Category: CLASS-X

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

2026
MATHEMATICS
Time-3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks: 90

Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness, overwriting and bad handwriting.

[ 1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে -এর আসন্ন মান 22/7 ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।।
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 8 নং পৃষ্ঠায়।]

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

(i) কোন মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার হবে
(a) 5% (b) 10%
(c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ধরি, মূলধন(P) = x টাকা
∴ সুদাসল= 2x টাকা
সুদ(I) = x টাকা
সময়(t) = 10 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_x.10 = 10]

(ii) ax² + bx + c = 0 (a>0) এর বীজ দুটি সমান কিন্তু বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত হবে
(a) b = c, c = 0 (b) b = 0, c > 0
(c) b = 0, c < 0 (d) b > 0, c = 0
Ans: (c) b = 0, c < 0
[b = 0 হলে,
ax² + c = 0
বা, x² = -c/a
বা, x = √-^c/_a
∵ a > 0
∴ c < 0 হবে।
বিপরীত চিংযুক্ত হওয়ার শর্ত b = 0, c < 0]

(iii) 6, 7, x, y, 16 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে:
(a) x + y = 21 (b) x + y = 16
(c) x – y = 21 (d) x – y = 19
Ans: (b) x + y = 16
[^{6 + 7 + x + y + 16}/₅ = 9
বা, 29 + x + y = 5×9
বা, x + y = 45 – 29 = 16]

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

(iv) একটি বৃত্তের 121 সেমি দৈঘোর চাপ কেন্দ্রে 77° কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে
(a) 110 সেমি (b) 100 সেমি
(c) 90 সেমি (d) 70 সেমি
Ans: (c) 90 সেমি
এখানে, s = 121 সেমি; θ = 77°

\([θ = 77°\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =77×\frac{π^c}{180}\\\quad =\left(\frac{77×22}{180×7}\right)^c\\\quad =\left(\frac{11×11}{90}\right)^c\) আমরা জানি \(\quad s= rθ\\\therefore 121=r×\frac{11×11}{90}\\⇒r=\frac{121×90}{11×11}=90]\)

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a ও d এর সম্পর্ক হবে
(a) √2a = d (b) √3a = d
(c) a = √3d (d) a = √2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BC কে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ∠DCE = 96° হলে ∠BOD এর মান কত?
(a) 42° (b) 84°
(c) 442° (d) 168°
Ans: (d) 168°

[∠DCE = 96°
∴ ∠BCD = 180° – 96° = 84°
BAD বৃত্তচাপের উপর ∠BOD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠BCD বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BOD = 2.∠BCD
= 2.84° = 168°]

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক বছরে আসল ও সুদ-আসলের অনুপাত 8 : 9 হলে বার্ষিক সুদের হার ____________
Ans: 12.5 %
[ধরি, আসল 8x টাকা হলে সুদ-আসলে হবে 9x টাকা
সুদ(I) = (9x – 8x) = x টাকা
সময়(t) = 1 বছর
বার্ষিক সরল সুদ(r) = ?
∵ r =^I.100/_P.t = ^x.100/_8x.1 = 12.5]

(ii) (√3 – 5) এর অনুবন্ধী করনী ____________
Ans: – √3 – 5

(iii) কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের দুই প্রান্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর ____________
Ans: সমান্তরাল

(iv) যদি x = asec θ ও y = b cot θ হলে\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}=\) ____________

Ans: 1
[x = asec θ
⇒ ^x/_a = sec θ
ও y = b cot θ
⇒ ^y/_b = cot θ
⇒ ^b/_y = tan θ

\(∴ \frac{x^2}{a^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\left( \frac{x}{a} \right)^2-\left( \frac{b}{y}\right)^2\\=sec^2 θ-tan^2 θ=1]\)

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে, তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল ____________
Ans: 27πr² বর্গ একক
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 3r হলে,
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
= 3πr²
= 3π(3r)² = 27πr²]

(vi) 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলির পরিসংখ্যা যথাক্রমে 1. 2. 3. 4, f এবং এদের যৌগিক গড় 4 হলে f এর মান ____________
Ans: 10

\([∴\bar{x}= \frac{f_ix_i}{f_i}\\⇒4=\frac{1.1+2.2+3.3+4.4+5.f}{1+2+3+4+f}\\⇒4=\frac{1+4+9+16+5f}{10+f}\)

⇒ 40 + 4f = 30 + 5f
⇒ f = 10]

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

(i) sin² θ = (sin θ)², 0° < θ < 90°
Ans: সত্য

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের মধ্যে অন্তলিখিত বৃহত্তম ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 4√2 সেমি।
Ans: মিথ্যা
[গোলকের ব্যাসার্ধ 4 সেমি
∴ ঘনকের কর্ণ= গোলকের ব্যাস
⇒ √3.a = 4.2 = 8 . . .[a = ঘনকের বাহু]
⇒ a = ⁸/_√3]

(iii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণ স্থূলকোণ।
Ans:   মিথ্যা

(iv) x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5 হলে উহাদের মধ্যমা 3 হবে।
Ans:   মিথ্যা
[x – 3, x – 1, 7, x, 2x – 1, 3x – 5 রাশিগুলির যৌগিক গড় 7.5
∴ ^{x – 3 + x – 1 + 7 + x + 2x – 1 + 3x – 5}/₆ = 7.5
⇒ 8x – 3 = 45
⇒ 8x = 48
বা, x = 6
রাশিগুলি হল 3, 5, 7, 6, 11, 13
রাশিগুলিকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
3, 5, 6, 7, 11, 13
∴ মধ্যমা = ^{তৃতীয় পদ + চতুর্থ পদ}/₂
                  = ^{7 + 6}/₂ = 6.5]

(ν) χ ∞ ¹/_y হলে (xy)¹⁰ ধ্রুবক।
Ans:   সত্য
[   x ∞ ¹/_y
⇒ x = k.¹/_y
⇒ xy = k . . .[k = ধ্রুবক]
∴ (xy)¹⁰ = k¹⁰ = ধ্রুবক]

(vi) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।
Ans:   মিথ্যা
[রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5 : 4
রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত 80 : 100 = 4 : 5
∴ রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত ≠ রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত]

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(i) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটা ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল, A এর লভ্যাংশ কত?
Solution: A এবং B এর মূলধনের অনুপাত
= 15000 : 45000 = 1 : 3
∴ A এর লভ্যাংশ : B এর লভ্যাংশ = 1 : 3
⇒ ^{A এর লভ্যাংশ}/₃₀₃₀ = ¹/₃
⇒ A এর লভ্যাংশ = 1010
Ans: A এর লভ্যাংশ = 1010 টাকা।

(ii) △ABC এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP=4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB এর মান নির্ণয় কর.।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

\(\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}\)

⇒ x² = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

প্রদত্ত CD=6সেমি.
∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB=∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
⇒ 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

Solution: tan θ + cot θ = 2
⇒ tan θ + ¹/_{tan θ} = 2
⇒ tan² θ + 1 = 2tan θ
বা, tan² θ – 2tan θ + 1= 0
বা, (tan θ – 1)² = 0
⇒ tan θ – 1 = 0
⇒ tan θ = 1
∴ cot θ = 1
প্রদত্ত রাশি
= tan⁷ θ + cot⁷ θ
= 1⁷ + 1⁷ = 1 + 1 = 2
Ans: tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান 2

(v) x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি হলে, sec θ = ^x/_y হতে পারে কি? উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
Ans: sec θ = ^x/_y হতে পারে।
sec θ = ^x/_y = ^{অতিভুজ}/ _ভূমি
অতিভুজ ≥ ভূমি হয়
অর্থাৎ x ≥ y হবে. . . [যেহেতু x ও y ধনাত্মক বাস্তব রাশি]

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

Solution: ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
শর্তানুযায়ী,
2πr₁ : 2πr₂ = 3 : 4
বা, r₁ : r₂ = 3 : 4
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত

\(\quad πr_{1}^2h_{1}:πr_{2}^2h_{2}\\=\frac{πr_{1}^2h_{1}}{πr_{2}^2h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}\)Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32

(vii) যদি \(x_1, x_2, …… x_n\) রাশিগুলির যৌগিক গড় x হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে,\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\)

\(Solution:\\\quad \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\sum_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2=n\bar{x}^2 \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}.n\bar{x}+n\bar{x}^2….\left[ ∵\sum_{i=1}^{n}x_i=n\bar{x} \right]\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\ (Proved)\)

(viii) সুদের হার 5.5% থেকে 6%-এ বৃদ্ধি পেলে কিছু টাকার বার্ষিক সুদ 49.50 টাকা বৃদ্ধি পায়। আসল নির্ণয় কর।
Solution:
সুদের হার 5.5% থেকে বেড়ে 6% হওয়ায়
সুদের বৃদ্ধি হয় (6 – 5.5)% = 0.5%
∴ 0.5 টাকা আয় বেশি হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় বেশি হয় ¹⁰⁰/_0.5 টাকায়
49.50 টাকা আয় বেশি হয় 200×49.50 টাকায়
= 9900 টাকায়
Ans: নির্ণেয় আসল 9900 টাকা

(ix) x² – 4x = K(x – 1) – 5 সমীকরণটির বীজ দুটির সমষ্টি 7 হলে K-এর মান নির্ণয় কর।
Solution: x² – 4x = K(x – 1) – 5
বা, x² – (4 + K)x + K + 5= 0
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= ^{(4 + K)}/₁ = 4 + K
প্রশ্নানুযায়ী,
4 + K = 7
বা, K = 3
Ans: K-এর মান 3

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

Solution: (a + b) : √ab = 2 : 1
⇒ ^{(a + b)²}/_ab = ⁴/₁
⇒ (a + b)² = 4ab
বা,(a + b)² – 4ab = 0
বা,(a – b)² = 0
⇒ a – b = 0
⇒ a = b
∴ a : b = a : a = 1 : 1
Ans: a : b = 1 : 1

(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে আয়তন শতকরা কত বাড়বে।

Solution: গোলকের ব্যাসার্ধ r একক হলে আয়তন হবে = ⁴/₃πr³ ঘন একক
গোলকের ব্যাসার্ধ 50% বাড়ালে ব্যাসার্ধ হবে
= r×¹⁵⁰/₁₀₀ = ^3r/₂ একক
নতুন গোলকের আয়তন হবে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ ঘন একক
আয়তন বৃদ্ধি পারে
= ⁴/₃π(^3r/₂)³ – ⁴/₃πr³
= ⁴/₃πr³(²⁷/₈ – 1)
⇒ ⁴/₃πr³×¹⁹/₈

\(=\frac{\frac{4}{3}πr^3×\frac{19}{8}}{\frac{4}{3}πr^3}×100\%\)

= ¹⁹/₈×100%
= ^19×25/₂% = ⁴⁷⁵/₂ = 237.5%
Ans: আয়তন 237.5% বাড়বে।

(xii) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজ। যদি AD = AB, ∠DAC = 60° এবং ∠BDC = 50° হয় তাহলে ∠ACD এর মান নির্ণয় কর।

Solution: ∠DAC = 60°
∠BDC = 50°
∴ ∠BAC = 50° – – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
∴ ∠DAB = ∠DAC + ∠BAC
= 60° + 50° = 110°
ABD ত্রিভুজের AD = AB
∴ ∠ABD = ∠ADB
= ^{180° – 110°}/₂
= 35°
∠ACD = ∠ABD- – – [একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত]
= 35°
Ans: ∠ACD এর মান 35°

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% ও দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তাহলে 25,000 টাকার দু বছরের সুদ নির্ণয় কর।
Solution: বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% হলে প্রথম বছরে সুদ হয়
= ^{25,000 × 4 × 1}/₁₀₀ = 1000 টাকা
∴ প্রথম বছরের শেষে সুদাসল
= (25,000 + 1,000) = 26,000 টাকা
আবার বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার দ্বিতীয় বছর 5% হলে দ্বিতীয় বছরে সুদ হয়
= ^{26,000 × 5 × 1}/₁₀₀ = 1300 টাকা
∴ দু বছরের মোট সুদ = (1000 + 1300) = 2300 টাকা
Ans: দু বছরের সুদ 2300 টাকা

(ii) তিনবন্ধু 4,800 টাকা, 6,600 টাকা ও 9,600 টাকা নিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করল। প্রথম জন দেখাশোনার জন্য লাভের ¹/₈ অংশ বেতন হিসাবে পেল এবং বাকি লাভ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল। এক বছর পর প্রথমজন 780 টাকা পেলে বাকি দুজন কত টাকা করে পাবে।

Solution: তিনবন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 4,800 : 6,600 : 9,600
= 48 : 66 : 96 = 8 : 11 : 16
ধরি মোট লাভ হয় x টাকা লাভের ¹/₈ অংশ
= x.¹/₈ = ^x/₈ টাকা
∴ মূলধনের অনুপাতে বণ্টিত হল
= (x – ^x/₈) = ^7x/₈ টাকা
^7x/₈ টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ⁸/₃₅ = ^x/₅ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹¹/₃₅ = ^11x/₄₀ টাকা এবং তৃতীয় বন্ধু পায় = ^7x/₈ × ¹⁶/₃₅ = ^2x/₅ টাকা
∴ প্রথম বন্ধু মোট পায়
= (^x/₈ + ^x/₅) = ^{5x + 8x}/₄₀ = ^13x/₄₀ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
^13x/₄₀ = 780
বা, x = 780 × ⁴⁰/₁₃
বা, x = 60 × 40 = 2400
∴ দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ¹¹/₄₀ = 660 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 2400 × ²/₅ = 960 টাকা
Ans: বাকি দুজন পাবে 660 টাকা এবং 960 টাকা।

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

.Solution:
b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – (bc – ac) x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x² – {b(c – a) + a(b – c)}x + a(b – c) = 0
⇒b(c – a)x² – b(c – a)x – a(b – c)x + a(b – c) = 0
⇒ b(c – a)x(x – 1) – a(b – c)(x – 1) = 0
⇒(x – 1){b(c – a)x – a(b – c)} = 0
হয় (x – 1) = 0
(x – 1) = 0 হলে x = 1
নতুবা {b(c – a)x – a(b – c)} = 0
{b(c – a)x – a(b – c)} = 0 হলে,
b(c – a)x = a(b – c)
বা, x = ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 বা x= ^{a(b – c)}/_{b(c – a)}

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

(ii) দুই অংকের একটি সংখ্যার দশকের অঙ্ক এককের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 15 কম। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
Solution: ধরি এককের অঙ্ক x
∴ দশকের অঙ্ক (x – 3)
অতএব সংখ্যাটি হল
= x.1 + (x – 3).10 = 11x – 30
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল
= x(x – 3) = x² – 3x
প্রশ্নানুযায়ী,
x² – 3x = 11x – 30 – 15
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 9x – 5x + 45 = 0
⇒x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
⇒(x – 9)(x – 5) = 0
হয় (x – 9) = 0
(x – 9) = 0 হলে x = 9
∴ সংখ্যাটি হল = 11.9 – 30 = 69
নতুবা (x – 5) = 0
x – 5 = 0 হলে x = 5
∴ সংখ্যাটি হল = 11.5 – 30 = 25
Ans: সংখ্যাটি হল 25 অথবা 69

Click here to visit our Facebook

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(ⅰ) (x³ +y³) ∞ (x³ – y³) হলে, দেখাও যে (x² + y²) ∞ xy.

Solution: (x³ + y³) ∞ (x³ – y³)
⇒ (x³ + y³) = k(x³ – y³). . . [k = Constant]

\(⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}= k\\⇒\frac{x^3 + y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\left( \frac{x}{y} \right)^3 = \frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}= \sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}= m\)

⇒ x = my

\(∴ \frac{x^2+y^2}{xy}\\= \frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\= \frac{y^2(m^2+1)}{my^2}\\=\frac{m^2+1}{m}=Constant\\∴ (x^2+y^2) ∞ xy\quad (Proved)\)

(ii) x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1 হলে 3x² – 5xy + 3y² এর মান নির্ণয় কর।

Solution: x(2 – √3) = y(2 + √3) = 1

\(∴ x(2 – √3) = 1\\⇒ x=\frac{1}{2 – √3}\\⇒ x=\frac{(2 + √3)}{(2 – √3)(2 + √3)}\\⇒x=\frac{2 + √3}{4-3}\\⇒x=(2 + √3)\\\quad y(2 + √3) = 1\\⇒ y=\frac{1}{2 + √3}\\⇒ y=\frac{(2 – √3)}{(2 + √3)(2 – √3)}\\⇒y=\frac{2 – √3}{4-3}\\⇒y=(2 – √3)\)

∴ x + y = (2 + √3) + (2 – √3) = 4
xy = (2 + √3)(2 – √3) = 4 – 3 = 1
∴ 3x² – 5xy + 3y²
= 3(x² + 2xy + y²) – 11xy
= 3(x + y)² – 11xy
=3(4)² – 11
= 3.16 – 11
= 48 – 11 = 37
Ans: 3x² – 5xy + 3y² এর মান 37

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

\((i)\ \frac{a + b – c}{a + b} = \frac{b + c – a}{b + c} = \frac{c + a – b}{c +a}\) এবং a + b + c = 0 হলে প্রমাণ করো যে, a = b = c

\(Solution:\\\quad \frac{a + b – c}{a + b}= \frac{b + c – a}{b + c}= \frac{c + a – b}{c + a}\\⇒1 – \frac{c}{a + b}= 1 – \frac{a}{b + c}= 1 – \frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}=\frac{a}{b + c}=\frac{b}{c + a}\\⇒\frac{c}{a + b}+1=\frac{a}{b + c}+1=\frac{b}{c + a}+1\\⇒\frac{c + a + b}{a + b}= \frac{a + b + c}{b + c}= \frac{b + c + a}{c + a}\\⇒\frac{1}{a + b}=\frac{1}{b + c}=\frac{1}{c + a}. . . [∵ a + b + c ≠ 0]\)

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
⇒ a = c . . . (i)
b + c = c + a
⇒ b = a . . . (ii)
(ii) ও (ii) থেকে পাই,
∴ a = b = c (Proved)

\((ii)\ x = \frac{8ab}{a+b}\) হলে, \(\frac{x + 4a}{x – 4a} +\frac{ x + 4b}{x – 4b}\) এর মান নির্ণয় কর।

\(Solution:\\\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}\)আবার\(\quad x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}\)

\(∴\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\\=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\\=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\\=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\\=\frac{2b-2a}{b-a}\\=\frac{2(b-a)}{b-a}=2\)

\(Ans: \frac{x + 4a}{x – 4a}+\frac{x + 4b}{x – 4b}\) এর মান 2

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) প্রমাণ কর কোন বৃত্তের একটি বৃত্ত চাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ চাপের দ্বারা গঠিত যে কোন বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
Ans:

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOB = 2∠ACBঅঙ্কনঃ C, O যুক্ত করে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।
প্রমাণঃ △AOC-এর OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OAC = ∠OCA
আবার, △AOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠AOD = ∠OAC + ∠OCA
              = 2∠OCA . . (i) . . [∠OAC = ∠OCA]
আবার△BOC-এর OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ∠OBC = ∠OCB
     △BOC-এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠BOD = ∠OBC + ∠OCB
              = 2∠OCB . . (ii) . . [∠OBC = ∠OCB]
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
      ∠AOD + ∠BOD = 2∠OCA + 2∠OCB
বা, ∠AOB = 2(∠OCA + ∠OCB)
বা, ∠AOB = 2∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB (প্রমাণিত)

(ii) প্রমাণ কর যে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরল রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
Ans:

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B = 90^o; AB = BC BD : CD = AB : AC

\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{AB^2+BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{BC^2+BC^2}}…[ ∵AB=BC]\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2BC^2}}\\\quad =\frac{BC}{\sqrt{2}.BC}\\\quad =\frac{1}{\sqrt{2}}\\∴ CD=\sqrt{2}BD\\⇒CD^2=2BD^2\quad (Proved)\)

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

স্বীকারঃ ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ OA² + OC² = OB² + OD²
অঙ্কন: O বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা AB ও DC বাহুন্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ: ABCD একটি আয়তক্ষেত্র
এবং PQ || BC (অঙ্কনানুসারে)
∴ PQ ⊥ AB এবং PQ ⊥ DC
∴ ΔΑΡΟ, ΔΒΡΟ, ΔCQO এবং ΔDQO প্রত্যেকে সমকোণী ত্রিভুজ।
ΔΑΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OA² = OP² + PA²
ΔBΡΟ-এর ক্ষেত্রে,
OB² = OP² + PB²
ΔCQO-এর ক্ষেত্রে,
OC² = OQ² + QC²
এবং ΔDQO-এর ক্ষেত্রে,
OD² = OQ² + QD²
APQD ও BPQC এরা প্রত্যেকে আয়তক্ষেত্র।
∴ PA = QD এবং PB = QC
OA² + OC²
= OP² + PA² + OQ² + QC²
= OP² + QD² + OQ² + PB²
. . .[∵ PA = QD; PB = QC]
= OQ² + QD² + OP² + PB²
= OB² + OD²[প্রমাণিত]

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) △ABC এর ভূমি BC = 6 সেমি, ∠ABC = 60° ও AB = 8 সেমি। ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি. ও 8 সেমি.এবং ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

(ii) 6 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন কর।

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

Solution: ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4
∴ ত্রিভুজের একটি কোণ 2x^c হলে অপর কোণ দুটি হবে 3x^c এবং 4x^c
∴ 2x + 3x + 4x = π
বা, 9x = π
বা, x = ^π/₉
∴ বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4×^π/₉^c = ^4π/₉^c
Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান ^4π/₉^c

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

\(Solution: tan θ = \frac{4}{3}\\∴sec θ = \sqrt{1 + tan^2 θ}\\=\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}\\ =\sqrt{\frac{9 + 16}{9}} = \frac{5}{3}\\∴ cos θ = \frac{3}{5}\\ sin θ = \sqrt{1 – cos^2 θ}\\\quad = \sqrt{1 – \left( \frac{3}{5} \right)^2}= \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \frac{4}{5}\)

∴ sin θ + cos θ
= ⁴/₅ + ³/₅ = ⁷/₅
Ans: sin θ + cos θ এর মান ⁷/₅

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।

Solution: A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ।
∴ A + B = 90°
⇒ A = 90° – B
L.H.S
= (sin A + cos A)²
= sin² A + cos² A + 2.sin A . cos A
=sin² A + cos² A + 2sin A . cos(90° – B)
= 1 + 2sin A sin B = R.H.S (Proved)

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একটি বাড়ীর ছাদ থেকে একটি ল্যাম্পপোষ্টের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও θ°। বাড়ী ও ল্যাম্পপোষ্টের উচ্চতার অনুপাত 3:2 হলে θ র মান নির্ণয় কর।
Solution:

