × 140°
    = 70°
    ∴ x = 70]

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান (a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80

    O A B C D50° X°

    Ans: (b) 50
    [Δ AOB এর OB = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB = ∠OBA
    = 50°
    ∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA
    = 50° + 50° – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    = 100°
    কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
    = 1/2 ∠AOC
    ⇒ 1/2 × 100°
    = 50°]

    (iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান (a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°

    C 50° A O B

    Ans: (c) 40°
    [ΔOAB এর AO = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
    ∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°)
    = 180° – 100°
    = 80°
    এখানে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
    ∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
    = 1/2 ∠AOB
    ⇒ 1/2 × 80°
    = 40°]

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান (a) 20° (b) 40° (c) 60° (d) 80°

    R 10° P O Q 40°

    Ans: (c) 60°
    [△POQ –এর
    OP = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OPQ = ∠OQP = 10°
    ∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°)
    = 180° – 20°
    = 160°
    আবার, △ROQ –এর,
    OR = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠ORQ = ∠OQR = 40°
    ∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°)
    = 180° – 80°
    = 100°
    ∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ
    = 160° – 100°
    = 60°]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    সত্য বা মিথ্যা     / শূন্যস্থান পূরণ

    (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,

    D C A O B

    ∠AOB=2∠ACD

    Ans: মিথ্যা,
    [কারণ AB এবং AD দুটি বৃত্তচাপ অভিন্ন নয়।]

    (ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB=2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
    Ans: সত্য।
    [∠AOB = 2∠ACB
    চিত্রানুযায়ী,
    ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।
    আবার কোণদ্বয় একই বৃত্তচাপ AB-এর ওপর অবস্থিত ।
    সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত।
    C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

    (i) একই চাপের দ্বারা গঠিত সন্মুখ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের  __________ ।
    Ans: অর্ধেক

    (ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
    Ans: সমান

    (iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________ । 
    Ans: 120°

    prostuti_home
    দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
    (Theorems related to Angles in a Circle)

    13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40o, ∠ABC = 120o, ∠BCO=yo এবং ∠COA = xo হলে,
     x ও y-এর মান নির্ণয় করি

    PA 40°B 120° C y° O x°

    সমাধানঃ APC বৃত্তচাপের ওপর.
    কেন্দ্ৰস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ ∠ABC = ½ প্ৰবিদ্ধ ∠AOC – – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
    ∴ 120° = ½(360° – x)
    বা, 240° = 360° – x
    বা, x = 360° – 240°
    ∴ x = 120°
    ∴ y = 360° – (40°+120° +120°)- – – [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]
    = 360° – 280°
    = 80°
    Ans: x-এর মান 120° ও
    y-এর মান y 80°

    (ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।

    O A B D C

    সমাধান:  O,B ;O,D ; O,C  যুক্ত করা হল ।
    BC বৃত্তচাপের ওপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC এবং কেন্দ্ৰস্থ কোণ ∠BOC
    ∴ ∠BOC = 2∠BAC
    =2 × 40° = 80°
    ΔBOD ও ΔCOD এর ক্ষেত্রে,
    BD=DC – – – [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]
    OB = OC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    OD সাধারণ বাহু
    ∴ বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে,
    ΔBOD ≅ ΔCOD
    ∴ ∠BOD = ∠COD
    আবার ∠BOC = 80°
    ∴∠BOD = ∠COD
    =40°
    Ans: ∠BOD-এর মান 40°

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।

    O C B A

    ∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    ∠AOC = ∠ABC – – – [সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।]
    = 180°
    ABC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
    ∴ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 ×∠ABC – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
    আবার,
    প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC + ∠AOC = 360°
    বা, 2 ×∠ABC + ∠AOC = 360°
    বা, 2 ×∠AOC + ∠AOC = 360°
    ⇒ 3∠AOC = 360°
    বা, ∠AOC = 120°
    Ans: ∠AOC-এর মান 120°

    (iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 এবং ∠ABC = 120° ; 

    O A C B

    বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    O,A ; O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
    Δ AOB ও ΔCOB এর মধ্যে
    OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    AB = BC – – – [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু]
    OB সাধারন বাহু
    ∴ Δ AOB ≅ ΔCOB
    ∠OBA = ∠OAB – – – [অনুরূপ কোণ]
    ∴ ∠OBA = ½ ∠ABC – – – {∠ABC = 120°]
    = ½ × 120°
    = 60°
    ∠OAB =∠OBA – – – [∵OA = OB]
    = 60°
    ∴ ∠AOB = 180° – 60° -60°
    = 60°
    ∴ Δ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
    ∴ AB = OA = 5 সেমি
    Ans: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি

    (v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত।

    A B C D P Q

    ∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    BC ও BD যুক্ত করা হল।
    প্রদত্ত ∠CQD = 70°
    B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CQD
    ∴ ∠CBD = 2 ×∠CQD – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
    = 2 × 70°
    = 140°
    আবার,
    ∠CPD + ∠CBD = 180° – – – [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়]
    বা, ∠CPD + 140° = 180°
    বা, ∠CPD = 40°
    Ans: ∠CPD-এর মান 40°

    Madhyamik Question

    MP-2017

    ▶️ (ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights