Author: TEAM PROSTUTI

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)
SN DEY SEMESTER-I

N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTION
SEMESTER-I
CHAPTER 2
সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক (Relation and Function)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. মনে করো, সব বাস্তব সংখ্যার সেট R এবং f: R→R অপেক্ষক f(x) = sinx দ্বারা সংজ্ঞাত (সব x ∈ R -এর জন্য), তাহলে, f-এর পাল্লা =
Ⓐ {f(x): – ∞ < f(x) < ∞ এবং f(x) ∈ R}
Ⓑ {(f(x): – ∞ < f(x) < 1 এবং f(x) ∈ R}
Ⓒ {(f(x): – 1 < f(x) < 1 এবং f(x) ∈ R}
Ⓓ {f(x): – 1 ≤ f(x) ≤ 1 এবং f(x) ∈ R}

Solution:
∴ -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x ∈ R
⇒ -1 ≤ f(x) ≤ 1
Ans: Ⓓ {f(x): – 1 ≤ f(x) ≤ 1 এবং f(x) ∈ R}

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       সেট ও অপেক্ষক

• CHAPTER 1 সেট তত্ত্ব
• CHAPTER 2 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
  • ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
  • সম্বন্ধ (Relation) PART II
  • অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
  • চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
  • অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
  • CHAPTER 3 ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
  • CHAPTER 4 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
  • CHAPTER 5 সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
  • CHAPTER 6 যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 7 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
  • CHAPTER 8 গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 9 অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 10 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
  • CHAPTER 11 ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• CHAPTER 1 সূচকের নিয়মাবলি
• CHAPTER 2 লগারিদম্
• CHAPTER 3 দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
• CHAPTER 4 জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
• CHAPTER 5 রৈখিক অসমীকরণ
• CHAPTER 6 বিন্যাস ও সমবায়
• UNIT-3 কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• CHAPTER 1 বাস্তব সংখ্যা
• CHAPTER 2 সীমা
• CHAPTER 3 অন্তরকলন বা অবকলন
• CHAPTER 4 অন্তরকলজের তাৎপর্য

2. মনে করো, A = {0, 1, 2, 3, 4} এবং Z হল পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট। যদি f: A → Z অপেক্ষক f(x) = x² – 5x + 2 দ্বারা সংজ্ঞাত হয়, তবে নীচের কোনটি 2-এর প্রাগবিম্ব হবে?
Ⓐ 5               Ⓑ 2-এর প্রাগবিম্ব নেই
Ⓒ 1 এবং 4     Ⓓ 0

Solution: ধরি 2- এর প্রাগবিম্ব x
 ∴ f(x) = 2
⇒ x² – 5x + 2
বা, x² – 5x + 2 = 2
⇒ x² – 5x = 0
⇒ x(x – 5) = 0
∴ x =0, x = 5
কিন্তু x ∉ A
∴ 2- এর প্রাগবিম্ব 5
Ans: Ⓐ 5

3. মনে করো, A = {- 2, 1, 0, – 1} , B = {- 6, – 5, – 3, 0} এবং f: A → B চিত্রণ f(x) = 2x² + x – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে নীচের কোনটি (-2)-এর প্রতিবিম্ব হবে?
Ⓐ 0        Ⓑ 3
Ⓒ -3       Ⓓ -5

Solution: (-2)-এর প্রতিবিম্ব
= f(-2) = 2×(-2)² + (-2) – 6
           = 8 – 2 – 6 = 0
Ans: Ⓐ 0

4. মনে করো, পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Z এবং f: ℤ → ℤ চিত্রণ f(x) = 2x – 1 দ্বারা সংজ্ঞাত; তাহলে নীচের কোন্ সেটটি {x: f(x) = 3} সেটের সমান?
Ⓐ {3}        Ⓑ {2}
Ⓒ {0}        Ⓓ {-1}

Solution: ∵ f(x) = 3
⇒ 2x -1 = 3
⇒ x = 2
Ans: Ⓑ {2}

অপেক্ষক বা চিত্রন

5. যে ক্ষেত্রে (domain-এ) f(x) = 3x² – 2x এবং g(x) = 9x – 6 অপেক্ষক দুটি সমান তা হল-
Ⓐ (²/₃, 3)      Ⓑ [²/₃, 3]
Ⓒ {²/₃, 3}      Ⓓ এদের সবগুলিই

Solution: f(x) এবং g(x) অপেক্ষক দুটি সমান।
∴ 3x² – 2x = 9x – 6
⇒ 3x² – 2x – 9x + 6 = 0
⇒3x² – 11x + 6 = 0
⇒ 3x² – 9x – 2x + 6 = 0
⇒ 3x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
বা, (3x – 2)(x – 3) = 0
∴ 3x – 2 = 0, |      x – 3 = 0
 বা, x = ²/₃,    | বা, x = 3
x = ²/₃, 3
Ans: Ⓒ {²/₃, 3}

6. দুটি অপেক্ষক f এবং g নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:f: R – {2} → R যেখানে f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) এবং g: R → R যেখানে g(x) = x + 2 । তাহলে –
Ⓐ f ≠ g        Ⓑ f(2) = g(2)
Ⓒ f = g        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 2 বাদে  x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য f অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত কিন্তু g অপেক্ষকটি x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য  সংজ্ঞাত।
∴  f-এর ক্ষেত্র = R – {2} এবং
g-এর ক্ষেত্র = R
∴ Dom_f ≠ Dom_g
∴ f ≠ g]
Ans: Ⓐ f ≠ g

Function or Mapping

7. মনে করো, A = {- 1, – 2, 1, 2} , B = {3, 4, 5, 6, 7} এবং তিনটি নিয়ম, f. g ও h নিম্নলিখিতভাবে A সেটের পদগুলিকে B সেটের পদগুলোর সঙ্গে সংযুক্ত করে:
f(-1) = 4,     f(-2) = 7,     f(2) = 5 ;
g(-1) = 6,   g(- 2) = 7,   g(1) = 3,   g(2) = 5,   g(1) = 4 এবং
h(-1) = 3,   h(-2) = 6,    h(1) = 3,   h(2) = 4
নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ f একটি অপেক্ষক
Ⓑ g একটি অপেক্ষক
Ⓒ শুধুমাত্র h একটি অপেক্ষক
Ⓓ f, g, h সবকটিই অপেক্ষক

Solution: 1 ∈ A, এখানে A সেটের 1 পদটি f নিয়ম দ্বারা B সেটের কোনো পদের সঙ্গেই যুক্ত নয় অর্থাৎ 1-এর কোন প্রতিবিম্ব B সেটে নেই।
∴ f একটি অপেক্ষক নয়।
g(1) = 3,   g(1) = 4
A সেটের 1 পদটি g নিয়ম দ্বারা B সেটের দুটি পদের সঙ্গে যুক্ত অর্থাৎ 1-এর কোনো অনন্য প্রতিবিম্ব B সেটে নেই।
∴ g একটি অপেক্ষক নয়। 
আবার h নিয়ম দ্বারা A সেটের প্রতিটি পদ B সেটের একটি নির্দিষ্ট পদের সঙ্গেই যুক্ত।
তাই h একটি অপেক্ষক।
Ans: Ⓒ শুধুমাত্র h একটি অপেক্ষক

৪. মনে করো, A = {- 2, – 1, 0, 1, 2} এবং সব x ∈ A এর জন্য f: A → Z অপেক্ষক f(x) = 2x + 1 দ্বারা সংজ্ঞাত। f-এর পাল্লা হবে –
Ⓐ {- 2, – 1, 0, 1, 2}     Ⓑ Z
Ⓒ {- 3, – 1, 0, 3, 5}     Ⓓ {- 3, – 1, 1, 3, 5}

Solution: f(x) = 2x + 1
∴ f(-2) = 2×(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
   f(-1) = 2×(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
   f(0) = 2×0 + 1 = 1
   f(1) = 2×1 + 1 = 2 + 1 = 3
   f(2) = 2×2 + 1 = 4 + 1 = 5
∴ f-এর পাল্লা = {-3, -1, 1, 3, 5}
Ans: Ⓐ {- 2, – 1, 0, 1, 2}

SN DEY SEMESTER-I

9. মনে করো, A = {- 2, – 1, 0, ³/₂, 2}, B = {- 6, – 5, – 3, 0, 3, 4} এবং f: A → B অপেক্ষক f(x) = 2x² + x – 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। f(A) =
Ⓐ {- 6, – 5, 0, 4}        Ⓑ B
Ⓒ {- 6, – 5, 0, 3, 4}    Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 2x² + x – 6
∴ f(-2) = 2.(-2)² + (-2) – 6 = 8 -2 – 6 = 0 ∈ B
   f(-2) = 2.(-1)² + (-1) – 6 = 2 -1 – 6 = -5 ∈ B
   f(0) = 2.(0)² + 0 – 6 = 0 – 0 – 6 = -6 ∉ B
   f(3/2) = 2.(³/₂)² + ³/₂ – 6 = ⁹/₂ + ³/₂ – 6 = 6 – 6 = 0 ∈ B
   f(2) = 2.(2)² + 2 – 6 = 8 + 2 – 6 = 4 ∈ B
∴ f(A) = {- 6, – 5, 0, 4}
Ans: Ⓐ {- 6, – 5, 0, 4}

10. মনে করো, A = {0, 1}, B = {2, 6} এবং f: A → B অপেক্ষক f(x) = 6 – 4x দ্বারা ও g: A → B অপেক্ষক g(x) = x^2 – 5x + 6 দ্বারা সংজ্ঞাত। তাহলে –
Ⓐ f ≠ g        Ⓑ f(0) = g(1)
Ⓒ f = g        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x) = 6 – 4x
∴ f(0) = 6 – 4.0 = 6 এবং
 f(1) = 6 – 4.1 = 2
আবার g(x) = x² – 5x + 6
∴ g(0) = 0² – 5.0 + 6 = 6 এবং
 g(1) = 1² – 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2
এখানে   f-এর ক্ষেত্র = g-এর ক্ষেত্র = R এবং সব x ∈ A -এর জন্য f(x) = g(x) হয়।
∴ f = g
Ans: Ⓒ f = g

অপেক্ষক বা চিত্রন

11. নীচে সংজ্ঞাত কোন্ অপেক্ষকের ক্ষেত্রের প্রতিবিম্ব সেট R?
Ⓐ f: R → R যা সব x ∈ R এর জন্য f(x) = cos x দ্বারা প্রদত্ত;
Ⓑ f: R → R , যা সব x ∈ R এর জন্য f(x) = cosec x দ্বারা সংজ্ঞাত (x ≠ nπ ,n ∈ Z);
Ⓒ g: R → R , যা সব x ∈ R এর জন্য g(x) = x² + 3 দ্বারা সংজ্ঞাত;
Ⓓ h: R → R , যা সব x ∈ R⁺ -এর জন্য h(x) = log_e^x দ্বারা সংজ্ঞাত, যেখানে R⁺ হল সব ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট।

Solution: Ⓐ সব x ∈ R এর জন্য,
   -1 ≤ cos x ≤ 1
বা, -1 ≤ f(x) ≤ 1
∴ সব x ∈ R এর জন্য প্রতিবিম্ব সেট হবে [-1, 1] অর্থাৎ সমগ্র R হচ্ছে না।
Ⓑ সব x ∈ R এর জন্য,
   cosec x ≤ -1 এবং cosec x ≥ 1
∴ সব x ∈ R এর জন্য প্রতিবিম্ব সেট হবে (-∞, -1] ∪ [1, ∞) অর্থাৎ সমগ্র R হচ্ছে না।
Ⓒ সব x ∈ R এর জন্য,
  x² ≥ 0
∴ x² + 3 ≥ 3
বা, g(x) ≥ 3
∴ সব x ∈ R এর জন্য প্রতিবিম্ব সেট হবে [3, ∞) অর্থাৎ সমগ্র R হচ্ছে না।
Ⓓ সব x ∈ R⁺ এর জন্য log_ex ∈ R হবে।
∴ সব x ∈ R⁺ এর জন্য প্রতিবিম্ব সেট হবে R।
Ans: Ⓓ h: R → R , যা সব x ∈ R⁺ -এর জন্য h(x) = log_e^x দ্বারা সংজ্ঞাত, যেখানে R⁺ হল সব ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট।

12. f = {(1, 1), (- 1, – 5), (2, 4), (3, 7)} দ্বারা একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত হয়। যদি অপেক্ষকটি f(x) = px + q দ্বারা প্রদত্ত হয়, তবে p ও q-এর মান যথাক্রমে
Ⓐ -2, 3       Ⓑ 3, -2
Ⓒ 3, 2        Ⓓ -3, 2

Function or Mapping

Solution: f(x) = px + q
∵ (1, 1), (- 1, – 5) ∈ f
∴ f(1) = p.1 + q = 1
⇒ p + q = 1……. (i) এবং
f(-1) = p.(-1) + q = – 5
⇒ -p + q = – 5……. (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
    p + q – p + q = 1 -5
⇒ 2p = – 4
⇒ p = – 2
(i) নং থেকে পাই,
   -2 + q = 1
⇒ q = 3
Ans: Ⓐ -2, 3

Click here to visit our Facebook

13. যদি f = {(1, 2), (- 1, 6), (2, 3), (3, 6)} অপেক্ষকটি f(x) = ax² + bx + c নিয়মে প্রদত্ত হয়, তবে a, b ও c -এর মান যথাক্রমে
Ⓐ 1, 2, 3         Ⓑ -1, 2, 3
Ⓒ 1, 2, -3        Ⓓ 1, -2, 3

Solution: f(x) = ax² + bx + c
∵ (1, 2), (- 1, 6), (2, 3) ∈ f
∴ f(1) = a(1)² + b.1 + c = 2
⇒ a + b + c = 2……. (i)
f(-1) = a(-1)² + b.(-1) + c = 6
⇒ a – b + c = 6……. (ii)
এবং f(2) = a(2)² + b.2 + c = 3
⇒ 4a + 2b + c = 3……. (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
    a + b + c – (a – b + c ) = 2 – 6
⇒ a + b + c – a + b – c = – 4
2b = -4
⇒ b = -2
(ii) – (iii) করে পাই,
    a – b + c – (4a + 2b + c) = 6 – 3
⇒ a – b + c – 4a – 2b – c = 3
⇒ -3a – 3b = 3
বা, -3a – 3(-2) = 3 . . . . . .[ ∵ b = -2]
বা, -3a + 6 = 3
⇒ -3a = 3 – 6
⇒ a = 1
(i) নং থেকে পাই,
    1 – 2 + c = 2
⇒ c = 3
⇒ c = 3
Ans: Ⓓ 1, -2, 3

SN DEY SEMESTER-I

14. মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {7, 8, 9} ; তাহলে, নীচের সম্বন্ধগুলোর মধ্যে কোনটি A সেট থেকে B সেটে একটি অপেক্ষক নয়?
Ⓐ R₁ = {(1, 8), (2, 9), (3, 8), (4, 8)}
Ⓑ R₂ = {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7)}
Ⓒ R₃ = {(1, 7), (2, 8), (1, 8), (4, 9)}
Ⓓ R₄ = {(1, 7), (2, 8), (3, 7), (4, 8)}

Solution: [R₃ সম্বন্ধটির ক্ষেত্রে A সেটের 1 পদটি B সেটের দুটি পৃথক পদের সঙ্গে যুক্ত।
তাই R₃ সম্বন্ধটি A সেট থেকে B সেটে একটি অপেক্ষক নয়।]
Ans: Ⓒ R₃ = {(1, 7), (2, 8), (1, 8), (4, 9)}

True and False

1. বিবৃতি-I: Z×Z এর একটি উপসেট f এমন যে, f = {(xy, x – y): x, y ∈ Z} ; f দ্বারা Z থেকে Z-এ একটি অপেক্ষক প্রকাশিত হয়।
বিবৃতি-II: A = {1, 2, 3, 4, 5} হলে সব x, y ∈ A এর জন্য f = {(x, y): x + y = 6} সম্বন্ধ দ্বারা A থেকে A-তে একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত হয়, কিন্তু g = {(x, y): y < x} সম্বন্ধ দ্বারা A সেটে কোনো অপেক্ষক সংজ্ঞাত হয় না।
Ⓐ কেবলমাত্র বিবৃতি-I সত্য
Ⓑ কেবলমাত্র বিবৃতি-II সত্য
Ⓒ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II উভয়ই সত্য
Ⓓ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I: x = 1, y = -1 হলে,
    xy = 1 – (-1) = -1,
 x – y = 1 – (-1) = 2
আবার x = -1, y = 1 হলে,
    xy = (-1)×1 = -1,
x – y = -1 – 1 = -2
∴ f -এর -1 পদটি দুটি পৃথক পদ -2 এবং 2 -এর সঙ্গে সংযুক্ত।
∴ f দ্বারা Z থেকে Z-এ একটি অপেক্ষক প্রকাশিত হয় না।

বিবৃতি-II: f = {(x, y): x + y = 6}
∴ x = 1 হলে y = 5 হয়।
x = 2 হলে y = 4 হয়।
আবার x = 3 হলে y = 3 হয়।
x = 4 হলে y = 1 হয়।
x = 5 হলে y = 15 হয়।
এখানে A সেটের প্রতিটি পদ f নিয়ম দ্বারা A সেটের একটি নির্দিষ্ট পদের সাথে সংযুক্ত।
তাই f = {(x, y): x + y = 6} সম্বন্ধ দ্বারা A থেকে A-তে একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত হয়।
g = {(x, y): y < x}
∴ g = {(5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1),….. }
A সেটের একটি পদ 5, g নিয়ম দ্বারা A সেটের একাধিক পদের সাথে সংযুক্ত।
তাই g = {(x, y): y < x সম্বন্ধ দ্বারা A থেকে A-তে একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত নয়।
Ans: Ⓑ কেবলমাত্র বিবৃতি-II সত্য

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)
SN DEY SEMESTER-I

2. বিবৃতি-I: মনে করো, f(x) = 2x^2 – 9 নিয়ম N-এর প্রত্যেকটি পদকে তার নিজের পদের সঙ্গে সংযুক্ত করে। তাহলে, f(x) দ্বারা N সেটে ওই একই সেটের একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত হয়।
বিবৃতি-II: f: A→B দ্বারা B সেটের একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত হলে, A সেটের একটি পদকে B সেটের দুটি বিভিন্ন পদের সঙ্গে সংযুক্ত করা যায় না।
Ⓐ বিবৃতি-I সত্য
Ⓑ বিবৃতি-II সত্য
Ⓒ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II সত্য
Ⓓ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II মিথ্যা

Solution: f(x) = 2x² – 9
  f(1) = 2.(1)² – 9 = 2 – 9 = – 7
  f(2) = 2(2)² – 9 = 8 – 9 = -1
∴ N = 1, 2 হলে N সেটে 1, 2 -এর কোনো প্রতিবিম্বের অস্তিত্ব নেই।
∴ f(x) দ্বারা N সেটে ওই একই সেটের একটি অপেক্ষক সংজ্ঞাত নয়।
Ans: Ⓑ বিবৃতি-II সত্য

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো

3. বিবৃতি-I: মনে করো, A = {2, 3, 4} , B = {1, 2, 5} এবং R₁ = {(2, 1), (4, 5)} হল B সেটে A সেটের একটি সম্বন্ধ; তাহলে, R₁ সম্বন্ধ B সেটে A সেটের একটি অপেক্ষক হবে।
বিবৃতি-II: মনে করো, A = {2, 3, 4} , B = {1, 2, 4, 5} এবং R₂ = {(2, 1), (3, 4), (4, 5), (3, 2)} হল B সেটে A সেটের একটি সম্বন্ধ; তাহলে, R₂ সম্বন্ধ B সেটে A সেটের একটি অপেক্ষক হবে।
Ⓐ বিবৃতি-I সত্য
Ⓑ বিবৃতি-II সত্য
Ⓒ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II সত্য
Ⓓ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II মিথ্যা

Solution: R₁ সম্বন্ধটিতে A সেটের 3 পদটি B সেটের কোনো পদের সঙ্গেই সংযুক্ত নয় অর্থাৎ 3-এর কোনো প্রতিবিম্ব B সেটে নেই।
তাই R₁ সম্বন্ধ B সেটে A সেটের একটি অপেক্ষক নয়।
R₂ সম্বন্ধটিতে A সেটের 3 পদটি B সেটের দুটি পৃথক পদ 4 ও 2-এর সঙ্গে সংযুক্ত।
তাই R₂ সম্বন্ধ B সেটে A সেটের একটি অপেক্ষক নয়।
Ans: Ⓓ বিবৃতি-I ও বিবৃতি-II মিথ্যা

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)
SN DEY SEMESTER-I

1. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x) = {1 , যখন x ∈ Q
        -1, যখন x ∉ Q