চিত্রে, AB বাড়ী এবং CD ল্যাম্পপোষ্ট।
এখানে ∠EBD = ∠BDF = 30°. এবং
∠EBC = ∠BCA = θ
আবার ^AB/_CD = ³/₂
∴ CD = ²/₃ AB
BFD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BF/_FD = tan 30° = ¹/_√3
⇒ FD = √3BF
BAC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan θ = ^AB/_AC
⇒ tan θ = ^AB/_FD . . [∵ FD = AC]
⇒ tan θ = ^AB/_√3BF
⇒tan θ = ^AB/_{√3(AB – AF)}
⇒ tan θ = ^AB/_{√3(AB – CD)}
⇒ tan θ.√3(AB – ²/₃ AB) = AB
⇒ tan θ.√3AB(1 – ²/₃) = AB
⇒ tan θ.√3.¹/₃ = 1
⇒ tan θ.¹/_√3 = 1
⇒ tan θ = √3 = tan 60°
∴ θ = 60°
Ans: θ র মান 60°

(ii) একটি টিলার পাদদেশ থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° টিলার দিকে 30° ঢাল বেয়ে 100 মিটার যাওয়ার পর উন্নতি কোণ হয় 60°, টিলাটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
Solution:

ধরি, CF = h মিটার
এখানে BC হল টিলা
AE = 100 মিটার
∠CAD = 45°
∠EAD = 30°
∠CFE = 60°
ADE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^ED/_AE = sin 30°
⇒ ^ED/₁₀₀ = ¹/₂
⇒ ED = 50
আবার
   ^AD/_AE = cos 30°
⇒ ^AD/₁₀₀ = ^√3/₂
⇒ AD = 50√3
CFE সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^CF/_EF = tan 60°
⇒ ^h/_EF = √3
⇒ EF = ^h/_√3
∴ AB = AD + DB
          = 50√3 + ^h/_√3
          = ^{150 + h}/_√3
BC = BF + CF
        = 50 + h . . [∵ BF = ED] . . (i)
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
   ^BC/_AB = tan 45° = 1
⇒ BC = AB
⇒ 50 + h = ^{150 + h}/_√3
⇒50√3 + √3h = 150 + h
⇒ √3h – h = 150 – 50√3
⇒ h(√3 – 1) = 50√3(√3 – 1)
∴ h = 50√3
(i) নং থেকে পাই,
BC = 50 + 50√3
        = 50(1 + √3)
Ans: টিলাটির উচ্চতা 50(1 + √3) মিটার

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি নিরেট আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2 এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 468 বর্গসেমি, আয়তঘনকের আয়তন নির্ণয় কর।

Solution: আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 4:3:2
আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য 4x সেমি হলে প্রস্থ ও উচ্চতা হবে যথাক্রমে 3x সেমি এবং 2x সেমি
∴ আয়তঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(4x.3x + 3x.2x + 2x.4x) বর্গসেমি
=2(12x² + 6x² + 8x²)
= 52x² বর্গসেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
52x² = 468
বা, x² = 9
বা, x = ±3
∴ x = 3 . . [x > 0]
∴ আয়তঘনকের আয়তন
= 4x.3x.2x
= 24.x³
=24.3³
=24.27
= 648 ঘন সেমি
Ans: আয়তঘনকের আয়তন 648 ঘন সেমি

(ii) 20 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ ও বহিব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4 সেমি ও 5 সেমি। ঐ চোঙটিকে গলিয়ে চোঙের এক তৃতীয়াংশ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরী করা হল, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস নির্ণয় কর।

Solution: ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাসার্ধ(r) = 4 সেমি,
বহিব্যাসার্ধ(R) = 5 সেমি
এবং উচ্চতা(h) = 20 সেমি
∴ ফাঁপা চোঙের আয়তন
= π(R² – r²)h
= π(5² – 4²).20
=π(25 – 16).20
= 180π ঘন সেমি
ধরি নির্ণেয় শঙ্কুর ব্যাসার্ধ x সেমি
এখানে শঙ্কুর উচ্চতা = ¹/₃.20 সেমি
∴ শঙ্কুর আয়তন = ¹/₃.π.r².¹/₃.20
∴ ¹/₃.π.r².¹/₃.20 = 180π
বা, r² = 9.3.3
বা, r = ±9
∵ r > 0
∴ r =9
⇒2r = 18
Ans: শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 18 সেমি

(iii) 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্র জলপূর্ণ আছে। ঐ জল 3 সেমি ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা হল কতগুলি বোতল জলপূর্ণ হবে?

Solution: 9 সেমি দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধগোলাকার পাত্রে জল আছে
= ²/₃π9³
= 2π.3.81 ঘন সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ ³/₂ সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি
চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= π(³/₂)².4
= π.⁹/₄.4 = 9π ঘন সেমি
অর্ধগোলাকার পাত্রের জল দিয়ে চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করা যাবে
= ^2π.3.81/_9π বা 54 টি।
Ans: 54 টি বোতল জলপূর্ণ হবে।

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(i) নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় কর:

শ্রেণী পরিসংখ্যা	5-14	15-24	25-34	35-44	45-54	55-64
ছাত্রসংখ্যা	3	6	18	20	10	3

Solution: প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:
ধরি, কল্পিত গড় 39.5

বয়স (বছর)	শ্রেণী সীমানা	রোগীর সংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	f_id_i
5-14	4.5-14.5	3	9.5	-30	-90
15-24	14.5-24.5	6	19.5	-20	-120
25-34	24.5-34.5	18	29.5	-10	-180
35-44	34.5-44.5	20	39.5=a	0	0
45-54	44.5-54.5	10	49.5	10	100
55-64	54.5-64.5	3	59.5	20	60
মোট		Σf_i=60			Σf_id_i=-230

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় \(\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\\ =39.5+\frac{-230}{60}\\\ =39.5-\frac{23}{6}\\\ =39.5-3.83\\\ =35.67\)Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 35.67

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

শ্রেণী	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	14	10	12	4

Solution: প্রদত্ত তথ্যের বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল –

শ্রেণি	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক)
100 বা 100-এর বেশি	8+14+10+12+4=48
120 বা 120-এর বেশি	48-8=40
140 বা 140-এর বেশি	40-14=26
160 বা 160-এর বেশি	26-10=16
180 বা 180-এর বেশি	16-12=4

ছক কাগজের x -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক এবং y -অক্ষের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক একটি বাহুকে 10 একক ধরে (100, 48), (120, 40), (140, 26), (160, 16), (180, 4) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং একটি বক্ররেখা বা ওজাইভ (বৃহত্তর সূচক) পেলাম।

Madhyamik -26 Mathematics Solution

(iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করোঃ-

প্রাপ্ত নম্বর	10 এর কম	20 এর কম	30 এর কম	40 এর কম	50 এর কম	60 এর কম
শিক্ষার্থী সংখ্যা	8	15	29	42	60	70

Solution: প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	8
10 – 20	15 – 8 = 7
20 – 30	29 – 15 = 14
30 – 40	42 – 29 = 13
40 – 50	60 – 42 = 18
50 – 60	70 – 60 = 10

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 18
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 40 – 50
এখানে, l = 40; f₀ = 13;
f₁ = 18; f₂ = 10
h = 50 – 40 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

\(= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=40+\frac{18-13}{2×18-13-10}×10\\=40+\frac{5}{13}×10\\=40+\frac{50}{13}\)

= 40 + 3.846 (প্রায়)
= 43.35 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 43.35

MP 2026 English Solution

February 22, 2026

Complete Solution of MP-26 P. Sc

Complete Solution of MP-26 P. Sc

মাধ্যমিক ২০২৬ ভৌত বিজ্ঞান সমাধান

2026
PHYSICAL SCIENCE
Time – 3 Hours 15 Minutes
(First Fifteen minutes for reading the question paper only)
Full Marks-90

Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness, overwriting and bad handwriting.

বিভাগ ‘ক’
(সমস্ত প্রশ্নের উত্তর করা আবশ্যিক)

১। বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্ন। প্রতিটি প্রশ্নের নীচে চারটি করে বিকল্প উত্তর দেওয়া আছে। যেটি ঠিক সেটি লেখো: ১×১৫=১৫

১.১ নীচের কোন্ গ্যাসটি ওজোন স্তরে ওজোন ক্ষয়ে সহায়তা করে না?
(a) CFC          (b) NO₂
(c) CO₂          (d) NO
Ans: (c) CO₂

১.২ STPতে 11.2L NH₃ গ্যাসের ভর হল —
[N = 14, H = 1]
(a) 17 g          (b) 8.5 g
(c) 34 g         (d) 1.2 g
Ans: (b) 8.5 g
[STPতে 22.4L ,
NH₃ গ্যাসের ভর = 14 + 1×3 = 17 g
∴ 11.2L NH3 গ্যাসের ভর
= ¹⁷/_22.4 × 11.2 = 8.5 g]

১.৩ নীচের রাসায়নিক সমীকরণ অনুযায়ী
CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O
5 মোল CH₄ সম্পূর্ণ দহন করতে STPতে কত আয়তন O₂ লাগবে?
(a) 224 L           b) 448 L
(c) 44.8 L         (d) 22.4 L
Ans: (a) 224 L
[ 1 মোল CH₄ সম্পূর্ণ দহন করতে 2 মোল O₂ লাগে
∴ 5 মোল CH₄ সম্পূর্ণ দহন করতে 2×5 = 10 মোল O₂ লাগবে।
STPতে,
1 মোল O₂-এর আয়তন 22.4 L
∴ 10 মোল O₂-এর আয়তন 22.4×10 = 224 L]

১.৪ তাপ পরিবাহিতাঙ্কের SI একক হল —
(a) ওয়াট.মিটার^-1                    (b) ক্যালোরি.মিটার^-1
(c) ওয়াট.মিটার.কেলভিন    (d) ওয়াট.মিটার^-1.কেলভিন^-1
Ans: (d) ওয়াট.মিটার^-1.কেলভিন^-1

১.৫ মানুষের সুস্থ চোখের ক্ষেত্রে দূরবিন্দুর অবস্থান হল —
(a) 25 cm দূরত্বে          (b) 100 cm দূরত্বে
(c) অসীম দূরত্বে          (d) 0 cm দূরত্বে
Ans: (c) অসীম দূরত্বে

১.৬ যখন কোন আলোকরশ্মি কাচের ফলকে বা স্ল্যাবে উল্লম্বভাবে আপতিত হয়, তখন চ্যুতিকোণের মান হবে —
(a) 0°              (b) 90°
(c) 180°          (d) 30°
Ans: (a) 0°

১.৭ কত সংখ্যক ইলেকট্রনের মোট আধান 1C?
(a) 1.6×10¹⁹          (b) 6.25×10¹⁰
(c) 6.25×10¹⁸       (d) 6.023×10²³
Ans: (c) 6.25×10¹⁸
[1টি ইলেকট্রনের আধান 1.6×10^-19C
∴ মোট ইলেকট্রন সংখ্যা
= ¹/_1.6×10^-19
= ¹⁰⁰/_1.6×10^-18 = 6.25×10¹⁸ টি]

১.৮ তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে রোধ হ্রাস পায় —
(a) তামার          (b) নাইক্রোমের
(c) কাচের         (d) সিলিকনের
Ans: (d) সিলিকনের
[সিলিকন একটি অর্ধপরিবাহী পদার্থ। তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে অর্ধপরিবাহীর রোধ হ্রাস পায়।]

১.৯ একটি ইলেকট্রনের ভর m হলে, একটি β-কণার ভর হল —
(a) m              (b) 2 m
(c) 3 m          (d) 4 m
Ans: (a) m
[β কণা হলো উচ্চ গতিসম্পন্ন ইলেকট্রন কনার স্রোত।]

Complete Solution of MP-26 P. Sc

১.১০ মৌলের পারমাণবিক সংখ্যা 19 হলে, আধুনিক পর্যায়সারণীতে মৌলটি কোন্ শ্রেণিতে অবস্থান করবে ?
(a) 1             (b) 2
(c) 18          (d) 9
Ans: (a) 1
[পারমাণবিক সংখ্যা 19 হলে, মৌলটির ইলেকট্রন বিন্যাস হবে 2, 8, 8, 1]

১.১১ অ্যামোনিয়া শুষ্ককরণের জন্য ব্যবহৃত হয় —
(a) CaCl₂           (b) CaO
(c) H₂SO₄          (d) P₂O₅
Ans: (b) CaO

১.১২ নীচের কোন্ মৌলটি ডুরালুমিনে উপস্থিত থাকে না?
(a) Al            (b) Zn
(c) Cu          (d) Mg
Ans: (b) Zn
[ডুরালুমিন = Al(95%) + Cu(4%) + Mg(0.5%) + Mn(0.5%)]

SEMESTER-2 CIRCLE বৃত্ত Complete solution of Circle

১.১৩ কপার সালফেটের জলীয় দ্রবণে অতিরিক্ত পরিমাণ জলীয় অ্যামোনিয়া যোগ করলে উৎপন্ন দ্রবণের রঙ কি হবে?
(a) হলুদ          (b) কমলা
(c) সবুজ         (d) গাঢ় নীল
Ans: (d) গাঢ় নীল

১.১৪ নীচের কোনটির তড়িৎ পরিবহন ক্ষমতা সর্বাধিক?
(a) চিনির জলীয় দ্রবণের          (b) বিশুদ্ধ জলের
(c) তরল হাইড্রোজেন ক্লোরাইডের
(d) অ্যাসিটিক্ অ্যাসিডের জলীয় দ্রবণের
Ans: (c) তরল হাইড্রোজেন ক্লোরাইডের

১.১৫ মিথেন অণুতে H-C-H বন্ধন কোণের মান হল —
(a) 109°28′          (b) 108°29′
(c) 100°                 (d) 180°
Ans: (a) 109°28′

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

বিভাগ ‘খ’

২। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ১×২১=২১

২.১ বায়োগ্যাসের মূল উপাদানটির নাম লেখো।       ১
Ans: বায়োগ্যাসের মূল উপাদানটি হলো মিথেন (CH₄)।
                                    অথবা
আমাদের শ্বাসক্রিয়ার সঙ্গে জড়িত এমন একটি গ্যাসের নাম লেখো যেটির পরিমাণ বায়ুমণ্ডলে বাড়লে বিশ্বউষ্ণায়ন ঘটে।       ১
Ans: আমাদের শ্বাসক্রিয়ার সঙ্গে জড়িত কার্বন-ডাই-অক্সাইডের (CO2) পরিমাণ বায়ুমণ্ডলে বাড়লে বিশ্বউষ্ণায়ন ঘটে।

২.২ প্রাকৃতিক গ্যাসের তাপনমূল্য 50KJg^-1 বলতে কি বোঝায়?       ১
Ans: প্রাকৃতিক গ্যাসের তাপনমূল্য 50KJg^-1 বলতে বোঝায় যে 1 গ্রাম প্রাকৃতিক গ্যাসের সম্পূর্ণ দহনে 50KJ তাপ শক্তি উৎপন্ন হয়।

২.৩ নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা লেখো:
একই উষ্ণতা ও চাপে সমআয়তন সকল গ্যাসে সমান সংখ্যক পরমাণু থাকে।       ১
Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা
[সত্য: একই উষ্ণতা ও চাপে সমআয়তন সকল গ্যাসে সমান সংখ্যক অণু থাকে।]

২.৪ আদর্শ গ্যাস ধ্রুবকের SI এককটি লেখো।       ১
Ans: আদর্শ গ্যাস ধ্রুবকের SI এককটি হলো J.K^-1.mol^-1 বা জুল প্রতি কেলভিন প্রতি মোল

২.৫ নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা লেখো:
কোনো তরলের প্রকৃত প্রসারণ ওই তরলটি যে পাত্রে রাখা হয় তার প্রসারণের উপর নির্ভর করে।       ১
Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা।
                                    অথবা
কোন পরিবাহীর বেধ এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকলে ওই পরিবাহীর তাপীয় রোধ এবং তাপ পরিবাহিতার মধ্যে সম্পর্ক কি?       ১
Ans: পরিবাহীর তাপীয় রোধ এবং তাপ পরিবাহিতার মধ্যে সম্পর্ক:
পরিবাহিতা = ¹/_{তাপীয় রোধ}
অর্থাৎ তাপীয় রোধ ও পরিবাহিতা একে অপরের অনোন্যক।

Complete Solution of MP-26 P. Sc

২.৬ কোন্ বর্ণের আলোর বিক্ষেপণ সর্বনিম্ন?       ১
Ans: লাল বর্ণের আলোর বিক্ষেপণ সর্বনিম্ন।

২.৭ একটি প্রাকৃতিক বর্ণালির উদাহরণ দাও।       ১
Ans: রামধনুএকটি প্রাকৃতিক বর্ণালি।

২.৮ এমন একটি যন্ত্রের নাম লেখো যেখানে তড়িৎশক্তি যান্ত্রিক শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।       ১
Ans: বৈদ্যুতিক মোটরে তড়িৎশক্তি যান্ত্রিক শক্তিতে রূপান্তরিত হয়।

২.৯ 1C তড়িৎ আধানকে 1V বিভব প্রভেদের বিরুদ্ধে নিয়ে যেতে কত পরিমাণ কার্য করতে হবে?       ১
Ans: 1C তড়িৎ আধানকে 1V বিভব প্রভেদের বিরুদ্ধে নিয়ে যেতে 1 জুল কার্য করতে হবে।

২.১০ ধনাত্মক আধানযুক্ত তেজস্ক্রিয় কণাটির নাম লেখো।       ১
Ans: ধনাত্মক আধানযুক্ত তেজস্ক্রিয় কণাটির নাম আলফা কনা (α কনা)
                                   অথবা
পারমাণবিক চুল্লিতে কোন্ ধরণের নিউক্লীয় বিক্রিয়ার সাহায্যে শক্তি উৎপাদিত হয়?       ১
Ans: পারমাণবিক চুল্লিতে নিউক্লয় বিভাজন বা নিউক্লিয়ার ফিসনের সাহায্যে শক্তি উৎপাদিত হয়।

২.১১ বাম স্তম্ভের সঙ্গে ডান স্তম্ভের সামঞ্জস্য বিধান করো: ১×৪=৪

বাম স্তম্ভ	ডান স্তম্ভ
২.১১.১ সর্বাধিক তড়িৎ ঋণাত্মক মৌল ২.১১.২ রেড হেমাটাইট থেকে নিষ্কাশিত হয় ২.১১.৩ যে মৌলের অ্যানায়ন লোহার মরিচা পড়াকে ত্বরান্বিত করে ২.১১.৪ ধাতু সংকর পিতলে যে ধাতুটির শতকরা পরিমাণ অন্য ধাতুটির শতকরা পরিমাণ থেকে বেশি।	(a) Cu (b) Cl (c) F (d) Fe

বাম স্তম্ভ

ডান স্তম্ভ

২.১১.১ সর্বাধিক তড়িৎ ঋণাত্মক মৌল
২.১১.২ রেড হেমাটাইট থেকে নিষ্কাশিত হয়
২.১১.৩ যে মৌলের অ্যানায়ন লোহার মরিচা পড়াকে
ত্বরান্বিত করে
২.১১.৪ ধাতু সংকর পিতলে যে ধাতুটির শতকরা
পরিমাণ অন্য ধাতুটির শতকরা পরিমাণ থেকে বেশি।

(a) Cu
(b) Cl
(c) F

(d) Fe

Ans:
২.১১.১ সর্বাধিক তড়িৎ ঋণাত্মক মৌল         (c) F
২.১১.২ রেড হেমাটাইট থেকে নিষ্কাশিত হয়     (d) Fe
২.১১.৩ যে মৌলের অ্যানায়ন লোহার মরিচা 
       পড়াকে ত্বরান্বিত করে                (b) Cl
২.১১.৪ ধাতু সংকর পিতলে যে ধাতুটির
       শতকরা পরিমাণ অন্য ধাতুটির শতকরা
       পরিমাণ থেকে বেশি।                 (a) Cu

২.১২ নীচের যৌগগুলির মধ্যে কোনটি সমযোজী যৌগ?
            পটাসিয়াম ক্লোরাইড, সোডিয়াম ব্রোমাইড, কার্বন টেট্রাক্লোরাইড। ১
Ans: কার্বন টেট্রাক্লোরাইড সমযোজী যৌগ।

২.১৩ গোল্ড প্লেটিং এর জন্য ব্যবহৃত তড়িদ্বিশ্লেষ্যটির নাম লেখো।         ১
Ans: গোল্ড প্লেটিং এর জন্য সামান্য পরিমাণে পটাশিয়াম হাইড্রোজেন ফসফেট[K₂HPO₄] এবং পটাশিয়াম কার্বনেট[K₂CO₃] মিশ্রিত পটাশিয়াম অরোসায়ানাইডের K[Au(CN)₂] দ্রবনকে তড়িদ্বিশ্লেষ্য হিসাবে ব্যবহার করা হয়।
                                   অথবা
কোনো তড়িবিশ্লেষ্য পদার্থের জলীয় দ্রবণ তড়িদিদ্বশ্লেষণের সময়ে ওই দ্রবণে কিসের মাধ্যমে তড়িতের পরিবহণ ঘটে?           ১
Ans: কোনো তড়িবিশ্লেষ্য পদার্থের জলীয় দ্রবণ তড়িদিদ্বশ্লেষণের সময়ে ওই দ্রবণে আয়নের মাধ্যমে তড়িতের পরিবহণ ঘটে।

২.১৪ তড়িদ্‌বিশ্লেষণে পরিবর্তী প্রবাহ ব্যবহার করা যায় না কেন? ১
Ans: পরবর্তী প্রবাহে প্রতি মুহুর্তে তড়িৎ প্রবাহের অভিমুখ পরিবর্তিত হওয়ায় তড়িৎদ্বারের ক্যাথোড ও অ্যানোডের প্রকৃতিও দ্রুত পরিবর্তিত হতে থাকে। তাই তড়িদিদ্বশ্লেষণের সময়ে পরবর্তী প্রবাহ (ac) ব্যবহার করলে তড়িতবিশ্লেষ্যের আয়নগুলি কোনো তড়িতদ্দ্বার দ্বারাই আকৃষ্ট হয় না এবং গতিহীন অবস্থায় থাকে। ফলে তড়িৎ বিশ্লেষণ প্রক্রিয়াটি সংঘটিত হয় না।

২.১১.৪ ধাতু সংকর পিতলে যে ধাতুটির শতকরা পরিমাণ অন্য ধাতুটির শতকরা পরিমাণ থেকে বেশি।
Ans: (a) Cu

Complete Solution of MP-26 P. Sc

২.১৫ লেড নাইট্রেটের জলীয় দ্রবণে H₂S গ্যাস চালনা করলে যে কালো রঙের অধঃক্ষেপ পড়ে তার সংকেত লেখো।             ১
Ans: লেড নাইট্রেটের জলীয় দ্রবণে H₂S গ্যাস চালনা করলে যে কালো রঙের অধঃক্ষেপ পড়ে তার সংকেত PbS
                                   অথবা
শূন্যস্থান পূরণ করো:
2NH₃ + CO₂ → ______ + H₂O                              ১
Ans: (NH₂)₂CO বা NH₂CONH₂ বা CO(NH₂)₂