[i] f(2.23) =
Ⓐ -1       Ⓑ f(π)
Ⓒ 1        Ⓓ 1, -1

Solution: ∵ 2.23 ∈ Q
∴  f(2.23) = 1
Ans: Ⓒ 1

[ii] f(e) =
Ⓐ 1               Ⓑ f(2)
Ⓒ 1 + f(√2)    Ⓓ -1

Solution: ∵ e ∉ Q
∴  f(e) = 1
Ans: Ⓓ -1

[iii] 1 ও -1 এর প্রাগবিম্বসমূহের যোগ (union) হবে 
Ⓐ Q Ⓑ R
Ⓒ Q^C Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: যখন x ∈ Q তখন f(x) = 1 হবে অর্থাৎ x মূলদ সংখ্যা হবে।
আবার যখন x ∉ Q তখন f(x) = -1 হবে অর্থাৎ x অমূলদ সংখ্যা হবে।
মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা মিলে বাস্তব সংখ্যা গঠিত হয়। 
∴ 1 ও -1 এর প্রাগবিম্বসমূহের যোগ  হবে বাস্তব সংখ্যা বা R.
Ans: Ⓑ R

SN DEY SEMESTER-I

2. মনে করো, A = {0, 1, 2, 3, 4} এবং f: A → Z অপেক্ষক f(x) = x² – 5x + 2 দ্বারা সংজ্ঞাত:
[i] 1 -এর প্রাগবিম্ব –
Ⓐ 1 Ⓑ 0
Ⓒ অস্তিত্ব নেই Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: 1 -এর প্রাগবিম্ব f(x) = 1
বা, x² – 5x + 2 = 1
বা, x² – 5x + 1 = 0
⇒ x = ^{-(-5) ± √((-5)^2 – 4.1.1)}/_2.1
বা, x = ^{5 ± √(25 – 4)}/₂
বা, x = ^{5 ± √21}/₂ ∉ A
∴ 1 -এর প্রাগবিম্বের অস্তিত্ব নেই।
Ans: Ⓒ অস্তিত্ব নেই

[ii] 2-এর প্রাগবিম্ব –
Ⓐ 1 Ⓑ 0
Ⓒ 0, 5 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  2 -এর প্রাগবিম্ব f(x) = 2
বা, x² – 5x + 2 = 2
বা, x² – 5x = 0
⇒ x(x – 5) = 0
বা, x = 0, 5
কিন্তু 5 ∉ A
∴ 1 -এর প্রাগবিম্ব 0
Ans: Ⓑ 0

[iii] f-এর পাল্লা –
Ⓐ {- 2, – 4, 1, 2} Ⓑ {- 2, – 4, 0, 1, 2}
Ⓒ {2, – 2, 4} Ⓓ {2, – 2, -4}

Solution: A = {0, 1, 2, 3, 4} এবং f(x) = x² – 5x + 2
∴  f(0) = 0² – 5.0 + 2 = 2;
f(1) = 1² – 5.1 + 2 = -2;
f(2) = 2² – 5.2 + 2 = -4;
f(3) = 3² – 5.3 + 2 = -4;
f(4) = 4² – 5.4 + 2 = -2
∴ f-এর পাল্লা – {2, – 2, -4}
Ans: Ⓓ {2, – 2, -4}

3. মনে করো, f: R → R অপেক্ষক f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) দ্বারা সংজ্ঞাত:
[i] f-এর পাল্লা –
Ⓐ R              Ⓑ Q
Ⓒ R⁺                Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: a > 0 এবং a ≠ 1 হলে a^x সর্বদা শূন্যের থেকে বড়ো ধনাত্মক সংখ্যা হবে।
∴  f-এর পাল্লা হবে R⁺
Ans: Ⓒ R⁺

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)

[ii] f-এর ক্ষেত্র –
Ⓐ R            Ⓑ R – {0}
Ⓒ (0, ∞)     Ⓓ [0, ∞)

Solution: a যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হলে f(x) = a^x সংজ্ঞাত হবে।
∴ f-এর ক্ষেত্র R
Ans: Ⓐ R

[iii] {x: f(x) = 1} =
Ⓐ {1}           Ⓑ {0, 1}
Ⓒ R – {0}    Ⓓ {0}

Solution: f(x) = 1
বা, a^x = 1
বা, a^x = a⁰
∴ x = 0
∴ {x: f(x) = 1} = {0}
Ans: f Ⓓ {0}