২.১৬ দুটি গ্যাসের রাসায়নিক বিক্রিয়ায় কঠিন পদার্থ উৎপন্ন হওয়ার রাসায়নিক সমীকরণটি লেখো।                                           ১
Ans: দুটি গ্যাসের রাসায়নিক বিক্রিয়ায় কঠিন পদার্থ উৎপন্ন হওয়ার রাসায়নিক সমীকরণ:
       NH₃(g) + HCl(g) → NH₄Cl(s)

২.১৭ নীচের জৈব যৌগটির IUPAC নাম লেখো।       ১
      H   H   H    
      |   |   |    
  H - C - C - C - H  
      |   |   |  
      H  OH   H

Ans: জৈব যৌগটির IUPAC নাম প্রোপান-2-অল
অথবা
ইথানোয়িক অ্যাসিডের গঠন সংকেত লেখো। ১
Ans: ইথানোয়িক অ্যাসিডের গঠন সংকেত:

      H    O      
      |   ||      
  H - C -  C - OH → CH₃COOH
      |    
      H

২.১৮ PVC (পলিভিনাইল ক্লোরাইড) এর একটি ব্যবহার লেখো। ১
Ans: বৈদ্যুতিক তারের আ আচ্ছাদন তৈরিতে পিভিসি ব্যবহার করা হয় ।

বিভাগ ‘গ’

৩। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ২×৯=১৮

৩.১ স্থিতিশীল উন্নয়নের ধারণা কী? ২
Ans: স্থিতিশীল উন্নয়ন হল এমন এক দীর্ঘমেয়াদি, সামগ্রিক ও বাস্তব উন্নয়ন ব্যবস্থা, যার মাধ্যমে পরিবেশের ভারসাম্য ও প্রাকৃতিক সম্পদ বজায় রেখে বর্তমান প্রজন্মের প্রয়োজনীয়তা পূরণ করা হয়, ভবিষ্যৎ প্রজন্মের প্রয়োজনীয়তা পূরণের ক্ষমতাকে ক্ষতি না করে। অর্থাৎ স্থিতিশীল উন্নয়ন পরিবেশগত ভারসাম্য রক্ষা করে, প্রাকৃতিক সম্পদের যথাযথ ব্যবহার নিশ্চিত করে বর্তমান এবং ভবিষ্যৎ প্রজন্মের অর্থনৈতিক, সামাজিক চাহিদা পূরণে সহায়ক হয়।

৩.২ 0°C তাপমাত্রায় থাকা নির্দিষ্ট পরিমাণ কোনো একটি গ্যাসকে উত্তপ্ত করা হল। যখন ঐ গ্যাসের চাপ এবং আয়তন উভয়ই আরম্ভকালের তুলনায় দ্বিগুণ বৃদ্ধি পায়, তখন ঐ গ্যাসের তাপমাত্রা কত? ২

Solution: গ্যাসের প্রাথমিক তাপমাত্রা(T₁) = 0°C = 273K
ধরি, প্রাথমিক চাপ(P₁) = P
প্রাথমিক আয়তন(V₁) = V
অন্তিম চাপ(P₂) = 2P
প্রাথমিক আয়তন(V₂) = 2V
অন্তিম তাপমাত্রা(T₂) = ??
Pচার্লস ও বয়েলের সম্বন্বয় সূত্রানুযায়ী,

\(\quad \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}\\∴ \frac{P×V}{273} = \frac{2P×2V}{T_2}\\⇒\frac{1}{273} = \frac{4}{T_2}\)

⇒ T₂ = 1092
∴ গ্যাসের অন্তিম তাপমাত্রা
= 1092 K = (1092 – 273)°C
= 819°C
Ans: গ্যাসের অন্তিম তাপমাত্রা 819°C
অথবা
2g ভরের কোনো গ্যাস 7°C তাপমাত্রায় এবং 2 atm চাপে 820 ml আয়তন অধিকার করে। গ্যাসটির মোলার ভর নির্ণয় করো।
[R = 0.082 L .atm.mole^-1 K^-1] ২
Solution:এখানে,
গ্যাসের ভর(w) = 2g
তাপমাত্রা(T) = 7°C = (7 + 273)K = 280K
চাপ(P) = 2 atm
আয়তন(V) = 820 ml = ⁸²⁰/₁₀₀₀ L = 0.82 L
মোলার ভর(M) = ?

\(∵ PV = \frac{w}{MRT}\\ ∴ 2 × 0.82 = \frac{2}{M × 0.082 × 280}\)

⇒ M × 2 × 0.82 = 2 × 0.082 × 280
⇒ M = 28
Ans: গ্যাসটির মোলার ভর 28 g.mole^-1

৩.৩ 1.5 প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট কাচের ফলকের বা স্ল্যাবের মধ্য দিয়ে একটি আলোকরশ্মির গতিবেগ কত হবে, নির্ণয় করো। [c=3×10⁸ m.s^-1] ২

Solution: এখানে,
প্রতিসরাঙ্ক(μ) = 1.5= ¹⁵/₁₀ = ³/₂
আলোকের গতিবেগ(c) = 3×10⁸ ms^-1
আমরা জানি,
μ = ^c/_v
∴ ³/₂ = ^3×10⁸/_v
বা, ^v/₂ = 10⁸
বা, v = 2×10⁸
Ans: আলোকরশ্মির গতিবেগ 2×10⁸ m.s^-1
অথবা

একটি উত্তল লেন্স একটি বস্তুর 10 গুণ বিবর্ধিত প্রতিবিম্ব গঠন করে। যদি বস্তুটির দৈর্ঘ্য 5 cm হয় তবে প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। ২
Solution: এখানে,
বিবর্ধন(m) = 10
বস্তুর দৈর্ঘ্য = 5 cm
∵ বিবর্ধন(m)= ^{প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য}/_{বস্তুর দৈর্ঘ্য}
∴ 10 = ^{প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য}/₅
বা, প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য = 50
Ans: প্রতিবিম্বের দৈর্ঘ্য50 cm

৩.৪ 5Ω রোধ বিশিষ্ট কোন একটি তারের দৈর্ঘ্য টেনে 20% বৃদ্ধি করা হল। বৃদ্ধির পরে ঐ তারের আয়তন স্থির থাকলে এবং তারটির প্রস্থচ্ছেদ সর্বত্র সমান থাকলে, ঐ তারটির নতুন রোধ নির্ণয় করো। ২

Solution: প্রাথমিক রোধ(R₁) = 5Ω
প্রাথমিক দৈর্ঘ্য(l₁) = l একক

প্রাথমিক প্রস্থচ্ছেদ\((A_1) = \frac{V}{l_1} = \frac{V}{l}\) বর্গ একক . . .[V = তারের আয়তন]

ধরি, অন্তিম রোধ(R₂) = R Ω

অন্তিম দৈর্ঘ্য\((l_2) = l + l×\frac{20}{100} = l × \frac{120}{100} = 1.2l\) একক

অন্তিম প্রস্থচ্ছেদ\((A_2) = \frac{V}{l_2} = \frac{V}{1.2l}\) বর্গ একক

তারটির রোধাঙ্ক ρ হলে,

\(\quad R_1 = \frac{ρl_1}{A_1},\ \quad R_2 = \frac{ρl_2}{A_2}\\∴ \frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{ρl_1}{A_1}}{\frac{ρl_2}{A_2}}\\⇒\frac{5}{R} = \frac{\frac{l_1}{A_1}}{\frac{l_2}{A_2}}\\⇒\frac{5}{R} = \frac{l_1}{A_1}×\frac{A_2}{l_2}\\⇒\frac{5}{R} = \frac{l×l}{V}×\frac{V}{1.2l×1.2l}\\⇒\frac{5}{R} = \frac{1}{1.2×1.2}\\⇒R=5×1.44=7.2\)

Ans: তারটির নতুন রোধ 7.2 Ω

৩.৫ তরল হাইড্রোজেন ক্লোরাইড তড়িৎ পরিবহনে সক্ষম নয় কিন্তু গলিত সোডিয়াম ক্লোরাইড তড়িৎ পরিবহনে সক্ষম ব্যাখ্যা করো।                 ২
Ans: তরল হাইড্রোজেন ক্লোরাইড সমযোজী যৌগ। এতে কোনো মুক্ত আয়ন বা ইলেকট্রন থাকে না। তাই তরল হাইড্রোজেন ক্লোরাইড তড়িৎ পরিবহনে সক্ষম নয়।
      কিন্তু গলিত সোডিয়াম ক্লোরাইড আয়নীয় যৌগ। গলিত সোডিয়াম ক্লোরাইডে এর উপাদান NaCl, সোডিয়াম(Na⁺) আয়ন এবং ক্লোরাইড (Cl^–) আয়নে ভেঙে যায়। এই মুক্ত আয়নগুলোই তড়িৎ পরিবহনে সাহায্য করে। তাই গলিত সোডিয়াম ক্লোরাইড তড়িৎ পরিবহনে সক্ষম ।
                                   অথবা

একটি উপযুক্ত আয়নীয় যৌগের উদাহরণ দিয়ে বুঝিয়ে দাও যে এর আয়নগুলি অষ্টক নীতি মান্য করে না। ২
Ans: লিথিয়াম হাইড্রাইড (LiH) হল এমন একটি আয়নীয় যৌগ যা অষ্টক নীতি মান্য করে না। লিথিয়াম এর পারমাণবিক ক্রমাঙ্ক 3 এবং হাইড্রোজেনের পারমাণবিক ক্রমাঙ্ক 1 লিথিয়াম হাইড্রাইড যৌগ গঠনের সময় লিথিয়াম তার সর্ববহিস্ত কক্ষের একটি ইলেকট্রন ত্যাগ করে Li⁺ আয়নে পরিণত হয়। অপরদিকে হাইড্রোজেন, লিথিয়াম কর্তৃক বর্জিত সেই ইলেকট্রন গ্রহণ করে H^– অ্যানায়নে পরিণত হয়।
Li⁺ এবং H^– – এই দুই আয়ন নিজেদের মধ্যে আয়নীয় বন্ধন দ্বারা যুক্ত হয়ে গঠন করে লিথিয়াম হাইড্রাইড যৌগ। এখানে, লিথিয়াম বা হাইড্রোজেন – কোনো মৌলেরই অষ্টক পূর্তি ঘটেনা অর্থাৎ এই আয়নীয় যোগের আয়নগুলি অষ্টক নীতি মান্য করে না।

মাধ্যমিক ২০২৬ ভৌত বিজ্ঞান সমাধান

৩.৬ একটি কঠিন এবং একটি তরল সমযোজী যৌগের উদাহরণ দাও। ২
Ans: ▶️ একটি কঠিন সমযোজী যৌগ ন্যাপথালিন
▶️ একটি তরল সমযোজী যৌগে জল ইথানল।

৩.৭ কিপ্ যন্ত্রের সাহায্যে প্রস্তুত করা যায় এমন একটি গ্যাসের নাম লেখো। গ্যাসটির প্রস্তুতির বিক্রিয়ার শমিত রাসায়নিক সমীকরণটি লেখো।      ২
Ans: ▶️ কিপ্ যন্ত্রের সাহায্যে হাইড্রোজেন সালফাইড প্রস্তুত করা যায়।
▶️ শমিত রাসায়নিক সমীকরণ
          FeS + H₂SO₄ = FeSO₄ + H₂S

৩.৮ মুক্ত বায়ুতে তামার পাত্র সবুজ বর্ণ ধারণ করে কেন?      ২
Ans: মুক্ত বায়ুতে তামার পাত্র রেখে দিলে তামা বাতাসের জলীয়বাষ্পের উপস্থিতিতে অক্সিজেন সালফার ডাই-অক্সাইড এবং কার্বন ডাই-অক্সাইডের সাথে বিক্রিয়া করে সবুজ রঙের ক্ষারীয় কপার কার্বনেট [CuCO₃.Cu(OH)₂] ও ক্ষারীয় কপার সলফেটের [CuSO₄.3Cu(OH)₂] একটি আস্তরণ তৈরি করে। ফলে তামার পাত্র সবুজ বর্ণ ধারণ করে।
বিক্রিয়ার শমিত রাসায়নিক সমীকরণটি হল:
    2Cu + H₂O + O₂ + CO₂ = [CuCO₃.Cu(OH)₂]
    8Cu + 6H₂O + 5O₂ + 2SO₂ = 2[CuSO₄.3Cu(OH)₂]

                                   অথবা
তামার এবং পিতলের পাত্রে দীর্ঘ সময় দই ও টক স্বাদের ফল রাখা হয় না কেন তার দুটি কারণ লেখো।      ২
Ans: তামার এবং পিতলের পাত্রে দীর্ঘ সময় দই ও টক স্বাদের ফল রাখা হয় না। এর মূল কারণ দুটি হলো:
     (i) বিষাক্ত যৌগ গঠন: দইয়ের ল্যাকটিক অ্যাসিড এবং টক ফলে থাকা বিভিন্ন ধরনের অ্যাসিড তামার ও পিতলের সাথে বিক্রিয়া করে কপার কার্বনেট বা অন্যান্য বিষাক্ত লবণ তৈরি করে, যা খাদ্যকে বিষাক্ত করে তোলে।
     (ii) খাদ্যে বিষক্রিয়া ও স্বাদ পরিবর্তন: এই রাসায়নিক বিক্রিয়ার ফলে খাবারের পুষ্টিগুণ নষ্ট হয় এবং সেটি খেলে পেটের সমস্যাসহ বিভিন্ন ধরনের শারীরিক উপসর্গ দেখা দিতে পারে।

৩.৯ CH₃COOH — একটি জৈবযৌগ কিন্তু NaHCO₃ — জৈব যৌগ নয় কেন উভয় ক্ষেত্রে একটি করে কারণ লেখো ২

Ans: CH₃COOH একটি জৈবযৌগ কারন CH₃COOH- এর মধ্যে ক্যাটিনেশন ধর্ম দেখা যায় এবং এটি সমগনীয় শ্রেনীর মধ্যে পড়ে।
    কিন্তু NaHCO₃ একটি আয়নীয় যৌগ এবং এর মধ্যে ক্যাটিনেশন ধর্ম দেখা যায় না এবং এটি কোনো সমবায়বতা ধর্ম দেখয় না। তাই NaHCO₃ জৈব যৌগ নয়।
                                   অথবা
ইথিলিন-এর গঠন সংকেতের সাহায্যে দেখাও যে এটি একটি অসম্পৃক্ত হাইড্রোকার্বন।       ২
Ans: অসম্পৃক্ত যৌগে দ্বিবন্ধ/ত্রিবন্ধ থাকে। ইথিলিন-এর গঠন সংকেত হল

সুতরাং দেখা যাচ্ছে ইথিলিনের গঠন সংকেতের মধ্যে দুটি কার্বন পরমানু পরস্পরের সঙ্গে সমযোজী দ্বিবন্ধন দ্বারা যুক্ত থাকে।এছাড়া ক্লোরোফর্ম বা কার্বন টেট্রাক্লোরাইডে দ্রবীভূত ব্রোমিনের লাল দ্রবণে ইথিলিন পাঠালে বর্ণহীন, তৈলাক্ত ইথিলিন ডাইব্রোমাইড উৎপন্ন হয়।

           Br₂/CCl₄    
 H₂C = CH₂ --------→ H₂C - CH₂  
                      |    | 
                      Br   Br 

তাই এটি একটি অসম্পৃক্ত হাইড্রোকার্বন।

2026 ICC Men’s T20 World Cup
২০২৬ আইসিসি পুরুষ টি২০ বিশ্বকাপ

বিভাগ ‘ঘ’

৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ৩×১২ = ৩৬

৪.১ চার্লসের সূত্রটি লেখো এবং ব্যাখ্যা করো। চার্লসের সূত্র থেকে সেলসিয়াস স্কেলে পরম শূন্যের মান নির্ণয় করো। ১+২
Ans: চার্লসের সূত্র: স্থির চাপে প্রতি 1°C উষ্ণতা বৃদ্ধি বা হ্রাসের জন্য নির্দিষ্ট ভরের কোনো গাসের আয়তন, উক্ত গ্যাসের 0°C উষ্ণতায় যে আয়তন হয়, তার ¹/₂₇₃ অংশ যথাক্রমে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়।

চার্লসের সূত্রের ব্যাখ্যা: ধরি, স্থির চাপে নির্দিষ্ট ভরের একটি গ্যাসের 0°C, 1°C এবং t°C উষ্ণতায় আয়তন যথাক্রমে V₀, V₁ এবং V_t;
চার্লসের সূত্রানুসারে,
1°C উষ্ণতা বৃদ্ধিতে গ্যাসের আয়তন বৃদ্ধি = V₀×¹/₂₇₃ এবং
t°C উষ্ণতা বৃদ্ধিতে গ্যাসের আয়তন বৃদ্ধি = V₀×^t/₂₇₃
∴ 1°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন
      V₁ = V₀ + V₀×¹/₂₇₃ = V₀(1 + ¹/₂₇₃)
একইভাবে, t°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন
      V_t = V₀ + V₀×^t/₂₇₃ = V₀(1 + ^t/₂₇₃)
আবার, -t°C উষ্ণতা হ্রাসের জন্য গ্যাসের আয়তন হ্রাস = V₀×^t/₂₇₃
-t°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন,
     V_-t = V₀ – V₀×^t/₂₇₃ = V₀(1 – ^t/₂₇₃)

▶️ পরম শূন্যের মান নির্ণয়:
     পরমশূন্য উষ্ণতা: স্থির চাপে যে নির্দিষ্ট উষ্ণতায় নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন শূন্য হয়ে যায়, তাকে পরমশূন্য উষ্ণতা বলে।
স্থির চাপে নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন O°C ও t°C উষ্ণতায় যথাক্রমে V₀ ও V_t হলে,
চার্লস সূত্রানুসারে,
     V_t = V₀(1 + ^t/₂₇₃)
স্থির চাপে নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের ক্ষেত্রে,
     t = – 273°C হলে,
ওই উষ্ণতায় গ্যাসটির আয়তন হবে
     V_t = V₀(1 – ²⁷³/₂₇₃) = V₀(1 – 1) = 0
সুতরাং স্থির চাপে নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের ক্ষেত্রে – 273°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন শূন্য হয়ে যায়।
সেলসিয়াস স্কেলে পরম শূন্যের মান – 273°C

৪.২ 216g HgO কে উত্তপ্ত করে যে পরিমাণ অক্সিজেন পাওয়া যায়, সেই পরিমাণ অক্সিজেন পেতে কী পরিমাণ KCIO3 কে উত্তপ্ত করতে হবে?
[ Hg = 200 , K = 39, Cl = 35.5 , 0 = 16 ] ৩

Solution:
      2HgO = 2Hg + O₂
2(200+16)           2×16
= 432                   = 32
432 g HgO থেকে O₂ পাওয়া যায় 32 g
     1 g HgO থেকে O₂ পাওয়া যায় ³²/₄₃₂g
216g HgO থেকে O₂ পাওয়া যায় ^32×216/₄₃₂ = 16 g
          2KCIO₃   =   2KCI + 3O₂
2(39+35.5+3×16)            6×16
= 2×122.5
   6×16 g O₂-এর জন্য প্রয়োজন 2×122.5 g KCIO₃
      1 g  O₂-এর জন্য প্রয়োজন ^2×122.5/_6×16 g KCIO₃
   16g O₂-এর জন্য প্রয়োজন ^2×122.5×16/_6×16 g KCIO₃
                                                      = ^122.5/₃ = 40.83g KCIO₃
Ans: 40.83g KCIO₃ কে উত্তপ্ত করতে হবে।
                                   অথবা

কোনো ধাতব কার্বনেটের 200 g উত্তপ্ত করলে 112 g ধাতব অক্সাইড এবং একটি গ্যাসীয় যৌগ উৎপন্ন হয়। গ্যাসীয় যৌগটির বাষ্প ঘনত্ব 22। বিক্রিয়াটিতে কত মোল গ্যাসীয় যৌগটি উৎপন্ন হয়? ৩
Solution: ধরি, A ধাতব কার্বনেটকে উত্তপ্ত করলে ধাতব অক্সাইড B এবং গ্যাসীয় যৌগ C উৎপন্ন হয়।
∴ A = B + C
এখানে A = 200 g এবং B = 112 g
ভরের সংরক্ষণ সূত্রানুসারে,
C = A – B = (200 – 112) g = 88 g
∴ 88 g গ্যাসীয় যৌগ উৎপন্ন হয়।
গ্যাসীয় যৌগটির বাষ্প ঘনত্ব 22
∴ আনবিক ভর = 2×22 = 44 g
44 g গ্যাসীয় যৌগ C = 1 মোল C
∴ 88 g গ্যাসীয় যৌগ C = ^1×88/₄₄ = 2 মোল C
Ans: বিক্রিয়াটিতে 2 মোল গ্যাসীয় যৌগ উৎপন্ন হয়।

৪.৩ লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 12×10^-6/°C- ব্যাখ্যা করো। তাপ প্রয়োগে তরলের আয়তন প্রসারণের একটি উদাহরণ দাও। ২+১

Ans: লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 12×10^-6/^°C বলতে বোঝায় যে, প্রতি ডিগ্রি সেলসিয়াস উষ্ণতা বৃদ্ধি বা হ্রাসের জন্য লোহার দৈর্ঘ্য প্রাথমিক দৈর্ঘ্যের 12×10^-6 অংশ বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়।
▶️ তাপ প্রয়োগে তরলের আয়তন প্রসারণের একটি উদাহরণ হলো –
তাপ প্রয়োগে থার্মোমিটারে পারদে স্তম্ভের উচ্চতা বৃদ্ধি। অথবা

তরলের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক এবং তরলের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্কের সংজ্ঞা দাও। তাদের মধ্যে সম্পর্কটি লেখো। ২+১
Ans: তরলের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক: কোনো তরলের উষ্ণতা একক পরিমান বৃদ্ধি করলে তরলটির প্রতি একক আয়তনে যে পরিমান প্রকৃত প্রসারণ ঘটে তাঁকে ঐ তরলের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক বলে। প্রকৃত প্রসারণ গুনাঙ্ক γ_r দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
তরলের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক: কোনো তরলের উষ্ণতা একক পরিমান বৃদ্ধি করলে তরলটির প্রতি একক আয়তনে যে পরিমান আপাত প্রসারণ ঘটে তাঁকে ঐ তরলের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক বলে। আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ_a) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
▶️ তরলের প্রকৃত প্রসারণ গুনাঙ্ক (γ_r) এবং তরলের আপাত প্রসারণ গুনাঙ্ক (γ_a) – এর মধ্যে সম্পর্কঃ
γ_r = γ_a + γ_g যেখানে γ_g হল পাত্রের উপাদানের আয়তন প্রসারণ গুনাঙ্ক।

৪.৪ উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে বক্রতা ব্যাসার্ধ (r) এবং ফোকাস দৈর্ঘ্য (f) এর মধ্যে সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করো। অবতল দর্পণের একটি ব্যবহার লেখো। ২+১

Ans: চিত্রে MPN হল একটি উত্তল দর্পণের প্রধান ছেদ, C বক্রতা কেন্দ্র, F ফোকাস এবং P মেরু। একটি আলোকরশ্মি RS প্রধান অক্ষের সমান্তরালে এসে দর্পণের ওপর S বিন্দুতে আপতিত হয়ে প্রতিফলনের পর ফোকাস F থেকে নির্গত হচ্ছে বলে মনে হয় এবং ST পথে চলে যায়। CSA দর্পণের ওপর S বিন্দুতে লম্ব।
প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী,
∠RSA = ∠TSA = θ (ধরি)
∠FSC = ∠TSA (বিপ্রতীপ কোণ);
RS এবং PC রেখা পরস্পরের সমান্তরাল।
∴ ∠SCF = ∠RSA (অনুরূপ কোণ)
∴ ∠FSC = ∠SCF
বা, CF = FSI
দর্পণের উন্মেষ তার বক্রতা ব্যাসার্ধের তুলনায় অনেক ছোটো এবং আপতিত রশ্মিগুলি উপাক্ষীয় হলে S বিন্দু P বিন্দুর খুব কাছে হয়। সেক্ষেত্রে,
FS = FP
∴ CF = FP
⇒ FP = ¹/₂ CP
⇒ f = ¹/₂ r
∴ r =2f যেখানে r দর্পণের বক্রতা ব্যাসার্ধ এবং f ফোকাস দৈর্ঘ্য।
∴ উত্তল দর্পণের বক্রতা ব্যাসার্ধ, ফোকাস দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়।
▶️ মোটর গাড়ির হেডলাইটে অবতল দর্পণের ব্যবহার করা হয়।

অথবা
একই আপতন কোণের জন্য তিনটি ভিন্ন মাধ্যম A, B এবং C এর প্রতিসরণ কোণ যথাক্রমে 30°, 45° এবং 60° কোন্ মাধ্যমটিতে আলোর গতিবেগ সর্বনিম্ন এবং কেন? ৩
Ans: A মাধ্যমে আলোর গতিবেগ সর্বনিম্ন।
একই আপতন কোণের জন্য A, B এবং C এর প্রতিসরণ কোণ যথাক্রমে 30°, 45° এবং 60°;
A মাধ্যমের প্রতিসরণ কোণ সবচেয়ে কম।
স্নেলের সূত্রানুযায়ী যে মাধ্যমের প্রতিসরণ কোণ যত কম হবে সেই মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্ক তত বেশি হবে।
আর যার প্রতিসরাঙ্ক যত বেশি হবে সেই মাধ্যমে আলোর গতিবেগও তত কম হবে।
যেহেতু A মাধ্যমের প্রতিসরণ কোণ সবচেয়ে কম তাই A মাধ্যমের গতিবেগ সর্বনিম্ন হবে।

৪.৫ হ্রস্ব দৃষ্টি বা মায়োপিয়া ঘটার দুটি কারণ লেখো। এর প্রতিকারে কোন্ ধরণের লেন্স ব্যবহার করা হয়? ২+১

Ans: হ্রস্ব দৃষ্টি বা মায়োপিয়া ঘটার দুটি কারণ:
(i) অক্ষিগোলকের আকার স্বাভাবিকের চেয়ে বড় হলে,
(ii) কর্নিয়া তলের বক্রতা বেড়ে গেলে,
(iii) চোখের লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য হ্রাস পেলে।
▶️ হ্রস্ব দৃষ্টি বা মায়োপিয়া প্রতিকারের জন্য উপযুক্ত ফোকাস দৈর্ঘ্যের অবতল লেন্স ব্যবহার করা

৪.৬ দুটি পরিবাহীকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্য রোধ হয় 25 Ω, এবং সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্য রোধ হয় 6 Ω। প্রতিটি পরিবাহীর রোধ নির্ণয় করো। ৩

Solution: ধরি, পরিবাহী দুটির রোধ x Ω এবং y Ω দুটি পরিবাহীকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্য রোধ হয় 25 Ω
∴ x + y = 25
বা, y = 25 – x . . . (i)
আবার দুটি পরিবাহীকে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্য রোধ হয় 6 Ω

\(∴ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{1}{x}+\frac{1}{25-x}=\frac{1}{6}…[∵ y = 25 – x]\\⇒\frac{25-x+x}{x(25-x)} = \frac{1}{6}\\⇒\frac{25}{25x-x^2} = \frac{1}{6}\)

⇒ 150 = 25x – x²
⇒ x² – 25x + 150 = 0
বা, x² – 15x – 10x + 150 = 0
⇒ x(x – 15) + 10(x – 15) = 0
⇒(x – 15)(x – 10) = 0
x – 15 = 0 হলে x = 15
∴ y = 25 – 15 = 10
x – 10 = 0 হলে x = 10
∴ y = 25 – 10 = 15
Ans: পরিবাহী দুটির রোধ 15 Ω এবং 10 Ω
অথবা

প্রতি B.O.T একক তড়িৎ শক্তির খরচ 5 টাকা। 10টি 50 W বাল্ব প্রতিদিন 10 ঘন্টা করে ব্যবহার করলে, 30 দিনের এক মাসে তড়িৎশক্তি ব্যবহারের মোট খরচ কত হবে, তা নির্ণয় করো। ৩
Solution: 10টি 50 W বাল্ব প্রতিদিন 10 ঘন্টা করে ব্যবহার করলে দৈনিক তড়িৎ শক্তি ব্যায়িত হয় = 10×50×10 = 5000 ওয়াট-ঘন্টা
30 দিনের 1 মাসে তড়িৎ শক্তি ব্যায়িত হয়
= 5000×30 ওয়াট-ঘন্টা
= 5000×30/1000 কিলোওয়াট-ঘন্টা
⇒ 150 B.O.T.
প্রতি B.O.T একক তড়িৎ শক্তির খরচ 5 টাকা।
∴ মোট খরচ 150×5 = 750 টাকা।
Ans: এক মাসে তড়িৎশক্তি ব্যবহারের জন্য মোট খরচ হবে 750 টাকা।

৪.৭ সমপ্রবাহ অপেক্ষা পরিবর্তী প্রবাহ ব্যবহারের যে কোনো দুটি সুবিধা উল্লেখ করো। জলবিদ্যুৎ উৎপাদন তাপবিদ্যুৎ উৎপাদন অপেক্ষা বেশি পরিবেশ বান্ধব কেন? ২+১

Ans: সমপ্রবাহ(DC) অপেক্ষা পরিবর্তী প্রবাহ(AC) ব্যবহারের দুটি সুবিধা হলো:
(i) উৎপাদন খরচ: সমপ্রবাহ অপেক্ষা পরিবর্তী প্রবাহের উৎপাদন খরচ কম।
(ii) রুপান্তর: পরিবর্তী প্রবাহ কে খুব সহজেই সমপ্রবাহ করা যায়।
(iii) নিয়ন্ত্রণ: পরিবর্তী প্রবাহ ভোল্টেজকে ট্রান্সফরমারের সাহায্যে প্রয়োজনমতো বাড়ানো বা কমানো যায়।
▶️ জলবিদ্যুৎ উৎপাদনে কোন জীবাশ্ম জ্বালানির প্রয়োজন হয় না কিন্তু তাপবিদ্যুৎ উৎপাদন করতে গেলে জীবাশ্ম জ্বালানি পোড়াতে হয় যার ফলে প্রচুর পরিমাণ ক্ষতিকারক গ্যাস নির্গত হয় যা পরিবেশের ক্ষতি করে এবং বিশ্ব-উষ্ণায়ন ঘটায়। এছাড়া জলবিদ্যুৎ উৎপাদন কেন্দ্রে বিদ্যুৎ উৎপাদনের জন্য জল ব্যবহার করা হয় যা পুনর্নবীকরণযোগ্য। অপরদিকে তাপবিদ্যুৎ কেন্দ্রে তাপবিদ্যুৎ উৎপাদন করার জন্য যে কয়লা, প্রাকৃতিক গ্যাস ইত্যাদি জীবাশ্ম জ্বালানি ব্যবহার করা হয় তার পরিমাণ সীমিত এবং পুনর্নবীকরণ যোগ্য নয়। তাই জলবিদ্যুৎ উৎপাদন তাপবিদ্যুৎ উৎপাদন অপেক্ষা বেশি পরিবেশ বান্ধবহয়।

৪.৮ নিউক্লীয় বিভাজন ব্যাখ্যা করো। নিউক্লীয় বিভাজন নিউক্লীয় সংযোজনের জন্য অপরিহার্য কেন? ২+১

Ans: নিউক্লীয় বিভাজন: যে প্রক্রিয়ায় একটি তেজস্ক্রিয় পরমাণুর ভারী নিউক্লিয়াসকে ধীরগতির নিউট্রন দিয়ে আঘাত করে প্রায় সমান ভরের দুটি নিউক্লয়াসে ভেঙে ফেলা হয় এবং তার সঙ্গে কিছু সংখ্যক নিউট্রন এবং প্রচুর পরিমাণে শক্তি উৎপন্ন হয়, তাকে নিউক্লীয় বিভাজন বলে। সমীকরণ:
₉₂U²³⁵ + ₀n¹ →₉₂U²³⁶(অস্থায়ী) → ₅₆Ba¹⁴¹ + ₃₆Kr⁹² +3 ₀n¹ + 200 MeV
এক্ষেত্রে ₉₂U²³⁵ নিউক্লিয়াস ধীরগতির নিউট্রন দিয়ে আঘাত করলে একটি অস্থায়ী আইসোটোপ ₉₂U^23৬-এর নিউক্লীয়াসে পরিণত হয়। এই অস্থায়ী নিউক্লিয়াসটি সঙ্গে সঙ্গে বেরিয়াম (₅₆Ba¹⁴¹) এবং ক্রিপটন (₃₆Kr⁹²)-এর নিউক্লিয়াসে ভেঙে যায়। এর ফলে তিনটি নিউট্রন এবং প্রচুর পরিমাণে শক্তি উৎপন্ন হয়। নিউক্লিয় বিভাজনের ফলে উৎপন্ন পদার্থগুলির মোট ভর মূল পদার্থগুলির ভরের থেকে কিছু কম হয়। আইনস্টাইনের ভর ও শক্তির তুল্যতা সূত্র অনুযায়ী এই ভর ঘাটতি বিপুল পরিমাণ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়। ₉₂U²³⁵-এর নিউক্লিয়াসের বিভাজনে এই শক্তির পরিমাণ হয় 200 MeV
▶️ সমধর্মী আধান (ধনাত্মক)-বিশিষ্ট দুটি নিউক্লিয়াসকে সংযোজিত করার সময় যে প্রচন্ড বিকর্ষণ বল ক্রিয়া করে তাকে প্রতিহত করার জন্য প্রচুর পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হয়। নিউক্লিয় সংযোজন বিক্রিয়া ঘটাতে অতি উচ্চ তাপমাত্রার (10 লক্ষ ডিগ্রি সেলসিয়াস বা তারও বেশি) প্রয়োজন হয়। তাই একটি নিউক্লিয় সংযোজন বিক্রিয়া শুরুর প্রয়োজনীয় উচ্চতাপ সরবরাহ করার জন্য একটি নিউক্লিয় বিভাজন বিক্রিয়া ঘটাবার প্রয়োজন হয়।

৪.৯ মৌলের তড়িৎঋণাত্মকতা বলতে কী বোঝায়? দীর্ঘ পর্যায় সারণিতে গ্রুপ 1 মৌলগুলির তড়িৎঋণাত্মকতা গ্রুপের ওপর থেকে নীচের দিকে কী ধরণে পরিবর্তিত হয়? ২+১

Ans: তড়িৎ-ঋণাত্মকতা: অন্য কোনো মৌলের পরমাণুর সঙ্গে সমযোজী বন্ধনে আবদ্ধ অবস্থায়, বন্ধন সৃষ্টিকারী ইলেক্ট্রন জোড়কে কোনো মৌলের পরমাণুর নিজের দিকে আকর্ষণ করার ক্ষমতা বা প্রবণতাকে মৌলটির তড়িৎ-ঋণাত্মকতা বলা হয়।
▶️ দীর্ঘ পর্যায় সারণিতে গ্রুপ 1-এর (ক্ষার ধাতু) মৌলগুলির তড়িৎঋণাত্মকতা ওপর থেকে নীচের দিকে ক্রমশ হ্রাস পায়।
                                    অথবা
মোজলের পরীক্ষার গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তটি কী? পর্যায় সারণির ক্ষেত্রে এই সিদ্ধান্তের গুরুত্ব কী?       ২+১
Ans: হেনরি মোজলের গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্তটি হল একটি মৌলের পরমাণু ক্রমাঙ্ক অর্থাৎ তার নিউক্লিয়াসে থাকা প্রোটনের সংখ্যা, তার পারমাণবিক ভরের চেয়েও বেশি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। মৌলের রাসায়নিক ধর্মগুলো তার পরমাণু ক্রমাঙ্কের উপর নির্ভর করে, পারমাণবিক ভরের উপর নয়।
▶️ পর্যায় সারণির ক্ষেত্রে এই সিদ্ধান্তের গুরুত্বঃ
    মৌলগুলিকে পর্যায়-সারণিতে পারমাণবিক ভরের পরিবর্তে পরমাণু ক্রমাঙ্ক অনুযায়ী সাজিয়ে মেন্ডেলিভের পর্যায়-সারণির আধুনিক সংস্করণ ও দীর্ঘ পর্যায়-সারণি প্রকাশিত হয়।
    পর্যায় সারণির কাঠামোকে যুক্তিসঙ্গত এবং ত্রুটিহীন করে তোলে।
    এছাড়া আবিষ্কৃত না হওয়া মৌলগুলির জন্য শূন্য স্থানগুলিকে আরও নিখুঁতভাবে ভবিষ্যদ্বাণী করতে সাহায্য করে।

৪.১০ তড়িৎ বিশ্লেষণের সাহায্যে অ্যালুমিনিয়ামের নিষ্কাশনের জন্য যে গলিত মিশ্রণের তড়িৎ বিশ্লেষণ করা হয় তাতে বিশুদ্ধ অ্যালুমিনা ছাড়া আর কী কী পদার্থ থাকে? এই তড়িৎ বিশ্লেষণে ক্যাথোড ও অ্যানোড হিসাবে কী কী ব্যবহৃত হয়? ২+১
Ans: তড়িৎ বিশ্লেষণের সাহায্যে অ্যালুমিনিয়াম নিষ্কাশনের সময় বিশুদ্ধ অ্যালুমিনা (Al₂O₃, 20%) ছাড়াও গলিত মিশ্রণে প্রধানত গলিত ক্রায়োলাইট (Na₃AlF₆, 60℅) এবং ফ্লুওরস্পার (CaF₂, 20%) থাকে।
▶️ ট্যাংকের মধ্যে থাকা পুরু গ্রাফাইট বা গ্যাস কার্বনের আস্তরনকে ক্যাথোড হিসাবে ব্যবহার করা হয়।
▶️ গ্রাফাইট দন্ডকে অ্যানোড হিসাবে ব্যবহার করা হয়।

৪.১১ অ্যামোনিয়াকে বায়ুর অক্সিজেন দ্বারা জারণ ঘটিয়ে কীভাবে নাইট্রিক অক্সাইড উৎপাদন করা হয় তা অনুঘটকের নাম ও বিক্রিয়ার শর্ত উল্লেখসহ লেখো। বিক্রিয়াটি শমিত রাসায়নিক সমীকরণসহ লেখো। ২+১

Ans: শুষ্ক ও বিশুদ্ধ অ্যামোনিয়া প্রথমে উত্তপ্ত বায়ুর সাথে 1 : 8 আয়তনিক অনুপাতে মিশ্রিত করা হয়। এই মিশ্রণকে ধূলিকণামুক্ত করে 750° – 900°C উষ্ণতায় 5 – 7 বায়ুমন্ডলীয় চাপে উত্তপ্ত প্লাটিনাম-রোডিয়াম (Pt-Rh) ধাতুনির্মিত তারজালি অনুঘটকের মধ্য দিয়ে অতি দ্রুত চালনা করলে নাইট্রিক অক্সাইড উৎপন্ন হয়।
▶️ অনুঘটক: প্লাটিনাম-রোডিয়াম (Pt-Rh) ধাতুনির্মিত তারজালি
▶️ বিক্রিয়ার শর্ত:
      উষ্ণতা: 750° – 900°C
      চাপ: 5 – 7 বায়ুমন্ডলীয় চাপ
        আয়তন: অ্যামোনিয়া : বায়ু = 1 : 8
▶️ শমিত রাসায়নিক সমীকরণ:

           Pt-Rh/750° - 900°C
4NH₃ + 50₂ - - - - - - - - - → 4NO + 6H₂O + 90.3 kJ
           5 - 7 বায়ুমন্ডলীয় চাপ

৪.১২ অ্যাসিটিলিনের সঙ্গে হাইড্রোজেনের যুত বিক্রিয়ার শমিত রাসায়নিক সমীকরণ লেখো এবং বিক্রিয়ার যে কোনো দুটি শর্ত উল্লেখ করো। ৩
Ans: নিকেল অনুঘটকের উপস্থিতিতে 160°C উষ্ণতায় বা প্ল্যাটিনাম(Pt)/প্যালাডিয়াম(Pd) অনুঘটকের উপস্থিতিতে সাধারণ উষ্ণতায় 1 অণু অ্যাসিটিলিন 2 অণু হাইড্রোজেনের সঙ্গে যুক্ত হয়ে প্রথমে ইথিন এবং তারপর ইথেন উৎপন্ন করে।

          H₂
HC ≡ CH - - - → H₂C = CH₂
       Ni/160°C
            H₂
    - - - → H₃C-CH₃
    Ni/160°C 
বিক্রিয়ার শর্ত:
(i) অনুঘটকের উপস্থিতি: নিকেল
(ii) উষ্ণতা: 160°C

                                    অথবা
অ্যাসিটিক অ্যাসিডের সঙ্গে সোডিয়াম বাইকার্বনেটের বিক্রিয়ার শমিত রাসায়নিক সমীকরন লেখো। প্যাকেজিংএ ব্যবহারের জন্য পাট ও পলিথিনের মধ্যে কোনটি পরিবেশ বান্ধব এবং কেন?      ২+১
Ans: অ্যাসিটিক অ্যাসিডের সঙ্গে সোডিয়াম বাইকার্বনেটের বিক্রিয়ার শমিত রাসায়নিক সমীকরন:        CH₃COOH + NaHCO₃ = CH₃COONa +CO₂ + H₂O
▶️ প্যাকেজিংএ ব্যবহারের জন্য পাট ও পলিথিনের মধ্যে পাট পরিবেশ বান্ধব। কারণ পাট হল প্রাকৃতিক জৈব ভঙ্গুর বা বায়োডিগ্রেডেবল পদার্থ যা পরিবেশে উপস্থিত বিভিন্ন অণুজীব দ্বারা বিয়োজিত হয় ও পরিবেশে সহজে মিশে যায়।
      কিন্তু পলিথিন পরিবেশে দীর্ঘদিন অবিয়োজিত অবস্থায় থেকে যায়। এ ছাড়া পলিথিন পোড়ালে পাটের তুলনায় বেশি বায়ু দূষণ ঘটায়। তাই প্যাকেজিং -এ ব্যবহারের জন্য পাট বেশি পরিবেশবান্ধব।

MP 2025 Mathematics Solution

February 14, 2026

Category: CLASS-X

Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -26 Mathematics Solution

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন কর: 1×6-6

মাধ্যমিক ২০২৬ গনিত সমাধান

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোন পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোন দশটি): 2×10 = 20

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan7 θ + cot7 θ এর মান নির্ণয় কর।

(vi) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3: 4 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

(x) (a + b) : √ab = 2 : 1 হলে a : b নির্ণয় কর।

৫. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সমাধান কর: b(c – a)x2 + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

7. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

9. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD2 = 2BD2 Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA2 + OC2 = OD2 + OB2Ans:

11. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2 = 6

(i) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।

(ii) যদি tan θ = 4/3 হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে (sin A + cos B)2 = 1 + 2sin A sin B .অঙ্কটি ভুল আছে।cos B এর জায়গায় cos A হবে।

13. যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

15. যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2-8

(ii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ-

Complete Solution of MP-26 P. Sc

বিভাগ ‘ক’(সমস্ত প্রশ্নের উত্তর করা আবশ্যিক)

Complete Solution of MP-26 P. Sc

বিভাগ ‘খ’

২। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ১×২১=২১

Complete Solution of MP-26 P. Sc

২.১১ বাম স্তম্ভের সঙ্গে ডান স্তম্ভের সামঞ্জস্য বিধান করো: ১×৪=৪

Complete Solution of MP-26 P. Sc

বিভাগ ‘গ’

৩। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ২×৯=১৮

মাধ্যমিক ২০২৬ ভৌত বিজ্ঞান সমাধান

৩.৯ CH3COOH — একটি জৈবযৌগ কিন্তু NaHCO3 — জৈব যৌগ নয় কেন উভয় ক্ষেত্রে একটি করে কারণ লেখো ২

বিভাগ ‘ঘ’

৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়): ৩×১২ = ৩৬

৪.৩ লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 12×10-6/°C- ব্যাখ্যা করো। তাপ প্রয়োগে তরলের আয়তন প্রসারণের একটি উদাহরণ দাও। ২+১

৪.৫ হ্রস্ব দৃষ্টি বা মায়োপিয়া ঘটার দুটি কারণ লেখো। এর প্রতিকারে কোন্ ধরণের লেন্স ব্যবহার করা হয়? ২+১

৪.৮ নিউক্লীয় বিভাজন ব্যাখ্যা করো। নিউক্লীয় বিভাজন নিউক্লীয় সংযোজনের জন্য অপরিহার্য কেন? ২+১

(iv) tan θ + cot θ = 2 হলে tan⁷ θ + cot⁷ θ এর মান নির্ণয় কর।

(i) সমাধান কর: b(c – a)x² + c(a – b) x + a(b – c) = 0.

(i) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর ∠ B সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে CD² = 2BD²
Solution:

(ii) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু, প্রমাণ কর যে OA² + OC² = OD² + OB²
Ans:

(ii) যদি tan θ = ⁴/₃ হয় তাহলে sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় কর।

(iii) A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে প্রমাণ কর যে
(sin A + cos B)² = 1 + 2sin A sin B .
অঙ্কটি ভুল আছে।
cos B এর জায়গায় cos A হবে।

বিভাগ ‘ক’
(সমস্ত প্রশ্নের উত্তর করা আবশ্যিক)

৩.৯ CH₃COOH — একটি জৈবযৌগ কিন্তু NaHCO₃ — জৈব যৌগ নয় কেন উভয় ক্ষেত্রে একটি করে কারণ লেখো ২

৪.৩ লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 12×10^-6/°C- ব্যাখ্যা করো। তাপ প্রয়োগে তরলের আয়তন প্রসারণের একটি উদাহরণ দাও। ২+১